湖南省师大附中2015届高三月考(5)数学(文)试题及答案
湖南师大附中高三月考试卷(二)数学文试题 Word版含答
湖南师大附中2015届高三月考试卷（二）数学试卷（文科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|2x＜2}，则M∩∁R N等于（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，0）C．[1，3）D．（0，1）2．设复数Z满足（2+i）•Z=1﹣2i3，则复数Z对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：“∀x∈R，2x＜3”；命题q：“∃x0∈R，sinx0+cosx0=2”，则（）A．p假，q真B．“p∧q”真C．“p∨q”真D．“p∧q”假4．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3C．4D．55．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54 B．27 C．18 D．92．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出的值为（）A．1064 B．1065 C．1067 D．10688．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．9．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C．+1 D．210．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（﹣∞，1）二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）11．在极坐标系中，点（2，）到直线ρcos（x﹣）=0的距离是_________．12．在区间[﹣π，π]内随即取一个数记为x，则使得sinx≥的概率为_________．13．若点P（x，y）满足则点P（x，y）到坐标原点O的距离的最大值为_________．14．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，∠DAB=60°，=3，则•的值是_________．15．已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*），且对任意m，n∈N*都有：①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）则（1）f（5，6）=_________，（2）f（m，n）=_________．三、解答题（本题共6小题，75分）16．（12分）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC（I）求边AB的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．17．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？K2=．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A C 1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D为AB的中点．（1）求证：BC1∥面A1DC；（2）若AA1=，求二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小．19．（13分）已知数列．（1）若存在一个实数λ，使得数列为等差数列，请求出λ的值；（2）在（1）的条件下，求出数列{a n}的前n项和S n．20．（13分）已知函数f（x）=x2+x+alnx（a∈R）．（1）对a讨论f（x）的单调性；（2）若x=x0是f（x）的极值点，求证：f（x0）≤．21．（13分）已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c；（2）求椭圆的离心率e的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．17．解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15 45 6025周岁以下组15 25 40合计30 70 100所以可得K2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．18．（1）证明：连接AC1，与AC1交于点E，连接ED，则E为AC1的中点，又点D是AB中点，则DE∥BC1，而DE⊂平面A1DC，BC1不包含于面A1DC，∴BC1∥面A1DC．（2）解：∵二面角A1﹣CD﹣B的平面角与二面角A1﹣CD﹣A的平面角互补，又∵CD⊥AB，CD⊥AA1，∴CD⊥面ADA1，∴CD⊥A1D，∴∠A1DA为二面角A1﹣CD﹣A的平面角，在Rt△A1AD中，∵AA1==AD，∴∠A1DA=45°，∴二面角A1﹣CD﹣A的平面角的大小为45°，∴二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小为135°．19．解：（1）假设存在实数λ符合题意．则必为与n无关的常数，∵=，要使是与n无关的常数，则．故存在实数λ=﹣1．使得数列为等差数列．（2）由（1）可得，∴，∴，∴a n=（n+1）2n+1令b n=（n+1）2n且前n项和为T n，∴…①…②①﹣②得=2n﹣1﹣（n+2）2n+1=﹣n•2n﹣1，∴．∴20．解：（1）∵f（x）=x2+x+alnx，∴x＞0，f′（x）=x+1+=．∴当a≥时，f'（x）≥0在定义域恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜时，f'（x）=0时，x=，≤0⇔a≥0，∴0≤a＜时，f（x）在（0，+∞）单调递增；＞0⇔a＜0，∴a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由（1）可知当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．∴当x=时，函数f（x）有极小值，∴x0=＞0，∴⇒a=﹣﹣x0，∴f（x0）=+x0+alnx0=+x0﹣（+x0）lnx0，记g（x）=x2+x﹣（x2+x）lnx，则g′（x）=﹣（2x+1）lnx，列表分析如下：x （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 ﹣g（x）增极大值减∴g（x）max=g（x）极大值=g（1）=，∴f（x0）≤．21．解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），Q点到右准线的距离为d=﹣x0，则由椭圆的第二定义知：=，∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a，∴当x0=a时，∴|QF2|min=a﹣c．（2）依题意设切线长|PT|=∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，∴≥（a﹣c），∴0＜≤，从而解得≤e＜，故离心率e的取值范围是解得≤e＜，（3）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0得，设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，代入直线方程得y1y2=，x1x2=+y1y2=，又OA⊥OB，∴=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，∴≤e＜•，∴≤c＜1，≤2c+1＜3，∴s∈（0，），所以弦长s的最大值为．。
湖南师大附中2015届高三月考试卷
湖南师大附中2015届高三月考试卷(三)数学（理科）命题：湖南师大附中高三数学备课组一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{|0}P y y =≥，且P Q Q =，则集合Q 可能是 （ ）A ．2{|1}y y x =+ B ．{|2}xy y = C ．{|1}y y gx = D ．∅【答案】C2.函数()412x xf x +=的图象 （ ）A.关于原点对称B.关于直线y=x 对称C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称【答案】D3．下列结论中错误．．的是 ( ) A ．设命题p ：x R ∃∈，使220x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，都有220x x ++≥ B ．若,x y R ∈，则“x y =”是“2()2x y xy +≤取到等号”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∧q 为假命题，则命题p 与q 都为假命题 D ．命题“在ABC ∆中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为真命题 【答案】C4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为 （ ） A. 4 B. 16 C. 256 D. 3log 16 【答案】C5．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(00A ω>>，，||2πϕ≤)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点( )A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为F 1、F 2，渐近线为l 1，l 2，过点F 2且与l 1平行的直线交l 2于M ，若M 在以线段F 1 F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 BCD【答案】A7．已知a r 、b r 、c r 均为单位向量，且满足a r ·b r =0，则（a r +b r +c r ）·（a r +c r）的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B8．某市政府调查市民收入与旅游愿望时，采用独立检验法抽取3000人，计算发现K 2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信)A. 99.5% B ．97.5% C ．95% D ．90% 【答案】B9.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 （ ）A .()0,+∞B . ()(),03,-∞+∞C .()(),00,-∞+∞ D .()3,+∞【解析】构造函数()e ()e ,xxg x f x =⋅-'''()e ()e ()e e ()()10,x x x x g x f x f x f x f x ⎡⎤=⋅+⋅-=+->⎣⎦因为所以()e ()e xxg x f x =⋅-是R 上的增函数，又因为(0)3g =，所以原不等式转化为()(0)g x g >，解得0x >.故选A.10．若存在正整数T ,对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列,周期为T .已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>, 11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩,关于下列命题：①当34m =时，52a =；②若m =则数列{}n a 是周期为3的数列；③若34a =,则m 可以取3个不同的值；④m Q ∃∈且[]4,5m ∈,使得数列{}n a 的周期为6.其中真命题的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【解析】对于①，当34m =时，易求得234541,,3,23a a a a ====，故①为真；对于②，当m =23411,1,a a a a ===，∴数列{}n a 是周期为3的数列，故②为真；对于③，由题意得22332201111a a a a a a<≤⎧>⎧⎪⎨⎨==-⎩⎪⎩或，3214,54a a =∴=或，又11221101111a a a a a a<≤⎧>⎧⎪⎨⎨==-⎩⎪⎩或且1a m =，51645m ∴=或或，故③为真；对于④，当=45m 或时，显然数列{}n a 不是周期数列，当()4,5m ∈时,要使得数列{}n a 的周期为6，必有711,14a a m m =-=-即,此时m Q ∉,故④为假命题.应选C. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c =________. 【答案】2 12．已知二项式3(ax 展开式中各项的系数和为64，则a =_________. 【答案】313．在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为_________．【答案】314．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则其公比q 为 ____________. 【答案】-2第13题PABCDE15．已知()||xf x x e =⋅，方程()2()()10f x tf x t R ++=∈有四个实数根，则t 的取值范围为______________.【解析】()||x f x x e =⋅=(0)(0)xxxe x xe x ⎧≥⎪⎨-<⎪⎩，0x ≥当时，'()0x xf x e xe =+≥恒成立， ()f x ∴在(0,)+∞递增，0x <当时，'()(1),x f x e x =-+此时()f x 在(,1)-∞-上递增，在 (1,0)-上递减，所以()f x 在(,0)-∞上有一个最大值为1(1)f e-=，要使方程()2()()10f x tf x t R ++=∈有四个实根，令()m f x =，则方程210m tm ++=应有两个不等实根，且一个根在1(0,)e内，另一个根在1(,)e +∞内，再令2()1g x m tm =++，(0)10g =>，则只需1()0g e<，解得21e t e +<-. 三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）某学校为准备参加市运动会，对本校高一、高二两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)．跳高成绩在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm 以下定义为“不合格”．(1)如果从所有的运动员中用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共10人，则应抽取“合格”的人数是多少？(2)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员来自高一队的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望．解：(1)根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是101303=，所以应抽取“合格”的人数为12×143=人． ……………4分 (2)依题意，X 的取值为0,1,2. 则 P (X ＝0)＝C 28C 212＝2866＝1433，P (X ＝1)＝C 14C 18C 212＝3266＝1633，高二高一P (X ＝2)＝C 24C 212＝666＝111.因此，X 的分布列如下：10分 ∴E (X )＝0×1433＋1×1633＋2×111＝2233＝23. ………………………………12分17.（本题满分12分）在ABC ∆中，三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ,设函数()2cos 2f x x x =+， 且()22Af =．（1）若cos cos sin a B b A c C +=，求角B 的大小；（2）记()||g AB AC λλ=+，若||||3AB AC ==，试求()g λ的最小值．解：(1)由题设条件知f (x )＝2sin(2x ＋π6)．由正弦定理，知 cos cos sin a B b A c C +=可化为2sin cos sin cos sin A B B A C +=故2sin()sin A B C +=, 即2sin sin C C =因为sin 0C ≠，所以sin 1C =，又因为0C π<<,所以2C π=, …………3分因为()22A f =，得3A π=, 所以()6B AC ππ=-+=. ………………………6分(2) 2222||()||2||||cos ||AB AC AB AC AB AB AC A AC λλλλ+=+=++又||||3AB AC ==，3A π=. ………………………………9分所以22||(1)||(1AB AC AB λλλ+=++==故12λ=-时，()||g AB AC λλ=+.………………………………12分另解：记AB AC AP λ+=,则P 是过B 与AC 平行的直线l 上的动点，()||g AP λ=，所以()g λ的最小值即点A 到直线l .18.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，对角线AC 与BD 交于点O ，3OA =，1OD =，CD =SO ⊥面.ABCD（1）求证：SA BD ⊥；（2）若四棱锥S ABCD -的体积8V =， 求二面角A SB C --的平面角的正弦值. 解：（1）因为1OD =，底面ABCD 为等腰梯形， 所以，1OC =，又CD =OC OD ⊥，即AC BD ⊥，又SO ⊥面ABCD ，则BD SO ⊥， 而SA SO A =，故BD ⊥面SOA ，故SA BD ⊥. ………………………5分 （2）因为底面ABCD 为等腰梯形，且AC BD ⊥，则面积182S AC BD =⋅=， 则四棱锥S ABCD -的体积18 3.3V S SO SO ==⋅⇒= …………………7分 法一（向量法）、建立空间直角坐标系如图所示，则(0,0,0)O ，(3,0,0)A ，(0,3,0)B ，(1,0,0)C -，(0,0,3)S ，于是(3,0,3),(0,3,3)SA SB =-=-，(1,0,3).SC =--令面SAB 的法向量1(,,1)n x y =，由1103303300n SA x y n SB ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩，则1(1,1,1)n =再令面SBC 的法向量2(,,1)n x y =，由110330300n SB y x n SC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩，则2(3,1,1)n =-，设二面角A SB C --的平面角为θ，则121233cos n n nn θ⋅==⋅， 故sin 33θ=. ………………………………12分ABCDSOyABC DSOH法二（几何法）、作OH SB ⊥于点H ，连接AH 、CH由题设条件（或用三垂线定理）可证,AH SB CH SB ⊥⊥，则A H C ∠为二面角A SB C --的平面角。
湖南省师大附中2015届高三数学第一次月考试题 理(含解析)
某某省师大附中2015届高三数学第一次月考试题 理（含解析）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．已知集合M ＝{ |x x2－2x<0}，N ＝{ |x x<a}，若M ⊆N ，则实数a 的取值X 围是()A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0] 【知识点】子集的运算.A1 【答案解析】A 解析：因为2M {|x 2x 0}|02x x x ＝－，N ＝{ |x x<a}，M ⊆N ，所以2a，故选A.【思路点拨】先化简集合M ，再利用M ⊆N 即可.【题文】2．下列四个命题p1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x < ⎝ ⎛⎭⎪⎫13xp2：∃x ∈(0，1)，log 12x>log 13x p3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x p4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<log 13x 其中的真命题是()A ．p1，p3B ．p1，p4C ．p2，p3D ．p2，p4【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案解析】D 解析：对应命题p1可，分别作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象如图：由图象 可知：∀x ∈（0，+∞），⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，所以命题p1错误．p2：作出对数函数y1＝12logx，y2＝13logx的图象，由图象知：∃x∈（0，1），使命题p2正确．p3：作出函数y1＝12logx，y2＝(12)x的图象，由图象知命题p3不正确．P4：当x∈（0，13）时，13logx＞1，(12)x＜1，所以恒有13logx＞(12)x成立，所以命题P4正确．故选D．【思路点拨】分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题．p1可利用两个指数函数的图象进行判断．p2可以利用对数的图象来判断．p3可以利用对数和指数函数的图象来判断．p4：利用指数函数和对数函数的图象来判断．【题文】3．在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出()A．10 B．11 C．512 D．1 024【知识点】程序框图．L1【答案解析】D 解析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下；n=3，s=1，k=1，k≤n，是，s=1×2=2；k=2，k≤n，是，s=2×2=4= 22；k=3，k≤n，是，s=4×2=8= 32；…k=11，k≤n，否，输出s= 102．故选：D ．【思路点拨】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【题文】4．将函数f(x)＝sin x ＋cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为() A ．－π4 B.π4 C.3π4 D.5π4【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】C 解析：化简得sin cos 2sin 4y x xx，根据图象平移规律可得平移后函数2sin 4yx，又所得函数图象关于原点对称，∴4k，（k ∈Z ）,∴4k（k ∈Z ），当k=1时，取最小值为34,故选C.【思路点拨】化简得sin cos 2sin 4y x xx，根据图象平移规律可得平移后函数2sin 4y x，又所得函数图象关于原点对称解得取最小值为34.【题文】5．若实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧y≥2||x －1y≤x＋1，则z ＝x ＋3y 的最大值为()A ．9B ．11C ．12D ．16 【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】B 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y ，得133z y x ＝，平移直线133z y x ＝，由图象可知当133z y x ＝，经过点C 时，直线截距最大，此时z最大．由211y x yx 得23x y ，即C （2，3），此时z=x+3y=2+3×3=11， 故选：B ．【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论．【题文】6．不全相等的五个数a 、b 、c 、m 、n 具有关系如下：a 、b 、c 成等比数列，a 、m 、b 和b 、n 、c 都成等差数列，则a m ＋cn ＝()A ．－2B ．0C ．2D ．不能确定 【知识点】等差、等边数列.D2 D3【答案解析】C 解析：不妨令1,2,4,a b c 则3,32mn ，代入可得2a c m n，故选C.【思路点拨】不妨令1,2,4,a bc 则3,32mn ，代入可得结果.【题文】7．已知边长为1的正方形ABCD 位于第一象限，且顶点A 、D 分别在x 、y 的正半轴上(含原点)滑动，则OB →·OC →的最大值是() A ．1 B.22C ．2 D. 5 【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用．F3【答案解析】C 解析：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=2-θ，AB=1，故xB=cosθ+cos（2-θ）=cosθ+sinθ，yB=sin （2-θ）=cosθ，故OB →=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C （sinθ，cosθ+sinθ），即OC →=（sinθ，cosθ+sinθ），∴OB →·OC →=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，故OB →·OC →的最大值是2，故答案是 2．【思路点拨】令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上，可得出B ，C 的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可． 【题文】8．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为() A.34 B.32C. 3 D ．2 3【知识点】三视图.G2【答案解析】D 解析：如图所示，四面体为棱长为2的正四面体，2142sin 60232S.【思路点拨】根据题意转化为正方体内的正四面体，可知其棱长再求面积即可.【题文】9．若曲线C1：x2＋y2－2x ＝0与曲线C2：y(y －mx －m)＝0有4个不同的交点，则实数m 的取值X 围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞【知识点】圆的一般方程；圆方程的综合应用．H3 H4【答案解析】B 解析：曲线C1：(x －1)2＋y2＝1，图象为圆心为(1，0)，半径为1的圆；曲线C2：y ＝0，或者y －mx －m ＝0，直线y －mx －m ＝0恒过定点(－1，0)，即曲线C2图象为x 轴与恒过定点(－1，0)的两条直线．作图分析：k1＝tan 30°＝33，k2＝－tan 30°＝－33，又直线l1(或直线l2)、x 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m ＝k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33. 【思路点拨】由题意可知曲线C1：x2+y2-2x=0表示一个圆，曲线C2：y （y-mx-m ）=0表示两条直线y=0和y-mx-m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y-mx-m=0要有2个交点，根据直线y-mx-m=0过定点，先求出直线与圆相切时m 的值，然后根据图象即可写出满足题意的m 的X 围．【题文】10．已知集合A ＝{}x |x ＝a0＋a1×3＋a2×32＋a3×33，其中ai ∈{}0，1，2()i ＝0，1，2，3且a3≠0，则A 中所有元素之和等于()A ．3 240B ．3 120C ．2 997D ．2 889 【知识点】数列的求和;分类计数原理.J1D4【答案解析】D 解析：由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法(均可取0，1，2)，a3有2种取法(可取1，2)，由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2＝18种方法，即集合A 中含有a0项的所有数的和为(0＋1＋2)×18；同理可得集合A 中含有a1项的所有数的和为(3×0＋3×1＋3×2)×18； 集合A 中含有a2项的所有数的和为(32×0＋32×1＋32×2)×18； 集合A 中含有a3项的所有数的和为(33×1＋33×2)×27； 由分类计数原理得集合A 中所有元素之和：S ＝(0＋1＋2)×18＋(3×0＋3×1＋3×2)×18＋(32×0＋32×1＋32×2)×18＋(33×1＋33×2)×27＝18(3＋9＋27)＋81×27＝702＋2 187＝2 889.故选D. 【思路点拨】由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A 中所有元素之和．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．【题文】11．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，∠A＝60°，则cos B ＝____．【知识点】正弦定理.C8【答案解析】63解析：∵在△ABC 中，a=15，b=10，A=60°，由正弦定理可得01510sin60sin B ，解得sinB=33．又因为b<a ，所以B<A，则6cos 3B，故答案为63.【思路点拨】先利用正弦定理求得sinB ，再利用平方关系解得cos B 即可.【题文】12．如右图，椭圆x216＋y212＝1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y 轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为____．【知识点】椭圆的应用；与二面角有关的立体几何综合题．H5 G11【答案解析】3 解析：连接A1O ∵A1 O ⊥y 轴，A O ⊥y 轴， ∴∠A1 O A2为两个面的二面角．|A1 O |=a=4，O F|=c=2，∴cos∠A1 O A2= 12c a ，∴∠A1 O A2= 3，故答案为3.【思路点拨】连接A1 O 根据椭圆的性质可知A1 O ⊥y 轴，A2 O ⊥y 轴，推断出∠A1 O A2为所求的二面角，利用椭圆的方程求得a 和c ，即|A1 O |和| O F|的值，进而在Rt△A1 O A2中利用求得cos∠A1 O A2进而求得∠A1 O A2． 【题文】13．若f(x)＋⎠⎛01f(x)dx ＝x ，则f(x)＝__ _．【知识点】定积分.B13【答案解析】x －14 解析：因为⎠⎛01f(x)dx 是个常数，不妨设为m ，所以f(x)＝x －m ，其原函数F(x)＝12x2－mx ＋C(C 为常数)，所以可得方程m ＝12－m ，解得m ＝14.故f(x)＝x －14.【思路点拨】根据已知条件设f(x)＝x －m 代入求出m 即可.【题文】14．在函数f(x)＝aln x ＋(x ＋1)2()x>0的图象上任取两个不同的点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，总能使得f(x1)－f(x2)≥4(x 1－x2)，则实数a 的取值X 围为__． 【知识点】函数的性质及应用；导数的概念及应用．B12【答案解析】⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：由题意f′(x)≥4对任意x>0恒成立，也就是 a≥()2x （1－x ）max ＝12.【思路点拨】由题意f′(x)≥4对任意x>0恒成立, 由此构造关于a 的不等式，可得实数a的取值X 围．【题文】15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，图中的实心点的个数1、5、12、22、…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，……，若按此规律继续下去，则a5＝____，若an ＝145，则n ＝___.【知识点】归纳推理．M1【答案解析】35,10解析：第一个有1个实心点， 第二个有1+1×3+1=5个实心点，第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点， …第n 个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n-1）+1=3(1)2n n +n 个实心点， 故当n=5时，3(1)2n n +n=30+5=35个实心点． 若an=145，即3(1)2n n +n=145，解得n=10故答案为：35，10．【思路点拨】仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及an=145时，n 的值即可．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【题文】16．(本题满分12分) 设f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π6－2cos2π8x ＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象关于直线x ＝1对称，求当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时y ＝g(x)的最大值．【知识点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．C3 C5【答案解析】(1) 8 (2) 32解析：(1)f(x)＝sinπ4xcos π6－cos π4xsin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π3，故f(x)的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(6分)(2)法一：在y ＝g(x)的图象上任取一点(x ，g(x))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g(x))． 由题设条件，点(2－x ，g(x))在y ＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－π4x －π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π3，当0≤x≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3 ，因此y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43 上的最大值为ymax ＝3cos π3＝32.(12分)法二： 因区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2， 且y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为y ＝f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值．由(1)知f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π3.当23≤x≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为ymax ＝3sin π6＝32.(12分)【思路点拨】（1）f （x ）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f （x ）的最小正周期；（2）在y=g （x ）的图象上任取一点（x ，g （x ）），根据f （x ）与g （x ）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f （x ）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g （x ）的最大值． 【题文】17．(本题满分12分)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A 、B 、C 三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A 、B 、C 测试的概率为分别为15、13、12， 且通过各次测试的事件相互独立．(1)若甲选手先测试A 项目，再测试B 项目，后测试C 项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望(用p1、p2、p3表示)；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．【知识点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．K5 K6【答案解析】(1) 即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为1115 (2) 按C→B→A 的顺序参加测试更有利于进入正赛．解析：(1)依题意，甲选手不能通过海选的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－12＝415， 故甲选手能通过海选的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－12＝1115.(3分)若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－12＝415，即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为1115.(5分)(2)依题意，ξ的所有可能取值为1、2、3.P(ξ＝1)＝p1，P(ξ＝2)＝(1－p1)p2，P(ξ＝3)＝(1－p1)(1－p2)p3. 故ξ的分布列为ξ 1 2 3Pp1(1－p1)p2(1－p1)(1－p2)p3(8分)Eξ＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)p3(10分)分别计算当甲选手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B 的顺序参加测试时，Eξ的值，得甲选手按C→B→A 的顺序参加测试时，Eξ最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A 的顺序参加测试更有利于进入正赛．(12分) 【思路点拨】（1）求出甲同学不能通过海选的概率，利用对立事件的概率公式，可求甲同学能通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概没有影响，因为无论按什么顺序，甲同学不能通过海选的概率不变；（2）ξ的可能取值为1，2，3，求出相应概率，可得分布列与期望；利用参加海选测试次数少的选手进入正赛，可得结论． 【题文】18．(本题满分12分)如图，△ABC 的外接圆⊙O 的半径为5，CE 垂直于⊙O 所在的平面，BD∥CE，CE ＝4，BC ＝6，且BD ＝1，cos ∠ADB ＝101101. (1)求证：平面AEC⊥平面BCED ；(2)试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．G10【答案解析】(1)见解析 (2) 存在点M ，且DM →＝13DE →时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121.解析：(1)证明：∵BD⊥平面ABC ∴BD⊥AB，又因为 BD ＝1，cos∠ADB＝101101. 故AD ＝101，AB ＝10＝直径长，(3分)∴AC⊥BC.又因为EC⊥平面ABC ，所以EC⊥BC.∵AC∩EC＝C ，∴BC⊥平面ACE ，又BC ⊂平面BCED ， ∴平面AEC⊥平面BCED.(6分)(2)法一：存在，如图，以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CE 为z 轴建立空间直角坐标系，则有点的坐标，A(8，0，0)，B(0，6，0)，D(0，6，1)，E(0，0，4)． 则AD →＝(－8，6，1)，DE →＝(0，－6，3)，设DM →＝λDE →＝λ(0，－6，3)＝(0，－6λ，3λ)，0<λ<1 故AM →＝AD →＋DM →＝(－8, 6－6λ，1＋3λ) 由(1)易得平面ACE 的法向量为CB →＝(0，6，0)， 设直线AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ＝|AM →·CB →||AM →|·|CB →|＝36－36λ64＋36（1－λ）2＋（1＋3λ）2·6＝22121，解得λ＝13.(10分)所以存在点M ，且DM →＝13DE →时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121. (12分)法二：(几何法)如图，作MN⊥CE 交CE 于N ，连接AN ，则MN⊥平面AEC ，故直线AM 与平面ACE 所成的角为∠MAN，且MN⊥AN，NC⊥AC.设MN ＝2x ，由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121， 得AM ＝21x ，所以AN ＝17x.另一方面，作DK∥MN∥BC，得EN ＝x ，NC ＝4－x 而AC ＝8，故Rt△ANC 中，由AN2＝AC2＋NC2 得17x2＝64＋(4－x)2，∴x＝2，∴MN＝4，EM ＝2 5所以存在点M ，且EM ＝25时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121. (12分)【思路点拨】（1）由已知易得AB 是⊙O 的直径，则AC⊥BC 由线面垂直的判定定理可得CE⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理可得平面AEC⊥平面BCDE ；（2）方法一：过点M 作MN⊥CE 于N ，连接AN ，作MF⊥CB 于F ，连接AF ，可得∠MAN 为MA 与平面ACE 所成的角，设MN=x ，则由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121，我们可以构造关于x 的方程，解方程即可求出x 值，进而得到点M 的位置．方法二：建立如图所示空间直角坐标系C-xyz ，求出平面ABC 的法向量和直线AM 的方向向量（含参数λ），由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121，根据向量夹角公式，我们可以构造关于λ的方程，解方程即可得到λ值，进而得到点M 的位置． 【题文】19．(本题满分13分)等比数列{an}中的前三项a1、a2、a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．⎝ ⎛⎭⎪⎫5436108201216(1)求此数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn ＝3an －()－1nlg an ，求数列{bn}的前n 项和Sn. 【知识点】数列的求和；等比数列的性质．D3 D4【答案解析】(1) an ＝3·2n－1 (2) Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧9（2n －1）－n2lg 2，n 为偶数，9（2n －1）＋n －12lg 2＋lg 3，n 为奇数.解析：(1)经检验，当a1＝5或4时，不可能得到符合题中要求的等比数列；故有a1＝3，a2＝6，a3＝12，等比数列公比q ＝2， 所以an ＝3·2n－1.(5分)(2)由an ＝3·2n －1得bn ＝3an －()－1nlg an ＝9×2n －1－(－1)n []lg 3＋（n －1）lg 2.所以Sn ＝9(1＋2＋…＋2n －1)－⎣⎡⎦⎤()－1＋()－12＋…＋()－1n(lg 3－lg 2)－[]－1＋2－3＋…＋（－1）nn lg 2(9分)n 为偶数时，Sn ＝9×1－2n 1－2－n 2lg 2＝9(2n －1)－n2lg 2.n 为奇数时，Sn ＝9×1－2n 1－2＋(lg 3－lg 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n lg 2＝9(2n －1)＋n －12lg 2＋lg 3.所以， Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧9（2n －1）－n2lg 2，n 为偶数，9（2n －1）＋n －12lg 2＋lg 3，n 为奇数.(13分)【思路点拨】(1)先检验再利用等比数列的通项公式即可；（2）分情况讨论即可. 【题文】20．(本题满分13分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆Γ∶x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F 和上顶点B.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求OM →·OQ →的最大值．【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题．H8 【答案解析】(1) x28＋y24＝1. (2) 2 3.解析：(1)在C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2中，令y ＝0得F(2，0)，即c ＝2，令x ＝0，得B(0，2)，b ＝2， 由a2＝b2＋c2＝8，∴椭圆Γ：x28＋y24＝1.(4分)(2)法一：依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x28＋y24＝1得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝221＋2k2.(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx （x －1）2＋（y －1）2＝2得：(1＋k2)x2－(2＋2k)x ＝0，∴x1＝2＋2k 1＋k2，∴OM →·OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x12，kx12·(x2，kx2)＝12(x1x2＋k2x1x2)＝221＋k 1＋2k2(k>0). (9分)＝22（1＋k ）21＋2k2＝22k2＋2k ＋11＋2k2.设φ(k)＝k2＋2k ＋11＋2k2，φ′(k)＝－4k2－2k ＋2（1＋2k2）2，令φ′(k)＝－4k2－2k ＋2（1＋2k2）2>0，得－1<k<12.又k>0，∴φ(k)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．∴当k ＝12时，φ(k)max＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，即OM →·OQ →的最大值为2 3.(13分)法二：依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x28＋y24＝1得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝221＋2k2.(6分)OM →·OQ →＝(OC →＋CM →)·OQ →＝OC →·OQ → ＝(1，1)·(x2，kx2)＝(1＋k)x2＝221＋k1＋2k2(k>0)(9分)＝22（1＋k ）21＋2k2.设t ＝1＋k(t>1)，则（1＋k ）21＋2k2＝t22t2－4t ＋3＝12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －232＋23≤32.当且仅当1t ＝23时，(OM →·OQ →)max ＝2 3.(13分)【思路点拨】(1) 在圆（x-1）2+（y-1）2=2中，令y=0，得F （2，0），令x=0，得B （0，2），由此能求出椭圆方程． (2) 依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2) ，把直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系代入，再结合基本不等式即可.【题文】21．(本题满分13分)已知函数f(x)＝ex －ax2－2x －1(x∈R)． (1)当a ＝0时，求f(x)的单调区间；(2)求证：对任意实数a<0，有f(x)>a2－a ＋1a.【知识点】利用导数求函数的单调区间；利用导数结合函数的单调性证明不等式.B3 B12 【答案解析】(1) (－∞，ln 2)是f(x)的单调减区间，(ln 2，＋∞)是f(x)的单调增区间． (2)见解析。
湖南师大附中2015届高三月考试卷(五)
湖南师大附中2015届高三月考试卷（五）高三2011-05-16 09:04湖南师大附中2015届高三月考试卷（五）语文湖南师大附中高三语文备课组组稿试题卷共7道大题，21道小题，共10页。
时量150分钟，满分150分。
得分：一、语言文字运用（12分，每小题3分）1．下列词语中加点字的读音，全都不相同的一组是A.创举呛人沧海桑田怆然泪下B.妖娆蹊跷饶有兴味百折不挠C.洒脱哂笑风吹日晒两栖动物D.瞳孔潼关招摇撞骗灯影幢幢2．下列各句中，有两个错别字的一句是A.俄罗斯国防部长谢尔久科夫在接受“俄罗斯24小时”电视频道的专访时表示，希望与北约就欧洲导弹防御系统的整体发展规模进行蹬商并达成协议。
且新《价格违法行为行政处罚规定》细化了对多种价格违法行为的认定，加大了对操纵市场价格，造成商品价格较大副度上涨等违法行为的处罚力度。
C．高考前家长往往会对考生关怀倍至，却不知道这样做容易给孩子带来无形的压力，引起孩子的焦躁情绪，而焦躁的心情有可能直接影响高考的发挥。
D．这张画运笔拘谨，主题比较杂乱，显得粗糙和幼稚，但它的色彩搭配很和谐，层次感强，构图别出新裁。
你把它贬得一无是处，这未免也太过分了。
3．下列各句中，没有语病的一句是A．普通高中新课程在课程结构上进行了重大调整，课程结构的多样化对学生自主选择课程提供了条件，但是同时也给学校课程的设置增加了难度。
B．中央经济工作会议明确释放出积极稳健、审慎灵活的宏观经济政策信号，并着重提出，2011年一定要把稳定物价总水平放在一个更为突出的位置。
C．气候变化是当今全球面临的重大挑战，拯救地球家园，遏制气候变暖，是人类共同的使命，每个国家和民族、每个企业和个人，都应行动起来。
D.长沙、株洲、湘潭城市群建设的启动，对道路、交通、媒体、通讯等行业提出了新要求，与此相关，长沙商业圈无疑也将面对重新洗牌的问题。
4．将下列句子排列成一副对联，最恰当的一项是①人惟八千②众才一旅③孙策以天下为三分④项籍用江东之子弟A.①②③④B.③②④①C.④①③②D.①③②④二、文言文阅读（(22分。
湖南师大附中高三数学上学期第一次月考试卷文(含解析)
湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．D．2．（5分）极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是（）A．一条直线B．一个圆C．一条抛物线D．一条双曲线3．（5分）设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）A．﹣1＜x≤1B．x≤1C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜14．（5分）如果函数f（x）=sin（x+θ）（0＜θ＜π）是最小正周期为T的偶函数，那么（）A．T=4π，θ=B．T=4，θ=C．T=4，θ=D．T=4π，θ=5．（5分）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是（）A．若α∥b，β∥b，则α∥βB．若α∥a，α∥b，则a∥bC．若a⊥α，b⊥β，则α∥βD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β6．（5分）若ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则对于函数f（x）=ax2+bx+c应有（）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1）B．f（5）＜f（﹣1）＜f（2） C． f（﹣1）＜f（2）＜f（5）D．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）7．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定8．（5分）若＜＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．ab＜b2B．a+b＜ab C．a2＞b2D．+＞29．（5分）已知a n=log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列运算：a1•a2=log23•log34=•=2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log78=••…•=3；…．若a1•a2•a3•…•a k（k∈N*）为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1•a2•a3•…•a k=2 014时，“企盼数”k为（）A．22014+2 B．22014C．22014﹣2 D．22014﹣410．（5分）过点（﹣2，0）的直线l与抛物线y=相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于（）A．﹣B．﹣C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．（5分）在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取个．12．（5分）阅读框图填空：若a=0.80.3，b=0.90.3，c=log50.9，则输出的数是．13．（5分）若直线y=kx与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则k的值是．14．（5分）函数f（x）=x（e x+1）+x2，则函数f（x）的单调增区间为．15．（5分）当n为正整数时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如：N（3）=3，N（10）=5，记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2n），则（1）S（3）=．（2）S（n）=．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sinωx•cosωx+cos2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求当x∈（0，]时f（x）的值域．17．（12分）某中学2015届高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：组序分组频数频率第一组[180，210） 5 0.1第二组[210，240）10 0.2第三组[240，270）12 0.24第四组[270，300） a b第五组[300，330） 6 c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，求在第二组学生中应抽取多少人？（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．18．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，PC=BC=4，AB=2，E、F分别是PB、PA的中点．（1）求证：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积．19．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b（a，b∈R）在[﹣1，1]上是减函数．（1）求实数a的取值范围；（2）设＜a＜1，若对任意实数u、v∈[a﹣1，a]，不等式|f（u）﹣f（v）|≤恒成立，求实数a的最小值．20．（13分）如图，已知双曲线，其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B．过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足，．（1）求双曲线的离心率；（2）若a=2，过点B作直线l分别交双曲线的左支、右支于M、N两点，且△OMN的面积S△OMN=，求l的方程．21．（13分）设不等式组所表示的平面区域为D n，记D n内整点的个数为a n（横纵坐标均为整数的点称为整点）．（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列{a n}的前n项的和为S n，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得所给的复数为，再根据它为纯虚数，可得a﹣1=0，且a+1≠0，由此求得a的值．解答：解：a是实数，且==为纯虚数，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得 a=1，故选B．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是（）A．一条直线B．一个圆C．一条抛物线D．一条双曲线考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用即可把极坐标方程化为直角坐标方程，即可判断出．解答：解：极坐标方程ρcos2θ=4sinθ化为ρ2cos2θ=4ρsinθ，∴x2=4y．因此极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是一条抛物线．故选：C．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程，属于基础题．3．（5分）设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）A．﹣1＜x≤1B．x≤1C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；集合．分析：判断“x∈A且x∉B”成立的充要条件要分别说明必要性与充分性．解答：解：∵集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，又∵“x∈A且x∉B”，∴﹣1＜x＜1；又由﹣1＜x＜1时，满足x∈A且x∉B．故选D．点评：本题考查了充要条件的求法，要分别说明必要性与充分性．属于基础题．4．（5分）如果函数f（x）=sin（x+θ）（0＜θ＜π）是最小正周期为T的偶函数，那么（）A．T=4π，θ=B．T=4，θ=C．T=4，θ=D．T=4π，θ=考点：三角函数的周期性及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由条件根据正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，可得结论．解答：解：根据函数f（x）=sin（x+θ）（0＜θ＜π）是最小正周期为T的偶函数，可得T==4，且θ=，故选：B．点评：本题主要考查正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．5．（5分）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是（）A．若α∥b，β∥b，则α∥βB．若α∥a，α∥b，则a∥bC．若a⊥α，b⊥β，则α∥βD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若α∥b，β∥b，则α与β相交或平行，故A错误；若α∥a，α∥b，则a与b相交、平行或异面，故B错误；若a⊥α，b⊥β，则α与β相交或平行，故C错误；若a⊥α，a⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．点评：本小题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间想象能力和思维能力的培养．6．（5分）若ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则对于函数f（x）=ax2+bx+c应有（）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1）B．f（5）＜f（﹣1）＜f（2） C． f（﹣1）＜f（2）＜f（5）D．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由于ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，可知；﹣2，4是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．得到=﹣2，=﹣8．因此函数f（x）=ax2+bx+c=a=a（x﹣1）2﹣9a．可知：a＜0，抛物线开口向下，且对称轴为x=1．当x≥1时，函数f（x）单调递减．即可得出．解答：解：∵ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，∴﹣2，4是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．∴﹣2+4=，﹣2×4=．化为=﹣2，=﹣8．∴函数f（x）=ax2+bx+c=a=a（x2﹣2x﹣8）=a（x﹣1）2﹣9a．∵a＜0，抛物线开口向下，且对称轴为x=1．∴当x≥1时，函数f（x）单调递减，∴f（5）＜f（3）＜f（2），f（3）=f（﹣1），∴f（5）＜f（﹣1）＜f（2）．故选：B．点评：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系、二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．7．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定考点：余弦定理．专题：计算题．分析：先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．解答：解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A点评：考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力．8．（5分）若＜＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．ab＜b2B．a+b＜ab C．a2＞b2D．+＞2考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于＜＜0，可得b＜a＜0，因此b2＞a2，即可得出．解答：解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴b2＞a2，因此C不正确．故选：C．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．9．（5分）已知a n=log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列运算：a1•a2=log23•log34=•=2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log78=••…•=3；…．若a1•a2•a3•…•a k（k∈N*）为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1•a2•a3•…•a k=2 014时，“企盼数”k为（）A．22014+2 B．22014C．22014﹣2 D．22014﹣4考点：数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得lg（k+2）=lg 22014，由此能求出k．解答：解：由已知得a1•a2•a3•…•a k==2 014，lg（k+2）=lg 22014，解得k=22014﹣2．故选：C．点评：本题考查“企盼数”k的求法，是中档题，解题时要注意对数性质的合理运用．10．（5分）过点（﹣2，0）的直线l与抛物线y=相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于（）A．﹣B．﹣C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x2﹣2kx﹣4k=0，由此利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率．解答：解：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x2﹣2kx﹣4k=0，设两个交点是A（x1，y1），B（x2，y2），则，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2=﹣1．∴k=且满足△＞0．故选：C．点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．（5分）在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取12个．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：∵在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，∴二等品中应抽取个，故答案为：12点评：本题主要考查分层抽样的应用，建立比例关系是解决本题的关键．12．（5分）阅读框图填空：若a=0.80.3，b=0.90.3，c=log50.9，则输出的数是b（或0.90.3）．考点：选择结构．专题：算法和程序框图．分析：根据指数函数和对数函数的图象和性质比较0.80.3，0.90.3，log50.9三个数的大小，由框图即可确定输出的数．解答：解：指数函数和对数函数的图象和性质可知0.80.3＜0.90.3，且0.90.3＞log50.9，执行框图流程可知输出的数为：b（或0.90.3）故答案为：b（或0.90.3）．点评：本题主要考查流程图和算法以及指数函数、对数函数的图象和性质，属于基础题．13．（5分）若直线y=kx与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则k的值是±．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先根据圆的方程求出圆心和半径，再根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值．解答：解：圆x2+y2﹣4x+3=0，即（x﹣2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心、半径等于1的圆．根据圆心到直线的距离等于半径可得=1，求得k=±．故答案为：±．点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=x（e x+1）+x2，则函数f（x）的单调增区间为（﹣1，+∞）（注：[﹣1，+∞）也可）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：只需在定义域内解不等式f′（x）＞0，注意定义域的书写形式．解答：解：f′（x）=e x+1+xe x+x=（e x+1）（x+1），令f′（x）＞0，得x＞﹣1，∴函数f（x）的单调增区间为（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题，求f（x）的增区间只需解f′（x）＞0，求减区间只需解f′（x）＜0，注意单调区间为定义域的子集．15．（5分）当n为正整数时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如：N（3）=3，N（10）=5，记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2n），则（1）S（3）=22．（2）S（n）=．考点：函数的值．专题：计算题；新定义．分析：（1）由题意可得，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（8），分别寻求每一项的值，然后可求（2）先根据题意求出当n=1时，S（1）=N（1）+N（2），S（2）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4），S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（8），S（4）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N （16），根据值出现的规律总结一般规律，然后可求解答：解：（1）由题意可得，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（8）=1+1+3+1+5+3+7+1=22 （2）由题意可得，当n=1时，S（1）=N（1）+N（2）=1+1=2当n=2时，S（2）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）=[N（1）+N（3）]+N（2×1）+N（4×1）=（1+3）+1+1=22+2当n=3时，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（8）=[N（1）+N（3）+N（5）+N（7）]+[N（2）+N（6）]+[N（4）+N（8）]=（1+3+5+7）+（1+3）+（1+1）=24+22+2当n=4，S（4）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（16）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（6）+N（10）+N（14）]+[N（4）+N（8）+N（12）+N（16）]=（1+3+5+7+9+11+13+15）+（1+3+5+7）+（1+1+3+1）=64+16+6=26+24+22+2n=5，S（5）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（32）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（31）]+[N（2）+N（6）+N（10）+…N（30）]+[N（4）+N（8）+…N（32）]=（1+3+5++…+31）+（1+3+5+…+15）+（1+1+3+1+5+3+7+1）=256+64+22=28+26+24+22+2∴S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2n）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（2n﹣1）]+[N（2）+N（6）+N（10）+…N（2n﹣2）]+[N（4）+N（8）+…N（2n）]=22n﹣2+22n﹣4+…+22+2==2=故答案为：22，点评：本题以新定义为载体，主要考查了函数的函数值的求解，解题的关键是根据前几项的值寻求函数值出现的规律三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sinωx•cosωx+cos2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求当x∈（0，]时f（x）的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2ωx+）+，由此根据周期为π求得ω的值．（2）当x∈（0，]时，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．解答：解：（1）f（x）=sinωxcosωx++1=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2ωx+）+．∵ω＞0，∴T==π，∴ω=2．（2）由（1）得：f（x）=sin（2ωx+）+，∵0＜x≤，∴＜2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴1≤f（x）≤，即f（x）的值域是[1，]．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．17．（12分）某中学2015届高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：组序分组频数频率第一组[180，210） 5 0.1第二组[210，240）10 0.2第三组[240，270）12 0.24第四组[270，300） a b第五组[300，330） 6 c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，求在第二组学生中应抽取多少人？（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，再求b、c的值；（2）先求抽取比例，根据抽取比例求在第二组学生中应抽取的人数；（3）计算从5名学生中随机抽取2人的取法种数和恰好抽到1名男生和1名女生的取法种数，利用古典概型概率公式计算．解答：解：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，b==0，34，c==0.12；（2）∵分层抽样的抽取比例为，∴在第二组学生中应抽取10×=4人；（3）从5名学生中随机抽取2人共有=10种取法，恰好抽到1名男生和1名女生的取法有=6种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为=．点评：本题考查了古典概型的概率计算，考查了组合数公式的应用，解题的关键是读懂频率分布表．18．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，PC=BC=4，AB=2，E、F分别是PB、PA的中点．（1）求证：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积．考点：平面与平面垂直的判定；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知得AB⊥PC，AB⊥BC，从而AB⊥侧面PBC，由此能证明侧面PAB⊥侧面PBC．（2）由已知得CE⊥PB，CE⊥EF．从而EF⊥侧面PBC，故EC、EF、EP两两垂直，从而三棱锥P ﹣CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球，由此能求出三棱锥P﹣CEF 的外接球的表面积．解答：（1）证明：∵PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC，AB⊂侧面PAB，故侧面PAB⊥侧面PBC．（6分）（2）解：∵PC=BC=4，E为PB的中点，∴CE⊥PB，而侧面PAB垂直侧面PBC于PB，∴CE⊥EF．由E、F分别是PB、PA的中点有EF∥AB，则EF⊥侧面PBC．故EC、EF、EP两两垂直，（9分）三棱锥P﹣CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球，由已知得EC=EP=2，EF=1，其外接球的直径是=，故所求三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积是=17π．（12分）点评：本题考查侧面PAB⊥侧面PBC的证明，考查三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b（a，b∈R）在[﹣1，1]上是减函数．（1）求实数a的取值范围；（2）设＜a＜1，若对任意实数u、v∈[a﹣1，a]，不等式|f（u）﹣f（v）|≤恒成立，求实数a的最小值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知得x∈[﹣1，1]时，f′（x）=x2+ax﹣a﹣2≤0恒成立，由此能求出a≥﹣．（2）由已知得＜a＜1，﹣＜a﹣1＜0，[a﹣1，a]⊂[﹣1，1]，f（x）在[a﹣1，a]上是减函数，从而得到f max﹣f min≤，由此能求出实数a的最小值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b，∴f′（x）=x2+ax﹣a﹣2，由函数f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b（a，b∈R）在[﹣1，1]上是减函数得：x∈[﹣1，1]时，f′（x）=x2+ax﹣a﹣2≤0恒成立．（3分）∴，解得a≥﹣．（6分）（2）∵＜a＜1，∴﹣＜a﹣1＜0，∴[a﹣1，a]⊂[﹣1，1]，故f（x）在[a﹣1，a]上是减函数，（7分）∴f max=f（a﹣1）=（a﹣1）3+a（a﹣1）2﹣（a+2）（a﹣1）+b，f min=f（a）=a3+a3﹣a（a+2）+b．依条件有f max﹣f min≤，∴f max﹣f min=﹣2a2+a+≤，（11分）即8a2﹣10a+3≥0，a≥或a≤，∵＜a＜1，∴a min=．（13分）点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．20．（13分）如图，已知双曲线，其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B．过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足，．（1）求双曲线的离心率；（2）若a=2，过点B作直线l分别交双曲线的左支、右支于M、N两点，且△OMN的面积S△OM N=，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．专题：综合题；转化思想．分析：（1）欲求双曲线的离心率，只需找到含a，c的齐次式，由已知，易求P点坐标，根据，可判断D点为FP的中点，再根据可找到a，b的关系，进而转化为含a，c的等式，即可求出离心率e的值．（2）当a=2时，根据（1）中所求离心率，可求出b的值，进而求出双曲线方程，根据直线MN过B点，设出直线MN的方程，与双曲线方程联立，解出x1+x2，x1x2，△OMN被y轴分成两个三角形，分别求出面积，再相加，即为△OMN的面积，让其等于题目中所给的值，可得到关于直线l的斜率k的方程，解出k即可．解答：解：（1）∵B（0，﹣b）∵，即D为线段FP的中点．，∴，即A、B、D共线．而，，∴，得a=2b，∴（2）∵a=2，而，∴b2=1，故双曲线的方程为…①∴B、的坐标为（0，﹣1）设l的方程为y=kx﹣1…②②代入①得（1﹣4k2）x2+8kx﹣8=0由题意得：得：设M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）则而==整理得24k4﹣11k2+1=0，解得：或（舍去）∴所求l的方程为点评：本题主要考查了双曲线离心率的求法，以及直线与双曲线位置关系的应用．21．（13分）设不等式组所表示的平面区域为D n，记D n内整点的个数为a n（横纵坐标均为整数的点称为整点）．（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列{a n}的前n项的和为S n，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．考点：数列与不等式的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列{a n}的通项公式；（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论．解答：解：（1）D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，∴a2==25．（3分）（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），据题意有a n==10n+5．（6分）（另解：a n=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）S n=5n（n+2）．（8分）∵==•＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜（13分）点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
湖南师大附中2015届高三第二次月考试卷
湖南师大附中2015届高三第二次月考试卷高三2012-11-05 12:07湖南师大附中2015届高三第二次月考试卷语文一、语言文字运用（12分，每小题3分）1．下列词语中加点的字，读音全部正确的一组是A.锃亮zâng憎恶zēng裹挟xiã臧否人物pǐB.服帖tiē场院chǎng摇晃huàng戛然而止jiáC.监生jiàn踯躅zhí蘸水zhān量体裁衣liàngD.毗邻pí纰漏pī唠叨lāo蒙头盖脸mãng1. A/ B场cháng C蘸zhàn D唠láo2．下列词语中，没有错别字的一组是A．悚然发轫挖墙角绵里藏针B．膨胀脉搏舶来品蛛丝蚂迹C．蛰伏冒然捅娄子声名鹊起D．瓦楞撤销掉书袋要言不烦2．D/A 角——脚 B蚂——马 C冒——贸3. 下列各句中，加点的成语使用不恰当的一项是A. 昨天还在施威的强降雨已经逐渐减弱，不过，扰人的雨水并未偃旗息鼓。
在新一股冷空气的影响下，又有一场强降雨在我国东南部地区孕育。
B. 钓鱼岛之争决非简单的领土争端，如果中日双方信马由缰，它将会演变成两国赌上各自实力的新对决，甚至变成对两国历史恩怨的全面清算。
C. 中国游戏主机市场需求巨大，许多企业对此垂涎三尺，随着竞争企业不断加入，必将打破由微软、索尼和任天堂等几个公司瓜分市场的局面。
D. 电动车生产企业认为，在技术攻克尚有难点、市场化举步维艰的背景下，政府超前制定新能源政策，只会让企业失去在传统技术领域中的优势。
3. B/信马由缰：比喻无目的闲逛或随意行动。
与语境不合。
4.下列句子中，没有语病的一项是A. 智能手机销量保持高速增长的主要原因是来自于价格的总体下调，众多中等收入者加入更换手机的行列，而智能手机成为许多买家的首选。
B. 随着医疗机构数字化建设的推进，医疗机构将电子技术变成了控制处方外流的手段，患者需通过身份证等一系列手续才能从医院获取处方。
湖南省师大附中高三英语月考(五)试题
湖南师大附中2015届高三月考（五）英语试题（考试范围：高考全部内容）本试卷分为四个部分，包括听力、语言知识运用、阅渎和书面表达。
时量120分钟。
满分150分。
Part I Listening Comprehension （30 marks）Section A （22．5 marks）Directions: In this section, you will hear six conversations between two speakers．For each conversation, there are several questions and each question is followed by three choices marked A, Band C．Listen carefully and then choose the best answer for each question．You will hear each conversation TWICE．Conversation 11．What made the man worried?A．Losing his car．B．The wheels of his car being gone．C．His car being stolen．2．How did that happen?A．He left his car outside．B．Someone had broken into his garage．C．He forgot to lock his garage．Conversation 23．What are the two speakers mainly talking about?A．Chemicals．B．Management． C．Pollution．4．How does a TV station deal with the situation?A．Show the importance of the laws．B．Report the event on TV．C．Talk to the manager．Conversation 35．Why doesn't the woman order the products on time?A．There's a problem with the central computer．B．The products aren't to the customers' tastes．C．The products are of poor quality．6．What do the speakers disagree on?A．How to train the staff．B．How to find better staff．C．How to improve the serviceConversation 47．How did the man's mother celebrate his 14th birthday?A．She took him to watch a Harrison Ford film．B．She invited his friends for a birthday party．C．She arranged for him to watch a famous actor working．8．In what aspect does the man look different from his mother?A．The shape of his face and coloring．B．His eyes and forehead．C．His mouth and nose．9'．What did the man's mother enjoy most?A．Family．B．Cleaning． C. ActingConversation 510．What can we learn about the Latin Quarter?A．It's in the ．students' area．B．It's expensive．C. It's quiet．11．How docs the woman suggest the man go around?A．By taxi．B．By subway．C．By bus-12．Where arc the speakers probably?A．In Paris．B．In London．C．In New York．Conversation 613．What is the possible relationship between the speakers?A．Mother and son．B．Workmates．C．Wife and husband．14．What docs the woman advise the man to do?A．Work full-time．B．Balance the budget．C．Find another job．15．What happens in the end of the conversation?A．The man agrees with the woman．B．The man envies the woman．C．The man gets impatient with the woman．Section B （7．5 marks）Directions: In this section, you will hear a short passage．Listen carefully and then fill in the numberedblanks with the information you have heard．Fill in each blank with NO MORE THAN THREE WORDS．You will hear the short passage TWICE．Part Ⅱ Language Knowledge （45 marks）Section A （15 marks）Directions．．For each of the following unfinished sentences there are fourchoices marked A, B, C andD．Choose the one that best completes the sentence．21．Although there an increasing number of such cases against people, crime against largecompanies _____ a bigger problem．A．is; are B．is; isC．are; is D．are; are22．One day they crossed the _____bridge behind the palace．A．old Chinese stone B．Chinese oldstoneC．old stone Chinese D．Chinese stoneold23． They ' cannot wipe away the stain of the past, they can certainly move forward.A While B．When C． If D．Because24. The world changed a lot since the Internet ____ in the late 20th century.A- burst forth B．burst openC．bunion the scene D．burst into flame25. is no possibility _____Bob can win the first prize in the matchA- There; that B．It; thatC．There; whether D．It; whether26. It sounds like something is wrong with the car’s engine. _____ we’d bettertake it to the garage immediately.A．Otherwise B．If not C．But for allthat D．If so27．The gasoline_____．Let's fill the car up at the next gas station A．is running out B．has run outC．is being run out D．has been run out28．It was proposed by the board that our school _____ more top experiments A．would introduced B．introducedC. introduce D．be introducing 29．The Council of Europe produced an agreement on cybercrime in 2001, has been approved by many countries．A- what B- that C．which D．when30．Wait a second; My essay is almost done．I ___ for two hours'A．have written it B．have been writing itC- wrote it D．am writing it31．As Mrs Roosevelt put __@@@．I'd rather light a candle than complain about the darknessA- it B- that C．thisD．them32．Many people nowadays refer to themselves as chihuo- people who love to eat and are satisfied and excited when _____ delicious food．A．tasted B．to taste C．Tasting D- having tasted33．—Will you buy me a toy car．Mummy?—OK．You _____ have one if you tidy your room as soon as possible．A- might B．must C．could D．shall34．The thief fell to the ground, his left foot _____ and blood ___ _ down from his mouthA．breaking; running B．broken;runningC．breaking; run D．broken; run35．He states that good qualities such as honesty and self-discipline make _____he is todayA．whom B．how C．what D．whichSection It （18 marks）Directions: For each blank in the following passage there are four words orphrases marked A, B, C and D．Fill in the blank with the word orphrase that best fits the context．A friend of mine was offered a position to teach in an institute of literature．That year he was only 28 years old．but had already published literaryworks of about 600,000 Chinese charactersMany students were filled with admiration for his _36_．Quite a few literaturefans went to him for advice．Sir, would you share with us your secret for writingso successfully?"He replied frankly, "Yes．Just one word— 37 ．"“'Then, _J8_ passion do we need if we want to write as well as you do?" theypressed him“One foot deep," answered my friend．One-foot-deep passion? They felt _^9_．My friend took them home and fetched outa bundle of used writing paper from under his bed．all the sheets were filled withsmall and closely-written characters．Those were his 40 manuscripts（手稿）,a good foot in thickness．"If you want to achieve something in writing, you must _41_ a passion that'sone foot deep．In other words you should 42 writing until your rejected manuscripts accumulate to one foot thick．During．this period, you must not becomeimpatient or sink into despair. Only with expectation and passion can you have 43and hope for the future, he told his students．Enlightened by his words the students came to realize that success in writingis not something 44 to get. On the contrary, it requires painstaking efforts．Theylooked enthusiastic and eager to have a try right away.But my friend continued, "There is one thing you must bear in mind : The passioncan 45 be one foot deep．If after practicing countless times and your writing stillremains at the level of a high school student. you might as well try something else,or you’ll get into a blind alley. Any further attempt wi ll just mean a (n) 46 ofyour time and talent．"Indeed, whatever we do, we should do it with deep and persevering passion. However , if our effort has proved to be ___, we should quit as soon as possibleand try something different we are young. Success may be at the corner just whenwe switch over to a new direction .36．A．position B．achievement C．accumulationD．devotion37．A．passion B．Patience C．perseverance D．effort38．A．how much B．how deep C．how far D．how Ion,．39．A．excited B．disappointed C．inspired D．confused 40．A．rejected B．unfinished C．awarded D．published 41．A．consider B． dismiss C．maintainD．seek42．A．try on B．touch on C．decide onD．keep on43．A．faith B．confidence C．desire D．guarantee 44．A．special B．easy C．useful D．available 45．A．never B．approximately C．only D．occasionally 46．A．honor B．aspect C．wasteD．chance47．A．endless B．careless C．．pricelessD．fruitlessSection C (12 marks)Directions：Complete the following passage by filling in each blank with oneword that best fits the context.As a young man, you have to work．Whether you handle a pen or a set of books, editing a paper or writing funny things, you must work．If you look around youwill see the men who are the most able to live 48．_ rest of their days withoutwork are the men who work the hardest．49 be afraid of killing yourself with overwork．It is beyond your power to do that before you are thirty They die sometimes,but it is 50． they quit work at six in the evening, and do not go home 51 two inthe morning．It's the interval that kills．The work gives you an appetite 52． your meals ; it gives you a perfect and grateful appreciation of a holiday．There are young men who do not work, 53． the world is not proud of them．Nobodylikes them． the great, busy world doesn't know that they are there．So find outwhat you want to be and do, and take off your coat and make a dust in the world．The busier you are, the 54．___ harm you will be supposed to get into, the sweeter willbe your sleep, the brighter and happier your holidays, and the better satisfied willthe world be 55．you．Part Ⅲ Reading Comprehension （30 marks）Directions: Read the/allowing three passages．Each passage is followed by several questions or unfinished statements．For each of them there are four choices markedA, B, C and D．Choose the one that fits best according to the information given in the passage．AThe following are some famous beaches in America that you can't miss．Coast Guard Beach—MassachusettsFor a classical coastal vacation, head to Coast Guard Beach, which has boundless miles of sand．Stop at the Salt Pond Visitor Center to learn about free programs, such as family campfire nights, beach yoga and fishing lessons．Take a ride along the 24-mile bike path or boat through undamaged wetland．The beach has lifeguards, showers and changing rooms．In town．Clam Bar serves children s meals and has an 18-hole miniature golf course．Coopers Beach —New YorkWith the rich and famous along, this wide white-sand beach is a true Hamtons treasures．A tour along Coopers Beach offers the unique view of a seemingly endless Atlantic on one side and historic buildings on the other．The gently sloping （倾斜的） beach has lifeguards, a snack bar．chair and umbrella rentals, and a summer concert series．Allow time for shopping in town on ancient, tree-lined streets like Jobs Lane．Hanalei Bay Beach —HawaiiThe slow pace of life at Hanalei Bay on Kauai's north shore makes this two-mile-long, half-moon beach at the foot of green mountains and waterfalls the perfect place to stop and step into the sunshine．Beachgoers can swim．body board and learn to surf in summer's calmer waters．In the town of Hanalei, a five-minute walk from the beach, you'll find surf stores, gift shops．and so on．Santa Cruz Bach—CaliforniaHome to the last of the great seaside amusement parks on the West Coast, the Santa Cruz Beach Boardwalk is family-friendly and feature rides for children of ;ill ages and live music events during the summer．Cowcll's Beach, just north of the main beach, provides some of the best conditions for learning to surf on the West Coast．Climb aboard a Roaring Camp Railroads train, which picks up passengers on the boardwalk and takes them into the forest of Henry Cowell Redwoods State Park．56．If your children are interested in golf, which of the following destinations would be the best choice foryou?A．Coast Guard Beach．B．Coopers Beach．C．Hanalei Bay Beach．D．Santa Cruz Beach．57．From the passage, we know that _____ on Coopers Beach．A．tourists can enjoy summer concerts series without paymentB．tourists can rent umbrellas in case it rainsC．tourists can play in the great seaside amusement park with their friends D．tourists can get together with their family members in the wetland58．What can we enjoy on Hanalei Bay Beach?A．Family campfires and beach yoga．B．Boating through undamaged wetland and visiting gift shopsC．Watching waterfalls and swimming．D．Taking a train trip into the trees．59．Cowell's Beach is a good choice for people who likeA．surfing B．riding C fishing D．shopping 60．Which of the following is TRUE, according to the passage-?A．The endless Atlantic and historic buildings are a unique view on Coast Guard BeachB．On Coopers Beach, you can go shopping on modern, tree-lined streetsC．Live music events take place all the year round on Hanalei Bay BeachD．Henry Cowell Redwoods State Park is situated in California.BThe small coastal town of Broome, in northwest Australia, is a remote village in the vast countryside.There are no traffic jams and hardly any roads There is only the massive Australian wild land , where. some houses are 500 miles apart and some driveways are 50 miles long.There seem to be only two main sources of entertainment out here; the sunset at the beach and Sun pictures.Sun Pictures is a very different movie theater．The seats are park benches and deck chairs, but you're also welcome to sit on the grass．Sun Pictures was built in 1916 on the other side of the globe from Hollywood．All the big films were shipped here and the lonely country was amazed．Broome resident Pearl Hamaguchi has never traveled far from home．But in the Sun Pictures chairs．under the deep blue night sky, she has been almost everywhere．"And we came back excited about Gregory Peck," she recalled．Sun Pictures is one of the few places left in the world where you can see two sets of stars at the same time—one set in the sky, the other in the film．Each night, dozens of people from around the world line up at the old wooden stand, with no computer in sight, and buy their tickets to the latest films．Sun Pictures is also a museum, exhibiting projectors（放映机） that date back to the silent films, a portrait gallery of the famous people who never knew about this place-even though they came here all the time．Every once in a while, I'm told, you might find a non-ticket holder in your seat．That's why it's always a good idea to shake out your chair to make sure there are no spiders or scorpions．"We've only had a couple of scorpion incidents but no one's been stung yet," said Aaron Mestemaker, a tourist visiting from Michigan．Sun Pictures is a holy hall of movie history and a reminder that air conditioning and carpet are no match for grass and fresh air—even when the lizards steal the scene．61．The first two paragraphs want to show that_____．A．living in Broome is expensive B．the life inBroome is boringC．few people like to live in Broome D．Broome issimple but vast62．Sun Pictures is different from other theaters becauseA．it is the most historical outdoor theater in the worldB．the audience can either sit on chairs or on the grassC．it was built by some constructor from HollywoodD．all the films were imported here from Hollywood63．From the passage we can learn that Gregory Peck is most probably the name of A．a place B． a filmC．a movie star D．a country fellow64．The underlined words“non-ticket holder" refers to .A．an insect which comes to the theater by incidentB．a country fellow who does not buy the ticketC．an elderly person who enjoys free-ticket privilegeD．a foreigner who doesn't know a ticket is necessary65．It can be inferred that the tourists in Broome are most attracted by .A．its peacefulness B．its beautifulsunsetC．the Sun Pictures D．the gallery ofmovie starsCIn a step that should help make the Internet safer fur consumers, anti-virusgiant Symantec on Wednesday will introduce a protection system designed to deal withnew evil programs that try to sneak onto your computer．For decades, anti-virus protection has worked by reacting to new evil programs．Researchers try to identify bad code, then create and distribute filters（过滤）for it．But cybercriminals have gotten so fast at escaping the latest filtersthat protection often comes too late．Symantec's new system, called Quorum, continuously predicts whether any newprogram that attempts to run on your PC is good or bad．It then takes steps to isolate（lie bad code．"We're closing a major gap the bad guys have been using to delivertheir evil software," says Rowan Trollope, senior vice president of consumerproducts．Symantec becomes the fourth major anti-virus firm—and the largest—to addpredictive capabilities to traditional reactive anti-virus suites．Since February,McAfee, Panda Security and Trend Micro have introduced similar predictive technologies．"Reactive defenses just don't work anymore," says Steve Ragan,security editor at The Tech Herald．"Predictive systems will give an edge to thegood guys．"Computer infections most often spread when a PC user clicks on an evilly-changedWeb link that arrives in ;m e-mail or social-network message, or appears in searchresults for questions on Google, Bing and Yahoo Search．What's more, millions oflegal Web pages-secretly changed by hackers—can also infect a PC during a pagevisit．Cybercriminals use infected PCs to spread spam（电子垃圾）, steal data and hijack online banking accounts．Infections can change hourly, forcing anti-virus firms to create and deliver thousands of filters each day．"The amount of evil software produced today has required all of us to change the approach we take in fighting against it," says Trend Micro senior manager Jon Clay．Trend began offering predictive protection to business customers in May．A consumer version is due next year．"There is a natural evolution taking place," says Mike Gallagher, chief technology officer for McAfee, which rolled out its Artemis system for consumers and businesses in February．66．In the past decades, anti-virus protection hasn't worked effectively because A．researchers didn't create filters in timeB．filters were soon escaped by cybercriminalsC．ill-meaning programs were too complexD．cybercriminals were smarter than researchers67．Mow does Quorum protect your computer?A．It continuously updates the anti-virus database in your computer．B．It reacts to the ill-meaning programs once it runs on your computer．C．It evaluates every new program before it can run on your computerD．It automatically refuses unfamiliar software to run on your computer 68．What company is the last one to add predictive capacities to its anti-virus produceA．Sysmantec B．McAfee.C．Trend Micro．D．Panda Security.69．Computers are usually infected by connecting to___A．e-mail boxes or social-network messagesB．search engines of Google, Bing and YahooD．spoiled web links70．According to Jon Clay, there arc so many ill-meaning program every day that _____ A．anti-virus firms should work more willinglyB．anti-virus firms should speed up their researchC．filters should be predictive instead of reactiveD．filters should be delivered hourly instead of dailyPart F Writing （45 marks）Section A （10 marks）Directions: Read the following passage．Fill in the numbered blankets by using the information from the passage．Write NO MORE THAN THREE WORDS for each answer．Flipped classroom is a form of blended learning in which students learn content online by watching video lectures, usually at home, and homework is done in class with teachers and students discussing and solving questions．Teachers provide students with guidance instead of lecturing, personalizing teachers' interaction with students．Starting in fall 2000, the University of Wisconsin-Madison used e-Teach software to replace lectures in a computer science course with video of the lecturer．In the "The Classroom Flip" （2006）, Tenneson and McGlasson presented an approach for teachers considering whether to flip their classrooms and how various approaches could enhance their teaching process, along．It also explores computer course management systems．In 2010, two centers at Wisconsin Collaboratory for Enhanced Learning were built to focus on flipped and blended learning．In 2011, Michigan's Clintondale High School flipped every class．Principal Greg Green worked with social studies teacher, Andy Scheel, to run two classes with identical material and assignments, one flipped and one conventional．The flipped class had many students who had already failed the class—some multiple times．After 20 weeks, flipped students were outperforming traditional students．Flipped classrooms free class time for hands-on work．Students learn by doing and asking questions．Students can also help each other in a process that benefits both the advanced and the learners who are less advanced．Flipping also changes the allocation of teacher time．Traditionally, the teacher engages with the students who ask questions- but those who don't ask tend to need the most attention．"We refer to 'silent failers ,' "said one teacher, claiming that flipping allows her to target those who need the most help rather than the most confident．Flipping chances icachcrs from "sage on the stage" to "guide on the side", allowing them to work with individuals or groups of students throughout the session.Section B （10 marks）Directions: Read the following passage.．Answer the flipping according to the information given in the passage and required words limit．Write your answers on your answer sheet．I remember as a young buy I was living in a suburban neighborhood as a foster （收养的）child．Lost in the system of child services and forced to spend lots of time alone．I would often wander the different neighborhoods on my own and offer to help mow a lawn or wash some walls in exchange for some pocket money or candy．One day, I knocked on the door of an elderly woman and asked if she needed her lawn mowed．She asked why I was not in school and 1 showed her my pants and shoes, which were torn and no longer keeping me warm and protected．She allowed me to work in the yard．feeding me lunch．When I was finished I knocked on her door and she looked at me．"I suppose you want to be paid now," she said．She asked what my fee was．I had not thought about how much I could make．I was just excited about the opportunity．She said, "Well, come inside, my son," and then she reached high above the refrigerator and into the cupboard and pulled out a big jar filled with dollar bills of every denomination （面额）．She said, "Now you've done a fine job today．Although you missed some school which is very important, that is not something you should be doing again．I want you to buy some pants and new shoes and get back in school．I also want you to come back and visit me with your report card and I will reward you when I see you have worked hard and have some good marks．Now reach in with both your little hands and take out as much as you can．"I reached in and grabbed so much money I could not believe it for myself．It was enough for me to buy what I needed．I returned several times to see the woman and she did just as she promised．She looked at my report card and gave me a handful of dollars and a sandwich every time I showed her I had an "A" or "B"．1 will never forget the huge difference this wonderful stranger made over my life with her generosity and kindness; this is something I hope to do myself in my lifetime over and over again．81．Why did the boy offer to help his neighbors? （No more than 10 words）（2 marks）82．What kind of pants and shoes did the boy wear? （No more than 6 words）（2 marks）83．How did the woman pay the boy after he finished his work? （No more than 15 words） C3 marks）84．According to the passage, what docs the boy hope to do in his lifetime? （No more than 15 words）（3 marks）Section C （25 marks）Directions: Write an English composition according to the instructions given below in Chinese ．我校110周年华诞，特举行“爱我附中创意你我”—一校庆创意礼品征集活动。
湖南师大附中高三上学期月考试卷(五)数学(文)试题Word版含答案
炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷（五）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．则图中的阴影部分表示的集合为（）A2）A3定正确的是（）AC4．下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（）A5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．3 B．4 C．5 D．66．2的概率为（）A7）A82017项之和为（ ）A ．0B ．2017C ．2016D ．403491，内切圆半径也为1）A ．2 B．4 D10）A11）A ．1B ．2C ．3D ．412克雷函数．给出下面4个命题：）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13的共轭复数的虚部为． 14．为 ．15的最大值为．16为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初和．回归方程；参考公式：18．如图，四上的任意一点．19．的最短边的边长．2021+>ln n请考生在（22）～（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号。
22．选修4-4：极坐标与参数方程，曲线23．选修4-5：不等式选讲试卷答案一、选择题1-5:BDDDB 6-10:DABDA 11、12：CD二、填空题13三、解答题17．418．【解析】AB A=，得平面EFP=AC AAF．=PC CPAC中，PA=19．（226=20．【解析】因21．【解析】ln n+>(n n+⨯ln n+>（Ⅲ）2．22．【解析】23．【解析】。
湖南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)Word版含解析
湖南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|2x＜2}，则M∩∁R N等于( )A． B．（﹣1，0）C．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知命题p：“∀x∈R，2x＜3”；命题q：“∃x0∈R，sinx0+cosx0=2”，则( )A．p假，q真B．“p∧q”真C．“p∨q”真D．“p∧q”假考点：复合命题的真假．专题：推理和证明．分析：举例说明两个命题都是吧正确的即可．解答：解：命题p：“∀x∈R，2x＜3”是假命题，当x=2时就不成立．命题q：“∃x0∈R，sinx0+cosx0=2是假命题，对任意的x∈R，sinx+cosx=sin（x+），∴“p∧q”为假命题．故选：D点评：本题考查了命题的判断属于基础题．4．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为( )A．2 B．3 C．4 D．5考点：系统抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．54 B．27 C．18 D．9考点：由三视图求面积、体积．分析：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，由体积公式可求．解答：解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，且底面为矩形，长6，宽3；体高为3．则=18．故选：C．点评：做三视图相关的题时，先要形成直观图，后要注意量的关系．属于基础题．6．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是( )A． B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．解答：解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A点评：对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出的值为( )A．1064 B．1065 C．1067 D．1068考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，当k=9时满足条件k≤n，S=1067，k=10时不满足条件k≤n，输出S的值为1067．解答：解：执行程序框图，有n=9k=1，S=0满足条件k≤n，S=3，k=2满足条件k≤n，S=9，k=3满足条件k≤n，S=20，k=4满足条件k≤n，S=40，k=5满足条件k≤n，S=77，k=6满足条件k≤n，S=147，k=7满足条件k≤n，S=282，k=8满足条件k≤n，S=546，k=9满足条件k≤n，S=1067，k=10不满足条件k≤n，输出S的值为1067．故选：C．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．8．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为( )A．﹣B．﹣C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出ϕ，即可求解f（）的值．解答：解：因为f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜ϕ＜π，所以ϕ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=cos=．故选：D．点评：本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力．9．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为( )A．﹣1 B．C．+1 D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意M的坐标为M（），代入椭圆方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．解答：解：由题意M的坐标为M（），代入椭圆方程可得∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故选：C．点评：本题考查双曲线与圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，则实数k的取值范围是( )A．（﹣∞，+∞）B．D．（﹣∞，1）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：画出f（x）的图象，函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，即为y=f（x）的图象和直线y=kx 有交点，作出直线y=kx，由图象观察k≤0，直线和曲线有交点，设直线y=kx与曲线y=log2x 相切的切点为p（m，n），运用导数，求出切线的斜率，再由图象观察即可得到k的取值范围．解答：解：函数f（x）=，画出f（x）的图象，函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，即为y=f（x）的图象和直线y=kx有交点，作出直线y=kx，由图象观察k≤0，直线和曲线有交点，设直线y=kx与曲线y=log2x相切的切点为p（m，n），由于（log2x）′=，即切线的斜率为=k，又n=km，n=log2m，解得m=e，k=，则k＞0时，直线与曲线有交点，则0＜k，综上，可得实数k的取值范围是：（﹣∞，]．故选C．点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数的图象和运用，考查数形结合的思想方法，考查运用导数求切线的斜率，属于中档题．二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）11．在极坐标系中，点（2，）到直线ρcos（x﹣）=0的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：点P（2，）化为，即．直线ρcos（x﹣）=0化为，化为+y=0．∴点（2，）到直线ρcos（x﹣）=0的距离d==．故答案为：．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题．12．在区间内随即取一个数记为x，则使得sinx≥的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由于在区间内随机取一个数，故基本事件是无限的，而且是等可能的，属于几何概型，求出满足sinx≥的区间长度，即可求得概率．解答：解：本题考查几何概型，其测度为长度∵sinx≥，x∈，∴x∈∴在区间上随机取一个数x，满足sinx≥的概率P=；故答案为：．点评：本题考查了几何概型的运用；关键是找到sinx≥，x∈，的x的范围，利用区间长度的比，得到所求概率．13．若点P（x，y）满足则点P（x，y）到坐标原点O的距离的最大值为．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，由图可知，P（x，y）与B重合时，取得最大值．解答：解：由题意作出其平面区域，则P（x，y）与B重合时，取得最大值，则P（2，1），则点P（x，y）到坐标原点O的距离的最大值为=，故答案为：．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．14．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，∠DAB=60°，=3，则•的值是3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由，可得=+，=，进而由AB=8，AD=5，∠DAB=60°，利用向量数量积运算进而可得答案．解答：解：∵，∴=+，=，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（）=﹣﹣=25﹣×8×5cos60°﹣=25﹣10﹣12=3．故答案为3．点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据，可得=+，=，是解答的关键，属于中档题．15．已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*），且对任意m，n∈N*都有：①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）则（1）f（5，6）=26，（2）f（m，n）=2m﹣1+2（n﹣1）．考点：进行简单的合情推理．专题：等差数列与等比数列；推理和证明．分析：根据条件可知{f（m，n）}是以1为首项，2为公差的等差数列，求出f（1，n），以及{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，求出f（n，1）和f（m，n+1），从而求出所求．解答：解：∵f（m，n+1）=f（m，n）+2∴{f（m，n）}是以1为首项，2为公差的等差数列∴f（1，n）=2n﹣1又∵f（m+1，1）=2f（m，1）∴{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，∴f（n，1）=2n﹣1∴f（m，n）=2m﹣1+2（n﹣1），但m=5，n=6时，f（5，6）=24+2×（6﹣1）=26，故答案为：26，2m﹣1+2（n﹣1）点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，推出f（n，1）=2n﹣1，f（n，1）=2n﹣1，f（m，n+1）=2m﹣1+2n，是解答本题的关键，属中档题．三、解答题（本题共6小题，75分）16．已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC（I）求边AB的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：（I）先由正弦定理把sinA+sinB=sinC转化成边的关系，进而根据三角形的周长两式相减即可求得AB．（2）由△ABC的面积根据面积公式求得BC•AC的值，进而求得AC2+BC2，代入余弦定理即可求得cosC的值，进而求得C．解答：解：（I）由题意及正弦定理，得AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB，两式相减，得：AB=1．（Ⅱ）由△ABC的面积=BC•ACsinC=sinC，得BC•AC=，∴AC2+BC2=（AC+BC）2﹣2AC•BC=2﹣=，由余弦定理，得，所以C=60°．点评：本题主要考查了正弦定理、三角形的面积计算等相关知识．此类问题要求大家对正弦定理、余弦定理、面积公式要熟练掌握，并能运用它们灵活地进行边与角的转化，解三角形问题也是每年2015届高考的一个重点，但难度一般不大，是2015届高考的一个重要的得分点．17．某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．解答：解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15 45 6025周岁以下组15 25 40合计30 70 100所以可得K2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．点评：本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．18．如图，直三棱柱ABC﹣A C 1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D为AB的中点．（1）求证：BC1∥面A1DC；（2）若AA1=，求二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接AC1，与AC1交于点E，连接ED，由已知得DE∥BC1，由此能证明BC1∥面A1DC．（2）由已知得∠A1DA为二面角A1﹣CD﹣A的平面角，由此能求出二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小．解答：（1）证明：连接AC1，与AC1交于点E，连接ED，则E为AC1的中点，又点D是AB中点，则DE∥BC1，而DE⊂平面A1DC，BC1不包含于面A1DC，∴BC1∥面A1DC．（2）解：∵二面角A1﹣CD﹣B的平面角与二面角A1﹣CD﹣A的平面角互补，又∵CD⊥AB，CD⊥AA1，∴CD⊥面ADA1，∴CD⊥A1D，∴∠A1DA为二面角A1﹣CD﹣A的平面角，在Rt△A1AD中，∵AA1==AD，∴∠A1DA=45°，∴二面角A1﹣CD﹣A的平面角的大小为45°，∴二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小为135°．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的平面角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19．已知数列．（1）若存在一个实数λ，使得数列为等差数列，请求出λ的值；（2）在（1）的条件下，求出数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列的定义建立条件关系即可求出λ的值；（2）根据等差数列的前n项和S n．即可求解．解答：解：（1）假设存在实数λ符合题意．则必为与n无关的常数，∵=，要使是与n无关的常数，则．故存在实数λ=﹣1．使得数列为等差数列．（2）由（1）可得，∴，∴，∴a n=（n+1）2n+1令b n=（n+1）2n且前n项和为T n，∴…①2T n=2×23+3×23+…+（n+1）×2n+1…②，①﹣②得﹣T n=4+22+23+…﹣（n+1）×2n+1=4+﹣2n+1（n+1）=4×2n﹣1﹣2n+1（n+1）=2n+1﹣（n+1）2n+1=﹣n•2n+1，∴T n=n2n+1．∴S n=n2n+1+n．点评：本题主要考查数列的递推公式，以及等差数列数，要求熟练掌握相应的通项公式和前n 项和公式，以及利用错位相减法求熟练的和，考查学生的计算能力．20．已知函数f（x）=x2+x+alnx（a∈R）．（1）对a讨论f（x）的单调性；（2）若x=x0是f（x）的极值点，求证：f（x0）≤．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）对函数求导，利用导函数与函数单调性的关系即可求解．（2）利用条件x0是函数f（x）的极值点，确定a的数值，然后证明f（x0）≤．解答：解：（1）∵f（x）=x2+x+alnx，∴x＞0，f′（x）=x+1+=．∴当a≥时，f'（x）≥0在定义域恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜时，f'（x）=0时，x=，≤0⇔a≥0，∴0≤a＜时，f（x）在（0，+∞）单调递增；＞0⇔a＜0，∴a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由（1）可知当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．∴当x=时，函数f（x）有极小值，∴x0=＞0，∴⇒a=﹣﹣x0，∴f（x0）=+x0+alnx0=+x0﹣（+x0）lnx0，记g（x）=x2+x﹣（x2+x）lnx，则g′（x）=﹣（2x+1）lnx，列表分析如下：x （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 ﹣g（x）增极大值减∴g（x）max=g（x）极大值=g（1）=，∴f（x0）≤．点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性，以及函数的极值问题．对于参数问题要注意进行分类讨论．21．已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c；（2）求椭圆的离心率e的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x0的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离（2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，根据≥（a﹣c）求得e的范围．（3）设直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案．解答：解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），Q点到右准线的距离为d=﹣x0，则由椭圆的第二定义知：=，∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a，∴当x0=a时，∴|QF2|min=a﹣c．（2）依题意设切线长|PT|=∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，∴≥（a﹣c），∴0＜≤，从而解得≤e＜，故离心率e的取值范围是解得≤e＜，（3）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0得，设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，代入直线方程得y1y2=，x1x2=+y1y2=，又OA⊥OB，∴=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，∴≤e＜•，∴≤c＜1，≤2c+1＜3，∴s∈（0，），所以弦长s的最大值为．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．。
湖南省师大附中2015届高三数学月考(五)试题 理
湖南师大附中2015届高三月考〔五〕数学〔理〕试题〔考试范围：高中理科数学全部内容〕本试题卷包括选择题、填空题和解答题三局部。
时量120分钟。
总分为150分。
一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．设全集U={x|x ≥3，x ∈N }，集合A={x|x 2≥10，x ∈N}．如此UA =A ．∅B ．{3}C ．{10}D ．{3，4，5，6，7，8，9}2．如下函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是 A ．f 〔x 〕=x -B ．f 〔x 〕=－x 3C ．f 〔x 〕=-tan xD ．f 〔x 〕=x1 3．数列{a n }满足a n+1= 3a n 〔n ∈N *〕，且a 2+a 4+a 6=9．如此log 〔a 5+a 7+a 9〕的值是 A ．－5 B ．－51C ．5D ．51 4．某程序的框图如下列图，输入N=5，如此输出的数等于 A ．45B ．54C ．56D ．655．某几何体的三视图如下列图，其正视图、侧视图、俯视图均为全等的正方形，如此该几何体的体积为A ．34B ．38 C ．6D ．266．三个班级分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，如此同班学生排在一起的概率是 A ．301 B ．151C ．101D ．517．将函数y=sin2πx 的图象向右平移2个单位后，得到函数f 〔x 〕的图象，如此函数f 〔x 〕的单调递减区间是A ．[－1+2k ，1+2k]，k ∈Z B．[1+4k ，3+4k]，k ∈ZC ．[－1+4k,1+4k]，k ∈ZD ．[－l+4k+π4，l+4k+π4]，k ∈Z 8．设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0002063y x y x y x ，假设目标函数z=ax+by 〔a>0，b>0〕〕的最大值为12，如此ba 32+的最小值为A ．625B ．38C ．311 D ．49．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且CD BC =，点O 在线段CD 上〔点O 与点C ，D 不重合〕，假设AC y AB x AO +=，如此x 的取值范围是 A ．〔0，1〕B ．〔0，31〕C ．〔－1，0〕D ．〔－31，0〕 10．斜率为2的直线l 与双曲线C ：2222by a x -=l 〔a>0，b>0〕交于A ，B 两点，假设点P 〔2，1〕是AB 的中点，如此C 的离心率等于A ．22B ．2C ．3D ．2二、填空题：本大题共6小题，考生作答5个小题，每一小题5分，共25分。
湖南省师大附中高三数学第一次月考试题 文(含解析)湘
湖南师大附中2015届高三第一次月考文科数学试卷【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【题文】1．已知a 是实数，a ＋i1－i是纯虚数，则a ＝( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．－ 2 【知识点】复数代数形式的运算. L4【答案解析】A 解析：因为()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++--==+--+是纯虚数，所以102a -=，即1a =，故选A.【思路点拨】先把原复数化简，再令实部等于0即可解得a 的值.【题文】2．极坐标方程2cos 4sin r q q ＝所表示的曲线是( ) A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一条抛物线 D ．一条双曲线【知识点】极坐标方程.N3【答案解析】C 解析：把2cos 4sin r q q ＝两边同时乘以r 可得：22cos 4sin r q r q ＝，又因为cos ,sin x y r q r q ==，代入可得24x y =,表示一条抛物线,故选C.【思路点拨】把原式变形，再把cos ,sin x y r q r q ==代入即可化简.【题文】3．设集合A ＝{x|x>－1}，B ＝{x|x≥1}，则“x∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A ．－1<x≤1B ．x ≤1C ．x>－1D ．－1<x<1 【知识点】集合的运算.A1 【答案解析】D 解析：因为集合A ＝{x|x>－1}，B ＝{x|x≥1}，所以x ∈A 且x ∉B 可得－1<x<1. 故选D.【思路点拨】利用交集与补集的运算即可. 【题文】4．如果函数f(x)＝sin(π2x ＋θ)(0<θ<π)是最小正周期为T 的偶函数，那么( )A ．T ＝4π，θ＝π2B ．T ＝4，θ＝π2C ．T ＝4，θ＝π4D ．T ＝4π，θ＝π4【知识点】函数的周期性；函数的奇偶性.B4 B5【答案解析】B 解析：由周期的公式可得：242T p p==，若为偶函数，则q 必为2p 的奇数倍，而在0q p <<中只有2p满足题意，所以2p q =，故选B. 【思路点拨】先利用公式求出周期，再结合偶函数的性质得到2pq =即可.【题文】5．已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是( ) A ．若α∥b ，β∥b ，则α∥β B ．若α∥a ，α∥b ，则a ∥b C ．若a ⊥α，b ⊥β，则α∥β D ．若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β 【知识点】 空间中线线、线面间的位置关系. G4 G5【答案解析】D 解析：对于A ：若α∥b ，β∥b ，则α∥β或相交，故A 错误； 对于B ：若α∥a ，α∥b ，则a 与b 平行、相交或异面.故B 错误； 对于C ：明显错误；对于D ：若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β，正确. 故选D.【思路点拨】依据定理、公理依次排除即可.【题文】6．若ax2＋bx ＋c<0的解集为{x|x<－2或x>4},则对于函数f(x)＝ax2＋bx ＋c 应有( )A ．f(5)<f(2)<f(－1)B ．f(5)<f(－1)<f(2)C ．f(－1)<f(2)<f(5)D ．f(2)<f(－1)<f(5)【知识点】函数的单调性；函数的对称性.B3 B5【答案解析】B 解析：因为ax2＋bx ＋c<0的解集为{x|x<－2或x>4}，可知：0a <，28b a ca ì-=ïïíï=-ïî，解得：2,8b ac a =-=-，代入()2f x ax bx c ＝＋＋，即()228f x ax ax a --＝，所以()()228f x a x x --＝，表示开口方向向下，对称轴为1的抛物线，则函数在()1,+?递减，所以()()()532f f f <<，而由对称性可得：()()31f f =-，所以()()()512f f f <-<，故选B.【思路点拨】先由不等式的解集判断出a 的符号以及与b ，c 的关系，再由单调性得到的关系为()()()532f f f <<，而由对称性可得：()()31f f =-即可得解.【题文】7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定 【知识点】余弦定理.C8【答案解析】A 解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c2＝a2＋b2，a ＋b>c.新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝x2＋2(a ＋b －c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A.【思路点拨】设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c2＝a2＋b2，a ＋b>c.新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝x2＋2(a ＋b －c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正即可判断.【题文】8．若1a <1b <0，则下列不等式中不正确的是( )A ．ab<b2B ．a ＋b<abC ．a2>b2 D.b a ＋ab >2【知识点】比较大小.E1【答案解析】C 解析：令1,2a b =-=-代入检验可排除A,B,D ；故选C. 【思路点拨】利用排除法与赋值法相结合可得结果.【题文】9．已知an ＝logn ＋1(n ＋2)(n∈N *)，观察下列运算：( ) a1·a2＝log23·log34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2；a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·……·log78 ＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·……·lg 8lg 7＝3；……. 若a1·a2·a3·……·ak (k∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”， 试确定当a1·a2·a3·……·ak ＝2 014时，“企盼数”k 为 A ．22 014＋2 B ．22 014 C ．22 014－2 D ．22 014－4 【知识点】对数的运算.B7【答案解析】C 解析： a1·a2·a3·……·ak＝lg （k ＋2）lg 2＝2 014⇒lg(k ＋2)＝lg 22 014⇒k ＝22 014－2.【思路点拨】由新定义计算a1·a2·a3·……·ak 后再解方程即可.【题文】10．过点(－2，0)的直线l 与抛物线y ＝x22相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l 的斜率k 等于( ) A ．－16 B ．－14 C.14 D.12【知识点】导数的几何意义；抛物线的性质.B11 H7【答案解析】C 解析：对抛物线y ＝x22，y′＝x ，l 的方程是y ＝k(x ＋2)代入y ＝x22得：x2－2kx －4k ＝0，设两个交点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k2＋16k>0x1x2＝－4k ，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2＝－1.∴k＝14且满足Δ>0.【思路点拨】设出直线方程再与抛物线方程联立转化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系以及判别式求出12x x ，然后结合在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即可得到结果.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取___个． 【知识点】分层抽样.I1【答案解析】12 解析：用分层抽样的方法抽取的比例为4012005=，所以从二等品中应抽取 160125?，故答案为12.【思路点拨】分层抽样的特点是按比例进行抽取，先计算出抽取的比例，在计算从二等品中应抽取的个数即可.【题文】12．阅读右边的框图填空：若a ＝0.80.3，b ＝0.90.3，c ＝log50.9，则输出的数是___．【知识点】程序框图；指数函数、对数函数的性质.B6 B7 L1【答案解析】b(或0.90.3)解析：因为由指数函数、对数函数的性质可知：0.30.350.80.9log 0.9<0a b c ＝>0，＝>0，＝，且a b>，根据框图的流程指向可得输出的结果为b ，故答案为b(或0.90.3).【思路点拨】先根据指数函数、对数函数的性质判断出a ，b ，c 的大小关系，再由框图的流程指向可得输出的结果.【题文】13．若直线y ＝kx 与圆x2＋y2－4x ＋3＝0相切，则k 的值是____． 【知识点】直线与圆的位置关系.H4【答案解析】±解析：因为直线y ＝kx 与圆x2＋y2－4x ＋3＝0相切，所以圆心()2,0到直线的距离1d r ===，解得k =?，故答案为±.【思路点拨】直线y ＝kx 与圆x2＋y2－4x ＋3＝0相切转化为圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程解之即可.【题文】14．设函数f(x)＝x(ex ＋1)＋12x2，则函数f(x)的单调递增区间为____．【知识点】函数的单调性与导数的关系.B12 【答案解析】[)1,-+?解析：因为函数f(x)＝x(ex ＋1)＋12x2，所以其导函数为：()()()111x x x f x e x e x x e ¢=++?=++，又因为求其单调递增区间，所以()0f x ¢³，即()()110xx e ++?，解得：1x ?，故答案为[)1,-+?.【思路点拨】先求导，再利用()0f x ¢³解不等式即可.【题文】15．当n 为正整数时，定义函数N(n)表示n 的最大奇因数．如N(3)＝3，N(10)＝5，….记S(n)＝N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)． 则(1)S(3)＝____；(2)S(n)＝____. 【知识点】函数值的求解.B1【答案解析】22； 4n ＋23 解析：由题设知，N(2n)＝N(n)，N(2n －1)＝2n －1.又S(0)＝N(1)＝1.(1)S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)] ＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)]＝42＋S(2)＝42＋41＋S(1)＝42＋41＋40＋S(0)＝22.(2)S(n)＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋…＋N(2n)] ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n －1)]， ∴S(n)＝4n －1＋S(n －1)(n≥1)，∴S(n)＝4n －1＋4n －2＋…＋41＋40＋1＝4n ＋23.【思路点拨】（1）由题意可得，S （3）=N （1）+N （2）+N （3）+…+N （8），分别寻求每一项的值，然后可求;（2）先根据题意求出当n=1时，S （1）=N （1）+N （2），S （2）=N （1）+N （2）+N （3）+N （4），S （3）=N （1）+N （2）+N （3）+N （4）+…+N （8），S （4）=N （1）+N （2）+N （3）+N （4）+…+N （16），根据值出现的规律总结一般规律，然后可求.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)已知函数f(x)＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos2ωx ＋1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求当x∈(0，π2]时f(x)的值域．【知识点】二倍角公式；三角函数的最值.C4 C6【答案解析】(1) ω＝2. (2) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 解析：(1)f(x)＝3sin ωxcos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＋1＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32.∵ω>0，∴T＝2πω＝π，∴ω＝2. (6分)(2)由(1)得：f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32., ∵0<x ≤π2，∴π6<2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1，∴1≤f (x)≤52，∴f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52. (12分)【思路点拨】(1)先利用二倍角公式化简，再利用周期公式求出ω即可；(2)结合单调性求出最值.【题文】17．(本题满分12分) 某中学高三(1)班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：(1)求表中a 、b 、c 的值；(2)某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样的方法从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，则在第二组学生中应抽取多少人？(3)已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【知识点】频率分布表；分层抽样；古典概型.I1 I2 K2 【答案解析】 (1) a ＝17，b ＝0.34，c ＝0.12. (2)4 (3) P ＝35.解析： (1)由表知5＋10＋12＋a ＋6＝50， 则a ＝17，b ＝1750＝0.34，c ＝650＝0.12. (4分)(2)因为10×2050＝4，所以在第二组学生中应抽取4人． (7分)(3)从5名学生中随机抽取2人有10种取法(可列举出来)，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有6种(也列举出来)，则所求概率P ＝610＝35. (12分)【思路点拨】(1) 根据总数为50 先求a 的值，再计算b ，c 即可(2) 按比例抽取即可，(3)列举出从5名学生中随机抽取2人的所有情况，再找出满足题意的情况，代入公式即可. 【题文】18．(本题满分12分)如图，已知三棱锥P －ABC 中，PC⊥平面ABC ，AB⊥BC， PC ＝BC ＝4，AB ＝2，E 、F 分别是PB 、PA 的中点． (1)求证：侧面PAB⊥侧面PBC ；(2)求三棱锥P －CEF 的外接球的表面积．【知识点】面面垂直的判定；组合体.G5 G8 【答案解析】(1)见解析 (2) 17π. 解析：(1)∵PC⊥平面ABC ，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC ，AB ⊂侧面PAB ， 故侧面PAB⊥侧面PBC. (6分)(2)∵PC＝BC ＝4，E 为PB 的中点，∴CE⊥PB， 而侧面PAB 垂直侧面PBC 于PB ，∴CE⊥EF. 由E 、F 分别是PB 、PA 的中点有EF∥AB， 则EF⊥侧面PBC.故EC 、EF 、EP 两两垂直， (9分)三棱锥P －CEF 的外接球就是以EC 、EF 、EP 为长、宽、高的长方体的外接球，易求得EC ＝EP ＝22，EF ＝1，其外接球的直径是8＋8＋1＝17，故所求三棱锥P —CEF 的外接球的表面积是4π⎝ ⎛⎭⎪⎫1722＝17π. (12分)【思路点拨】(1) PC⊥平面ABC ，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC ，AB ⊂侧面PAB ， 故侧面PAB⊥侧面PBC. (2)由已知得到三棱锥P －CEF 的外接球就是以EC 、EF 、EP 为长、宽、高的长方体的外接球即可求出结果. 【题文】19．(本题满分13分)已知函数f(x)＝13x3＋12ax2－(a ＋2)x ＋b(a ，b∈R)在[－1，1]上是减函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)设12<a<1，若对任意实数u 、v∈[a－1，a]，不等式|f(u)－f(v)|≤2912恒成立，求实数a的最小值．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求最值.B12 【答案解析】(1) a≥－12. (2) 34解析： (1)由函数f(x)＝13x3＋12ax2－(a ＋2)x ＋b(a ，b∈R)在[－1，1]上是减函数得：x∈[－1，1]时，f′(x)＝x2＋ax －a －2≤0恒成立． (3分)∴⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）＝1＋a －a －2≤0f′（－1）＝1－a －a －2≤0，可得a≥－12. (6分)(2)∵12<a<1，∴－12<a －1<0，∴[a－1，a]⊂[－1，1]，故f(x)在[a －1，a]上是减函数， (7分)∴fmax＝f(a －1)＝13(a －1)3＋12a(a －1)2－(a ＋2)(a －1)＋b ，fmin ＝f(a)＝13a3＋12a3－a(a ＋2)＋b.依条件有fmax －fmin≤2912，∴fmax－fmin ＝－2a2＋52a ＋53≤2912， (11分)即8a2－10a ＋3≥0， a≥34或a≤12， ∵12<a<1，∴amin＝34. (13分) 【思路点拨】(1) 转化为x∈[－1，1]时，f′(x)＝x2＋ax －a －2≤0恒成立的问题即可；(2)结合已知条件得到f(x)在[a －1，a]上是减函数，再利用fmax －fmin≤2912即可得到结果.【题文】20．(本题满分13分)如图，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c ，0(c 是双曲线的半焦距)，双曲线虚轴的下端点为B.过双曲线的右焦点F(c ，0)作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，若点D 满足2OD →＝OF →＋OP →(O 为原点)，且A 、B 、D 三点共线．(1)求双曲线的离心率；(2)若a ＝2，过点B 的直线l 交双曲线的左、右支于M 、N 两点， 且△OMN 的面积S △OMN ＝26，求l 的方程．【知识点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．H6 H8 【答案解析】(1) 34 (2) y ＝±24x －1.解析：(1)∵B(0，－b)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c ，0，易求得P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b2a .∵2OD →＝OF →＋OP →，即D 为线段FP 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b22a . (3分)又A 、B 、D 共线．而AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2c ，－b ，AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a2c ，b22a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a2c ·(－b)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b22a ，得a ＝2b ， (5分)∴e＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋14＝52. (6分) (2)∵a＝2，而e ＝52，∴b2＝1， 故双曲线的方程为x24－y2＝1.① (7分)∴B 点的坐标为(0，－1)，设l 的方程为y ＝kx －1，② ②代入①得(1－4k2)x2＋8kx －8＝0，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧1－4k2≠0Δ＝64k2＋32（1－4k2）>0x1·x2＝84k2－1<0，得：k2<14. (9分)设M 、N 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 则x1＋x2＝8k4k2－1.而S△OMN＝12|OB|(|x1|＋|x2|)＝12|x1－x2|＝12（x1＋x2）2－4x1·x2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 4k2－12－324k2－1＝22·1－2k21－4k2＝26， (11分) 整理得24k4－11k2＋1＝0，解得：k2＝18或k2＝13(舍去)．∴所求l 的方程为y ＝±24x －1. (13分) 【思路点拨】(1) 欲求双曲线的离心率，只需找到含a ，c 的齐次式，由已知，易求P 点坐标，根据2OD →＝OF →＋OP →(O 为原点)，可判断D 点为FP 的中点，再根据已知可找到a ，b 的关系，进而转化为含a ，c 的等式，即可求出离心率e 的值．（2）当a=2时，根据（1）中所求离心率，可求出b 的值，进而求出双曲线方程，根据直线MN 过B 点，设出直线MN 的方程，与双曲线方程联立，解出x1+x2，x1x2，△OMN 被y 轴分成两个三角形，分别求出面积，再相加，即为△OMN 的面积，让其等于题目中所给的值，可得到关于直线l 的斜率k 的方程，解出k 即可． 【题文】21．(本题满分13分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4y ≥0y ≤nx （n∈N *）所表示的平面区域为Dn ，记Dn 内整点的个数为an(横纵坐标均为整数的点称为整点)．(1)n ＝2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式；(3)记数列{an}的前n 项的和为Sn ，试证明：对任意n∈N * 恒有S122S2＋S232S3＋…＋Sn （n ＋1）2Sn ＋1<512成立．【知识点】等差数列的前n 项和；不等式的证明.D2 E7 【答案解析】(1)25 (2) 10n ＋5. (3)见解析 解析： (1)D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点， ∴a2＝5×9＋52＝25. (3分)(另解：a2＝1＋3＋5＋7＋9＝25)(2)直线y ＝nx 与x ＝4交于点P(4，4n)， 据题意有an ＝5×（4n ＋1）＋52＝10n ＋5. (6分)(另解：an ＝1＋(n ＋1)＋(2n ＋1)＋(3n ＋1)＋(4n ＋1)＝10n ＋5) (3)Sn ＝5n(n ＋2)． (8分) ∵Sn （n ＋1）2Sn ＋1＝n （n ＋2）（n ＋1）2（n ＋1）（n ＋3）＝1（n ＋1）（n ＋3）·n （n ＋2）（n ＋1）2<1（n ＋1）（n ＋3），∴S122S2＋S232S3＋…＋Sn （n ＋1）2Sn ＋1<12×4＋13×5＋…＋1（n ＋1）（n ＋3）(11分) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n ＋1－1n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－1n ＋2－1n ＋3<512. (13分)【思路点拨】(1) 根据已知条件画出图形即可；(2) 借助于等差数列的前n 项和公式即可；(3)先利用裂项相消法，再结合放缩法即可.。
湖南省师大附中2015届高三数学月考(五)试题 文
湖南师大附中2015届高三月考〔五〕数学〔文〕试题〔考试范围：高考全部内容〕本试题卷包括选择题、填空题和解答题，时量120分钟，总分为150分。
一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1.设全集U=R ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==<-=x y x B x x x A 11|},|1||{，如此图中阴影局部表示的 集合是A ．{x|x≥1}B.{}21|<≤x xC ．{x ｜0<x≤1}D ．{x|1≤1}2．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=1,1,12)(2x ax x x x f x ，假设a f f 4))0((=，如此实数a 的值为 A. 21 B ．54 C ．2 D ．9 3．命题p ：假设x∈R，如此21≥+x x ，命题q ：假设0)1(1≥-x g ，如此x≥2，如此如下各命题中是假命题的是A ．q p ∨B ． q p ∨⌝)(C ． q p ∧⌝)(D ． )()(q p ⌝∧⌝ 4．平面区域内的点〔x ，y 〕满足约束条件,0520402⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-y x y x y x 如此目标函数z=2x+y 的最大值是 〔C 〕A5 B ．7 C ．23 D ．255．如下推理是归纳推理的是 〔B 〕A.A 、B 为定点，动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|，如此点P 的轨迹是椭圆B ．由13,11-==n a a n ，求出S 1，S 2，S 3，猜测出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积2r π，猜测出椭圆12222=+b y a x 的面积S=πab D ．点O 为直线AB 外一点，由OC OB OA 2=+可知点C 为线段AB 的中点6．右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，如此该几何体的侧面积是A .6πB ．8π C. l2πD ．24π7．O 为△ABC 外一点，D 为BC 边上一点，且02=-+OD OB OC ，假设AB=3,AC=5．如此=BC AD . A ．－8B ．8C ．－ 2D ．2 8·椭圆)012222>>=+b a by a x （的右焦点为F ，上顶点为B ，右顶点为A ，M 为椭圆上一点，满足MF⊥FA，如果△OMA〔O 为原点〕的面积是△OMB 的面积的2倍，如此椭圆的离心率为A ．21B ．22C ．33D ．55 9．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当x∈[一2，0]时1)22()(-=x x f ，假设茌区间〔一2，6〕内关于x 的方程)0(0)2(1)(>=+-a x og x f a 且a≠1〕恰有4个不同的实数根，如此实数“的取值范围是A ．)1,41( B ．〔1，4〕C ．〔1,8〕D ．〔8，+∞〕10．正项数列{a n }满足0)1(1221=+-+++n n m n a a a a n ，且a 1=1，不等式“a 1．a 2+a 2+a 3+…+a n ·a n+1≥m 对任意n∈N *恒成立．如此实数m 的取值范围是A 〔一∞，21] B·〔一∞，21〕 C ．〔一∞，1] D ．〔一∞，1〕 二、填空题：本大题共5个小题，每一小题5分，共25分，请把答案填在答题卷对应题号后的横线上。
湖南师大附中高三数学上学期第一次月考试卷 文(含解析)
湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．D．2．（5分）极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是（）A．一条直线B．一个圆C．一条抛物线D．一条双曲线3．（5分）设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）A．﹣1＜x≤1B．x≤1C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜14．（5分）如果函数f（x）=sin（x+θ）（0＜θ＜π）是最小正周期为T的偶函数，那么（）A．T=4π，θ=B．T=4，θ=C．T=4，θ=D．T=4π，θ=5．（5分）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是（）A．若α∥b，β∥b，则α∥βB．若α∥a，α∥b，则a∥bC．若a⊥α，b⊥β，则α∥βD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β6．（5分）若ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则对于函数f（x）=ax2+bx+c应有（）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1）B．f（5）＜f（﹣1）＜f（2） C． f（﹣1）＜f（2）＜f（5）D．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）7．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定8．（5分）若＜＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．ab＜b2B．a+b＜ab C．a2＞b2D．+＞29．（5分）已知a n=log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列运算：a1•a2=log23•log34=•=2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log78=••…•=3；…．若a1•a2•a3•…•a k（k∈N*）为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1•a2•a3•…•a k=2 014时，“企盼数”k为（）A．22014+2 B．22014C．22014﹣2 D．22014﹣410．（5分）过点（﹣2，0）的直线l与抛物线y=相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于（）A．﹣B．﹣C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．（5分）在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取个．12．（5分）阅读框图填空：若a=0.80.3，b=0.90.3，c=log50.9，则输出的数是．13．（5分）若直线y=kx与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则k的值是．14．（5分）函数f（x）=x（e x+1）+x2，则函数f（x）的单调增区间为．15．（5分）当n为正整数时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如：N（3）=3，N（10）=5，记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2n），则（1）S（3）=．（2）S（n）=．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sinωx•cosωx+cos2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求当x∈（0，]时f（x）的值域．17．（12分）某中学2015届高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：组序分组频数频率第一组[180，210） 5 0.1第二组[210，240）10 0.2第三组[240，270）12 0.24第四组[270，300） a b第五组[300，330） 6 c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，求在第二组学生中应抽取多少人？（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．18．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，PC=BC=4，AB=2，E、F分别是PB、PA的中点．（1）求证：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积．19．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b（a，b∈R）在[﹣1，1]上是减函数．（1）求实数a的取值范围；（2）设＜a＜1，若对任意实数u、v∈[a﹣1，a]，不等式|f（u）﹣f（v）|≤恒成立，求实数a的最小值．20．（13分）如图，已知双曲线，其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B．过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足，．（1）求双曲线的离心率；（2）若a=2，过点B作直线l分别交双曲线的左支、右支于M、N两点，且△OMN的面积S△OMN=，求l的方程．21．（13分）设不等式组所表示的平面区域为D n，记D n内整点的个数为a n（横纵坐标均为整数的点称为整点）．（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列{a n}的前n项的和为S n，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得所给的复数为，再根据它为纯虚数，可得a﹣1=0，且a+1≠0，由此求得a的值．解答：解：a是实数，且==为纯虚数，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得 a=1，故选B．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是（）A．一条直线B．一个圆C．一条抛物线D．一条双曲线考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用即可把极坐标方程化为直角坐标方程，即可判断出．解答：解：极坐标方程ρcos2θ=4sinθ化为ρ2cos2θ=4ρsinθ，∴x2=4y．因此极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是一条抛物线．故选：C．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程，属于基础题．3．（5分）设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）A．﹣1＜x≤1B．x≤1C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；集合．分析：判断“x∈A且x∉B”成立的充要条件要分别说明必要性与充分性．解答：解：∵集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，又∵“x∈A且x∉B”，∴﹣1＜x＜1；又由﹣1＜x＜1时，满足x∈A且x∉B．故选D．点评：本题考查了充要条件的求法，要分别说明必要性与充分性．属于基础题．4．（5分）如果函数f（x）=sin（x+θ）（0＜θ＜π）是最小正周期为T的偶函数，那么（）A．T=4π，θ=B．T=4，θ=C．T=4，θ=D．T=4π，θ=考点：三角函数的周期性及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由条件根据正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，可得结论．解答：解：根据函数f（x）=sin（x+θ）（0＜θ＜π）是最小正周期为T的偶函数，可得T==4，且θ=，故选：B．点评：本题主要考查正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．5．（5分）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是（）A．若α∥b，β∥b，则α∥βB．若α∥a，α∥b，则a∥bC．若a⊥α，b⊥β，则α∥βD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若α∥b，β∥b，则α与β相交或平行，故A错误；若α∥a，α∥b，则a与b相交、平行或异面，故B错误；若a⊥α，b⊥β，则α与β相交或平行，故C错误；若a⊥α，a⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．点评：本小题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间想象能力和思维能力的培养．6．（5分）若ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则对于函数f（x）=ax2+bx+c应有（）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1）B．f（5）＜f（﹣1）＜f（2） C． f（﹣1）＜f（2）＜f（5）D．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由于ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，可知；﹣2，4是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．得到=﹣2，=﹣8．因此函数f（x）=ax2+bx+c=a=a（x﹣1）2﹣9a．可知：a＜0，抛物线开口向下，且对称轴为x=1．当x≥1时，函数f（x）单调递减．即可得出．解答：解：∵ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，∴﹣2，4是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．∴﹣2+4=，﹣2×4=．化为=﹣2，=﹣8．∴函数f（x）=ax2+bx+c=a=a（x2﹣2x﹣8）=a（x﹣1）2﹣9a．∵a＜0，抛物线开口向下，且对称轴为x=1．∴当x≥1时，函数f（x）单调递减，∴f（5）＜f（3）＜f（2），f（3）=f（﹣1），∴f（5）＜f（﹣1）＜f（2）．故选：B．点评：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系、二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．7．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定考点：余弦定理．专题：计算题．分析：先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．解答：解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A点评：考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力．8．（5分）若＜＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．ab＜b2B．a+b＜ab C．a2＞b2D．+＞2考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于＜＜0，可得b＜a＜0，因此b2＞a2，即可得出．解答：解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴b2＞a2，因此C不正确．故选：C．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．9．（5分）已知a n=log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列运算：a1•a2=log23•log34=•=2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log78=••…•=3；…．若a1•a2•a3•…•a k（k∈N*）为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1•a2•a3•…•a k=2 014时，“企盼数”k为（）A．22014+2 B．22014C．22014﹣2 D．22014﹣4考点：数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得lg（k+2）=lg 22014，由此能求出k．解答：解：由已知得a1•a2•a3•…•a k==2 014，lg（k+2）=lg 22014，解得k=22014﹣2．故选：C．点评：本题考查“企盼数”k的求法，是中档题，解题时要注意对数性质的合理运用．10．（5分）过点（﹣2，0）的直线l与抛物线y=相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于（）A．﹣B．﹣C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x2﹣2kx﹣4k=0，由此利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率．解答：解：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x2﹣2kx﹣4k=0，设两个交点是A（x1，y1），B（x2，y2），则，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2=﹣1．∴k=且满足△＞0．故选：C．点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．（5分）在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取12个．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：∵在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，∴二等品中应抽取个，故答案为：12点评：本题主要考查分层抽样的应用，建立比例关系是解决本题的关键．12．（5分）阅读框图填空：若a=0.80.3，b=0.90.3，c=log50.9，则输出的数是b（或0.90.3）．考点：选择结构．专题：算法和程序框图．分析：根据指数函数和对数函数的图象和性质比较0.80.3，0.90.3，log50.9三个数的大小，由框图即可确定输出的数．解答：解：指数函数和对数函数的图象和性质可知0.80.3＜0.90.3，且0.90.3＞log50.9，执行框图流程可知输出的数为：b（或0.90.3）故答案为：b（或0.90.3）．点评：本题主要考查流程图和算法以及指数函数、对数函数的图象和性质，属于基础题．13．（5分）若直线y=kx与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则k的值是±．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先根据圆的方程求出圆心和半径，再根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值．解答：解：圆x2+y2﹣4x+3=0，即（x﹣2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心、半径等于1的圆．根据圆心到直线的距离等于半径可得=1，求得k=±．故答案为：±．点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=x（e x+1）+x2，则函数f（x）的单调增区间为（﹣1，+∞）（注：[﹣1，+∞）也可）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：只需在定义域内解不等式f′（x）＞0，注意定义域的书写形式．解答：解：f′（x）=e x+1+xe x+x=（e x+1）（x+1），令f′（x）＞0，得x＞﹣1，∴函数f（x）的单调增区间为（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题，求f（x）的增区间只需解f′（x）＞0，求减区间只需解f′（x）＜0，注意单调区间为定义域的子集．15．（5分）当n为正整数时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如：N（3）=3，N（10）=5，记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2n），则（1）S（3）=22．（2）S（n）=．考点：函数的值．专题：计算题；新定义．分析：（1）由题意可得，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（8），分别寻求每一项的值，然后可求（2）先根据题意求出当n=1时，S（1）=N（1）+N（2），S（2）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4），S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（8），S（4）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N （16），根据值出现的规律总结一般规律，然后可求解答：解：（1）由题意可得，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（8）=1+1+3+1+5+3+7+1=22 （2）由题意可得，当n=1时，S（1）=N（1）+N（2）=1+1=2当n=2时，S（2）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）=[N（1）+N（3）]+N（2×1）+N（4×1）=（1+3）+1+1=22+2当n=3时，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（8）=[N（1）+N（3）+N（5）+N（7）]+[N（2）+N（6）]+[N（4）+N（8）]=（1+3+5+7）+（1+3）+（1+1）=24+22+2当n=4，S（4）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（16）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（6）+N（10）+N（14）]+[N（4）+N（8）+N（12）+N（16）]=（1+3+5+7+9+11+13+15）+（1+3+5+7）+（1+1+3+1）=64+16+6=26+24+22+2n=5，S（5）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（32）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（31）]+[N（2）+N（6）+N（10）+…N（30）]+[N（4）+N（8）+…N（32）]=（1+3+5++…+31）+（1+3+5+…+15）+（1+1+3+1+5+3+7+1）=256+64+22=28+26+24+22+2∴S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2n）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（2n﹣1）]+[N（2）+N（6）+N（10）+…N（2n﹣2）]+[N（4）+N（8）+…N（2n）]=22n﹣2+22n﹣4+…+22+2==2=故答案为：22，点评：本题以新定义为载体，主要考查了函数的函数值的求解，解题的关键是根据前几项的值寻求函数值出现的规律三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sinωx•cosωx+cos2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求当x∈（0，]时f（x）的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2ωx+）+，由此根据周期为π求得ω的值．（2）当x∈（0，]时，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．解答：解：（1）f（x）=sinωxcosωx++1=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2ωx+）+．∵ω＞0，∴T==π，∴ω=2．（2）由（1）得：f（x）=sin（2ωx+）+，∵0＜x≤，∴＜2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴1≤f（x）≤，即f（x）的值域是[1，]．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．17．（12分）某中学2015届高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：组序分组频数频率第一组[180，210） 5 0.1第二组[210，240）10 0.2第三组[240，270）12 0.24第四组[270，300） a b第五组[300，330） 6 c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，求在第二组学生中应抽取多少人？（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，再求b、c的值；（2）先求抽取比例，根据抽取比例求在第二组学生中应抽取的人数；（3）计算从5名学生中随机抽取2人的取法种数和恰好抽到1名男生和1名女生的取法种数，利用古典概型概率公式计算．解答：解：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，b==0，34，c==0.12；（2）∵分层抽样的抽取比例为，∴在第二组学生中应抽取10×=4人；（3）从5名学生中随机抽取2人共有=10种取法，恰好抽到1名男生和1名女生的取法有=6种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为=．点评：本题考查了古典概型的概率计算，考查了组合数公式的应用，解题的关键是读懂频率分布表．18．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，PC=BC=4，AB=2，E、F分别是PB、PA的中点．（1）求证：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积．考点：平面与平面垂直的判定；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知得AB⊥PC，AB⊥BC，从而AB⊥侧面PBC，由此能证明侧面PAB⊥侧面PBC．（2）由已知得CE⊥PB，CE⊥EF．从而EF⊥侧面PBC，故EC、EF、EP两两垂直，从而三棱锥P ﹣CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球，由此能求出三棱锥P﹣CEF 的外接球的表面积．解答：（1）证明：∵PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC，AB⊂侧面PAB，故侧面PAB⊥侧面PBC．（6分）（2）解：∵PC=BC=4，E为PB的中点，∴CE⊥PB，而侧面PAB垂直侧面PBC于PB，∴CE⊥EF．由E、F分别是PB、PA的中点有EF∥AB，则EF⊥侧面PBC．故EC、EF、EP两两垂直，（9分）三棱锥P﹣CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球，由已知得EC=EP=2，EF=1，其外接球的直径是=，故所求三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积是=17π．（12分）点评：本题考查侧面PAB⊥侧面PBC的证明，考查三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b（a，b∈R）在[﹣1，1]上是减函数．（1）求实数a的取值范围；（2）设＜a＜1，若对任意实数u、v∈[a﹣1，a]，不等式|f（u）﹣f（v）|≤恒成立，求实数a的最小值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知得x∈[﹣1，1]时，f′（x）=x2+ax﹣a﹣2≤0恒成立，由此能求出a≥﹣．（2）由已知得＜a＜1，﹣＜a﹣1＜0，[a﹣1，a]⊂[﹣1，1]，f（x）在[a﹣1，a]上是减函数，从而得到f max﹣f min≤，由此能求出实数a的最小值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b，∴f′（x）=x2+ax﹣a﹣2，由函数f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b（a，b∈R）在[﹣1，1]上是减函数得：x∈[﹣1，1]时，f′（x）=x2+ax﹣a﹣2≤0恒成立．（3分）∴，解得a≥﹣．（6分）（2）∵＜a＜1，∴﹣＜a﹣1＜0，∴[a﹣1，a]⊂[﹣1，1]，故f（x）在[a﹣1，a]上是减函数，（7分）∴f max=f（a﹣1）=（a﹣1）3+a（a﹣1）2﹣（a+2）（a﹣1）+b，f min=f（a）=a3+a3﹣a（a+2）+b．依条件有f max﹣f min≤，∴f max﹣f min=﹣2a2+a+≤，（11分）即8a2﹣10a+3≥0，a≥或a≤，∵＜a＜1，∴a min=．（13分）点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．20．（13分）如图，已知双曲线，其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B．过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足，．（1）求双曲线的离心率；（2）若a=2，过点B作直线l分别交双曲线的左支、右支于M、N两点，且△OMN的面积S△OMN=，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．专题：综合题；转化思想．分析：（1）欲求双曲线的离心率，只需找到含a，c的齐次式，由已知，易求P点坐标，根据，可判断D点为FP的中点，再根据可找到a，b的关系，进而转化为含a，c的等式，即可求出离心率e的值．（2）当a=2时，根据（1）中所求离心率，可求出b的值，进而求出双曲线方程，根据直线MN过B点，设出直线MN的方程，与双曲线方程联立，解出x1+x2，x1x2，△OMN被y轴分成两个三角形，分别求出面积，再相加，即为△OMN的面积，让其等于题目中所给的值，可得到关于直线l的斜率k的方程，解出k即可．解答：解：（1）∵B（0，﹣b）∵，即D为线段FP的中点．，∴，即A、B、D共线．而，，∴，得a=2b，∴（2）∵a=2，而，∴b2=1，故双曲线的方程为…①∴B、的坐标为（0，﹣1）设l的方程为y=kx﹣1…②②代入①得（1﹣4k2）x2+8kx﹣8=0由题意得：得：设M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）则而==整理得24k4﹣11k2+1=0，解得：或（舍去）∴所求l的方程为点评：本题主要考查了双曲线离心率的求法，以及直线与双曲线位置关系的应用．21．（13分）设不等式组所表示的平面区域为D n，记D n内整点的个数为a n（横纵坐标均为整数的点称为整点）．（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列{a n}的前n项的和为S n，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．考点：数列与不等式的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列{a n}的通项公式；（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论．解答：解：（1）D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，∴a2==25．（3分）（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），据题意有a n==10n+5．（6分）（另解：a n=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）S n=5n（n+2）．（8分）∵==•＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜（13分）点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
湖南省师大附中高三数学月考(五)试题 理
湖南师大附中2015届高三月考（五）数学（理）试题（考试范围：高中理科数学全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U={x|x ≥3，x ∈N }，集合A={x|x 2≥10，x ∈N}．则U A ð= A ．∅ B ．{3} C ．{10} D ．{3，4，5，6，7，8，9} 2．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是 A ．f （x ）=x - B ．f （x ）=－x 3C ．f （x ）=-tan xD ．f （x ）=x1 3．已知数列{a n }满足a n+1= 3a n （n ∈N *），且a 2+a 4+a 6=9．则log （a 5+a 7+a 9）的值是 A ．－5 B ．－51 C ．5D ．51 4．某程序的框图如图所示，输入N=5，则输出的数等于 A ．45B ．54C ．56D ．655．某几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为全等的正方形，则该几何体的体积为A ．34B ．38 C ．6 D ．266．三个班级分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同班学生排在一起的概率是 A ．301B ．151C ．101D ．517．将函数y=sin2πx 的图象向右平移2个单位后，得到函数f （x ）的图象，则函数f （x ）的单调递减区间是A ．[－1+2k ，1+2k]，k ∈ZB ．[1+4k ，3+4k]，k ∈ZC ．[－1+4k,1+4k]，k ∈ZD ．[－l+4k+π4，l+4k+π4]，k ∈Z8．设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0））的最大值为12，则b a 32+的最小值为 A ．625 B ．38C ．311D ．49．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且CD BC =，点O 在线段CD 上（点O 与点C ，D 不重合），若y x +=，则x 的取值范围是 A ．（0，1） B ．（0，31）C ．（－1，0）D ．（－31，0）10．已知斜率为2的直线l 与双曲线C ：2222by a x -=l （a>0，b>0）交于A ，B 两点，若点P（2，1）是AB 的中点，则C 的离心率等于 A ．22B ．2C ．3D ．2二、填空题：本大题共6小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分。
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湖南师大附中
2015届高三月考（五）
数学（文）试题
（考试范围：高考全部内容）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.设全集U=R ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧
-==<-=x y x B x x x A 11
|},|1||{，则图中阴影部分表示的 集合是
A ．{x|x≥1}
B.{}21|<≤x x
C ．{x ｜0<x≤1}
D ．{x|1≤1}
2．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=1
,1,12)(2x ax x x x f x ，若a f f 4))0((=，则实数a 的值为 A. 2
1 B ．
5
4 C ．2 D ．9 3．已知命题p ：若x ∈R ，则21≥+x x ，命题q ：若0)1(1≥-x g ，则x≥2，则下列各命题中是假命题的是
A ．q p ∨
B ． q p ∨⌝)(
C ． q p ∧⌝)(
D ． )()(q p ⌝∧⌝ 4．已知平面区域内的点（x ，y ）满足约束条件,0520402⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-y x y x y x 则目标函数z=2x+y 的最大值
是 （C ）
A5 B ．7 C ．23 D ．25
5．下列推理是归纳推理的是 （B ）
A.A 、B 为定点，动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|，则点P 的轨迹是椭圆
B ．由13,11-==n a a n ，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式
C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积2
r π，猜想出椭圆122
22=+b y a x 的面积S=πab
D ．点O 为直线AB 外一点，由OC OB OA 2=+可知点C 为线段AB 的中点
6．右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长
为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是
A .6π
B ．8π
C. l2π D ．24π
7．已知O 为△ABC 外一点，D 为BC 边上一点，且02=-+OD OB OC ，若AB=3,AC=5．则
=BC AD . A ．－8
B ．8
C ．－ 2
D ．2 8·已知椭圆)0122
22>>=+b a b
y a x （的右焦点为F ，上顶点为B ，右顶点为A ，M 为椭圆上一点，满足MF ⊥FA ，如果△OMA （O 为原点）的面积是△OMB 的面积的2倍，则椭圆的离心率为
A ．21
B ．22
C ．33
D ．5
5 9．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当x ∈[一2，0]时
1)22
()(-=x x f ，若茌区间（一2，6）内关于x 的方程)
0(0)2(1)(>=+-a x og x f a 且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数“的取值范围是
A ．)1,41(
B ．（1，4）
C ．（1,8）
D ．（8，+∞）
10．已知正项数列{a n }满足0)1(1221=+-+++n n m n a a a a n ，且a 1=1，不等式“a 1．a 2+
a 2+a 3+…+a n ·a n+1≥m 对任意n ∈N *恒成立．则实数m 的取值范围是
A （一∞，21] B·（一∞，21） C ．（一∞，1] D ．（一∞，1）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卷对应题号后的
横线上。
11．复数i
i ++13在复平面内对应的点的坐标为 。
12,某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100
分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均数分85，乙班学生成绩的中位数是83，则x 十y 的值为 ．
13．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为θθ
θ(sin 1cos 2⎩⎨⎧+=+=y x 为参数）
，若以坐标原点o 为极
点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系'则曲线0)3sin(:2=+
πθp C 上的点到曲线1C ，上
的点的最短距离为 . 14.若+∈∃,0(x ∞）满足不等式mx m x x ≤+-222，则实数m 的取值范围是 。
15．若存在实数a ，b （0<a<b ）满足a b b a =，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分）
已知向量)2
1,(sin x m =，n m x f x x n .)()3,cos 3(sin =+=△ABC 三个内角A,B,C 的对边
分别为a ，b ，c ，且f （A ）=3．
（1）求角A 的大小；
（2）若1,3==b a ，求c 的值．
17．（本题满分12分，
高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之
中，将测试结果按如下方式分成五组，第一组)14,13[，第二组)15,14[，…
第五组[17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）请根据频率分布直方图,估计样本数据的众数和中位数(精确到0.01);
（2）设，m ,n 表示该班两个学生的百米测试成绩,已知]18,17[)14,13[, ∈n m ,求事件2>-n m 的概率.
18．（本题满分l2分）
在直三棱住ABC —A 1B 1C 1,中CA=CB=CC 1=2,∠ACB= 90°．E 、F 分别是BC 、A 1A 的中点．
（1）求证：EF ∥平面A 1C 1B;
（2）求异面直线EF 与A 1C 1所成角的余弦值.
19．（本题满分l3分）
将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
98765
132
1
a a a a a a a a a
已知表中的第一列数 ,,,521a a a 构成一个等差数列，记为{b n }，且10,452==b b ，表
中每一行正中间的一个数731,,a a a …构成数列{C n },其前n 项和为S n ．
（1）求数列{b n }的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起．每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为
同一个正数，且13a = 1．
①求S n ；
②记},)1(|{*N n C n n M n ∈≥+=λ若集合M 的元素个数为3．求实数λ的取值范
围．
20．（本题满分13分）
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点匙分别F 1．F 2，左右顶点分别是A 1 、A 2，
离心率是2
2，过F 2的直线与椭圆交于两点P 、Q （不是左、右顶点），且△F 1 PQ 的周长是42，直线A l P 马A 2Q 交予点M ．
（1）求椭圆的方程；
（2）①求证直线A 1P 与A 2Q 的交点M 在一条定直线l 上；
②N 是定直线l 上的一点，且PN 平行于x 轴，证明：
PN PF 2是定值．
21．（本题满分13分）
已知函数.,1)12()22(2
1)(2R a nx a x a x x f ∈+++-= （1）求)(x f 的单调区间；
（2）对任意的]2,1[,,25,2321∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈x x a ，恒有2
1211
1)()(x x x f x f -≤-λ求正实数λ的取值范围．。