2018年福建省厦门市高考数学一模试卷(理科)

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厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查理科数学参考答案_

3 3 D(0, 2,0) ， M (0, , ) ， B (1, 1,0) ， 2 2 3 3 3 1 （8 分） C (2,0,0) ， N ( , ,0) MN ( , 1, ) ， 2 2 2 2 n PB 0 x 2 y 3z 0 设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y , z ) ，取 x 1 ， x y 0 n BC 0 （10 分） y 1, z 3 ，即 n (1, 1, 3) ，
18．本题考查立体几何中的线面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，考查数形结合思想、化归与转化、或然与必然等数学思想．满分 12 分．（1）【解析】取 AD 的中点 O ，连接 MO ， NO ， M 为 PD 的中点
OM // PA OM 平面 PAB ， PA 平面 PAB OM //平面 PAB （2 分）同理 பைடு நூலகம்N //平面 PAB ，（3 分）又 OM ON O ，平面 MNO //平面 PAB ,（4 分） MN 平面 OMN MN 平面 PAB （5 分）（2）（法一） AC 平面 PAD ， AC AD ，以 A 为坐标原点，以 AC , AD 分别为 x, y 轴，过 A 垂直于平面 ACD 的直线为 z 轴，如图建立空间直角坐标系，（6 分）在 Rt ACD 中， AC 2 ， CD 2 2 AD 2 （7 分） P (0,1, 3) ，
2
即彼此横坐标相差半个周期，纵坐标相差 2 ，且 PMN 为等腰三角形．（1）由于 PMN 为直角三角形，且斜边上高为 2 ，则斜边长为 2 2 T 解得：

福建省厦门市2018届高三数学下学期第一次开学考试试题理

厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数-1+ii对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知集合(){|1}A x y lg x ==-，{|2}B x x =<，则A B ⋂=（） A. ()2,0- B. ()0,2 C. ()1,2 D. ()2,2-3．已知向量(1,)a m =r ，(3,2)b =-r，且()//a b b +r r r ，则m =（）A ．23- B ． 23 C ．8- D ．84．若直线10x y -+=与圆()222x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是（） A. []3,1-- B. []1,3- C. []3,1- D. (][),31,-∞-⋃+∞5．甲、乙两人计划从A 、B 、C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（）A ． 3种B ． 6种C ． 9种D ．12种6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（） A. 2π43+B. 22π43+C. 42π83+D. 82π83+ 7．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A ．2010B ．－1C ．12D ．2(第6题图)(第7题图)8．已知3sin 322πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.32 B. 32- C. 12 D. -129.已知函数22,(n)n n f n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数，为偶数，且(n)(1)n a f f n =++，则1232014....a a a a +++等于（）A ．－2013B ．－2014C ．2013D ．201410．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是34m =，那么可以估计π的值约为（）A. 227B. 4715C. 5116D. 531711．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,若双曲线上存在点P ,使1221sin PF F aSIN PF F c∠=∠,则该双曲线的离心率e 范围为（）A. （1,12+）B. （1,13+）C. （1,12+]D. （1,13+]12．已知函数()122,0,log ,0.x a x f x x x ⎧⋅≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()(),00,1-∞UD ．()()0,11,+∞U 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．锐角ABC ∆中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若4,3a b ==，且ABC ∆的面积为33，则c =________．14．设,a b 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列四个命题中（1）若,a a αβ⊥⊂,则αβ⊥; （2）若//,a ααβ⊥,则a β⊥; （3）若,a βαβ⊥⊥,则//a α; （4）若,a b αα⊥⊥,则//a b . 其中所有真命题的序号是.15．学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“A 作品获得一等奖”；乙说：“C 作品获得一等奖” 丙说：“,B D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是A 或D 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 __________．16．已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且2,4,5,3AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积的最大值为_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =， 2a 为整数，且4n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设11nn n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）如图（1）五边形ABCDE 中，,//,2,ED EA AB CD CD AB ==150EDC ∠=o ,将EAD ∆沿AD 折到PAD ∆的位置，得到四棱锥P ABCD -，如图（2），点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD .（1）求证：//BM 平面PAD .（2）若直线,PC AB 与所成角的正切值为12，求直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值.19．（本小题满分12分）某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：（参考公式和计算结果：1221ˆni i i n ii x y nxy bx nx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-，4221194i i x -==∑，421211945i i i x y --==∑）（1）1~6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为 6.5y x a =+，求a 的值，并估计y 的预报值.（2）现准备勘探新井()71,25，若通过1，3，5，7号并计算出的ˆb ，ˆa 的值（ˆb，ˆa 精确到0.01）相比于（1）中的b ，a ，值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井()61,y ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（3）设出油量与勘探深度的比值k 不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X 的分布列与数学期望.20．（本小题满分12分）已知抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线22:1C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点．（1）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（2）过点P 作抛物线2C 的两条切线，A 、B 分别为两个切点，求PAB ∆面积的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数()()21x f x x ax a e -=+-⋅，其中a R ∈. （1）求函数()f x '的零点个数；（2）证明：0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件.22．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，圆C的参数方程为53x ty t⎧=-⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=,A B两点的极坐标分别为．(2,),(2,)2A B ππ（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 是圆C 上任一点，求PAB ∆面积的最小值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分) 已知函数()223f x x a x =+-+，()13g x x =-- （1）解不等式：()2g x <；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.参考答案一.选择题1--11ACACB CDCDB AC 二.填空题1314．（1）（4） 15．C 16.【选择填空解析】1．A 2．C解：由题意可知：{}1A x x = ，{|22}B x x =-<< ，由交集的定义可得：{|12}A B x x ⋂=<< ，表示为区间即()1,2 . 3．A 4．C解：由题意得圆心为(),0a 。

福建省厦门外国语学校2018届高三下学期第一次(开学)考试数学(理)试题+Word版含答案

厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数对应的点位于（） -1+iiA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合，，则（） (){|1}A x y lg x ==-{|2}B x x =<A B ⋂=A. B. C. D.()2,0-()0,2()1,2()2,2-3．已知向量，，且，则m =（）(1,)a m = (3,2)b =-()//a b b + A ． B ． C ． D ．23-238-84．若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（）10x y -+=()222x a y -+=a A. B. C. D.[]3,1--[]1,3-[]3,1-(][),31,-∞-⋃+∞5．甲、乙两人计划从A 、B 、C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（）A ． 3种B ． 6种C ． 9种D ．12种6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（）A. B.2π43+4+C. 88+7．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（） A ．2010B ．－1 C ．D ．2 12(第6题图)(第7题图)8．已知，则（）sin 32πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.C. D. - 12129.已知函数，且，则等于22,(n)n n f n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数，为偶数(n)(1)n a f f n =++1232014....a a a a +++（）A ．－2013B ．－2014C ．2013D ．201410．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理π斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随π机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数；最后再根据统计数估计的值，假如统计结果是，那么可以估(),x y m m π34m =计的值约为（） πA.B. C. D. 22747155116531711．已知双曲线的左,右焦点分别为,若双曲线上存在点,22221(0,0)x y a b a b-=>>12,F F P 使,则该双曲线的离心率范围为（）1221sin PF F aSIN PF F c∠=∠eA. （1,）B. （1,） C. （1,（1,]11+1112．已知函数若关于的方程有且仅有一个实数解，()122,0,log ,0.x a x f x x x ⎧⋅≤⎪=⎨>⎪⎩x ()()0f f x =则实数的取值范围是（）a A ． B ． C ． D ． (),0-∞()0,1()(),00,1-∞ ()()0,11,+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．锐角中角的对边分别是，若，且的面积为ABC ∆,,A B C ,,a b c 4,3a b ==ABC ∆，则________．c =14．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列四个命题中 ,a b ,αβ（1）若,则; （2）若,则; ,a a αβ⊥⊂αβ⊥//,a ααβ⊥a β⊥（3）若,则; （4）若,则. ,a βαβ⊥⊥//a α,a b αα⊥⊥//a b 其中所有真命题的序号是.15．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，,,,A B C D 甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖” A C 丙说：“两项作品未获得一等奖” 丁说：“是或作品获得一等奖” ,B D A D 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 __________． 16．已知平面图形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其ABCD 余各边均在此直线的同侧），且，则四边形面积的最2,4,5,3AB BC CD DA ====ABCD 大值为_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[]17.（本小题满分12分）等差数列的前n 项和为，已知，为整数，且{}n a n S 110a =2a .4n S S ≤（1）求的通项公式； {}n a （2）设，求数列的前n 项和. 11n n n b a a +={}n b n T18．（本小题满分12分）如图（1）五边形中，ABCDE ,//,2,ED EA AB CD CD AB ==,将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点150EDC ∠= EAD ∆AD PAD ∆P ABCD -为线段的中点，且平面.M PC BM ⊥PCD （1）求证：平面.//BM PAD （2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. ,PC AB 12BM PDB19．（本小题满分12分）某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：（参考公式和计算结果：，，，） 1221ˆni i i n i i x y nxy b x nx==-=-∑∑ˆˆa y bx =-4221194i i x -==∑421211945i i i x y --==∑（1）1~6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为，求6.5y x a =+a 的值，并估计的预报值.[y （2）现准备勘探新井，若通过1，3，5，7号并计算出的，的值（，精()71,25ˆbˆa ˆb ˆa 确到0.01）相比于（1）中的，，值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井b a ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？()61,y （3）设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中k 任意勘探4口井，求勘探优质井数的分布列与数学期望.X 20．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点在抛物线上，点21:2C x py =22:1C y x =+P 是抛物线上的动点．1C （1）求抛物线的方程及其准线方程；1C （2）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值． P 2C A B PAB ∆21．（本小题满分12分）已知函数，其中. ()()21x f x x ax a e -=+-⋅a R ∈（1）求函数的零点个数；()f x '（2）证明：是函数存在最小值的充分而不必要条件. 0a ≥()f x22．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，（t 为参数），在以原点OxoyC 53x ty t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为x l，两点的极坐标分别为．cos()4πρθ+=,A B (2,),(2,)2A B ππ（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程； C l （2）点是圆上任一点，求面积的最小值． P C PAB ∆23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分) 已知函数， ()223f x x a x =+-+()13g x x =--（1）解不等式：；()2g x <（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围. 1x R ∈2x R ∈()()12f x g x =a厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试数学（理科）试题参考答案一.选择题1--11ACACB CDCDB AC 二.填空题13 14．（1）（4） 15．C 16.【选择填空解析】1．A 2．C解：由题意可知：，，{}1A x x ={|22}B x x =-<<由交集的定义可得：，表示为区间即 . {|12}A B x x ⋂=<<()1,23．A 4．C解：由题意得圆心为。

厦门市2018-2019学年度第一学期高三质检理科数学试卷

1 1 （2）过点 P (1, 0 ) 作 l 的垂线交 C 于 A ， B 两点，点 A 在 x 轴上方，求 PA − PB ．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
= ) ax + 2 ，不等式 f ( x ) ≤ a 的解集为 {x −2 ≤ x ≤ 0} ．函数 f ( x
（1）求 a 的值；（2）求证：对任意 x ∈ R ，存在 m > 1 ，使得不等式 f ( x − 2) + f (2 x ) ≥ m +
2 2 2
（1）求角 C ；（2）若 c = 2 ，求 3b − a 的取值范围．
18．（ 12 分）已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n= 2an − n − 2 ．（1）求证： {a n + 1}是等比数列；（2）数列 {bn } 满足 bn =
log 2 (an + 1) 1 ，数列 {c n } 满足 c n = bn + ，求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn ． log 2 (an +1 + 1) bn
= {x | x + x − 6 ≤ 0}, N = {x | x > 0} ，则 M N = 1．已知集合 M
2
A． (0, 2]
B． [ −3, 2]
C． ( 0,3]
D． [ −3, +∞ )
2．设 a ∈ R，则“ a = −1 ”是“直线 ax + y − 1 = 0 与直线 x + ay + 5 = 0 平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．实数 x, y 满足 x > y ，则下列不等式成立的是 y B． 2 − x < 2 − y C． lg( x − y ) > 0 D． x 2 > y 2 A． < 1 x x ≥ 0, 4．设 x, y 满足约束条件 y ≤ x, 则 z= x + 3 y 的最大值为 2 x + y − 9 ≤ 0, 9 A． 0 B． C． 12 D． 27 2 5．已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有一点 P (sin 47°, cos 47°) ，则 sin(α − 13°) = A．

福建省厦门外国语学校2018届高三下学期第一次(开学)考试数学(理)试题Word版含解析

福建省厦门外国语学校2018届高三下学期第一次（开学）考试数学（理）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题）一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．已知集合(){|1}A x y lg x ==-， {|2}B x x =<，则A B ⋂= （）A. ()2,0-B. ()0,2C. ()1,2D. ()2,2-3．已知向量()1,a m =，()3,2b =-，且()//a b b +，则m =（）AC4．若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是 ( )A.B. C. D.5．甲、乙两人计划从A 、B 、C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（）A ． 3种B ． 6种C ． 9种D ．12种6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（）A.B.C.D. 7．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A. 2010B. －1C.D. 2 8．已知，则（）A. B. C. D. - 9．已知函数，且，则等于（） A. －2013 B. －2014 C. 2013 D. 2014 10．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，假如统计结果是，那么可以估计的值约为（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A.B.C.D.11,右焦点分别为12,F F,若双曲线上存在点P,使则该双曲线的离心率e范围为（）A. （B. （C. （D. （12．x的方程()()0f f x=有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是（）A．(),0-∞ B．()0,1 C．()(),00,1-∞ D．()()0,11,+∞第II卷（非选择题）二、填空题13．锐角ABC∆中角,,A B C的对边分别是,,a b c，若4,3a b==，且ABC∆的面积为c=________．14．设,a b是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列四个命题中（1）若,a aαβ⊥⊂,则αβ⊥;（2）若//,aααβ⊥,则aβ⊥;（3）若,aβαβ⊥⊥,则//aα;（4）若,a bαα⊥⊥,则//a b.其中所有真命题的序号是 .15．学校艺术节对同一类的,,,A B C D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“A作品获得一等奖”；乙说：“C作品获得一等奖”丙说：“,B D两项作品未获得一等奖” 丁说：“是A或D作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________．16．已知平面四边形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且，则平面四边形面积的最大值为__________．三、解答题17．等差数列的前n 项和为，已知，为整数，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.18．如图（1）五边形ABCDE中，,//,2,ED EA AB CD CD AB==150EDC∠=,将EAD∆沿AD折到PAD∆的位置，得到四棱锥P ABCD-，如图（2），点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD.（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若直线PCAB与所成角的正切值为12，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值.19．某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：（参考公式和计算结果：4221194iix-==∑，421211945i iix y--==∑）（1）1~6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为 6.5y x a=+，求a的值，并估计y的预报值.（2）现准备勘探新井()71,25，若通过1，3，5，7号并计算出的ˆb，ˆa的值（ˆb，ˆa精确到0.01）相比于（1）中的b，a，值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井()61,y，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（3）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望.20．已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值． 21．已知函数()()21x f x x ax a e -=+-⋅，其中a R ∈. （Ⅰ）求函数()f x '的零点个数；（Ⅱ）证明： 0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件.22．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，（t 为参数），在以原点O 为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，两点的极坐标分别为．（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）点是圆上任一点，求面积的最小值． 23．已知函数，（1）解不等式：；（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.福建省厦门外国语学校2018届高三下学期第一次（开学）考试数学（理）答案1．A 【解析】因为,所以对应的点位于第一象限，故选A.2．C【解析】解：由题意可知： {}1A x x = ， {|22}B x x =-<< ，由交集的定义可得： {|12}A B x x ⋂=<< ，表示为区间即()1,2 .本题选择C 选项.3．A【解析】试题分析：()1,a m =，()3,2b =-，4)2()2(3,//),2,4(⨯-=-⨯∴-=+∴m b a m ba ，解得故选 A.考点：向量共线的条件.4．C 【解析】圆的圆心，半径为，直线与圆有公共点，则，，解得实数的取值范围是，故选C.5．B【解析】试题分析：因为每一个有3种选择，A,B;A,C;B,C;那么对于甲和乙的所有的选法共有339⨯=种，但是要求甲乙不能选景点不全相同，那么可知景点相同的选法有3种，故间接法可知共有9-3=6种，故选B.考点：本试题考查了排列组合的运用。

2018年厦门市理科数学高考模拟试卷修订(一)

厦门市2018届高中毕业班理科数学模拟试题（一）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.设全集为R ，集合{}290A x x =-<，{}15B x x =-<<,则AB =( ）A ．(-3,-1)B ．(-3,5)C ．（-1，3）D ．(3,5) 2.设复数z 满足2ii z+=,则复平面内表示z 的点位于( ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 角α的终边与单位圆交于点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-552,55，则=α2cos （） A ．51B ．51-C ．53D ．53- 4.设{}n a 是正项等比数列，n S 为其前n 项和，若14()m m m a a m N *+=∈，则4S =（）A ．30B ．186 C.D．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是几个棱锥与圆锥构成的组合体的三视图，则该几何体的体积为（） A ． ()8123π+ B ． ()813π+ C ．()4233π+ D ． ()423π+ 6．已知实数,x y 满足0260x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2x y x ++的最小值为（）A ． 1B ． 3C ． 4D ． 67.双曲线E ：()222104x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆与E 的渐近线相切点P ，若1PF =则E 的离心率等于( ） A．3 B．7C.2 D8.函数()()22cos102xf x x ωωω=-+>，将()f x 的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位，所得函数()g x 的部分图象如图，则ϕ等于（A ．12πB ．6π C ．8π D ．3π9.若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( )A ．a b c >>B ．b c a >>C .a c b >>D ．c b a >>x10. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于 A ．5000~6000元B ．6000~8000元C ．8000~9000元D ．9000~16000元11.设抛物线2:4C x y =的焦点为F ,A B 、为C 上纵坐标不相等的两点，满足+4AF BF =，则线段AB 的垂直平分线被y 轴截得的截距为( )A ．2B ．3C .4D ．5 12. 已知函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭3201720171x xx -=+-+.若(sin cos )(sin 2)2f f t θθθ++-<对R θ∀∈恒成立，则t 的取值范围是( ) A ．(-∞ B ．)+∞ C . (),2-∞ D ． ()2,+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()2,3a =， ()1,2b =-，则向量a 在向量b 方向上的投影为______．14.26(1)x y -+的展开式中，42x y 的系数为．15.长方体1AC 中，4,6AB AD ==，12AA =.若过直线1BD 的平面与该正方体的面相交，交线围城一个菱形，则该菱形的面积为___________. 16.已知菱形ABCD ，E 为AD 的中点，且3=BE ，则菱形ABCD 面积的最大值为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答. 17.（12分）已知数列{}n a ， {}n b 的前n 项和分别为n S ， n T ， 21n n nb a -=+，且1222n n n S T n ++=+-．（1）求n S 和n T ；（2）求数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n R ．18．（12分）如图(1)，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过A 、B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，AB=AE =2，CD =5, DE =1.将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，得空间几何体ADE ﹣BCF ，如图(2)．1A（1）若AF ⊥BD ，证明：DE ⊥平面ABFE ；（2）若DE ∥CF ，CDAB 上一点P ，满足CP 与平面ACD，确定点P 位置． 19．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的下顶点为点D ，右焦点为()21,0F .延长2DF 交椭圆C 于点E ，且满足223DF F E =. （1）试求椭圆C 的标准方程；（2）,A B 分别是椭圆长轴的左右两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线,AM AN 的斜率分别是12,k k ．若直线MN过点,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，求证：1216k k ⋅=- 20．（12分）19．为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数x 与每棵作物的产量y 之间的关系进行研究，收集了11块实验田的数据，得到下表：技术人员选择模型21y a bx=+作为y 与x 的回归方程类型，令2i i u x =，1i i v y =，相关统计量的值如下表：由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示：图2图1BAB F E Fx（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号（给出判断即可，不必说明理由）；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到v 关于u 的线性回归方程v u βα=+中的0.03β=，求y 关于x 的回归方程；（3）利用（2）得出的结果，计算当单位面积播种数x 为何值时，单位面积的总产量w xy =的预报值最大？（计算结果精确到0.01）附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为1221ni i i nii u v nu vunuβ==-⋅=-∑∑，v u αβ=- 5.48≈．21．（12分）已知函数 ()()222,x f x xe m x x =++. （1）若1m e>-，求函数的单调区间；（2）函数()()442,xg x f x e m mx =-++，记函数()g x 在()0,+∞上的最小值为A .若10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求证： 22e A -<<-.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=,记曲线1C 和2C 在第一象限内的交点为A . （1）写出曲线1C 的极坐标方程和线段OA 的长；（2）已知点B 在曲线2C 上，直线OB 交1C 于点D .若512AOB π∠=，求ABD ∆的面积．厦门市2018届高中毕业班模拟试题（一）详细解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{}290A x x =-<，{}15B x x =-<<,则AB =( ）A ．(-3,-1)B ．(-3,5)C ．（-1，3）D ．(3,5) 1.【解析】答案选B.注意交并的区别. 2.设复数z 满足2ii z+=,则复平面内表示z 的点位于( ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.【解析】答案选D.本题考查复数的运算，化简得212iz i i+==-,复平面内表示z 的点位于第四象限. 3. 角α的终边与单位圆交于点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-552,55，则=α2cos （） A ．51B ．51-C ．53D ．53- 3.【解析】答案选D.依题意得cos α=23cos22cos 15αα=-=-.4.设{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若14()m m m a a m N *+=∈，则4S =（）A ．30B ．186 C.D．4.【解析】答案选C.140m m m a a +=>，则10,0a q >>，不妨令1,2m m ==，得1222344a a a a =⎧⎨=⎩，12a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩4S =. 5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．()8123π+ B ． ()813π+ C ． ()4233π+ D ． ()423π+5.【解析】答案选A.该几何体是由两个小直三棱锥和一个圆锥组成，体积为()1182224412333V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+.6．已知实数,x y 满足0260x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2x y x ++的最小值为（）A ． 1B ． 3C ． 4D ． 6 6.【解析】答案选B.画出可行域如下图所示，由图可知目标函数()2210y x y x x --++=+-在点()2,2处取得最小值为3．：24a 右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆与E 的渐近线相切点P ，若18PF =,则E 的离心率等于( ）A B7.【解析】答案选D .如图依题意：2b =，由余弦定理得2222cos 8a c ac θ+-=，其中cos acθ=-则222382a cb ⎧+=⎨=⎩1a =，c =e =xx8.已知函数()()22cos 102xf x x ωωω=-+>，将()f x 的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位，所得函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ的值为（） A ．12πB ．6π C ．8π D ．3π8.【解析】答案选A.依题意()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎫=-=-> ⎪⎝⎭,如图()f x 的周期为π,()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又5212g π⎛⎫= ⎪⎝⎭,则有5sin 216612k πππϕϕπ⎛⎫--=⇒=+ ⎪⎝⎭, 02πϕ<<Q ,则12πϕ=.9.若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( )A ．a b c >>B ．b c a >>C .a c b >>D ．c b a >> 9.【解析】答案选D.依题意6141log 2,1lg 2,1log 2a b c =-=-=-, 又614log 2lg 2log 2>>,则6141log 21lg 21log 2-<-<-.10. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于 A ．5000~6000元 B ．6000~8000元 C ．8000~9000元 D ．9000~16000元10.【解析】答案选C.关注调整前图表中的临界值：x当当月工资、薪金所得为8000元时，个税调整后个税为30元，可少交纳此项税款315元而个税为当月工资、薪金所得的递增分段函数，排除A,B,D,估计收入在8000~9000元.11.设抛物线2:4C x y =的焦点为F ,A B、为C 上纵坐标不相等的两点，满足+4AF BF =，则线段AB 的垂直平分线被y 轴截得的截距为( )A ．2B ．3C .4D ．511.【解析】答案选B.依题意设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为y kx b =+，与抛物线联立：24y kx b x y=+⎧⎨=⎩2440x kx b ⇒--=，124x x k +=，如图梯形的中位线+22AF BF MN ==，得线段AB 中点()2,1M k ，则其中垂线l 的方程为()121y x k k =--+化简得13y x k=-+,其纵截距为3.12. 已知函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭3201720171x xx -=+-+.若(sin cos )(sin 2)2f f t θθθ++-<对R θ∀∈恒成立，则t 的取值范围是( ) A ．(-∞ B ．)+∞ C . (),2-∞ D ． ()2,+∞12.【解析】答案选B.依题意 112y f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数且单调递增，得递增函数()()1F x f x =-的对称中心为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，当121x x +=时， ()()120F x F x +=，当121x x +<时， ()()120F x F x +<，由(sin cos )(sin 2)2f f t θθθ++-<得(sin cos )1(sin 2)10f f t θθθ+-+--<，即(sin cos )(sin 2)0F F t θθθ++-<，得sin cos sin 21t θθθ++-<，即()1sin 2sin cos t θθθ+>++，三角换元令sin cos k θθ=+，则22,t k k k ⎡>+-∈⎣，则t >.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()2,3a =， ()1,2b =-，则向量a 在向量b 方向上的投影为______． 13..由向量()2,3a =， ()1,2b =-，可得264,a b ⋅=-+=∴向量a 在向量b 方向的投影为5a bb ⋅==14.26(1)x y -+的展开式中，42x y 的系数为．14.【解析】答案为226490C C =法一:依题意262226(1)(1)(1)...(1)x y x y x y x y -+=-+-+-+，若欲得42x y ，可各取两个2x ， y -和1，42x y 的系数为22264290C C C =.法二：()()()64212110446611...1...x y x C xy C x y ⎡⎤--=--+-+⎣⎦，二次展开得42x y 的系数为226490C C =15.长方体1111ABCD A B C D -中，4,6AB AD ==，12AA =.若过直线1BD 的平面与该正方体的面相交，交线围城一个菱形，则该菱形的面积为___________.15.【解析】答案为 .如图可得1BD =AD ，11B C 三等分点,EF ，使得12C E AF ==，则BF =1D EBF 另一对角线EF==形1D EBF 面积为.(由于1D C AD <，则点1E CC ∉)16.已知菱形ABCD ，E 为AD 的中点，且3=BE ，则菱形ABCD 面积的最大值为 .1A C1A16.【解析】答案为12. 设22AD AE a ==，如图ABE ∆中，余弦定理得259cos 44a θ=-，菱形ABCD面积24sin 44S a a a θ==412S a ==.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{}n a ， {}n b 的前n 项和分别为n S ， n T ， 21n n n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-．（1）求n S 和n T ；（2）求数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n R ．17．【解析】（1）依题意可得113b a -=， 225b a -=，…， 21nn n b a -=+， ........... 1分∴n n T S - ()()1212n n b b b a a a =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ..................................... 2分()2222n n =+++⋅⋅⋅+ ............................................................. 3分122n n +=+-． .................................................................... 4分 ∵2n n n S S T =+ ()n n T S -- 2n n =-， ............................................... 5分∴22n n n S -=，21222n n n n T ++=+-................................................. 6分（2）∴1n a n =-． ................................................................. 7分212n n n n b a n =+++=， ........................................................... 8分122n n nb n =+， 212 (222)n n R nn =++++， ......................................................... 9分 2311121...222222n n n n n nR +-=+++++， 121111 (2222)122n n n n nR +⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭， ..............................................11分 222n n n R n ++-= ................................................................. 12分A18.（12分）如图(1)，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过A 、B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．AB=AE =2，CD =5，已知DE =1，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，得空间几何体ADE ﹣BCF ，如图(2)．（1）若AF ⊥BD ，证明：DE ⊥平面ABFE ；（2）若DE ∥CF ，CD， AB 上一点P ，满足CP 与平面ACD所成角的正弦值为10，求点P 的位置． 18.【解析】证明：（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF ⊥BE ，由已知得AF ⊥BD ，BE ∩BD =B ，∴AF ⊥平面BDE ，又DE ⊂平面BDE ，∴AF ⊥DE ，又AE ⊥DE ，AE ∩AF =A ，∴DE ⊥平面ABFE ，（2）在图2中，AE ⊥DE ，AE ⊥EF ，DE ∩EF =E ，即AE ⊥面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作DM //EF 交CF 于点M ，连接CE ，易得2DM =，1CM =，则DC ⊥CF ，则6CDM π∠=， 2CE =，过E 作EG ⊥EF 交D C 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2A B C D-1(2,1,3),(2,2AC AD =-=-- 设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2012022x y x y z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩ 取1x =得(1,n =-设()(2,,0),02P m m ≤≤，得(2,1,CP m =- 设CP 与平面ACD 所成的角为,θ图2图1BAB F EFyzx4sin cos,.103CP n mθ=<>==⇒=所以点P为AB上靠近点B的三等分点．19．（12分）已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的下顶点为点D，右焦点为()21,0F.延长2DF交椭圆C于点E，且满足223DF F E=.（1）试求椭圆C的标准方程；（2）,A B分别是椭圆长轴的左右两个端点，,M N是椭圆上与,A B均不重合的相异两点，设直线,AM AN的斜率分别是12,k k．若直线MN过点2⎛⎫⎪⎪⎝⎭，求证：1216k k⋅=-19.解：（1）椭圆C的下顶点为()0,D b-，右焦点()21,0F，点E的坐标为(),x y.∵223DF F E=，可得223DF F E=uuu r uuu r，又()21,DF b=uuu r，()21,F E x y=-uuu r，∴4,33xby⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22221x ya b+=可得22224331ba b⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又221a b-=，解得22a=，1b=，即椭圆C的标准方程为2212xy+=.x(2)设直线:2MN x my =+1122(,),(,)M x y N x y，由22222x my x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得223(2)02m y +-=，于是()12122322y y y y m +=⋅=-+，12k k ⋅==()()2222332212396322222m m m m m --+===---+++．20. 19．为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数x 与每棵作物的产量y 之间的关系进行研究，收集了11块实验田的数据，得到下表：技术人员选择模型21y a bx =+作为y 与x 的回归方程类型，令2i i u x =，1ii v y =，相关统计量的值如下表：由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示：（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号（给出判断即可，不必说明理由）；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到v 关于u 的线性回归方程v u βα=+中的0.03β=，求y 关于x 的回归方程；（3）利用（2）得出的结果，计算当单位面积播种数x 为何值时，单位面积的总产量w xy =的预报值最大？（计算结果精确到0.01）附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为1221ni i i nii u v nu vunuβ==-⋅=-∑∑，v u αβ=-5.48≈．解：（1）可疑数据为第10组 ------------------------------------------------------------------------------------------------- 2分（2）剔除数据（10，0.25）后，在剩余的10组数据中11101-600100501010i i u u u =-==∑=， 1011144441010i i v v v =--===∑ -------------------------------------- 4分所以ˆ0.034500.03 2.5u v α=-⋅=-⨯= ----------------------------------------------------------------------- 6分所以v 关于u 的线性回归方程为ˆ0.03 2.5v u =+ 则y 关于x 的回归方程为21ˆy2.50.03x=+ -------------------------------------------------------------------- 7分（3）根据（2）的结果并结合条件，单位面积的总产量w 的预报值22.5.03ˆ0xw x+= ------------------------------------------------------------------------------------------- 8分 12.50.03x x=+1.833≤=≈ --------------------------------------------------------------------- 10分当且仅当2.50.03x x=时，等号成立，此时9.133x ==≈，即当9.13x =时，单位面积的总产量w 的预报值最大，最大值是1.83 ------------------------------- 12分 21．已知函数 ()()222,x f x xe m x x =++. （1）若1m e>-，求函数的单调区间；（2）函数()()442,xg x f x e m mx =-++，记函数()g x 在()0,+∞上的最小值为A .若10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求证： 22e A -<<-. 21.【解析】：（1）由题意知， ()()222x f x xe m x x =++， ∴()()()()222121x x x f x e xe m x x e m =+++=++'，1m e ->-，①当0m ≥时，0x e m +>，()01f x x >⇒>-'，()01f x x <⇒<-'()f x 在(),1-∞-上递减，()f x 在()1,-+∞上递增；②当10m e --<<时，000ln()1xe m x m +=⇒=-<-，()01f x x >⇒>-'或ln()x m <-， ()0ln()1f x m x <-'⇒<<-；()f x 在()ln(),1m --上递减，()f x 在()1,-+∞和(),ln()m -∞-上递增.（2）由题意知， ()()22444x x g x xe m x x e m =++-+， ∴()()()()()224222222xxxg x e x e m x x e m x =+-++=-++'.令()()h x g x ='，∴()220xh x xe m +'=>，则()g x '在()0,+∞上单调递增，又()()0420,160g m g m ''=-<=>，则存在()0,1t ∈使得()0g t '=成立， ∵()0g t '=，∴()12t t e m t -=-+.当()0,x t ∈时， ()0g t '<，当(),x t ∈+∞时， ()0g t '>， ∴()()()()()22min 2422ttg x g t t e m t e t t ==-++=-+-.令()()22t k t e t t =-+-，则()()210t k t e t t '=---<， ∵01t <<，∴()()()10k k t k <<，∴22e A -<<-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=,记曲线1C 和2C 在第一象限内的交点为A . （1）写出曲线1C 的极坐标方程和线段OA 的长；（2）已知点B 在曲线2C 上，直线OB 交1C 于点D .若512AOB π∠=，求ABD ∆的面积．22.【解析】：（1）依题意由曲线1C ：2y x =， .......................................... 1分得22sin cos ρθρθ=，即2sin cos ρθθ=， ........................................... 3分联立方程组：2sin cos 4cos ρθθρθ⎧=⎨=⎩，得 6πθ=，42OA ρ==⨯=5分（另解：联立2y x =和224x y x +=，得3A x =，A y =，OA =（2）设1(,)B ρθ2(,)D ρθ，由（1）得51264πππθ=-=，................................ 6分分别代入12,C C中，得1ρ=2ρ，12BD ρρ=-=， ...................... 8分ABD AOB AOD S S S ∆∆∆=-15sin 212OA BD π==................................... 10分23．选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x x a =++.（1）若不等式()21f x a ≥-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()21f x a ≤-的解集为[],3b b +，求实数,a b 的值. 23．【解析】：（1）对x ∀∈R ，()()f x x x a x x a a =++≥-+=，当且仅当()0x x a +≤时取等号，故原条件等价于21a a ≥-，即21a a ≥-或()211a a a ≤--⇒≤，故实数a 的取值范围是(],1-∞.（2）由210a x x a -≥++≥，可知210a -≥，所以12a ≥，故0a -<. 故()2,,,0,2,0x a x a f x a a x x a x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩的图象如图所示，由图可知()2,221,52321.2a b a a b a a b =⎧--=-⎧⎪⎪⇒⎨⎨++=-=-⎪⎩⎪⎩.。

福建省厦门市2018届高三上学期期末质检理科数学试题及答案解析

厦门市2018届高三年级第一学期期末质检理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}10A x x x =+>，{B x y ==，则A B =I （）A ．{}0x x > B ．{}1x x ≥ C ．{}01x x <≤ D ．R2．命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是（）A ．32000,10x x x ∃∈-+<RB ．32000,10x x x ∃∈-+≥RC ．32,10x x x ∀∈-+>RD ．32,10x x x ∀∈-+≤R 3．实数,x y 满足0x y >>，则（）A ．11x y > BC ．1122x y⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2x xy <4．若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若,m αββ⊥⊥，则m α∥ B ．若,m n m α⊥∥，则n α⊥C ．若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥D ．若,,m m n βααβ⊂=∥I ，则m n ∥5．已知实数,x y 满足1,20,21,x y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值等于（）A ．-7B ．52-C ．2D ．3 6．如图所示，函数26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象与坐标轴分别交于点,,D E F ，则DEF ∆的面积等于（）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 7．已知正方形ABCD 的边长为2，对角线相交于点O ，P 是线段BC 上一点，则OP CP ⋅uu u r uu r 的最小值为（）A ．-2B ．12-C ．14- D ．2 8．函数()[]()2cos 2,21x xf x x x =∈-+的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．9．ABC ∆中，23B π∠=，,A B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，若()0BA BC AC +⋅=uu r uu u r uuu r，则E 的离心率为（）A 1B 1CD 10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入10m =，则输出的S =（） A ．100 B ．140 C ．190 D ．25011．若锐角ϕ满足sin cos ϕϕ-=，则函数()()2sin f x x ϕ=+的单调增区间为（） A ．()52,21212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()72,21212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 12．已知函数()()22log ,02,log 4,24,x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩若()12f a f a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（）A ．170,2,22⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U B ．1770,,242⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭UC．72,2⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦U D．77,42⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦U 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z 满足()1i 2i z -=，则z = ．14．设等比数列{}n a 满足11a =，356a a +=，则579a a a ++= ． 15．直线()1y k x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，若163AB =，则k = ． 16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，单位圆O 与,x y 轴正半轴的交点分别为,A D ，圆O 上的点C 在第一象限.（1）若点C 的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，延长CD 至点B ，使得2DB =，求OB 的长；（2）圆O 上的点E 在第二象限，若23EOC π∠=，求四边形OCDE 面积的最大值.18．如图，直角梯形BDFE 中，EF BD ∥，BE BD ⊥，EF =ABCD 中，AB CD ∥，AC BD ⊥，24AB CD ==，且平面BDFE ⊥平面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面BDFE ；（2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值.19．数列{}n a 满足122311111n n na a a a a a n ++++=+L . （1）若数列{}n a 为公差大于0的等差数列，求{}n a 的通项公式；（2）若()11nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S . 20．已知点()1F，圆(222:16F x y +=，点M 是圆上一动点，1MF 的垂直平分线与2MF 交于点N . （1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，过点()0,1P 且斜率不为0的直线l 与E 交于,A B 两点，点B 关于y 轴的对称点为B '，证明直线AB '过定点，并求PAB '∆面积的最大值.21．已知函数()()()2xf x ax x a e a -=++∈R .（1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为3e，求实数a 的值；（2）若对任意的0a ≤，()()ln 1f x b x ≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线:OA θα=，其中02πα<<.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求OA OB ⋅的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲函数()12f x x x a =-++.（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥；（2）若()f x 的最小值为2，求实数a 的值.厦门市2018届高三年级第一学期期末质检理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:BCBDC 6-10:ACADC 11、12：BD二、填空题13．28 15．．1003π三、解答题17．解：（1）由点1,22C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在单位圆上，可知30AOC ∠=︒，由图象可得60COD ∠=︒；在CDB ∆中，1OD =，120CDB ∠=︒，2DB =；由余弦定理得2222cos120OB OD DB OD DB =+-⋅⋅︒；解得OB ；（2）设62COD ππθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，23DOE πθ∠=-1sin 2COD S θ∆=，12sin 23EOD S πθ∆⎛⎫=- ⎪⎝⎭四边形OCDE 的面积()112sin sin 22362EOD COD S S S πππθθθθ∆∆⎛⎫⎛⎫=+=+-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭113sin sin sin 22244θθθθθ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦6πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∵62ππθ<<，∴2363πππθ<+<；当62ππθ+=，即3πθ=时，四边形OCDE 的面积S 18．证明：（1）∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，BE BD ⊥，平面BDFE I 平面ABCD BD = ∴BE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴AC BE ⊥，又∵AC BD ⊥，且BE BD B =I ， ∴AC ⊥平面BDFE .解：（2）设AC BD O =I ，∵四边形ABCD 为等腰梯形，2DOC π∠=，24AB CD ==，∴OD OC ==OB OA ==∵FE OB ∥，∴四边形BOFE 为平行四边形， ∴OF BE ∥，又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ， ∴FBO ∠为BF 与平面ABCD 所成的角， ∴4FBO π∠=，又∵2FOB π∠=，∴OF OB ==以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()B，()0,D，(0,0,F，()C，()A(DF =uuu r，)CD =uu u r ，∵AC ⊥平面BDFE ，∴平面BDF 的法向量为()1,0,0，设平面DFC 的一个法向量为(),,n x y z =r，由0,0,DF n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r r uu u r r得0,0,+== 令2x =得，()2,2,1n =-r，2cos ,3n AC ==r uuu r . ∴二面角B DF C --的余弦值为23. 19．解：（1）由已知：122311111n n na a a a a a n ++++=+L 当1n =时，12112a a =①，即122a a = 当2n =时，12231123a a a a +=② ②-①，得23116a a =；即236a a = 设等差数列{}n a 公差为d ，由122326a a a a =⎧⎨=⎩，有()()222226a d a a d a -=⎧⎪⎨+=⎪⎩因为0d >，解得221a d =⎧⎨=⎩，则()22n a a n d n =+-= （2）由已知：122311111n n na a a a a a n ++++=+L ③ 当2n ≥时，122311111n n n a a a a a a n--+++=L ④ ③-④得：当2n ≥时，111n n na a n +=+，即()11n n a a n n +=⋅+，结合122a a =，得：()()11n n a a n n n +=⋅+∈*N()()()1111n nn n n b a a n n +=-⋅=-+()()()2121212221n n b b n n n n -+=-⋅-⋅+⋅+()221214n n n n =+-+= ()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++++L 484n =+++L()()44212n n n n +==+20．解：（1）由已知得：1NF NM =，所以1224NF NF MN NF +=+=又12F F =N 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以点N 的轨迹方程是22142x y +=. （2）设直线():10AB y kx k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,B x y '-，联立直线AB 与椭圆得22241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，得()2212420k x kx ++-=，∴()21221228140,4,12212k k x x k x x k ⎧∆=+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩∴1212AB y y k x x '-=+，所以直线()121112:y y AB y y x x x x -'-=-+，所以令0x =，得122112x y x y y x x +=+，()()122112121211212x kx x kx kx x x x x x +++==+=++，所以直线AB '过定点()0,2Q ，所以PAB '∆的面积12221212PQB PQA k S S S x x k'∆∆=-=+=+2122k k=≤+，当且仅当2k =±时，等号成立.所以PAB '∆面积的最大值是2. 21．解：（1）由题意，()()()221x xf x ax e ax x a e --'=+-++ ()2121x e ax a x a -⎡⎤=-+-+-⎣⎦()()11xe x ax a -=--+-. （ⅰ）当0a =时，()()1xf x e x -'=--，令()0f x '>，得1x <；()0f x '<，得1x >，所以()f x 在(),1-∞单调递增，()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()131f e e=≠，不合题意. （ⅱ）当0a >时，111a-<，令()0f x '>，得111x a -<<；()0f x '<，得11x a<-或1x >，所以()f x 在11,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()2131a f e e+==，得1a =. 综上所述1a =. （2）令()()2xx g a exx a xe --=++，(],0a ∈-∞，当[)0,x ∈+∞时，()20xex x -+≥，则()()ln 1g a b x ≤+对(],0a ∀∈-∞恒成立等价于()()()0ln 1g a g b x ≤≤+，即()ln 1xxeb x -≤+，对[)0,x ∈+∞恒成立.（ⅰ）当0b ≤时，()0,x ∀∈+∞，()ln 10b x +<，0xxe ->，此时()ln 1xxeb x ->+，不合题意.（ⅱ）当0b >时，令()()ln 1xh x b x xe -=+-，[)0,x ∈+∞，则()()()2111x x xxb be x h x e xe x x e--+-'=--=++，其中()10x x e +>，[)0,x ∀∈+∞，令()[)21,0,xp x be x x =+-∈+∞，则()h x 在区间[)0,+∞上单调递增，①1b ≥时，()()010p x p b ≥=-≥，所以对[)0,x ∀∈+∞，()0h x '≥，从而()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以对任意[)0,x ∈+∞，()()00h x h ≥=，即不等式()ln 1xb x xe -+≥在[)0,+∞上恒成立.②01b <<时，由()010p b =-<，()10p be =>及()p x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00p x =，且()00,x x ∈时，()00p x <. 从而()00,x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间()00,x 上单调递减，则()00,x x ∈时，()()00h x h <=，即()ln 1xb x xe -+<，不符合题意.综上所述，1b ≥.22．解：（1）将1C的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+=化简得2221sin ρθ=+（2）根据题意：射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-.1OA ρ==2OB ρ===则12OA OB ρρ⋅=⋅==22241sin 1cos 32αα≥=+++，当且仅当22sin cos αα=，即4πα=时，取得最小值43. 故OA OB ⋅的最小值为43. 23．解：（1）依题意：()1121f x x x x +-=-++12221x x x +-=-++()()22213x x ≥--+=，当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立. （2）①当12a >-，即2a >-时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪+->⎪⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =.②当12a <-，即2a <-时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪+-≥-⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭，故6a =-. ③当12a=-时，即2a =-时，()31f x x =-有最小值0，不符合题意，舍去.。

2018年福建省厦门市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

，则 z＝|x+3y|的最大值是（）
A．
B．1
C．
D．2
7．（5 分）双曲线
的左焦点为 F1，过右顶点作 x 轴的
垂线分別交两渐近线于 A，B 两点，若△ABF1 为等边三角形，则 C 的离心率是（）
A．
B．
C．2
D．
8．（5 分）如图，某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，该棱锥的体积为，
C．（﹣∞，﹣2）∪[3，+∞）
D．（2，3]
2．（5 分）复数 z 满足（2+i）z＝5，则|z+i|＝（）
A．
B．2
C．
D．2
3．（5 分）等差数列{an}中，a5＝1，a1+a7+a10＝a4+a6，则 S10＝（）
A．﹣
B．
C．5
D．
4．（5 分）袋中装有 2 个红球，3 个黄球，有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 球，
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园合作进行樱桃销售，为了解该地区果园的樱桃销售量情况，现从中随机抽取 60 个樱桃果园，统计各果园 2017 年的销售量（单位：万斤）．得到下面的频率分布直方图．
（1）从样本中销售量不低于 9 万斤的果园随机选取 3 个，求销售量不低于 10
万斤的果园个数 X 的分布列及其数学期望；
（2）该电商经过 6 天的试运营，得到销售量（单位：万斤）情况统计表如下：
运营第 n
1
2
3
4
5
6
天
第 n 天电 1.21
1.31
1.45
1.71
2.02
2.54
商销售
量 yn 根据相关性分析，前 n 天累计总销售量 Tn 与 n 之间具有较强的线性相关关系，

2018届高三第一次(3月)质量检查数学理试题(小题解析) 含解析

厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查数学（理科）试题 2018.03本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：1. 已知集合{}2560A x x x =--≤，11B x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭0，则AB 等于A. [16]-，B. (16]，C. [1+)-∞，D. [23]，答案：B解析：集合{}16A x x =-≤≤，{}1B x x =>，所以，A B ＝(16]，2.已知复数iia z -+=1（其中i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数a 等于 A. 1- B. 0 C. 1D. 答案：C 解析：i i a z -+=1＝1(1)2a a i-++为纯虚数，所以，a ＝1 3. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若45A a b =︒==，，则B 等于A. 30︒B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒ 答案：D解析：由正弦定理，=，解得：sin B =，因为b ＞a ，故B ＝60︒或120︒4. 若实数x y ，满足条件1230x x y y x≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则1y z x =+的最小值为A.13B. 12C. 34D. 1答案：B解析：不等式所表示的平面区域如下图所示，1yz x =+0(1)y x -=--，表示平面区域内一点P （x ，y ）与点Q （－1,0）之间连线的斜率，显然直线BQ 的斜率最小，B （1,1），此时min 101112BQ z k -===+ 5.已知平面α⊥平面β，=l αβ，直线m α⊂，直线n β⊂，且m n ⊥，有以下四个结论：① 若//n l ，则m β⊥ ② 若m β⊥，则//n l③ m β⊥和n α⊥同时成立 ④ m β⊥和n α⊥中至少有一个成立其中正确的是A ．①③B ． ①④C ． ②③D ． ②④ 答案：B解析：如下图（1），m n ⊥，//n l ，则有m l ⊥，由面面垂直的性质，知m β⊥，故①正确；如图（2），可知②③不正确；由图（1）（2）（3）知④正确，故选B 。

高考数学试题-福建省厦门市厦门三中2018年高三一模试

福建省厦门市厦门三中2018年高三阶段训练文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(共60分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置。

2．第Ⅰ卷共2页。

答题时，考生须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

在试卷上作答无效。

参考公式：球的表面积公式：24S R π=，其中R 是球的半径；圆锥的侧面积公式：S rl π=，其中r 为圆锥底面半径，l 为圆锥母线长。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数21i+等于 (A)1i +(B)1i - (C)22i + (D)22i -(2)已知数列{}n a 为等差数列，且377,3,a a ==则10a 等于 (A)0 (B)1(C)9(D)10(3)已知sin α=，则44sin cos αα-的值为 (A) 15-(B)35-(C)15(D)35(4)已知向量(1,2)a =，向量(,2)b x =-，且()a a b ⊥-，则实数x 等于 (A)9(B)4(C)0(D)4-(5)如图，函数()y f x =的图象在点(5,(5))P f 处的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f '+=(A)12(B) 1 (C)2 (D)0(6)若集合2{1,},{2,4}A m B =，则"2"m =是"{4}"A B =的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(7)已知直线,,l m 平面,αβ、且,,l m αβ⊥⊂给出下列四个命题：①若//,αβ则;l m ⊥②若,l m ⊥则//;αβ③若,αβ⊥则//;l m ④若//,l m 则;αβ⊥ 其中真命题是 (A)①② (B)①③ (C)①④ (D)②④ (8)某校举行演讲比赛，9位评委给选手A 打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x ) 无法看清，若统计员计算无误，则数字x 应该是 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2(9)某器物的三视图如图所示，根据图中数据可知该器物的表面积为 (A)4π (B)5π (C)8π (D)9π(10)已知0,0,lg2lg8lg2,x x x y >>+=则11x y+的最小值是(A) (B)(C)2+(D)4+(11)以双曲线22163x y -=的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是(A)2220x y +-+= (B)22(3)9x y -+=(C)2220x y +++=(D )22(3)9x y -+=(12)定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)(2),f x f x f x f x -=--=+且(1,0)x ∈-时，1()2,5x f x =+则2(log 20)f = (A)1 (B)45(C)1- (D)45-第Ⅱ卷(共90分)注意事项：第Ⅱ卷共2页。

福建省厦门外国语学校2018届高三下学期第一次(开学)考试数学(理)试题Word版含解析

厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】因为,所以对应的点位于第一象限，故选A.2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可知：，，由交集的定义可得：，表示为区间即 .本题选择C选项.3. 已知向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，，，解得.故选A.考点：向量共线的条件.4. 若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆的圆心，半径为，直线与圆有公共点，则，，解得实数的取值范围是，故选C.5. 甲、乙两人计划从、、三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（）A. 3种B. 6种C. 9种D. 12种【答案】B【解析】试题分析：因为每一个有3种选择，A,B;A,C;B,C;那么对于甲和乙的所有的选法共有种，但是要求甲乙不能选景点不全相同，那么可知景点相同的选法有3种，故间接法可知共有9-3=6种，故选B.考点：本试题考查了排列组合的运用。

点评：根据分步计数原理，那么先确定出各个人的选择的景点的情况，运用间接法的思想来求解所求的选法，比用直接法要好解，注意这种解题方法，属于基础题。

6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可知：该几何体上半部分为半球，下半部分为正方体，且正方体的面内切于半球的截面，且正方体的棱长为2，，，该几何体的体积为： .本题选择C选项.7. 如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A. 2010B. －1C.D. 2【答案】D【解析】第一次进入循环后，，第二次进入循环后，第三次进入循环后，第四次进入循环后，，S具有周期性，其周期为3，因此进入循环后，当时，，此时跳出循环输出，故选D.点睛：解决框图中的循环结构问题，如果循环次数较少，可以直接模拟程序运行得到结果，如果次数较多，一般要寻求规律（比如周期之类）来解决问题.8. 已知，则（）A. B. C. D. -【答案】C【解析】因为，所以，故选C.9. 已知函数，且，则等于（）A. －2013B. －2014C. 2013D. 2014【答案】D【解析】当n为奇数时，，当n为偶数时，所以，故，所以，故选D.10. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，假如统计结果是，那么可以估计的值约为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】正实数对，且，所在区域面积为1，能够成钝角三角形的条件为且，其区域面积为，根据概率得，故选B.点睛：几何概型问题，一般要分析总体的区域是长度还是面积，还是体积，然后计算其度量，本题需要用到可行域及弓形的面积计算，将概率问题转化为度量比即可求解.11. 已知双曲线的左,右焦点分别为,若双曲线上存在点,使,则该双曲线的离心率范围为（）A. （1,）B. （1,）C. （1,]D. （1,]【答案】A【解析】由题意，点不是双曲线的顶点，否则无意义，在中，由正弦定理得，又，即，在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，即，由双曲线的几何性质，知，即，，解得，又，所以双曲线离心率的范围是，故选A.【方法点晴】本题主要考查正弦定理以及利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.焦半径构造出关于的不等式，最后解出的范围.12. 已知函数若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由函数可知，在部分.当时.当时.当时恒成立.因为关于x的方程有且仅有一个实数解，所以只能是只有一个解.当时有一个解.所以要使在上没解，有前面可得成立.当时要使才能成立.故选C.考点：1.分段函数的性质.2.方程的解的问题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 锐角中角的对边分别是，若，且的面积为，则________．【答案】【解析】试题分析：由题意得，又锐角，所以，由余弦定理得考点：余弦定理14. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列四个命题中（1）若,则; （2）若,则;（3）若,则; （4）若,则.其中所有真命题的序号是________.【答案】（1）（4）【解析】试题分析：选项（1）中，由面面垂直的判定定理知（1）正确；选项（2）中，由线面垂直的判定定理知，（2）错；选项（3）中，依条件还可得，故（3）错；选项（4）中，由线面垂直的性质知，故（4）正确.考点：线面垂直、面面垂直的判断与性质15. 学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”丙说：“两项作品未获得一等奖” 丁说：“是或作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 __________．【答案】C【解析】若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．16. 已知平面图形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且，则四边形面积的最大值为_______．【答案】【解析】试题分析：设,在中运用余弦定理可得；在中运用余弦定理可得.所以.又四边形的面积,即.联立和并两边平方相加可得,化简变形得,所以当时,最大,即.故应填.考点：三角变换的公式及正弦定理余弦定理的综合运用．【易错点晴】本题考查是正弦定理余弦定理及三角形面积公式和三角变换等有关知识的综合运用.解答时充分借助题设条件,先两个具有公共对角线的三角形中运用余弦定理构建方程,然后再运用三角形的面积公式构建四边形的面积关系为,最后通过联立方程组并消去内角的正弦和余弦,建立了目标函数求出最大值为.解答过程充分体现了正弦定理的边角转换和余弦定理的构建立方程的数学思想及运用.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用已知条件求出数列的公差，然后求{a n}的通项公式；（2）化简数列的表达式，利用裂项消项法求解数列的和即可．试题解析：（1）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．（2），于是18. 如图（1）五边形中，,将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面. （1）求证：平面.（2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析: （1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立; （2）通过已知条件求出各边长度,建系如图所示,求出平面的法向量,根据线面角公式代入坐标求得结果.试题解析:（1）证明：取的中点，连接，则，又，所以，则四边形为平行四边形，所以，又平面，∴平面，∴.由即及为的中点，可得为等边三角形，∴，又，∴，∴，∴平面平面，∴平面平面.（2）解：，∴为直线与所成的角，由（1）可得，∴，∴，设，则，取的中点，连接，过作的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，∴，所以，设为平面的法向量，则，即，取，则为平面的一个法向量，∵，则直线与平面所成角的正弦值为.点睛: 判定直线和平面垂直的方法:①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．平面与平面垂直的判定方法:①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．19. 某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：（参考公式和计算结果：，，，）（1）1~6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为，求的值，并估计的预报值.（2）现准备勘探新井，若通过1，3，5，7号并计算出的，的值（，精确到0.01）相比于（1）中的，，值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（3）设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数的分布列与数学期望.【答案】（1），的预报值为24；（2）使用位置最接近的已有旧井；（3）见解析.【解析】试题分析:（1）利用前5组数据与平均数的计算公式可得=5，=50，代入y=6.5x+a，可得a，进而定点y的预报值．（2）根据计算公式可得，，≈10.25，=5.25，=10.25，计算可得并且判断出结论．（3）由题意，1、3、5、6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，勘察优质井数X 的可能取值为2，3，4，P（X=k）=，可得X的分布列及其数学期望．解：（1）因为，.回归直线必过样本中心点，则.故回归直线方程为，当时，，即的预报值为24.（2）因为，，，，所以，，即，，，.，，均不超过10%，因此使用位置最接近的已有旧井.（3）由题意，1，3，5，6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，所以勘察优质井数的可能取值为2，3，4，，，.20. 已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．【答案】（1）的方程为其准线方程为；（2）2【解析】试题分析：（1）求得抛物线C1的焦点，由题意可得p=2，即可得到所求抛物线的方程和准线方程；（2）设P（2t，t2），A（x1，y1），B（x2，y2），求出y=x2+1的导数，可得切线PA，PB的斜率和方程，又PA和PB都过P点，可得直线AB的方程，代入抛物线y=x2+1，运用韦达定理和弦长公式，由点到直线的距离公式，可得P到直线AB的距离，再由三角形的面积公式，化简整理计算可得所求面积的最小值．试题解析：（1）的方程为其准线方程为．（2）设，，，则切线的方程：，即，又，所以，同理切线的方程为，又和都过点，所以，所以直线的方程为.联立得，所以。

福建省厦门外国语学校2018届高三数学下学期第一次开学考试试题理-含答案

厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数-1+ii对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知集合(){|1}A x y lg x ==-，{|2}B x x =<，则A B ⋂=（） A. ()2,0- B. ()0,2 C. ()1,2 D. ()2,2-3．已知向量(1,)a m = ，(3,2)b =-，且()//a b b + ，则m =（）A ．23- B ． 23 C ．8- D ．84．若直线10x y -+=与圆()222x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是（） A. []3,1-- B. []1,3- C. []3,1- D. (][),31,-∞-⋃+∞5．甲、乙两人计划从A 、B 、C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（）A ． 3种B ． 6种C ． 9种D ．12种6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（）A. 2π43+B. 4+C. 8+8+ 7．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A ．2010B ．－1C ．12D ．2(第6题图)(第7题图)8．已知sin 32πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）B. 12 D. -129.已知函数22,(n)n n f n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数，为偶数，且(n)(1)n a f f n =++，则1232014....a a a a +++等于（）A ．－2013B ．－2014C ．2013D ．201410．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是34m =，那么可以估计π的值约为（）A. 227B. 4715C. 5116D. 531711．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,若双曲线上存在点P ,使1221sin PF F aSIN PF F c∠=∠,则该双曲线的离心率e 范围为（）A. （1,1 B. （1,1） C. （1,1+（1,1+]12．已知函数()122,0,log ,0.x a x f x x x ⎧⋅≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()(),00,1-∞D ．()()0,11,+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．锐角ABC ∆中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若4,3a b ==，且ABC ∆的面积为，则c =________．14．设,a b 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列四个命题中（1）若,a a αβ⊥⊂,则αβ⊥; （2）若//,a ααβ⊥,则a β⊥; （3）若,a βαβ⊥⊥,则//a α; （4）若,a b αα⊥⊥,则//a b . 其中所有真命题的序号是.15．学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“A 作品获得一等奖”；乙说：“C 作品获得一等奖” 丙说：“,B D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是A 或D 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 __________． 16．已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且2,4,5,3AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积的最大值为_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[] 17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =， 2a 为整数，且4n S S ≤.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）如图（1）五边形ABCDE 中，,//,2,ED EA AB CD CD AB ==150EDC ∠= ,将EAD ∆沿AD 折到PAD ∆的位置，得到四棱锥P ABCD -，如图（2），点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD . （1）求证：//BM 平面PAD .（2）若直线,PC AB 与所成角的正切值为12，求直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值.19．（本小题满分12分）某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：（参考公式和计算结果：1221ˆni i i n ii x y nxy bx nx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-，4221194i i x -==∑，421211945i i i x y --==∑）（1）1~6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为 6.5y x a =+，求a 的值，并估计y 的预报值.[（2）现准备勘探新井()71,25，若通过1，3，5，7号并计算出的ˆb，ˆa 的值（ˆb ，ˆa 精确到0.01）相比于（1）中的b ，a ，值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井()61,y ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（3）设出油量与勘探深度的比值k 不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X 的分布列与数学期望.20．（本小题满分12分）已知抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线22:1C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点．（1）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（2）过点P 作抛物线2C 的两条切线，A 、B 分别为两个切点，求PAB ∆面积的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数()()21x f x x ax a e -=+-⋅，其中a R ∈. （1）求函数()f x '的零点个数；（2）证明：0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件.22．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，圆C的参数方程为53x t y t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=，,A B 两点的极坐标分别为．(2,),(2,)2A B ππ（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 是圆C 上任一点，求PAB ∆面积的最小值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分) 已知函数()223f x x a x =+-+，()13g x x =-- （1）解不等式：()2g x <；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试数学（理科）试题参考答案一.选择题1--11ACACB CDCDB AC 二.填空题13 14．（1）（4） 15．C 16.【选择填空解析】1．A 2．C解：由题意可知：{}1A x x = ，{|22}B x x =-<< ，由交集的定义可得：{|12}A B x x ⋂=<< ，表示为区间即()1,2 . 3．A 4．C解：由题意得圆心为(),0a d =≤12a +≤，解得31a -≤≤。

福建省厦门市育才学校2018年高一数学理模拟试题含解析

福建省厦门市育才学校2018年高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=，g（x）=（）2C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=，g（x）=参考答案：B【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．【解答】解：对于A，f（x）=|x|（x∈R），与g（x）=（x≥0）的定义域不同，∴不是同一函数；对于B，f（x）==|x|（x∈R），与g（x）==|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于C，f（x）==x+1（x≠1），与g（x）=x+1（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；对于D，f（x）=?=（x≥1），与g（x）=（x≥1或x≤﹣1）的定义域不同，∴不是同一函数．故选：B．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．2. 将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）参考答案：B试题分析：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，在右侧的射影是正方形的对角线，在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．故选B．考点：简单空间图形的三视图．3. 设f（sinα+cosα）=sin2α（α∈R），则f（sin）的值是（）A．B．C．﹣D．以上都不正确参考答案：C【考点】三角函数的化简求值；函数的值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令t=sinα+cosα，则 t2=1+sin2α，求得f（t）的解析式，可得f（sin）的值．【解答】解：令t=sinα+cosα，则 t2=1+sin2α，∴sin2α=t2﹣1．由f（sinα+cosα）=sin2α，可得f（t）=，∴f（sin）=f（）==﹣，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的求值问题，属于基础题．4. 若△ABC的内角A，B，C满足，则cos B=（）A. B. C. D.参考答案：D，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故选D.5. 方程的正整数解的组数是（）A．1组 B．2组 C．4组 D．8组参考答案：D 解：原方程为所以，所以y是平方数，设，则可得，所以x也是平方数，设而2006=2×17×59，即2006共有（1+1）（1+1）（1+1）=8个不同的正因数，所以（m，n）共有8组正整数解，（x，y）也有8组正数解.6. 设集合, , 函数若x, 且,则的取值范围是( )A.B. C.D.参考答案：C略7. 函数的图象是（）A． B． C ． D．参考答案：A8. 设集合，那么（）A．M=N B．M是N的真子集C．N是M的真子集D．参考答案：B9. 如果等差数列中，，那么A. 14B.21C.28D.35参考答案：C10. 两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都为a，灯塔A在C的北偏东30°，B在C的南偏东60°，则A，B两灯塔之间距离为( )A．2a B． C. D．a参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f(x)的定义域是[1,5]，则的定义域是________参考答案：[1,3]12. 在等比数列{a n}中，，，公比，则n=______.参考答案：4【分析】等比数列的通项公式为，将题目已知条件代入中，即可求出项数n.【详解】解：等比数列的通项公式为，得，即13. 已知函数，若，则实数a+2b的取值范围为__________.参考答案：14. 已知幂函数的图像过点，则___________.参考答案：略15. 函数的图象恒过定点P,则P点的坐标是．参考答案：(3,1)16. 如图，二面角的大小是60°，线段在平面EFGH上，在EF 上，与EF所成的角为30°，则与平面所成的角的正弦值是参考答案：略17. 设数列的前项和为已知（Ⅰ）设，证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式。

2018年福建省厦门外国语学校高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

2018年福建省厦门外国语学校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z=a+i(a∈R)的共轭复数为z，满足|z|=1，则复数z=( )A.2+iB.2−iC.1+iD.i【答案】D【考点】共轭复数复数的模【解析】由已知结合|z|=|z|列式求得a，则z可求．【解答】解：∵z=a+i，∴|z|=|z|=√a2+1=1，即a=0．∴z=i．故选D.2. 设集合A={y|y=log2x, 0<x≤4}，集合B={x|e x>1}，则A∩B等于（）A.(0, 2)B.(0, 2]C.(−∞, 2]D.R【答案】B【考点】交集及其运算【解析】先求出集合A和集合B，由此能求出A∩B．【解答】∵集合A={y|y=log2x, 0<x≤4}={y|y≤2}，集合B={x|e x>1}={x|x>0}，∴A∩B={x|0<x≤2}=(0, 2]．3. 已知命题p：在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B；命题q:∀x∈(0, π)，sinx+1>2．则下列命题为真命题的是（）sinxA.p∧qB.p∨(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.(￢p)∨q【答案】B【考点】逻辑联结词“或”“且”“非”【解析】命题p：在△ABC中，因为A+B<π，根据正弦函数的性质可判断，若sinA=sinB，则A=B为证明题；命题q:∀x∈(0, π)，根据正弦函数的性质，可判断等号成立的条件满足，故为假命题．【解答】解：命题p：在△ABC中，因为A+B<π，若sinA=sinB，则A=B，故p为真命题；命题q:∀x∈(0, π)，当x=π2时，故sinπ2+1sinπ2=2，因此q为假命题，所以p∧q是假命题，p∨(￢q)是真命题，(￢p)∧(￢q)为假命题，(￢p)∨q是假命题. 故选B.4. 已知公差不为0的等差数列{a n}满足a32=a1⋅a4，S n为数列{a n}的前n项和，则S3−S2S5−S3的值为（）A.−2B.−3C.2D.3【答案】C【考点】数列的求和【解析】公差d≠0的等差数列{a n}满足a32=a1⋅a4，可得(a1+2d)2=a1(a1+3d)，化为：a1=−4d．代入S3−S2S5−S3=a3a5+a4，化简即可得出．【解答】公差d≠0的等差数列{a n}满足a32=a1⋅a4，∴(a1+2d)2=a1(a1+3d)，化为：a1=−4d．则S3−S2S5−S3=a3a5+a4=a1+2d2a1+7d=−4d+2d−8d+7d=2．5. 我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布(100, σ2)，(σ>0)，若ξ在(80, 120)内的概率为0.7，则他速度超过120的概率为（）A.0.05B.0.1C.0.15D.0.2【答案】C【考点】正态分布的密度曲线【解析】根据正态分布的定义，可以求出P(ξ<80或ξ>120)的概率，除以2得答案．【解答】由题意可得，μ=100，且P(80<ξ<120)=0.7，则P(ξ<80或ξ>120)=1−P(80<ξ<120)=1−0.7=0.3．∴P(ξ>120)=12P(ξ<80或ξ>120)=0.15．则他速度超过120的概率为0.15．6. 已知tanθ+1tanθ=4，则cos2(θ+π4)=()A.1 2B.13C.14D.15【答案】C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由已知求得sinθcosθ的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解cos2(θ+π4)的值．【解答】由tanθ+1tanθ=4，得sinθcosθ+cosθsinθ=4，即sin2θ+cos2θsinθcosθ=4，∴sinθcosθ=14，∴cos2(θ+π4)=1+cos(2θ+π2)2=1−sin2θ2=1−2sinθcosθ2=1−2×142=14．7. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0，则一开始输入的x值为（）A. 1516B.34C.78D.3132【答案】A【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：第一次输入x=x，i=1，第二次输入x=2x−1，i=2，第三次输入x=2(2x−1)−1=4x−3，i=3，第四次输入x=2(4x−3)−1=8x−7，i=4，第五次输入x=2(8x−7)−1=16x−15，i=5>4，输出16x −15=0，解得：x =1516. 故选A .8. 若实数x ，y 满足{x −y ≤1x −2y +2≥02x +y ≥2 则z =x −ay 只在点(4, 3)处取得最大值，则a 的取值范围为（）A.(−∞, 0)∪(1, +∞)B.(1, +∞)C.(0, 1)D.(−∞, 1) 【答案】 D【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，然后对a 进行分类，当a ≥0时显然满足题意，当a <0时，化目标函数为直线方程斜截式，比较其斜率与直线BC 的斜率的大小得到a 的范围．【解答】由不等式组{x −y ≤1x −2y +2≥02x +y ≥2 作可行域如图，联立{x −2y =−2x −y =1，解得C(4, 3)．当a =0时，目标函数化为z =x ，由图可知，可行解(4, 3)使z =x −ay 取得最大值，符合题意；当a >0时，由z =x −ay ，得y =1a x −za ，此直线斜率大于0，当在y 轴上截距最大时z 最大，可行解(4, 3)为使目标函数z =x −ay 的最优解， a <1符合题意；当a <0时，由z =x −ay ，得y =1a x −za ，此直线斜率为负值，要使可行解(4, 3)为使目标函数z =x −ay 取得最大值的唯一的最优解，则1a <0，即a <0．综上，实数a 的取值范围是(−∞, 1)．9. 将函数y =2sinωx(ω>0)的图象向左平移φω(0<φ≤π2)个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数y =g(x)的图象，且y =g(x)的图象与直线y =1相邻两个交点的距离为π，若g(x)>−1对任意x ∈(−π12,π3)恒成立，则φ的取值范围是( )A. [π12,π2]B.[π6,π3]C. [π12,π3]D.[π6,π2]【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由已知求得g(x)=2sin(ωx+φ)−1，再由已知得函数g(x)的最小正周期为π，求得ω=2，结合g(x)>−1对任意x∈(−π12,π3)恒成立列关于φ的不等式组求解．【解答】解：将函数y=2sinωx(ω>0)的图象向左平移φω(0<φ≤π2)个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度，得g(x)=2sinω(x+φω)−1=2sin(ωx+φ)−1，又y=g(x)的图象与直线y=1相邻两个交点的距离为π，得T=π，即ω=2ππ=2．∴g(x)=2sin(2x+φ)−1，当x∈(−π12,π3)时，2x+φ∈(−π6+φ,2π3+φ)，∵g(x)>−1,0<φ≤π2，∴{−π6+φ≥2kπ,2π3+φ≤π+2kπ,当k=0时，解得π6≤φ≤π3．∴φ的取值范围是[π6,π3 ]．故选B.10. 将数字1，2，3，4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体，则柱体A和B的表面（不含地面）数字之和分别是（）A.47，48B.47，49C.49，50D.50，49【答案】A【考点】棱柱的结构特征【解析】根据骰子中1与6，2与5，3与4分别相对，找出图A与图B的表面数字，分别求出之和即可．【解答】图A中数字之和为1+6+3+4+2+5+6+1+6+1+4+3+5=47；图B中数字之和为3+4+5+2+1+6+5+2+3+4+2+5+6=48，11. 已知O是坐标原点，双曲线x2a −y2=1(a>1)与椭圆x2a+2+y2=1(a>1)的一个交点为P，点Q(√a+1, 0)，则△POQ的面积为（）A.a2B.a C.1 D.12【答案】D【考点】圆锥曲线【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知两曲线有相同的焦点，设左、右两个焦点分别为F1，F2，不妨设点P在第一象限，根据双曲线的定义得|PF1|−|PF2|=2√a，根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2√a+2，联立两个式子得|PF1|=√a+2+√a，|PF2|=√a+2−√a，|F1F2|=2√a+1，所以Q与F2重合．由余弦定理得cos∠F1PF2=2(2a+2)−4(a+1)4=0，故∠F1PF2=π2，则△POQ的面积为S=12S△PF1F2=12×12(√a+2+√a)(√a+2−√a)=12．故选D．12. 已知点P是曲线y=sinx+lnx上任意一点，记直线OP（O为坐标系原点）的斜率为k，则（）A.至少存在两个点P使得k=−1B.对于任意点P都有k<0C.对于任意点P都有k<1D.存在点P使得k≥1【答案】C命题的真假判断与应用【解析】结合正弦函数的值域和对数函数y =lnx 和直线y =x −1的关系，即可判断D ；当π2≤x <π时，y =sinx +lnx >0，即可判断B ；sinx+lnxx=−1，即sinx +lnx +x =0至少存在两解，运用导数判断单调性，即可判断A ，由排除法思想即可得到结论．【解答】任意取x 为一正实数，一方面y =sinx +lnx ≤lnx +1，另一方面由y =lnx 和直线y =x −1的图象容易证lnx +1≤x 成立，所以y =sinx +lnx ≤x ，因为y =sinx +lnx ≤lnx +1与lnx +1≤x 中两个等号成立条件不一样，所以y =sinx +lnx <x 恒成立，所以k <1，排除D ；当π2≤x <π时，y =sinx +lnx >0，所以k >0，所以排除B ；对于A 选项，至少存在两个点P 使得k =−1，也就是sinx+lnxx=−1至少存在两解，即sinx +lnx +x =0至少存在两解，(sinx +lnx +x)′=cosx +1x +1>0恒成立，所以sinx +lnx +x =0至多存在一解，故排除A ，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．若二项式(x √x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为________．【答案】 15【考点】二项式定理及相关概念【解析】先求出n 的值，可得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】 ∵ 二项式(x √x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴ n ＝6，则展开式中的通项公式为 T r+1＝C 6r ⋅(−1)r ⋅x 6−32r ．令6−32r ＝0，求得r ＝4，故展开式中的常数项为 C 64＝15，抛物线y 2=2px(p >0)的准线被圆x 2+y 2+2x −3=0所截得的线段长为4，则p =________ 【答案】 2【考点】圆锥曲线问题的解决方法求得抛物线的准线方程，代入圆方程，解得y ，可得弦长，由条件可得p 的方程，解方程即可得到所求值．【解答】抛物线y 2=2px(p >0)的准线为x =−p2，代入圆x 2+y 2+2x −3=0可得 y 2=3−p 24+p ，解得y =±√3+p −p 24，由条件可得2√3+p −p 24=4，解得p =2，在△ABC 中，BC 边上的中垂线分别交边BC ，AC 于点D ，E ．若AE →⋅BC →=8，|AB →|=3，则|AC|=________．【答案】 5【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据题意建立平面直角坐标系，设B(−a, 0)，C(a, 0)，E(0, b)，∠ABC =α，由|AB →|=3求出点A 的坐标，再利用AE →⋅BC →=8，求出a∠ABC 的关系，由此能求出|AC|．【解答】建立平面直角坐标系如图所示，设B(−a, 0)，C(a, 0)，E(0, b)，∠ABC =α，由|AB →|=3，得A(−a +3cosα, 3sinα)，∴ AE →=(a −3cosα, b −3sinα)，BC →=(2a, 0)， ∴ AE →⋅BC →=2a(a −3cosα)+0=2a 2−6acosα=8， ∴ a 2−3acosα=4，又AC →=(2a −3cosα, −3sinα)， ∴ AC →2=(2a −3cosα)2+(−3sinα)2 =4a 2−12acosα+9 =4(a 2−3acosα)+9 =4×4+9 =25，∴ |AC →|=5，即|AC|=5．已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），E 为ABCD 的中心，A 1E 与球相交于FE ，则EF 的长为________．【答案】 √63【考点】球的体积和表面积【解析】求出球心到FE 的距离，利用勾股定理求出EF ．【解答】设球心O 到FE 的距离为d ，则在△OA 1E 中，A 1E =√1+12，OE =12．由等面积可得12×12×√22=12×√1+12×d ，∴ d =√33，∵ 球的半径为√22，∴ EF =2√12−13=63．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知数列{a n }满足，a n =2+2cos 2nπ2，n ∈N ∗，等差数列{b n }满足a 1＝2b 1，a 2＝b 2．（1）求b n ；（2）记c n ＝a 2n−1b 2n−1+a 2n b 2n ，求c n ；（3）求数列{a n b n }前2n 项的和S 2n ．【答案】由a n =2+2cos 2nπ2=2+1+cosnπ＝3+cosnπ={2,n 为奇数4,n 为偶数．于是，b 1=12a 1=1，b 2＝a 2＝4，∴ 等差数列{b n }的公差为3，则b n ＝1+3(n −1)＝3n −2；c n ＝a 2n−1b 2n−1+a 2n b 2n ＝2[3(2n −1)−2]+4[3×2n −2]＝36n −18；由（2）知，数列{c n }是以36为公差的等差数列，则S 2n ＝a 1b 1+a 2b 2+...+a 2n−1b 2n−1+a 2n b 2n =n(c 1+c n )2=n(18+36n−18)2=18n 2．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）利用二倍角公式化简a n ，可得a n ={2,n 为奇数4,n 为偶数．求出数列{b n }的首项和公差，则通项公式可求；（2）直接把{a n }、{b n }的通项公式代入求解；（3）由（2）知，数列{c n }是以36为公差的等差数列，再由等差数列的前n 项和公式得答案．【解答】由a n =2+2cos 2nπ2=2+1+cosnπ＝3+cosnπ={2,n 为奇数4,n 为偶数．于是，b 1=12a 1=1，b 2＝a 2＝4，∴ 等差数列{b n }的公差为3，则b n ＝1+3(n −1)＝3n −2；c n ＝a 2n−1b 2n−1+a 2n b 2n ＝2[3(2n −1)−2]+4[3×2n −2]＝36n −18；由（2）知，数列{c n }是以36为公差的等差数列，则S 2n ＝a 1b 1+a 2b 2+...+a 2n−1b 2n−1+a 2n b 2n =n(c 1+c n )2=n(18+36n−18)2=18n 2．在三棱锥A −BCD 中，AB =AD =BD =2，BC =DC =√2，AC =2．（1）求证：BD ⊥AC ；（2）点P 为AC 一动点，设θ为直线BP 与平面ACD 所形成的角，求sinθ的最大值．【答案】∵ AB =AD =BD =2，BC =DC =√2，∴ △BCD 为直角三角形，且AE =√3，CE =1， ∴ AE 2+EC 2=AC 2，∠AEC =π2，即AE ⊥EC ，又AE ⊥BD ，∴ AE ⊥平面BCD ，∴ 以E 为坐标原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EA 为z 轴建立如图直角坐标系． ∴ B(0, −1, 0)，D(0, 1, 0)，C(1, 0, 0)，A(0, 0, √3)，设P(x 0, y 0, z 0)，AP →=λAC →(0≤λ≤1)，AC →=(1, 0, −√3)，AP →=(x 0,y 0,z 0−√3)， ∴ (x 0,y 0,z 0−√3)=λ(1, 0, −√3)=(λ,0,−√3λ)，∴ {x 0=λy 0=0z 0−√3=−√3λ ，即{x 0=λy 0=0z 0=√3−√3λ，∴ P(λ,0,√3−√3λ)，BP →=(λ,1,√3−√3λ)，DA →=(0, −1, √3)，DC →=(1, −1, 0)，设n →=(x, y, z)是平面ACD 的法向量，∴ {n →∗DA →=−x +√3z =0n →∗DC →=x −y =0，令x =1，得n →=(1, 1, √33)，∴ sinθ=|cos <n →，BP →>|=|n →∗BP →||n →|∗|BP →|=√73∗√λ2+1+3(λ−1)2=√6√7∗√2λ2−3λ+2，由0≤λ≤1，可知78≤2λ2−3λ+2≤2， ∴ √217≤sinθ≤4√37，∴ sinθ的最大值为4√37．【考点】直线与平面所成的角【解析】（1）取BD 中点E ，连接AE ，CE ，推导出AE ⊥BD ，CE ⊥BD ，从而BD ⊥平面ACE ，由此能证明BD ⊥AC ．（2）以E 为坐标原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EA 为z 轴建立直角坐标系．利用向量法能求出sinθ的最大值．【解答】∵ AB =AD =BD =2，BC =DC =√2，∴ △BCD 为直角三角形，且AE =√3，CE =1， ∴ AE 2+EC 2=AC 2，∠AEC =π2，即AE ⊥EC ，又AE ⊥BD ，∴ AE ⊥平面BCD ，∴ 以E 为坐标原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EA 为z 轴建立如图直角坐标系． ∴ B(0, −1, 0)，D(0, 1, 0)，C(1, 0, 0)，A(0, 0, √3)，设P(x 0, y 0, z 0)，AP →=λAC →(0≤λ≤1)，AC →=(1, 0, −√3)，AP →=(x 0,y 0,z 0−√3)， ∴ (x 0,y 0,z 0−√3)=λ(1, 0, −√3)=(λ,0,−√3λ)，∴ {x 0=λy 0=0z 0−√3=−√3λ ，即{x 0=λy 0=0z 0=√3−√3λ ，∴ P(λ,0,√3−√3λ)，BP →=(λ,1,√3−√3λ)，DA →=(0, −1, √3)，DC →=(1, −1, 0)，设n →=(x, y, z)是平面ACD 的法向量，∴ {n →∗DA →=−x +√3z =0n →∗DC →=x −y =0，令x =1，得n →=(1, 1, √33)，∴ sinθ=|cos <n →，BP →>|=|n →∗BP →||n →|∗|BP →|=√73∗√λ22=√6√7∗√2λ2−3λ+2，由0≤λ≤1，可知78≤2λ2−3λ+2≤2， ∴ √217≤sinθ≤4√37，∴ sinθ的最大值为4√37．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“∗”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户．若0<x <0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.6≤x ≤0.8，则认定该户为“相对贫困户”，若0.8<x ≤1，则认定该户为“低收入户”；若y ≥100，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．(1)从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；(2)若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(3)试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）．【答案】解：(1)由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率P=550=0.1.(2)由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，ξ的可能值为0，1，2，3．P(ξ=0)=C63C103=20120=16，(Pξ=1)=C41C62C103=60120=12，P(ξ=2)=C42C61C103=36120=310，P(ξ=3)=C43C103=4120=130．所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望E(ξ)=0×16+1×12+2×310+3×130=1210=1.2．(3)这100户中甲村指标y的方差大于乙村指标y的方差．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列古典概型及其概率计算公式【解析】（1）在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，由此能求出从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率．（2）“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，ξ的可能值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．（3）这100户中甲村指标y的方差大于乙村指标y的方差．【解答】解：(1)由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率P=550=0.1.(2)由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，ξ的可能值为0，1，2，3．P(ξ=0)=C63C103=20120=16，(Pξ=1)=C41C62C103=60120=12，P(ξ=2)=C 42C 61C 103=36120=310，P(ξ=3)=C 43C 103=4120=130．所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望E(ξ)=0×16+1×12+2×310+3×130 =1210=1.2．(3)这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差．线段AB 为圆M:x 2+y 2+2x −10y +6=0的一条直径，其端点A ，B 在抛物线C:x 2=2py(p >0)上，且A ，B 两点到抛物线C 焦点的距离之和为212．（1）求直径AB 所在的直线方程；（2）过M 点的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，抛物线C 在P ，Q 处的切线相交于N 点，求△PQN 面积的最小值．【答案】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，抛物线C 的焦点为F ，则|AF|+|BF|=y 1+y 2+p =212，又y 1+y 2=10，故10+p =212，∴ p =12，于是C 的方程为x 2=y ． ∴ {x 12=y 1x 22=y 2，则y 1−y 2x 1−x 2=x 1+x 2=−2，∴ AB 的直线方程为2x +y −3=0．不妨记P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，N(x 0, y 0)，直线的方程为y =k(x +1)+5，联立{x 2=yy =k(x +1)+5 ，整理得x 2−kx −k −5=0，则x 1+x 2=k ，x 1x 2=−k −5， |PQ|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√k 2+4k +20，又因为y 0−y 1=2x 1(x 0−x 1)，则x 12−2x 0x 1+y 0=0，同理可得：x 22−2x 0x 2+y 0=0，故x 1，x 2为一元二次方程x 2−2x 0x +y 0=0的两根，∴ {2x 0=x 1+x 2y 0=−k −5 ， d =|k 22+2k+10|√1+k 2=12⋅2√1+k 2， △PQN 面积S △PQN =12|PQ|⋅d =14(k 2+4k +20)32=14[(k +2)2+16brack 32，∴ k =−2时，△PQN 的面积S 取得最值16．【考点】圆锥曲线问题的解决方法直线与抛物线的位置关系【解析】（1）根据抛物线的焦点弦公式即可求得p 的值，利用点差法即可求得直线AB 的方程；（2）设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式和点到直线的距离公式即可求得三角形△PQN 面积的最小值．【解答】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，抛物线C 的焦点为F ，则|AF|+|BF|=y 1+y 2+p =212，又y 1+y 2=10，故10+p =212，∴ p =12，于是C 的方程为x 2=y ． ∴ {x 12=y 1x 22=y 2，则y 1−y 2x 1−x 2=x 1+x 2=−2，∴ AB 的直线方程为2x +y −3=0．不妨记P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，N(x 0, y 0)，直线的方程为y =k(x +1)+5，联立{x 2=yy =k(x +1)+5 ，整理得x 2−kx −k −5=0，则x 1+x 2=k ，x 1x 2=−k −5， |PQ|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√k 2+4k +20，又因为y 0−y 1=2x 1(x 0−x 1)，则x 12−2x 0x 1+y 0=0，同理可得：x 22−2x 0x 2+y 0=0，故x 1，x 2为一元二次方程x 2−2x 0x +y 0=0的两根，∴ {2x 0=x 1+x 2y 0=−k −5 ， d =|k 22+2k+10|2=12⋅22， △PQN 面积S △PQN =12|PQ|⋅d =14(k 2+4k +20)32=14[(k +2)2+16brack 32，∴ k =−2时，△PQN 的面积S 取得最值16．已知f(x)=e ax−1−2mx ，a ∈R ，m ∈R ，e 为自然对数的底数（1）当a =1时，若函数f(x)存在与直线y =2x 平行的切线，求实数m 的取值范围；（2）当m =0时，g(x)=lnx x，若ℎ(x)=f(x)−g(x)的最小值是a ，求a 的最小值．【答案】因为f′(x)=e x−1−2m ，因为函数y =f(x)存在与直线y =2x 平行的切线，所以为f′(x)=e x−1−2m =2．在R 上有解，即2+2m =e x−1在R 上有解，所以2+2m >0，得m >−1，当m =−12时，f(x)切线为y =2x ，所以m ≠−12，故所求实数m 的取值范围是(−1, −12)∪(−12, +∞)．由题意得：ℎ(x)=e ax−1−lnx x≥a 对任意x >0恒成立，且“=”可取，即xe ax−1−lnx −ax ≥0恒成立，且=可取．令Q(x)=xe ax−1−lnx −ax ，即Q(x)min =0． Q′(x)=(ax +1)(e ax−1−1x )，由e ax−1−1x =0得a =1−lnx x，令p(x)=1−lnx x，p ′(x)=lnx−2x 2，p(x)在(0, e 2)递减，在(e 2, +∞)递增，∴ p(x)min =p(e 2)=−1e 2．当a ≤−1e 2时，a ≤1−lnx x，即e ax−1−1x ≤0，在(0, −1a )上，ax +1>0，Q′(x)≤0，Q′(x)递减，在(−1a , +∞)上，ax +1<0，Q′(x)≥0，Q′(x)递增．∴ Q(x)min =Q(−1a )，令t =−1a ∈(0, e 2)，Q(−1a )=M(t)=te 2−lnt +1在(0, e 2]上递减，所以M(t)≥M(e 2)=0，故方程Q(x)min =Q(−1a )=0有唯一解−1a =e 2即a =−1e 2，综上，当a ≤−1e 2时，仅有a =−1e 2满足ℎ(x)的最小值为a ，故a 的最小值为−1e 2．【考点】导数求函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）由f′(x)=e x−1−2m ，函数y =f(x)存在与直线y =2x 平行的切线，f′(x)=e x−1−2m =2.2+2m =e x−1在R 上有解，从而2+2m >0，由此能求出实数m 的取值范围．（2）由题意得：ℎ(x)=e ax−1−lnx x≥a 对任意x >0恒成立，xe ax−1−lnx −ax ≥0恒成立，令Q(x)=xe ax−1−lnx −ax ，即Q(x)min =0．Q′(x)=(ax +1)(e ax−1−1x )，由e ax−1−1x =0得a =1−lnx x ，令p(x)=1−lnx x，p ′(x)=lnx−2x 2，求出p(x)min =p(e 2)=−1e 2．Q(x)min =Q(−1a)，由此能求出a 的最小值．【解答】因为f′(x)=e x−1−2m ，因为函数y =f(x)存在与直线y =2x 平行的切线，所以为f′(x)=e x−1−2m =2．在R 上有解，即2+2m =e x−1在R 上有解，所以2+2m >0，得m >−1，当m =−12时，f(x)切线为y =2x ，所以m ≠−12，故所求实数m 的取值范围是(−1, −12)∪(−12, +∞)．由题意得：ℎ(x)=e ax−1−lnx x≥a 对任意x >0恒成立，且“=”可取，即xe ax−1−lnx −ax ≥0恒成立，且=可取．令Q(x)=xe ax−1−lnx −ax ，即Q(x)min =0． Q′(x)=(ax +1)(e ax−1−1x )，由e ax−1−1x =0得a =1−lnx x，令p(x)=1−lnx x，p ′(x)=lnx−2x 2，p(x)在(0, e 2)递减，在(e 2, +∞)递增，∴ p(x)min =p(e 2)=−1e 2．当a ≤−1e 2时，a ≤1−lnx x，即e ax−1−1x ≤0，在(0, −1a )上，ax +1>0，Q′(x)≤0，Q′(x)递减，在(−1a , +∞)上，ax +1<0，Q′(x)≥0，Q′(x)递增．∴ Q(x)min =Q(−1a )，令t =−1a ∈(0, e 2)，Q(−1a )=M(t)=te 2−lnt +1在(0, e 2]上递减，所以M(t)≥M(e 2)=0，故方程Q(x)min =Q(−1a )=0有唯一解−1a =e 2即a =−1e 2，综上，当a ≤−1e 2时，仅有a =−1e 2满足ℎ(x)的最小值为a ，故a 的最小值为−1e 2．选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2，正三角形ABC 的顶点都在C 1上，且A ，B ，C 依逆时针次序排列，点A 的坐标为(2, 0)．(1)求点B ，C 的直角坐标；(2)设P 是圆C 2:x 2+(y +√3)2=1上的任意一点，求|PB|2+|PC|2的取值范围．【答案】解：(1)∵ 曲线C 1的极坐标方程为ρ=2，∴ 曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2=4， ∵ 正三角形ABC 的顶点都在C 1上，且A ，B ，C 依逆时针次序排列，点A 的坐标为(2, 0)， ∴ B 点的坐标为(2cos120∘, 2sin120∘)，即B(−1, √3)， C 点的坐标为(2cos240∘, 2sin240∘)，即C(−1, −√3)． (2)∵ 圆C 2:x 2+(y +√3)2=1，∴ 圆C 2的参数方程{x =cosαy =−√3+sinα ,0≤α≤2π，设点P(cosα, −√3+sinα)，0≤α≤2π，∴ |PB|2+|PC|2=(cosα+1)2+(sinα−2√3)2+(cosα+1)2+sin 2α =16+4cosα−4√3sinα =16+8cos(α+π3)，∴ |PB|2+|PC|2的取值范围是[8, 24]．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程直线与圆的位置关系【解析】（1）先求出曲线C 1的直角坐标方程，由此能求出点B ，C 的直角坐标．（2）由圆C 2的参数方程结合两点间距离公式，利用三角函数性质能求出|PB 2|+|PC|2的取值范围．【解答】解：(1)∵ 曲线C 1的极坐标方程为ρ=2，∴ 曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2=4， ∵ 正三角形ABC 的顶点都在C 1上，且A ，B ，C 依逆时针次序排列，点A 的坐标为(2, 0)， ∴ B 点的坐标为(2cos120∘, 2sin120∘)，即B(−1, √3)， C 点的坐标为(2cos240∘, 2sin240∘)，即C(−1, −√3)． (2)∵ 圆C 2:x 2+(y +√3)2=1，∴ 圆C 2的参数方程{x =cosαy =−√3+sinα ,0≤α≤2π，设点P(cosα, −√3+sinα)，0≤α≤2π，∴ |PB|2+|PC|2=(cosα+1)2+(sinα−2√3)2+(cosα+1)2+sin 2α =16+4cosα−4√3sinα =16+8cos(α+π3)，∴ |PB|2+|PC|2的取值范围是[8, 24]． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝x|x −a|，a ∈R ．（1）若f(1)+f(−1)>1，求a 的取值范围；（2）若a >0，对∀x ，y ∈(−∞, a]，都有不等式f(x)≤|y +54|+|y −a|恒成立，求a 的取值范围．【答案】f(1)+f(−1)＝|1−a|−|1+a|>1，若a ≤−1，则1−a +1+a >1，得2>1，即a ≤−1时恒成立，若−1<a <1，则1−a −(1+a)>1，得a <−12，即−1<a <−12，若a ≥1，则−(1−a)−(1+a)>1，得−2>1，即不等式无解，综上所述，a 的取值范围是(−∞,−12)．由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ，当x ∈(−∞, a]时，f(x)=−x 2+ax,[f(x)]max =f(a2)=a 24，因为|y +54|+|y −a|≥|a +54|，所以当y ∈[−54,a]时，[|y +54|+|y −a|]min =|a +54|=a +54，即a 24≤a +54，解得−1≤a ≤5，结合a >0，所以a 的取值范围是(0, 5]．【考点】绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立的问题【解析】（1）利用f(1)+f(−1)＝|1−a|−|1+a|>1，通过a ≤−1，−1<a <1，a ≥1，分别求解即可．（2）要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可．【解答】f(1)+f(−1)＝|1−a|−|1+a|>1，若a ≤−1，则1−a +1+a >1，得2>1，即a ≤−1时恒成立，若−1<a <1，则1−a −(1+a)>1，得a <−12，即−1<a <−12，若a ≥1，则−(1−a)−(1+a)>1，得−2>1，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是(−∞,−12)．由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max≤[|y+54|+|y−a|]min，当x∈(−∞, a]时，f(x)=−x2+ax,[f(x)]max=f(a2)=a24，因为|y+54|+|y−a|≥|a+54|，所以当y∈[−54,a]时，[|y+54|+|y−a|]min=|a+5 4|=a+54，即a24≤a+54，解得−1≤a≤5，结合a>0，所以a的取值范围是(0, 5]．。