贵州省思南中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题

思南中学2017—2018学年度第一学期半期考试高一年级数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1.设全集U =R ，集合{}22|x x y y A -==，{}x y y B 2|== ，则集合=⋂B A C U )(（ ）A 、{}0|>y yB 、{}10|≤<y yC 、{}1|>y yD 、{}1|≥y y 2.已知集合{}1,0,1-=M ,{}b a M b a ab x x N ≠∈== ,,,,则集合N 的真子集个数为（ ）A 、8B 、7C 、4D 、3 3.函数3log )(31+-=x x x f 的零点所在的区间是（ ）A 、()1,0B 、()2,1C 、()2,3D 、()+∞,34.设0.012log 3,ln2a b c ===，则（ ） A 、c a b << B 、a b c << C 、a c b << D 、b a c << 5.下列说法不正确．．．的是（ ） A 、方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =有零点 B 、函数235y x x =-++ 有两个零点 C 、单调函数至多有一个零点D 、函数()f x 在区间[,]a b 上满足()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在区间(,)a b 内有零点 6.同时满足以下三个条件的函数是（ ）①图像过点()0,1； ②在区间()+∞,0上单调递减； ③是偶函数 ． A 、()2()12f x x =-++ B 、()3x f x =C 、1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D 、2()f x x -=7.已知函数2()(21)f x x a x b =+-+是偶函数，那么函数()g x =为（ ）A 、1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B 、⎥⎦⎤⎝⎛21,0 C 、(]0,2 D 、[)+∞,28.根据下表，用二分法求函数3()31f x x x =-+在区间(1,2)上的零点的近似值（精确度0.1）是（ ）A 、1.75B 、1.625C 、0.12719726D 、1.56259.已知奇函数)(x f 是定义在区间[]2,2-上的单调递减函数，则不等式2()(2)0f x f x +>的解集是（ ）A 、[)1,0-B 、()2,0-C 、(]2,1--D 、()(),20,-∞-+∞10.已知函数x x f )21()(=,则函数)1(+x f 的反函数的图象可能是（ ）11.设偶函数()f x 在()0,+∞上为减函数，且0)1(=-f ，则不等式0)(<⋅x f x 的解集为（ ） A 、()()1,01,-+∞ B 、()(),10,1-∞- C 、()(),11,-∞-+∞ D 、()()1,00,1-12.已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤=.2,log ,20,)21()(16x x x x f x若关于x 的方程),(0)()]([2R b a b x f a x f ∈=+⋅+有且只有7个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A 、)1,41(B 、)1,2(--C 、)45,2(--D 、),41(+∞二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知01a a >≠且，函数2)32(log +-=x y a 的图象恒过定点P ，若点P 在指数函数)(x f 的图象上，则)8(f =__________.14.设)(x f 是R 上的偶函数, 且在[0+)∞，上递增, 若1()02f =，0)(log 161< x f ，那么x 的取值集合．．是 . 15.函数)3(l o g )(22a ax x x f +-=在),2[+∞上是增函数，则实数a 的取值集合．．是 .16.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，32)(x x f =，23)(x x f =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）．三、解答题（共70分） 17.（本题满分10分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=)0(,1)1(log )0(,2)21()(2x x x x f x（1）求)(x f 的零点；（2）求不等式1)(>x f 的解集.18.（本题满分12分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．（1）设MP=x 米，PN=y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；（2）求矩形BNPM 面积的最大值．19．（本题满分12分）已知函数xx x f -+=22lg )(. （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；（2）写出函数)(x f 的单调区间及单调性，并用单调性定义证明其单调性.20．（本题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时，()23x f x x=-. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分12分）已知函数].2,1[,32)(2∈+-=x a ax x x f（1）求函数)(x f 在区间[1，2]上的最小值)(a g ； （2）求函数)(a g 的最大值.22．（本题满分12分）已知函数4()log (41)x f x kx =++()k R ∈ 是偶函数．（1）求k 的值；（2）设44()log (2)3x g x a a =⋅-,若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点,求实数a 的取值范围．思南中学2017—2018学年度第一学期半期考试高一年级数学试题(答案)一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.、 4 14、)4,41((要求用集合表示) 15、]4,4(-(要求用集合表示) 16、 ③ ④ ⑤ 三、解答题（共70分） 17.（本题满分10分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=)0(,1)1(log )0(,2)21()(2x x x x f x（1）求)(x f 的零点；(5分)（2）求不等式1)(>x f 的解集. (5分) 解：（1）由0)(=x f 得，⎪⎩⎪⎨⎧=-≤02)21(0x x 或⎩⎨⎧=-+>01)1(log 02x x ，解得1-=x 或1=x .所以，函数)(x f 的零点是—1，1.（2）由1)(>x f 得，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤12)21(0x x 或⎩⎨⎧>-+>11)1(log 02x x ，解得3log 2-<x 或3>x .所以，不等式1)(>x f 的解集是{x |3log 2-<x 或3>x }.18.（本题满分12分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．（1）设MP=x 米，PN=米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(6分) （2）求矩形BNPM 面积的最大值．(6分)解：（I ）作PQ⊥AF 于Q ，所以PQ=8﹣y ，EQ=x ﹣4在△EDF 中，FD EF PQ EQ =，所以2484=--y x 所以1021+-=x y ，定义域为{x|4≤x≤8}（II ）设矩形BNPM 的面积为S ，则50)10(21)210()(2+--=-==x xx xy x S 所以S （x ）是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10 所以当x ∈[4，8]，S （x ）单调递增.所以，当x=8米时，矩形BNPM 面积取得最大值48平方米.19．（本题满分12分）已知函数xx x f -+=22lg)(. （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；(6分)（2）写出函数)(x f 的单调区间及单调性，并用单调性定义证明其单调性. (6分) 解：（1）判断：)(x f 是奇函数。

证明如下：由022>-+ xx 得函数)(x f 的定义域为)2,2(-，关于原点对称。

而01lg 22lg 22lg)()(==-++++-=+-xx x x x f x f 所以，)()(x f x f -=-.因此，)(x f 是奇函数.（2）函数)(x f 的单调区间是)2,2(-，在)2,2(-上是增函数。

证明如下： 设)2,2(,21-∈∀x x 且21x x <，)2)(2()2)(2(lg 22lg 22lg)()(2121221121+--+=-+--+=-x x x x x x x x x f x f 因为0)(4)2()2()2)(2(212121<-=+---+x x x x x x 所以)2)(2()2)(2(02121+-<-+<x x x x 所以1)2)(2()2)(2(02121<+--+<x x x x ，即0)2)(2()2)(2(lg 2121<+--+x x x x ，即)()(21x f x f <.所以，函数)(x f 在)2,2(-上是增函数.20．（本题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时，()23x f x x=-. （1）求()f x 的解析式；(6分)（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. (6分)解：（1）因为定义域为R 的函数()f x 是奇函数，()00f ∴=. 当0x <时，0x ->()23x f x x -∴-=--又因为函数()f x 是奇函数，所以，x xx f x f -+=--=23)()(， 综上所述， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>-=-)0(23)0(0)0(23)(x xx x x x f x x（2）因为0)0(35)1(=>=-f f ,且()f x 为R 上的单调函数， ∴()f x 在R 上单调递减.由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得22(2)(2)f t t f t k -<-- 因为)(x f 是奇函数22(2)(2)f t t f k t ∴-<-又因为)(x f 是减函数∴2222t t k t ->-即2320t t k -->对任意t R ∈恒成立4120k ∴∆=+<得13k <-即为所求．21．（本题满分12分）已知函数].2,1[,32)(2∈+-=x a ax x x f （1）求函数)(x f 在区间[1，2]上的最小值)(a g ；(6分) （2）求函数)(a g 的最大值. (6分)解：（1）已知函数a ax x x f 32)(2+-=的对称轴为a x =，)(x f 在],(a -∞上是减函数，在),[+∞a 上是增函数.当1≤a 时，)(x f 在]2,1[上是增函数，1)1()(+==a f a g ，当21<<a 时，a a a f a g 3)()(2+-==，)(x f 在]2,1[上是减函数，a f a g -==4)2()(，所以，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<+-≤+=)2(4)21(3)1(1)(2a a a a a a a a g（2）因为⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<+-≤+=)2(4)21(3)1(1)(2a a a a a a a a g ，当1≤a 时，]2,()(-∞∈a g ， 当21<<a 时，]49,2()(∈a g ， 当2≥a 时，]2,()(-∞∈a g ， 所以，函数)(a g 的值域为]49,(-∞. 因此，)(a g 的最大值为49.22、（本题满分12分）已知函数4()log (41)x f x kx =++()k R ∈ 是偶函数．（1）求k 的值；(5分)（2）设44()log (2)3x g x a a =⋅-,若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点,求实数a 的取值范围．(7分)解：（1）由函数()f x 是偶函数可知：()()f x f x =-44log (41)log (41)x x kx kx -∴++=+-441log 241x x kx -+=-+ 即2x kx =-对一切x R ∈恒成立 12k ∴=-（2）函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点即方程4414log (41)log (2)23x x x a a +-=⋅-有且只有一个实根 化简得：方程142223x x x a a +=⋅-有且只有一个实根令20x t =>，则方程24(1)103a t at ---=有且只有一个正根 ①314a t =⇒=-，不合题意；②304a ∆=⇒=或3- 若,243-=⇒=t a 不合题意；若132a t =-⇒=经检验，符合题意. ③一个正根与一个负根，即1011a a -<⇒>-此时,3416168)1(1661)1(3232)1(63636164222>+-+-+-+=--++=a a a a a a a x，合题意.综上：实数a 的取值范围是{}),1(3+∞⋃-.。