北师大版数学九年级上册 4.4 探索三角形相似的条件(1)

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北师大版九年级上册4.4探索三角形相似的条件(一)课件

从而，找到了在任何季节,在任何
第四章相似三角形
4.4 探索三角形相似的条件 (一)
1、会找相似三角形的对应边与对应角； 2、通过探索三角形相似的条件，体会
类比及分类的数学思想方法；
3、运用相似三角形的性质与判定解题.
相似三角形的定义
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做
相似三角形。
△ABC相似于△A'B'C'，记作△ABC∽△A'B'C'.
B
C
B'
C'
5、HL（直角三角形）
实践探究
如果两个三角形只有一个角相等，那么它们一定相似吗？能举例说明吗？
只有一角相等的两个三角形不一定相似.
实践探究
如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形一定相似吗？
请依据下列条件画三角形：同桌两人一组，分别画△ABC和△A'B'C'：
（1）使∠A= ∠A'＝45 ° ，∠B= ∠B' ＝30 °; （2）使∠A= ∠A' ＝60 ° ，∠B= ∠B'＝45 ° .
（1）使∠A= ∠A'＝45 ° ，∠B= ∠B' ＝30 °;
（2）使∠A= ∠A' ＝60 ° ，∠B= ∠B'＝45 ° .
画完后，请解答下列问题:
① ∠C =∠C' 吗？
② 先量出自己所画的三角形三边的长度，再合作求出
对应边的比: AB ，AC ，BC (比值精确到0.1），它们
相等吗？
AB AC BC
在这个基础上，法圼斯进一步研究，得出一个法则：在任意两个对应角相等的三角形中，对应边的比率也相等。从而，找到了在任何季节,在任何时候都能测塔高的方法.

北师大新版九年级上数学课件：4.4 探索三角形相似的

北师大版九年级(上)
4.4 探索三角形相似的条件(1)
问题情境
(1)相似多边形的定义是什么？各角分别相等，各边对应成比例的两个多边形叫做
相似多边形。
(2) 什么是相似三角形？三角分别相等，三边对应成比例的两个三角形叫做
相似三角形。
(3) 两个三角形满足哪些条件就全等？ ASA(AAS)、SAS、SSS、HL(Rt△)
解：(1)△DBA∽△ABC △DAC∽△ABC △DAC∽ △DBA
(2) ∵△DAC∽ △DBA

AD BD

DC AD
∴AD2=BD·DC
巩固练习
3、将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子 (图中所有点、线都在同一平面内)，请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并说明它们相似的理由。
巩固练习
4、如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的表示点O，再在他们所在的这一侧选点A、B、D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C。测得AC=120m，CB=60m，BD=50m，你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
课堂小结
相似三角形的判定定理： (1)两角分别相等的两个三角形相似；
合作交流
ⅰ、有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？
D
A
C
B
F
E
两角分别相等的两个三角形相似
合作交流
ⅱ、顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？ D
A
C
BF
E
两角分别相等的两个三角形相似
范例讲解
例2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D。 (1)请指出图中所有的相似三角形； (2)你能得出AD2=BD·DC吗？

北师大版九年级数学上册探索三角形相似的条件第1课时课件

及其判定定理1
知识梳理
课时学业质量评价
3. 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝8， BC ＝6， D 为 AB 上一点，
且 AD ＝2，若在 AC 边上取点 E ，使△ ADE 与△ ABC 类似，则 AE 的长
为

或

.
⁠
1
2
3
4
第1课时类似三角形的定义
及其判定定理1
知识梳理
2. 定理：两角分别
、三边
相等
成比例
知识梳理
课时学业质量评价
的两个三角形叫做类似三角形.
的两个三角形类似.
第1课时类似三角形的定义
及其判定定理1
1. 下列命题中，是真命题的是(
知识梳理
B
)
A. 两个等腰三角形类似
B. 有一个角都是120°的两个等腰三角形类似
C. 两个直角三角形类似
D. 有一个角都是30°的两个等腰三角形类似
课时学业质量评价
4. 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上一点，连接 DE ， F 为线
段 DE 上一点，且∠ AFE ＝∠ B . 求证：△ ADF ∽△ DEC .
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ∥ CD ， AD ∥ BC .
∴∠ C ＋∠ B ＝180°，∠ ADF ＝∠ DEC .
典例精讲
例1 如图4，D，E分别是△ABC 的边AB，AC上的点，
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC 的长.
解：∵ DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC
（两角分别相等的两个三角形类似）.

北师大版九年级上册数学4.4探索三角形相似的条件(一)(共19张PPT)

A
B
C
B1
A1 C1
三角形相似判定定理2:两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似。
用A1B1 B1C1
，∠B =∠B1 .
∴ △ABC∽△A1B1C1.
A
A1
B
C B1
C1
典例讲解
例1 如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
例3 已知：如图，AD，BC交于点O，AO•DO＝CO•BO 求证：△ABO∽△CDO．
如果那么
AB BC AC A1B1 B1C1 A1C1
△ABC与△A1B1C1 相似吗？
A
B
C
B1
A1 C1
三角形相似判定定理3:三边成比例的两三角形相似。
例3 已知：如图，AD，BC交于点O，AO•DO＝CO•BO
AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
相似三角形定义：我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
8.5 探索三角形相似的条件（一）
这两个是什么三角形？
那这样变化一下呢？
相似三角形定义：我们把对应角相等、对应边成比例的两个
三角形叫做相似三角形。
△ABC与△ A'B'C'相似表示为： △ABC∽△ A'B'C'
相似三角形的定义可以作为三角形相似的一种判定方法。
C
∵ ∠A= ∠ A' 、∠B= ∠ B'、∠C= ∠ C'
5 探索三角形相似的条件（一）
△ABC与△A1B1C1
∴ △ABC∽△A B C . 例4（1）根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：

北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件(1)》优质课件

手
形是否为相似三角形？
啊
新课导入
想一想
议一议
课堂练习
小
结
家庭作业
小结：
相似三角形的定义相似三角形的判定定理1
新课导入
想一想
议一议
课堂练习小结家庭作业
☞
祝同学们学习进步！
B
A' C
形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简
△ABC与△ A'B'C'是否相似?
单说成：两角对应相等，两三角形相
似。
B' C'
新课导入
想一想
议一议
课堂练习小结家庭作业
用数学符号表示：
A
A'
咦？是
这么表示的？
B
B' C'
C
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
4.4探索三角形相似的条件(一)
新课导入
想一想
议一议
课堂练习小结家庭作业
三角形相似需要一些什么条件?今天我们就来讨论一下这个问题!准备好了吗?
新课导入
想一想
议一议
课堂练习小结家庭作业
观察一下:这些图片有什么特点?
不错！这些图片都是相似的。形状相同、大小不同！
它们有什么相同点？
相似三
角形的定义
B
AB BC CA
可以作为三
A'B' B'C' C'A'
角形相似的
C'
一种判定方
∴ △ABC∽△A'B'C'

北师大版九年级数学上4.4探索三角形相似的条件(一)教学课件 (共16张PPT)

• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
判一判
判断下列说法是否正确？并说明理由.
√ 1.有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（）
2.有一个角相等的两个等腰三角形相似.
（×）
D
A
平行顶角型
D
E
B
C
（1）
B
C
（2）
A
A
E
E
D
B
（3）பைடு நூலகம்
CB
（4）
C
非平行共角型
D
E A
非平行顶角型
B
（5） C
问题解决
为了测量一个大峡谷的宽
度，地质勘探人员在对面的岩
石上观察到一个特别明显的标
志点O，再在他们所在的这一
侧选点A、B、D，使得AB┴AO，
DB┴AB，然后确定DO和AB的
O
交点C.测得AC=120m，
B
C
这样的两个三角形相似吗？请说明理由.
（2）改变а、β的度数（取自己喜欢的值），再试一试.
相似
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言： ∵_∠__A_＝__∠__A__′，__∠__B__＝__∠__B_′_，
∴_△__A__B_C_∽__△__A__′B__′C_′___.
A A′
B
C B′
CB=60m，BD=50m.
B 你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
C
A
D
1.本节课你有什么收获？你还有什么疑惑？ 2.三个角分别相等的两个三角形一定相似吗？ 3.你能说出相似三角形与全等三角形的联系和

数学北师大版九年级上册探索三角形相似的条件(一)

第四章图形的相似4.4 探索三角形相似的条件（一）说课稿一机四中赵鲜丽一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生以前学过平行线的条件，有此知识做基础，进一步学习三角形相似的条件，相信学生不难理解和掌握，本课时教学的关键是如何引导学生探索三角形相似的条件，并通过简单应用加强对知识的充分的掌握。

初步掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经学习了相似图形的基础知识了解了相似的基本概念，感受到相似图形之间的联系和区别；同时在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析基于学生对相似三角形认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：理解相似三角形的判定条件1，并能根据具体问题进行适当的判定。

但这仅仅是这堂课外显的教学目标，或者说是一个近期目标。

数学教学由一系列相互联系而又渐次递进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。

本课《相似三角形的条件1》内容从属于“相似图形”这一数学学习领域，因而务必服务于相似图形教学的远期目标：“让学生经历探索相似以及作出推断的全过程，发展学生的逻辑推理意识”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。

教学目标:1、会用直角的语言叙述相似三角形的定义；2、运用相似三角形的性质找对应边、对应角；3、会运用相似三角形的性质与判定解题；4、通过探索相似三角形的判定定理，丰富活动经验，发展几何直观。

教学重点：相似三角形的性质与判定。

教学难点：相似三角形判定的探索与运用。

三、教学过程分析本课时由如下几个环节构成：第一环节：复习回顾：复习相似多边形的定义第二环节：出示学习目标：让学生有目的地学习第三环节：导入新课：由相似多边形的定义引出相似三角形的定义，然后分析定义（既是性质又是判定），得出相似三角形的性质。

北师大版九年级数学上册：4.4《探索三角形相似的条件》课件(1)

相似与全等
思考
类比—新化旧
分
• 三角形全等的判定方法：
析
• 边角边(SAS);角边角 • 由边角边(SAS)可猜想:
(ASA);角角边(AAS);边• 两边对应成比例,且夹角
边边(SSS);斜边直角边相等的两个三角形相似;
•
(HL). 由角边角(ASA);角角边• (AAS);可知,有两个角对
• 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
A′
A
C′
B′ C
B
• 如图,在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,如果
AB AC . AB AC
那么△ABC∽△A′B′C′, (斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.)
这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法,务必引起重视.
想亲一历想知,做一识做的☞发生和发展
还能用其它方法来说明其正确性吗?
C
解法2:如图,设小正方 A ′
B′
形的边长为1,由勾股
C′
定理可得:
AB 8, AC 2 2; 且∠A=∠A′=450,
AB 4, AC 2; ∴△ABC∽△A′B′C′
AB AC 2. AB AC
(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.)
我思,我进步
猜一猜:
相似三角形对应中线的比与相似比的关系.
相似三角形对应中线的比等于相似比.理由是:A 如图∵△ ABC∽ △DEF.
∴∠B =∠E,
AB DE
又∵AM,DN分别是△
BC .
AEBFC和△DEF的B中线.M
D
C
BM EN
BC . EF
AB DE
BM EN
.且∠B =∠E.

4.4 探索三角形相似的条件课件(共22张PPT)北师大版数学九年级上册

A
B
C
D
E
2.有两条边对应成比例的两个三角形一定相似吗？
A
B
C
D
E
F
定理：两角相等的两个三角形相似。
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
探索新知
探索新知
知识点3 用两个条件可以判定两个三角形相似吗
3.有一条边对应成比例且有一个角相等的两个三角形一定相似吗？
1.判断：（1）两个全等三角形一定相似（2）两个等腰直角三角形一定相似（3）两个直角三角形一定相似（4）两个等边三角形一定相似（5）顶角相等的两个等腰三角形一定相似（6）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似
×
√
√
√
√
√
巩固练习
2.如图所示的三个三角形中，相似的是( )A．(1)和(2) B．(2)和(3)C．(1)和(3) D．(1)和(2)和(3)
A
巩固练习
例1：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC.AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
巩固提高
1
2
3
A字型
8字型或X型
有关三角形相似的基本图形
课堂小结
有关三角形相似的基本图形
子母型
一线三等角型或D
例题讲解
变式2：如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB.（1）找出图中的相似三角形并证明
（2）若AD＝2，AB＝6，AC＝4，求AE的长.
例题讲解
例2：如图，在△ABC中，点D是边AB上一点且∠ACD＝∠B.（1）找出图中的相似三角形并证明
（2）若BD＝6，AD＝2，则求AC的长.
例题讲解
变式1：D,E分别是△ABC的边所在直线AB,AC上的点，DE∥BC, AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.

4.4 探索三角形相似的条件北师大版九年级数学上册

的同侧，BE
交
AD
于点
F，BE
交
AC
于
4 探索三角形相似的条件(1)
4 探索三角形相似的条件(1)
点 M，AD 交 CE 于点 N. 4 探索三角形相似的条件(1)
4 探索三角形相似的条件(1) 4 探索三角形相似的条件(1)
4 探索三角形相似的条件(1)
(1)求证：AD＝BE； 4 探索三角形相似的条件(1)
式正确的是( D )
A.ABEE＝ADDC
B.AAEB＝AADC
C.AADC＝DECE
D.DBCE＝AADB
3．如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，则图中相似三角形共有( D )
A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对
4．如图，在△ABC 中，D 为 AC 边上一点，若∠DBC＝∠A，
BC＝ 6，AC＝3，则 CD 的长为( C )
第四章图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件(1)
1．相似三角形的定义
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
2．相似三角形的判定定理一
两角分别相等的两个三角形相似．数学表达式：在△ABC 与
△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.
3．相似三角形的判定定理一：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．在△ABC 和△A′B′C′中，
∵ ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ ，
∴△ABC∽△A′B′C′.
一、选择题
1．下列说法中，正确的是( B )
A.两个三角形不全等，那么它们也不相似 B.两个三角形不相似，那么它们也不全等 C.两个相似三角形一定不全等 D.两个全等三角形一定不相似

北师大版-数学-九年级上册-4.4 探索三角形相似的条件(1) 教案

探索三角形相似的条件（1）教学目的：1.使学生理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件．2.使学生掌握相似三角形判定定理1．3.使学生初步掌握相似三角形的判定定理1的应用．重点：准确找出相似三角形的对应边和对应角度．难点：掌握相似三角形判定定理1及其应用．教学过程：一、知识的梳理1.三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.2.∵∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C,AB:A’B’=BC:B’C’=AC:A’C’，(已知)∴△ABC ∽△A’B’C’（三角分别相等三边分别成比例的两个三角形相似）.二、知识的探究与同伴合作，两个人分别画△ABC 和△A′B′C′,使得∠A=∠A′都等于∠α，∠B 和∠B′都等于∠β，此时，∠C 与∠C′相等吗？对应边的比C B BC C A AC B A AB '''''',,相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试.相似三角形的判定方法：两角分别相等的两个三角形相似三、应用新知如图，D.E 分别是△ABC 边AB.AC 上的点，DE ∥BC ，AB=7，AD=5，DE=10，求BC 的长.解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C.∴△ADE ∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). ∴AD AB =DE BC .∴BC=AB×DE AD = 7×105=14.四、知识巩固1.D.E 分别是△ABC 边AB.AC 上的点，DE ∥BC ，AB=7，AD=5，DE=10，求BC 的长.解：∵DE ∥BC∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C∴△ADE ∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)∴AD DE ABBC = ∴BC=710145AB DE AD ⨯==2.如图，AC ∥BD试说明：△AOC ∽△BOD ；证明：∵AC ∥BD∴∠A=∠B ，∠C=∠D∴△AOC ∽△BOD3．等边三角形ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取点E ，F ，连接AF ，BE 相交于点P ，且AE ＝CF.(1)求证：AF ＝BE ，并求∠FPB 的度数；(3)若AE ＝2，求AP·AF 的值．解：(1)证明：△AFC ≌△BEA ，得AF ＝BE ，∠ABE ＝∠CAF ，从而得∠FPB ＝60°(2)由△APE ∽△ACF ，得AP AC ＝AE AF ，从而AP·AF ＝AE·AC ＝2×6＝12五、知识的回顾学习了什么？六、知识的检测习题.。