18学年高中数学第三单元三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦学案新人教B版41802243160

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高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案

解：（1）原式 =
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式描述：两角差的余弦公式对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ．两角和的余弦公式对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ．两角和的正弦公式对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ．两角差的正弦公式对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ．两角和的正切公式对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式对于任意角α，β 有tan(α − β) =

高中数学第三章三角恒等变换 3.2.1 倍角公式学案新人教B版必修4

3．2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式[学习目标] 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．[知识链接]1．两角和公式与二倍角公式有联系吗？答有联系．在S α＋β，C α＋β，T α＋β中，令β＝α即可得S 2α，C 2α，T 2α. 2．什么情况下sin 2α＝2sin α，tan 2α＝2tan α？答一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如sin π3≠2s in π6，只有当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α才成立．只有当α＝k π(k ∈Z )时，tan 2α＝2tan α成立． [预习导引] 1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α，sin α2cos α2＝12sin α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝cos_α，sin 2α2cos α＝sin_α； (2)(sin α±cos α)2＝1±sin _2α；(3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2；(4)1－cos α＝2sin2α2,1＋cos α＝2cos2α2.要点一给角求值问题例1 求下列各式的值：(1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)1sin 10°－3cos 10°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°. 解 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4. (5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.规律方法此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单，而(4)小题分式一般先通分，再考虑结合三角函数公式的逆用从而使问题得解．而(5)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．跟踪演练1 求下列各式的值．(1)sin π8sin 3π8；(2)cos 215°－cos 275°；(3)2cos25π12－1；(4)tan 30°1－tan 230°.解 (1)∵sin 3π8＝sin(π2－π8)＝cos π8，∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24. (2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°， ∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. (3)2cos25π12－1＝cos 5π6＝－32. (4)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32. 要点二给值求值问题例2 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．解原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4，∴π4＋x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213.∴原式＝2×1213＝2413.规律方法在解题过程中要注意抓住角的特点解题，同时要注意挖掘题目中的隐含条件：π4＋x 与π4－x 存在互余关系．特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的符号．跟踪演练2 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解 ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4，于是可由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45. 即22cos α－22sin α＝35，22sin α＋22cos α＝－45. 两式相加得cos α＝－210，两式相减得sin α＝－7210. 而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(cos 2α－sin 2α)，cos 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2102－(－7210)2＝－2425， sin 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫－7210＝725. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－725＝－31250. 要点三给值求角问题例3 已知tan α＝13，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解 ∵tan α＝13>0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈(0，π)，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，又∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－171＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝1，又∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－34π.规律方法在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角．其中确定角的范围是关键的一步．跟踪演练3 已知tan α＝17，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值．解 ∵tan α＝17<1，且α为锐角，∴0<α<π4，又∵sin β＝1010<22，且β为锐角，∴0<β<π4， ∴0<α＋2β<3π4.由sin β＝1010，β为锐角，得cos β＝31010， ∴tan β＝13，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12，∴tan(α＋2β)＝α＋β＋tan β1－α＋ββ＝12＋131－12×13＝1，故α＋2β＝π4.1．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62 B.32 C.54 D ．1＋34答案 C解析原式＝sin 215°＋cos 215°＋12sin 30°＝1＋14＝54.2．sin4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.32答案 B 解析原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.tan 7.5°1－tan 27.5°＝________. 答案 1－32解析原式＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·tan 15° ＝12tan(60°－45°)＝12×3－11＋3＝1－32. 4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________________________________________________________________________．答案3解析因为sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－12，sin α＝1－cos 2α＝32，所以tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N ＋)．2．二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2.一、基础达标1．若sin α2＝33，则cos α等于( )A ．－23B ．－13 C.13 D.23答案 C解析 cos α＝1－2sin2α2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13. 2.3－sin 70°2－cos 210°的值是( )A.12B.22 C ．2 D.32 答案 C解析原式＝3－sin 70°2－12＋＝－3－cos 20°＝2.3．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 答案 A解析 f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.所以最小正周期为π，振幅为1. 故选A.4．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－12答案 A解析 ∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θθ＋cos θ2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3. 5．若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，7π2，则1＋sin α＋1－sin α的值为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2答案 D 解析 ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，7π2，∴α2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4，∴原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2＝－sin α2－cos α2－sin α2＋cos α2＝－2sin α2.6．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于________．答案3解析由sin 2 α＋cos 2α＝14得sin 2 α＋1－2sin 2 α＝1－sin 2 α＝cos 2α＝14.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α ＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.二、能力提升8．4cos 50°－tan 40°等于( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1 答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－sin 40°cos 40°＝4cos 50°cos 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝＋－－cos 40°＝32cos 20°＋32sin 20°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，选C.9．函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x的最小正周期T 为________________________________________________________________________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x ＋23×1－cos 2x2＝sin 2x －3cos 2x ＋ 3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3，所以周期T ＝2π2＝π.10．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.答案 3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cosθ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝2sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3.11．(1)已知π<α<32π，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α；(2)化简：sin 50°(1＋3tan 10°)．解 (1)∵π<α<32π，∴π2<α2<34π，∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2，1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2.∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝1＋sin α－2α2＋sin α2＋1－sin α2α2－cos α2＝α2＋sin α22－2α2＋sin α2＋α2－cosα222α2－cos α2＝－2cos α2.(2)原式＝sin 50°cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝＋cos 10°＝2sin 50°sin 40°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝1.12．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2 θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos 2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．解 (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin 2 θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2 θ)－cos 2 θ＝－12，所以cos 2θ＝23，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝13.(2)因为cos 2 θ＝23，所以sin 2 θ＝13，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上，所以sin α＝45，cos α＝35. 同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010. 三、探究与创新13．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝a ·b ＝cos x ·3sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 最小正周期T ＝2π2＝π. 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象知， f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 所以，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.。

高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案

3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一二倍角公式的推导思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案 sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α ＝2sin αcos α；cos2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α ＝cos 2α－sin 2α； tan2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α(α≠π2＋k π，2α≠π2＋k π，k ∈Z )．思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos2α？答案 cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二二倍角公式的变形 1．公式的逆用2sin αcos α＝sin2α，sin αcos α＝12sin2α，cos 2α－sin 2α＝cos_2α，2tan α1－tan 2α＝tan2α. 2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α， 1＋cos α＝2cos 2α2,1－cos α＝2sin 2α2.降幂公式cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.1．sin α＝2sin α2cos α2.( √ )2．cos4α＝cos 22α－sin 22α.( √ ) 3．对任意角α，tan2α＝2tan α1－tan 2α.( × ) 提示公式中所含各角应使三角函数有意义．如α＝π4及α＝π2，上式均无意义.类型一给角求值例1 (1)计算：cos2π12－sin 2π12；考点应用二倍角公式化简求值题点利用余弦的二倍角公式化简求值解原式＝cos π6＝32.(2)计算：1－tan 275°tan75°；考点应用二倍角公式化简求值题点利用正切的二倍角公式化简求值解 1－tan 275°tan75°＝2·1－tan 275°2tan75°＝2·1tan150°＝－2 3.(3)计算：cos20°cos40°cos80°. 考点应用二倍角公式化简求值题点利用正弦的二倍角公式化简求值解原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80°＝122sin 20°sin 80°cos 80° ＝123sin 20°·sin 160°＝sin 20°23sin 20°＝18. 反思与感悟对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1 (1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( )A.14B ．－14C.18D ．－18考点应用二倍角公式化简求值题点利用正弦的二倍角公式化简求值答案 D解析 cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 4π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 2π7＝2sin π7cos π7cos 2π7cos4π72sinπ7＝sin 2π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 4π7cos4π74sinπ7＝sin8π78sinπ7＝－18.(2)12－cos 2π8＝________；考点应用二倍角公式化简求值题点利用余弦的二倍角公式化简求值答案－24解析原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2π8＝－12cos π4＝－24.类型二给值求值例2 (1)若sin α－cos α＝13，则sin2α＝________.考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案 89解析 (sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132，即sin2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89.(2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α等于( )A.6425B.4825C ．1D.1625考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案 A解析 cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α. 把tan α＝34代入，得cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝42516＝6425.故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin2α.解由题意，得(sin α＋cos α)2＝19，∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19，∴sin 2α＝－89.反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2 (1)(2017·石家庄高一检测)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( ) A ．－429B ．－229C.229D.429考点二倍角的正弦、余弦、正切公式题点利有二倍角公式求二倍角的正弦值答案 A解析因为sin(π－α)＝13，所以sin α＝13，又因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429. (2)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案2425解析因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35>0，所以α＋π6为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×45×35＝2425.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝2425. 类型三利用二倍角公式化简证明例3 (1)化简：1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ.考点应用二倍角公式化简求值题点利用二倍角公式化简三角函数式解方法一原式＝－cos 2θ＋sin 2θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θθ＋cos θ2cos θθ＋sin θ＝tan θ.方法二原式＝θ＋cos θ2－2θ－sin 2θθ＋cos θ2＋2θ－sin 2θ＝θ＋cos θθ＋cos θ－θ－sin θθ＋cos θθ＋cos θ＋θ－sin θ＝2sin θ2cos θ＝tan θ.(2)求证：4sin αcos α1＋cos2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan2α. 考点三角恒等式的证明题点三角恒等式的证明证明左边＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α＝右边．反思与感悟三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化．(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分． (3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用． (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．(5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．跟踪训练3 α为第三象限角，则1＋cos2αcos α－1－cos2αsin α＝________.考点应用二倍角公式化简求值题点利用二倍角公式化简三角函数式答案 0解析∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0，∴1＋cos2αcosα－1－cos2αsinα＝2cos2αcosα－2sin2αsinα＝－2cosαcosα－－2sinαsinα＝0.1．(2017·山东)已知cos x ＝34，则cos2x 等于( )A ．－14B.14C ．－18D.18考点二倍角的正弦、余弦、正切公式题点利用二倍角公式求二倍角的余弦值答案 D解析 cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.故选D.2．sin15°sin75°的值是( ) A.12B.32C.14D.34考点二倍角的正弦、余弦、正切公式题点利用二倍角公式求二倍角的正弦值答案 C解析 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝12sin30°＝14.3．sin4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12B ．－32C.12D.32考点应用二倍角公式化简求值题点利用余弦的二倍角公式化简求值答案 B 解析原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 4.3tanπ81－tan2π8＝________.考点应用二倍角公式化简求值题点利用正切的二倍角公式化简求值答案 32解析原式＝32×2tanπ81－tan2π8＝32tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＝32tan π4＝32. 5．证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.考点三角恒等式的证明题点三角恒等式的证明证明 ∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tan α21＋tan 2 α2＋1－tan2α21＋tan2α2＝tan2α2＋2tan α2＋11＋tan 2α2＋2tan α2＋1－tan2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋122tan α2＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋1＝12tan α2＋12＝右边， ∴原等式成立．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n 是α2n ＋1的二倍(n ∈N *)．2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：①1＋cos2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos2α2；③1－cos2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos2α2.一、选择题1．已知α是第三象限角，cos α＝－513，则sin2α等于( )A ．－1213B.1213C ．－120169D.120169考点二倍角的正弦、余弦、正切公式题点利用二倍角公式求二倍角的正弦值答案 D解析由α是第三象限角，且cos α＝－513，得sin α＝－1213，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝120169，故选D.2．(2017·全国Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin2α等于( )A ．－79B ．－29C.29D.79考点应用二倍角公式化简求值题点利用正弦的二倍角公式化简求值答案 A解析 ∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin2α＝169，∴sin2α＝－79.故选A.3．已知α为锐角，且满足cos2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°D ．30°考点应用二倍角公式化简求值题点利用余弦的二倍角公式化简求值答案 D解析因为cos2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.故选D.4．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan2x 等于( ) A.724B ．－724C.247D ．－247考点二倍角的正弦、余弦、正切公式题点利用二倍角公式求二倍角的正切值答案 D解析由cos x ＝45，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34，所以tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247，故选D. 5.2－sin 22＋cos4的值是( )A ．sin2B ．－cos2 C.3cos2D ．－3cos2考点应用二倍角公式化简求值题点利用余弦的二倍角公式化简求值答案 D解析原式＝1＋cos 22＋2cos 22－1＝3cos 22＝－3cos2. 6．函数f (x )＝cos2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案 B解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时，f (x )的最大值为5.7．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α等于( ) A ．－53B ．－59C.59D.53 考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案 A解析由题意得(sin α＋cos α)2＝13， ∴1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23. ∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0.又∵sin α＋cos α>0，∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0，∴cos 2α＝－1－sin 22α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝－1－49＝－53，故选A. 二、填空题8．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________. 考点应用二倍角公式化简求值题点利用正弦的二倍角公式化简求值答案 116解析原式＝sin6°cos48°cos24°cos12° ＝sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°cos6° ＝sin96°16cos6°＝cos6°16cos6°＝116. 9．已知θ∈(0，π)，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan2θ＝________. 考点二倍角的正弦、余弦、正切公式题点利用二倍角公式求二倍角的正切值答案－247解析由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，即sin θ－cos θ＝15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45，cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35，cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247.10．若1＋tan α1－tan α＝2018，则1cos2α＋tan2α＝________.考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案 2018解析 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2018.11．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝________.考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案 3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2 ＝2sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 三、解答题12．(2017·山东青岛城阳一中期中考试)已知3sin β＝sin(2α＋β)，且α≠k π2，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )，求证：tan(α＋β)＝2tan α. 考点三角恒等式的证明题点三角恒等式的证明证明因为sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α； sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)·sin α，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.又α≠k π2，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )，所以cos α≠0，cos(α＋β)≠0.于是等式两边同除以cos(α＋β)·cos α，得tan(α＋β)＝2tan α.13．化简：＋sin α＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值解原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α24cos 2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2. 因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°，所以cos α2<0，所以原式＝cos α. 四、探究与拓展14．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．考点应用二倍角公式化简求值题点利用正弦的二倍角公式化简求值答案 459解析设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23， sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 15．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x . (1)化简f (x )；(2)若f (α)＝17，2α是第一象限角，求sin2α. 考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值解 (1)f (x )＝12cos2x －32sin2x －cos2x ＋3sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝17，2α是第一象限角，即2k π<2α<π2＋2k π(k ∈Z )，∴2k π－π6<2α－π6<π3＋2k π(k ∈Z )， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝437， ∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6·cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6·sin π6 ＝17×32＋437×12＝5314.。

2017-2018学年高中数学第三单元三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦学案新人教B版必修4

3.1.2 两角和与差的正弦学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数的性质.知识点一两角和与差的正弦思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？梳理两角和与差的正弦公式记忆口诀：“正余余正，符号相同”.知识点二辅助角公式思考1 a sin x＋b cos x化简的步骤有哪些？思考2 在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？梳理辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＝a 2＋b 2cos(x －θ).其中cos φ＝________，sin φ＝________，sin θ＝a a 2＋b2，cos θ＝b a 2＋b2，φ、θ称为辅助角，它的终边所在象限由________决定.类型一给角求值例1 (1)化简求值：sin(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(63°－x )·sin(x －18°).(2)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°＝________.反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦，统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解.跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x ).类型二给值求值(角) 例2 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β).反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略：①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解.跟踪训练2 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α的值.类型三辅助角公式例3 将下列各式写成A sin(ωx ＋φ)的形式. (1)3sin x －cos x ；(2)24sin(π4－x )＋64cos(π4－x ).反思与感悟辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)可以把含sin x 、cos x 的一次式化为A sin(ωx ＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a ，b )决定，大小由tan φ＝b a确定.研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数的性质都要用到该公式. 跟踪训练3 已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期与值域； (2)求f (x )的单调递增区间.1.计算2cos π12＋6sin π12的值是( )A. 2B.2C.2 2D.222.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A.－32B.32C.－12D.123.计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于________.4.化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________. 5.化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋3x .1.公式的推导和记忆 (1)理顺公式间的逻辑关系C α－β――→诱导公式S α＋β――→以－β代换βS α－β. (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”.(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C (α－β)，C (α＋β)，S (α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意. 2.应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝sin 90°，1＝2cos 60°，1＝2sin 30°等，再如：0，12，22，32等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.答案精析问题导学知识点一思考 1 sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－β＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αcos β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin β＝sin αcos β＋cos αsin β . 思考2 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 梳理 sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 知识点二思考1 (1)提常数，提出a 2＋b 2得到a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x . (2)定角度，确定一个角θ满足： cos θ＝aa 2＋b2，sin θ＝ba 2＋b2(或sin θ＝a a 2＋b2，cos θ＝b a 2＋b 2)．一般θ为特殊角⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3等，则得到a 2＋b 2(cos θsin x ＋sin θcos x )(或a 2＋b 2·(sin θsin x ＋cos θcos x ))．(3)化简、逆用公式得a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(或a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2cos(x －θ))．思考2 θ所在的象限由a 和b 的符号确定．梳理a a 2＋b2b a 2＋b 2点(a ，b )题型探究例1 (1)解原式＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )－cos(x ＋27°)·sin(x －18°) ＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )＋cos(x ＋27°)sin(18°－x ) ＝sin[(x ＋27°)＋(18°－x )] ＝sin 45°＝22. (2)12跟踪训练1 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°) ＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )] ＝sin 90°＝1.例2 解 ∵0<α<π4<β<3π4，∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝－45. ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋α＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－3365.跟踪训练2 α＝π4例 3 解 (1)3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x )＝2(cos π6sin x －sin π6cos x )＝2sin(x －π6)．(2)原式＝22[12sin(π4－x )＋ 32cos(π4－x )]＝22[sin π6sin(π4－x )＋cos π6cos(π4－x )]＝22cos(π4－x －π6)＝22cos(π12－x ) ＝22sin(x ＋5π12)．跟踪训练3 解 (1)f (x )＝－sin 2x ＋3cos 2x＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈R . ∴T ＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]．(2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．当堂训练1．B 2.D 3.124.cos α5．解原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π3 ＝sin π4cos π3－cos π4sin π3＝22×12－22×32＝2－64.。

高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式教案

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.知识与技能(1)能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式,并灵活运用.(2)能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(3)掌握两角和与差的正切公式及变形应用.2.过程与方法经历以两角差的余弦公式为基础导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程,了解它们的内在联系;体会化归与转化的数学思想方法.3.情感、态度与价值观通过本节的学习和运用实践,使学生学会用联系转化的观点去处理问题,加强学生的应用意识,激发学生的学习兴趣,体会数学的科学价值与应用价值.重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用.难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.和角与差角的正弦、余弦和正切公式的推导以公式C(α-β)为基础推导的其他公式(1)推导cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.在公式C(α-β)中,令-β代替β,则有cos(α+β)=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.即cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.(C(α+β))(2)推导sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β和sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.运用C(α+β)和诱导公式,有sin(α+β)=cos=cos=cos cos β+sin sin β=sin αcos β+cos αsin β.即sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.(S(α+β))在公式S(α+β)中用-β代替β,可以得到sin(α-β)=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β,即sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.(S(α-β))(3)推导公式tan(α+β)=和tan(α-β)=.当cos(α+β)≠0时,将公式S(α+β),C(α+β)的两边分别相除,有tan(α+β)=.当cos αcos β≠0时,将上式的分子、分母分别除以cos αcos β,得tan(α+β)=.(T(α+β))由于tan(-β)==-tan β,在T(α+β)中以-β代替β,可得tan(α-β)=,即tan(α-β)=.(T(α-β))(4)公式T(α±β)在α≠kπ+,β≠kπ+,α+β≠kπ+(T(α+β)须满足),α-β≠kπ+(T(α-β)须满足),k∈Z时成立,否则是不成立的.当tan α,tan β或tan(α+β)的值不存在时,不能使用T(α±β)公式,处理有关问题时应改用诱导公式或其他方法来解,比如化简tan,因为tan的值不存在,不能用T(α-β),而应改用诱导公式tan=cot β.公式S(α+β),C(α+β),T(α+β)给出了任意角α,β的三角函数值(指正弦、余弦和正切)与其和角α+β的三角函数值之间的关系,为方便起见,我们把这三个公式都叫做和角公式.类似地,公式S(α-β),C(α-β),T(α-β)都叫做差角公式.。

2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.2 两角和与差的正弦课件新人教B版必修4

=
1 2
+
1-
3 2
sin x+
3 2
-
3+
3 2
cos x=0.
(2)原式=sin[(��+��)+��s]i-n2��c��os(��+��)sin�� =sin(��+��)coss��i��n-c��o�� s(��+��)sin�� =sin[(s��in+��)-��] = ssiinn��.
��
+
π 3
=
.
答案:4-130 3
4.sin(��+30°co)s-s��in(��-30°)=
.
解析:sin(��+30°co)s-s��in(��-30°) =sin��cos30°+cos��sin30°co-s(s��in��cos30°-cos��sin30°) =2cos��c��ossin��30°=2sin 30°=1.
3.1.2 两角和与差的正弦
课标阐释
思维脉络
1.掌握两角和与差的正弦公式. 2.能运用两角和与差的正弦公式化简、求值、证明.
两角和与差的正弦公式
【问题思考】
1.(1)计算sin 15°的值.
(2)试用sin α,cos α,sin β,cos β表示sin(α+β)和sin(α-β).
提示:(1)sin 15°=cos 75°=cos(45°+30°)=

2017-2018学年高中数学第三单元三角恒等变换3.1.3两角和与差的正切学案新人教B版必修4

3.1.3 两角和与差的正切学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.知识点一两角和与差的正切思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？梳理两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切Tα＋βtan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα，β，α＋β均不等于kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切Tα－βtan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtanβα，β，α－β均不等于kπ＋π2(k∈Z)知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)Tα＋β的变形：tan α＋tan β＝______________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝__________. tan αtan β＝____________________.(2)Tα－β的变形：tan α－tan β＝____________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________. tan αtan β＝__________________.类型一正切公式的正用例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________.(2)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝______.反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角. (2)利用公式T (α＋β)求角的步骤： ①计算待求角的正切值.②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息. ③根据角的范围及三角函数值确定角.跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.类型二正切公式的逆用例2 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝________；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝________.反思与感悟注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现33，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示. 跟踪训练2 求下列各式的值.(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°；(2)1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°.类型三正切公式的变形使用例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°；(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值.反思与感悟两角和与差的正切公式有两种变形形式：①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βtan α±β.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.跟踪训练3 在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( ) A.π3 B.2π3 C.π6 D.π41.若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13B.－13C.3D.－3 2.已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( )A.－17B.－7C.17D.73.已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A.1 B.2 C.－2 D.不确定4.已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝________.5.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.1.公式T α±β的结构特征和符号规律(1)公式T α±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtanβ的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 2.应用公式T α±β时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z ). (2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等.特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α.(3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T α±β的意识，就不难想到解题思路.特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.答案精析问题导学知识点一思考1 tan(α＋β)＝sin α＋βcos α＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到．思考2 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到．知识点二(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan α＋β(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan α－β－1题型探究例1 (1)3 (2)π4跟踪训练1 －43例2 (1) 3 (2)－1 跟踪训练2 解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°) ＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝1tan27°＋33°＝1tan 60°＝33.例3 解 (1)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°·tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋ 3tan 23°tan 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°·tan 37°＝ 3. (2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， ∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝60°. 跟踪训练3 A 当堂训练1．A 2.D 3.B 4.π4 5.43。

2018年秋高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标：1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式、(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明、(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用、(易错点)[自主预习²探新知]1、二倍角的正弦、余弦、正切公式23、正弦的二倍角公式的变形(1)sin αcos α＝12sin 2α,cos α＝sin 2α2sin α.(2)1±sin 2α＝(sin_α±cos _α)2.[基础自测]1、思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角、( ) (2)存在角α,使得sin 2α＝2sin α成立、( ) (3)对于任意的角α,cos 2α＝2cos α都不成立、( )[解析] (1)³.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式,要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z ),故此说法错误、(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时,sin 2α＝2sin α. (3)³.当cos α＝1－32时,cos 2α＝2cos α.[答案] (1)³ (2)√ (3)³ 2、sin 15°cos 15°＝________.14 [sin 15°cos 15°＝12³2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.] 3、12－cos 2π8＝________.－24 [12－cos 2π8＝12－1＋cosπ42＝12－12－12³22＝－24.] 4、若tan θ＝2则tan 2θ＝________. －43 [tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2³21－22＝－43.] [合作探究²攻重难](1)cos π7cos 7cos 7的值为( )A 、14 B 、－14C 、18D 、－18(2)求下列各式的值：①cos 415°－sin 415°；②1－2sin 275°；③1－tan 275°tan 75°；④1sin 10°－3cos 10°.【导学号：84352329】(1)D [(1)∵cos 3π7＝－cos 4π7,cos 5π7＝－cos 2π7,∴cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7cos 2π7cos 4π7＝8sin π7cos π7cos 2π7cos4π78sinπ7＝4sin 2π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝2sin 4π7cos 4π78sin π7＝sin8π78sinπ7＝－18.(2)①cos 415°－sin 415°＝(cos 215°－sin 215°)(cos 215°＋sin 215°)＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. ②1－2sin 275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. ③1－tan 275°tan 75°＝2³1－tan 275°2tan 75°＝2³1tan 150°＝－2 3.④1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4 sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.][规律方法] 对于给角求值问题,一般有两类：1 直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.2 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[跟踪训练] 1、求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)1sin 50°＋3cos 50°. [解] (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12³2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4＝5,2≤α＜2,求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2,且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4,求α.[思路探究] 依据以下角的关系设计解题思路求解：(1)α＋π4与2α＋π2,α－π4与2α－π2具有2倍关系,用二倍角公式联系；(2)2α＋π2与2α差π2,用诱导公式联系、[解] (1)∵π2≤α＜3π2,∴3π4≤α＋π4＜7π4.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＞0,∴3π2＜α＋π4＜7π4, ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45,∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－45³35＝－2425,sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2³⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725, ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22³⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22³725＝－31250.(2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α, ∴原式可化为1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4,解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2,∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4,故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3,即α＝－π4或α＝5π12.母题探究：1.在例2(1)的条件下,求sin 4α的值、[解] 由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2³725³⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝－336625.2、将例2(1)的条件改为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513,0＜x ＜π4,求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值、[解] ∵0＜x ＜π4,∴π4－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.又sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.又cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2³513³1213＝120169,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513,∴原式＝120169513＝2413.[规律方法] 解决条件求值问题的方法1 有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化；寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.2 当遇到\f(π,4)±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . 类似的变换还有：cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ， sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.[探究问题]1、解答化简证明问题时,如果遇到既有“切”,又有“弦”的情况,通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形、2、证明三角恒等式时,通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导、(1)化简：1tan θ＋1＋1tan θ－1＝________.(2)证明：3tan 12°－3sin 12° 4cos 212°－2 ＝－4 3. [思路探究] (1)通分变形、(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值(1)－tan 2θ [(1)原式＝tan θ－1＋tan θ＋1 tan θ＋1 tan θ－1 ＝2tan θtan 2θ－1＝－2tan θ1－tan 2θ＝－tan 2θ.(2)左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12° 2cos 212°－1 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24° ＝23sin 12°－60° sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43＝右边,所以原等式成立、] [规律方法] 证明三角恒等式的原则与步骤1 观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.2 证明恒等式的一般步骤：①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.[跟踪训练]2、求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ； (2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.[证明] (1)左边＝1＋cos 2A ＋2B 2－1－cos 2A －2B2＝cos 2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边, ∴等式成立、(2)法一：左边＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ＝右边、法二：右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边、 [当堂达标²固双基]1、下列各式中,值为32的是( ) A 、2sin 15°cos 15° B 、cos 215°－sin 215° C 、2sin 215°D 、sin 215°＋cos 215°B [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32；sin 215°＋cos 215°＝1,故选B.] 2、(2018²全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2,则( ) A 、f (x )的最小正周期为π,最大值为3 B 、f (x )的最小正周期为π,最大值为4 C 、f (x )的最小正周期为2π,最大值为3 D 、f (x )的最小正周期为2π,最大值为4B [易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52,则f (x )的最小正周期为π,当x ＝k π(k ∈Z )时,f (x )取得最大值,最大值为4.]3、若sin α＝3cos α,则sin 2αcos 2α＝________.6 [sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.] 4、设sin 2α＝－sin α,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,则tan 2α的值是________.3 [∵sin 2α＝－sin α, ∴2sin αcos α＝－sin α.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π知sin α≠0,∴cos α＝－12,∴α＝2π3,∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.]5、已知π2＜α＜π,cos α＝－45.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值、[解] (1)因为cos α＝－45,π2＜α＜π,所以sin α＝35,所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425,cos 2α＝2cos 2α－1＝725,所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.。

18学年高中数学第三单元三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦课件新人教B版41802243159

余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
跟踪训练1 求下列各式的值.
(1)cos 105°；
解原式＝cos(150°－45°)
＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45°
2－ 6 3 2 1 2 ＝－ 2 × 2 ＋2× 2 ＝ . 4
(2)cos 46°cos 16°＋sin 46°sin 16°.
5 3 sin(α＋β)＝ 1－cos α＋β＝ 14 . 又∵β＝(α＋β)－α，
2
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
11 1 5 3 4 3 1 ＝－14×7＋ 14 × 7 ＝2.
解答
类型三
给值求角
例3
cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明.
答案
思考2
单位圆中 ( 如图 ) ， ∠AOx ＝ α ，∠BOx＝ β ，那么 A ， B 的坐标 → → 是什么？OA与OB 的夹角是多少？答案 A(cos α，sin α)，
B(cos β，sin β).
→ → OA与OB的夹角是 α－β.
3 4 α＝5，cos α＝5.
π π αcos 4－sin αsin 4
4 3 1 ＝cos α－sin α＝5－5＝5.
1 2 3 4 5
解析
答案
3 4 4.已知 sin α＋sin β＝5，cos α＋cos β＝5，求 cos(α－β)的值.
解 ∵(sin α＋sin β)
2 3 2 ＝， 5
解答
(2)cos 15°cos 105°－sin 15°sin 105°. 解原式＝cos(15°＋105°)

高中数学第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦示范教案新人教B版必修

3.1.1 两角和与差的余弦示范教案整体设计教学分析本节是结合第一章，以圆上点的运动作引子，从中提出问题，引入本节的研究课题．在教学中要结合教科书中提供的问题背景，充分展示公式推导的思维过程．在正式推导之前，可组织学生谈谈自己对推导公式的想法，讨论、研究和分析可能出现的思路，使学生更好地经历和参与数学发现活动，体验数学的发展与创造过程．同时，引导学生复习两个向量数量积的定义及其坐标运算，复习单位向量的三角表示，并尝试自己推导两角和的余弦公式．在公式推出之后，还可以引导学生对推导过程进行反思，欣赏用向量方法推导公式的美妙，归纳、总结、发现公式的结构特点以便掌握和灵活运用．在公式应用的教学中，要引导学生充分注意变形中角的变化，灵活运用“角的代换”的方法，体会化归思想在三角恒等变换中的应用．利用向量知识探索两角差的余弦公式时要注意推导的层次性：①在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用；②结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备；③探索过程不应追求一步到位，可以先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其线索进行探索，然后再反思，予以完善；④补充完善的过程，既要运用分类讨论的思想，又要用到诱导公式．本节是数学公式的教学，教师要遵循公式教学的规律，应注意以下几方面：①要使学生了解公式的由来；②使学生认识公式的结构特征加以记忆；③使学生掌握公式的推导和证明；④通过例子使学生熟悉公式的应用，灵活运用公式进行解答有关问题．三维目标1．通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，了解单角与复角的三角函数之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对两角差的余弦公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质．2．通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、证明，体会化归思想在数学当中的运用，使学生进一步掌握联系的观点，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．重点难点教学重点：两角和与差的余弦公式．教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)如果知道了α，β的三角函数，如何计算α＋β，α－β的三角函数呢？下面我们从向量的角度来探究这一问题，接着导入新课．思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45°＝22，cos30°＝32，由此我们能否得到cos15°＝cos(45°－30°)＝？这里是不是等于cos45°－cos30°呢？教师可让学生验证，经过验证可知，我们的猜想是错误的．那么究竟是什么关系呢？cos(α－β)等于什么呢？这时学生急于知道答案，由此展开新课．推进新课新知探究教师引导学生回顾两个向量数量积的定义及其坐标运算，复习单位向量的三角表示： OP →＝(cos α，sin α)，OQ →＝(cos β，sin β)并进一步讲解．我们知道cos(x －π4)可以看作是向量(cosx ，sinx)与向量(1,1)的夹角的余弦值，那么cos(α－β)能否也看成是两个向量夹角的余弦值呢？把cos(α－β)看成两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究．如图1，在直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，sin β)，则∠P 1OP 2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β≤π的情况．图1设向量a ＝OP 1→＝(cos α，sin α)，b ＝OP 2→＝(cos β，sin β)，则a ·b ＝|a ||b |cos(α－β)＝cos(α－β)．另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.这就是两角差的余弦公式．教师引导学生探究“用－β代替β”的换元方法就可以得到cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)，即cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，这就是两角和的余弦公式．这两个公式分别记为C α－β，C α＋β.应用示例思路1例 1求cos105°及cos15°的值．解：cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝12·22－32·22＝2－64； cos15°＝cos(45°－30°) ＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22·32＋22·12 ＝6＋24.变式训练1．不查表求sin75°，sin15°的值．解：sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°) ＝cos45°cos30°＋sin45°sin30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. sin15°＝1－cos 215°＝1－6＋242＝8－26×216＝6－24. 2．不查表求值：cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解：原式＝cos(110°－20°)＝cos90°＝0.例 2已知cos α＝－45(π2<α<π)，求cos(π6－α)，cos(π6＋α)．解：因为cos α＝－45，且π2<α<π，所以sin α＝1－－452＝35. 因此cos(π6－α)＝cos π6cos α＋sin π6sin α＝32(－45)＋12·35＝3－4310； cos(π6＋α)＝cos π6cos α－sin π6sin α＝32(－45)－12·35＝－3＋4310. 变式训练已知sin α＝45，α∈(0，π)，cos β＝－513，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．解：①当α∈[π2，π)时，且sin α＝45，得 cos α＝－1－sin 2α＝－1－452＝－35，又由cos β＝－513，β是第三象限角，得 sin β＝－1－cos 2β＝－1－－5132＝－1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－35)×(－513)＋45×(－1213)＝－3365. ②当α∈(0，π2)时，且sin α＝45，得 cos α＝1－sin 2α＝1－452＝35，又由cos β＝－513，β是第三象限角，得 sin β＝－1－cos 2β＝－1－－5132＝－1213.例 3利用公式C α＋β证明：cos[α＋(2k ＋1)π]＝－cos α.证明：cos[α＋(2k ＋1)π]＝cos αcos[(2k ＋1)π]－sin αsin[(2k ＋1)π]＝－cos α.思路2例 1计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；(3)sinxsin(x ＋y)＋cosxcos(x ＋y)．活动：教师可以大胆放给学生自己探究，点拨学生分析题目中的角－15°，思考它可以拆分为哪些特殊角的差，如－15°＝15°－30°或－15°＝45°－60°，然后套用公式求值即可．也可化cos(－15°)＝cos15°再求值．让学生细心观察(2)(3)可知，其形式与公式C α－β的右边一致，从而化为特殊角的余弦函数．解：(1)原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12 ＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.(3)原式＝cos[x －(x ＋y)]＝cos(－y)＝cosy.点评：本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值，从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力，为后面公式的学习打下牢固的基础.例 2已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈(0，π2)，求cos β的值．解：∵α、β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)．又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(－1114)×17＋5314×437＝12.1．先由学生自己思考回顾公式的推导过程，观察公式的特征，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变形用，并掌握运用变角和拆角的思想方法解决问题．然后教师引导学生围绕以下几点小结：(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面：对公式结构和功能的认识，三角变换的特点．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导，要正确熟练地运用公式进行解题，在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，准确判断三角函数值的符号．多对题目进行一题多解，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．作业课本本节练习B 组1～5.设计感想1．本节课是典型的公式教学模式，因此本节课的设计流程从“实际问题→猜想→探索推导→记忆→应用”．它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生发展的过程．同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题．从而培养学生独立探索数学知识的能力，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性．2．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的知识特点，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．学生体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣．备课资料备用习题1．若－π2<α<β<π2，则α－β一定不属于的区间是( ) A ．(－π，π) B ．(－π2，π2) C ．(－π，0) D ．(0，π)2．已知α、β为锐角，cos α＝31010，cos β＝1010，则α＋β＝________. 3．不查表求值：(1)sin80°cos55°＋cos80°cos35°；(2)cos80°cos20°＋sin100°sin380°.4．已知：sin θ＝15，θ∈(π2，π)，求cos(θ－π3)的值． 5．已知：sin α＝23，α∈(π2，π)，cos β＝－34，β∈(π，3π2)，求cos(α－β)的值．6．已知函数f(x)＝Asin(x ＋φ)(A>0,0<φ<π)，x∈R 的最大值是1，其图象经过点M(π3，12)． (1)求f(x)的解析式；(2)已知α、β∈(0，π2)，且f(α)＝35，f(β)＝1213，求f(α－β)的值．参考答案： 1．D 2.π23．(1)原式＝sin80°sin35°＋cos80°cos35°＝cos(80°－35°)＝cos45°＝22. (2)原式＝cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝12. 4．解：∵sin θ＝15，θ∈(π2，π)， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－125＝－265. ∴cos(θ－π3)＝cos θcos π3＋sin θsin π3＝－265×12＋15×32＝3－2610. 5．解：∵sin α＝23，α∈(π2，π)，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53. ∵cos β＝－34，β∈(π，3π2)， ∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－916＝－74. cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－53×(－34)＋23×(－74)＝35－2712. 6．解：(1)依题意有A ＝1，则f(x)＝sin(x ＋φ)，将点M(π3，12)代入得sin(π3＋φ)＝12. 而0<φ<π，∴π3<π3＋φ<4π3. ∴π3＋φ＝5π6. ∴φ＝π2，故f(x)＝sin(x ＋π2)＝cosx. (2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈(0，π2)， ∴sin α＝1－352＝45，sin β＝1－12132＝513， f(α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋45×513＝5665.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第3章三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦教案新人教B新人教B高一数学教案

3.1.1 两角和与差的余弦C α＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β. C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P 1、P 2的坐标是怎样得到的？[提示] 依据任意角三角函数的定义得到的．以点P 为例，若设P (x ，y )，则sin α＝y 1，cos α＝x1，所以x ＝cos α，y ＝sinα，即点P 坐标为(cos α，sin α)．1．cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为( ) A.12 B.13 C.32D.33A [原式＝cos (22°＋38°)＝cos 60°＝12.]2．化简cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β为( )A ．sin(2α＋β)B ．cos(2α－β)C ．cos αD ．cos βC [原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.]3．cos (－40°)cos 20°－sin (－40°)sin (－20°)＝________.12[原式＝cos(－40°)·cos(－20°)－sin (－40°)·sin(－20°)＝cos[－40°＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.]利用两角和与差的余弦公式化简求值A ．2－64B ．6－24C ．2＋64D ．－2＋64(2)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. [思路探究] 利用诱导公式，两角差的余弦公式求解． (1)C [cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋24.](2)解：①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝22，所以原式＝22；②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.1．在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．1．求下列各式的值： (1)cos 13π12；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)； (3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)．[解] (1)cos 13π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π12－2π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫22×32＋22×12＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)·sin(40°－α)＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝12.给值(式)求值【例2】 (1)已知cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，2π，则cos α－π3＝________.(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值．[思路探究] (1)可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3；(2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α.(1)3－4310 [因为cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，所以sin α＝－45，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝35×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×32＝3－4310.](2)解：因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝1213，所以0<α＋β<π2，所以0<2α＋β<π.又因为cos(2α＋β)＝35，所以0<2α＋β<π2，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665. 给值求值的解题步骤： 1找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.2拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：α＝α＋β－β，α＝β－β－α，α＝2α－β－α－β，α＝12[α＋β＋α－β]，α＝12[β＋α－β－α]等. 3求解.结合公式C α±β求解便可.2．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值．[解]∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)．又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314.又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12.已知三角函数值求角【例3】已知α，β均为锐角，且cos α＝25，cos β＝1010，求α－β的值．[思路探究] 本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值．[解] ∵α，β均为锐角，cos α＝255，cos β＝1010，∴sin α＝55，sin β＝31010，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22.又sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.1．这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解．2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．3．设α，β是锐角，sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求证：β＝π3.[证明] 由0<α<π2，0<β<π2，知0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－1114，故sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314.由sin α＝437，可知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4372＝17，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32，∴β＝π3.利用角的变换求三角函数值1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ [提示] cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？[提示] cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)．3．若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？[提示] cos(α－β)＝2－a 2－b 22.【例4】若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2的值为( )A ．33B ．－33C ．539D ．－69[思路探究] 利用角的交换求解，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α －⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2.C [∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<α＋π4<3π4，π4<π4－β2<π2，又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.故选C.] 巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求或证明另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和差角，如α＝α－β＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和差角，如2α＝α＋β＋α－β等等.4．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cosα＋β2的值．[解]∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53，∴cosα＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－19×53＋459×23＝7527.(教师用书独具)对公式C (α－β)和C (α＋β)的三点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2－α－β2中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2”相当于公式中的角β.(3)公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos α cos β＝sin α sin β.②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]等.1．下列式子中，正确的个数为( )①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β. A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个A [由cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，故②错误，故选A.]2．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( )A ．3365 B ．－3365C ．5475D ．－5475A [因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A.]3．sin 75°＝________. 6＋24[sin 75°＝cos 15° ＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24.]4．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，求cos β的值．[解] ∵α，β都是锐角且cos α＝55<12，∴π3<α<π2，又sin(α＋β)＝35>12，∴π2<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.。

高中数学第3章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦教案新人教B新人教B高一数学教案

3.1.2 两角和与差的正弦(1)S α＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β. (2)S α－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β. 2．辅助角公式y ＝a sin x ＋b cos x x ＋θ)(a ，b 不同时为0)，其中cos θsin θ思考：根据公式C (α±β)的识记规律，你能总结出公式S (α±β)的记忆规律吗？[提示] 对比公式C (α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S (α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”．1．cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°的值为( ) A ．12 B ．22C ．32D ．以上都不对A [原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.]2．函数y ＝sin x －cos x 的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．2πD ．4πC [y ＝sin x －cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫22sin x －22cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴函数的最小正周期为T ＝2π.]3．已知α为锐角，sin α＝35，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－45，则sin(α＋β)＝________.0 [∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.又β为第四象限角，且cos(π＋β)＝－cos β＝－45，∴cos β＝45，sin β＝－35.∴sin(α＋β)＝35×45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝0.]利用公式化简求值【例1】 (1)cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32(2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值；(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值．[思路探究] (1)化简求值应注意公式的逆用．(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．(1)C [sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°＋30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.](2)解：原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67° ＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1.(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)·cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°) ＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0. 1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去，求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．1．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ； (2)sin2α＋βsin α－2cos(α＋β)．[解] (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cosπ3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－3＋32cos x ＝0. (2)原式＝sin[α＋β＋α]－2cos α＋βsin αsin α＝sin α＋βcos α－cos α＋βsin αsin α＝sin[α＋β－α]sin α＝sin βsin α.给值(式)求值【例2】设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π，若cos α＝－12，sin β＝－32，求sin(α＋β)的值．[思路探究] 应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．[解] 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－12，所以sin α＝32，因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin β＝－32，所以cos β＝12. 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝32×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32＝32.1．(变结论)若条件不变，试求sin(α－β)＋cos(α－β)的值．[解] sin(α－β)＋cos(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝32×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＋32×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32＝34－34－14－34＝－1. 2．(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？[解] 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－12，所以sin α＝32.因为β为第三象限，所以cos β＝－12.所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32＝－34＋34＝0.1．当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．辅助角公式的应用[探究问题]1.函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈Z )的最大值为2对吗？为什么？[提示] 不对．因为sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫22sin x ＋22 cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以函数的最大值为 2.2．函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值等于多少？ [提示] 因为y ＝3sin x ＋4cos x＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫35sin x ＋45cos x ，令cos φ＝35，sin φ＝45，则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝5sin(x ＋φ)，所以函数y 的最大值为5.3．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式？[提示] a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫a a 2＋b2sin x ＋ba 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝b a 确定，或由sin φ＝ba 2＋b 2和cos φ＝a a 2＋b2共同确定)．【例3】设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合； (2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．[思路探究] 辅助角公式⇒转化成“一角一函数”的形式⇒将所给函数展开与合并．[解] (1)f (x )＝sin x ＋sin x cos π3＋cos x sin π3＝sin x＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－1时，f (x )min ＝－3，此时x ＋π6＝3π2＋2k π(k ∈Z )，所以x ＝4π3＋2k π(k ∈Z )．所以f (x )的最小值为－3，x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝4π3＋2k π，k ∈Z. (2)将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得y ＝3sin x 的图象；然后将y ＝3sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象.1．把所给函数展开，合并化简，然后利用辅助角公式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求解．2．函数图象可通过y ＝sin x →y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6→y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的顺序得到．(教师用书独具)1．两角和与差的正弦公式的结构特点 (1)公式中的α，β均为任意角．(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．2．两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系3．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式.1．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－7210B ．7210C ．－210D ．210A [∵cos α＝－45，α为第三象限角，∴sin α＝－35，由两角和的正弦公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos α·sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.]2．函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[]－3，3C ．[－1,1]D ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，32 B [f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝sin x －32cos x ＋12sin x＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]．故选B.]3．sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________.32 [原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝ sin(25°＋35°)＝sin 60°＝32.]4．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β.[解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255. ∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.。

2018高中人教b版数学必修四3.1.1两角和与差的余弦教学

两角和与差的余弦一、教学目标1.知识目标：经历两角和与差的余弦公式的推导进程，了解两角和与差的余弦公式，并初步运用两角和与差的余弦公式，解决较简单的相关数学问题。

2能力目标：培育学生周密而准确的数学表达能力；培育学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3.情感目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培育学生良好的数学表达和试探的能力，学会从已有知识动身主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

二、教学重点、难点重点：两角和与差的余弦公式的推导及公式的运用难点：两角和与差的余弦公式的推导进程三、教学方式学生独立试探，小组合作探讨，师生一路交流。

四、教学进程1、回顾旧知30sin = 45sin =30cos = 45cos =2、问题引入问题1：150能够用哪两个特殊角表示？问题2：cos150需用两个特殊角的几个三角函数值表示呢？别离是什么呢？问题3：一般的)cos(βα-可否用βα,、的三角函数值表示？3、合作探讨一点P 是 45角的终边与单位圆的交点，点Q 是30角的终边与单位圆的交点，试用两种形式表示表示OQ OP ⋅试探：从特例动身，你能推行取得)cos(βα-对任意的两个角βα,的关系式吗？设角βα,的终边别离与单位圆相交于点P 和点Q ，⋅= 或OQ OP ⋅=五、形成新知=-)cos(βα=+)cos(βα（1）、公式中两边的符号正好相反（2）、式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后。

（3）、公式中βα,为任意角。

六、应用深化例1 求下列各式的值（1） 15cos （2）75cos（3） 20sin 80sin 20cos 80cos +（4） 55cos 10cos 35cos 80cos +例2已知)2(54cos παπα<<-=，求)6cos(),6cos(απαπ+-例3利用βα+C 证明[]απαcos )12(cos -=++k7、变式练习（1）、已知)23,(,135cos ),,2(,53sin ππββππαα∈-=∈=，求)cos(βα+的值。

2018高中数学人教b版必修四3.1.1两角和与差的余弦word导学案1

学习目标掌握用向量方式成立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为成立其它和（差）公式打好基础. 学习进程一、课前预备自学进程：1、cos()αβ+= ，2、cos()αβ-= 。

二、新课导学2、运用两角和与差的公式计算cos75°= 。

cos105°= 。

3、下列等式中必然成立的是( )A. cos(βα+)=cos α+cos βB. cos(βα-)=cos α－cos βC. cos(απ+2)=cos α D. cos(απ-2)=sin α4、已知cos(βα+)＝54，cos(βα-)＝－54，则cos αcos β的值为( ) A. 0 B. 54 C. 0或54 D. 0或±54 5、在△ABC 中，若sinA ·sinB<cosA ·cosB ，则△ABC 必然为( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形 ※ 典型例题例1：求值：（1）cos80o cos35o ＋cos10o cos55o（2）sin12π＋cos 12π变式： cos24o cos36o －sin24o cos54o例2：已知βα、为锐角，cos α＝101，cos β＝51，求：（1）cos(βα+) （2）βα+例3、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.变式：已知cos(2βα-)＝－91，sin(βα-2)＝32，且20,2πβπαπ<<<<，求cos 2βα+。

1. 知足cos αcos β＝23＋sin αsin β的一组α、β的值是( ) A. α＝2π，β＝6π B. α＝2π，β＝3π C. α＝3π，β＝6π D. α＝1213π，β＝43π 2. cos84°cos24° - cos114°·cos6°的值为（） A.23- B.0 C.21 D.2 4.55cos =α，则cos(4πα-)的值为（） A.10103 B.1010- C.552 D.10103或1010-5.已知55sin =α，1010sin =β，且α、β为锐角，则α+β的值是（） ° °或45°° D.以上都不对 6. 已知2π＜β＜α＜43π，cos(α－β)＝1312，sin(α+β)＝－53，求cos2α与cos2β。

高中数学第3章三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦高一数学教案

3.1.1 两角和与差的余弦(1)两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. (2)两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β. 思考：cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？ [提示] 不成立． 1．思考辨析(1)α，β∈R 时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsinβ.( )(2)cos 105°＝cos 45° cos 60°－sin 45°sin 60°.( ) (3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )(4)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2α.( )[解析] 正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确． [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．cos 75°＝________；cos 15°＝________. 6－246＋24[cos 75°＝cos(30°＋45°) ＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝6－24.cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 30°sin 45°＝6＋24.]3．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________． 32[cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32.]两角和与差余弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值：(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°；(3)12cos 15°＋32sin 15°；(4)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)．思路点拨：从所求式子的形式、角的特点入手，化简求值． [解] (1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝32.(2)原式＝cos15°－8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos45°＋sin 60°sin 45°＝2＋64.(3)∵cos 60°＝12，sin 60°＝32，∴12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.(4)原式＝cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)] ＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角的差异、函数名称的差异中的转化作用．1．求下各式的值(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；(2)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°.[解] (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.(2)原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36° ＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝12.已知三角函数值求角【例2】已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β的值．思路点拨：先求出cos α，sin β，再利用两角和的余弦公式求出cos(α＋β)，最后由α＋β的范围确定α＋β的值．[解] 因为α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝31010，所以cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255，sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π.因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝π4.已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围；第三步：根据角的范围写出所求的角.2．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值．[解] 由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.给值求值问题 [探究问题]1．角“α＋β”“β”及“α”间存在怎样的等量关系？提示：α＋β＝α＋β；α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α.2．已知cos(α＋β)和sin β的值，如何求cos α的值？提示：由α＝(α＋β)－β可知，cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β，故可先求出sin(α＋β)及cos β的值，代入上式求得cos α的值．【例3】已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<3π2，π2<β<π，求cos(α－β)．思路点拨：由sin α求cos α；由sin β求cos β后套用公式求值．[解] ∵sin α＝－45，π<α<3π2，∴co s α＝－1－sin 2α＝－35.又∵sin β＝513，π2<β<π，∴cos β＝－1－sin 2β＝－1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665.且π<α<2π，0<β<π2，求cos(α－β)．[解] ∵sin β＝513，0<β<π2，∴cos β＝1－sin 2β＝1213.又sin α＝－45，且π<α<2π，①当π<α<3π2时，cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665；②当3π2<α<2π时，cos α＝1－sin 2α＝35，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665. 综上所述，cos(α－β)＝－5665或1665.2．(变条件)若将本例改为已知sin α＝－45，π<α<3π2，cos(α－β)＝1665，π2<β<π.求sin β.＝－5，且<2，＝－1－sin 2α＝－5.又∵2<－2，∴0<＝65，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16652＝6365，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1665＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×6365＝－1213，∴sin β＝1－cos 2β＝513.公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．教师独具1．本节课的重点是两角和与差的余弦公式，难点是公式的推导及应用．2．要掌握两角和与差的余弦公式的三个应用 (1)解决给角求值问题． (2)解决给值(式)求值问题． (3)解决给值求角问题．3．本节课的易错点是：利用两角和与差的余弦公式解决给值求角问题时，易忽视角的范围而导致解题错误．1．cos 15°＝( )A ．cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°B ．cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°C ．cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°D ．cos 45°sin 30°－sin 45°cos 30°B [cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°.]2．cos 105°＋sin 195°＝________.2－62 [cos 105°＋s in 195°＝cos 105°＋sin(105°＋90°)＝cos 105°＋cos 105° ＝2cos(135°－30°)＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22×32＋22×12＝2－62.]3．若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________．－210 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×35 ＝－210.]4．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°.[解] 原式＝2cos 30°－20°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°cos 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.。

人教B版高中数学必修四《第三章三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦》_3

《两角差的余弦函数》教学设计一、教材分析本节内容是教材必修4第三章《三角恒等变换》第一节，该节推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。

过去教材曾用余弦定理证明两角和的余弦函数，虽能对学生进行思维训练，但过程繁琐，不易被学生接受。

由于向量工具的引入，使得公式的得出成为简单的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。

从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。

二、学情分析本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。

在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。

三、三维教学目标1、知识与技能通过两角差的余弦函数的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角函数打好基础。

2、过程与方法通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦函数，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力。

3、情感、态度与价值观使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。

四、教学重点、难点重点：两角差的余弦函数的理解和运用。

难点：两角差的余弦函数的推导。

五、教学过程(一) 问题引入00030sin 120sin 30cos 120cos -00045sin 45sin 45cos 45cos -000150sin 30sin 150cos 30cos -=-βαβαsin sin cos cos 猜想：(二) 新课探究问：有什么特点？答：（1）式子中α、β是任意的；（2）公式中两边的符号正好相反（一正一负）；（3）式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；总结：两角差的余弦函数记忆口诀“余余正正符号反”。

2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式学案新人教版

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.(重点)2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.(难点)3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.(易错点)[基础·初探]教材整理1 两角和与差的余弦公式阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________.【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0.【答案】0教材整理2 两角和与差的正弦公式阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题.1.公式y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为0)，其中cos θ＝a a 2＋b 2，sinθ＝b a 2＋b 2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立.( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立.( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) 【解析】 (1)√.根据公式的推导过程可得.(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立. (4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 教材整理3 两角和与差的正切公式阅读教材P 129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立.( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立.( )(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtan β).( )【解析】 (1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立.(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z ).(3)√.当α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子.【答案】 (1)√ (2)× (3)√[小组合作型]灵活应用和、差角公式化简三角函数式(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A.－32B.－12C.12D.32(2)化简求值： ①1＋tan 75°1－tan 75°；②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)； ③tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°. 【精彩点拨】 (1)化简求值应注意公式的逆用.(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值. 【自主解答】 (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝＋－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.【答案】 C(2)①原式＝tan 45°＋tan 75°1－tan 45°tan 75°＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3. ∴原式＝－ 3. ②设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.∴原式＝0.③原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°·tan 40°＝ 3. ∴原式＝ 3.1.公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示出或求出第三个.2.化简过程中注意“1”与“tan π4”，“3”与“tan π3”，“12”与“cos π3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.[再练一题] 1.化简求值：(1)cos 61°cos 16°＋sin 61°sin 16°； (2)sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°； (3)1＋tan 12°tan 72°tan 12°－tan 72°.【解】 (1)原式＝cos(61°－16°)＝cos 45°＝22. (2)原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.(3)原式＝1＋tan 12°tan 72°tan 12°－tan 72°＝－1－＝－33.给值求值已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＝513，求sin(α＋β)的值. 【导学号：00680069】【精彩点拨】可先考虑拆角，π＋α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，然后再利用sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)求值.【自主解答】因为π4<α<34π，所以π2<π4＋α<π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45. 又因为0<β<π4，34π<34π＋β<π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513 ＝6365.1.本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系.如本题中巧用β＝(α＋β)－α这一关系.2.常见角的变换为(1)2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α； (2)α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β， α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝π2＋(α＋β)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝π2＋(α－β).[再练一题]2.已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan β＝－13，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos(α＋β). 【解】因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－45，所以sin α＝－35.因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan β＝－13，所以cos β＝－31010，sin β＝1010.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1010＝31010.给值求角已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋β的值.【精彩点拨】 sin α，sin β→求cos α，cos β→求α＋β→确定α＋β的范围→求α＋β的值【自主解答】 ∵sin α＝55，α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝25 5.又sin β＝1010，β为锐角， ∴cos β＝1－sin 2β＝31010.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α＋β<π，因此α＋β＝π4.1.求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解.2.求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值.[再练一题]3.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，试求角α的大小.【解】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)，由cos(α－β)＝35，知sin(α－β)＝45.由sin β＝－210，知cos β＝7210. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝22. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π4.[探究共研型]辅助角公式的应用探究1 能否将函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2？【提示】 sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22 cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.探究2 函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的最大值是多少？【提示】 f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴f (x )的最大值为2.探究3 如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式. 【提示】 a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝b a 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b 2共同确定).求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值.【精彩点拨】先将f (x )化为a sin(x ＋20°)＋b cos(x ＋20°)形式，再利用辅助角公式化为a 2＋b 2·sin(x ＋φ)的形式，即可求得f (x )的最大值.【自主解答】 f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60° ＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5322sin(x ＋20°＋φ) ＝7sin(x ＋20°＋φ)，其中cos φ＝1114，sin φ＝5314，所以f (x )max ＝7.1.对于形如sin α±cos α，3sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式.2.在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则.[再练一题]4.函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A.[－2,2]B.[]－3，3C.[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 【解析】 f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]. 故选B. 【答案】 B1.化简：sin 21°cos 81°－cos 21°·sin 81°等于( ) A.12 B.－12C.32D.－32【解析】原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.故选D. 【答案】 D2.已知α是锐角，sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )【导学号：00680070】 A.－210 B.210 C.－25D.25【解析】因为α是锐角，sin α＝35，所以cos α＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝22×45－22×35＝210.故选B.【答案】 B3.函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为( )A.－2B.－ 3C.－ 2D.－1【解析】 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∵0≤x ≤π2，∴－π4≤x －π4≤π4，－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤22，∴f (x )的最小值为－1. 【答案】 D 4.计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.【解析】3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1. 【答案】 15.已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. 【解】 ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.。