高三数 1.7 定积分的应用和导数及其应用小结

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高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用1

活学活用 3.一点在直线上从时刻 t＝0(t 的单位：s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(v 的单位：m/s)运动，求： (1)在 t＝4 s 时的位置； (2)在 t＝4 s 时运动的路程．
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解：(1)在 t＝4 s 时该点的位移为
04(t2－4t＋3)dt＝31t3－2t2＋3t
类题通法解决变力做功应关注两点 (1)首先将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步； (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．
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活学活用 4.设有一长 25 cm 的弹簧，若加以 100 N 的力，则弹簧伸长到 30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 所做的功．
由两条曲线 y＝f(x)，y＝g(x)和直线 x＝a，x＝b(b>a)
所围图形的面积．
(1)如图①所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面积
S＝20_21_/12_/ab9[_f_(x_)_－__g_(x_)_]_d_x__.
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(2)如图②所示，f(x)>0，g(x)<0，所以所求面积 S＝abf(x)dx＋abg(x)dx＝__ab_[_f(_x_)－__g__(x_)_]d_x__.
0
0
＝3[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx 0
＝03(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x2
3 0
＝92.
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类题通法
求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤
(1)画出图形；

高中数学第一章导数及其应用 1.7 定积分的简单应用(

高中数学第一章导数及其应用 1.7 定积分的简单应用（第2课时）课堂探究新人教A 版选修2-2探究一求变速直线运动的路程、位移求做变速直线运动物体位移与路程的方法(1)做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念，位移是指物体位置的改变，位移不但有大小，而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点运动时所经过的实际路径的长度，路程只有大小，没有方向，是个标量(或数量)．(2)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )＞0，则运动物体的路程为s ＝b a ⎰v (t )d t ；若v (t )＜0，则运动物体的路程为s ＝ba ⎰|v (t )|d t ＝ba -⎰v (t )d t .(3)物体做变速直线运动时，经过的位移s ，等于其速度v ＝v (t )在时间区间[a ，b ]上的积分，即ba ⎰v (t )d t .【典型例题1】有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求：(1)点P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移；(2)点P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．思路分析：(1)→确定积分区间→求t ＝6时的路程以及位移(2)→ 解：(1)由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s 1＝40⎰(8t －2t 2)d t －64⎰(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 340|－⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 364|＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为60⎰(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 360|＝0. (2)依题意0t⎰(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6， t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，所以t ＝6是所求的值．探究二求变力做功求变力做功的方法步骤(1)首先要明确变力的函数式F (x )＝kx ，确定物体在力的方向上的位移．(2)利用变力做功的公式W ＝ba ⎰F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．【典型例题2】一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力——位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，力F (x )做的功．思路分析：先根据图象确定力关于位移的函数关系式，再利用定积分求解．解：由力——位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10，0≤x ≤2，3x ＋4，2<x ≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x＝4处力F (x )做的功为20⎰10d x ＋42⎰(3x ＋4)d x ＝10x 20|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42|＝46(J)．探究三易错辨析易错点：忽视单位换算导致计算错误【典型例题3】设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．错解：由题意知F (x )＝kx ，由已知x ＝5时，F (5)＝100，∴5k ＝100，∴k ＝20，∴F (x )＝20x .∴弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功W ＝150⎰20x d x ＝10x 2150|＝10×152＝2 250(J)．错因分析：没有将位移单位换算成米，导致功的单位不是焦耳．正解：设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意，得F(x)＝kx，且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N，即0.05k＝100，∴k＝2 000.∴F(x)＝2 000x.∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为2 000x d x＝1 000x20.150|＝22.5(J)．W＝0.15。

高三数学总复习知识梳理之六(导数及其应用)

高三复习知识梳理之四：导数及其应用（含定积分）【考点综述】本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则，为基础层面；第二层次是导数的简单应用，包括求单调区间、函数的极值、证明函数的增减性等，为导数应用的重点层次，以求导考察单调性为突破口；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的思想方法，这类问题用传统教材是难以甚至无法解决的；为导数应用的较高层次，用于设计压轴题，突出导数应用的灵活性与思想方法的交汇性。

预测：重点放在第二层次，已向第三层次进军（还常设计压轴题）！即：考查对导数本质的理解和计算，并力求结合应用问题，已经表现出逐步加深与综合考查的趋势，如已涉及理论探讨和较为严格的逻辑证明。

【重点知识】1. 平均变化率及瞬时变化率：(1) 函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率：yx ∆∆()()11f x x f x x +∆-=∆()()2121.f x f x x x -=- （2）函数f(x)在x 0处的瞬时变化率：x yx ∆∆→∆0lim =()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim =()().lim 000x x x f x f x x --→ 2. 导（函）数的定义：（1）．)(x f 在点x 0处可导⇔()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim 存在 ⇔()()000lim x f x x f x x+∆→+∆-∆、()()x x f x x f x ∆-∆+-→∆000lim 都存在且相等。

（2）．)(x f 在一点x=x 0处的导数为=')(0x f x yx ∆∆→∆0lim =()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim =()().lim 000x x x f x f xx --→ （3）．若对任意()b a x ,∈都有x y x f x ∆∆='→∆lim )(=()()xx f x x f x ∆-∆+→∆0lim 成立，则函数)(x f 在区间()b a ,上可导；在端点a 、b 处判断是否可导的方法是：若0lim x y x+∆→∆∆存在，则)(x f 在（a,b]上可导；若在x y x ∆∆-→∆0lim 存在，则)(x f 在[a,b ）上可导；若x y x ∆∆+→∆0lim ，xy x ∆∆-→∆0lim 都存在，则)(x f 在[a,b]上可导。

1.7定积分的简单应用

∫
b
a
f (x)dx = S1 − S2 + S3
S1 S2
S3
类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b) 类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b) 1.求由一条曲线y=f(x)和直线及x轴所围成平面图形的面积S 轴所围成平面图形的面积S
y
y = f (x)
π
x
∫
2
−
π
2
f ( x)dx = A2 − A1 = 0
由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解
2
练习. 求抛物线y=x 直线x=2 y=0所围成的 x=2，练习. 求抛物线y=x -1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。图形的面积。
1=0得到抛物线与得到抛物线与x 解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴如图：的交点坐标是( 1,0)，(1,0).所求面积的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：如图阴影所示：所以：所以：
∫
1
2
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) 作出示意图;(弄清相对位置关系 (2)求交点坐标;(确定积分的上限下限) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) 求交点坐标;(确定积分的上限, (3)确定积分变量及被积函数; (3)确定积分变量及被积函数; 确定积分变量及被积函数 (4)列式求解. (4)列式求解. 列式求解
1.7定积分的简单应用定积分的简单应用
一、复习
平面图形的面积: 1.平面图形的面积:

高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用课件

交点的横坐标为 1，
故所求面积 S＝S1＋S2＝ (x ＋1)dx＋
1 2 3 10 3x－ x |1＝ . 2 3
1 0
2
3 1
1 3 1 (3－x)dx＝3x ＋x|0＋
图形面积需分割求解的解题技巧由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线可能不同．求解时，根据图形，求出需用到的曲线交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是“上减下”．
0 0
－3x2)dx＝(3x2－x3)|2 0＝4.
探究点 2 需分割型图形面积的求法求由曲线 y＝x2＋1，直线 x＋y＝3，x 轴，y 轴所围成的平面图形的面积．
【解】作出曲线 y＝x2＋1，直线 x＋y＝3 的草图，如图所示，
x＋y＝3，所求面积为图中阴影部分的面积，由得第一象限中 2 y＝x ＋1
b a
[f(x)－g(x)]dx
2．定积分在物理中的应用 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v a s＝ v(t)dt b ＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即____________ ． (2)一物体在恒力 F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F 相同的方向移动了 s(单位：m)，则力 F 所做的功为
1 2 1 2
1
3
探究点 4
利用定积分求变力做功问题
36 一物体在变力 F(x)＝ 2 (N)作用下沿坐标平面内 x 轴正 x 方向由 x＝8(m)处运动到 x＝18(m)处，求力 F(x)所做的功．
【解】
如图，阴影部分的面积即 F(x)所做的功．

人教版高中数学第一章1.7-1.7.2定积分在物理中的应用

4．一物体以速度 v＝3t2＋2t(单位：m/s)做直线运动，则它在 t＝0 到 t＝3 时间段内的位移是________ m.
解析：s＝∫30(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)|30＝33＋32＝36(m)．
答案：36
5．一列车沿线轨道前进，刹车后列车速度 v(t)＝ 27－0.9 t(单位：m/s)，则列车刹车后前进________ m 才能停车．
解：由 x＝8t3 得 v＝(8t3)′＝24t2，
1
当 x＝0 时，t＝0；当 x＝1 时，t＝183＝12，又阻力 F＝7v2，
[变式训练] 设有一长 25 cm 的弹簧，若加以 100 N 的力，则弹簧伸长到 30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 所做的功．
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举一反三，事半功倍。
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谢谢欣赏！
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的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
2．变力 F(x)的大小随物体是位置变化而变化，因此， F(x)在[a，b]上所做的功等于变力函数在位移区间[a，b] 上的定积分．
3．用定积分解决简单的物理物体时，要结合物理学中的相关内容，将物理物体转化为能用定积分解决的问题．

高三定积分知识点总结

高三定积分知识点总结高三阶段，定积分是数学学科中重要的一部分，掌握定积分的知识点对学生来说至关重要。

在这篇文章中，我将对高三阶段定积分的知识点进行总结和归纳，以便帮助同学们更好地复习和掌握这一部分内容。

一、定积分的概念定积分是微积分的重要概念之一，它可以理解为曲线与坐标轴之间的有界区域的面积。

定积分的基本概念包括定积分的上下限、积分区间的分割以及极限等。

二、定积分的计算方法1. 函数的原函数在计算定积分的过程中，首先需要找到被积函数的原函数，也就是导函数。

通过求导反过来求解原函数，即可得到被积函数的原函数。

2. 定积分的基本计算方法定积分的基本计算方法包括积分的线性性质、定积分的区间可加性、换元积分法等。

这些方法能够简化定积分的计算过程，使得计算更加方便快捷。

3. 特殊函数的定积分计算对于一些特殊函数，如指数函数、对数函数、三角函数等，需要掌握相应的定积分计算公式和技巧，以便能够快速准确地计算出定积分的结果。

三、定积分的应用1. 几何应用定积分在几何中有着广泛的应用。

通过定积分，可以计算曲线和坐标轴之间的面积、曲线的弧长以及曲线的旋转体体积等几何问题。

2. 物理应用定积分在物理学中也有着重要的应用。

例如，通过定积分可以计算物体的质量、质心位置、重心位置以及力学和流体力学中的有关问题。

3. 经济和金融应用定积分在经济学和金融学中也有广泛的应用。

例如，通过定积分可以计算收益曲线下的总收益、消费曲线下的总消费等经济和金融问题。

四、定积分的性质1. 积分的性质定积分具有线性性质、区间可加性、保号性等性质。

这些性质在定积分的计算过程中起到了重要的作用，可以帮助我们更好地理解和运用定积分。

2. 无穷定积分无穷定积分是定积分的一种特殊形式，其中上下限存在无穷大的情况。

掌握无穷定积分的计算方法和性质，可以更好地解决一些复杂的数学问题。

五、定积分的应用举例在高三阶段，定积分的应用举例如下：1. 计算曲线下的面积，如椭圆的面积、抛物线的面积等；2. 计算曲线的弧长，如圆的弧长、正弦曲线的弧长等；3. 计算平面图形的重心位置和质心位置，如矩形的质心位置、三角形的重心位置等；4. 计算物体的质量和质量分布情况，如线密度、面密度和体密度的计算等。

高中数学第一章导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用2

预习自测 1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线 y＝sin x，x∈2π，2π，与 x 轴围成的图形的面积为 2π sin xdx.( × ) π
2
(2)曲线 y＝x3 与直线 x＋y＝2，y＝0 围成的图形面积为
1x3dx＋2(2－x)dx.( √ )
0
1
(3)曲线 y＝3－x2 与直线 y＝－1 围成的图形面积为
2
(4－x2)dx.(
√
)
-2
教材整理 2 定积分在物理中的应用 1．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v ＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即
s＝
bv(t)dt
a
.
2．变力做功如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，那么变力 F(x)
运动到 x＝3 m 时 F(x)做的功为多少 J.
【答案】
W＝3F(x)cos 1
60°dx＝1312F(x)dx
＝1312(5－x2)dx＝125x－13x3| 13＝23(J)．
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，
当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故 t＝6 时，点 P 离开原点的路程为
s＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t340 －4t2－23t364 ＝1328.
当 t＝6 时，点 P 的位移为06(8t－2t2)dt＝4t2－23t360 ＝0.
a[f(x)－g(x)]dx
0
0
__0 _____________.

高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用优化练习新人教A版选

2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用优化练习新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用优化练习新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用优化练习新人教A版选修2-2的全部内容。

1.7.1 定积分在几何中的应用［课时作业］［A组基础巩固］1．曲线y＝x3与直线y＝x所围封闭图形的面积S等于( ）A。

错误!(x－x3）d x B. 错误! (x3－x）d xC．2错误!错误!0(x－x3）d x D．2错误!（x－x3）d x解析：如图,阴影部分的面积S＝2错误!（x－x3)d x.故选C.答案：C2．已知函数y＝x2与y＝kx（k〉0）的图象所围成的封闭区域的面积为错误!，则k＝（）A．3 B．2C．1 D。

错误!解析：由错误!消去y得x2－kx＝0,所以x＝0或x＝k,则所求区域的面积为S＝错误!（kx－x2)d x＝错误!错误!＝错误!＝错误!，则k3＝27,解得k＝3。

答案:A3．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积S为( )A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!解析：作出曲线y＝x2，y＝x3的草图，所求面积即为图中阴影部分的面积．解方程组错误!得曲线y＝x2,y＝x3交点的横坐标为x＝0及x＝1。

高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用

＝－36x－1188 ＝(－36×18－1)－(－36×8－1) ＝(－2)－－92＝52. 所以 F(x)所做的功为52 J.
第二十八页，共四十三页。
求变力做功的方法步骤 (1)首先要明确变力的函数式 F(x)，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式 W＝bF(x)dx 计算．
第九页，共四十三页。
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当 f(x)＜0 时，f(x)与 x＝a，x＝b(a<b)及 x 轴所围图形的面积
为bf（x）dx.(
)
a
(2) 在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为
正．( )
(3)在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向．( )
3(m/s)运动，求： (1)在 t＝4 s 时的位置； (2)在 t＝4 s 时运动的路程．【解】 (1)在 t＝4 s 时该点的位置为 40(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t |40＝43(m)，即在 t＝4 s 时该点距出发点43 m.
第二十二页，共四十三页。
(2)因为 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
—时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算曲
边梯形的面积得到路程；若速度—时间函数是分段函数，要利
用定积分的性质进行分段积分再求和．
(3)注意路程与位移的区别．
第二十四页，共四十三页。
1.一质点运动的速度与时间的关系为 v(t)＝t2－t ＋2，质点做直线运动，则它在 t∈[1，2]内的位移为________．解析：由定积分的意义知，质点在 t∈[1，2]内的位移为 21(t2－t＋2)dt＝13t3－12t2＋2t|21＝167. 答案：167

高考定积分知识点总结

高考定积分知识点总结定积分是高等数学中的重要内容之一，也是高考数学考试中常见的题型。

本文将对高考中常见的定积分知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地准备考试。

一、定积分的基本概念定积分是对一个区间上的函数进行求和的过程。

区间可以是有限区间，也可以是无限区间。

定积分的计算可以看作是曲线下的面积，也可以理解为函数的反导数。

二、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，包括线性性质、区间可加性、保号性等。

这些性质在定积分的计算和性质分析中起到了重要作用。

三、定积分的计算方法在高考中，求定积分通常通过几种基本的计算方法来完成，包括换元法、分部积分法、定积分的性质等。

不同的计算方法适用于不同的函数和题目类型，需要根据具体情况选择合适的方法。

四、定积分的应用定积分在数学中有广泛的应用。

在高考中，常见的应用包括计算面积、求曲线的弧长、求平均值等。

理解和掌握这些应用可以帮助我们更好地解决与定积分相关的题目。

五、典型题目解析以下是一些高考中常见的定积分题目及其解析，供同学们参考和练习：例题一：计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx解析：根据定积分的计算公式，我们有∫(0 to 1) x^2 dx = [x^3/3] (0 to 1) = 1/3例题二：计算不定积分∫(2 to 5) (2x+1) dx解析：根据定积分的计算公式，我们有∫(2 to 5) (2x+1) dx = [x^2+x] (2 to 5) = (5^2+5) - (2^2+2) = 24例题三：求函数f(x)=2x在区间[0，3]上的平均值。

解析：函数的平均值可以通过定积分来计算，平均值=1/(b-a) * ∫(a to b) f(x) dx = 1/(3-0) * ∫(0 to 3) 2x d x = 1/3 * [x^2] (0 to 3) = 1/3 * (3^2-0^2) = 3通过以上例题解析，我们可以看到定积分的计算方法和应用的具体过程，希望同学们通过练习更加熟练掌握这些知识点。

高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用说课稿新人教版

1.7定积分的简单应用一、教材地位、作用分析：《定积分的简单应用》选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2第一章第七节。

本节课内容是在学生理解掌握定积分的概念，性质，定理基础之上，来应用定积分解决实际问题。

本章内容在考纲中只要求理解定义并能简单应用,但是根据近几年高考在学科整合处加大考察力度的命题的趋势，结合定积分在物理和化学反应速率中的重要应用,所以我认为本节课在教学中应该引起足够重视，值得在教学中深入研究，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值，注意到定积分在物理化学等多领域的广泛应用，使学生“形成用数学的意识”，更重要的是为学生在高等学校进一步学习奠定基础。

二、教学重点、难点分析：本节重点：应用定积分解决平面图形的面积，变速直线运动的路程和变力做功等问题；本节难点：“理解积分的思想——无限求和”，即“分割、近似代替、求和、取极限”重点的确定是根据课程标准和考试大纲的要求，更是由积分的工具性所决定；难点的确定主要是因为微积分思想不同于前面学习过的函数与方程思想、数形结合思想等基本的思想方法，在学生的头脑中并没有与之相联系的认知结构，要想深刻理解只有将头脑中原有的认知结构加以改组和顺应，而这种改组和顺应要在短短几节课内完成是很难的，所以，它将成为本节的难点所在。

难点的突破我一方面是借助于多媒体计算机的使用，使用直观演示，数据的无穷逼近让学生从感性上去直观感受；另一方面借助于学科之间的融合，借助于学生对于物理中变速运动和变力做功这些有知识的理解来帮助体会积分思想。

三、教学目标分析：1、知识与技能目标：（1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题；（2）学会将实际问题化归为定积分的问题。

2、过程与方法目标：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。

3、情感态度与价值观目标：（1）认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点；（2）培养将数学知识应用于生活的意识。

定积分应用知识点总结

定积分应用知识点总结1. 定积分的概念定积分是微积分学中的一个重要概念，用于求解曲线下面积或者曲线围成图形的面积。

在实际问题中，定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积、质心、弧长、体积、工作、功等物理量。

2. 定积分的计算定积分的计算可以通过积分的定义或者牛顿-莱布尼茨公式来进行。

积分的定义是将一个曲线f(x)在区间[a,b]上分成无穷多段，每一段的面积为f(x)与x轴之间的面积的无限和，然后通过极限的方法求得。

而牛顿-莱布尼茨公式则是通过原函数的求导与积分的关系，直接求出定积分的值。

3. 定积分的性质定积分有很多重要的性质，包括线性性质、区间可加性、保号性等。

这些性质在定积分的计算和应用中起到了非常重要的作用，可以简化定积分的计算过程。

4. 定积分的应用定积分在实际问题中有着广泛的应用，例如可以用来求解曲线围成的图形的面积、计算质心、弧长、体积、工作、功等物理量。

在工程、物理、经济学等领域都有着重要的应用价值。

5. 定积分的计算技巧对于一些特定的函数，可以通过一些积分的技巧来简化定积分的计算，例如换元积分法、分部积分法等。

这些技巧可以帮助我们更快速、准确地求解定积分。

在实际问题中，我们经常会遇到需要利用定积分来计算一些物理量或者解决一些实际问题，下面我们通过一些实际例子来解释定积分的应用知识点。

1. 计算物体的质心在物理学中，质心是一个非常重要的概念，它可以帮助我们确定物体的平衡位置。

对于一个均匀密度的物体，我们可以通过定积分来计算它的质心位置。

假设物体在x轴上的密度分布函数为ρ(x)，则物体的质心位置可以通过如下公式计算得出：\[X=\frac{\int_{a}^{b}xρ(x)dx}{\int_{a}^{b}ρ(x)dx}\]其中，\(\int_{a}^{b}xρ(x)dx\)表示物体的动量矩，而\(\int_{a}^{b}ρ(x)dx\)表示物体的总质量。

通过这个公式，我们就可以求得物体的质心位置。

高中数学第一章导数及其应用 1.7 定积分的简单应用导数学习的“四个问题”素材新人教A版选修

高中数学第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用导数学习的“四个问题”素材新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用导数学习的“四个问题”素材新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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导数学习的“四个问题”一、如何理解“导数的概念"由于在中学阶段，学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限,如何处理这部分内容呢？《课程标准》要求“通过实际的背景和具体应用事例-膨胀率、加速度、增长率等实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念.例如：人们发现,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度H（单位：s)与起跳后的时间t（单位：s)存在函数关系：H（t)=-4.9t2+6。

5t+10。

运动员从高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t秒后运动员相对地面的高度为H,在2秒时运动员的速度（瞬时速度)为多少？分析：该运动员在2秒内到2．1秒(记为[2，2．1]）平均速度为同样,可以计算出[2，2．1］［2，2．001］，…的平均速度,也可以计算出［1．99，2］，[1．999，2]…的平均速度。

列表如下：由此可以看出,当时间间隔越来越小时，平均速度趋于一个常数，这一常数—13.1就可作为该运动员在2秒时的速度。

二、如何认识“通过函数图象直观理解导数的几何意义"即要求理解数函数f （x )在x =x 0的导数就是函数图象上经过此点处切线的斜率这一几何意义,不要求利用极限去计算导数。

导数及定积分知识点总结及练习(经典)

导数的应用及定积分（一）导数及其应用1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 。

2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.3．函数的导数对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.4．函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x)|x ＝x 0。

5．常见函数的导数(x n )′＝__________.(1x )′＝__________.(sin x )′＝__________.(cos x )′＝__________.(a x )′＝__________.(e x )′＝__________.(log a x )′＝__________.(ln x )′＝__________. （1）设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________；(f (x )·g (x ))′＝_________________．（2）设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝⎛⎭⎫f (x )g (x )′＝___________________.（3）复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．6．函数的单调性设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调__________； (2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________．(2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较__________，其图象比较__________．7．函数的极值x ，如果都有________，则称函数f(x)在点x 0处取得________，并把x 0称为函数f(x)的一个_________；如果都有________，则称函数f(x)在点x 0处取得________，并把x 0称为函数f(x)的一个________．极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为________．8．函数的最值假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在[a ，b]上一定能够取得____________与____________，若该函数在(a ，b)内是__________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．9．生活中的实际优化问题（1）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．（2）实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是__________点．（二）定积分1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x ＝a 、x ＝b(a≠b)、y ＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些_______________； ①近似代替：对每个小曲边梯形“___________”，即用__________的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的________；①求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值________；①取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个________，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v(t)，那么也可以采用________、________、________、________的方法，求出它在a≤t≤b 内所作的位移s.3．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑=ni 1f(ξi )Δx＝_____________(其中Δx 为小区间长度)，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的_________，记作⎰baf (x )dx ，即⎰baf (x )dx ＝_________．________，x 叫做________，f(x)dx 叫做________．4．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有___________，那么定积分⎰baf (x )dx 表示由_________________________，y ＝0和_____________所围成的曲边梯形的面积．5．定积分的性质 ①⎰bakf(x )dx ＝__________________(k 为常数)；②⎰ba(x )]dx f±(x )[f 21＝________________；③⎰baf (x )dx ＝⎰caf (x )dx ＋_______________(其中a <c <b )．6．微积分（1）微积分基本定理如果F (x )是区间[a ，b ]上的________函数，并且F ′(x )＝________，那么⎰baf (x )dx ＝___________．（2）用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，即找被积函数的________，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．（3）被积函数的原函数有很多，即若F (x )是被积函数f (x )的一个________，那么F (x )＋C (C 为常数)也是被积函数f (x )的________．但是在实际运算时，不论如何选择常数C (或者是忽略C )都没有关系，事实上，以F (x )＋C 代替式中的F (x )有⎰baf (x )dx ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )．（4）求定积分的方法主要有：①利用定积分的________；②利用定积分的___________；③利用_______________。

定积分的几何应用总结知乎

定积分的几何应用总结
对于定积分的几何应用，以下是一些常见的总结：
1.面积计算：定积分可以用于计算曲线与x轴之间的有界区
域的面积。

将曲线或曲线组合表示为函数，并将其积分，
可以得到该区域的面积。

2.弧长计算：曲线的弧长是曲线沿着x轴或y轴的长度。

通
过使用定积分，可以计算曲线的弧长，将其表示为函数，
并应用弧长的求和公式来获得结果。

3.体积计算：通过将曲线或曲面绕着轴旋转，可以使用定积
分来计算所得到的旋转体的体积。

例如，旋转一条曲线或
一个区域围绕x轴或y轴旋转，可以使用定积分来计算所
得到的圆柱体或圆锥体的体积。

4.重心和质心计算：通过将物体划分为无穷小的微元，并使
用定积分来计算每个微元的质量，可以计算出物体的重心
和质心。

这对于研究物体的平衡和运动以及静力学方面很
有用。

5.曲线长度计算：通过将曲线表示为参数方程或极坐标方程，
并使用定积分来计算微元曲线的长度，可以得到整个曲线
的长度。

这些是定积分的一些常见几何应用示例，但实际上，定积分在几何学中还有更多的应用。

它们在计算和描述曲线、平面和空间几何形状的属性时起着关键作用。