三角函数、平面向量专题试题集

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高考数学《三角函数与平面向量》专项训练及答案解析

高考数学《三角函数与平面向量》专项训练一、单选题1．已知()1,2a =r ，()1,0b =r ，则2a b +=r r （） A ．5 B ．7 C ．5 D ．25 2．若3sin 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．12 B ．12-C ．32D ．3- 3．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==r r ，则向量a r 与b r 的夹角的余弦值为（） A ．35 B ．45 C ．35- D ．45- 4．若4sin 3cos 0αα-=，则2sin 22cos αα+=（）A ．4825B ．5625C ．85D ．43 5．将函数()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象．若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，则12x x -的最大值为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 6．已知042a ππβ<<<<，且5sin cos 5αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（） A ．31010- B ．155- C ．155 D ．310 7．如图，已知ABC ∆中，D 为AB 的中点，13AE AC =uu u r uuu r ，若DE AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（）A ．56-B ．16-C ．16D ．568．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A =，则ABC ∆形状是（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 9．如图，在ABC V 中，1cos 4BAC ∠=，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，15AD =，则ABC V 的面积的最大值为（）A ．32B ．4C 15D ．2310．在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知25c =2sin cos sin sin a C B a A b B =-+5sin C ，点O 满足0OA OB OC ++=uu v uu u v uuu v ，3cos 8CAO ∠=，则ABC △的面积为（）A 55B ．35C ．52D 55二、填空题11．sin 613cos1063tan 30︒︒︒++的值为________.12．函数()21sin f x x =+的最小正周期是__________． 13．如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形上的动点，则131A A A P⋅u u u u r u u u r 的取值范围________.14．将函数()3)13f x x π=+-的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质__________．（填入所有正确性质的序号） 33x π=-对称； ②图象关于y 轴对称；③最小正周期为π； ④图象关于点(,0)4π对称； ⑤在(0,)3π上单调递减三、解答题15．若向量(3,0)(cos ,sin )(0)m x n x x ωωωω==->r r ，在函数()()f x m m n t =⋅++r r r 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为,4π且当[0,],()3x f x π∈时的最大值为1．（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()f x 的单调递增区间．16．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin 32B m ⎛= ⎝u r ，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，且m n ⊥u r r .（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）如果1a =，3b =，求ABC ∆的面积.17．如图所示，在ABC V 中，,A ∠,B ∠C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos sin 0,b A B a B +=1a =，2c =.（1）求b 和sin C ；（2）如图，设D 为AC 边上一点，37BD CD =ABD △的面积.参考答案1．C【解析】【分析】求出向量2a b +r r 的坐标，然后利用向量模的坐标表示可求出2a b +r r 的值.【详解】()()()221,21,03,4a b +=+=r r Q，因此，25a b +==r r .故选：C.【点睛】本题考查向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.2．A【解析】【分析】根据条件和二倍角公式，先计算出cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再将所要求的2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式进行化简，得到答案.【详解】因为sin 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2cos 21262πα⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12=- 2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 12=.【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.3．B【解析】【分析】由向量的模的坐标计算公式求出,a b r r ，利用数量积的坐标表示求出a b ⋅r r ，再根据向量的夹角公式即可求出．【详解】由()()2,1,2,4a b ==r r，得a b ==r r .设向量a r 与b r 的夹角为θ，则84105cos θ===．故选：B ．【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．4．B【解析】【分析】由4sin 3cos 0αα-=，求得3tan 4α=，再由222tan 2sin 22cos tan 1αααα++=+，即可求出．【详解】由4sin 3cos 0αα-=，求得sin 3tan cos 4ααα==，而222222sin cos 2cos 2tan 2sin 22cos sin cos tan 1ααααααααα+++==++，所以22322564sin 22cos 25314αα⨯++==⎛⎫+ ⎪⎝⎭．故选：B ．【点睛】本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于5．C【解析】【分析】首先利用函数图象的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果．【详解】解：函数()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到226y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向上平移1个单位，得到()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，由于若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以函数在1x x =和2x 时，函数()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭都取得最大值．所以()12262x k k Z πππ+=+∈，解得16x k ππ=+，由于且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以176x π=，同理2116x π=-，所以711366πππ+=．故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题．6．D【解析】【分析】首先根据sin cos 5αα-=，求得sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合角的范围，利用平方关系，求得cos 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用题的条件，求得3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后将角进行配凑，使得()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用正弦的和角公式求得结果. 【详解】因为sin cos αα-=sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为42a ππ<<，所以cos 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 因为04πβ<<，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3455=+= 故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.7．C【解析】【分析】利用向量的线性运算将DE u u u r 用,AB AC u u u r u u u r表示，由此即可得到,λμ的值，从而可求λμ+的值.【详解】因为1123DE DA AE BA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()111111236363BA BC BA BA BC AB BC =+-=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以16λ=-，13μ=.故16λμ+=. 故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.8．D【解析】【分析】由cos cos a B b A=，利用正弦定理化简可得sin2A ＝sin2B ，由此可得结论．【详解】∵cos cos a B b A=， ∴由正弦定理可得sin cos sin cos A B B A =， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∴2A ＝2B 或2A +2B ＝π，∴A ＝B 或A +B ＝2π， ∴△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形故选：D ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.9．C【解析】【分析】设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠，根据三角形的面积公式求出AC ，AB ，然后由1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠()4213sin θϕ⎡⎤=+-⎣⎦，根据三角函数的性质求出面积的最大值．【详解】解：设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠．3BD DC =Q ，AD =，34ABD ABC S S ∴=V V ，131242AB ADsin AB ACsin BAC θ∴⋅=⋅⋅∠， 83AC sin θ∴=，同理()8AB sin BAC θ=∠-，()1124ABC S AB ACsin BAC sin BAC sin θθθθθ⎫∴=⋅∠=∠-=-⎪⎪⎝⎭V()421(sin θϕ⎤=+-⎦其中tan ϕ=，0BAC θ<<∠Q ，∴当22πθϕ+=时，sin(2)1max θϕ+=，()ABC max S ∴=V故选：C ．【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．10．D【解析】【分析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.【详解】由2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-+，可得2222222a c b ac a b ac +-⨯=-+，即c =.又c =，所以4b =．因为0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v ，所以点O 为ABC △的重心，所以3AB AC AO +=u u u v u u u v u u u v ，所以3AB AO AC =-u u u v u u u v u u u v，两边平方得22|9|6cos AB AO AO AC CAO =-∠u u u v u u u v u u u v u u u v 2||AC +u u u v ．因为3cos 8CAO ∠=，所以2223|9|6||8AB AO AO AC AC =-⨯+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，于是29||AO -u u u v 940AO -=u u u v ，所以43AO =u u u v ，AOC △的面积为114sin 4223AO AC CAO ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯u u u v u u u v =.因为ABC △的面积是AOC △面积的3倍.故ABC △【点睛】本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.11【解析】【分析】根据诱导公式，进行化简，从而得到答案.【详解】sin 613cos1063tan 30︒︒︒++()sin 253cos 17tan30︒︒︒=+-+()sin 73cos 17tan30︒︒︒=-+-+=cos17cos17tan 30︒︒︒-++=故答案为：3【点睛】本题考查诱导公式化简，特殊角三角函数值，属于简单题.12．π【解析】【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的周期公式，即可求得函数的最小正周期．【详解】因为()21cos 2311sin 1cos 2222x f x x x -=+=+=-，所以函数的最小正周期为22T ππ==．故答案为：π．【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用以及余弦型函数的周期公式的应用，属于基础题．13．⎡-+⎣【解析】【分析】由题意可知，当P 与8A 重合时，131A A A P ⋅u u u u r u u u r 最小，当P 与4A 重合时，131A A A P⋅u u u u r u u u r 最大，求出即可. 【详解】由题意，正八边形12345678A A A A A A A A 的每一个内角均为135o ，且边长12182A A A A ==u u u u r u u u u r ，1317A A A A ==u u u u r u u u u r ，由正弦函数的单调性及值域可知，当P 与8A 重合时，131A A A P ⋅u u u u r u u u r最小，且最小值为2cos112.5⎛⨯==-⎝⎭o当P与4A重合时，1318A A A P⋅==+u u u u r u u u r因此，131A A A P⋅u u u u r u u u r的取值范围是⎡-+⎣.故答案为：⎡-+⎣.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算以及数形结合思想的应用，解题的关键就是找出临界位置进行分析，考查计算能力，属于中等题.14．②③④【解析】将函数()213f x xπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到2133y xππ⎡⎤⎛⎫=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()211x xπ=+-=-的图象向上平移1个单位长度，得到函数()g x x=的图象，对于函数()g x，由于当3xπ=-时，()g x=故()g x图象不关于直线3xπ=-对称，故排除①；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故②正确；它的最小周期为22ππ=，故③正确；当4xπ=时，()0g x=，故函数的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故正④确；在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上，()220,,3x g xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不是单调函数，故排除⑤，故答案为②③④.【方法点晴】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的周期性及奇偶性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．15．3()),32[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时55222,2612125()[,]()121212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈L L L L 函数的单调递增区为分【解析】解：（I ）由题意得()()f x m m n t =⋅++r r r 2m m n =+⋅r r r23sin cos 33cos 222223)432x x x tx x t x t ωωωωωπω=⋅+=-++=-++L L L L 分 ∵对称中心到对称轴的最小距离为4π ()f x ∴的最小正周期为T π=2,12ππωω∴=∴=………………6分3()),32[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时 2,()333x x f x πππ∴-==即时取得最大值3t +)max (1,31,21()).832x f t t f x x π=∴+=∴=-∴=--n Q L L L L L L 分（II ）222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈………………10分55222,2612125()[,]()121212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈L L L L 函数的单调递增区为分16．（Ⅰ）23π；. 【解析】【分析】（Ⅰ）由m n ⊥u r r 得出0m n ⋅=u r r ，利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数关系可求得tan B =，结合B 的范围可得出角B 的值；（Ⅱ）利用余弦定理求出c 的值，然后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积.【详解】（Ⅰ）m n ⊥u r r Q ，2sin cos sin 022B B m n B B B ∴⋅==+=u r r .化简得：tan B =，又0B Q π<<，23B π∴=；（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，2221122c c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，整理得220c c +-=，解之得：1c =，11sin 1122ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算，涉及平面向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.17．(1)b =7；【解析】【分析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cos B 的值，再利用余弦定理，求出b ，根据正弦定理，求出sin C ；（2）根据正弦定理得到sin 1CBD ∠=，即2CBD π∠=，根据勾股定理得到BD =，根据三角形面积公式，求出ABD △的面积.【详解】（1）因为2sin cos sin 0b A B a B +=，所以在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin sin cos sin sin 0B A B A B +=，因为sin sin 0A B ≠，所以2cos 10B +=，所以1cos 2B =-，又0B π<<，所以23B π=，由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-1142122⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭7=，所以b =，在ABC V 中，由正弦定理sin sin c b C B =，所以sin sin c BC b=22sin π=7=；（2）在ABD △中，由正弦定理得，sin sin BD C CD CBD =∠，因为BD CD =sin sin C CBD =∠因为sin 7C =，所以sin 1CBD ∠=，而()0,CBD π∠∈ 所以2CBD π∠=，由BD CD =,BD=CD =，所以222)1)+=，所以12t =，所以2BD =，因为ABD ABC DBC ∠=∠-∠232ππ=-6π=，所以1sin 2ABD S AB BD ABD =⨯⨯∠V 11222=⨯4=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.。

三角函数和平面向量专题练习2

26 π 且与点 A 相距10 13 海里 45° + θ , sin , 0 θ = < θ < 26 2
北
B
的位置 C 处 (1) 求该船的行驶速度.
西
A
45° θ
C D
东
(2) 若该船不改变航行方向,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
P E Q
20 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长, R 表示 ∆ABC 的外接圆半径 (1)如图在 O 以为圆心,半径为 2 的 O 中, BC , BA 分别是 O 的弦,其中 BC = 2, ∠ABC = 45° ,求弦 AB 的长 (2)在 ∆ABC 中,若 ∠C 为钝角,求证: a 2 + b 2 ≤ 4 R 2 (3)给定三个正实数 a, b, R ,其中 a ≥ b ,问 a, b, R 满足怎样的关系是时,以 a, b 为边长,以 R 为外接圆半径的 ∆ABC 不存在,存在一个,或存在两个(全等的三角形算作同一个 ), 在 ∆ABC 存在的情况下 ,用 a, b, R 表示c
uuu r uuur
1 2
16. 在三角形 ABC 中, 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长,已知
∠B = 45° , b = 10, cos C = 2 5 5
(1)求边长 BC 的值 (2 若 AB 的中点为 D ,求中线 CD 的值.
2/8
π π 17. 已知函数 f ( x ) = 2 sin x + − 2 cos x, x ∈ , π 6 2
2 n 为偶数时, ○
f n (θ ) = sin n θ + cos n θ ,∴ f n′ (θ ) = n sin n −1 θ ⋅ cos θ − n cos n −1 θ sin θ = n sin θ cos θ ( sin n − 2 θ − cos n − 2 θ )

三角函数平面向量优秀数学复习题目精选(适合复习用)

D. ��
C【解析】 a 3b
2
a 3b
2
2
a 9 b 2 a 3b

1 9 213 1
13
2
4. 已知 �� (�� + ��) = ��，那么 �� = ( )
D. �� + �� = ��
C【解析】因为 ��，��，�� 三点共线，所以 ��⃗⃗⃗��⃗��⃗⃗�� = ��⃗⃗��⃗⃗��⃗��(�� ≠ ��)，即 ��⃗�� + ��⃗�� = ��(��⃗�� + ��⃗��) = ��⃗�� + ��⃗��(�� ≠ ��)．又因为 ��⃗��，��⃗�� 不共线，所以 {��==��,��. 所以 �� = ��． 7. 函数 ��(��) = �� + √�� 的最大值和周期分别为 ( )
��
3. 已知 ��⃗��，��⃗�� 均为单位向量，它们的夹角为 ��∘，那么 ∣ ��⃗�� + ��⃗�� ∣ 等于 ( )

专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)

专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化．第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值．【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值．【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ，解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。

必修四三角函数与平面向量高考类型经典题及答案

高考类型经典题及答案一、选择题1 ．若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2θ,则sin θ= （）A ．35 B ．45C．4D ．342 ．已知,(0,π),则=（）A ． 1B ．C ．D ．13．若tan +=4,则sin2= （）A ．B ．C ．D ．4．已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos 2α= （）A．B．CD5．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152 6．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．57．[2014·广东韶关一模] 已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A.37 B ．13 C ．6 D.1278．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y .设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2sin cos αα-=α∈tan α-2-2θ1tan θθ151413129．如图X191所示，在三角形ABC 中，BD ＝2CD .若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )图X191A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.23a －13b D.23a －23b10．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是=（）．A. 7 ＋1B. 7 -1C. 7D. 2711．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.71212．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.1728D.10二、填空题13．设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____. 14．函数f(x)=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示,其中,P 为图像与y 轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,B 为图像的最低点.若6πϕ=,点P 的坐标为(0,2),则ω=______ ; 15．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．16．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．三、解答题17． (本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)设()4cos()sin cos(2)6f x x x x πωωωπ=--+,其中.0>ω(Ⅰ)求函数()y f x = 的值域(Ⅱ)若()f x 在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值.18．函数2()6cos3(0)2xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. (Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;(Ⅱ)若0()5f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.19．函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π, (1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.20．在中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求的值.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；ABC ∆cos B sin sin A C(2)当k ＝－115时，求(AB →－kOC →)·OC →的值．22．已知△ABC 中，角A 为锐角，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .设向量m ＝(cos A ，sin A )，n ＝(cos A ，－sin A )，且m 与n 的夹角为π3.(1)计算m ·n 的值并求角A 的大小；(2)若a ＝7，c ＝3，求△ABC 的面积S .答案一、选择1. 【解析】因为]2,4[ππθ∈,所以],2[2ππθ∈,02cos <θ,所以812s i n 12c o s 2-=--=θθ,又81sin 212cos 2-=-=θθ,所以169sin 2=θ,43sin =θ,选D.2. 【答案】A【解析一】,故选A【解析二】,故选A【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中.3. D 【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===,所以.1sin 22θ=. 【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式sin tan cos θθθ=转化;另外,22sin cos θθ+在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 4. 答案A【解析】sin cos αα+=, 两边平方可得121sin 2sin 233αα+=⇒=- sin cos )sin()144ππαααα-=-=∴-=3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=-，2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-∴-=∴=-33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=-α是第二象限角,因此sin 0,cos 0αα><,所以cos sin αα-===22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )3ααααααα∴=-=+-=-法二:单位圆中函数线+估算,因为α是第二象限的角,又1sin cos2αα+所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故2cos α的“余弦线”应选A .5． [解析] ∵2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)，又(2a －3b )⊥c ，∴(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.6．A [解析] 由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1.7．D [解析] 由AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λ(AB →)2＋(AC →)2－AC →·AB →＝0，得－3λ－4λ＋9＋3＝0，解得λ＝127.8．D [解析] 对于A ，当a ＝0，b ≠0时，不等式不成立；对于B ，当a ＝b ≠0时，不等式不成立；对于C ，D ，设OA →＝a ，OB →＝b ，构造平行四边形OACB ，根据平行四边形法则，∠AOB 与∠OBC 至少有一个大于或等于90°，根据余弦定理，max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2成立，故选D.9．A [解析] ∵BC →＝AC →－AB →＝b －a ，∴BD →＝23BC →＝23b －23a ，∴AD →＝AB →＋BD →＝a ＋23b －23a ＝13a＋23b . 10．A [解析] 由|CD →|＝1，得动点D 在以C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D(3＋cos α，sin α)，所以OA ＋OB ＋OD ＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA ＋OB ＋OD|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin (α＋φ)，所以(|OA →＋OB →＋OD →|2)max＝8＋27，即|OA →＋OB →＋OD →|max ＝7 ＋1.11．C [解析] 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE ＝λBC 得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3（λ－1），即点E (λ，3(λ－1))．由DF →＝μDC →得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3（1－μ），即点F (μ，3(1－μ))．又∵AE ·AF ＝(λ＋1，3(λ－1))·(μ＋1，3(1－μ))＝1，①CE →·CF →＝(λ－1, 3(λ－1))·(μ－1,3(1－μ))＝－23.②①－②得λ＋μ＝56.12．B [解析] 由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝ 1y 1＋y 2(x －y 21)，令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝18(9|y 1|＋8|y 2|)≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 22时，取y 1＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B. 二、填空13 【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数. 【解析】∵α为锐角,即02<<πα,∴2=66263<<πππππα++.∵4cos 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴3sin 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭.∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2427217==2252550-14. 【答案】(1)3;(2)4π 【解析】(1)()y f x '=cos()x ωωϕ=+,当6πϕ=,点P 的坐标为时 cos36πωω=∴=; (2)由图知222T AC ππωω===,122ABCS AC πω=⋅=,设,A B 的横坐标分别为,a b . 设曲线段ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰,由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABCSP Sππ===. 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点P 在图像上求ω, (2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得.15．90° [解析] 由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC 与AB 的夹角为90°.16 . 12 [解析] 因为向量a ∥b ，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12.三、解答题17. 【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,从而解得ω的取值范围,即可得ω的最在值. 解:(1)()14sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x xx ωωωωω=++- 21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤,所以函数()y f x =的值域为1⎡⎣(2)因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数,故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立,此时必有0k =,于是32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得16ω≤,故ω的最大值为16. 18. [解析](Ⅰ)由已知可得:2()6cos3(0)2xf x x ωωω=->=3cos ωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以,函数]32,32[)(-的值域为x f(Ⅱ)因为，由538)(0=x f (Ⅰ)有，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin 320⨯+⨯=+++=ππππππx x567= [点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.19.解析:(1)∵函数()f x 的最大值为3,∴13,A +=即2A =∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,∴最小正周期为T π= ∴2ω=,故函数()f x 的解析式为sin(2)16y x π=-+(2)∵()2sin()1226f απα=-+=即1sin()62πα-=∵02πα<<,∴663πππα-<-<∴66ππα-=,故3πα=20. 【答案及解析】(1)由已知 (2)解法一:,由正弦定理得解法二:,,由此得得所以, 【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.21．解：(1)由题意，得AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)．故所求两条对角线的长分别为4 2，2 10. (2)∵OC →＝(－2，－1)，AB →－kOC →＝(3＋2k ，5＋k )，12=+,++=,=,cos =32B AC A B C B B ππ∴2=b ac 23sin sin =sin =4A CB 2=b ac 222221+-+-=cos ==222a c b a c ac B ac ac22+-=,a c ac ac =a c ===3A B C π3sin sin =4A C∴(AB →－kOC →)·OC →＝(3＋2k ，5＋k )·(－2，－1)＝－11－5k .∵k ＝－115，∴(AB →－kOC →)·OC →＝－11－5k ＝0. 22．解：(1)∵|m |＝cos 2A ＋sin 2A ＝1，|n |＝cos 2A ＋（－sin A ）2＝1，∴＝||·cos π3＝12. ∵m ·n ＝cos 2A －sin 2A ＝cos 2A ，∴cos 2A ＝12. ∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝π3，∴A ＝π6. (2)方法一：∵a ＝7，c ＝3，A ＝π6，且a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴7＝b 2＋3－3b ，解得b ＝－1(舍去)或b ＝4，故S ＝12bc sin A ＝ 3. 方法二：∵a ＝7，c ＝3，A ＝π6，且a sin A ＝c sin C， ∴sin C ＝c sin A a ＝32 7. ∵a >c ， ∴0<C <π6，∴cos C ＝1－sin 2C ＝52 7. ∵sin B ＝sin(π－A －C )＝sin π6＋C ＝12cos C ＋32sin C ＝27， ∴b ＝a sin B sin A ＝4，故S ＝12bc sin A ＝ 3.。

三角函数与平面向量测试卷

分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题只目要求的）
（ｓ（ｔ口Ｃ）ｉＯ＋）＞ｓ（－３ｎｉ／ｎ）（）。（ＣＳ＋＞ＣＳ一）Ｄ）Ｏ（卢）Ｏ（卢
１记ＣＳ一８。，么ｔｌ０：．Ｏ（０）＝那ａ０。ｎ
（）盯Ａ８（４；Ｂ）１（）＂Ｃ２ｒｒ（１Ｄ）『（ｎＡ）（）Ｂｂ（ｃＣ）（０Ｄ）
（）。
ｌ．函数，）＝。ｘ３０将（＋３＋ｘ的图像按向量口平移后得到函数ｇｘ的图像，函数ｇ）（）若（满足ｇ）＋（
一
过的Ａ弧的长为ｌ弦ＡＰ，Ｐ的长为ｄ，
则函数ｄ＝（），１的图像大致为
（
ｄ
２
（）ｓＢ的值；Ｉ求ｉｎ（Ｉ若ｃａ＝而，ＡＢＩ） — ５一求ＡＣ的面积。
１．本小题满分１）８（２分
１．图，点是单位圆上１如设
的一定点，点Ｐ从Ａ出发在圆上动
Ｙ、
１．本小题满分１）７（２分在ＡＢＡＣ中，Ａ、Ｃ所对的边分别为ａｂｃ且角Ｂ、、、，
ｃ＝，ｉＡ＝鱼ｓｎ５。
按逆时针方向转一周，Ｐ所旋转点
得一游船位于岛北偏东１。向５方上，且俯角为３。Ｃ处，０的一分钟后测得该游船位于岛北偏西７。向上，俯角４。Ｄ处。（５方且５的假设游船匀

三角函数、解三角形和平面向量专题训练

三角函数、解三角形和平面向量专题训练1. 已知函数22()2sin ()23cos 3.4f x x x π=--+（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）求()f x 2[0,]6m x π<+∈在上恒成立，求实数m 的取值范围.2. 如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P ,是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ .（1）若⎪⎭⎫⎝⎛54,53Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()αf =OP ·OQ ，求()αf 的值域．3. 已知函数)2cos()2cos(2)(x x x f --=ππ.（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）当]2,0[π∈x 时，求函数x x f x g 2cos )()(+=的最大值和最小值.4. 在△ABC 中，已知角A 为锐角，且()212cos 2sin 2cos 2sin 12cos )(22++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=A A A AA A f . （1）将()A f 化简成()()N wA M A f ++=φsin 的形式；（2）若2,1)(,127===+BC A f B A π，求边AC 的长.5. 在ABC ∆中，已知54cos ,450==B A . （1）求C cos 的值；（2）若10=BC ，D 为AB 的中点，求CD 的长.6. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，2=+c b ，ABC ∆的面积为43. （1）求A 的最大值;（2）当角A 最大时，求a .7. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，58222bc b c a -=-，a =3，△ABC 的面积为6.（1）求角A 的正弦值；（2）求边b ，c.8. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足5sin25A =，10是b ，c 的等比中项．（1）求ABC ∆的面积；（2）若2c =，求a 的值．9. 在ABC ∆中，已知内角3π=A ,边32=BC .设内角,x B =面积为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值.10. 锐角ABC △中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知22sin 3A =．（1）求22tansin 22B C A ++的值；（2）若2a =，2ABC S =△，求b 的值．11. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，向量⎪⎭⎫ ⎝⎛-=712,sin 1A p ，()A A q sin 2,2cos =，且//p q .（1）求sin A 的值；（2）若2,b =ABC ∆的面积为3，求a ．12. 已知向量()()()0,1,cos ,cos ,sin ,cos -=-==c x x b x x a .（1）若6π=x ，球向量c a ,的夹角；（2）当]89,2[ππ∈x 时，求函数12)(+⋅=b a x f 的最大值.13. 已知点()()a x N x M ++2sin 3,1,1,2cos 1（a R a R x ,,∈∈是常数），设ON OM y ⋅=（O 为坐标原点）.（1）求y 关于x 的函数关系式()x f y =，并求()x f 的最小正周期；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，()x f 的最大值为4，求a 的值，并求()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值.。

高考数学(理)二轮专题练习：三角函数、解三角形、平面向量(含答案)

三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与 θ终边同样 (α的终边在 θ终边所在的射线上 )? α＝ θ＋ 2k π(k ∈ Z )，注意：相等的角的终边必定同样，终边同样的角不必定相等．随意角的三角函数的定义：设α是随意一个角， P(x ， y)是 α的终边上的随意一点 (异于原点 ) ，它与原点的距离是 r ＝ x 2＋y 2>0，那么 sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ y(x ≠ 0)，三角函数值只与角r r x 的大小相关，而与终边上点P 的地点没关．[问题 1] 已知角 α的终边经过点 P(3，－ 4)，则 sin α＋ cos α的值为 ________．答案－152．同角三角函数的基本关系式及引诱公式 (1) 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1.sin α (2) 商数关系： tan α＝.cos α(3) 引诱公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限－ απ－ απ＋ α2π－ απ－ α2sin －sin α sin α －sin α － sin α cos α cos cos α － cos α－ cos αcos αsin α9π 7π [问题 2] cos ＋ tan －＋ sin 21 π的值为 ___________________________ ．46答案22－333．三角函数的图象与性质 (1) 五点法作图；π(2) 对称轴： y ＝sin x ， x ＝ k π＋ 2， k ∈Z ；y ＝ cos x ， x ＝ k π，k ∈ Z ；π k π 对称中心： y ＝ sin x ，( k π，0) ，k ∈ Z ；y ＝ cos x ， k π＋， 0 ，k ∈ Z ； y ＝tan x ，，0 ，k ∈ Z .22(3) 单一区间：y ＝ sin x 的增区间： π π－＋2k π，＋ 2k π ( k ∈Z )，2 2 π 3π＋ 2k π，＋ 2k π(k ∈ Z )；减区间： 22y ＝ cos x 的增区间： [－ π＋ 2k π，2k π] (k ∈ Z )，减区间： [2k π， π＋ 2k π] k(∈ Z )；π πy ＝ tan x 的增区间：－＋ k π，＋ k π (k ∈ Z )．22(4) 周期性与奇偶性：y ＝ sin x 的最小正周期为 2π，为奇函数； y ＝ cos x 的最小正周期为 2π，为偶函数； y ＝ tan x 的最小正周期为 π，为奇函数．易错警告：求 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的单一区间时，简单出现以下错误：(1) 不注意 ω的符号，把单一性弄反，或把区间左右的值弄反；(2) 忘记写＋ 2k π，或＋ k π等，忘记写 k ∈ Z ；π (3) 书写单一区间时，错把弧度和角度混在一同．如[0,90 ]°应写为0，2 .[问题 3]函数 y ＝ sin － 2x ＋ π的递减区间是 ________．3π 5 答案k π－ 12， k π＋ 12π(k ∈ Z )4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式令α＝βsin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β――→sin 2α＝2sin αcos α.令 α＝βcos(α±β)＝ cos αcos β?sin αsin β――→ cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝ 2cos 2α－ 1＝ 1－2sin 2α.tan(α±β)＝ tan α±tan β1?tan .αtan β21＋ cos 2α21－ cos 2α2tan αcos α＝2， sin α＝， tan 2α＝2 .21－ tan α在三角的恒等变形中，注意常有的拆角、拼角技巧，如：α＝ (α＋ β)－β， 2α＝ (α＋ β)＋ (α－β)，1α＝ 2[( α＋ β)＋ (α－ β)] ．π π π πα＋＝ (α＋ β)－ β－， α＝ α＋－ .44443π3 π 12 π[问题 4] 已知 α，β∈ 4 ，π， sin( α＋ β)＝－ 5， sin β－ 4 ＝13，则 cos α＋4 ＝ ________.答案－ 56655．解三角形(1) 正弦定理： a ＝ b ＝ c＝ 2R( R 为三角形外接圆的半径 )．注意： ①正弦定理的一些变 sin A sinB sin C式： (ⅰ )a ∶ b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶sin C ；(ⅱ )sin A ＝ a ，sin B ＝ b ，sin C ＝ c；(ⅲ )a ＝ 2Rsin A ，2R 2R 2Rb ＝ 2Rsin B ，c ＝ 2Rsin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要联合详细状况进行弃取．在△ABC 中 A>B? sin A>sin B.222(2) 余弦定理： a 2＝ b 2＋c 2－2bccos A ，cos A ＝ b ＋ c － a 等，常采用余弦定理判定三角形的形状．2bc[问题 5]在△ ABC 中， a ＝ 3， b ＝ 2， A ＝ 60°，则 B ＝ ________.答案45°6．向量的平行与垂直设 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，且 b ≠0，则 a ∥ b ? b ＝ λa ? x 1y 2－x 2y 1＝ 0.a ⊥b (a ≠ 0)? a ·b ＝ 0? x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.0 当作与随意愿量平行，特别在书写时要注意，不然有质的不一样．[问题 6]以下四个命题：①若 |a |＝0，则 a ＝ 0；②若 |a |＝ |b |，则 a ＝ b 或 a ＝－ b ；③若 a ∥b ，则 |a |＝ |b |；④若 a ＝ 0，则－ a ＝ 0.此中正确命题是 ________．答案 ④7．向量的数目积 |a |2＝ a 2＝ a ·a ，a ·b ＝ |a||b |cos θ＝ x 1x 2＋ y 1 y 2，cos θ＝ a ·b ＝x 1x 2 ＋y 1 y 2 ，|a||b |x 12＋ y 12 x 22＋ y 22a ·b ＝ x 1x 2＋ y1y 2a 在b 上的投影＝ |a |cos 〈 a ， b 〉＝ |b|x 22＋ y 22 .注意：〈a ， b 〉为锐角 ? a ·b >0 且 a 、 b 不一样向；〈 a ， b 〉为直角 ? a ·b ＝ 0 且 a 、 b ≠0；〈 a ， b 〉为钝角 ? a ·b <0 且 a 、 b 不反向．易错警告：投影不是 “影 ”，投影是一个实数，能够是正数、负数或零．[问题 7]已知 |a |＝ 3， |b |＝ 5，且 a ·b ＝ 12，则向量 a 在向量 b 上的投影为 ________．12答案58．当 a ·b ＝ 0 时，不必定获得 a ⊥ b ，当 a ⊥ b 时， a ·b ＝ 0；a ·b ＝ c ·b ，不可以获得 a ＝c ，消去律不建立； ( a ·b )c 与 a ( b ·c )不必定相等， (a ·b )c 与 c 平行，而 a ( b ·c )与 a 平行．[问题 8]以下各命题：①若 a ·b ＝ 0，则 a 、b 中起码有一个为＝ c ；③对随意愿量 a 、 b 、 c ，有 (a ·b ) c ≠a (b ·c )；④对任一直量0；②若 a ≠0， a ·b ＝a ·c ，则22a ，有 a ＝ |a | .此中正确命题是b________．答案④9．几个向量常用结论：→ → →① PA ＋ PB ＋ PC ＝ 0? P 为 △ ABC 的重心；→→ → → →→② PA ·PB ＝PB ·PC ＝ PC ·PA? P 为 △ABC 的垂心；→→ABAC③向量 λ( → ＋ → ) ( λ≠ 0)所在直线过 △ ABC 的心里；|AB| |AC|→ → →④ |PA|＝ |PB|＝ |PC|? P 为 △ ABC 的外心．易错点 1 图象变换方向或变换量掌握禁止致误例 1 要获得 y ＝ sin(－ 3x)的图象，需将 y ＝ 22(cos 3x －sin 3x)的图象向 ______平移 ______ 个单位 (写出此中的一种特例即可 )．错解右π π或右1242π 找准失分点 y ＝ 2 (cos 3x － sin 3x)＝ sin 4－ 3x＝ sin － 3 x － π .12π题目要求是由 y ＝ sin － 3x ＋ 4 → y ＝ sin(－ 3x)．ππ右移平移方向和平移量都错了；右移平移方向错了．412正解y ＝2π－ 3x2 (cos 3x －sin 3x)＝sin 4π＝ sin － 3 x － 12 ，ππ 2要由 y ＝ sin － 3 x － 12 获得 y ＝ sin( －3x)只要对 x 加上 12即可，因此是对 y＝2 (cos 3x － sin 3x)π 向左平移 12个单位．答案左π12易错点 2忽略隐含条件的发掘致误例 2ππ已知 cos α＝ 1， sin(α＋ β)＝ 5 3， 0< α< ， 0<β<，求 cos β.71422错解由ππ0<α<， 0<β< ，得 0<α＋β<π，2 211则 cos(α＋β)＝ ± .141 π4 3由 cos α＝ 7，0< α<2，得 sin α＝ 7.71 1 故 cos β＝ cos[(α＋ β)－ α]＝ cos(α＋β)cos α＋sin( α＋ β)·sin α＝或 .98 2找准失分点由 0<α＋ β<π，且 sin( α＋ β)＝ 5 33，14<2 π 2π 1 1∴ 0<α＋ β< 或<α＋ β<π，又 cos α＝ < ，337 2π π 2π 11∴ <α< ，即 α＋ β∈，π， ∴ cos(α＋ β)＝－14.323正解π 1 <cosπ 1，∵ 0< α< 且 cos α＝＝273 2π π π∴ <α< ，又 0<β< ，322π< 3，∴ <α＋ β<π，又 sin( α＋ β)＝5 3314 22π∴ 3 <α＋ β<π. ∴ cos(α＋ β)＝－1－ sin 2α＋ β ＝－1114，24 3sin α＝ 1－ cos α＝ 7 .∴ cos β＝ cos[(α＋ β)－ α]1＝ cos(α＋ β)cos α＋ sin( α＋ β)sin α＝2.易错点 3 忽略向量共线致误例 3已知 a ＝(2,1) ， b ＝ (λ， 1)， λ∈ R ，a 与 b 的夹角为 θ.若 θ为锐角，则 λ的取值范围是__________．错解∵ cos θ＝a ·b＝2λ＋ 1.2|a| |b ·| 5· λ＋ 1因 θ为锐角，有 cos θ>0 ，2λ＋ 1∴2 >0? 2λ＋ 1>0，5· λ＋ 1得 λ>－1， λ的取值范围是－1，＋∞ .22找准失分点 θ为锐角，故 0<cos θ<1，错解中没有清除 cos θ＝ 1 即共线且同向的状况．正解由 θ为锐角，有 0<cos θ<1.又 ∵ cos θ＝ a ·b ＝ 2λ＋ 1 ，|a| |b ·| 25· λ＋ 1∴ 0<2λ＋ 12≠1，5· λ＋ 12λ＋1>0 ，λ>－ 1，∴2＋ 1 ，解得22λ＋ 1≠5· λλ≠ 2.∴ λ的取值范围是 λ|λ>－ 12且 λ≠2.1答案λ|λ>－且λ≠21． (2014 ·纲领全国 )已知角 α的终边经过点 (－ 4,3)，则 cos α＝ ()4 3 A. 5B. 534C ．－ 5D ．－5答案 D分析由于角 α的终边经过点x 4 (－4,3)，所以 x ＝－ 4， y ＝ 3， r ＝ 5，所以 cos α＝＝－ .r52． (2014 ·纲领全国 )设 a ＝sin 33 ，°b ＝ cos 55 ，°c ＝ tan 35 ，°则 ( )A ．a>b>cB ． b>c>aC ． c>b>aD ． c>a>b答案 C分析∵ a ＝ sin 33 ，°b ＝ cos 55 °＝ sin 35 ，°c ＝ tan 35 °＝sin 35 °cos 35 ，°又 0<cos 35 °<1， ∴ c>b>a.4π3．已知 sin θ＋ cos θ＝ 3 (0< θ< 4)，则 sin θ－ cos θ的值为 ()2 2 1 1A. 3B ．－ 3C.3 D ．－ 3答案B分析∵ sin θ＋ cos θ＝ 4， ∴ (sin θ＋ cos θ)2＝ 1＋ sin 2θ＝ 16， ∴ sin 2θ＝ 7，3 9 9π 又 0<θ< ， ∴ sin θ<cos θ.4∴ sin θ－ cos θ＝－θ－ cos θ 22＝－ 1－ sin 2θ＝－ 3 .4．已知 a ， b 是单位向量， a ·b ＝ 0，若向量 c 知足 |c － a － b |＝ 1，则 |c |的取值范围是( )A ．[ 2－1， 2＋1]B ．[ 2－1， 2＋2]C．[1，2＋ 1]D．[1，2＋2]答案A分析∵ a·b＝0，且a， b 是单位向量，∴ |a|＝ |b|＝ 1.又∵ |c－a－b|2＝c2－ 2c·(a＋b)＋ 2a·b＋a2＋b2＝1，∴2c·(a＋b)＝c2＋ 1.∵ |a|＝ |b|＝ 1 且a·b＝ 0，∴|a＋b|＝2，∴c2＋1＝2 2|c|cosθ(θ是 c 与 a＋ b 的夹角)．又－ 1≤cos θ≤1，∴ 0<c2＋ 1≤2 2|c|，∴c2－2 2|c|＋1≤0，∴2－ 1≤|c|≤ 2＋ 1.5.函数 f(x)＝ Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分图象如下图，那么f(0) 等于 ()A ．－1B．－ 1 2C．－3D．－ 3 2答案B分析由题图可知，函数的最大值为2，所以 A＝ 2.又由于函数经过点ππ， 2 ，则 2sin2×＋φ＝ 2，33ππ即 2×＋φ＝＋ 2kπ， k∈Z，32π得φ＝－＋2kπ，k∈ Z.6f(0) ＝ 2sin φ＝ 2sin π－＋ 2kπ＝－ 1. 66．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对边的长分别为a，b， c，若 a2＋ b2＝ 2c2，则 cos C 的最小值为 ()3211A. 2B. 2C.2D．－2答案Ca2＋ b2－ c2c2分析∵ cos C＝2ab＝2ab，又∵ a2＋ b2≥2ab，∴2ab≤2c2.11∴ cos C≥ .∴ cos C 的最小值为 .22→ →π7． (2014 ·山东 )在△ ABC 中，已知 AB·AC＝ tan A，当 A＝6时，△ ABC 的面积为 ________．1 答案6π分析已知 A ＝ 6，→ → π π 由题意得 |AB||AC|cos＝ tan，66→ →2|AB||AC|＝ 3，所以 △ABC 的面积1 → → π 12 1 1S ＝ |AB||AC |sin＝××＝.26 2 3 2 68． (2014 ·江苏 )已知函数 y ＝ cos x 与 y ＝ sin(2x ＋ φ)(0 ≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为点，则 φ的值是 ________．答案π6分析由题意，得π π sin 2×＋ φ ＝cos，33由于π0≤φ<π，所以 φ＝ .6π π9．已知函数 f(x)＝Asin( ω＋ φ)，x ∈ R (此中 A>0，ω>0，－ 2<φ<2)，其部分图象如下图．若横坐标分别为－1,1,5 的三点 M ，N ， P 都在函数 f(x)的图象上，记∠ MNP ＝ θ，则 cos 2θ的值是 ________ ．π3的交答案－725分析由图可知， A ＝ 1， f(x)的最小正周期 T ＝ 8，2ππ所以 T ＝ ω ＝ 8，即 ω＝ .4πππ又 f(1) ＝sin( ＋ φ)＝ 1，且－ <φ< ，4 2 2 π π 3π所以－ <φ＋ < ，4 4 4 π π π即 φ＋＝，所以 φ＝ .424π所以 f(x)＝sin(x ＋ 1)．4由于 f(－ 1)＝ 0， f(1) ＝ 1， f(5)＝－ 1，所以 M(－ 1,0)，N(1,1)， P(5，－ 1)．→ → → →所以 NM ＝ (－ 2，－ 1)，NP ＝ (4，－ 2)， NM ·NP ＝－ 6，→ →5，|NM |＝ 5， |NP|＝ 2→ →则 cos ∠ MNP ＝NM·NP＝－ 3， →→ 5|NM| ·|NP|3即 cos θ＝－ 5.于是 cos 2θ＝ 2cos2θ－ 1＝－ 257.π23， x ∈ R . 10． (2014 天·津 )已知函数 f(x)＝ cos x ·sin(x ＋ 3)－ 3cos x ＋ 4 (1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)在闭区间 [－ π π， 4 ]上的最大值和最小值．41sin x ＋3 23 解 (1)由已知，有 f(x)＝cos x ·(2cos x)－3cos x ＋421 3 23＝ sin x ·cos x －2cos x ＋421 3 (1＋ cos 2x)＋ 3＝ sin 2x －4441 3 cos 2x＝ sin 2x －441π＝ sin(2x － )．23所以 f(x)的最小正周期T ＝ 2π＝ π.2(2) 由于 f(x)在区间 [－ π π[－ π π，－ ] 上是减函数，在区间12 ， ] 上是增函数， 4 124 π 1 π 1 ， f( π 1 f(－ ) ＝－， f(－ 12)＝－ 2 )＝，4 4 4 4所以，函数 f(x)在闭区间 π π1 ，最小值为－ 1 [－， ] 上的最大值为 4.4 42。

专题5.2 三角函数与平面向量综合题

专题5.2 三角函数与平面向量综合题近几年考点分布平面向量在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用．平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；第二，考察向量的坐标表示，及坐标形式下的向量的线性运算；第三，经常和函数、曲线、数列等知识结合，考察综合运用知识能力．在近几年的高考中，每年都有两道题目．其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题．大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题。

【考点预测】预计向量基本概念、向量基本运算等基础问题，通常为选择题或填空题出现；而用向量与三角函数、解三角形等综合的问题，通常为解答题，难度以中档题为主。

复习建议1、平面向量部分的复习应该注重向量的工具作用，紧紧围绕数形结合思想，扬长避短，解决问题；2、平面向量与三角函数的交汇是近年来的考查热点，一般都出现在解答题的前三大题里，在复习中，应加强这种类型试题的训练。

【考点pk 】【考点一三角函数】1．（全国文7、理5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 2．若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= (A)23 (B)32(C )2 (D)33．（课标卷文 11）.设函数)42cos()42sin()(ππ+++=x x x f ，则（）A 函数上在)2,0(),(πx f 单调递增，其图像关于直线4π对称；B 函数上在)2,0(),(πx f 单调递增，其图像关于直线2π对称；C 函数上在)2,0(),(πx f 单调递减, 其图像关于直线4π对称；D 函数上在)2,0(),(πx f 单调递减，其图像关于直线2π对称；4．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减（B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增5．已知函数()f x =Atan(x ωϕ+)(02πωϕ＞，＜）， ()y f x =的部分图像如图，则24f π⎛⎫⎪⎝⎭=（）（A ） (C)(D)2 6．将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位。

三角函数和向量测试试卷(含答案)

三角函数和向量测试试卷（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．02120sin 等于（） A ．23±B ．23C ．23- D ．212．若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（）A ．34B ．34-C ．34±D ．3 3．sin163sin 223sin 253sin313+=（）A ．12-B ．12 C．2- D．24．若,24παπ<<则（）A ．αααtan cos sin >>B ．αααsin tan cos >>C ．αααcos tan sin >>D ．αααcos sin tan >>5．函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（）A ．52π B ．25π C ．π2 D ．π5 6．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb = ，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．37.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( ) （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈ 8．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b += （）A ．7B ．10C ．13D ．49．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（） A .1925 B .1625 C .1425 D .72510．向量(2,3)a = ，(1,2)b =-，若ma b + 与2a b - 平行，则m 等于A ．2-B ．2C ．21D ．12-11．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0 12.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是（）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上13．若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________。

13三角函数平面向量经典版测试题(含解析)

高一数学周末测试（十八周）一、选择题1. 若向量 a ⃗ =(x +1,2) 和向量 b ⃗ =(1,−1) 平行，则 ∣a ⃗ +b ⃗ ∣=( ) A. √10 B. √102 C. √2 D. √222. 已知点 A (1,3)，B (4,−1)，则与向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量是 ( ) A. (35,−45) B. (45,−35) C. (−35,45) D. (−45,35)3. 已知函数 f (x )=cos 4x −sin 4x ，下列结论中错误的是 ( ) A. f (x )=cos2x B. 函数 f (x ) 的图象关于直线 x =0 对称 C. f (x ) 的最小正周期为 π D. f (x ) 的值域为 [−√2,√2]4. 要得到函数 y =2sin (2x +π5) 的图象，应该把函数 y =cos (x −215π)−√3sin (x −2π15) 的图象做如下变换 ( )A. 将图象上的每一点横坐标缩短到原来的 12 而纵坐标不变B. 沿 x 轴向左平移 π2 个单位，再把得图象上的每一点横坐标伸长到原来的 2 倍而纵坐标不变C. 先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的 12 而纵坐标不变，再将所得图象沿 x 轴向右平移 π4 个单位D. 先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的 12 而纵坐标不变，再将所得图象沿 x 轴向左平移 π2 个单位5. 3−sin70∘2−cos 210∘= ( )A. 12 B. √22 C. 2 D. √326. cos10∘sin70∘−cos80∘sin20∘= ( ) A. 12B. √32C. −12D. −√327. 已知 sin ( π4−x)=35，则 cos ( π2−2x) 的值为 ( ) A. 1925 B. 1625 C. 1425 D. 7258. 设 α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，且 sinαcosα=cosβ1−sinβ，则 ( )A. 2α+β=π2 B. 2α−β=π2C. α+2β=π2D. α−2β=π29. 在 △ABC 中，AB =3，AC =2，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A. 52 B. −52 C. 54 D. −5410. △ABC 中， CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∣a ⃗ ∣=2，∣∣b ⃗ ∣∣=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =−1，则 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣= ( ) A. 1 B. √2 C. √3 D. 211. 函数 f (x )=2cos 2x +sin2x −1，给出下列四个命题中正确的是 ( ) A 函数在区间 [π8,5π8] 上是减函数；B 直线 x =π8 是函数图象的一条对称轴；C 函数 f (x ) 的图象可由函数 y =√2sin2x 的图象向左平移 π4 而得到； D 若 x ∈[0,π2]，则 f (x ) 的值域是 [0,√2]； 12. 已知下列四个命题正确的是． A 对任意两向量 a ⃗ ，b ⃗ ，均有 ∣∣a ⃗ −b ⃗ ∣∣<∣a ⃗ ∣+∣∣b ⃗ ∣∣；B 若在 △ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则 D 是线段 BC 的中点；C 在四边形中，若 (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ，则 ABCD 为平行四边形； D 若 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，则 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣． 13.下列命题中错误的是（）．A 存在实数 α，β，使等式 sin (α+β)=sinα+sinβ 成立．( )B 在锐角 △ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小不确定．( ) C 若 α+β=45∘，则 tanα+tanβ=1−tanαtanβ．( )D y =3sinx +4cosx 的最大值是 7．( )E 对任意角 α 都有 1+sinα=(sin α2+cos α2)2．( )F 在非直角三角形中，tanA +tanB +tanC =tanAtanBtanC ．( )二、填空题14. 若单位向量 e 1⃗⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 π3，则向量 e 1⃗⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗⃗ 与向量 e 1⃗⃗⃗⃗ 的夹角为．15. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90∘，AD =2，BC =CD =1，P 是 AB 的中点，则 DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ．16. 定义运算 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc ，若 cosα=17，∣∣∣sinαsinβcosαcosβ∣∣∣=3√314，0<β<α<π2，则 β= ．17. 已知平面向量 a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为 π3，且满足 ∣a ⃗ ∣=2，∣∣b ⃗ ∣∣=1，则 a ⃗ ⋅b ⃗ = ， ∣∣a ⃗ +2b ⃗ ∣∣= ．三、解答题18. ∣a ⃗ ∣=4，∣b ⃗ ∣=3，(2a ⃗ −3b ⃗ )⋅(2a ⃗ +b ⃗ )=61．（1）求 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角 θ；（2）求 ∣a ⃗ +b⃗ ∣．19. 向量 a ⃗ =(cosα,sinα)，b⃗ =(cosx,sinx )，c ⃗ =(sinx +2sinα,cosx +2cosα)，其中 0<α<x <π．（1）若 α=π4，求函数 f (x )=b ⃗ ⋅c ⃗ 的最小值及相应 x 的值；（2）若 a ⃗ 与 b⃗ 的夹角为 π3，且 a ⃗ ⊥c ⃗ ，求 tan2α 的值．20. 函数 f (x )=2cos 2x +2√3sinxcosx +a ，且当 x ∈[0,π2] 时，f (x ) 的最小值为 2，（1）求 a 的值，并求 f (x ) 的单调递增区间；（2）先将函数 y =f (x ) 的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 12，再将所得的图象向右平移 π12 个单位，得到函数 y =g (x ) 的图象，求方程 g (x )=4 在区间 [0,π2] 上所有根之和．21. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (12,√32)，将向量 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕原点 O 按逆时针方向旋转 x 弧度得到向量 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．（1）若 x =π4，求点 Q 的坐标；（2）已知函数 f (x )=OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，令 g (x )=f (x )⋅f (x +π3)，求函数 g (x ) 的值域．22. 已知函数 f (x )=2sin 2x +cos (2x −π3)．（1）求 f (x ) 的最小正周期；（2）求 f (x ) 在 (0,π2) 上的单调递增区间．23. 如图，某市准备在道路 EF 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数 y =Asin (ωx +2π3)（A >0，ω>0），x ∈[−4,0] 的图象，且图象的最高点为 B (−1,2)；赛道的中间部分为直线跑道 CD ，且 CD =√3，CD ∥EF ；赛道的后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 DE ．（1）求 ω 的值和 ∠DOE 的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个矩形草坪，矩形的一边在道路OE 上，一个顶点在半径 OD 上，另外一个顶点 P 在圆弧 DE 上，且 ∠POE =θ，求当矩形草坪的面积取最大值时 θ 的值．参考答案（十八周）第一部分 1. C【解析】依题意得，−(x +1)−2×1=0，得 x =−3，又 a ⃗ +b ⃗ =(−2,2)+(1,−1)=(−1,1)，所以 ∣a ⃗ +b ⃗ ∣=√2． 2. A【解析】已知点 A (1,3)，B (4,−1)，则 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，故与其同方向的单位向量为 15(3,−4)=(35,−45)．3. D4. C 【解析】函数y =cos (x −215π)−√3sin (x −2π15)=2cos [(x −2π15)+π3]=2cos (x +π5)=2sin (π2+x +π5)=2sin (x +7π10)轴的图象，先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的 12 而纵坐标不变，可得 y =2sin (2x +7π10) 的图象，再将所得图象沿 x 向右平移 π4 个单位，可得 y =2sin (2x −π2+7π10)=2sin (2x +π5) 的图象．5. C【解析】3−sin70∘2−cos 210∘=3−sin70∘2−1+cos20∘2=2(3−sin70∘)3−cos20∘=2 .6. B7. D【解析】因为 sin ( π4−x)=35，所以 cos (π2−2x)=cos2( π4−x)=1−2sin 2( π4−x)=725． 8. B【解析】由 sinαcosα=cosβ1−sinβ ，可得：sinα−sinαsinβ=cosαcosβ．所以 sinα=cosαcosβ+sinαsinβ=cos (α−β)，因为 α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，所以 cos (α−β)>0，所以 α+α−β=π2，即 2α−β=π2． 9. C 10. C 11. A B【解析】提示：f (x )=cos2x +sin2x =√2sin (2x +π4)，A B 对． 12. B C【解析】若两向量 a ⃗ ，b ⃗ 方向相反，则A 不对；由向量平行四边形法则可知B 对；C 中向量等式化简后为 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，说明 CB ∥AD ，CB =AD ，所以C 对；由向量平行四边形法则可知D 不对． 13. B D第二部分 14. π2．【解析】因为 (e 1⃗⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗⃗ )⋅e 1⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗⃗ 2−2e 1⃗⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗⃗ =1−2×12=0；所以 (e 1⃗⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗⃗ )⊥e 1⃗⃗⃗⃗ ；所以向量 e 1⃗⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗⃗ 与向量 e 1⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 π2． 15. −1【解析】在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90∘，AD =2，BC =CD =1，可得 △BCD 为等腰直角三角形，则 BD =√2，且 P 是 AB 的中点，可得 DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12[(√2)2−22]=−1.16. π3【解析】由 0<β<α<π2，cosα=17，得 sinα=4√37；又由 ∣∣∣sinαsinβcosαcosβ∣∣∣=3√314，得 sinαcosβ−cosαsinβ=sin (α−β)=3√314，cos (α−β)=1314，所以 cosβ=cos [(α−β)−α]=cos (α−β)cosα+sin (α−β)sinα=12，则 β=π3． 17. 1，2√3【解析】a ⃗ ⋅b ⃗ =∣a ⃗ ∣∣∣b ⃗ ∣∣cos⟨a ⃗ ,b ⃗ ⟩=2×1×12=1；∣∣a ⃗ +2b ⃗ ∣∣=√(a ⃗ +2b ⃗ )2=√∣a ⃗ ∣2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +4∣∣b ⃗ ∣∣2=√4+4×1+4×1=2√3.第三部分18. （1）由 (2a ⃗ −3b ⃗ )⋅(2a ⃗ +b ⃗ )=61，得 4∣a ⃗ ∣2−4a ⃗ ⋅b ⃗ −3∣b⃗ ∣2=61．因为 ∣a ⃗ ∣=4，∣b ⃗ ∣=3，所以 a ⃗ ⋅b ⃗ =−6，所以 cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ ∣a⃗ ∣∣b ⃗ ∣=−64×3=−12．又 θ∈[0,π]，所以 θ=23π．（2）因为 ∣a ⃗ +b ⃗ ∣2=(a ⃗ +b ⃗ )2=∣a ⃗ ∣2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +∣b ⃗ ∣2=42+2×(−6)+32=13，所以 ∣a ⃗ +b⃗ ∣=√13． 19. （1）因为 b⃗ =(cosx,sinx )，c ⃗ =(sinx +2sinα,cosx +2cosα)，α=π4，所以 f (x )=b ⃗ ⋅c ⃗ =cosxsinx +2cosxsinα+sinxcosx +2sinxcosα =2sinxcosx +√2(sinx +cosx )．令 t =sinx +cosx (0<x <π)，则 2sinxcosx =t 2−1，且 −1<t ≤√2．则 y =g (t )=t 2+√2t −1=(t +√22)2−32，−1<t ≤√2．所以 t =−√22时，y 取得最小值，且 y min =−32，此时 sinx +cosx =−√22．1)sin(x )442ππ+=∴+=-由于 0<x <π，5444x πππ<+< 746x ππ∴+= 故 x =11π12．所以函数 f (x ) 的最小值为 −32，相应 x 的值为 11π12．（2）因为 a ⃗ 与 b⃗ 的夹角为 π3，所以 cos π3=a ⃗ ⋅b ⃗ ∣a⃗ ∣⋅∣b ⃗ ∣=cosαcosx +sinαsinx =cos (x −α)．因为 0<α<x <π，所以 0<x −α<π．所以 x −α=π3．因为 a⃗ ⊥c ⃗ ，所以 cosα(sinx +2sinα)+sinα(cosx +2cosα)=0．所以 sin (x +α)+2sin2α=0，sin (2α+π3)+2sin2α=0．所以 52sin2α+√32cos2α=0．所以 tan2α=−√35． 20. （1）函数 f (x )=cos2x +1+√3sin2x +a =2sin (2x +π6)+a +1，因为 x ∈[0,π2]，所以 2x +π6∈[π6,7π6]，f (x )min =−1+a +1=2，得 a =2，即 f (x )=2sin (2x +π6)+3．令 2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2,k ∈Z ，得 kπ−π3≤x ≤kπ+π6,k ∈Z ，所以函数 f (x ) 的单调递增区间为 [kπ−π3,kπ+π6],k ∈Z ．（2）由（1）得 f (x )=2sin (2x +π6)+3，所以 g (x )=2sin (4(x −π12)+π6)+3=2sin (4x −π6)+3，又因为g(x)=4．所以sin(4x−π6)=12，解得4x−π6=2kπ+π6或2kπ+5π6，即x=kπ2+π12或kπ2+π4(k∈Z)．因为x∈[0,π2]，所以x=π12或π4，故所有根之和为π12+π4=π3．21. （1）由题意可得P(cosπ3,sinπ3)，cos(π3+π4)=12×√22−√32×√22=√2−√64，sin(π3+π4)=√32×√22+12×√22=√2+√64，所以点Q的坐标为(√2−√64,√2+√64)．（2）f(x)=12cos(π3+x)+√32sin(π3+x)=14cosx−√34sinx+34cosx+√34sinx =cosx,所以g(x)=cosx⋅cos(x+π3)=12cos2x−√32sinxcosx=1+cos2x4−√34sin2x=14−12sin(2x−π6).因−1≤sin(2x−π6)≤1，故g(x)的值域为[−14,34]．22. （1）因为cos2x=1−2sin2x，所以f(x)=2sin2x+cos(2x−π3)=1−cos2x+12cos2x+√32sin2x=1+sin(2x−π6).故f(x)的最小正周期为π．（2）由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z．故f(x)在(0,π2)上的单调递增区间为(0,π3)．23. （1）由条件得A=2，T4=3．∵T=2πω，∴ω=π6，∴曲线段FBC的解析式为y=2sin(π6x+2π3)(−4≤x≤0)．当x=0时，y=OC=√3．又CD=√3，∴∠COD=π4，∴∠DOE=π4．（2）由（1）可知OD=√6．又点P在圆弧DE上，OP=√6．又∠POE=θ，0<θ<π4，∴矩形草坪的面积为S=√6sinθ(√6cosθ−√6sinθ)=6(sinθcosθ−sin2θ)=6(12sin2θ+12cos2θ−12)=3√2sin(2θ+π)−3.∵0<θ<π4，∴π4<2θ+π4<3π4，∴当2θ+π4=π2，即θ=π8时，S取得最大值．。

三角函数、平面向量专题试题集

三角函数、平面向量专题试题集三角函数.平面向量专题试题集1. 函数的最小正周期为 ( A )A． B． C．8D．42. 已知函数的图象的一条对称轴方程为直线_=1,若将函数的图象向右平移b个单位后得到y=sin_的图象,则满足条件的b的值一定为( C )A．B． C．D．3. 在△ABC,为角A.B.C所对的三条边.(1)求时,t的取值范围;(2)化简(用(1)中t表示).(1)∵,∴△ABC为直角三角形,∴∠A+∠B= …………2分又…………4分∵ ∴, ∴…………6分(2)∵ ∴…………9分…………12分4. 已知向量a和b的夹角为60°,a = 3,b = 4,则(2a –b)·a等于 ( B )(A)15 (B)12 (C)6 (D)35. 已知．(Ⅰ)求cos的值;(Ⅱ)求满足sin(– _ ) – sin (+ _) + 2cos=的锐角_．解:(Ⅰ)因为,所以．(2分)所以=, (4分)由,所以．(6分)(Ⅱ)因为sin() – sin() + 2cos,所以, (8分)所以sin_=, (10分)因为_为锐角,所以．(12分)6. 下列函数中,最小正周期为,且图象关于直线对称的是( B )A． B．C． D．7. 若是纯虚数,则的值为 ( B )A．B．C．D．8. 已知向量上的一点(O为坐标原点),那么的最小值是( B )A．－16 B．－8 C．0 D．49. _年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为,大正方形的面积是1,小正方形的面积是的值等于( D )A．1 B．C．D．－10. 为锐角,为钝角,=.11. 已知a=1,b=,(1)若a//b,求a·b;(2)若a,b的夹角为135°,求a+b.解(1),①若,同向,则……3分②若,异向,则……3分(2)的夹角为135°,……2分……2分……2分12.已知函数(1)将的形式,并求其图象对称中心的横坐标;(2)如果△ABC的三边a.b.c成等比数列,且边b所对的角为_,试求_的范围及此时函数f(_)的值域.解:(1) ……3分由即对称中心的横坐标为……3分(2)由已知.……3分的值域为……2分综上所述, ……1分13. 设平面上的动向量a=(s,t),b=(－1,t2－k)其中s,t为不同时为0的两个实数,实数,满足a⊥b,(1)求函数关系式(2)若函数上是单调增函数,求证:;(3)对上述,存在正项数列,其中通项公式并证明.(1)解: ……3分(2)证明:成立, ……2分故; ……1分(3)故因为……4分事实上,……4分方法1:方法2:14. 如果函数的最小正周期是T,且当时取得最大值,那么( A )A． B． C． D．15. 在中,已知,那么一定是( B )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形16. 已知,那么的值为,的值为.17. 若 , 且()⊥ ,则与的夹角是 ( B )(A)(B)(C)(D)18. 把y = sin_的图象向左平移个单位,得到函数y = sin的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数的图象.19. 已知直线:_ – 2y + 3 = 0 ,那么直线的方向向量为(2,1)或等(注:只需写出一个正确答案即可);过点(1,1),并且的方向向量2与1满足1·= 0,则的方程为2_ + y – 3 = 0.20. 已知:tan= 2,求:(Ⅰ)tan的值;(Ⅱ)sin2的值．解:(Ⅰ)== 2,∴tan． (5分)(Ⅱ)解法一:sin2+sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2– sin2= 2sincos+ cos2 (8分)= (11分)=．(13分)(Ⅱ)解法二:sin2+ sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2– sin2= 2sincos+ cos2 (1)(8分)∵tan=,∴为第一象限或第三象限角．当为第一象限角时,sin=,cos=,代入(1)得2sincos+ cos2=; (10分)当为第三象限角时,sin=,cos=,代入(1)得2sincos+ cos2=． (12分)综上所述:sin2+ sin2+ cos2=．(13分)21. 已知常数a _gt; 0,向量,,经过定点A (0,–a )以+为方向向量的直线与经过定点B (0,a)以+ 2为方向向量的直线相交于点P,其中∈R．(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)若,过E (0,1)的直线l交曲线C于M.N两点,求的取值范围．解:(Ⅰ)设P点的坐标为(_,y),则,,又,故,．由题知向量与向量平行,故(y + a) = a_．又向量与向量平行,故y – a = 2．两方程联立消去参数,得点P (_,y)的轨迹方程是(y + a)(y – a)= 2a2_2,即y2 – a2 = 2a2_2．(6分)(Ⅱ)∵,故点P的轨迹方程为2y2 – 2_2= 1,此时点E (0,1)为双曲线的焦点．①若直线l的斜率不存在,其方程为_ = 0,l与双曲线交于.,此时． (8分)②若直线l的斜率存在,设其方程为y = k_ + 1,代入2y2 – 2_2= 1化简得2(k2 – 1) _2 + 4k_ + 1 = 0．∴直线l与双曲线交于两点,∴△=(4k)2 – 8 (k2 – 1) _gt; 0且k2 –1≠0．解得k≠±1．设两交点为M (_1,y1).N (_2,y2),则_1 + _2 =,_1_2 =． (10分)此时= _1_2 + k2_1_2= (k2 + 1) _1_2 =．当–1 _lt; k _lt; 1时,k2 – 1 _lt; 0,故≤;当k _gt; 1或k _lt; – 1时,k2 – 1 _gt; 0,故．综上所述,的取值范围是∪． (13分)22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32. 已知向量＝(8, _),＝(_,1),其中_＞0,若(－2)∥(2＋),则_的值为A.4B.8C.0D.2解:－2＝(8－2_,_－2),2＋＝(16＋_,_＋1)由(－2)∥(2＋),得(8－2_,_－2)＝λ(16＋_,_＋1)即_THORN; _＝4.选A33. 同时具有以下性质:〝①最小正周期实π;②图象关于直线_＝对称;③在[－]上是增函数〞的一个函数是A.y＝sin()B.y＝cos(2_＋)C.y＝sin(2_－)D.y＝cos(2_－)解:由性质①排除A,由性质②排除D,由性质③排除B,选C.34. 在△ABC中,已知sin2Asin2B＝,tanAtanB＝3,求角C.解:∵sin2Asin2B＝,∴sinAsinBcosAcosB＝……①……3’由A.B∈(0,π),知sinAsinB＞0,∴cosAcosB＞0又tanAtanB＝3,即＝3……②……6’由①②得:∴c osC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝而C∈(0,π),∴C＝.35. 如图,已知点P(3,0),点A.B分别在_轴负半轴和y轴上,且＝0,,当点B在y轴上移动时,记点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程;(2)已知向量＝(1,0),＝(0,1),过点Q(1,0)且以向量＋k(k∈R)为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点M.N,若D(－1,0),且＞0,求k的取值范围.解:(1)设A(a,0)(a＜0),B(0,b),C(_,y)则＝(_－a,y),＝(a,－b),＝(3,－b),∵＝0,,∴……3’消去a.b得:y2＝－4_∵a＜0,∴_＝3a＜0故曲线E的方程为y2＝－4_(_＜0)……5’(2)设R(_,y)为直线l上一点,由条件知)即(_－1,y)＝λ(1,k)∴,消去λ得l的方程为:y＝k(_－1) ……7’由_THORN;k2_2－2(k2－2)_＋k2＝0 ……(_)∵直线l交曲线E与不同的两点M.N∴△＞0 _THORN; －1＜k＜1……①……9’设M(_1,y1),N(_2,y2),则＝(_1＋1,y1),＝(_2＋1,y2)∵M.N在直线y＝k(_－1)上,∴y1＝k(_1－1),y2＝k(_2－1)又由(_),有_1＋_2＝,_1_2＝2∴＝(_1＋1)(_2＋1)＋y1y2＝(_1＋1)(_2＋1)＋k2(_1－1)(_2－1)＝(k2＋1)_1_2＋(1－k2)(_1＋_2)＋k2＋1＝由条件知:＞0 _THORN;k2＞……②……12’由①②知:－1＜k＜－或＜k＜1.……13’36. 设集合,集合,则( A )A．中有3个元素 B．中有1个元素C．中有2个元素 D．37. 在△中,〝是〝〞的( C )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件38. 函数在下面哪个区间内是增函数( C )A．B．C． D．39. 函数的最小正周期为．40. 在三角形ABC中,设,,点在线段上,且,则用表示为．41. 将圆按向量平移得到圆,则的坐标为(－1,2);将抛物线按的相反向量平移后的曲线方程为．42. 已知向量,,,其中．(Ⅰ)当时,求值的集合;(Ⅱ)求的最大值．解:(Ⅰ)由,得,即．…………4分则,得．…………………………………5分∴为所求．…………………………………6分(Ⅱ),……………10分所以有最大值为3． (12)分。

“三角函数与平面向量”检测题

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１。析图知＝（詈＝，．解由像詈２一）Ｂ × 号
＝又于 × ＋ｚ，２由２詈＋＝号（）。
ＢＤ可能是线段的中点．
ＣＧ、．Ｄ可能同时在线段ＡＢ上
＝４ｋｚ，Ｉ＜所Ｘ＋（）詈，以＝Ｔ ∈ 又Ｉ１－。
且一）＝（，（，）则）
８（０１年课标全国卷・１）在 △Ａ．２１理５Ｃ中，６。Ｂ＝０，３（０１．２１年课标全国卷・１）设函数，）ｉ（ｏＡ √ 则Ａ２Ｃ的最大值为— — 。理１（＝ｓｃｎｘＣ＝，Ｂ＋Ｂ三、答题解
能力训练
责编周瑜芽／ｚｙ＠１３Ｏ．ｇｓ印ｙ６ＩＣＤ
“ 角函数与平面向量＂测题三检
。万淑明
一
、
选择题
向量，夹角为０有Ｆ０其，歹四个命题：

三角函数、平面向量

三角函数与解三角形、平面向量(本卷满分150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共计 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝1－2sin 2 è ç æ ø÷ ö x － π 4 是 A ．最小正周期为 π的偶函数 B ．最小正周期为 π 的奇函数C ．最小正周期为 π 2 的偶函数D ．最小正周期为 π2的奇函数2．若函数 f (x )＝sin ax ＋ 3cos ax (a ＞0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为A. è ç æ ø ÷ ö － 1 3 ，0B. è ç æ ø ÷ ö － π 3 ，0C. è ç æ ø÷ ö 1 3 ，0 D ．(0,0) 3．已知实数a ，b 均不为零， a sin α＋b cos α a cos α－b sin α ＝tan β，且 β－α＝ π 6 ，则 ba 等于A. 3B. 33C ．－ 3D ．－334．设 a ＝ è ç æ ø ÷ ö 3 2 ，sin α ，b ＝ èç æ ø÷ ö cos α， 1 3 ，若 a ∥b ，则锐角 α 为A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°5．在梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB |＝λ|DC |，设AB → ＝a ，AD → ＝b ，则AC →等于A ．λa ＋bB ．a ＋λb C. 1 λ a ＋b D ．a ＋ 1λb6．设函数 f (x )＝sin è ç æ ø ÷ ö 2x ＋ π 4 ＋cos è ç æ ø ÷ ö 2x ＋ π 4 ，则 A ．y ＝f (x )在 è ç æ ø ÷ ö 0， π 2 单调递增，其图象关于直线x ＝ π 4 对称 B ．y ＝f (x )在 è ç æ ø ÷ ö 0， π 2 单调递增，其图象关于直线 x ＝ π 2 对称 C ．y ＝f (x )在 è ç æ ø ÷ ö 0， π 2 单调递减，其图象关于直线 x ＝ π 4 对称 D ．y ＝f (x )在 è ç æ ø÷ ö 0， π 2 单调递减，其图象关于直线x ＝ π 2 对称 7．下列命题中正确的是A ．若 λa ＋μb ＝0，则 λ＝μ＝0B ．若 a ∙b ＝0，则 a ∥bC ．若 a ∥b ，则a 在 b 上的投影为|a |D ．若 a ⊥b ，则 a ∙b ＝(a ∙b )28．在△ABC 中，sin 2 A ≤sin 2 B ＋sin 2C －sin B sin C ，则 A 的取值范围是A. è ç æ û ú ù 0， π 6B. ë ê é ø ÷ ö π 6 ，πC. è ç æ û ú ù 0， π 3D. ë ê é ø÷ ö π 3 ，π 9．函数 f (x )＝sin (ωx ＋φ) è ç æ ø÷ ö |φ|＜ π 2 的最小正周期为 π，且其图象向左平移 π 6 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 f (x )的图象A ．关于点 è ç æ ø ÷ ö π 12 ，0 对称B ．关于直线x ＝ 5π12 对称C ．关于点 è ç æ ø÷ ö 5π12 ，0 对称 D ．关于直线 x ＝ π 12 对称 10．已知函数 f (x )＝sin (2x ＋φ)，其中 φ 为实数．若 f (x )≤ ï ï ï ï ï ï f è ç æ ø ÷ ö π 6 对 x ∈R 恒成立，且 f è ç æ ø÷ ö π 2 ＞f (π)，则 f (x )的单调递增区间是A. ë ê é û ú ù k π－ π 3 ，k π＋ π 6 (k ∈Z )B. ë ê é ûú ù k π，k π＋ π 2 (k ∈Z )C. ë ê é ûú ù k π＋ π 6 ，k π＋ 2π 3 (k ∈Z ) D. ë ê é ûú ù k π－ π 2 ，k π (k ∈Z ) 11．设 ω＞0，m ＞0，若函数 f (x )＝m sin ωx 2 ∙cos ωx 2 在区间 ë ê é ûú ù － π 3 ， π 4 上单调递增，则 ω 的取值范围是A. è ç æ ø÷ ö 0， 2 3B. è ç æ ûú ù 0， 3 2C. ë ê é ø÷ ö 3 2，＋∞ D ．[1，＋∞)12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知 b 2 ＝c (b ＋2c )，若 a ＝ 6，cos A ＝ 78，则△ABC 的面积等于 A. 17B. 15C.152D ．3二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共计 16分．把答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，若 b ＝5，∠B ＝ π 4 ，sin A ＝ 13，则 a ＝________.14．已知向量 a 、b 满足(a ＋2b )∙(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则 a 与 b 的夹角为________． 15．在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山，山顶上有一个观察站，上午 11时，测得一轮船在岛的北偏东 30°，俯角 30°的 B 处，到 11 时 10 分又测得该船在岛的北偏西 60°，俯角 60°的 C 处，则轮船航行速度是________千米/小时．16．三角形 ABC 中,已知AB → ∙BC → ＋BC → ∙CA → ＋CA → ∙AB →＝－6,且角 C 为直角，则角 C 的对边c 的长为__．三、解答题(本大题共 6 小题，共 74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知向量 a ＝ èç æ ø ÷ ö 1 2 ， 3 2 ，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈ è ç æ ø ÷ ö 0， π 2 . (1)若 a ∥b ，求 sin x 和 cos 2x 的值；(2)若 a ∙b ＝2cos è ç æ ø÷ ö 12k π＋13π 6 ＋x (k ∈Z )，求 tan è ç æ ø ÷ ö x ＋ 5π12 的值． 18．(12 分)如图，为了计算河岸边两景点B 与 C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两个测量点．现测得 AD ⊥CD ，AD ＝100 m ，AB ＝140 m ，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点 B 与 C 之间的距离(假设 A ，B ，C ，D 在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据： 2＝1.414， 3＝ 1.732， 5＝2.236)．19．(12 分)已知 a ＝2(cos ωx ，cos ωx )，b ＝(cos ωx ， 3sin ωx )(其中 0＜ω＜1)，函数 f (x )＝a ∙b ，若直线 x ＝ π3是函数 f (x )图象的一条对称轴．(1)试求 ω 的值；(2)若函数 y ＝g (x )的图象是由 y ＝f (x )的图象的各点的横坐标伸长到原来的2 倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到，求y ＝g (x )的单调增区间．20．(12分)已知函数 f (x )＝2sin è ç æ ø÷ ö 1 3 x － π 6 ，x ∈R . (1)求 f (0)的值；(2)设 α，β∈ ë ê é û ú ù 0， π 2 ，f è ç æ ø ÷ ö 3α＋ π 2 ＝ 1013，f (3β＋2π)＝ 6 5 ，求 sin (α＋β)的值． 21．(12分)在△ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 cos A －2cos C cos B ＝ 2c －ab.(1)求 sin C sin A的值；(2)若 cos B ＝ 14，b ＝2，求△ABC 的面积S .22．(14分)已知向量 a ＝( 3sin 3x ，－y )，b ＝(m ，cos 3x －m )(m ∈R )，且 a ＋b ＝0.设 y ＝f (x )．(1)求 f (x )的表达式，并求函数 f (x )在 ëê é û ú ù π 18 ， 2π 9 上图象最低点M 的坐标； (2)若对任意x ∈ ë ê é ûú ù 0， π 9 ，f (x )＞t －9x ＋1 恒成立，求实数 t 的范围．。

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