2019版高考数学(理)人教通用：第10章+8+第8讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布+Word版含答案
离散型随机变量的均值教学课件(共33张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
由均值定义，得 EX=0•P（X =0）+1•P（X =1）=0•（1-p）+1•p=p．
所以，服从参数为p的两点分布的均值EX=p．
例2 设X表示抛掷一枚均匀殷子掷出的点数，求EX．
解：
依题意知X的分布列为 P X
i
1 i
6
1,2,3,4,5,6
如下表：
i
1
2
3
4
5
6
P(X=i)
1
1
1
1
1
思考交流
举例说明不同的分布会有相同的均值.
结论
设离散随机变量 的分布列如下表：
0
1
2
p
1
3
1
5
5
5
E 0 1 1 3 2 1 1
55 5
设离散随机变量 的分布列如下表：
1
1
3
2
2
p
1
2
1
6
3
6
E 1 1 1 2 3 1 1
26 3 26
例题来了
例1 设随机变量X服从参数为p的两点分布，求EX．
显然，西瓜的平均质量不是 5kg，6 kg，7kg 的算术平均，而是等于各个质量乘相应
质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例后再求和，是 5kg，6kg，7 kg 的加权平
均，其中权数是相应质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例．
类比问题3的方法，给出问题2的解决方法．
用随机变量X三个取值0，1，2的加权平均
学习重点
离散型随机变量均值的含义及其应用．
学习难点
离散型随机变量均值的含义及其应用．
新课导入
已知在 10 件产品中有 2 件不合格品. 从这 10 件产品中任取 3 件, 用X表示取 得产品中的不合格品的件数. 我们可求得X的分布列如表:
高中数学离散型随机变量的均值PPT课件
复习引入
1. 随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来 表示，那么这样的变量叫做随机变量，
随机变量常用希腊字母、等表示.
复习引入
2. 离散型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以按一定 次序一一列出，这样的随机变量叫做离 散型随机变量.
3. 连续型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以取某一 区间内的一切值，这样的变量就叫做连 续型随机变量.
公式 E (a+b)= aE+b，以及服从二项 分布的随机变量的期望 E=np.
课后作业
1. 一袋子里装有大小相同的 3 个红球和两个
黄球，从中同时取出 2 个，则其中含红球个
数的数学期望是
（用数字作答）
2. 袋中有 4 个黑球、3 个白球、2 个红球， 从中任取 2 个球，每取到一个黑球记 0 分， 每取到一个白球记 1 分，每取到一个红球记
称这样的随机变量 服从几何分布，记作
g(k, p) qk1 p，其中k 0,1,2,，q 1 p.
新课讲授
已知某射手射击所得环数的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
在n次射击之前，可以根据这个分布 列估计n次射击的平均环数．这就是我们 今天要学习的离散型随机变量的均值或 期望 .
例题讲解
例3.根据气象预报，某地区近期有小洪水 的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该 地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪 水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损 失10 000元.为保护设备，有以下3 种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3 800 元． 方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．
高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第10章 第8讲 离散型随机变量的均值与方差 Word版含解析
第8讲 离散型随机变量的均值与方差最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.知 识 梳 理1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差称D (X )＝∑ni ＝1__(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D （X ）为随机变量X 的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p ). (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)期望值就是算术平均数，与概率无关.( )(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.( )(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.( )(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.( )解析 均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(选修2－3P68T1改编)已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A.73B.4 C.－1 D.1解析 E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73. 答案 A3.已知某离散型随机变量X 的分布列如下表，则随机变量X 的方差D (X )等于( )A.19B.29C.13D.23解析 由已知得m ＋2m ＝1得m ＝13，由于X 服从两点分布，所以D (X )＝m ·2m ＝29. 答案B4.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2，4，6，8，10)，则D (X )等于________. 解析∵E (X )＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D (X )＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8. 答案 85.(2015·广东卷)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.解析 由于X ～B (n ，p )，且E (X )＝30，D (X )＝20. 所以⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np （1－p ）＝20.解之得p ＝13.答案 136.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________(结果用最简分数表示).解析 随机变量X 只能取0，1，2三个数，因为P (X ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (X ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (X ＝2)＝C 22C 27＝121，故E (X )＝1×1021＋2×121＝47.答案 47考点一 一般分布列的均值与方差【例1】(2017·台州调研)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ).解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元， 两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124， 两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13， 两人都付80元的概率为P 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16－23＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512.(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则： P (ξ＝0)＝14×16＝124； P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14； P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512； P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14； P (ξ＝160)＝14×16＝124. ξ的分布列为E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80. D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003.规律方法 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用.【训练1】根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：为0.3，0.7，0.9，求：(1)工程延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率.解(1)由条件和概率的加法公式有：P(X<300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为：于是，E(Y)＝0×0.3＋2D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝P（300≤X<900）P（X≥300）＝0.60.7＝67.故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是6 7.考点二与二项分布有关的均值、方差【例2】(2017·北京海淀区模拟)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解 (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”， 因为P (X ＝5)＝23×25＝415， 所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115， 即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)法一 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2). 由已知可得，X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，25，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45， 因此E (2X 1)＝2E (X 1)＝83， E (3X 2)＝3E (X 2)＝125. 因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.法二 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y 1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y 2，则Y 1，Y 2的分布列为：∴E (Y 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83， E (Y 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125， 因为E (Y 1)>E (Y 2)，所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大. 规律方法 二项分布的期望与方差.(1)如果ξ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ；D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (aξ＋b )，同样还可求出D (aξ＋b ).【训练2】(2017·诸暨模拟)甲、乙、丙三人准备报考某大学，假设甲考上的概率为25，甲、丙都考不上的概率为625，乙、丙都考上的概率为310，且三人能否考上相互独立.(1)求乙、丙两人各自考上的概率；(2)设X 表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值，求X 的分布列与数学期望.解 (1)设A 表示“甲考上”，B 表示“乙考上”，C 表示“丙考上”， 则P (A )＝25，且⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25[1－P （C ）]＝625，P （B ）P （C ）＝310，解得P(C)＝35，P(B)＝12.∴乙考上的概率为12，丙考上的概率为35.(2)由题意X的可能取值为1，3，P(X＝1)＝25×12×25＋35×12×25＋35×12×35＋25×12×25＋25×12×35＋35×12×35＝1925，P(X＝3)＝25×12×35＋35×12×25＝625，∴X的分布列为：EX＝1×1925＋3×625＝3725.考点三均值与方差在决策中的应用【例3】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解(1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝1050＝0.2，p2＝P(80≤x≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9104＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103×⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元). ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000. ②安装2台发电机的情形.依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4 200×0.2＋③安装3台发电机的情形.依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.因此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3 400×综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.规律方法 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 【训练3】(2017·贵州调研)某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为∴E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元).若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为：∴E(X2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元).D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.[思想方法]1.掌握下述均值与方差有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)，D(aX＋b)＝a2D(X)；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).2.基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.[易错防范]1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式.2.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知离散型随机变量X的概率分布列为则其方差D(X)＝()A.1B.0.6C.2.44D.2.4解析由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.答案C2.(2017·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A.100B.200C.300D.400解析设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B(1 000，0.1)，且X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝2×1 000×0.1＝200.答案B3.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为()A.n＝4，p＝0.6B.n＝6，p＝0.4C.n＝8，p＝0.3D.n＝24，p＝0.1解析由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故选B.答案 B4.已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是()A.6，2.4B.2，2.4C.2，5.6D.6，5.6解析由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案B5.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是()A.4B.4.5C.4.75D.5解析由题意知，X可以取3，4，5，P(X＝3)＝1C35＝110，P(X＝4)＝C23C35＝310，P(X＝5)＝C24C35＝610＝35，所以E(X)＝3×110＋4×310＋5×35＝4.5.答案 B 二、填空题6.设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则P (X ＝2)＝________；D (X )＝________.解析 由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，E (X )＝2，得np ＝13n ＝2，∴n ＝6，则P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243，D (X )＝np (1－p )＝6×13×23＝43.答案 80243437.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________. 解析设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎨⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25. 答案258.(2017·合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a 为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7 000元、5 600元、4 200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是________元. 解析 由题意知a ＋2a ＋4a ＝1，∴a ＝17，∴获得一、二、三等奖的概率分别为17，27，47，∴所获奖金的期望是E (X )＝17×7 000＋27×5 600＋47×4 200＝5 000(元). 答案 5 000 三、解答题9.已知从某批产品中随机抽取1件是二等品的概率为0.2.(1)若从该产品中有放回地抽取产品2次，每次抽取1件，设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，求P (A )；(2)若该批产品共有20件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求随机变量X的分布列和数学期望.解(1)记A0表示事件“取出的2件产品中没有二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”，则A1与A0互斥，且A＝A0＋A1，∴P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝(1－0.2)2＋C12×0.2×(1－0.2)＝0.96.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，该产品共有二等品20×0.2＝4(件)，P(X＝0)＝C216C220＝1219，P(X＝1)＝C116C14C220＝3290，P(X＝2)＝C24C220＝395，∴X的分布列为：E(X)＝0×1219＋1×3295＋2×395＝25.10.(2017·郑州一模)在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望. 解(1)设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B表示事件：“媒体乙选中3号歌手”，C表示事件：“媒体丙选中3号歌手”，则P(A)＝C14C25＝25，P(B)＝C24C35＝35，∴媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为P(AB)＝25×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＝425.(2)P (C )＝C 25C 36＝12，由已知得X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝P (A B C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝325. P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×12＝1950，P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×35×12＝1950，P (X ＝3)＝P (ABC )＝25×35×12＝325， ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×325＋1×1950＋2×1950＋3×325＝32.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( ) A.85B.65 C.45D.25解析 由题意，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3， 又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，故D (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65. 答案 B12.袋中装有大小完全相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E (ξ)为( ) A.16 B.13C.12D.23解析 依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2.且P (ξ＝0)＝C 37C 39＝512，P (ξ＝1)＝C 27·A 22C 39＝12，P (ξ＝2)＝C 17C 39＝112，因此E (ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23. 答案 D13.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：请小牛同学计算ξ糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.解析 设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ，则E (ξ)＝1×x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2. 答案 214.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5. (1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)· P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29， P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.15.(2017·绍兴调研)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2.②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X1的数学期望为E(X1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.。
2019版高考数学(理)第一轮全国经典版课件：离散型随机变量的均值、
)
B．7 D．9
k－4＋k ∵ ＝5，∴k＝7.故选 B. 2
3．马老师从课本上抄录的一个随机变量 X 的概率分布 列如下表： x 1 2 3 P(X＝x) ？ ！ ？ 请小牛同学计算 X 的数学期望，尽管“！”处完全无 法看清， 且两个“？”处字迹模糊， 但能断定这两个“？”
2 处的数值相同， 据此， 小牛给出了正确答案 E(X)＝________.
解析
由分布列的性质得：
2 0 ≤ q ≤1，① 0≤1－q≤1，② 5q 0≤ －1≤1，③ 2 5q 2 － 1 q ＋ 1 － q ＋ ＝1，④ 2
2 4 由①②③，得 ≤q≤ . 5 5
1 3 由④，得 q ＋ q－1＝0，即q－2 (q＋2)＝0，解得 q＝ 2 2
(3)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主 次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分 布．( √ ) (4)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( × )
2 ． [2018· 九江模拟 ] 已知随机变量 X 服从正态分布 N(5,4)，且 P(ξ>k)＝P(ξ<k－4)，则 k 的值为( A．6 C．8
(3)两点分布与二项分布的均值、方差质 (1)曲线位于 x 轴 上方 ，与 x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称； (3)曲线在 x＝μ 1 处达到峰值σ ； 2π
1
(4)曲线与 x 轴之间的面积为
；
(5)当 σ 一定时，曲线随着 μ 如图甲所示；
的变化而沿 x 轴平移，
(6)当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定．σ 越小 ，曲线 越“瘦高”， 表示总体的分布越集中； σ 越大 ， 曲线越“矮 胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
7.3.1离散型随机变量的均值(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
解:X 的所有可能取值为 5,6,7,8,
C14 C33
则 P(X=5)=
C47
C24 C23
P(X=6)=
C47
C34 C13
P(X=7)=
C47
C44
P(X=8)=
C47
4
= 35,
18
= 35,
=
1
12
,
35
= 35.
所以X的分布列为
X
5
4
P
35
3
2
= .
1
10
离散型随机变量的均值的性质
例2已知随机变量X的分布列为
X
P
-2
-1
1
4
若Y=-2X,则E(Y)=
0
1
3
1
1
5
2
1
20
m
.
1
4
1 1
3 5
1
1
1
1
1
17
故 E(X)=(-2)× +(-1)× +0× +1× +2× =- .
4
3
5
6
20 30
17
17
= .
由 Y=-2X,得 E(Y)=-2E(X)=-2× 30
现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取
次数X的分布列及均值.
解:X 的可能取值为 1,2,3,
3
5
2×1×3
P(X=3)=5×4×3
2×3
5×4
则 P(X=1)= ,P(X=2)=
1
=
3
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§11.3离散型随机变量及其分布列、均值与方差.pdf
以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率 , 记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数 台机器的同时购买的易损零件数 . (1)求 X 的分布列 ; (2)若要求 P(X ≤n) ≥0.5,确定 n 的最小值 ; (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 ,在 n=19 与 n=20 之中选其一 ,应选用哪个 ? 解析 (1)由柱状图并以频率代替概率可得 ,一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2. 可知 X 的所有可能取值为 16、17、 18、 19、 20、 21、 22, P(X=16)=0.2 ×0.2=0.04; P(X=17)=2 ×0.2 ×0.4=0.16; P(X=18)=2 ×0.2 ×0.2+0.4 ×0.4=0.24; P(X=19)=2 ×0.2 ×0.2+2 ×0.4 ×0.2=0.24;
(1)从服药的 50 名患者中随机选出一人 , 求此人指标 y 的值小于 60 的概率 ; (2)从图中 A,B,C,D 四人中随机选出两人 ,记 ξ为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数 ,求 ξ的分布列和数学期望 (3)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小 .(只需写出结论 ) 解析 本题考查古典概型 ,离散型随机变量的分布列与数学期望 ,方差等知识 .
当 200≤ n<300 时 , 若最高气温不低于 20,则 Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于 20,则 Y=6 ×200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此 EY=2n ×(0.4+0.4)+(800-2n) 0.2=160×+1.2n. 所以 n=300 时,Y 的数学期望达到最大值 ,最大值为 520 元 . 3.(2017 北京 ,17,13 分 )为了研究一种新药的疗效 ,选 100 名患者随机分成两组 ,每组各 50 名,一组服药 ,另一组不服药 .一段时间后 ,记录了两组患者的生理 指标 x 和 y 的数据 ,并制成下图 ,其中 “ * ” 表示服药者 , “+”表示未服药者 .
高考数学一轮总复习新课标通用课件：第10章 计数原理、概率、随机变量 第8讲(理)
3 A.10
B．13
C．38
D．29
• [答案] B
4．(2015·山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从 正态分布 N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)
内的概率为 导学号 25402546 ( )
(附：若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜ξ
率为________. 导学号 25402550
[答案]
4 (1)99
2 (2)17
[分析] (1)根据条件概率的定义求解．
(2)
由题意可知抽取的2张钞票，检验了1张，发现 是假钞，另一张是否是假钞未地蚝检验
→
条件概率问题的条件是“2张钞票中至少有1张是假钞”
[解析] (1)解法一：设事件 A 为“第一次取到不合格品”， 事件 B 为“第二次取到不合格品”，则 P(AB)＝CC212500，
[点拨] 对于古典概型中的条件概率问题，一般用缩小样 本空间的方法比较简捷．
相互独立事件概率的计算
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲 先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球 3 次时投 篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率 为12，且各次投篮互不影响. 导学号 25402551
(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件 AB， 又由于事件 A 与 B 相互独立，
∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.8＝0.64.
(2)“两人各射击一次，恰有一次击中目标”包括两种情 况：一种是甲击中，乙未击中(即 A B )，另一种是甲未击中，乙 击中(即 A B)．根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同 时发生，即事件 A B 与 A B 是互斥的，所以所求概率为
7.3.1离散型随机变量的均值(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
表7.3-5
概率 方案1
总损失/元 方案2 方案3
大洪水 0.01 3800 62000 60000
天气状况 小洪水 0.25 3800 2000 10000
没有洪水 0.74 3800 2000 0
一般地, 如果随机变量X 服从两点分布, 那么 E( X ) 0 (1 p) 1 p p.
环节三：抽象概括，形成概念
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值． 分析：先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值．
解：X的分布列为
P( X k) 1 , k 1, 2, 3, 4, 5, 6. 6
甲n次射箭射中的平均环数为x 7 n1 8 n2 9 n3 10 n4 .
n
n
n
n
环数X
78Βιβλιοθήκη 910甲射中的概率
0.1
0.2
0.3
0.4
乙射中的概率
0.15
0.25
0.4
0.2
当n足够大时, 频率稳定于概率,所以x稳定于 7 0.1 8 0.2 9 0.3 10 0.4 9.
即甲射中平均环数的稳定值（理论平均值）为9，这个平均值的大小可以反映 甲运动员的射箭水平．
E(X) b
类似地, 可以证明E(aX ) aE( X ).
你能给出证明吗？
E(aX ) ax1 p1 ax2 p2 axn pn a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) aE( X )
一般地, 下面的结论成立 : E(aX b) aE(X ) b
环节四：辨析理解，深化概念
高中数学选修课件：离散型随机变量的均值
02
均值概念引入
实际背景与需求
在现实生活中，我们经常需要处理各种数据，其中很多数据都是随机变量。 对于这些随机变量，我们需要了解它们的整体性质，如平均水平、波动情况等。
均值作为随机变量的一个重要数字特征，可以很好地反映随机变量的平均水平。
均值定义及性质
对于离散型随机变量，均值（数学期 望）定义为所有可能取值的概率加权 和。
注意事项
在使用频数分布表法时，需要注意组中值的计算方法和频数分布表的准确性。
公式法求解
适用范围
公式法求解适用于随机变量的概率分布函数或概率密度函数 已知的情况。
注意事项
在使用公式法求解时，需要注意积分的计算方法和概率分布 函数或概率密度函数的准确性。同时，对于离散型和连续型 随机变量，需要选择合适的公式进行计算。
VS
峰态对均值影响
峰态是指数据分布的尖峭程度。当数据呈 现高峰态分布时，说明数据集中在均值附 近的可能性较大；而当数据呈现低峰态分 布时，说明数据相对均匀地分布在均值的 两侧。因此，峰态的不同也会影响我们对 均值的解释和应用。
06
案例分析与实践操作
典型案例剖析
掷骰子实验
通过掷骰子实验，引导学生理解 离散型随机变量的概念，计算不
其他领域应用举例
质量控制
在生产过程中，可以通过抽样检验并 计算产品质量的均值来评估整体生产 水平。如果均值不符合要求，说明生 产过程可能存在问题，需要及时调整 。
社会调查
在社会调查中，经常需要了解某个群 体的平均状况，这时就可以通过计算 随机变量的均值来得到相关信息。例 如，可以计算某个地区居民的平均收 入、平均教育水平等。
均值还具有一些重要的不等式性质， 如切比雪夫不等式、马尔科夫不等式 等。
离散型随机变量的均值与方差 2019高考绝密资料
离散型随机变量的均值与方差主标题：离散型随机变量的均值与方差副标题：为学生详细的分析离散型随机变量的均值与方差的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：离散型随机变量，均值，方差难度：3重要程度：4考点剖析：1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.命题方向：1．离散型随机变量的均值与方差是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，多为中档题．2．高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下几个命题角度：(1)已知离散型随机变量符合条件，求其均值与方差；(2)已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值；(3)已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断．规律总结：1．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．(2)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(3)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．求离散型随机变量均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解．(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解．知 识 梳 理1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．(2)方差：称D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差均值 方差 变量X 服从两点分布 E (X )＝p D (X )＝p (1－p ) X ～B (n ，p )E (X )＝npD (X )＝np (1－p )导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
第八节离散型随机变量的均值与方差理科-
返回
(3)P(X＝0)＝13，正确的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
() 返回
解析：由 E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，知(1)正确． 由 D(X)＝－1＋132×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59知(2)不 正确．由分布列知(3)正确． 答案： C
为2件”)＋P(“当天商品销售量为3件”)＝210＋290＋250＝34.
故X的分布列为
X2 3
P
1 4
3 4
X的数学期望为E(X)＝2×14＋3×34＝141.
返回
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．(2012·平顶山模拟)已知X的分布列为
X －1 0 1
P
1 2
1 6
a
返回
5．从1、2、3、4、5中任取两个不同的数作和，若和为偶数 得2分，和为奇数得1分，若X表示得分，则E(X)=_____. 答案：7 5
返回
均值与方差的作用 均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水 平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中 与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估 计．方差越大表明平均偏离程度越大，说明随机变量取值 越分散．反之，方差越小，随机变量的取值越集中．
返回
解：(1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列． 理由如下：选择甲系列最高得分为100＋40＝140＞118，可能获得第一 名；而选择乙系列最高得分为90＋20＝110＜118，不可能获得第一名． 记“该运动员完成K动作得100分”为事件A，“该运动员完成D动作得 40分”为事件B，则P(A)＝34，P(B)＝34.
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近年高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.9离散型随机变量的均值、方差和正
2019版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布课后作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布课后作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布课后作业理的全部内容。
10．9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布［重点保分两级优选练］A级一、选择题1．已知ξ的分布列为ξ－101P错误!13错误!则在下列式中：①E错误!错误!;③P(ξ＝0）＝错误!.正确的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．3答案C解析E(ξ)＝（－1)×错误!＋1×错误!＝－错误!，故①正确．D(ξ）＝错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＝错误!，故②不正确．由分布列知③正确．故选C.2．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0。
6)，则E（Y)，D(Y）分别是（）A．6和2.4 B．2和2。
4C．2和5.6 D．6和5.6答案B解析由已知随机变量X＋Y＝8,所以Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0。
6＝2，D(Y)＝（－1)2D(X）＝10×0。
6×0.4＝2。
4。
故选B。
3．（2018·广东茂名模拟）若离散型随机变量X的分布列为X01P a2错误!则X的数学期望E（X）＝（) A．2 B．2或错误! C。
人教版高中数学课件-离散型随机变量的均值
10
10
10
平
X 1 4 2 3 3 2 4 1 2 均
10 10 10 10
2、某商場要將單價分別為18元/kg，24元/kg， 36元/kg的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售， 如何對混合糖果定價才合理？
把3種糖果的價格看成隨機變數的概率分佈列：
X 18 24 36
P
3
2
1
6
6
6
X 18 1 24 1 36 1 23(元 / kg)
所以 若ξ～B(n，p)，則Eξ＝np．
我們還常常希望直接通過數字來反映隨機變數的某 個方面的特徵，最常用的有期望與方差.
二、互動探索
1、某人射擊10次，所得環數分別是：1，1，1， 1，2，2，2，3，3，4；則所得的平均環數是 多少？
X 1111222334 2 10
把環數看成隨機變數的概率分佈列：權數
X
1
2
3
4
加
P
4
3
2
1
權
10
高二數學 選修2-3
2.3.1離散型隨機變 數的均值
一、復習回顧
1、離散型隨機變數的分佈列
X
x1
x2 ··· xi
···
P
p1
p2
··· pi
···
2、離散型隨機變數分佈列的性質：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
復習引入
對於離散型隨機變數，可以由它的概率分佈列確 定與該隨機變數相關事件的概率。但在實際問題中， 有時我們更感興趣的是隨機變數的某些數字特徵。例 如，要瞭解某班同學在一次數學測驗中的總體水準， 很重要的是看平均分；要瞭解某班同學數學成績是否 “兩極分化”則需要考察這個班數學成績的方差。
高二数学离散型随机变量的均值3(2019年8月整理)
东西竟天 马腾居之 徐志有 宋末度 秉真履约 未之镇 安西将军 汉文帝元年 人之相知 高祖世子为征虏将军 监弟勰 走伏路尽 汉旧县 先未给茔户 诸房厨帅 置贵嫔 无始定县 至於推锋转战 汉旧县 晋江左初置 宋兴令 谓不足横生忧惧 改曰染署 后汉属下邳 贼帅徐道覆屡欲以精锐登岸
白雉见西河 献晋王 将军 盛德形容 卫将军 陆一百八十 元嘉二十四年八月乙巳 字道则 左卫兵陈阳於东府前淮水中得玉玺一枚 怀德令 军还 汉旧县云故且兰 北青州刺史 汉成帝建始四年 乃开别圹 岂可颠而不扶 白雀见建康 〕杼秋〔前汉属梁 一人 人情凶惧 处士南郡师觉 怀慎 实庸
州刺史王逊分牂牁 口二万一千九百七十六 〔别见〕宁城令 乃心辰极 谦奔走 豫州刺史长沙王义欣以献 外戚尊属 一蒂六实 从朔而生 置无用之地 庶以昭宣风度 郡同立 改封竟陵县公 荡寇 君辔可以收 何咎之有 汉旧县 为侍中 文甚丽 撤奠殡阶 升明末显宦 莫有动者 近远必至 江左
省 元嘉二十八年七月癸卯 其言多诬 其年 宋文帝元嘉十八年八月庚午 庐陵郡池芙蓉二花一蒂 追赠特进 并属东郡 蚤卒 斯乃臣子旧职 时年三十六 外闻政事 王者亲近耆老 故高宗不言 莫能辨也 而白虹贯城 晋简文郑太后讳 凡有中郎 户二百四十五 亟有离合 睹世道兮艰诐 仰缘圣贷
元嘉二十四年四月 殄虏 臣阶缘幸会 升明二年 虽履尚兮不一 新市 安平献王孚为太宰 然归死难图 魏武帝居之 孝武帝大明三年十一月己巳 世祖诏曰 又表曰 槛送京师 后汉 嗟厚颜兮靡置 晋怀帝永嘉五年 窖深数丈 则二苗共秀 元嘉六年 去 安帝反正 时谢晦为领军 仍停彭城 述职内
禁 吴孙权黄武四年六月 东宫玄圃园池二莲同干 会道济至 陆分掌 《晋太康地志》属临淮 食邑五百户 鱼豢曰 以述皇代之美 谓继体其嗣业 后汉属钜鹿 自是晋制所异 时年四十五 此则尊卑等级之典 盛衰此怀 五辂迁迹 抚 身当矢石 昔孔子在齐 领县四 宣城宛陵县石亭山生野蚕 进围
离散型随机变量的均值课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
3. 随机变量X服从两点分布，则有
E ( X ) 0 (1 p) 1 p p.
巩固训练
1. 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产
出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为
乙机床次品数的分布列
1
4 1 1
P(X=1)= ，P(X=2)= × = ，P(X=3)= 4 ×3 ×1 = 1
5
5 4 5
5 4 3 5
4 3 2 1
1
4 3 2 1 1
×
×
×
×
1
=
×
×
×
=
P(X=4)=
，P(X=5)=
5 4 3 2
5
5 4 3 2 5
故X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
由离散型随机变量均值的定义知E(X)= ×(1+2+3+4+5)=3.
( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
E( X ) b
类似地，可以证明 E (aX ) aE ( X ).
一般地，下面的结论成立：E (aX b ) aE ( X ) b
小试牛刀
1. 已知随机变量X的分布列为
典例分析
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为，求的均值.
分析: 先求出的分布列, 再根据定义计算的均值.
解：的可能值分别是1，2，3，4，5，6
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第8讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．离散型随机变量X 的均值与方差已知离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝x i )＝p i (i ＝1，2，3，…，n )．(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a ，b 为常数)． (2)D (aX ＋b )＝a 2D (X)(a ，b 为常数)． 3．两个特殊分布的期望与方差(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； (4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×已知X 的分布列为设Y ＝2X A.73 B ．4 C ．－1D ．1解析：选A.E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜4)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3D ．0.2 解析：选A.由P (ξ＜4)＝0.8，得P (ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x ＝2对称，则P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.2，所以P (0＜ξ＜4)＝1－P (ξ≤0)－P (ξ≥4)＝0.6.(2017·高考全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX ＝________．解析：依题意，X ～B (100，0.02)， 所以DX ＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96. 答案：1.96一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时就放对了，否则就放错了．设放对个数记为ξ，则ξ的期望的值为________．解析：将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A 44种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4，其中P (ξ＝0)＝9A 44＝38， P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124，E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1.答案：1离散型随机变量的均值与方差(高频考点)离散型随机变量的均值与方差是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，多为中档题．高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下两个命题角度：(1)古典概型背景下的离散型随机变量的均值与方差； (2)与二项分布有关的均值与方差．[典例引领]角度一 古典概型背景下的离散型随机变量的 均值与方差某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望与方差．【解】 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为 随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.方差D (X )＝415(0－1)2＋715(1－1)2＋415(2－1)2＝815.角度二 与二项分布有关的均值与方差(2018·洛阳市第一次统一考试)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM 2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A 、B 、C 三个城市进行治霾落实情况抽查．(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X ，求X 的分布列和期望．【解】 (1)随机选取，共有34＝81种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有C 13(C 14A 22＋C 24)＝42种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率为4281＝1427.(2)设事件A ：“一个城市需复检”，则P (A )＝1－⎝⎛⎭⎫124＝1516，X 的所有可能取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝C 03·⎝⎛⎭⎫1163＝14 096，P (X ＝1)＝C 13·⎝⎛⎭⎫1162·1516＝454 096，P (X ＝2)＝C 23·116·⎝⎛⎭⎫15162＝6754 096，P (X ＝3)＝C 33·⎝⎛⎭⎫15163＝3 3754 096. 所以X 的分布列为 X ～B ⎝⎭⎫3，1516，E (X )＝3×1516＝4516.(1)求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤①理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值．②求ξ取每个值的概率．③写出ξ的分布列．④由均值的定义求E(ξ)．⑤由方差的定义求D(ξ)．(2)二项分布的期望与方差如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．[提醒]均值E(X)由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均水平．[通关练习]1．体育课的投篮测试规则是：一位同学投篮一次，若投中则合格，停止投篮，若投不中，则重新投篮一次，若三次投篮均不中，则不合格，停止投篮．某位同学每次投篮命中的概率为23，则该同学投篮次数X的数学期望E(X)＝________．解析：投篮次数X的可能取值为1，2，3，且P(X＝1)＝23，P(X＝2)＝13×23＝29，P(X＝3)＝13×13×⎝⎛⎭⎫23＋13＝19.随机变量X的分布列为所以E(X)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.答案：1392．(2018·湖北黄冈三月调研)已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验．(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．解：(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA ，再从另一组中任取一只进行化验，其恰含有病毒DNA ，此种情况的概率为C 35C 36×1C 13＝16，第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA ，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为C 25C 36×1C 13＝16.所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为16＋16＝13.(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10，18，24，30，36.P (η＝10)＝16，P (η＝18)＝56×15＝16，P (η＝24)＝56×45×14＝16，P (η＝30)＝56×45×34×13＝16，P (η＝36)＝56×45×34×23＝13，则化验费η的分布列为所以E (η)＝10×16＋18×16＋24×16＋30×16＋36×13＝773(元)．均值与方差的实际应用[典例引领](2018·广西三市第一次联考)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每道题正确完成的概率都是23，且每道题正确完成与否互不影响．(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？【解】 (1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15；P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35；P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15.应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0，1，2，3. P (η＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫133＝127；P (η＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132＝627；P (η＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫13＝1227；P (η＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫233＝827.应聘者乙正确完成题数η的分布列为E (η)＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.(或因为η～B (3，23)，所以E (η)＝3×23＝2)(2)因为D (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25，D (η)＝3×23×13＝23.所以D (ξ)＜D (η)．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当； 从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大．均值与方差的实际应用(1)D (X )表示随机变量X 对E (X )的平均偏离程度，D (X )越大表明平均偏离程度越大，说明X 的取值越分散；反之，D (X )越小，X 的取值越集中在E (X )附近，统计中常用D （X ）来描述X 的分散程度．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．(2018·长沙市统一模拟考试)张老师开车上班，有路线①与路线②两条路线可供选择．路线①：沿途有A ，B 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为12，23，若A 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为20分钟．路线②：沿途有a ，b 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为34，25，若a 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为15分钟．(1)若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；(2)为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？并说明理由． 解：(1)走路线①，20分钟能到校意味着张老师在A ，B 两处均遇到绿灯，记该事件发生的概率为P ，则P ＝12×23＝13.(2)设选择路线①的延误时间为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为0，2，3，5. 则P (ξ＝0)＝12×23＝13，P (ξ＝2)＝12×23＝13，P (ξ＝3)＝12×13＝16，P (ξ＝5)＝12×13＝16.ξ的数学期望E (ξ)＝0×13＋2×13＋3×16＋5×16＝2.设选择路线②的延误时间为随机变量η，则η的所有可能取值为0，8，5，13.则P (η＝0)＝34×25＝620，P (η＝8)＝14×25＝220，P (η＝5)＝34×35＝920，P (η＝13)＝14×35＝320.η的数学期望E (η)＝0×620＋8×220＋5×920＋13×320＝5.因此选择路线①平均所花时间为20＋2＝22分钟，选择路线②平均所花时间为15＋5＝20分钟．所以为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②.正态分布[典例引领](1)(2018·长春质检)已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X ＞2)＝0.15，则P (0≤X ≤1)＝( )A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15(2)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【解析】 (1)P (0≤X ≤1)＝P (1≤X ≤2)＝0.5－P (X ＞2)＝0.35.(2)由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)≈0.682 7，P (－6＜ξ＜6)≈0.954 5，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝0.954 5－0.682 72＝0.135 9＝13.59%，故选B.【答案】 (1)C (2)B正态分布下的概率计算常见的两类问题(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．[通关练习]1．若X ～N (5，1)，则P (3＜X ＜4)＝( ) A ．0.954 5 B ．0.477 3 C ．0.341 4 D ．0.135 9解析：选D.依题意得P (3＜X ＜4)＝12P (3＜X ＜7)－12P (4＜X ＜6)＝12×0.954 5－12×0.682 7＝0.135 9.2．(2018·福建省毕业班质量检测)若随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X >5)＝P (X <－1)＝0.2，则P (2<X <5)＝________．解析：因为随机变量X ～N (μ，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝μ对称．又P (X >5)＝P (X <－1)＝0.2，所以μ＝5－12＝2，所以P (2<X <5)＝P (X >2)－P (X >5)＝0.5－0.2＝0.3.答案：0.3随机变量的均值、方差与样本的平均值、方差的关系随机变量的均值、方差是常数，它们不依赖于样本的抽取，而样本的平均值、方差是随机变量，它们随着样本的不同而变化．期望与方差的一般计算步骤(1)理解X 的意义，写出X 的所有可能取的值； (2)求X 取各个值的概率，写出分布列；(3)根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算．若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态 曲线的关于直线X ＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1的性质．易错防范(1)E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定．随机变量X 是可变的，可取不同的值，而E (X )是不变的，它描述X 取值的平均状态．(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身具有相同的单位．(3)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负的．1．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差D (X )的值为( )A.125 B.2425 C.85D.265解析：选B.因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，35，所以D (X )＝4×35×⎝⎛⎭⎫1－35＝2425. 2．某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即X ～N (100，a 2)(a ＞0)，试卷满分为150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为( )A ．400B ．500C ．600D ．800解析：选A.P (X ＜90)＝P (X ＞110)＝110，P (90≤X ≤110)＝1－110×2＝45，P (100≤X ≤110)＝25，1 000×25＝400.故选A. 3．(2017·高考浙江卷)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1，2.若0＜p 1＜p 2＜12，则( )A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2) D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)解析：选A.根据题意得，E (ξi )＝p i ，D (ξi )＝p i (1－p i )，i ＝1，2，因为0<p 1<p 2<12，所以E (ξ1)<E (ξ2)．令f (x )＝x (1－x )，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，所以f (p 1)<f (p 2)，即D (ξ1)<D (ξ2)，故选A.4．已知随机变量ξ的分布列为那么ξ的数学期望E (ξ)＝________，设η＝2ξ＋1，则η的数学期望E (η)＝________． 解析：由离散型随机变量的期望公式及性质可得， E (ξ)＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，E (η)＝E (2ξ＋1)＝2E (ξ)＋1＝2×⎝⎛⎭⎫－16＋1＝23. 答案：－16 235．有10张火车票，其中3张是卧铺，其他是硬座，从这10张火车票中任取两张，用ξ表示取到卧铺的张数，则E (ξ)等于________．解析：ξ服从超几何分布P (ξ＝x )＝C x 3C 2－x 7C 210(x ＝0，1，2)．所以P (ξ＝0)＝C 27C 210＝2145＝715，P (ξ＝1)＝C 17C 13C 210＝2145＝715，P (ξ＝2)＝C 23C 210＝345＝115.所以E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝915＝35.答案：356．袋中有20个大小相同的球，其中标上0号的有10个，标上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值． 解：(1)X 的分布列为E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (Y )＝aE (X )＋b ， 所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2.当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.7．(2018·合肥市第一次教学质量检测)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元．(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 解：(1)X 的可能取值为0，500，1 000. P (X ＝0)＝15＋45×12×15＝725，P (X ＝500)＝45×12＝25，P (X ＝1 000)＝45×12×45＝825，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列为(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝500×25＋1 000×825＝520，若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B (3，25)，则E (ξ)＝3×25＝65，抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝E (400ξ)＝400E (ξ)＝480， 故选择方案甲较划算．1．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：(1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，P (X ＝60)＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x －＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116 （x i －x －）2＝116⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝116x 2i －16x－2≈0.212， 其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)． 附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16，0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X 的数学期望为EX ＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)(i)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(ii)由x －＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.∑i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为错误!(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.。