辽宁省凌海市石山初级中学2017-2018学年高一数学：每
辽宁省凌海市石山初级中学2017-2018学年高二数学(通用版)寒假作业：每日一题——第11题 Word版含答案
高二数学寒假每日一题-第11题11．已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰直角三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF＝90°，AB＝BF＝2AE＝2．(1)若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD．(2)线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．【答案】11．(1)证明：因为DA⊥AE，DA⊥AB，AB∩AE＝A，所以DA⊥平面ABFE，故CB⊥平面ABFE．以B为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则F(0，2，0)，D(2，0，1)，G，E(2，1，0)，C(0，0，1)，所以＝．易知平面ABCD的一个法向量n＝(0，1，0)，所以·n＝·(0，1，0)＝0，所以⊥n．又EG⊄平面ABCD，所以EG∥平面ABCD．(2)当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于．因为＝(2，－2，1)，＝(2，0，0)，设平面FCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由得取y1＝1，得平面FCD的一个法向量n1＝(0，1，2)．假设线段DF上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角α的正弦值等于．设＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ(2，－2，1)＝(2λ，－2λ，λ)，＝＋＝(2λ，2－2λ，λ)，所以sinα＝|cos<，n1>|＝＝＝＝，所以9λ2－8λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－(舍去)．因此线段DF上存在一点N，当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于．。
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高二数学寒假每日一题-第12题
12．如图，球O内接四面体ABCD，AB为球O的直径，平面BCD截球得圆O′，BD为圆O′的直径，C为圆O′上一点，AD⊥平面BCD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM 的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．
(1)证明：PQ∥平面BCD；
(2)若二面角C－BM－D的大小为60°，求∠BDC的大小．
【答案】
12．(1)连接PO′，由中位线易知PO′∥AD，从而PO′⊥平面BCD．
如图，以O′为原点，O′D，O′P所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O′－xyz．
由题意知A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．
设点C的坐标为(x0，y0，0)，
因为＝3，所以Q(x0，＋y0，) ．
因为M为AD的中点，故M(0，，1)．又P为BM的中点，
故P，
所以＝．
又平面BCD的一个法向量为u＝(0，0，1)，·u＝0，PQ⊄平面BCD，
所以PQ∥平面BCD．
(2)解：设m＝(x，y，z)为平面BMC的一个法向量．
由＝(－x0，－y0，1)，＝(0，2，1)，
可知取y＝－1，得m＝．又平面BDM的一个法向量为n＝(1，0，0)，
于是|cos<m，n>|＝＝＝，即＝3．①
又BC⊥CD，所以·＝0，
故(－x0，－－y0，0)·(－x0，－y0，0)＝0，即x＋y＝2．②
联立①②，结合点C在圆O′上(|y0|≤) 解得
所以＝，＝，
||＝，||＝，
所以tan∠BDC＝＝．
又∠BDC是锐角，所以∠BDC＝60°．。