2019版高考数学二轮复习(理科)小题专项练习(八)
2019年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题08数列理(含解析)
( m 1) 个
与已知矛盾.
最后证明：2m排在2m−3之后(m≥2为整数）.
假设存在2m（m≥2），使得2m排在2m−3之前，则an 的长度为m+1且末项为2m+l的递增子列
的个数小于 2m .与已知矛盾。
综上，数列an 只可能为2，1,4，3，…，2m−3,2m,2m−1,…。
【答案】16
a2a5 a8 a1 d a1 4d a1 7d 0
【解析】由题意可得：
S9
9a1
98 2
d
27
，
解得：
a1 d
5 2
，则
S8
8a1
87 2
d
40
28
2
16
.
【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容，解题过程中要注意应
用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程(组)，如本题,从已知出发,构
因 a2 3a1 ，所以 a1 d 3a1 ，即 2a1 d ,
所以 S10 S5
10a1
10 2
9
d
5a1
5
2
4
d
100a1 25a1
4．
【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转
4
2019 年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题 08 数列理(含解析)(word 版可编辑修改)
（Ⅰ）求an 和bn 的通项公式;
假设2m排在2m−1之后.
设 ap1 , ap2 ,, apm1 , 2m 1是 数 列 an 的 长 度 为 m末 项 为 2m−1的 递 增 子 列 ， 则 ap1 , ap2 ,, apm1 , 2m 1, 2m 是数列an 的长度为m+1末项为2m的递增子列。与已知矛盾. 再证明：所有正偶数都是an 中的项. 假设存在正偶数不是an 中的项，设不在an 中的最小的正偶数为2m。 因为2k排在2k−1之前（k=1，2，…,m−1），所以2k和 2k 1 不可能在an 的同一个递增子列中. 又an 中不超过2m+1的数为1，2，…,2m−2，2m−1，2m+1,所以an 的长度为m+1且末项为2m+1
2019高考数学(理科)小题专项限时训练8套(含答案)
二、小题专项，限时突破限时标准练(一)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合M ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝4n ，n ∈Z }，则( )A ．MPB ．P MC ．N ∩P ≠∅D ．M ∩N ≠∅[解析] M 为偶数集，N 为奇数集，因此P M .[答案] B2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2[解析] z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i ＋22＝i ＋1，则|z |＝12＋12＝2.[答案] C3．在等比数列{a n }中，a 3－3a 2＝2，且5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，则{a n }的公比等于( )A ．3B ．2或3C ．2D ．6 [解析]由题意可得⎩⎨⎧a 1q 2－3a 1q ＝2，2(5a 1q 3)＝12a 1q 2＋2a 1q 4，解得a 1＝－1，q ＝2.∴{a n }的公比等于2.[答案] C4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≤0，x ＋3≥0，y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 已知约束条件可行域如图，z ＝x ＋2y 经过B (－1,2)时有最大值，∴z max ＝－1＋2×2＝3.[答案] D5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，上顶点为B ，若直线y ＝cb x 与FB 平行，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.22C.32D.63[解析] 由题意，得b c ＝c b ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. [答案] B6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种 D．36种[解析] 只能是一个人完成2项工作，剩下2人各完成一项工作．由此把4项工作分成3份再全排得C 24·A 33＝36种．[答案] D7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．30＋4πB ．30＋3πC ．30＋9π4D ．30＋2π[解析] 由三视图，知该几何体是一长方体与圆柱的组合体，∴表面积S ＝(3×3＋3×1＋3×1)×2＋2π×12×2＝30＋2π.[答案] D8．定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x ＋1)＝f (x －1)，且当－1<x <0时，f (x )＝2x －1，则f (log 220)等于( )A.14 B ．－14 C ．－15 D.15 [解析] ∵f (x ＋1)＝f (x －1)，∴函数f (x )为周期为2的周期函数， 又∵log 232>log 220>log 216， ∴4<log 220<5.∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254，又∵x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x －1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－15，故f (log 220)＝15. [答案] D9．下面程序框图是为了求出满足3n －2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1000？和n ＝n ＋1B ．A >1000？和n ＝n ＋2C ．A ≤1000？和n ＝n ＋1D ．A ≤1000？和n ＝n ＋2[解析] 由题意选择3n －2n >1000，则判定框内填A ≤1000？，因为n 为偶数，且n 初始值为0，“”中n 依次加2可保证其为偶数，所以“矩形框内”应填n ＝n ＋2.[答案] D10．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，则ω的一个可能值是( ) A.12 B.35 C.34 D.32[解析] 由函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，得2π3≤π2ω⇒ω≤34.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，得5π6>π2ω，ω>35，所以35<ω≤34.[答案] C11．已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为( )A.92B.94 C ．1 D ．9[解析] 动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，∴a ＋bm ＋c －2＝0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，∴(4－1)2＋m 2＝3，解得m ＝0.∴a ＋c ＝2.则12a ＋2c ＝12(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．∴12a ＋2c 的最小值为94. [答案] B12．已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －2)<f (x )对任意的x >2恒成立，则k 的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 先画f (x )＝x ＋x ln x 的简图，设y ＝k (x －2)与f (x )＝x ＋x ln x 相切于M (m ，f (m ))(m >2)，所以f ′(m )＝f (m )m －2，即2＋ln m ＝m ＋m ln m m －2，化为m －4－2ln m ＝0，设g (m )＝m －4－2ln m .因为g (e 2)＝e 2－8<0，g (e 3)＝e 3－10>0，所以e 2<m <e 3，而k <f ′(m )＝2＋ln m ∈(4,5)，又k ∈Z ，所以k max ＝4.[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．若(1＋x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6展开式中x 4的系数是72，则实数a 为________(用数字填写答案)．[解析] 依题设，展开式中x 4的系数，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6展开式中含x 4与含x 2的系数和．因此C 16a ＋C 26a 2＝72，则(a －2)(5a ＋12)＝0，解之得a ＝2或a ＝－125. [答案] 2或－12514．已知点A (m,0)，点P 是双曲线C ：x 24－y 2＝1右支上任意一点，若|P A |的最小值为3，则m ＝________.[解析] 设P (x ，y )(x ≥2)，则|P A |2＝(x －m )2＋y 2＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫x －45m 2＋15m2－1，当m >0时，x ＝45m ，|P A |的最小值为 15m 2－1＝3，∴m ＝55；当m <0时，2－m ＝3，∴m ＝－1.[答案] －1或5 515．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9,10,11,1，那么这组数据的方差s 2可能的最大值是________．[解析] 设这组数据的最后2个分别是：10＋x ，y ， 则9＋10＋11＋(10＋x )＋y ＝50，得x ＋y ＝10，故y ＝10－x . 将s 2＝15[1＋0＋1＋x 2＋(－x )2]＝25＋25x 2， 显然x 最大取9时，s 2最大是32.8. [答案] 32.816．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形．若P A ＝26，则△OAB 的面积为________．[解析] 如图，由题意可知△P AC ，△PBC ，△PDC 均为直角三角形，取PC 的中点O ，则O 到P ，A ，B ，C ，D 的距离相等，所以点O 为过P ，A ，B ，C ，D 的球的球心，由已知可得OA ＝OB ＝23，所以△AOB 是正三角形，所以S ＝12×23×23×32＝3 3. [答案] 3 3限时标准练(二)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}[解析] 1是方程x 2－4x ＋m ＝0的解，x ＝1代入方程得m ＝3，∴x 2－4x ＋3＝0的解为x ＝1或x ＝3，∴B ＝{1,3}．[答案] C2．设i 是虚数单位，复数a ＋i 1＋i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[解析] 由题意得，a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i 2＝a ＋12＋1－a 2i ，因为复数a ＋i1＋i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＝0，1－a2≠0，解得a ＝－1.[答案] A3．设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是( )A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧q D．(綈p)∨q[解析]命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3是真命题，例如取x0＝4，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x是假命题(取x＝4时，x2＝2x)，綈q为真命题．因此p∧(綈q)为真命题．[答案] A4．在某项检测中，测量结果服从正态分布N(2,1)，若P(X<1)＝P(X>1＋λ)，则λ＝()A．0 B．2 C．3 D．5[解析]依题意，正态曲线关于x＝2对称，又P(X<1)＝P(X>1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2.[答案] B5．函数y＝x2sin x＋2x cos x在区间[－π，π]上的图象大致为()[解析] y ＝x 2sin x ＋2x cos x 在x ∈[－π，π]上是奇函数，图象关于原点对称，排除D.又y ′＝(x 2＋2)cos x ，当x ∈[0，π]时，令y ′＝0，得x ＝π2. 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ′>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，y ′<0，因此函数在x ＝π2时取得极大值，只有A 满足． [答案] A6．设a ，b ∈{x ||x |＋|x ＋1|>1}，且ab ＝1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．2 2[解析] 由|x |＋|x ＋1|>1，得x >0或x <－1，又ab ＝1，且a ，b ∈{x |x >0或x <－1}．∴a ，b 大于0，且ab ＝1.则a ＋2b ＝1b ＋2b ≥22，当且仅当b ＝22时取等号，故a ＋2b 的最小值为2 2.[答案] D7．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有P n P n ＋1→＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n ⎝⎛⎭⎪⎫n －43B ．n ⎝⎛⎭⎪⎫n －34C ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－nD ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－n[解析] 因为P n P n ＋1→＝OP n ＋1→－OP n →＝(n ＋1，a n ＋1)－(n ，a n )＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，所以a n ＋1－a n ＝2.所以{a n }是公差为2的等差数列． 由a 1＋2a 2＝3，得a 1＝－13， 所以S n ＝－n 3＋12n (n －1)×2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43. [答案] A8.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，则过C ，M ，D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分的面积是( )A.23B.43C.52D.83[解析] 由题意，建立如图所示的坐标系，则D (2,1)，设抛物线方程为y 2＝2px ，代入D 点坐标，可得p ＝14.∴y ＝x 2，∴S ＝2⎠⎛02x2d x ＝2·23x32 |20＝83.[答案]D9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.9＋36πB.6＋36πC.3＋36πD.12＋36π[解析] 由三视图可得，直观图为圆锥的12与圆柱的34组合体，由图中数据可得几何体的体积为12·13·π·12·3＋34π·12·2＝9＋36π. [答案] A10．已知单位圆有一条长为2的弦AB ，动点P 在圆内，则使得AP →·AB →≥2的概率为( )A.π－24πB.π－2πC.3π－24πD.2π[解析] 建立如图所示的直角坐标系，由题意，取A (1,0)，B (0,1)，设P (x ，y )，则(x －1，y )·(－1,1)≥2，∴x －y ＋1≤0，满足x －y ＋1≤0的点与圆围成的面积S ＝π4－12×1×1＝π－24. 又单位圆的面积S 圆＝π×12＝π， ∴所求的概率P ＝SS 圆＝π－24π.[答案] A11．函数f (x )＝2sinωx ＋2cosωx (ω>0)，若∃x ∈R ，使f (x ＋4)＝f (x )＋4，则当ω取最小值时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)的值为( )A ．4B ．2C ．0D ．－22[解析] f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin ωx ＋22cos ωx ＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.又∃x ∈R ，使f (x ＋4)＝f (x )＋4， ∴∃x 0∈R ，使f (x 0)＝－2，f (x 0＋4)＝2.则x ＝x 0与x ＝x 0＋4是函数f (x )图象的两条对称轴． 若ω取最小值，则T ＝2(x 0＋4－x 0)＝8，从而f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)＝0.[答案] C12．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1[解析] 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m >0，n >0，故m >n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n2＝1＋1n 4＋2n2>1，∴e 1·e 2>1. [答案] A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧15－x，x ≤0，log 4x ，x >0，则f [f (－3)]＝________.[解析] 由题意知f (－3)＝15－(－3)＝18，f [f (－3)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 418＝－32.[答案] －3214．当a ＝2，b ＝6时，执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________．[解析] 依据程序框图，初始值a ＝2，b ＝6，S ＝0，T ＝12. 循环执行一次：S ＝12，a ＝3，b ＝5，T ＝15. 循环执行两次：S ＝15，a ＝4，b ＝4，T ＝16.循环执行三次：S ＝16，a ＝5，b ＝3，T ＝15，此时满足S >T ，输出S ＝16.[答案] 1615．点M 是双曲线x 2－y24＝1渐近线上一点，若以M 为圆心的圆与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则圆M 的半径的最小值等于________．[解析] 不妨设点M 是渐近线2x －y ＝0上一点． ∵圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，∴圆心C (2,0)，半径R ＝1.若圆M 的半径最小，则圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x －y ＝0垂直．因此圆M 的半径的最小值r min ＝|MC |min －R . 由于|MC |min ＝|4－0|22＋(－1)2＝455，故r min ＝455－1.[答案]455－116．若函数f (x )的表达式为f (x )＝ax ＋bcx ＋d (c ≠0)，则函数f (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c ，a c .现已知函数f (x )＝2－2x 2x －1，数列{a n }的通项公式为a n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫n 2017(n ∈N *)，则此数列前2017项的和为________．[解析] ∵函数f (x )＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0)的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c ，a c ，∴函数f (x )＝2－2x 2x －1的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，即有f (x )＋f (1－x )＝－2.则数列前2017项的和为S 2017＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋f (1)，则S 2017＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20152017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f (1)， 相加可得2S 2017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20152017＋…＋2f(1)＝－2＋(－2)＋…＋(－2)＋0＝－2×2016，则此数列前2017项的和为－2016.[答案]－2016限时标准练(三)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则集合A ∩B ＝( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．∅[解析] 集合A ＝{y |y ＝lg x }＝{y |y ∈R }＝R ，B ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝{x |x ≥0}＝[0，＋∞)．[答案] B2．已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3D. 3[解析] 由已知得(a ＋3i)(a －3i)＝4，∴a 2＋3＝4，解得a ＝±1. [答案] A3．设函数f (x )＝x 2－2x －3，若从区间[－2,4]上任取一个实数x 0，则所选取的实数x 0满足f (x 0)≤0的概率为( )A.23B.12C.13D.14[解析] 由f (x 0)≤0，得到x 20－2x 0－3≤0，且x 0∈[－2，4]，解得－1≤x 0≤3，∴P ＝3＋14＋2＝23.[答案] A4．已知数列{a n }满足：对于∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12[解析] 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12.令m ＝1，得12a n＝a n ＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列．因此a 5＝a 1q 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132.[答案] A5．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[解析] 向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7. 可得a 2－a ·b ＝4－a ·b ＝7，可得a ·b ＝－3， cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－32×3＝－12，由0≤〈a ，b 〉≤π，得〈a ，b 〉＝2π3. [答案] C6．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )A．9π B．18π C．36π D．144π[解析]由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2,4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形．将该三棱柱补成一个长方体，从同一顶点出发的三条棱长为4,4,2.设外接球的半径为R，则2R＝42＋42＋22，R＝3.因此外接球的表面积S＝4πR2＝36π.[答案] C7．已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD＝7，AB＝2，则S△ABC＝()A．3 B．2 3 C．3 3 D．6[解析] ∵由于△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且内角和等于180°，∴B ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得：AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，即7＝4＋BD 2－2BD ，∴BD ＝3或－1(舍去)，可得BC ＝6，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×2×6×32＝3 3.[答案] C8．若实数x ，y 满足|x |≤y ≤1，则x 2＋y 2＋2x 的最小值为( ) A.12 B ．－12 C.22 D.22－1[解析] x ，y 满足|x |≤y ≤1，表示的可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1的几何意义是可行域内的点到D (－1,0)的距离的平方减1.显然D (－1,0)到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为12＝22，故所求表达式的最小值为12－1＝－12.[答案] B9．执行下面的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 开始S ＝0，K ＝1，a ＝－1执行循环： 第一次：S ＝0－1＝－1，a ＝1，K ＝2； 第二次：S ＝－1＋2＝1，a ＝－1，K ＝3； 第三次：S ＝1－3＝－2，a ＝1，K ＝4；第四次：S ＝－2＋4＝2，a ＝－1，K ＝5； 第五次：S ＝2－5＝－3，a ＝1，K ＝6； 第六次：S ＝－3＋6＝3，a ＝－1，K ＝7； 结束循环，输出S ＝3. [答案] B10．若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是( )A.π4B.π2 C ．π D ．2π [解析] 由f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 的对称轴方程为x＝π4ω可知，π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ⇒φ＝π4＋k π，即ba ＝tan φ＝1⇒a ＝b ，又f ′(x )＝aωcos ωx －bωsin ωx 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝0⇒aω⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωπ8－sin ωπ8＝0⇒ωπ8＝π4＋k π，k ∈Z ⇒ω＝2＋8k ，k ∈Z ⇒ω＝2，即T ＝2πω＝π.[答案] C11．已知抛物线y 2＝4x ，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点(A 在第一象限内)，AF →＝3FB →，过AB 的中点且垂直于l 的直线与x 轴交于点G ，则三角形ABG 的面积为( )A.839B.1639C.3239D.6439[解析] 如图作出抛物线的准线l ：x ＝－1，设A ，B 在l 上的射影分别是C ，D .连接AC ，BD ，过点B 作BE ⊥AC 于点E .∵AF →＝3FB →，则设|AF |＝3m ，|BF |＝m ，由点A ，B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|AC |＝3m ，|BD |＝m .因此，在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝12，∴∠BAE ＝60°，∴直线AB 的倾斜角∠AFG ＝60°，∴直线AB 的斜率k ＝tan60°＝3，则直线l 的方程为：y ＝3(x －1)，即3x －y －3＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，整理得3x 2－10x ＋3＝0，则x 1＋x 2＝103，x 1x 2＝1，则y 1＋y 2＝3(x 1－1)＋3(x 2－1)＝433，y 1＋y 22＝233，∴AB 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，则直线EG 的斜率为－33，则直线EG 的方程为y －233＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －53.当y ＝0时，则x ＝113，则G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫113，0，则点G 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪113×3－31＋3＝433，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163，则S △ABG ＝12×|AB |·d ＝12×163×433＝3239.故选C.[答案] C12．已知函数f (x )＝|x |＋2x－12(x <0)与g (x )＝|x |＋log 2(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，2)C ．(－∞，22)D ．⎝⎛⎭⎪⎫－22，22[解析] 依题意，存在x 0>0，使得f (－x 0)＝g (x 0)，即|x 0|＋2－x 0－12＝|x 0|＋log 2(x 0＋a )；因而2－x 0－12＝log 2(x 0＋a )，即函数y ＝2－x －12与y ＝log 2(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，当a >0时，只需满足x ＝0时，log 2(0＋a )<20－12⇒log 2a <12，即0<a <2；易知当a ≤0时，函数y ＝2－x －12与y ＝log 2(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上恒有交点．故a 的取值范围是(－∞，2)．[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．[解析] 由题意知，男生人数＝900－400＝500，所以抽取比例为男生∶女生＝500∶400＝5∶4，样本容量为45，所以抽取的男生人数为45×59＝25.[答案] 2514．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是________．[解析] 依题意得，圆心坐标是(0,1)，于是有b ＋c ＝1， 4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc ≥5＋24c b ×bc ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1(bc >0)，4c b ＝b c ，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9.[答案] 915．设双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线上的一点，且F 1F 2⊥AF 2，若直线AF 1与圆x 2＋y 2＝a 2＋b29相切，则双曲线的离心率为________．[解析] 由题意，F 1(0，c )，F 2(0，－c )，不妨取A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ，－c ，∴直线AF 1的方程为y －c ＝－2acb 2x ，即2acx ＋b 2y －b 2c ＝0.∵直线AF 1与圆x 2＋y 2＝a 2＋b29相切，∴b 2c4a 2c 2＋b 4＝c 3.∴2b 2＝ac ，∴2e 2－e －2＝0，∵e >1，∴e ＝ 2. [答案]216．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos C ＝19，且a cos B ＋b cos A ＝2，则△ABC 面积的最大值为________．[解析] 由a cos B ＋b cos A ＝2及余弦定理，得a 2＋c 2－b 22c ＋b 2＋c 2－a 22c ＝2，∴c ＝2.∴4＝a 2＋b 2－2ab cos C ≥2ab －29ab ，则ab ≤94，当且仅当a ＝b ＝32时等号成立．又cos C ＝19，C ∈(0，π)，得sin C ＝459.∴S △ABC ＝12ab sin C ≤12×94×459＝52. [答案] 52限时标准练(四)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)[解析] 由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2,2]，由1－x >0得x <1，∴B ＝(－∞，1)．∴A ∩B ＝[－2,1)．[答案] D2．已知复数z 满足z ＝2＋a i1＋i (i 为虚数单位，a ∈R )，若复数z 对应的点位于直角坐标平面内的直线y ＝－x 上，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2[解析] 复数z 满足z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋a 2＋a －22i ，复数z 对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋a 2，a －22位于直角坐标平面内的直线y ＝－x 上， ∴－2＋a 2＝a －22，解得a ＝0. [答案] A3．若点P 到直线y ＝3的距离比到点F (0，－2)的距离大1，则点P 的轨迹方程为( )A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y[解析]依题意，点P到直线y＝2的距离等于点P到点F(0，－2)的距离．由抛物线定义，点P的轨迹是以F(0，－2)为焦点，y＝2为准线的抛物线，故点P的轨迹方程为x2＝－8y.[答案] D4．已知三个不同的平面α，β，γ，且α⊥γ，那么“β⊥γ”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[解析]当α⊥γ，β⊥γ时，不一定有α∥β，如图所示，α∩β＝l.显然当α∥β，α⊥γ时，有β⊥γ，所以“β⊥γ”是“α∥β”的必要不充分条件．[答案] B5．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )A.17532里 B ．1050里 C.2257532里D ．2100里[解析] 由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{a n }，其中首项为a 1，公比q ＝12，S 7＝700，则700＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12，解得a 1＝350×128127，那么S 14＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12141－12＝2257532.[答案] C6．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．i ≤21?B ．i ≤11?C ．i ≥21?D ．i ≥11?[解析] ∵s ＝12＋14＋…＋120，并由程序框图中s ＝s ＋i2i ，i 的初值为1，终值为10，步长为1，即经过10次循环才能算出s ＝12＋14＋…＋120的值，所以i ≤10，应不满足条件，继续循环，∴当i ≥11才能满足条件，退出循环，因此判断框内应填入i ≥11？.故选D.[答案] D7．已知|AB →|＝3，|AC →|＝23，∠BAC ＝30°，且2AC →＋3DC →＝5BC →，则AC →·CD →等于( )A ．－2B ．3C ．4D ．－5[解析] 由2AC →＋3DC →＝5BC →得2AB →＝3BD →，即AD →＝53AB →，∴AC →·CD→＝AC →·(CA →＋AD →)＝－12＋|AC →|·|AD →|cos A ＝3.[答案] B8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则关于函数f (x )有以下四个命题：①∀x ∈R ，f [f (x )]＝1；②∃x 0，y 0∈R ，f (x 0＋y 0)＝f (x 0)＋f (y 0)；③函数f (x )是偶函数；④函数f (x )是周期函数．其中真命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] ①当x 为有理数时，f (x )＝1，则f [f (x )]＝f (1)＝1；当x 为无理数时，f (x )＝0，则f [f (x )]＝f (0)＝1，即∀x ∈R ，均有f [f (x )]＝1.因此①为真命题；②取x 0＝2，y 0＝3，则f (x 0＋y 0)＝0，且f (x 0)＋f (y 0)＝0，则②成立；③易知f (x )为偶函数，③为真命题；④对任意非零有理数T ，有f (x ＋T )＝f (x )，则④为真命题． 综上，真命题有4个． [答案] A9．为响应“精准扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3500元/箱的A ，B 两种药品捐献给贫困地区某医院，其中A 药品至少100箱，B 药品箱数不少于A 药品箱数．则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为( )A ．200B ．350C ．400D ．500[解析] 设购买A 种药品x 箱，B 种药品y 箱，捐献总箱数为z .由题意⎩⎪⎨⎪⎧1500x ＋3500y ≤1000000，x ≥100，y ≥x ，x ，y ∈N*即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋7y ≤2000，x ≥100，y ≥x ，x ，y ∈N *.目标函数z ＝x ＋y ，作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分，则当z ＝x ＋y 过点A 时，z 取到最大值．由⎩⎨⎧3x ＋7y ＝2000，x ＝y得A (200,200)，因此z 的最大值z max ＝200＋200＝400. [答案] C10．将函数f (x )＝2sin2x －2cos2x ＋1的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，则下列关于函数y ＝g (x )的说法错误的是( )A ．函数y ＝g (x )的最小正周期为πB ．函数y ＝g (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝π8D ．函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π8上单调递减[解析] 把f(x )＝2sin2x －2cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象，再向下平移1个单位，得到函数y ＝g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．对于A ，由于T ＝2π2＝π，故正确．对于B ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝2为最大值，∴g (x )关于x ＝π8对称，正确．对于D ，由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，得函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π8上单调递增，故错误．[答案] D11.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于( )A.5π6 B.2π3 C ．πD.7π6[解析] 球面与正方体的两个面都相交，所得的交线分为两类，一类在顶点A 所在的三个面，即面AA 1B 1B 、面ABCD 和面AA 1D 1D 上，另一类在不过顶点A 的三个面，即面BB 1C 1C 、面CC 1D 1D 和面A 1B 1C 1D 1上．在面AA 1B 1B 上，交线为弧EF 且弧在过球心A 的大圆上，因为AE ＝2，AA 1＝3，则∠A 1AE ＝π6.同理∠BAF ＝π6，所以∠EAF ＝π6，所以弧EF 的长为2×π6＝π3.而这样的弧共有三条，∠FBG ＝π2，所以弧FG 的长为1×π2＝π2.于是所得曲线的长为π2＋π3＝5π6.故选A.[答案] A12．已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的单调函数，且对∀x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－ln x ]＝e ＋1，设f ′(x )为f (x )的导函数，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 根据题意，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－ln x ]＝e ＋1，又由f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，则f (x )－ln x 为定值，设t ＝f (x )－ln x ，则f (x )＝ln x ＋t ， 又由f (t )＝e ＋1，即ln t ＋t ＝e ＋1， 解得t ＝e ，则f (x )＝ln x ＋e ，f ′(x )＝1x >0，故g (x )＝ln x ＋e －1x ，则g ′(x )＝1x ＋1x 2>0，故g (x )在(0，＋∞)上递增．又g (1)＝e －1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1<0，所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，使得g (x 0)＝0，故函数g (x )有且只有1个零点．[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为5∶1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个数为________．[解析] 由条件易知B 层中抽取的样本数是2，设B 层总体数是n ，则又由B 层中甲、乙都被抽到的概率是C 22C 2n＝128，可得n ＝8，所以总体中的个数是5×8＋8＝48.[答案] 4814．若(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 3a 2＝________.[解析] 由通项公式，得T r ＋1＝C r 5(－2x )r ＝(－2)r C r 5x r，令r ＝3，则a 3＝(－2)3C 35＝－80；令r ＝2，则a 2＝(－2)2C 25＝40.因此a 3a 2＝－8040＝－2.[答案] －215．在平面直角坐标系中，直线x ＝32与双曲线x 23－y 2＝1的两条渐近线分别交于点P ，Q .其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．[解析] 由双曲线方程x 23－y 2＝1知a ＝3，b ＝1，c ＝2， 所以渐近线方程为y ＝±13x ＝±33x ，将直线x ＝32代入渐近线方程，得P ，Q 纵坐标的绝对值|y 0|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝4.所以S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3，则S四边形F 1PF 2Q ＝2S △F 1PF 2＝23.[答案] 2 316．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1，则S 6a 6的值为________．[解析] 由题意，得a 1＝2a 1－1，则a 1＝1.因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，S n ＝2a n －1，所以a n ＝2a n －1－2a n －1＋1，所以a n ＝2a n －1，故a na n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，即a n ＝2n －1，所以S n ＝2n －1.所以S 6a 6＝6332.63 [答案]32限时标准练(五)(时间：40分钟满分：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅[解析]A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A ∪B＝{x|x<1}．[答案] A2．已知(1－i)z＝2＋4i，则复数z－在复平面内对应的点所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵(1－i)z＝2＋4i，∴z＝2＋4i1－i＝(2＋4i)(1＋i)(1＋i)(1－i)＝－2＋6i2＝－1＋3i，则z－＝－1－3i，其在复平面内所对应的点位于第三象限．[答案] C3．已知向量a＝(1,2)，b＝(m，－4)，若|a||b|＋a·b＝0，则实数m 等于()A．－4 B．4 C．－2 D．2[解析]向量a＝(1,2)，b＝(m，－4)，且|a||b|＋a·b＝0，∴|a||b|＋|a||b|cosθ＝0，∴cosθ＝－1，∴a，b的方向相反，∴b＝－2a，∴m＝－2.[答案] C4．已知f(x)满足∀x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且当x≤0时，f(x)＝1e x ＋k(k为常数)，则f(ln5)的值为()A．4 B．－4 C．6 D．－6[解析]∵f(x)满足∀x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，故f(－x)＝－f(x)，则f(0)＝0.∵x≤0时，f(x)＝1e x＋k，∴f(0)＝1＋k＝0，k＝－1，所以当x≤0时，f(x)＝1e x－1，则f(ln5)＝－f(－ln5)＝－4.[答案] B5．某程序框图如图所示，该程序运行后若输出S的值是2，则判断框内可填写()A．i≤2015? B．i≤2016?C．i≤2017? D．i≤2018?[解析] 由程序框图，初始值S ＝2，i ＝1. 循环一次后，S ＝－3，i ＝2； 循环两次后，S ＝－12，i ＝3； 循环三次后，S ＝13，i ＝4； 循环四次后，S ＝2，i ＝5； 循环五次后，S ＝－3，i ＝6； …依次类推，S 的值呈周期性变化，周期为4.如果i ≤2015，则循环结束S ＝13；如果i ≤2016，则循环结束S ＝2.因此条件判断框中的条件是“i ≤2016？”．[答案] B6．下列命题，其中说法错误的是( )A ．双曲线x 22－y 23＝1的焦点到其渐近线距离为 3B ．若命题p ：∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则綈p ：∀x ∈R ，都有sin x ＋cos x <2C ．若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题D ．设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α[解析] 双曲线x 22－y 23＝1的焦点(5，0)到其渐近线3x －2y ＝0的距离为d ＝|3·5－0|3＋2＝3，故A 正确．若命题p ：∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则綈p ：∀x ∈R ，都有sin x ＋cos x <2，B 正确．若p ∧q 是假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故C 不正确．设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，由a ，b 是互不垂直的两条异面直线，把它放入长方体中，如图，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α，故D 正确．[答案] C7．“m >2”是“不等式|x －3m |＋|x －3|>23对∀x ∈R 恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵|x －3m |＋|x －3|≥|3m －3|，又不等式|x －3m |＋|x －3|>23对∀x ∈R 恒成立，只需3m >33，则m >32.故“m >2”是“|x －3m |＋|x －3|>23对∀x ∈R 恒成立”的充分不必要条件．[答案] A8．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x ＋y －a ≥0，2x －y －4≤0，若z ＝y ＋1x ＋1的最小值为－14，则正数a 的值为( )A.76 B ．1 C.34 D.89[解析] 满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝y ＋1x ＋1表示过可行域内的点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，由题意知a >0，所以作出可行域，可知可行域内的点A 与(－1，－1)连线的斜率最小，由⎩⎨⎧2x ＋y －a ＝0，2x －y －4＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 4，a 2－2，又z ＝y ＋1x ＋1的最小值为－14，则⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝a2－2＋1a 4＋1＋1＝2a －4a ＋8＝－14⇒a ＝89.[答案] D9．若(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的展开式中的各项系数和为243，则a 1＋2a 2＋…＋na n ＝( )A ．405B ．810C ．243D ．64[解析] (2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，两边求导得2n (2x ＋1)n －1＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1，取x ＝1，则2n ×3n －1＝a 1＋2a 2＋…＋na n ，(2x ＋1)n 的展开式中各项系数和为243，令x ＝1，可得3n ＝243，解得n ＝5.∴a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2×5×34＝810. [答案] B10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0<φ<2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6[解析] 若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为函数的最大值或最小值，即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，即sin φ<0，又0<φ<2π，故当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件．[答案] C11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F (c,0)．直线x ＝c 与双曲线C 在第一象限的交点为P .过F 的直线l 与双曲线C 过二、四象限的渐近线平行，且与直线AP 交于点B .若△ABF 与△PBF 的面积的比值为2，则双曲线C 的离心率为( )A.53B.322 C. 2 D. 3[解析] ∵△ABF 与△PBF 的面积的比值为2，∴|AB ||BP |＝2.∵A (－a,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c －a 3，2b 23a ，代入直线l 的方程y ＝－ba (x －c )得2b ＝a ＋c ，即3c 2－2ac －5a 2＝0，解得3c ＝5a 或a ＝－c (舍去)．∴双曲线C 的离心率为53.[答案] A12．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 [解析] 因为f (0)＝－1＋a <0，又x 0是唯一的使f (x )<0的整数，所以x 0＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0，f (1)≥0.则⎩⎨⎧e －1[2×(－1)－1]＋a ＋a ≥0，e (2×1－1)－a ＋a ≥0，解得a ≥32e .又因为a <1，所以32e ≤a <1.[答案] D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．[解析] 设正方体棱长为a ，则6a 2＝18，∴a 2＝3，a ＝ 3. 外接球直径为2R ＝3a ＝3.∴R ＝32，∴V ＝43πR 3＝43π×278＝92π. [答案] 92π14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B ·sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是________三角形．[解析] 在△ABC 中，∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc2bc＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∵sin B ·sin C ＝sin 2A ，∴bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴(b －c )2＝0，解得b ＝c . ∴△ABC 的形状是等边三角形． [答案] 等边15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.。
2019-2020年高考数学二轮复习小题综合限时练八(I)
1 D. －∞， 7 ∩[5 ，＋∞）
解析 依题意知， 直线 (2 ＋λ) x－ (3 ＋ λ) y＋(1 － 2λ) ＝ 0( λ∈R) 可以转化为 2x－3y＋ 1
2x－ 3y＋ 1＝ 0， ＋ λ( x－ y－ 2) ＝ 0，联立
x－ y－ 2＝ 0，
x＝ 7，
y－ 5
解得
y＝
∴ 5，
z＝
x－
7，作出二元一次不等式组所表示的平面
区域如图阴影部分所示，点
18 16 B － 5 ，－ 5 ，点 C(6 ， 0) ，点
y－5 D(0 ， 4) ，观察可知 z＝ x－ 7表示阴影区域内的点与 A(7 ， 5) 两
y－ 5
1
y－ 5
y－ y0
1
点连线的斜率，∴
kAD≤ z＝
x－
7≤
k
AC，即
7≤
z＝
解析 依题意，该几何体是一个直四棱柱，其中底面是一个上底长为
1、下底长为 2、高
1 为 2 的梯形， 侧棱长为 2，因此其表面积等于 2× 2×(1 ＋2) ×2＋ (1 ＋ 2＋ 2＋ 5) ×2＝ 16
＋ 2 5. 故选 C.
答案 C
5. 在 6 道题中有 3 道理综题和 3 道文综题，如果不放回地依次抽取
x－
7≤
5.
∴
z＝
x－
x
的取值范围为
0
7， 5 .
故选 B.
答案 B
Hale Waihona Puke 8. 已知函数 f ( x) ＝ 2ax3＋ 3， g( x) ＝ 3x2＋ 2，若关于 x 的方程 f ( x) ＝ g( x) 有唯一解 x0，且
x0∈(0 ，＋∞ ) ，则实数 a 的取值范围为 (
2019高考数学(理科)二轮专题小题提速练(八)(带答案)
小题提速练(八)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z ＝1－b ii (b ∈R )的实部和虚部相等，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B.复数z ＝1－b i i ＝i ＋b－1＝－b －i ，因为复数z 的实部和虚部相等，所以b ＝1.2．已知集合A ＝{x |x 2＞1}，B ＝{x |(x 2－1)(x 2－4)＝0}，则集合A ∩B 中的元素个数为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．4解析：选A.A ＝{x |x ＜－1或x ＞1}，B ＝{－2，－1，1，2}，A ∩B ＝{－2，2}，A ∩B 中有2个元素，故选A.3．已知角α，β满足tan αtan β＝13，若cos(α－β)＝45，则cos(α＋β)的值为( )A.15 B ．23C.25D ．35解析：选C.解法一：由tan αtan β＝13，cos(α－β)＝45得，⎩⎪⎨⎪⎧sin αsin βcos αcos β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin αsin β＝15，cos αcos β＝35，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝25.解法二：设cos(α＋β)＝x ，即cos αcos β－sin αsin β＝x ①，由cos(α－β)＝45得，cos αcos β＋sinαsin β＝45 ②，由①②得cos αcos β＝25＋x 2，sin αsin β＝25－x2，两式相除得tan αtan β＝25－x225＋x 2＝13，解得x ＝25，故cos(α＋β)＝25.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，2cos x，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析：选D.由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，2cos x ，x ≤0，可知当x ＞0时，f (x )＞2，当x ≤0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，排除选项A 、B 、C ，故选D.5．已知直线m ，平面α，β，p ：“直线m 与平面α，β所成的角相同”，q ：“α∥β”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.充分性：若“直线m 与平面α，β所成的角相同”，以正方体ABCD A 1B 1C 1D 1为例，面对角线A 1D 与底面ABCD 及侧面ABB 1A 1所成的角均为45°，但底面ABCD ⊥侧面ABB 1A 1，所以充分性不成立；必要性：若“α∥β”，由线面角的定义及三角形的相似可知“直线m 与平面α，β所成的角相同”，所以必要性成立．故p 是q 的必要不充分条件，故选B.6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．9，2B ．10，2C ．9，12D ．9，－1解析：选D.当n ＝1时，a ＝1－1a ＝1－12＝12；当n ＝2时，a ＝1－1a ＝1－112＝－1；当n ＝3时，a ＝1－1a＝1－1－1＝2；当n ＝4时，a ＝1－1a ＝1－12＝12；….则a 的取值是周期为3的一组数，则由循环语句，当n ＝8时，a ＝－1，则n ＝9，跳出循环，执行输出，故选D.7．圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋43y ＝－3的位置关系是( )A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交解析：选D.圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆C 2：x 2＋(y ＋23)2＝9，则C 1(2，－1)，圆C 1的半径r 1为2；C 2(0，－23)，圆C 2的半径r 2为3.两圆的圆心距d ＝22＋（23－1）2＝17－43∈(r 2－r 1，r 2＋r 1)，所以两圆的位置关系是相交．故选D.8．已知各项均为正的等比数列{a n }，公比为q ，前n 项和为S n ，则“q ＞1”是“S 2＋2S 6＞3S 4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件通解：选A.因为等比数列{a n }的各项均为正，所以a 1＞0.若q ＞1，则S 2＋2S 6－3S 4＝a 1（1－q 2）1－q＋2a 1（1－q 6）1－q －3a 1（1－q 4）1－q ＝a 1q 2（1＋2q 4－3q 2）q －1＝a 1q 2（2q 2－1）（q 2－1）q －1＞0，所以S 2＋2S 6＞3S 4.而当q ＝1时，S 2＋2S 6＞3S 4也成立．所以“q ＞1”是“S 2＋2S 6＞3S 4”的充分不必要条件，故选A.优解：因为等比数列{a n }的各项均为正，所以q ＞0，S 2＞0.令S 2＋2S 6－3S 4＝q 2S 2(2q 2－1)＞0，所以q ＞22.所以“q ＞1”是“S 2＋2S 6＞3S 4”的充分不必要条件，故选A.9．已知函数f (x )＝ax 3＋ax 2＋x ＋b (a ，b ∈R )，则下列图象一定不能表示f (x )的图象的是( )解析：选D.结合选项，令b ＝0，f (x )＝ax 3＋ax 2＋x ，则f ′(x )＝3ax 2＋2ax ＋1，分三种情况讨论：当a ＝0时，f ′(x )＝1，f (x )单调递增；当a ＜0时，方程3ax 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝(2a )2－4×3a ＞0，此时f (x )不可能单调递减；当a ＞0时，函数f ′(x )＝3ax 2＋2ax ＋1不可能恒小于0，即函数f (x )不可能在R 上单调递减，结合各选项，知f (x )的图象不可能为D 中图象，故选D.10．网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某组合体的三视图，则该组合体的体积是( )A.233＋23π B ．233＋163π C ．4＋163πD ．43＋23π解析：选D.观察题中三视图可知组合体的上部分是三棱锥，下部分是半径为1的半球，其直观图如图1所示．图1在棱长为2的正方体中画出符合三视图的三棱锥A BEF ，顶点A ，B ，E ，F 分别是正方体棱的中点． 解法一：如图2，取EF 的中点C ，连接AC ，BC ，则EF ⊥AC ，EF ⊥BC ，所以EF ⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝5，AB ＝2，所以S △ABC ＝12×2×2＝2，三棱锥A BEF 的体积V 1＝13×S △ABC ×EF ＝43.半球体积V 2＝12×43π×13＝23π.所以该组合体的体积V ＝V 1＋V 2＝43＋23π.故选D.图2解法二：如图3，C ，D 分别为正方体两棱的中点，连接CD ，G 为CD 的中点，连接EG ，FG ，过CD ，EF 作截面EFDC ，则正方体和三棱锥A BEF 都被一分为二，因为S △EFG ＝12×2×2＝2，所以三棱锥A BEF 的体积V 1＝2×13×S △EFG ×AG ＝43，半球体积V 2＝12×43π×13＝23π.所以该组合体的体积V ＝V 1＋V 2＝43＋23π.故选D.图311．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，AF 2，BF 2分别交y 轴于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为16，则ba ＋1的最大值为( )A.43 B ．34C.53D ．45解析：选A.如图1，由已知条件得，△ABF 2的周长为32，因为|AF 2|＝2a ＋|AF 1|，|BF 2|＝2a ＋|BF 1|，|AF 1|＝|BF 1|＝b 2a，所以4a ＋4b 2a ＝32，b 2a＋a ＝8，b 2＋a 2－8a ＝0，得(a －4)2＋b 2＝16.设k ＝ba ＋1，则k 表示点(a ，b )与点(－1，0)连线的斜率，作出图形，如图2，易知k max ＝43.故选A.12．已知函数f (x )的定义域是R ，且满足f (x )－f (－x )＝0，f (x ＋2)－f (－x )＝0，当x ∈[ 0，1]时，f (x )＝x 12·g (x )＝4x －2x －2是定义域为R 的函数．给出以下四个命题：①存在实数a ，使得关于x 的方程|g (x )|＝a 有两个不相等的实根； ②存在x 0∈[0，1]，使得g (－x 0)＝－g (x 0)；③当x ∈(－∞，2]时，关于x 的方程f [g (x )]＝0有7个实根； ④关于x 的方程g [f (x )]＝0有1个实根． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.因为f (x )＝f (－x )，f (x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，也是周期函数，其最小正周期T ＝2.结合已知条件画出函数f (x )的图象，如图所示．图1命题①是真命题．当a ＝1时，4x －2x －2＝±1，所以4x －2x －3＝0或4x －2x －1＝0，解得2x ＝1±132或2x ＝1±52，又2x ＞0，所以x ＝log 21＋132或x ＝log 21＋52，符合题意，所以命题①是真命题．命题②是假命题．解方程4－x －2－x －2＝－(4x －2x －2)，整理得(2x ＋2－x )2－(2x ＋2－x )－6＝0，所以(2x ＋2－x －3)(2x ＋2－x ＋2)＝0，因为2x ＋2－x ＞0，所以2x ＋2－x －3＝0，所以(2x )2－3×2x ＋1＝0，解得2x ＝3±52.由x 0∈[0，1]，得2x 0∈[1，2]，而3±52∉[1，2]，所以原方程在[0，1]上无解．所以在[0，1]上不存在x 0，使得g (－x 0)＝－g (x 0)，命题②是假命题．命题③是真命题．设t ＝2x ，由x ∈(－∞，2]，得t ∈(0，4]．构造函数φ(t )＝t 2－t －2(4≥t ＞0)，则g (x )＝φ(t )，函数φ(t )的图象如图2所示．图2易得φ(t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，10，结合函数f (x )的图象可知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，10上有零点－2，0，2，4，6，8，10，当g (x )分别等于－2，0，2，4，6，8，10时，都只有一个实根．所以方程f [g (x )]＝0在(－∞，2]上有7个实根，命题③是真命题．命题④是假命题．函数g (x )只有唯一零点x ＝1，所以f (x )＝1，结合f (x )的图象可知，当f (x )＝1时，x ＝2k ＋1，k ∈Z ，所以方程g [f (x )]＝0有无数个实根，且x ＝2k ＋1，k ∈Z ，命题④是假命题．所以只有命题①③是真命题，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．某校共有学生2 400人，高一学生有800人，现对学生活动情况进行抽样调查，用分层抽样的方法从所有学生中抽取120人，则从高一年级学生中应抽取________人．解析：由题意得，抽取的比例为120，因为从所有学生中抽取120人，所以从高一年级学生中应抽取的人数为800×120＝40.答案：4014．已知向量a ＝(1，m )，|b |＝1，|a ＋b |＝7，且向量a ，b 的夹角是60°，则m ＝________． 解析：由|a ＋b |＝7，得|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|a |＋1＝7，解得|a |＝2，所以m 2＋1＝2，故m ＝± 3.答案：±315．已知在等差数列{a n }中，{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 13＝91，若S k a k＝6，则正整数k ＝________．解析：解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 13＝91，得13a 1＋13×（13－1）2d ＝91，根据a 1＝1，得d ＝1，所以a n ＝n ，所以S k ＝k （k ＋1）2，所以S k a k＝k ＋12＝6，所以k ＝11.解法二：在等差数列{a n }中，S 13＝91，根据等差数列的性质，可得13a 7＝91，即a 7＝7，又a 1＝1，所以可得公差d ＝1，即a n ＝n ，所以S k ＝k （k ＋1）2，所以S k a k＝k ＋12＝6，所以k ＝11.答案：1116．如图，AB 是立于山顶上的电视塔，现借助升降机CD 测量塔高，当在升降机底部C 时，测得点A 的仰角为45°、点B 的仰角为60°；当升降机上升10米至D 时，测得点A 的仰角为30°，则塔高AB 为________米．解析：在△ACD 中，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝120°，得∠DAC ＝15°，又CD ＝10，由正弦定理CD sin 15°＝ACsin 120°，得AC ＝53sin 15°.又在△ACB 中，∠ACB ＝60°－45°＝15°，∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin 30°＝ABsin 15°，得AB＝AC sin 15°sin 30°＝2×53sin 15°·sin 15°＝103.答案：10 3。
2019版高考数学二轮复习(理科)小题限时训练答案
小题限时训练(一)1．A ∁U A ＝{0,1,8,10}，(∁U A)∪B ＝{0,1,8,10}，故选A .2．D 由(a －2i 3)i ＝b ＋2i ，得a i －2＝b ＋2i ，∴a ＝2，b ＝－2，∴a －b ＝2＋2＝4，故选D .3．A D(ξ)＝4×13×23＝89，∴D(y)＝4·D(ξ)＝329，故选A .4．A ∵AC ⊥BC ，BC ＝AC ＝1，∴以C 为原点，建立直角坐标系，如图所示A(1,0)，B(0,1)，设P(x ，y)，∵P 在△ABC 内部，P(x ，y)满足∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y<1，x>0，y>0， PA →·PB →＝(1－x ，－y)·(－x,1－y)＝x 2＋y 2－x －y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122表示(x ，y)到⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的距离的平方，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122<12， ∴－12<PA →·PB →<0.故选A .5．D6．D 由随机数组可知未拿到优秀的有191,031,113三组，∴可以拿到优秀的概率为20－320＝1720，故选D .7．C 由lg 2x ＋lg 8y ＝lg 4，得2x ·8y ＝4，∴x ＋3y ＝2，∴1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3y x ＋x 3y ≥2， 当且仅当x ＝3y ＝1时，取等号．∴1x ＋13y 的最小值为2.故选C .8．C 约束条件所表示的平面区域如图所示：令z ＝2x －y ，当直线过C 点时，z 有最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －6＝0得C(1,5) ∴z min ＝2×1－5＝－3，故选C .9．A 由题可知，f(x)在定义域上为减函数， 实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，－a<0，3a －1＋4a ≥－a∴18≤a<13， 故选A .10．B 由S 4＝S 2＋q 2S 2得q 2＝2，∴S 6S 4＝S 2(1＋q 2＋q 4)3S 2＝73，故选B . 11．D 由三视图可知矩形的长，宽分别为4和2， 等腰梯形的两底为2,4，高为5，∴S 表＝2×2×4＋4×12(2＋4)×5＝16＋125，故选D .12．A 由题可知△ABF 2为等边三角形，∴AF 1＝BF 1－BF 2＝2a ，AF 2＝AF 1＋2a ＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，在△AF 1F 2中，由余弦定理得：4c 2＝(2a)2＋(4a)2－2·2a·4a·cos 120°，∴c 2＝7a 2，∴e ＝7，故选A .13．4或－4解析：由题可得(a ＋2b )·a |a ＋2b ||a |＝(a ＋2b )·b |a ＋2b ||b |∴t 2－2t |t |＝－t ＋82，∴t ＝4或t ＝－4.14.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 解析：∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (3a 2)≥－f (2a －1)＝f (1－2a )，又f (x )为减函数，∴3a 2≤1－2a ，解得－1≤a ≤13.15．(0,2e)∪(6，＋∞)解析：由f (x )＝0，得2x 2＋6x ＋6－m e x ＝0，∴m ＝2x 2＋6x ＋6e x，有且仅有一解， 令h (x )＝2x 2＋6x ＋6e x， ∴h ′(x )＝－2x (x ＋1)e x. 当x <－1或x >0时，h ′(x )<0，h (x )是减函数，当－1<x <0时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，h (0)＝6，h (－1)＝2e ，h (x )的图象如图所示若m ＝h (x )仅有一解，则m >6，或0<m <2e ，∴m 的取值范围为(0,2e)∪(6，＋∞)．16．①④解析：①正确；命题“∀x ≥1，x 2＋3≥4”的否定是“∃x 0≥1，x 20＋3<4”，②错；相关系数r 的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，③错；由K 2＝8.079>6.635，有99%的把握认为这两个变量间有关系，④正确．小题限时训练(二)1．A A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝(0，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪ y ＝11－2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12， ∴A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故选A. 2．C z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )22＋2i ＝i ， ∴|z |＝1，故选C.3．C f (－1)＝3＋1＝4，f (4)＝4a ＋log 24＝18，∴a ＝2，故选C.4．B 由a ⊥b ，得－2×1＋m 22＝0，∴m ＝±2，∴“a ⊥b ”是“m ＝2”的必要不充分条件，故选B.5．C a ＝40.4＝20.8，b ＝20.6，c ＝log 222＝2＝20.5， ∴c <b <a ，故选C.6．C 由题可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝246a 1＋15d ＝48，∴d ＝4，故选C. 7．D 由P (X >12)＝P (X <8)＝m ，。
高考数学二轮复习练习：专项限时集训8 函数最值、恒成立及存在性问题 含答案
专项限时集训(八) 函数最值、恒成立及存在性问题(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(镇江市2019届高三上学期期末)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝λ(x 2－1)(λ为常数)．(1)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在x ＝1处有相同的切线，求实数λ的值； (2)若λ＝12，且x ≥1，证明：f (x )≤g (x )；(3)若对任意x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )≤g (x )恒成立，求实数λ的取值范围． [解](1)f ′(x )＝ln x ＋1，则f ′(1)＝1且f (1)＝0. 所以函数y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为：y ＝x －1， 从而g ′(x )＝2λx ，g ′(1)＝2λ＝1，即λ＝12.2分(2)证明：由题意知：设函数h (x )＝x ln x －12(x 2－1)，则h ′(x )＝ln x ＋1－x ，设p (x )＝ln x ＋1－x ，从而p ′(x )＝1x－1≤0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，所以p (x )＝ln x ＋1－x ≤p (1)＝0，即h ′(x )≤0， 因此函数h (x )＝x ln x －12(x 2－1)在[1，＋∞)上单调递减，即h (x )≤h (1)＝0，所以当x ≥1时，f (x )≤g (x )成立. 6分(3)设函数H (x )＝x ln x －λ()x 2－1，从而对任意x ∈[1，＋∞)，不等式H (x )≤0＝H (1)恒成立． 又H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，当H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≤0，即ln x ＋1x≤2λ恒成立时，函数H (x )单调递减．设r (x )＝ln x ＋1x ，则r ′(x )＝－ln x x2≤0， 所以r (x )max ＝r (1)＝1，即1≤2λ⇒λ≥12，符合题意；当λ≤0时，H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≥0恒成立，此时函数H (x )单调递增． 于是，不等式H (x )≥H (1)＝0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意；当0＜λ＜12时，设q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，则q ′(x )＝1x －2λ＝0⇒x ＝12λ＞1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，q ′(x )＝1x －2λ＞0，此时q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx 单调递增，所以H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ＞H ′(1)＝1－2λ＞0， 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，函数H (x )单调递增．于是当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，H (x )＞0成立，不符合题意； 综上所述，实数λ的取值范围为λ≥12.14分2．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝a ln x －bx 3，a ，b 为实数，b ≠0，e 为自然对数的底数，e≈2.71828.(1)当a ＜0，b ＝－1时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求g (a )的最大值； (2)若关于x 的方程f (x )＝0在区间(1，e]上有两个不同的实数解，求a b的取值范围.【导学号：56394114】[解](1)b ＝－1时，f (x )＝a ln x ＋x 3，则f ′(x )＝a ＋3x 3x，令f ′(x )＝0，解得：x ＝3－a3，∵a ＜0，∴3－a3＞0， x ，f ′(x )，f (x )的变化如下：故g (a )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3－a 3＝a 3ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－a3， 令t (x )＝－x ln x ＋x ，则t ′(x )＝－ln x ，令t ′(x )＝0，解得：x ＝1， 且x ＝1时，t (x )有最大值1， 故g (a )的最大值是1，此时a ＝－3；8分(2)由题意得：方程a ln x －bx 3＝0在区间(1，e]上有2个不同的实数根，故a b ＝x 3ln x在区间(1，e]上有2个不同实数根， 即函数y 1＝a b 的图象与函数m (x )＝x 3ln x 的图象有2个不同的交点，∵m ′(x )＝x 2 3ln x －1 ln x 2，令m ′(x )＝0，得：x ＝3e ， x ，m ′(x )，m (x )的变化如下：∴x ∈(1，3e)时，m (x )∈(3e ，＋∞)，x ∈(3e ，e]时，m (x )∈(3e ，e 3]， 故a ，b 满足的关系式是3e ＜a b≤e 3，即a b的范围是(3e ，e 3].14分3．(本小题满分14分)(江苏省镇江市丹阳高中2019届高三下学期期中)已知函数f (x )＝x －1x，(1)函数F (x )＝f (e x)－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 36，其中k 为实数， ①求F ′(0)的值；②对∀x ∈(0,1)，有F (x )＞0，求k 的最大值；(2)若g (x )＝x 2＋2ln xa(a 为正实数)，试求函数f (x )与g (x )在其公共点处是否存在公切线，若存在，求出符合条件的a 的个数，若不存在，请说明理由． [解](1)由F (x )＝e x－1e x －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 36得F ′(x )＝e x＋1e x －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 22，①F ′(0)＝2－k ，②记h (x )＝F ′(x )，则h ′(x )＝e x－1ex －kx ，记m (x )＝h ′(x )，则m ′(x )＝e x ＋1e x －k ，当x ∈(0,1)时，e x＋1e x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，e ＋1e .3分(ⅰ)当k ≤2时，m ′(x )＞2－k ≥0，x ∈(0,1)，即m (x )在(0,1)上是增函数， 又m (0)＝0，则h ′(x )＞0，x ∈(0,1)，即h (x )在(0,1)上是增函数，又F ′(0)＝2－k ≥0， 则F ′(x )＞0，x ∈(0,1)，即F (x )在(0,1)上是增函数，故F (x )＞F (0)＝0，x ∈(0,1)． (ⅱ)当k ＞2时，则存在x 0∈(0,1)，使得m ′(x )在(0，x 0)小于0，即m (x )在(0，x 0)上是减函数，则h ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)， 即h (x )在(0，x 0)上是减函数，又F ′(0)＝2－k ＜0， 则F ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)，又F ′(0)＝2－k ＜0， 即F (x )在(0，x 0)上是减函数， 故F (x )＜F (0)＝0，x ∈(0，x 0)，矛盾． 故k 的最大值为2.8分(2)设函数f (x )与g (x )在其公共点x ＝x 1处存在公切线，则⎩⎨⎧x 1－1x 1＝x 21＋2ln x 1a， ①1＋1x 21＝2x 1＋2x 1a ， ②由②得(2x 1－a )(x 21＋1)＝0，即x 1＝a2，代入①得8ln a －8ln2－a 2＋8＝0，记G (a )＝8ln a －8ln2－a 2＋8，则G ′(a )＝8a－2a ，得G (a )在(0,2)上是增函数，(2，＋∞)上是减函数， 又G (2)＝4＞0，G (4)＝8ln2－8＜0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ＝－4e 2＜0， 得符合条件的a 的个数为2.(未证明小于0的扣2分)14分4．(本小题满分16分)(无锡市2019届高三上学期期末)已知f (x )＝x 2＋mx ＋1(m ∈R )，g (x )＝e x.(1)当x ∈[0,2]时，F (x )＝f (x )－g (x )为增函数，求实数m 的取值范围； (2)若m ∈(－1,0)，设函数G (x )＝f xg x ，H (x )＝－14x ＋54，求证：对任意x 1，x 2∈[1,1－m ]，G (x 1)＜H (x 2)恒成立．[解](1)∵F (x )＝x 2＋mx ＋1－e x ，∴F ′(x )＝2x ＋m －e x. ∵当x ∈[0,2]时，F (x )＝f (x )－g (x )为增函数， ∴F ′(x )≥0即2x ＋m －e x≥0在[0,2]上恒成立， 即m ≥e x－2x 在[0,2]上恒成立． 令h (x )＝e x－2x ，x ∈[0,2]，则h ′(x )＝e x－2，令h ′(x )＝0，则x ＝ln2.∴h (x )在[0，ln2]上单调递减，在[ln2,2]上单调递增． ∵h (0)＝1，h (2)＝e 2－4＞1， ∴h (x )max ＝h (2)＝e 2－4， ∴m ≥e 2－4.6分(2)证明：G (x )＝x 2＋mx ＋1ex，则G ′(x )＝－x 2＋ 2－m x ＋m －1e x ＝－ x －1 [x － 1－m ]e x. 要证任给x 1，x 2∈[1,1－m ]，G (x 1)≤H (x 2)恒成立，即证G (x )max ≤H (x )min ， ∵x ∈[1,1－m ]，∴G (x )在[1,1－m ]上单调递增，G (x )max ＝G (1－m )＝2－me 1－m ，∵H (x )在[1,1－m ]上单调递减，H (x )min ＝H (1－m )＝－14(1－m )＋54.10分要证G (x )max ≤H (x )min ，即证2－m e 1－m ≤－14(1－m )＋54，即证4(2－m )≤e1－m[5－(1－m )]．令1－m ＝t ，则t ∈(1,2)．设r (x )＝e x(5－x )－4(x ＋1)，x ∈[1,2]，即r (x )＝5e x－x e x－4x －4.r ′(x )＝(4－x )e x －4≥2e x －4＞0，∴r (x )＝e x(5－x )－4(x ＋1)在[1,2]上单调递增， ∵r (1)＝4e －8＞0，∴e x(5－x )≥4(x ＋1)，从而有－14(1－m )＋54≥2－m e ，即当x ∈[1,1－m ]时，G (x )max ≤H (x )min 成立.16分5．(本小题满分16分)(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2019届高三上学期期末)已知函数f (x )＝x 22e－ax ，g (x )＝ln x －ax ，a ∈R .(1)解关于x (x ∈R )的不等式f (x )≤0； (2)证明：f (x )≥g (x )；(3)是否存在常数a ，b ，使得f (x )≥ax ＋b ≥g (x )对任意的x ＞0恒成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.【导学号：56394115】[解](1)当a ＝0时，f (x )＝x 22e，所以f (x )≤0的解集为{0}；当a ≠0时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2e －a ， 若a ＞0，则f (x )≤0的解集为[0,2e a ]． 若a ＜0，则f (x )≤0的解集为[2e a,0]． 综上所述，当a ＝0时，f (x )≤0的解集为{0}；当a ＞0时，f (x )≤0的解集为[0,2e a ]； 当a ＜0时，f (x )≤0的解集为[2e a,0].4分(2)证明：设h (x )＝f (x )－g (x )＝x 22e －ln x ，则h ′(x )＝x e －1x ＝x 2－ee x.令h ′(x )＝0，得x ＝e ，列表如下：所以函数h (x )所以h (x )＝x 22e－ln x ≥0，即f (x )≥g (x ).8分(3)假设存在常数a ，b 使得f (x )≥ax ＋b ≥g (x )对任意的x ＞0恒成立， 即x 22e≥2ax ＋b ≥ln x 对任意的x ＞0恒成立． 而当x ＝e 时，ln x ＝x 22e ＝12，所以12≥2a e ＋b ≥12，所以2a e ＋b ＝12，则b ＝12－2a e ，所以x 22e －2ax －b ＝x 22e －2ax ＋2a e －12≥0(*)恒成立，①当a ≤0时，2a e －12＜0，所以(*)式在(0，＋∞)上不恒成立；②当a ＞0时，则4a 2－2e (2a e －12)≤0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1e 2≤0，所以a ＝12e，则b ＝－12. 令φ(x )＝ln x －1ex ＋12，则φ′(x )＝e －x e x，令φ′(x )＝0，得x ＝e ，当0＜x ＜e 时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，e)上单调递增； 当x ＞e 时，φ′(x )＜0，φ(x )在(e ，＋∞)上单调递减． 所以φ(x )的最大值为φ(e)＝0.所以ln x －1ex ＋12≤0恒成立．所以存在a ＝12e，b ＝－12符合题意.16分6．(本小题满分16分)(江苏省南京市、盐城市2019届高三第一次模拟)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋a －1x－3(a ∈R )． (1)当a ＝2时，解关于x 的方程g (e x)＝0(其中e 为自然对数的底数)；(2)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的单调增区间；(3)当a ＝1时，记h (x )＝f (x )·g (x )，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2λ≥h (x )有解？若存在，请求出λ的最小值：若不存在，请说明理由．(参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)[解](1)当a ＝2时，方程g (e x )＝0即为2e x＋1e x －3＝0，去分母，得2(e x )2－3e x ＋1＝0，解得e x ＝1或e x＝12，故所求方程的根为x ＝0或x ＝－ln2. 2分(2)因为φ(x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax ＋a －1x－3(x ＞0)， 所以φ′(x )＝1x ＋a －a －1x 2＝ax 2＋x － a －1 x2＝ ax － a －1 x ＋1x2(x ＞0)， ①当a ＝0时，由φ′(x )＞0，解得x ＞0； ②当a ＞1时，由φ′(x )＞0，解得x ＞a －1a； ③当0＜a ＜1时，由φ′(x )＞0，解得x ＞0； ④当a ＝1时，由φ′(x )＞0，解得x ＞0； ⑤当a ＜0时，由φ′(x )＞0，解得0＜x ＜a －1a . 综上所述，当a ＜0时，φ(x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，a －1a ； 当0≤a ≤1时，φ(x )的增区间为(0，＋∞)；a ＞1时，φ(x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫a －1a ，＋∞.6分(3)法一：当a ＝1时，f (x )＝ln x ，g (x )＝x －3，h (x )＝(x －3)ln x ，所以h ′(x )＝ln x ＋1－3x 单调递增，h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋1－2＜0，h ′(2)＝ln2＋1－32＞0， 所以存在唯一x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，使得h ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1－3x 0＝0，当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以h (x )min ＝h (x 0)＝(x 0－3)ln x 0＝(x 0－3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－1＝－ x 0－3 2x 0＝6－⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋9x 0，记函数r (x )＝6－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ，则r (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2上单调递增，所以r ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜h (x 0)＜r (2)，即h (x 0)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，由2λ≥－32，且λ为整数，得λ≥0，所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. 16分法二：当a ＝1时，f (x )＝ln x ，g (x )＝x －3， 所以h (x )＝(x －3)ln x ，由h (1)＝0得，当λ＝0时，不等式2λ≥h (x )有解，下证：当λ≤－1时，h (x )＞2λ恒成立，即证(x －3)ln x ＞－2恒成立． 显然当x ∈(0,1]∪[3，＋∞)时，不等式恒成立， 只需证明当x ∈(1,3)时，(x －3)ln x ＞－2恒成立． 即证明ln x ＋2x －3＜0.令m (x )＝ln x ＋2x －3， 所以m ′(x )＝1x －2 x －3 2＝x 2－8x ＋9x x －3 2，由m ′(x )＝0，得x ＝4－7，当x ∈(1,4－7)时，m ′(x )＞0；当x ∈(4－7，3)时，m ′(x )＜0； 所以m (x )max ＝m (4－7)＝ln(4－7)－7＋13＜ln(4－2)－2＋13＝ln2－1＜0. 所以当λ≤－1时，h (x )＞2λ恒成立．综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. 16分。
2019届高考数学(理)二轮复习小题专练(2)(有答案)
2019届高考数学（理）二轮复习小题专练（2）1、已知集合{}2|20,{|0}A x x B x x =->=>,则A B ⋃= ( )A. (B. ()(),20,-∞-⋃+∞C. )+∞D. ((),0,-∞⋃+∞2、复数z 满足()25i z +=, 则z i += ( )B. 2D. 3、已知命题:0p x ∀>,总有()11x x e +⋅>,则p ⌝为( ) A. 00x ∃≤,使得()0011xx e +⋅≤ B. 00x ∃>,使得00(1)1x x e -⋅≤C. 0x ∀>,总有()11xx e +⋅≤ D. 0x ∀≤,总有()11xx e +⋅≤ 4、在平面直角坐标系中, ,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B. 34πC. (6π-D. 54π 5、执行如图所示的程序框图,若输入的a ,b ,c 分别为1,2,0.3,则输出的结果为( )A.1.125B.1.25C.1.3125D.1.3756、若函数1()(0,0)bx f x e a b a=->>的图象在0?x =处的切线与圆221x y +=相切,则a b +的最大值是( )A. 4C. 2D. 7、为了判断高中二年级学生选修文科是否与性别有关,现随机抽取高二年级50名学生进行调查,得到如下22⨯列联表:已知22( 3.841)0.05,( 5.024)0.025P P χχ≥≈≥≈,根据表中的数据,你认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为( )A. 2.5%B. 5%C. 95%D. 97.?5% 8、已知函数π()sin()(R,0,0,||)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的图象(部分)如图所示,则,ωϕ分别为( )A. ππ,3ωϕ== B. 2,3πωπϕ==C. ,6πωπϕ== D. π2π,6ωϕ== 9、一个几何体的三视图如图所示,该几何体表面上的点P 在正视图上的对应点为P ,点A 、B 、 C 在俯视图上的对应点为A 、B 、 C ,则PA 与BC 所成角的余弦值为( )A. 5C.210、设 ,x y 满足约束条件{120y a x y x y ≤+≥-≤,若z x y =+的最大值为6,则y x a +的最大值为( ) A. 23B. 2C. 4D. 511、等差数列中,若3456789420a a a a a a a ++++++=,则210a a +等于( )A.100B.120C.140D.16012、已知a R ∈,若()x a f x x e x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间()0,1上只有一个极值点,则a 的取值范围为( )A. 0a >B. 1a ≤C. 1a >D. 0a ≤13、已知向量1,2a b ==,且()21b a b ⋅+=,则向量,a b 的夹角的余弦值为__________14、在△ABC 中, ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,若2?a =,2b c =,1cos 4A =,则△ABC 的面积等于__________.15、抛物线22y x x =-+与 x 轴围成的封闭区域为M ,向M 内随机投掷一点(),P x y ,则y x >的概率为__________16、已知点12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两焦点,过点1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于,?P Q 两点,若△2PQF 是以2PQF ∠为顶角的等腰三角形,其中2,3PQF ππ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭,则双曲线离心率e 的取值范围为______.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：2答案及解析：答案：B 解析：由条件得55(2i)5(2-i)=2i 2i +i)(2-i)5z -===-+，(2, ∴i 2z +=则|i |2z +=.3答案及解析：答案：B解析：由全称命题的否定知, 0:0p x ⌝∃>,使得()0011x x e +⋅≤.4答案及解析：答案：A解析：原点 O 到直线240x y +-=的距离d =, 点 C 到直线240x y +-=的距离是圆的半径r ,由题意知 C 是AB 的中点,则在中,圆 C 过原点 O ,故||OC r =, 所以min 2d r ==所以2min 4ππmin 5S r ==. 故选A.5答案及解析：答案：D解析：模拟程序的运行,可得1a =,2b =,0.3c =,执行循环体 1.5m =,不满足条件()0f m =,满足条件()()0f a f m ⋅<, 1.5b =,不满足条件a b c -<, 1.25m =,不满足条件()0f m =,不满足条件()()0f a f m ⋅<, 1.25a =,满足条件a b c -<,退出循环,输出2a b +的值为1.375,故选D.6答案及解析：答案：B解析：7答案及解析：答案：B解析：8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：B解析：10答案及解析：答案：C解析：作出,x y 满足约束条件{120y ax y x y ≤+≥-≤表示的平面区域,由20y a x y =⎧⎨-=⎩解得,2a A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线z x y =+,经过交点A 时,目标函数取得最大值6,可得62a a +=,解得 4.a =则4y y x a x =++的几何意义是可行域的点与()4,0-连线的斜率,由可行域可知()4,0-与B 连线的斜率最大,由41y x y =⎧⎨+=⎩可得()2,4B -则y x a +的最大值为: 4故选:C.点睛:本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11答案及解析：答案：B解析：12答案及解析：答案：A解析：()322xx x ax a f x e x ⎛⎫++-'= ⎪⎝⎭ 设()32h x x x ax a =++-,()232h x x x a '=++当0a >时, ()0h x '>在()0,1上恒成立,即函数在()0,1上为增函数,而()00h a =-<,()120h =>,则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x , 使()00f x '=,且在0(0,)x 上, ()'0f x <,在0(,1)x 上()'0f x >,故0x x =为函数() f x 在()0,1上唯一的极小值点;当0a =时, ()2320h x x x '=+>恒成立,则函数()h x 在()0,1上为增函数,又此时()00h =,所以()0h x >在区间()0,1上为单调递增函数,所以() f x 在区间()0,1上无极值;当0a <时, ()()32321h x x x ax a x x a x =++-=++-,因为()0,1x ∈,所以总有()0h x >成立,即()'0f x >成立,故函数() f x 在区间()0,1上为单调递增函数,所以函数() f x 在区间()0,1上无极值,综上, 0a >,故选A.13答案及解析：答案：解析：14答案及解析：解析：15答案及解析： 答案：18解析：16答案及解析：答案：)解析：。
2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．}的公差为d，解答：解：设等差数列{an∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD 容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x ﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，＞0得k2+ka﹣1＞0，由△2故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacos θ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。
高考数学二轮复习之专练二中档小题(八)
中档小题(八)1．(2013·江西省高三上学期七校联考)已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x<1，则綈p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．如图，一个简单几何体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中圆的半径为 3.则该几何体的表面积为( )A ．15πB ．18πC ．21πD ．24π3．(2013·湖北省八校高三第二次联考)两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－b ax 的焦点坐标为( ) A ．(－516，0) B ．(－15，0) C ．(15，0) D ．(－25，0) 4．(2013·高考安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.23 B.25C.35D.9105．(2013·高考陕西卷)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定6．2013年，各大品牌汽车继续在中国的汽车市场上相互博弈，汽车的配置与销售价格以及维修费用等成为人们购买汽车时需要考虑的因素，某汽车制造商为了进一步拓宽市场，统计了某种品牌的汽车的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，得到的统计资料如表所示：若由资料，可知15年，若该品牌汽车在使用10年时报废，则这10年的维修总费用约为( )A ．11.28万元B ．11.38万元C ．12.28万元D ．12.38万元 7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋k ≥0x －1≤0，如果目标函数z ＝3x －2y 的取值范围为[－4，3]，则k 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．28．若不等式|a －2x |≤x ＋3对任意x ∈[0，2]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．[－1，3]C ．(1，3)D ．[1，3]9．(2013·郑州市高中毕业年级第一次质量预测))设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，把f (x )的图象按向量a ＝(m ，0)(m >0)平移后的图象恰好是函数y ＝－f ′(x )的图象，则m 的最小值为( ) A.π4 B.π3C.π2D.2π310．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )A ．25B ．9C ．17D ．20 11．(2013·广东省惠州市高三第三次调研考试)sin(α＋π4)＝24，则sin 2α＝________． 12．(2013·安徽省“江南十校”高三联考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0y ≥0表示的平面区域的面积为3，则实数a 的值是________．13．(2013·海淀区高三年级第二学期期中练习)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为________．14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么称k 是集合A 的一个“好元素”．给定集合S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个．备选题1．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．52．函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )3．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≥0，f （－x ），x <0，则函数g (x )的最小值是________． 4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成递减的等差数列．若A ＝2C ，则a c的值为________．答案：1．【解析】选A.由x >1得1x <1；反过来，由1x<1不能得知x >1，即綈p 是q 的充分不必要条件．2．【解析】选C.由三视图可知，该几何体是圆锥与等底面的圆柱组合而成的几何体，所以该几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积的和，所以该几何体的表面积S ＝12×2π×3×23＋2π×3×23＋π×(3)2＝21π.3．【解析】选B.由两个正数a ，b 的等差中项是92得a ＋b ＝9；a ，b 的一个等比中项是25得ab ＝20，且a >b ，故a ＝5，b ＝4，又由b a ＝45＝2p 得p 2＝15，故抛物线y 2＝－b ax 的焦点坐标为(－15，0)． 4．【解析】选D.由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙、丁、戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910. 5．【解析】选B.由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2<1，故直线与圆相交． 6．【解析】选D.x ＝15(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y ＝15(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0)＝5，b ＝ 错误!＝1.23，a ＝5－1.23×4＝0.08.所以回归直线方程为错误!＝0.08＋1.23x ，当x ＝10时，y ^＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)．7．【解析】选B.作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝3x －2y 得y＝32x －z 2，由图象可知当直线y ＝32x －z 2经过点C (4－k 5，2＋2k 5)时，直线y ＝32x －z 2的截距最大，而此时z ＝3x －2y 取得最小值－4，所以12－3k 5－4＋4k 5＝－4，解得k ＝4. 8．【解析】选B.不等式|a －2x |≤x ＋3等价于－x －3≤a －2x ≤x ＋3，即x －3≤a ≤3x ＋3对任意x ∈[0，2]恒成立．所以当x ∈[0，2]时，(x －3)max ≤a ≤(3x ＋3)min ，即－1≤a ≤3.9．【解析】选C.f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，y ＝－f ′(x )＝－(cos x －sin x )＝2sin(x －π4)，∵将f (x )的图象按向量a ＝(m ，0)(m >0)平移后得到y ＝2sin(x －π4)的图象，∴2sin(x ＋π4－m )＝2sin(x －π4)．故m ＝π2＋2k π，k ∈N ，故m 的最小值为π2. 10．【解析】选C.由题知，第一次运行：S ＝1，T ＝0，不满足T >S ，则S ＝1＋8＝9，n ＝0＋2＝2，T ＝0＋22＝4；第二次运行：S ＝9，T ＝4，不满足T >S ，则S ＝9＋8＝17，n ＝2＋2＝4，T ＝4＋24＝20，此时20>17满足T >S ，故输出的S 的值为17.11．【解析】sin(α＋π4)＝22sin α＋22cos α＝24，∴sin α＋cos α＝12，(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝14，故sin 2α＝－34. 【答案】－3412．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S ＝12(2a＋2)×2＝3，解得a ＝2.【答案】213．【解析】依题意得，该几何体是一个四棱锥，其中底面是一个直角梯形(上底长是2、下底长是4、高是4)，一个侧面垂直于底面，因此该几何体的体积等于13×12×(2＋4)×4×4＝16.【答案】1614．【解析】依题意可知，若由S 的3个元素构成的集合不含“好元素”，则这3个元素一定是紧邻的3个数，故这样的集合共有6个．【答案】6备选题1．【解析】选D.由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝±15. ∵A 是锐角，∴cos A ＝15. 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴49＝b 2＋36－2×b ×6×15， ∴b ＝5或b ＝－135. 又∵b >0，∴b ＝5.2．【解析】选A.由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称，设g (x )＝log a |x |，先画出x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位即得f (x )的图象，结合图象知选A.3．【解析】当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0. 【答案】04．【解析】依题意知b ＝a ＋c 2，a c ＝sin A sin C ＝sin2C sin C ＝2cos C ＝2×a 2＋b 2－c 22ab ，即a c ＝a 2＋b 2－c 2ab＝（a ＋c ）（a －c ）＋b 2ab ＝2b （a －c ）＋b 2ab ＝2（a －c ）＋b a ，所以a 2＝c [2(a －c )＋a ＋c 2]，即(2a －3c )(a －c )＝0，又由a >c ，因此有2a ＝3c ，故a c ＝32. 【答案】32。
2019年高考数学(理科,天津课标版)二轮复习题型练 Word版含答案 8
x
(-∞,0) 0
h'(x) -
0
(0,+∞) +
h(x) ↘
极小值 ↗
所以函数 h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
(2)证明 由 f'(x)=axln a,可得曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线斜率为������������1ln a.
1
1.
由 g'(x)=������������������������,可得曲线 y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线斜率为������2������������������
2������������(������������������)
������������������ ;
1
(3)证明当 a≥������������时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线.
������������������������������
1
6.设函数 f(x)= ������ ,g(x)=-2x+(a+b)(其中 e 为自然对数的底数,a,b∈R,且 a≠0),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))
处的切线方程为 y=ae(x-1).
(1)求 b 的值;
[ ) (2)若对任意
x∈
1
������,
+
∞
,f(x)与
g(x)有且只有两个交点,求
a
的取值范围.
题型练 8 大题专项(六)
函数与导数综合问题
1.解 (1)因为 f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,
2019高考数学二轮(理科)小题专项练习答案
小题专项练习(一)集合与常用逻辑用语1．B A∩B＝{－1,0,1}，故选B.2．C A＝{y|y＝2x，x∈R}＝R，B＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}表示在曲线y＝x2上的点的集合，A∩B＝∅，故选C.3．C全称命题的否定为特称命题，∴綈p为∃x0≥0,2x0≤x20，故选C.4．A由lg x，lg y，lg z成等差数列，得lg x＋lg z＝2lg y，∴lg(xz)＝lg y2，∴y2＝xz，当x＝－1，y＝2，z＝－4时，y2＝xz，但lg x，lg z无意义，故“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2＝xz”成立的充分非必要条件，故选A.5．D由Δ＝1－4×(－1)＝5>0，∴p为假命题，当x＝π4时，sin x＋cos x＝2，q为真命题，∴(綈p)∧q是真命题，故选D.6．D若x＝y，则sin x＝sin y是真命题，故逆否命题为真，故选B.7．C A＝{y|y＝－e x＋4}＝{y|y<4}，B＝{x|y＝lg[(x＋2)(3－x)]}＝{x|－2<x<3}，∴B⊆A，∴∁R A⊆∁R B，故选C.8．C命题“∀x∈R，sin x≥1”的否定是“∃x0∈R，sin x0<1”，A错；若a∥b，当b≠0时，存在唯一的实数λ，使得a＝λb，B错；若“p∨q”为真命题，则p与q至少有一个为真，当p假，q真时，p∨q为真命题，但p∧(綈q)为假，D错，C正确，故选C.9．C因为甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；所以四人组有且只有两人过关，两人不过关，又因为丙说：甲乙丁恰好有一人过关，不过关的情况有三种：甲乙、甲丁、乙丁．据甲不知自己的情况下说四人中至少有两人不过关，可见乙丙丁中有两人不过关，不过关的情况有三种：乙丙、丙丁、乙丁．结合以上六种，同时成立的是乙丁不过关，甲丙过关，故选C.10．D A ＝{x |x (x ＋3)<0}＝{x |－3<x <0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪y ＝lgx ＋21－x ＝{x |－2<x <1}， ∴A ∩B ＝{x |－2<x <0}＝(－2,0)，故选D.11．B ①中方差表示数据的稳定性，每个数据都加上同一个常数后，方差不变，①正确；②中命题p 为真命题，命题q 为假命题，p ∧q 为假命题，②错；③当α＝2k π＋π2时，cos α＝0，根据原命题与逆否命题的等价性可知“cos α≠0”是“α≠2k π＋π2(k ∈Z )”的充分不必要条件，③错；④将y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个单位长度，得到y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，④正确，故选B. 12．D ∵P ＝{x |1≤3x ≤9}＝{x |0≤x ≤2}， Q ＝{x |y ＝x －1}＝{x |x ≥1}，∴P ∪Q ＝[0，＋∞)，P ∩Q ＝[1,2]，∴P ≯Q ＝{x |x ∈(P ∪Q )且x ∉(P ∩Q )}＝[0,1)∪(2，＋∞)，故选D.13．必要不充分解析：y ＝f (x )在(－∞，a )∪(b ，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，a )和(b ，＋∞)上分别单调递增，反之不成立，故y ＝f (x )在(－∞，a )和(b ，＋∞)上分别单调递增，是y ＝f (x )在(－∞，a )∪(b ，＋∞) 上为增函数的必要不充分条件．14．②④解析：“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“xy ≠0，则x ≠0”，则①不正确；若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，是真命题，则逆否命题是真命题，②正确；“全等三角形的面积相等”的否命题为假命题，③不正确；“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 均为0”的逆命题为“若x ，y 均为0，则x 2＋y 2＝0”，④正确．15．①②解析：f (x )＝x 12＝x ≥0，∴①②正确；f (x )在[0，＋∞)是增函数，③错；当x 1＝0时，不存在x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2)，④错．16．C 和D解析：若去A ，则去B ，B 、C 不同去，D 、E 去且只去一个，所以E 去；若去E ，则去A 、D ，矛盾，则A 不去；若去B ，则C 、D 不去，E 去，则A 、D 去，矛盾，B 不去； 若去E ，则去A ，不符合条件，故去C 、D 景区． 小题专项练习(二)平面向量、复数与框图 1.C ∵z ＝a ＋i 1－i ＝(a ＋i )(1＋i )2＝a －1＋(a ＋1)i2是纯虚数． ∴a －1＝0，∴a ＝1，故选C. 2．D ∵|2a ＋b |2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2 ＝4＋4cos120°＋1＝3， ∴|2a ＋b |＝3，故选D.3．B 第一次循环s ＝2×1－1＝1，k ＝2<4， 第二次循环s ＝2×1－2＝0，k ＝3<4，第三次循环s ＝2×0－3＝－3，k ＝4出循环，输出－3，故选B.4．C z ＝i 2018(1－i )2＝i 21－2i ＋i 2＝－1－2i ＝12i ，∴z －＝－12i ，故选C. 5．B 由z －iz ＝3＋i ，得z －i ＝z (3＋i)，即z ＝i －2－i ＝－15－25i ， ∴z －＝－15＋25i ，故选B.6．A 由题可知z 1＝2－i ，z 2＝－i ，z 1z 2＋|z 2|＝2－i －i ＋1＝2＋2i ，故选A. 7．A 由框图可知S ＝lg 21＋lg 32＋lg 43＋…＋lg K ＋1K ＝lg(K ＋1)≥2， ∴K ≥99，∴输出99，故选A. 8．A设BC 的中点为D ，由AD →＝32(OB →＋OC →)＝3OD→， ∴O 为AD 的三等分点， ∴S △ABC S △BOC＝AD OD ＝3，故选A. 9．C 若n ＝5，则由n ＝3n ＋1＝16，i ＝2；n ＝8，i ＝3；n ＝4，i ＝4；n ＝2，i ＝5；n ＝1，i ＝6；输出6，符合条件．若n ＝4，则由n ＝n2得n ＝2，i ＝2；n ＝1，i ＝3；输出3，不符合条件；若n ＝32，则由n ＝n2，得n ＝16，i ＝2；n ＝8，i ＝3；n ＝4，i ＝4；n ＝2，i ＝5；n ＝1，i ＝6，输出6，符合条件，故选C.10．A 由BP→＝2PC → 得 AP →－AB →＝2(AC →－AP →)， ∴AP →＝13(AB →＋2AC →)＝13m AM →＋23n AN →， ∵P ，M ，N 三点共线，∴13m ＋23n ＝1，∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋23n ＝13＋2m 3n ＋2n 3m ＋43≥53＋249＝3，当且仅当m ＝n 时，等号成立，∴m ＋2n 的最小值为3，故选A.11．A 取BC 的中点D ， ∵AB→＋PB →＋PC →＝0， ∴AB→＝－(PB →＋PC →)＝－2PD →， ∴AB ∥PD ，且|PD →|＝12|AB →|＝1，又∵|PC→|＝|PB →|＝2，D 为BC 的中点， ∴PD ⊥BC ， ∴BC ＝23，∴S △PBC ＝12×23×1＝3，故选A. 12．D点D 是线段BC 上一点， 设BD→＝mBC →， ∵M 为AD 的中点，∴BM →＝12BA →＋12BD → ＝－12AB →＋m 2BC →＝－12AB →＋m 2(AC →－AB →) ＝m 2AC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋m 2AB →，∴λ＝－12－m 2，μ＝m2，∴λ＋μ＝－12，故选D. 13．(0,1)解析：z ＝1＋i ＋i 2＋…＋i 10＝1－i 111－i ＝1＋i 1－i＝i ，∴复数z 在复平面内对应的点为(0,1)． 14．60°解析：由a ·(b －a )＝0， 得a ·b －a 2＝0， ∴a ·b ＝a 2＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝11×2＝12，∴a 与b 的夹角为60°. 15．13解析：由n ＝8进入循环体， n ＝9，n ≡0(mod3)；n ＝10，n ≡1(mod3)，n ≡0(mod5)； n ＝11，n ≡2(mod3)； n ＝12，n ≡0(mod3)；n ＝13，n ≡1(mod3)，n ≡3(mod5)，输出13. 16.15解析：令AB→＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ， ∴a 与b 的夹角为π－C ，b 与c 的夹角为π－A ，∴tan(π－C )＝－12，tan(π－A )＝－13，∴tan C ＝12，tan A ＝13，∴tan B ＝－tan(A ＋C )＝－12＋131－12×13＝－1，∴B ＝3π4，∴|a |＝|CA →|sin B ·sin A ＝55，|c |＝|CA →|sin B ·sin C ＝105∴a ·c ＝|a |·|c |cos(π－B )＝55·105·22＝15.小题专项练习(三) 三角函数的图像与性质 1.C2．C 由|f (x 1)－f (x 2)|＝2，可知x 1，x 2是f (x )的最大值，最小值点，又|x 1－x 2|min ＝π2，可知T 2＝π2，∴T ＝π，故选C.3．D 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期为π，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴为x ＝π6＋k π，k ∈Z ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的对称轴为x ＝5π12＋k π，k ∈Z ， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的对称轴为x ＝π3＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π3是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的一条对称轴． 故选D.4．A 由题可知，g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝－cos 7π6＝32，故选A. 5．C 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ4＋φ＝1， ∴ωπ4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ4＋φ－ωx ＝cos ωx ， ∴y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 是偶函数，故选C.6．A f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1＋sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，∵π2≤x ≤3π4， ∴5π4≤2x ＋π4≤7π4，∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤－22 ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时，f (x )min ＝－2＋1，故选A.7．A ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴2πω＝π， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3，∴只需将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，故选A.8．A f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin2x ，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ，∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递增，由2x ＝π2＋k π，得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，∴x ＝π4是f (x )的一条对称轴，故选A.9．C y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋7π10，图象向右平移π5个单位长度后得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5＋7π10＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －πω5＋7π10，则ωx －πω5＋7π10＝ωx ＋π5＋2k π，k ∈Z ，∴ω＝52－10k ，当k ＝0时，ω＝52，故选C.10．D f (x )＝2sin ωx ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2－2sin 2ωx ＝2sin ωx ＋2sin 2ωx －2sin 2ωx ＝2sin ωx ，f (x )的图象如图所示，∴⎩⎨⎧π2ω≥2π3，π2ω≤π，∴12≤ω≤34，故选D.11．B 由题可知g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π6＝sin2x ＋5π6，∵－π≤x ≤0，得－7π6≤2x ＋5π6≤5π6，∴当－π2≤2x ＋5π6≤π2时，即－2π3≤x ≤－π6，∴g (x )在[－π，0]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6，故选B.12．B 由题可得g (x )＝2sin(ωx ＋φ)－1， 且g (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，若g (x )>－1对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3时，2x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ，2π3＋φ，∴sin(2x ＋φ)>0，∵0<φ≤π2，∴⎩⎨⎧－π6＋φ≥0，2π3＋φ≤π，解得π6≤φ≤π3，故选B.13.34解析：由题可得g (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4由g (x 0)＝2，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋π4＝2，∴1＋tan 12x 01－tan 12x 0＝2， ∴tan 12x 0＝13，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－π4＝tan x 0＝2tan 12x 01－tan 212x 0＝2×131－19＝34. 14．5解析：f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋m＝32sin2x ＋12cos2x ＋12＋m＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12＋m ，∵0≤x ≤π2， ∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴f (x )max ＝1＋12＋m ＝132， ∴m ＝5.。
2019届高考数学二轮复习(理科) 大题专项练习 8个专题(含答案)
大题专项练习(一) 三角函数与正余弦定理1．[2018·浙江杭州第二次教学质量检测]已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4. (1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数y ＝f(－x)的单调减区间．2．[2018·郑州外国语学校第十五次调研]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C.(1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值；(2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值．3．[2018·莆田一中月考]如图，在△ABC 中，AB>BC ，∠ABC ＝120°，AB ＝3，∠ABC 的角平分线与AC 交于点D ，BD ＝1.(1)求sin A ；(2)求△BCD 的面积．4．[2018·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.5．[2018·哈尔滨第六中学第三次模拟]如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝5714，tan∠AMC＝－32.(1)求角B的大小；(2)若角∠BAC＝π6，BC边上的中线AM的长为21，求△ABC的面积．6．[2018·辽宁重点高中第三次模拟]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin A cos C＋c sin A cos B＝ac sin B.(1)证明：bc＝a；(2)若c＝3，cos C＝16，求AC边上的高．大题专项练习(二) 数列1．[2018·全国卷Ⅱ]记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn ，并求Sn 的最小值．2．[2018·华中师范大学5月押题卷]已知正项等比数列{a n }满足：a 4＝a 2a 3，前三项和S 3＝13.(1)求a n ；(2)若数列{b n }满足：b n ＝log 3a n ＋n ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为T n ，求T n .3．[2018·揭阳三中月考]已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70，且a 1，a 2，a 6成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2S n＋48n，数列{b n}的最小项是第几项，并求出该项的值．4.[2018·黄冈中学第三次模拟考试]数列{a n }的前n 项和S n ＝32n 2＋n 2，数列{b n }满足a n ＝3log 2b n －1(n ∈N *) (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求{a n ·b n }的前n 项和T n .5．[2018·康杰中学模拟试题]已知数列{a n }满足a n ＝2＋2cos 2n π2，n ∈N *，等差数列{b n }满足a 1＝2b 1，a 2＝b 2.(1)记c n ＝a 2n －1b 2n －1＋a 2n b 2n ，求数列{c n }的通项公式c n ；(2)求数列{a n b n }的前2n 项和S 2n .6．[2018·山东潍坊第三次模拟]已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＋1＝S n＋1.(1)求{a n}的通项公式；(2)记b n＝log2(a n·a n＋1)，数列{b n}的前n项和为T n，求证：1T1＋1T2＋…＋1T n<2.大题专项练习(三)统计与概率1．[2018·江苏模拟]在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另外5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)．2．[2018·黄冈中学模拟]随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1 kg的包裹收费10元；重量超过1 kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1 kg(不足1 kg，按1 kg计算)需再收5元．(1)计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101～300之间的概率；(2)估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值．3．[2018·全国卷Ⅰ]某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？4．[2018·安徽安庆一中模拟]为了研究学生的数学核心素养与抽象(能力指标x)、推理(能力指标y)、建模(能力指标z)的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w＝x＋y＋z的值评定的数学核心素养，若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员同的概率；(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X＝a－b，求随机变量X的分布列及其数学期望．5．[2018·长沙市周南三模]某省级示范高中高三年级对考试的评价指标中，有“难度系数”“区分度”和“综合”三个指标，其中，难度系数x＝年级总平均分总分，区分度y＝实验班平均分－普通班平均分总分，综合指标p＝－16x2＋1825x＋12y.以(1)通过计算相关系数r，能否认为y与x的相关性很强(结果保留两位小数)?(2)根据经验，当x∈(0.7,0.8)时，区分度y与难度系数x的相关性较强，从以上数据中剔除(0.7,0.8)以外的x 值，即x 1，x 6.(ⅰ)写出剩下4组数据的线性回归方程(a ^，b ^保留两位小数)； (ⅱ)假设当x ∈(0.7,0.8)时，y 与x 的关系依从(ⅰ)中的回归方程，当x 为何值时，综合指标p 的值最大？参考数据：∑i ＝16x i y i ≈0.94,∑i ＝1i ＝6 (x i －x －)2∑i ＝1i ＝6(y i －y )2≈0.0093， ∑i ＝25x i y i ≈0.68，∑i ＝25 (x i －x )2＝0.0026.参考公式：相关系数r∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1n(x i －x －)2∑i ＝1n(y i －y －)2回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式为：b^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1n(x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －.6．[2018·湖北鄂州第三次模拟]为了解某校高二学生寒假日平均数学学习时间情况，现随机抽取500名学生进行调查，由调查结果得如下频率分布直方图．(1)求这500名学生寒假日平均数学学习时间的样本平均数x，中位数和样本方差S2(同一组中的数据用该组的中点值做代表)；(2)由直方图认为该校高二学生寒假日平均数学学习成绩X 服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x－，σ2近似为样本方差S2.(ⅰ)利用该正态分布，求P(100<x≤122.8)；(ⅱ)若随机从该校高二学生中抽取200名学生，记ξ表示这200名学生寒假日平均数学学习时间应位于(100,122.8)的人数，利用(ⅰ)的结果，求E(ξ)．附：130≈11.4，若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.大题专项练习(四)立体几何1．[2018·安徽池州月考]如图，在几何体ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，四边形A1ACC1是正方形，B1C1∥BC，Q是A1B的中点，且AC＝BC＝2B1C1，∠ACB＝2π3.(1)证明：B1Q⊥A1C；(2)求直线AC与平面A1BB1所成角的正弦值．2．[2018·全国卷Ⅲ]如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD 所成二面角的正弦值．3．[2018·康杰中学模拟]已知四边形ABCD为等腰梯形，AB ∥CD，AB＝2，AD＝CD＝BC＝1，沿对角线BD将△ABD旋转，使得点A至点P的位置，此时满足PD⊥BC.(1)证明：PD⊥CD；(2)求二面角A－PB－C平面角的正弦值．4．[2018·武威六中第六次诊断考试]如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P－AC－E的余弦值为63，求直线P A与平面EAC所成角的正弦值．5．[2018·安徽安庆一中模拟]如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MN＝C1N.(1)证明：A1E⊥平面AC1D；(2)若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为1020，求异面直线BM与NE所成角的余弦值．6．[2018·福建三明一中模拟]如图所示，四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，AB＝2，BE∥DF，且BE＝DF＝3，DF⊥平面ABCD，(1)求证：平面ABE⊥平面ABCD；(2)求平面AEF与平面ABE所成锐二面角的正弦值．大题专项训练(五)圆锥曲线1．[2018·陕西黄陵第三次质量检测]已知动点M(x，y)满足：(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2 2.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设过点N(－1,0)的直线l与曲线E交于A，B两点，点A 关于x轴的对称点为C(点C与点B不重合)，证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标．2．[2018·全国卷Ⅰ]设椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.3．[2018·江苏赣榆模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，且椭圆经过点A(2,0)和点(1,3e)，其中e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A的直线l交椭圆于另一点B，点M在直线l上，且OM＝MA.若MF1⊥BF2，求直线l的斜率．4．[2018·浙江宁波五校联考]如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)离心率为12，焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆切于点P ，OQ ⊥l ，垂足为Q ，其中O 为坐标原点．求△OPQ 面积的最大值．5．[2018·广东惠阳模拟]设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM→. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1，证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .6．[2018·齐鲁名校教科研协作体联考]已知P 点是抛物线y 2＝4x 上任意一点，F 点是该抛物线的焦点，点M (7,8)为定点，过P 点作PQ 垂直于y 轴，垂足为点Q .(1)求线段|PQ |＋|PM |的最小值．(2)过点F 的直线l 交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，N 点是抛物线的准线与x 轴的交点，若NA →·NB→＝8，求直线l 的方程．大题专项练习(六) 函数与导数1．[2018·黑龙江大庆实验中学月考]设函数f (x )＝a ln x －bx 2.(1)若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝12相切，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值；(2)当b ＝0时，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，x ∈(1，e 2]都成立，求实数m 的取值范围．2．[2018·台州中学模拟]已知函数f (x )＝x 2e 2x －2.(1)求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当x ∈[]0，2时，求证：f (x )≥－2x 2＋8x －5.3．[2018·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )＝e x －ax 2.(1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .4．[2018·浙江宁波联考](1)求证：ln x <x －1x(x ＞1)； (2)设函数f (x )＝1ln x －1x －1(x >1) ①求证：f (x )是减函数；②若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＋a <e 对任意n ∈N *恒成立(e 是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．5．[2018·山东实验中学二模]已知函数f (x )＝1＋ln x x .(1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝e x －1＋e 1－x ＋k 有实数解，求实数k的取值范围；(3)求证x ＋1＋(x ＋1)ln x <x e x .6．[2018·河南洛阳统考]已知函数f (x )＝(x －1)e x －t 2x 2，其中t ∈R .(1)函数f (x )的图象能否与x 轴相切，若能，求出实数t ，若不能，请说明理由；(2)讨论函数f (x )的单调性．大题专项练习(七) 参数方程1．[2018·揭阳三中月考]在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数，0≤φ≤π)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．2．[2018·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．3．[2018·黑龙江哈尔滨三中第三次模拟]已知圆锥曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22cos α，y ＝6sin α(α为参数)和定点A (0，6)，F 1，F 2是此圆锥曲线的左，右焦点．(1)以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程；(2)经过点F 1且与直线AF 2垂直的直线交此圆锥曲线于M ，N 两点，求||MF 1|－|NF 1||的值．4．[2018·甘肃天水第四次模拟]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－22t y ＝1＋22t (t 为参数)，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. (1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线θ＝π3(ρ>0)与直线l 交于点P ，与曲线C 交于点Q (Q与原点O 不重合)，求|OQ ||OP |的值．5．[2018·广东惠阳模拟]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设点P 在曲线C 上，求点P 到l 距离的最小值．6．[2018·厦门外国语学校适应性考试]在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2，正三角形ABC 的顶点都在C 1上，且A ，B ，C 依逆时针次序排列，点A 的坐标为(2,0)．(1)求点B ，C 的直角坐标；(2)设P 是圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝1上的任意一点，求|PB |2＋|PC |2的取值范围．大题专项练习(八)不等式选讲1．[2018·江西抚州临川最后一模]已知函数f(x)＝|x－a|＋|x ＋1|.(1)若a＝2，求函数f(x)的最小值；(2)如果关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集，求实数a的取值范围．2．[2018·全国卷Ⅰ]已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．3．[2018·四川双流中学二模]已知f(x)＝|x－2|＋1－λ(λ∈R)，f(x＋2)≥0的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(1)求实数λ的值．(2)若关于x的不等式f(x)＋|x－a|≥0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．4.[2018·郑州外国语学校调研]已知函数f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|(a为正实数)，g(x)＝x2－2x－4＋4 (x－1)2.(1)若f(2a2－1)>4|a－1|，求实数a的取值范围；(2)若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，求实数a的取值范围．5．[2018·青海西宁二模]已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－4|.(1)若f(x)≤－m2＋6m恒成立，求实数m的取值范围；(2)在(1)的条件下，设m的最大值为M0，a，b，c均为正实数，当3a＋4b＋5c＝M0时，求a2＋b2＋c2的最小值．6．[2018·江西师大附中三模]已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1b ，其中a ，b 为正实数．(1)若a ＝b ＝1，求不等式f (x )≤6的解集；(2)若f (x )的最小值为1，问是否存在正实数a ，b ，使得不等式a ＋4b ≤16能成立？若存在，求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．大题专项练习(一)三角函数与正余弦定理1.解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4 ＝sin x cos 7π4＋cos x sin 7π4＋cos x cos 3π4＋sin x sin 3π4＝2sin x －2cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)f (x )的最小正周期为2π，最大值为2.(2)y ＝f (－x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. ∴由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z ，∴f (－x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z . 2．解析：(1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∵0<C <π，∴C ＝2π3.∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝32.(2)当c ＝2，a ＋b ＝3c ＝23， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab＝4ab －1， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab －12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab ， ∴S ＝12ab sin C ＝12ab ·－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab＝12－16＋8ab ，∵a ＋b ＝23，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝3， 当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝ 2.∴△ABC 面积的最大值为 2.3．解析：(1)解法一：在△ABD 中，AB ＝3，BD ＝1，∠DBA ＝60°，由余弦定理，得：AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos60°＝7.∴AD ＝7，由正弦定理得BD sin A ＝AD sin ∠ABD， ∴sin A ＝BD ·sin ∠ABD AD ＝327＝2114. 解法二：在△ABD 中， ∴3sin (A ＋60°)＝1sin A，即3sin A ＝sin(A ＋60°)，∴5sin A ＝3cos A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin 2A ＝328，又A ∈(0，π)，sin A >0，∴sin A ＝328＝2114.(2)在△BCD 中，由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A ，所以BC ＝AB ×sin A sin C ＝32，所以△BCD 的面积为S ＝12×BD ×BC ×sin ∠CBD ＝12×1×32×32＝338.4．解析：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB.即5sin 45°＝2sin∠ADB ，所以sin∠ADB＝25.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝1－225＝23 5.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝2 5.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25.所以BC＝5.5．解析：(1)∵cos∠BAM＝5714，∴sin∠BAM＝2114，∴tan∠BAM＝3 5，∴tan B＝tan(∠AMC－∠BAM)＝tan∠AMC－tan∠BAM 1＋tan∠AMC tan∠BAM＝－32－351－32×35＝－3，又B∈(0，π)，∴B＝2π3.(2)由(1)可知B＝2π3，∠BAC＝π6，∴∠C＝π6，∴AB＝BC，设BM＝x，∴AB＝2x，在△AMB中，由余弦定理得：AB2＋BM2－2AB·BM·cos B＝AM2，∴7x2＝21，解得x＝3，∴S△ABC＝12×4x2·sin2π3＝3 3.6．解析：(1)证明：∵b sin A cos C＋c sin A cos B＝ac sin B，∴sin B sin A cos C＋sin C sin A cos B＝c sin A sin B，∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴sin B cos C＋sin C cos B＝c sin B，∴sin(B ＋C )＝c sin B ，∴sin A ＝c sin B ，∴a ＝bc .(2)∵c ＝3，cos C ＝16，∴a ＝3b ，∴由余弦定理，得9＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴b 2＝1，∴b ＝1.∴a ＝3，∴a ＝c ，∴AC 边上的高为 9－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝352. 大题专项练习(二) 数列1．解析：(1)设{an }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{an }的通项公式为an ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9.(2)由(1)得Sn ＝a 1＋an 2·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，Sn 取得最小值，最小值为－16.2．解析：(1)由a 4＝a 2a 3，S 3＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝a 1q ·a 1q 2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝13q >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝3，∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1.(2)b n ＝log 33n －1＋n ＝2n －1，∴1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.3．解析：(1)由题可得⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝70，a 22＝a 1a 6，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝10，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝10，d ＝0(舍)，∴a n ＝3n －2.(2)由(1)得，S n ＝n (1＋3n －2)2＝3n 2－n 2， ∴b n ＝2S n ＋48n ＝3n 2－n ＋48n＝3n ＋48n －1≥23， 当且仅当3n ＝48n ，即n ＝4时，取等号．所以数列{b n }的最小项是第4项，该项的值为23.4．解析：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＋12＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1，n ＝1时，3×1－1＝2，符合a n ＝3n －1，∴a n ＝3n －1.∵a n ＝3log 2b n －1，∴b n ＝2n .(2)a n b n ＝(3n －1)·2n ，T n ＝2·21＋5·22＋8·23＋…＋(3n －1)2n ，2T n ＝2·22＋5·23＋8·24＋…＋(3n －1)2n ＋1∴－T n ＝4＋3(22＋23＋24＋…＋2n )－(3n －1)2n ＋1＝4＋3×4(1－2n －1)1－2－(3n －1)·2n ＋1 ＝－8＋2n ＋1(4－3n )，∴T n ＝(3n －4)2n ＋1＋8.5．解析：(1)由题知a n ＝3＋cos n π＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，4，n 为偶数∴b 1＝12a 1＝1，b 2＝4，∵数列{b n }是等差数列，公差为3，∴b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.∴c n ＝a 2n －1b 2n －1＋a 2n b 2n＝2×[3(2n －1)－2]＋4×[3×2n －2]＝36n －18.(2)S 2n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋a 4b 4＋…＋a 2n －1b 2n －1＋a 2n b 2n＝c 1＋c 2＋…＋c n＝n (c 1＋c n )2＝18n 2. 6．解析：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1，当n ≥2时，a n ＝S n －1＋1，∴a n ＋1－a n ＝a n ，∴a n ＋1＝2a n ，当n ＝2时，a 2＝S 1＋1＝2＝2a 1，∴数列{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝log 2(2n －1·2n )＝2n －1，∴T n ＝[1＋(2n －1)]n 2＝n 2. ∴1T 1＋1T 2＋…＋1T n ＝112＋＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2.大题专项练习(三) 统计与概率1．解析：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝C 48C 510＝518. (2)由题意可知X 可取值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142； P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521；P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021； P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521； P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142. ∴X∴E (X )＝0×142＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.2．解析：(1)样本包裹件数在101～300之间的天数为60，∴f ＝3660＝35.在未来5天中，包裹 件数在101～300之间的天数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35， ∴未来5天内恰有2天揽件数在101～300之间的概率P ＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫253⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝144625. (2)10×43＋15×30＋20×15＋25×8＋30×4100＝15. ∴该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元．3．解析：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )＝C 220p 2(1－p )18.因此f ′(p )＝C 220[2p (1－p )18－18p 2(1－p )17]＝2C 220p (1－p )17(1－10p )．令f ′(p )＝0，得p ＝0.1.当p ∈(0,0.1)时，f ′(p )>0；当p ∈(0.1,1)时，f ′(p )<0.所以f (p )的最大值点为p 0＝0.1.(2)由(1)知，p ＝0.1.(ⅰ)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ～B (180,0.1)，X ＝20×2＋25Y ，即X ＝40＋25Y .所以EX ＝E (40＋25Y )＝40＋25EY ＝490.(ⅱ)若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于EX >400，故应该对余下的产品作检验．4．解析：(1)由题可知：建模能力一级的学生是A 9，建模能力二级的学生是A 2，A 4，A 5，A 7，A 10，建模能力三级的学生是A 1，A 3，A 6，A 8，记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A .∴P (A )＝C 25＋C 24C 210＝1645. (2)数学核心素养是一级的学生是A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，数学核心素养不是一级的学生是A 4，A 7，A 9，A 10，∴X 的可能取值为1,2,3,4,5∴P (X ＝1)＝C 13C 12C 16C 14＝14； P (X ＝2)＝C 13＋C 12C 12C 16C 14＝724； P (X ＝3)＝C 13＋C 12＋C 12C 16C 14＝724； P (X ＝4)＝C 12＋1C 16C 14＝18； P (X ＝5)＝1C 16C 14＝124. ∴X∴EX ＝1×14＋2×724＋3×724＋4×18＋5×124＝2912.5．解析：(1)x －＝0.75，y －＝0.21，r ≈0.94－6×0.75×0.210.0093≈－0.54. ∵|r |<0.75，∴不能认为y 与x 的相关性很强．(2)剔除x 1，x 6后，x ′＝0.75，y ′＝0.914，∴b ^≈0.68－0.75×0.910.0026≈－0.96. ∴a ^＝0.914＋0.96×0.75≈0.95，∴所求线性回归方程为y ^＝－0.96x ＋0.95.(3)p ＝－16x 2＋1825x ＋12y＝－16x 2＋1825x ＋12(－0.96x ＋0.95)＝－16x 2＋625x ＋1940，故当x ＝－6252×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝0.72时，p 取最大值． 6．解析：(1)由频率分布直方图可知，五组的频率分别为0.1,0.24,0.33,0.22,0.11，∴x －＝60×0.1＋80×0.24＋100×0.33＋120×0.22＋140×0.11＝100，中位数为0.160.33×20＋90＝99.7，S 2＝402×0.1＋202×0.24＋02×0.33＋202×0.22＋402×0.11＝520.(2)(ⅰ)由(1)可知X ～N (100,520)，σ＝520≈22.8，∴P (100<x ≤122.8)＝12×0.6826＝0.3413.(ⅱ)由题可知ξ～B (200,0.3413)，∴E (ξ)＝200×0.3413＝68.26.大题专项练习(四)立体几何1．解析：(1)连接AC1，A1C，交于M点，连接MQ，∵四边形A1ACC1是正方形，∴M是AC1的中点，又已知Q是A1B的中点，∴MQ綊B1C1，∴四边形B1C1MQ是平行四边形，∴B1Q∥C1M，∵C1M⊥A1C，∴B1Q⊥A1C.(2)以C为原点，CB，CC1分别为y轴和z轴．＝2B1C1＝2，∴A(3，－1,0)，A1(3，B(0,2,0)，B1(0,1,2)，∴CA→＝(3，－1,0)，B12,0)，B1B→＝(0,1，－2)．设平面A1BB1的法向量为n＝(x，y，z)，则由n⊥B1A1→，n⊥B1B→，得⎩⎪⎨⎪⎧3x－2y＝0，y－2z＝0，令z＝1，y＝2，x＝43.∴平面A1BB1的一个法向量n＝⎝⎛⎭⎪⎫43，2，1.设直线AC与平面A1BB1所成角为α，∴sinα＝|n·CA→||n||CA→|＝22×313＝9331.2．解析：(1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC .(2)以D 为坐标原点，DA→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .当三棱锥M －ABC 体积最大时，M 为CD 的中点．由题设得 D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，M (0,1,1)， AM→＝(－2,1,1)，AB →＝(0,2,0)，DA →＝(2,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面MAB 的法向量，则 ⎩⎨⎧n ·AM →＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋z ＝0，2y ＝0. 可取n ＝(1,0,2)．DA→是平面MCD cos 〈n ，DA →〉＝n ·DA →|n ||DA →|＝sin 〈n ，DA →〉＝255.所以平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值是255. 3．解析：(1)在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝DC ＝CB ＝1，易得∠A ＝60°，∴BD ＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos60°＝ 3. ∴AD 2＋BD 2＝AB 2， ∴AD ⊥BD ，折叠后PD ⊥BD ，又PD ⊥BC ， BD ∩BC ＝B ，∴PD ⊥平面BCD ， CD ⊂平面BCD ，∴PD ⊥CD .(2)由(1)知PD ⊥平面BCD ，AD ⊥BD ，以点D 为坐标原点，以DB ，DA ，DP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0，∴AP→＝(0，－1,1)，PB →＝(3，0，－1)， BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，－12，0，设平面APB 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋z ＝03x －z ＝0， 令x ＝1，∴y ＝3，z ＝3，∴平面APB 的一个法向量n 1＝(1，3，3)． 设平面PBC 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧3x －z ＝0，－32x －12y ＝0令x ＝1，∴y ＝－3，z ＝3，∴平面PBC 的一个法向量n 2＝(1，－3，3)． 设二面角A －PB －C 的平面角为θ，则|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝|1－3＋3|7×7＝17，∴sin θ＝437.4．解析：(1)∵PC ⊥平面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PC ，∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1， ∴AC ＝BC ＝2， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC ，又BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC .(2)如图，以C 为原点，取AB 中点F ，以CF ，CD ，CP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，C (0,0,0)，A (1,1,0)， B (1，－1,0)，设P (0,0，a )(a >0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，CA →＝(1,1,0)，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2， 设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴CA →·n ＝x ＋y ＝0， CE →·n ＝12x －12y ＋az 2＝0，令x ＝a ，y ＝－a ，z ＝－2，∴平面ACE 的一个法向量为n ＝(a ，－a ，－2)， 由题可知BC ⊥AC ，BC ⊥PC ， ∴BC ⊥平面P AC ，∴BC 为平面P AC 的一个法向量，B (1，－1,0)， ∴BC→＝(－1,1,0)， ∴|cos 〈n ，BC →〉|＝|－a －a |2a 2＋4·2＝63， ∴a ＝2.∴P (0,0,2)，P A →＝(1,1，－2)，n ＝(2，－2，－2)， ∴cos 〈P A →，n 〉＝2－2＋4612＝23.∴sin 〈P A →，n 〉＝1－29＝73.∴直线P A 与平面EAC 所成角的正弦值为73.5．解析：(1)证明：在正三棱柱中，D 、E 分别为AB 1与BB 1的中点，∴C 1D ⊥A 1B 1，又AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴AA 1⊥C 1D ，AA 1∩A 1B 1＝A 1， ∴C 1D ⊥平面A 1ABB 1， ∴C 1D ⊥A 1E ，又tan ∠A 1AD ＝12，tan ∠B 1A 1E ＝12， ∴∠A 1AD ＝∠B 1A 1E ， ∴A 1E ⊥AD ，∴A 1E ⊥平面AC 1D .(2)过A 作AF ⊥AC ，则以AF 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)，取BC 的中点为G ，连接AG ， ∴AG ⊥平面BCC 1B 1，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，∴平面BCC 1B 1的法向量AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，2，C 1(0,2,2)，C 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，0，E (3，1,1)，令C 1N →＝λC 1D →，∴C 1N →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32λ，－32λ，0，∴NE →＝C 1E →－C 1N →＝(3，－1，－1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫32λ，－32λ，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32λ，－1＋3λ2，－1，若NE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为1020， 则|NE →·AG →||NE →||AG →|＝1020， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫3－32λ32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3λ2－132⎝⎛⎭⎪⎫3－32λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋3λ22＋(－1)2·3＝1020，化简得32λ3λ2－6λ＋5·3＝1020，解得λ＝13， ∵MN →＝C 1N →＝13C 1D →，∴C 1M →＝23C 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－1，0，∴BM →＝C 1M →－C 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，0，2，NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫536，－12，－1， ∴cos 〈BM →，NE →〉＝－23×53－＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－111040＝111040，∴异面直线BM 与NE 所成角的余弦值为111040. 6．解析：(1)∵BE ∥DF ，DF ⊥平面ABCD ， ∴BE ⊥平面ABCD ， BE ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面ABCD . (2)取AB 的中点M ，∵四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，∴△ADB 为等边三角形， ∴DM ⊥AB ，AB ∥DC ，∴DM ⊥DC ，∴以D 为坐标原点，以DM ，DC ，DF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，由题可得A (3，－1,0)，E (3，1,3)，F (0,0,3)，B (3，1,0)，M (3，0,0)∵DM ⊥AB ，DM ⊥BE ，∴DM ⊥平面ABE ， ∴DM→是平面ABE 的一个法向量，DM →＝(3，0,0)． 设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， AE→＝(0,2,3)，EF →＝(－3，－1,0)， ⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋3z ＝0，－3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝－3，z ＝233，∴n ＝⎝⎛⎪⎫1，－3，233，∴cos 〈n ，DM→＝34， ∴sin 〈n ，DM →∴平面AEF 与平面ABE 所成锐二面角的正弦值为134.大题专项训练(五) 圆锥曲线1．解析：(1)由已知，动点M 到点P (－1,0)，Q (1,0)的距离之和为22，22>|PQ |，∴动点M 的轨迹为椭圆，其中a ＝2，c ＝1， ∴b ＝1，∴动点M 的轨迹E 的方程：x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (x 1，－y 1)，由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得 (1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，直线BC 的方程为：y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)，∴y ＝y 2＋y 1x 2－x 1x －x 1y 2＋x 2y 1x 2－x 1，令y ＝0，则x ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝2kx 1x 2＋k (x 1＋x 2)k (x 1＋x 2)＋2k ＝2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(x 1＋x 2)＋2＝－2，∴直线BC 与x 轴交于定点D (－2,0)．2．解析：(1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1.由已知可得，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22.又M (2,0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线， 所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为 y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为kMA ＋kMB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得kMA ＋kMB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k(x 1－2)(x 2－2).将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0. 从而kMA ＋kMB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB . 3.解析：(1)∵椭圆经过点A (2,0)和点(1,3e )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，14＋9e 2b 2＝1，b 2＋c 2＝a 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x －2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 24＋y 23＝1，消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3，∴B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 2－64k 2＋3，－12k 4k 2＋3. 由OM ＝MA ，知点M 在OA 的中垂线x ＝1上， 又M 在直线l 上，∴M (1，－k )，∴F 1M →＝(2，－k )，F 2B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 2－64k 2＋3－1，－12k 4k 2＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k 2－94k 2＋3，－12k 4k 2＋3， ∵MF 1⊥BF 2，∴F 1M →·F 2B →＝2·4k 2－94k 2＋3＋12k 24k 2＋3＝20k 2－184k 2＋3＝0， ∴k 2＝910，∴k ＝±31010，即直线l 的斜率为±31010.4．解析：(1)由题得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，c ＝1∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线PB ：y ＝kx ＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 由Δ＝0，得3＋4k 2＝m 2，x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4km m 2＝－4k m ，∴|PQ |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－km 1＋k 2＋4k m ∴S △OPQ ＝12|PQ ||OQ |＝12·|m |1＋k2·1＋k 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－km 1＋k 2＋4k m ＝12·|k |1＋k 2≤12·|k |21·k 2＝14. 当|k |＝1时取等号．∴(S △OPQ )max ＝14.5．解析：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，N (x 0,0)，NP→＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)， 由NP →＝ 2 NM →，得⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝0，y ＝3y 0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝22y .∴x 22＋y 22＝1，∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)F (－1,0)，设P (m ，n )，Q (－3，t )，OP→＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )，由OP →·PQ→＝1，得(－3－m )m ＋n (t －n )＝1， ∴－3m －m 2＋nt －n 2＝1，∴3m －tn ＋3＝0， FP→＝(m ＋1，n )，OQ →＝(－3，t )， FP →·OQ→＝－3(m ＋1)＋nt ＝－3m －3＋nt ＝0，即OQ ⊥PF ， ∴过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .6．解析：(1)|PQ |＋|PM |＝|PF |－1＋|PM |≥|FM |－1＝9. ∴当M 、P 、F 三点共线时，|PQ |＋|PM |取最小值9.(2)N (－1,0)，NA→＝(x 1＋1，y 1)，NB →＝(x 2＋1，y 2) 若直线l 的斜率不存在，l ：x ＝1，A (1,2)，B (1，－2)，NA →·NB →＝0，不成立． 若直线l 的斜率存在，l ：y ＝k (x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1， y 21y 22＝4x 1·4x 2＝16，∴y 1y 2＝－4. NA →·NB→＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1－4＝1＋2k 2＋4k 2－3＝0，。
2019届高考数学二轮复习小题标准练八
高考小题标准练(八)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x2>1},集合B={x|x(x-2)<0},则A∩B=()A.{x|x≤1或x≥2}B.{x|x>2}C.{x|0<x<2}D.{x|1<x<2}【解析】选D.由A={x|x2>1}={x|x>1或x<-1},B={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2}可知A∩B={x|1<x<2}.2.设i是虚数单位,若复数z=,则=()A.-iB.1+iC.1-iD.+i【解析】选A.由题意z====+i,所以=-i.3.下列曲线中离心率为的是()A.-=1B.-y2=1C.+=1D.+y2=1【解析】选 D.由于离心率0<<1,所以此曲线为椭圆,排除选项A,B;对于选项C,此曲线为椭圆,a2=9,b2=8,所以c2=a2-b2=1,离心率e===,不符合;对于选项D,此曲线为椭圆,a2=9,b2=1,所以c2=a2-b2=8,离心率e==,符合.4.已知(1-ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.1B.2C.-1D.-2【解析】选A.(1-ax)(1+x)5=(1-ax)(1+5x+10x2+10x3+5x4+x5),其展开式中含x2项的系数为10-5a=5,解得a=1.5.若a>1,0<c<b<1,则下列不等式不正确的是()A.log a2018>log b2018B.log b a<log c aC.(c-b)c a>(c-b)b aD.(a-c)a c>(a-c)a b【解析】选 D.根据对数函数的单调性可得log a2 018>0>log b2 018,log b a<log c a,故A,B正确.因为a>1,0<c<b<1,所以0<c a<b a,c-b<0,0<a c<a b,a-c>0,所以(c-b)c a>(c-b)b a,(a-c)a c<(a-c)a b,则C正确,D错误.6.程序框图如图所示,该程序运行后输出的S的值是()A.2B.-C.-3D.【解析】选A.由程序框图知:S=2,i=1;S==-3,i=2;S==-,i=3;S==,i=4;S==2,i=5,…,可知S出现的周期为4,当i=2 017=4×504+1时,结束循环,输出S,即输出的S=2.7.设x,y满足约束条件则z=x-y的最小值是()A.0B.-1C.-2D.-3【解析】选C.如图作出不等式组对应的平面区域,由图可知,平移直线y=x-z.当直线经过点A(0,2)时,z 有最小值-2.8.设数列{a n}是等差数列,且a2=-6,a6=6,S n是数列{a n}的前n项和,则()A.S4<S3B.S4=S3C.S4>S1D.S4=S1【解析】选B.设等差数列{a n}的公差为d.因为a2=-6,a6=6,所以4d=a6-a2=12,即d=3.所以a n=-6+3(n-2)=3n-12.所以S1=a1=-9,S3=a1+a2+a3=-9-6-3=-18,S4=a1+a2+a3+a4=-9-6-3+0=-18.所以S4<S1,S3=S4.9.已知向量,满足||=||=1,·=0,=λ+μ(λ,μ∈R),若M为AB的中点,并且||=1,则点(λ,μ)的轨迹方程是()A.λ+2+μ-2=1B.λ-2+(μ+1)2=1C.(λ-1)2+(μ-1)2=1D.λ-2+μ-2=1【解析】选D.由于M是中点,所以=(+),所以||=|-|=λ-+μ-=1,所以=1,所以λ-2+μ-2=1.10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=2,则△ABC面积的最大值为()A. B.2C. D.【解析】选B.在△ABC中,由余弦定理知: a2=b2+c2-2bccos A,即8=b2+c2-2bccos =b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤8,当且仅当b=c时,等号成立,所以△ABC面积的最大值为S=bcsin A=×8sin =2.11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x=0的夹角为30°,若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为8,则双曲线C的标准方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x=0的夹角为30°,所以双曲线C 的渐近线方程为y=±x,所以=.因为以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为8,所以4×ab=8,即ab=4.由解得所以双曲线C的标准方程为-=1.12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,b=4,则△ABC面积的最大值为()A.4B.2C.3D.【解析】选A.因为=,所以(2a-c)cos B=bcos C,由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,所以2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(B+C)=sin A.又sin A≠0,所以cos B=.因为0<B<π,所以B=.由余弦定理得b2=16=a2+c2-2accos=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,所以ac≤16,当且仅当a=c时等号成立.此时S△ABC=acsin=×16×=4.故△ABC面积的最大值为4.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.平面直角坐标系中,角α的顶点在原点,始边与x轴非负半轴重合,终边过点P(-5,-12),则cosα=________.【解析】角α的顶点在原点,始边与x轴非负半轴重合,终边过点P(-5,-12),所以cosα==-.答案:-14.设公比为q的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=________.【解析】因为公比为q的等比数列{a n}的前n项和为S n,且S2=3a2+2,S4=3a4+2,所以S4-S2=a4+a3=3a4-3a2,即2q2-q-3=0.所以q=或-1.答案:或-115.已知函数f(x),g(x)分别是定义域在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=2x+x,则f(log2【解析】由f(x)+g(x)=2x+x⇒f(-x)+g(-x)=2-x-x,由函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,得f(x)-g(x)=2-x-x,联立方程消元即得:f(x)=,所以f(log25)==.答案:16.△ABC的三内角A,B,C的对边边长分别为a,b,c,若a=b,A=2B,则cosB=________.【解析】因为△ABC中,a=b,A=2B,所以根据正弦定理得所以cos B=.答案:。
2019版高中数学二轮复习高考小题专练8套
＝1，当点 A 从( 3， 0)移动到 ( 2，0)时， x 从 23变到 22，∴圆心角变化 π4－π6＝
1π2，∴ D 经过的路程为 1π2×1＝1π2，故选 D．
10．设集合 A＝{( x，y)||x|＋|y|≤1} ，B＝{( x，y)|(y－x)(y＋x)≤0} ，M ＝A∩B， 若动点 P(x，y)∈M，则 x2＋(y－1)2 的取值范围是 ( )
现要在曲线 PQ 上任一处 M 建一座码头， 向 B，C 两地转运货物． 经测算， 从 M 到 B 和 M 到 C 修建公路的费用均为 a 万元 /km，那么修建这两条公路的总费用 最低是 ________万元．
Hale Waihona Puke 解析： 以 AB 所在的直线为 x 轴， AB 的中垂线为 y 轴，建立平面直角坐标
系，则 A(－2,0)，B(2,0)，C(3， 3)，由 |MA|－|MB|＝2 知点 M 的轨迹，
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析： 选 C 由|a||b||cos 〈 a，b〉|＝|a||b|，得 cos 〈a，b〉＝ ±1，即〈 a，
b〉＝0 或 π，∴a∥b, 由 a∥b，得向量 a 与 b 同向或反向，∴〈 a，b〉＝0 或 π，
∴|a·b|＝|a||b|，“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件，故选 C．
k＝
1－ 0 －2－1＝－
13，设直线
y＝a(x
－1)与 y＝ ex 相切于 (x0，ex0)，则切点处的导数值为 ex0，则过切点的直线方程为
y－ ex0＝ ex0(x－ x0)，又切线过 (1,0)，则－ ex0＝ex0(1－ x0)，∴ x0ex0＝ 2ex0，得 x0 ＝2，此时切线的斜率为 e2，由图可知，要使函数 g(x)＝f(x)－ ax＋ a 存在零点，
2019届高考数学(理)二轮复习小题专练(5)(有答案)
2019届高考数学（理）二轮复习小题专练（5）1、已知集合{}{1,0,1,2,A B x y =-=,则下图中阴影部分所表示的集合为( )A. {}1-B. {}0C. {}1,0-D. {}1,0,1-2、已知(34)(1)i ai bi ++= (,,a b R i ∈是虚数单位),则a = ( ) A. 34-B. 34C. 43D. 43- 3、22cos 275cos 215cos75?cos15++的值是( ) A. 54C.32D. 1+4、如图,在棱长为1的正方体中1111ABCD A BC D -,点P 在线段1AD 上运动,则下列命题错误的是( )A.异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值B.直线CD 和平面1BPC 平行C.三棱锥1D BPC -的体积为定值D.直线CP 和平面11ABC D 所成的角为定值5、已知向量3,2,OA OB OC mOA nOB ===+,若OA 与OB 的夹角为60,且OC AB ⊥,则实数m n的值为( ) A. 16B. 14C. 6D. 46、若110b a<<,则下列不等式不成立的是( ) A. 11a b a >- B. a b < C. a b >D. 22a b >7、若实数 ,x y 满足条件10262x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≥⎩,则2z x y =-的最大值为( ) A.10 B.6 C.4D.-28、如图,半径为R 的圆O 内有四个半径相等的小圆,其圆心分别为,,,A B C D ,这四个小圆都与圆O 内切,且相邻两小圆外切,则在圆O 内任取一点,该点恰好取自阴影部分的概率为( )A. 3-B. 6-C. 9-D. 12-9、如图所示,是函数sin()0,0,2y A x k A w πωϕϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭的图象的一部分,则函数解析式是( )A. 2sin(2)16y x π=++ B. sin(2)13y x π=++ C. 12sin()226y x π=++ D. sin(2)23y x π=++10、执行下面的程序框图,如果输入的48,36m n ==,则输出的,k m 的值分别为( )A.2,12B.2,3C.3,12D.3,311、已知圆()22:21M x y -+=经过椭圆22:13x y C m +=的一个焦点,圆M 与椭圆 C 的公共点为,?A B ,点P 为圆M 上一动点,则P 到直线AB 的距离的最大值为( )A. 5B. 4C. 11D. 1012、具有性质: ()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小题专项练习(八)空间几何体的三视图、表面积与体积
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为() A．1 B．2
C．3 D．6
2．[2018·成都经开区实验中学月考]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A、E、C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图(也称主视图)是()
3．[2018·宁夏六盘山第三次模拟]《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()
A．2 B．2＋4 2
C．4＋4 2 D．4＋6 2
4.
[2018·江西重点中学第二次联考]如图所示，网格纸上小正方
形的边长为2，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为( )
A.43 B ．4
C.323
D.643
5．[2018·海南第三次联合考试]某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的侧面积为( )
A ．40 cm 2
B ．56 cm 2
C ．60 cm 2
D ．76 cm 2
6．[2018·峨山一中五月月考]已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172 B ．210
C.132 D ．310
7．[2018·山东沂水县期中]某底面为正方形的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为( )
A．2 B．2＋ 2
C．3＋ 3 D．3＋ 2
8．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()
A．217 B．2 5
C．3 D．2
9.
[2018·江淮十校第三次联考]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底(指面积较小的长方形)宽2丈，长3丈；上底(指面积较大的长方形)宽3丈，长4丈；高3丈．问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为()立方丈．
A.53
2B．24
C．27 D．18＋6 2
10．[2018·哈尔滨六中冲刺押题卷(二)]某正四棱锥的正视图
和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是( ) A.10 B.11
C ．410
D ．411
11．[2018·成都第三次诊断性检测]在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1(底面是正三角形，侧棱垂直于底面的棱柱)中，所有棱长之和为定值a .若正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的顶点都在球O 的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时，该球的表面积为
( )
A ．43π B.32π3
C ．12π D.64π3
12.
[2018·康杰中学模拟]如图是某四棱锥的三视图，其中正视图
是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为( )
A.83
B.43
C.823
D.423
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．
13．[2018·江苏赣榆县模拟]若圆柱的侧面展开图是边长为4 cm 的正方形，则圆柱的体积为________ cm 3.
14．[2018·江苏卷]如图所示，正方体的棱长为2，以其所有。