四川省成都七中高高考数学三轮冲刺综合训练(八)理

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2022年四川省成都七中高考数学三诊试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年四川省成都七中高考数学三诊试卷（理科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U 是实数集R ，已知集合，，则( )A.B.C.D.2.已知i 为虚数单位，则( )A.B. 1C.D.3.在下列给出的四个结论中，正确的结论是( ) A. 已知函数在区间内有零点，则B. 6是3与9的等比中项C. 若，是不共线的向量，且，，则D. 已知角终边经过点，则4.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )A. B. C. D.5.在区间中随机取一个实数k ，则事件“直线与圆相交”发生的概率为( )A. B.C. D. 6.已知数列是等比数列，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.袋中有m个红球，n个白球，p个黑球，从中任取1个球每个球取到的机会均等，设表示取出红球个数，表示取出白球个数，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，8.已知中，点P为BC边上的动点，则的最小值为( )A. 2B.C.D.9.在正方体中，E，F，G分别为，BC，的中点，现有下面三个结论：①为正三角形；②异面直线与所成角为；③平面其中所有正确结论的编号是( ) A. ① B. ②③ C. ①② D. ①③10.已知，是双曲线的左，右焦点，其半焦距为c，点P在双曲线E上，与x轴垂直，到直线的距离为，则双曲线E的离心率为( )A. B. C. D. 211.设过定点的直线l与椭圆C：交于不同的两点P，Q，若原点O在以PQ为直径的圆的外部，则直线l的斜率k的取值范围为( )A. B.C. D.12.若关于x的不等式的非空解集中无整数解，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.有甲乙丙三项任务，甲乙各需一人承担，丙需2人承担且至少一个是男生，现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是______用数字作答14.已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，若，，且的面积是，则______.15.三棱锥中，平面ABC，，，，Q是BC边上的动点，且直线PQ与面ABC所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为______.16.对于函数，有下列4个命题：①任取、都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立．则其中所有真命题的序号是______.三、解答题：本题共7小题，共82分。

2024年成都七中高三数学(理)三模考试卷附答案解析

2024年成都七中高三数学（理）三模考试卷时间：120分钟满分：150分2024.04一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若向量(),4a x = 与向量()1,b x = 是共线向量，则实数x 等于（）A ．2B ．2-C ．2±D ．02．复数3i1iz +=-（其中i 为虚数单位）的共轭复数为（）A ．12i+B ．12i -C ．12i-+D ．12i--3．已知全集{}02πU x x =≤≤，集合sin A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，{}sin cos B x x x =≥，则A B ⋂等于（）A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．2nx⎛⎝的展开式中，第5项为常数项，则正整数n 等于（）A ．8B ．7C ．6D ．55．三棱锥A BCD -的三视图如图所示，则该三棱锥的各条棱中，棱长最大值为（）AB C ．D ．26．已知3sin 2cos 21αα+=，则tan α=（）A ．3B ．13C ．13或0D ．3或07．已知圆22:1C x y +=，直线:0l x y c -+=，则“0c ≥”是“圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要8．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀甲班10b乙班c30附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++），()20P K k ≥0.050.0250.0100.0050k 3.8415.0246.6357.879已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是（）A ．甲班人数少于乙班人数B ．甲班的优秀率高于乙班的优秀率C ．表中c 的值为15，b 的值为50D ．根据表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”9．若ln 1,ln3b a e c =-==，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．a b c>>10．已知函数()cos f x x x =-，若()()12πf x f x +=，则()12f x x +=（）A ．π1-B ．π1+C ．πD ．011．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线上一点，且直线1PA 与2PA 的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（）A ．双曲线的渐近线方程为3y x =±B ．双曲线CC ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2aD ．以1F 为半径的圆与渐近线相切12．设函数()3f x x x =-，正实数,a b 满足()()2f a f b b +=-，若221a b λ+≤，则实数λ的最大值为（）A ．2+B ．4C ．2D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．某班男女生的比例为3:2，全班的平均身高为168cm ，若女生的平均身高为159cm ，则男生的平均身高为cm .14．抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点（A 在第一象限），分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为C ，D ，若CD AF BF =-，则直线l 的倾斜角等于.15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin cos 0c A C =，则22sin sin sin sin A B A B ++=.16．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,90,1,2,ABC ABC BA BC BB P ∠=︒===是矩形11BCC B 内一动点，满足223PA PC +=，则当三棱锥-P ABC 的体积最大时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某保险公司为了给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.年龄[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70保费x2x3x4x5x(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费x 至少为多少元？（精确到整数）(2)随着年龄的增加，该疾病患病的概率越来越大，经调查，年龄在[)50,60的老人中每15人就有1人患该项疾病，年龄在[]60,70的老人中每10人就有1人患该项疾病，现分别从年龄在[)50,60和[]60,70的老人中各随机选取1人，记X 表示选取的这2人中患该疾病的人数，求X 的数学期望.18．已知数列{}n a 的前n 项和为,342n n n S S a =-.(1)证明：数列{}n a 是等比数列，并求出通项公式；(2)设函数()21ln 2f x x x ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭的导函数为()f x '，数列{}n b 满足()n n b f a ='，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,90,2,ABC ABC BA AA D ∠=︒==是棱AC 的中点，E 在棱1BB 上，且1AE A C ⊥.(1)证明：//BD 平面1AEC ；(2)若四棱锥111C AEB A -的体积等于1，求二面角11C AE A --的余弦值.20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,0A ，直线l 与椭圆相交于不同于A 点的P ，Q 两点，N 为线段PQ 的中点，当直线ON 斜率为14-时，直线l 的倾斜角等于4π(1)求椭圆的方程；(2)直线AP ，AQ 分别与直线3x =相交于E ，F 两点.线段E ，F 的中点为M ，若M 的纵坐标为定值12，判断直线l 是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由.21．已知函数()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---∈.(1)若12a =，证明：()0f x >；(2)若函数()f x 在()0,π内有唯一零点，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程1010x ty t =+⎧⎨=-⎩（为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，且直线l 与曲线C 相交于,M N 两点.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点()00,P x y 是直线l 上一点，满足20PM PN +=，求点P 的直角坐标.选修4-5：不等式选讲23．已知函数()1f x x =-.（1）求不等式()32f x x ≥-的解集；（2）若函数()()5g x f x x =+-的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：224a bb a+≥.1．C【分析】根据向量共线列方程，解方程即可.【详解】因为a 与b共线，所以41x x ⋅=⨯，解得2x =±.故选：C.2．B【分析】先对复数z 化简，再根据共轭复数的概念求解.【详解】()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ++++====+-+-，所以复数z 的共轭复数为12i -.故选：B.3．B【分析】先利用三角函数知识化简两个集合，结合交集运算可得答案.【详解】因为3sin 2x ≥，02x π≤≤，所以π2π33x ≤≤；因为sin cos x x ≥，所以πsin cos sin 04x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，所以π2π2ππ4k x k ≤-≤+，解得π5π2π+2π44k x k ≤≤+，Z k ∈；因为02x π≤≤，所以π5π44x ≤≤，所以π2π,33A B ⎡⎤⎢⎥⎣=⎦.故选：B 4．C【分析】利用二项式定理求出展开式通项，由条件列方程求n .【详解】二项式2n x⎛ ⎝的展开式的第1r +为()1C 2rn r rr n T x -+⎛= ⎝，所以()4444465C 2C 2n n n nn T x x---⎛== ⎝，由已知6n =，故选：C.5．A【分析】根据给定的三视图作出原三棱锥，再求出各条棱长即可得解.【详解】依题意，三视图所对三棱锥A BCD -如图，其中AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，1,2AB CD BC ===，则AC ==，BD ==，AD ==故选：A 6．D【分析】将条件等价转化为()sin 3cos sin 0ααα-=，再利用等式性质得到结果.【详解】由于()23sin 2cos 26sin cos 12sin 2sin 3cos sin 1αααααααα+=+-=-+，故条件3sin 2cos21αα+=等价于()sin 3cos sin 0ααα-=，这又等价于sin 0α=或sin 3cos αα=，即tan 0α=或tan 3α=，所以D 正确.故选：D.7．C【分析】由事件从圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12，求c 的范围，结合充分条件和必要条件的定义判断结论.【详解】直线0x y c -+=的斜率为1，在x 轴上的截距为c -，在y 轴上的截距为c ，当c >C 上不存在点(),x y ，使0x y c -+≤，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率为0，当c =C 上有且仅有一个点(),x y ，使0x y c -+≤，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率为0，若0c <，如图，圆C 上满足条件0x y c -+≤点为劣弧AB （含,A B ）上的点，设劣弧AB 的长度为t ，则0πt <<，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率12π2t P =<，若0c =，如图，圆C 上满足条件0x y c -+≤点为直线l 上方的半圆上的点，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率π12π2P ==，若0c <<，如图，圆C 上满足条件0x y c -+≤点为优弧CD （含,C D ）上的点，设优弧CD 的长度为s ，则π2πs <<，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率12π2t P =>，若c ≤C 上所有点满足条件0x y c -+≤，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率2π12πP ==，所以“圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12”等价于“0c ≥”，所以“0c ≥”是“圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12”的充要条件，故选：C.8．D【分析】根据条件解出45b =，20c =，然后直接计算即可判断A ，B ，C 错误，使用2K 的计算公式计算2K ，并将其与5.024比较，即可得到D 正确.【详解】对于C ，由条件知1030105b c +++=，1021057c +=，故65b c +=，1030c +=.所以45b =，20c =，故C 错误；对于A ，由于甲班人数为10104555b +=+=，乙班人数为3020305055c +=+=<，故A 错误；对于B ，由于甲班优秀率为1025511=，乙班优秀率为202250511=>，故B 错误；对于D ，由于()2210545201030 6.109 5.024********K ⋅⨯-⨯=≈>⋅⋅⋅，故D 正确.故选：D.9．A【分析】由题设ln e a e =，ln 2ln 424b ==，ln 33c =，构造ln ()xf x x=(0)x >，利用导数研究其单调性，进而判断,,a b c 的大小.【详解】由题设知：ln e a e =，ln 2ln 424b ==，ln 33c =，令ln ()xf x x=(0)x >，则21ln ()x f x x -'=，易知(0,)e 上()f x 单调递增，(,)e +∞上()f x 单调递减，即()(3)(4)(2)f e f f f >>=，∴a c b >>.故选：A.【点睛】关键点点睛：构造ln ()xf x x=(0)x >，利用导数研究其单调性，进而比较函数值的大小.10．B【分析】先利用导数证得()f x 在R 上单调递增，再利用条件得到()()12πf f x x =-，结合单调性即知12πx x +=，最后代入求值即可.【详解】因为()cos f x x x =-，所以()1sin 0f x x '=+≥.所以()f x 在R 上单调递增.因为()()12πf x f x +=，所以()()()()()1122222ππcos f x f x f x f x f x x x =-++-=-=()()222πcos ππf x x x =----=，结合()f x 在R 上单调递增，知12πx x =-，即12πx x +=.所以()()12ππππ1cos f x x f +===+-.故选：B.11．D【分析】通过123PA PA k k =求得22b a ，从而求得双曲线的渐近线方程，由此判断A ；进而可求得双曲线的离心率判断B ；求得三角形的面积判断C ；求得1F 到渐近线的距离可判断D.【详解】对于A ，设点(,)P x y ，则2222)1(x y b a-=，因为12(,0),(,0)A a A a -，所以1222222PA PA y y y b k k x a x a x a a ===+-- ，又123PA PA k k =，得223b a =，所以ba=y =，故A 错误；对于B，因为2c a ==，所以双曲线C 的离心率为2，故B 错误；对于C ，因为12PF PF ⊥，所以2221212||||||PF PF F F +=，又12||||||2PF PF a -=，所以22121212(||||||)2|||||||PF PF PF PF F F -+=，所以2212(2)2|||||(2)a PF PF c +=，所以212||||2PF PF b =，所以12121||||2PF F S PF PF ==2b ，故C 错误；对于D ，由B 选项可得2c a =，以1F到渐近线方程为y =的距离为：222a d ===，又1F，所以以1F为半径的圆与渐近线相切，故D 正确.故选：D.12．A【分析】依题意可得33a b a b +=-，从而得到222211a b b a b a b ba λ+⎛⎫ ⎪⎝⎭+-≤=-，再令()1at t b =>，最后利用基本不等式计算可得.【详解】因为()3f x x x =-，所以()3f a a a =-，()3f b b b =-，又()()2f a f b b +=-，所以332a a b b b -+-=-，即33a b a b +=-，因为0a >，0b >，所以330a b +>，所以0a b >>，所以331a b a b+=-，又221a b λ+≤，即3322a b a b a bλ++≤-，所以322b ba b a b λ≤+-，所以222211a b b a b a b ba λ+⎛⎫ ⎪⎝⎭+-≤=-，令at b=，则1t >，所以2221112211111a t t b b a t t t t ++-+===++-⎛⎫ ⎪⎝⎭---()2121t t =-++-22≥+=+，当且仅当211t t -=-，即1t时取等号，所以)22min221b a b a b ⎛⎫+=+ ⎪-⎝⎭，所以2λ≤+，则实数λ的最大值为2+.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出331a b a b +=-，从而参变分离得到222b a a b b λ≤+-，再换元、利用基本不等式求出222b a b b a +-的最小值.13．174【分析】设出男生的平均身高，然后根据条件列方程求解即可.【详解】设男生的平均身高为cm x ，则根据题目条件知321591683232x +⋅=++，即3318840x +=，所以84031852217433x -===.故答案为：174.14．4π##45︒【分析】由已知结合抛物线的定义分别表示CD ，AF ，BF ，求出直线l 的斜率，即可求解.【详解】抛物线22y px =的准线为：2p x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1,2p C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,2p D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又A 在第一象限，所以10y >，20y <，所以12CD y y =-，由抛物线定义可得12pAF x =+，22p BF x =+，所以121222p pAF BF x x x x -=+--=-，又CD AF BF =-，所以12CD x x =-，所以1212x x y y -=-，故直线AB 的斜率12121y y k x x -==-，所以直线l 的倾斜角为π4.故答案为：π4.15．34##0.75【分析】由正弦定理可得sin sin cos 0C A A C =，可求得C ，由余弦定理可得222c a b ab =++，再结合正弦定理可得222sin sin sin sin sin A B A B C ++=，可求结论.【详解】由sin cos 0c A C =，结合正弦定理可得sin sin cos 0C A A C =，因为sin 0A ≠，所以sin 0C C =，所以tan C =因为(0,π)C ∈，所以2π3C =，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，可得222c a b ab =++，结合正弦定理可得2223sin sin sin sin sin 4A B A B C ++==.故答案为：34.16．73π##73π【分析】根据给定条件，确定点P 的位置，再结合球的截面小圆性质确定球心并求出球半径即得.【详解】显然三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，过P 作1//PQ AA 交BC 于Q ，连接AQ ，令,PQ x CQ y ==，显然PQ ⊥平面ABC ，,AQ BC ⊂平面ABC ，则,PQ AQ PQ BC ⊥⊥，而90ABC ∠=︒，则222222221(1),PA PQ AQ x y PC x y =+=++-=+，又223PA PC +=，于是22221(1)3x y y ++-+=，整理得2213()24x y =--+，当12y =时，max x 三棱锥-P ABC 的底面ABC 面积为12，要其体积最大，当且仅当x 最大，因此2PQ =，即1PC PB BC ===时，三棱锥-P ABC 的体积最大，PBC 的外接圆圆心2O 为正PBC 的中心，令三棱锥-P ABC 的外接球球心为O ，半径为R ，则2OO ⊥平面PBC ，显然AC 的中点1O 是ABC 的外接圆圆心，则1OO ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥可得AB ⊥平面PBC ，于是21//O Q OO ，而1//O Q AB ，则1O Q ⊥平面PBC ，21//OO O Q ，四边形12OOQO 是平行四边形，因此121336OO O Q PQ ===，而11222O C AC ==，则22211712R OO O C =+=，所以三棱锥-P ABC 的外接球的表面积27π4π3S R ==.故答案为：7π3【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.17．(1)30元(2)16【分析】（1）根据小矩形面积和为得到关于a 的方程，解出a 值，再列出不等式，解出即可；（2）首先分析出X 的取值为0，1，2，再列出对应概率值，利用期望公式计算即可.【详解】（1）()0.0070.0160.0250.02101a ++++⨯=，解得0.032a =，保险公司每年收取的保费为：()100000.070.1620.3230.2540.2510000 3.35x x x x x x +⨯+⨯+⨯+⨯=⨯，所以要使公司不亏本，则10000 3.351000000x ⨯≥，即3.35100x ≥，解得10029.853.35x ≥≈，即保费30x =元；（2）由题意知X 的取值为0，1，2，()14912601510150P X ==⨯=，()1914123115101510150P X ==⨯+⨯=，()11121510150P X ==⨯=，列表如下：X12P126150231501150()1262312510121501501501506E X ∴=⨯+⨯+⨯==.18．(1)证明见解析，212n n a -=(2)12520ln24399n n T n +⎤⎡⎫⎛⎫=⋅-+⎥ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭⎦【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩分两步求解即可；（2）方法一：根据题意，结合导数运算与212n n a -=得()ln2214nn b n =⋅-⋅，进而将{}n b 通项公式变形为125211ln2443939n n n b n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再根据裂项求和求解即可.方法二：根据题意，结合导数运算与212n n a -=得()ln2214nn b n =⋅-⋅，再根据错位相减法求和即可.【详解】（1）解：342n n S a =- ，()11342,2n n S a n --∴=-≥，相减得1344n n n a a a -=-，即14n n a a -=，∴数列{}n a 是以4为公比的等比数列，又1113423S a a =-=，解得12a =121242n n n a --=⋅=.（2）解：方法一：()212ln 2ln f x x x x x x x x'=+⋅-= ，()n n b f a ='，212n n a -=，()212122ln2ln2214n n n n b n --∴=⋅=⋅-⋅，()125211ln2214ln2443939n n n n b n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅=⋅--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，∴1231n n nT b b b b b -=+++++ 21324357137ln244ln244ln24499999191⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⨯+⨯+⋅⨯-⨯+⋅⨯-⨯+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11252112520ln244ln243939399n n n n n n ++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅---=⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴12520ln24399n n T n +⎡⎤⎛⎫⋅-+ ⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦.方法二：()212ln 2ln f x x x x x x x x'=+⋅-= ，()n n b f a ='，212n n a -=，()212122ln2ln2214n n nn b n --∴=⋅=⋅-⋅∴()()2311ln214ln234ln254ln2234ln2214n nn T n n -+++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅-⋅ ()()12344ln214ln234ln254ln2234ln2214n n n T n n +++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅-⋅+ ，两式相减得：()11233ln214ln224ln224ln224ln2214n n n T n +-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅-⋅-⋅++ ()()1231ln2142ln2444ln2214n n n ++++=⋅⋅-⋅⋅+- ()()21114ln2142ln2ln22141414n n n +-=⋅⋅-+⋅⋅---()111ln2142ln2ln22414163n n n ++--⋅-⋅+=⋅⋅()()11165412ln22ln23ln221433ln 220432ln 2n n n n n +++⎡⎤-⋅+⋅⋅-=--⋅⎣=-⎦-∴()()1116546542520ln249939ln 220ln 2209n n n n n n T n +++⎡⎤⎡⎤-⋅-⋅⎡⎤⎛⎫⎣⎦⎣⎦===⋅-+ ⎪⎢⎥---⎭⎣+⎝⎦∴12520ln24399n n T n +⎡⎤⎛⎫⋅-+ ⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦19．(1)证明见解析(2)12【分析】（1）先利用线面垂直的判定与性质定理证得1AE A B ⊥，再利用平行线分线段成比例的推论证得//BD FG ，从而利用线面平行的判定定理即可得证；（2）利用四棱锥111C AEB A -的体积求出11B C ，建系并写出相关点的坐标，求出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】（1）如图，连接1A B 交AE 于F ，连接1A D 交1AC 于G ，连接FG ，1AA ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1AA BC ∴⊥，又因11,,,BC AB AB AA A AB AA ⊥⋂=⊂平面ABE,故BC ⊥平面ABE,又AE ⊂平面ABE,则BC AE ⊥，又111,,,AE A C A C BC C A C BC ⊥=⊂ 平面1,A BC 则⊥AE 平面1,A BC 又1A B ⊂平面1A BC ，1AE A B ∴⊥，在1Rt A AB △中，由12AB AA ==知1A B =，2111AA A F A B ==即12A F BF =，又因1111//,2AD A C A C AD =，可得12A G GD =，即在1A BD 中，112AG A F GD FB==，,BD FG ∴∥FG ⊂ 平面1AEC ，BD ⊄平面1AEC//BD ∴平面1AEC ；（2）设11B C x =，四棱锥111C AEB A -的体积为()1121132⨯+=，解得x =，由（1）知11190,90AA B A BA EAB A BA ∠+∠=︒∠+∠=︒，所以1AA B EAB ∠=∠，又11tan tan AB BE AA B EAB AA AB ∠==∠==，则1BE =，所以E 为棱1BB 的中点.以1,,BC BA BB 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，则()())()11,0,0,1,2,0,A E C A ，则1(0,AE EC == ，设平面1AEC 的法向量为(),,n x y z =，由1n AE n EC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，得00z z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令z =(n =- ，因BC ⊥平面11ABB A ，故可取平面1AEA 的法向量()1,0,0m =，1cos ,||||2n m n m n m ⋅〈〉==-，因为二面角11C AE A --为锐二面角，所以二面角11C AE A --的余弦值为12.20．(1)2214x y +=；(2)直线l 过点()2,1-.【分析】（1）根据点A 得到2a =，然后利用点差法得到2144b -=-，即可得到1b =，然后写椭圆方程即可；（2）设,P Q 的坐标，根据直线,AP AQ 的方程得到点,E F 的坐标，然后将α，β转化为方程sin 2cos x y kx x -=-的两根，根据M 的纵坐标和韦达定理得到00121422k kx y -⋅=-+，最后根据M 的纵坐标为定值得到0x ，0y ，即可得到直线l 过定点.【详解】（1）由已知得2a =，设()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ 中点为()00,N x y 由22112222221414x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减得222221212121221212044x x y y y y y y b b x x x x ---++=⇒⋅=--+，∴221144b b -=-⇒=，即1b =.所以椭圆方程为2214x y +=.（2）设()2cos ,sin P αα，()2cos ,sin Q ββ，所以AP l ：()sin 22cos 2y x αα=--，即()122tan 2y x α=--，∴13,2tan 2E α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，同理13,2tan 2F β⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，设直线l 过点()00,x y ，∴α，β是方程sin 2cos x y k x x -=-的两根.即20022002tantan 2222tan tan 22x x y y k x xx x --=---，整理得()200002tan2tan 2022x xy k kx y kx k ---+-+=，∴002tantan 222y k kx αβ+=--，00002tan tan 222y k kx y k kx αβ+-=--，∴00tantan1121224422tan tan 22M y k kx y αβαβ+=-=-⋅=-+，∴02x =，01y =-，所以直线l 过点()2,1-.【点睛】关键点睛：本题解题关键在于M 的纵坐标为定值，对于定值的问题关键在于与参数无关，本题中M 的纵坐标为定值可得与参数k 无关，即可得到02x =，然后求0y 即可.21．(1)证明见解析；(2)1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）对()f x 求导后构造函数()()11e sin cos 122xg x f x x x x =-'=--，通过求导得出()f x '的单调性和范围得出函数()f x 的单调性，进而得出结论；（2）分类讨论参数a 与12的关系，并通过构造函数和多次求导来探究函数()f x 的单调性，即可得出满足函数在()0,π内有唯一零点的实数a 的取值范围.【详解】（1）由题意，在()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---∈中，当12a =时，不等式()0f x >等价于1e sin 102xx x x --->，则()11e sin cos 122xf x x x x '=---，令函数()()g x f x ='，则()1e cos sin 2xg x x x x +'=-，()10,π,e cos 1cos 0,sin 02x x x x x x ∈∴->->> ，所以函数()g x 在()0,π上单调递增，且()00g =，()()0g x f x '∴=>在()0,π上恒成立，即函数()f x 在()0,π上单调递增，且()00f =，所以()0,πx ∈时，不等式()0f x >成立；（2）由题意及（1）得，在()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---∈中，当12a ≤时，()1e sin 1e sin 12x xf x ax x x x x x =---≥---，由（1）可知此时()0f x >，所以此时函数()f x 没有零点，与已知矛盾，12a ∴>，()()e sin cos 1xf x a x x x =-+-'，令函数()()h x f x ='，所以()()e sin 2cos xh x a x x x =-'+，令函数()()u x h x ='，()()3sin cos x u x e a x x x ∴=++'，①若()()π0,,e 3sin cos 02xx u x a x x x ⎛⎫∈=++'> ⎪⎝⎭，所以函数()()u x h x ='在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，且()π2ππ0120,022u a u e a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，0π0,2x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使函数()h x 在()00,x 上递减，在0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，②若π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，显然()()e sin 2cos 0xh x a x x x =-'+>，所以函数()h x 在()00,x 上递减，在()0,πx 上递增，且()()0π0e 10,ππ10h h e a =-==+->()10,πx x ∴∃∈，使函数()f x 在()10,x 上递减，在()1,πx 上递增，又()()00e 10,πe π10f f π=-==--> ，()10f x ∴<，且()21,πx x ∃∈，使得()20f x =，综上得，当12a >时，函数()f x 在()0,π内有唯一零点，∴a 的取值范围是1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，多次求导，函数的单调性，函数的导数求零点，考查学生分析和处理问题的能力，计算的能力，求导的能力，具有很强的综合性.22．(1)200x y +-=，2y x=(2)()22,2-或()191,.【分析】（1）直线的参数方程消去参数t ，得到直线l 的普通方程，再利用直角坐标与极坐标的转化公式求得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程，代入曲线C 中，得到韦达定理，利用直线参数方程中参数的几何意义求解.【详解】（1）由1010x t y t =+⎧⎨=-⎩，消去参数t ，得20x y +=，即直线l 的普通方程为200x y +-=，.由2sin cos ρθθ=得：22sin cos ρθρθ=，∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴2y x =，即曲线C 的直角坐标方程为2y x =.（2）设直线l的参数方程为00222x x y y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入2y x =得：220001222t t y x t +=-，整理得(22000220t t y x +++-=，设点M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，120t t +=-2120022t t y x =-，因为20PM PN +=u u u u r u u u r r ，可得1220t t +=且0020x y +=.解得022x =，02y =-，或019x =，01y =，经验证均满足0∆>，所以求点P 的直角坐标为()22,2-或()19,1.23．（1）{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）证明见解析.【解析】（1）根据()32||f x x - ，可得3131x x -⎧⎨>⎩ 或1301x x +⎧⎨⎩ 或3130x x -+⎧⎨<⎩ ，然后解不等式组即可得到解集；（2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最小值，再利用基本不等式求出22a b b a+的最小值即可．【详解】解：（1）当1x ≥时，得41323x x x -≥-⇒≥，∴43x ≥；当01x <<时，得1322x x x -≥-⇒≥，∴无解；当0x ≤时，得21323x x x -≥+⇒≤-；综上，不等式的解集为{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭.（2）∵()()()15154g x x x x x =-+-≥---=，∴4m =，即4a b +=，又由均值不等式有：22a b a b+≥，22b a b a +≥，两式相加得2222a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴224a b a b b a +≥+=.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．。

四川省成都七中2020届高三高中毕业班三诊模拟数学(理)试题 PDF版含答案

好有两个不同的交点,则实数 a 的取值范围是
A
B
三、解答题：本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
在 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 2a b . tan A sin B
(1)求角 A 的大小；
得分[80,100] 的频率为 0.015 20 0.3 ；
所以得分[60,80) 的频率为1 (0.1 0.2 0.3) 0.4.
设班级得分的中位数为 x 分,于是 0.1 0.2 x 60 0.4 0.5 ,解得 x 70. 20
所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为 70 分.
作 x 轴垂直于 AM ,又由(1)知 AB 平面 ADM ,于是分别以 AM , AB 所在直线为 y, z 轴建
立空间直角坐标系 A xyz.
于是 D( 3, 1, 0),C( 3, 1, 4), B(0, 0, 2), M (0, 2, 0). 3
因为 BE 2EM ,于是 E(0, 4 , 2).所以 33
3 BE 2EM ,求直线 EC 与平面 BDM 所成角的正弦值.
20.(本小题满分 12 分)
已知函数
f
(x)
x ln x
,
x
(e,
). 其中
Z.
(1)证明：
f0 ( x)
xe 3x e
；
(2)记 F (x) e2 f1(x) f0 (x) f1(x). 若存在 x0 [n, n 1)(n N *) 使得对任意的
(C){1, 0,1, 2}
(D){1, 0,1, 4}
2. 已知复数 z 1 ,则| z | 1 i

2020年四川省成都七中高考数学三诊试卷(理科)

2020年四川省成都七中高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2，3，4}，2{|B y y x ==，}x A ∈，则(A B =I ) A ．{0，1，2} B ．{0，1，4} C ．{1-，0，1，2} D ．{1-，0，1，4}2．（5分）已知复数11z i=+，则||(z = ) A ．2B ．1C ．2D ．23．（5分）设函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()2f x x =-，则(f f （1）)(= ) A ．1-B ．2-C ．1D ．24．（5分）已知单位向量1e u r ，2e u u r 的夹角为23π，则12|2|(e e -=u r u u r )A ．3B ．7C ．3D ．75．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±，则双曲线的离心率是( ) A ．10B ．10C ．310D ．3106．（5分）在等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是()A ．3i „？B ．4i „？C ．5i „？D ．6i „？8．（5分）已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题： ①若//αβ，//αγ，则//βγ②若//a α，//a β，则//αβ ③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥④若a α⊥，b α⊥，则//a b 其中正确命题序号为( ) A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①②③9．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为( ) A ．99B ．131C ．139D ．14110．（5分）已知log a e π=，b ln eπ=，2e clnπ=，则( ) A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<11．（5分）过正方形1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使得l 与直线1B C ，1C D 所成的角均为60︒，则这样的直线l 的条数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．412．（5分）已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，(2,1)A -，(2,1)B ，则cos ,PA PB <>u u u r u u u r 的最大值是( ) A ．62- B ．17 C ．177- D ．14 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11(2)n n a S n -=+…，则4a = ． 14．（5分）已知实数x ，y 满足线性约束条件117x y x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩……„，则目标函数2z x y =+的最大值是． 15．（5分）如图是一种圆内接六边形ABCDEF ，其中BC CD DE EF FA ====且AB BC ⊥．则在圆内随机取一点，则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是．16．（5分）若指数函数(0x y a a =>且1)a ≠与三次函数3y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2tan sin a bA B=．（1）求角A 的大小；（2）若7a =，2b =，求ABC ∆的面积．18．（12分）成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）．根据检查结果：得分在[80，100]评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[60，80)评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[40，60)评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[20，40)评定为“差”，不奖励小红旗．已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级，再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ．19．（12分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB =，23MD =（1）证明：AB ⊥平面ADM ；（2）若//CD AB 且23CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值．20．（12分）已知函数22()x x e f x xlnx++=，(,)x e ∈+∞．（1）证明：当(,)x e ∈+∞时，3x elnx x e->+；（2）若存在0[x n ∈，*1)()n n N +∈使得对任意的(,)x e ∈+∞都有0()()f x f x …成立．求n 的值．（其中 2.71828e =⋯是自然对数的底数）． 21．（12分）已知点P 是抛物线21:2C y x =上的一点，其焦点为点F ，且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆22:1O x y +=于不同的两点A ，B ．（1）若点(2,2)P ，求||AB 的值；（2）设点M 为弦AB 的中点，焦点F 关于圆心O 的对称点为F '，求||F M '的取值范围．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23(3sin x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，0)απ剟．在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线l 的极坐标方程是6πθ=．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||OA OB g 的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，且24a b +=，函数()|2|||f x x a x b =++-在R 上的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若22a mb tab +…恒成立，求实数t 的最大值．2020年四川省成都七中高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2，3，4}，2{|B y y x ==，}x A ∈，则(A B =I ) A ．{0，1，2}B ．{0，1，4}C ．{1-，0，1，2}D ．{1-，0，1，4}【解答】解：{1A =-Q ，0，1，2，3，4}，{0B =，1，4，9，16}， {0A B ∴=I ，1，4}．故选：B ．2．（5分）已知复数11z i=+，则||(z = )A B ．1 C D ．2【解答】解：11z i =+，则||z ===．故选：A ．3．（5分）设函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()2f x x =-，则(f f （1）)(= ) A ．1-B ．2-C ．1D ．2【解答】解：根据题意，当0x >时，2()2f x x =-，则f （1）121=-=-，又由()f x 为奇函数，则(1)f f -=-（1）1=，则(f f （1）)(1)f f =-=-（1）1=；故选：C ．4．（5分）已知单位向量1e u r ，2e u u r 的夹角为23π，则12|2|(e e -=u r u u r )A ．3B ．7C D【解答】解：根据题意，单位向量1e u r ，2e u u r 的夹角为23π，则1221cos 32e e π=-=-u r u u r g ，则222121212|2|447e e e e e e -=+-=u r u u r u r u u r u r u u r g ，故12|2|7e e -=u r u u r；故选：D ．5．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±，则双曲线的离心率是( )A ．10B ．10 C ．310D ．310【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线为：by x a=±，所以由题意可得：3ba=，所以离心率222211910c c b e a a a===+=+=，故选：A ．6．（5分）在等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：在等比数列中，若14a a <，即311a a q <， 10a >Q ，31q ∴<，即1q >，则2531a q a =>，即35a a <成立，若等比数列1，2-，4，8-，16，满足35a a <，但14a a <不成立，故“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件，故选：A ．7．（5分）如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是()A ．3i „？B ．4i „？C ．5i „？D ．6i „？【解答】解：模拟程序的运行，可得当1S =时，9i =；当1910S =+=时，8i =；当19818S =++=时，7i =；当198725S =+++=时，6i =；当1987631S =++++=时，5i =．此时输出31S =，则图中判断框①处应填入的是5i …？．故选：C ．8．（5分）已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题： ①若//αβ，//αγ，则//βγ②若//a α，//a β，则//αβ ③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥④若a α⊥，b α⊥，则//a b 其中正确命题序号为( ) A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①②③【解答】解：①若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； ②若//a α，//a β，则//αβ或α与β相交，故②错误； ③若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或α与β相交，故③错误； ④若a α⊥，b α⊥，则//a b ，故④正确．∴正确命题序号为①④．故选：C ．9．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为( ) A ．99B ．131C ．139D ．141【解答】解：由题意可知：1，5，11，21，37，61，95，⋯的差的数列为：4，6，10，16，24，34，⋯这个数列的差组成的数列为：2，4，6，8，10，12⋯是等差数列，所以前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为：953412141++=．故选：D ．10．（5分）已知log a e π=，b lneπ=，2e c lnπ=，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<【解答】解：Qe eπ<，12b ∴<，又1b c +=Q ．c b ∴>． 11(2)2220a c ln ln ln ln ππππ-=--=+->-=． a c ∴>． b c a ∴<<．故选：B ．11．（5分）过正方形1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使得l 与直线1B C ，1C D 所成的角均为60︒，则这样的直线l 的条数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：因为11//AD BC ，所以过1A 在空间作直线l ，使l 与直线AC 和1BC 所成的角都等于60︒，即过点A 在空间作直线l ，使l 与直线AC 和1AD 所成的角都等于60︒．因为160CAD ∠=︒，1CAD ∠的外角平分线与AC 和1AD 所成的角相等，均为60︒，所以在平面1ACD 内有一条满足要求．因为1CAD ∠的角平分线与AC 和1AD 所成的角相等，均为30︒，将角平分线绕点A 向上转动到与面1ACD 垂直的过程中，存在两条直线与直线AC 和1AD 所成的角都等于60︒；故符合条件的直线有3条．故选：C ．12．（5分）已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，(2,1)A -，(2,1)B ，则cos ,PA PB <>u u u r u u u r 的最大值是( )A．62-B．17C．177-D．14【解答】解：过点P作PH AB⊥，垂足为H，设(,)P x y，则22tan,tan11x xAPH BPHy y+-∠=∠=--，∴2222224(1)4(1)11tan()22(1)4(1)4111x xy yy yAPH BPHx x y x y yy y+-+----∠+∠===+--+------g，令1[0t y=-∈，2]，当0t=时，tan0APB∠=，APBπ∠=，cos1APB∠=-；当(0t∈，2]时，244tan43844382338tAPBt t tt--∠===-+--+-…，当且仅当43tt=，即23t=时取等号，此时cos APB∠最大，且2162cos1APBtan APB-∠==+∠．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．（5分）已知数列{}na的前n项和为nS，且11a=，11(2)n na S n-=+…，则4a=8．【解答】解：数列{}na的前n项和为nS，且11a=，11(2)n na S n-=+…，可得2112a S=+=，3212114a S a a=+=++=，43123118a S a a a=+=+++=，故答案为：8．14．（5分）已知实数x，y满足线性约束条件117xyx y⎧⎪-⎨⎪+⎩……„，则目标函数2z x y=+的最大值是15．【解答】解：先根据实数x ，y 满足线性约束条件117x y x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩……„，画出可行域，然后平移直线02x y =+，当直线2z x y =+过点(8,1)-时，目标函数2z x y =+的纵焦距取得最大值，此时z 取得最大值，z 最大值为28115⨯-=．故答案为：15．15．（5分）如图是一种圆内接六边形ABCDEF ，其中BC CD DE EF FA ====且AB BC ⊥．则在圆内随机取一点，则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是322π．【解答】解：因为BC CD DE EF FA ====且AB BC ⊥．所以该图形是该圆的内接正六边形AMNBCDEF 的一部分．易知，以O 为顶点，正八边形的各边为底边的八个等腰三角形全等．且它们的腰长为圆的半径r ，顶角为360458︒=︒．故每个小等腰三角形的面积为2212sin 452S r =︒=．内接六边形ABCDEF 的面积为OAF OFE OED ODC OCB OAB S S S S S S ∆∆∆∆∆∆+++++，由正八边形的性质知：四边形ABCF 是矩形，且OAB OAE S S ∆∆=，所以2 2232666OAEABCDEFrS S S r∆===⨯=六边形．又2OS rπ=圆，故所求概率为：2232322rPrπ==．故答案为：32．16．（5分）若指数函数(0xy a a=>且1)a≠与三次函数3y x=的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是3(1,)e e．【解答】解：函数3y x=在(,)-∞+∞上单调递增，在(,0)-∞上0y<，在(0,)+∞上0y>，当01a<<时，xy a=在(,)-∞+∞上单调递减，且0y>所以两个函数图象只有一个交点，不符合题意，当1a>时，xy a=在(,)-∞+∞上单调递增，且0y>，所以只能是在(0,)+∞上函数xy a=与3y x=有两个交点，即在(0,)+∞上，方程3xx a=有两个不等实数根，所以在(0,)+∞上，方程3lnxlnax=有两个不等实数根，令3()lnxg xx=，(0)x>23(1)()lnxg xx-'=，在(0,)e上，()0g x'>，()g x单调递增，在(,)e+∞上，()0g x'<，()g x单调递减，所以()ming x g=（e）33elnelnee==，所以30elna lne<<，所以31ea e <<．故答案为：3(1,)ee三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2tan sin a bA B=．（1）求角A 的大小；（2）若a =2b =，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由正弦定理知sin sin a b A B =，又2tan sin a bA B=，所以2sin tan a aA A=．于是1cos 2A =，因为0A π<<，所以3A π=．（2）因为2,3a b A π===，22222cos 3c c π=+-⨯⨯，即2230c c --=．又0c >，所以3c =．故ABC ∆的面积为11sin 23sin 223bc A π=⨯⨯⨯=18．（12分）成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）．根据检查结果：得分在[80，100]评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[60，80)评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[40，60)评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[20，40)评定为“差”，不奖励小红旗．已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级，再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ．【解答】解：（1）得分[20，40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40，60)的频率为0.010200.2⨯=；得分[80，100]的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[60，80)的频率为1(0.10.20.3)0.4-++=．设班级得分的中位数为x 分，于是600.10.20.40.520x -++⨯=，解得70x =．所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70．（2）由（1）知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3，0.4，0.2，0.1．又班级总数为40．于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12，16，8，4．分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3，4，2，1．由题意可得X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，61111112111324122142241010102111.(1),(2),(3)45945C C C C C C C C C P X P X P X C C C ++=========，211112423433222101010441(4),(5),(6)151515C C C C C C P X P X P X C C C +=========．所以X 的分布列为X 1 2 3 4 5 6 P245191145415415115211144117119()12345645945151515455E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．所以X 的数学期望19()5E X =． 19．（12分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB =，23MD =（1）证明：AB ⊥平面ADM ；（2）若//CD AB 且23CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：2AB AM ==Q ，22MB =，222AM AB MB ∴+=，于是AB AM ⊥．又AB AD ⊥，且AM AD A =I ，AM ⊂平面ADM ，AD ⊂平面ADM ，AB ∴⊥平面ADM ；（2）解：Q 2,23AM AD MD ===120MAD ∴∠=︒．如图所示，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，又由（1）知AB ⊥平面ADM ，于是分别以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -．则4(3,1,0),(3,1,),(0,0,2),(0,2,0)3D C B M --．2BE EM =Q ，于是42(0,,)33E ．∴72(3,,),(0,2,2),(3,1,2)33EC BM BD =-=-=--u u u r u u u ur u u u r ．设平面BDM 的法向量为(n x =r，y ，)z ，于是00BM n BD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r r g u u u r r g ，即220320y z x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩．取1z =，得(3,1,1)n =r ．设直线EC 与平面BDM 所成角为θ，则413sin |cos ,|||5||||4553EC n EC n EC n θ=〈〉===⨯u u u r ru u u r g r u u u r r ．直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为15．20．（12分）已知函数22()x x e f x xlnx++=，(,)x e ∈+∞．（1）证明：当(,)x e ∈+∞时，3x elnx x e->+；（2）若存在0[x n ∈，*1)()n n N +∈使得对任意的(,)x e ∈+∞都有0()()f x f x …成立．求n 的值．（其中 2.71828e =⋯是自然对数的底数）．【解答】解：（1）令3(),(,)x eg x lnx x e x e-=-∈+∞+．则22214()()0()()e x e g x x x e x x e -'=-=>++．于是()g x 在(,)e +∞单调递增，所以()g x g >（e ）0=，即3,(,)x elnx x e x e->∈+∞+．⋯⋯（5分）（2）22222222(21)()(1)()()()()()x xlnx x x e lnx x e lnx x x e f x xlnx xlnx +-+++--++'==．令2222()()()h x x e lnx x x e =--++，(,)x e ∈+∞．当(,)x e ∈+∞时，由（1）知3x elnx x e->+．则22222341()()()2(41)2()2x e e h x x e x x e x e x x x x e -+>--++=-+=-+， ()i 当41[,)2e x +∈+∞时，于是()0h x >，从而()0f x '>．故()f x 在41[,)2e ++∞严格单调递增．其中415.936562e +=⋯⋯⋯（9分） ()ii 当(x e ∈，5]时，则2222()()5()h x x e ln x x e --++„22222222()()32030x e x x e x x e e <--++=---<„．（用到了223x x e --在(e ，5]单调递增与27)e >于是()0f x '<，故()f x 在(e ，5]严格单调递减．⋯⋯（11分）综上所述，()f x 在(e ，5]严格单调递减，在41[,)2e ++∞严格单调递增．因为4162e +<，所以0[5x ∈，6)．所以5n =．⋯⋯（12分） 21．（12分）已知点P 是抛物线21:2C y x =上的一点，其焦点为点F ，且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆22:1O x y +=于不同的两点A ，B ．（1）若点(2,2)P ，求||AB 的值；（2）设点M 为弦AB 的中点，焦点F 关于圆心O 的对称点为F '，求||F M '的取值范围．【解答】解：设点0(P x ，0)y ，其中20012y x =．因为y x '=，所以切线l 的斜率为0x ，于是切线2001:2l y x x x =-．（1）因为(2,2)P ，于是切线:22l y x =-．故圆心O 到切线l的距离为d ．于是||AB ==．（2）联立22200112x y y x x x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得22340001(1)104x x x x x +-+-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,)M x y ．则3012201x x x x +=+，32240001()4(1)(1)04x x x =--+->V ．又200x …，于是2002x <+„ 于是32200120022001,22(1)22(1)x x x x x y x x x x x +===-=-++．又C 的焦点1(0,)2F ，于是1(0,)2F '-．故||F M '=== 令21t x =+，则13t <+„．于是||F M '== 因为3t t+在单调递减，在+单调递增．又当1t =时，1||2F M '=；当t =||F M '=；当3t =+1||2F M '=>．所以||F M '的取值范围为．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，0)απ剟．在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线l 的极坐标方程是6πθ=．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||OA OB g 的值．【解答】解：（1）消去参数α得22(2)3(0)x y y -+=…将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得22(cos 2)(sin )3ρθρθ-+=，即24cos 10ρρθ-+=．所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10(0)3πρρθθ-+=剟．（2）法1：将6πθ=代入24cos 10(0)3πρρθθ-+=剟，得210ρ-+=，设12(,),(,)66A B ππρρ，则121ρρ=．于是12||||1OA OB ρρ==g ．法2:3πθ=与曲线C 相切于点M ，||2sin13OM π==，由切割线定理知2||||||1OA OB OM ==g ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，且24a b +=，函数()|2|||f x x a x b =++-在R 上的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若22a mb tab +…恒成立，求实数t 的最大值．【解答】解：（1）3,2()|2|||,23,a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧--+<-⎪⎪⎪=++-=++-⎨⎪+->⎪⎪⎩剟，当(,)2ax ∈-∞-时，函数()f x 单调递减；当(,)x b ∈+∞时，函数()f x 单调递增，所以m 只能在[,]2a b -上取到．当[,]2ax b ∈-时，函数()f x 单调递增．所以2()2222a a a bm f a b +=-=-++==；（2）因为22a mb tab +…恒成立，且0a >，0b >，所以22a mb t ab +„恒成立即()min a mbt b a+„．由（1）知2m =，于是a mb b a +=…当且仅当2a bb a=时等号成立即1)0,2(20a b =->=>．所以t „，故实数t的最大值为。

四川成都七中高三3月高考模拟考试理科数学试卷

锥中,侧面底面,,底面是直角梯形,,,,．
（1）求证:平面;
（2）设为侧棱上一点，，试确定的值,使得二面角为．
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19.难度：困难
设函数，数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）对，设，若恒成立，求实数的取值范围．
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20.难度：困难
已知椭圆C的两个焦点是)和，并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．
（A）（B）（C）（D）
二、填空题
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11.难度：中等
二项式展开式中的常数项是_________．（用数字作答）
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12.难度：中等
若，则_________．
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13.难度：中等
下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是__________．
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14.难度：简单
设函数，则函数的零点个数为个．
16.难度：中等
在中，角的对边分别为，且又．
（1）求角的大小；
（2）求的值．
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17.难度：中等
为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：
应该取消
应该保留
无所谓
在校学生
2100人
120人
函数的图象大致是（）
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8.难度：中等
在平面直角坐标系xOy中，为不等式组所表示的区域上一动点，则的最小值为（）
（A）（B）（C）1 （D）2
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9.难度：中等
设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（）
（A）（B）（C）（D）
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四川省成都七中高2019届数学三轮复习理科综合训练(8)及答案解析

成都七中高2019届三轮复习综合训练理科（八）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1. 已知集合2{|250,}M x x x x Z =+<∈，集合{0,}N a =，若MN ≠∅，则a 等于（）A . 1- B. 2 C 12-或 D -21-或2.设 i 为虚数单位，则复数20141i z i=-在复平面内对应的点在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3.已知n+的展开式中二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为（）A 、 1B 、1±C 、 2D 、 2±4.下图所示是根据输入的x 计算y 值的程序框图，若x 依次取数列2*4{}()n n N n+∈中的项，则所得y 值得最小值为（）A 、 4B 、8C 、 16D 、 325.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体的各个顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（）A 、 24对B 、18对C 、 24对D 、 30对 6.若110,""2sin sin x x x xπ<<<<则是“的（）A 、必要不充分条件B 、充分不必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件7.若P 、Q 分别是直线1y x =-和曲线xy e =-上的点，则|PQ|的最小值是（）A 、、2 C 、、8.数列{}n a 的前n 项和n s ，若1112(1,,1241n n n n a n a a S a n --⎧⎪===⎨+⎪⎩为奇数）（为偶数）则n =（）A 、8B 、9C 、 10D 、 119.抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p = （）A ．163B ．83C ．332D ．33410.如图，已知正方形ABCD 是圆22:(4)(4)4M x y -+-=的内接正方形，AB ，AD 的中点分别是,E F ，当正方形ABCD 绕圆心M 转动，同时点F 在边AD 上运动时则ME OF 的取值范围是（）A．[- B ．[8,8]- C．[- D ．[4,4]-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11.曲线04)10=x y e ax y a =++=在（，y 处的切线与直线垂直，则； 12.已知变量4130,21040x y x y x y kx y +-=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩满足约束条件，且有无穷多个点(,)x y 使得目标函数z=x+y 取得最小值，则k = ；13.设12,F F22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，P 是双曲线上一点，且12||||6PF PF a +=，则12PFF 最小内角的大小是：； 14.已知正数,,a b c 满足,,a b ab a b c abc +=++=则c 的取值范围是15.对于定义域为[0,1]的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件：○1对任意的[0,1],x ∈总有()0f x ≥；○2○3若121212110,0,1,()(+(x x x x f x x f x f x ≥≥+≤+≥都有））成立，则称为函数，下面四个○1若函数()f x 为W 函数，则(0)0f =；○2函数()21x f x =-，[0,1],x ∈是W 函数； ○3W 函数()f x 一定不是单调函数 ○4若函数()f x 是W 函数，假设存在0[0,1],x ∈使得0()[0,1]f x ∈，且00[()]f f x x =则00()f x x =其中真成都七中高2019届三轮复习综合训练（八）第Ⅱ卷三、解答题:本大题共6小题,满分75分.其中16－19每题12分，20题13分，21题14分.16.已知函数23()cos sin 2f x x x x =+-，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，设ABC 得三个角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c（1）若()0,6,2sin sin ,f C c A B ===求a,b 的值；（2）若()0,(cos ,cos ),(1,sin cos tan )g B m A B n A A B ===-且,求m n 的取值范围。

高考专题成都七中高三轮复习综合训练理科(八)

成都七中高2014届三轮复习综合训练理科（八）命题人：张世军本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1.已知集合2{|250,}M x x x x Z =+<∈，集合{0,}N a =，若MN ≠∅，则a 等于（）A.1-B.2C 12-或D -21-或2.设i 为虚数单位，则复数20141i z i=-在复平面内对应的点在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 3.已知3nx x+的展开式中二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为（）A 、1B 、1±C 、2D 、2±4.下图所示是根据输入的x 计算y 值的程序框图，若x 依次取数列2*4{}()n n N n+∈中的项，则所得y 值得最小值为（）5.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体的各个顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（）A 、24对B 、18对C 、24对D 、30对6.若110,"""2sin sin x x x x xπ<<<<则是“的（） A 、必要不充分条件B 、充分不必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件7.若P 、Q 分别是直线1y x =-和曲线xy e =-上的点，则|PQ|的最小值是（）A 、2B 、2C 、22D 、238.数列{}n a 的前n 项和n s ，若1112(1,,1241n n n n a n a a S a n --⎧⎪===⎨+⎪⎩为奇数）（为偶数）则n =（） A 、8B 、9C 、10D 、119.抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13xC y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（）A ．163B ．83C ．332D ．33410.如图，已知正方形ABCD 是圆22:(4)(4)4M x y -+-=的内接正方形，AB ，AD 的中点分别是,E F ，当正方形ABCD 绕圆心M 转动，同时点F 在边AD 上运动时则ME OF 的取值范围是（）A ．[82,82]-B ．[8,8]-C ．[42,42]-D ．[4,4]-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．11.曲线04)10=xy e ax y a =++=在（，y 处的切线与直线垂直，则；12.已知变量4130,210x y x y x y +-=⎧⎪--=⎨满足约束条件，且有无穷多个点(,)x y 使得目标函数z=x+y小值，则k = ；13.设12,F F 是离心率为的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，P 是双曲线上一点，且12||||6PF PF a +=，则12PF F 最小内角的大小是：；14.已知正数,,a b c 满足,,a b ab a b c abc +=++=则c 的取值范围是15.对于定义域为[0,1]的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件：○1对任意的[0,1],x ∈总有()0f x ≥；○2○3若121212110,0,1,()(+(x x x x f x x f x f x ≥≥+≤+≥都有））成立，则称为函数，下面四个命题： ○1若函数()f x 为W 函数，则(0)0f =；○2函数()21xf x =-，[0,1],x ∈是W 函数；○3W 函数()f x 一定不是单调函数 ○4若函数()f x 是W 函数，假设存在0[0,1],x ∈使得0()[0,1]f x ∈，且00[()]f f x x =则00()f x x =其中真命题是：。

四川省成都市第七中学2023届高三下学期三诊模拟考试理科数学试题含答案

成都七中高2023届三诊模拟考试数学（理科）一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将选项填涂在答题卡上）1．已知集合=−<A x x 32}{，⎭⎬+⎩−⎨=≤⎧⎫x B x x120，则=A B （） A ．1,2]( B ．1,2)( C ．−1,5][ D ．−1,5)[2．已知复数z 满足+=+z (23i)1i （i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于（） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限3．命题“有一个偶数是素数”的否定是（）A ．任意一个奇数是素数B ．任意一个偶数都不是素数C ．存在一个奇数不是素数D ．存在一个偶数不是素数4．三棱锥P ABC −的底面ABC 为直角三角形，ABC 的外接圆为圆⊥O PQ ,底面ABC ，Q 在圆O 上或内部，现将三棱锥的底面ABC 放置在水平面上，则三棱锥P ABC −的俯视图不可能是（） A ． B ．C ．D ．5．已知函数⎩−−>⎨=⎧+≤x x x f x f x x 34,0()(1),02，则 −=f f 4)()(（） A ．−6B ．0C ．4D ．6 6．已知实数x y ,满足约束条件⎩≤⎪⎨−−≤⎪⎧+−≥y x y x y 1220220，则+x x y 的最大值是（） A ．2 B ．38 C ．3 D ．4 7．中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列.现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，…，按此规律，则第50层小球的个数为（）三. 解答题（本大题共7小题，17-21题各12分，22或23题10分. 解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请作答在答题卡上）17．如图，ABC 是边长为2的正三角形，P 在平面上且满足CP ＝CA ，记∠=θCAP .(1)若=θπ3，求PB 的长； (2)用θ表示∆S PAB ，并求∆S PAB 的取值范围.18．平面图形同17题.ABC 是边长为2的正三角形，P 在平面上满足CP ＝CA ，将△ACP 沿AC 翻折，使点P 到达'P 的位置，若平面⊥'P BC 平面ABC ，且⊥'BC P A ．(1)作平面α，使得⊂'αAP ,且⊥αBC ,说明作图方法并证明；(2)点M 满足='MC P M 2，求二面角−−'P AB M 的余弦值．19．2023年4月12日是成都七中118周年校庆. 为了纪念这一特殊的日子，两校区学生会在全校学生中开展了校庆知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照60,70)[，70,80)[，80,90)[，90,100[]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用=P X k ()表示这10名学生中恰有k 名学生的成绩在90,100[]上的概率，求=P X k ()取最大值时对应的k 的值；(3)从测试成绩在90,100[]的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．20．已知椭圆+=>>a bC a b x y :1(0)2222，F F ,12为C 的左右焦点.点P （1，－23）为椭圆上一点，且+=PF PF 412.作P 作两直线与椭圆C 相交于相异的两点A ，B ，直线P A 、PB 的倾斜角互补，直线AB 与x ，y 轴正半轴相交.(1)求椭圆C 的方程；(2) 点M 满足=AM MB ,求M 的轨迹方程.21.已知函数，=+−∈f x x x a R a 2cos 1.2)( （1）若=x 0是函数f x )(唯一的极小值点，求实数a 的取值范围; （2+...2.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分. 请考生用2B 铅笔将答题卡上所做题目的题号涂黑.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪=⎪⎨−⎪⎪=+⎧αααy x cos sin 1,2sin 222（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为=∈θρ6R .π)( (1)求C 的普通方程与l 的直角坐标方程；(2)求l 与C 交点的极坐标.23．已知函数=−∈f x x a a R 31)()(. （1）当=a 2时，解不等式−+≥x f x 311)(；（2）设不等式−+≤x f x x 31)(的解集为M ，若⎣⎦⎢⎥⊆⎡⎤M 32,11，求实数a 的取值范围.成都七中高2023届三诊模拟考试数学（理科参考答案）一．选择题1—5：DABDA 6—10：CDDBC 11—12：BA12.解:设+=x x f x g x 1)()(，则⎝⎭ ⎪+⎛⎫=<'⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪+−−'⎛⎫⎛⎫x x f x x x g x x g x 1011122)()()(，所以f x )(在+∞0,)(上单调递减，因为⎝⎭ ⎪∈⎛⎫θ40,π，=θm tan ，所以∈m 0,1)(，⎝⎭ ⎪=+=+∈⎛⎫θθθn 4sin cos π(，则>>n f f m f 1)()()(, 由>f m f 1)()(得+>mm g m g 21()(1)，但g a )(的符号不确定,则①不正确; 由+>mm g m g 21()(1)得: +>m g m g m 1()(1)22,即+>θθg m g tan 1()(1)2tan 2⇒⋅>θg m g sin 2()(1)⇒−−<m g n g 1(1)02)()(,所以②不正确;；由>f n f 1)()(+⇒>n n g g n 21(1)()⇒+>n g ng n (1)(1)2()2⇒+−>n g ng n (1)(1)2()02即+−>θg ng n (sin 22)12()0)(，所以③正确；由>f m n f )()(++⇒>m n mg m ng n 11()()22++⇒>+θθθθθg m g n 1tan 2sin 2()()tan sin cos 2+⇒⋅>+θθθθg m g n 2sin 2sin 2()()2(sin cos )⇒+−+>θθθθg m g n (2sin2sin 2)()(2sin 2cos )()02 对于④−−<n g ng n m (1)2()04)(⇔+−+<θθθθg m g n (2sin 2sin 2)()(2sin 2cos )()02矛盾；所以④不正确；二．填空题13. 14.10 15. n 2 16. 108三．解答题17.解：（1）=θπ3，此时∠=πPAB 32 ，由余弦定理可知 =−=πPB 388cos 1222.∴=PB 分（2）∆PAC 中，∠=−πθPCA 2，由正弦定理可知，−==πθθθPA PC sin 2sin sin 2)( ∴==−θθπθPA sin 4cos .2sin 2)( ⎝⎭ ⎪=⋅⋅+⎛⎫∆θπS PA AB PAB 23sin 1 …………….8分⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪∴=⋅⋅+=+=⎛⎫⎛⎫∆θθθθθθππS PAB 2334cos 2sin 4cos sin sin 221（3）由题意可知，从6道题中选4题共有=C 1564，因为甲能答对6道题中的4道题，故甲能进复赛的情况共有+=C C C 9424314，所以甲能进复赛的概率为=15593，则甲不能进复赛的概率为−=55132；因为乙能答对6道题中的3道题，故乙能进复赛的情况共有=C C 33331, 所以乙能进复赛的概率为=15531，则乙不能进复赛的概率为−=55114；依题可得，ξ的可能取值为0,1,2，所以==⨯=ξP 55250248)(，==⨯+⨯=ξP 5555251342114)(，==⨯=ξP 55252313)(，则ξ的数学期望为=⨯+⨯+⨯=ξE 252525501281434)(. ………………….12分20．解：（1）由题椭圆+=>>a b C a b x y :1(0)22122，+=PF PF 412，可得=a 2，又因为点−P 2(1,)3在椭圆C 1上，解得+=b 944112，解得=b 32，所以椭圆C 的方程为+=x y 43122. ……………………….4分(2)设A x y B x y P x y p p ,,,,,1122)()()(. 因为直线P A 、PB 的倾斜角互补，且A ，B 是不同的点，所以直线P A 、PB 都必须有斜率，设直线PA 方程为=−−y k x 2(1)3，联立⎩⎪+=⎪⎨⎪⎪=−−⎧x y y k x 4312(1)322，整理得+−+++−=k x k k x k k (34)(812)412302222， A 和P 点横坐标即为方程两个根，当∆>0时，可得+=+k x x k k A P 3+481222，因为x P =1，所以++−k x k k A 34=412322，代入直线PA 可得+=−−k y k k A 681212922，即+++−−−k kA k k k k 3468(,)4123121292222，又因为直线P A 、PB 的倾斜角互补，将k 换成−k ，可得++−−+−k kB k k k k 3468(,)4123121292222，两点求斜率可得出−==−−x x k y y AB 212121,所以直线AB 的斜率为−21. …………………….9分∴ 可设直线AB 的方程为=−+y x n 21，设M x y ,00)(. 又因为直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，则>n 0，联立方程组⎩⎪+=⎪⎨⎪⎪=−+⎧x y y x n 4312122，整理得−+−=x nx n 3022，=−−>n n (412)0Δ22，解得<<n 02. 由韦达定理可知，+=x x n 12.由题意可知M 为线段AB 中点，则=x n 20，带入直线=−+y x n 21，可得=y n 430，所以点M 的轨迹方程为−=<<x y x 32001)(. ……………….12分注：也可用点差法.21．解：（1）=−+f x x ax sin ')(，且=f 00')(.令=g x f x ')()(，则=−+g x x a cos ')(.①当≥a 1时，≥gx 0')(,则g x )(单调递增.当>x 0时，=>=g x f x g 00')()()(; 当<x 0时，=<=g x f x g 00')()()(.即当>x 0时，f x )(单调递增，当<x 0时，f x )(单调递减；即证0是函数f x )(唯一的极小值点.②当<a 1时, =−+<g a 010')(，∴存在>δ0使得∈δx 0,)( ,=g x f x ')()(在δ0,)(单调递减，即当∈δx 0,)(时，<=f x f ''00)()(，∴f x )(在δ0,)(单调递减，与0是函数f x )(的极小值点矛盾.综上≥a 1，从而a 的取值范围为，∞1+)[. ………….6分(2)由（1）的证明可知，当且=>a x 10时，−+>x x sin 0即,>>x x x 0sin .当>x 0时，<⋅x x sin 132<x故可得<++⋅⋅⋅2482...++.12320232023 令，=++⋅⋅⋅S 2482++12320232023 则，=++⋅⋅⋅S 248162++112320232024 两式相减得，-=++⋅⋅⋅S 224822++11111202320232024化简可得⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪=−−<⎛⎫⎛⎫S 222121202320242023.<...2. ……………………….12分22．解：（1）因为⎩⎪=⎪⎨−⎪⎪=+⎧αααy x cos sin 1,2sin 222所以②①⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=⎧ααy x 2,cos2,1②①−⨯222得−=−=ααx y cos2221,1sin 222222.. 由=θ6π，得===θθθθθcos tan sin ，所以=ρθθsin cos ，所以=y ,所以C 的普通方程为−=x y 2122，l 的直角坐标方程为=y. ……………………….5分（2）联立⎩⎪=⎨⎪−=⎧y x x y 2122得⎩⎪=⎨⎪=⎧y x 1⎩⎪=−⎨⎪=⎧y x 1 所以l 与C 交点的直角坐标分别为)，−1)(，设点)的极坐标为ρθ,11)(，≥ρ01，∈θπ0,21)[，则=ρ21，==θθ2cos 111，所以=ρ21，=θ6π1，所以点)的极坐标为⎝⎭ ⎪⎛⎫62,π，同理可得点−1)(的极坐标为⎝⎭⎪⎛⎫62,π7，故l 与C 交点的极坐标为⎝⎭ ⎪⎛⎫62,π，⎝⎭ ⎪⎛⎫62,π7. ……………………….10分（注：由教材选修4-4的P11旁侧备注可知，一般情况只要取>∈ρθπ0,0,2)[即可.） 23．解：（1）当=a 2时，原不等式可化为−+−≥x x 3123.①当≤x 31时，−+−=−≥x x x 132343，解得：≤x 0，∴≤x 0； ②当<<x 321时，−+−=+≥x x x 312213，解得：≥x 1，∴≤<x 12； ③当≥x 2时，−+−=−≥x x x 312433，解得：≥x 23，∴≥x 2；综上所述：不等式−+≥x f x 311)(的解集为≤x x 0{或≥x 1}. ……………………….5分（2）由−+≤x f x x 31)(知：−+−≤x x a x 313， ⎣⎦⎢⎥⊆⎡⎤M 32,11，−−≤∴+x x a x 313在⎣⎦⎢⎥⎡⎤32,11上恒成立， ∴−+−≤x x a x 313，即−≤x a 1，∴−≤−≤x a 11，解得：−≤≤+a x a 11，⎩⎪+≥⎪⎨∴⎪⎪−≤⎧a a 211311，解得：−≤≤a 2314，即实数a 的取值范围为⎣⎦⎢⎥−⎡⎤23,14. …………………….10分。

成都七中 2019—2020 学年下期高三三诊模拟考试理科数学试题

第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A {1, 0,1, 2, 3, 4}, B {y | y x2 , x A} ,则 A B
(A){0,1, 2}
(B){0,1, 4}
18.(本小题满分 12 分) 成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校 40 个班级进行了一次突击班级卫
生量化打分检查(满分 100 分,最低分用20 分).根据检查结果：得分在[80,100] 评定为“优”,
使
奖励 3 面小红旗；得分在[60,8学0) 评定为“良”,奖励 2 面小红旗；得分在[40, 60) 评定为
3 BE 2EM ,求直线 EC 与平面 BDM 所成角的正弦值.
20.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) x2 x e2 , x (e, ). x ln x
(1)证明：当 x (e, ) 时, ln x 3x e ； xe
(2)若存在 x0 [n, n 1)(n N *) 使得对任意的 x (e, ) 都有 f (x) f (x0) 成立. 求 n 的值.(其中 e 2.71828 是自然对数的底数).
中
“中”,奖励 1 面小红旗；十得八分在[20, 40) 评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分
三频率分布直方图如下第图：
频率组距
市
成都 (1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打 0.015
分检查得川分省的中位数；
0.010 0.005
供四(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“优”、“良”、

成都七中2020届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题及答案

成都七中2020届高三下学期第三次模拟考试数学(理科)第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I(A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数11iz =+,则||z =(A)2(B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)24. 已知单位向量12,e e 的夹角为2π3,则122e e -=(A)3 (B)75. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是(C)10 (D)1096. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件7. 如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是(A)6?i ≤ (B)5?i ≤ (C)4?i ≤ (D)3?i ≤8. 已知,a b 为两条不同直线,,,αβγ为三个不同平面,下列命题：①若///,,/ααγβ则//βγ；②若//,//,a a αβ则//αβ；③若,,αγγβ⊥⊥则αβ⊥；④若,,a b αα⊥⊥则//a b .其中正确命题序号为 (A)②③(B)②③④(C)①④(D)①②③9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为 (A)99(B)131(C)139(D)14110. 已知πlog e,a =πln ,eb =2e ln ,πc =则(A)a b c << (B)b c a <<(C)b a c <<(D)c b a <<11. 过正方形1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ,使得l 与直线11,B C C D 所成的角均为60︒,则这样的直线l 的条数为(A)1 (B)2 (C) 3 (D) 412. 已知P 是椭圆2214x y +=上一动点,(2,1),(2,1)A B -,则cos ,PA PB u u u r u u u r 的最大值是(D)14第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上. 13.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且111,1(2),n n a a S n -==+≥则4a =14. 已知实数,x y 满足线性约束条件117x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是15. 如图是一种圆内接六边形ABCDEF ,其中BC CD DE EF FA ====且.AB BC ⊥则在圆内随机取一点,则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是16. 若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与三次函数3y x =的图象恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是0.005频率组距得分0.0150.010O三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知2.tan sin a bA B= (1)求角A 的大小； (2)若7,2,a b ==求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分,最低分20分).根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”,奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”,奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为 “中”,奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如下图：(1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数；(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级,再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核,记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为X ,求X 的分布列与数学期望()E X .19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥M ABCD -中,2,2.,,3AB AM AD MB MD AB AD =====⊥ (1)证明：AB ⊥平面ADM ； (2)若//CD AB 且23CD AB =,E 为线段BM 上一点,且2BE EM =,求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知函数22e (),(e,).ln x xf x x x x++=∈+∞ (1)证明：当(e,)x ∈+∞时,3eln ex x x ->+；(2)若存在*0[,1)()x n n n N ∈+∈使得对任意的(e,)x ∈+∞都有0()()f x f x ≥成立. 求n 的值.(其中e 2.71828=L 是自然对数的底数).21.(本小题满分12分)已知点P 是抛物线21:2C y x =上的一点,其焦点为点,F 且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆:O 221x y +=于不同的两点,A B .(1)若点(2,2),P 求||AB 的值；(2)设点M 为弦AB 的中点,焦点F 关于圆心O 的对称点为,F '求||F M '的取值范围.请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑.22.(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数,0πα≤≤).在以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线l 的极坐标方程是π6θ=.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若射线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求||||OA OB ⋅的值.23.(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲已知0,0,a b >>且24,a b +=函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为.m (1)求m 的值；(2)若22a mb tab +≥恒成立,求实数t 的最大值.成都七中2020届高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案及评分意见第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.B ；2.A ；3.C ；4.D ；5.A ；6.A ；7.B ；8.C ；9.D ； 10.B ； 11.C ； 12.A.第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.8； 14.15；15.2π； 16.3e (1,e ).三、解答题(共70分)17. 解：(1)由正弦定理知sin sin a b A B =,又2,tan sin a b A B =所以2.sin tan a aA A=于是1cos ,2A =因为0π,A <<所以π.3A = L L 6分(2)因为π2,,3a b A ===22π222cos ,3c c =+-⨯⨯即2230.c c --=又0,c >所以 3.c =故ABC ∆的面积为11πsin 23sin 223bc A =⨯⨯⨯=L L 12分18.解：(1)得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=；得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4.-++=设班级得分的中位数为x 分,于是600.10.20.40.520x -++⨯=,解得70.x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分. L L 5分 (2)由(1)知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3,0.4,0.2,0.1.又班级总数为40.于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12,16,8,4．分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3,4,2,1. 由题意可得X 的所有可能取值为1,2,3,4,5,6.211214410101111111324221120211(1),(2),(3,145945)C C C C C C P X P X P C C C X C C C +=======+== 2432111123101021304224(4),(5),(6)41151515.C C C C P X P X P X C C C C C ========+=L L 9分所以X 的分布列为X1 2 3 4 5 6 P 245 19 1145415 415 11511144145945151217119()123456515.455E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==所以X 的数学期望19().5E X = L L 12分19.解：(1)因为2AB AM ==,22MB =所以222.AM AB MB +=于是.AB AM ⊥ 又,AB AD ⊥且,AM AD A AM =⊂I 平面,ADM AD ⊂平面ADM ,所以AB ⊥平面.ADM L L 5分 (2)因为2,23AM AD MD ===所以120.MAD ∠=︒如图所示,在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ,又由(1)知AB ⊥平面ADM ,于是分别以,AM AB 所在直线为,y z 轴建立空间直角坐标系.A xyz -于是4(3,1,0),(3,1,),(0,0,2),(0,2,0).3D C B M --因为2BE EM =,于是42(0,,).33E 所以72(3,,),(0,2,2),(3,1,2).33EC BM BD =-=-=--u u u r u u u ur u u u r设平面BDM 的法向量为,n r 于是00BM n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r即220.320y z x y z -=⎧⎪--=取1z =得3,1,1).n =r 设直线EC 与平面BDM 所成角为θ,则413sin cos ,.54553EC n EC n EC nθ⋅====⨯u u u r ru u u r r u u u r r 所以直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为1.5L L 12分20.解：(1)令3e ()ln ,(e,).e x g x x x x -=-∈+∞+则22214e (e)()0.(e)(e)x g x x x x x -'=-=>++于是()g x 在(e,)+∞单调递增,所以()(e)0,g x g >=即3eln ,(e,).ex x x x ->∈+∞+ L L 5分 (2)22222222(21)ln (e )(ln 1)(e )ln (e )().(ln )(ln )x x x x x x x x x x f x x x x x +-+++--++'== 令2222()(e )ln (e ),(e,).h x x x x x x =--++∈+∞当(e,)x ∈+∞时,由(1)知3e ln .e x x x ->+则222223e 4e 1()(e )(e )2(4e 1)2(),e 2x h x x x x x x x x x -+>--++=-+=-+ (i)当4e 1[,)2x +∈+∞时,于是()0h x >,从而()0.f x '> 故()f x 在4e 1[,)2++∞严格单调递增.其中4e 15.936562+=LL L 9分 (ii)当(e,5]x ∈时,则2222222222()(e )ln 5(e )2(e )(e )3e h x x x x x x x x x ≤--++<--++=--2203e 0.≤-<(用到了223e x x --在(e,5]单调递增与2e 7>)于是()0f x '<,故()f x 在(e,5]严格单调递减. L L 11分综上所述,()f x 在(e,5]严格单调递减,在4e 1[,)2++∞严格单调递增. 因为4e 16,2+<所以0[5,6).x ∈所以 5.n = L L 12分21.解：设点00(,)P x y ,其中2001.2y x =因为,y x '=所以切线l 的斜率为0,x 于是切线2001:.2l y x x x =-(1)因为(2,2),P 于是切线:2 2.l y x =-故圆心O 到切线l的距离为d =于是||5AB === L L 5分(2)联立22200112x y y x x x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得22340001(1)10.4x x x x x +-+-= 设1122(,),(,),(,).A x y B x y M x y 则301220,1x x x x +=+32240001()4(1)(1)0.4x x x ∆=--+-> 又200,x ≥于是2002x ≤<+于是32200120022001,.22(1)22(1)x x x x x y x x x x x +===-=-++ 又C 的焦点1(0,),F 于是1(0,).F '-故||F M '===L L 9分令201,t x =+则13t ≤<+于是||F M'==因为3t t+在单调递减,在+单调递增.又当1t =时,1||2F M '=；当t =时,||F M '=；当3t =+时,11||.2F M'=> 所以||F M '的取值范围为1).2 L L 12分 22.解：(1)消去参数α得22(2)3(0)x y y -+=≥将cos ,sin x y ρθρθ==代入得 22(cos 2)(sin )3,ρθρθ-+=即24cos 10.ρρθ-+=所以曲线C 的极坐标方程为2π4cos 10(0).3ρρθθ-+=≤≤ L L 5分(2)法1：将π6θ=代入2π4cos 10(0)3ρρθθ-+=≤≤得210ρ-+=,设12ππ(,),(,),66A B ρρ则12 1.ρρ=于是12|||| 1.OA OB ρρ⋅==L L 10分法2：π3θ=与曲线C 相切于点,M π||2sin 1,3OM == 由切割线定理知2|||||| 1.OA OB OM ⋅== L L 10分23.解：(1)3, (,),2()2, [,],23, (,).a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧--+∈-∞-⎪⎪⎪=++-=++∈-⎨⎪+-∈+∞⎪⎪⎩.当(,)2ax ∈-∞-时,函数()f x 单调递减；当(,)x b ∈+∞时,函数()f x 单调递增.所以m 只能在[,]2a b -上取到.当[,]2ax b ∈-时,函数()f x 单调递增.所以2() 2.222a a a bm f a b +=-=-++== L L 5分(2)因为22a mb tab +≥恒成立,且0,0a b >>,所以22a mb t ab +≤恒成立即mina b mb t a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.由(1)知2m =,于是a b a mb +≥== 当且仅当2aab =时等号成立即1)0,2(20.a b =>=> 所以t ≤,故实数t 的最大值为 L L 10分。

2022届四川省成都七中实验学校高三冲刺模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，c f =的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>2．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-= D ．()()22215x y +++= 3．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<4．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（） A ．1-B ．0C ．1 D．22+ 5．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（） A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③6．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．i -B ．iC ．1D ．1-7．在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ===，，，则直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（） A ．32B ．33C ．155D ．1058．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（） A ．若m ⊥α，n //α，则m ⊥n B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若l ⊥α，l //β，则α⊥βD ．若α//β，l ⊄β，且l //α，则l //β9．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（） A ．{}2x x >-B ．{}22x x -<<C ．{}22x x -≤<D ．{}2x x <10．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（） A ．12B ．12-C ．2D ．2-11．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（） A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种12．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届四川省成都市成都市第七中学高三冲刺模拟数学试卷含解析

2025届四川省成都市成都市第七中学高三冲刺模拟数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．140 D．1202．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（）A．12个月的PMI值不低于50%的频率为1 3B．12个月的PMI值的平均值低于50%C．12个月的PMI值的众数为49.4%D．12个月的PMI值的中位数为50.3%3．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种4．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>5．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．46．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋π(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z) D ．k π＋(k ∈Z)7．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．193B ．4C ．254D ．1328．如图，2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A 2B 3C 21+ D 31+ 9．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（） A ．23π B ．2πC ．4πD ．6π10．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（） A ．3)B ．(3,2)C ．(5,0)D ．(4,1)11．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（） A ．1112- B 31 C ．221D ．3212．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（） A ．0.02sin 360000y t = B ．0.03sin180000y t = C ．0.02sin181800y t=D ．0.05sin 540000y t =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考专题成都七中高三轮复习综合训练理科(八)

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）成都七中高2014届三轮复习综合训练理科（八）命题人：张世军本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 已知集合2{|250,}M x x x x Z =+<∈，集合{0,}N a =，若MN ≠∅，则a 等于（）A . 1- B. 2 C 12-或 D -21-或 2.设i 为虚数单位，则复数20141i z i=-在复平面内对应的点在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 3.已知n+的展开式中二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为（）A 、 1B 、1±C 、 2D 、 2±4.下图所示是根据输入的x 计算y 值的程序框图，若x 依次取数列2*4{}()n n N n+∈中的项，则所得y 值得最小值为（）A 、 4B 、8C 、 16D 、 325.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体的各个顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（）A 、 24对B 、18对C 、 24对D 、 30对6.若110,""2sin sin x x x xπ<<<<则是“的（） A 、必要不充分条件 B 、充分不必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件7.若P 、Q 分别是直线1y x =-和曲线xy e =-上的点，则|PQ|的最小值是（）A 、B 、2C 、D 、8.数列{}n a 的前n 项和n s ，若1112(1,,1241n n n n a n a a S a n --⎧⎪===⎨+⎪⎩为奇数）（为偶数）则n =（） A 、8 B 、9 C 、 10 D 、 119.抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13xC y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（）A ．163B ．83C ．332D ．33410.如图，已知正方形ABCD 是圆22:(4)(4)4M x y -+-=的内接正方形，AB ，AD 的中点分别是,E F ，当正方形ABCD 绕圆心M 转动，同时点F 在边AD 上运动时则ME OF 的取值范围是（）A．[- B ．[8,8]- C．[- D ．[4,4]-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．11. 曲线04)10=xy e ax y a =++=在（，y 处的切线与直线垂直，则；12.已知变量4130,21040x y x y x y kx y +-=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩满足约束条件，且有无穷多个点(,)x y 使得目标函数z=x+y 取得最小值，则k = ；13.设12,F F是离心率为的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，P 是双曲线上一点，且12||||6PF PF a +=，则12PF F 最小内角的大小是：；14.已知正数,,a b c 满足,,a b ab a b c abc +=++=则c 的取值范围是15.对于定义域为[0,1]的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件：○1对任意的[0,1],x ∈总有()0f x ≥；○2○3若121212110,0,1,()(+(x x x x f x x f x f x ≥≥+≤+≥都有））成立，则称为函数，下面四个命题：○1若函数()f x 为W 函数，则(0)0f =；○2函数()21xf x =-，[0,1],x ∈是W 函数；○3W 函数()f x 一定不是单调函数 ○4若函数()f x 是W 函数，假设存在0[0,1],x ∈使得0()[0,1]f x ∈，且00[()]f f x x =则00()f x x =其中真命题是：。

四川省成都市第七中学2023届高三模拟理科数学试题

四川省成都市第七中学2023届高三模拟理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
．b a b
=+B．11．下列结论中正确的是（
．若
a b
>>
，
c d
<
．若
x y
>>
且
1
xy=
，则
．设{}
n
a是等差数列，若
．若
[)
0,
xÎ+¥，则(ln1
三、解答题
17．某超市计划销售某种食品，现邀请甲、乙两个商家进场试销10天.两个商家向超市提供的日返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每卖出一件食品商家再返利3元；乙商家无固定返利，卖出不超出30件(含30件)的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利10元. 经统计，试销这10天两个商家每天的销量如图所示
的茎叶图（茎为十位数字，叶为个位数字）：
（1）现从甲商家试销的10天中随机抽取两天，求这两天的销售量都小于30件的概率；
∵||t+1|-|t-1||≤|（t+1）-（t-1）|=2，
∴-2≤|t+1|-|t-1|≤2，即|t+1|-|t-1|的最大值为2．所以问题转化为2m＜2，解得0＜m＜1．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

四川省成都市第七中学2023届高考热身理科数学试题

四川省成都市第七中学2023届高考热身理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
．在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的众数为．在这12个月中，我国居民消费价格月度环比数据的众数为．在这12个月中，我国居民消费价格最低是5月．在这12个月中，我国居民消费价格最高是10月．实数a ，b 满足
a b ³，则下列不等式成立的是（．1a b
³B ．
tan a ．21
a b -³D ．(ln a
．1
2
B ．
23
10．设1F 、
2
F 是椭圆22:142
x y C +=的左、右焦点，点12F PF Ð的最大值是（）
若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．
(1)估计该市2022年（365天）“空气质量好”的天数（结果四舍五入保留整数）；
(2)根据所给数据，完成下面的22´列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
(1)若射线π:6
l =
q 与G
相交于异于(2)若
,A B
为
G
上的两点，且AOB Ð23．已知函数()f x x a x =+-。

2024年成都市第七中学高三数学(理)考前热身试卷附答案解析

2024年成都市第七中学高三数学（理）考前热身试卷（全卷满分150分，考试时间120分钟）第I 卷（选择题，共60分）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集{}|7U x N x =∈≤，集合M 、N 满足{}3,7M =，{}()4,5U M N = ð，则{}0,1,2,6=（）A ．()U M N ðB ．()()U UM N 痧C ．()U M N ðD ．()()UU M N 痧2．设向量a ，b 满足()(2)a b a -⊥+ ，且230a b =≠ ，则cos ,a b <>=（）A ．16-B ．38-C ．16D ．383．设x ，y 满足约束条件10,0,1,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥-⎩则5z x y =+的最小值为（）A ．3B ．6C ．3-D ．6-4．一个多面体的三视图如下图，图中所示外轮廓都是边长为1的正方形，则该多面体的体积为（）A ．13B ．23C ．16D ．565．函数23xy =与123xy -=的图象（）A ．关于2x =对称B ．关于1x =对称C ．关于12x =对称D ．关于14x =对称6．设点(2,3)A ，动点P 在抛物线2:4C y x =上，记P 到直线2x =-的距离为d ，则AP d +的最小值为（）A ．1B ．3C1-D1+7．圆2212880:O x y x y +++-=与圆222:4420O x y x y +---=的位置关系为（）A ．外切B ．相交C ．内切D ．相离8．下列说法中，正确的为（）A ．在研究数据的离散程度时，一组数据中添加新数据，其极差与标准差都可能变小B ．在研究变量间的相关关系时，两个变量的相关系数越小，则两者的线性相关程度越弱C ．在实施独立性检验时，显著增加分类变量的样本容量，随机变量2K 的观测值k 会减小D ．在回归分析中，模型样本数据的2R 值越大，其残差平方和就越小，拟合效果就越好9．已知圆锥PO 的母线长为3，表面积为4π，O 为底面圆心，AB 为底面圆直径，C 为底面圆周上一点，60BOC ∠=︒，M 为PB 中点，则MOC △的面积为（）A ．4B ．54C ．8D ．5810．内切球半径为1的正四棱台其上、下底面边长可能分别为（）A ．1，3B ．1，4C ，D ，11．设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，则“203ω<<”是“()f x 在3(,)64ππ上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．双曲线C 的两个焦点为1F 、2F ，对称中心为O ，在C 的一条渐近线上取一点M ，使得OM 等于C 的半实轴长，当12MF F △的最小角取最大值时，C 的离心率为（）A B C ．2D 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设2z i =-，则22z z的虚部为____________．14．5(43)(2)x y x y -+的展开式中33x y 的系数为____________．15．在ABC △中，已知1BC =，2AC =，1cos 4C =，则sin 2A =____________．16．曲线ln y x =上有相异三点到点(3,)M t 的距离相同，则t 的取值范围为____________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2121n n S n a a =++-．（1）若11a ≠，证明：{}n a n -是等比数列；（2）若2a 是1a 和3a 的等差中项，设21n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．（12分）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划6月1日选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲选择“共享单车”的概率为12，乙选择“共享单车”的概率为23，丙选择“共享单车”的概率为34．（1）若有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；（2）记甲、乙、丙三人中选择“共享单车”出行的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为2，160B BC ∠=︒，D 为1AC 与1AC 交点．（1）证明：平面BCD ⊥平面11AB C ；（2）若12DB =，求二面角111A CB C --的余弦值．20．（12分）已知椭圆221:12x C y +=与抛物线22:2C y ax =-有四个公共点A 、B 、C 、D ，分别位于第一、二、三、四象限内．（1）求实数a 的取值范围；（2）直线AC 、AD 与y 轴分别交于M 、N 两点，求MN 的取值集合．21．（12分）（1）讨论函数1()tan()21x x x e f x e +=⋅-在区间(0,)π内的单调性；（2）存在1x ，2(0,)x π∈，满足12x x <，且1221sin sin xxe x e x =．ⅰ）证明：12x x π+<；ⅱ）若212x x π<+，证明：1223x x π+<．（参考数据：4.8 4.9<<）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3)(0)44ππρθθ=-≤≤，已知1(1,)2M ，动直线l 的参数方程为1cos ,1sin 2x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，02πα≤<）．（1）写出C 在直角坐标系下的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有两个公共点A 和B ，线段AB 上一点K 满足2KM AM BM =⋅，以α为参数写出K 轨迹的参数方程．23．（10分）选修45-：不等式选讲已知,,0a b c >，且2a b c abc ++=．（1）求2abc 的最小值m ；（2）证明：22()mabc a b c m ++≥．数学（理）参考答案一、选择题123456789101112DAADDDBD CBBB5．提示：曲线23xy =关于x a =的对称曲线为2(2)3a x y -=，即423a xy -=，与123xy-=对比系数可知41a =，故14a =．10．提示：如图，设上、下底面边长分别为a ，b ，内切球半径为r ，过内切球球心作轴截面，利用射影定理，可得222a br ⋅=，即4ab =，B 选项满足题设．11．提示：对于()f x 在3(,)64ππ上单调递增，可得371246122ππππω-=≤⋅，即127ω≤，有230672πππωϕπ<+<+<，结合单调性，可知062ππωϕ<+<，仅需限定342ππωϕ+≤，又考虑0ϕ>，则有203ω<<，故满足“必要条件”；但当2πϕπ≤<时，对于203ω<<，342ππωϕ+≤无法成立，故不满足“充分条件”．12．提示：如图，设12MF F △的最小角为θ，利用特征2Rt MOF △可知2a OH c =，abMH c =，其中H为垂足，则有222tan 24abab c a a b c cθ==≤++，取等条件为222a b =，故e =．二、填空题13．4514．80-15．3216．52ln 24t -<<--16．提示：设相异三点到M 的距离为d ，可知函数222()(3)(ln )f x x x t d =-+--至少有3个零点，(3)ln ()2x x x t f x x -+-'=，令()(3)ln g x x x x t =-+-，1()23g x x x '=-+，()g x '在1(0,)2，1(,1)2，(1,)+∞符号正负正，()g x 对应增减增，为满足题设，()g x 符号必须负正负正，即1((1)02g g <，此时52ln 24t -<<--，这样才有()f x 减增减增，其图象为W 型，()f x 有3或4个零点．三、解答题17．解：（1）对2121n n S n a a =++-①，当2n ≥时，有21112(1)1n n S n a a --=-++-②，-①②：112()21n n n n S S n a a ---=-+-，即1221n n n a n a a -=-+-，（2分）经整理，可得[]1(1)(1)n n a n a n --=---，（4分）故{}n a n -是以11(0)a -≠为首项、1-为公比的等比数列．（5分）（2）由（1）知11(1)(1)n n a n a --=--，有213a a =-，312a a =+，题设知2132a a a =+，即1112(3)(2)a a a -=++，则11a =，故n a n =．（7分）而211111()(2)22n n n b a a n n n n +===-++，（9分）121111111111(21324112n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--++ 11111(21212n T n n =+--++故3111(4212n T n n =-+++（12分）18．解：（1）记甲、乙、丙三人选择“共享单车”出行分别为事件A ，B ，C ，记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件D ，则12111312311()()()()23423423424P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，又1231133()()()2342348P CD P ABC P ABC =+=⨯⨯+⨯⨯=，（3分）所以3()98(|)11()1124P CD P C D P D ===，即若有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为911．（5分）（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，则1111(0)()23424P X P ABC ===⨯⨯=，1111211131(1)()()()2342342344P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，11(2)()24P X P D ===，1231(3)()2344P X P ABC ===⨯⨯=，（9分）所以X 的分布列为X 0123P12414112414故1111123()012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，即X 的数学期望为2312．（12分）19．解：（1）取BC 中点O ，取1AB 中点E ，连接DE ，BE ，OE ，因为三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为2，160B BC ∠=︒，有1AO B O ==1AB BB =，E 为1AB 的中点，BCDE 四点共面，所以1OE AB ⊥，且1BE AB ⊥，BE ，BE ，OE ⊂平面BCD ，OE BE E = ，即1AB ⊥平面BCD ，又1AB ⊂平面11AB C ，故平面BCD ⊥平面11AB C ．（5分）（2）因为11//BC B C ，所以11B C ⊥平面1AOB ，1AB ⊂平面1AOB ，所以111B C AB ⊥，所以11AB C △为直角三角形，所以112AC DB ==，所以13AB ==，在1AOB △中，13391cos 232AOB +-∠==-⨯．（6分）以O 为原点，作Oz ⊥平面11BCC B ，以OB ，1OB ，Oz方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则()1,0,0C -，()1B，()1C -，30,,22A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，由11AA CC =，所以131,,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以130,,22CA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()1CB =，设平面11ACB 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则1100CB n CA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即03022x y z ⎧+=+=⎩，令1z =，解得(3,n = ，所以平面11C CB 的一个法向量为(0,0,1)m =，（10分）记二面角111A CB C --的大小为θ，且θ为锐角，则cos cos ,13m n m n m n θ⋅===⋅，即二面角111A CB C --的平面角的余弦值为13．（12分）20．解：（1）由椭圆1C 及抛物线2C 的对称性，知A 与B 、C 与D 关于y 轴对称，设其纵坐标分别为1y 、2y ，联立2212x y +=与22y ax =-，消x ，得22220ay y a ++-=①，其两根即1y 、2y ，由题设知120,10,a ay y a >⎧⎪-⎨=<⎪⎩解得1a >．（4分）（2）设直线:()l x t y m =-，若l 表示AC ，联立()x t y m =-与22y ax =-，消x ，得22222(21)20at y mat y at m -++-=②，其两根也是1y 、2y ，故方程①与②为同解方程，有21221212mat y y a at ++=-=，即2124m a at -=+③，亦有2212212a at m y y a at --==，即22121m a at-=-④，（8分）③与④相加，可得2410m m ++=，有12m =-+，22m =--考虑到M 在1C 内部，取1M y m =；若l 表示AD ，且N 在1C 外部，类上可得2N y m =，即12MN m m =-=，故MN的取值集合为{．（12分）（亦可用1y 、2y 以点参形式直接表示直线AC 与AD，可得到M N y y -=21．解：（1）2222sin11122()(2sin )21(1)cos cos 21cos 22)2(xx x x x x x x xe e ef x e e x x x x e e e -+-'=⋅+⋅=-----，令()2sin x xg x e ex -=--，有()2cos x x g x e e x -'=+-，而当(0,)x π∈，()210g x '>⋅=，则()g x 单增，有()(0)0g x g >=，即()0f x '>，则()f x 在区间(0,)π内单调递增．（4分）（2）ⅰ）由1221sin sin xxe x e x =，可令得1212sin sin x x x x m e e==，设1sin ()x x h x m e =-，1cos sin ()xx xh x e-'=，当(0,)4x π∈时，1()0h x '>，1()h x 单增；当(,)4x ππ∈时，1()0h x '<，1()h x 单减．由题设知11(0)()0h h π=<，且1(04h π>，则有1(0,)4x π∈，2(,)4x ππ∈，4(0,)2m e π-∈．若22x π≤时，则1242x x πππ+<+<；（6分）若22x π>，设24sin ()x h x m e π=-，易知其在(0,)π内有两零点*1x 和*2x ，其中*1(0,)4x π∈，*23(,)4x ππ∈，而2()h x 关于2x π=对称，且有**12x x π+=．由4sin x e π在(0,2π单增，知1*11144sin sin sin xx x x m e e e ππ==>，有*11x x <；由4sin x eπ在(,)2ππ单减，知2*22244sin sin sin xx x x m e e e ππ==<，有*22x x <，则**1212x x x x +<+，即12x x π+<．（8分）（证明亦可利用()()f x f x π>-，(0,4x π∈）ⅱ）由1221sin sin x xe x e x =，得2112121212sin(sin(2222x x x x x x x x x x e -+-+--=+，利用正弦和差角公式，经过化切后得2112121212tan tan (tan tan )2222x x x x x x x x x xe -+-+--=+，再整理可得212121211tan tan 221x x x x x x x x e e --+-+=⋅-，（10分）由题设知2102x x π<-<，利用（1）结论有2121221211tan tan 2141x x x x x x e e ee πππ---++⋅<⋅--，则22121 4.91tan2 4.811x x e e ππ+++<<<--12022x x π+<<，即1223x x π+<，综上，1223x x π+<．（12分）22．解：（1）由cos sin ρθθ=+得2cos sin ρρθρθ=+，即22x y x y +=+，整理可得22111(()222x y -+-=，而304πθ≤≤，图形分析可知0y ≥，故C 在直角坐标系下的普通方程为22111()((0)222x y y -+-=≥．（4分）（2）将1cos ,1sin 2x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩代入22111()(222x y -+-=，消去x ，y ，整理得21cos 04t t α+⋅-=，2cos 10α∆=+>，考虑到0y ≥，由图形可知00αα≤<，0α为锐角且满足01tan 2α=，由韦达定理及题设可知214K A B A B t t t t t =⋅==，考虑点K 在线段AB 上，12K t =-，则点K 的坐标为1(1cos ,sin )2K K t t αα++，（8分）故K 轨迹的参数方程为11cos ,211sin 22x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（α为参数，00αα≤<），其中锐角0α满足01tan 2α=．（10分）23．解：（1）由均值不等式可知422c c a b c a b ++=+++≥，即2abc ≥整理得24abc ≥，故2abc 的最小值为4，取最值条件为12ca b ===．（4分）（2）由（1）知即证224()4abc a b c ++≥，由2a b c abc ++=可得111c ab bc ac++=，即有21114()(4)(4)()abc a b c ab ac bc c ab ac bc ab ac bc++=++=++++，由柯西不等式可知222111(4)()(211)4ab ac bc ab ac bc ++++≥++=++=，取等条件为4111ab ac bc ab ac bc==，即12c a b ===．故224()4abc a b c ++≥．（10分）。