蓝天学校九年级数学专题复习三角形

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2021年九年级数学中考复习专题：三角形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)(五)

2021年九年级数学中考复习专题：三角形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（五）1．在等边三角形ABC中，D、E分别在BC、AB边上，连接AD、CE交于点F，BD＝AE．（1）如图1，连接BF，若BF⊥AF，求证：AF＝2CF；（2）如图2，在（2）的条件下，点G在CE的延长线上，连接BG，∠G＝30°，GE＝5，FD＝1，求CF的长．2．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，点E在边BC上，且AE⊥CD交CD于点F．（1）如图1，当∠ACB＝60°时，若CD＝，求AF的长；（2）如图2，当∠ACB＝45°时，连接BF，求证：CD+DF＝AF+BF；（3）如图3，当∠ACB＝75°时，直接写出的值．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠B＝n，CD⊥AB于点D．（1）如图1，求证：＝n2；（2）如图2，AF⊥CE于点G，交BC于点F，若n＝，＝，求的值；（3）如图3，A为CM中点，MD交BC于点N，若MC＝3CN，则n＝．4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，延长BC于点E使BD＝CE，连接AE，且AE＝DE，取AD的中点F，连接BF并延长分别交AC、AE于点H、G，（1）如图1，AC＝3，BD＝4，求AD的长；（2）如图2，∠E＝45°，求证：CE＝GE；（3）在（2）的条件下，求的值．5．已知：Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°．（1）如图1，∠BAE＝α，直接写出∠DFC的度数为．（用α表示）（2）如图2，四边形BCED的面积为8，求CD长；（3）点G是CE的中点，H为BD和AG的交点，AG＝9，HG＝2，求△AEC的面积．6．如图1，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（﹣1，﹣3），AC交y轴于D 点，BC交x轴于E点，已知+（b﹣2）2＝0．（1）求△ABC的面积和D点坐标；＝，求M点坐标；（2）如图2，M点在x轴上，直线DM交线段AB于N点，若S△BCN（3）如图3，G点在线段OA上，H点在线段AB上，∠BGH＝α，∠OBG和∠AHG的平分线交于P点，当∠P变化的过程中，始终有为定值，求α的值．7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上一点（不与B，C重合），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点B作CE的垂线，垂足为F．（1）依题意补全图形；（2）求证：CE＝BF；（3）作CM⊥AB于点M，连接FM，用等式表示线段AE，BF与FM之间的数量关系，并证明．8．已知BD是△ABC在AC边上的高，点E是AB边上一点，连接DE，DF平分∠ADE交AB于点F，∠BFD＝45°．（1）如图1，当∠EDF＝15°，ED＝2时，求△ABD的面积；（2）如图2，过点F作FG⊥FB，且FG＝FB，连接GE，求证：GE＝BD；（3）在（2）的条件下，当GF＝3EF时，直接写出ED与AF的数量关系．9．已知：如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC边上，且CE＝2AD，将线段DE绕点D 顺时针旋转60°得到线段DF，连接EF、BF；（1）求证：BF平分∠ABC；（2）若AE＝2CE，求tan∠DEA的值．（3）若M为DF中点，连接CM与BF延长线交于点N，若CN＝MN，FN＝11，求BF的长．10．如图1，等腰Rt△ABC，AB＝BC，∠ABC＝90°，E为AB上一点，AF⊥AB，连结EF，点D为EF的中点，且点D在AC的垂直平分线上，连接AD，BD，CD．（1）若AB＝5，BD＝3，求EF的长；（2）求证：AF＝BC+BE；（3）如图2，若△ABC为等边三角形，E为AB上一点且AE＝4BE，过A作AF∥BC，D为EF中点，且点D在AC的垂直平分线上，连AD，BD，CD，探究线段的值，写出结论并证明．参考答案1．解：（1）过A作AH⊥CE于点H，如图1，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD＝AE．∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，∵∠AFH＝∠ACF+∠CAF，∴∠AFH＝∠BAD+∠CAF＝∠BAC＝60°，∴∠FAH＝30°，∴AF＝2FH，在△ABF和△CAH中，，∴△ABF≌△CAH（AAS），∴AF＝CH，∴CH＝2FH，∴CF＝FH，∴AF＝2CF；（2）过A作AH⊥CE于点H，过B作BM⊥CG于点M．如图2，设CF＝x，则AF＝CH＝2x，∵△ABD≌△CAE，∴CE＝AD＝AF+FD＝2x+1，∵EG＝5，∴CG＝2x+1+5＝2x+6，∴GF＝x+6，∵∠AFB＝90°，∠AFE＝60°，∴∠BFG＝30°，∵∠G＝30°，∴BG＝BF，∴GM＝FM＝x+3，∵△ABF≌△CAH，∴BF＝AH＝，∴，∵BF2﹣BM2＝FM2，∴，解得，x＝3，或x＝﹣（舍），∴CF＝3．2．解：（1）如图1中，设AC＝2a．在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠ACB＝60°，∴AB＝AC•tan60°＝2a，∵D是AB的中点，∴AD＝DB＝a，∵CD2＝AC2+AD2，∴7a2＝7，∵a＞0，∴a＝1，∴AC＝2，AD＝，∵AF⊥CD，＝•AC•AD＝•CD•AF，∴S△ACD∴AF＝＝．（2）如图2中，过点B作BT⊥AE交AE的延长线于E，过点B作BG⊥CD交CD的延长线于G．∵AF⊥CG，BG⊥CG，∴∠AFD＝∠G＝90°，∵∠ADF＝∠BDG，AD＝DB，∴△ADF≌△BDG（AAS），∴AF＝BG，DF＝DG，∵BT⊥AT，∴∠AFC＝∠T＝∠CAB＝90°，∴∠CAF+∠TAB＝90°，∠TAB+∠ABT＝90°，∴∠CAF＝∠ABT，∵AC＝AB，∴△AFC≌△BTA（AAS），∴AF＝BT，CF＝AT，∴BG＝BT，∵∠G＝∠T＝∠GFT＝90°，∴四边形BGFT是矩形，∵BG＝BT，∴四边形BGFT是正方形，∴BF＝FT，∴CD+DF＝CD+DG＝CF+FG＝AT+FG＝AF+2FT＝AF+BF．（3）如图3中，在AB上取一点T，使得CT＝BT，连接CT．设AC＝m．∵∠CAB＝90°，∠ACB＝75°，∴∠B＝90°﹣75°＝15°，∵TC＝TB，∴∠TCB＝∠B＝15°，∴∠ATC＝∠TCB+∠B＝30°，∴CT＝TB＝2m，AT＝m，∴AB＝2m+m，∵AD＝DB，∴AD＝，∵AF⊥CD，∴tan∠ACD＝＝＝＝．3．（1）证明：如图1中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△CDB，∴＝，∴CD2＝AD•DB，∵tan B＝＝n，∴＝n2，∴＝n2，∴＝n2．（2）解：如图2中，过点E作EH⊥BC于H．设FH＝4x，∵＝，∴可以假设CF＝4k，BE＝5k，∵tan B＝＝，∴EH＝3k，BH＝4k，∴BC＝CF+BH+FH＝8k+4x＝4（2k+x），∵tan B＝＝，∴AC＝3（2k+x），∵CE⊥AF，∴∠AGC＝90°，∵∠GCF+∠GCA＝90°，∠GCA+∠CAG＝90°，∴∠CAG＝∠GCF，∴tan∠CAF＝tan∠ECH，∴＝，∴＝，∴x＝k，∴CH＝4k+k＝k，∴tan∠ECH＝tan∠CAF＝＝，由（1）可知，＝（tan∠CAF）2＝．（3）如图3中，连接BM，过点M作MT⊥BA交BA的延长线于T．设CD＝x，AD＝y．∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD•AB，∵AC＝AM，∴＝，∵∠MAD＝∠MAB，∴△MAD∽△BAM，∴∠AMD＝∠ABM，∴tan∠AMD＝tan∠ABM＝＝，∵MT⊥TA，CD⊥AB，∴∠T＝∠CDA＝90°，∵∠MAT＝∠CAD，MA＝AC，∴△MTA≌△CDA（AAS），∴MT＝CD＝x，AT＝AD＝y，∵tan∠MBT＝＝，∴BT＝3x，DB＝3x﹣2y，由△ADC∽△CDB，可得CD2＝AD•DB，∴x2＝y（3x﹣2y），∴x2﹣3xy+2y2＝0，解得x＝y或x＝2y，当x＝y时，∠ABC＝45°，n＝tan45°＝1，当x＝2y时，n＝tan∠ABC＝＝＝＝，综上所述，n的值为1或．故答案为1或．4．解：（1）∵BD＝CE＝4，AC＝3，∴AE＝＝＝5，∴DE＝AE＝5，∴CD＝1，∴AD＝＝＝；（2）如图1，过点A作AN∥BC，交BG的延长线于N，∵∠ACB＝90°，∠E＝45°，∴∠CAE＝∠E＝45°，∴AC＝CE＝BD，∴AE＝AC＝CE，∴DE＝AE＝CE，∵点F是AD的中点，∴AF＝DF，∵AN∥BC，∴∠N＝∠DBF，∠NAF＝∠BDF，∴△ANF≌△DBF（AAS），∴AN＝BD，∴AN＝BD＝CE，∵AN∥BE，∴，∴，∴GE＝CE；（3）如图2，过点G作GQ∥CE，交AC于Q，过点F作FP∥CD，交AC于P，∵GQ∥CE，∴，∵AG＝AE﹣GE＝CE﹣CE＝（﹣1）CE，∴GQ＝＝，∵PF∥CD，∴，∴PF＝CD＝（﹣1）CE，∵GQ∥CE，PF∥CD，∴GQ∥PF，∴＝＝，∵AC＝CE，BC＝BD+CD＝CE+CD＝DE＝CE，∴AB＝＝CE，∴＝＝．5．解：（1）如图1，设AC与DF交于点N，∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD＝α，∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠ADE＝∠AED＝∠ACB＝∠ABC＝45°，又∵∠AND＝∠FNC，∴∠DAC＝∠DFC＝α，故答案为：α；（2）如图2，连接BE交CD于O，∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD＝BE，∠AEB＝∠ADC，∵∠ADC+∠CDE+∠AED＝90°，∴∠CDE+∠AED+∠AEO＝90°，∴∠DOE＝90°，∴四边形BCED的面积＝×CD×BE＝8，∴BE＝CD＝4；（3）如图3，延长AG到K，使得GK＝AG＝9，连接CK，∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴S△ABE ＝S△ACD，BE＝CD，∵点G是EC的中点，∴EG＝GC，∵∠AGE＝∠KGC，AG＝GK，∴△AEG≌△KCG（SAS），∴AE＝CK，∠AEG＝∠KCG，∴AE＝KC＝AD，∠ACK＝∠ACB+∠KCG＝45°+∠AEC＝45°+∠ABE+∠BAE＝90°+∠BAE＝∠BAD，∵AB＝AC，∴△AKC≌△BDA（SAS），∴BD＝AK＝18，∠CAK＝∠DBA，∵∠BAG+∠CAG＝90°，∴∠ABD+∠BAG＝90°，∴∠AHB＝90°，∴S△ABD＝×BD×AH＝×18×（9﹣2）＝63，∵S△AEC ＝S△ABD+S△BCD﹣S△ABE﹣S△ACD，∴S△AEC＝63+×BC×CD﹣2×BE×＝63．6．解：（1）∵+（b﹣2）2＝0，又∵≥0，（b﹣2）2≥0，∴a＝3，b＝2，∴A（3，0），B（0，2），∵C（﹣1，﹣3），∴S△ABC＝4×5﹣×1×5﹣×2×3﹣×3×4＝，∵S△ABC＝•BD•（x A﹣x C），∴BD＝，∴OD＝BD﹣OB＝，∴D（0，）．（2）如图2中，作NJ⊥OA于J．∵S△BCN ＝＝S△ABC，∴BN＝AB，∴N（，），∴S△ADN ＝S△ABD＝×××3＝，∴•AM•（+）＝，∴AM＝，∴OM＝OA﹣AM＝3﹣＝．∴M（，0）．（3）如图3中，由题意可以假设∠OBG＝∠PBG＝x，∠AHP＝∠GHP＝y．∵∠BGH＝∠PBG+∠PHG+∠P，∴α＝x+y+∠P，∴∠P＝α﹣（x+y），∵∠OGH＝∠GHA+∠OAB，∴90﹣2x+α＝2y+∠OAB，∴∠OAB＝α+90°﹣（2x+y），∵当∠P变化的过程中，始终有为定值，∴α+90°＝2α，∴α＝90°．7．（1）解：依题意补全图形如图1所示：（2）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠CDE＝90°，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∠BCF+∠CDE＝90°，∴∠CAE＝∠BCF，∵BF⊥CE，∴∠CFB＝90°＝∠AEC，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CE＝BF；（3）解：AE﹣BF＝FM，理由如下：连接EM，如图2所示：∵AC＝BC，CM⊥AB，∴∠CMB＝90°，AM＝BM，∵∠ACB＝90°，∴CM＝AB＝BM，∵∠CFB＝∠CMB＝90°，∠MGC＝∠BGF，∴∠MCE＝∠MBF，由（1）得：△ACE≌△CBF，∴AE＝CF，CE＝BF，在△MCE和△MBF中，，∴△MCE≌△MBF（SAS），∴ME＝MF，∠CME＝∠BMF，∴∠EMF＝∠CMB＝90°，∴△EMF是等腰直角三角形，∴EF＝FM，∵AE＝CF＝CE+EF，CE＝BF，∴AE＝BF+FM，∴AE﹣BF＝FM．8．解：（1）∵DF平分∠ADE，∠EDF＝15°，∴∠ADE＝2∠EDF＝30°，∵BD是△ABC在AC边上的高，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE＝60°，∵∠BFD＝45°，∴∠BED＝∠BFD+∠EDF＝60°，∴∠DBE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝DE＝2，∴AD＝BD•tan∠DBE＝2，∴；（2）延长GF与AD交于点M，连接BM，∵FG⊥FB，∠BFD＝45°，∴∠MFD＝∠EFD＝45°，∵∠MDF＝∠EDF，DF＝DF，∴△MDF≌△EDF（ASA），∴MF＝EF，∵∠EFG＝∠MFB＝90°，FG＝FB，∴△EFG≌△MFB（SAS），∴EG＝MB，∵∠BFM＝∠BDM＝90°，∴B、D、M、F四点共圆，∴∠BMD＝∠BFD＝45°，∴BM＝，∴GE＝BD；（3）ED＝AF．理由如下：∵△MDF≌△EDF，∴DM＝DE，MF＝EF，∴BM＝，∴，∵∠AFM＝∠ADB＝90°，∠A＝∠A，∴△AMF∽△ABD，∴，∴，设AF＝y，则AD＝y，∵AB2＝AD2+BD2，∴，化简为：2x2+3xy﹣2y2＝0，即（2x﹣y）（x+2y）＝0，∴2x﹣y＝0，∴y＝2x，即AF＝2x，∴，∴ED＝．9．解：（1）过E作EH⊥BC于H，连接DH，∵∠C＝60°，∴∠HEC＝30°，∴CE＝2CH，∵CE＝2AD，∴CH＝AD，∴，∴HD∥AC，∴△BHD为等边三角形，∠DHE＝∠HEC＝30°，∴HD＝BD，∵∠EDF＝60°，∴∠HDE＝∠BDF，在△DHE与△DBF中，HD＝BD，∠HDE＝∠BDF，ED＝FD，∴△DHE≌DBF（SAS），∴∠DBF＝∠DHE＝30°，∴∠CBF＝∠DBF，即BF平分∠ABC；（2）设AD＝a，则CE＝2AD＝2a，若AE＝2CE，则AE＝4a，在△ADE中，AE＝4a，AD＝a，∠A＝60°，过点D作DH⊥AC于点H，则AH＝AD＝a，HD＝AD sin60°＝a，则tan∠DEA＝＝＝；（3）延长BN交AC于P，连接EM，连接PM并延长交AB于Q，EM与BP交于K，由（1）可知BF是∠ABC的平分线，△DEF是等边三角形，又∵△ABC是等边三角形，∴∠BPC＝90°，∵△DEF是等边三角形，M是DF的中点，∴∠EMF＝90°，∠FEM＝30°，∴∠BPC＝∠EMF＝90°，又∵∠EKP＝∠FKM，∴△KPE∽△KMF，∴，∵∠EKF＝∠MKP，∴△KPM∽△KEF，∴∠BPM＝∠FEM＝30°，∴∠BPM＝∠PBC＝30°，∴PQ∥BC，∴△APQ为等边三角形，△PMN∽△BCN，∴MN：CN＝PN：BN＝PM：BC＝2：5，∵∠A＝∠EDF＝∠PQA＝60°，∠EDQ＝∠A+∠AED，∠EDQ＝∠EDF+∠MDQ，∴∠AED＝∠MDQ，∴△QMD∽△ADE，∴QM：AD＝MD：ED＝1：2，设PM＝4a，则BC＝10a，而△APQ为等边三角形，故PQ＝5a，则QM＝a，AD＝2a，而CE＝2AD，故CE＝4a，而PB＝BC•cos30°＝5a，∴BN＝a，由（1）可知EH＝BF＝2a，∴FN＝，∴BF：FN＝14：11∴BF＝FN＝14．10．解：（1）如图1，过点D作DK⊥AB于点K，∵△ABC为等腰直角三角形，故∠BAC＝∠BCA＝45°，∵点D在AC的垂直平分线上，即BD⊥AC，∴∠DBC＝90°﹣∠BCA＝45°＝∠ABD，在△ABD中，DK＝BD sin∠ABD＝3×＝3＝BK，则AK＝AB﹣BK＝5﹣2＝2，AD＝＝＝，在Rt△AEF中，D是EF的中点，故AD＝ED＝FD＝EF，∴EF＝2；（2）如图2，过点E作EH∥AF交BD于点H，延长ED交AF于点I，∵∠EBH＝45°，则△EHB为等腰直角三角形，则EH＝BE，∵D是EF的中点，故DE＝DF，∵AF∥EH，故∠IDF＝∠EDH，∠F＝∠DEF，∴△FDI≌△EDH（AAS），∴IF＝EH，∵∠BAI＝90°，∠ABI＝45°，故△ABI为等腰直角三角形，∴AI＝AB，∵AB＝BC，∴AI＝BC，∴AF＝AI+IF＝BC+BE；（3）如图3，延长DE交AF于点I，设AC交BD于点R，同理可得：△FDI≌△EDH（AAS），则EH＝IF，DH＝DI，同理可得：△AIR≌△CBR（AAS），∴AI＝BC，∴AF＝AI+IF＝BC+EH＝BC+BE，过点E作GE∥AF交AD的延长线于点G，则∠AEG＝∠ABC＝60°，同理可得：△AFD≌△GED（AAS），∴GE＝AF，AD＝GD，设BE＝a，则AE＝4a，则AB＝5a，∵△ABC为的等边三角形，则AB＝AC＝BC＝5a，则AF＝BC+BE＝6a＝GE，在△AEG中，AE＝4a，EG＝6a，∠AEG＝60°，过点A作AK⊥EG于K，AK＝AE cos∠AEG＝4a•cos60°＝2a，同理EK＝2a，则KK＝6a﹣2a＝4a，AG＝＝＝2a，则AD＝AG＝a，∴＝＝．。

中考数学专题复习卷三角形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

三角形一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为故答案为：A．【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。

2.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值X围是（）A.8<BC<10B.2<BC<18C.1<BC<8D.1<BC<9【答案】D【解析】：如图∵▱ABCD，AC=8，BD=10，∴OB=BD=5，OC=AC=4∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。

3.如图所示,∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠BCD的度数为（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°【答案】B【解析】如图，延长BC交AD于点E，∵∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，∵∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，∴∠BCD=50°+20°+30°=100°，故答案为：B.【分析】延长BC交AD 于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D，由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。

4.如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=35°，则∠ADC的度数（）A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°【答案】C【解析】：∵BE∥AF，∴∠B=∠A=35°．∵DC⊥BE，∴∠DCB=90°，∴∠ADC=90°+35°=125°．故答案为：C．【分析】由平行线的性质可得∠B=∠A=35°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。

初三数学几何知识点归纳

初三数学几何知识点归纳一、三角形1. 三角形的基本概念- 三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成。

- 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

例如，若三角形三边为a、b、c，则a + b>c，a - b<c。

2. 三角形的分类- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

- 直角三角形：有一个角是直角的三角形，直角三角形中斜边最长，两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理a^2+b^2=c^2，其中c为斜边，a、b为两直角边）。

- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

- 按边分类：- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。

- 等腰三角形：有两边相等的三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形两底角相等（等边对等角），等腰三角形三线合一（底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合）。

- 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形三个角都是60^∘，等边三角形是特殊的等腰三角形。

3. 三角形的内角和与外角- 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180^∘。

- 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

二、四边形1. 平行四边形- 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

- 性质：- 平行四边形的对边平行且相等。

- 平行四边形的对角相等，邻角互补。

- 平行四边形的对角线互相平分。

- 判定：- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

2. 矩形- 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

- 性质：- 矩形具有平行四边形的所有性质。

2021中考数学总复习知识点总结：第九章三角形

2021中考数学总复习知识点总结：第九章三角形2021中考数学总复习知识点总结：第九章三角形第九章三角形考点一、三角形（3~8分后）1、三角形的概念由无此同意直线上的三条线段首尾顺次相连所共同组成的图形叫作三角形。

共同组成三角形的线段叫作三角形的边；相连两边的公共端点叫作三角形的顶点；相连两边所共同组成的角叫作三角形的内角，缩写三角形的角。

2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，相连接一个顶点和它对边的中点的线段叫作三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边搞垂线，顶点和像距之间的线段叫作三角形的高线（缩写三角形的高）。

3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段无此同一直线上三角形就是半封闭图形（3）首尾顺次相连三角形用符号“?”表示，顶点是a、b、c的三角形记作“?abc”，读作“三角形abc”。

5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（存有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（存有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推断（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等同于180°。

2023-2024学年九年级数学中考数学复习微专题：《三角形》经典考点专题点评

《三角形》经典考点专题点评三角形在平面图形中是最简单也是最基本的图形，一切多边形都可以分成若干个三角形，三角形在我们生活中无处不在．从本专题开始，中学对几何的学习就正式开始了．7年级对三角形的学习主要包含等腰（边）三角形与三角形的全等．当然，我们也引入了一些直角三角形的知识点作为扩展内容．三角形的学习除了最基础的点（特殊点）、线（角度）、面（面积）以外，还要学习图形的平移、旋转和翻折，当然也需要掌握一些图形的构建方法．因此，学习好三角形能大幅提高我们对于基本图形的判断、复杂图形的分解与转化能力，以及辅助线的添加意识．本专题的编排顺序是由二次全等、中线倍长的证明引出，接着通过截长补短以及平移、旋转和翻折等其他常用方法和技巧来加深学生对三角形学习的理解．经典拉分题思维点评题1如图7－1所示，已知∠A＝90°，AB＝AC，M是AC的中点，A党⊥BM交BC于点党，交BM于点E．求证：∠AMB＝∠党MC．满分证明(1)如图7－2所示，作∠BAC的平分线AG交BM于点G．(2)由条件AB＝AC、∠BAG＝∠AC党＝45°、∠ABG＝∠CA党，可证得△BGA≌△A党C，从而得到AG＝C党．(3)由条件AG＝C党、AM＝CM，∠MAG＝∠MC党＝45°，可证得△AMG≌△CM 党．(4)因此∠AMB＝∠党MC．技巧贴士本题要求证的是两个角相等，一般采用证明两角所在的两个三角形全等的方法．从图中观察到∠AMB与∠党MC所在的两个三角形△AME与△CM党显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AM—CM．结合本条件，加上结论，全等三角形条件有两个，因此我们想到通过添加辅助线，构造两个全等三角形△AMG、△CM党，从而得到∠AMB ＝∠党MC．题2如图7－3所示，已知在△ABC中，AB＝AC，延长AB至党使B党＝AB，E为AB 中点．求证：C党＝2EC．满分证明(1)如图7－4所示，延长CE至F使CE＝EF，再连接BF．(2)易证△ACE≌△BFE，从而可得AC＝BF、∠CAE＝∠FBE．(3)由∠CB党＝∠CAE＋∠ACB、∠CBF＝∠FBE＋∠ABC，可得∠CB党＝∠CBF．(4)由条件B党＝AB＝AC＝BF，BC＝BC，易证△CBF≌△CB党．(5)因此C党＝CF＝2EC．技巧贴士本题还可用三角形中位线定理解答（三角形中位线是指连接三角形两边中点的线段，即三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半）．取AC的中点G，连接EG、BG，由AB＝AC，E、G分别为AB、AC中点，得出BE＝CG，从而△BEC≌△CGB．故CE＝BG．由中位线定理可知BG＝12C党，所以CE＝12C党．题3如图7－5所示，已知在△ABC外作正方形AB党E和ACGF，M是BC的中点．求证：AM＝12 EF．满分解答(1)如图7－6所示，延长AM至N，使MN＝AM，连接BN．(2)易证△ACM≌△NBM，从而可得∠ACB＝∠NBC．(3)由∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，可得∠ABC＋∠NBC＋∠BAC＝180°，即∠ABN＋∠BAC＝180°．(4)再由∠EAF＋∠EAB＋∠BAC＋∠CAF＝360°，得到∠EAF＋∠BAC＝180°，即∠ABN＝∠EAF．(5)结合条件EA＝AB，BN＝CA＝AF，易证△ABN≌△EAF．(6)因此EF＝AN＝2AM，即AM＝12 EF．技巧贴士已知条件中出现了中点以及AM＝12EF形式，这暗示了可使用“中线倍长”的方法．通过将中线AM延长一倍后，证明AN＝EF，找到AN、EF所在的△ABN、△EAF，证明两个三角形全等即可．思维点评二次全等，就是通过两次三角形全等，解决题目中涉及的角度、线段间的关系．7年级学习了全等三角形，自然全等三角形是一种手段与工具．它能用于证明角、边的等量关系，因此证明边、角相等，往往就是证明边、角所在三角形全等．所以，对于角、边的关系，一定要将其置于某个载体，如两个全等三角形中，此外，解决二次全等往往使用逆推的思路，在题1贴士中所构造的△AMG≌△CM党所缺少的条件是AG＝C党，通过△BGA≌△A党C来提供．中线倍长，是初中数学几何中常见的一种添加辅助线的方法．若题目出现中点、中线，要求证或出现“A＝2B”，一般延长一倍的中线．如图7－7所示，通过△ACM≌△BNM，从而实现“A＝2B”．题4如图7－8所示，在△ABC中，AB＝AC，B党为边AC上的高，P为线段BC边上的动点（且不与B、C两点重合），过P点分别作AB、AC边上的垂线且与AB、AC分别交于M、N两点，求证：B党＝PM＋PN．满分证明(1)如图7－9所示，在NP的延长线上截取PE＝PM，连接BE．(2)由条件PE＝PM、∠MPB＝∠EPB（在．Rt△BMP与Rt△PNC中，由于∠MBP＝∠C，因此∠MPB＝∠NPC．又∠BPE与∠NPC为对顶角，因此∠MPB＝∠EPB)，BP＝BP，易证△BPM≌△BPE，从而可得∠BEP＝90°．(3)因此四边形BEN党为矩形，可得EN＝B党．(4)由EN＝EP＋PN得B党＝PM＋PN．技巧贴士本题是运用“补短法”，把所要求的B党＝PM＋PN中的PM“补”到PN所在的直线上，接着，只需证明四边形BEN党为矩形，结合已有的两个直角，只需证明一个∠BEP ＝90°，从而便有证明△BPM≌△BPE(本分析思路仍为逆向思维，可见在证明几何问题中，逆向思维出现较多)．当然，本题还可用“截长法”（详见本专题[思维点评]）和“面积法”来做，“面积法”思路如下：连接AP，由于△ABC为等腰三角形，再运用S△ABC＝S△ABP ＋S△APC，即可得证．题5如图7－10所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，顶角∠A＝100°，∠B的平分线BE 交AC于E，求证：BC＝AE＋EB．满分证明(1)如图7－11所示，在BC上取B党＝BE，BF＝AB．(2)由条件AB＝BF、BE＝BE、∠ABE＝∠EBC＝20°，易证△ABE≌△FBE．(3)因此∠BFE＝100°'故∠BEF＝60°，∠EF党＝80°．(4)又由于B党＝BE，可得∠BE党＝∠B党E＝80°，∠FE党＝∠BE党－∠BEF＝20°，故∠EF党＝∠E党F，EF＝E党．(5)由于∠党EC＝180°－∠BEA－∠BE党＝40°＝∠C，所以E党＝C党，即C党＝EF＝AE．(6)由BC＝B党＋C党，B党＝EB，得BC＝AE＋EB．技巧贴士本题运用“截长法”，把最长的BC截取题中所要求的其中一段，如B党＝BE．至于BF＝AB的出现则在于从∠B的角平分线得到启示，看到角平分线，往往意味着三角形翻折，△ABF≌△FBE也可认为两三角形翻折（相等会为全等提供可能性），并且出现等腰三角形往往还意味着存在等量代换．题6如图7－12所示，在正方形ABC党中，点E在党C的延长线上，点F在CB的延长线上，∠EAF＝45°，求证：党E－BF＝EF．满分证明(1)如图7－13所示，在党C上截取党G，使得党G＝BF，连接AG．(2)由四边形ABC党是正方形，可得∠A党G＝∠ABF＝90°，A党＝AB．(3)又由于党G＝BF，可得△A党G≌△ABF，故∠GA党＝∠FAB，AG＝AF．(4)∠党AB＝90°＝∠党AG＋∠GAB＝∠BAF＋∠GAB＝∠GAF，即∠GAE＝∠GAF－∠EAF＝45°，∠GAE＝∠FAE＝45°．(5)又因为AG＝AF、AE＝AE，故△EAG≌△EAF，即得EF＝EG＝E党－G党＝党E －BF．技巧贴士本题运用“截长法”，在党C上截取党G＝BF，可得△A党G≌△ABF．而在有正方形的题目中看到∠EAF，即使∠EAF≠45°，也要反应出存在一对含该角度∠EAF的全等三角形，即题中的△EAG≌△EAF．思维点评一般问题中出现“A＝B＋C”，且B、C不在同一直线上的形式，就可以考虑“截长补短”，即把不同的线段通过辅助线联系起来，最终得到所要求的等量关系．事实上，“截长补短”意味着两种方法：一是“截长”（在A上截取B或C），二是“补短”（在B上延长C得A或在C上延长B得A）．这两种方法在三角形中基本上是互补的，截长补短不适用的情况主要在圆中才有体现（详见9年级与“圆”相关的专题）．还有以下几点在证明三角形全等中需要特别注意．(1)三角形中，大量存在“等量代换”的技巧，即使没有告诉我们“A＝B”．(2)即使只告诉一般的三角形，通过辅助线，通过角、边的关系，中间往往会存在大量等腰三角形、等边三角形（这里隐含了“一般与特殊”的思想方法，通常联系等腰三角形、等边三角形，一般三角形的情况比较少）．(3)相等会为全等提供可能性：只要出现“A＝B”，A和B都属于某个三角形，通过各种方式证明A和B所在的两个三角形全等就可以解决部分问题．再对题4的“截长法”做如下简述：在B党上截取线段BF，使BF＝PM，可证得△BPF≌△PBM，从而得到BF＝PM，PF⊥B党，即可求得四边形PF党N为矩形，得到PN ＝党F，即可得证．题7如图7－14所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，党、E为AB上两点，且∠党CE＝45°，求证：A党2＋BE2＝党E2．满分证明(1)如图7－15所示，将△A党C绕C旋转到如图位置，则△CA党≌△CBF．(2)由∠A＝∠ABC＝45°，可得∠EBF＝∠ABC＋∠CBF＝∠ABC＋∠A＝90°，故△BEF为直角三角形，且BF＝A党．(3)又因∠AC党＋∠ECB＝45°，且∠AC党＝∠FCB，故∠ECB＋∠FCB＝∠FCE＝45°＝∠党CE．(4)由党C＝CF，CE＝CE，可得△C党E≌△CFE，党E＝FE，即BE2＋A党2＝党E2．技巧贴士勾股定理及其逆定理：在△ABC中，∠C＝90° a2＋b2＝c2（a、b为直角边，c为斜边）．根据本题结论，通过等量代换，要将A党、BE、党E置于一个直角三角形中．先由BC＝AC这一信息，想到若将△A党C进行旋转，即可得到两对全等的三角形，同时也构建出了一个直角三角形，从而通过三角形的全等，可将所求边转化到同一直角三角形中，从而得到结论．题8如图7－16所示，P为等边△ABC内一点，若AP＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．满分解答(1)如图7－17所示，过B作∠P'BP＝60°，BP'＝BP，连接P'P、AP'．(2)由于么P'BP＝60°，BP'＝BP＝4，可得P'P＝4，∠P'PB＝60°．(3)又因△P'BA≌△PCA，得PC＝AP'＝5，且AP2＋P'P2＝AP'2，故∠APP'＝90°．(4)即得∠APB＝∠P'PB＋∠APP'＝150°．技巧贴士本题的考点在于3、4、5这三条边长．熟悉直角三角形性质的同学不难发现，若三角形的三边长存在3：4：5的关系时，此三角形便是一个直角三角形．同样常见的例子还有5：12：13等．因此，只要发现这类边长中存在的特殊比例关系，我们便能通过之前所学习过的三角形“平移”、“旋转”、“翻折”的一系列变化方法，得到我们所需要的答案．题9如图7－18所示，在四边形ABC党中，B党平分∠ABC．党P⊥BC于点P，AB＋BC ＝2BP．求证：∠BA党＋∠C＝180°．满分证明(1)如图7－19所示，过点党作党E⊥BA交BA延长线于点E．(2)由于B党平分∠ABC，故党E＝党P（角平分线定理），可得Rt△BE党≌Rt△BP 党，故BE＝BP．(3)由于AB＋BC＝2BP，得到AB＋BP＋PC＝BP＋BE，所以AB＋PC＝BE，即得PC ＝BE－AB＝AE．(4)又由于党E＝党P，∠党EA＝∠党PC＝90°，且AE＝CP，可得△党EA≌△党PC，得到∠EA党＝∠C．(5)由于∠BA党＋∠EA党＝180°，即得∠BA党＋∠C＝180°．技巧贴士在看到角平分线时，要想到角平分线上任一点到两边的垂直距离相等（角平分线定理）．本题往往还会以另一种形式出现：已知B党平分∠ABC，党P上BC于点P，∠BA 党＋∠C＝180°，求证AB＋BC＝2BP，解题思路类似．思维点评旋转是图形的基本运动，是初中数学几何中比较常见的解题技巧．在一些特殊的几何图形（如等边三角形、正方形等）中经常出现，我们往往将这些图形中的某一部分旋转一定角度，为正确地解决问题提供可能．旋转的关键在于等量“A＝B”，A边所在的三角形固定不变，将B边所在的三角形进行旋转，使A、B重合形成一个新的图形．并且，旋转点往往还有一个特殊情况：旋转点是三条、四条线段的交点．比如题7中的C点(C点有四条线段经过，故其他几点不作考虑)；题9中的党点(党点有四条线段经过，故其他几点不作考虑)；至于题8的旋转点，可以为点A或点B，旋转的最终情况就是如上情况，如果旋转到右半侧（以点C或点B为旋转点），解答方式类似．。

2023年九年级中考数学复习讲义三角形及其全等

2023年中考数学复习讲义三角形及其全等第一部分：知识点精准记忆一、三角形的基础知识1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2.三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3.三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4.三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半．二、全等三角形1.三角形全等的判定定理：（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）；（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）．2.全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．三、线段垂直平分线与角平分线1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．2.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．4.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．5.性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．第二部分：考点典例剖析考点一：三角形的三边关系【例1-1】（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a 的三条线段能组成一个三角形，则整数a 的值可以是________．（写出一个即可）【例1-2】（2021·江苏淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___．考点二：三角形的内角和外角【例2-1】（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【例2-2】（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC 中，∠A =70°，∠C =30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则∠BDE 的度数是（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【例2-3】（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，，连结CD ，BE ．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．考点三：三角形中的重要线段【例3-1】（2022•大庆）下列说法不正确的是( )A ．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B ．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C ．有两个角互余的三角形是直角三角形D ．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形ABC 40A ∠=︒BD BC CE ==80ABC ∠=︒BDC ∠ABE ∠BEC ∠BDC∠【例3-2】（2021·江苏泰州市·中考模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（）A ．点B ．点C ．点D ．点【例3-3】如图，在ABC 中，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连结AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法正确的是（）A ．AD BD AB +<B ．AD 一定经过ABC 的重心 C ．BAD CAD ∠=∠D ．AD 一定经过ABC 的外心考点四：垂直平分线与角平分线的性质【例4-1】（2021·青海中考真题）如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD 平分∠ABC ，则△BCD 的面积为（）A ．7.5B ．8C ．15D ．无法确定【例4-2】在△ABC 中，∠BAC =115°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG 的度数为 A B C D E F G ABC∆D E FGA ．50°B ．40°C ．30°D ．25°【例4-3】如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D 点，AB =4，BD =5，点P 是线段BC 上的一动点，则PD 的最小值是__________．考点五：全等三角形的性质与判定【例5-1】2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F ，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例5-2】（2021·陕西中考真题）如图，，，点在上，且．求证：．【例5-3】（2021·广东广州·中考真题）如图，点E 、F 在线段BC 上，，，ABC ADE 90BAC DAE ∠=∠=︒,BD CE AF BD CE =BF CF ⊥AF CAD ∠45AFE ∠=︒//BD AC BD BC =E BC BE AC =D ABC ∠=∠//AB CD A D ∠=∠，证明：．【例5-4】（2021·江苏淮安·中考真题）（知识再现）学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL 定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．（简单应用）如图（1），在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AC 、AB 上．若CE ＝BD ，则线段AE 和线段AD 的数量关系是．（拓展延伸）在△ABC 中，∠BAC ＝（90°＜＜180°），AB ＝AC ＝m ，点D 在边AC 上．（1）若点E 在边AB 上，且CE ＝BD ，如图（2）所示，则线段AE 与线段AD 相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E 在BA 的延长线上，且CE ＝BD ．试探究线段AE 与线段AD 的数量关系（用含有a 、m 的式子表示），并说明理由．【例5-5】（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF ，连接CF ．（问题解决）（1）如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE+CF ＝CD ；（类比探究）（2）如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．考点六：三角形全等综合【例6-1】（2022·北京）在ABC 中，90ACB ∠=，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC = BE CF =AE DF=αα（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥；（2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．【例6-2】（2022·山东泰安·中考真题）正方形ABCD 中，P 为AB 边上任一点，AE DP ⊥于E ，点F 在DP 的延长线上，且DE EF =，连接AF BF 、，BAF ∠的平分线交DF 于G ，连接GC ．(1)求证：AEG △是等腰直角三角形；(2)求证：2AG CG DG +=；(3)若2AB =，P 为AB 的中点，求BF 的长．第三部分：中考真题一．选择题1．（2022•鄂尔多斯）如图，15AOE ∠=︒，OE 平分AOB ∠，//DE OB 交OA 于点D ，EC OB ⊥，垂足为C ．若2EC =，则OD 的长为( )A ．2B ．23C ．4D ．43+2．（2022•荆门）数学兴趣小组为测量学校A 与河对岸的科技馆B 之间的距离，在A 的同岸选取点C ，测得30AC =，45A ∠=︒，90C ∠=︒，如图，据此可求得A ，B 之间的距离为( )A ．203B ．60C ．302D ．303．（2022•湘西州）如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作//CG AB ，交HM 的延长线于点G ，若8AC =，6AB =，则四边形ACGH 周长的最小值是( )A ．24B ．22C ．20D ．184．（2022•西宁）若长度是4，6，a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是( )A ．2B ．5C ．10D ．117．（2022•西宁）如图，60MON ∠=︒，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧在MON ∠的内部相交于点P ，画射线OP ；连接AB ，AP ，BP ，过点P 作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ．则以下结论错误的是( )A ．AOB ∆是等边三角形B ．PE PF =C ．PAE PBF ∆≅∆D ．四边形OAPB 是菱形5．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是()A．5-B．4C．7D．86．（2022•大连）如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒．分别以点A和点C为圆心，大于12 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若3AB=，则CD的长是()A．6B．3C．1.5D．1 7．（2022•青海）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE BC=，连接DE，F为DE中点，连接BF．若16AC=，12BC=，则BF的长为( )A．5B．4C．6D．88.（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，2OA=，1OB=，3OC=，则AOB∆与BOC∆的面积之和为()A 3B3C33D39．（2022•长沙）如图，在ABC∆中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若22AB=AM的长为()A．4B．2C3D2 10．（2022•海南）如图，直线//m n，ABC∆是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若1140∠=︒，则2∠的度数是()A．80︒B．100︒C．120︒D．140︒11．（2022•黑龙江）如图，ABC∆中，AB AC=，AD平分BAC∠与BC相交于点D，点E 是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若ABC∆的面积是24， 1.5PD=，则PE的长是()A ．90ADC ∠=︒B ．DE DF =C ．AD BC = D ．BD CD =12．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是( )A ．三角形B ．平行四边形C ．长方形D ．正方形13．（2022•贺州）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，56B ∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．34︒B ．44︒C ．124︒D ．134︒14.（2022•永州）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60C ∠=︒，点D 为边AC 的中点，2BD =，则BC 的长为( )A 3B ．23C ．2D ．415．（2022•荆州）如图，直线12//l l ，AB AC =，40BAC ∠=︒，则12∠+∠的度数是( )A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒16．（2022•宜昌）如图，在ABC ∆中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD ∆的周长为( )A ．25B ．22C ．19D ．1817．（2022•岳阳）如图，已知//l AB ，CD l ⊥于点D ，若40C ∠=︒，则1∠的度数是( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒18．（2022•台湾）如图，ABC ∆中，D 点在AB 上，E 点在BC 上，DE 为AB 的中垂线．若B C ∠=∠，且90EAC ∠>︒，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？( )A ．12∠=∠，13∠<∠B ．12∠=∠，13∠>∠C ．12∠≠∠，13∠<∠D ．12∠≠∠，13∠>∠19．（2022•宜宾）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，D 是BC 上的点，//DE AB 交AC 于点E ，//DF AC 交AB 于点F ，那么四边形AEDF 的周长是( )A ．5B ．10C ．15D ．2020.（2022•广元）如图，在ABC ∆中，6BC =，8AC =，90C ∠=︒，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为( )A ．2.5B ．2C ．3.5D ．321.（2022•宜宾）如图，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC ∆内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则23CE =+．其中含所有正确结论的选项是( )A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④22.（2022•杭州）如图，CD AB ⊥于点D ，已知ABC ∠是钝角，则( )A ．线段CD 是ABC ∆的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC ∆的AB 边上的高线C ．线段AD 是ABC ∆的BC 边上的高线D ．线段AD 是ABC ∆的AC 边上的高线二．填空题1.（2020·辽宁铁岭市·中考真题）如图，在ABC 中，5,8,9===AB AC BC ，以A 为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB 于点M ，交AC 于点N ，分别以,M N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，点F 在AC 边上，AF AB =，连接DF ，则CDF 的周长为___________．2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC 为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE +EF 的最小值为_____．3．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC 中，AC ＝4，∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC 边的垂直平分线DE 交AB 于点D ，连接CD ，则AB 的长为_________________．4题4．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为()1,0-，点A的坐标为()3,3-，将点A 绕点C 顺时针旋转90︒得到点B ，则点B 的坐标为_____________．5.（2020·湖北中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为_____．6．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且3AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是__________．7.如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝．三．解答题1.（2022铜仁）如图，点C 在BD 上，,,,⊥⊥⊥=AB BD ED BD AC CE AB CD ．求证：ABC CDE △≌△．2.（2022福建）如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠A ＝∠D ．3.（2022广东）如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．4.（2022大庆）如图，在四边形ABDF 中，点E ，C 为对角线BF 上的两点，,,AB DF AC DE EB CF ===．连接,AE CD ．（1）求证：四边形ABDF 是平行四边形；（2）若AE AC =，求证：AB DB =．5.（2022云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF =90°（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．6.（2022梧州）如图，在ABCD 中，E ，G ，H ，F 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，且,BE DH AF CG ．求证：EF HG =．7.（2022遵义）将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放，顶点D 与顶点H 重合，菱形EFGH 的对角线HF 经过点B ，点E ，G 分别在AB ，BC 上．（1）求证：ADE CDG ≌；（2）若2AE BE ==，求BF 的长8.（2022贵阳）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ，点F 在DC 上，且MF AD ∥．（1）求证：ABE FMN ≌△△；（2）若8AB =，6AE =，求ON 的长．9.（2022安徽）已知四边形ABCD 中，BC ＝CD ．连接BD ，过点C 作BD 的垂线交AB 于点E ，连接DE ．（1）如图1，若∥DE BC ，求证：四边形BCDE 是菱形；（2）如图2，连接AC ，设BD ，AC 相交于点F ，DE 垂直平分线段AC ．（ⅰ）求∠CED 的大小；（ⅱ）若AF ＝AE ，求证：BE ＝CF ．10.（2022玉林）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB AC = ②DB DC = ③BAD CAD ∠=∠若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？解决方案：探究ABD △与ACD △全等．问题解决：（1）当选择①②作为已知条件时，ABD △与ACD △全等吗？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求ABD ACD △≌△的概率．11.（2022北部湾）已知MON α∠=，点A ，B 分别在射线,OM ON 上运动，6AB =．（1）如图①，若90α=︒，取AB 中点D ，点A ，B 运动时，点D 也随之运动，点A ，B ，D 的对应点分别为,,A B D '''，连接,OD OD '．判断OD 与OD '有什么数量关系?证明你的结论：（2）如图②，若60α=︒，以AB 为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC ，求点O 与点C 的最大距离：（3）如图③，若45α=︒，当点A ，B 运动到什么位置时，AOB 的面积最大?请说明理由，并求出AOB 面积的最大值．。

九年级中考数学知识点总结--解直角三角形

九年级中考数学知识点总结--解直角三角形直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。

表示为：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

表示为：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

表示为：∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点； ∴ CD=21AB=BD =AD 4、勾股定理：222c b a =+5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ∙=2 ，AB AD AC ∙=2， AB BD BC ∙=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB ∙CD=AC ∙BC 锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC 中，∠C=90°c a sin =∠=斜边的对边A A c bcos =∠=斜边的邻边A Ab atan =∠∠=的邻边的对边A A Aabcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数3、锐角三角函数的取值范围：0 sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.ACBD锐角三角函数之间的关系（1）平方关系 1cos sin 22=+A A （2）弦切关系tanA=AAcos sin 特殊角的三角函数值α sinα cosα tanα 30° 45° 60°说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2020年九年级中考数学复习专题训练：《三角形综合》(含答案)

中考数学复习专题训练：《三角形综合》1．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F（1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC；（2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长．（3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长．2．如图，已知CD是△ABC的高，AD＝1，BD＝4，CD＝2．直角∠AEF的顶点E是射线CB上一动点，AE交直线CD于点G，EF所在直线交直线AB于点F．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若G为AE的中点，求tan∠EAF的值；（3）在点E的运动过程中，若，求的值．3．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，m），B（﹣m，0），C（n，0），AC＝5且∠OBA＝∠OAB，其中m，n满足．（1）求点A，C的坐标；（2）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．连接BP、CP，用含有t的式子表示△BPC的面积为S（直接写出t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使得S△PAB ＝S△POC，若存在，请求出t的值，并直接写出BP中点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．一副三角板直角顶点重合于点B ，∠A ＝∠C ＝45°，∠D ＝60°，∠E ＝30°．（1）如图（1），若∠AFE ＝75°，求证：AB ∥DE ；（2）如图（2），若∠AFE ＝α，∠BGD ＝β，则α+β＝度．（3）如图（3），在（1）的条件下，DE 与AC 相交于点H ，连接CE ，BH ，若DG ＝2CG ＝2GH ，BC ＝10，S △CEH ＝S △BEH ，求△BDH 的面积．5．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，PC＝PA，设∠APB＝α，∠BPC＝β．（1）如图1，当点P在△ABC内，①若β＝153°，求α的度数；小明同学通过分析已知条件发现：△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且PC＝PA，从而容易联想到构造一个顶角为120°的等腰三角形．于是，他过点A作∠DAP＝120°，且AD＝AP，连接DP，DB，发现两个不同的三角形全等：≌再利用全等三角形及等腰三角形的相关知识可求出α的度数．请利用小王同学分析的思路，通过计算求得α的度数为；②小王在①的基础上进一步进行探索，发现α、β之间存在一种特殊的等量关系，请写出这个等量关系，并加以证明．（2）如图2，点P在△ABC外，那么a、β之间的数量关系是否改变？若改变，请直接写出它们的数量关系；若不变，请说明理由．6．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB 于点E，DF∥AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．（i）求EN•EG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上7．如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连结BE（1）求证：AD＝BE．（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于E．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于E，BN⊥AE于N，BN＝a，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．8．已知，点A（t，1）是平面直角坐标系中第一象限的点，点B，C分别是y轴负半轴和x 轴正半轴上的点，连接AB，AC，BC．（1）如图1，若OB＝1，OC＝，且A，B，C在同一条直线上，求t的值；（2）如图2，当t＝1，∠ACO+∠ACB＝180°时，求BC+OC﹣OB的值；（3）如图3，点H（m，n）是AB上一点，∠A＝∠OHA＝90°，若OB＝OC，求m+n的值．9．在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足a2﹣2ab+b2+（b﹣4）2＝0，点C为线段AB上一点，连接OC．（1）直接写出a＝，b＝；（2）如图1，P为OC上一点，连接PA，PB，若PA＝BO，∠BPC＝30°，求点P的纵坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点M是AB上一动点，以OM为边在OM的右侧作等边△OMN，连接CN．若OC＝t，求ON+CN的最小值（结果用含t的式子表示）10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点D、E分别为边AB、BC中点，点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动，到点B停止．当点P不与点A重合时，过点P作PQ∥AC，且点Q在直线AB左侧，AP＝PQ，过点Q作QM ⊥AB交射线AB于点M．设点P运动的时间为t（秒）（1）用含t的代数式表示线段DM的长度；（2）求当点Q落在BC边上时t的值；（3）设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S（平方单位），当△PQM与△DEB有重叠且重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式；（4）当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时，直接写出此时t的值．11．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，以AB为斜边向上作等腰直角△ABC，BC交y轴于点D，C（﹣2，4）．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，动点E从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿y轴的正半轴运动，设运动时间为t秒，连接CE，设△ECD的面积为S，请用含t的式子来表示S；（3）如图3，在（2）的条件下，当点E在OD的延长线上时，点F在直线CE的下方，且CF⊥CE，CF＝CE．连接AD，取AD的中点M，连接FM并延长交AO于点N，连接FO，当S△NFO ＝10S△AMN时，求S的值．12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的顶点A（﹣2，0），点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°（1）求点B的坐标；（2）点P为AC延长线上一点，过P作PQ∥x轴交BC的延长线于点Q，若点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，请用含t的式子表示d；（3）在（2）的条件下，点E是线段CQ上一点，连接OE、BP，若OE＝PB，∠APB﹣∠OEB ＝30°，求PQ的长．13．在平面直角坐标系中，点A（0，m），C（n，0）．（1）若m，n满足．①直接写出m＝，n＝；②如图1，D为点A上方一点，连接CD，在y轴右侧作等腰Rt△BDC，∠BDC＝90°，连接BA并延长交x轴于点E，当点A上方运动时，求△ACE的面积；（2）如图2，若m＝n，点D在边OA上，且AD＝11，G为OC上一点，且OG＝8，连接CD，过点G作CD的垂线交CD于点F，交AC于点FH．连接DH，当∠ADH＝∠ODC，求点D的坐标．14．如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别为x、y轴正半轴上一点，其中a、b满足：b﹣8＝+，C为AB的中点．（1）求A、B两点坐标；（2）E为OB上一点，连CE交x轴于D，若BE＝AD，如图1，求D点坐标；（3）F为x轴上的点，连FC，在（2）的条件下，若∠ACF＝45°，求F点坐标．15．如图所示，M为等腰三角形ABD的底边AB的中点，过D作DC∥AB，连接BC，AB＝6cm，DM＝3cm，DC＝3﹣cm．动点P自A点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC﹣CD上匀速运动，速度均为1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（s）时，△MPQ的面积为S．（1）当点P在线段AM上运动时，PM＝．（用t的代数式表示）（2）求BC的长度；（3）当点P在MB上运动时，求S与t之间的函数关系式．16．如图，射线AN上有一点B，AB＝5，tan∠MAN＝，点C从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AN运动，过点C作CD⊥AN交射线AM于点D，在射线CD上取点F，使得CF＝CB，连结AF．设点C的运动时间是t（秒）（t＞0）．（1）当点C在点B右侧时，求AD、DF的长．（用含t的代数式表示）（2）连结BD，设△BCD的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式．（3）当△AFD是轴对称图形时，直接写出t的值．17．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，点E是正△ABC边AC上一点以BE为边做正△BDE，连接CD．探究线段AE与CD 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠ABE与∠DBC相等．”小伟：“通过全等三角形证明，再经过进一步推理，可以得到线段BC平分∠ACD．”…老师：“保留原题条件，连接AD，F是AB的延长线上一点，AD＝DF（如图2），如果BD ＝BF，可以求出CE、CB、EB三条线段之间的数量关系．”（1）求证：∠ABE＝∠DBC；（2）求证：线段BC平分∠ACD；（3）探究CE、CB、EB三条线段之间的数量关系，并加以证明．18．在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF＝DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．19．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．20．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CE；（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，，求BE的长；（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求的值．参考答案1．（1）证明：∵∠DFA＝∠CFB，∠DAF＝∠CBF，∴∠D＝∠C，在△DAB和△CBA中，，∴△DAB≌△CBA（AAS），∴AD＝BC；（2）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图2所示：由（1）知，△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝2，DB＝EA，∠BDA＝∠AEB＝135°，∴∠BEC＝45°，∵∠C＝45°，∴∠BEC＝∠C，∴BC＝BE＝2，∠EBC＝90°，∴EC＝BE＝2，∵AC＝4，∴AE＝AC﹣EC＝4﹣2，∴BD＝AE＝4﹣2．（3）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图3所示：由（1）知△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝1，DB＝AE，∠BEA＝∠BDA＝108°，∠DBA＝∠EAB＝18°，∴∠BEC＝72°＝∠C，∠EFB＝∠DBA+∠EAB＝36°，∴BC＝BE＝1，∠EBC＝36°，∴∠C＝∠BEA﹣∠EBC＝72°，∴∠FBC＝72°，∴∠C＝∠FBC，∠EFB＝∠EBF＝36°，∴EF＝EB＝1，FB＝FC，∵∠DBA＝∠CAB，∴AF＝FB＝FC＝1+EC，∵∠EBC＝∠EFB，∠∠C＝∠C，∴△CBE～△CFB，∴，∴BC2＝CE•CF，∴CE•CF＝1，∴CE（CE+1）＝1，即CE2+CE﹣1＝0，解得：（负值已舍去），∴，∴，∴．2．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵AD＝1，CD＝2，BD＝4，∴CD2＝AD•BD，∴＝，∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD＝∠B，∵∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．（2）如图1中，作EH⊥AB于H．∵AD⊥AB，EH⊥AB，∴DG∥HE，∵AG＝GE，∵AD＝DH＝1，∵DB＝4，∴BH＝DB﹣DH＝3，∵EH∥CD，∴＝，∴＝，∴EH＝，∴tan∠EAF＝＝＝．（3）如图2中，作EH⊥AB于H．∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴EH∥CD，∴＝＝＝，∵CD＝2，BD＝4，∴EH＝，BH＝，∴AH＝AB﹣BH＝5﹣＝，DH＝AH﹣AD＝，在Rt△AEH中，AE＝＝＝，∵DG∥EH，∴＝，∴＝，∴EG＝，∵AE⊥EF，EH⊥AF，∴△AEH∽△EFH，∴＝，∴＝，∴EF＝∴＝＝．3．解：（1）由，解得，∴A（0，4），C（3，0）．（2）如图1中，当0＜t＜4时，S＝•BC•OP＝×5×（4﹣t）＝﹣t+10．如图2中，当t＞4时，S＝•BC•OP＝×5×（t﹣4）＝t﹣10．综上所述，S＝．（3）当0＜t＜4时，由题意，×t×4＝××（4﹣t）×3，解得t＝．此时，OP＝4﹣＝，∴P（0，），∵B（﹣4，0），∴BQ的中点Q的坐标为（﹣2，）当t＞4时，由题意，×t×4＝××（t﹣4）×3，解得t＝36，此时OP＝36﹣4＝32，∴P（0，﹣32），∵B（﹣4，0），∴BP的中点Q的坐标为（﹣2，﹣16）．综上所述，满足条件的t的值为或36．点Q的坐标为（﹣2，）或（﹣2，﹣16）．4．（1）证明：如图（1），∵∠AFE＝75°，∠A＝45°，∴∠ABE＝75°﹣45°＝30°，∵∠E＝30°，∴∠E＝∠ABE，∴AB∥DE；（2）解：如图（2），△ABF中，∠AFE＝∠A+∠ABE＝α①，△BGE中，∠BGD＝∠E+∠CBF＝β②，①+②得：α+β＝∠A+∠E+∠CBF+∠ABE＝45°+30°+90°＝165°；故答案为：165；（3）解：∵DE∥AB，∴∠CGH＝∠ABC＝90°，∵S△CEH ＝S△BEH，∴，∴CG＝BG，∵BC＝10，∴CG＝2，BG＝8，∵DG＝2CG＝2GH，∴DG＝4，GH＝2，∴△BDH的面积＝＝＝24．5．解：（1）①如图1，过点A作AH⊥DP于H，∵∠DAP＝∠BAC＝120°，∴∠DAB＝∠PAC，且AD＝AP，AB＝AC，∴△ADB≌△APC（SAS）∴BD＝PC＝PA，∠ADB＝∠APC，∵∠DAP＝120°，AD＝AP，AH⊥DP，∴∠ADP＝∠APD＝30°，DH＝PH，∴AP＝2AH，HP＝AH，∴DP＝AP，∴DB＝DP，∴∠DBP＝∠DPB＝∠APB﹣∠APD＝α﹣30°，∴∠BDP＝180°﹣2（α﹣30°）＝240°﹣2α，∴∠ADB＝∠BDP+∠ADP＝270°﹣2α＝∠APC，∵∠APB+∠APC+∠BPC＝360°，∴270°﹣2α+α+β＝360°，∴β﹣α＝90°，当β＝153°时，α＝63°，故答案为：△ADB，△APC，63°；②β﹣α＝90°，理由如上；（2）α+β＝90°，理由如下：如图2，作∠PAN＝120°，且PA＝NA，连接PN，BN，∵∠PAN＝∠BAC＝120°，∴∠BAN＝∠PAC，且AB＝AC，AP＝AN，∴△ABN≌△ACP（SAS）∴∠BNA＝∠APC，PC＝BN＝AP，∵∠PAN＝120°，PA＝NA，∴∠APN＝∠ANP＝30°，∴PN＝AP＝BN，∴∠BPN＝∠PBN＝α+30°，∵∠BPN+∠PBN+∠BNP＝180°，∴2（α+30°）+β﹣α+30°＝180°，∴α+β＝90°．6．（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形；（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，∵AD＝4，∴AQ＝2，在Rt△AQE中，cos∠EAQ＝，即cos30°＝，∴AE＝＝＝4，∴AE＝AF＝EF＝4，在△AEG和△EFH中，，∴△AEG≌△EFH（SAS），∴∠AEG＝∠EFH，∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，∴∠ENH＝∠EAG，∵∠AEG＝∠NEH，∴△AEG∽△NEH，∴＝，∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；（ii）证明：如图3，连接FM'，∵DE∥AC，∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，由（1）得：△EDF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，∴∠EDM＝∠FDM'，在△EDM和△FDM'中，，∴△EDM≌△FDM'（SAS），∴∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，∴∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，∴∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝120°+60°＝180°，∴H，F，M′三点在同一条直线上．7．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）解：设AE交BC于点H，如图2所示：由（1）得：△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，∵∠AHC＝∠BHE，∴∠AEB＝∠ACH＝90°，∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∵CM⊥DE，∴CM＝DM＝ME＝7，∴DE＝2CM＝14，∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，∴AB＝＝＝26；（3）解：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM．在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，∴DE＝2DM＝2×＝2×＝2b．∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，∴BE＝＝＝a．∵AD＝BE，AE＝AD+DE，∴AE＝BE+DE＝a+2b．8．解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，如图1所示：∵点A（t，1），∴AD＝1，OD＝t，∵A，B，C在同一条直线上，∴∠OCB＝∠DCA，∵tan∠OCB＝＝＝，∴tan∠OCB＝tan∠DCA＝＝，即＝，解得：CD＝，∴t＝OD＝OC+CD＝+＝3；（2）作AD⊥y轴于D，AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，如图2所示：则∠ADB＝∠ANB＝90°，∵t＝1，∴点A（1，1），∴AD＝AM＝OM＝1，∵∠ACO+∠ACB＝180°，∠ACN+∠ACB＝180°，∴∠ACO＝∠ACN，∵AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，∴AN＝AM＝AD＝1，在Rt△ABD和Rt△ABN中，，∴Rt△ABD≌Rt△ABN（HL），∴BN＝BD＝OB+1，同理：Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM＝CN，∵BC＝BN﹣CN，OC＝OM+CM＝1+CM，∴BC+OC﹣OB＝BN﹣CN+1+CM﹣OB＝OB+1﹣CN+1+CM﹣OB＝2；（3）作HG⊥OC于G，如图3所示：∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OCB＝45°，∵∠OHA＝90°，∴OH⊥AB，∴△OCH是等腰直角三角形，∵HG⊥OC，∴△OGH是等腰直角三角形，∴OG＝GH，即m＝﹣n，∴m+n＝0．9．解：（1）∵a2﹣2ab+b2+（b﹣4）2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a＝b．b﹣4＝0，∴a＝4，b＝4，故答案为4，4．（2）如图1中，分别过A，B作OC的垂线，垂足分别为D，E．∵∠BEO＝∠ADO＝∠AOB＝90°，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∠BOE+∠AOD＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵BO＝AO，∴△ADO≌△OEB（AAS），∴OD＝BE，∵∠BPC＝30°，∴PB＝2BE＝2OD，∵AP＝BO＝AO，AD⊥OP，∴OD＝DP，∴PB＝PO，过P作PF⊥OB，∴OF＝OB＝2，即点P的纵坐标的为2．（3）如图2中，以OA为边在x轴下方作等边△OAG，连接GN．∵∠MON＝∠AOG＝60°，∴∠MOA＝∠NOG，∵OM＝ON，OA＝OG，∴△OMA≌△ONG（SAS），∴∠OGN＝∠OAM＝45°，即点N在y轴与OG夹角为45°的直线GN上运动，作OH⊥OC交CA的延长线于H，连接NH．GH．由（2）可知∠ACO＝60°，在四边形ACOG中，∠COG＝360°﹣60°﹣60°﹣45°﹣60°＝135°，∴OC∥NG，∵OC⊥OH，∴OH⊥NG，∵∠OHC＝30°＝∠AGO，∴点G在以G为圆心GO为半径的⊙G上，∴GO＝GA，∴NH垂直平分线段OH，∴O，H关于GN对称，∴ON+NC＝NH+NC≥CH，∵CH＝2OC＝2t，∴ON+NC≥2t，∴ON+CN的最小值为2t．10．解：（1）如图1中，在RtABC中，∵AC＝16，BC＝12，∠C＝90°，∴AB＝＝＝20，∵PQ∥AC，∴∠A＝∠QPM，∵∠C＝∠PMQ＝90°，∴△ACB∽△PMQ，∴＝＝，∴＝＝，∴PM＝4t，MQ＝3t，当0＜t≤时，DM＝AD﹣AM＝10﹣5t﹣4t＝﹣9t+10．当＜t≤4时，DM＝AM﹣AD＝9t﹣10．（2）如图2中，当点Q落在BC上时，∵PQ∥AC，∴＝，∴＝，解得t＝，∴当点Q落在BC边上时t的值为s．（3）如图3﹣1中，当＜t≤时，重叠部分是△DMK，S＝×DM×MK＝×（9t﹣10）×（9t﹣10）＝t2﹣t+．如图3﹣2中，当≤t≤4时，重叠部分是△PBK，S＝•PK•BK＝×（20﹣5t）•（20﹣5t）＝6t2﹣48t+96．（4）如图4﹣1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K．∵∠QKG＝∠QMG＝90°，∠GQK＝∠GQM，QG＝QG，∴△QGK≌△QGM（AAS），∴QK＝QM＝3t，PK＝PQ﹣QK＝5t﹣3t＝2t，∴PG＝PK＝t，∵PQ∥AC，∴＝，∴＝，∴t＝．如图4﹣2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G．∵•AC•BC＝•AB•CG，∴CG＝＝＝，AG＝＝＝，∵∠CMG＝∠GCM＝45°，∴CG＝GM＝，∴AM＝9t＝+，解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为s或s．11．解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵C（﹣2，4），∴CH＝4，OH＝2，∵AC﹣BC，∠ACB＝90°，∴AH＝CH＝BH＝4，∴OB＝OH＝2，∵OD∥CH，∴CD＝DB，∴OD＝CH＝2，∴D（0，2），B（2，0）．（2）由（1）可知D（0，2），所以当0≤t＜2时，当t＞2时，，综上所述，S＝．（3）如图3中，延长AC交y轴于H，连接FD，AF．FO．∵C（﹣2，4），△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝8，由（1）知B（2，0），∴OB＝2，OA＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AOH＝90°，∴∠CHE＝∠CAB＝45°，∴OH＝OA＝6，∵∠ACB＝90°，∴∠DCH＝90°，∵∠CHE＝45°，∴∠CDH＝∠CHE＝45°，∴CH＝CD，∵CF⊥CE，∴∠DCF+∠ECD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠HCE+∠ECD＝90°，∴∠HCE＝∠DCF，又∵CF＝CE，∴△HCE≌△DCF（SAS），∴HE＝FD＝6﹣t，∠CDF＝∠CHE＝45°，∵∠CBA＝45°，∴∠CDF＝∠CBA，∴FD∥AB，∴∠FDM＝∠NAM，∵M是AD中点，∴DM＝AM，又∵∠FMD＝∠NMA，∴△DMF≌AMN（ASA），∴AN＝FD＝6﹣t，∵DM＝AM，∴S△DMF ＝S△AMF∵△DMF≌△AMN，∴S△DMF ＝S△AMN，∴S△NFA ＝2S△AMN∵S△NFO ＝10S△AMN∴S△NFO ＝5S△NFA，∴5AN＝ON，∵OA＝6，∴AN＝1，∴AN＝6﹣t＝1，∴t＝5，∴S＝t﹣2＝5﹣2＝3．12．解：（1）在Rt△AOC中，A（﹣2，0），∠A＝60°，∴OA＝2，∠ACO＝∠ABC＝30°∴AC＝2OA＝4，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝8，即OB＝AB﹣OA＝8﹣2＝6，则B（6，0）；（2）如图1所示，在Rt△MCP中，MP＝t，∠MCP＝30°，∴CP＝2MP＝2t，在Rt△CQP中，∠CQP＝30°，CP＝2t，∴PQ＝4t，即d＝4t；（3）如图2所示，过P作PM∥y轴，交BC于M，∴∠APM＝∠DCP＝∠ACO＝30°，∵∠APB﹣∠OEB＝30°，∴∠APB﹣30°＝∠OEB＝∠BPM，∵∠BMP＝180°﹣60°＝120°＝∠OCE，∵OE＝PB，∴△OCE≌△BMP（AAS），∴OC＝BM＝2，∵BC＝4，∴CM＝4﹣2＝2，Rt△PCM中，∠CPM＝30°，CP＝2t，∴PM＝4，∴PC2+CM2＝PM2，∴，4t2+12＝48，t＝3或﹣3（舍），∴PQ＝4t＝12．13．解：（1）①由，解得，故答案为4，4．②如图1中，∵A（0，4），C（4，0），∴OA＝OC＝4，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC＝OC，∠ACO＝45°，∵△DCB是等腰直角三角形，∴BC＝CD，∠DCB＝45°，∴∠OCD＝∠ACB，＝＝，∴∠OCD∽△ACB，∴∠BAC＝∠DOC＝90°，∴∠AEC＝∠ACE＝45°，∴AE＝AC，∵AO⊥EC，∴EO＝OC＝AO＝4，＝•EC•AO＝×8×4＝16．∴S△ACE（2）如图2中，作CP∥OA交DH的延长线于P，作DK⊥CP于K．∵PC∥OA，∴∠P＝∠ADH，∠DCP＝∠ODC，∵∠ADH＝∠ODC，∴∠P＝∠PCD，∴DP＝DC，∴△DPC是等腰三角形，∵∠DKC＝∠KCO＝∠DOC＝90°，∴四边形ODKC是矩形，∴OD＝CK，∵DK⊥PC，∴PK＝CK＝OD，设OD＝x，则PK＝CK＝x，PC＝2x，∵OA＝OC，AD＝11，OG＝8，∴CG＝OC﹣OG＝x+3，∵GH⊥DC，∴∠CFG＝∠COD＝90°，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∠CGF+∠FCG＝90°，∴∠ODC＝∠CGF，∴∠CGH＝∠P，∵CH＝CH，∠HCG＝∠HCP＝45°，∴△HCG≌△HCP（AAS），∴CG＝CP，∴x+3＝2x，∴x＝3，∴D（0，3）14．解：（1）根据题意得：，解得：a＝4，∴b＝8，∴A（4，0），B（0，8）；（2）∵C为AB的中点，∴C（2，4），设OE＝b，∵BE＝AD，∴AD＝8﹣b，∵OA＝4，∴OD＝4﹣b，设直线CD的解析式为：y＝kx+b，把C（2，4）代入得：2k+b＝4，∴k＝，∴直线CD的解析式为：y＝x+b，∵D（b﹣4，0），则﹣+b＝0，解得：b＝2或8（舍），∴D（﹣2，0）；（3）由（2）知：直线CD的解析式为：y＝x+2分两种情况：①当F在点A的左侧时，如图2，过F作FG⊥AB于G，∵∠BAO＝∠FAG，∴tan∠BAO＝tan∠FAG＝＝＝2，设AG＝x，则FG＝2x，∵∠ACF＝45°，∠CGF＝90°，∴CG＝FG＝2x，∵AC＝AB＝＝2，∴AG＝2﹣2x＝x，x＝，∴AF＝x＝，∴OF＝4﹣＝，∴F（，0）；②当点F在点A的右侧时，如图3，过C作CP⊥CF，交x轴于点P，CH⊥x轴于H，过A 作AG⊥CF于G，∵∠ACF＝45°，∴△ACG是等腰直角三角形，∵AC＝2，∴CG＝AG＝，由（2）知：AP＝，∵AH＝2，∴PH＝﹣2＝，∵CH＝OB＝4，∴PC＝＝，∵AG∥PC，∴，即＝，∴AF＝10，∴F（14，0），综上，点F的坐标为（，0）或（14，0）．15．解：（1）如图1中，PM＝3﹣t．故答案为3﹣t．（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图2，∵DA＝DB，AM＝BM，∴DM⊥AB．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠DMB＝90°．∴CE∥DM．∵DC∥ME，CE∥DM，∠DME＝90°，∴四边形DCEM是矩形．∴CE＝DM＝3，ME＝DC＝．∵AM＝BM，AB＝6，∴AM＝BM＝3．∴BE＝BM﹣ME＝．∵∠CEB＝90°，CE＝3，BE＝，∴CB＝＝＝2．（3）①当3＜t≤时，点P在线段BM上，点Q在线段BC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图3，∵QF⊥AB，CE⊥AB，∴∠QFB＝∠CEB＝90°．∴QF∥CE．∵BQ＝t，∴QF＝∵PM＝AP﹣AM＝t﹣3，∴S＝PM•QF＝（t﹣3）•＝；②当＜t≤时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图4，此时QF＝DM＝3．∵PM＝AP﹣AM＝t﹣3，∴S＝PM•QF＝（t﹣3）×3＝．综上所述：当3＜t≤时，S＝；当＜t≤时，S＝．16．解：（1）在Rt△ACD中，AC＝3t，tan∠MAN＝，∴CD＝4t．∴AD＝＝＝5t，当点C在点B右侧时，CB＝3t﹣5，∴CF＝CB．∴DF＝4t﹣（3t﹣5）＝t+5．（2）当0＜t＜时，S＝•（5﹣3t）•4t＝﹣6t2+10t．当t＞时，S＝•（3t﹣5）•4t＝6t2﹣10t．（3）①如图1中，当DF＝AD时，△ADF是轴对称图形．则有5﹣3t﹣4t＝5t，解得t＝，②如图2中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵FA＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．③如图3中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵FA＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为或或．17．（1）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，∴∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠CBD，∴∠ABE＝∠CBD．（2）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，∴BA＝BC，BE＝BD，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠BAE＝∠BCD＝60°，∴∠ACB＝∠BCD＝60°，∴CB平分∠ACD．（3）解：结论：EC+BE＝BC．理由：∵DA＝DF，∴可以将△DBF绕点D顺时针旋转，使得DF与DA重合，得到△DMA，连接AM．∵DA＝DF，BD＝BF，∴∠DAF＝∠F＝∠BDF，∵∠BCD＝∠ABC＝60°，∴CD∥AB，∴∠CDF＝∠DAF，∵∠MDA＝∠BDF＝∠F＝∠DAB，∴∠MDA＝∠CDA，∴D，C，M共线，∵∠AMD＝∠DBF＝∠CDB，∠ACM＝∠BCD＝60°，AM＝DM＝BD＝BF，∴△AMC≌△BDC（AAS），∴CM＝DC＝BD＝BE，∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，∴BC＝AC＝EC+AE＝CE+CD＝CE+BE，∴EC+BE＝BC．18．（1）解：如图1中，在CA上取一点H，使得CH＝CG．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AE⊥CR，CE＝ER，∴AC＝AR，∴∠CAG＝∠GAB＝22.5°∵CG＝CH＝1，∴GH＝＝＝，∠CHG＝45°，∵∠CHG＝∠HAG+∠HGA，∴∠HAG＝∠HGA＝22.5°，∴HA＝HG＝，∵CB＝CA，CG＝CH，∴BG＝AH＝．（2）解：如图2中，连接CD，DE．∵CF⊥AG，BC⊥CF，∴∠BCF＝∠CAE＝90°﹣∠ACE在△AEC和△CFB，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CD＝BD，∠CDB＝90°，∵∠CDB＝∠CFB＝90°，∴∠FBD＝∠DCE，在△BFD与△CED中，，∴△BFD≌△CED（SAS），∴DF＝DE，∠FDB＝∠EDC，∴∠EDC+∠EDB＝∠BDF+∠BDE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DF．（3）如图3中，结论：＝．理由：连接AF，在EC上取一点H，使得CH＝AH，连接AH．∵AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，AB＝AC＝BC，∵∠BAG＝15°，∴∠CAE＝75°，∵CE⊥AG，∴∠CEA＝90°，∴∠ACE＝15°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACE＝45°，∵BF⊥CE，∴∠FCB＝∠FBC＝45°，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴AF垂直平分线段BC，∴AF平分∠CAB，∴∠FAB＝∠CAB＝30°，∴∠EAF＝∠EFA＝45°，∴EF＝AE，设EF＝AE＝m，∵HC＝HA，∴∠HCA＝∠HAC＝15°，∴∠EHA＝∠HCA+∠HAC＝30°，∴AH＝2AE＝2m，EH＝m，∴EC＝2m+m，∴AC＝＝＝（+）m，∵BD＝AB＝AC＝m，∴＝．19．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）如图2，连结BE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，∴BD＝＝＝5．（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：如图3，连结BE．∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．∴BC2＝CD2+CE2．解法二：如图4，过点A作AP⊥DE于点P．∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，。

初三数学复习-三角形

提高题练习
提高运用三角形知识解决实际问题的能力
利用三角形的性质和判定定理，解决生活中的实际问题，如测量、建筑等。
利用三角形的面积公式，计算给定三角形的面积。
利用三角形的相似性质，比较两个相似三角形的边长和角度关系。
总结词
提高题1
提高题2
提高题3
综合运用三角形知识解决复杂问题
总结词
结合其他数学知识，如函数、方程等，解决涉及三角形的问题。
正弦定理
在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边平方和减去两倍的这两边与它们夹角的余弦的乘积。
余弦定理
边与角之间的关系
02
CHAPTER
三角形的分类
在此添加您的文本17字
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总结词：两边相等
自行车架
日常生活中的应用
05
CHAPTER
复习与巩固
总结词
基础题1
基础题2
基础题3
基础题练习
01
02
03
04
掌握三角形的基本性质和判定方法
根据三角形的性质，判断给定的三个角是否可以构成三角形。
根据三角形的判定定理，判断给定的三条边是否可以构成三角形。
根据三角形的内角和定理，计算给定三角形的未知角度。
在解题时，需要先判断三角形的边长关系，然后选择合适的计算方法。对于不规则三角形，可以通过测量或计算边长来求解。同时需要注意单位和精度的问题。
详细描述
总结词
详细描述
三角形的周长计算
04
CHAPTER
三角形的实际应用

九年级中考专题复习三角形

知识要点：知识点1 三角形的边、角关系①____________________________________________________________②三角形三个内角的和等于________；三角形三个外角的和等于___________；③三角形一个外角等于和它________________的两个内角的和；④三角形一个外角_________任何一个和它不相邻的内角。

知识点2 三角形的主要线段和外心、内心①三角形的角平分线、中线、高；②三角形三边的___________交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到______的距离相等；③三角形的三条___________交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到______的距离相等；④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的______，三角形的中位线_____于第三边且等于第三边的____。

知识点3等腰三角形等腰三角形的判定：①有________相等的三角形是等腰三角形；②有________相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；③__________相等的三角形是等边三角形；④__________都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是________的等腰三角形是等边三角形。

等腰三角形的性质：①等边对_______；②等腰三角形的__________,_____________,___________互相重合；③等腰三角形是__________图形,_________是它的对称轴；④等边三角形的三个内角都等于__________。

知识点4直角三角形直角三角形的识别：①有一个角等于__________的三角形是直角三角形；②有两个角______的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互余；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

人教九年级中考复习数学三角形的基础知识讲课文档

三角形三条中线交点叫做三角形的重心 .
第十一页，共19页。
角平如图, BAC 的平分线 AF ,交 BAC 所对
分线
的边 BC 于点 F ,所得线段 AF 叫做 △ABC
的角平分线
.
如图,从 △ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC
高所在直线画垂线,垂足为 D ,所得线段 AD 叫
做 △ABC 的边 BC 上的高
A
解:可以量出AC与BC的距离,再分别
确定AC与BC的中点D、E,量出
DE的距离,根据三角形的中位线性
C
B
质,A、B两点间的实际距离就是
DE距离的2倍.
第十五页，共19页。
如图,在△ABC 中,E,F 分别是 AD,EC 的中点,D 是
BC 上的任意一点,且 S△ABC 8 ,求△BEF 的面积.
n 边形的内角和等于(n
n(n22)3)18 0条o,对角线.
外角多边形的外角和等于 360°
.
第十七页，共19页。
[2016 宜昌]设四边形的内角和等于 a ,五边形的外角和等于 b ,则 a 与 b 的关系是( B ) A. a b B. a b C. a b D. b a 180o
介在两边之和与两边之差之间.
第九页，共19页。
2.如图,从 A 处观测 C 处时仰角 CAD 30o ,从 B 处
观测 C 处时仰角 CBD 45o ,从 C 处观测 A、B 两
处时视角∠ACB 是多少?
C
解:∵CBD 是△ACB 的一个外角
∴ CBD A ACB
A
B
D
∴ ACB CBD A 45o 30o 15o
C
∴ C 72o

中考数学专题复习第4章三角形第14讲等腰三角形和

第14讲等腰三角形和直角三角形☞【基础知识归纳】☜☞归纳一、等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形．2.等腰三角形的性质①等腰三角形两个底角相等；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称：“三线合一”③等腰三角形是轴对称图形，有 1 条对称轴． 3.等腰三角形的判定方法①定义判定：一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形． ②判定定理：等角对等边；即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边相等．4.等边三角形的性质①等边三角形的各角都相等，并且每—个角都等于 60 度； ②等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴． 5.等边三角形的判定①三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角等于 60 度的等腰三角形是等边三角形.☞归纳二、直角三角形 1.直角三角形的定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 2.直角三角形的性质①直角三角形的两个锐角互余；②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 3.直角三角形的判定①两个内角和为 90° 的三角形是直角三角形；②一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 4.勾股定理及逆定理【勾股定理】如果直角三角形两条直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么222a b c += 【逆定理】如果三角形三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形☞【常考题型剖析】☜☺ 题型一、等腰三角形【例1】(2016贺州) 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A. 12B. 16C. 20D. 16或20【答案】C【分析】当等腰三角形的三边为4, 4, 8时，因为4+4=8，不符合题意，舍去；当等腰三角形的三边为4, 8, 8时，因为4+8>8符合题意，此时它的周长为4+8+8=20【例2】（2016邵阳）如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A. AC＞BCB. AC=BCC.∠A＞∠ABCD. ∠A=∠ABC 【答案】A【解答】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠ABC＞∠A，所以C选项和D选项错误；∴AC＞BC，所以A选项正确；B选项错误．【举一反三】1. (2016湘西州) 一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A. 13cmB. 14cmC. 13cm或14cmD. 以上都不对【答案】c【分析】当等腰三角形的三边为4, 4, 5时，因为4+4>5，符合题意，此时它的周长为4+4+5=13cm;当等腰三角形的三边为4, 5, 5时，因为4+5>5符合题意，此时它的周长为4+5+5=142. (2016通辽) 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为【答案】69°或21°【解答】分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．3. (2016淮安) 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是【答案】10【分析】当等腰三角形的三边为2,2,4时，因为2+2=4，不符合题意，舍去；当等腰三角形的三边为2,4,4时，因为2+4>4符合题意，此时它的周长为2+4+4=104. (2016随州) 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程28150x x -+=的根，则该等腰三角形的周长为【答案】19或21或23【解答】解方程28150x x -+=得x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，5. (2016安顺) 已知实数,x y 满足480x y --=，则以,x y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对【答案】B【分析】根据非负数的意义列出关于x 、y 的方程并求出x 、y 的值，再根据x 是腰长和底边长两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得4080x y -=⎧⎨-=⎩，解得48x y =⎧⎨=⎩，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．6. (2016荆门) 已知3是关于x 的方程2(1)20x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（） A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 【答案】D【分析】把x=3代入已知方程求得m 的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为27120x x -+=，解得123,4x x ==，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4+4+3=11； ②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC 的周长为10或11．7. (2016荆门) 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC 的长为（）A. 5B. 6C. 8D. 10 【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得到AD ⊥BC ，BD=CD ，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∵AB=5，AD=3，∴22AB AD -，∴BC=2BD=8，☺ 题型二、直角三角形【例3】(2015毕节) 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）3,4,523【答案】B【分析】如果三角形三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形；因为 22212)3)+=，所以能够组成直角三角形【例4】(2016南充) 如图，在Rt△ABC 中，∠A=30°，BC=1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 1+3 【答案】A【解析】如图，∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=12AB, 又∵BC=1 ∴AB=2BC=2．又∵点D 、E 分别是AC 和BC 的中点， ∴DE 是△ACB 的中位线，∴DE=12AB=1．故选A ．【举一反三】1. (2015来宾) 下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A. 1, 2, 3B. 2, 3, 4C. 4, 5, 6D. 1,2,3 【答案】D【分析】如果三角形三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形；因为 2221(2)(3)+=，所以能够组成直角三角形2. (2016甘孜州) 直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为．【答案】6【分析】∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，∴另一直角边长为4．该直角三角形的面积S =12×3×4=63. (2016泉州) 如图3，在Rt △ABC 中，E 是斜边AB 的中点，若AB=10，则CE= ．图3 图4 【答案】5【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE= 12AB=1102⨯=5.4. (2016百色) 如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（） A. 6 B. 62 C. 63 D.12 【答案】A【解答】∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=12sin30°=12×12=6，5. (2016深圳龙岭期中) 如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（）A. AD=AEB. DB=ECC. ∠ADE=∠CD. DE=12BC 【答案】D【分析】由DE 与BC 平行，得到△ADE ∽△ABC ，由相似得比例，根据AB=AC ，得到AD=AE ，进而确定出DB=EC ，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE 不一定为中位线，即DE 不一定为BC 的一半，即可得到正确选项．☞【巩固提升自我】☜1. (2014广东) 一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（） A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17 【答案】A【分析】①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．2. (2015广州) 已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 【答案】B【分析】解：将x=2代入方程，得：4﹣4m+3m=0，解得：m=4．当m=4时，原方程为28120x x -+=，解得：122,6x x ==，∵2+2=4＜6，∴此等腰三角形的三边为6、6、2， ∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14．3. (2016广州) 如图3，已知△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，DE 是AC 的垂直平分线， DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD=（）图3 图4A. 3B. 4C. 4.8D. 5【答案】D【解答】∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴222BC AC AB +=，∴△ABC 是直角三角形， ∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE=EC=4，DE ∥BC ，且线段DE 是△ABC 的中位线，∴DE=3， ∴AD=DC=22AE DE +=5．4. (2015南宁) 如图4，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠B=70°，则∠C 的度数为（） A. 35° B. 40° C . 45° D . 50° 【答案】A 5. (2015北京) 如图5，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开．若测得AM 的长为1.2km ，则M ，C 两点间的距离为（）图5 图6A. 0.5kmB. 0.6kmC. 0.9kmD. 1.2km【答案】D解：∵△ABD 中，AB=AD ，∠B=70°， ∴∠B=∠ADB=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°， ∵AD=CD ，∴∠C=（180°﹣∠ADC ）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°【分析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∴MC=12AB=AM=1.2km6. (2015丹东) 如图6，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A. 15°B. 17.5°C. 20°D. 22.5°【答案】A解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=12∠A=12×30°=15°7. (2016海南) 如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD 对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A. 6B. 62332【答案】D解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，BC=6，∴BD=ED=3，即△EDB是等腰直角三角形，∴×3=。

中考数学专题复习第4章三角形第13讲(全等)三角形及其性质-人教版初中九年级全册数学试题

第13讲（全等）三角形及其性质☞【基础知识归纳】☜☞三条主要线段⑴三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做角平分线⑵在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做中线⑶从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（简称高）☞归纳三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．☞三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．☞归纳4.三角形的内角和定理及推论⑴三角形内角和：三角形三内角之和等于180°．⑵三角形外角的性质：①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和．☞归纳①按边分：三角形分为不等边三角形和等腰三角形②按角分：三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 .☞归纳6.全等三角形⑴能够完全重合的两个图形就是全等图形；能够完全重合的两个三角形就是全等三角形⑵全等三角形的对应边相等，对应角相等．⑶全等三角形的对应线段(对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线)相等⑷全等三角形的周长相等，面积相等☞归纳7.三角形全等的判定定理：①边边边定理：（可简写成SSS）②边角边定理：（可简写成SAS）③角边角定理：（可简写成ASA）④角角边定理：（可简写成AAS）⑤直角三角形全等的判定：（斜边、直角边定理）（可简写成 HL）☞【常考题型剖析】☜☺题型一、三角形的边和角【例1】（2016某某）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A.2cm，3cm，5cmB.7cm，4cm，2cmC.3cm，4cm，8cmD.3cm，3cm，4cm【答案】D【分析】选项A，因为2+3=5，所以不能构成三角形，错误；选项B，因为2+4＜6，所以不能构成三角形，错误；选项C，因为3+4＜8，所以不能构成三角形，错误；选项D，因为3+3＞4，所以能构成三角形，正确．【例2】(2015滨州)在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:4:5，则∠C等于（）°°°°【答案】C【分析】三角形的内角和是180°，因为∠A:∠B:∠C=3:4:5，所以∠C=180°512=75°【举一反三】1.( 2016某某) 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A. 5，5，10B. 4，5，6C. 4，4，4D. 3，4，5【答案】A【分析】选项A，因为5+5=10，所以不能构成三角形，错误；选项B，因为4+5>6，所以能构成三角形，正确；选项C，因为4+4>4，所以能构成三角形，正确；选项D ，因为3+4＞5，所以能构成三角形，正确．2.( 2016某某) 如图，点D 是△ABC 的边AC 上一点（不含端点），AD=BD ，则下列结论正确的是（）A. AC ＞BCB. AC=BCC.∠A ＞∠ABCD.∠A=∠ABC 【答案】A【分析】∵AD=BD ，∴∠A=∠ABD ，∴∠ABC ＞∠A ，所以C 选项和D 选项错误；∴AC ＞BC ，所以A 选项正确；B 选项错误．3.(2015某某) 如图，图中∠1的大小等于（）A. 40° B . 50° C. 60° D . 70° 【答案】D【分析】三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和．所以∠1=130°-60°=70°4.(2016某某)若a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足420a b --=，则c 的值可以为（）A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】A【分析】∵420a b --=，∴a ﹣4=0，a =4；b ﹣2=0，b =2；则4﹣2＜c ＜4+2，2＜c ＜6，只有A 选项5符合条件；5.(2016某某)三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程213400x x -+=的根，则该三角形的周长为．【答案】12【分析】解方程213400x x -+=的根分别是125,8x x ==，因为三角形的两边长分别是3和4，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．所以三角形的第三边为5，所以三角形的周长=3+4+5=126.(2015某某)如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，连接DE 、EF 、DF ，若△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长为.【答案】20☺题型二、全等三角形的性质和判定【例3】(2016永州)如图1，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB=AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE ≌△ACD （）图1 图2A.∠B=∠CB. AD=AEC. BD=CED. BE=CD【答案】D【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．【例4】(2016某某)如图2，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=．【答案】120°【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°，【举一反三】7.(2016某某)如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A.∠A=∠DB.BC=EFC.∠ACB=∠FD. AC=DF 【答案】D【分析】解：∵∠B=∠DEF ，AB=DEA 、如果添加∠A=∠D ，利用ASA 即可证明△ABC ≌△DEF ；B 、如果添加BC=EF ，利用SAS 即可证明△ABC ≌△DEF ； C 、如果添加∠ACB=∠F ，利用AAS 即可证明△ABC ≌△DEF ；D 、如添AC=DF ，因为SSA ，不能证明△ABC ≌△DEF ，所以此选项不能作为添加的条件．8.(2016某某)如图，点D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，FC∥AB 求证：AE=CE ．【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF ，∠ADE=∠CFE ，再根据全等三角形的判定定理AAS, 得出△ADE ≌△CFE ，证明：∵FC ∥AB ，∴∠A=∠ECF ，∠ADE=∠CFE ，在△ADE 和△CFE 中，DAE FCE ADE CFE DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△CFE （AAS ）， ∴AE=CE ．9.(2016某某)如图，在△ABC 和△CED 中，AB∥CD ，AB=CE ，AC=CD ．求证：∠B=∠E．【分析】根据两直线平行，内错角相等,可得∠BAC=∠ECD ，再利用“边角边”证明△ABC 和△CED 全等.证明：∵AB ∥CD ， ∴∠BAC=∠ECD ，在△ABC 和△CED 中，AB CE BAC ECD AC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△CED （SAS ）， ∴∠B=∠E ．☞【巩固提升自我】☜1.（2016湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm ，另一边长为5cm ，那么这个等腰三角形的周长是（）A. 13cmB. 14cmC. 13cm 或14cmD. 以上都不对【答案】C2.（2016某某）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10. DE 垂直平分AC 交AB于点E ，则DE 的长为（） A. 6B. 5C. 4D. 3图2图3【答案】D3.（2016某某）如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你添加一个适当的条件：____________________，使△AEH ≌△CEB ．【答案】AH=CB 或EH=EB 或AE=CE4.（2015某某）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（） A.10 B.14 C.10或14 D.8或10 【答案】B5.（2015某某）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是三条边上的点，EF ∥AC ，DF ∥AB ，∠B=45°，∠C=60°．则∠EFD=（）A. 80°B. 75°C. 70°D. 65° 【答案】B解：∵EF ∥AC ，∴∠EFB=∠C=60°，∵DF ∥AB ，∴∠DFC=∠B=45°， ∴∠EFD=180°﹣60°﹣45°=75°6.（2014某某）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A. 17B.15C. 13D. 13或17 【答案】A解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．7.（2016某某）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．证明：因为BE＝CF所以BC＝EF，又因为AB＝DE，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF（SSS），则∠B=∠DEF，∴AB∥DE。

2021年九年级数学中考复习——几何小专题：三角形综合之解答题专项(三)

2021年九年级数学中考复习——几何小专题：三角形综合之解答题专项（三）1．我们可以沿直角三角形纸片的斜边中线把它剪成两个等腰三角形．【初步思考】（1）任意三角形纸片都可以剪成4个等腰三角形，在图①中画出分割线，并作适当的标注；【深入思考】（2）任意三角形纸片都可以剪成5个等腰三角形，在图②中画出分割线，并作适当的标注；【回顾反思】（3）在把一个三角形纸片剪成5个等腰三角形时，我们发现图②中的分割方法不能用于等边三角形．因此，我们需要为等边三角形想一种分割方案，请在图③中画出分割线，并作适当的标注；（4）我们发现，不是所有三角形纸片都能剪成3个等腰三角形．当∠A＝110°，∠B为多少度时，△ABC能被剪成3个等腰三角形，请画出两种分割方案，并标注∠B和∠C的度数．2．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程．【类比探究】（1）如图②，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，点M，N分别在OB和OA上，连接PM和PN，若∠PMO+∠PNO＝180°，求证：PM＝PN；（2）如图③，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，若∠ABC＝60°，∠C＝45°，DC＝，直接写出△ABD的面积．3．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．（1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．①求证：BD＝CM；②若∠CMD＝90°，求的值；（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE的长．4．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是；（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．5．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AE交AE延长线于点D，连接CD，过点C作CF⊥CD交AD于F．（Ⅰ）如图①，（1）求∠EBD的度数；（2）求证AF＝BD；（Ⅱ）如图②，DM⊥AC交AC的延长线于点M，探究AB、AC、AM之间的数量关系，并给出证明．6．在平面直角坐标系中，已知A（x，y），且满足x2+6x+y2﹣6y+18＝0，过点A作AB⊥y 轴，垂足为B．（1）求A点坐标；（2）如图1，若分别以AB、AO为边作等边△ABC和等边△AOD，试判定线段AC和CD的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图2，若在x轴正半轴上取一点M，连接BM并延长至N，以BN为直角边作等腰Rt△BNE，∠BNE＝90°，过点A作AF∥y轴交BE于点F，连接MF，设OM＝a，MF＝b，AF ＝c，试证明：＝．7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且|m﹣n﹣3|+（2n﹣6）2＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）OA＝，OB＝．（2）连接PB，若△POB的面积为3，求t的值；（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样点P，使△EOP≌△AOB，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，作DE⊥AB于点E．（1）如图1，当AC＝6，AB＝10时，求△ACD的面积；（2）如图2，当∠B＝45°，取AD中点为F，连接FC，EF，CE，试判断△CEF的形状，并说明理由；（3）如图3，取AD中点为F，当∠B＝x°，∠CFE＝y°，确定两者之间的函数关系式．9．在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，4），点C是x轴负半轴上的一动点，连接BC，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，交y轴于点E．（1）如图（1），若OC＝2，求点E的坐标；（2）如图（2），若OC＜4，连接DO，求证：DO平分∠ADC．（3）若OC＝m＞4，∠BCO＝30°，过O作OG⊥BC于G，CG＝n，则△OCD的面积为．10．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD．（1）如图1，当点E为AB的中点时，求证EC＝ED；（2）如图2，当点E不是AB的中点时，过点E作EF∥BC．①求证△AEF是等边三角形；②EC与ED还相等吗？请说明理由．参考答案1．解：（1）如图①，EB＝ED，EA＝ED，FA＝FD，FC＝FD；（2）如图②，EB＝ED，EA＝ED，FA＝FC，GA＝GD，GF＝GD；（3）如图③，EB＝ED，EA＝ED，FA＝FC，GF＝GD，GC＝GD；（4）第一种分割方案如图④，DA＝DB，EA＝ED，EA＝EC；第二种分割方案如图⑤DA＝DC，EB＝ED，EA＝ED．2．【问题解决】证明：在△OPE和△OPD中，，∴△OPE≌△OPD（AAS），∴PD＝PE；【类比探究】（1）证明：如图②，过点P作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∵OC是∠AOB的平分线，PE⊥OB，PF⊥OA，∴PE＝PF，∵∠PMO+∠PME＝180°，∠PMO+∠PNO＝180°，∴∠PME＝∠PNO，在△PME和△PNF中，，∴△PME≌△PNF（AAS），∴PM＝PN；（2）解：如图③，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，在Rt△DHC中，∠C＝45°，DC＝，∴DH＝DC＝1，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BD＝2HD＝2，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣60°﹣45°＝75°，由三角形的外角性质可知，∠BDA＝∠DBC+∠C＝75°，∴∠BDA＝∠A，∴BA＝BD＝2，∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DH⊥BC，∴DG＝DH＝1，∴△ABD的面积＝×AB×DG＝×2×1＝1．3．（1）①证明：如图1，∵∠BAC＝∠DAM＝120°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAM﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAM，∵AB＝AC，AD＝AM，∴△ABD≌△ACM（SAS），∴BD＝CM；②解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝30°，由①知：△ABD≌△ACM，∴∠ACM＝∠B＝30°，∴∠DCM＝60°，∵∠CMD＝90°，∴∠CDM＝30°，∴CM＝CD，∵BD＝CM，∴＝；（2）解：解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，Rt△CEG中，∠C＝30°，CE＝1，∴EG＝CE＝，CG＝，∵AC＝AB＝2，∴AG＝AC﹣CG＝2﹣＝，∵AF⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴AF＝AC＝，∵∠DAE＝∠FAC＝60°，∴∠DAF＝∠EAG，∵∠AFD＝∠AGE＝90°，∴△ADF∽△AEG，∴，即＝，∴DF＝，由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2＝AG2+EG2，∴，解得：EF＝2或﹣2（舍），∴DE＝DF+EF＝+2＝；解法二：如图3，线段AD绕点A逆时针旋转120°到AM，连接CM，EM，过M作MQ⊥BC 于Q，由（1）同理得△ABD≌△ACM，∴∠ACM＝∠B＝30°＝∠ACB，∠BAD＝∠CAM，∴∠MCQ＝60°，Rt△QMC中，CQ＝CM，设CQ＝x，则CM＝2x，QM＝x，∴EQ＝x﹣1，∵∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，∴∠BAD+∠EAC＝∠EAC+∠CAM＝60°，∴∠DAE＝∠EAM，∵AD＝AM，AE＝AE，∴△ADE≌△AME（SAS），∴EM＝DE＝5﹣2x，由勾股定理得：EM2＝EQ2+QE2，∴（x）2+（x﹣1）2＝（5﹣2x）2，解得：x＝，∴DE＝5﹣2x＝．4．解：（1）∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABC和△ADE均是等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵∠CDE＝60°，∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∵∠CED＝60°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，故答案为：60°，BE＝AD；（3）AE＝BE+2CM，理由：同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝45°，∴∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．5．解：（Ⅰ）①∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝＝，∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∵∠AEC＝∠BED，∴∠EBD＝∠CAE＝22.5°．②∵CF⊥CD，∴∠FCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠FCE＝∠BCD+∠FCE，即∠ACF＝∠BCD，由①得∠EBD＝∠CAE＝22.5°，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF＝BD；（Ⅱ）AB、AC、AM之间的数量关系为AB+AC＝2AM．证明：如图所示，过点D作DH⊥AB于点H，∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DH⊥AB，∴DM＝DH，∵△ACF≌△BCD，∴CF＝CD，又∵CF⊥CD，∴∠CFD＝45°，∵∠CAE＝22.5°，∴∠FCA＝22.5°，∴AF＝CF，由②得AF＝BD，∴DC＝DB，在Rt△CDM和Rt△BDH中，，∴Rt△CDM≌Rt△BDH（HL），∴CM＝BH，在Rt△ADM和Rt△ADH中，，∴Rt△ADM≌Rt△ADH（HL），∴AM＝AH，∴AB+AC＝AH+BH+AC＝AM+CM+AC＝AM+AM＝2AM．∴AB、AC、AM之间的数量关系为AB+AC＝2AM．6．解：（1）∵x2+6x+y2﹣6y+18＝0，∴（x+3）2+（y﹣3）2＝0，∴x+3＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣3，y＝3，∴点A的坐标为（﹣3，3）；（2）CD＝AC，CD⊥AC．理由如下：∵△ABC和△AOD为等边三角形，∴AB＝AC，AO＝AD，∠DAO＝∠CAB＝60°，∴∠DAO﹣∠CAO＝∠CAB﹣∠CAO，∴∠DAC＝∠OAB，∴△DAC≌△OAB（SAS），∴CD＝OB，∠ACD＝∠ABO＝90°，由（1）可知BO＝AB＝3，又∵AB＝AC，∴CD＝OB＝AB＝AC，且CD⊥AC，（3）证明：在AF上取一点P，使得AP＝OM＝a，连接BP，∵AB＝BO，AP＝OM，∠PAB＝∠MOB＝90°，∴△BAP≌△BOM（SAS），∴∠ABP＝∠OBM，BP＝BM，∵∠ABP+∠PBO＝90°，∴∠OBM+∠PBO＝90°，又∵△BEN为等腰直角三角形，∴∠FBN＝45°，∴∠PBF＝90°﹣45°＝45°＝∠FBN，又∵BF＝BF，∴△FBP≌△FMB（SAS），∴FP＝FM＝b，∴AF＝FP+AP，即c＝a+b．∴．7．解：（1）∵|m﹣n﹣3|+（2n﹣6）2＝0，|m﹣n﹣3|≥0，（2n﹣6）2≥0，∴|m﹣n﹣3|＝0，（2n﹣6）2＝0，∴m﹣n﹣3＝0，2n﹣6＝0，解得，m＝6，n＝3，∴OA＝6，OB＝3，故答案为：6；3；（2）当点P在线段AO上时，OP＝6﹣t，则×（6﹣t）×3＝3，解得，t＝4，当点P在线段AO的延长线上时，OP＝t﹣6，则×（t﹣6）×3＝3，解得，t＝8，∴当t＝4或8时，△POB的面积等于3；（3）如图1，当点P在线段AO上时，∵△POE≌△BOA，∴OP＝OB，即6﹣t＝3，解得，t＝3，如图2，当点P在线段AO的延长线上时，∵△POE≌△BOA，∴OP＝OB，即t﹣6＝3，解得，t＝9，∴当t＝3或9时，△POQ与△AOB全等．8．证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝＝8，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AD＝AE＝6，BE＝4，令CD＝x，则DE＝x，DB＝8﹣x，∵DE2+BE2＝BD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴DE＝3，＝AC•CD＝×6×3＝9．∴S△ACD（2）解：△CEF为等腰直角三角形．∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∵∠ACB＝90°，F为AD的中点，∴CF＝AF＝DF＝EF＝AD，∴∠CAF＝∠ACF，∠FAE＝∠AEF，∵∠B＝45°，AD平分∠CAB，∴∠CAF＝∠EAF＝22.5°，∴∠CFD＝∠ACF+∠CAF＝2∠CAF＝45°，∠EFD＝∠EAF+∠AEF＝2∠EAF＝45°，∵∠CFE＝∠CFD+∠EFD＝2∠CAF+2∠CAF＝90°，∴△CEF为等腰直角三角形．（3）由（2）知∠CFE＝2∠CAF+2∠CAF＝2∠CAB＝2（90°﹣x），∴y＝2（90﹣x）＝180﹣2x．9．（1）解：∵∠ADC＝90°，∴∠BCO+∠DAC＝90°，∵∠AOE＝90°，∴∠AEO+∠DAC＝90°，∴∠BCO＝∠AEO；∵点A（4，0），B（0，4），∴OA＝OB，在△BOC和△AOE中，，∴△BOC≌△AOE（AAS），∴OE＝OC＝2，∴点E的坐标为（0，2）；（2）证明：如图（2），作OG⊥BC于G，OH⊥AE于H，∵△BOC≌△AOE，OG⊥BC，OH⊥AE，∴OG＝OH，又OG⊥BC，OH⊥AE，∴DO平分∠ADC；（3）解：画出图形，如图（3），∵△BOC≌△AOE，∴OE＝OC＝m，∠BCO＝∠AEO＝30°，∵OB＝4，∴BE＝m﹣4，∴BD＝BE＝﹣2，BG＝OB＝2，∴BC＝n+2，∵∠BCO＝30°，∴OB＝BC，∴4＝（n+4），∴n＝6，在△COG中，∠OCG＝30°，∴OG＝OC＝，＝CD×OG＝，∴S△COD＝＝m．故答案为：m．10．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∵E是AB的中点，∴AE＝BE，∠ECB＝∠ACB＝30°，∵AE＝BD，∴BE＝BD，∴∠EDB＝∠DEB＝∠ABC＝30°，∴∠EDB＝∠ECB，∴EC＝ED．（2）①证明：∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，∴△AEF是等边三角形．②解：ED＝EC．理由如下：∵△AEF是等边三角形．∴∠AFE＝∠ABC＝60°∴∠EFC＝∠DBE＝120°，又∵AE＝BD，AB＝AC，∴BD＝EF，BE＝FC，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴ED＝EC．。

初中数学九年级下册《第15讲三角形的基本知识及全等三角形》知识点归纳

第15讲一般三角形及其性质如图④，BO 、CO 分别为∠CBD 、∠BCE 的平分线，则∠O=90°-12∠A.知识点二：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角. 7.三角形全等的判定一般三角形全等 SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE=3.数学选择题解题技巧1、排除法。

是根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下唯一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。

排除法是解选择题的间接方法，也是选择题的常用方法。

2、特殊值法。

即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。

用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。