3.1导数的概念及运算
导数的概念及运算--附答案
3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。
③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。
【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。
课件5：3.1 导数的概念及运算
f(t)，则 f′(t0)是物体运动在 t＝t0 时刻的___瞬__时__速__度___．
4．基本初等函数的导数公式
(1)常用函数的导数
【解析】(1)设切点为(x0，y0)， 故切线的斜率为 k＝x20＝1，解得 x0＝±1， 故切点为1，53，(－1，1)．
故所求切线方程为 y－53＝x－1 和 y－1＝x＋1， 即 3x－3y＋2＝0 和 x－y＋2＝0.
(2)∵y′＝x2，且 P(2，4)在曲线 y＝13x3＋43上， ∴在点 P(2，4)处的切线的斜率 k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y－4＝4(x－ 2)，即 4x－y－4＝0. (3)设曲线 y＝13x3＋43与过点 P(2，4)的切线相切于
1＋2x2 1＋x2.
【点评】求复合函数的导数，关键在于分析函数的 复合关系，适当确定中间变量，然后“由外及内”逐层 求导．
三、导数的几何意义及应用
例3已知曲线 y＝13x3＋43. (1)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程； (2)求曲线在点 P(2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点 P(2，4)的切线方程．
例4已知函数 f(x)＝xln2＋x，2xx＋>0a，，x<0，其中 a 是实
数．设 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两 点，且 x1<x2.
(1)指出函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)的图象在点 A，B 处的切线互相垂直， 且 x2<0，证明：x2－x1≥1； (3)若函数 f(x)的图象在点 A，B 处的切线重合，求 a 的取值范围．
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版 提优版)：导数的概念及其意义、导数的运算
fx＋Δx－fx Δx .
知识梳理
2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0)) 处的切线的 斜率 ，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) .
知识梳理
3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)＝c(c为常数)
知识梳理
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f(x)＝ln x
1 f′(x)＝_x_ln__a_
1 f′(x)＝__x _
知识梳理
4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； [f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； gfxx′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝ cf′(x) .
教材改编题
1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则
√A.f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x
C.f′(x)＝ln3x3＋cos 2x
B.f′(x)＝3x＋2cos 2x D.f′(x)＝ln3x3－2cos 2x
因为函数f(x)＝3x＋sin 2x， 所以f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x.
对于
C，2sxin2
x′＝2sin
x′x2－2sin x4
xx2′＝2xcos
x－4sin x3
x，故
C
错误；
对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2xln 2－sin x，故D正确.
(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则
f′(2)等于
课件4：3.1 导数的概念及运算
利用导数研究曲线上某点的切线方程 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，其关键在于 求出切点及斜率． 曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程可按如下方法 可得： (1)求出函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数，即曲线 y＝f(x) 在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率； (2)在已知切点和求出切线斜率的条件下，利用直线方 程的点斜式写出切线方程：y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)，如果 曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数 不存在)，切线方程为 x＝x0.
第三章 导数及其应用
3.1 导数的概念及运算
1. 物体在地球上作自由落体运动时，下落距离 S＝12gt2
其中 t 为经历的时间，g＝9.8 m/s2，若 V＝Δlit→m0
S1＋Δt－S1 Δt
＝9.8 m/s，则下列说法正确的是( C )
A．0～1 s 时间段内的速率为 9.8 m/s
B．在 1～(1＋Δt)s 时间段内的速率为 9.8 m/s
＝lhi→m0 fx0＋hh－fx0，所以此极限仅与 x0 有关而与 h 无关，
故选 B.
二 导数的运算
【例 2】求下列函数的导数：
(1)y＝x2sinx；
(2)y＝ln(x＋2)；
(3)y＝eexx＋－11；
(4)y＝xx＋＋csoinsxx.
【 解 答 过 程 】 (1)y′ ＝ (x2)′sinx ＋ x2(sinx)′ ＝ 2xsinx ＋ x2cosx.
【温馨提示】切点处的导数值是切线的斜率；注意“在 点处的切线”与“过点的切线”的区别．
【跟踪训练 5】(2014·广东)曲线 y＝e－5x＋2 在点(0,3)处的
第三章 3.1导数的概念与运算
1．平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝ΔyΔx ，称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′(或y ′x )． 4．基本初等函数的导数公式y ＝f (x ) y ′＝f ′(x ) y ＝c y ′＝0y ＝x n (n ∈N ＋) y ′＝nx n －1，n 为正整数 y ＝x u (x >0，u ≠0且u ∈Q )y ′＝ux u －1，u 为有理数y ＝a x (a >0，a ≠1)y ′＝a x ln ay ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)y ′＝1x ln ay ＝sin x y ′＝cos x y ＝cos xy ′＝－sin x5.导数的四则运算法则 设f (x )，g (x )是可导的，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．3C ．4D ．－73答案 B解析 ∵f (x )＝13x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.∴f ′(－1)＝3.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________.答案 － 2解析 因为f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2，即f ′(π2)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.4．有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.134 答案 D5．(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________． 答案 (1,1)解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2 (m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1).题型一 导数的运算例1 求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ； (4)y ＝ln x x 2＋1；(5)y ＝ln(2x －5)．解 (1)∵y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， ∴y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.(4)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x (x 2＋1)－2x ln x (x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2ln x x (x 2＋1)2.(5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0答案 (1)B (2)B解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x ＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017得2 017＋ln x 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数，且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 题型二 导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题例2 (1)函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0(2)曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________．答案 (1)C (2)13解析 (1)f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.(2)∵y ′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示， 其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A (23，23)，∴三角形的面积S ＝12×1×23＝13.命题点2 未知切点的切线方程问题例3 (1)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0答案 (1)D (2)B解析 (1)对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0.由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B. 命题点3 和切线有关的参数问题例4 已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) A ．－1 B ．－3 C ．－4 D ．－2 答案 D解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， 于是解得m ＝－2.故选D. 命题点4 导数与函数图象的关系例5 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为图中的( )答案 D解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的，且图象是下凸的； 当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的，且图象是上凸的；当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．(1)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′(π4)，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( ) A ．3x －y －2＝0 B ．4x －3y ＋1＝0C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0(2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________． 答案 (1)C (2)－e解析 (1)由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ， 则a ＝f ′(π4)＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，当P 点为切点时，切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3. 又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)． 故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.当P 点不是切点时，设切点为(x 0，x 30)，∴切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，∵P (a ，b )在曲线y ＝x 3上，且a ＝1，∴b ＝1.∴1－x 30＝3x 20(1－x 0)， ∴2x 30－3x 20＋1＝0， ∴2x 30－2x 20－x 20＋1＝0，∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴切点为⎝⎛⎭⎫－12，－18， ∴此时的切线方程为y ＋18＝34⎝⎛⎭⎫x ＋12， 综上，满足题意的切线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0，故选C. (2)设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e.4．求曲线的切线方程条件审视不准致误典例 (12分)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值． 易错分析 由于题目中没有指明点O (0,0)的位置情况，容易忽略点O 在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上这个隐含条件，进而不考虑O 点为切点的情况． 规范解答解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.[4分](2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .[7分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.[10分]综上，a ＝1或a ＝164.[12分]温馨提醒 对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论．[方法与技巧]1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程． [失误与防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e答案 B解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1， 则f ′(1)＝－1.2．(2015·保定调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.3．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2 016(x )等于( ) A ．－sin x －cos x B ．sin x －cos x C ．－sin x ＋cos x D ．sin x ＋cos x 答案 B解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x －cos x ，故选B.4．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.5．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13. ∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0. 6．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x2， 直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3. 7．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．答案 9 解析 先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， 又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0， 则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2，从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9. 8．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0答案 A解析 y ′＝－e x (e x ＋1)2＝－1e x ＋1e x ＋2， 因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)， 则e x ＋1ex ＋2≥4， 故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14当(x ＝0时取等号)． 当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0，12)， 切线的方程为y －12＝－14(x －0)， 即x ＋4y －2＝0.故选A.9．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14. ∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)， 即x ＋4y ＋17＝0.10．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( ) A.14 B.12C ．1D ．4 答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝a x， 由f ′(14)＝g ′(14)，得12×(14)12-＝a 14， 可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 12．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，2B.⎝⎛⎭⎫32，134C.⎝⎛⎭⎫52，134D.⎝⎛⎭⎫52，2答案 B解析 设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，∴y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，∴S 普通梯形＝g (1)＋g (2)2×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎫x 0－322＋134，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，134时，S 普通梯形最大． 13．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2. 14．已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N ＋)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________．答案 －1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016， 则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015＝log2 016(x1x2…x2 015)＝－1.15．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
(复习指导)3.1 导数的概念及运算含解析
第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算必备知识预案自诊知识梳理1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1(或ΔyΔx).2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.(2)几何意义:f'(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的.3.函数f(x)的导函数:一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)内的每一点x处都有导数,导数值记为f'(x),则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的,通常也简称为导数.4.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=;(2)[f(x)·g(x)]'=;(3)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).6.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=,即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x )|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)f'(x 0)是函数y=f (x )在x=x 0附近的平均变化率. ( ) (2)求f'(x 0)时,可先求f (x 0)再求f'(x 0).( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (5)曲线y=f (x )在点P (x 0,y 0)处的切线与过点P (x 0,y 0)的切线相同.( )2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s 后的位移为s=13t 3-32t 2+2t ,那么速度为零的时刻是( )A .0 sB .1 s 末C .2 s 末D .1 s 末和2 s 末3.(2020全国1,理6)函数f (x )=x 4-2x 3的图像在点(1,f (1))处的切线方程为( ) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+14.(2020山东淄博一模,13)曲线f (x )=1x +ln 1x 在点(1,f (1))处的切线方程是 .5.(2020全国3,文15)设函数f (x )=e xx+a .若f'(1)=e4,则a= .关键能力学案突破考点导数的运算【例1】分别求下列函数的导数. (1)y=e x ·cos x ; (2)y=x (x 2+1x+1x 3); (3)y=x-sin x2cos x 2;√1+x 2.?解题心得函数求导应遵循的原则(1)求导之前,应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.对点训练1求下列函数的导数.(1)y=x2sin x;(2)y=ln x+1x;(3)y=cosxe x;(4)y=ln(2x-5).考点导数几何意义的应用(多考向探究)考向1过函数图像上一点求切线方程【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.对点训练2(1)已知函数f(x)=x ln x(x>0),若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=0(2)(2020全国1,文15)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.考向2已知曲线切线方程(或斜率)求切点【例3】(1)(2020湖北高考模拟,理13)设曲线y=e x+1上点P处的切线平行于直线x-y-1=0,则点P的坐标是.的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的(2)设a∈R,函数f(x)=e x+ae x斜率是3,则切点的横坐标为.2解题心得已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(x>0)上点P处的切线垂直,则点P 对点训练3设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1x的坐标为.考向3已知切线方程(或斜率)求参数的值【例4】若曲线f(x)=x ln x+2m上点P处的切线方程为x-y=0.(1)求实数m的值;(2)若过点Q(1,t)存在两条直线与曲线y=f(x)相切,求实数t的取值范围.解题心得已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.对点训练4(2020天津河北区线上测试,17)已知曲线f(x)=ax ln x-bx(a,b∈R)在点(e,f(e))处的切线方程为y=3x-e,则a,b的值分别为,.1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导.2.导数的几何意义是函数的图像在切点处的切线斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求在该点处的导数值k=f'(x0);(2)已知斜率k,求切点B(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k;(3)已知切线过某点M(x1,f(x1))(不是切点)求斜率k,常需设出切点A(x0,f(x0)),求导数得出斜率k=第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算必备知识·预案自诊知识梳理2.(2)斜率3.导函数4.αxα-1cos x-sin x1cos2x -1sin2xa x ln a e x1xlna1x5.(1)f'(x)±g'(x)(2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)6.y'u ·u'x y 对u u 对x考点自诊1.(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2.D ∵s=13t 3-32t 2+2t ,∴v=s'=t 2-3t+2.令v=0,则t 2-3t+2=0,解得t 1=1,t 2=2.故选D . 3.B 对函数f (x )求导可得f'(x )=4x 3-6x 2,由导数的几何意义知在点(1,f (1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f (1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.4.2x+y-3=0 由已知,f'(x )=-1x 2−1x ,所以f'(1)=-2.又因为f (1)=1,所以切线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0. 5.1 对函数f (x )=e xx+a 求导得f'(x )=e x (x+a -1)(x+a )2,由题意得f'(1)=e ·a(1+a )2=e4,解得a=1.关键能力·学案突破例1解(1)y'=(e x )'cos x+e x (cos x )'=e x cos x-e x sin x.(2)∵y=x 3+1+1x2,∴y'=3x 2-2x3. (3)∵y=x-sin x2cos x2=x-12sin x , ∴y'=(x -12sinx)'=1-12cos x. (4)y=ln √1+x 2=12ln(1+x 2), ∴y'=12·11+x 2(1+x 2)'=12·11+x 2·2x=x1+x 2.对点训练1解(1)y'=(x 2)'sin x+x 2(sin x )'=2x sin x+x 2cos x.(2)y'=ln x+1x'=(ln x )'+1x'=1x −1x 2. (3)y'=cosx e x ' =(cosx )'e x -cosx (e x )'(e x )2=-sinx+cosxe x. (4)令u=2x-5,y=ln u ,则y'=(ln u )'u'=12x -5·2=22x -5,即y'=22x -5. 例2解(1)∵f'(x )=3x 2-8x+5,∴f'(2)=1,又f (2)=-2,∴曲线在点(2,f (2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.(2)设曲线与经过点A (2,-2)的切线相切于点P (x 0,x 03-4x 02+5x 0-4).∵f'(x 0)=3x 02-8x 0+5,∴切线方程为y-(-2)=(3x 02-8x 0+5)(x-2).又切线过点P (x 0,x 03-4x 02+5x 0-4),∴x 03-4x 02+5x 0-2=(3x 02-8x 0+5)(x 0-2),整理得(x 0-2)2(x 0-1)=0,解得x 0=2或1,∴经过A (2,-2)的曲线f (x )的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.对点训练2(1)B (2)y=2x (1)f'(x )=ln x+1,x>0,设直线l 的方程为y=kx-1,直线l 与f (x )的图像的切点为(x 0,y 0),则{kx 0-1=y 0,x 0lnx 0=y 0,lnx 0+1=k .解得{x 0=1,y 0=0,k =1.所以直线l 的方程为y=x-1,即x-y-1=0. (2)设切点坐标为(x 0,y 0).对y=ln x+x+1求导可得y'=1x +1. 由题意得,1x 0+1=2,解得x 0=1,故y 0=ln1+1+1=2,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.例3(1)(0,2) (2)ln 2 (1)由题意,得y'=e x ,且切线斜率为1,设切点为P (x ,y ),则e x =1,所以x=0,y=e 0+1=2,故切点P 的坐标为(0,2).(2)函数f (x )=e x +a e x 的导函数是f'(x )=e x -ae x .又因为f'(x )是奇函数,所以f'(x )=-f'(-x ),即e x -ae x =-(e -x -a·e x ),则e x (1-a )=e -x (a-1),所以(e 2x+1)·(1-a )=0,解得a=1.所以f'(x )=e x -1e x .令e x -1e x =32,解得e x =2或e x =-12(舍去),所以x=ln2. 对点训练3(1,1) ∵函数y=e x 的导函数为y'=e x ,∴曲线y=e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1=e 0=1.设P (x 0,y 0)(x 0>0).∵函数y=1x 的导函数为y'=-1x 2,∴曲线y=1x (x>0)在点P 处的切线的斜率k 2=-1x 02.由题意可知,k 1k 2=-1,即1·(-1x 02)=-1,所以x 02=1.又x 0>0,∴x 0=1.又点P 在曲线y=1x (x>0)上,∴y 0=1.故点P 的坐标为(1,1). 例4解(1)设点P 坐标为(n ,n ).f (x )=x ln x+2m 的导数为f'(x )=1+ln x ,点P (n ,n )处的切线斜率为1+ln n=1,可得n=1,即切点为(1,1),则1=2m ,解得m=12.(2)f (x )=x ln x+1.设切点为(u ,v ),则切线的斜率为f'(u )=1+ln u ,即有切线的方程为y-u ln u-1=(1+ln u )(x-u ).代入点Q (1,t ),即有t-u ln u-1=(1+ln u )(1-u ).即为t-2=ln u-u ,在(0,+∞)上有两实数解,记g (u )=ln u-u ,导数为g'(u )=1u -1.当u>1时,g (u )递减,当0<u<1时,g (u )递增,可得当u=1时,取得最大值g (1)=-1,即有t-2<-1,解得t<1.故实数t 的取值范围为(-∞,1).对点训练41 -1 将点(e,f (e))代入直线y=3x-e 的方程得f (e)=3e -e =2e .f (x )=ax ln x-bx ,则f'(x )=a ln x+a-b.由题意得{f (e )=(a -b )e =2e ,f '(e )=2a -b =3,解得{a =1,b =-1.。
3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x
'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导
3.1导数的概念及运算
3.1导数的概念及运算课标要求精细考点素养达成1.了解导数概念的实际背景,通过函数图象直观了解导数的几何意义2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数,并能求简单复合函数(仅限于形如y=f(ax+b)的复合函数)的导数导数的运算通过导数的运算,培养数学运算的核心素养导数的几何意义通过导数的几何意义,培养直观想象和逻辑推理的核心素养切线方程的求法通过切线方程的求法,培养直观想象的核心素养1.(概念辨析)(多选)下列命题正确的有( ).A.函数y=f (x )在x=x 0处的导数即在该点处的切线斜率,也就是k=f'(x 0)B.f'(x 1)>f'(x 2)反映了曲线在x=x 1处比在x=x 2处的瞬时变化率大C.f'(x 0)就是导函数y=f'(x )在x 0处的函数值D.若f'(x 0)=0,则曲线在x=x 0处的切线不存在2.(对接教材)已知函数y=2x 2+3,则y 在[2,2.1]上的平均变化率为( ). A.0.82 B.8.2 C.0.41 D.4.13.(对接教材)已知函数f (x )=tanx ,那么f'(π3)的值为 . 4.(易错自纠)已知函数f (x )满足f'(x 0)=m ,则lim Δx→0f(x 0-3Δx)-f(x 0)Δx =.5.(真题演练)(2023·全国甲卷(文))曲线y=e x x+1在点(1,e2)处的切线方程为( ).A.y=e4x B.y=e 2x C.y=e 4x+e 4D.y=e 2x+3e 4导数的定义典例1 (1)已知函数f (x )可导,且满足lim Δx→0f(3)-f(3+Δx)Δx =2,则函数y=f (x )在x=3处的导数为( ).A.1B.2C.1D.2(2)若函数f (x )=x 2m 2在区间[2,t ]上的平均变化率为5,则t=( ). A.√5 B.2C.3D.1训练1 若函数f (x )在x=1处的导数为2,则limΔx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx =( ).A.2B.1C.12D.6导数的运算典例2 (1)(多选)下列结论正确的是( ).A.若y=cos 1x ,则y'=1x 2sin 1xB.若y=sinx 2,则y'=2xcosx 2C.若y=ln 5x ,则y'=15xD.若y=e 2x,则y'=e 2x(2)已知f (x )=12x 2+2xf'(2 024)2 024ln x ,则f'(2 024)=( ).A.2 023B.2 023C.2 024D.2 024训练2 (1)下列运算正确的个数是( ). ①(sin π7)'=cos π7;②(5x)'=x ·5x1;③(log 3x )'=1xln3;④(x 5)'=5x 4;⑤y=sin (3x +π4),y'=3cos (3x +π4). A.2 B.3 C.4 D.5(2)若函数f (x ),g (x )满足f (x )+xg (x )=x 21,且f (1)=1,则f'(1)+g'(1)=( ). A.1 B.2C.3D.4切线方程的求法典例3 (1)已知曲线y=x 3+4,则曲线在点P (2,12)处的切线方程为 ;(2)已知曲线y=x 3+4,则曲线过点P (2,12)的切线方程为 ;(3)若曲线y=(x+a )e x有两条过坐标原点的切线,则a 的取值范围是 .训练3 (1)(2023·江苏南通二模)过点(1,0)作曲线y=x 3x 的切线,写出一条切线的方: .(2)已知函数f (x )=bx+ln x ,其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y=f (x )相切,则kb 的值为 .两曲线的公切线问题导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A (x 0,f (x 0)),求斜率k ,即求该点处的导数值k=f'(x 0). (2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f'(x 1)=k.(3)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由y 1=f (x 1),y 0y 1=f'(x 1)(x 0x 1)求解即可. 典例 已知曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与抛物线y=ax 2+(a+2)x+1相切,则实数a= .训练 已知函数f (x )=ax 3+3x 26ax11,g (x )=3x 2+6x+12和直线m :y=kx+9,且f'(1)=0.(1)求实数a 的值.(2)是否存在k ,使直线m 既是曲线y=f (x )的切线,又是曲线y=g (x )的切线?如果存在,求出k 的值;如果不存在,请说明理由.一、单选题1.已知函数f (x )=1xcosx ,则f (π)+f'(π2)等于( ). A.3π2 B.1π2 C.3πD.1π2.已知函数f (x )在x=x 0处的导数为2,则limk→0f(x 0+k)-f(x 0)k 等于( ).A.2B.1C.2D.13.已知函数f(x)=x32xf'(1),则f'(1)的值为( ).A.1B.1C.2D.24.已知点P在曲线y=4e x+1上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ).A.[3π4,π) B.[π4,π2) C.(π2,3π4] D.[0,π4)二、多选题5.下列求导运算正确的是( ).A.若f(x)=sin(2x1),则f'(x)=2cos(2x1)B.若f(x)=e0.05x+1,则f'(x)=e0.05x+1C.若f(x)=xe x ,则f'(x)=1+xe xD.若f(x)=xlnx,则f'(x)=lnx+16.丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在(a,b)上f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.以下四个函数在(0,π2)上是“凸函数”的是( ).A.f(x)=sinx+cosxB.f(x)=ln x2xC.f(x)=x3+2x1D.f(x)=xe x三、填空题7.设函数f(x)=x21,当自变量x由1变到1.1时,函数的平均变化率是.8.(2024·山东新高考联考)已知函数f(x)=e x sin2x,则f'(π2)=.四、解答题9.(2024·广东省佛山市南海区摸底)已知函数f(x)=ax2+(x22x+2)e x.证明:不论a取何值,曲线y=f(x)均存在一条固定的切线,并求出该切线方程.10.已知f(x)=alnx1x.(1)当a=1时,求f'(x);(2)当f'(2)=1时,求a ;(3)若曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线2xy=0平行,求a 的值.11.阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家,他最早利用逼近的思想证明了如下结论:抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积,等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二.这个结论就是著名的阿基米德定理,其中的三角形被称为阿基米德三角形.在平面直角坐标系中,已知直线l :y=4与抛物线C :y=14x 2交于A ,B 两点,则弦AB 与抛物线C 所围成的封闭图形的面积为 .12.已知函数f (x )=ln xa(x+1)x -1,曲线y=f (x )在点(12,f (12))处的切线平行于直线y=10x+1.(1)求函数f (x )的单调区间.(2)设直线l 为函数g (x )=ln x 图象上任意一点A (x 0,y 0)处的切线,在区间(1,+∞)上是否存在x 0,使得直线l 与曲线h (x )=e x也相切?若存在,求满足条件的 x 0的个数;若不存在,请说明理由.。
导数的概念及其计算
x 0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) . x
(2)导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线的 斜率 . (3)导数的物理意义：函数 s＝s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0)，就是物体的运动方程为 s＝s(t)在时刻 t0 时的 瞬时 速度 v.即 v＝s′(t0)．
x 0
探究提高 由导数的定义可知，求函数 y＝f(x)的导数的 一般方法是： (1)求函数的改变量 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； Δy f(x＋Δx)－f(x) (2)求平均变化率Δx＝ ； Δx Δy y （3）取极限，得导数 lim Δx.
x0
变式训练 1 过曲线 y＝ f (x)＝ x3 上两点 P(1,1)和 Q(1＋ Δ x,1＋Δ y)作曲线的割线， 求出当 Δ x＝ 0.1 时割线的 斜率，并求曲线在点 P 处切线的斜率．
2．曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点， 切线斜率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的 直线可能有多条．
基础自测 1． 已知函数 f ( x) ＝13－8 x＋ 2 x ， 且 f ' ( x0 ) ＝
2
3 2 4，则 x0 的值为________.
解析
f ' ( x) ＝－8＋2 2x，
f ' ( x0 ) ＝－8＋2 2 x0 ＝4，∴ x0 ＝3 2.
学案7：§3.1 导数的概念及运算
§3.1 导数的概念及运算高考·导航1．导数的概念及几何意义(1)了解导数概念的实际背景．(2)理解导数的几何意义． 2．导数的运算(1)能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．主干知识 自主排查1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y ＝，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0.(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点 处的 相应地，切线方程为 . 2．函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 3．基本初等函数的导数公式若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )·g (x )]′＝ ；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝ (g (x )≠0)．[小题诊断]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)3．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝04．已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________． 5．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．易错通关1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′＝αx α－1与指数函数的求导公式(a x )′＝a x ln a 混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．函数y ＝ln xex 的导函数为______________．2．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x 图象的切线，则实数a ＝________.核心考点 互动探究考点一 导数的运算 1．求y ＝x 2sin x 的导数．2．求y ＝－sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4的导数．3．求y ＝11－x ＋11＋x 的导数．4．求y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)的导数．思维升华导数运算的技巧考点二 导数的几何意义[锁定考向] 导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中、低档题．常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)根据参数切线的性质求参数． 角度一 求切线方程1．(1)经过原点(0,0)作函数f (x )＝x 3＋3x 2的图象的切线，则切线方程为________． (2)已知函数f (x )＝(－x 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线．方法技巧与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0. 角度二 求切点坐标 2．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．角度三 根据切线的性质求参数3．(1)若点P 是函数y ＝e x －e －x －3x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( ) A.5π6 B.3π4C.π4D.π6(2)已知函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行，求a 的值．方法技巧一般已知曲线上一点P (x 0，y 0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率k ，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k ＝f ′(x 0)＝tan α，其中倾斜角α∈[0，π)，根据范围进一步求得角度α或有关参数的值．即时应用1．若幂函数f (x )＝mx a 的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( ) A ．2x －y ＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．4x －4y ＋1＝0D ．4x ＋4y ＋1＝02．已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，则x 0的值为( )A ．0B ．23C ．0或－23D ．－233．曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为____________．4．曲线f (x )＝ln x ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．5．设曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝e x 在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．考点三 导数的几何意义与函数性质的交汇考查导数的几何意义是课标卷命题考查的重点，常考查求切线方程及利用切线性质解决有关问题等，还与函数的图象与性质交汇考查，具有一定的综合性.(1)设函数y ＝x sin x ＋cos x ，且在图象上点(x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，若k ＝g (x 0)，则函数k ＝g (x 0)的图象大致为( )(2)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．方法技巧求解导数的几何意义与函数性质交汇问题的2个注意点： 1．要注意函数相关性质在本课题中的作用．2．抓住导数的几何意义，利用函数性质或图象求解问题．即时应用1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋1)x 是奇函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为( ) A ．y ＝xB ．y ＝x ＋1C ．y ＝1D ．y ＝02．已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列正确的是( )A ．0＜f ′(2)＜f ′(3)＜f (3)－f (2)B ．0＜f ′(3)＜f ′(2)＜f (3)－f (2)C ．0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)D ．0＜f (3)－f (2)＜f ′(2)＜f ′(3)【参考答案】主干知识 自主排查1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx(2) (x 0，f (x 0)) 切线的斜率 y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3．基本初等函数的导数公式 0αx α－1cos x －sin x e xa x ln a1x1x ln a4.导数的运算法则 (1) f ′(x )±g ′(x )(2) f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2[小题诊断]1．B【解析】⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B. 2．C【解析】∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)． 3．C【解析】∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2， ∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)， 即2x －y ＋1＝0.故选C. 4．3【解析】因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ， 所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.5．3【解析】因为f (x )＝(2x ＋1)e x ， 所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.[小题纠偏]1．y ′＝1－x ln xx e x2．e 2【解析】设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·0e x＝－1，∴0e x＝a ，又－1a·0e x ＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.核心考点 互动探究考点一 导数的运算1．解：y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .2．解：∵y ＝－sin x 2⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝12sin x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝12(sin x )′＝12cos x . 3．解：∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. 4．解：∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. 考点二 导数的几何意义 角度一 求切线方程 1．(1)y ＝0或9x ＋4y ＝0【解析】当(0,0)为切点时，f ′(0)＝0，故切线方程为y ＝0.当(0,0)不为切点时，设切点为P (x 0，x 30＋3x 20)(x 0≠0)，则切线方程为y －(x 30＋3x 20)＝(x －x 0)·(3x 20＋6x 0)，切线过原点，所以x 30＋3x 20＝3x 30＋6x 20，所以x 0＝－32，此时切线方程为9x ＋4y ＝0. (2)解：因为f (x )＝(－x 2＋x －1)e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋1)e x ＋(－x 2＋x －1)e x ＝(－x 2－x )e x . 所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝－2e.又f (1)＝－e ，所以所求切线方程为y ＋e ＝－2e(x －1)，即2e x ＋y －e ＝0. 角度二 求切点坐标2．解：(1)根据题意，得f ′(x )＝3x 2＋1.所以曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝13， 所以要求的切线的方程为y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又直线l 过点(0,0)，则(3x 20＋1)(0－x 0)＋x 30＋x 0－16＝0，整理得x 30＝－8，解得x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l 的斜率k ＝13， 所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 角度三 根据切线的性质求参数 3．(1)B【解析】由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)．又－12≤x ≤12，tan α＝k ＜0，所以α的最小值是3π4，故选B.(2)解：由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2. 因为f ′(x )＝ln x ＋ax＋1，所以f ′(1)＝ln 1＋a ＋1＝a ＋1＝2，a ＝1.即时应用1．C【解析】由f (x )＝mx a 为幂函数，得m ＝1.因为点A ⎝⎛⎭⎫14，12在幂函数f (x )的图象上，代入可得a ＝12.则f ′(x )＝12x ，故f (x )的图象在点A ⎝⎛⎭⎫14，12处的切线的斜率为f ′⎝⎛⎭⎫14＝1.根据直线的点斜式方程可知要求的切线方程为y －12＝x －14，化简可得4x －4y ＋1＝0.故选C.2．C【解析】曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线的斜率为0|x x y '＝＝2x 0，曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝－3x 20.由题意，得2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或－23.故选C. 3．x －y ＋1＝0【解析】因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 4．(－∞，1]【解析】由题意，得f ′(x )＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P (t ，f (t ))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t ＋t 有解．因为t ＞0，所以3－a ≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，即a ≤1. 5．(0,1)【解析】由y ＝1x 得y ′＝－1x 2，所以曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线的斜率k ＝－1，所以曲线y＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为1.由y ＝e x ，得y ′＝e x ，所以0e x＝1，解得x 0＝0，y 0＝1，即点P (0,1)．考点三 导数的几何意义与函数性质的交汇考查 (1)A (2)y ＝－2x －1【解析】(1)y ′＝x cos x ，k ＝g (x 0)＝x 0cos x 0，由于它是奇函数，排除B ，C ； 当0＜x ＜π4时，k ＞0，排除D ，故选A.(2)令x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝ln x －3x (x ＞0)，则f ′(x )＝1x－3(x ＞0)，∴f ′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.即时应用1．A【解析】函数f (x )是奇函数，可得f (－x )＝－f (x )， 即有－x 3＋ax 2－(a ＋1)x ＝－x 3－ax 2－(a ＋1)x ，可得a ＝0，即f (x )＝x 3＋x ，f ′(x )＝3x 2＋1，可得曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率为k ＝1，切点为(0,0)，即曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x .故选A. 2．C【解析】由题意知，(2，f (2))，(3，f (3))两点连线的斜率为f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，而f ′(2)，f ′(3)分别表示函数f (x )的图象在点(2，f (2))，(3，f (3))处切线的斜率，由图象可知0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)3－2＜f ′(2)，即0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)．。
《导数的概念及运算》知识点
一、导数的概念1、定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值Δy Δx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，Δy Δx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. 2、导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx . 3、用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法（1）求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；（2）求平均变化率Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx； （3）取极限，得导数f ′(x 0)＝Δy Δx . 二、导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．三、基本初等函数的导数公式1、c ′＝0 (c 为常数)， (x α)′＝αx α－1 (α∈Q *)．2、(sin x )′＝cos x ， (cos x )′＝－sin x.3、(ln x )′＝1x ， (log a x )′＝1x ln a． 4、(e x )′＝e x ， (a x )′＝a x ln a.四、导数运算法则1、[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ).2、f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝cf ′(x ).3、⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2 (g (x )≠0)． 五、复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y ′u ·u ′x ．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．。
3.1 导数的概念及其运算
3.1 导数的概念及其运算一、填空题1．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为________(填锐角、直角或钝角)． 解析 f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，因为函数图象在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝e(cos 1－sin 1)＜0， 所以切线的倾斜角是钝角． 答案 钝角2．函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a n ，a 2n )处的切线与x 轴交点的横坐标为a n ＋1，n ∈N *，若a 1＝16，则a 3＋a 5＝________，数列{a n }的通项公式为________． 解析 k ＝f ′(a n )＝2a n ，切线方程为y －a 2n ＝2a n (x －a n )，令y ＝0，得－a 2n ＝2a n (a n ＋1－a n )，即a n ＋1a n ＝12.所以{a n }是首项为16，公比为12的等比数列， 所以a n ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n ，a 3＋a 5＝5.答案 5 25－n3．曲线y ＝x 3－2x 在点(1，－1)处的切线方程是________． 解析 y ′＝3x 2－2，k ＝3－2＝1，所以切线方程为y ＋1＝x －1， 即x －y －2＝0. 答案 x －y －2＝04.若42()f x ax bx c =++满足f ′(1)=2,则f ′(-1)等于_______． 解析 求导后导函数为奇函数,所以选择B. 答案-25．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．解析 设P (t ，t 2－ln t )，由y ′＝2x －1x ，得k ＝2t －1t＝1(t ＞0)，解得t ＝1.所以过点P (1,1)的切线方程为y ＝x ，它与y ＝x －2的距离d ＝22＝2即为所求． 答案 26．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为________．解析 y ′＝(x 3)′＝3x 2，k ＝3，由题意，3×a b ＝－1，所以a b ＝－13.答案 －137．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1的前n 项和为________．解析 由y ＝x n －x n ＋1，得y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ，k ＝n ·2n －1－(n ＋1)·2n ＝－(n ＋2)·2n －1，切线方程为y ＋2n ＝－(n ＋2)·2n －1(x －2)，所以a n n ＋1＝2n,2＋22＋…＋2n ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2.答案 2n ＋1－28．若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2ln x 相切，则实数k ＝________. 解析 设直线与曲线相切于点P (x 0，y 0)，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0－3，y 0＝2ln x 0，k ＝2x，解得y 0＝－1，x 0＝1e，k ＝2 e. 答案 2e9．已知函数f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝______；函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为________．解析 f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(x ＋1)e x ，∴f ′(0)＝1，f (0)＝0，故函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x . 答案 (x ＋1)e x x －y ＝010．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析 k ＝f ′(2)＝1，切线方程为y ＝x －2.答案 x －y －2＝011．等比数列{}a n 中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝__________.解析 函数f (x ) 的展开式含x 项的系数为a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝84＝212，而f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝212＝4 096. 答案 4 09612．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导函数为f ′(x )，且f ′(0)＞0，对于任意实数x 有f (x )≥0，则f 1f ′0的最小值为________．解析 f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝b ＞0， 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a ＞0所以ac ≥b 24，所以c ＞0，所以f 1f ′0＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2.答案 213．已知直线y ＝mx (m ∈R )与函数f (x )＝⎝ ⎛2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≤0，12x 2＋1，x ＞0的图象恰有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．解析 如图，可求得直线y ＝2x 与y ＝12x 2＋1(x ＞0)的图象相切时恰有两个不同的公共点，当m ＞2时，直线y ＝mx 与y ＝f (x )的图象恰有三个不同的公共点． 答案 (2，＋∞) 二、解答题14．曲线y ＝x 2＋1上过点P 的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标． 解析 方法一：设P (x 0，y 0)，由题意知曲线y ＝x 2＋1在P 点的切线斜率为k ＝2x 0，切线方程为y ＝2x 0x ＋1－x 20，而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切， ∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0的判别式Δ＝4x 20－2×4×(2－x 20)＝0，解得x 0＝±233，y 0＝73.∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，73或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，73.方法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)分别为切线与曲线y ＝x 2＋1和y ＝－2x 2－1的切点．则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝x 21＋1，y 2＝－2x 22－1，k 切＝2x 1，k 切＝－4x 2，k 切＝y 1－y 2x 1－x2，∴x 21＋2x 22＋2x 1－x 2＝2x 1＝－4x 2，∴⎩⎨⎧x 21＋2x 22＋2x 1－x 2＝2x 1，x 1＝－2x 2，消去x 1，得x 2＝±33，则x 1＝±233， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，73或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，73.15．已知函数y ＝f (x )＝ln xx.(1)求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1e 处的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )的最大值．解析 (1)因为f ′(x )＝1－ln xx2， 所以k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2e 2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e ，所以y ＝f (x )在x ＝1e 处的切线方程为y ＋e ＝2e 2⎝⎛⎭⎪⎫x －1e ，即2e 2x －y －3e ＝0.(2)令f ′(x )＝0，得x ＝e. 因为当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0， 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，e)上为增函数，在(e ，＋∞)上为减函数， 所以f (x )max ＝f (e)＝1e .16．已知：在函数的图象上，f (x )＝mx 3－x 以N (1，n )为切点的切线的倾斜角为π4. (1)求m ，n 的值；(2)是否存在最小的正整数k ，使得不等式f (x )≤k －2 013对于x ∈[－1,3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ，如果不存在，请说明理由．解析 (1)依题意，得f ′(1)＝tanπ4，即3m －1＝1，m ＝23. 因为f (1)＝n ，所以n ＝－13.(2)令f ′(x )＝2x 2－1＝0，得x ＝±22.当－1＜x ＜－22时，f ′(x )＝2x 2－1＞0； 当－22＜x ＜22时，f ′(x )＝2x 2－1＜0；又f (－1)＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－23，f (3)＝15，因此，当x ∈[－1,3]时，－23≤f (x )≤15. 要使得不等式f (x )≤k －2 013对于x ∈[－1,3]恒成立，则k ≥15＋2 013＝2 028. 所以，存在最小的正整数k ＝2 028，使得不等式f (x )≤k －2 013对于x ∈[－1,3]恒成立．17.对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,定义:设f ″(x )是函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的导数,若f ″(x )=0有实数解0x ,则称点0(x ,0())f x 为函数y =f (x )的”拐点”.现已知32()322f x x x x =-+-,请解答下列问题: (1)求函数f (x )的”拐点”A 的坐标; (2)求证f (x )的图象关于”拐点”A 对称. 解析 (1)f ′2()362x x x f =-+,″(x )=6x -6. 令f ″(x )=6x -6=0,得x =1,3(1)1322f =-+-=-2.∴拐点A 坐标为(1,-2).(2)证明:设00()P x y ,是y =f (x )图象上任意一点,则320000322y x x x =-+-, 因为00()P x y ,关于A(1,-2)的对称点为P ′0(2x -04)y ,--,把P ′代入y =f (x )得 左边3200004322y x x x =--=-+--, 右边=0(2)x -33-0(2)x -202(2)x +--2=3200322x x x -+--. ∴左边=右边.∴P ′00(24)x y -,--在y =f (x )图象上. ∴y =f (x )的图象关于点A 对称.18．已知函数f (x )＝13x 3＋2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ，试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两点？若存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．解析 设存在过切点A (x 1，y 1)的切线与曲线C 同时切于两点，另一切点为B (x 2，y 2)(x 2≠x 1)，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 31＋2x 21＋3x 1＝(x 21＋4x 1＋3)(x －x 1)，即为y ＝(x 21＋4x 1＋3)x －⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 31＋2x 21.同理，过点B (x 2，y 2)的切线方程是y ＝(x 22＋4x 2＋3)x －⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋2x 22.由于两切线是同一切线，所以有⎩⎨⎧x 21＋4x 1＋3＝x 22＋4x 2＋3，23x 31＋2x 21＝23x 32＋2x 22，即⎩⎨⎧x 1－x 2x 1＋x 2＝－4x 1－x 2，x 1－x 2x 21＋x 1x 2＋x 22＝－3x 1－x 2x 1＋x 2又x 1≠x 2，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－4，x 21＋x 1x 2＋x 22＝12，解得x 1＝x 2＝－2，这与x 1≠x 2矛盾，所以不存在一条直线与曲线C 同时切于两点．。
§3.1 导数的概念及运算
§3.1 导数的概念及运算考情考向分析 导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为填空题或解答题的第(1)问，低档难度.1.导数的概念(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx.(2)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0). 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0). 3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0).知识拓展1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x ).3.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同.( × )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (4)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x .( × ) 题组二 教材改编2.[P84习题T2]若f (x )＝x ·e x，则f ′(1)＝________.答案 2e解析 ∵f ′(x )＝e x＋x e x，∴f ′(1)＝2e.3.[P77习题T4]曲线y ＝sin xx在点M (π，0)处的切线方程为______________.答案 x ＋πy －π＝0 解析 ∵y ′＝x cos x －sin x x 2，∴y ′|x ＝π＝－ππ2＝－1π， ∴切线方程为y ＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.题组三 易错自纠4.若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________. 答案 －1解析 函数y ＝kx ＋ln x 的导函数为y ′＝k ＋1x，由导数y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，得k ＝－1.5.有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为________. 答案1346.已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 018)＋2 018ln x ，则f ′(2 018)＝________.答案 －2 019解析 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 018)＋2 018x，所以f ′(2 018)＝2 018＋2f ′(2 018)＋2 0182 018，即f ′(2 018)＝－(2 018＋1)＝－2 019.7.已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 答案 1解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1， 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)， 又点(2,7)在切线上，可得a ＝1.题型一 导数的计算1.f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0＝________. 答案 1解析 由题意得，f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2.若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 答案 －2解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 3.已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 答案 －4解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 思维升华 导数计算的技巧求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.题型二 导数的几何意义命题点1 求切线方程典例 (1)曲线f (x )＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为__________________.答案 2x ＋y ＋1＝0解析 根据题意可知切点坐标为(0，－1)， f ′(x )＝(x －1)(e x )′－e x (x －1)′(x －1)2＝(x －2)ex(x －1)2，故切线的斜率k ＝f ′(0)＝(0－2)e(0－1)2＝－2，则直线的方程为y －(－1)＝－2(x －0)， 即2x ＋y ＋1＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________. 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x . ∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 引申探究本例(2)中，若曲线y ＝x ln x 上点P 的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________. 答案 (e ，e)解析 y ′＝1＋ln x ，令y ′＝2，即1＋ln x ＝2， ∴x ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e). 命题点2 求参数的值典例 (1)(2017·南通三模)若直线y ＝2x ＋b 为曲线y ＝e x＋x 的一条切线，则实数b 的值是__________. 答案 1解析 设切点的横坐标为x 0，由曲线y ＝e x ＋x ，得y ′＝e x＋1，所以依题意切线的斜率为k ＝0e x＋1＝2，得x 0＝0，所以切点为(0,1).又因为切线y ＝2x ＋b 过切点(0,1)，故有1＝2×0＋b ，解得b ＝1.(2)曲线y ＝4x －x 2上两点A (4,0)，B (2,4)，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标是________. 答案 (3,3)解析 设点P (x 0，y 0)，∵A (4,0)，B (2,4)， ∴k AB ＝4－02－4＝－2.∵在点P 处的切线l 平行于弦AB ，∴k l ＝－2. ∴根据导数的几何意义知，曲线在点P 的导数y ′|0x x =＝(4－2x )|0x x =＝4－2x 0＝－2，即x 0＝3，∵点P (x 0，y 0)在曲线y ＝4x －x 2上， ∴y 0＝4x 0－x 20＝3，∴P (3,3). 命题点3 导数与函数图象典例 (1)已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________.答案 x －y －2＝0解析 由题图可知，f ′(2)＝1，∴切线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝______.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0).(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可.(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况. 跟踪训练 (1)已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1，0)的切线方程是________. 答案 y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 解析 设切点坐标为(x 0，x 20)， ∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)， ∴x 20＝2x 0(x 0＋1)， 解得x 0＝0或x 0＝－2，∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)， 即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.(2)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 答案 －1解析 ∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴y ′|π2x =＝－1. 由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.求曲线的切线方程典例 若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值. 错解展示：现场纠错解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上. (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝y ′|0x x =＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意知Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1.函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为________. 答案 3(x 2－a 2)解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )·(2x －2a ) ＝(x －a )·(x －a ＋2x ＋4a )＝3(x 2－a 2).2.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________. 答案 (2，＋∞)解析 由题意可知x >0，且f ′(x )＝2x －2－4x.令f ′(x )>0，则2x －2－4x>0，∴2x 2－2x －4>0，解得x <－1或x >2.又x >0，∴x >2， 即f ′(x )>0的解集为(2，＋∞).3.曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为________. 答案 (1,3)或(－1,3)解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上.4.若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为________. 答案 1或134解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，p ＝134.5.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为________. 答案 1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|0x x =＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.6.已知函数f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)的值为________.答案 2 解析 ∵f (x )＝2e x ＋1＋sin x ， ∴f ′(x )＝－2ex(e x ＋1)2＋cos x ，f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋sin x ＋2e －x＋1＋sin(－x )＝2， f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x(e x ＋1)2＋cos x ＋2e－x(e －x ＋1)2－cos(－x )＝0，∴f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.7.已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为______. 答案 3解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.8.已知曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，则a ＝______. 答案 1－e解析 因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以曲线f (x )＝x ln x 在x ＝e 处的切线斜率为k ＝2， 则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e. 由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切， 故y ＝x 2＋a 可联立y ＝2x －e ， 得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e.9.设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为_________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π 解析 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.10.已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示.(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝________；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为____________.(用“<”连接)答案 (1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1)解析 (1)由图可得f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ，g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2，故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，所以f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ， 由f (1)＝1，得c ＝12， 则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ， 则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ， h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1).11.已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程.解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为 x －y －4＝0或y ＋2＝0.12.已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限.(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程.解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4).(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14. ∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.13.已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为________.答案 14解析 由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝a x， 由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14，得12×121()4-＝a 14， 可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意. 14.若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为________. 答案 2解析 由题意知y ＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，当点P 是曲线的切线中与直线y ＝x －2平行的直线的切点时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，如图所示.故令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，故点P 的坐标为(1,1).故点P 到直线y ＝x －2的最小值d min ＝|1－1－2|2＝ 2.15.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________. 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号). 16.设抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限. (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标.解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，② 将①代入②得x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0， 得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17； 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4. ∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。
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科 目
数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 3.1导数的概念及运算
考纲定位 能识记基本初等函数的导数公式；能理解导数的几何意义；会求简单的函数及一些复
合函数的导数.
【考点整合】
1、导数的概念
（1）一般地，函数()y f x =在0x x =处的导数是 ；
（2）函数()y f x =在0x x =处的导数的几何意义是 ； 函数()y f x =在00(,())P x f x 处的切线方程是 .
2、导数公式：
（1）=C ' （2）()=n x ' （3）(sin )=x ' （4）(cos )=x '
（5）()=x e ' （6）()=x a ' （7）(ln )=x ' （8）(log )=a x '
（9）[()()]=f x g x '± （10）[()()]=f x g x '∙
（11）()[]=()
f x
g x ' （12）(),(),=x y f g x y μμ'==则
3、判断下列语句的真假性:
(1)若函数()y f x =在1x =-处的导数为1，则()y f x =在(1,(1))P f --处的切线的斜率为-1；（ ）
(2)若函数()y f x =在(1,(1))P f --处的切线的倾斜角为45°，则(1)1f '-=；（ ）
(3)函数2y x =在点(1,1)的切线的斜率为1.（ ）
(4)函数2y x =在点(1,1)的切线的斜率为2.（ ）
4、函数2y x =在点(1,1)的切线方程为
【典型例题】
一、求简单函数的导数
1、求下列函数的导数：
（1）232y x x =- （2）2log y x = （3）1x y e =- （4）sin y x x =+
（5）cos
3
x y = （6）1y x =- （7）33log y x x =+ （8）ln y x x =
（9）sin x y x
=
（10）99(1)y x =+ （11）2x y e -= （12）sin(25)y x =+
（13）2
2ln 1
x y x =+ （14）2sin()x x y a e =+
二、求函数的切线方程
2、已知曲线232y x x =-，则（1）曲线在点1x =处的切线方程为 ；
（2）曲线在点(1,0)P 处的切线方程为 .
3、已知sin ()x f x x
=，则其在点(,0)P π处的切线方程为 ；
三、高考真题演练
4、（2010 全国）曲线2
x y x =+在点(1,1)--处的切线方程是（ ） A.21y x =+ B.21y x =- C. 23y x =-- D. 22y x =--
5、（2012 广东）曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 .
【作业】《胜券在握》P24页 第1，2，3题
【课后反思】。