2018-2019学年安徽省合肥一六八中学高二上学期期中考试文科数学(宏志班)试题(Word版)

合肥一六八中学2018—2019学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）命题人：汪克亮 审题人：贾秋雨一、选择题（共60题，每题5分。

每题仅有一个正确选项。

）1.下列说法正确的是 ( )A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点2.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形 3.已知直线a b 、是异面直线，直线c d 、分别与a b 、都相交，则直线c d 、的位置关系A.可能是平行直线B.一定是异面直线C.可能是相交直线D.平行、相交、异面直线都有可能4．在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为 （ ）A ．34B ．23C ．15D ．135.已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥，则（ ） A.m ∥l B.m ∥n C.n ⊥l D.m ⊥n6．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与,,a b θ的值有关7．设△ABC 的一个顶点是A(3，－1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为( )A ．y ＝2x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝－12x ＋528.βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面βα,平行的是 ( )A.n m ,是平面α内两条直线，且ββ//,//n mB.α内不共线的三点到β的距离相等C.βα,都垂直于平面γD.n m ,是两条异面直线，βα⊂⊂n m ,，且αβ//,//n m9.某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）A 、B 、827πC 、21)πD 、21)π10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 28+B. 36+C. 36+D. 44+11.在单位正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP+D 1P 取得最小值,则此最小值是（ ）C.12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，过点D 1、E 、F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为V 1、V 2（V 1＜V 2），则V 1：V 2=（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共20分，每题5分）13.直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________________.14. 四棱锥S ABCD -，点,,,,S A B C D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________．15. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；② 一尺等于十寸)三、解答题（共70分，每题必需要有必要的解答过程）17（10分）.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面A B C D ，0,60AB AD BAD =∠=，,E F 分别是,AP AD 的中点．求证：（1）直线EF ∥平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD .18（12分）.如图，在三棱锥P ABC -中，PAC ABC ⊥平面平面，60PAC BAC ∠=∠=，4AC =，3AP =，2AB =.（1）求三棱锥P ABC -的体积；（2）求点C到平面PAB距离.19(12分).已知点P到两个定点M(－1，0)，N(1，0)距离的比为2，点N到直线PM的距离为1.求直线PN的方程．20（12分）．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，BD⊥PM．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若∠APD=90°，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求三棱锥A﹣PBM的高．21（12分）.如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1．过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G.（１）证明：AD∥平面EFGH；（２）设AB=2AA1=2a，在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p.当点E，F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值.22（12分）.如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．合肥一六八中学2018—2019学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）命题人：汪克亮 审题人：贾秋雨（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2、选择题答案请用2B 铅笔准确地填涂在答题卡上相应位置，非选择题答案必须填写在答题卷上相应位置，否则不得分。

3、 考试结束后，请将答题卡和答题卷一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（共60题，每题5分。

每题仅有一个正确选项。

）1.下列说法正确的是 (B )A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点2.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是(C )A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形 3.已知直线a b 、是异面直线，直线c d 、分别与a b 、都相交，则直线c d 、的位置关系A.可能是平行直线B.一定是异面直线C.可能是相交直线D.平行、相交、异面直线都有可能答案 C4．在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为 （ ）A ．34B ．23C ．15D ．13C 5.已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥，则（ ） A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n【答案】C 6．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与,,a b θ的值有关B7．设△ABC 的一个顶点是A(3，－1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为( )A ．y ＝2x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝－12x ＋52答案：A8.βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面βα,平行的是 ( )A.n m ,是平面α内两条直线，且ββ//,//n mB.α内不共线的三点到β的距离相等C.βα,都垂直于平面γD.n m ,是两条异面直线，βα⊂⊂n m ,，且αβ//,//n mD9.某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）A 、B 、827πC D【答案】A10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 28+B. 36+C. 36+D. 44+【答案】B【解析】11.在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值,则此最小值是（）C.D12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，过点D1、E、F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为V1、V2（V1＜V2），则V1：V2=（C）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题（共20分，每题5分）13.直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________________.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)14. 四棱锥S ABCD -,,,,S A B C D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________．解析： 如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线SE 上找到一个点O使得OA OS =，则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上．在Rt SEA ∆中，1SA AE ==，故1SE =．设球的半径为R ，则,1OA OS R OE R ===-Rt OAE ∆中，221(1)1R R R =+-=>=，0OE =，即点E 即为球心， 故这个球的体积43V π=15. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；② 一尺等于十寸)答案：3解析：本题考查圆台的体积公式．做出圆台的轴截面如图，由题意知，BF ＝14(单位寸，下同)，OC ＝6，OF ＝18，OG ＝9，即G 是OF 中点，所以GE 为梯形的中位线，所以GE ＝14＋62＝10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为13(100π＋36π＋100π×36π)＝588π.盆口的面积为142π＝196π，所以588π196π＝3，即平地降雨量是3寸． 16．如果三棱锥A BCD -的底面BCD 是正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射影是△BCD 的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥．给出下列结论：① 正三棱锥所有棱长都相等；② 正三棱锥至少有一组对棱（如棱AB 与CD ）不垂直；③ 当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值；④ 若正三棱锥所有棱长均为，则该棱锥外接球的表面积等于12π．⑤ 若正三棱锥A BCD -的侧棱长均为2，一个侧面的顶角为40︒，过点B 的平面分别交侧棱AC ,M N ．则△BMN 周长的最小值等于．三、解答题（共70分，每题必需要有必要的解答过程）17（10分）.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面A B C D ，0,60AB AD BAD =∠=，,E F 分别是,AP AD 的中点．求证：（1）直线EF ∥平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD .解析：（1）如图，在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD .又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF ∥平面PCD .（2）连接BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面PAD . 又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD .18（12分）.如图，在三棱锥P ABC -中，PAC ABC ⊥平面平面，60PAC BAC ∠=∠=，4AC =，3AP =，2AB =.（1）求三棱锥P ABC -的体积；（2）求点C 到平面PAB 距离.18.解：（1）过P 作PH AC ⊥交AC 于一点H ，PAC ABC ⊥平面平面，PH ABC ∴⊥平面.在PAC ∆中，60PAC ∠=，3PA =，则3PH ==32AH =. ABC ∆面积11sin 6024sin 602322S AB AC =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=.∴四面体P ABC -体积11333ABC V S PH =⋅⋅=⋅=. （2）在ABC ∆中，连接BH .则2223222BH ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,3132cos 6024⋅⋅=. 222213104PB PH HB =+=+=⎝⎭，PB ∴=在PAB ∆中，3PA =，2AB =，PB =2232101cos 2324PAB +-∴∠==⨯⨯，sin 4PAB ∠=.1232PABS ∴=⋅⋅=设C 点到平面PAB 距离为h ，由等体积法可知. 11333PAB ABC S h S PH ⋅=⋅⋅=.133h ∴=.从而h =.C ∴点到平面PAB 19(本题满分12分)已知点P 到两个定点M (－1，0)，N (1，0)距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1.求直线PN 的方程．解：设点P 的坐标为(x ，y )，由题设有|PM ||PN |＝2， 即（x ＋1）2＋y 2＝2·（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0.①因为点N到PM的距离为1，|MN|＝2，所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±3 3，直线PM的方程为y＝±33(x＋1)．②将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0，解得x＝2±3，代入②式得点P的坐标为(2＋3，1＋3)或(2－3，－1＋3)或(2＋3，－1－3)或(2－3，1－3)，∴直线PN的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.20（12分）．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，BD⊥PM．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若∠APD=90°，四棱锥P ﹣ABCD的体积为，求三棱锥A﹣PBM的高．20证明：（１）取AD的中点E，连接PE，EM，AC.底面ABCD为菱形，又EM ∥AC，又BD⊥PM，则.,平面PAD⊥平面ABCD （2）设,由∠APD=90°，可得由（1）知，则，则连接，可得.设三棱锥A ﹣PBM 的高为,则由,可得 即.21（12分）.如图在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH ∥A 1D 1．过EH 的平面与棱BB 1,CC 1相交，交点分别为F ，G.（１）证明：AD ∥平面EFGH ；（２）设AB=2AA 1=2a ，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，记该点取自于几何体A 1ABFE-D 1DCGH 内的概率为p.当点E ，F 分别在棱A 1B 1，B 1B 上运动且满足EF=a 时，求p 的最小值.（１）证明：在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD ∥A 1D 1，又因为EH ∥A 1D 1，所以AD ∥EH.因为AD ⊄平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ，则AD ∥平面EFGH ．（２）解:设BC=b ，则长方体ABCD-A 1B 1C 1D 的体积V=AB ·AD ·AA 1=2a 2b ．几何体EB 1F-HC 1C 的体积V 1=21（EB 1·B 1F ·B 1C 1）=2b EB 1·B 1F ． 因为22121a F B EB =+, 所以EB 1·B 1F 2222121a F B EB =+.当且仅当EB 1=B 1F=22a 时等号成立． 从而V 1≤42b a . 故V V p 11-=≥8724122=-b a ba ． 当且仅当EB 1=B 1F=22a 时等号成立． 则p 的最小值为87． 22（12分）.如图，已知正三棱锥P ﹣ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G ．（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD ⊥平面ABC ，进而可得PD ⊥AB ，同理可得DE ⊥AB ，结合两者分析可得AB ⊥平面PDE ，进而分析可得AB ⊥PG ，又由PA=PB ，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF ⊥平面PAC ，可得F 为E 在平面PAC 内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P ﹣ABC 为正三棱锥，且D 为顶点P 在平面ABC 内的正投影，∴PD ⊥平面ABC ，则PD ⊥AB ，又E 为D 在平面PAB 内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．=×2××2×2=．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S△PEF【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．。