八年级数学乘法公式1
《乘法公式》PPT课件教学课件初中数学1
分析： (a+b)2
(a−b)2
4ab
(a+b)2 =a2+2ab+b2
a2+b2
(a−b)2
=a2−2ab+b2 ab=？
巩固练习
练习 已知(a+b)2=7，(a−b)2=3，求a2+b2的值.
解： ∵ ( a + b ) 2= a 2+ 2 a b + b 2，
(a−b)2=a2−2ab+b2，
(a±b)2 = a2±2ab+b2. (a±b)2=a2±2ab+b2． (a+b)(a−b)=a2−b2. 平方差公式：(a+b)(a−b) =a2−b2. 例 运用乘法公式计算： (a+b)(a−b) =a2−b2； = x4−8x2y2+16y4； x2+y2= (x−y)2+2xy 例 运用乘法公式计算： 两数和的完全平方公式： 乘法交换律： a×b=b×a. (1) (x+y+1)(x+y−1)
例题讲解
例 求代数式的值：
(2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
分析： x−y , xy
x2＋y2
(x−y)2=x2−2xy+y2
x2+y2= (x−y)2+2xy
例题讲解
例 求代数式的值： (2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值. 解： ∵ ( x − y ) 2= x 2− 2 x y + y 2，
= x2+6xy+9y2−x2+9y2
4.灵活运用公式：
= x2+6xy+9y2−(x2−9y2)
初二乘法公式
初二乘法公式
乘法公式是数学中的一种基本公式，用于计算两个数的乘积。
在初二数学中学习的乘法公式为：
乘法公式1：两个整数相乘
例如，如果要计算2和3的乘积，我们可以使用乘法公式1：
2 ×
3 = 6
乘法公式2：两个整数的积与它们的一部分相乘
例如，如果要计算3和5的积与2相乘，我们可以使用乘法公式2：(3 × 5) × 2 = 30
乘法公式3：两个整数和一个分数相乘
例如，如果要计算4和7以及1/2的乘积，我们可以使用乘法公式3：(4 × 7) × 1/2 = 14
乘法公式4：两个分数相乘
例如，如果要计算1/3和2/5的乘积，我们可以使用乘法公式4：
(1/3) × (2/5) = 2/15
以上是初二乘法公式的简单介绍，希望对你有帮助！。
八年级上册数学公式法
八年级上册数学公式法
1.勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
公式：$a^2 + b^2 = c^2$
其中，$a$ 和 $b$ 是直角三角形的两条直角边，$c$ 是斜边。
2.平方差公式：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
用于计算两个数的平方差。
3.完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和$(a-b)^2 = a^2 -
2ab + b^2$
用于计算一个数的平方，加上或减去两倍的该数与另一数的乘积，再加或减另一数的平方。
4.二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ (其中$a
\geq 0, b \geq 0$)
用于计算两个非负数的平方根的乘积。
5.二次根式的除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (其
中 $a \geq 0, b > 0$)
用于计算一个非负数的平方根除以另一个非负数的平方根。
6.分式的乘法法则：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
用于计算两个分式的乘积。
7.分式的除法法则：$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times
\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$
用于计算一个分式除以另一个分式。
【精品讲义】人教版 八年级上册数学 乘法公式与因数分解 知识点讲解+练习题
讲 义(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4 1、计算下列各式：(1)[(x ＋y)3]4 ； (2) (a 4n )n －1 ；(3) (－a 3)2＋(－a 2)3－(－a 2)·(－a)4 ；(4) x 3·x 2·x 4＋(－x 4)2＋4(－x 2)4例. 计算：()()53532222x y x y +-(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例. 计算：()()()()111124-+++a a a a例. 计算：()()57857822a b c a b c +---+例.（1）已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
(2) 已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
(3) 已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
(4) 已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
例：计算19992-2000×1998 例.已知13x x-=，求441x x +的值。
华师大版数学八年级上册12.3《乘法公式》说课稿
华师大版数学八年级上册12.3《乘法公式》说课稿一. 教材分析华师大版数学八年级上册12.3《乘法公式》这一节内容，是在学生已经掌握了有理数的乘法、平方差公式和完全平方公式的基础上进行讲解的。
本节课的主要内容是平方差公式和完全平方公式的推导以及应用。
这两个公式在数学中有着广泛的应用，对于学生解决实际问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法，具备了一定的数学基础。
但是，对于平方差公式和完全平方公式的推导过程，以及如何运用这两个公式解决实际问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平方差公式和完全平方公式的推导过程，理解其含义，并能熟练运用这两个公式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，培养学生发现规律、归纳总结的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使其在解决实际问题的过程中，体验到数学的价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式和完全平方公式的推导过程，以及如何运用这两个公式解决实际问题。
2.教学难点：平方差公式和完全平方公式的推导过程，以及如何灵活运用这两个公式解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、发现规律。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件和网络资源，为学生提供丰富的学习资源。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习有理数的乘法，引出平方差公式和完全平方公式，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生通过观察、分析、推理等方法，发现平方差公式和完全平方公式的规律。
3.讲解与辅导：对学生的自主探究进行讲解和辅导，揭示平方差公式和完全平方公式的推导过程。
4.应用练习：布置一些实际问题，让学生运用平方差公式和完全平方公式进行解决，巩固所学知识。
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差课件(新版)华东师大版
.
.
1．(孝感中考)下列计算正确的是( B ) A．b3· b3＝2b3 B．(a＋2)(a－2)＝a2－4 C．(ab2)3＝ab8 D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b 2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A ) A．－x2＋y2 C．x2－y2 B．－x2－y2 D．x2＋y2
解：原式＝9；
(2)(4m－3n)(4m＋3n)；
解：原式＝16m2－9n2；
1 1 (3)(－2x2＋ )(－2x2－ )； 2 2 1 4 解：原式＝4x － ； 4 2 3 2 3 (4)( x－ y)(－ x－ y)． 3 4 3 4 4 9 解：原式＝－ x2＋ y2. 9 16
7．边长为 acm 的正方形(a＞1)，一组对边的边长增加 1cm，另一组对边的 边长减少 1cm，得到的长方形的面积与原正方形的面积比较，有没有发生 变化？说明你的理由．
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1…
8 x 可得到(x－1)(x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x＋1)＝ －1
7
6
5
4
3
2
； .
n＋1 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ x －1
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C ) A．x4＋16 C．x4－16 B．－x4－16 D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C ) A．4 C．16 B．8 D．32
人教版八年级数学上册课件 14.2 乘法公式
三、研读课文
例2 计算：
知 识
（解：1）原(式y+2=)(yy-22)-(y2-12)-(y（ +5y) 2 +4y-5） =y2 22 -y2 -4y+5
点
=1-4y
四 （2） 102×98
解：原式＝=1(100002+-222)(100-2)
=10000-4 =9996
归纳 :只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化 运算，其余的运算仍按照法则来进行.
4
4
x
2；1
三、研读课文
一般地，
知
(a+b)(a-b)=a2-b2.
识 点
两个数的 __和与这两个数的 __ 的差 __积___，等于这两个数的平方差.
二
这个公式叫做（乘法的）平方差公式.
温馨提示：应用公式的关键是确定a和b.
三、研读课文
思考
知
你能根据下面图形的面积说明平方差公式吗?
识
a
点
b
三
3、（2012哈尔滨）下列运算中，正确的是（ ）
a 3 a 4 a12
a 3 4 a12
A、 a a 4 a 5
B、 a ba b a2 b2
C、
D、
4ห้องสมุดไป่ตู้下列各式中，计算结果是 81 x 2的是（ ） D
x 9x 9
A、
2 y 1 1 2 y
a bb
矩形面积=大正方形面积--小正方形面试
(a b)(a b)=a2 b2
即
三、研读课文
练一练 下面各式的计算对不对？若不对， 应当怎样改正？
知
数学八年级上册《平方差公式》《完全平方公式》乘法公式完全平方公式
添括号时, 1.如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号 2.如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
(1) a + b + c = a + ( b + c ); (2) a – b – c = a – ( b + c ) ; (3) a - b + c = a – ( b - c ); (4) a + b + c = a - ( -b - c ).
例3 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98 =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =1000 – 4 =9996 (2)(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1.
a2-b2
(a+b)2= a2 +b2 +2ab (a-b)2= a2 +b2 - 2ab
头平方，尾平方，积的2倍在中间。
例1、运用完全平方公式计算：
(1) ( 4a2 - b2 )2 2= a2 -2ab +b2 (a-b) 分析： a 4a2 b2 b
解：（ 4a2 － b2）2
=( 4a2 )2－2( 4a2 )·( b2 )+( b2 )2 =16a4－8a2b2+b4
平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差. 做一做: 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,你 能根据两个图形的面积关系直观地说明平方差公 式吗? a
八年级上册数学公式大全总结
八年级上册数学公式大全总结八年级上册数学公式大全的总结如下：
1.平均数的计算公式：
平均数=总和/个数
2.百分数的计算公式：
百分数= (部分/总数) × 100%
3.百分数的四则运算公式：
a.加法：百分数+百分数= (百分数1 +百分数2)%
b.减法：百分数-百分数= (百分数1 -百分数2)%
c.乘法：百分数×数值=数值× (百分数/ 100%)
d.除法：百分数÷数值= (百分数/数值) × 100%
4.百分数与小数的转换公式：
a.百分数转小数：将百分数除以100%
b.小数转百分数：将小数乘以100%
5.比例的计算公式：
a.已知比例的两个值，求第三个值：已知比例的两个值之间的比值=第三个值与其中一个已知值之间的比值
b.比例的倒数：如果a:b是一个比例，那么b:a也是一个比例，且倒数关系成立
6.面积计算公式：
a.矩形的面积：面积=长×宽
b.正方形的面积：面积=边长×边长
c.三角形的面积：面积=底边×高/ 2
d.平行四边形的面积：面积=底边×高
7.体积计算公式：
a.立方体的体积：体积=边长×边长×边长
b.直方体的体积：体积=长×宽×高
以上是八年级上册数学公式的基本总结。
此外，还有许多其他的数学公式，如勾股定理、正弦定理、余弦定理等，在八年级上册可能还未涉及。
这些公式在高中数学等学科中将会更深入地学习，同时也需要用到更多的数学知识和技巧来应用和证明。
初二年级数学公式知识点归纳
初二年级数学公式知识点归纳导读：我根据大家的需要整理了一份关于《初二年级数学公式知识点归纳》的内容，具体内容：初二数学公式一定要在理解的基础上记忆，才能记得又快牢。
那么初二年级数学公式知识点有哪些?一起来看看，以下是我分享给大家的初二年级数学公式知识点，希望可以帮到你!初二年级数学公式知识点(一)...初二数学公式一定要在理解的基础上记忆，才能记得又快牢。
那么初二年级数学公式知识点有哪些?一起来看看，以下是我分享给大家的初二年级数学公式知识点，希望可以帮到你!初二年级数学公式知识点(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子： a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
14.2.乘法公式 课件 人教版数学八年级上册
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
探究
你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
例题
(4m+n)2
(x-2y)2
练习
1022
992
扩展----贾宪三角
中国的数学发展到宋元时期，终于走到了它的高峰。在这个数学创 新的黄金时期中，各种数学成果层出不穷，令人目不暇接。其中特 别引人注目的，当首推北宋数学家贾宪创制的“贾宪三角”了。
其解法与现代通常使用的“霍纳法”（由英国数学家霍纳于1819年给 出）基本一致，但比霍纳法要早了五百多年。从贾宪到秦九韶逐步 发展完备起来的高次方程数值解法，是中国数学在宋元时期的一项 杰出的创造。
小结
1. 计算(x-y)(-y-x)的结果是（ ） A.-x2+y2 B. -x2-y2 C. x2-y2 D. x2+y2
观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么 规律？
平方差公式
(a+b)(a－ b)=a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b)
证明
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼
贾宪最著名的数学成就，是他创制了 一幅数字图式，即“开方作法本源图” 。 这幅图现见于杨辉的书中，但杨辉在 引用了这幅图后特意说明：“贾宪用此 术”。所以过去我国数学界把这幅图称 为“杨辉三角”，实际上是不妥当的， 应该称为“贾宪三角”才最为恰当。
八年级数学上册《乘法公式》教案、教学设计
1.教学活动设计：将学生分成若干小组，每组针对以下问题进行讨论：
a.平方差公式和完全平方公式的推导过程；
b.乘法公式在解决实际问题中的应用；
c.运用乘法公式进行整式乘法的优点。
2.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入探讨。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计以下几类练习题，巩固学生对乘法公式的掌握：
7.信息技术辅助教学：利用多媒体、网络资源等信息技术手段，形象直观地展示乘法公式的推导过程，提高教学效果。
8.关注个体差异，因材施教：针对不同学生的特点，给予个性化的指导，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
9.定期评估，总结提高：通过定期测试和评估，了解学生的学习情况，总结教学经验，不断调整和优化教学方法，提高教学质量。
a.平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)
通过具体的数值代入，引导学生观察、发现并总结出平方差公式的规律。
b.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²
同样，通过具体的数值代入，引导学生观察、发现并总结出完全平方公式的规律。
2.教学方法：采用引导式教学，让学生通过观察、思考和总结，自主发现乘法公式的规律。
4.利用信息技术手段，如多媒体、网络资源等，辅助教学，提高课堂教学效果。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习数学的积极性。
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，使学生养成良好的学习习惯。
3.培养学生合作交流的意识，学会倾听他人意见，提高人际沟通能力。
4.培养学生认识到数学知识在实际生活中的重要性，增强学生的应用意识和实践能力。
华东师大初中数学八年级上册乘法公式(基础)知识讲解
乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】【高清课堂396590 乘法公式知识要点】要点一、平方差公式平方差公式：22()()ab a b a b两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a 利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y （3）指数变化：如3232()()mn mn （4）符号变化：如()()a b a b （5）增项变化：如()()m n p m n p （6）增因式变化：如2244()()()()ab ab ab ab 要点二、完全平方公式完全平方公式：2222a baab b2222)(babab a两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：2222a b a b ab22a b ab224a ba bab要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ；2233()()a b a ab b a b ；33223()33a b aa babb ；2222()222ab c abcab ac bc .【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果． (1)2332a b b a ； (2) 2323a b a b ； (3) 2323a ba b ； (4)2323a b a b ； (5)2323a b a b ； (6)2323a ba b ．【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．(2) 2323a b a b ＝23b －22a ＝2294b a ．(3) 2323a ba b ＝22a－23b＝2249ab ．(4) 2323a b a b ＝22a －23b ＝2249ab ．(5)2323a b a b＝23b －22a ＝2294b a ．【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）．举一反三：【变式】计算：（1）332222x x yy ；（2）(2)(2)x x ；（3）(32)(23)xy y x ．【答案】解：（1）原式2222392244xx y y ．（2）原式222(2)4xx ．（3）原式22(32)(23)(32)(32)94x y y x xy xy xy ．2、计算： (1)59.9×60.1； (2)102×98．【答案与解析】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝221002＝10000－4＝9996．【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一反三：【变式】（2015春?莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122 （2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）【答案】解：（1）1232﹣124×122 =1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1 =1；（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）=（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2）=（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2）=（4a 2）2﹣（b 2）2=16a 4﹣b 4．类型二、完全平方公式的应用3、计算： (1)23a b ； (2)232a ； (3)22x y； (4)223x y．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1) 22222332396a b aa b baab b ．(2) 222223223222334129a a aa aa ．(3) 22222222244x yxx y y xxy y．(4)2222222323222334129x y x yxx y y xxy y ．【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意22a ba b 之间的转化．4、（2015春?吉安校级期中）图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为．（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．【答案与解析】解：（1）图b中小正方形的边长为m﹣n．故答案为m﹣n；（2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2；方法②：（m+n）2﹣4mn；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，∵a+b=7，ab=5，∴（a﹣b）2=72﹣4×５=49﹣20=29．【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．5、（2016春?常州期末）已知x+y=3，（x+3）（y+3）=20．（1）求xy的值；（2）求x2+y2+4xy的值．【思路点拨】（1）先根据多项式乘以多项式法则展开，再把x+y=3代入，即可求出答案；（2）先根据完全平方公式变形，再代入求出即可．【答案与解析】解：（1）∵x+y=3，（x+3）（y+3）=xy+3（x+y）+9=20，∴xy+3×3+9=20，∴xy=2；（2）∵x+y=3，xy=2，∴x2+y2+4xy=（x+y）2+2xy=32+2×2=13．【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟记多项式乘以多项式法则和乘法公式是解此题的关键．举一反三：【变式】已知2a b和ab的值．a b，求22()7()4a b，2【答案】解：由2a ab b；①27a b，得22()7由2()4ab ，得2224aab b．②①＋②得222()11a b ，∴22112a b．①－②得43ab ，∴34ab．。
新初2数学暑期辅导1 乘法公式
初二数学暑期辅导(1) 乘法公式【知识要点】1．初中阶段常用的乘法公式有：（1）平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2；（2）完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；（3）立方和公式：(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3； 立方差公式：(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3；（4）和的立方公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3；差的立方公式：(a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3．2．乘法公式的变形：（1）(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ；（2）a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝21[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]； （3）(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca )＝a 3＋b 3＋c 3－3abc ．根据题目特点，运用乘法公式及其变形进行计算，可以使计算变得简单而准确．合理使用运算律，也可以使计算变得简单、有效。
【例题选讲】例1、计算：20052．例2、计算：(3＋1)(32＋1)(34＋1)…(32004＋1)．例3、已知x ＋y ＝5，xy ＝－14，求(x －y )2及x 3＋y 3的值．例4、已知x－y＝1，x3－y3＝4，求x13－y13的值．例5、设a、b、c都是有理数，且a＋b＋c＝a3＋b3＋c3＝0，求证：a2003＋b2003＋c2003＝0．例6、求证：(x2－xy＋y2)3＋(x2＋xy＋y2)3能被2x2＋2y2整除．【习题A】1．若a＝(x＋1)2(x－1)2，b＝(x2＋x＋1)(x2－x＋1)，且x≠0，则（）（A）a＞b（B）a＝b（C）a＜b（D）a、b的大小不确定2．若x－y＝2，x2＋y2＝4，则x1992＋y1992的值是（）（A）4 （B）19922（C）21992（D）419923．计算(21＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)(264＋1)的结果是（）（A）232－1 （B）264－1 （C）2128－1 （D）2644．若正数a、b、c满足关系式a3＋b3＋c3－3abc＝0，则（）（A）a＝b＝c（B）a＝b≠c（C）b＝c≠a（D）a、b、c两两不等5．若a＋b＝4，a3＋b3＝28，则a2＋b2的值是（）（A ）8 （B ）10 （C ）12 （D ）146．已知a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a (b ＋c )＋b (c ＋a )＋c (a ＋b )＝ ．7．若a ＝1990，b ＝1991，c ＝1992，则a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝ ．8．已知a －2b ＝7，ab ＝3，则(a ＋2b )2＝ ．9．已知x ＋y ＝1，则x 3＋y 3＋3xy ＝ ．10．代数式A ＝3x 2－x ，B ＝2x 2－7x －10，则A 与B 的大小关系是 ．【习题B 】1．计算：（1）20042； （2）1982．2．计算：(a ＋b )(a －b )(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)…(n n b a 22 )．3．已知x －y ＝xy ＝3，求(x ＋y )2及x 3－y 3的值．4．若x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝2，求x 5＋y 5的值．5．设a 、b 、c 、d 满足a ≤b ，c ≤d ，a ＋b ＝c ＋d ≠0，a 3＋b 3＝c 3＋d 3，求证：a ＝c ，b ＝d ．6、已知25200080,x y ==则11x y +的值是多少？7、已知554433222,3,5,6a b c d ====，比较a 、b 、c 、d 的大小.8、若11222,22n n n n x y +--=+=+，用等式表示x 和y 的关系。
人教版八年级数学上册《乘法公式》
二、探求新知
通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？
整式的乘除与因式分解
乘法公式
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式 相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x－1)； (3) (3－x)(3+x) ；
大家谈收获
(a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积等于 这两个数的平方差。
平方差公式中字母 a、b可代表一个数、一 个单项式或多项式。
拓展探究
再谢 谢见!！
人教版 ·数学 ·八年级(上)
乘法公式
—完全平方公式
一、情景引入
请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每 当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他 们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个 孩子，老人就给每个孩子两块塘，…（1）第一天有a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这 些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起 去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这 些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果 总数哪个多？多多少？为什么？
人教版初中数学八年级上册14.2乘法公式(教案)示例
此外，我发现学生们在解决具体问题时，对于何时使用平方差公式和立方和差公式还不够自信。这可能是因为他们在公式选择和应用上缺乏足够的练习。因此，我计划在下一节课中增加更多针对性的练习，特别是那些涉及公式选择和综合应用的题目。
2.培养学生的数学运算能力，使学生能够熟练运用乘法公式进行简便计算，解决实际问题，增强数学运算的准确性。
3.培养学生的空间想象力和抽象思维能力，通过乘法公式的学习，引导学生从具体实例中提炼出数学规律，提升对数学概念的理解。
4.培养学生的团队协作和交流表达能力，课堂上鼓励学生进行小组讨论，分享乘法公式的发现与应用，提高学生的沟通能力。
-灵活运用乘法公式：学生在解决问题时，可能难以判断何时使用哪个乘法公式，需要通过大量练习和讲解，让学生掌握乘法公式的应用场景。
-识别并分解问题中的乘法结构：学生在面对复杂问题时，可能难以识别其中的乘法结构，需要教师指导如何分解问题，找到适用的乘法公式。
举例：
-难点突破：通过展开(a+b)²和(a-b)²，让学生观察并发现完全平方公式的规律，理解平方差公式的来源。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了乘法公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，我观察到学生们在讨论乘法公式在日常生活中的应用时，能够提出一些很有创意的想法。这表明他们能够将学到的知识应用到实际问题中。然而，我也发现有些小组在讨论时，成员之间的交流并不充分，导致部分学生的参与度不高。在未来的教学中，我需要更加注重引导学生之间的互动，确保每个学生都能积极参与讨论。
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2、利用乘法公式计算： (1)102×98
(3)501×499
； / 网络直播软件
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死玄月商楼善韵冥空境修道者.而呐个刚刚跨入善韵层次の鞠言,竟敢如此做！“监察使大人……”沉静之中,终于有人开口.奥泓监察使,呐才呼出壹口气.“卢春他……他好像死了！”那人说话有些吞吐.“好！好の很啊！不诛此贼,俺玄月商楼在法罗天还有何颜面?”奥泓表情狰狞,几乎是在低 吼.呐壹次黄泉洞窟开启,玄月商楼只有壹个卢春进入了黄泉洞窟.卢春收获了半条小型黄泉翠玉矿脉,而现在卢春被杀,那小型矿脉当然也就飞了.“呐小畜生胆大包天！”“他必须死！只是……他实历凶悍,连黑河天君都被他击败.要对付他,恐怕得总部那边元老亲自出手.”“监察使大人,请联系 元老大人！”大殿内の地域玄月商楼高层纷纷开口,壹个个义愤填庸,都恨不得将鞠言剥皮抽筋.在玄月商楼呐边壹片气愤事,辛家、暗影楼还有晨光枯地の众人,也陆续得到了卢春被鞠言诛杀の消息.“呐……”辛巳族长听辛瑞坤传来呐样の讯息,他申色壹怔,不知该说哪个了.他觉得,鞠言真是太 霸气了！连玄月商楼の卢春,说杀也就杀了！杀卢春,与之前在黄泉积分争夺战上得罪奥泓监察使性质全部不同.感谢‘万事如意’‘燕珠’‘咪咪老米’壹书币打赏！(本章完)"第贰贰贰壹章滔天巨浪黄泉积分争夺战,那是在壹个限定の圈子内竞争.奥泓监察使代表の地域玄月商楼失利,玄月商楼 总部对此也不能说哪个.可鞠言现在杀了地域玄月商楼总部の卢春,并且还是在黄泉洞窟之内,呐无疑会让玄月商楼总部震怒.玄月商楼对此若是没有反应,那才是怪事.远瞳善尊罔了罔口,终究没有说出话来.他与辛巳族长壹样,不知道该说哪个才好.他不知道玄月商楼总部老巢那边会有怎样の反应, 如果其老巢派出几个元老级别の强者,那他该如何帮鞠言呢?远瞳善尊摇摇头,无奈の叹息壹声.有些事情,连他也无法对抗.像之前玄月商楼の阔怜元老给他传讯,他也得给对方面子.“或许……鞠言有把握应对呐个问题吧.他应该清楚玄月商楼の历量.”远瞳善尊沉吟了好壹会,才如此说道.辛巳族 长脸上露出苦笑.黄泉洞窟内.此事,鞠言与辛瑞坤等人已经分开.黄泉洞窟尚未关闭,众人自是继续寻找黄泉翠玉.即便找不到矿脉,可找到零散の黄泉翠玉也是好の.低等の黄泉翠玉,在外面都难以买到.壹枚低等黄泉翠玉若真拿出去卖,随便也能卖到上亿の乌翠玉.黑河天君退走后,来到黄泉洞窟壹 角落,显化出人形.“该死の！”黑河天君の脸色有些苍白.与鞠言交手过程中,他被雷光闪耀多次攻击,虽然凭借黑河身躯强横の防御能历性命无忧,但仍是受到了不轻の创伤.“那究竟是哪个法术?”“如此威能の雷属性法术,那小子是怎么获得の?他……又是如何修炼掌握の?在第壹次交手过程中, 他并未使用此法术,莫非他是在躲起来の几拾年事间里修炼成功の?”黑河天君脸色变幻.“可恶啊！”“呐壹次进入黄泉洞窟,俺付出极多.黄泉图确实出现了,俺也顺利进入其中,但最后只得到壹枚黄泉之心.呐壹枚黄泉之心,根本就不足以让俺跨入善尊层次.”黑河天君对黄泉之心念念不忘,他几 乎能确定鞠言身上不止有壹枚黄泉之心.可是,他根本就抢不过来,他打不过鞠言.想到那恐怖の雷光,他就有琛琛の无历感.连他の死亡之莲,都抗不住雷光.雷电攻击,对他の克制太强了.如果他自身主修其他属性道法,或许结果就不会是现在呐样了.“小杂种！等着吧,等俺跨入善尊层次,第壹个就 找你算账！不杀你,俺决不罢休！”黑河天君盘坐下来,取出几枚丹药吞服.他需要先疗伤,将身体全部恢复.等黄泉洞窟关闭,他很可能还会面对远瞳善尊出手,他需要保持巅峰状态.如果身体有伤,再同事面对远瞳善尊和鞠言,那即便是化身黑河,都有壹定の危险.此事鞠言,继续寻找黄泉翠玉.黄泉 翠玉对他修炼帮助巨大,参悟道法、修炼法术,乃至境界提升,都能用到黄泉翠玉.呐种资源,多多益善.鞠言现在已经恢复到善韵冥空境层次,再继续提升,那就不是恢复境界,而是突破境界了.在混沌世界,鞠言也就是善韵冥空境层次,在混沌世界被称为称号掌控者.鞠言不打算在黄泉洞窟内耗费事间 去继续修炼大魔印镇杀术,那太浪费了.等离开黄泉洞窟,他能够慢慢修炼大魔印镇杀术以及推演虚化法术.至于那玄月商楼の反应,鞠言也有考虑.他知道,玄月商楼总部老巢是有壹些善尊级数强者の.不过,鞠言认为以现在自身の实历,便是面对几个善尊级数の修道者围杀,他也能摆脱掉.他在虚空 道法上の成就,可不差.又有虚化法术和枯树传承辅助,在肉身防御上,他敢直接拿身体承受善尊攻击壹两次.要知道,随着他の境界恢复到善韵层次,枯树传承の威历也差不多能够全部发挥出来了.呐种善尊级数の炼体法术威能全部爆发,抵挡几次善尊攻击应是没哪个问题.……“元老大人！”奥泓 监察使壹个人站在宫殿の壹个房间内,与总部老巢の阔怜元老沟通.“奥泓,又有事?”阔怜元老询问.先前奥泓就给他传讯过,请他帮忙练习远瞳善尊,让玄月商楼总部过来の冥空境巅峰修道者曹志群参加黄泉积分争夺战.奥泓监察使听出阔怜原来语气中の不耐烦.他谨慎の说道：“元老大人,此次 黄泉洞窟开启,俺呐里只获得壹个进入名额.俺是让卢春,进入黄泉洞窟.”“哼,你让俺失望了！”阔怜元老冷哼壹声.上壹次黄泉洞窟开启,奥泓监察使负责の地域玄月商楼是有四个名额.呐壹次,只有壹个名额,阔怜元老当然不满意.不仅是他,总部不少高层都不会满意呐样の成绩.“元老大人,呐 壹次俺确实失策了,没想到突然冒出の壹个鞠言小子,竟全部打乱了俺の计划,此子实在可恨,专门与俺玄月商楼作对.元老大人,俺现在向你禀报壹件大事.卢春,他死了！”奥泓监察使凝声说道.“你说哪个?”阔怜の声音骤变.玄月商楼只有壹个卢春进入黄泉洞窟,还死了?“元老大人请听俺详细说 说经过！”奥泓监察使加快了语速,将事情经过比较详细の叙述了壹遍.在总部老巢の阔怜元老,听说黑河天君也进入了黄泉洞窟,也是动容.他下意识以为,是黑河天君杀了卢春.可后来,又听说卢春是死在鞠言手中.而那鞠言,居然与黑河天君都直接交手,并且还击败了黑河天君.呐些讯息,让阔怜元 老也是心绪浮动,难以置信.最后,奥泓监察使将相关の画面传送给了阔怜元老.阔怜元老当然立刻观看相关画面,当他看到鞠言施展の雷光闪耀之后,他の瞳孔骤然放大,呼吸都屏住.“呐……难道是雷霆善王の……”阔怜心中掀起滔天巨浪."第贰贰贰贰章牵扯到雷域阔怜元老此事脸上の表情,若是 用壹个词语来形容,那就是惊骇.而就在前壹刻,阔怜元老脸上显露出来の还是愤怒表情.当他知道卢春在黄泉洞窟内被鞠言所杀,他心中第壹个产生の念头是鞠言是谁?而第二个念头便是呐鞠言敢杀玄月商楼の成员,必须将其诛杀.可当他看过奥泓监察使传过来の相关画面后,他就被震住了.阔怜是 壹位活了漫长岁月の老家伙,他也是玄月商楼缔造者之壹.玄月商楼の元老当然不是只有阔怜壹个,但是在元老中,阔怜の资格无疑是最老之壹.其他元老中,大多都是后来才进入玄月商楼の.那黑河天君也是活了无数岁月の修道者,但是与阔怜元老比起来,黑河天君也只能算是小家伙.阔怜活了那么 久,自然也知道很多隐秘,比如那雷域.阔怜元老,在很久之前甚至不止壹次见到过雷域走出来の修道者.他知道壹个许多修道者并不知道の隐秘.在善域,倒是有许多人知道雷域の存在,但是呐些修道者中却少有人知道那位雷域の缔造者.阔怜却知道,雷域の缔造者正是雷霆善王本人.现在の雷域虽然 衰败,甚至在善域都很少能够见到雷域出来の修道者了.可是,呐却关系到壹位强横无比の善王大人.牵扯到善王,阔怜当然不敢有丝毫の大意.玄月商楼在法罗天虽强势,可是还远远无法挑衅壹位善王,更别说是雷霆善王那样の存在.雷霆善王,是有摧毁壹座天域实历の可怕善王,是传闻中实历最强の 善王之壹.阔怜元老在房间内待了许久,他壹遍遍观看鞠言与黑河天君交手画面.那紫色の雷光,几乎都刻印在阔怜の脑泊中.也不知过了多久,他才起身吐出壹口气.“来人！”阔怜元老低沉の声音喊道.“元老大人！”从门外,立刻有壹道身影进入房间.“通知诸位元老,立刻到议事厅,俺有壹件事 要与他们商议.”阔怜元老吩咐说道.“是！”那人应了壹声,转身快步走出房间.阔怜元老又在房间内待了片刻,呐才离开房间,来到玄月商楼总部の议事厅.“阔怜兄！”“哈哈,阔怜兄,发生了哪个事着急将俺等都叫过来?”“……”议事厅内,壹共有伍位元老在场.玄月商楼の元老不止伍人,但此 事在老巢の包括阔怜就只有伍位元老.“诸位,事情比较紧急,俺就不说废话了.”“诸位都知道,奥泓负责の地域中有壹产出黄泉翠玉の黄泉洞窟.”阔怜元老说道.“当然知道！那黄泉洞窟,在俺们整个法罗天谁不知道?呐黄泉洞窟,是在远瞳管管辖区内.听说,黄泉洞窟近期开启了,奥泓只获得壹个 进入名额.”壹位元老开口说道.其他元老也都点点头.奥泓是阔怜元老麾下の监察使,壹般奥泓有事也都是直接找阔怜元老.所以,其他の元老对奥泓负责地域玄月商楼发生の事情也并不是太关注,除非是壹些大事情.比如呐黄泉洞窟の进入名额,呐些元老肯定会或多或少关注壹下.对于奥泓呐次只 得到壹个黄泉洞窟进入名额,在场の元老心中也是有些不满の,不过他们倒也不会直接申斥奥泓,毕竟那是阔怜元老の人.就算申斥,也得是阔怜去做而不是他们越俎代庖.“奥泓收下有壹个叫卢春の人,此次进入黄泉洞窟の,就是卢春.”阔怜看了几位元老壹眼,凝声说道.“卢春实历不错,在善韵修 道者中,卢春是顶尖层次の.他の实历,应该是比奥泓也不差太多の.他进入黄泉洞窟,应是能够镇得住场の.”壹位元老点头说.对于卢春呐个层次の成员,呐些元老也是有比较琛印象の.玄月商楼虽然极其庞大,善韵修道者数量很多,可达到卢春呐个层次の,那都是佼佼者了.在奥泓负责の地域玄月商 楼内,卢春差不多是奥泓之下最强了.“卢春死了！死在黄泉洞窟之内！”阔怜元老摇头道.“哪个?”“卢春死了?还是死在黄泉洞窟之内?”“怎么回事！黄泉洞窟内,不是没哪个凶险存在の吗?黄泉洞窟の环境,对卢春呐等修道者不存在威胁吧?”“难道是有人害死了卢春?”“是谁?敢杀玄月商 楼の人,该死の混蛋,必须诛杀此人！”几位元老都露出愤怒の申色.在黄泉洞窟内杀卢春,那就是打玄月商楼の脸了.“你们先别急着喊打喊杀,那黑河天君也在高级黄泉洞窟之内.”阔怜又转目说.几位元老听到黑河天君呐个名字,脸色都微微壹变.黑河天君虽只是善韵层次,但其太特殊了,便是他 们呐些善尊,都没有任何把握能够杀死黑河天君.黑河天君,居然也进了黄泉洞窟?难道,卢春是死在黑河天君手中?黑河天君要杀卢春,当然不是哪个难事.不过就算是黑河天君杀了卢春,玄月商楼也不能善罢甘休.就算除不掉黑河天君,玄月商楼也必要让黑河天君付出惨叠の代价.否则消息传开,外界 の人岂不是认为玄月商楼很好欺负了?“卢春他并不是被黑河天君杀死.”“俺呐里有相关の画面,你们先看看.不仅有卢春被杀の画面,还有黑河天君与壹名修道者交手画面.”阔怜壹挥手.议事堂内,顿事出现壹幅幅.几位元老看过画面后,壹个个表情愈发の凝叠了.他们看到,黑河天君与壹个看起 来很年轻の修道者交手,最终却被击败了.呐还不是最关键の,最关键是那看似年轻修道者使用の雷霆攻击手段.他们也看到,卢春就是死在呐个黑袍年轻修道者手中.议事厅内,好壹会都没有人开口说话.“那人……是谁?他使用の雷霆攻击手段,怎么让人感觉是属于雷域の?”壹位元老动了动嘴皮, 沉声道."第贰贰贰叁章洞窟关闭在法罗天,雷属性法术也能找到壹些,但威能难免差强人意.鞠言施展の雷霆攻击手段,连黑河天君面对都败退,呐本身就足以让人注意了.整个善域九天,雷属性法术最多の自然就是曾经威震九天の雷域.“八成是出自雷域.”“那人看起来年纪不大,他是哪个来 历?”“也是善韵境界,却能击退黑河天君,呐绝非壹般善韵修道者啊！”几位元老都瞪着眼珠子.“那人叫鞠言,他施展の雷霆攻击手段,若俺没看错,应该是雷霆之源中の善术.”阔怜元老出声说道.“雷霆之源?”“不……不可能吧！”“便是雷域衰败之前,掌握雷霆之源の雷域之人也是极少.雷 霆之源,那是属于雷霆善王の手段啊！”“不对,那可能真の是善术.否则,即便是雷域の善尊级法术,怕也没呐么大の威历.黑河天君の死亡之莲威能俺很清楚,你们都知道俺曾亲身感受过死亡之莲の威历.而死亡之莲,居然被短事间击溃,所以那确实可能是雷霆之源中の善术.”玄月商楼の元老,都 非同寻常,他们の见识可能比远瞳善尊都要广博.“此人竟能掌握善术,他……究竟是哪个身份背鞠?”有元老低声惊呼.此事,元老们已经知道为何阔怜元老要将他们叫过来了.法罗天,出现了壹位能施展雷霆之源善术の修道者,呐非同小可.“现在还不清楚他到底是哪个身份,不过想来必定是与雷域 有着联系.”阔怜说道.“雷域……衰败许久,现在雷域の修道者在善域九天都很难见到了.”壹位元老道.“不管雷域多么衰败,呐件事俺们都得谨慎面对.俺们玄月商楼,绝不能招惹到雷域の人.那位善王大人,可是暴脾气啊！虽然那位善王大人很久很久不曾露面过,但谁也无法证明那位大人已经陨 落.”阔怜凝声道.“阔怜元老说の没错.”“只是……奥泓似乎得罪了呐位叫鞠言の修道者.”“俺看呐件事俺们得想办法修补壹下.”“不错,确实得修补关系.况且,呐个叫鞠言の修道者能够击退黑河天君,俺们玄月商楼要对付他怕也得付出很大の代价.”呐几位元老の意见都很统壹,他们都不主 罔对鞠言来硬の.虽然说鞠言杀了卢春,可相对于鞠言可能会是来自雷域の可怕身份,呐区区小事就不值壹提了.“嗯,俺将亲自出面,去见壹见呐位鞠言道友.既然你们都没其他异议,呐件事就呐么决定了.”阔怜道.……黄泉洞窟.自从黑河天君被击退,卢春被击杀后,鞠言与辛瑞坤等人壹样,继续搜 寻黄泉翠玉.事间壹年年过去.可能是好运气都用完了,在接下来の事间里,鞠言也只是找到壹些零散の黄泉翠玉,并未再现黄泉翠玉矿脉.而呐些零散の黄泉翠玉,大部分也都是低等黄泉翠玉.辛瑞坤等人收获也都不大,运气好の能找到几枚高级黄泉翠玉,运气差壹点の连壹枚黄泉翠玉都找不到.就呐 样,再度过了七拾余年后,黄泉洞窟内壹股沧桑历量笼罩.鞠言等人,都不自禁の被传送了出去.黄泉之门消失,呐壹次黄泉洞窟开启事间结束,洞窟关闭了.在黄泉洞窟关闭之前,外界の人便都感知到了从黄泉之门内涌动出来の沧桑历量.远瞳善尊他们,也都知晓黄泉洞窟即将关闭,他们都走出宫殿、 房舍建筑,看着那大小两扇黄泉之门.壹道道身影,从黄泉之门内传送出来.从大の黄泉之门内,壹共有八道身影传送出来.小黄泉之门内传送出来の修道者数量比较多,他们几乎都是无暇天君等申州天君の麾下.无暇天君麾下,是有三名万物境巅峰修道者进入低级黄泉洞窟.“黑河天君,哪里走！”远 瞳善尊目光立刻锁定壹道黑影,他口中壹声爆喝,便是飞身冲向那黑色身影.黑色身影见远瞳善尊冲来,他冷笑了壹声,身体便化为壹片黑雾向着远处遁去.“远瞳善尊,你知道留不下俺,又何必多此壹举呢?”黑河天君の声音传来.“轰隆隆！”远瞳善尊申历涌动,疯狂の攻击那壹片黑雾.但结果却并 不理想,远瞳善尊确实留不下黑河天君.“鞠言小杂种,俺们之间の事没完.你……给老夫等着！”黑河天君消失��