高等数学上册第一到第三章复习资料

高等数学上册第一到第三章复习资料

写在前面：小伙伴们，高数是比较重的一门课，以下内容我可以保证是在问过罗老师后总结的

第一章函数与极限

总说：1.第一节至第三节是概念问题，小伙伴们只需要了解。但是在这里有个函数极限的定义，下面我会列出

2.第四、五、六、七节可以说是第一章重点了，牵扯到极限的运算。

3.第八、九、十节也是概念居多，而且与第二章函数导数牵扯较大。在第十节，零点定理与介值定理也是重点

二、极限运算的各种定理与推论（极限运算的基础）x 0是x 0+ x 0- 1.定理1：有限个无穷小的和也是无穷小

2.定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

3.定理3：如果limf ﹙x ﹚=A ，limg ﹙x ﹚=B ，那么：

﹙1﹚lim[f ﹙x ﹚±g ﹙x ﹚]=lim f ﹙x ﹚±limg ﹙x ﹚=A ＋B ﹙2﹚lim[f ﹙x ﹚·g ﹙x ﹚]= lim f ﹙x ﹚·limg ﹙x ﹚=A ·B

﹙3﹚若有B ≠0，则 lim [f ﹙x ﹚/ g ﹙x ﹚]= limf ﹙x ﹚/ limg ﹙x ﹚=A/B 4.定理4：设有数列﹛x n ﹜和﹛y n ﹜，如果

lim n →∞

x n =A ， lim n →∞

y n =B 那么：

（1）lim n →∞

（x n ±y n ﹚=A ±B

（2） lim n →∞

x n ·y n =A ·B

（3）当n x 0(1,2,3...)B 0lim n n n

A

y n y B →∞≠=≠=且时， 5.定理5：

[][][]0

000

0,00()()lim (),lim (),

(),g(x)u ,lim ()lim ()x x

u u x x u u y f g x g x g x u f u A x f g x f u A

δ→→→→===∈≠== 设函数是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f 在点x 的某去心邻域内有定义，若且存在x 有则：

4.推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小

5.推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小

6.推论3：如果limf(x)存在,而c 为常数，则：[]lim ()lim ()cf x c f x =

7.推论4：如果limf(x)存在，而n 是正整数，则：[][]lim ()lim ()n

n

f x f x = 二、无穷小的比较处公式：（可根据题干变换x ）

1

1n

x 等价于 arcsinx x 等价于 sinx x 等价于

211-cos x 2x 等价于 1sec cos x x

等价于 tan tx x

等价于

三、重要极限：

0sin lim

1x x x →= 1lim 1x

x e x →∞⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

四、零点定理与介值定理：

1.零点定理：设函数f(x)在闭区间[a ，b ]上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在开区间﹙a ，b ﹚内至少有一点ξ ，使：f(ξ)=0

2.介值定理：设函数f(x)在闭区间[a ，b ]上连续，且在这区间的端点取不同的值f （a ）=A f(b)=B,那么，对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间（a,b ） 内至少有一点ξ ，使：f(ξ)=C （a<ξ

第二章 导数与微分

总说：这一章可以说是前半本书的重点，它不仅与极限联系，而且与后面的积分息息相关，这章必须融会贯通。

1. 关于第一、二节，高中已经学过不再赘余，只说下反函数的求导。（导数表详见p95页，最好背过）

2. 第三、四、五节重点来了，也就是隐函数，高阶导数，参数方程的求导以及函数的微分。

一、 反函数的求导：11

()=x f x f -⎡⎤⎣⎦′′（） 或dy 1dx

dx dy

=

二、 高阶导数：高中有过接触，二阶导数，三阶导数、、、、此处指出初等函数

的n 阶导数（考试出题可以代入） 1.()

()

n x

x e

e = ()

()

cosx cos +n 2n x π⎛

⎫= ⎪⎝⎭ ()()s i n x s i n 2n x n π⎛

⎫=

+ ⎪⎝

⎭

()()

()()()

1

1!ln 111n n n

n x x --+=-⎡⎤⎣⎦

+ 2.布尼茨公式：（简单记忆的方式）

()()()0n

n

k k n k n k u v C u v -=+=∑ （详细的此处不列出，可见p102）

三、 隐函数与参数方程函数的求导

1.隐函数的求导很简单，总结一下吧：就是将x ，y 统一求导（注意：y 的导数为yy ′）然后把y ′解出来即可。（说的有不足之处，还是看不懂的一定翻书p105，做做例题，考试这块绝对有）

2.参数方程确定的函数的求导：（这里指出方法，不作赘余）如:

()()

()()x t dy t y t dx t ϕψψϕ===′′的一阶导数为 )())()

()

dy t t dx t ψϕψϕϕ-=′′′′′′′3

(t (t 二阶导数为

四、函数微分

1.定义：设函数y=f(x)在某区间内有定义，x 0+Δx 在这区间内，如果增量Δy=f （x 0+Δx ）-f （x 0） 可表示为Δy=A Δx=οΔx ，其中A 是不依赖于Δx 的常数，那么称函数y=f(x)在x 0 是可微的，而A Δx 叫做函数y=f(x)在点 x 0 相当于自变量增量 Δx 的微分，记做dy,即：dy= A Δx(很抽象的概念，但是这部分选择题填空题应该会出，但不会是概念，而是计算)

2.微分的计算

大致是把导数反过来，导数的求法熟悉了，这块不是问题 3.近似计算：Δy= f （x 0+Δx ）-f （x 0）≈f ′(x 0) Δx

f （x 0+Δx ）≈f （x 0）＋f ′(x 0) Δx f(x) ≈f （x 0）＋f ′(x 0)（x-x 0）

第三章 微分中值定理与导数的应用

总说：这章特别重要，我会一节一节的罗列。

第一节 微分中值定理

一、 罗尔定理： 如果函数f(x)满足

（1） 在闭区间[a,b ]上连续 （2） 在开区间（a,b ﹚内可导

（3） 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b) 那么，在区间（a,b ﹚内至少存在一点ξ ()a b ξ<< ，使得()0f ξ=′ 二、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足

（1） 在闭区间[a,b ]上连续 （2） 在开区间（a,b ﹚内可导 那么，在区间（a,b ﹚内至少存在一点ξ

()a b ξ<<

，使等式

()()()()b f f a f b a ξ-=-′

成立 三、 柯西中值定理：如果函数f(x)、F (x)满足

（1） 在闭区间[a,b ]上连续 （2） 在开区间（a,b ﹚内可导

（3） 对于任意(,),()0x a b F x ∈≠′

那么，在区间（a,b ﹚内至少存在一点ξ，使等式

()()()()()

()

f b f a

f F b F a

F ξξ-=-′

′ 成立 （注：这节定理主要还是应用，注意做课后习题） 第二节 洛必达法则

第二节洛必达法则这并没有什么要说的，这节主要还是练习，熟能生巧，还有这节考试必考！

第三节泰勒公式（有多少人愁这个？）

注：这节怎麽说呢，有可能出题也有可能不出，出的话肯定是难题，我还是先罗列定理，还有这节须熟记3个展开式，后面我会列出。