相似三角形的应用2 中心投影概述
相似三角形的中心定理与三角形内心
相似三角形的中心定理与三角形内心相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
在研究相似三角形时，三角形的中心定理和三角形的内心是非常重要的概念。
本文将探讨相似三角形的中心定理以及三角形内心的性质和应用。
一、相似三角形的中心定理相似三角形的中心定理是指若两个三角形的对应的角相等，则它们的对应边的比值相等。
可以进一步推导出以下定理：1. 内心定理：相似三角形的内心连线与三角形的观察顶点连线交点连接呈现一条直线。
这条直线被称为三角形内心。
2. 重心定理：相似三角形的重心连线与三角形的重心连线交点连接呈现一条直线。
这条直线被称为三角形重心。
3. 垂心定理：相似三角形的垂心连线与三角形的垂心连线交点连接呈现一条直线。
这条直线被称为三角形垂心。
4. 外心定理：相似三角形的外心连线与三角形的外心连线交点连接呈现一条直线。
这条直线被称为三角形外心。
这些中心定理在三角形的研究中起着重要的作用。
通过利用这些定理，我们可以更好地理解三角形的形状和性质。
二、三角形内心三角形内心是指三角形内部到三边距离之和最小的一个点。
三角形的内心具有以下性质和应用：1. 内心到三角形三边的距离相等，且等于内心到三边的垂直距离之和的一半。
2. 内心到三角形三边的垂直距离之和等于内心到三边的距离。
3. 内心是三角形的重心、外心和垂心的共轭点，意味着如果我们连接三角形的内心与重心、外心或垂心，所得的直线将从三角形的对应连线交点连接。
4. 三角形内心是三角形三条角平分线的交点，任意一条角平分线上的点到其他两条角平分线的距离相等，均等于三角形内心到对应边的距离。
5. 三角形内心可以通过三角形三边的三个垂直平分线的交点来确定，这三条垂直平分线分别连接了三角形三个顶点与对边中点。
三、相似三角形与内心的关系相似三角形的中心定理揭示了相似三角形与内心的密切关系。
通过利用相似三角形的中心定理，我们可以推导出一些有关内心的性质：1. 若两个三角形相似，则它们的内心与相似中心（三角形内角平分线的交点）重合。
投影定理与相似三角形
投影定理与相似三角形投影定理是解决三角形相似问题的重要工具之一。
它建立在两个相似三角形之间的一个关键比例上，即两个相似三角形的对应边的长度比等于它们对应边的投影的长度比。
本文将介绍投影定理的原理和应用，以及相似三角形之间的性质和例题分析。
一、投影定理的原理投影定理是几何学中的一条基本定理，它描述了相似三角形之间的对应边的投影与对应边的长度之间的关系。
具体而言，设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边分别为AB和DE、AC和DF、BC 和EF。
则有以下投影定理成立：AB/DE = AC/DF = BC/EF其中，AB、AC和BC是三角形ABC的边长，DE、DF和EF是三角形DEF的边长。
二、投影定理的应用1. 求相似三角形的边长比例根据投影定理，我们可以利用已知条件求解相似三角形中的某个边长比例。
以已知三角形ABC和相似三角形DEF为例，已知AB/DE = x/y、AC/DF = m/n，要求求解BC/EF。
根据投影定理可知：BC/EF = (AB/DE) × (AC/DF) = (x/y) × (m/n) = (xm)/(yn)通过这个比例，我们可以知道两个相似三角形对应边的长度之间的倍数关系。
2. 求相似三角形的长度比例除了求解边长比例，投影定理还可以用来求解相似三角形边上的长度比例。
以已知三角形ABC和相似三角形DEF为例，已知AB/DE =x/y，求解AC/DF。
由于投影定理成立，我们可以得到：AC/DF = (AB/DE) × (EF/BC) = (x/y) × (EF/BC)通过这个比例，我们可以求得相似三角形边上长度之间的倍数关系。
三、相似三角形的性质与例题分析利用投影定理，我们可以得出相似三角形之间一些重要的性质。
例如，相似三角形的对应角相等；相似三角形的周长之比等于任意两条对应边的长度之比；相似三角形的面积之比等于任意两条对应边长的平方之比。
投影与相似三角形
投影与相似三角形投影是指从一个物体上某一点出发，逆着光线的传播方向，将物体上的点投射到位于另一平面上的相应点的过程。
而相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。
在几何学中，我们可以发现投影与相似三角形之间存在着一些有趣的关系。
本文将探讨投影与相似三角形的相关性，并展示它们在实际应用中的重要性。
一、投影的概念与原理投影是一种将三维物体映射到二维平面上的方法。
在投影的过程中，我们通常使用的是正交投影或透视投影。
正交投影是指投影线与投影面垂直的一种投影方式，透视投影则是以观察者为中心，向平面上投影的方式。
在三角形中，我们可以将一个三角形的某一顶点沿着一条与该平面垂直的线向另一平面投影，得到一个新的三角形。
这个新的三角形与原三角形具有相似的形状，并且对应边的比例是相同的。
二、相似三角形的特点相似三角形是几何学中一个重要的概念。
在两个或多个相似三角形中，对应角度是相等的，而对应边则成比例。
利用相似三角形的特点，我们可以进行各种几何推导和计算。
例如，在计算无法直接测量的高度时，可以利用相似三角形和已知长度的边来进行计算。
在实际应用中，相似三角形的概念也起到了重要的作用。
例如，在建筑设计中，我们可以利用相似三角形来计算建筑物的高度、宽度等关键尺寸；在地图制作中，利用相似三角形可以进行地图的测量和放大缩小。
三、投影与相似三角形的关系投影和相似三角形之间存在着一定的联系。
当一个三角形在投影过程中，我们可以发现，投影得到的三角形与原三角形具有相似的形状。
这意味着它们的对应边成比例，并且对应角度相等。
通过投影与相似三角形的关系，我们可以利用相似三角形的特点来计算投影三角形的边长、角度等重要参数。
这在实际应用中非常有用，例如在航空导航系统中，我们可以通过飞机的投影与相似三角形的特点，来计算飞机与地面的距离、高度等关键信息。
四、实际应用举例在建筑设计中，投影与相似三角形的原理可用于计算建筑物的高度。
通过测量建筑物的投影长度和测量点到建筑物的距离，利用相似三角形的特性，我们可以得到建筑物的真实高度。
相似三角形的应用(2)--中心投影概述
小明把手臂水平向前伸直，手持长为a的小尺竖
直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位
置，使站在点D处正好看到旗杆的顶部和底部
（如图）。如果小明的手臂长l =40cm，小尺长
B
DF G
变式练习
已知为了测量路灯CD的高度，把一根长1.5 m的 竹竿AB竖直立在水平地面上。测得竹竿的影子 长为1 m，然后拿竹竿向远离路灯的方向走了4 m。再把竹竿竖直立在地面上，竹竿的影长为1.8 m，求路灯的高度。
C A’ADBE B’E’
• 在同一时刻的阳光下,小明的影长比小强的 影子长,那么在同一路灯下( )
路灯、台灯、手电筒的光线可以看成 是从一个点发出的.
像这样，在点光源的照射下，物体所 产生的影称为中心投影.
1）在点光源的照射下，不同物体的物高与
影长成比例吗？ 不成比例
2）中心投影与平行投影比较
如图. 有一路灯杆AB，小明在灯光下看
到自己的影子DF，那么
（1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出.
a =20cm，点D到旗杆的距离AD=40m，求旗杆
的高度。
B
E a
lF
D
A
• 如图,工地上树立着两根电线杆AB、CD,它们相 距15m,分别自两杆上高出地面4m,6m的A、C处, 向两侧地面上的E和D,B和F处,用钢丝拉紧,以固 定电线杆,那么,钢丝绳AD与BC 的交点P离地面 的高度是多少米?
§6.7 相似三角形的性质及其应用(2)
夜晚，当人在路灯下行走时，会 看到一个有趣的现象：离开路灯越远， 影子就越长.
相似三角形的应用(二)
解决问题，增强用数学的意识，加深对判定三角形相似的条件和三角形相似的性质的理解。
路灯、台灯、手电筒的光线可以看成是从一个点发出的。
在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影。
二、新课讲解
例题1、如图. 有一路灯杆AB，小明在灯光下看到自己的影子
那么（1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出
例题2、有一路灯杆AB(底部
点D处测得自己的影长DF=3m,
的影长FG=4m,如果小明的身高为
三、练习、
1.在同一时刻的阳光下,小明的影长比小强的影子长
路灯下( )
A、小明的影子比小强的影子长
B、小明的影子比小强的影子短
C、小明的影子和小强的影子一样长
D、俩人的影长不确定
2.如图1，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，他沿
着树影BA由点B向点A走去，当走到点
(1) (2)
3. 如图2，身高1.6m的小华（CE）站在距路灯杆
测得她在灯光下的影长CD为2.5m，则路灯的高度
4.如图3，要测水池对岸两点A、B的距离，如果测得
BC
四、课堂小结、作业
授后小记。
6.7 相似三角形的应用(2)中心投影.
A、灯光下的中心投影
B、太阳光下的平行投影
C、两种投影都有可能
D、两种投影都没有可能
3、（06深圳）如图4，王华晚上由路灯A下的B处
走到Ｃ处时，测得影子CD的长为１米，继续往前走
３米到达Ｅ处时，测得影子EF的长为2米，已知王华
的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
Ａ．4.5米
Ｂ．6米
Ｃ．7.2米
练习3 如图是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的 光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意 图．已知桌面的直径是1.2m，桌面距离地面1m，若 灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积是0.81∏ ㎡
想一想
下面两幅图分别是两棵小树在同一时刻的影 子.你能判断出哪幅图是灯光下形成的，哪幅 图是太阳光下形成的吗？
思考：由上面的作图你想到了什么？
知识点2 等高的物体垂直地面放置时，在灯光 下离点光源越近，物体的影子越短；离点光源越远 物体影子越长。
中考链接
（2007 广东梅州）如图，晚上小亮在路灯
下散步，在小亮由Ａ处走到Ｂ处这一过程
中，他在地上的影子（ C ）
Ａ．逐渐变短
Ｂ．逐渐变长
A
B
Ｃ．先变短后变长
Ｄ．先变长后变短
练习2 利用所学投影知识，你能用作图的方法说明幻灯机 的工作原理吗？ 下图中点O为幻灯机的光源， AB是一张幻灯片，请你作 出AB在屏幕上的影子。
C A
O
B
D
改变AB与光源O的位置，影长会有怎样的变化？与同 伴交流。
知识点3 等长的物体平行于地面放置时，离点 光源越近，物体的影子越长；离点光源越远物体 影子越短，但不会比物体本身的长度还短。
中心投影与平行投影的区别与联系
相似三角形与投影平面的关系研究
相似三角形与投影平面的关系研究相似三角形是几何学中的重要概念之一，它在许多实际问题中都有广泛的应用。
而投影平面则是在几何学和工程学中经常遇到的一个概念。
本文将讨论相似三角形与投影平面之间的关系，并研究它们在实际问题中的应用。
1. 相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
给定两个相似三角形，我们可以得出以下几个性质：1.1 三角形内角对应相等在两个相似三角形中，对应的内角是相等的。
这是相似三角形的基本性质之一，它使我们能够推导出后面的性质和结论。
1.2 三角形边长成比例在两个相似三角形中，对应的边长之间成比例。
这是相似三角形的另一个重要性质，通过边长的比例，我们可以求解问题中的未知量，进行尺度的换算等。
1.3 高线成比例在两个相似三角形中，对应的高线成比例。
高线是指从一个顶点所引的垂直线段，通过高线成比例，我们可以解决关于面积的问题，计算体积等。
2. 投影平面的定义与性质投影平面是指一个物体在某个平面上的投影。
投影平面可以是垂直于物体的平面，也可以是与物体不垂直的平面。
我们可以得出以下几个关于投影平面的性质：2.1 平行投影平行投影是指物体在平行于投影平面的情况下，其投影保持物体原有的形状和大小。
这是投影平面的一种特殊情况，我们在实际生活中经常遇到这种投影。
2.2 垂直投影垂直投影是指物体在垂直于投影平面的情况下，其投影只保留物体的形状，大小会发生变化。
这也是一种常见的投影方式，例如我们在制作平面图时常常采用这种投影方法。
2.3 投影比例在相似三角形中，投影平面也是起到关键作用的一个因素。
在投影平面上，相似三角形的投影仍然是相似的，且对应边长之间依然成比例。
这使得我们可以利用投影平面进行尺度的换算，计算投影物体的面积等。
3. 相似三角形与投影平面的应用相似三角形与投影平面之间的关系在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个具体的例子：3.1 地图尺度的确定在制作地图时，为了使地图简洁明了，常常需要将真实的地理特征缩小投影到纸面上。
投影与相似三角形
投影与相似三角形投影和相似三角形是数学中的重要概念，在几何学和三角学中有广泛的应用。
本文将详细介绍投影和相似三角形的定义、性质以及它们之间的关系。
一、投影的定义和性质在几何学中，投影是指一个几何体在垂直于另一个几何体的平面上的影子。
投影通常用于描述物体在光线照射下在平面上形成的图像。
投影有以下几个重要的性质：1. 投影的长度与被投影对象的位置有关。
当一个物体距离平面较远时，它的投影长度较短；而当一个物体靠近平面时，它的投影长度较长。
2. 在平行投影中，平行线的投影仍然是平行的。
这意味着平行线在投影中保持相互平行的关系。
3. 投影可以改变物体的形状和大小，但是投影和被投影对象之间的比例关系是保持不变的。
二、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
相似三角形之间的对应边长比例是保持不变的，而对应角度也是相等的。
相似三角形有以下几个重要性质：1. 相似三角形的对应角相等。
如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
2. 相似三角形的对应边长比例相等。
对于两个相似三角形，它们的对应边长的比例是恒定的。
3. 相似三角形的面积比是对应边长比例的平方。
即如果两个三角形相似，它们的面积之比等于对应边长比例的平方。
三、投影与相似三角形的关系投影和相似三角形之间存在紧密的关系。
当两个物体相似且它们的一个图像为另一个图像的投影时，它们的投影仍然相似。
这是因为相似三角形的性质保证了对应边长比例和对应角度相等。
通过投影，我们可以在二维平面上观察和分析三维对象，从而简化问题的求解过程。
在实际应用中，投影和相似三角形有许多重要的应用。
例如在建筑设计中，可以使用投影来绘制建筑物的平面图。
在地理测量学中，可以使用相似三角形原理来测量远距离的物体高度或距离。
在影视制作中，可以使用投影来实现逼真的特效和虚拟场景。
综上所述，投影和相似三角形是数学中重要的概念，它们在几何学和三角学中有广泛的应用。
投影是物体在垂直平面上形成的影子，具有一些重要的性质。
相似三角形的视角与投影比例解析
相似三角形的视角与投影比例解析相似三角形是一种在几何学中经常遇到的重要形状，它们具有相等的形状但大小可能不同的特点。
在研究相似三角形时，我们常常涉及到视角和投影比例的问题。
本文将探讨相似三角形的视角和投影比例解析。
一、相似三角形的视角相似三角形的视角是指从不同视点观察相似三角形时所呈现的视角。
视角的大小取决于观察者与相似三角形之间的距离以及观察的角度。
具体而言，视角是由观察者所在的点与相似三角形的顶点以及顶点上的两个角所确定的。
在相似三角形中，视角的大小与三角形的大小成正比。
即如果两个相似三角形的边长比例为k，那么它们的视角比例也为k。
这是因为在相似三角形中，边长的比例关系决定了观察者与三角形之间的距离比例，而距离的比例直接影响了视角的大小。
二、相似三角形的投影比例相似三角形的投影比例是指一个三角形在某个方向上的投影长度与另一个三角形在同一方向上的投影长度之间的比值。
投影比例通常在研究投影问题时使用，它能帮助我们理解相似三角形在投影过程中的比例关系。
在相似三角形中，投影比例与边长比例相等。
也就是说，如果两个相似三角形的边长比例为k，那么它们的投影比例也为k。
这是因为在相似三角形中，边长的比例关系决定了三角形的形状相似性，而形状的相似性意味着三角形在投影过程中的比例关系是保持不变的。
三、相似三角形的视角与投影比例的应用相似三角形的视角和投影比例在许多实际问题中都有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要根据建筑物的模型计算观察者在不同距离和角度下的视角，以便确定建筑物的可见性和视觉效果。
此外，在地理学和地图制作中，相似三角形的视角和投影比例也被广泛应用。
通过计算观察者与地球表面上两个不同位置的视角和投影比例，我们可以制定出合适的地图投影方式，以最大程度地减小地图上的失真问题。
总结：视角和投影比例是研究相似三角形中重要的概念。
它们可以帮助我们理解相似三角形在观察和投影过程中的比例关系，并在实际问题中得到应用。
投影与相似三角形
投影与相似三角形投影和相似三角形是几何学中重要的概念和定理。
本文将介绍投影和相似三角形的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、投影的定义和性质1. 投影的定义：在几何学中，投影是指从一个点到一个平面上的垂直线段的长度。
在三维几何中，我们可以称之为垂足到平面的距离。
2. 直角三角形的投影：对于直角三角形ABC，若点D为BC上的垂足，则线段AD即为三角形ABC的投影。
根据勾股定理，我们可以得知投影与三角形的边长和角度之间的关系。
3. 平行四边形的投影：对于平行四边形ABCD，若点E为AB上的垂足，则线段DE即为平行四边形ABCD的投影。
同样地，我们可以根据平行四边形的性质得知投影与四边形的边长和角度之间的关系。
4. 投影的性质：投影具有以下性质：- 投影与原始线段或边相互垂直；- 投影的长度小于或等于原始线段或边的长度；- 若两个线段或边互相垂直，则它们的投影相互垂直；- 投影的长度和原始线段或边的长度成正比关系。
二、相似三角形的定义和性质1. 相似三角形的定义：在几何学中，相似三角形是指具有相似形状而不一定相等大小的三角形。
如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形。
2. 相似三角形的性质：- 对应角相等：如果两个三角形是相似的，则它们的对应角度相等。
- 对应边成比例：相似三角形的对应边长度成比例，比例因子为它们对应边的长度之比。
- 相似三角形的比例：如果两个三角形的对应边长度成比例，那它们是相似的。
- 相似三角形的周长比：相似三角形的周长之比等于它们的边长之比。
- 相似三角形的面积比：相似三角形的面积之比等于它们的边长之比的平方。
三、投影与相似三角形的应用1. 测量无法直接测量的距离：通过投影与相似三角形的原理，可以测量无法直接测量的距离，例如高楼的高度、河流的宽度等。
2. 解决实际问题：在实际问题中，投影与相似三角形的知识常常被用来解决各种几何问题，如建筑设计、地理测量、影视特效等领域。
10.7相似三角形的应用2
初中数学八年级下册课题：10.7相似三角形的应用（2）班级 组别 姓名 使用日期【学习目标】1．了解中心投影的意义，通过测量活动，综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，加深对判定三角形相似的条件和三角形相似的性质的理解；2．通过操作、观察等数学活动，探究中心投影与平行投影的区别，并运用中心投影的相关知识解决一些实际问题．【导学提纲】认真阅读课本P114～115内容，思考下列问题:1．夜晚，当人们在路灯下行走时，你是否发现一个有趣的现象：P114如图10—31，影子越变越长了?你能说明理由吗?2．（1）取两根长度相等的小木棒，将它们直立摆放在不同位置，固定手电筒光源，测量木棒的影长．它们的影子长度相等吗？_________．(2)改变手电筒光源的位置，木棒的影长发生了什么变化？____________．(3)在点光源的照射下，不同物体的物高与影长成比例吗？____________．路灯、台灯、手电筒的光线可以看成是从一个点发出的．像图10—31这样，在 的照射下，物体所产生的_______叫做中心投影．．．．． 【展示交流】1．如图，某同学身高AB ＝1.60m ，他从路灯杆底部的点D 直行此时其影长PB ＝2m,求路灯杆CD 的高度．2．如图，为了测量水塘边A 、B 两点之间的距离，在可以看到的A 、B 的点E 处，取AE 、BE延长线上的C 、D 两点,使得CD ∥AB ，若测得CD ＝5m ，AD ＝15m ，ED=3m,则A 、B 两点间的距离为___________．h S A C B B 'O C 'A '3．如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度．【课堂反馈】1．课本P116练习12．如图，零件的外径为16cm ，要求它的壁厚x ，需要先求出内径AB ，现用一个交叉钳(AD 与BC 相等)去量，若测得OA:OD=OB:OC=3:1，CD ＝5cm ，你能求零件的壁厚x 吗？3．点D 、E 分别在AC 、BC 上，如果测得CD ＝20m ，CE ＝40m ，AD=100m ，BE=20m ，DE=45m,求A 、B 两地间的距离．【盘点收获】【个案补充】【迁移创新】为了测量路灯（OS ）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB ）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC ）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB ‘）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（B ‘C ‘）为1.8米,求路灯离地面的高度.GC A【课堂作业】课本P118习题10.7第2，4题．。
10.7相似三角形的应用(2)
说出解题的思路，并写出解题的过程。
用彩笔标出过渡比。
教学后记：
七、布置作业
课本P118～119习题10.7第4、5题
课外作业《数学补充题》P71～72 10.7相似三角形的应用（2）
第1题；C
第2题；测量一棵松树AB的高度：可在同一时刻测量树的影长BC和测杆DE的影长EC（使A和D的影子重合，这样更简便），再测出DE的长就可以求出AB了。其道理是什么？
操作、实验、感悟。平行光线的照射不同，在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例．
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光
下的投影长为6m，请你计算DE的长.
二、新课
(一)、情境创设：
夜晚，当人们在路灯下行走时，你是否发现一个有趣的现象：P114如图10—31，影子越变越长了?你能说明理由吗?
（二）、探索活动
1、动手试一试：(1)取两根长度相等的小木棒，将它们直立摆放在不同位置，固定手电筒光源，测量木棒的影长。它们的影子长度相等吗？_________
2、数学是教人学聪明的学问，学数学最重要的是体会数学中蕴含的思想方法，并有意识地在生活中应用这些思想方法解决身边的问题。测量不能直接到达两端的物体的高度（或长度）时，经常运用相似三角形的知识。
3、已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
重点
用中心投影的概念及判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题
难点
运用中心投影的相关知识解决一些实际问题．。
学习过程
旁注与纠错
一、课前预习与导学得分
1、当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了。这是因为（）
苏教版九年级下册数学[用相似三角形解决问题—知识点整理及重点题型梳理](提高)
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苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习用相似三角形解决问题—知识讲解（提高）【学习目标】1.以分析实际例子为背景，认识平行投影和中心投影的基本概念与性质；2.通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点诠释：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.要点二、中心投影若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三、中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.要点诠释：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.要点四、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.【课程名称：相似三角形的性质及应用394500：应用举例及总结】要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
初中数学教案：图形的相似与投影
初中数学教案：图形的相似与投影相似与投影的概念在初中数学中扮演着重要的角色。
通过理解图形的相似性和投影，学生能够进一步探索几何形状之间的关系，并应用这些概念解决实际问题。
本篇文章将介绍图形的相似性和投影的基本原理以及如何在教学中有效地引导学生理解和应用这些概念。
一、图形的相似性1. 相似性的定义相似性是指两个几何图形具有形状相同但尺寸不同的特点。
当两个图形之间存在一个比例因子时，我们可以说它们是相似的。
通常，我们用符号"∽"表示两个相似图形之间的关系。
2. 相似三角形在初中数学中，最常见的相似图形就是三角形。
如果两个三角形对应角度相等，并且对应边长成比例，则可以判断这两个三角形是相似的。
3. 判断相似条件除了可以通过角度和边长来判断两个三角形是否相似外，还可以通过其他条件进行判断。
例如，如果一组线段两两成比例，则可以判断它们所确定的多边形是相似多边形。
4. 相似的性质相似图形具有一些重要的性质，这些性质可以帮助我们在解决问题时应用相似性。
例如，相似三角形之间的对应边长比例关系可以用来求解未知长度。
二、图形的投影1. 投影的定义投影是指将一个物体映射到另一个平面上所得到的图像。
在几何中，我们常常使用平行光线来模拟光线投射，并观察物体在另一个平面上的投影。
2. 投影的类型根据物体相对于投射平面的位置关系，我们可以将投影分为水平投影和垂直投影。
水平投影是指物体被垂直于地面方向的光线照射后，在地面上形成的阴影；垂直投影是指物体被垂直向下方向的光线照射后，在一个竖直平面上形成的阴影。
3. 投影与相似图形在讨论图形相似与否时，经常需要考虑它们在不同视角下是否具有相同或类似的形状。
通过观察图形在不同视角下的投影，我们可以推断出它们之间是否存在相似关系。
4. 应用实例投影在日常生活中有广泛的应用。
例如，建筑师和设计师通常使用平行投影来绘制建筑蓝图或产品设计图。
此外，天文学家也利用恒星的视差计算出它们与地球的距离。
平面几何中的相似三角形与重心知识点
平面几何中的相似三角形与重心知识点在平面几何中，相似三角形和重心是两个重要的知识点。
相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形，而重心则是指三角形内部的一个特殊点，它与三角形的顶点之间的距离满足一定的比例关系。
本文将探讨相似三角形与重心的相关概念和性质。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指在形状上相同但可能尺寸不同的三角形。
两个三角形相似的条件为：它们的对应角度相等，或它们的对应边成比例。
1. 相似三角形的定义：若两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。
2. 相似三角形的性质：a) 两个相似三角形的相应边的长度成比例；b) 两个相似三角形的对应角的度数相等；c) 两个相似三角形的面积之比等于对应边的长度之比的平方。
二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似可以使用以下方法：1. AAA判定法：如果两个三角形的三个角分别相等，则它们是相似的。
2. AA判定法：如果两个三角形的两个角对应相等，则它们是相似的。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，而且两个相等角的两边成比例，则它们是相似的。
4. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别成比例，则它们是相似的。
三、重心的定义和性质重心是指三角形内部一个特殊点，它与三角形的顶点之间的距离满足一定的比例关系。
重心的定位可以通过相交中线的交点确定。
1. 重心的定义：在一个三角形中，重心是三条中线的交点。
2. 重心的性质：a) 重心到三角形各顶点的距离成一定的比例关系，即重心离每个顶点的距离与相应中线长度的比值为2:1；b) 三角形的三条中线的交点即为重心；c) 重心将三角形分为三个面积相等的小三角形。
四、重心与相似三角形的关系重心与相似三角形之间存在一些关系和性质。
1. 相似三角形的重心：两个相似的三角形的重心会重合。
2. 重心的运用：重心是一个很重要的概念，在解决一些和三角形相关的问题时经常会用到，例如确定图形的形心、质心等。
总结：相似三角形和重心是平面几何中的重要知识点。
九年级中心投影知识点总结
九年级中心投影知识点总结投影是几何学中一个重要的概念，用于描述一个物体在投影面上的投影形状。
在九年级的数学学习中，我们需要了解一些跟中心投影相关的知识点。
本文将从投影的定义、性质、应用等方面进行总结和归纳。
一、投影的定义投影是指一个物体在一定条件下，在垂直于投影面的直线上形成的阴影或形状。
在几何学中，我们经常使用中心投影，即以某点为中心，直线上的点在投影面上的对应点与中心连线的垂直。
二、投影的性质1. 投影是一种二维表示，将三维物体映射到一个二维平面上。
2. 投影的形状与物体的位置、形状、朝向以及投影面的位置有关。
3. 投影的大小可以根据几何关系进行计算，如相似三角形的性质等。
4. 相同形状的物体在相同的投影面上，其投影是相同的。
三、中心投影的应用中心投影作为常见的投影方式，在实际生活中有广泛的应用。
下面列举几个常见的中心投影应用场景。
1. 平面图形的投影：在工程制图、建筑设计等领域，我们常常使用平面图形进行描述和设计。
在绘制平面图形时，我们通常会使用中心投影的方式来表示三维物体在二维平面上的形状。
2. 光学投影：投影仪是一种常见的光学设备，通过将图像或文字投射到屏幕上实现信息传递。
投影仪中的投影原理就是利用光线的中心投影，在特定条件下将图像投射到屏幕上。
3. 空间测量：在工程测量、地理测绘等领域，我们经常需要对三维物体进行测量和描述。
通过使用中心投影的技术，可以将复杂的三维物体转化为简单的二维形状，从而方便我们进行测量和计算。
四、中心投影的计算方法计算中心投影的大小和位置，通常可以使用几何关系进行推导和计算。
这里介绍两种常见的计算方法。
1. 相似三角形法：找到中心、投影面上对应点和中心的连线，构成的三角形与三维物体构成的三角形相似。
通过相似三角形的性质，可以计算出投影的大小和位置。
2. 旋转法：将三维物体绕中心轴旋转，使得投影面与其中一个平面平行。
这样，投影就变为平行投影。
通过平行投影的性质，可以计算出投影的大小和位置。
相似三角形的投影性质与相交条件
相似三角形的投影性质与相交条件在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们被认为是相似的。
本文将探讨相似三角形的投影性质以及相交条件。
一、相似三角形的投影性质相似三角形的投影性质是指两个相似三角形在投影过程中保持相似关系。
具体而言，当一个三角形投影到一个平行于其平面的平面上时，所得的投影三角形与原三角形相似。
这一性质可以通过以下示例来说明：设有两个相似三角形ABC和A'B'C'，其中A、B、C和A'、B'、C'分别为对应顶点。
假设这两个三角形的平面投影分别为A''B''C''和A'''B'''C'''。
根据相似三角形的定义，我们知道∠A = ∠A'，同理∠B = ∠B'，∠C = ∠C'。
当将三角形ABC沿着平行于其平面的方向进行投影时，相似关系将被保持，即∠A'' =∠A'，∠B'' = ∠B'，∠C'' = ∠C'。
根据这一投影性质，我们可以利用相似三角形的已知条件推导出未知条件。
例如，若已知一个三角形的尺寸和相似三角形的投影尺寸，我们可以通过相似三角形的投影性质计算出其他未知尺寸。
二、相似三角形的相交条件在几何学中，相交是指两个或多个几何图形共享一部分空间的情况。
而相似三角形的相交条件是指两个相似三角形在相交时保持相似关系。
根据相似三角形的定义，我们已知两个相似三角形的对应角度相等。
如果两个相似三角形相交，那么它们共享一条或多条边。
根据三角形的共边共角性质，相交的两个三角形中的对应边所夹的角度必定相等，从而保持了相似关系。
例如，假设存在两个相似三角形ABC和DEF，且它们相交于边BC 和边EF。
相似三角形模型总结
相似三角形模型总结相似三角形是中学数学中常见的一个概念。
相似三角形有着非常重要的应用，尤其在建筑、地图、航空等领域中被广泛地运用。
在这篇文章中，我将对相似三角形的模型及其应用进行总结。
一、相似三角形的定义相似三角形是指形状相似而大小不同的两个或多个三角形。
它们的对应角度相等，对应边的比例相等。
根据这个定义，我们可以推出相似三角形的判定定理：若两个三角形对应角度分别相等，则它们是相似的。
二、重心模型重心模型是一种抽象的几何模型，它是在研究固体对象的重心和转动惯量时得出的。
对于任意三角形 ABC，以其三条边的中点为顶点，连上互相垂直的直线，将它们相交于 G 点。
这里 G 点称为三角形 ABC 的重心，它与每个中点连成的线段相等。
同时，可以证明如果一个点在三角形内部且到三边距离的乘积等于其到三条中线距离的乘积，则该点一定是三角形的重心。
三、海龟图模型海龟图模型是一个很著名的相似三角形应用模型，它是由美国数学家T. N. Thiele 提出的。
在海龟图中，一个三角形符号代表前进一步，一个圆点符号则代表不动。
当这个图形以相似的规律继续扩展时，就能在图形中看到似乎随机且自相似的模式。
在实际操作中，我们可以将这个模型用于分形的制作和操作中，实现较好的效果。
四、印章模型印章模型是相似三角形的另一种应用模型。
在制作印章时，多会使用到相似三角形的概念。
根据相似三角形的定义，我们可以通过相似三角形来制造缩小复制的图案。
具体来说，我们可以通过将大三角形分割为单位面积相等的若干小三角形，然后根据相似的规律进行缩小，就可以得到与大三角形相似而更小的三角形。
五、三角剖分模型三角剖分模型是相似三角形的一种实际应用模型。
在三角剖分中，我们会把一个多边形分解为多个三角形，这些三角形可以保持相似性，这比将多边形分解成其它形状的图形更容易实现。
总结在本文中，我们总结了几种相似三角形的应用模型，这些模型不仅具有学术研究的意义，更能够应用于实际的生产和生活中。
6.7用相似三角形解决问题---中心投影
思考:平行投影和中心投影有什么不同呢?
下面两幅图分别是两棵小树在同一 时刻的影子.你能判断出哪幅图是灯光 下形成的，哪幅图是太阳光下形成的 吗？
例1: 同一时刻，两根木棒的影子
如图，请画出图中另一根木棒的影子。
中心投影及相似三角形性质的应用
例2:如图，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，
小丽在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD 方向前进到点F处测得自己的影长FG=4m。 设小丽的身高为1.6m，求灯杆AB的高度。 x
如图所示，快下降到地面的某伞兵在灯光 下的影子为AB．试确定灯源P的位置，并画 出竖立在地面上木桩的影子EF．(保留作图痕 迹，不要求写作法)
小结 本节课你学到了哪些知识？
6.7用相似三角形解决问题
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中心投影
学习目标：
1、了解中心投影的概念 2、会根据题意找出点光源 3、在中心投影下相似三角形判
定及性质的应用
想一想 相似三角形有何性质及判定方法？
1、边：
2、角：
3、对应线段：
物体在灯泡(点光源）发出的光照射下形 成影子就是中心投影．
1.6m 4m
3m
y
中心投影及相似三角形性质的应用
例3:如图，在宽为24m的马路两侧各竖立 两根灯杆AB、CD。当小明站在点N处时， 在灯C的照射下小明的影长正好为NB，在灯 A的照射下小明的影长为NE。已知NB=6m， NE=2m，判断这两根灯杆的高度是否相同， 并说明理由。
6m
Hale Waihona Puke 2m 24m如图：公路旁有两个高度相等的路灯AB、 CD．数学老师杨柳上午上学时发现路灯B在太阳 光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰 好落在路灯CD的底部C处．晚自习放学时，站在 上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的 影子恰好落在里程碑E处． (1)在图中画出杨老师的位置(用线段FG表示)，并 画出光线，标明(太阳光、灯光)； (2)若上午上学时候高1米的木棒的影子为2米，杨 老师身高为1.5米，他离里程碑E恰5米，求路灯 高．
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（2）如果已知BD=3m,DF=1m, 小明身高为
1.6m, 你能求得路灯杆的高吗？
A
C
F DΒιβλιοθήκη B? 有一路灯杆AB( 底部B不能直接到达),在灯光下, 小明在点D处测得自己的影长DF=3m,沿BD方 向到达点F处再测得自己的影长FG=4m,如果小 明的身高为1.6m,求路灯杆AB 的高度（.重要题型）
路灯、台灯、手电筒的光线可以看成 是从一个点发出的.
像这样，在点光源的照射下，物体所 产生的影称为中心投影.
1）在点光源的照射下，不同物体的物高与
影长成比例吗？ 不成比例
2）中心投影与平行投影比较
如图. 有一路灯杆AB，小明在灯光下看
到自己的影子DF，那么
（1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出.
a =20cm ，点D到旗杆的距离AD=40m ，求旗杆
的高度。
B
E a
lF
D
A
? 如图,工地上树立着两根电线杆AB 、CD,它们相 距15m,分别自两杆上高出地面4m,6m 的A、C处, 向两侧地面上的E和D,B和F处,用钢丝拉紧,以固 定电线杆,那么,钢丝绳AD与BC 的交点P离地面 的高度是多少米?
少？
C
D
AP
QB E
阳光问题
? 阳光通过窗口照到教室内， 竖直窗框在地面上留下2.1 m长的影子。已知窗框的影 子DE的E点到窗下墙脚距离 CE=3.9 m。窗口底边离地 面的距离BC=1.2 m 。试求 窗口的高度。（即AB 的值）
A B ED C
(2012徐州第26题)如图，为测量学校围墙外直立电线杆 AB 的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后
? A、小明的影子比小强的影子长 ? B、小明的影子比小强的影子短 ? C、小明的影子和小强的影子一样长 ? D、俩人的影长不确定
小明把手臂水平向前伸直，手持长为a的小尺竖
直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位
置，使站在点D处正好看到旗杆的顶部和底部
（如图）。如果小明的手臂长l =40cm ，小尺长
退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合； 小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处， 此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合。小亮的眼 睛离地面高度EF=1.5m，量得CE=2m，EC1=6m， C1E1=3m。
? （1）△FDM∽△_____ ，△F1D1N∽△ ______；
C
A
P
EB
H
DF
路灯问题
? 王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现 身后的影子顶部刚好触到AC的底部，当他向前再步行12 m到达 Q点时，发现身前的影子的顶端接触到路灯 BD 的底部。已知王 华身高为1.6 m，两个路灯的高度都是9.6 m。
? (1)求两个路灯之间的距离。 ? (1)当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多
§6.7 相似三角形的性质及其应用(2)
夜晚，当人在路灯下行走时，会 看到一个有趣的现象：离开路灯越远， 影子就越长.
你能说明理由吗？
当人在路灯下行走时，在每一时刻，路 灯发出的光线与人的身体、身影构成一个直 角三角形.
在这一组直角三角形中，由勾股定理知： 当人的身长一定时，从头顶到地面的光线的 长越长，则它的影长越长.
A
CE
B
DF G
变式练习
已知为了测量路灯CD的高度，把一根长1.5 m的 竹竿AB 竖直立在水平地面上。测得竹竿的影子 长为1 m，然后拿竹竿向远离路灯的方向走了4 m。再把竹竿竖直立在地面上，竹竿的影长为1.8 m，求路灯的高度。
C
A
A'
D
B
E B'
E'
? 在同一时刻的阳光下,小明的影长比小强的 影子长,那么在同一路灯下( )
? （2）求电线杆AB 的高度。
你今天努力了吗？
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的
学科网
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