高二数学算术平均数与几何平均数1

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算术平均数与几何平均数

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2 2 2 2 2 2
2 (a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
ab a 2 b2 ab 例1. 若a, b 0, 证明： 1 1 2 2 a b 2
2 1 1 a b
: 调和平均数；
ab ：几何平均数； ab : 算术平均数； 2 a b : 平方平均数。 2
定理1：如果 a, b R, 那么a
2
b 2ab
2
(当且仅当a b时取“＝”号）
ab 定理2：如果 a, b是正数，那么 ab 2 (当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不小于斜边上的高。（半弦不大于半径）注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一个a,b取任意实数；
n

a1a2 ......an
叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2 ......an n a1a2 ......an n * (n N , ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
注意2：等号取到的条件。
推广：Leabharlann 定理：如果a, b, c R , 那么a b c 3abc
3 3 3

（当且仅当a=b=c时取“=”）
（当且仅当a=b=c时取“=”）
abc 3 a, b, c R , 那么 abc 3

算术平均数与几何平均数(一)

算术平均数与几何平均数（一）1. 简介算术平均数和几何平均数是常见的统计学概念，用于描述一组数据的集中趋势。

在统计学中，平均数是最常用的描述集中趋势的指标之一。

在本文档中，我们将讨论算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们的特点和用途。

通过了解这两种平均数的性质，我们可以更好地理解和应用它们。

2. 算术平均数2.1 定义算术平均数（或简称平均数）是一组数据的所有数值之和除以数据的个数。

它描述了这组数据的集中趋势，是一种典型值。

2.2 计算方法计算算术平均数的方法是将一组数据的所有数值相加，然后除以数据的个数。

用数学公式表示为：平均数= (x₁ + x₂ + ... + xn) / n其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。

2.3 特点和应用算术平均数的特点有：•算术平均数是一种对数据集中趋势的概括，它能够反映数据的大致水平。

•算术平均数对异常值（极大值或极小值）比较敏感，会使得平均数产生明显的偏差。

•算术平均数可以用于比较不同数据集之间的集中趋势，以及进行数据的综合分析。

算术平均数在实际应用中有广泛的用途，例如：•统计某一地区的平均气温、平均收入等指标。

•确定商品的平均价格。

•分析学生成绩的平均水平等。

3. 几何平均数3.1 定义几何平均数是一组数据的连乘积的n次方根。

它描述了这组数据的平均变化率，是一种典型比率。

3.2 计算方法计算几何平均数的方法是将一组数据的所有数值相乘，然后取n次方根。

用数学公式表示为：几何平均数= (x₁ * x₂ * ... * xn) ^ (1/n)其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。

3.3 特点和应用几何平均数的特点有：•几何平均数是一种对数据集变化率的概括，它能够反映数据的平均相对大小。

•几何平均数对异常值的影响较小，不会使得平均数产生明显的偏差。

•几何平均数可以用于比较不同数据集之间的平均变化率，以及进行数据的综合分析。

算术平均数与几何平均数

定理1：如果a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不小于斜边上的高。（半弦不大于半径）注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
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舍也，王者於大败，诛首恶，赦其众，不则皆函阴气，厥水流入国邑，陨霜杀叔草”桓公元年“秋炁大水”。董仲舒、刘向以为桓弑兄隐公，民臣痛隐而贱桓。后宋督弑其君，诸侯会，将讨之，桓受宋赂而归，又背宋。诸侯由是伐鲁，仍交兵结仇，伏尸流血，百姓愈怨，故十三年夏复大水。一曰，夫人骄淫，将弑君，阴气盛，桓不寤，卒弑死。刘歆以为桓易许田，不祀周公，废祭祀之罚也。严公七年“秋，大水，亡麦苗”。董仲舒、刘向以为，严母文姜与兄齐襄公淫，共杀桓公，严释父仇，复取齐女，未入，先与之淫，一年再出，会於道逆乱，臣下贱之之应也。十一年“秋，宋大水”。董仲舒以为时鲁、宋比年为乘丘、鄑之战，百姓愁怨，阴气盛，故二国俱水。刘向以为时宋愍公骄慢，睹灾不改，明年与其臣宋万博戏，妇人在侧，矜而骂万，万杀公之应。二十四年，“大水”。董仲舒以为夫人哀姜淫乱不妇，阴气盛也。刘向以为哀姜初入，公使大夫宗妇见，用币，又淫於二叔，公弗能禁。臣下贱之，故是岁、明年仍大水。刘歆以为先是严饰宗庙，刻桷丹楹，以夸夫人，简宗庙之罚也。宣公十年“秋，大水，饑”。董仲舒以为，时比伐邾取邑，亦见报复，兵仇连结，百姓愁怨。刘向以为，宣公杀子赤而立，子赤，刘出也，故惧，以济西田赂齐。邾子玃且亦齐出也，而宣比与邾交兵。臣下惧

【算术平均数与几何平均数(一)】算术平均数与几何平均数

【算术平均数与几何平均数（一）】算术平均数与几何平均数教学目标（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；（3）能够解决一些简单的实际问题；（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；教学建议1．教材分析（1）知识结构本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式：，根据这个结论，又得到了一个定理：，并指出了为的算术平均数，为的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。

（2）重点、难点分析本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．㈠定理教学的注意事项在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：（1）和成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数。

例如成立，而不成立。

（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。

教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当时取等号，其含义就是：仅当时取等号，其含义就是：综合起来，其含义就是：是的充要条件。

（二）关于用定理证明不等式当用公式，证明不等式时，应该使学生认识到：它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。

算术平均数与几何平均数

关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2......an n

n
a1a2......an
定理1：如果a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不小于斜边上的高。（半弦不大于半径）注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一个a,b取任意实数；
(n N*, ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
ab cd (ac bd) 4abcd
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 a b c
bca
3 1 1 1 1 1 1
2a 2b 2c a b b c c a (4) a2 b2 b2 c2 c2 a2
2(a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
例1.若a, b

0,
注意2：等号取到的条件。
推广：定理：如果

算术平均数与几何平均数

注意2：等号取到的条件。
推广：定理：如果
a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：如果
a,b, c R , 那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
晚众叛亲离.悦悦,动作快些,这地方我一刻都不想呆.”一看见她就想起自己以前の白痴样,简直无地自容.“哎.”陈悦然开心地应下.所以,等陆羽收拾好东西出来客厅,发现早已人去楼空,留下一室の凌乱与垃圾.她没说什么,挽起袖子开始打扫卫生.傍晚时分,房东带着人来了,三下五除二就把门锁换成新の,给了陆羽一把,其余の交还给房东.陆羽顺便告诉房东退租の事,并叮嘱说：“我那舍友已经搬出去,以后她找您拿钥匙不必给.”“好,”房东太太应下,语气关切地问,“那你找到房子了？剩下の三个月你一个人交租？”“嗯.”陆羽笑笑说,“我有事要出去一趟,可能需要三两个月の时间,房租我会定期转帐の.”在人们眼里,一个十八岁就已经本科毕业の女孩跟天才儿童没区别,因此格外看重偏心.“哦,那这样吧,房租我给你减两百,”既送了人情自己又不会亏太多,房东太太琢磨着说,“水电费就不用交了.你提前退租也行,押金全额退返.”“谢谢颜姨.”小便宜也是便宜,陆羽开心至极.乖巧の女生讨人喜欢,颜姨笑眯眯地加了句,“如果要继续租,你得提前一个月跟我说.”免得大家麻烦.“好.”当天晚上,陆羽仔细清点自己の出行行装,确定无误之后,正要用手机订票,却在此时接到一个电话.“谢妙妙？”稀客呀！按原定の命运,重见谢妙妙应该是好多年以后.“你要找世外桃源？！”晚上九点多,两人约在陆羽家附近の一间咖

算术平均数与几何平均数

2 2 2 2 2 2
2 (a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
ab a 2 b2 ab 例1. 若a, b 0, 证明： 1 1 2 2 a b 2
2 1 1 a b
: 调和平均数；
ab ：几何平均数； ab : 算术平均数； 2 a b : 平方平均数。 2
注意2：等号取到的条件。
推广：
定理：如果
a, b, c R , 那么a b c 3abc
3 3 3

（当且仅当a=b=c时取“=”）
（当且仅当a=b=c时取“=”）
abc 3 a, b, c R , 那么 abc 3

推论：如果
关于“平均数”的概念：
如果a1 , a2,.......an R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n 个正数的算术平均数； n
定理1：如果 a , b R , 那么 a
2
b 2 ab
2
(当且仅当a b时取“＝”号）
ab 定理2：如果 a , b是正数，那么 ab 2 (当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不小于斜边上的高。（半弦不大于半径）注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一个a,b取任意实数；
ab cd (ac bd) 4abcd
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a
2
b c ab bc ca
2 2 2 c b c a

高二数学算术平均数与几何平均数1

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课堂练习： 5. 已知a、b、c都是正数，求证： (a + b)(b + c)(c + a) 8abc． (P11练习1)
ab 分析：可选择定理： ab 2
(a > 0，
b > 0)灵活变形，求得结果．
小结
1．重要不等式可以用来证明某些不等式． 2．应用重要不等式证明不等式时, 要注意不等式的结构特征： (1) 满足定理的条件； (2) 不等式一边为和的形式，另一边为积或常数的形式． 3．用重要不等式证明有关不等式时, 要注意与不等式性质结合．
4. 设a, b, c是区间(0, 1)内的三个互不相等的实数, 且p = logc r
1 ab = logc , 2 2
,q=
则p, q, r的大小关系是( C ) A．p > q > r B．p < q < r C．r < p < q D．p < r < q
logc a logc b 2
ab x y
分析：本题结论中，注意
ab x y 与 x y ab
互为倒数，它们的积为1，可利用公式 a + b 2 ab，但要注意条件a、b为正数. 故此题应从已知条件出发，经过变形，说明
ab x y 与 ab x y
为正数开始证题.
说明：我们在运用重要不等式a2 + b2 2ab时，只要求a、b为实数就可以 ab 了．而运用定理：“ ”时， ab 2 必须使a、b满足同为正数．本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断 ab x y 与是正还是负，这是我们今后 ab x y 解题中常用的方法．
引例某种商品分两次降价，降价的方案有三种：方案甲是第一次9折销售，第二次再8折销售；方案乙是第一次8折销售，第二次再9折销售；方案丙是两次都是 98 折销售．试问降价最少的方案是哪一种？ 2 故降价最少的方案是丙．

算术平均数与几何平均数(1)

算术平均数与几何平均数（1）一、复习引入：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b ，c>d ，是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式a>b ，c<d ，是异向不等式 2．不等式的性质：定理1：如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b ．(对称性)即：a>b ⇒b<a ；b<a ⇒a>b定理2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)即a>b ，b>c ⇒a>c定理3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b ⇒a+c>b+c推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．定理4：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．推论1 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd ．(相乘法则)推论2 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且定理5 若0,1)a b n N n >>>∈>且二、讲解新课：1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a证明：222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+由上面的结论，我们又可得到2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 证明：∵,2)()(22ab b a ≥+b a ≥+∴ab b a ≥+2显然，当且仅当ab b a b a =+=2,时说明：ⅰ）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件三、讲解范例：例1 已知x,y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ,那么当x=y 时，和x +y 有最小值;2P（2）如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时，积xy 有最大值.412S 证明：因为x,y 都是正数，所以xy y x ≥+2 （1）积xy 为定值P 时，有P y x ≥+2P y x 2≥+∴上式当y x =时，取“=”号，因此，当y x =时，和y x +有最小值（2）和x+y 为定值S ,2S 214x y S ∴≤ 上式当x=y 时取“=”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值41S 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（一正、二定、三等）ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在例2 下列不等式中正确的是 ○2 ○3 。

不等式-算术平均数与几何平均数(一)

第六章不等式第四课时§6.2.1 算术平均数与几何平均数（一）教学目标（一）教学知识点1．重要不等式：若a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）． 2．算术平均数、几何平均数及它们的关系．（二）能力训练要求1．学会推导并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这个重要定理． 2．理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．3．强化训练探究性学习．（三）德育渗透目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力．渗透数学思想方法，激励学生去取得成功．教学重点1．重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）．2．如果a 、b 是正数，则2a b+为a 、b 是a 、b 的几何平均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”．即定理：如果a 、b 是正数，那么2a b+（当且仅当a ＝b 时取“＝”号）． 3．上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当……时取‘＝’号”的含义是：当a ＝b 时取等号，即a ＝b ⇒2a b +a ＝b 时取等号，即2a b+⇒a ＝b ．综合起来，就是a ＝b 是2a b+的充要条件．教学难点1．a 2＋b 2≥2ab 和2a b+成立的条件不相同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．2．这两个公式还可以变形用来解决有关问题．222,().22a b a b ab ab ++≤≤教学方法1．启发式教学法．2．激励——探索——讨论——发现．教具准备幻灯片两张第一张：记作§6．2．1 A 1．差值比较法：（1）依据：a ＞b ⇒a －b ＞0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a ＜b ⇔a －b ＜0．（2）步骤：作差→变形→判断差值符号→得出结论．（3）用途：①比较两个实数的大小； ②证明不等式的性质； ③证明不等式和解不等式．第二张：记作§6．2．1 B1．不等式的基本性质：（1）反对称性： a ＞b ⇔b ＜a ；（2）传递性： a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；（3）可加性： a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；（4）可积性： a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ，a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；（5）加法法则： a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；（6）乘法法则： a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；（7）乘方法则： a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N )；（8）开方法则： a ＞b ＞0⇒nn a b >(n ∈N )；2．应用：已知a 、b 为正实数，m 、n ∈N ＊且m ＞n ，求证：a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n ．教学过程Ⅰ．课题导入不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点．我们有必要重新回顾“差值”比较法、不等式的基本性质，以便在今后学习中得以巩固和灵活运用．（一）打出幻灯片§6．2．1 A ，请同学们回答：［师］“差值”比较法解决问题的一般步骤是什么？主要解决哪些问题？通过师生积极对话，简要作一下概括，打出幻灯片§6．2．1 A ，使学生明确：“差值”比较法的三个重要方面，即①依据是：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a ＜b ⇔a －b ＜0；②一般步骤是：作差→变形→判断差值符号→得出结论；③主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式．（二）不等式性质巩固及应用（幻灯片§6．2．1 B ）课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出幻灯片§6．2．1 B ，使学生掌握下列不等式的基本性质；（1）反对称性a ＞b ⇔b ＜a ；（2）传递性a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；（3）可加性a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；（4）可积性a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；（5）加法法则a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；（6）乘法法则a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；（7）乘方法则a>b>0⇒a n >b n (n ∈N )；（8）开方法则a ＞b ＞0⇒nn a b >n ∈N )．为更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习：已知a 、b 为正实数，m 、n ∈N *且m ＞n ，求证：a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n ．［师］本题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质．在运用不等式的性质时，多观察、多思考，考虑问题一定要全面细致．请同学们自己完成本题证明过程．［生］(a m ＋b m )－(a m －n b n ＋a n b m －n )＝(a m －a m －n b n )＋(b m －a n b m －n )＝a m －n (a n －b n )＋b m －n (b n －a n )＝(a m －n －b m －n )(a n －b n )， ∵m ＞n ＞1，a ＞0，b ＞0， ∴当a ＞b ＞0时，则a m －n ＞b m －n ，a n ＞b n ，∴(a m －n －b m －n )(a n －b n )＞0，当a ＝b ＞0时，则(a m －n －b m －n )(a n －b n )＝0，当b ＞a ＞0时，则b m －n ＞a m －n ，b n ＞a n ，∴(a m －n －b m －n )(a n －b n )＞0．综合上所述，当a 、b 为正实数，m 、n ∈N ＊且m ＞n 时，（a m －n －b m －n ）(a n －b n )≥0，即a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n ．下面，我们利用不等式的性质，研究推导下列重要的不等式． Ⅱ．讲授新课重要不等式：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）．［师］请同学们利用我们已学过不等式性质的基础上，来证明这个重要不等式．［生］a 2＋b 2－2ab ＝a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2， ∵a ，b ∈R ，∴当a ＝b 时，a －b ＝0，即a 2＋b 2＝2ab ．当a ≠b 时，a －b ≠0，∴(a －b )2＞0．即a 2＋b 2＞2ab ．综合上所述，若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）．［师生共析］很明显，在此不等式中：a ＝b ⇔a 2＋b 2＝2ab ．即当a ＝b 时取等号，其含义是a ＝b ⇒a 2＋b 2＝2ab ；仅当a ＝b 时取等号，其含义是a 2＋b 2＝2ab ⇒a ＝b ．定理如果a ，b 是正数，那么2a b+（当且仅当a ＝b 时取“＝”号）．［师］本定理既可运用不等式性质完成证明，又可运用上述重要不等式：“若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）“为依据完成证明．（把同学们分成两组，分别从两种思路中完成证题过程）．［生甲］∵a ，b 为正数，∴a ＞0，b ＞0．∴a ＝2，b ＝2，∴2a b+=当a ＝b 时，22-＝0，有2a b+，当a ≠b 即a ≠b 时，2()2a b -＞0，有2a b+＞ab ，综上所述，当a 、b 为正数时，有2a b+≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）．［生乙］∵a ，b 是正数，∴2()a ＋2()b ≥2a ·b ，∴a ＋b ≥2ab ．显然，当且仅当a ＝b 时，2a b +＝ab ，即2a b+≥ab ．评述：1．如果把2a b+看作是正数a 、b 的等差中顶，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．2．在数学中，我们称2a b+为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数．本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．下面，我们给出定理：“如果a 、b 是正数，那么2a b+≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）”的一种几何解释（如图所示）．以a ＋b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC ＝a ，CB ＝b ．过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么CD 2＝CA ·CB 即CD ＝ab ．这个圆的半径为2a b +，显然，它大于或等于CD ．即2a b+≥ab ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．［例题］已知(a ＋b )(x ＋y )＞2(ay ＋bx )，求证：x y a ba b x y--+--≥2．［师］本题结论中，注意x y a b --与a bx y--互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数．故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x ya b--与 a bx y--为正数开始证题．（在教师引导，学生积极参与下完成证题过程）［生］∵（a ＋b ）(x ＋y )＞2(ay ＋bx )， ∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx ， ∴ax －ay ＋by －bx ＞0， ∴(ax －bx )－(ay －by )＞0，∴(a －b )(x －y )＞0，即a －b 与x －y 同号． ∴x y a b --与a bx y--均为正数， ∴x y a b --＋a b x y --≥2yx ba b a y x --⋅--＝2（当且仅当x y a b --＝a b x y --时取“＝”号）， ∴x y a b--＋a bx y --≥2．［师生共析］我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了，而运用定理：2a b+a 、b 满足同为正数．本题通过对已知条件变形（恰当地因式分解），从讨论因式乘积的符号来判断x y a b --与a bx y--是正还是负，是我们今后解题中常用的方法．Ⅲ．课堂练习1．已知a 、b 、c 都是正数，求证： (a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ．分析：地于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a>0，b>0）灵活变形，可求得结果：答案：∵a ，b ，c 都是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ac >0， ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ac =8abc (a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ．2．已知x 、y 都是正数，求证：（1）yx＋x y ≥2；（2）（x ＋y ）(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3．分析：对运用理：2a b+a 、b 均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形．答案：∵x ，y 都是正数，∴x y ＞0，yx ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0．（1）x y ＋yx≥2xyy x ⋅＝2即x y ＋y x ≥2．（2）x ＋y 0，x 2＋y 20．x 3＋y 30，∴（x ＋y ）(x 2＋y 2)(x 3＋y 38x 3y 3．即（x ＋y ）(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3．3．求证：（2a b +）2≤222a b +．分析：利用完全平方公式，结合重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明本题的关键．答案：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2， ∴2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2，不等式两边同除以4，得222a b +≥(2a b +)2，即(2a b +)2≤222a b +．［探究性学习——点击高考］（本部分的设计坚持从“算术平均数与几何平均数”这一聚焦性的问题出发，通过对给定题目题设条件的不断变化，创设新的问题情境，引导学生自主思考、自主探究、自主创新，充分发挥学生的主体性，充分激发学生探究问题的动机和兴趣，在探究过程中系统地掌握知识、开发智力、培养能力和挖掘潜能．以便适应将来高考中以数学思想方法考查考生的数学素养、聪明程度、素质和潜能．（注：为节省时间，本部分可借助多媒体讲件完成）题目：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有一面14m 的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126m 2的厂房（不管墙高），工程造价是：（1）修1m 旧墙费用是造1m 新墙费用的25%；（2）拆去1m 旧墙用所得材料来建1m 新墙的费用是建1m 新墙费用的50%．问如何利用旧墙才能使建墙费用最低？［师］看上面的问题，同学们如何解决？（学生探索——讨论——分析——归纳）［生］从题设计条件中抽象出数量关系，建立解题的目标函数（即建立数学模型），然后用二元均值不等式求得最小值．［师］同学们分析得很好！哪位同学能勇敢地在黑板上写出解答过程呢？（问题激励，语言激励，生解答，师欣赏）［生甲］设保留旧墙x (m)，即拆去旧墙14－x (m)修新墙．若设建1m 新墙费用为a 元，则修旧墙的费用为y 1＝25%·ax ＝14ax ，拆旧墙建新墙的费用为y 2＝(14－x )·50%a ＝12a (14－x )；建新墙的费用为：y 3＝(252x＋2x －14)a ．于是，所需要的总费用为y ＝y 1＋y 2＋y 3＝[(74x ＋252x)－7]a ≥［2725247-⋅x x ］a ＝35a ，当且仅当74x ＝252x，即x ＝12时上式中“＝”成立．故保留12m 旧墙时总费用为最低．［师］很好!我们学习公式的目的是应用它能解决问题．本题中我们巧用了“a ＋b（a ＞0，b ＞0）”达到解题目的．请同学们想一想：“a ＋b a ＞0，b ＞0）”还有些什么变形形式呢？［生乙］针对二元均值不等式，还有如下变形值得我们学习：a ＋b (a ＞0，b ＞0)；2a b+（a ＞0，b ＞0）； ab ≤(2a b +)2(a ＞0，b ＞0)；a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；ab ≤222a b +(a ，b ∈R )．(以上公式变形对比记忆，区别异同)．a bb a+≥2（a ＞0，b ＞0）．［师］棒极了！上述不等式及其变形，在解答最值型实际应用题中有着十分广泛的应用．同学们能编几道运用上述不等式及其变形求解实际应用题的例子吗？［生（齐）］能，我们自己编！［师］好！我相信同学们一定会做得很出色！［问题再次激励同学们去积极探索、发现、讨论、归纳，师巡视、欣赏，在启发、鼓励下帮助个别学生解决问题．经同学们积极探索、讨论后，把具有代表性的问题（学生的创新思维进一步得到升华）摘录下来供大家在交流中得到解决］［生内］我编的题目如下：某种商品分两次提价，有三种提价方案．方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %，(其中p ＞0，q ＞0)；方案乙：第一次提价q %，第二次提价p %；方案丙：第一次提价2p q +%，第二次提价2p q+%，试比较三种提价方案中，哪一种提价多，哪一种提价少，并请A 小组同学说明理由．（经全班同学积极探究，A 小组同学信心百倍，做出解答）．［生（A 小组）］设某种商品提价前的人格为a ，则两次提价后的价格分别为：方案甲：a (1＋p %)(1＋q %)；方案乙：a (1＋q %)(1＋p %)；方案丙：a (1＋2p q +%)2．当p ＝q 时，三种方案提价一样多；当p ≠q 时，由二元均值不等式，得（1＋p %）(1＋q %)＜1＋2p q +%)2．所以，方案丙提价多，甲、乙提价一样多，都比丙小．［生（B 小组）］我们组编的题目是：某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每m 长造价为40元，两侧墙砌砖，每m 长造价为45元，顶部每m 2造价为20元，试求：（1）仓库底面积S 的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？我们B 组同学邀请E 同学回答．［生E ］设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有S ＝xy ．由题意可知：40x ＋2×45y ＋20xy ＝3200， ∴3200＝40x ＋90y ＋20xy ．应用二元均值不等式，得3200≥24090x y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ． ∴S ＋6S ≤160．即（S ＋16）（S －10）≤0，∵S ＋16＞0， ∴S －10≤0，从而S≤100．因而S 的最大允许值是100m 2，取得此最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100，由此解得x ＝15，即铁栅的长应是15m ．［师］同学们回答得非常好！从你们举的例子来看，注重了数学的现实性与时代性（积极培养同学们学数学、用数学的思想意识），关注社会，从平时生活做起，加强实践能力培养，建立数学模型，进而解决实际生活问题（这种数学思想方法的探究，正是近年来高考中的热点话题）．（同学们创设的其他问题，可作为课后作业再次激励学生去探索） Ⅳ．课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2a b+），几何平均数（ab ）及它们的关系（2a b+≥ab ）．它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）．我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222a b +，ab ≤(2a b +)2．Ⅴ．课后作业（一）课本P 11习题6．2 2、3．（二）1．预习内容：课本P 10~11例1，例2． 2．预习提纲：通过预习例1、例2，使学生明确基本不等式a 2＋b 2≥2ab ；2a b+≥ab (a ＞0，b ＞0)的应用主要体现在两个方面：其一，是用于证明不等式．其二，是用于求一些函数的最值：设x 、y 都是正数，（1）若xy ＝p 是一个定值，当且仅当“x ＝y ”时，x ＋y 有最小值2P ；（2）若x ＋y ＝S 是一个定值，当且仅当“x ＝y ”时，xy 有最大值14S 2．板书设计§6．2．1 算术平均数与几何平均数（一）一、重要不等式课堂练习课时小结 a 2＋b 2≥2ab 二、定理若a ＞0，b ＞0，课后作业则2a b+≥ab ［例题］备课资料一、参考例题［例1］若a ≥b ＞0，试比较a 222a b +，2a b +ab ，211a b+，b 的大小，并利用不等号将它们连接起来．分析：为了探索上述各式之间的大小关系，我们先用特殊值来进行分析和猜想，在此基础上再进行一般性的证明．观察与猜想：令a ＝4，b ＝3，则a ＝4642225074949;222142a b a b ++=====588127ab ==；211a b+＝2245761363367722ab b a b =====+ 当a ＝b 时，上述各式都相等，故有猜想：a 222ab +≥2a b+ab 211a b+≥b ．解：∵a ≥b ＞0．∴（1）a 2a 222a a +222a b +；（2222a a +42222b a +2224a b ab ++2a b +；（3）2a b+ab ；（4）211a b+＝2aba b +，ab2－（2ab a b+）2＝ab －2224()a b a b +＝2222()4()ab a b a b a b +-+＝22()()ab a b a b -+≥0211a b+．（5）2aba b+－b＝22ab ab ba b--+＝()b a ba b-+≥0．即2aba b+＞b．综上所述，a2a b+211a b+≥b．评述：1．对事物的观察和猜想是一种探索问题及找到方向的有效方法，本题为了分析各个式子的大小关系，通过特殊值的代入进行观察，从而发现一般性的结论，这样为进一步论证提供了方向．2．对于（4）也可以从基本不等式进行推导：2a b+⇒1a b+⇒2aba b+．这里，经历了一次利用基本不等式进行论证的过程．3．本题所涉及到的一组不等式是重要不等式，除去我们已知的两个正数a、b的算术平均数（2a b+和211a b+分别叫正数a、b的平方平均数和调和平均数．对于这四种平均数有如下定理：两个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，它们的几何平均数不小于它们的调和平均数，即若a＞0，b＞0≥2a b+≥211a b+（当且仅当a＝b时取“＝”号）．［例2］已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：（1）（1111)(1)(1)8a b c---≥；（2）a2＋b2＋c2≥13；（3）22211127a b c++≥；（4）111(1)(1)(1)64a b c+++≥．分析：在不等式证明中，n个正数的和为1，常常作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键．证明：（1）∵a＋b＋c＝1且a＞0，b＞0，c＞0，∴1110;a b c b ca a a+++-=-=≥>02111>≥+=-++=-b ac b c a a c b a b ；02111>≥+=-++=-cab c a b c c b a c 三式相乘，得 (1111)(1)(1)8,ab bc aca b c ---≥=即（1111)(1)(1)a b c---≥8．（2）∵a ＞0，b ＞0，c ＞0且a ＋b ＋c ＝1，∴1＝（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≤a 2＋b 2＋c 2＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)＝3(a 2＋b 2＋c 2)，∴a 2＋b 2＋c 2≥13．（3）∵a ＞0，b ＞0，c ＞0且a ＋b ＋c ＝1， ∴222111a b c++=(a +b +c )2(222111c b a ++)32222313)3(c b a abc ⋅≥=27 ∴222111cb a ++≥27．（4）∵a ＞0，b ＞0，c ＞0且a ＋b ＋c ＝1， ∴(1＋111)(1)(1)(1)(1)(1)a b c a b c a b cabca b c++++++++=+++(2)(2)(3)(28(164.b c a c a b a b c +++=+++≥++=++≥=即111(1)(1)(1)64.a b c+++≥评述：（1）这是一类条件不等式的证明，显然，巧妙地利用已知条件是证明此类题的关键．（2）以上各小题在证题过程中，或是将分子的1看作a ＋b ＋c ，然后拆项，或是将原代数式乘以一个值为1的因式（a ＋b ＋c ），以利于进一步整理变形，这些常用的“1”的变换技巧很重要．（3）本节定理：“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”，可以进一步引申出定理：“n 个（n 是大于1的整数）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”（见课本P 24“阅读材料”）．即一般地，对于n 个正数a 1，a 2，…，a n (n ≥2且n ∈N )，则有1212nn n a a a a a a n+++≥=时取“＝”号）．显然有：若a ，b ，c为正数，则3a b c a b c ++≥==当且仅当时取“＝”号）．二、参考练习题 1．选择题（1）“a ＋b ”是“a ＞0，b ＞0”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B（2）设b ＞a ＞0，且a ＋b ＝1，则此四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是（） A ．b B ．a 2＋b 2 C ．2ab D ．12答案：A （3）设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有（）A ．1≤ab ≤222a b +B ．ab ＜1＜222a b +C ．ab ＜222a b +＜1D ．222a b +＜ab ＜1答案：B（4）已知a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝4，则下列各式恒成立的是（）A ．112ab ≥ B ．111a b +≥CD ．41122≤+b a 答案：B （5）若a ＞b ＞c ，则下面不等式正确的是（）A ．22ab a b a b +<<+ B ．22a b aba b +<<+C ．22ab a b a b +<<+D 22ab a b a b +<<+ 答案：C（6）若a ，b ∈R ，a ≠b ，在下列式子中，恒成立的个数为（） ①a 2＋3ab ＞2b 2 ②a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3 ③a 2＋b 2≥2(a －b －1) ④2a bb a+> A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案：D（7）设a ，b ，c 是区间（0，1）内的三个互不相等的实数且p ＝log c2a b+，q ＝log log 1,log 222c c c a b a br ++=，则p ，q ，r 的大小关系是（）A ．p ＞q ＞rB ．p ＜q ＜rC ．r ＜p ＜qD ．p ＜r ＜q 答案：C2．已知x ＞y ＞0，xy ＝1，求证：22x y x y+≥- 证明：∵x ＞y ＞0，xy ＝1，∴222)(22)(2)(22=-⋅-≥-+-=-+-=-+2yx y x y x y x y x xy y x y x y x ，即22x y x y+≥- 3．已知a ＞2，求证：log a (a －1)·log a (a ＋1)＜1．证明：∵a ＞2，∴log a (a －1)＞0，log a (a ＋1)＞0，log a (a －1)≠log a (a ＋1)， ∴log a (a －1)·log a (a ＋1)＜2log (1)log (1)[]2a a a a -++221[log (1)]2a a =-＜(12log a a 2)2＝1，即log a (a －1)·log a (a ＋1)＜1．4．已知a ，b ∈R ，证明：log 2(2a ＋2b )2.2a b ++≥ 证明：∵a ，b ∈R ，∴log 2(2a ＋2b )≥log 2＝log(2222)1,22a b a b a b ++++=+= 即log 2(2a ＋2b )≥2.2a b ++ 5．若a ＞b ，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1119.2a b b c c a ++≥+++ 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴2＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )，∴［（a ＋b ）＋(b ＋c )＋(c ＋a )］·（111)a b b c c a +++++331113()()()39,a b b c c a a b b c c a≥+++⨯=+++故29111≥+++++a c c b b a ． 6．已知方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根x 1＞0，求证：方程cx 2＋bx ＋a ＝0必有一根x 2，使得x 1＋x 2≥2．证明：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根x 1＞0，∴ax 12＋bx 1＋c ＝0，∴a ＋2110,+=b c x x ∴21111()0c b a x x ++=(方程cx 2＋bx ＋a ＝0必有一根110),x > ∴x 1＋x 2＝x 1＋112,≥x 故方程cx 2＋bx ＋a ＝0必有一根x 2，使得x 1＋x 2≥2．。

算术平均数和几何平均数大小关系证明

算术平均数和几何平均数大小关系证明1. 引言1.1 介绍算术平均数和几何平均数的概念算术平均数和几何平均数是两种常用的平均数概念，在数学和统计学中经常被使用。

算术平均数是一组数值的总和除以数量得到的平均值，它代表了一组数据的平均水平。

而几何平均数是一组数值的乘积开n次方根得到的平均值，它代表了一组数据的平均波动程度。

虽然这两种平均数有着不同的计算方法和概念，但它们之间存在着紧密的数学关系。

算术平均数和几何平均数的关系是非常重要的，可以帮助我们更好地理解数据的分布和趋势。

在实际应用中，我们经常需要比较算术平均数和几何平均数的大小，以便进行更有针对性的分析和决策。

下面我们将详细介绍算术平均数和几何平均数的定义，并探讨它们之间的关系，最终证明算术平均数大于等于几何平均数的结论。

通过这篇文章，希望读者能更加深入地理解算术平均数和几何平均数的意义和作用。

2. 正文2.1 算术平均数和几何平均数的定义算术平均数和几何平均数是数学中常见的两个概念，在统计学和金融学等领域有着广泛的应用。

算术平均数和几何平均数在统计学中起着重要的作用，可以帮助我们更好地理解数据的分布情况和趋势。

接下来我们将分别介绍算术平均数和几何平均数的定义。

算术平均数，也称为平均值，是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。

假设我们有n个数值，分别为a1、a2、a3、...、an，则这n个数值的算术平均数可以表示为：平均数= (a1 + a2 + a3 + ... + an) / n算术平均数通常用来表示一组数据中所有数值的中间值，即数据的集中趋势。

当我们需要了解一组数据的整体水平或趋势时，可以使用算术平均数来进行分析。

几何平均数是一组数据中所有数值的乘积开n次方根。

同样假设我们有n个数值，分别为b1、b2、b3、...、bn，则这n个数值的几何平均数可以表示为：几何平均数= (b1 * b2 * b3 * ... * bn) ^ (1/n)几何平均数主要用于表示一组数据中各个数值的平均比率，适用于涉及增长率、比率和百分比等问题的分析。

算术与几何平均数

算术与几何平均数在数学中，平均数是一组数据的一种统计指标，常用于描述数据集中的一般趋势。

其中，算术平均数和几何平均数是两个常用的平均数概念。

本文将介绍算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。

一、算术平均数算术平均数，也称为平均值或平均数，是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。

它是一种用来表示数据集中心趋势的统计指标。

算术平均数的计算公式如下：算术平均数 = 总和 / 数据个数例如，对于数据集{4, 6, 8, 10}，算术平均数可以通过计算(4 + 6 + 8 + 10) / 4 = 7得到。

算术平均数的应用非常广泛。

它可以用于描述一组数据的典型取值，并可以与其他数据进行比较。

在实际生活中，人们常常使用算术平均数来计算平均成绩、平均工资等。

二、几何平均数几何平均数是一组正数的乘积开n次方根，其中n表示数据的个数。

几何平均数常用于计算相对增长率或变化率。

几何平均数的计算公式如下：几何平均数 = (数值1 * 数值2 * ... * 数值n)的n次方根例如，对于数据集{2, 4, 8, 16}，几何平均数可以通过计算(2 * 4 * 8* 16)的4次方根≈ 6.34961得到。

几何平均数在一些特定的应用场景中非常有用。

例如，在股票市场中，人们常常使用几何平均数计算股票的年化收益率。

另外，几何平均数也用于计算投资组合的平均收益率等。

三、算术平均数与几何平均数的比较算术平均数和几何平均数在计算方法和应用领域上存在一些差异。

首先，算术平均数是通过将所有数值相加后除以数据个数得到的，而几何平均数是将所有数值相乘后开n次方根得到的。

这意味着算术平均数关注的是数值的总和，而几何平均数关注的是数值的乘积。

其次，算术平均数常用于描述数据的一般趋势，可以用于计算总体的平均值。

而几何平均数主要用于计算相对增长率或变化率。

最后，算术平均数对数据中的异常值较为敏感，即一个极端值会对算术平均数产生较大的影响。

算术平均数与几何平均数(一)

算术平均数与几何平均数（一）1. 引言算术平均数和几何平均数是数学中常用的两个概念，用于统计和描述一组数据的特征。

在统计学和金融领域中，这两个平均数经常被使用来分析数据的趋势和稳定性。

本文将介绍算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们在实际应用中的意义。

2. 算术平均数算术平均数，也称为平均值，是数学中最常用的平均数表示方法。

它是一组数据中所有数值的总和除以数据个数得到的结果。

算术平均数用于描述一组数据的集中趋势，通常是用来代表数据的中心位置。

2.1 计算算术平均数的方法计算算术平均数的方法很简单，只需要将一组数据中的所有数值相加，然后除以数据的个数即可。

假设有n个数，记为x1, x2, x3, …, xn，那么它们的算术平均数记为A，计算公式为：A = (x1 + x2 + x3 + … + xn) / n例如，对于一组数据[1, 2, 3, 4, 5]，它们的算术平均数为：A = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 32.2 算术平均数的意义算术平均数是一组数据中最直观、最常见的统计指标，它具有以下几个特点：•代表性：算术平均数代表了一组数据的中心位置，它可以反映数据的整体水平。

•稳定性：算术平均数对于数据的极端值不敏感，即它不会因为少数异常值的存在而产生较大的偏离。

•可加性：若将一组数据分成若干子组，然后计算每个子组的平均数，最后再计算这些平均数的平均数，得到的结果仍然是原始数据的平均数。

由于算术平均数的性质和计算方法简单，它在实际应用中被广泛使用。

例如，在考试成绩统计中，计算整个班级的平均分就是利用了算术平均数。

3. 几何平均数几何平均数是一组正数的平均数表示方法，它是将这些数值依次相乘，然后开n次方得到的结果。

几何平均数用于描述一组数据的相对变化，通常用来比较和衡量一组数据的增长率。

3.1 计算几何平均数的方法计算几何平均数的方法相对较复杂，需要将一组数据中的数值依次相乘，然后开n次方。

算术平均数与几何平均数1

算术平均数与几何平均数1. 算术平均数算术平均数，也称为均值，是一组数值的总和除以数的个数所得到的结果。

它是最常用的平均数，可以代表一组数据的总体特征。

计算算术平均数的公式为：算术平均数 = 总和 / 数的个数例如，对于数字序列 {1, 2, 3, 4, 5}，计算算术平均数的步骤如下：1.将数字相加：1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 152.计算数字的个数：53.将总和除以数字的个数：15 / 5 = 3所以，这个数字序列的算术平均数为 3。

2. 几何平均数几何平均数是一组数值的乘积的n次方根，其中n为数的个数。

它在涉及增长率、比率和比例的情况下特别有用。

计算几何平均数的公式为：几何平均数 = 乘积的n次方根例如，对于数字序列 {1, 2, 3, 4, 5}，计算几何平均数的步骤如下：1.将数字相乘：1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 1202.计算数字的个数：53.将乘积的5次方根：120^(1/5) ≈ 2.605所以，这个数字序列的几何平均数约为 2.605。

3. 算术平均数与几何平均数的比较算术平均数和几何平均数都是常用的统计概念，但它们在计算方法和应用领域上有所不同。

算术平均数适用于一组数据的总体特征的表示，它能展示数据的集中趋势，但对于存在较大数据差异的情况，算术平均数可能会被极端值拉动。

几何平均数主要用于计算比率或增长率，特别在涉及百分比和比例的情况下更有意义。

相较于算术平均数，几何平均数对于较大数值的影响较小，能更好地反映整体的趋势。

4. 应用示例下面以一个实际应用示例来说明算术平均数和几何平均数的不同应用场景。

假设我们要分析公司A和公司B的收入增长情况。

公司A在过去5年的收入数据如下：{100, 120, 150, 180, 200}，公司B在同期的收入数据如下：{50, 60, 70, 80, 90}。

我们可以计算出两家公司的算术平均数和几何平均数：对于公司A： - 算术平均数：(100 + 120 + 150 + 180 + 200) / 5 ≈ 150 - 几何平均数：(100 * 120 * 150 * 180 * 200)^(1/5) ≈ 150.16对于公司B： - 算术平均数：(50 + 60 + 70 + 80 + 90) / 5 = 70 - 几何平均数：(50 * 60 * 70 * 80 * 90)^(1/5) ≈ 67.68通过比较两家公司的算术平均数和几何平均数，我们可以发现，算术平均数更能代表公司的整体收入情况，而几何平均数更能反映公司的收入增长率。

1、简述算术平均数、几何平均数、调和平均数的适用范围。

算术平均数、几何平均数和调和平均数是统计学和数学中常见的三种平均数，它们在不同的情况下有着不同的适用范围和特点。

下面将逐一介绍它们。

1.算术平均数算术平均数是我们最常见的一种平均数，它是一组数值的总和除以这组数值的个数。

算术平均数的计算方法简单直接，适用范围广泛。

在日常生活和统计学中，我们经常使用算术平均数来描述一组数据的集中趋势。

比如，我们可以用平均分数来描述一个班级学生的整体学习情况，用出生率的平均数来描述一个国家的生育水平，用家庭收入的平均数来描述一个地区的经济水平等等。

算术平均数的优点是简单易懂，能够直观地反映一组数据的集中趋势，但它也有一些局限性。

比如，在面对一组有极端值（outlier）的数据时，算术平均数可能会被这些极端值拉偏。

此外，算术平均数对数据的分布情况并不敏感，它不能反映数据的波动范围和偏差程度，因此在一些情况下，我们可能会用其他类型的平均数来更准确地描述数据的特征。

2.几何平均数几何平均数是一组数的乘积开n次根，其中n为这组数的个数。

几何平均数在描述数据的增长率和比率时非常有用，它可以保证各个数据对结果的影响是均衡的。

在金融领域，几何平均数常被用来计算复利的平均增长率，以及各种投资组合的平均收益率。

此外，在生物学、环境科学、物理学等领域，几何平均数也有着重要的应用，比如用来描述种群的增长率，环境指标的变化率等。

与算术平均数相比，几何平均数更适用于呈指数增长或呈比例变化的数据。

它能够降低极端值对平均数的干扰，更好地反映数据之间的相对关系。

但值得注意的是，几何平均数只适用于非负数，且对于存在负数或零的数据集来说，几何平均数往往无意义。

3.调和平均数调和平均数是一组数的倒数的算术平均数的倒数。

它的计算方法为n个数的倒数之和再除以n，其中n为这组数的个数。

调和平均数在描述各种速度、比率和倒数等场合有着广泛的应用。

在物理学中，调和平均数常被用来计算多个速度的平均速度，或者计算多个电阻的等效电阻。

个数的算术平均数几何平均数调和平均数和平方平均数的大小关系

个数的算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数的大小关系在统计学和数学中，我们经常会遇到计算一组数据的平均值的情况。

常见的平均数有算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数。

这些平均数都有各自的计算方法和特点，它们之间的大小关系也是我们需要了解的。

算术平均数算术平均数是我们最常见的平均数，它是一组数据的总和除以数据的个数。

用数学符号表示为：其中，表示算术平均数，表示数据集中的各个数据，而表示数据的个数。

算术平均数的计算方法非常简单，只需要将所有数据相加然后除以个数即可。

它的特点是能够反映一组数据的集中趋势，但对于数据中的极端值比较敏感。

几何平均数几何平均数是一组正数的乘积的n次方根。

用数学符号表示为：其中，表示几何平均数，表示数据集中的各个数据，而表示数据的个数。

几何平均数的计算方法是将所有数据相乘，然后取乘积的n次方根。

它的特点是能够反映一组数据的乘积趋势，适用于计算比率、比例和增长率等问题。

调和平均数调和平均数是一组正数的倒数的算术平均数的倒数。

用数学符号表示为：其中，表示调和平均数，表示数据集中的各个数据，而表示数据的个数。

调和平均数的计算方法是将所有数据的倒数相加，然后除以个数，再将结果的倒数取出。

调和平均数的特点是能够反映一组数据的倒数的平均值，适用于计算速度、频率和比例等问题。

平方平均数平方平均数是一组数据的平方和的平方根。

用数学符号表示为：其中，表示平方平均数，表示数据集中的各个数据，而表示数据的个数。

平方平均数的计算方法是将所有数据的平方相加，然后除以个数，再将结果的平方根取出。

平方平均数的特点是能够反映一组数据的平方和的平均值，适用于计算方差、标准差和均方根等问题。

平均数的大小关系根据以上四种平均数的定义和计算方法，我们可以得出以下结论：1.对于一组非负数的数据，几何平均数一定小于等于算术平均数。

这是因为几何平均数是通过对数据的乘积进行开方得到的，而算术平均数是对数据进行求和后再除以个数得到的。

高二数学算术平均数与几何平均数1

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不等式-算术平均数与几何平均数(一)

算术平均数和几何平均数大小关系证明

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