1.6电势差与电场强度的关系

6 电势差与电场强度的关系[学习目标] 1.理解匀强电场中电势差与电场强度的关系：U ＝Ed ，并了解其适用条件.2.会用U ＝Ed 或E ＝Ud解决有关问题.[导学探究] 如图1所示的一个匀强电场，场强大小为E ，A 、B 是沿电场方向上的两点，其电势差为U ，A 、B 之间相距为d .现将一个电荷量为q 的电荷由A 移到B .图1(1)从力和位移的角度计算静电力所做功的大小；通过A 、B 间的电势差计算静电力做功的大小.(2)比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系. (3)B 、C 在同一等势面上，U AC 与电场强度有何关系？ 答案 (1)W AB ＝Fd ＝qEd W AB ＝qU AB (2)U AB ＝Ed (3)U AC ＝Ed [知识梳理]1.匀强电场中电势差与电场强度的关系 (1)关系式：U AB ＝Ed 或E ＝U ABd. (2)物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积. (3)适用条件 ①匀强电场.②d 为两点沿电场方向的距离. 2.公式E ＝U ABd的意义(1)意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离的比值.(2)电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势. (3)电场强度的另一个单位：由E ＝U ABd 可导出电场强度的另一个单位，即伏[特]每米，符号为V /m.1V/m ＝1N/C.[即学即用] 判断下列说法的正误. (1)公式U ＝Ed 适用于所有电场.(×)(2)由U ＝Ed 可知，匀强电场中两点的电势差与这两点的距离成正比.(×) (3)匀强电场的场强值等于沿电场线方向每单位长度上的电势差值.(√) (4)沿电场线方向任意相同距离上的电势差必相等.(×)(5)在匀强电场中，任意两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积.(×)一、关于场强的三个表达式的比较例1 如图2所示为一个水平的匀强电场，在电场内某水平面上做一个半径为10cm 的圆，在圆周上取如图所示的A 、B 、C 三点，已知A 、B 两点间电势差为1350V ，图2(1)求匀强电场的场强大小.(2)若在圆心O 处放置电荷量为10－8C 的正点电荷，求C 点电场强度的大小和方向.(结果保留三位有效数字)答案 (1)9000V /m (2)1.27×104 N/C ，方向与水平方向成45°角斜向右上解析 (1)由题图知A 、B 两点在匀强电场方向上的距离d ＝r ＋r2＝0.15m ，所以匀强电场场强E ＝Ud＝9000V/m.(2)设正点电荷在C 处产生的电场强度为E 1，则 E 1＝kQr2＝9×103N/C ，方向由O 指向C .C 处另有匀强电场，场强E ＝9×103N/C ，方向水平向右，与E 1垂直，根据平行四边形定则，C 处合电场的场强为E ′＝E 21＋E 2≈1.27×104N/C ，方向与水平方向成45°角斜向右上. 二、对关系式U ＝Ed 和E ＝Ud 的理解1.关系式表明了电场强度与电势差的关系(1)大小关系：由E ＝Ud 可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，电场强度是电势差对空间位置的变化率，电势随空间变化的快慢，反映了电场强度的大小. (2)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向. 2.U ＝Ed 的两个推论(1)在匀强电场中，沿任意一个方向，电势变化都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等.(2)在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段两端点的电势差相等.例2 如图3所示，在xOy 平面内有一个以O 为圆心、半径R ＝0.1m 的圆，P 为圆周上的一点，O 、P 两点连线与x 轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小E ＝100V/m ，则O 、P 两点的电势差可表示为( )图3A.U OP ＝－10sin θ (V)B.U OP ＝10sin θ (V)C.U OP ＝－10cos θ (V)D.U OP ＝10cos θ (V) 答案 A解析 由题图可知匀强电场的方向是沿y 轴负方向的，沿着电场线的方向电势是降低的，所以P 点的电势高于O 点的电势，O 、P 两点的电势差U OP 为负值.根据电势差与场强的关系可得U OP ＝－Ed ＝－E ·R sin θ＝－10sin θ (V)，所以A 正确.例3 如图4所示，P 、Q 两金属板间的电势差为50V ，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d ＝10cm ，其中Q 板接地，两板间的A 点距P 板4cm.求：图4(1)P 板及A 点的电势.(2)保持两板间的电势差不变，而将Q 板向左平移5cm ，则A 点的电势将变为多少？ 答案 (1)－50V －30V (2)－10V解析 板间场强方向水平向左，可见Q 板电势最高.Q 板接地，则电势φQ ＝0，板间各点电势均为负值.利用公式E ＝Ud 可求出板间匀强电场的场强，再由U ＝Ed 可求出各点与Q 板间的电势差，即各点的电势.(1)场强E ＝U d ＝5010×10－2V·m －1＝5×102V·m －1 Q 、A 间电势差U QA ＝Ed ′＝5×102×(10－4)×10－2V ＝30V所以A 点电势φA ＝－30V ，同理可求得P 板电势φP ＝U PQ ＝－50V (2)当Q 板向左平移5cm 时，两板间距离d ″＝(10－5) cm ＝5cm Q 板与A 点间距离变为d ＝(10－4) cm －5cm ＝1cm 电场强度E ′＝U d ″＝505×10－2V·m －1 ＝1.0×103V·m －1Q 、A 间电势差U QA ′＝E ′d ＝1.0×103×1.0×10－2V ＝10V所以A 点电势φA ＝－10V .在应用公式U AB ＝Ed 时可简化为U ＝Ed ，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，至于电势差的正负、电场强度的方向我们可根据题意另作判断. 三、非匀强电场中的电势差与电场强度的关系例4 如图5所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa ＝50V ，φc ＝20V ，则a 、c 连线中点b 的电势φb 为( )图5A.等于35VB.大于35VC.小于35VD.等于15V答案 C解析 从电场线疏密可以看出E a ＞E b ＞E c ，由公式U AB ＝Ed 可以判断U ab ＞U bc ，所以φb ＜φa ＋φc2＝35V.U AB ＝Ed 只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题.(1)由图3中电场线分布可知，ab 段上任一点的场强都大于bc 段上任一点的场强，由U AB ＝Ed 知，U ab ＞U bc .(2)在同一幅等势面图中，若相邻等势面间的电势差取一定值，相邻等势面间的间距越小(等势面越密)，场强E ＝U AB d就越大.1.关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是( ) A.任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积 B.沿电场线方向，任何相同距离上电势降落必定相等 C.电势降低的方向必是场强方向D.在相同距离的两点上，电势差大的场强也大答案 B解析 本题的关键是理解匀强电场中场强与电势差的关系，公式E ＝U ABd 中，d 是沿场强方向上两点的距离，由此很容易判断出A 、D 错，B 正确；场强的方向是电势降低最快的方向，电场降低的方向不一定是场强方向，故C 错.2.如图6所示，在匀强电场中相距10mm 的两等势面AA ′、BB ′.其间有一静止的油滴P .已知油滴P 的重力是1.6×10－4N ，所带的电荷量是＋3.2×10－9C.则下面判断正确的是( )图6A.φA ＞φB ，U AB ＝100VB.φA ＞φB ，U AB ＝750VC.φA ＜φB ，U BA ＝500VD.φA ＜φB ，U BA ＝1000V 答案 C解析 由于油滴静止，则油滴所受静电力与重力等大、反向，即电场方向向上，故φA ＜φB .由E ＝Fq 、F ＝G 得E ＝5×104V/m ，又由于d ＝10mm ＝0.01m ，所以U BA ＝Ed ＝500V ，故选项C 正确.3.平行的带电金属板A 、B 间是匀强电场，如图7所示，两板间距离是5cm ，两板间的电压是60V .图7(1)两板间的场强是________；(2)电场中有P 1和P 2两点，P 1点离A 板0.5cm ，P 2点离B 板也是0.5cm ，P 1和P 2两点间的电势差U 12＝________.答案 (1)1.2×103V/m (2)48V解析 (1)两板间是匀强电场，由U AB ＝Ed 可得两板间的场强E ＝U AB d ＝60V5×10－2m＝1.2×103V/m.(2)P 1、P 2两点间沿场强方向的距离：d ′＝4cm. 所以U 12＝Ed ′＝1.2×103×4×10－2V ＝48V .一、选择题(1～6题为单选题，7～10题为多选题) 1.下列说法正确的是( )A.由公式E ＝U ABd 得，电场强度E 与电势差U AB 成正比，与两点间距离d 成反比B.由公式E ＝U ABd 得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小C.在匀强电场中，任意两点间电势差等于场强和这两点间距离的乘积D.公式E ＝U ABd 只适用匀强电场答案 D2.如图1所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25cm ，由此可确定此电场的电场强度的方向及大小为( )图1A.竖直向下，E ＝0.4V/mB.水平向右，E ＝0.4V/mC.水平向左，E ＝40V/mD.水平向右，E ＝40V/m 答案 D解析 电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E ＝Ud ＝100.25V /m ＝40 V/m ，故D 项正确. 3.如图2所示的匀强电场场强为103N/C ，ab 、cd 平行于电场线，ac 、bd 垂直于电场线，ab ＝cd ＝4cm ，ac ＝bd ＝3cm.则下述计算结果正确的是( )图2A.a、b之间的电势差为40VB.a、c之间的电势差为50VC.将q＝－5×10－3C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25JD.将q＝－5×10－3C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25J答案 A解析由U＝Ed得U ab＝103×0.04V＝40V，A正确；a、c在同一等势面上，所以U ac＝0，B 错误；将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故电场力做功为0，C错误；W ad＝W ab＝qU ab ＝(－5×10－3)×40J＝－0.2J，D错误.4.如图3所示，在电场强度E＝2×103V/m的匀强电场中有三点A、M和B，AM＝4cm，MB ＝3cm，AB＝5cm，且AM边平行于电场线，把一电荷量q＝2×10－9C的正电荷从B移动到M点，再从M点移动到A点，电场力做功为()图3A.1.6×10－7JB.1.2×10－7JC.－1.6×10－7JD.－1.2×10－7J答案 C解析B、M在同一等势面上，电荷由B到M电场力不做功.由M到A电场力做负功，W＝qU＝q·Ed＝2×10－9×2×103×4×10－2J＝1.6×10－7J.即电场力做功为－1.6×10－7J.5.如图4所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5cm，电势差为25V，在电场中P点固定放置电荷量为5×10－9C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P 点的()图4A.上方30cm 处B.下方30cm 处C.上方25cm 处D.下方25cm 处答案 B解析 匀强电场的场强E ＝U d ＝250.05V /m ＝500 V/m ，设距P 点L 处的合场强为零，则k QL 2＝9×109×5×10－9L 2V /m ＝500 V/m ，故L ＝0.3m ，负点电荷在L 处的电场竖直向上，故该点在电场中P 点的下方，B 正确.6.如图5所示，两块不带电的竖直平行金属板的间距为d ，一个重力为G 的带电小球在重力作用下在两板间竖直下落，此时小球的运动轨迹是AB ，当两板间加上电压U 时，小球受力方向变成沿BC 方向，则此小球所带的电荷量应是( )图5A.G UB.G2U C.Gd U D.2Gd U答案 C解析 设小球所受电场力为F 电，由图可知tan45°＝F 电G ，又F 电＝U d q ，可解得：q ＝GdU ，C 正确.7.细胞膜的厚度等于700nm(1nm ＝10－9m)，当膜的内外层之间的电压达0.4V 时，即可让一价钠离子渗透.设细胞膜内的电场为匀强电场，则( ) A.膜内电场强度为5.71×105V/m B.膜内电场强度为1.04×106V/mC.每个钠离子沿电场方向透过膜时电场力做的功等于6.4×10－20J D.每个钠离子沿电场方向透过膜时电场力做的功等于1.28×10－19J答案 AC解析 E ＝U d ＝0.47×10－7V /m≈5.71×105 V/m ，A 正确，B 错误；W ＝qU ＝1.6×10－19×0.4J ＝6.4×10－20J ，C 正确，D 错误.8.如图6所示，A 、B 两板间电压为600V ，A 板带正电并接地，A 、B 两板间距离为12cm ，C 点离A 板4cm ，下列说法正确的是( )图6A.E ＝2000V/m ，φC ＝200VB.E ＝5000V/m ，φC ＝－200VC.电子在C 点具有的电势能为－200eVD.电子在C 点具有的电势能为200eV 答案 BD解析 A 板接地，则其电势为零，又因为A 、B 两板间的电压为600V ，则B 板电势为－600V ，由此知C 点电势为负值，A 、B 两板间场强E ＝U d ＝600V 12cm ＝50V /cm ＝5 000 V/m ，φC ＝－E ×d C＝－50V/cm ×4cm ＝－200V ，A 错误，B 正确；电子在C 点具有的电势能为200eV ，C 错误，D 正确.9.如图7所示，一电场的电场线分布关于y 轴(沿竖直方向)对称，O 、M 、N 是y 轴上的三个点，且OM ＝MN .P 点在y 轴右侧，MP ⊥ON .则下列说法正确的是( )图7A.M 点的电势比P 点的电势高B.将负点电荷由O 点移动到P 点，电场力做正功C.M 、N 两点间的电势差大于O 、M 两点间的电势差D.M 、N 两点间的电势差小于O 、M 两点间的电势差 答案 AD解析 根据电场线和等势面的关系画出等势面，可以判断出M 点的电势比P 点的电势高，A 正确.将负点电荷由O 点移到P 点，电场力做负功，B 错误.根据U AB ＝Ed 进行定性分析可知U MN ＜U OM ，C 错误，D 正确.10.如图8所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB ＝BC ，电场中的A 、B 、C 三点的场强分别为E A 、E B 、E C ，电势分别为φA 、φB 、φC ，AB 、BC 间的电势差分别为U AB 、U BC ，则下列关系中正确的有( )图8A.φA ＞φB ＞φCB.E C ＞E B ＞E AC.U AB ＜U BCD.U AB ＝U BC答案 ABC解析 由电场线的方向是电势降低的方向知选项A 正确.由题图中电场线的分布规律可知，电场不是匀强电场，C 附近电场线稠密，B 附近电场线次之，A 附近电场线最稀疏，所以E C ＞E B ＞E A ，选项B 正确；由公式U ＝Ed 进行定性分析知：U BC ＞U AB ，选项C 正确，D 错误；故选A 、B 、C.二、非选择题11.如图9所示，在水平放置的两个平行金属板之间的匀强电场沿竖直方向，电场中A 、B 两点之间的连线与竖直方向的夹角为60°.把带电荷量为q ＝－1.5×10－8C 的点电荷由A 点移到B 点，克服电场力做了4.2×10－5J 的功.若已知A 点电势φA ＝800V ，|AB |＝1cm ，求：图9(1)B 点的电势.(2)求电场强度的大小和方向.答案 (1)－2000V (2)5.6×105V/m ，方向竖直向下解析 (1)A 、B 两点的电势差为U AB ＝W AB q ＝－4.2×10－5－1.5×10－8V ＝2800V ， 设B 点的电势为φB ，根据U AB ＝φA －φB 得φB ＝φA －U AB ＝800V －2800V ＝－2000V.(2)电场强度为E ＝U AB d ＝U AB |AB |cos60＝28001×10－2×0.5V /m ＝5.6×105 V/m ，方向为竖直向下. 12.如图10所示，平行金属带电极板A 、B 间可看成匀强电场，场强E ＝1.2×102V/m ，极板间距离d ＝5cm ，电场中C 点和D 点分别到A 、B 两板的距离均为0.5cm ，B 板接地，求：图10(1)C 、D 两点的电势、两点间电势差各为多少？(2)将点电荷q ＝2×10－2C 从C 点匀速移到D 点时外力做多少功？ 答案 (1)－5.4V －0.6V －4.8V (2)9.6×10－2J 解析 (1)因正极板接地，故板间各点电势均小于零，由U ＝Ed 得U BD ＝Ed BD ＝1.2×102×0.5×10－2V ＝0.6V ， 即φD ＝－0.6V.由于d CB ＝5cm －0.5cm ＝4.5cm ＝4.5×10－2m ， 所以U CB ＝－Ed CB ＝－1.2×102×4.5×10－2V ＝－5.4V ＝φC .所以U CD ＝φC －φD ＝－5.4V －(－0.6V)＝－4.8V .(2)因为点电荷匀速移动，外力所做的功等于克服电场力所做的功W 外＝|qU CD |＝2×10－2×4.8J ＝9.6×10－2J. 13.如图11所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d ，各等势面电势已在图中标出，现有一质量为m 的带电小球以速度v 0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：图11(1)小球应带何种电荷及其电荷量；(2)小球受到的合外力；(3)在入射方向上小球运动的最大位移x m .(电场足够大)答案 (1)正电荷 mgd U (2)2mg (3)2v 204g解析 (1)作电场线如图(a)所示.由题意知，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图(b)所示.只有当F 合与v 0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v 0方向做匀减速运动.由图(b)知qE ＝mg ，相邻等势面间的电势差为U ，所以E ＝U d ，所以q ＝mg E ＝mgd U.(2)由图(b)知，F 合＝(qE )2＋(mg )2＝2mg .(3)由动能定理得－F 合x m ＝0－12m v 20所以x m ＝m v 2022mg ＝2v 204g .。