高中数学 1.5.2 正弦余弦函数图象与性质预习案1(无答案)新人教版必修4

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高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一学案含解析新人教A版必修4

由图象可知， y＝ |cos x| 的周期为π.
[类题通法 ]
求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期，一般有两种方法：①公式法，即将函数化为
y＝ Asin(ωx＋ φ)＋ b 或 y
2π ＝ Acos(ωx＋ φ)＋ b 的形式，再利用 T＝ | ω| 求得；②图象法，利用变换的方法或作出函数的图
问题 2：正弦曲线具有什么特点？
提示：“周而复始” ，每隔 2π就重复一次．问题 3：余弦曲线是否也具有上述特点？
提示：是． [导入新知 ]
1．函数的周期性 (1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x
＋ T)＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
2π [解析 ] ∵ | a| ＝π，∴| a| ＝ 2，∴ a＝± 2.
[答案 ] ± 2
[易错防范 ]
2π 1．函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的最小正周期为 | ω| ，若忽视这一点，则易得出
a＝ 2 的错误答案．
2π 2．对于函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)或 y＝ Acos(ωx＋ φ)(A， ω， φ是常数， A≠ 0， ω≠ 0)， T＝ | ω| .
[成功破障 ]
π 函数 y＝ 2cos 3－ωx 的最小正周期为 4π，则ω＝ ______.
1 答案：±
2
[ 随堂即时演练 ]
3
1．函数 y＝－ cos 2π－x 的奇偶性为 (
)
A．奇函数 C．既是奇函数又是偶函数
B．偶函数 D ．非奇非偶函数
答案： A
马鸣风萧萧整理
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高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)导学案新人教A版必修4-新人

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？答案不一定.必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期.思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3 周期函数都有最小正周期吗？答案周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期. 梳理函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期.知识点二正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数.答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)是周期函数. 答案由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期. 同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)也是周期函数.梳理由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性思考对于x ∈R ，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案奇偶性.梳理 (1)对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称.类型一三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R ).解 (1)方法一令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R . 函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得.而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解. 跟踪训练1 求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|cos 2x |. 解 (1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 类型二三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }. ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12. ∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z . ∴f (x )既是奇函数又是偶函数.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 解 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值. 解因为f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.类型四函数周期性的综合应用例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)的值. 解 ∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos 2π＝1， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0.同理，可得每连续六项的和均为0.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＋cos 2 020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12)＝－32. 反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝ .解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝335⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＋f (335×6＋4)＋f (335×6＋5)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＝0.1.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B.πC.2πD.4π 答案 D2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )A.y ＝sin x 2B.y ＝cos x2 C.y ＝cos xD.y ＝cos 2x 答案 D3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为 . 答案 ±π解析 ∵T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝ . 答案 22 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为π2的是( ) A.y ＝sin x 2B.y ＝sin 2xC.y ＝cos x 4D.y ＝cos(－4x ) 答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2. 2.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20答案 B3.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( )A.0B.1C.－1D.±1答案 A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A.y ＝cos|2x |B.y ＝|sin x |C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x 答案 D 解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π. 5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A.10 B.11 C.12 D.13答案 D解析 ∵T ＝2πk 4≤2，即k ≥4π， ∴正整数k 的最小值是13.6.函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x的奇偶性为( ) A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案 D解析由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x＝|sin x |，所以函数的定义域为{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数f (x )＝3sin(23x ＋15π2)是( ) A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为3π的奇函数D.周期为4π3的偶函数答案 A二、填空题8.若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为 . 答案 π4解析要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数，则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，∴α＝k π＋π4，k ∈Z . ∵0<α<π2，∴α＝π4. 9.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1的图象关于对称.(填“原点”或“y 轴”) 答案 y 轴解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1＝2cos 2x ＋1， ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数.∵偶函数的图象关于y 轴对称，∴f (x )的图象关于y 轴对称.10.关于x 的函数f (x )＝sin (x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是 .(填序号)答案 ①④解析当φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.当φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数. 三、解答题11.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin x e sin x －e－sin x . 解 (1)∵x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数.(2)∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0，1－sin x ≥0，∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R .又∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )，＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴y ＝f (x )是偶函数.(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称.又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x)e sin (－x )－e－sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin x e －sin x －esin x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数. 12.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 13.已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明 ∵f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 .答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π. ∴ω的最大值是6.15.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值.解函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0，1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2，所以ω的最小值为199π2.。

高中数学 141正弦函数余弦函数的图像课前预习案(无答案)新人教版必修4 学案

第一章 §1.4 正弦函数、余弦函数的图象编号028【学习目标】1．用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图； 3．正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系. 【学习重点】能够正确画出正余弦函数图像.课前预习案【知识链接】正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OMr x==αcos如何定义角α的正弦线、余弦线？【知识梳理】问题1．用描点法画y ＝sin x 在[0,2π]上的图象如何操作？难点是什么？问题2．如何精确地得出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象？正弦函数图象的几何作法采用弧度制， x 、y 均为实数，步骤如下：（1）在x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆；（2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；（3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π、、2π的正弦线；（4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～2π这段分成 12 等份；（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合；（6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来.2、五点法作图描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五点起决定作用，它们是（0，0），（,12π），（π，0），（3,12π-），（2,0π），描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了.因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法.注意：（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确.（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁.（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好.（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用.3．正弦曲线下面是正弦函数y sin x,x R =∈的图象的一部分：问题：根据y ＝sin x 和y ＝cos x 的关系，你能利用y ＝sin x ，x ∈R 的图象得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象吗？余弦曲线自主小测1. 用五点法作]yπ=的图象.∈2sinx,2,0[x2.作出下列函数图象(1) y=|sinx|，（2）y=sin|x|。

高中数学 151 正弦余弦函数图象预习案(无答案)新人教版必修4 学案

【A：自主预习案】课题: 正、余弦函数的图象预习范围：P26-P27预习任务：•看书P26-P27中，弄懂下列概念：1.作正弦函数y=sinx时,在[0 , 2π]上的五个关键点的坐标为_____________________________________________________________________________ 2.作余弦函数y=cosx时,在[0 , 2π]上的五个关键点的坐标为_____________________________________________________________________________ 【B：课堂活动单】课题：正、余弦函数的图象学习目标: 1.能借助正弦线画出正弦函数的图象,由诱导公式画出余弦函数的图象.2.会用五点法画出正弦函数、余弦函数的图象.学习重点: 重点是“五点作图法”.学习难点: 利用三角函数线画y=sinx , x∈[0 , 2π]的图象.活动一：•创设情境在函数中为了研究它们的性质可以先作出它们的图象.我们如何作出三角函数的图象？活动二：1.利用三角函数线y=sinx的图象;2.用五点法作y=sinx的图象.活动三：1、用“五点法”画出下列函数的简图. (1)y=2cosx (x∈[]0,2π)(2)y=sin2x (x∈R)活动四：1.画出下列函数的简图⑴ 1siny x=+(x∈[]0,2π) （2）sin()3y xπ=+(x∈[]0,2π)•.小结：；【C：检测巩固卷】班级__________；姓名______________；学号_______ __；1、作出下列函数的图像（用“五点”作图法）(1)y=sinx,x∈[0 , 2π] (2)y=cosx,x∈[0 , 2π]xy③1sin ,.y x x R =-∈ ④cos ,.3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭xy2、作出函数|sin |y x =的图像，并指出函数|sin |y x =的周期.3、判断方程sinx = 15x 实数根的个数.xyx3x π+y。

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)导学案新人教A版必修4(2

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4。

2 正余弦函数的性质(1）【学习目标】1.了解周期函数及最小正周期的概念。

2.会求一些简单三角函数的周期.【学习重点】理解周期函数的意义会求周期函数的周期【基础知识】函数 x x k y sin )2sin(=+=π，说明当自变量x 的值增加π2的整数倍时，函数的值重复出现，数学上用周期来刻画这一变化规律.1．周期函数定义：对于函数f (x ），如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有:f (x+T)=f (x)，那么函数f （x ）就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期? （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是,周期是多少？(2k π，k Z ∈且0k ≠）(3)若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为:()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）2．一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2||T πω= 说明:①周期函数x定义域M ，则必有x+T M ，且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； ②“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x 0+t)f (x 0）） ③T 往往是多值的(如y=sinx 2，4，…,—2，—4，…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2 （一般称为周期）从图象上可以看出sin y x =,x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期？（()f x c =没有最小正周期）3.求周期的方法:（1）公式法：一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数,且0A ≠）的周期2||T πω= （2）定义法:f (x+T ）=f (x ）（3）图像法：如果函数的图像有一定的变化规律，在某一范围内函数图像重复出现,并且图像一方(左或者右)无限延伸。

高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)学案新人教A版必修4

二．探究与发现
【探究点一】正、余弦函数的定义域、值域正弦曲线：
余弦曲线：
由正、余弦曲
线很
容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集
R，值域都是
．
对于正弦函数 y＝ sin x ，x∈Ｒ有：
当且仅当 x＝
时，取得最大值
对于余弦函数 y＝ cos x ，x∈Ｒ有：
1；当且仅当 x＝
时，取得最小值－ 1.
(即
同则增，异则减 ) 求解．
余弦函数 y＝ Acos( ω x＋φ ) 的单调区间类似可求．
请同学们根据上面介绍的方法，写出求函数
1π y＝ sin －2x＋ 3 单调递增区间的求法．
例 1．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin
－π18 与 sin
－
π 10
；
(2)sin 196 °与 cos 156 °；
(2)cos 870 °与 sin 980 °．
1π 例 2．求函数 y＝ 1＋ sin － 2x＋ 4 ，x∈[ － 4π ， 4π] 的单调减区间．
小结
确定函数 y＝ Asin( ω x＋ φ) 或 y＝ Acos( ω x＋φ ) 单调区间的基本思想是整体换元思想，即将 ω x＋ φ 视为一个整体．若 x 的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼顾函数的定义域．
当 x∈ __________ 时，曲线逐渐上升，是增函数， 1；
当 x∈ __________ 时，曲线逐渐下降，是减函数，
sin x 的值由－ 1 增大到 sin x 的值由 1 减小到－
1.
推广到整个定义域可得：当 x∈ ___________________________ 时，正弦函数 y＝ sin x 是增函数，函数值由－ 1 增大到 1；当 x∈ ___________________________ 时，正弦函数 y＝ sin x 是减函数，＝ cos x ，x∈[ － π ， π ] 的图象如图所示：观察图象可知：当 x∈ __________ 时，曲线逐渐上升，是增函数， cos x 的值由－ 1 增大到 1；

高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)学案新

第一章三角函数三角函数 1．4 三角函数的图象与性质 1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)1．理解正弦函数、余弦函数的性质：奇偶性和单调性． 2．利用正弦函数、余弦函数的图象确定相应的奇偶性和单调性． 3．利用正弦函数、余弦函数的单调性与函数有关的单调区间．基础梳理一、正弦函数和余弦函数的单调性正弦函数和余弦函数都是周期函数，而对于周期函数，只要弄清楚它在一个周期内所具有的性质，便可以推知它在整个定义域内所具有的性质．对于正弦函数，结合图象知函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减．根据函数的周期性，我们推知：正弦函数在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上都是增函数，其函数值从－1增加到＋1；在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上都是减函数，其函数值从＋1减小到－1.同样，余弦函数在每个闭区间[－π＋2k π，2k π](k ∈Z)上都是增函数，其函数值从－1增加到＋1；在每个闭区间[2k π，π＋2k π](k ∈Z)上都是减函数，其函数值从＋1减小到－1.思考应用1．正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦函数在第一象限是增函数”？解析：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．二、正弦函数和余弦函数的奇偶性根据诱导公式sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，可知正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．从正弦函数y ＝sin x 的图象和余弦函数y ＝cos x 的图象上也可以看出，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．思考应用2．从正、余弦函数的奇偶性可知正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称，正、余弦函数的图象还有其他对称轴和对称中心吗？解析：利用正、余弦函数的周期性和图象可以得出：正弦曲线y ＝sin x 既是中心对称图形，又是轴对称图形．其对称中心坐标是(k π，0)(k ∈Z)，对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z)；同理，余弦曲线y ＝cos x 既是中心对称图形，又是轴对称图形．其对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z)对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z)．自测自评1．函数：①y ＝x 2sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0，2π]；③y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；④y ＝x cos x 中，奇函数的个数为(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①③④是奇函数．故选C.2．使y ＝sin x 和y ＝cos x 均为减函数的一个区间是(B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，π 解析：由y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象知：y ＝sin x 和y ＝cos x 的均为减函数的一个区间是：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故选B. 3．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π4．有下列命题：①y ＝sin x 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z)；②y ＝sin x 在第一象限是增函数；③y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数．其中正确的个数是(A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：①y ＝sin x 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．②函数的单调性是相对于某一区间来说的，与所在象限无关．③正确．故选A.基础提升 1．下列命题正确的是(D )A ．y ＝sin x 在[0，π]内是单调函数B ．在第二象限内，y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 也是减函数C ．y ＝cos x 的增区间是[0，π]D ．y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R)，下面结论错误的是 (D )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析：由函数的f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R)可以得到函数f (x )是偶函数，选择D.3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在下列区间是增函数的是(B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4C ．[－π，0]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 解析：由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z)，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4.令k ＝0，得B 正确．故选B.4．若α，β均为锐角且α＋β＞π2，则(A )A ．sin α＞cos βB ．sin α＜cos βC ．sin α＞sin βD ．cos α＜c os β解析：由题意0＜π2－β＜α＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＜sin α，即sin α＞cos β.故选A.5．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R)，则f (x )(A )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数解析：作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，并将图象在x 轴下方的部分对折到x 轴的上方，观察图象可知答案选A.6．判断函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2的奇偶性．分析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．解析：∵x ∈R，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，∴f (－x )＝－cos 3（－x ）4＝－cos 3x4＝f (x )，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2为偶函数．巩固提高7．函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的最小值是(D )A ．－13 B.154C ．0D ．－14解析：y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－13，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3， ∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.当cos x ＝12时，y 取到最小值为y min ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－232－13＝－14.故选D.8．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π＜a ≤0时，满足已知．故a 的取值范围是(－π，0]．答案：(－π，0]9．求函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2的单调区间．解析：由2k π－π≤2x ＋π3≤2kx (k ∈Z)得k π－23x ≤x ≤k π－π6(k ∈Z)．∴函数的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6(k ∈Z)．由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)得∴函数的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．10．若函数f (x )＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12，求函数g (x )＝－4a sin bx的最值和最小正周期．解析：当b >0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12，解得a ＝12，b ＝1.∴g (x )＝－2sin x ．此时函数g (x )的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π. 当b <0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，解得a ＝12，b ＝－1.∴g (x )＝2sin x ．此时函数g (x )最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.1．求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，首先把x 的系数化为正的，再利用整体代换，将ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应变量的取值范围．2．判断函数的奇偶性时，必须先检查函数的定义域是否关于原点的对称区间，再验证f (－x )与f (x )的关系，进而判断函数的奇偶性．。

【B版】人教课标版高中数学必修四《正弦函数的图象与性质(第2课时)》教案1-新版

2
与 sin x 2 同时取得最弦函数的大值？例 2（3）通过观察题目结构可以利用什么方法转化成什么问题？性质。
例 3．求下列函数的周期（1） y sin 2 x
1 （2） y sin( x ) 2 6
例 3 基本三角函数 sin x 的最小正周期是什么？怎样利用换元法解决（1）（2）的周期？对一从特殊到般的函数
x 2k
设计意图从正弦曲

2
,k Z 时，
线与正弦线数的
观察正弦线的变化得：动态演示正弦线的运动：
值域：正弦线的长度小性质，加深于或等于单位圆半径的长度，这表明 y 1,1 对二者的巩固与复习，体会数形结合思最值：当角的终边与 y 轴的正半轴重合时，正弦函数取得最大值 1 ，即当且仅当
f (5) f (3) f (1) f (1) f (3) f (5)
f ( x 2) f ( x)
学习环节
学习内容
师生互动
设计意图
定义：对于函数 f ( x) ，如果存在一个非由图（2）的分析可知：零常数 T ，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f ( x T ) f ( x) ，那么函数 f ( x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数性质学习的周期. 当自变量 x 的值每增加或减少 2 的整数倍时，正弦函数的值重复出现. 在单位圆中,当角的终边绕原点转动回到原处时, 从感性认识向理性认识从过渡最后抽
1.3.1 正弦函数的图象与性质(2)
学习目标： 1．理解正弦函数的性质 2．理解周期函数与最小正周期的意义学习重点：正弦函数的性质学习难点：正弦函数的周期性学习过程：学习环节学习内容师生互动设计意图为学生认识函数复习引入 1．复习 y sin x 的图像 2．函数的性质有哪些？教师提出问题，学生回答。

人教版高中数学必修4-1.4《正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)》导学案

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时【学习目标】1、会利用正、余弦函数的单调区间求与弦函数有关的单调区间及函数值域。

2、能根据正弦函数和余弦函数图象确定相应的对称轴、对称中心。

3、通过图象直观理解奇偶性、单调性，并能正确确定弦函数的单调区间。

【学习重点】正弦、余弦函数的主要性质(包括单调性、值域、奇偶性、对称性)。

【学习难点】利用正、余弦函数的单调区间求与弦函数有关的单调区间及函数值域。

【学习过程】一、复习相关知识1、填写下表2、填写下表中的概念3、什么是中心对称、轴对称图形？什么是对称中心、对称轴?二、预习提案（阅读教材第37—38页内容，完成以下问题：） 1、观察正余弦曲线：知：正弦函数是函数，余弦函数是函数。

并用奇偶函数的定义加以证明。

2、判断下列函数的奇偶性：①)(x f =x sin , ②)(x f =x cos , ③x x f sin )(=， ④x x f cos )(=。

3、观察函数y=sinx,x ∈［-2π,23π］的图象，填写下表:小结：正弦函数在每一个闭区间 (k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间 (k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.4、观察函数y=cosx,x ∈[-π,π] 的图象，填写下表:小结：余弦函数在每一个闭区间 (k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间 (k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.5、由上可知：正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.最值情况如下： Ⅰ、对于正弦函数y=sinx(x ∈R ),(1)当且仅当x= ,k ∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x= ,k ∈Z 时,取得最小值-1. Ⅱ、对于余弦函数y=cosx(x ∈R ),(1)当且仅当x= ,k ∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x= ,k ∈Z 时,取得最小值-1.6、观察正余弦曲线，解读正、余弦函数的对称性：正、余弦函数既是轴对称图形又是中心对称图形。

人教课标版高中数学必修四《三角函数的图象与性质(第2课时)》教案(1)-新版

1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象与性质(二)一、教学目标（一）核心素养通过这节课的学习，能够很好的掌握正弦函数、余弦函数的周期性、单调性及最值、对称性，在直观想象、数学抽象、逻辑推理过程中用这些性质能够对相关函数作出准确的分析进而解答相关问题. （二）学习目标1. 能结合sin y x =（cos y x =）的单调性和单调区间，求相关复合函数的单调区间，以及会运用单调性求复合函数的值域．2．结合图象和诱导公式研究sin y x =（cos y x =）的奇偶性．3．能够利用周期性研究sin y x =（cos y x =）在R 上的对称性，并结合整体思想求复合型三角函数的对称轴或对称中心4．在渗透数形结合的数学思想过程中，同时培养学生类比和转化的思维习惯．（三）学习重点正弦函数、余弦函数的性质：奇偶性、单调性、对称性和值域. （四）学习难点正弦函数、余弦函数的性质：对称性、奇偶性、单调性. 二、教学设计（一）课前设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材37，39—40页，填空：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正弦函数的对称轴为（k Z ）2x k ππ=+∈，对称中心为(,0)()k k Z π∈，余弦函数的对称轴为()x k k Z π=∈，对称中心为(+,0)()2k k Z ππ∈.2.预习自测函数3cos （),226x y x R π=-∈的单调递增区间为)(43,435-Z k k k ∈++）（ππππ对称轴为+2()3x k k Z ππ=∈ ，对称中心为4(+2,0)()3k k Z ππ∈(二)课堂设计 1．知识回顾（1）sin y x =（cos y x =）的周期为2()k k Z π∈，最小正周期为2π sin （（)或cos （)）y A x y A x ωϕωϕ=+=+的周期为2(）k k Z πω∈ ，最小正周期为2πω（2）sin y x =的单调递增区间为 )](22,22[Z k k k ∈++-ππππ，单调递减区间为)](223,22[Z k k k ∈++ππππ ；cos y x =的单调递增区间为][)(2,2-Z k k k ∈+πππ，单调递减区间为][)(2,2Z k k k ∈+πππ.（3）复合函数单调性口诀：同增异减 2．问题探究探究一探究正弦函数、余弦函数的单调性和最值.●活动① 探究sin（)或y cos （)，0y A x A x ωϕωϕω=+=+>的单调区间求法研究函数1sin()23y x π=+，[2,2]x ππ∈-的单调递增区间.教师分析：这不是正弦函数、余弦函数，而是正弦函数与一次函数的复合函数，所以应该采用复合函数求单调区间的方法来研究它.1sin()23y x π=+为复合函数，内函数为1，23t x x R π=+∈为单增函数，外函数为sin ,y t t R =∈，求复合函数的单增区间，根据同增异减，所以需要外函数的单增区间，即)]22,22[Z k k k t ∈++-∈ππππ，但需注意我们的自变量为x ，所以单增区间应是x的范围，所以需要反解出x .由1，23t x x R π=+∈，所以 1222232k x k πππππ-+≤+≤+得54433k x k ππππ-+≤≤+，即单增区间为)](43,435[Z k k k ∈++-ππππ，又[2,2]x ππ∈-，当0k =时，两者有交集为5[,]33ππ-，因此函数1sin()23y x π=+，[2,2]x ππ∈-的单调递增区间为5[,]33ππ-. 针对这种定义域不为R 的复合型三角函数，我们在求单调区间的时候也可以把范围一直带着走，方法如下：1sin()23y x π=+为复合函数，内函数为1，[2,2]23t x x πππ=+∈-为单增函数，外函数为24sin ,[,]33y t t ππ=∈-，求复合函数的单增区间，根据同增异减，所以需要外函数的单增区间，即)](2,2[Z k t ∈-∈ππ，但需注意我们的自变量为x ，所以单增区间应是x 的范围，所以需要反解出x .由123t x π=+，所以12232x πππ-≤+≤得533x ππ-≤≤，因此函数1sin()23y x π=+，[2,2]x ππ∈-的单调递增区间为5[,]33ππ-. 【设计意图】解决复合型三角函数的单调性问题●活动② 探究sin （)或y cos （)，0y A x A x ωϕωϕω=+=+<的单调区间求法研究函数1sin()32y x π=-，[2,2]x ππ∈-得单调递增区间. 教师分析引导：该题仍然是复合函数的单调性问题，那么大家发现它与之前的有什么区别吗？区别在于内函数变为了减函数，请问这个变化会引起导致求单调区间方法的本质性变化吗？不会，我们仍然应该按照复合函数求单调区间的方法进行求解，请同学们尝试. 请问在解题的过程中是否与上一题有区别？老师展示：1sin()32y x π=-为复合函数，内函数为1-，32t x x R π=∈为单减函数，外函数为sin ,y t t R =∈，现要求复合函数的单增区间，根据同增异减，所以需要外函数的单减区间，即)](223,22[Z k k k t ∈++∈ππππ，由1-，32t x x R π=∈，所以13222322k x k πππππ+≤-≤+得74433k x k ππππ-+≤≤-+（此处解不等式有易错点）即单增区间为)](43,437[Z k k k ∈+-+-ππππ，又[2,2]x ππ∈-，当0k =时，两者有交集为7[,]33ππ--，因此函数1sin()23y x π=+，[2,2]x ππ∈-的单调递增区间为7[,]33ππ--. 我们发现区别就在于最后反解x 的时候不等式方向会发生改变，而且容易发生错误，所以为了解决解题过程中解不等式的难点，我们可以先将式子变形后再求单增区间. 根据sin y x =的诱导公式，所以11sin()=-sin(x-)3223y x ππ=-，因此求1sin()32y x π=-得单增区间即求1sin(x-)23y π=得单调递减区间，步骤同上. 请同学思考如果把题目换成求函数1cos(x)32y π=-的单调递增区间应该怎样求解呢？当然我们可以按照复合函数单调性求解，也可以根据诱导公式先变形为11cos(x)=cos(x )3223y ππ=--再进行求解. 【设计意图】对复合型三角函数的单调性问题再次深入研究体会. ●活动③ 探究sin (cos )y x y x ==与其它函数复合后单调区间求法研究函数12log (sin )y x =的单调递增区间.教师分析：因为是复合函数，所以单调区间求法与之前一样，内函数sin t x =，外函数为12log ，0y t t =>，外函数为单调递减函数，要求单调递增区间则需要内函数的单调递减区间，且内函数还有要求sin 0t x =>，可以先找一个周期内满足条件的x ，再扩充到其它周期.在[0,2]π上满足条件的x 为[,]2ππ，所以12log (sin )y x =单调递增区间为)](2,22[Z k k k ∈++ππππ.【设计意图】对含有三角函数的复合函数进行更加全面的分析. 探究二正弦函数、余弦函数的奇偶性、对称性. ●活动① 探究奇偶性由正弦函数的图象可知sin y x =为奇函数，根据诱导公式可以证明sin()sin x x -=-；由余弦函数的图象可知cos y x =为偶函数，根据诱导公式可以证明cos()cos x x -=. 【设计意图】研究正余弦函数的奇偶性.●活动② 探究正弦函数sin y x =、余弦函数cos y x =的对称中心和对称轴.由函数性质可知奇偶性即为特殊的对称性，所以sin y x =有对称中心（0，0），cos y x =有对称轴有对称轴x=0，又由sin y x =、cos y x =周期性的可知，应该还有更多的对称中心和对称轴，请同学们观察图象，写出你所知道的正弦函数的对称中心和对称轴. 先分析sin y x =对称轴，对称轴有……，3x=-2π，x=-2π，2x π=，32x π=，52x π=，…… 由于x R ∈，所以用列举法是没办法写完的，引导学生发现是否有统一的式子来描述这些对称轴.发现相邻对称轴相差π个单位，所以可以选定一条对称轴作为参照对象，其它线由它来加减π的倍数，选定2x π=，则3=+22x πππ=，5=+222x πππ=，x=-=22πππ-，3x=-=222πππ-，用一个统一的式子()2x k k Z ππ=+∈来描述对称轴. 请同学们参照对称轴的写法来写出正弦函数的对称中心(,0)()k k Z π∈. 请同学们模仿正弦函数的方法寻找余弦函数的对称中心和对称轴. 余弦函数对称轴为()x k k Z π=∈，对称中心为(+,0)()2k k Z ππ∈【设计意图】通过数形结合来掌握对称性，并锻炼学生对式子的观察归纳类比能力. ●活动③ 反思过程，发现对称轴、对称中心的特征.问：请同学们再次观察正弦函数和余弦函数图象，试着发现对称轴、对称中心有没有什么重要的特征，比如可否与我们之前学习的性质等进行联系，请描述出来.特征：（1）发现相邻两个对称轴（或对称中心）的距离为正弦函数或者余弦函数的半个周期，相邻的一个对称轴与对称中心在x 轴上的距离为14个周期. （2）对称轴所对的x 为最值点的横坐标. 【设计意图】反思过程，更加深入理解对称性探究三 sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+对称性研究. ●活动① 探究sin()y A x ωϕ=+的对称轴和对称中心. 教师引导：例如同学们如何寻找3sin(2)3y x π=+的对称轴和对称中心.以我们此时的知识基础可以用五点画图法画出图象，然后写出对称轴和对称中心.这样每次都画图会非常耗费时间，所以我们必须要去寻找sin()y A x ωϕ=+对称轴和对称中心的特征，通过画图我们发现sin()y A x ωϕ=+是与sin y x =图象形状是一样的，所以它的对称轴也和sin y x =一样在最值点取，因此求sin()y A x ωϕ=+的对称轴，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，则对称轴为2()k x k Z πϕπω-+=∈；对称中心令()x k k Z ωϕπ+=∈，对称中心为(,0)()k k Z πϕω-∈. 【设计意图】体会对称性的应用，并学会采用整体法进行求解. ●活动② 探究cos()y A x ωϕ=+的对称轴和对称中心. 请同学们类比活动1先得出结论教师分析：通过画图我们发现cos()y A x ωϕ=+是与cos y x =图象形状是一样的，所以它的对称轴也和cos y x =一样在最值点取，因此求cos()y A x ωϕ=+的对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈，则对称轴为()k x k Z πϕω-=∈；对称中心令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，对称中心为2(,0)()k k Z πϕπω-+∈.【设计意图】再次体会对称性的应用，并学会采用整体法进行求解. ●活动③ 例题巩固，检查反馈例：求3sin(2)，4y x x R π=+∈的对称中心和对称轴.【知识点】对称性. 【数学思想】整体代换【解题过程】令242x k πππ+=+得对称轴为（k Z ）82k x ππ=+∈；令24x k ππ+=得对称中心为(,0)8k ππ-+.【思路点拨】利用sin y x =得对称性结合整体思想求解. 【答案】对称轴为（k Z ）82k x ππ=+∈;对称中心为(,0)8k ππ-+.同类训练求函数3cos （),226x y x R π=--∈的对称轴和对称中心. 【知识点】对称性. 【数学思想】整体代换【解题过程】令26xk ππ-=得对称轴为2（k Z ）3x k ππ=+∈；令262xk πππ-=+得对称中心为4(2,0)3k ππ+. 【思路点拨】利用cos y x =的对称性结合整体思想求解. 【答案】对称轴为2（k Z ）3x k ππ=+∈;对称中心为4(2,0)3k ππ+. 【设计意图】通过例题巩固复合函数对称性. 3.课堂总结知识梳理（1）利用正余弦函数的单调性解决了一次与正余弦函数复合后的函数的单调性，所采用的方法有复合函数的单调性求法、整体思想的运用.（2）根据图象和周期性我们得出了正弦函数、余弦函数的对称性和奇偶性. （3）研究了sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+对称性.（4）关于正弦函数、余弦函数我们主要研究了以下性质：定义域R ，值域[-1,1]，周期性、单调性、对称性、奇偶性. 重难点归纳（1）正余弦函数的周期性、对称性、单调性均为重点（2）对于其中所涉及的数形结合思想、整体法的运用都属于重难点. （三）课后作业基础型自主突破 1.函数sin(2),2y x x R π=-∈是（）A.最小正周期为π的奇函数.B.最小正周期为2π的奇函数. C.最小正周期为π的偶函数. D.最小正周期为2π的偶函数. 【知识点】周期、奇偶性【解题过程】sin(2)cos 22y x x π=-=，所以最小正周期为π，又cos 2cos(2)x x =-，所以为偶函数.【思路点拨】化简利用定义解题. 【答案】C2．求函数3sin(2)，[0,]4y x x ππ=+∈的单调递减区间.【知识点】复合函数单调性、正弦函数单调性. 【数学思想】整体思想【解题过程】由复合函数单调性有：内函数为2，x [0,]4t x ππ=+∈单调递增，外函数为3sin ，[,2]44y t t πππ=∈+，y=3sin t.根据复合函数同增异减，所以外函数需要单调递减区间，即πππ+∈3=2[,]422t x ，则ππ∈5[，]88x ，因此所求函数的单调递减区间为ππ5[，]88【思路点拨】利用复合函数单调性的求法进行求解．【答案】ππ5[，]883.求函数sin(2)，[0,]4y x x ππ=-∈的单调递增区间.【知识点】复合函数单调性、正弦函数单调性. 【数学思想】整体思想【解题过程】sin(2)sin(2)，[0,]44y x x x πππ=-=--∈，由复合函数单调性即求sin(2)，[0,]4y x x ππ=-∈的单调递减区间，内函数为2，[0,]4t x x ππ=-∈为单增函数，外函数为sin ，[,2]44y t t πππ=∈--，由同增异减得需要sin ，[,2]44y t t πππ=∈--的单调递减区间，所以32[,]422t x πππ=-∈，所以37[,]88x ππ∈，所以所求函数的单调递增区间为37[,]88ππ【思路点拨】现利用奇函数的特征将式子变为x 系数为正，然后结合复合函数求单调性的方法求解．【答案】37[,]88ππ． 4．若函数()3cos()(114)4f x x πωω=-<<的图象关于直线12x π=对称，则ω= 【知识点】对称性. 【数学思想】数形结合【解题过程】=k ,(114)124ππωπω⨯-<<，所以=3+12k,(114)ωω<<，所以=3ω【思路点拨】根据对称轴特征得出答案【答案】3．5.已知函数()sin(2)(0)6f x x πωω=->的最小正周期为4π，则（）A.函数()f x 的图象关于点，06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.B.函数()f x 的图象关于点6x π=对称.C.函数()f x 在，2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.D.函数()f x 在，2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.【知识点】周期性、对称性、单调性. 【数学思想】数形结合【解题过程】21242πωπ==，所以，所以1()sin()26f x x π=-；当6x π=时，126612πππ⨯-=-，因此不为对称轴，也不为对称中心横坐标，所以排除A,B ；当，2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1，26123x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因此单调递增；选D【思路点拨】先求出解析式，再根据整体法挨个选项验证. 【答案】D6．若函数()2sin()f x x ωϕ=+对任意x 都有()()3f x f x π+=-，则()6f π=（）.A.2或0B.0C.-2或0D.-2或2 【知识点】对称性. 【数学思想】数形结合【解题过程】由()()3f x f x π+=-可知函数关于6x π=对称，由对称轴特征则()26f π=± 【思路点拨】由对称的式子得出对称轴，再根据对称轴特征得出答案【答案】D7．若函数()2sin(2)(0)6f x x πθθπ=++<<的图象关于点，02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 在，46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为 .【知识点】对称中心，单调性求最值. 【数学思想】数形结合【解题过程】由对称中心的特征有226k ππθπ⨯++=，得7()6k k Z πθπ=-+∈，由0θπ<<得56πθ=，所以()2sin(2)2sin 2f x x x π=+=-，又()f x 在，46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，所以()f x 的最小值为()=2sin63f ππ-= 【思路点拨】先根据对称中心求出()f x 的解析式，再根据单调性求出最值【答案】能力型师生共研8.设函数()2sin()(0,)32f x x ππωϕωϕ=+-><的最小正周期为π，且()()f x f x =-，则（）A ．()f x 在0，2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.B ．()f x 在3，44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.C ．()f x 在0，2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.D ．()f x 在3，44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.【知识点】单调性、周期、奇偶性. 【数学思想】数形结合【解题过程】由最小正周期为π可得=2ω，由()()f x f x =-可知()2sin(2)3f x x πϕ=+-为偶函数，所以=32k ππϕπ-+，所以5=()6k k Z πϕπ+∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-，()2sin(2)2cos 263f x x x ππ=--=-，所以()f x 在0，2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.【思路点拨】先根据周期，奇偶性求出()f x ，然后再根据复合函数单调性和整体思想求出单调区间.【答案】C 自助餐1.函数sin()3y x π=-的一个单调递增区间为（）A. 5(,)66ππ-B. 5(,)66ππ-C. (,)22ππ-D. 2(,)33ππ- 【知识点】复合函数单调性【数学思想】整体思想【解题过程】A.内函数为增,外函数 sin ,(,)322y t t x πππ==-∈-为单调递增,所以sin()3y x π=-在5(,)66ππ-为增 ;所以选 A. 选项B,内函数为增,外函数7sin ,(,-)366y t t x πππ==-∈-有增区间也有减区间,所以不选;其它选项同理分析. 【思路点拨】将选项带入检验．【答案】A2．下列函数中，最小正周期为π且在区间，2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为增函数的是（）A.sin 2y x =B.sin y x =C.1sin 2y x = D.cos 2y x = 【知识点】单调性【数学思想】整体思想【解题过程】最小正周期为π只有A ，D ，当，2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2，2x ππ∈，此时只有D选项符合要求.【思路点拨】由最小正周期和单增区间进行验证. 【答案】D3．已知函数()sin 2（10）f x x ωω=+>在区间3，22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为．【知识点】正弦函数单调性. 【数学思想】【解题过程】先求出()sin 21f x x ω=+的单增区间，令22222k x k πππωπ-<<+，由0ω>解得单增区间为，，44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，则3,，2244k k ππππππωωωω⎡⎤⎡⎤-⊆-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对某个整数K 成立，所以32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得16ω≤. 【思路点拨】根据3，22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦包含于单调区间解题.【答案】164．已知函数()cos （)(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，（1）求函数()y f x =图象的对称轴方程;（2）讨论函数()f x 在0，2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【知识点】周期、对称性、单调性. 【数学思想】整体代换【解题过程】因为最小正周期为2ππω=，所以=2ω，则()cos （2)4f x x π=+；（1）令2=4x k ππ+，则对称轴为=-,82k x k Z ππ+∈；（2）0，2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2[,]444x ππππ+∈+，根据复合函数单调性，当()cos （2)4f x x π=+单调递增时，2[,]44x πππ+∈，所以单增区间为30，8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当()cos （2)4f x x π=+单调递减时，2[，+]44x ππππ+∈，所以单减区间为3，82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；【思路点拨】根据周期求出解析式，利用余弦函数的对称轴结合整体思想求出对称轴，利用复合函数研究单调性的方法求单调区间．【答案】（1）对称轴为=-,82k x k Z ππ+∈；（2）单增区间为30，8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单减区间为3，82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.5．已知函数()sin （2)(0)3f x x πωω=->的图象上的相邻最高点与最低点的距离为（1）求ω的值；（2）若函数()(0)2y f x πϕϕ=+<<是奇函数，求函数()cos （2)g x x ϕ=-在0，2x π⎡⎤∈⎣⎦上的单调递减区间．【知识点】周期，奇偶性，单调性【数学思想】整体代换、数形结合【解题过程】（1）设最小正周期为T ，=又max ()1f x =，所以解得2T π=，且222T ππω==，所以12ω=；（2）由（1）()sin （)3f x x π=-，所以()sin()3f x x πϕϕ+=+-，因为()sin()3f x x πϕϕ+=+-为奇函数，所以sin()=03πϕ-，又02πϕ<<，所以3πϕ=，所以()cos （2)3g x x π=-，令2223k x k ππππ≤-≤+，则2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()cos （2)3g x x π=-的单调递减区间为2，63k Zk k ππππ∈⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，由因为0，2x π⎡⎤∈⎣⎦，所以当k=0时，()g x 的单调递减区间为2，63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当k=1时，()g x 的单调递减区间为75，63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以()g x 的单调递减区间为2，63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，75，63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【思路点拨】根据距离求出周期，根据周期求出ω，根据奇函数求出ϕ，求出()g x 的解析式，根据复合函数求单调区间方法求解即可. 【答案】(1)12ω=;(2)所以()g x 的单调递减区间为2，63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，75，63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)(精讲精析)-高一数学教材配套学案(人教A版必修4)

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性知识④自主预习新知初探⍓知识点1. 函数的周期性【思考】观察正弦函数和余弦函数的图象，你认为正弦函数值和余弦函数值有怎样的变化规律？【答案】具有“周而复始”的变换规律。

（1）对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．（2）如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．（3）记f(x)＝sin x，则由sin(2kπ＋x)＝sin x(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期为2π．知识点2.正、余弦函数的性质【思考】（1）正弦曲线和余弦曲线各有怎样的对称性？（2）诱导公式sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，体现了正弦函数y＝sin x和余弦函数y ＝cos x的什么性质？【答案】（1）正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．（2）正弦函数y＝sin_x为奇函数，余弦函数y＝cos_x为偶函数．R R自我测评⍓1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）若T 是函数ƒ(x )的周期，则kT ，k ∈N ＋也是函数f (x )的周期．( ) （2）函数y ＝3sin 2x 是奇函数．( ) （3）函数y ＝2cos3x 是偶函数.（）【答案】(1)√ (2)√ (3)√2．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数【解析】f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2.【答案】B3．函数y ＝sin 12x 的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．4πD ．6π【解析】∵sin ⎣⎡⎦⎤12(x ＋4π)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋2π＝sin 12x ，∴sin 12x 的周期为4π. 【答案】C4．函数＝1＋cos x 的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称【解析】 y ＝1＋cos x ＝1＋cos(－x )，∴y ＝1＋cos x 是偶函数，即该函数的图象关于y 轴对称．【答案】B5．函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x的奇偶性为________．【解析】因为1＋sin x ≠0，故其定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数．【答案】非奇非偶函数【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！题型1正、余函数的周期性【例1】求下列三角函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x ∈R ；(2)y ＝cos 2x ，x ∈R ； (3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，x ∈R ；(4)y ＝|cos x |，x ∈R .【解】 (1)因为3sin(x ＋2π)＝3sin x ，由周期函数的定义知，y ＝3sin x 的周期为2π. (2)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π. (3)因为sin ⎣⎡⎦⎤13（x ＋6π）－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋2π－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4的周期为6π.(4)y ＝|cos x |的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y ＝|cos x |的周期为π.【方法总结】求三角函数最小正周期的常用方法(1)公式法，将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，再利用T ＝2π|ω|求得；(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．【变式训练1】求下列函数的最小正周期：(1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋3；(2)y ＝cos|x |.【解】(1)由T ＝2ππ2＝4，可得函数的最小正周期为4.(2)由于函数y ＝cos x 为偶函数，所以y ＝cos|x |＝cos x ，从而函数y ＝cos|x |与y ＝cos x 的图象一样，因此最小正周期相同，为2π. 题型2正、余函数的奇偶性角度1判断函数的奇偶性【例2】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2；(2)f (x )＝sin |x |；(3)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.【解】(1)显然x ∈R ，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，所以f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－3x 4＝－cos 3x4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2是偶函数．(2)显然x ∈R ，f (－x )＝sin|－x |＝sin |x |＝f (x )，所以函数f (x )＝sin |x |是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－cos x ≥0，cos x －1≥0，得cos x ＝1，所以x ＝2k π(k ∈Z )，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．【方法总结】判断奇偶性的方法判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．【变式训练2】判断函数f （x ）＝lg （sin x ＋1＋sin 2x ）的奇偶性。

高中数学1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)学案新人教A版必修4

1．在函数的周期定义中是对定义域中的每一个
ππ x 值来说，对于个别的 x0 满足 f ( x0＋ T) ＝ f ( x0) ，并不能说 T 是 f ( x) 的周期．例如：既使 sin 4 ＋ 2 ＝
sin
π 4
成立，也不能说
π 2
是
f
(
x)
＝
sin
x 的周期．
2．判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求其定义域，看它是否关于原点对称，一些函数的定义域比较容易观察，直接判断
时，都有
.
T 也是正弦函数 y＝ sin x 的一个周期，且
，根据周期函数的定义，当 x 取定义域内的每一个值
令
x＝
π 2
，代入上式，得
sin
π 2
＋
T
＝ sin
π 2 ＝1，
1
又 sin
π 2
＋
T
＝
，所以
.
另一方面，当 T∈(0,2 π ) 时，
，这与
矛盾．故 2π 是正弦函数
同理可证，余弦函数 y＝ cos x 的最小正周期也是 2π .
f ( － x) 与
f ( x) 的关系即可；一些复杂的函数要防止没有研究定义域是否关于原点对称而出错ຫໍສະໝຸດ .1．函数的周期性
(1) 对于函数 f ( x) ，如果存在一个
，使得当 x 取定义域内的
T 叫做这个函数的周期．
(2) 如果在周期函数 f ( x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
时，都有 f ( x) 的
，那么函数 f ( x) 就叫做周期函数，非零常数．
2．正弦函数、余弦函数的周期性

高中数学 1.4.2《正弦函数余弦函数的性质》导学案新人教A版必修4

π54sin π45cos -π532sin π125cos 【学习目标】：会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域。

【重点难点】正弦函数和余弦函数的性质及简单应用。

【学法指导】探究正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期；会比较三角函数值的大小,会求三角函数的单调区间.【知识链接】1. _____________________________________________________________________叫做周期函数，___________________________________________叫这个函数的周期.2. _____________________________________叫做函数的最小正周期.3.正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是____________，最小正周期是________.4.由诱导公式_________________________可知正弦函数是奇函数.由诱导公式_________________________可知，余弦函数是偶函数.5.正弦函数图象关于____________________对称，正弦函数是_____________.余弦函数图象关于________________对称，余弦函数是_____________________.6.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_________________上都是减函数，其值从1减少到－1.7.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间______________上都是减函数，其值从1减少到－1.8.正弦函数当且仅当x ＝___________时，取得最大值1,当且仅当x =_________________时取得最小值－1.9.余弦函数当且仅当x ＝______________时取得最大值1；当且仅当x =__________时取得最小值－1.10.正弦函数sinx 3y =的周期是___________________________.11.余弦函数y cos2x =的周期是___________________________.12.函数y =sinx +1的最大值是__________,最小值是_____________,y =-3cos2x 的最大值是_____________,最小值是_________________.13.y =-3cos2x 取得最大值时的自变量x 的集合是_________________.14.把下列三角函数值从小到大排列起来为：_____________________________，，，三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容【学习过程】例1、求函数y=sin(2x+3π)的单调增区间．解：变式训练1. 求函数y=sin(-2x+3π)的单调增区间解：例2：判断函数33()sin()42f x x π=+的奇偶性解：变式训练2. 2()lg(sin 1sin f x x x =++)解：例3. 比较sin2500、sin2600的大小解：变式训练3. cos 914cos 815ππ、解：【学习反思】1、数学知识：2、数学思想方法：【基础达标】一、选择题1.函数2sin 2y x =的奇偶数性为（）. A. 奇函数 B. 偶函数C ．既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数2.下列函数在[,]2ππ上是增函数的是（）A. y =sin xB. y =cos xC. y =sin 2xD. y =cos2x3.下列四个函数中，既是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）. A. sin y x = B. sin 2y x =C. cos y x =D. cos2y x =二、填空题4.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。

高中数学第一章《三角函数》正弦、余弦函数的周期性教案新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案

正弦、余弦函数的周期性教案一、教材分析：《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．二、教学目标：学情分析：学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标：(一)知识与技能1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．2．会求一些简单三角函数的周期.(二)过程与方法从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x 的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．(三)情感、态度与价值观让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期.五、教学准备：三角板、多媒体课件六、教学流程：求下列函数的周期： (1)3sin4x y =，x R ∈；(2)sin()10y x π=+，x R ∈；(3)cos(2)3y x π=+,x R ∈(4)1sin()24y x π=-，x R ∈ 课外思考：1. 求函数()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠>）的周期．2.求下列函数的周期：（1）|sin |x y =，x R ∈；（2）|2cos |x y =，x R ∈ 附：板书设计附：1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难.为了突破这个难点，借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，为了突破这个难点，设计了三道判断题让学生分组讨论交流，通过学生思维碰撞来体会数学概念的严谨，通过学生互动建构自己对周期函数概念的认识．3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１第１问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由学生完成第２问和第３问，再由师生共同点评．教案设计说明《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．本课的重点为周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性，难点为周期函数定义及运用定义求函数的周期.本课的教学设计分为六个部分，包括：教材分析，目标分析（含学情分析），教学重难点，教学准备，教学流程，教学过程．设计反映了由学生熟悉的生活的周期现象出发，通过概括、抽象，并结合正弦函数的图象引导学生感受周期函数概念的形成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节．以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从九个环节进行具体的设计．教学过程设计自始至终贯穿数形结合思想．下面从如下几个方面进行详细说明．一、教学内容的数学本质及教学目标定位本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．通过对正弦函数图象“周而复始”的变化规律特征的感知，使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础，然后再引导学生了解用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律.本节课要探究的周期函数的概念的数学本质是从形和数两个方面去刻画“周而复始”的变化规律．学生在知识上已经学习了函数概念与基本初等函数等知识，已经掌握了三角函数图象的画法及五点法作图；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经接触过数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．另外，我还对我班学生的具体情况做了如下分析：我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题，但是部分学生处理抽象问题的能力还有待进一步提高．于是，结合以上的学情分析，我从“知识与技能”、“过程与方法”和“情感态度与价值观”设定目标.其中知识与技能目标为：理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期．过程与方法则是：从学生实际中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念. 运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．并且在过程中渗透了本课的情感态度目标：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.以上是对教学目标定位的说明．二、教学流程入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．正弦函数、余弦函数的周期性，与后面高中物理研究的《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识有着密切相关的联系．在数学和其它领域（物理学、生物学、医学等）中具有重要的作用，所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁．四、教学诊断分析1．学习正弦、余弦函数的周期性时，用图象法求周期学生容易理解；建构周期函数概念时学生有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始的变化实际上是函数值的周而复始的变化”的本质学生感到有一定困难. 我首先让学生回顾如何利用正弦线画正弦函数y=sin x图象（动画演示）,通过动画演示，让学生感知正弦函数图象“周而复始”的变化规律，再引导学生用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律．2．部分学生对周期函数定义中的任意性理解容易出现错误，需要在教学中反复强调.3．本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去．五、教法特点及预期效果分析结合教学目标以及学生的实际情况，我采用了启发引导与小组合作交流相结合的教学方式，而在知识构建过程中，在教师引导下，使学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括等思维活动，提高数学思维能力；注重信息技术与数学课程的整合，提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用信息技术进行探索和发现．本节课遵循学生的认知规律，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，使学生理解周期概念的形成过程，体会蕴含在其中的数形结合的思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，教学内容利用生活中的问题和课本上已有的知识创设情境，使教学内容不仅贴近生活，并且来源于旧知识，设计内容一环扣一环，使学生对周期函数的概念理解和应用步步深入.在教学方法上运用多种方法，如观察、分析、归纳、讨论；在知识的学习过程中，重视知识的形成过程和概括过程.在解决问题中，引导学生分析、归纳方法，注意优化学生的思维品质；在教学手段上采用多媒体和黑板重点板书结合的教学方法．通过本节课学习，我力求达到：1 、形成学生主动参与，自主探究，合作交流的课堂气氛.2、学生进一步了解数学来源于生活，理解周期函数和周期的定义.3、让学生体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想，让学生领悟问题探究的学习方法.由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标.。

人教A版高中数学必修四第1章1.4正弦函数和余弦函数学案(无答案)

正弦函数与余弦函数教学目标1. 理解：利用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象．2. 掌握“五点法”作图的方法，能熟练用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的图象．3. 理解正弦函数、余弦函数的性质：周期性和值域．教学内容正弦函数、余弦函数的图象1．正弦函数、余弦函数的图象1）正弦函数、余弦函数的概念：若对于任意给定的一个实数x ，都有唯一确定的值sin x (或cos x )与之对应，则称由这个对应法则所确定的函数y ＝sin x (或y ＝cos x )为正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R ．2）正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．(1)利用单位圆中的正弦线画函数y ＝sin x 的图象，其过程可以概括为以下两点：首先是等分单位圆、等分区间[0,2π]和正弦线的平移，进而得到函数y ＝sin x 在区间[0,2π]上的图象．其次是利用终边相同的角有相同的正弦值，推知函数y ＝sin x 在区间[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z ，k ≠0)上的图象与函数y ＝sin x 在区间[0,2π]上的图象形状完全一样，从而可以通过左右平移得到正弦函数y ＝sin x (x ∈R)的图象．(2)用同样的方法可以画出余弦函数y ＝cos x (x ∈R)的图象．(3)根据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，可以把正弦函数y ＝sin x (x ∈R)的图象向左平移π2单位即得余弦函数y ＝cosx (x ∈R)的图象．作简图如下：2．“五点法”作图画正弦函数和余弦函数在[0,2π]上的简图，在所作图形的精确度要求不太高时，我们常用“五点法”作简图： (1)对正弦函数y ＝sin x ，取五点：A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫π2，1，C (π，0)，D ⎝⎛⎭⎫3π2，－1，E (2π，0)．这五点描出后，正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象就基本确定了．(2)对余弦函数y ＝cos x ，取五点：A (0,1)，B ⎝⎛⎭⎫π2，0，C (π，－1)，D ⎝⎛⎭⎫3π2，0，E (2π，1)．这五点描出后，余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象也就基本确定了．五点作图法必须有三步：列表、描点、连线．连线时要注意曲线的光滑和凸凹．同步题型分析题型一用“五点法”作图例1 用“五点法”作函数y ＝2－sin x ，x ∈[0,2π]的简图．巩固用“五点法”作函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3在一个周期内的简图．题型二解最简单三角不等式例2 写出不等式sin x ≥12的解集．巩固已知x ∈(0,2π)，在同一坐标系中，画出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，并由图象求出使sin x <cos x 成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，2π C.()π，2π D.⎝⎛⎭⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2题型三用图象变换法作简图例3 作函数y ＝1－cos 2x 的图象．巩固作函数y ＝1－sin 2x 的图象．题型四正弦、余弦函数图象的初步应用例4 方程sin x ＝x10的根的个数为( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个巩固已知函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]，则该函数图象与直线y ＝32的交点的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个正、余弦函数的周期及最值1．正、余弦函数的周期1）周期性定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．2）对周期函数的理解要注意以下几个方面：(1)f (x ＋T )＝f (x )是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x 的值，x ＋T 仍在定义域内，且等式成立； (2)周期T 是非零常数，是使函数值重复出现的自变量x 的增加值；(3)周期函数的周期不是唯一的，如果T 是函数f (x )的周期，那么nT ，n ∈Z ，n ≠0也一定是函数f (x )的周期； (4)周期函数的定义域不一定是R ，但一定是无界集，至少是一方无界；(5)周期函数并不仅仅局限于三角函数，如函数y ＝x －k ，(k <x <k ＋1，k ∈Z)就是一个以1为周期的周期函数． 3）一个函数如果是周期函数，必定有无穷多个不同的周期．对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期．4）正弦函数和余弦函数都是周期函数2k π(k ∈Z ，k ≠0)是周期，最小正周期是2π． 5）函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π|ω|.2．正弦函数和余弦函数的最值正弦函数y ＝sin x 当且仅当x ＝2k π＋π2 (k ∈Z)时取最大值1，当且仅当x ＝2k π－π2 (k ∈Z)时取最小值－1；余弦函数y ＝cos x 当且仅当x ＝2k π (k ∈Z)时取最大值1，当且仅当x ＝2k π＋π (k ∈Z)时取最小值－1．注意：正余弦函数在整个定义域R 上的值域为[－1,1]，在确定函数的值域时，要注意函数的定义域区间．同步题型分析题型一三角函数的周期例1 (1)下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x(2)函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( ) A ．0B. π4C. π2D ．π巩固求下列各函数的最小正周期： (1)y ＝cos 2x ； (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6题型二三角函数的值域例2 求下列各函数的值域： (1)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3； (2)y ＝cos 2x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4.巩固求下列各函数的值域：(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6； (2)y ＝|sin x |＋sin x .专项练习能力提升1. 方程sin x ＝lg x 的根的个数为________．2. 函数y ＝cos x |tan x |⎝⎛⎭⎫0≤x <3π2且x ≠π2的图象是下图中的( )3.对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，下列命题正确的是( )A ．该函数的值域是[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，函数取得最大值1C ．当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z)时，函数取得最小值－1D ．当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z)时，f (x )<0 4. 函数f (x )＝a sin x ＋b 的最大值和最小值分别为3和－1，求实数a ，b 的值．5. 若f (x )＝cos π4x ，x ∈N ＋，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 011)＝________.6. 函数y ＝cos 2x －3cos x ＋2的最小值为( ) A ．2 B ．0 C ．－14D ．6课下作业1. 以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴仅一个交点2. 函数y ＝2sin x ＋1的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋7π6，k ∈ZB.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋7π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－76π，2k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤k π－76，k π＋π6，k ∈Z 3. 要得到f (x )＝sin x 的图象，可以将g (x )＝cos x 的图象( ) A ．向左平移π个单位 B ．向右平移π个单位 C ．向左平移π2个单位 D ．向右平移π2个单位4. 在同一坐标系中，函数y ＝－cos x 的图象与余弦函数y ＝c os x 的图象( ) A ．只关于x 轴对称B ．关于原点对称C ．关于原点、x 轴对称D ．关于原点、坐标轴对称5. 在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝12的交点个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个 6. 已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为2π3，则ω的值为( ) A ．1 B ．±3 C ．3 D.327. 函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＋1的最小正周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．3π 8. 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x 是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数 9. 函数y ＝c os x ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤7π6的最小、最大值分别为( ) A ．0,1 B ．－1,1 C ．－32，1 D ．－1，32。

高中数学1.4.1正弦函数余弦函数的图象导学案新人教版必修4

1.4.1正弦函数，余弦函数的图象课前预习学案一、预习目标理解并掌握作正弦函数图象的方法，会用五点法作正余弦函数简图.二、复习与预习1.正、余弦函数定义：__________________________2.正弦线、余弦线：____________________________________3.10.正弦函数y=si nx , x € ［0 , 2 n ］的图象中，五个关键点是：、、、、.20.作y cosx在［0,2 ］上的图象时，五个关键点是 _、 _、 _______________ 、_、_.步骤：_______________ , __________________ , ______________________三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标(1) 利用单位圆中的三角函数线作出y si nx,x R的图象，明确图象的形状;(2) 根据关系cosx sin(x _)，作出y cosx,x R的图象；(3) 用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；学习重难点：重点：：“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象；难点：运用几何法画正弦函数图象。

二、学习过程1.创设情境：问题1:三角函数的定义及实质？三角函数线的作法和作用？问题2:根据以往学习函数的经验，你准备采取什么方法作出正弦函数的图象？作图过程中有什么困难？2.探究新知：问题一：如何作出二-•的图像呢?问题二：如何得到「； --- ■-，=」的图象？问题三：这个方法作图象，虽然比较精确，但不太实用, 象呢？组织学生描出这五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图，称为 “五点法”作图。

“五点法”作图可由师生共同完成小结作图步骤：思考：如何快速做出余弦函数图像？例1、画出下列函数的简图： y = 1 + sinx ,x€〔 0,2n 〕解析：利用五点作图法按照如下步骤处理 1、列表2、描点3、连线课后练习与提高如何快捷地画出正弦函数的图变式训练: cosx ,x€〔 0,2n 〕三、反思总结1、数学知识：2、数学思想方法：四、当堂检测画出下列函数的简图：（1） y=| sinx | , (2) y=sin | x |思考：可用什么方法得到"臨日的图像?1.用五点法作y 2sinx, x [0,2 ]的图象•2.结合图象，判断方程sinx x的实数解的个数3.分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的(1)si nx (2)cos x 52 )•x的集合:参考答案:Z Z 3・C 4•呼 5•二 6・:解！ - 3i) = 2cos(a - 4i)sin(3i - a) =2COS (4T - a) •'•一 sin (H 一 a) = 2cos(- a)/. sina = - 2cosa 且 cosa # 0 sin a 十5cosu - 2cos a 十5cosa一 2cosa+sin a 一2cos ◎—2cosa •:原式二 3cos a 3 -------- 二一一 -4 cos a 4。