沪教版七年级上分式复习-学生版

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10-第十章-分式-七年级(上)-知识点汇总-沪教版

第十章分式10.1 分式的意义1、两个整式A/B 相除，即A÷B 时，可以表示为A / B 。

如果B 中含有字母，那么A / B 叫做分式。

A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母2、如果一个分式的分母为零，那么这个分式无意义10.2 分式的基本性质1、整式和分式统称为有理式：即有理式2、分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为： A / B = A * C / B * C A / B = A ÷ C / B ÷ C（A 、B 、C 为整式，且B 、C ≠ 0 ）3、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分4、分式的约分步骤：（1）如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式，将它们的公因式约去（2）分式的分子和分母都是将分子和分母分别，再将公因式约去注：公因式的提取方法：系数取分子和分母共有的系数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式5、一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式。

约分时，一般将一个分式化为最简分式6、通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分7、分式的通分步骤：先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母，同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子8、最简公分母的确定方法：系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的及单独字母的幂的乘积9、注：(1) 约分和通分的依据都是分式的基本性质(2) 分式的约分和通分都是互逆运算过程10.3 分式的运算1、分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

用字母表示为：a / b * c / d = a c / b d2、分式的除法法则1) 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘：a/b÷c/d=ad/bc2) 除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数a/b÷c/d=a/b*d/c 异分母分式通分时，关整式分式键是确定公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

沪教版七年级数学分式方程章节复习

分式方程章节复习课前测试【题目】课前测试A、B两地相距50千米，甲骑自行车，乙骑摩托车，都从A地到B地，甲先出发1小时30分，乙的速度是甲的2.5倍，结果乙先到1小时，求甲、乙两人的速度。

【答案】甲速度为12千米/时，乙速度为30千米/时【解析】解：设甲速为x千米/时，则乙速为2.5千米/时，依题意，有：解得：经检验是原方程的根，且符合题意当时，总结：本题考察了分式方程的实际应用以及列分式方程．【难度】3【题目】课前测试当x ＝时，分式5x x -与另一个分式62x x --的倒数相等【答案】10【解析】由题意可知5x x -=62--x x ∴)2)(5()6(--=-x x x x得107622+-=-x x x x解得x=10检验：当x=10时，原式成立总结：本题主要考查了解分式方程，但注意题目的要求【难度系数】3知识定位适用范围：沪教版，七年级知识点概述：本章重点部分是可化为一元一次方程的分式方程。

其中可化为一元一次方程的分式方程分为分式方程的定义、分式方程的解、解分式方程、换元法解分式方程，分式方程的增根，主要进行分式方程的复习。

适用对象：成绩中等偏下的学生注意事项：基础差的学生着重掌握分式的加减，分式的乘除，可化为一元一次方程的分式方程，中等偏上的学生重点掌握可化为一元一次方程的一些难题和好题目进行综合练习。

重点选讲：①分式方程的概念②可化为一元一次方程的分式方程③分式方程的应用知识梳理知识梳理1：分式方程的概念知识梳理2：解分式方程分式方程：分母里含有未知数的方程叫分式方程。

如：81x -+，1613122-=-++x x x 是分式方程5132+=+x x ， 6x 2+4x +1=0是整式方程注：分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，分母中含未知数就是分式方程，否则就为整式方程。

?步骤：例如，解方程x 180-x2180=2 1、两边都乘以最简公分母2x ，2、得到整式方程180=4x .3、解这个方程，得 x =454、x =90是不是原来分式方程的根呢？把x =45代入原方程检验。

沪教版(上海)七年级第一学期10.2《分式运算》知识点与练习

基本运算：分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅ 乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c±±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算。

结果以最简形式存在。

【例1】计算：（1）222934m m m m +-⋅-- （2）2342()()()b a ba b a -⋅-÷-（3）32231(4)()2mn m n ---÷- 【解析】（1）32m m +- （2）58a b - ⑶49128m n -【例2】（1）222256712228x x x x x x x x -+-+÷----（2）22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+-（3）32322423()(1)2111x x x xx x x x x --÷-÷+-++分式运算例题讲解知识要点【解析】（1）21x x ++ （2）22x -- （3）23x -【例3】（1）2222135333x x x x xx x x +--+-++++ （2） 222222222222()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+- （3）222424444254a a a a a a a -++-+--+ 【解析】（1）2 （2）1 （3）1【例4】（1）2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++ （2）422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+（3）()()22222222222a b ca b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++- （4）abbc ac c ba ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 （5）abbc ac c ba c ac bc ab b ac b bc ac ab a c b a +----++----++----222222( a ，b ，c 都不相等) 【解析】（1）22(1)(1)a a +-- （2）1 （3）a b c a b--+ （4）2c a - （5）0 【例5】计算：（1）1122x y x y ------（2）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++ 【解析】（1）xyy x+（2）337 【例6】（1）求代数式22135624816x x x x x x x x ++++÷⋅++++的值，其中3x = （2）先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+，其中4a =。

沪教版(上海)初中数学七年级第一学期10.5分式的复习课件

等量关系：
小汽车的速度=公共汽车的速度×3
两辆车一同行驶的时间
M
两辆车一同行驶的时间
M
小汽车没有出发时，公交车单独行驶的3个小时
B 公交车行驶的总时间 N
公交车到站后，小汽车单独行驶20分钟
A
小汽车行驶的总时间
N
公交车行驶的总时间-3=小汽车行驶的总时间-
1 3
A、B两地的距离是80千米，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车速度的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度
原方程无解
解分式方程的一般步骤：
1、去分母，两边同乘最简公分母。
转化为
分式方程
一元一次方程
2、解一元一次方程。 3、检验产生增根 4、结论
若分式方程 x 2 K 会产生增根，试求K的值
x3 3x
说明：x=3
第一步：审题发现x=3
第二步：将分式方程化成整式方程
第三步：把x=3代入求值
例题1:
下列式子是否是分式？
(1)
3x
×
(2)
2x x 1
(3) x 1 2x
(4) x2 y 2 × （5）(x 1)(x 1)
2
x 1
分式的意义
分式的基本性质
分式的运算
分式方程及应用
x
1
1
(1
x x)(1
x)
4x x3
2 x
异分母分式相加减，要通分
x
1
1
(1
x x)(1
x)
4x x3
提速后的时间=现在的时间-55
60
550 550 - 55

沪教版七上：分式运算的复习课件(15张ppt)

四、总结谈谈你的收获.
祝大家学习进步！
分式运算的复习
一.整体回顾运算
1.你学过哪几种运算？ 2.你认为运算法则有什么作用？ 3.你学过哪些范围内的运算？
实数 9.1用字母表示数 9.2代数式
有理数无理数
有理式无理式
整数分数
9.4整式 10.1分式单项式多项式
代数方程
有理方程无理方程
整式方程
分式方程
一元一次方程
一元二次方程
2.分析错误：
老师收集了几个错题，请小组围绕以下几个问题开展讨论. （1）错在哪个步骤？（说明：从第一个等于号为第一步开始，以此类推）（2）引起错误的原因是什么？（3）你有什么好的建议可以避免这些错误？（4）订正下列错题.
计算：
x
x
3
x x2
6 3x
去分母—— 等式的性质
通分—— x x 6
4.练习巩固
试一试：下面的计算你能想出几种解题方法：计算：（结果用正整数指数幂的形式表示）
若增加条件：
，求ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上式子的
值.
小结：运算从程序化——自动化——灵活化
三、分式方程的应用
如图：有甲、乙、丙三艘形状大小相同的小船，将甲船向右平移到丙船的位置，乙船也同时先向右再向上平移到丙船的位置，如果甲船平移的速度是乙船的2倍，甲船到达丙船的位置比乙船快1秒，求甲船每秒平移几个单位？
分式的基 x 3 x(x 3)
本性质
x2 x2 x 6x 6
x(x 3) x(x 3)
x2 x 6 xx 3
x2
xx
x6
3
x
3x xx 3
2

沪教版七年级数学上-分式讲义+练习

分式知识点1 分式的概念一般的，形如ba（a 、b 是整式，且b 中含有字母，b ≠0）的式子叫做分式，其中a 叫做分式的分子，b 叫做分式的分母。

（注意：分式的分母不能为零，其主要特征是分式的分母必须含有字母，而分子中含不含字母都可以）知识点2 分式有意义和分式值为零的条件1、对分式的概念的理解要注意以下两点：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零，分式的分母表示除数，由于除数不能为零，所以分式的分母不能为零，即当b o 时，分式B A 才有意义；当b=0时，分式BA无意义。

2、由于只有在分式有意义的条件下，才能讨论分式的值的问题，因此，要想分式的值为零，需要同时满足两项条件：（1）分式的分母的值不等于零；（2）分子的值等于零。

1、要有转化思想，新旧知识之间的转化，分式方程与整式方程的转化，分式的基本性质，分式的约分通分和小学学过的分数的基本性质，在实际学习的过程中注意体会这种转化思想、类比思想的应用。

2、在学习分式知识的过程中，注意题中的隐含条件，分式的值为零和有意义的条件。

3、“分式的值为零”和“分式无意义”有什么区别和联系？分子为零是分式的值为零的第一个条件，而分母不为零是分式的值为零的第二个条件。

也就是说，只有在分式有意义的条件下，才谈的上分式的值为零。

而当分式的分母为零时，“分式无意义”。

如果认为“分式的值为零，就是分式没有意义”或者“只要分子的值是零，分式的值就是零”，都是错误的。

师傅和徒弟要加工200个机器零件，如果师傅每小时可以加工a 个零件，而徒弟每小时比师傅少加工10个，那么由徒弟自己加工这200个零件需要几个小时呢？不难发现，徒弟1小时加工的零件个数是（a-10）个，那么加工200个零件所用时间为200÷（a-10）小时，即10200-a ，这个代数式表示什么？它有什么样的性质呢？这就是我们接下来将要学习的分式的内容。

1、判断下列各式，哪些是分式？哪些是整式？（1）a 4 （2）152- （3）a 32-b 51 （4）y 3（5）2+x y （6）21-x （7）ba 2、对于分式42+x x 、24x x -、42+x x 、42-x x 、x x 24（1）当x 取什么值时，以上各分式无意义？（2）当x 取什么值时，以上各分式有意义？（3）当x 取什么值时，以上各分式的值为0？3、已知一箱苹果售价a 元，箱子与苹果总重量为m 千克，箱子重量为n 千克。

沪教版数学七年级上第十章分式10

沪教版数学七年级上第十章分式10.2分式的基本性质练习一和参考答案10.2 分式的基本性质一、选择题1.将 $x-y$ 的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）。

不改变分式的值，使分式 $\dfrac{x-y}{8}$ 的各项系数化为整数，分子、分母应乘以 8.2.下列等式：① $\dfrac{-a+b}{a-b}=\dfrac{a-b}{c-x}-\dfrac{y+x}{m-n}$；② $\dfrac{a-b}{c-x}=-\dfrac{-a+b}{a-b}+\dfrac{y+x}{m-n}$；③ $\dfrac{a-b}{c-x}=\dfrac{y+x}{m-n}-\dfrac{-a+b}{a-b}$；④ $\dfrac{-a+b}{a-b}=-\dfrac{y+x}{m-n}+\dfrac{a-b}{c-x}$。

成立的是（）①③。

3.不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）$\dfrac{3-2x-5x^5}{3x^2-x+2}$ 应该变形为$\dfrac{-3+2x+5x^5}{-3x^2+x-2}$，然后分子、分母各乘以 $-1$。

4.分式 $\dfrac{22bx-13ab-5bx+y}{4}$，$\dfrac{2x+3y}{x^2-xy+y^2}$，$\dfrac{3a^2+5ab}{c+1}$ 中是最简分式的有（）2 个。

5.根据分式的基本性质，分式 $\dfrac{-x+y}{x-y}$ 可以化简为（）$\dfrac{y-x}{y-x}=1$。

6.下列各式中，正确的是（）A。

$\dfrac{-x+y}{x-y}-\dfrac{-x+y}{x+y}-\dfrac{-x+y}{x-y}-\dfrac{-x-y}{x-y}=0$。

7.下列各式中，正确的是（）D。

$\dfrac{a+m}{a-b}+\dfrac{a+ab}{b+1}=\dfrac{2a+1}{b+1}$。

6沪教版数学初一上册.分式单元复习与巩固(提高)巩固练习

D. a + bB ．a - bC ． ( a + b 2 a - bD ．13．分式方程 3．沪教版初一数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一.选择题1．下列关于 x 的方程，其中不是分式方程的是（）A. 1 a + b+ a = x a1 b 1 a B. - = +a xb x C. x + a x - 1 x - n x + m = + = 1a b x + m x - n2． ( a + b a + b a + b)2 ÷ ( )2 ⨯a -b a - b a - b的结果是（） A ． a - ba + b)2 6= + 的解是（）x - 2 x x( x - 2)A ．0B ．2C ．0 或 2D ．无解4．某班学生军训打靶，有 m 人各中靶 a 环， n 人各中靶 b 环，那么所有中靶学生的平均环数是（）A ．a +b m + nB ．am + bn m + n1 a b C ． ( + )2 m n1D ． (am + bn )25．某农场挖一条 480 米的渠道，开工后，每天比原计划多挖 20 米，结果提前 4 天完成任务，若设原计划每天挖 x 米，那么下列方程正确的是（）A ． 480 480 - = 4x x + 20B ． 480 480 - = 20x x + 4480 480C ． - = 4x - 20 x480 480D ． - = 20x - 4 x1 1 xy6．化简 ( - ) ⋅x y x 2 - y 2的结果是( )．A ．1x + yB ． -1x + y C ． x - yD ． y - x7.若关于 x 的方程 x 2 - 4 x + ax - 3= 0 有增根，则 a 的值为（）A ． a + b ( ) (ab ) 2 -2 13．计算 a -3 17.（1）已知 a + 119. a 为何值时，关于 x 的方程 2A ．13B ．-11C ．9D ．38. 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过 ah 相遇；若同向而行，则经过 b h甲追上乙．那么甲的速度是乙的（）b a + b b - a 倍B ．倍 C ．倍 D ．倍ba + bb - ab + a二.填空题x 2 - x9．若分式的值为 0，则 x 的值为______．| x | -110．若 x 2 - 12 y 2 = xy ，且 xy ＞0，则分式 x + 3 y 2 x - y的值为______．11．化简 9a 2b 2 3a 2b -6ab 2 = ______；化简 6ab 2a - 4a 2＝______．112． ( )-1 - (π - 1)0 + | -3| = ______．22 并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______．14． x = 2 是否为方程 1 x - 1= - 3 的解？答：______．x - 2 x - 23x a15．若分式方程 + = 1 的解是 x = 0 ，则 a = ______．2 x - 7 7 - 2 x16． a 个人 b 天可做 c 个零件(设每人速度一样)，则b 个人用同样速度做 a 个零件所需天数是________．三.解答题1 1= 3 ，求 a 2 + ， a 4 +a a 2 a 4的值；（2）已知 a 2 + 1 1= 7 ，求 a - 的值．a 2 a18.已知 3 4 5 xyz= = ，求的值．x + y y + z z + x ( x + y)( y + z)( x + z)ax 3+ =x - 2 x 2 - 4 x + 2会产生增根？20. 某文化用品商店用 2000 元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的 3 倍，但单价贵了 4 元，结果第二批用了 6300 元．（1）求第一批购进书包的单价是多少元？（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是 120 元，全部售出后，商店共盈利多少元？【答案与解析】【解析】(a+b则根据题意有⎨于是a(v+v)=b(v-v)，s=b(v-v).⎩11.【答案】3ab精品文档用心整理一.选择题1.【答案】C；【解析】分式方程是分母含有未知数的等式.2.【答案】B；a+b a+b a+b a-b a+b a+b)2÷()2⨯=()2⨯()2⨯=a-b a-b a-b a-b a+b a-b a-b 3.【答案】D；【解析】去分母得，3x=2(x-2)+6，解得x=2是增根.4.【答案】B；5.【答案】A；.【解析】原计划所用时间为480x480，实际所用时间为，选A．x+206.【答案】B；11xy y-x xy1【解析】(-)⋅=⋅=-.x y x2-y2xy(x-y)(x+y)x+y7.【答案】D；【解析】因为所给的关于x的方程有增根，即有x-3=0，所以增根是x=3．而x=3一定是整式方程x2-4x+a=0的根，将其代入得32-4⨯3+a=0，所以a=3．8.【答案】C；【解析】不妨设甲乙两人开始时相距s千米，甲的速度为v，乙的速度为v，12⎧s=a(v+v),12121212所以(a+b)v=(b-a)v，即21v1=v2a+b a+b．甲的速度是乙的倍．b-a b-a二.填空题9.【答案】0；【解析】由题意x2-x=0且|x|-1≠0，解得x=0.10.【答案】1；【解析】由x2-12y2=xy得(x-4y)(x+3y)=0，因为xy＞0，所以x=4y，代入原式得x+3y=1. 2x-y3b ；；a-2b1-2a【解析】3a b -6ab = 3ab(a -2b ) = a - 2b 2a - 4a 2 2a(1- 2a) 1 - 2a= = 2 - 所以 a + ⎪ = 32 ，所以 a 2 + 2 所以 a - ⎪ = 5 ，所以 a - = ± 5 ．精品文档用心整理9a 2b 2 9a 2b 2 3ab 6ab 6ab 3b； .2 212.【答案】4；1【解析】 ( )-1 - (π -1)0 + | -3| = 2 -1 + 3 = 4 .213.【答案】 1 a 8b 4；【解析】 (a -3 ) (ab 2 ) 2 = a -6a -2b -4 = 1 . a 8b 414.【答案】不是；【解析】因为 x = 2 是分式方程的增根. 15.【答案】7；【解析】将 x = 0 代入原方程，解得 a = 7 .a 2 16.【答案】；c【解析】每人每天做cab个零件， b 个人用同样速度做 a 个零件所需天数是c 1 ab a 2a ÷b ÷ = a ⨯ ⨯ = ．ab b c c三.解答题17.【解析】解：（1）因为 a + 1= 3 ，所以 a ≠ 0 ，a⎛ 1 ⎫2⎝a ⎭ 1 a 2 = 9 ．所以 a 2+ 1 1= 7 ．同理可得 a 4 + = 47 ．a 2 a 4（2）因为 a 2 + 1 1 = 7 ，所以 a 2 + a a 2- 2 = 5 ，⎛ 1 ⎫21 ⎝ a ⎭a18.【解析】解：设 3 4 5 1= = = ，x + y y + z z + x k则 x + y = 3k ， y + z = 4k ， z + x = 5k ，解得 x = 2k ， y = k ， z = 3k ，购进书包 2000 （2） 2000 ．所以精品文档用心整理xyz 2k k 3k 6k 3 1= = = ( x + y)( y + z)( x + z) 3k 4k 5k 60k 3 10．19.【解析】解：方程两边都乘以 ( x + 2)( x - 2) ，得 2( x + 2) + ax = 3(x - 2) ．整理得 (a - 1)x = -10 ．当 a = 1 时，方程无解．当 a ≠ 1 时， x = -10a - 1．如果方程有增根，那么 ( x + 2)( x - 2) = 0 ，即 x = 2 ，或 x = -2 ．当 x = 2 时， - 10 a - 1= 2 ，所以 a = -4 ；10当 x = -2 时， - = -2 ，所以 a = 6 ．a - 1所以当 a = -4 或 a = 6 时，原方程会产生增根．20.【解析】解：（1）设第一批购进书包的单价为 x 元，则第二批购进书包的单价为 ( x + 4) 元，第一批6300 个，第二批购进书包个．x x + 4 依题意，得 2000 6300 ⨯ 3 =x x + 4，整理，得 20( x + 4) = 21x ，解得 x = 80 ．6300⨯ (120 - 80) + ⨯ (120 - 84) = 1000 + 2700 = 3700 （元） 80 84答：第一批购进书包的单价为 80 元，商店共盈利 3700 元．。

沪教版(五四制)七年级第一学期10.2分式的加减运算讲义

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教员称谓皆称之为〝教谕〞。至元明清之县学一概循之不变。明朝中选翰林院的进士之师称〝教习〞。到清末，学堂兴起，各科教员仍沿用〝教习〞一称。其实〝教谕〞在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管束育生员者那么谓〝教授〞和〝学正〞。〝教授〞〝学正〞和〝教谕〞的副手一概称〝训导〞。于官方，特别是汉代以后，关于在〝校〞或〝学〞中教授经学者也称为〝经师〞。在一些特定的讲学场所，比如书院、皇室，也称教员为〝院长、西席、讲席〞等。
沪教版（五四制）七年级第一学期
【知识要点】
1．最简公分母
2．通分技巧
3．分式的加减乘除混合运算
【典型例题】
例1 写出以下各组分式的最简公分母
例2 计算：
例3 计算
例4 化简求值
1 ，其中．
2 ，其中．
*思索题：，求的值．
【大展身手】
1.x ,那么等于〔〕
A. B. C. D.
2．计算的结果正确的选项是〔〕
〔5〕〔6〕
10.先化简： ,假定结果等于，求出相应x的值．
11. ，求最为熟习的一种称谓，从最后的门馆、私塾到晚清的学堂，〝教书先生〞那一行当怎样说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的〝先生〞概念并非源于教书，最后出现的〝先生〞一词也并非有教授知识那般的含义。«孟子»中的〝先生何为出此言也？〞；«论语»中的〝有酒食，先生馔〞；«国策»中的〝先生坐，何至于此？〞等等，均指〝先生〞为父兄或有学问、有德行的晚辈。其实«国策»中自身就有〝先生长者，有德之称〞的说法。可见〝先生〞之原意非真正的〝教员〞之意，倒是与当今〝先生〞的称谓更接近。看来，〝先生〞之根源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称〝教员〞为〝先生〞的记载，首见于«礼记?曲礼»，有〝从于先生，不越礼而与人言〞，其中之〝先生〞意为〝年长、资深之教授知识者〞，与教员、教员之意基本分歧。

沪教版七年级数学上-分式的基本性质讲义+练习

分式的基本性质知识点1 分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不为零的整式，分式的值不变，即b a =m b m a **=n b n a ÷÷ ，其中m 、n 为整式，且b ≠0，m ≠0，n ≠0知识点2 约分、最简分式1、根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分，一个分式的分子、分母没有相同的因式（1除外）时，这个分式叫做最简分式，约分可以把一个分式化为最简分式。

2、约分的方法：（1）当分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母的系数约去它们的最大公约数（2）当分式的分子、分母中有多项式，则先要因式分解，再约分（3）约分一定要彻底，即约分后分子和分母中都不含公因式1、分式的分子、分母都是几个因式积的形式，所以约去分子、分母中相同的因式的最低次幂，注意系数也要约分2、当分子、分母是多项式时，先要进行因式分解，再约分如果将分式ba ba +-中的字母a 、b 的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值将有怎样的变化？例1 填空：（1）a b 22=a () （2）c b a 933+=()b a +（3）2a ac =()c （4）226y x x =()1例2 判断下列分式，为最简分式的是（）（A ）b ba a ++221 （B ） 212-+-x x x （C ） y x yx 4332-- （D ）2239m m m +- 例3 约分：（1）cdb cb a 2322432-（2）12122+--x x x例4 学校安排一项劳动任务，若单独派甲班去需要a 小时完成，单独派乙班去需要b 小时，学校为了尽快完成任务，派甲乙两班一起完成，问这两个班合作需要多少小时完成？若派甲班完成需要6小时，乙班单独完成需要12小时，则两班合作需要几小时完成？例5 当m 为何值时，等式123-+x x =)27)(12()23)(3(m x m x --++成立？1、约分：（1）db a cb a 42342135-（2）23)(4)(2x y y y x x --（3）2222)()(z y x z y x -+--2、若分式12222++--x x x x 的值为0，则x 的值等于学习顾问签字：学科负责人签字：。

第22讲-分式的加减(九大题型)(学生版)-七年级上册同步讲义(沪教版2024)

第22讲分式的加减（九大题型）学习目标1、能利用分式的基本性质通分．2、会进行同分母分式的加减法．3、会进行异分母分式的加减法．4、掌握分式的加减乘除混合运算.一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：a b a b c c c±±=.要点：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.二、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.三、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=.要点：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.四、分式的混合运算与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算.分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.要点：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握..（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.【即学即练1】化简21a a +结果正确的是（）A ．1B ．1aC ．3aD ．23a 【即学即练2】计算：112x x-+结果为（）A ．()22x x +B ．2-C ．()22x x -+D ．2【即学即练3】计算21211a a ++-的结果是（）A ．11a -B ．11a -+C ．2a 1-D ．21a -+【即学即练4】化简111x x -++得（）A ．221x x -+B ．221x x x +-+C ．22x-D ．21x x -+【即学即练5】先化简，后求值：22169124x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中1x =．题型1：最简公分母【典例1】．下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（）A ．12x 与13x 的最简公分母是6x B ．212a b 与32ab c 的最简公分母是22a bcC ．214x -与12x +的最简公分母是()()22x x +-D ．33m m n -与nm n-的最简公分母是()3m n -【典例2】．分式222()x y x y +与222x x y -的最简公分母是（）A ．44x y -B ．222()()x y x y +-C ．4()x y -D ．2()()x y x y +-题型2：通分【典例3】．通分：(1)235ab c 与2710c a b ；(2)22x x +与21x x-．【典例4】．通分：(1)x y -，22y x y+；(2)22aa b -，22b b a-；(3)293a-，219a a --，2969a a -+．题型3：同分母相加减【典例5】．化简2111x x x ---的结果是（）A ．1x +B ．1x -C ．x D ．x-【典例6】．化简：24m n m nm n m n-+-++的结果是（）A ．3B ．3-C ．5m n m n-+D ．3m n m n+-+题型4：异分母相加减【典例7】．分式111x x x+--可化简为（）A ．11x x +-B ．1C ．1-D ．11x x+-【典例8】．化简2110525x x +--的结果为（）A ．5x +B ．5x -C ．15x -+D ．15x +题型5：整式与分式相加减【典例9】．化简422x x +-+的结果是（）A ．1B ．224x x -C ．2x x +D ．22x x +【典例10】．某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（）A ．只有甲B ．乙和丁C ．丙和丁D ．甲和丙题型6：分式加减的混合运算【典例11】．计算：(1)22211x x x -++；(2)3a b a ba b b a -+---；(3)2243164x x +--；(4)222a a a ---．【典例12】．计算：(1)53343a b b a a b a b a b a b +-++-+++(2)22253m n n mn mn mn n n mn -+----(3)2141242x x x x -++--+(4)22-++b a b a b (5)2411241111x x x x +++-+++．题型7：分式加减乘除的混合运算【典例13】．计算：(1)22222242a a a a a a a +-⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭；(2)2222695222a ab b b a b a ab a b ⎛⎫-+÷-- ⎪--⎝⎭．【典例14】．化简下列各式：(1)21269222x x x x x x --+⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭；(2)2222421121a a a a a a a ---÷+--+；（易错题）(3)2222211b a ab b a a ab a a b ⎛⎫-+⎛⎫÷+⋅ ⎪-⎝⎭⎝⎭．题型8：化简分式求值【典例15】．先化简，再求值：2211a a a a a +-⎛⎫++ ⎪⎝⎭，其中2a =．【典例16】．先化简，再求值：()22222.x xy y x y xy x xy x-+--÷，其中5x =，7y =-．【典例17】．已知222450x y x y +-++=，求()()24422222x y x y x y x y x y xy y y ⎛⎫--+⋅÷ ⎪+--⎝⎭的值．题型9：分式加减的应用【典例18】．甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果，两次水果的价格分别为a 元/千克和b 元/千克（a 、b 为正整数且a b ¹），谁的购买方式更合算？请说明理由．【典例19】．有甲，乙两块边长为a 米（7a >）的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了小麦，其中甲试验田收获了180千克小麦，乙试验田收获了130千克小麦，试判断甲、乙试验田的单位面积产量哪个高．一、单选题1．计算2211x x x ---的结果为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-2．化简211a aa a ---的结果是（）A ．1a +B ．1a -C ．2-a aD ．a3．化简121a a +--的结果是（）A ．11a a +-B ．21a a --C ．31a a --D ．14．化简2222x x x x-+++-的结果是（）A ．284xx --B ．284xx -+C ．284x x -D ．22284x x +-5．若分式2121111a a a++-+-的值为零，则a 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-6．当1x =时，2242222x x x x x +⎛⎫--÷= ⎪-⎝⎭（）A ．4B ．3C ．2D ．17．计算1142222x x x x ⎛⎫⎛⎫+÷-- ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭的结果为（）A ．1(2)x x -+B ．2(2)x x --C ．2(2)x x -+D ．2(2)x x +8．已知x 为整数，且2119339x x x x ++++--为整数，则符合条件的x 有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．已知a ，b 为实数，且1ab =，1a ≠，设11=+++a b M a b ，1111=+++N a b ，则M ，N 的大小关系是（）.A ．M N>B ．M N<C ．M N =D ．无法确定10．已知1abc =，2a b c ++=，2223a b c ++=，则111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值为（）A ．-1B ．12-C ．2D ．23-二、填空题11．化简：a b a ba b a b -+-=+-．12．计算：111x x x ⎛⎫= ⎝-÷⎪⎭-．13．化简：211422a a a⎛⎫-÷= ⎪+-⎝⎭．14．232a b 与2a b ab c-的最简公分母是；25x x -与35x x +的最简公分母是；214x -与42xx -的最简公分母是；3,,35b c a ax bx x-的最简公分母是；2321,43()22xy x x y x y--的最简公分母为．222111,,()m n m n m n+--的最简公分母是．15．2512m m m +-+，的最简公分母是，通分的结果为．16．一份稿件，甲单独打字需a 天完成，乙单独打字需b 天完成，两人共同打需天完成．17．已知12x x -=，则1x x+=．18．已知a ，b ，c 是非零有理数，且满足2cab b a =-，则222222212222101a b ab ab cc a b c abc ab c c⎛⎫⎛⎫-++-÷-÷ ⎪ ⎝⎭⎝⎭等于．三、解答题19．通分：(1)245a b c ，2310c a b ，252bac -；(2)214x -，342x -．20．计算：（1）1y xy x xy x ++-；（2）211x x x -++；（3）211393a a a a a -+---+．21．计算：（1）22639x x ---；（2）11133x x x -++--；（3）12332x x x x -+-；（4）222m n m m n m n n m ++++-．22．计算：(1)11.11x x x ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭(2)32322222b b ab b a b a a b ab b a ++--+-．23．计算（1）2221111a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）22222322432x y x y y x y x ⎛⎫⋅+÷ ⎪⎝⎭；（3）2112x y xyx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+⋅÷+ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭；（4）22222233a b a ba a ab a b a bb +-⎛⎫⋅-÷ ⎪-+-⎝⎭．24．先化简，再求值：2221+69111x x x x x +⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭，其中x 从3-，1-，1，3中选择一个适当的数．25．已知：18a a-=，求：(1)221a a +．(2)()22122a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值．26．临近春节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x 名．如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少元？27．嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分221211a a a a +⎛⎫+÷⎪-+-⎝⎭■．(1)嘉淇猜被墨水遮住的式子是11a -，请代入原式化简，然后从1-，0，1中选取一个你喜欢的作为a 值代入求值；(2)若这道题的答案是221aa -，则被墨水遮住的式子是多少？28．一个无盖长方体盒子的容积是V ．（1）如果盒子底面是边长为a 的正方形，这个盒子的表面积是多少？（2）如果盒子底面是长为b ､宽为c 的长方形，这个盒子的表面积是多少？（3）上面两种情况下，如果盒子的底面面积相等，那么两种盒子的表面积相差多少？（不计制造材料的厚度．）29．按要求解答下列问题：小明和小刚两人两次同时在同一粮店购买粮食，小明每次购买粮食a 千克，小刚每次购粮用去a 元（其中a ＞0）.（1）设第一、第二次购粮单价分别为（2x+5）元/千克和（3x+2）元/千克，则小明两次购买粮食共需付粮款元，小刚两次共购买千克粮食；（其中x ＞0，结果用含a 、x 的代数式表示，并化简）（2）若小明两次购粮的平均单价为每千克M 1元，小刚两次购粮的平均单价为每千克M 2元，请说明M 1与M 2的大小.30．阅读：如果两个分式A 与B 的和为常数k ，且k 为正整数，则称A 与B 互为“关联分式”，常数k 称为“关联值”．如分式1x A x =-，11B x -=-，111x A B x -+==-，则A 与B 互为“关联分式”，“关联值”1k =．(1)若分式43x A x -=-，23x B x -=-，判段Ａ与B 是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k ．(2)已知分式212x C x -=-，24MD x =-，C 与D 互为“关联分式”，且“关联值”2k =．①M =________（用含x 的式子表示）；②若x 为正整数，且分式D 的值为正整数，则x 的值等于________．(3)若分式()()6x a x b E x --=-，()(7)6x c x F x--=-（a ，b 为整数且c a b =+），E 是F 的“关联分式”，且“关联值”7k =，求c 的值．。