甘肃省张掖市高台县第一中学2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 文 新人教B版
甘肃省高台县第一中学2013-2014学年高二6月月考数学试题 Word版含答案
7899446473甘肃省高台县第一中学2013-2014学年高二6月月考数学试题1.设全集{}1,2,3,4,5U =,{}1,3,5A =,{}2,3,5B =,则()U C A B 等于 ( ) A.∅ B ．{}3,5 C ．{}4 D ．{}1,2,42.已知，,如果∥，则实数的值等于 ( )A. B. 3.函数)2ln(1x x y -+-=的定义域是 ( ) A. [)2,1 B ．()2,∞- C ．()2,1 D ．[)+∞,1 4．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为 ( )A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台5.已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于 ( )A. 7 B ． 71 C ．－ 71D ．－76．右图是2013年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ( )A ．84，4.84B ． 84，1.6C ．85， 1.6D ．85，47.圆222430x x y y ++-+=与直线0x y b ++=相切,正实数b 的值为 ( )A.12B ．1C ．1-D ．3 8．如右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的 值为4，则输出y 的值为 （ ） A.2 B.4 C.8 D.169.点P(-1,1)关于直线0ax y b -+=的对称点是Q(3，-1), 则a 、b 的值依次是( )2-2k b a (1,)b k =-(2,1)a =A.-2，2 B ．2，-2 C ．11,22- D ．11,22-10( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、 填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 11.计算：的结果等于______．12.某学校有男学生1200人，女生1000人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为n 的样本，若女生抽取80人，则n=______．13. 不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________．14.已知三正数x 、2、y 成等比数列，则y x +的最小值为______． 15. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知6π=A ，1=a ，3=b ，则=B ________．三、 解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出文字说明、证明过程或演算过程. 16．（6分）一个均匀的正方体玩具，各个面上分别写有1，2，3，4，5，6，将这个玩具先后抛掷2次，求： （1）朝上的一面数相等的概率；（2）朝上的一面数之和小于5的概率．17.（8分）如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1夹角的正弦值．︒-5.22sin 21218.（8分）已知函数132)(23+-=ax x x f ． （1）若1=x 为函数)(x f 的一个极值点，试确定实数a 的值，并求此时函数)(x f 的极值；（2）求函数)(x f 的单调区间．19.（8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S n +=2.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若*)(,1211N n a a a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .20.（10分）已知函数()()2cos sin sin cos 3f x x x x x x π⎛⎫=⋅++⋅ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角A 、B 、C 的对边，若()1,f C c ==,求ABC ∆ 面积的最大值．当x =1时，函数f （x ）取得极小值f （1）=0．……………4分（2）∵()f x '=6x 2－6ax =6x （x －a ）， ∴①当a =0时，()f x '=6x 2≥0，函数f （x ）在（－¥，+¥）上单调递增；……………5分②当a >0时，()f x '=6x （x －a ），()f x '、f （x ）随x 的变化情况如下表：)12()111(12)1(1121)2(1-++-=-++=-+=+n n n n n n a a a b n n n n 8分 )1231()]111()4131()3121()211[(-+++++-++-+-+-=∴n n n S n 10分11111122+-+=++-=n n n n 12分20．（1）π，()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2解析：（1）函数()()2cos sin sin cos 3f x x x x x x π⎛⎫=⋅++⋅- ⎪⎝⎭=。
甘肃省高台县第一中学2014届高三上学期第二次月考数学(理)试题(附答案)
一、单选题（本大题共12个小题，每题5分，共计60分）. 1．()2121ii +=- （ ）A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i - 2．已知集合{}2121|log (1),|()2x A x y x B y y -⎧⎫==-==⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=( ) A ．1(,1)2B ．(1,2)C ． (0,)+∞D ．(1,)+∞ 3．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（ ） A ．21y x =-+ B ．lg ||y x = C ．1y x=D ．x y e -= 4．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为21，则3a 等于（ ） A ．15 B ．12 C ．9 D ．6 5．已知函数()()()40,40.x x x f x x x x +<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，， 则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．B ．2C ．3D ．46．在ABC ∆中， ︒=∠120A ，1AB AC ⋅=- ，则||BC的最小值是（ ）A 、B 、2 CD 、67．若关于x 的不等式02<-+c ax x 的解集为{|21}x x -<<，且函数223c x mx ax y +++=在区间)1,21(上不是单调函数，则实数m 的取值范围为 （ ） A.)3,3(-- B.]3,3[--C.),3()2,(+∞--∞D.),3(]2,(+∞---∞8．已知向量()1,1m λ=+ ，()2,2n λ=+ ，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ）A.4-B.3-C.2-D.1-9．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，给出下列4个命题： ①若,//,//m n m n αα⊂则 ②若,//,m n m n αα⊥⊥则 ③若,,//m m αβαβ⊥⊥则 ④若//,//,//m n m n αα则 其中真命题的序号为（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④10．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ）A.[]1,0-B.[]0,1C.[]0,2D.[]1,2-11．双曲线221169x y -=的离心率为（ ）A ．53 B ．54 C ．35 D ． 4512．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.2eB.22eC.24eD.22e第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共5小题， 每小题4分，满分20分. 13．设ααsin 212sin -=，(,)2παπ∈，则α2cos 的值是____ . 14．已知函数1,0,()0,0,(),0x x f x x g x x ->⎧⎪==⎨⎪<⎩是奇函数，则(2)g -的值是 .15．如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a +++ 的值为 . 16．已知函数()()40,0af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__________. 17．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为_________.三、解答题（本大题共5个大题，每题12分，共计60分）.18．（12分）已知函数()()2sin cos cos 2f x x x x x R =+∈. （1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）若θ为锐角，且8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan 2θ的值.-中，VC⊥底面ABC,19．（12分）如图，在三棱锥V ABC===.⊥为AB的中点,AC BC VC a,AC BC D（1）求证：AB⊥平面VCD；（2）求点C到平面VAB的距离。
甘肃省高台县第一中学2014年秋学期期末考试试卷及答案
甘肃省高台县第一中学2014年秋学期期末考试高三 理科数学 试卷试卷命制：王凯 2015年1月5日本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅱ卷第22—24题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）1.sin(210)-的值为（ ）A ．12-B ．12C ．32-D ．322.设(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{}1D ．{}0,13.已知()2,f x x i =是虚数单位，则在复平面中复数()13f i i++对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4.若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．1205.函数sin(2)3y x π=-+在区间[0,]π上的单调递增区间为（ ）A ．511[,]1212ππ B ．5[0,]12π C ．2[,]63ππ D ．2[,]3ππ 6.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A ．143B ．4C ．103D ．37.A 、B 、C 三点不共线，D 为BC 的中点，对于平面ABC 内任意一点O 都有11222OP OA OB OC =--，则 ( )A ．AP AD =B ．PA PD =C ．DP DA =D ．PA AD =8.过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率( )A ． 10B ．105C ．102D ． 29.将边长为2的等边PAB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合(如图)，设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的有下列说法：①()f x 的值域为[]0,2； ②()f x 是周期函数； ③(4.1)()(2013)f f f π<<； ④69()2f x dx π=⎰. 其中正确的说法个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．310. 在三棱锥S —ABC 中，AB ⊥BC,AB=BC=2,SA=SC=2,，二面角S —AC —B 的余弦值是33-，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ）A. 68B. 6πC. 24πD.π611.函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称，实数,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，若(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为（ ）A ．[]12,+∞ B. []0,3 C. []3,12 D.[]0,1212.若a 、b 是方程lg 4x x +=，104xx +=的解，函数()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，第22～24题为选考题，考生按要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13.已知()2cos(2)(0)6f x x πωω=+≠的最小正周期是4π，则ω的值________． 14.已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为5,圆M 的面积为9π,则圆N 的面积为 .15.已知{(,)|||1,||1}x y x y Ω=≤≤，A 是曲线2y x =与12y x =围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．16.对于四面体ABCD ，以下命题中，真命题的序号为 （填上所有真命题的序号） ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为BC 中点，则平面AED⊥平面ABC ； ②若AB⊥CD，BC⊥AD，则BD⊥AC；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2:1；④若以A 为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A 在平面BCD 内的射影为△BCD 的垂心； ⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面. 三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在等差数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，已知366-==S a ;正项数列}{n b 满足：022121=--++n n n n b b b b ，2042=+b b .（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设,nnn b a c =求数列}{n c 的前n 项和n T . 18.“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在[)20,80（单位: mg/100ml ）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．”某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过一晚的抽查，共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．（Ⅰ）若血液酒精浓度在[)50,60和[)60,70的分别有9人和6人，请补全频率分布直方图。
甘肃省张掖市高台县第一中学2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 理人教B版
甘肃省张掖市高台县第一中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学（理）试题新人教B 版一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共计48分.在每小题给出的四个选项中，只是一项是符合题目要求的）.1．等差数列{}n a 满足,2,20,122-=-==d a a n 则=n （ ） A ．17B ．18C ．19D ．202．抛物线2y x =的焦点坐标为（ ）（A ）1(,0)4- （B ）1(,0)4 （C ）1(0,)4- （D ）1(0,)43．已知p ：,0)3(:,1|32|<-<-x x q x 则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为y ＝31x ，则双曲线的离心率为( )A.35 B. 34 C. 45 D. 235．已知变量x ，y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A.3B.1C.－5D.－6 6．已知),,2(),,1,1(t t t t t =--=，则||-的最小值为 （ ）A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 7．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ）A ．85 BC．D ．50 8．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“0,0200≤-∈∃x x x R ”的否定是“0,2>-∈∃x x x R ”B ．若向量b a,满足0<⋅b a ，则a 与b 的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．命题“p q ∨为真”是命题“q p ∧为真”的必要不充分条件9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中直线11C A 与平面BD A 1夹角的余弦值是（ ）A ．42 B ． 32C ．33D ．2310．抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是 （ ） A ．（1，1）B ．（41,21） C ．)49,23( D ．（2，4）11．已知双曲线2213y x -=的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅的最小值为（ ）A.－2B.8116- C.1 D.012．若点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22x a＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)上一点，且1PF ·2PF ＝0，tan ∠PF 1F 2＝12则此椭圆的离心率e ＝（ ）A 、3 B 、3C 、13D 、12二、填空题：（每小题4分，6个小题共计24分。
甘肃省张掖市民乐一中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 文 新人教A版
民乐一中2013-2014学年高二上学期期末考试数学（文）试题命题人： 王泽府本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≤0”的否定为( ) A ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≥0 B ．∀x ∉R ，x 2－2x ＋4≤0 C ．∃x ∈R ， x 2－2x ＋4>0 D ．∃x ∉R ，x 2－2x ＋4>02. 曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是 （ ） A 74y x =+ B 72y x =+C 4y x =-D 2y x =-3. 在ABC ∆中,3=AB ,2=AC ,10=BC ，则=⋅AC AB ( ) A ．23-B ．32-C ．32D ．234．已知命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a ，其中a 为大于0的常数；命题乙：P 点的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件5．设原命题：若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题6．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 8． 已知命题p ：若不等式x 2＋x ＋m >0恒成立，则m >14；命题q ：在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B的充要条件， 则( ) A ． p 假q 真B ．“p ∧q ”为真C ．“p ∨q ”为假D ．⌝p 假⌝q 真，9．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c ，若d 1 ，2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( ) A.12 B.22 C.32 D.3410．已知x>0, y>0,128=+xy ,则x+y 的最小值为( ) A. 6 B. 12 C. 18 D. 2411．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示， 则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值12．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( )A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡中的横线上．)13. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥++≤-030101y x y x x ，则目标函数y x z +=23的最小值是________.14．若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则13__________.S =15．设F 1和F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为________．16. 一船以每小时15 km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向,行驶4 h后,船到B 处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为 km. 三、解答题：(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)18．(本小题满分10分) 已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，且x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．19. (本小题满分12分) 在△ABC 中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面且cos cos 2B bC a c=-+ ． （1）求∠B 的大小；（2）若a =4，35=S ，求b 的值．20．(本小题满分12分) 设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．21．(本小题满分12分) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．22．（本小题满分12分) 已知函数f(x)＝x ln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．民乐一中2013—2014学年第一学期期终考试高二数学试题答案（文科）三、解答题 17 解：28)1(143=⇒==q a a q n n n q a a 211==∴-（2）12232,8355533=-=⇒====b b d a b a b n n d n n nb S d b b n 2262)1(1622131-=-+=⇒-=-=18．解：P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}．∵x ∈P 是x ∈Q 的必要条件 ∴x ∈Q ⇒x ∈P ，即Q ⊆P∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5a ≥－1∴－1≤a ≤5. 19. 解： ⑴由cos cos sin cos 2cos 2sin sin B b B B C a c C A C=-⇒=-++ 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒+=- 2sin cos sin cos cos sin A B B C B C ⇒=--2sin cos sin()2sin cos sin A B B C A B A ∴=-+⇒=- 12cos ,0,23B B B ππ⇒=-<<∴=又⑵1134,53sin 5222a S S ac B c c ====⨯⨯⇒=由有 222232cos 162524561b a c ac B b b =+-⇒=+-⨯⨯⇒=21．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3.∴x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 0＝x 0＋m ＝m3.∵点M (x 0， y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(－2m 3)2＋(m 3)2＝1，∴m ＝±355.22．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )的导数f ′(x )＝1＋ln x .令f ′(x )>0，解得x >1e ；令f ′(x )<0，解得0<x <1e.从而f (x )在(0，1e )上单调递减，在(1e ，＋∞)上单调递增．所以，当x ＝1e 时， f (x )取得最小值－1e.(2)依题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立，。
2013-2014学年度第一学期期末考试高二数学参考答案
2013—2014 学年度第一学期期末考试高二数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1-12 BCADA DDBAC AB二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分． 13. 2x-y-3>0； 14.2n-115.362 16.（文）a<3 （理）42a三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分。
(17) (10分)已知过点A (－4，0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． 解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4①，y 1＋y 2＝8＋p2②， 又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，得抛物线G 的方程为x 2＝4y . (5分) (2)设l ：y ＝k (x ＋4) (k ≠0)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k （x ＋4），得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2.对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4.∴b ∈(2，＋∞)． （10分）（18）(12分)(1)已知a ，b 是正常数， a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y，并指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值，并指出取最小值时x 的值．18．(1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2y x ＋b 2x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2xy＝(a ＋b )2， 故a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y， 当且仅当a 2y x ＝b 2x y ，即a x ＝b y时上式取等号． （6分）(2)由(1)得f (x )＝222x ＋321－2x ≥（2＋3）22x ＋（1－2x ）＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时上式取最小值，即f (x )min ＝25. （12分）（19）(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若cos A cos B ＝ba且sin C ＝cos A .(1)求角A ， B ，C 的大小；(2)设函数f (x )＝sin(2x ＋A )＋cos2x －C2，求函数f (x )的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离．19．解：(1)由cos A cos B ＝b a 结合正弦定理得cos A cos B ＝sin Bsin A，则sin2A ＝sin2B ，则有A ＝B 或A ＋B ＝π2，①当A ＝B 时，由sin C ＝cos A 得cos A ＝sin2A ＝2sin A cos A 得sin A ＝12或cos A ＝0(舍)，∴A ＝B ＝π6，C ＝2π3，②当A ＋B ＝π2时，由sin C ＝cos A 得cos A ＝1(舍)．综上，A ＝B ＝π6，C ＝2π3， （6分）(2)由(1)知f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos(2x －π3)＝sin(2x ＋π6)＋cos(－π2＋2x ＋π6)＝2sin(2x ＋π6).由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为(k π－π3，k π＋π6)(k ∈Z )，相邻两对称轴间的距离为π2.（12分）(20) (12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋S n ·a n ，若数列{b n }为等比数列，求a 的值． 解：(1)当n ＝1时，S 1＝a (S 1－a 1＋1)， ∴a 1＝a ， 当n ≥2时，S n ＝a (S n －a n ＋1)， S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)， 两式相减得，a n ＝a ·a n －1，即a na n －1＝a .即{a n }是等比数列， a n ＝a ·a n －1＝a n . （6分）(2)由(1)知b n ＝(a n )2＋a （a n －1）a －1a n ， 即b n ＝（2a －1）a 2n －aa na －1.①若{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1b 3，而b 1＝2a 2，b 2＝a 3(2a ＋1)，b 3＝a 4(2a 2＋a ＋1)． 故[a 3(2a ＋1)]2＝2a 2·a 4(2a 2＋a ＋1)，解得a ＝12.将a ＝12代入①得b n ＝12n 成立． ∴a ＝12. （12分）（21）(12分)设A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点，P （1，32）为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距．(1)求椭圆的方程；(2)设P (4，x )(x ≠0)，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M ，N ，求证：∠MBN 为钝角．解：(1)依题意，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，设椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1，将1，32代入，得c 2＝1，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1. （6分）(2)证明：由(1)知A (－2，0)，B (2，0)，设M (x 0，y 0)，则－2＜x 0＜2，y 20＝34(4－x 20)，由P ，A ，M 三点共线，得x ＝6y 0x 0＋2，BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝2，6y 0x 0＋2，BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)＞0，即∠MBP 为锐角，则∠MBN 为钝角． （12分）（22）（文）(12分) 己知函数f (x )＝(x 2－ax ＋a )e x(a <2，e 为自然对数的底数)． (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若存在x ∈[－2，2]，使得f (x )≥3a 2e 2，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2－x ＋1)e x，切点为(1，e)， 于是有f ′(x )＝(x 2＋x )e x，k ＝f ′(1)＝2e ，所以切线方程为y ＝2e x －e. （6分）(2)f ′(x )＝x (x －a ＋2)e x， 令f ′(x )＝0，得x ＝a －2<0或x ＝0， ①当－2≤a －2<0，即0≤a <2时，x －2 (－2，a －2)a －2(a －2，0)0 (0，2) 2 f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值所以f (a －2)＝ea －2(4－a )，f (2)＝e 2(4－a )，当0≤a <2时，有f (2)≥f (a －2)，若存在x ∈[－2，2]使得f (x )≥3a 2e 2，只需e 2(4－a )≥3a 2e 2，解得－43≤a ≤1，所以0≤a ≤1.②当a －2<－2，即a <0时， 所以f (－2)＝e －2(4＋3a )，f (2)＝e 2(4－a )，因为e －2(4＋3a )<e 2(4－a )，所x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2 f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值以f (2)>f (－2)，若存在x ∈[－2，2]使得f (x )≥3a 2e 2，只需e 2(4－a )≥3a 2e 2，解得－43≤a ≤1，所以－43≤a <0.综上所述，有－43≤a ≤1. （12分）（22）(理) (12分)如图所示,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AB=BC=2AA 1,∠ABC=90°,D 是BC 的中点. (1)求证:A 1B ∥平面ADC 1;(2)求二面角C 1AD C 的余弦值;(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E,使AE 与DC 1成60° 角? 若存在,确定E 点位置,若不存在,说明理由. (1)证明:连接A 1C,交AC 1于点O,连接OD.由ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，得四边形ACC 1A 1为矩形,O 为A 1C 的中点. 又D 为BC 的中点,所以OD 为△A 1BC 的中位线, 所以A 1B ∥OD.因为OD ⊂平面ADC 1,A 1B ⊄平面ADC 1,所以A 1B ∥平面ADC 1. （4分） (2)解:由于ABC A 1B 1C 1是直三棱柱,且∠ABC=90°, 故BA 、BC 、BB 1两两垂直.如图所示建立空间直角坐标系.设BA=2,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C 1(0,2,1),D(0,1,0). 所以=(-2,1,0),=(-2,2,1).设平面ADC 1的法向量为n=(x,y,z),则有 所以取y=1,得n=（,1,-1）.易知平面ADC 的一个法向量为v=(0,0,1). 由于二面角C 1AD C 是锐角且 cos<n,v>==-.所以二面角C 1AD C 的余弦值为. （8分）(3)解:假设存在满足条件的点E.因为E 在线段A 1B 1上,A 1(2,0,1),B 1(0,0,1),故可设E(λ,0,1),其中0≤λ≤2. 所以=(λ-2,0,1),=(0,1,1).因为AE 与DC 1成60°角,所以=. 即=,解得λ=1或λ=3(舍去).所以当点E为线段A1B1的中点时,AE与DC1成60°角. （12分）。
【解析版】甘肃省张掖市高台县第一中学2014届高三上学期第二次月考数学(理)试题Word版含解析
一、单选题（本大题共12个小题，每题5分，共计60分）. 1．()2121ii +=- （ ）A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -【答案】B 【解析】()()2121212112221i i ii i i i i i +++===-+--⋅-. 2．已知集合{}2121|log (1),|()2x A x y x B y y -⎧⎫==-==⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=( )A ．1(,1)2B ．(1,2)C ． (0,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D【解析】由21011x x x ->><-得或，所以{}|11A xx x =><-或，又{}11|()|02x B y y y y -⎧⎫===>⎨⎬⎩⎭，所以A B ⋂=(1,)+∞。
3．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（ ） A ．21y x =-+ B ．lg ||y x = C ．1y x=D ．x y e -= 【答案】A【解析】A ．21y x =-+是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减；B ．lg ||y x =是偶函数但在区间(0,+∞)上单调递增；C ．1y x =是奇函数；D ．x y e -=是非奇非偶函数。
4．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为21，则3a 等于（ ） A ．15 B ．12 C ．9 D ．6【答案】B【解析】由题意知：1123321a a a a =⎧⎨++=⎩，所以解得23()q =-或舍，所以3a =12.5．已知函数()()()40,40.x x x f x x x x +<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，， 则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】()400()4x x x x +===-得：舍或；由()-4004x x x x ===得：或。
甘肃省高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．数列，，，，…的一个通项公式是（ ）1216112120A ． B ．()11n a n n =-()1221n a n n =-C ． D ． 111n a n n =-+11n a n=-【答案】C【解析】根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】选项A. ,当时，无意义.所以A 不正确.()11n a n n =-1n =选项B. ,当时，，故B 不正确. ()1221n a n n =-2n =()211122221126a ==≠⨯⨯⨯-选项C. ，，，11122=-111162323==-⨯1111123434==-⨯1111204545==-⨯所以满足.故C 正确. 111n a n n =-+选项D. ,当时, ,故D 不正确. 11n a n =-1n =1111012a =-=≠故选：C2．双曲线的渐近线方程是（）22132x y-=A ． B ．23y x =±32y x =±C ． D ．y=y =【答案】D【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】由题得双曲线的方程为，所以22132x y -=a b ==所以渐近线方程为． b y x a =±=故选：D3．已知等差数列，的前n 项和分别为，，且，则（ ）{}n a {}n b n S n T 234n n S n T n+=55a b =A ． B ．C ．D ．1271258813【答案】B【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前项和公式求得正确答案.n 【详解】， 5595151922a a a b b a b b ==++()()1999199292a a S Tb b +⋅==+⋅由题意可得. 99293217493612S T ⨯+===⨯故选：B4．若直线截取圆所得弦长为2，则（ ） 220x y +-=22()1x a y -+==a A ． B ．C ．1D ．1212-1-【答案】C【分析】根据题意可得直线过圆的圆心，进而可求解.【详解】因为圆的半径为1，直径为2，故直线过的圆心22()1x a y -+=220x y +-=22()1x a y -+=，(),0a 故，解得. 220a -=1a =故选：C5．已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，221x y +=()220y px p =>A B C D 若四边形是矩形，则等于（ ） ABCD p ABCD【答案】D【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而有AB ()220y px p =>，解方程即可得答案. 2212p p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】解：因为四边形是矩形，ABCD 所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，AB ()220y pxp =>因为圆的半径为，抛物线的通径为，12p 所以有：，解得2212p p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭p =故选：D6．已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、()222210x y a b a b +=>>P 213PF PF =1F 2F 右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】先由椭圆的定义结合已知求得，再由求得的不等关系，即12,PF PF 1212PF PF F F -≤,a c可求得离心率的取值范围.【详解】由椭圆的定义得，又∵，∴，， 122PF PF a +=213PF PF =132PF a =212PF a =而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，12122PF PF F F c -≤=P 即，即，则，即.31222a a c -≤2a c ≤12c e a =≥112e ≤<故选：D ．7．已知分别是双曲线的左、右焦点，P 是C 上位于第一象限的一点，且12,F F 22144x y C :-=，则的面积为（ ） 210PF PF ⋅=12PF F △A ．2B ．4C ．D ．【答案】B【分析】利用勾股定理、双曲线定义求出，再利用三角形的面积公式计算可得答案.12PF PF ⋅【详解】因为，所以，120PF PF ⋅= 222121232PF PF F F +==由双曲线的定义可得， 124PF PF -=所以，解得，()2221212122PF PF PF PF PF PF ⋅=+--128PF PF ⋅=故的面积为． 12PF F △12142PF PF ⋅=故选：B.8．已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点分别在双曲线的左､2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F A B ､右两支上，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）0,2AF FB FC BF ⋅==CA B C D 【答案】A【分析】根据已知条件及双曲线的定义，再利用矩形的性质及勾股定理，结合双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】如图所示设，则，， ，BF t =2FC t =2BF a t '=+22F C a t '=+因为，所以，0AF FB ⋅= AF FB ⊥ 则四边形是矩形，AFBF '在中，，即，解得， Rt BF C 'A 222BF BC F C ''+=()()()2222322a t t a t ++=+23a t =在中，，即，于是有，Rt BF F '△222BF BF F F ''+=222222433a a a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22179a c =解得， e =. 故选：A.二、多选题9．已知圆和圆的交点为A ，B ，则（ ）．221:230O x y x ++-=222:210O x y y ++-=A ．两圆的圆心距 122O O =B ．直线的方程为AB 10x y --=C ．圆上存在两点P 和Q 使得 2O PQ AB >D ．圆上的点到直线的最大距离为 1O AB 2【答案】BD【分析】对于A ，根据两个圆的方程先得到两个圆心坐标，然后利用两点间距离公式即可求解；对于B ，两圆作差即可得公共弦的方程；对于C ，根据直线经过圆的圆心即可判断；对于AB AB 2O D ，圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径即可求解.1O AB 【详解】由圆和圆，221:230O x y x ++-=222:210O x y y ++-=可得圆和圆， ()221:14O x y ++=()222:12O x y ++=则圆的圆心坐标为，半径为2， 1O ()1,0-圆的圆心坐标为 2O ()0,1-对于A ，两圆的圆心距，故A 错误；1O O 对于B ，将两圆方程作差可得，即得直线的方程为，故B 正确； 10x y --=AB 10x y --=对于C ，直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径， AB 2O ()0,1-AB 2O 故圆中不存在比长的弦，故C 错误； 2O AB 对于D ，圆的圆心坐标为，半径为2， 1O ()1,0-圆心到直线，1O 10:x y AB --=所以圆上的点到直线的最大距离为，故D 正确. 1O AB 2故选：BD.10．已知M 是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ）22:184x y C +=1F 2FA ．椭圆的焦距为2B ．椭圆的离心率e =C ．椭圆的短轴长为4D ．的面积的最大值是412MF F △【答案】BCD【分析】由题意可得，即可判断A ，B ，C ；当M 为椭圆短轴的一个顶点时，2,2a b c ===以为底时的高最大，面积最大，求出面积的最大值即可判断. 12MF F △12F F 【详解】解：因椭圆方程为，22184x y +=所以，2,2a b c ===所以椭圆的焦距为，离心率， 24c =c e a =24b =故A 错误，B,C 正确；对于D ，当M 为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，为2, 12MF F △12F F 此时的面积取最大为,故正确.12MF F △112222422c b ⨯⨯=⨯⨯⨯=故选：BCD.11．关于及其二项展开式，下列说法正确的是（ ）)20211A ．该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为 20212B ．该二项展开式中第8项为710072021C x -C ．当时，除以100的余数是9100x =)20211D ．该二项展开式中不含有理项 【答案】BC【分析】对于A ，由二项式系数的性质，由公式可得答案； 对于B ，根据二项式定理的通项公式，令时，可得答案； 7r =对于C ，根据二项式定理，结合带余除法的变换等式，可得答案； 对于D ，利用二项式定理通项，使的指数为整数，可得答案. x 【详解】偶数项的二项式系数之和为，故A 错误； 20202展开式中第8项为，故B 正确； ()201477710077120212021C 1C T x+=⋅-=-当时，100x =)()20212021020211202120192202012021202120212021202120211101C 10C 10C 10C 10C -=-=⋅-⋅+-⋅+⋅- ， ()020191201820190202012021202120212021100C 10C 10C 10C 101=⋅-⋅+-⋅+⋅- ∵，除以100的余数是9，202012021C 10120209202009⋅-==+∴当时，除以100的余数是9，故C 正确；100x =)20211-的展开式的通项为，)20211()()202120212120212021C11Cr rrrr r r T x--+=⋅-=-当为整数，即时，为有理项，故D 错误． 20212r-1,3,5,,2021r = 1r T +故选：BC ．12．设的左右焦点为，．过右焦点向双曲线的一条渐近线引垂线，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 2F 垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若，则下列判断正确的是（ ）222AF F B =A ．双曲线渐近线方程为 y =B C ．它和双曲线共用一对渐近线2233y x -=D ．过点且和双曲线C 只有一个公共点的直线，共有两条 ()0,1【答案】BC【分析】根据题意先求出A 点坐标，再根据求出B 点坐标，代入另一条渐近线方程222AF F B =中，得到一个等式，利用渐近线的性质，结合渐近线方程、离心率公式、以及一元二次方程根的判别式判断即可.【详解】双曲线的渐近线方程为：，设过右焦点向双曲线的渐近线引垂线，垂by x a =±2F b y x a=足为A ，所以的斜率为，因为的坐标为，所以直线的方程为：2AF ab-2F (,0)c 2AF ，与联立，解得，()a y x c b =--b y x a =22,(,a ab a abx y A c c c c==⇒设，因为，所以有，(,)B x y 222AF F B = 22(,)(,)a abc x c y c c--=-所以，代入中，2222223,(3,)a ab a abx c y B c c c c c=-=-⇒--b y x a =-得：22222(343ab b a c a c c a c-=-⋅-⇒=A ：因为 22222224343()3b a c a a b a b a =⇒=+⇒=⇒=双曲线渐近线方程为，故本判断不正确； y =B ：由，故本判断正确； 22432c a c a e a =⇒=⇒==C ：，所以该双曲线的渐近线方程为：，故本判断22223313x y x y -=⇒-=y y =⇒=正确；D ：，因此双曲线方程为：223b a b a =⇒=222213x y b b -=设过的直线方程为，代入双曲线方程中得：， ()0,11y kx =+222(13)6330k x kx b ----=当时，此时直线与双曲线只有一个公共点，这样有二条，2130k -=当时，由根的判别式为零，得，可得：，这样的直2130k -≠222(6)4(13)(33)0k k b +-+=22213b k b+=线有二条，因此本判断不正确， 故选：BC【点睛】关键点睛：本题的关键是通过已知求出A 点坐标，再根据求出B 点坐标.222AF F B =三、填空题13．若直线与垂直，则实数m ＝__． 1:210l x my ++=2:31l y x =-【答案】6【分析】根据两直线垂直时，斜率乘积为-1，解方程求得m 的值．【详解】由直线且斜率存在，则直线， 1:210l x my ++=12:1l y x m m=--由直线与垂直，则解得. 1:210l x my ++=2:31l y x =-231m-⨯=-6m =故答案为：6．14．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.【答案】【分析】由题得双曲线的渐近线方程为，，故，进而得y x =±48c =,2a b c ==a =.【详解】解：以两焦点所在直线为轴，两焦点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系， y x 设双曲线的焦距为，由题意得双曲线的渐近线方程为，， 2c y x =±48c =所以，进而得,2a b c ==a =故双曲线的实轴长为：故答案为：【点睛】本题解题的关键在于根据建立适当坐标系，进而根据题意得该双曲线的渐近线为，y x =±，进而求解，考查数学建模能力与运算求解能力，是中档题.48c =15．第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为______．（结果用分数表示）【答案】## 250.4【分析】根据古典概型的概率公式，结合排列数、组合数运算求解.【详解】“甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动”共有种可能，2353C A 60=“甲同学参加连续两天活动”共有种可能，1343C A 24=故甲同学参加连续两天活动的概率. 242605P ==故答案为：. 2516．已知椭圆C ：的左､右焦点分别为､，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：22142x y +=1F 2F上任意一点，则的取值范围为___________.((221x y -+-=1MN MF -【答案】1⎡⎤-⎣⎦【分析】根据椭圆的定义，结合椭圆和圆的几何性质进行求解即可. 【详解】如图，由为椭圆上任意一点，则， M C 12224MF MF +=⨯=又为圆上任意一点，则（当且仅当M 、N 、E 共线时N ((22:1E x y -+-=1MN ME ≥-取等号），∴， ()122224455MN MF MN MF MN MF ME MF EF -=--=+-≥+-≥-当且仅当M 、N 、E 、共线时等号成立.2F∵，，则， 2F E 2||4EF ==∴的最小值为，1MN MF -451-=-当共线时，最大，如下图所示：， 1,,,M F E N 1MN MF -1(F最大值为，111F E +==所以的取值范围为，1MN MF -1⎡⎤-+⎣⎦故答案为：1⎡⎤-+⎣⎦【点睛】关键点睛：运用椭圆的定义和椭圆、圆的几何性质是解题的关键.四、解答题17．已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足 {}n a {}n b 11221,5a b b a ==+=(1)求数列和的通项公式； {}n a {}n b (2)令求数列的前n 项和；n n n c a b =+{}n c n S 【答案】(1)，21n a n =-12n n b -=(2)221nn S n =+-【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；2d =（2）分组求和即可.1221n n n n c a b n -+=+=-【详解】（1）设的公差为, {}n a d 由已知,有解得，215d ++=2d =所以的通项公式为, 的通项公式为.{}n a 21,n a n n *=-∈N {}n b 12,n n b n -*=∈N （2），分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：1221n n n n c a b n -+=+=-.212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--18．已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上 (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l ：与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长的值． 34110x y +-=AB 【答案】(1)()2224x y -+=(2)【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.【详解】（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为； ()2224x y -+=（2）由（1）可知：圆C 半径为，设圆心（2，0）到l 的距离为d ，则，由垂径2r =61115d -==定理得：AB ==19．已知是直线l 被椭圆所截得的线段的中点，求直线l 的方程． (4,2)M 22436x y +=AB 【答案】.280x y +-=【分析】中点弦问题，可以采用点差法求解，或联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式求解.【详解】由题意可知l 斜率必存在，设l 斜率为，则直线的方程为，k l ()24y k x -=-代入椭圆的方程化简得，()()22221416326464200k x k k x k k ++-+--=设，∵，∴，解得， ()()1122,,,A x y B x y 0∆>21223216814k kx x k -+==+12k =-故直线l 的方程为：. 280x y +-=另解：由题知在椭圆内，设直线与椭圆相交于点，易知直线斜率存在，设斜率为M l ()()1122,,,A x y B x y l ，∵在椭圆上， k A B 、，①－②得，即，即，22112222436436x y x y ⎧+=∴⎨+=⎩①②()2222121240x x y y -+-=()1212121240y y x x y y x x -++=+-8404k +=解得.12k =-∴直线的方程为，整理得. l ()1242y x -=--280x y +-=20．已知椭圆的左、右焦点分别为F ₁，F ₂，动点M 满足|| MF ₁ | -| MF ₂|| =4.221123x y +=(1)求动点M 的轨迹C 的方程：(2)已知点A (-2，0)，B (2，0)，当点M 与A ，B 不重合时，设直线MA ，MB 的斜率分别为k ₁，k ₂，证明:为定值.12k k【答案】(1)22145x y -=(2) 54【分析】（1）由椭圆方程得出焦点坐标，由已知分析动点满足的条件，根据定义利用待定系数M 法设方程，求出相关的量即可；（2）设设，代入方程中化简得的表达式，利用斜率公式写出000(,)(2)M x y x ≠±20y 12k k 的表达式，化简即可【详解】（1）由椭圆知：221123x y += 2222212,31239a b c a b ==⇒=-=-=所以左、右焦点分别为 12(3,0),(3,0)F F -因为动点M 满足|| MF ₁ | -| MF ₂|| =4 12F F <所以动点在以为焦点的双曲线上，M 12,F F 设动点设方程为：M 2222111x y a b -=由双曲线的定义得：1124,226a c c ===所以222111945b c a =-=-=所以动点设方程为：M 22145x y -=（2）设000(,)(2)M x y x ≠±则 22220000151454x y x y ⎛⎫-=⇒=- ⎪⎝⎭由001000(2)2MA y y k k x x -===--+ 00200022MB y y k k x x -===--所以 00120022y yk k x x =⨯+- 2020220051444x y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-=()20205444x x --= 54=所以. 12k k 54=21．已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点.C ()222210,0x y a b a b -=>>22162y x -=()2,3(1)求双曲线的方程；C (2)已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于C 1F 2F l 2F 3π4l C ,AB两点，求的面积.1F AB A 【答案】(1)2213y x -=(2)【分析】（1）根据共渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标即可得解；（2）根据题意求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，消去后由韦达定理得AB y ，从而由弦长公式求得弦长，再求出到直线距离后即可求得的面积．1212,x x x x +AB 1F AB 1F AB A 【详解】（1）依题意，设所求双曲线方程为，C 2262y x λ-=代入点得，即，()2,3223262λ-=12λ=-所以双曲线方程为，即． C 221622y x -=-2213y x -=（2）由（1）得，则，，，2134c =+=2c =()12,0F -()22,0F 又直线倾斜角为，则，故直线的方程为， l 3π43πtan 14==-k AB ()2y x =--设，，()11,A x y ()22,B x y 联立，消去，得，()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩y 22470x x +-=则，，，()164270∆=-⨯⨯->122x x +=-1272x x =-由弦长公式得，2AB x=-=6=又点到直线的距离()12,0F -:20AB x y +-=d 所以 111622F AB S AB d =⋅=⨯⨯=A 22．已知抛物线上的点到其焦点的距离为. ()2:21C y px p =>()0,1P x F 54(1)求抛物线的方程；C (2)点在抛物线上，直线与抛物线交于、两点，点与点(),4E t C l ()11,A x y ()()2212,0,0B x y y y >>H 关于轴对称，直线分别与直线、交于点、（为坐标原点），且.A x AH OE OB M N O AM MN =求证：直线过定点. l 【答案】(1) 24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由已知可得，利用抛物线的定义可得出关于的等式，结合可求得的012x p=p 1p >p 值，即可得出抛物线的方程；C （2）分析可知直线的斜率存在且大于，设直线的方程为，将直线的方程与l 0l ()0y kx m k =+>l 抛物线的方程，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出点、的坐标，分析可知点C OE OB M N 为线段的中点，利用中点坐标公式结合韦达定理求出的值，即可得解.M AN m 【详解】（1）解：由点在抛物线上可得，，解得. ()0,1P x 2012px =012x p=由抛物线的定义可得， 0152224p p PF x p =+=+=整理得，解得或（舍去）. 22520p p -+=2p =12p =故抛物线的方程为.C 24y x =（2）证明：由在抛物线上可得，解得， (),4E t C 244t =4t =所以，则直线的方程为.()4,4E OE y x =易知且、均不为，易知， ()11,H x y -1x 2x 012y y ≠因为，，， 10y >20y >121222121212404AB y y y y k y y x x y y --===>--+所以，直线的斜率存在且大于，设直线的方程为，l 0l ()0y kx m k =+>联立得化为，24y kx my x =+⎧⎨=⎩2440ky y m -+=则，且，，16160km ∆=->124y y k+=124m y y k =由直线的方程为，得. OE y x =()11,M x x 易知直线的方程为，故. OB 22y y x x =1212,x y N x x ⎛⎫⎪⎝⎭由，则为的中点， AM MN =M AN 所以，，即，即， 12M N y y y =+121122x y x y x =+1221122x x x y x y =+所以，，化为，则得， ()22221212121212844y y y y y y y y y y ++==()12122y y y y =+48m =2m =所以直线的方程为，故直线过定点. l 2y kx =+l ()0,2【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证()00,x y ()00y y k x x -=-y kx b =+明.。
甘肃省张掖市高台县第一中学高二数学上学期期末考试试题 文 新人教B版
一、选择题（共16小题，每小题4分，共64分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，请选出。
）1．"0"m <是2"()"f x x x m =++有实根的（ ）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2．在等差数列{}n a 中，若32a =，则{}n a 的前5项和5S =（ ）A ．5B ．10C ．12D ．153．若抛物线px y =2的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．-4 D ．84．曲线32x x y -=在x=-1处的切线方程为（ ）A ． 02=-+y xB ．02=--y xC ．02=++y xD ．02=+-y x 5．在等比数列{}n a 中,若3578a a a =,则28a a = （ ）A ．4B ．4-C ．2D ．-26．设变量x ,y 满足约束条件:30,03,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩， 则2z x y =+的最大值为（ ）A.21B.-3C.15D.-157．下列有关命题的说法正确的是 ( )A ．命题“若,x y =则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.B ．常数数列一定是等比数列为真命题.C ．命题“,x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“,x R ∀∈均有210x x ++<” .D ．“2a =”是“直线2y ax =-+与14a y x =-垂直”的必要不充分条件. 8．等差数列{}n a 的公差不为零，首项11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前项10之和是 （ ）A.90B.190C.145D.1009．已知函数⎩⎨⎧>+-≤+=0,20,2)(x x x x x f ，则不等式2)(x x f ≥的解集为 （ ） A.[21]-，B. [22]-，C. [11]-，D. [12]-， 10．若1()2f x x x =+-(2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ）A. 1B. 3C. 72D. 4 11．函数x x y ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．31012．下列结论中正确的是( )A. 导数为零的点一定是极值点.B. 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值.C. 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值.D. 如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值.13．双曲线C: )0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为( ) A 、y=±14x （B ）y=±13x （C ）y=±12x （D ）y=±x14．已知△ABC 的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ） A.1203622=+y x （x≠0） B.1362022=+y x （x≠0） C.120622=+y x （x≠0） D.162022=+y x （x≠0） 15．已知函数x x x f 3)(3-=，若过点)160(，A 且与曲线()y f x =相切的切线方程为16y ax =+，则实数a 的值是（ ）A.3-B.3C.6D.916．椭圆222x ＋y ＝1上的点到直线2x －y ＝7距离最近的点的坐标为（ ） A ．（－43，13） B ．（43，－13） C ．（－43，173） D ．（43，－173） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 17．不等式201x x -+≤的解集是 ． 18．}{n a 为等比数列，若3a 和7a 是方程2x ＋7x ＋9＝0的两个根，则5a ＝________.19．3223+-=x x y 的单调递减区间是 ． 20．已知F 的左焦点，是双曲线右支上的动点，(1,4),A P的最小值为 ． 三、解答题（21-27题，要写出必要的解题过程，共70分）21．(本题满分10分)已知等差数列{}n a 中， 3,131-==a a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 前k 项和35-=k S ，求k 的值。
甘肃省高台县第一中学高二上学期期末考试数学(理)试题
1.在等差数列中，已知a =2,a +a =13，则（ ） A. 42 B. 40 C. 43 D. 452. 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ） A ．p 真q 真 B ．p 假q 真 C ．p 真q 假D ．p 假q 假3.下列命题为真命题的是 ( ) A ．若，则 B ．若，则 C ．若，则 D ．若，则4. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55. 在三角形ABC 中，CBBC AB A sin sin ,7,5,120则=== 的值为 （ ） A ． B ． C ． D ．6. 若点A 的坐标为(3,2),F 为抛物线y 2=2x 的焦点,点P 是抛物线上的一动点,则|PA|+|PF|取最小值时点P 的坐标为 ( ) (A)(0,0) (B)(1,1)(C)(2,2) (D)（,1）7. 公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项，，则等于 （ ）A ．18B ．24C ．60D ．90 8.下列函数中，最小值为4的是 （ ）A ．B ．)0(sin 4sin π<<+=x xx yC ．D ．12122+++=x x y9.如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．10.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是 （ ）（A ）（） （B ）（） （C ）（） （D ）（） 11.以下命题：①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直；②已知平面的法向量分别为，则； ③两条异面直线所成的角为，则； ④直线与平面所成的角为，则.其中正确的命题是 （ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③④12．直线y=x-3与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点,过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P 、Q,则梯形APQB 的面积为 ( ) (A).72 (B).56 (C).64(D).48 第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 已知实数满足，则的取值范围是___ ___ _．14.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是__________。
甘肃省张掖市高二上册期末数学试卷(理)(有答案)
甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）抛物线y2=4的准线方程是（）A．=﹣1 B．=1 C．=﹣2 D．=22．（5分）数列{a n}满足a n=4a n﹣1+3（n≥2且n∈N*），a1=1，则此数列的第3项是（）A．15 B．255 C．20 D．313．（5分）命题“∃0∈R，f（0）＜0”的否定是（）A．∃0∉R，f（0）≥0 B．∀∉R，f（）≥0 C．∀∈R，f（）≥0 D．∀∈R，f（）＜0 4．（5分）在等差数列{a n}中，a2=5，a6=17，则a14=（）A．45 B．41 C．39 D．375．（5分）实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A．18 B．6 C．2 D．26．（5分）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（）A．B．C．D．8．（5分）设变量，y满足约束条件，则目标函数=+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）椭圆中，以点M（﹣2，1）为中点的弦所在的直线斜率为（）A． B．C．D．10．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2 B．2 C．2 D．411．（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=112．（5分）当|m|≤1时，不等式1﹣2＜m（2﹣1）恒成立，则的取值范围是（）A．（﹣1，3）B． C．（﹣3，1）D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式的解集是．14．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则数列{a n}的前n项和S n=．15．（5分）方程表示焦点在轴上椭圆，则实数的取值范围是．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{a n}的通项公式为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）命题p：关于的方程2+a+2=0无实数根，命题q：函数f（）=log a在（0，+∞）上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）解关于的不等式2a2﹣（2a+1）+1＞0（a＞0）．19．（12分）已知＞0，y＞0，且2+8y﹣y=0，求：（1）y的最小值；（2）+y的最小值．20．（12分）已知点P为曲线C：2+y2=4上的任意一点，过点P作轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在曲线C上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程，并说明点M轨迹是什么？21．（12分）已知各项都为整数的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=35，且a2，a3+1，a6成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n．22．（12分）如图，椭圆的两顶点A（﹣1，0），B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C，D两点，并与轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．（1）当|CD|=时，求直线l的方程；（2）当点P异于A，B两点时，求证：点P与点Q横坐标之积为定值．甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）抛物线y2=4的准线方程是（）A．=﹣1 B．=1 C．=﹣2 D．=2【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=4，其开口向右，且p=2，则其准线方程为：=﹣1；故选：A．2．（5分）数列{a n}满足a n=4a n﹣1+3（n≥2且n∈N*），a1=1，则此数列的第3项是（）A．15 B．255 C．20 D．31【解答】解：数列{a n}满足a n=4a n﹣1+3（n≥2且n∈N*），a1=1，a2=4a1+3=7，a3=4a2+3=31．故选：D．3．（5分）命题“∃0∈R，f（0）＜0”的否定是（）A．∃0∉R，f（0）≥0 B．∀∉R，f（）≥0 C．∀∈R，f（）≥0 D．∀∈R，f（）＜0【解答】解：∵命题“∃0∈R，f（0）＜0”是特称命题．∴否定命题为：∀∈R，f（）≥0．故选C．4．（5分）在等差数列{a n}中，a2=5，a6=17，则a14=（）A．45 B．41 C．39 D．37【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a2=5，a6=17得，=3，则a14=a6+（14﹣6）×3=17+24=41，故选：B．5．（5分）实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A．18 B．6 C．2 D．2【解答】解：实数a，b满足a+b=2，则3a+3b≥2=2=2=6，当且仅当a=b=1时，取得等号，即3a+3b的最小值是6．故选：B．6．（5分）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）；∴时，cos=1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或﹣；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．故选A．7．（5分）F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：由椭圆的定义，4a=16，a=4，又e==，∴c=2，∴b2=a2﹣c2=4，则椭圆的方程是故选D8．（5分）设变量，y满足约束条件，则目标函数=+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由=+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时最小．此时的最小值为=1+2×1=3，故选：B．9．（5分）椭圆中，以点M（﹣2，1）为中点的弦所在的直线斜率为（）A． B．C．D．【解答】解：设弦的两端点为A（1，y1），B（2，y2），点M（﹣2，1）为AB的中点，1+2=﹣4，y1+y2=2A（1，y1），B（2，y2），代入椭圆得，两式相减得+=0，可得﹣=，即==，∴弦所在的直线的斜率为，故选：D．10．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2 B．2 C．2 D．4【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4∴2p=4，可得=，得焦点F（）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2故选：C11．（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【解答】解：由题意得，曲线=1是焦点在y轴上的椭圆，且c===5，所以双曲线焦点的坐标是（0、5）、（0，﹣5），因为双曲线与曲线=1共渐近线，所以设双曲线方程为，即，则﹣64λ﹣36λ=25，解得λ=，所以双曲线方程为，故选：A．12．（5分）当|m|≤1时，不等式1﹣2＜m（2﹣1）恒成立，则的取值范围是（）A．（﹣1，3）B． C．（﹣3，1）D．【解答】解：构造函数f（m）=（2﹣1）m+2﹣1，则由题意f（m）在[﹣1，1]上恒大于0，∴，∴，∴﹣1+＜＜2．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式的解集是．【解答】解：原不等式等价于等价于（2﹣1）＜0解得故答案为（）14．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴a3+a5=40=q（a2+a4）=20q，解得q=2，∴20=a2+a4=a1（2+23），解得a1=2．则数列{a n}的前n项和S n==2n+1﹣2．故答案为：2n+1﹣2．15．（5分）方程表示焦点在轴上椭圆，则实数的取值范围是（，1）．【解答】解：∵方程表示焦点在轴上的椭圆，∴2﹣＞2﹣1＞0，解得＜＜1．∴实数的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2．【解答】解：数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4（n∈N*且n≥2），可得a n+2=3（a n+2），﹣1则数列{a n+2}为首项为3，公比为3的等比数列，可得a n+2=3•3n﹣1=3n，即有a n=3n﹣2．故答案为：a n=3n﹣2．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）命题p：关于的方程2+a+2=0无实数根，命题q：函数f（）=log a在（0，+∞）上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若2+a+2=0无实数根，则判别式△=a2﹣8＜0，得﹣2＜a＜2，即p：﹣2＜a＜2，函数f（）=log a在（0，+∞）上单调递增，则a＞1，即q：a＞1，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q一个为真一个为假，若p真q假，则，即﹣2＜a≤1，若p假q真，则，得a≥2，综上实数a的取值范围是a≥2或﹣2＜a≤1．18．（12分）解关于的不等式2a2﹣（2a+1）+1＞0（a＞0）．【解答】解：根据题意，因为a＞0，则2a2﹣（2a+1）+1＞0⇒（2a﹣1）（﹣1）＜0⇒（﹣）（﹣1）＜0，则方程2a2﹣（2a+1）+1=0有两个根，为1=，2=1，分3种情况讨论：①，＜1，即a＞时，不等式的解集为{|＞1或＜}；②，=1，即a=时，不等式的解集为{|≠1}；③，＞1，即0＜a＜时，不等式的解集为{|＞或＜1}；综合可得：当0＜a＜时，不等式的解集为{|＞或＜1}；当a=时，不等式的解集为{|≠1}；当a＞时，不等式的解集为{|＞1或＜}．19．（12分）已知＞0，y＞0，且2+8y﹣y=0，求：（1）y的最小值；（2）+y的最小值．【解答】解：（1）∵＞0，y＞0，2+8y﹣y=0，∴y=2+8y≥2，∴≥8，∴y≥64．当且仅当=4y=16时取等号．故y的最小值为64．（2）由2+8y=y，得：+=1，又＞0，y＞0，∴+y=（+y）•（+）=10++≥10+2=18．当且仅当=2y=12时取等号．故+y的最小值为18．20．（12分）已知点P为曲线C：2+y2=4上的任意一点，过点P作轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在曲线C上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程，并说明点M轨迹是什么？【解答】解：设P（0，y0），M（，y），D（0，0），∵M是PD的中点，∴，又P在圆2+y2=4上，∴02+y02=4，即2+4y2=4，+y2=1．∴线段PD的中点M的轨迹方程是+y2=1．轨迹是椭圆．21．（12分）已知各项都为整数的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=35，且a2，a3+1，a6成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n．【解答】（1）解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2，a3+1，a6成等比数列，∴（a3+1）2=a2a6，∵S5=35，∴=5a3=35，解得a3=7，∴，又d为整数，解得a1=1，d=3，∴a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2）证明：b n==，∴T n=+…++，3T n=1++…++，∴两式相减可得2T n=1+++…+﹣=1+3•﹣，化简可得T n=﹣，∴T n＜．22．（12分）如图，椭圆的两顶点A（﹣1，0），B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C，D两点，并与轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．（1）当|CD|=时，求直线l的方程；（2）当点P异于A，B两点时，求证：点P与点Q横坐标之积为定值．【解答】解：（1）由椭圆的焦点在y轴上，（a＞b＞0），由b=1，c=1，则a=，∴椭圆的标准方程：；当直线的斜率不存在时，|CD|=2，与题意不符，设直线l的方程为y=+1，C（1，y1），D（2，y2），，整理得（2+2）2+2﹣1=0，则1+2=﹣，1•2=﹣，∴|CD|====，解得=±．∴直线l的方程为﹣y+1=0或+y﹣1=0；（2）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为y=+1，（≠0，≠±1），设C（1，y1），D（2，y2），∴P的坐标为（﹣，0），P=，由（1）可知：1+2=﹣，1•2=﹣，直线AC的方程为y=（+1）①则直线BD的方程为y=（﹣1）②联立①②，解得：=，由y1=1+1，y2=2+1，代入上式得：=，不妨设1＞2，|1﹣2|=，∴1﹣2=，又1+2=﹣，1•2=﹣，代入①化简得=﹣，故点Q的横坐标为﹣，则P•Q=﹣×（﹣）=1，即点P与点Q横坐标之积为定值．。
张掖市高台县第一中学2013-2014学年高二上学期期末考试文科数学试题及答案
一、选择题（共16小题，每小题4分，共64分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，请选出。
） 1．"0"m <是2"()"f x x x m =++有实根的（ ） A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2．在等差数列{}n a 中，若32a =，则{}n a 的前5项和5S =（ ） A ．5 B ．10 C ．12 D ．153．若抛物线px y =2的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．-4 D ．8 4．曲线32x x y -=在x=-1处的切线方程为（ ） A ． 02=-+y x B ．02=--y x C ．02=++y xD ．02=+-y x5．在等比数列{}n a 中,若3578a a a =,则28a a = （ ） A ．4 B ．4- C ．2 D ．-26．设变量x ,y 满足约束条件:30,03,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩， 则2z x y =+的最大值为（ ）A.21B.-3C.15D.-15 7．下列有关命题的说法正确的是 ( )A ．命题“若,x y =则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.B ．常数数列一定是等比数列为真命题.C ．命题“,x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“,x R ∀∈均有210x x ++<” .D ．“2a =”是“直线2y ax =-+与14ay x =-垂直”的必要不充分条件. 8．等差数列{}n a 的公差不为零，首项11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前项10之和是 （ ）A.90B.190C.145D.100 9．已知函数⎩⎨⎧>+-≤+=0,20,2)(x x x x x f ，则不等式2)(x x f ≥的解集为 （ ）A.[21]-，B. [22]-，C. [11]-，D. [12]-，10．若1()2f x x x =+-(2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ） A. 1 B. 3 C. 72D. 411．函数xxy ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．31012．下列结论中正确的是( ) A. 导数为零的点一定是极值点.B. 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值.C. 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值.D. 如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值.13．双曲线C: )0,0(12222>>=-b a b y ax 的离心率为25，则C 的渐近线方程为( )A 、y=±14x B.y=±13x C.y=±12x D.y=±x14．已知△ABC 的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A.1203622=+y x （x≠0） B.1362022=+y x （x≠0） C.120622=+y x （x≠0） D.162022=+y x （x≠0） 15．已知函数x x x f 3)(3-=，若过点)160(，A 且与曲线()y f x =相切的切线方程为16y ax =+，则实数a 的值是（ ）A.3-B.3C.6D.916．椭圆222x ＋y ＝1上的点到直线2x －y ＝7距离最近的点的坐标为（ ）A ．（－43，13） B ．（43，－13） C ．（－43，173） D ．（43，－173） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）17．不等式201x x -+≤的解集是 ． 18．}{n a 为等比数列，若3a 和7a 是方程2x ＋7x ＋9＝0的两个根，则5a ＝________. 19．3223+-=x x y 的单调递减区间是 ．20．已知F 的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，的最小值为 ．三、解答题（21-27题，要写出必要的解题过程，共70分） 21．(本题满分10分)已知等差数列{}n a 中， 3,131-==a a （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 前k 项和35-=k S ，求k 的值。
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甘肃省张掖市高台县第一中学2013-2014学年高二上学期期末考试
数学（文）试题新人教B 版
一、选择题（共16小题，每小题4分，共64分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，请选出。
）
1．"0"m <是2"()"f x x x m =++有实根的（ ）
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2．在等差数列{}n a 中，若32a =，则{}n a 的前5项和5S =（ ）
A ．5
B ．10
C ．12
D ．15
3．若抛物线px y =2的焦点与椭圆22
162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．-4 D ．8
4．曲线3
2x x y -=在x=-1处的切线方程为（ ）
A ． 02=-+y x
B ．02=--y x
C ．02=++y x
D ．02=+-y x 5．在等比数列{}n a 中,若3578a a a =,则28a a = （ ）
A ．4
B ．4-
C ．2
D ．-2
6．设变量x ,y 满足约束条件:30,03,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
， 则2z x y =+的最大值为（ ）
A.21
B.-3
C.15
D.-15
7．下列有关命题的说法正确的是 ( )
A ．命题“若,x y =则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.
B ．常数数列一定是等比数列为真命题.
C ．命题“,x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“,x R ∀∈均有210x x ++<” .
D ．“2a =”是“直线2y ax =-+与14
a y x =-垂直”的必要不充分条件. 8．等差数列{}n a 的公差不为零，首项11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前项10之和是 （ ）
A.90
B.190
C.145
D.100
9．已知函数⎩⎨⎧>+-≤+=0
,20,2)(x x x x x f ，则不等式2)(x x f ≥的解集为 （ ）
A.[21]-，
B. [22]-，
C. [11]-，
D. [12]-，
10．若1()2
f x x x =+
-(2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ） A. 1 B. 3 C. 72
D. 4 11．函数x x y ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．
310
12．下列结论中正确的是( )
A. 导数为零的点一定是极值点.
B. 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值.
C. 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值.
D. 如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值. 13．双曲线C: )0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为2
5，则C 的渐近线方程为( ) A 、y=±14x （B ）y=±13x （C ）y=±12x （D ）y=±x
14．已知△ABC 的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ） A.1203622=+y x （x≠0） B.136
202
2=+y x （x≠0） C.120622=+y x （x≠0） D.16
202
2=+y x （x≠0） 15．已知函数x x x f 3)(3
-=，若过点)160(，A 且与曲线()y f x =相切的切线方程为16y ax =+，则实数a 的值是（ ）
A.3-
B.3
C.6
D.9
16．椭圆2
22
x ＋y ＝1上的点到直线2x －y ＝7距离最近的点的坐标为（ ） A ．（－43，13） B ．（43，－13） C ．（－43，173） D ．（43，－173
） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 17．不等式201
x x -+≤的解集是 ． 18．}{n a 为等比数列，若3a 和7a 是方程2x ＋7x ＋9＝0的两个根，则5a ＝________.
19．322
3+-=x x y 的单调递减区间是 ． 20．已知F
的左焦点，是双曲线右支上的动点，
的最小值为 ．
三、解答题（21-27题，要写出必要的解题过程，共70分）
21．(本题满分10分)已知等差数列{}n a 中， 3,131-==a a
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n a 前k 项和35-=k S ，求k 的值。
22.(本题满分10分)已知函数3()3f x x x =-
（1）求函数()f x 在3[3,]2
-上的最大值和最小值.
（2）求曲线()y f x =在点))2(2(f P ，处的切线方程.
22.(本题满分12分)若双曲线与椭圆1251622=+y x 有相同的焦点，与双曲线12
22=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程.
(1,4),A P
25.(本题满分12分) 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为)1,0(-B ，且其右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.
（1）求椭圆方程；
（2）设直线过定点)2
3,0(Q ，与椭圆交于两个不同的点N M ,，且满足BN BM =，求直线的方程.
26.(本题满分14分)函数c bx ax x x f +++=23)(，过曲线)(x f y =上的点))1(,1(f P 的切线方程为.13+=x y .
（1）若)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 的表达式；
（2）若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围.
那么2223a b c =+=,∴椭圆方程为2
213x y +=.
(2)若直线斜率不存在时，直线即为y 轴，此时,M N 为椭圆的上下顶点， 0,2BN BM ==，不满足条件；
故可设直线:3(0)2y kx k =+≠,与椭圆2
213x y +=联立，
消去y 得： ()221513904k x kx +++=. 由()()2215
9k 413k 04∆=-+⋅>，得25
12k >. 由韦达定理得122913k
x x k +=-+ 而2
121229()3313k y y k x x k +=++=-++ 设1122(,),(,)M x y N x y 的中点00(,)P x y ，则12
1
2
00,22
x x y y x y ++== 由BN BM =，则有BP MN ⊥.
2
12201202
95111
1329
132BP y y k y k k x x k x k
k +-++++==
==-+-+。