双曲线.板块一.双曲线的方程.学生版

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高二上数学双曲线知识点

高二上数学双曲线知识点双曲线是解析几何中的一个重要概念，它具有许多特殊的性质和应用。

在高二上数学学习中，我们需要了解双曲线的一些基本知识点，包括双曲线的定义、方程、性质和常见图形等。

下面将对这些知识点进行详细介绍。

1. 双曲线的定义在平面直角坐标系中，以两个定点F1和F2为焦点、定长为2a的点的集合称为双曲线。

双曲线的形状并不固定，可以是打开的、封闭的或者无穷远的。

双曲线可以分为左右开口的双曲线和上下开口的双曲线两种类型。

2. 双曲线的方程双曲线的方程可以表示为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （左右开口）或者 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1（上下开口），其中a和b分别代表双曲线的参数，决定了双曲线的形状和大小。

3. 双曲线的性质双曲线有许多特殊的性质，包括焦点、顶点、直线渐近、离心率等。

焦点是双曲线上距离两个定点F1和F2距离之差为定值的点，顶点是双曲线上对称于坐标原点的点。

直线渐近是通过两个焦点和顶点的直线，双曲线靠近这些直线时，曲线的形状趋于无限接近于直线。

离心率是用来描述焦点与顶点之间距离比顶点与双曲线某一点之间的距离的比值，离心率是双曲线的一个重要参数，它的取值范围在1与无穷大之间。

4. 常见图形在数学中，我们经常遇到的一些图形可以用双曲线来进行描述，例如马鞍面、双曲抛物面等。

这些图形在应用数学和物理学中具有重要的地位，通过对双曲线的研究，我们能够更深入地理解和分析这些图形的特性和行为。

总结：双曲线是解析几何中的重要内容，通过学习双曲线的定义、方程、性质以及常见的图形，我们能够更好地理解这一概念在数学中的应用。

在高二上学期的数学学习中，当我们遇到与双曲线相关的问题时，可以借助所学的知识点进行分析和求解。

掌握双曲线的基本知识点，对于我们理解更高级的数学概念和解题方法都具有很大的帮助。

双曲线及其标准方程课件

(3)设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点 P，Q 在双曲线上，
∴92A956＋A2＋12652B5B＝＝1，1，
解得AB＝＝－19. 116，
∴双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
[规律方法] 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出 a2，b2 的值． 2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为 Ax2 ＋By2＝1(AB<0)来求解．
图 2-3-1
[思路探究]
建立平面直角坐标系
→
由已知条件得到边长的关系
→
判断轨迹的形状
→
写出轨迹方程
[解] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直
角坐标系，如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．由正弦定理，得 sin A＝|B2CR|，
sin B＝|A2CR|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
求双曲线的标准方程
例 2、根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点
A1，－4
310；
(2)与双曲线1x62 －y42＝1 有相同的焦点，且经过点(6，5且焦点在坐标轴上．
[思路探究] (1)结合 a 的值设出标准方程的两种形式，将点 A 的坐标代入求解．
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.

第二讲双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)

第二讲双曲线中常用的结论及解法技巧【知识要点】一．双曲线三大定义定义 1．到两定点距离之差的绝对值（小于两定点距离）为定值的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（大于1）的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率e ．定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（大于0）的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22ab ．二．双曲线经典结论汇总1．AB 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则22a b k k ABOM =⋅，即 0202y a x b k AB =．等价形式：21,A A 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上关于原点对称的任意两点，B 是双曲线上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则2221ab k k BA B A =⋅． 2．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为双曲线上异于实轴端点的任意一点θ=∠21PF F 则（1）2122||||1cos b PF PF θ=-；（2）双曲线的焦点角形的面积为2tan 221θb S PF F =∆．3．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于C B ,两点，则直线BC 有定向且0202y a x b k BC-= （常数）．4．P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则||||2||12PF PA a AF +≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线且P 和2,F A 在y 轴同侧时，等号成立．5．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，O 为坐标原点，Q P ,为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥，（1）22221111||||OP OQ a b +=-；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b b a -；（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -．6．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于21,P P 时11P A 与22P A 交点的轨迹方程是22221x y a b+=． 7．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的焦半径公式：),0,(),0,(21c F c F -当),(00y x M 在右支上时，.||,||0201a ex MF a ex MF -=+=当),(00y x M 在左支上时，.||,||0201a ex MF a ex MF --=+-=8．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 内，则被0P 所平分的中点弦的方程是222202020by a x b y y a x x -=-． 9．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是20202222byy a x x b y a x -=-． 10．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上，则过0P 的双曲线的切线方程是12020=-byy a x x ． 11．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为21,P P ，则切点弦 21P P 的直线方程是12020=-byy a x x ． 12．设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点为P F F ,,21（异于实轴端点）为双曲线上任意一点，在21F PF ∆中，记12F PF α∠=，12PF F β∠=，12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-．13．若P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上异于实轴端点的任一点，21,F F 是焦点，12PF F α∠=，21PF F β∠=，则2cot 2tan βα=+-a c a c （或2cot 2tan αβ=+-a c a c ）．14．设B A ,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的实轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=， PBA β∠=，BPA γ∠=，e c 、分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-； (2)2tan tan 1e αβ=-；(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=+．15．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于N M ,两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =．16．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，B A ,是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点)0,(0x P ，则220a b x a +≥或220a b x a+≤-．17．点P 处的切线PT 平分21F PF ∆在点P 处的内角．18．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点Q P ,，21,A A 为双曲线实轴上的顶点，P A 1和Q A 2交于点M ，P A 2和Q A 1交于点N ，则NF MF ⊥．【例题解析】【例1】设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于B A ,两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设O 为坐标原点，若),(R n m OB n OA m OP ∈+=→→→，且92=mn ，则该双曲线的离心率为（） A ．223 B ．553 C ．423 D ．89【例2】双曲线134:22=-y x C 的左、右顶点分别为21,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是]2,1[，那么直线1PA 斜率的取值范围是（）A ．]43,21[B ．]43,83[C ．]1,21[D ．]1,43[【例3】已知斜率为3的直线l 与双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 交于B A ,两点，若点)2,6(P 是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（）A ．2B ．3C ．2D ．22【例4】已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，直线l 过点1F 且与双曲线C 的一条渐进线垂直，直线l 与两条渐进线分别交于N M ,两点，若||2||11MF NF =，则双曲线C 的渐进线方程为（）A ．x y 33±=B ．x y 3±=C ．x y 22±= D ．x y 2±=【例5】设F 为双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点Q P ,，若||3||PF FQ =，060=∠FPQ ，则该双曲线的离心率为（） A ．3 B ．31+ C ．32+ D ．323+【例6】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于B A ,两点，且→→=BF AF 3，则双曲线离心率的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．22【例7】已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（）A B C ．2D【例8】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则（）A ．||||OA e OB = B ．||||OB e OA =C ．||||OB OA =D ．||OA 与||OB 关系不确定【例9】如图，已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，4||21=F F ，P 是双曲线右支上的一点，P F 2与y 轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1||=PQ ，则双曲线的离心率是（）A ．3B ．2C ．3D ．2 【课堂练习】【1】如图，21,F F 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B A ,．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．4B ．7C ．332 D ．3 【2】如图，21,F F 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足0)(2211=⋅+→→→P F F F P F ，a P F =→||2，线段2PF 与双曲线交于点Q ，若→→=Q F P F 225，则双曲线的渐近线方程为（）A ．x y 21±= B ．x y 55±= C ．x y 552±= D ．x y 33±=【3】已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则||||21PF PF ⋅等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【4】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，由2F 向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为H ，若21HF F ∆的面积为2b ，则双曲线的渐近线方程为____________．【5】已知点P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为21F PF ∆的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λλ成立，则λ的值为_______．【6】设双曲线1322=-yx 的左、右焦点分别为21,F F ，若点P 在双曲线上，且21PF F ∆为锐角三角形，则||||21PF PF +的取值范围是_______．【7】已知点P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右支上一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为3，M 为线段2PF 的中点，且||||22M F OF =，则该双曲线的离心率为_______．【课后作业】【1】双曲线的左右焦点分别为，，焦距，以右顶点为圆心的圆与直线相切于点，设与交点为，，若点恰为线段的中点，则双曲线的离心率为（） A ．B ．C ．D ．【2】(2019年全国2卷理数)设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为( ) A ．2B ．3C ．2D ．5【3】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线与C的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若以21F F 为直径的圆过点B ，且A 为B F 1的中点，则C 的离心率为（）A ．13+B ．2C ．3D ．2【4】设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线02034=+-y x 过点F且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点， OP OF =,则双曲线C 的离心率为（） A.5 B. 5 C.53 D. 54【5】设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为30︒，则C 的离心率为（）A ．2B ．32C ．3D ．62【6】如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（）A.324 B. 233 C. 305 D. 52【7】已知F 是双曲线2221x a b2y －＝()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+D ． ()2,12+【8】双曲线的离心率，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，，AOF △的面积为，则双曲线的方程为（）A ．B ．C ．D ．【9】已知双曲线与轴交于、两点，点，则面积的最大值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【10】双曲线的右焦点为，左顶点为，以为圆心，过点的圆交双曲线的一条渐近线于两点，若不小于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【11】已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）A. 33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B. (C. 33⎡⎢⎣⎦D. ⎡⎣ 【12】（2019年全国1卷理数）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【13】已知直线与双曲线交于，两点，为双曲线上不同于，的点，当直线，的斜率，存在时，．2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>e =F A C AOF OAF ∠=∠C 2213612x y -=221186x y -=22193x y -=2213x y -=222214x y b b-=-()02b <<x A B ()0,C b ABC ∆()222210,0x y a b a b-=>>F A F A,P Q PQ (]1,2((]1,3[)3,+∞12y x =22194x y -=A B P A B PA PB PA k PB k PA PB k k ⋅=。

(完整版)双曲线标准方程及几何性质知识点及习题

双曲线标准方程及几何性质知识点及习题1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。

当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

无限接近，但不可以相交。

例1. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。

注：c 2＝a 2＋b 2【例2】求虚轴长为12，离心率为54双曲线标准方程。

【例3】求焦距为26，且经过点M （0，12）双曲线标准方程。

练习。

焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x【例4】与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -练习。

求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出ce a=和222c a b =+的关系式。

2.2.1 双曲线及其标准方程(1)(学生版)

高二数学选修1学案双曲线及其标准方程（1）学习目标：（1）初步掌握双曲线的定义；（2）初步掌握双曲线的标准方程；（3）会根据所给的条件画出双曲线的草图并确定双曲线的标准方程.学习重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．学习难点：双曲线的定义及标准方程的推导.学习方法：直观发现，在与椭圆的类比中获得双曲线的知识.学习过程：一、课前准备：1. 椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？答：2. 在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系，若3a =，2b =，则c 是多少？写出符合条件的椭圆方程.答：3.把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？二、新课导学：（一）探究新知：1. 动手操作准备一条拉链，固定两点1F 、2F ，将一支笔放在点M 处，移动点M ，则可画出一支曲线.这一过程中，始终有12||||2MF MF a -=，如图（A ）表示双曲线的一支（右支）；或21||||2MF MF a -=如图（B ）表示双曲线的另一支（左支）.把上面两个等式合并在一起，则有 12||||||2MF MF a -=（即差的绝对值）.2. 双曲线的定义：平面内与两定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的，两焦点的距离12F F 叫做双曲线的 .3. 在双曲线标准方程的推导过程中，思考以下问题：（1）如何建立适当的直角坐标系？有几种建立坐标系的方式?答：（2）根据双曲线的定义，你能得到的等式是 .（3）在标准方程的推导过程中，引入了，2b = .（4）在双曲线的定义中，强调了c a >；若a c =动点的轨迹是什么？若c a <呢？答：（5）在下列两种坐标系下，双曲线的标准方程分别是； .（二）典型例题：【例1】已知双曲线的两焦点为12(8,0),(8,0)F F -，双曲线上任意点到1F 、2F 的距离的差的绝对值等于10，求此双曲线的标准方程.【分析】由双曲线的标准方程知，只要求出,a b 即可得方程.【解析】动动手：求解下列两题：1.双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，①若2a =，则b = ，②若1b =，则a = .三、总结提升1．双曲线定义：在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于12F F )a PF PF 221=-（a 为常数c a <<0）的点的轨迹叫做双曲线．（1）若122a F F <，则动点P 的轨迹是双曲线．（2）若122a F F =，则动点P 的轨迹是以1F ，2F 为端点的两条射线（在直线1F ，2F 上）．（3）若122a F F >，则动点P 无轨迹． 2．双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上时，方程为12222=-by a x )00(>>b a ，焦点)0,(1c F -)0,(2c F ；（2）焦点在y 轴上时，方程为12222=-bx a y )00(>>b a ，焦点),0(1c F -),0(2c F . 特别提醒：222b a c +=.3.求双曲线的标准方程时，就是求系数a 、b ，所以，可以使用待定系数法.四、反馈练习：1．求适合下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上，4,3;a b ==（2）焦点在x 轴上，经过点( （3）焦点为(0,6),(0,6),-且经过点(2,5).- 2．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是（） A . 5± B . 3± C . 5 D . 93．若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 .五、学后反思。

第二讲双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)

C． 3
D． 2
【4】设双曲线 C
x2
：
a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左焦点为 F
，直线 4x 3y 20
0 过点 F
且与 C 在第二象限的交点为 P ，O 为原点， OP OF ,则双曲线 C 的离心率为（）
【例
9】如图，已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0的左、右焦点分别为 F1, F2 ，|
F1F2
|
4，
P 是双曲线右支上的一点， F2P 与 y 轴交于点 A ， APF1 的内切圆在 PF1 上的切点为 Q ，
若 | PQ | 1 ，则双曲线的离心率是（）
4
A． 3
B． 2
C． 3
D． 2
则（1）|
PF1
||
PF2
|
2b2 1 cos
；（2）双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2 ．
tan
2
3．过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 上任一点
A(x0 ,
y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双
曲线于 B,C
两点，则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）．
x a
2 2
y2 b2
1a 0,b 0上关于原点对称的任意两点， B 是双曲
线上其它任意一点，直线
A1B, A2B 的斜率存在，则 k A1B
k A2B
b2 a2
．
2．双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b

双曲线的标准方程公式

双曲线的标准方程公式双曲线是代数曲线中的一种，在数学和物理学中都有着重要的应用。

双曲线的标准方程公式是描述双曲线的基本形式，通过标准方程我们可以更好地理解双曲线的性质和特点。

本文将详细介绍双曲线的标准方程公式及其相关知识。

首先，我们来看一下双曲线的定义。

双曲线是平面上的一种曲线，其定义为到两个给定点的距离之差等于常数的点的轨迹。

这两个给定点称为焦点，常数称为双曲线的离心率。

根据焦点的位置关系，双曲线可以分为两种类型，横向双曲线和纵向双曲线。

横向双曲线的焦点在x轴上，而纵向双曲线的焦点在y轴上。

接下来，我们来推导双曲线的标准方程公式。

以横向双曲线为例，设焦点为F1（c,0），F2（-c,0），离心率为e，点P(x,y)为双曲线上的任意点。

根据双曲线的定义，我们可以得到以下关系式：PF1 PF2 = 2a。

其中，a为双曲线的半焦距，即焦点到双曲线的距离。

根据点到两点的距离公式，我们可以得到：√((x-c)²+y²) √((x+c)²+y²) = 2a。

整理化简后得到双曲线的标准方程公式：(x²/a²) (y²/b²) = 1。

其中，a²= c²+ b²，b²= a²(e²-1)。

这就是横向双曲线的标准方程公式。

同理，对于纵向双曲线，其标准方程公式为：(y²/a²) (x²/b²) = 1。

通过标准方程公式，我们可以更好地理解双曲线的性质。

首先，双曲线在坐标系中是关于两条直线（称为渐近线）对称的。

其次，双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两支相切，并且渐近线的斜率分别为±b/a。

另外，双曲线的两支分别位于两条渐近线的两侧。

双曲线在数学和物理学中有着广泛的应用。

在数学中，双曲线是代数曲线的一种，研究双曲线可以帮助我们更好地理解曲线的性质和特点。

双曲线方程公式大全

双曲线方程公式大全双曲线方程是形如 $y=ax^2+bx+c$ 的方程,其中 $a,b,c$ 是常数,$x$ 是双曲线上的点的坐标。

以下是双曲线方程的一些常用公式:1. 椭圆方程式:当 $b=0$ 时,双曲线方程退化为椭圆方程式$y=ax^2$,其中 $a$ 是椭圆的长轴比例系数。

2. 双曲线的离心率:当 $b>0$ 时,双曲线的离心率 $e$ 是$c/a$,当 $b<0$ 时,双曲线的离心率 $e$ 是 $c/a$。

3. 双曲线的离心率公式:当$b>0$ 时,$e=frac{c}{a}+frac{b}{2a}$,当$b<0$ 时,$e=frac{c}{a}-frac{b}{2a}$。

4. 双曲线的向量长度公式:当$b>0$ 时,$L=frac{sqrt{1+4e^2}}{2ae}$,当$b<0$ 时,$L=frac{sqrt{1-4e^2}}{2ae}$。

5. 双曲线的切线公式:当 $b=0$ 时,双曲线没有切线,但是可以定义一条平行于 $x$ 轴的切线,其斜率为 $-c/a$。

6. 双曲线的切线公式:当 $b>0$ 时,$y=ax^2$,当$b<0$ 时,$y=-ax^2$。

7. 双曲线的顶点坐标公式:当 $b=0$ 时,双曲线的顶点坐标为$(x_0,y_0)$,当 $b>0$ 时,顶点坐标为 $(esqrt{b^2/4a},0)$,当$b<0$ 时,顶点坐标为 $(-esqrt{b^2/4a},0)$。

8. 双曲线的斜率公式:当 $b>0$ 时,$y_0=ax_0^2+bx$,当$b<0$ 时,$y_0=-ax_0^2-bx$。

9. 双曲线的二阶导数公式:当 $y''(x)$ 存在时,$y''(x)=2ax^3+2bx^2+2cx$,其中 $a,b,c$ 是常数。

10. 双曲线的阶乘公式:当 $b=0$ 时,$y=ax^2$,当 $b不等于0$ 时,$y=ax^2(1+(2b/a)x)$。

双曲线的简单几何性质学生版

(1)9 x2 y2 81
(2)x2 y2 4
2.若双曲线的渐近线方程为y 4 x,则双曲线 3
的离心率为
1.双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率
2.数学思想方法：“类比”和“数形结合”
体验高考
1.2011安徽高考双曲线2x2 y2 8的实轴长是（）
A.2
y2 - x2 1 (a 0, b 0) a2 b2
y a或y a, x R
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点离心率渐近线
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
* ybx a
e c (e 1) a
* yax b
巩固练习
1.求以下双曲线的焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、渐近线方程、离心率.
1、范围
y a或y a, x R
y
a
o
x
-a
【练习一】写出以下双曲线的范围
x2 y2 (1) 1
4 12 (2) x2 y2 1
20 16
3 y2 x2 1
9 16
探究双曲线
x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
的简单几何性质
2、对称性
(-x,y)
y (x,y)
4.双曲线的渐近线
▲规定：直线
ybx a
叫做双曲线
x2 a2
y2 b2
=1的渐近线。
▲思考：①双曲线
y2 a2
x2 b2
1的渐近线方程是什么？ y
a
x
②两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？b
x2 y2 a2 b2 =1
y2 a2
x2 b2

双曲线的基本知识点PPT

按方程形式分类
双曲线方程的对称性双曲线的标准方程是(x-a)²/b² - (y-b)²/a² = 1，其具有中心对称性，即点 (a, b)为中心。双曲线的焦距与实轴长度的关系在双曲线中，焦距c与实轴长度2a有固定的数学关系：c² = a² + b²，此式被称为双曲线的基本性质之一。
T 双曲线关于其轴和中心点均具有对称性，这是由其定义决定的。双曲线的渐近线性质双曲线的渐近线是一条直线，该直线与双曲线交于两个无穷远点，这是双曲线的重要特性之一。
05 双曲线的实际应用
双曲线的实际应用:物理中的应用
双曲线的几何特性双曲线是二次曲线的一种，其双曲线的几何特性双曲线是二次曲线的一种，其几何特性包括焦点在两个固定点，且所有到两焦点距离之和为定长的点的集合。双曲线的方程式双曲线的标准方程是(x^2)/a^2 - (y^2)/b^2 = 1，其中a, b > 0, a^2 + b^2 = c^2 双曲线在物理中的应用双曲线广泛应用于物理学中，如电磁场理论、光学、量子力学等，例如，双曲线的焦散线就是光学中的一条重要概念。双曲线与实际问题的联系双曲线的许多性质，如离心率、焦点等，可以用于解决实际问题，如测量物体的距离、角度等。
双曲线的图形特征:焦点和准线
双曲线定义双曲线是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。焦点性质双曲线的两个焦点位于实轴两端，距离实轴相等。准线特征双曲线有两条互相垂直的准线，分别交坐标轴于原点和渐近线点。
04 双曲线的性质解析
双曲线的性质解析:主要性质
双曲线的焦点特性双曲线有两焦点位于其对称轴上，距离中心等距。双曲线的对称性双曲线具有旋转对称性和平移对称性。双曲线的渐近线双曲线有两个渐近线，分别代表双曲线在x轴和y轴上的极限状态。实数双曲线的面积实数双曲线的面积是πab/4。

高中数学双曲线公式大全

高中数学双曲线公式大全1.双曲线的标准方程：双曲线的标准方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a和b是正实数，分别称为双曲线的半轴。

2.双曲线的顶点坐标：双曲线的顶点坐标是(0,0)。

3.双曲线的对称轴：双曲线的对称轴是y=0。

4.双曲线的焦点坐标：双曲线的焦点坐标是(-c,0)和(c,0)，其中c^2=a^2+b^25. 双曲线的准线坐标：双曲线的准线坐标是(-ae,0)和(ae,0)，其中e = √(1 + b^2/a^2)。

6.双曲线的离心率：双曲线的离心率是e=c/a。

7. 双曲线的焦距：双曲线的焦距是2ae。

8.双曲线的直径：双曲线的直径是2b。

9.双曲线的直线渐近线：双曲线的直线渐近线方程是y=±b/a*x+0。

10.双曲线的离心率与准线之间的关系：离心率e=√(1+1/b^2)。

11.双曲线的离心率与焦距之间的关系：离心率e=c/a。

12.双曲线的离心率与半轴之间的关系：离心率e=√(1+a^2/b^2)。

13.双曲线的离心率与半焦距之间的关系：离心率e=√(1+d^2/4b^2)，其中d是焦点到直线渐近线的垂直距离。

14.双曲线的离心率与半准距之间的关系：离心率e=√(1+c^2/a^2)。

15.双曲线的离心率和焦距与准线之间的关系：e^2=c^2-a^216.双曲线的离心率和焦距与半焦距之间的关系：e^2=c^2-d^217.双曲线的离心率和焦距与半准线之间的关系：e^2=c^2+a^218.双曲线的引弧长度公式：双曲线的引弧长度公式是s=aθ，其中θ是弧度数。

19. 双曲线的二边切线斜率公式：双曲线的二边切线的斜率公式是dy/dx = ± b^2x/y。

20. 双曲线的极坐标方程：双曲线的极坐标方程是r^2 =a^2sec^2θ - b^2tan^2θ。

以上是双曲线的一些重要公式，希望对你的学习有所帮助。

双曲线的研究是数学的重要分支之一，了解这些公式可以让我们更好地理解和应用双曲线的知识。

高二数学双曲线知识点

高二数学双曲线知识点
嘿，朋友们！咱今天来好好唠唠高二数学里超重要的双曲线知识点呀！
双曲线，那可真是个神奇的存在！就好像是人生的道路，有时曲折，有时又有着独特的魅力。

比如说，双曲线的定义，平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（小于两个定点间的距离）的点的轨迹。

你看，这多像我们追求目标的过程啊，有时候要经历一些起起落落，一些差值变化呢！就像是你在操场上跑步，从这头跑到那头，再跑回来，是不是感觉有点像呢？
再来看看双曲线的方程，那种简洁又有力的表达！它能告诉你很多信息哦。

比如说x²/a² - y²/b² = 1 这个方程，这里面的 a、b 可是有着特别的意义呢。

哎呀，这就好像是密码，解开就能看到双曲线的秘密啦。

想象一下，你有个神秘的盒子，方程就是打开盒子的钥匙！
还有双曲线的渐近线呀，那可太有趣啦！它就像是远方的指引，告诉你双曲线会朝着哪个方向延伸。

想想看，这不就像你在迷雾中看到了远处的灯塔吗？比如说，一条双曲线的渐近线是y = ±(b/a)x，哇哦，是不是感觉很神奇。

还有焦点呀！双曲线的焦点就像是舞台上的聚光灯，所有的目光都集中在那里。

那可是很关键的位置呢。

你可以把它想象成你最关注的东西，是你目光的焦点呀！
总之，双曲线知识点真的超有趣，超有魅力的！它就像是数学世界里的一颗璀璨明珠，等着我们去探索，去发现它的美妙。

我觉得呀，大家一定要好好掌握这些知识点，因为它们真的会给我们带来很多惊喜和收获呢！。

第13讲双曲线的定义和标准方程学生高一升高二暑假培优讲义

第13讲双曲线的定义和标准方程[玩前必备]1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．3．双曲线的性质x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R[玩转典例]题型一双曲线定义例1 (1)（2019·辽宁高二月考）已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（） A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支(2)（2020·东北育才学校高二月考（理））已知左、右焦点分别为12F F 、的双曲线2216436x y -=上一点P ，且117PF =，则2PF =（） A ．1或33B ．1C ．33D ．1或11例2 (1)若F 1，F2分别是双曲线2288x y -=的左、右焦点，点P 在该双曲线上，且12PF F △是等腰三角形，则12PF F △的周长为（） A ．17 B ．16 C ．20D ．16或20(2)（2018·河南高二月考（理））1F 、2F 的双曲线2212511y x -=的两焦点，P 在双曲线上，1290F PF ∠=︒，则12PF F ∆的面积是（） A ．11 B ．112C ．112D ．2[玩转跟踪]1．（2019·吉林长春市实验中学高二月考（文））已知双曲线221259x y -=上一点M 到左焦点1F 的距离为18，则点M 到右焦点2F 的距离是__________________.2．（2019·阜阳市第三中学高二月考（文））已知点1F 、2F 分别是双曲线()222109x y a a -=>的左、右焦点，P 是该双曲线上的一点，且12216PF PF ==，则12PF F △的周长是________． 3．（2019·浙江高二期末）设F 1,F 2是双曲线x 25−y 24=1的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF 1|:|PF 2|=2:1，则ΔPF 1F 2的面积等于__________．4．（2019·湖北高二期中）已知双曲线2214x y -=的两个焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为_______．题型二双曲线的标准方程例3 （2019·吴起高级中学高二期末（理））在下列条件下求双曲线标准方程（1）经过两点()()3,0,6,3--；（2）a =()2,5-，焦点在y 轴上.(3)过点(3)，离心率e ； (4)中心在原点，焦点F1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4)．[玩转跟踪]1.（2019·宁夏育才中学高二期末（文））已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，根据下列条件分别求双曲线C 的标准方程. （1）渐近线方程为53y x =±，且过点()3,10；（2）与双曲线221x y -=的离心率相同，与2215x y +=共焦点.（3）求与双曲线x 22−y 2=1有公共焦点，且过点(√2,√2)的双曲线标准方程．(4)已知焦点()106F -，，()206F ，，双曲线上的一点P 到1F ，2F 的距离差的绝对值等于8；(5)已知双曲线的中心在原点，焦点1F ，2F 在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点(4P ，题型三根据双曲线求参数例4 (1)（2019·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线22132x y a a+=--的焦点在x 轴上，若焦距为4，则a =（） A ．212B ．7C ．92D ．12(2)（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（文））方程221()23x y k R k k -=∈-+表示双曲线的充要条件是( )A ．2k >或k<-3B ．3k <-C ．2k >D ．32k -<<[玩转跟踪]1．（2019·河北高考模拟（理））若方程x 2m−2+y 26−m=1表示双曲线，则m 的取值范围是（）A.m <2或m >6B.2<m <6C.m <−6或m >−2D.−6<m <−22．（2019·上海格致中学高三开学考试）如果双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，焦距为8，则实数m =________题型四渐近线和离心率例5 (1)（2019·江苏淮阴中学高二月考）双曲线2214x y -=的渐近线方程为（）A.x =B.20x y ±=C.20x y ±=D.x =(2)（2019·浙江高三学业考试）已知双曲线22214y x b -=的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．2y x =±例6 (1)（2019·黑龙江牡丹江一中高二月考（文））已知三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线2212x ya +=的离心率为（）A B C 2D 2(2)（2019·山东高三月考）若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线与直线y =2x 垂直，则该双曲线的离心率为（） A.√52B.√5C.√62D.2(3)（2019·河北石家庄二中高二月考）若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>与直线y =无交点，则离心率e 的取值范围（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[)2,+∞D ．(4)（2019·广东高三月考（文））已知双曲线2222:10,0)x y C a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，O 为坐标原点．若OMN 为直角三角形，则C 的离心率为（）．ABC ．2D[玩转跟踪]1．（2019·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线22142-=y x ，则其渐近线方程为( )A．y =B．2y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±2．（2019·河北承德第一中学高二月考）设焦点在x 轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为的渐近线方程（） A．y =B ．2y x =±C．2y x =±D ．12y x =±3（2019·甘肃高二月考（文））经过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） A ．[2，+∞）B ．（1，2）C ．（1，2]D ．（2，+∞）4．（2019·内蒙古高二期末（文））已知F 是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，点M 在C 的右支上，坐标原点为O ，若|FM|=2|OF|，且∠OFM =120°，则C 的离心率为（） A.32B.√5−12C.2D.√3+12[玩转练习]一、单选题1．（2019·浙江省高三期中）双曲线的焦点坐标为（） A ．B ．C ．D ．2．（2020·安徽省高三三模（文））已知双曲线的离心率为2，则实数的值为( )A ．4B ．8C ．12D ．16222=2x y -(1,0)±(0)(0,1)±(0,2214x y m-=m3．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））下列双曲线中，渐近线方程为的是（）A ．B ．C ．D ．4．（2020·安徽省高三三模（理））已知双曲线离心率为3，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ． B ． C ． D ． 5．（2019·安徽省高二期末（理））已知双曲线的焦距为方程为，则焦点到渐近线的距离为（） A ．1 BC ．2D．二、多选题6．（2020·山东省胶州市第一中学高三一模）已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C 的方程为的是( )A ．离心率为B ．双曲线过点C ．渐近线方程为D ．实轴长为47．（2020·湖南省衡阳市一中高二期末）已知双曲线，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则有（）A ．渐近线方程为B ．C ．D ．渐近线方程为三、填空题32y x =±22132x y -=22132y x -=22194x y -=22194y x -=()2222:10,0x y C a b a b-=>>2y x =±y =y =±4y x =±2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12y x =±22221(0,0)x y a b a b-=>>1(5,0)F -2(5,0)F 221169x y -=5495,4⎛⎫⎪⎝⎭340±=x y 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>A A b A A C M N 60MAN ∠=︒y x =2e =3e =y =8．（2018·民勤县第一中学高二期末（文））双曲线的渐近线方程为9．（2020·天水市第一中学高二月考（文））以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．10．（2020·天水市第一中学高二月考）已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 四、解答题11．（2020·定远县育才学校高二月考（文））双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求双曲线的离心率及渐近线方程.12．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知双曲线E 过点，且双曲线E 的焦点与椭圆C 的焦点重合，求双曲线E 的标准方程.2214y x -=22145x y -=x l C ()222210,0x ya b a b-=>>P Q O OPQ ∆C 2212736x y +=4)13(。

双曲线知识点及题型总结学生版

双曲线知识点及题型总结 1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.5.曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x ab y ±=②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =abx ，y =－abx (什么是共轭双曲线?) ⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c=+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ⑻与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb y k a x 6曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.7曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.8双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b-=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.9线与椭圆相交的弦长公式AB =若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则弦长 ]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k-+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；高考题型解析题型一：双曲线定义问题1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k yk x 表示双曲线”的( ) A .充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.3.给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上. _________.4.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ|=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 . 题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线42x －92y =1的渐近线方程是( )A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －42y =1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线 x 2a 2 － y 2b2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为（） A ．43B ．53C ．２D ．732.已知21,F F 是双曲线)0(,12222>>=-b a by ax的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )A. 2B.3C. 2D. 33.过双曲线M:2221yxb-=的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( )A.22 B. 2 C .2 D. 225..已知双曲线12222=-byax(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2)C.[2,+∞)D.(2,+∞)题型四：双曲线的距离问题1.设P是双曲线22ax－92y=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于( )A.1或5B.6C.7D.92.已知双曲线141222=-yx的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是A.(33-,33) B. (-3,3) C.[33-,33] D. [-3,3]3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________. 题型五：轨迹问题1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。

高二年级双曲线的知识点

高二年级双曲线的知识点双曲线是高中数学中的一个重要概念，它在几何图形和函数中都有广泛的应用。

本文将介绍高二年级学生所需了解的双曲线的基本知识点，包括定义、性质和图像特征。

一、定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，它可以由以下方程表示：$(\frac{x^2}{a^2}) - (\frac{y^2}{b^2}) = 1$，其中 a 和 b 是正实数。

二、焦点和准线双曲线的图像由两个焦点 F1 和 F2，以及两条与 x 轴垂直的准线 L1 和 L2 组成。

焦点到准线的距离等于焦点之间的距离，即F1L1 = F2L2 = c，其中 c = $\sqrt {a^2 + b^2}$。

三、主轴和顶点对于双曲线，它的主轴是通过焦点的直线，与主轴垂直的线段称为次轴。

主轴的长度为 2a，焦点所在的直线被称为对称轴。

双曲线的顶点是主轴与对称轴的交点。

四、渐近线双曲线与两条直线分别称为渐近线。

渐近线与双曲线的距离在无限远处趋于零。

对于双曲线，渐近线与 x 轴和 y 轴的夹角分别为 $\theta$ 和 90° - $\theta$。

五、图像特征双曲线的图像特点有以下几点：1. 图像在 x 轴和 y 轴上有对称性，即关于 x 轴和 y 轴对称。

2. 图像是无界的，即没有边界或端点。

3. 图像趋向于渐近线，当 x 趋于正无穷或负无穷时，双曲线的图像将无限接近于渐近线。

4. 图像可能有多个分支，每个分支都有一个焦点和两条准线。

六、经典双曲线在双曲线的研究中，有两种经典的双曲线，分别是椭圆双曲线和双曲双曲线。

它们在 a 和 b 的取值不同情况下呈现不同的图像特征。

1. 椭圆双曲线：当 a > b 时，双曲线的图像类似于两个向外张开的弯曲叶子。

2. 双曲双曲线：当 a < b 时，双曲线的图像类似于两个向内凹陷的弓形。

七、应用领域双曲线在数学的几何图形、物理学、电子工程等领域有广泛的应用。

例如，在物理学中，双曲线可以描述光线在折射过程中的轨迹；在电子工程中，双曲线可以用于描述电子流的传输特性。

双曲线学生版2022

9．6 双曲线1．(2021·河北定兴第三中学模拟)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点，|PF 1|＝7，则|PF 2|＝( )A ．1或13B ．1C ．13D ．92．双曲线4x 2＋ky 2＝4k 的虚轴长是实轴长的2倍，则实数k 的值是( ) A ．16 B ．116 C ．－16 D ．－1163．(2021·山西长治模拟)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，则该双曲线的实轴长为( )A.233 B ．433 C ．32 D ．34．(2021·江西景德镇一中模拟)双曲线x 2－y 23＝1的顶点到渐近线的距离为( )A.32 B ．12 C ．34 D ．2335．(2021·浙江金华第一中学模拟)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，下列说法正确的是( )A ．若△F 1PF 2为直角三角形，则△F 1PF 2的周长是27＋4B ．若△F 1PF 2为直角三角形，则△F 1PF 2的面积是6C ．若△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是(27，8)D ．若△F 1PF 2为钝角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是(8，＋∞)1．(2021·北京高考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B ．x 23－y 2＝1 C ．x 2－3y 23＝1D ．3x 23－y 2＝12．(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( )A.72 B ．132 C ．7D ．133．(2020·全国Ⅰ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A.72 B ．3 C ．52D ．24．(2020·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．325．(2021·全国乙卷)双曲线x 24－y 25＝1的右焦点到直线x ＋2y －8＝0的距离为________．一、基础知识巩固考点双曲线的定义例1 (2021·江苏苏州中学模拟)双曲线x 225－y 223＝1的两个焦点为F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离为8，则点P 到F 2的距离为( )A．2或12B．2或18 C．18D．2例2(2022·湖北宜昌高三月考)已知双曲线y2m －x22＝1，直线l过其上焦点F2，交双曲线上支于A，B两点，且|AB|＝4，F1为双曲线下焦点，△ABF1的周长为18，则m的值为()A．8B．9C．10D．25 41.(2021·四川威远中学模拟)已知双曲线C：y29－x24＝1，F1，F2分别是双曲线C的两个焦点．点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|等于() A．11B．3或11C．13D．1或132．(2021·永昌县第一高级中学模拟)P是双曲线x29－y216＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝4上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()A．6B．7C．8D．9双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出曲线方程．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时的注意点①距离之差的绝对值，若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．考点双曲线的标准方程例3(2021·天津模拟)已知双曲线的左、右焦点分别为F1(－3,0)，F2(3,0)，P 为双曲线上一点且||PF1|－|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为()A.x24－y25＝1B．x25－y24＝1C.y24－x25＝1D．y25－x24＝1例4(2021·重庆二模)在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴切于点A(4,0)，分别过点M(－5，0)，N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上)，则点P 的轨迹方程为()A.x216－y29＝1(x>4) B.x216－y29＝1(x<－4)C.x216－y29＝1(x<－4或x>4) D.x216－y29＝13.(2021·云南丽江第一高级中学模拟)与椭圆C：y216＋x212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y22＝1B．y2－2x2＝1C.y22－x22＝1D．y22－x2＝14．(2021·山西阳泉模拟)已知曲线E：x2＋y2cosα＝1(α∈[0，π])，则下列描述正确的是()①当π2<α<π时，曲线E为双曲线，焦点在x轴上；②当α＝π2时，曲线E为以原点为圆心，半径为1的圆；③当0≤α<π2时，曲线E围成图形的面积的最小值为π.A．①②B．①③C．②③D．①②③考点双曲线的几何性质例5(2021·汕头市达濠华侨中学期末)双曲线C：x24－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25 B ．45 C ．255 D ．455例6 (2021·湖北黄石模拟)已知A ，B ，C 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF ⊥AC 且3|AF |＝|AC |，则该双曲线的离心率是( )A.102 B ．53 C ．173D ．945.(2021·安徽合肥一中期末)直线x ＋3y ＝0是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，且双曲线的一个顶点到渐近线的距离为3，则该双曲线的虚轴长为( )A ．4B ．8C ．23D ．436．(多选)(2021·辽宁沈阳高三年级质量监测)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F (－1,0)，过F 且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，则下列结论正确的有( )A ．双曲线C 的方程为4x 2－4y 23＝1B ．双曲线C 的两条渐近线所成的锐角为60° C ．F 到双曲线C 的渐近线的距离为3D ．双曲线C 的离心率为2 考点与双曲线有关的最值、范围问题例7 (2021·四川绵阳南山中学模拟)已知双曲线x 2－y23＝1的右焦点为F ，M (4,35)，直线MF 与y 轴交于点N ，点P 为双曲线上一动点，且点P 在以MN 为直径的圆内，直线MP 与以MN 为直径的圆交于点M ，Q ，则|PM |·|PQ |的最大值为( )A ．48B ．49C ．50D ．42例8 (2021·甘肃兰州一中期末)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线C 的左、右两支分别于点Q ，P ，若|FQ |＝t |QP |，则实数t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23－36 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤23－36，1C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23－36 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤23－36，27.(2021·南京师范大学附属中学模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为103，双曲线上的点到焦点的最小距离为10－3，则双曲线上的点到点A (5,0)的最小距离为( )A ．1B ．62C ．2D ．68．(2021·山东济南模拟)若F 为双曲线C ：x 24－y 25＝1的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则1|F A |－4|FB |的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，15 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，15C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，15二、核心素养提升例1 (2021·长丰北城衡安学校模拟)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底座外直径为2393，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为( )A ．22πB ．3πC ．23πD ．4π例2 已知一簇双曲线E n ：x 2－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 20202(n ∈N *，且n ≤2020)，设双曲线E n 的左、右焦点分别为F n 1，F n 2，P n 是双曲线E n 右支上一动点，△P n F n 1F n 2的内切圆G n 与x 轴切于点A n (a n,0)，则a 1＋a 2＋…＋a 2020＝________.课时作业一、单项选择题1．(2021·玉林市育才中学模拟)“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c (a ，b ，c ∈R )表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．(2021·深圳市宝安中学模拟)若方程x 21－m －y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)3．(2021·河南新乡模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 的右支在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，且B 为AF 1的中点，若△ABF 2的周长为6a ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±2xC ．y ＝±32xD ．y ＝±22x4．(2021·湖南岳阳模拟)若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2s －y 2t ＝1(s ，t >0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －sB ．12(m －s ) C ．m 2－s 2D ．m －s5．已知双曲线C ：x 28－y 2＝1的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，A (0,3)，当△MAF 的周长最小时，△MAF 的面积为( )A.607 B ．9 C ．37D ．46．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝07．(2021·黑龙江铁人中学模拟)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程为3x －y ＝0，右焦点为F ，点M 在双曲线左支上运动，点N 在圆x 2＋(y ＋3)2＝1上运动，则|MN |＋|MF |的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．98．(2021·湖南第三次模拟)P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点，F 1，F 2分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，若|OP |＝b ，且sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则C 的离心率为( )A.2 B ．3 C ．2 D ．6 二、多项选择题9．(2021·河北张家口第三次模拟)已知方程x 2m 2－2＋y 2m 2＋2＝1表示的曲线是双曲线，其离心率为e ，则( )A ．－2＜m ＜2B ．点(2,0)是该双曲线的一个焦点C ．1＜e ≤2D ．该双曲线的渐近线方程可能为x ±2y ＝0 10．(2021·广东六校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1C ．点P 的横坐标为±1D ．△PF 1F 2的面积为211．(2021·山东威海模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 24＝1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有( )A ．F 1，F 2，P ，I 四点共圆B ．△PQF 1的内切圆半径为1C ．I 为线段OQ 的三等分点D ．PF 1与其中一条渐近线垂直12．(2021·辽宁沈阳郊联体第三次模拟)已知O 为坐标原点，设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和C 的虚轴端点的直线l 与C 的一条渐近线平行．将C 的两条渐近线分别记为l 1，l 2，右焦点记为F ，若以OF 为直径的圆M 交l 1于O ，A 两点，点B 在l 2上，且BA→＝2AF →，则有( )A ．双曲线C 的实轴长为1B ．双曲线C 的离心率为3 C ．双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1 D ．sin ∠OBA ＝13三、填空题13．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.14．(2021·河北唐山模拟)若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线交右支于A ，B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．15．(2021·贵州贵阳模拟)F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 22＝1的左、右焦点，过点F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若l ⊥F 2B ，则F 2A →·F 2B →＝________.16．(2021·江苏扬州模拟)F 1，F 2是双曲线x 22－y 2＝1的左、右焦点，过F 2的直线l 与双曲线的右支交于M ，N .当|F 1M |＋|F 1N |取最小值时，△F 1MN 的周长为________．四、解答题17．(2021·大埔县田家炳实验中学模拟)求下列双曲线的标准方程． (1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．18．(2021·定远县育才学校模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上除右顶点之外的一点．(1)若∠F 1PF 2＝θ，求△F 1PF 2的面积；(2)若该双曲线与椭圆x 24＋y 2＝1有共同的焦点且过点Q (2,1)，求△F 1PF 2内切圆圆心的轨迹方程．19．(2021·新高考八省联考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |.(1)求C 的离心率；(2)若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF .。

高中数学双曲线知识点及题型总结(学生版)

双曲线知识点及题型总结1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.5.曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx (什么是共轭双曲线?)⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x 0(≠λ⑻与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 6曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 7曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 8双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b -=.（3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.9线与椭圆相交的弦长公式 AB =若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；高考题型解析题型一：双曲线定义问题1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k yk x 表示双曲线”的( )A .充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.3.给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上. _________.4.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线42x －92y =1的渐近线方程是( )A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x－y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －42y =1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线 x 2a 2 － y 2b2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为（）A ．43B ．53C ．２D ．732.已知21,F F 是双曲线)0(,12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )A.2 B.3 C. 2 D. 33.过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 (4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( ) A.22 B. 2 C .2 D. 225..已知双曲线12222=-by a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞) 题型四：双曲线的距离问题1.设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( ) A.1或5 B.6 C .7 D.92.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 A.(33-,33) B. (-3,3) C .[ 33-,33] D. [-3,3] 3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.题型五：轨迹问题1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。

双曲线 [学生版]

双曲线学习目标：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．知识梳理 1．双曲线的概念平面内动点P 与两个定点F 1、F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a <2c )，则点P 的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0； (1)当________时，P 点的轨迹是________；(2)当________时，P 点的轨迹是________； (3)当________时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．自我检测1．(2011²安徽)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 22．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→²PF 2→等于( )A ．－12B ．－2C ．0D ．43．(2011²课标全国)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．34．(2011²武汉调研)已知点(m ，n )在双曲线8x 2－3y 2＝24上，则2m ＋4的范围是_________． 5．已知A (1,4)，F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，求|PF |＋|PA |的最小值．知识探究探究点一双曲线的定义及应用例1已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．变式迁移1 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．探究点二求双曲线的标准方程例2已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3)，求双曲线的标准方程．变式迁移2 (2011²安庆模拟)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．探究点三双曲线几何性质的应用例3已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|²|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．变式迁移3 已知双曲线C ：x 22－y 2＝1.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知M 点坐标为(0,1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP →²MQ →，求λ的取值范围．例4 过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点． (1)求|AB |； (2)求△AOB 的面积；(3)求证：|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|.课堂练习1．已知M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝3，则动点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线左边一支C ．双曲线右边一支D ．一条射线2．设点P 在双曲线x 29－y 216＝1上，若F 1、F 2为双曲线的两个焦点，且|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，则△F 1PF 2的周长等于( ) A ．22B ．16C ．14D ．123．(2011²宁波高三调研)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3C ．2D. 54．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 是双曲线右支上的一点，则分别以PF 1和A 1A 2为直径的两圆的位置关系是( ) A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含5．(2011²山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 6．(2011²上海)设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.7．设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．8．(2011²铜陵期末)已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 9．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．10．(2011²广东)设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M(355，455)，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．11．(2010²四川)已知定点A(－1,0)，F(2,0)，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.(1)求E的方程；(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．课后作业1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．22．设双曲线x 2a 2－y 29＝1 (a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．(2013²福建)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.4554.(2014²天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 5.设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2122＝1 6.(2013²浙江)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.627.(2014²广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k＝1与曲线x 225－k－y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等8.(2013²课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x9.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 510．(2013²北京)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x11．(2013²湖北)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等12．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．313．(2014²江西)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1 14．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)15．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋1 16．(2013²重庆)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞ 17．设过双曲线x 2－y 2＝9左焦点F 1的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ |＝7，则△F 2PQ 的周长为( ) A ．19 B ．26 C ．43 D ．5018．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.19．(2014²北京)设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．20．(2014²北京)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．21．(2014²浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．22．(2013²湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________． 23.与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为__________． 24.已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．25．(2013²辽宁)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．26．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．27．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积．28．已知椭圆C1的方程为x24＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA→²OB→>2(其中O为原点)，求k的取值范围．- 11 - 29．已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接PA 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积．。

高三双曲线的知识点总结

高三双曲线的知识点总结高三阶段是学生面临高考冲刺阶段的重要时期。

在数学中，双曲线是一个重要的概念，它在高等数学中具有广泛的应用。

在此，我将对高三阶段学习中的双曲线相关知识点进行总结和归纳。

一、双曲线的基本定义双曲线是指平面上到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于常数的点的集合。

一般来说，双曲线可以分为两类：横向双曲线和纵向双曲线。

- 横向双曲线的方程一般形式为：(x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1，其中(a > 0, b > 0)。

- 纵向双曲线的方程一般形式为：(y - k)² / a² - (x - h)² / b² = 1，其中(a > 0, b > 0)。

双曲线的标准方程：双曲线的标准方程一般形式为x^2 / a^2 -y^2 / b^2 = c，其中a、b、c是常数。

二、双曲线的图像特征从双曲线的方程可以看出，双曲线的图像具有以下特点：1. 具有两个分支：双曲线有两个分离的分支，分别沿焦点的两侧延伸。

2. 双曲线的对称轴：对称轴是双曲线的一条轴线，通过双曲线的中心点，垂直于双曲线的两个分支，并且与两个分支都相交。

3. 焦点和直线的关系：焦点是双曲线的一个重要特点，它与双曲线上的点之间的距离之差等于常数。

同时，双曲线上的每个点到焦点的距离之和等于双曲线的长轴的长度。

4. 双曲线的渐近线：双曲线的渐近线是双曲线的两个分支在无限远处趋于的直线。

横向双曲线的渐近线是y = ±(b / a) * x，纵向双曲线的渐近线是y = ±(a / b) * x。

5. 双曲线的离心率：离心率是双曲线的一个重要参数，它决定了双曲线的形状。

离心率的计算公式为e = √(a^2 + b^2) / a。

三、双曲线的性质和应用1. 高中阶段，双曲线的主要性质是焦点、顶点、长轴、短轴之间的关系。

双曲线特殊公式

双曲线特殊公式双曲线（Hyperbola）是一种二次曲线，其标准方程和特殊公式取决于其轴的方向和位置。

以下是双曲线的一些基本和特殊公式：1.标准方程：o当焦点在x轴上时：a2x2−b2y2=1 (其中a,b>0且a=b )o当焦点在y轴上时：a2y2−b2x2=1 (其中a,b>0且a=b )2.焦点：o当焦点在x轴上时：F1(−c,0),F2(c,0)，其中c=a2+b2o当焦点在y轴上时：F1(0,−c),F2(0,c)，其中c=a2+b23.准线：o当焦点在x轴上时：x=±ca2o当焦点在y轴上时：y=±ca24.离心率：e=ac，其中e>15.渐近线：o当焦点在x轴上时：y=±ab xo当焦点在y轴上时：y=±ba x6.参数方程：o当焦点在x轴上时：{x=a secθy=b tanθ复制代码其中 $\theta$ 是参数，且 $|\theta| < \frac{\pi}{2}$ 或$|\theta| > \frac{\pi}{2}$•当焦点在y轴上时：{x=b tanθy=a secθ复制代码其中 $\theta$ 是参数，且 $|\theta| < \frac{\pi}{2}$ 或$|\theta| > \frac{\pi}{2}$7. 通径：过焦点且垂直于实轴的线段，其长度为a2b28.实轴和虚轴：o实轴：当焦点在x轴上时，是x轴上的线段，长度为2a；当焦点在y轴上时，是y轴上的线段，长度为2ao虚轴：当焦点在x轴上时，是y轴上的线段，长度为2b；当焦点在y轴上时，是x轴上的线段，长度为2b9.面积：双曲线与实轴所围成的面积为a2b2ln(1−e1+e)这些是双曲线的一些基本和特殊公式，它们对于理解和应用双曲线的性质非常重要。

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