分式方程及解法
(完整)分式方程概念及解法
分式方程的概念，解法知识要点梳理要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释：1．分式方程的三个重要特征：①是方程;②含有分母；③分母里含有未知量。
2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程,如：关于的方程和都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程.要点二：分式方程的解法1。
解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解.2．解分式方程的一般方法和步骤(1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
（2)解这个整式方程。
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。
3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时,无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.规律方法指导1．一般地，解分式方程时,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．经典例题透析：类型一：分式方程的定义1、下列各式中,是分式方程的是（）A．B．C．D．举一反三:【变式】方程中,x为未知量,a，b为已知数，且，则这个方程是( ）A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程类型二：分式方程解的概念2、请选择一组的值,写出一个关于的形如的分式方程,使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是含有分式的方程，其基本形式为$ \frac{A}{B} = C $，其中A、B、C均为代数表达式。
解决分式方程的关键在于消除分母，求得方程的解。
本文将介绍两种常见的分式方程解法：通分法和代入法。
一、通分法通分法是解决分式方程的常用方法。
首先，我们需要找到方程中分式的公共分母，然后将方程两边的分式通分，最终得到一个简单的方程。
例1：解方程$ \frac{x+1}{2} + \frac{x-2}{3} = \frac{x-1}{6} $解：首先，我们发现分式$ \frac{x+1}{2} $、$ \frac{x-2}{3} $、$ \frac{x-1}{6} $的公共分母为6。
因此，我们可以将方程两边的分式通分，得到：$ \frac{3(x+1)}{6} + \frac{2(x-2)}{6} = \frac{x-1}{6} $接下来，我们将分子相加，并且令等式两边相等：$ \frac{3x+3+2x-4}{6} = \frac{x-1}{6} $化简后得到：$ \frac{5x-1}{6} = \frac{x-1}{6} $由于等式两边的分式相等，我们可以得到：$ 5x-1 = x-1 $继续化简，我们得到：$ 4x = 0 $最终解得：$ x = 0 $二、代入法代入法是另一种解决分式方程的方法。
通过代入合适的值来验证方程的解，从而求得方程的解。
例2：解方程$ \frac{x+3}{2x-1} = \frac{4x+5}{3x+2} $解：首先，我们假设一个数值代入方程，例如x=1。
将该值代入方程中，计算等式两边的结果。
当x=1时，方程变为：$ \frac{1+3}{2(1)-1} = \frac{4(1)+5}{3(1)+2} $化简后得到：$ \frac{4}{1} = \frac{9}{5} $由于等式两边不相等，我们可以推断x=1不是方程的解。
接下来，我们尝试另一个值，例如x=2。
分式方程的几种解法
分式方程的几种解法分式方程是初中数学教材重点内容之一，它是一元二次方程的应用和深化，同时又是列分式方程解应用题及解分式方程组的基础，所以分式方程有承上启下的作用，至关重要，它的解法很多，这里略谈一二。
一、 去分母法方法导析：它是分式方程的基本解法，即：方程两边同乘以各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，解出这个整式方程，最后把所得结果代入最简公分母中检验，便得分式方程的根。
例1：解方程：4121235222---=++-x x x x x 解：方程两边同乘以)2)(2)(1(-++x x x 去分母得：)1(4)2)(1()2)(52(+-++=--x x x x x整理得：01282=+-x x 解之得：6,221==x x检验：把2=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它等于0，所以2=x 不是原方程的根。
把6=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它不等于0，所以6=x 是原方程的根。
∴原方程的根为6=x 。
二、 换元法方法导析：根据方程特点用另一字母代替方程中的未知项式，得到一个关于这一字母的新方程，再进行解方程，其宗旨是换得的方程较原方程简单。
例2：解方程：21333322=-+-x x x x 解，设a x x =-32，则ax x 13332⨯=-，原方程变形为： 2133=+a a 去分母，得：061322=+-a a 解之得：61=a 212=a当6=a ，即632=-x x ，去分母，整理得0362=--x x 323±=∴x 当21=a ，即2132=-x x ，去分母，整理得0622=--x x 23,221-==∴x x 检验，把323+=x ，323-=x ，2=x ， 23-=x 分别代入原方程分母中其计算结果都不为0，所以他们都是原方程的根。
∴原方程的根是323±=∴x ，2=x ， 23-=x 三、 通分法方法导析：根据方程特点，原方程式适当变形后，两边进行通分，再结合分式性质解题。
分式方程及其解法课件
高阶分式方程的解法实例
总结词
通过降阶、变量代换等方法，将高阶分式方 程转化为低阶或可直接求解的分式方程。
详细描述
高阶分式方程可以通过降阶、变量代换等方 法，将其转化为低阶或可直接求解的分式方
程。例如，对于形如 "a1x1+a2x2+...+anxn/b1x1+b2x2+...+b nxn=c" 的高阶分式方程，可以先将高阶项 进行降阶或变量代换，将其转化为可直接求
分式方程及其解法课件
目
CONTENCT
录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的解法 • 分式方程的解法技巧 • 分式方程的解法实例 • 分式方程的解法总结与反思
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
总结词
分式方程是数学中一类带有分式的等式，用于描述某些特定情况 下的数量关系。
详细描述
分式方程是数学中一类带有分式的等式，通常用来描述两个或多 个量之间的关系。分式方程中的分母不能为零，因为分母代表一 个量所占的比例或份额。
适用范围
分式方程的解法适用于解决涉及分数 、比例、百分数等实际问题的数学问 题，同时也可以用于解决一些代数和 几何问题。
不适用范围
对于一些过于复杂或抽象的分式方程 ，分式方程的解法可能无法解决，或 者解决起来非常困难。
解法的改进与展望
改进
在解分式方程时，可以尝试引入更多的数学工具和方法，例Байду номын сангаас使用分数运算规则、因式 分解、变量替换等技巧，以提高解题效率和准确性。
通过约分、通分、消去分母等方法，将 分式方程转化为整式方程进行求解。
VS
详细描述
一元分式方程通常可以通过约分、通分和 消去分母的方法，将方程转化为整式方程 ，然后利用整式方程的解法求解。例如， 对于形如 "ax+b/cx+d=e" 的分式方程， 可以先通分，然后移项、合并同类项，最 后求解整式方程。
15.3.1分式方程及其解法
求a的取值范围． 【思路点拨】解关于 x 的分式方程→根据解是正数 (即大于零)列出关于字母a的不等式→解不等式,确定 a的(x－2),得2x＋a＝2－x,
2a ． 解得 x＝ 3 2a 2a ＞0，且 2． 由题意,得 3 3 2a 2a ＞0， 由 解得a＜2；由 得a≠－4． 2， 3 3
解得:x=50经检验x=50是原方程的解
则甲工程队每天能完成绿化的面积是
50×2=100(m2) 答:甲,乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m2,50m2.
过程展示
解:(2)设至少应安排甲队工作x天,根据题意得:
1800 100x 0.4x+ ∙0.25≤8, 50
解得:x≥10 答:至少应安排甲队工作10天．
× √
√) (×)
知识运用
一.分式方程的定义及解法 例1.(2013·资阳中考)解方程: 【教你解题】
x 2 1 ＋ ＝ . 2 x －4 x 2 x－2
解:
去分母
方程两边都乘以(x+2)(x-2), 得:x+2(x-2)=x+2. 解这个方程,得:x=3. 经检验,x=3是原方程的解
解整式方程
方法提示
分式方程无解的“两种情况”: 分式方程无解时分式方程化为整式方程后有 以下两种情况: (1)整式方程有解但这个解不是原分式方程的解； (2)分式方程化为整式方程后整式方程无解.
中考链接
(2014年∙广东汕尾)某校为美化校园,计划对面积为 1800m2的区域进行绿化,安排甲,乙两个工程队完成. 已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿 化的面积的2倍,并且在独立完成面积为400m2区域的 绿化时,甲队比乙队少用4天. (1)求甲,乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多 少 m2 ？ (2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元,乙队 为0.25万元,要使这次的绿化总费用不超过8万元,至少 应安排甲队工作多少天？
分式方程时分式方程及其解法
解分式方程去分母时，方程两边要乘同 一个含未知数的式子（最简公分母）.
方程① 当v=6时，（30+v）（30-v）≠0，这就是说，去分
母时，方程①两边乘了同一个不为0的式子，因此所 得整式方程的解与①的解相同.
方程② 当x=5时，（x-5）（x+5）=0，这就是说，去分母时，
方程②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式 方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不 是②的解.
练习1 下列方程哪些是分式方程？_____⑤
①x+y=1 ② x 2 2 y z ③ 1
5
3
x2
④ y 3 ⑤x 1 1 ⑥ x 3 2 x
x5
x
π
5
练习2 指出下列方程中各分母的最简分母，并写 出去分母后得到的整式方程.
①1 2
2x x 3
② 2
x 1
4 x2 1
解：①最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x；
检验：当 x = 9时， x（x-3）≠0，
所以，原分式方程的解为 x =9.
例2
解方程
x 1 x 1
（x
3 1）（x
.2）
解：方程两边乘（x-1）（x+2），得
x（ x+2）-（x-1）（x+2）=3 x=1
检验：当x=1时，（x-1）（x+2）=0 因此， x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
练习4 解关于x 的方程 b ≠ 1）.
a b1 xa
（
解：方程两边同乘x-a，得
a+b（x-a）= （x-a）
去括号，得 a+bx-ab =x-a
分式方程的解法与应用技巧
分式方程的解法与应用技巧分式方程是含有分数的方程，其求解过程相对复杂。
本文将介绍分式方程的解法与应用技巧，帮助读者更好地掌握这一内容。
一、简单分式方程的解法对于形如$\frac{a}{x}=b$的简单分式方程，其中$a$和$b$为已知数，$x$为未知数。
我们可以通过以下步骤求解：1. 将方程两边乘以$x$，消去分式：$a=bx$。
2. 将方程两边除以$b$，解出未知数：$x=\frac{a}{b}$。
例如，对于分式方程$\frac{2}{x}=3$，我们可以按照以上步骤解得$x=\frac{2}{3}$。
二、复杂分式方程的解法对于形如$\frac{ax+b}{cx+d}=e$的复杂分式方程，其中$a$、$b$、$c$、$d$和$e$为已知数，$x$为未知数。
我们可以通过以下步骤求解：1. 消去分母，得到线性方程：$ax+b=ecx+ed$。
2. 整理方程，将未知数放在一侧，已知数放在另一侧：$ax-ecx=ed-b$。
3. 合并同类项，得到线性方程：$x(a-ec)=ed-b$。
4. 解出未知数：$x=\frac{ed-b}{a-ec}$。
例如，对于分式方程$\frac{2x+1}{3x+2}=4$，我们可以按照以上步骤解得$x=\frac{7}{10}$。
三、分式方程的应用技巧1. 化简分式：在处理分式方程时，我们可以通过化简分式来简化计算过程。
例如，对于分式方程$\frac{3x^2+6x}{2x}=5$，我们可以化简分式为$\frac{3(x+2)}{2}=5$，然后继续求解。
2. 注意特殊解：有些分式方程存在特殊解。
例如，对于分式方程$\frac{x-1}{x}=0$，我们可以通过化简分式得到$x=1$，但这并不是方程的解，因为分母为0时方程无解。
3. 检验解的合法性：在求解分式方程时，我们应该检验解的合法性。
即将解代入原方程，检验等式是否成立。
如果不成立，则解是无效的。
4. 借助整体思维：在处理分式方程的过程中，我们可以借助整体思维，将分数表示为整体，并通过整体与部分的关系，简化方程求解。
分式方程公式
分式方程公式
分式方程是指包含一个或多个分式的方程。
下面列举几个常见的分式方程及其解法：
一次分式方程：
形式：(分子) / (分母) = 常数
解法：将方程中的分式化简为一个整数，然后求解。
二次分式方程：
形式：(分子) / (分母) = (分子) / (分母)
解法：通常可以通过交叉相乘或通分的方式将分式方程转化为一个一次方程，然后求解。
多元分式方程：
形式：(分子1) / (分母1) = (分子2) / (分母2) = ...
解法：可以通过分数的相等性，将多个分式等于一个常数，进而解得各个变量的值。
在解分式方程时，应考虑分母是否为零的情况，并排除无效解。
另外，有时候方程可能会包含复杂的分式形式，需要运用化简、约分等技巧来简化方程，使其更容易求解。
分式方程是包含分式的方程，解分式方程的方法包括化简、约分、通分、交叉相乘等技巧，以求得方程的解。
分式方程的基本运算法则
分式方程的基本运算法则分式方程是以分式形式表示的带有未知数的数学等式。
在解分式方程时，需要遵循一些基本的运算法则。
本文将介绍分式方程的基本运算法则，包括分式的加减乘除运算以及方程的解法。
一、分式的加减法对于分式的加减法，首先需要找到分母的公共倍数，然后将各个分子相加或相减，并保持分母不变即可。
例如，对于分式$\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}$，若b和d互质，则可以将其通分得到$\frac{ad \pm bc}{bd}$。
二、分式的乘法分式的乘法是指两个分式相乘的运算法则。
对于分式$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$，只需将分子相乘得到ac，分母相乘得到bd，即可得到结果$\frac{ac}{bd}$。
三、分式的除法分式的除法是指一个分式除以另一个分式的运算法则。
对于分式$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$，可以转化为乘法的形式，即$\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$，然后按照乘法法则进行计算，得到结果$\frac{ad}{bc}$。
四、解分式方程解分式方程的基本方法是将方程两边的分式化简，使得方程转化为整式方程，然后按照解整式方程的方法进行计算。
在解法中需要注意保持等式两边的平衡，确保每一步的操作都是合法的。
结论分式方程的基本运算法则包括加减乘除四则运算以及解法。
掌握这些基本法则，能够帮助我们更好地理解和解决分式方程相关的问题。
在学习和应用过程中，需要不断练习，提高自己的计算能力和逻辑思维能力。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是数学中常见的一种方程形式，它在实际问题求解中有着广泛的应用。
解决分式方程可以通过一系列的步骤来进行，本文将介绍几种常用的解法。
一、通分法通分法是解决一般分式方程的常用方法。
其基本思想是通过对方程两边进行通分，将方程转化为含有整式的方程，然后再求解。
例如，考虑如下分式方程：$$\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}=\frac{5}{x+2}$$首先，可以将方程两边的分式通过公倍数通分，得到：$$\frac{x(x+1)}{x(x+1)}+\frac{2x(x+1)}{x(x+1)}=\frac{5x(x+1)}{x(x +1)}$$整理方程得：$$x(x+1)+2x(x+1)=5x(x+1)$$继续化简得：$$x^2+x+2x^2+2x=5x^2+5x$$合并同类项得：$$3x^2+3x=5x^2+5x$$移项得：$$5x^2+2x^2=3x+5x$$合并同类项得：$$7x^2=8x$$最后，将方程转化为标准形式：$$7x^2-8x=0$$通过因式分解或求根公式，可以求得方程的解。
二、代换法代换法是解决分式方程的另一种有效方法。
其基本思想是通过进行适当的代换，将分式方程转化为含有整式的方程，然后求解。
例如，考虑如下分式方程：$$\frac{x-1}{x+2}-\frac{2x-3}{x-1}=1$$首先，可以假设一个新的变量$t=x-1$，通过代换得到：$$\frac{t}{t+3}-\frac{2(t+2)}{t}=1$$继续整理得：$$\frac{t}{t+3}-\frac{2t+4}{t}=1$$通分得：$$\frac{t-t(t+3)}{t(t+3)}=\frac{t}{t+3}-2$$进一步化简得：$$\frac{-t^2-3t}{t(t+3)}=\frac{t-2(t+3)}{t+3}$$消去分母得：$$-t^2-3t=t-2(t+3)$$继续整理得：$$-t^2-3t=t-2t-6$$合并同类项得：$$-t^2-3t=t-2t-6$$移项得：$$-t^2-5t+6=0$$通过因式分解或求根公式，可以求得方程的解。
分式方程的解法及应用
分式方程的解法及应用分式方程是数学中常见的一类方程，其特点是方程中含有分式表达式。
解决分式方程的关键是找到合适的方法，以求得方程的解。
本文将介绍几种常见的分式方程解法，并探讨其在实际应用中的一些案例。
一、通分法通分法是解决分式方程的基本方法之一。
当方程中含有多个分式时，我们可以通过通分的方式，将其转化为一个分子为0的分式方程。
例如，对于方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$，我们可以通过通分得到$yz+xz=xy$，进而得到$xy-xz-yz=0$。
这样，我们就将原方程转化为了一个分子为0的分式方程，可以更方便地求解。
二、代换法代换法是解决分式方程的另一种常用方法。
通过合理的代换，可以将方程转化为一个更简单的形式。
例如，对于方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，我们可以令$u=\frac{1}{x}$，$v=\frac{1}{y}$，则原方程可以转化为$u+v=2$。
这样，我们就将原方程转化为了一个线性方程，可以通过求解线性方程的方法得到解。
三、消元法消元法是解决分式方程的另一种常见方法。
通过巧妙地选择消元的方式，可以将方程转化为一个更简单的形式。
例如，对于方程$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=3$，我们可以通过乘以$x$和$y$的方式，得到$x^2+y^2=3xy$。
这样，我们就将原方程转化为了一个二次方程，可以通过求解二次方程的方法得到解。
在实际应用中，分式方程的解法有着广泛的应用。
以下是几个具体的案例：案例一：物体的速度假设一个物体以速度$v$匀速运动，经过时间$t$后的位移为$s$。
根据运动学公式，位移与速度和时间的关系可以表示为$s=vt$。
现在假设物体的速度是变化的，速度与时间的关系可以表示为$v=\frac{a}{t}$，其中$a$是一个常数。
我们可以通过求解分式方程$\frac{s}{t}=\frac{a}{t}$，得到物体的位移与时间的关系。
分式方程及解法
1．请写出 1 与 x x2 4 4 2x
的最简公分母.
最简公分母是：2(x 2)(x 2)
2．解一元一次方程 2x 1 x 1
3
4
例1.解分式方程：
1 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 x
例2.解方程 480 600 45 x 2x
下面哪种解法正确？
例3： 解方程 1 x 1 2
x2 2x
解法一： 将原方程变形为 1 x 1 2
x2 x2
方程两边都乘以 x 2 ,得： 1 x 1 2
注：给方程两边 各项都乘以最简 公分母。
解这个方程，得： x 4
1 x 1 2 x2 2x
解法二： 将原方程变形为
1 x 1 2 x2 x2
方程两边都乘以 x 2 ,得：1 x 1 2(x 2)
解这个方程，得： x 2
你认为 x= 2是原方程的根？与同伴交 流。
在这里，x = 2 不是原方程的根，因为它使得原分 式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根。
产生增根的原因是，我们在方程两边同乘了一 个可能使分母为零的整式。
注意：因此解分式方程可能产生增根，所以解 分式方程必须检验。
验根的方法：
想一想,议一议
解分式方程的步骤 1、化： 2、解：
3、检验：
4、写：
随堂练习 解方程：
（1） 3 4 x 1 x
（2）
x 2x
3
3
5 2x
4
1.当m为何值时，方程
x 2 m
x3
x3
会产生增根
小结
1、解分式方程的基本思路是什么？ 2、解分式方程有哪几个步骤？ 3、什么是分式方程的增根？ 4、验根有哪几种方法？
分式方程知识点总结
分式方程知识点总结一．分式方程、无理方程的相关概念：1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2．无理方程：根号内含有未知数的方程。
(无理方程又叫根式方程 )3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。
二．分式方程与无理方程的解法：1．去分母法：用去分母法解分式方程的一般步骤是：①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。
在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。
2．换元法：用换元法解分式方程的一般步骤是：②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想；③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解；④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。
解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。
三．增根问题：1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合原方程的增根。
2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为 0 。
解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。
常见考法( 1 ) 考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主；( 2) 分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。
误区提醒( 1 ) 去分母时漏乘整数项；( 2) 去分母时弄错符号；( 3) 换元出错；( 4) 忘记验根。
分式方程及其应用
分式方程及其应用一、分式方程的基本解法：1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．可化为一元一次方程的分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：（1）增根能使最简公分母等于0；（2）增根是去分母后所得整式方程的根．3．解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0 ，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．【例1】解下列分式方程：（1）131x x+=-（2）31244xx x-+=--（3）21122xx x=---（4）11222xx x-=---（5）212xx x+=+（6）2216124xx x--=+-【例2】（1）若关于x 的方程1233mx x=+--有增根，则m =________．（2）解关于x 的方程2224222x a a x x+-=--会产生增根，则a 的值是________．（3）若关于x 的分式方程11044a xx x---=--无解，则a 的值为________．（4）若关于x 的分式方程2111m x x+=--的解为整数，则m 的取值范围是________．（5）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =________．二、巧解分式方程： 【例3】（1）111141086x x x x +=+---- （2）2263503x x x x-++=-（3）()()()()()1111111220212022x x x x x x x +++=------…（4）方程222313x x x x-+=-中，如设23y x x =-，原方程可化为整式方程：________．【拓1】观察下列方程及其解的特征：①12x x+=的解为121x x ==； ②152x x +=的解为12x =，212x =；③1103x x +=的解为13x =，213x =；…… 解答下列问题： ①请猜想：方程1265x x +=的解为________； ②请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为1x a =，21x a=（0a ≠）； ③上题中的结论可以证明是正确的，请用该结论来解方程：315132x x x x -+=-．【拓2】24111181111x x x x +++=-+++．三、分式方程的应用：【例4】（20宝应模拟）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是（ ） A ．600060001520x x -=+ B ．600060001520x x -=+ C ．600060002015x x -=- D ．600060002015x x-=-【拓3】某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（ ） A ．()16040018120%x x +=+ B ．()16040016018120%x x -+=+ C ．1604001601820%x x -+= D ．()40040016018120%x x-+=+【例5】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度行驶，一小时后加速为原来的1.5倍，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小 时的平均速度．【拓4】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独 完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队 先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超 过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？四、真题演练：1．（21扬州三模）若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．3或42．（19仪征期中）定义：如果一个关于x 的分式方程a b x=的解等于1a b -，我们就说这个方程叫差解方程．比如：243x =就是个差解方程．如果关于x 的分式方程2mm x =-是一个差解方程，那么m 的值是（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-3．（20邗江月考）扬州轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是（ ） A ．30301.50.5x x +=B ．30301.50.5x x -= C ．30300.5 1.5x x +=D ．30300.5 1.5x x-=4．（21高邮期末）如果关于x 的不等式组521113()22m x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程28122my y y --=--有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和是（ ） A ．13 B ．15 C ．20 D ．225．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（21邗江期末）关于x 的方程1122m x x-=--有增根，则m 的值为________．7．（19宝应月考）若关于x 的分式方程21011m x x -=-+无解，则m =________．8．（18高邮期中）已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是________．9．（19江都期中）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是________．10．（20广陵期中）要使方程121x x a=--有正数解，则a 的取值范围是________．11．（21仪征期末）若关于x 的分式方程12221(2)(1)x x x ax x x x --+-=-+-+的解为负数，则a 的取值范围是________．12．（19邗江月考）对于非零实数a 、b ，规定21a ab b a⊗=-．若(21)1x x ⊗-=，则x 的值为________．13．（20仪征期中）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定{in }m h a b 、表示a 、b 中较小的数的一半，如min 2{}31h =、，那么方程22{i }m n h x x xx=-+、的解为________．14．（20仪征期中）定义运算“※”： , , aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若52x =※，则x 的值为________．15．（20仪征期中）若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++--+++++，则a 的值是________．16．（2021·扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问：原先每天生产多少万剂疫苗？17．（20邗江月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？18．（21邗江期末）对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为0，则x a =或x b =．因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程abx a b x+=+的两个解分别为1x a =，2x b =．利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程px q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =________，q =________；（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+两个解分别为1x ，2x （12x x <）．求12223x x -的值．19．（21高邮期末）八年级学生去距学校12km 的珠湖小镇游玩，一部分学生骑自行车先走，其余学生20min 后乘汽车出发，结果他们同时到达、已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．（1）求骑车学生的速度；（2）游玩中八（4）班班主任为增强班级凝聚力决定让全班学生在户外拓展区参加一次户外拓展活动，班主任根据该项目收费标准支付了1575元，请根据该项目收费信息确定全班人数．户外拓展收费标准：人数 收费 不超过30人 人均收费50元超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于40元20．（2020·扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单：商品 进价（元/件）数量（件）总金额（元）甲7200 乙3200李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
15.3分式方程（一）教学设计明德天心中学袁海英三维目标一、知识与技能1．通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义．2．通过观察、思考，归纳分式方程的概念．3．解分式方程的一般步骤．4．了解解分式方程验根的必要性．二、过程与方法1．通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，•经历和体会解分式方程的必要步骤． 2．使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，•认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径．三、情感态度与价值观1．培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，•培养严谨的治学态度．2．运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，•从而获得一种成就感和学习数学的自信心．教学重点1．解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法．2．明确解分式方程验根的必要性．教学难点明确分式方程验根的必须性．教具准备电脑、课件、投影仪．教学过程一、旧知回顾，新知奠基活动1、找出下列各组分式的最简公分母回忆一下 设计意图：去分母时，学生找不到最简公分母将会成为新授课的障碍，因此，课前先为新授课扫清障碍。
师生行为：教师展示问题，让学生思考、回顾，教师展示答案活动2 温故知新：解方程 初一已经学习过解含有分母的整式方程，通过解含有分母的整式方程，渗透对比学习的学法方法，为探究分式方程的解法做铺垫。
师生行为：教师展示问题，让学生一起回答，教师展示过程，师生回顾步骤二、创设问题情境、引入新课活动3想一想，做一做：一般轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100•千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设计意图：通过对实际问题的分析，感受分式方程是刻画现实世界的有效模型，用引言中的问题来提问，使整个教学过程贯穿一线，体现了本章问题解决的主线之一．师生行为：xx x x x x x x x x x x ------42,4)4(1,1234,32)2(2112）（，）（131221=++-x x教师展示问题，让学生思考、回顾，充分发表意见．经过分析，得出分式方程的概念．师生共析：设：江水的流速为v 千米/时，则：轮船顺流航行速度为（20+v ）千米/时，逆流航行速度为（20-v ）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为10020v +小时，逆流航行60千米所用的时间为6020v-小时． 根据“两次航行所用时间相等”可以得到方程：10020v +=6020v - 说明：这个方程的分母中含未知数v ，像这样的方程叫分式方程．即：分母中含未知数的方程叫做分式方程．活动4下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程设计意图：通过区分，进一步巩固分式方程概念师生行为：教师展示问题，学生一起作答，PPT 展示结果．三、讲授新课，探索分式方程的解法活动5思考：分式方程的特征是什么？如何解分式方程？设计意图： 首先要让学生理解分式方程的概念，然后通过分析分式方程的特点，找出与其他方程不同之处．结合方程的特点探索分式方程的解法，这样步步逼近，使学生认识到进一步学2(1)23x x -=437x y +=13(2)2x x =-(1)(4)1x x x -=-3(3)2x x π-=105126=-+x x ）（215=-x x ）（2131x x x++=习的必要性，激发学生学习的主动积极性．师生行为：教师提出问题，学生思考、讨论；对比含分数整式方程的解法，师生共同得出结论：师生共析：解方程：10020v +=6020v- 去分母，方程两边同时乘以各分母的最简公分母（20+v ）（20-v ）得100（20-v ）=60（20+v ）解得：v=5．检验：将v=5代入原方程中，左边＝4=右边，因此v=5是分式方程的解．由此可知：江水的流速为5千米/时．归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法．在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想（化归思想）。
活动6解方程：2110525x x +-- 设计意图：让学生尝试解分式方程，及时了解学生理解程度，并由此例说明分式方程检验的必要性．鼓励学生在独立思考的基础上，积极的参与到对数学问题的讨论中来，敢于发表自己的观点、见解．师生行为：教师出示例题，学生动手独立完成去分母，得出解的过程教师进行评价，提出质疑，然后进行说明强调．解：2110525x x +-- 去分母，在方程两边同时乘以最简公分母，（x-5）（x+5），得整式方程 x+5=10解得：x=5．师：x=5是原方程的解吗？生：将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母x-5和x 2-25的值都为0，•相应的分式无意义，所以……师：对，因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原方程2110525x x +--的解，实际上，•这个分式方程无解．活动7思考：在上面两个分式方程中，为什么10020v +=6020v -①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而2110525x x +--②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ 设计意图：让学生通过实践，激发学生积极思考，继续探索，将新知识更加系统化．师生行为：学生思考，分母讨论，发表自己的见解．教师给出增根概念，学生讨论增根产生原因。
．教师归纳：增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根，即使分母值为零的根产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.因此解分式方程可能产生增根，解分式方程必须检验 ( 代入最简公分母检验活动8解方程：311(1)(2)x x x x -=--+ 设计意图：在初步了解解分式方程的解法后，提出这个题，让学生尝试解答，从而激发了学生的求知欲，有利于提高学生的动手能力．同时让学生板演，共能展示问题，形成共识。
师生纠错后，谈一谈解分式方程容易出现的错误，有利于学生避免常见错误。
师生行为：教师出示例题，学生动手完成．两个学生上讲台板演。
师生共同交流容易出现的错误，总结归纳：解分式方程容易犯的错误有哪些？(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．整式部分乘以最简公分母时不添括号(2)约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号．(因分数线有括号的作用(3)增根不舍掉。
解分式方程的一般步骤如下：四、提升自我，关于增根活动9、1、如果 ，那么增根为 有增根x-2x -12-x 1=2、关于x 的方程 ，则a=3、若方程 无解，则m ＝设计意图：通过由浅入深一组习题的练习，进一步加深对增根的理解与运用，为学有余力的学生提供学习知识，形成技能的平台。
五、课时小结活动10小结布置作业 习题16．3 1；选做《全效学习》B 、C 组题设计意图：回顾本节课所学的内容，进一步巩固所学知识，及时了解学生掌握情况．分层布置作业，体现学校分层教学思路、师生行为：师生共同进行：学习了哪些知识？解分式方程的一般步骤是什么？教师重点强调解分式方程的三个步骤：（一去分母；二解整式方程；三检验）缺一不可．其次使学生明白、体验“转化”思想．板书设计16．3 分式方程（一）1．分式方程 （1）2110525x x +-- 3．解分式方程的一般步骤 特征：分母中含未知数 （1）去分母2．分式方程的解法 （2）：311(1)(2)x x x x -=--+ （2）解整式方程214x 1ax 的解是=+21125-=+-+x x m（1）10020v+=6020v-（3）检验6．作业备课资料一、巧去分母解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活的去分母技巧．1．叉乘【例1】解方程572 x x=-解：即7x=5（x-2），解得x=-5．检验略．【例2】解方程256 x xx x-=--解：即：x（x-6）=（x-2）（x-5），解得x=10．检验略． 2．换元【例3】解方程1122xx x-=---3解：设y=x-2，则x=y+2．原方程变为：1y=1y-2．亦即0=-2矛盾，故原方程无解． 3．对等【例4】解关于x的方程11a ba xb x+=+（a≠b）解：原方程化为：b a b ax ab--=．由于分子相等，那么分母必相等．得x=ab．检验略．4．并项【例5】解方程3233x x x =+-- 解：原方程可化为33x x --＝2，即1=2矛盾，故原方程无解． 5．拆项【例6】解方程8177x x x---- 解：原方程可化为：1-17x -+17x -=8，即1=8矛盾，故原方程无解． 6．通分【例7】解方程52552x x x+--＝1 解：通分，得25x x --＝0． 故x=0．检验略．7．相消【例8】解方程x-2+11x +=2x+11x + 解：分式相消，得x-2=2x ．故x=-2．检验略．二、小测:1、判断下列各式哪些是分式方程，哪些是整式方程。
是分式方程有 ，是整式方程有2、若方程 无解，则m= 523)6(,11)5(,053)4(,21)3(,3252)2(,1)1(x x x x x y x z y x y x +=-=+=+---=+=+π221+=+-x m x x3、解方程答案：1．（4）（5），（1）（2）（3） 2．-33．（1）x=1，（2）x=5教学反思：本节课的重点是分式方程的解法，将分式方程转化为整式方程是贯穿于这节课的思想方法，课前故知新环节对于含分母的整式方程的复习为去分母打了基础，课初对于最简公分母的复习也为去分母过程解除了障碍，通过习题的练习，师生共同纠错、讨论解分式方程常犯错误也为学生在解题过程中易出现的问题进行了有效提醒。
故学生对于分式方程的解法学得较为轻松，效果也颇佳。
对于增根的理解是本节课的难点，最初想法是通过例1学生的自我检验，发现所得根会使最简公分母会为零，从而通过思维碰撞共同讨论增根产生的原因，发现检验的必要性，课堂中也留给了学生充分思考和讨论的时间。
遗憾的是课堂容量较大，后面关于增根的提升自我部分没有能在课堂中及时完成。
3221)1(+=x x 34141)2(---=-x x x。