2014人教A版数学必修一1.3《函数的基本性质》学案2

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高中数学人教A版必修1学案：1.3.1函数的基本性质课堂导学案(含答案)

1.3.1 函数的基本性质课堂导学三点剖析一、函数单调性【例1】证明函数y=x-x1在(0,+∞)上单调递增. 思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.证明:设任意x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,则 f(x 1)-f(x 2)=x 1-11x -(x 2-21x )=(x 1-x 2)+21x -11x =(x 1-x 2)+2121)(x x x x =(x 1-x 2)(1+211x x ).∵0<x 1<x 2, ∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0,1+211x x >0. 因此（x 1-x 2）(1+1x 1x 2)<0, ∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2). ∴f(x)=x-x1在（0，+∞）上单调递增. 温馨提示1.函数单调性的证明不同于对它判断，应严格按单调性定义加以证明.2.利用定义证明单调性，一般要遵循：(1)取值(任取给定区间上两个自变量);(2)作差变形〔将f(x 1)-f(x 2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有(x 1-x 2)的因式〕;(3)判断符号(根据条件判断差式的正负);(4)得出结论.3.有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法. 【例2】 f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，又f(2)<f(π),试判断f(-2)与f(2)的大小.思路分析：解决此题的关键是将f(-2)与f(2)置于某一单调区间内再进行比较大小.解：由于f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，因此x=1是二次函数的对称轴.又∵1<2<π,f(2)<f(π),可以得f(x)在［1,+∞)上单调递增，∴二次函数的图象开口方向向上，f(x)在(-∞,1)上单调递减. 由于0与2关于x=1对称，∴f(2)=f(0). ∵-2<0,∴f(-2)>f(0),即f(-2)>f(2). 温馨提示利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较. 二、函数的最值【例3】求f(x)=x+1-x 的最小值.思路分析：该题函数f(x)由x 与1-x 相加构成，x 与1-x 具有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于x 的次数不一致，出现了相当于2倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决. 解法一：f(x)=x+1-x 的定义域为［1,+∞］,在［1,+∞］上x 、1-x 同时单调递增，因此f(x)=x+1-x 在［1,+∞］上单调递增，最小值为f(1)=1+11-=1. 解法二：f(x)=x+1-x 的定义域为［1,+∞］，令1-x =t ≥0,x=t 2+1, ∴f(x)=g(t)=t 2+1+t=t 2+t+1=(t+21)2+43(t ≥0).由于g(t)的对称轴t=-21在［0,+∞)的左侧，g(t)的开口方向向上，如右图所示.二次函数在［0,+∞)上单调递增，当t=0时,g(t)min =1，∴f(x)的最小值为1. 温馨提示1.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围.2.利用单调性求最值，其规律为：若f(x)在［a,b ］上单调递增，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在［a,b ］上单调递减，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a),最小值为f(b). 三、函数单调性的应用【例4】 (1)若函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数，求实数a 的取值范围； (2)y=kx 2-32x+1在［0,+∞)上单调递减，求实数k 的取值范围. 思路分析：(1)二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.(2)y=kx 2-32x+1中的k 是否为零要注意讨论. 解：(1)f(x)=x 2+2(a-1)x+2，其对称轴为x=12)1(2⨯--a =1-a ，若要二次函数在(-∞,4］上单调递减，必须满足1-a ≥4,即a ≤-3.如图所示.(2)k=0时，y=-32x+1满足题意；k>0时，抛物线开口向上，在［0,+∞)上不可能单调递减；k<0时，对称轴x=k31<0在［0,+∞］上单调递减.综上，k ≤0. 温馨提示f(x)在（-∞,4］上是减函数，只说明区间（-∞,4］是函数f(x)在定义域上单调递减区间的一个子集. 各个击破类题演练1证明二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a<0)在区间（-∞，-ab2）上是增函数.证明：设x 1、x 2∈(-∞,-ab 2)，且x 1<x,则f(x 1)-f(x 2)=ax 12+bx 1-ax 22-bx 2=(x 1-x 2)［a(x 1+x 2)+b ］. ∵x 1,x 2∈(-∞,-ab2), ∴x 1+x 2<-ab，∴a(x 1+x 2)>-b, ∴a(x 1+x 2)+b>0. ∵x 1-x 2<0，∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2). ∴y=ax 2+bx+c 在（-∞,-ab2］上单调递增. 变式提升1 若函数f(x)=x+x1定义在(0,+∞)上，试讨论函数的单调区间. 解析：设任意x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2, 则f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -(x 2+21x ) =(x 1-x 2)+2112x x x x - =(x 1-x 2)(1-211x x ) =(x 1-x 2)·21211x x x x -. 由于x 1-x 2<0,x 1x 2>0,只有x 1x 2-1>0或x 1x 2-1<0时，f(x)才具有单调性，而显然0<x 1<x 2≤1时，有x 1x 2<1,x 1x 2-1<0,f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0,1)上单调递减. 当1≤x 1<x 2时，则有x 1x 2>1,从而x 1x 2-1>0,f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴f(x)在［1,+∞］上单调递增.当0<x 1<1<x 2时，x 1x 2与1的大小关系无法确定，在(0,+∞)上不具备单调性. 综上，f(x)在(0,1)上单调递减，在［1，+∞］上单调递增. 类题演练2f(x)在(0,+∞)上单调递减，那么f(a 2-a+1)与f(21)的大小关系是_______________. 解析：∵a 2-a+1=(a-21)2+43>21, 又∵f(x)在（0，+∞）上单调递减，∴f(a 2-a+1)<f(21). 答案：f(a 2-a+1)<f(21)变式提升2如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f(2-t)，比较f(1),f(2),f(4)的大小.解析：∵f(2+t)=f(2-t), ∴f(x)的对称轴为x=2.故f(x)在［2，+∞］上是增函数，且f(1)=f(3). ∴f(2)<f(3)<f(4), 即f(2)<f(1)<f(4). 类题演练3已知函数f(x)=xx x 2122++,x∈［1,+∞］，求函数f(x)的最小值.解析：f(x)=x+x21+2, 设1≤x 1<x 2,f(x 2)-f(x 1)=(x 2-x 1)(1-2121x x ). 2x 1x 2>1,0<2121x x <1,得1-2121x x >0,又x 2-x 1>0,∴f(x 2)-f(x 1)>0,f(x 1)<f(x 2),∴f(x)在区间［1，+∞］上为增函数， ∴f(x)在区间［1，+∞］上的最小值为f(1)=27. 变式提升3求函数f(x)=-x 2+2ax+1在［0,2］上的最大值.解析：f(x)=-x 2+2ax+1=-(x 2-2ax+a 2)+a 2+1=-(x-a)2+a 2+1.由于f(x)的对称轴x=a 对于［0,2］有三种位置关系，如下图所示.当a<0时，f(x)在［0,2］上单调递减，则最大值为f(0)=1;当0≤a≤2时，x=a∈［0,2］，则最大值在顶点处取得，为f(a)=a 2+1; 当a>2时，f(x)在［0,2］上单调递增，则最大值为f(2)=4a-3. 综上，f(x)在［0,2］上的最大值为g(a)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+<.2,34,20,1,0,12a a a a a 类题演练4二次函数y=x 2+mx+4在(-∞,-1］上是减函数，在［-1,+∞)上是增函数，则：（1）m 的值是多少？（2）此函数的最小值是多大？解析：（1）由于y=x 2+mx+4在（-∞,-1］上是减函数，在［-1，+∞）上是增函数，∴其对称轴为x=-1，故m=2. (2)y min =3. 变式提升4已知f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上单调递增，求a 的取值范围. 解析：f(x)=21++x ax=221)2(+-++x a x a=a+221+-x a.∴y-a=221+-x a 与y ′='x k比较，知f （x ）要在区间（-2，+∞）上单调递增只须1-2a<0即可.∴a>21. 温馨提示本题关键是将它化为y=m+cx n型，再根据函数y=x k 的单调性来考虑a 应满足的条件，从而求出a 的取值.。

高一数学(人教A版)必修1导学案：1.3函数的基本性质(小结)(无答案)

学生班级姓名小组号评价数学必修一 1.3函数的基本性质【学习目标】1.熟练掌握函数单调性、奇偶性的定义；2.灵活判断或证明函数的单调性与奇偶性；3.通过对单调性、奇偶性和最值的研究，体验数形结合与分类讨论的思想。

【重点和难点】教学重点：函数单调性、奇偶性和最值的研究。

教学难点：抽象函数问题的研究。

【使用说明及学法指导】1.回顾1.3节的基础知识，然后开始做导学案。

2.将预习中不能解决的问题标出来，以便课上交流讨论。

预习案一．知识梳理1.偶函数在关于原点对称的区间上的单调性。

奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 .2.若奇函数在定义域上有最大值M ，则此函数一定有最小值 .3.单调性是函数的性质，奇偶性是函数的性质.(填“整体”或“局部”).4.奇偶性实质是图像的对称性，奇函数关于对称，偶函数关于对称. 一个函数存在奇偶性的前提条件是 .二．问题导学1.增函数、减函数、最值、奇函数、偶函数分别是如何定义的？2.判断和证明函数的单调性、奇偶性的步骤是怎样的？3.根据奇偶性和函数在（0，+∞）上的解析式，你能否求出函数在（-∞，0）上的解析式？三.预习自测1. 已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（）A .2a ≤-B .2a ≥-C .6-≥aD .6-≤a2．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)1()23()2(-<-<f f f .3．下列判断正确的是（） A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B．函数()(1f x x =- C．函数()f x x =+ D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数4．若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 四.我的疑问：探究案一．合作探究探究1. 函数性质的综合应用212()()=.125(1)()(2)()(3)(1)()0.t ax b f x f x f x f x f t f t +=+-+<已知函数是定义在(-1,1)上的奇函数，且求函数的解析式；求证：函数在(-1,1)上是增函数；解不等式思考1：条件中的奇函数如何应用？思考2：怎样证明一个函数在给定区间上的单调性？思考3：第(3)问中如何将函数值的不等式转化为参数的不等式？探究2. 抽象函数的性质问题(),,()()2()(),(0)0.(1)(0)=1(2)()(0)f x x y R f x y f x y f x f y f f f x f ∈++-=≠定义在R 上的函数，对任意的恒有且求证：；是偶函数；思考1：怎样由给出的条件求？思考2：没有解析式如何证明奇偶性？二．课堂训练与检测1．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（）A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最大值是5-D ．减函数且最小值是5-2．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围。

新人教A版必修1高中数学§1.3函数的基本性质学案

高中数学 §1.3函数的基本性质学案新人教A 版必修1学习目标：1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；2. 能应用函数的基本性质解决一些问题；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习难点：函数的基本性质的综合运用学习重点：函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；预习案：（复习教材P 27~ P 36，找出疑惑之处）复习1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？复习2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？例题剖析：例1判断函数y ＝x 2－2|x |－3的奇偶性，并作出图象指出单调区间及单调性.例2 已知f (x )是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f (x )的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.小结：定义在R 上的奇函数的图象一定经过 . 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性，偶函数在关于原点对称区间上的单调性例3 已知()f x 是定义在(1,1)-上的减函数，且(2)(3)0f a f a ---<. 求实数a 的取值范围.当堂检测：1、已知f (x )是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f (x )在[-7,-3]上是函数，且最值为 .2、函数2y x bx c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围（）.A ．2b ≥-B ．2b ≤-C ．2b >-D ． 2b <-3、下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是（）.A ．1y x =-+B ．y ．245y x x =-+ D ．2y x =4、已知函数y =2ax bx c ++为奇函数，则（）.A. 0a =B. 0b =C. 0c =D. 0a ≠课后作业：1、设()f x 在R 上是奇函数，当x ≥0时，()(1)f x x x =+，画出函数的图象并求出()f x 的表达式是什么？2、判别下列函数的奇偶性：（1）y ＝（2）y ＝22(0)(0)x x x x x x ⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩.3、课本第44页8、9、10。

高中数学人教A版必修1教案-1.3_函数的基本性质_教学设计_教案

教学准备1. 教学目标求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的定义域；④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。

2. 教学重点/难点求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的定义域；④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。

3. 教学用具4. 标签教学过程一．知识点1．函数的值域的定义在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

2．确定函数的值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

3．求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的定义域；④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。

高中数学 133函数的基本性质学案新人教A版必修1 学案

1.3.3函数的基本性质使用说明：“自主学习”8分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。

“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。

“巩固练习”10分钟，组长负责，组内点评。

“个人总结”4分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。

能力展示8分钟，教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:1.了解奇偶性的概念，会利用定义判断简单函数的奇偶性.2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.3.学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.学习重点：奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。

学习难点:函数奇偶性概念的认识。

学习过程： 1.自主学习：1.判断函数单调性的方法.2.画出函数2x y x y ==与，从对称的角度观察其图像特点。

3.分析函数2x y =的图像，比较()()x f x f -与的关系。

4.给出偶函数的概念。

5.偶函数的图像有什么特征？6.偶函数的定义域有何要求？7.观察函数x y =的图像，给出奇函数的概念、性质、图像特征。

（二）合作探讨例1 判断下列函数的奇偶性（1）()4x x f = （2）()5x x f = （3）()x x x f +=1 （4）()21xx f =例2已知函数y ＝f(x)是偶函数，且知道x ≥0时的图像，请作出另一半图像.例3．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数（三）巩固练习： 1、判断下列函数的奇偶性（1）()2432x x x f +=（2）()x x x f 23-=（3）()xx x f 12+=（4）()12+=x x f （5）()[]2,1,2-∈=x x x f （6）()2244x x x f -+-=2.已知函数f(x)=x2-,(1)它是奇函数还是偶函数？(2)它的图像具有怎样的对称性?(3)它在(0，＋∞)上是增函数还是减函数？（4）它在(－∞，0)上是增函数还是减函数？3.已知f(x)是偶函数，在(0，＋∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞，0)上也是增函数还是减函数？并证明你的判断.4. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。

最新人教A版数学必修1学案：1.3函数的基本性质第2课时预习导航学案

1.3 函数的基本性质
预习导航
一、最大值和最小值
最小值
如果存在实数M满足：
x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式，也就是说y ＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．
自主思考1已知函数f(x)＝x2的定义域是(0，＋∞)，函数的最小值是0吗？它的值域又是什么？
提示：函数f(x)的最小值不是0.函数没有最小值，因为0不是该函数的值，它的值域是(0，＋∞)．
自主思考2函数的最值与值域是什么关系？
提示：(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
(2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在．
(3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，即此时函数的最大值是其值域中的最大值，函数的最小值是其值域中的最小值．。

人教A版必修一, 1.3 函数的单调性,导学案

人教A版必修一， 1.3 函数的单调性，导学案1.3函数的基本性质第1课时函数的单调性1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 3．会求一些具体函数的单调区间．(重点) [基础・初探]教材整理1 增函数与减函数的定义阅读教材P27～P28，完成下列问题．增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D条件上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2) 结论那么就说函数f(x)在区间D上是增函数都有f(x1)＞f(x2) 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图示判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为f(－1)f(1)．( )(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( )【解析】(1)×.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性．(2)√.由减函数的定义可知f(0)>f(1)． ?x＋1，x∈?1，2](3)×.反例：f(x)＝??x－1，x∈?2，3?.第 1 页共 16 页【答案】(1)× (2)√ (3)× 教材整理2 函数的单调性与单调区间阅读教材P29第一段，完成下列问题．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．【解析】因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．【答案】 (－∞，1) [小组合作型]求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．?2x＋1，?x≥1?1(1)f(x)＝－x；(2)f(x)＝?(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.?5－x，?x<1?；【精彩点拨】(1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间．1【自主解答】(1)函数f(x)＝－x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．第 2 页共 16 页2－x＋2x＋3，x≥0?2?(3)因为f(x)＝－x＋2|x|＋3＝ 2?－x－2x＋3，x<0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)． f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数． 1．求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)． [再练一题]1．函数f(x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________.【解析】因为函数f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，所以f(x)的单调减区间为(a，＋∞)．【答案】(a，＋∞)(1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．f(x)＝3－x 1B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝x D．f(x)＝x2＋2x x2(2)用单调性定义证明函数f(x)＝2在区间(0,1)上是减函数．x－1【精彩点拨】 (1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断． (2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．【自主解答】 (1)A.f(x)＝3－x在(0，＋∞)上为减函数．B.f(x)＝(x－1)2是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，它的单调增区间为(1，＋∞)，所以它1在(0，＋∞)上不为单调函数．C.f(x)＝x在(0，＋∞)上为减函数．D.f(x)＝x2＋2x是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝－1，则它的单调递增区间是(－1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上为增函数．【答案】D第 3 页共 16 页(2)设x1，x2∈(0,1)且x1＜x2，则2x2?x2－x1??x2＋x1?x2x22－x112f(x1)－f(x2)＝2－2＝2＝.x1－1x2－1?x1－1??x22－1??x1－1??x1＋1??x2－1??x2＋1?∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.∵x1，x2∈(0,1)，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，x2所以，函数f(x)＝2在区间(0,1)上是减函数．x－1利用定义证明函数单调性的4个步骤11[再练一题]2．已知函数f(x)＝a－x，用单调性定义证明f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.【证明】设任意x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0.?11??11?11x2－x1∵f(x2)－f(x1)＝?a－x?－?a－x?＝x－x＝xx>0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在?2??1?1212(0，＋∞)上是单调递增函数． [探究共研型]探究1若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高中数学人教A版必修1学案1.3函数的基本性质互动课堂学案

函数的基本性质互动课堂疏导引导.()＜()，那么就说()在区间上是增函数.()＞()，那么就说()在区间上是减函数.如果函数()在区间上是增函数或减函数，那么就说函数()在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做()的单调区间.疑难疏引()函数是增函数还是减函数，是对定义域内的某一个区间而言的，有的函数在整个定义域里是增函数（减函数），也有的函数在定义域的某个区间上是增函数，而在另外区间上又是减函数，也存在一些函数，根本就没有单调区间.如函数：(),(∈{}）．再者，因为一个固定点的函数值不会发生变化，所以函数的单调性不在某一个点去讨论，即使在定义域内，也不可以随便把单调区间写成闭区间（比如一些函数的区间端点正好是不连续的点）.()函数的单调性与单调区间的关系函数的单调性是对区间而言的，它是“局部”性质，对某一函数（），它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性；即使是同一个函数它在某区间上可能单调增，而在另外一区间上可能单调减；对某一函数（），它在区间（，）与（，）上都是单调增（减）函数，不能说（）在（，）∪（，）上一定是单调增（减）函数.即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，而有些函数在整个定义域内具有单调性.而有些函数在定义域内某个区间上是增函数，在另一些区间上是减函数.（）函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数，它的图象是沿轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图象是沿轴正方向逐渐下降的.●案例如何证明函数在（，＋∞）上为增函数?【探究】证明函数的增减性，先在定义域上取＜，然后作差（）－（），判断这个差的符号即可.设、是（，＋∞）上的任意两个实数，且＜，则（）－（）－（）－（－）－－（－）（）.∴（）－（）＜，即（）＜（）.∴函数＋在（，＋∞）上为增函数.【溯源】（）取值：设、为该区间内任意的两个值，且＜；（）作差变形：作差（）－（），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差（）判断：根据定义作出结论.疑难疏引讨论函数＝［φ()］的单调性时要注意两点：()若＝φ()，＝（）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则＝［φ()］为增函数()若＝φ()，＝()在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则＝［φ()］为减函数.若函数()、()在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在这个区间上：()函数()与()(为常数)具有相同的单调性.()＞时，函数()与·()具有相同的单调性；＜时，函数()与·()具有相反的单调性.()若()≠，则函数()与具有相反的单调性.()若函数()、()都是增(减)函数，则()()仍是增(减)函数.()若()＞，()＞，且()与()都是增(减)函数，则()·()也是增(减)函数；若()＜，()＜，且()与()都是增(减)函数，则()·()是减(增)函数.●案例（）－＋＋;（）;（）已知函数()在其定义域［］上是增函数，求()的增区间.【探究】（）可画图判断，（）和（）都不能画图，（）可看成两个基本函数()和()相加得到，（）是复合函数［()］的形式，其中().（）如图.可判断函数的单调增区间是（－∞，－）,（，）.（）()在上是增函数，()在区间（∞），（，∞）上是增函数，所以的增区间是（∞）和（，∞）.（）由函数定义域知≤≤，所以≤≤，二次函数的单调增区间为（，∞），所以原函数的增区间为（，）.。

高中数学人教A版必修1学案1.3.1函数的基本性质课堂导学案

函数的基本性质课堂导学三点剖析一、函数单调性【例】证明函数在(∞)上单调递增.思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.证明:设任意、∈(∞)且<,则()()()()()()().∵<<,∴<>>.因此（）()<,∴()()<,即()<().∴()在（，∞）上单调递增.温馨提示.函数单调性的证明不同于对它判断，应严格按单调性定义加以证明..利用定义证明单调性，一般要遵循：()取值(任取给定区间上两个自变量);()作差变形〔将()()进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有()的因式〕;()判断符号(根据条件判断差式的正负);()得出结论..有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法.【例】 ()是二次函数，且在处取得最值，又()<(π),试判断()与()的大小.思路分析：解决此题的关键是将()与()置于某一单调区间内再进行比较大小.解：由于()是二次函数，且在处取得最值，因此是二次函数的对称轴.又∵<<π()<(π),可以得()在［∞)上单调递增，∴二次函数的图象开口方向向上，()在(∞)上单调递减.由于与关于对称，∴()().∵<,∴()>(),即()>().温馨提示利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较.二、函数的最值【例】求()的最小值.思路分析：该题函数()由与相加构成，与具有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于的次数不一致，出现了相当于倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决.解法一：()的定义域为［∞］,在［∞］上、同时单调递增，因此()在［∞］上单调递增，最小值为().解法二：()的定义域为［∞］，令≥,∴()()()(≥).由于()的对称轴在［∞)的左侧，()的开口方向向上，如右图所示.二次函数在［∞)上单调递增，当时()，∴()的最小值为.温馨提示.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围..利用单调性求最值，其规律为：若()在［］上单调递增，则()≤()≤()，即最大值为(),最小值为();若()在［］上单调递减，则()≤()≤()，即最大值为(),最小值为(). 三、函数单调性的应用【例】 ()若函数()()在区间(∞］上是减函数，求实数的取值范围；()在［∞)上单调递减，求实数的取值范围.思路分析：()二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.()中的是否为零要注意讨论.解：()()()，其对称轴为，若要二次函数在(∞］上单调递减，必须满足≥,即≤.如图所示.()时，满足题意；>时，抛物线开口向上，在［∞)上不可能单调递减；<时，对称轴<在［∞］上单调递减.综上，≤.温馨提示。

人教A版数学必修一《1.3《函数的基本性质》函数的单调性(二)》教案

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 广东省德庆县孔子中学高中数学《1.3 函数的基本性质函数的单调性（二）》教案新人教A 版必修1教学内容课题: 函数的单调性(二)教学目标 1、能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．一、教学策略手段复习函数单调性的知识一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数。

反之为减函数。

二、定义法判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f (x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．三、典型例题例2．（教材P 34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．解：（略）四、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 下结论课堂练习巩固练习：○1 课本P 38练习第3题；○2 证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数．教学反思。

人教版数学高一A版必修1学案 1.3.2函数的基本性质

1.3.2函数的基本性质使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。

“合作探究”7分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。

“巩固练习”8分钟，组长负责，组内点评。

“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。

能力展示5分钟，教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:1.理解函数的最大（小）值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最大（小）值．2.借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想．3.渗透特殊到一般，具体到抽象、形成辩证的思维观点．重点.难点：1.函数的最大（小）值及其几何意义．2.利用函数的单调性求函数的最大（小）值学习过程：（一）自主学习1、增函数与减函数:2.函数的单调性与单调区间3. 画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：（1）32)(+-=x x f（2）32)(+-=x x f ，]2,1[-∈x （3）12)(2++=x x x f（4）12)(2++=x x x f ]2,2[-∈x （5）x 2=y （6）x2=y ]2,0(02[⋃-∈），x 1).说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2).指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？3).怎样理解函数图象最高点？4).请给出最大值的定义.5).函数32)(+-=x x f ，),1(+∞-∈x 有最大值吗？为什么？6).函数最大值的几何意义是什么？7).类比函数最大值的定义，给出函数最小值的定义及几何意义．8).讨论函数最小值应注意什么？（二）合作探讨例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。

制造时一般是期望再它达到最高点时爆裂。

如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系式187.149.4)(2++-=t t t h ，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？例2．求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值．（三）巩固练习1.设f(x)是定义在区间[-6,11]上的函数。

2014年秋高中数学 1.3 函数的基本性质教案新人教A版必修1

函数的基本性质教学目标〔1〕掌握函数的基本性质〔单调性、最大值或最小值、奇偶性〕，能应用函数的基本性质解决一些问题。

〔2〕从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．〔3〕了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性。

重点与难点〔1〕判断或证明函数的单调性；〔2〕奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。

教学过程一、函数的单调性 1．单调函数的定义〔1〕增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。

〔2〕减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。

〔3〕单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。

那么就说函数()y f x =在这一区间具有〔严格的〕单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。

2、单调性的判定方法〔1〕定义法：判断以下函数的单调区间：21xy =〔2〕图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。

〔3〕复合函数的单调性的判断：设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，那么[()]y f g x =在],[b a 上也是单调函数。

①假设)(x f y =是[,]m n 上的增函数，那么[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。

②假设)(x f y =是[,]m n 上的减函数，那么[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。

高中数学人教A版必修1学案：1.3函数的基本性质第2课时课堂探究学案.doc

1. 3函数的基本性质课堂探究探究一利用函数的图象求函数的最值函数的最大值就是函数图象最高点的纵坐标，最小值就是函数图象最低点的纵坐标，因而只要作出函数的图象就可以求出函数的最值，这是求函数最值的常用方法之一.【典型例题1】已知函数f^ = \x+l\ + \x-l\.(1)画出Hx)的图象；(2)根据图象写出f(0的最小值.思路分析：(1)讨论x与±1的大小，化函数/'&)为分段函数形式；(2)函数图象的最低点的纵坐标是f(x)的最小值.—2x, x < —1,解：(l)f(x) = |x+11 + |x—11 = < 2, —1 < x< 1,其图象如图所示.2x, x>l,(2)由图象，得函数f(x)的最小值是2.方法小结用图象法求函数尸f(x)的最值的步骤：(1)画出函数的图象；(2)依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.探究二利用函数的单调性求最值1.函数的单调性是其定义域的子集上的性质，是“局部”性质，而函数的最值是整个定义域上的性质，是“整体”性质.2.若函数f(x)在［a,切上是增(减)函数，则f(x)在［a,切上的最小(大)值是 g, 最大(小)值是3.若函数f(x)在［a,切上是增(减)函数，在”，c］上是减(增)函数，则/■(X)在［a, c］上的最大(小)值是f® ,最小(大)值是f(a)与/"(c)中较小(大)的一个.函数/'(x)在闭区间［a, b］上的图象是一条连续不断的曲线，则函数/'(x)在［a, b］上一定有最值.4【典型例题2】已知函数f(x)=x+ —,圧［1,3］.x(1)判断fg在［1, 2］和［2, 3］上的单调性;(2)根据fg的单调性写出f(x)的最值.分析：(1)证明单调性的流程：|取值IT作差IT变形IT判断符号IT结论(2)借助最值与单调性的关系，写出最值.解：⑴设葢，卫是区间［1,3］上的任意两个实数，且盘5,4 4贝!J f(xi) — fix' =xi—x2+ ———西兀2(4 )= (&—Q 1 ---------------（西一x2）（x1x2一4）V XI<A2,・\xi—X2<0.当lWxi〈卫W2时，丽一屍〈0,且1〈占屍〈4,即爼&―4〈0.即f(x)在［1,2］上是减函数.当时，4〈向卫〈9,即xi卫一4>0.・・・/U)〈/U),即f(力在［2, 3］上是增函数.4 ⑵由(1)知fg的最小值为A2), A2) =2+ 一=4.24 13又・・丫⑴=5, /*(3)=3+_ = —— 51),3 3:・fG)的最大值为5.方法总结利用函数的单调性求函数最值的步骤：(1)判断函数fg的单调性；(2)借助最值与单调性的关系写出最值.探究三二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f^x)=日(/—力)2+£(日>0)在区间［刃，门］上的最值可作如下讨论.m+ n h=2［力,n\fS或f宙m + n , 一----- 〈力W刀2f{ni)f⑷【典型例题3】求函数尸芒一2ax—1在［0,2］上的最值. 解：y= {x— a)2—\ — a.当a〈0时，［0,2］是函数的递增区间，如图⑴.故函数在x=0时，取得最小值一1, 在x=2时取得最大值3—4a.当OWaWl时，结合函数图象(如图(2))知，函数在x=a时取得最小值一a~—1, 在x=2时取得最大值3-4a.图⑶图⑷当1〈aW2时，结合图象(如图(3))知，函数在x=a时取得最小值一a'—1,在x=0时取得最大值一1.当a>2时，［0,2］是函数的递减区间，如图(4).函数在x=0时取得最大值一1,在x=2时取得最小值3-4a.规律总结探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出尸f3的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：(1)对称轴在定义域区间右侧；(2)对称轴在定义域区间左侧；(3)对称轴在定义域区间内.探究四易错辨析易错点求函数的最值忽视定义域【典型例题4】己知函数f(x) = —3x+5, [0, 1],则函数f(x)()A.有最大值2,有最小值5B.有最大值5,有最小值2C.有最大值1,有最小值0D.不存在最值错解：/■(*) = —3x+5是一次函数，值域是R,不存在最值，故选D.错因分析：错解中，忽视了f(x)的定义域是[0,1],不是R.正解：/■(*) = —3x+5在[0,1]上是减函数，则函数f(x)的最大值是/(0) =-3X0 + 5 =5,最小值是/-(l)=-3Xl + 5 = 2.答案：B。

数学1.3《函数的基本性质》学案(新人教A版必修1)

【学习目标】1. 建立增（减）函数的概念,通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义.2.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

【学习重点】函数的单调性及其几何意义．【学习难点】对单调性的理解【自主质疑】一、创设情景，揭示课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○2 能否看出函数的最大、最小值？○3 函数图象是否具有某种对称性？画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x) = x 2 ○1在区间 ____________ 上， f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ． 3、从上面的观察分析，能得出什么结论？(AB) 化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性【精讲点拨】1.增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数．2.类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ． 3．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间：例1.下图是定义在闭区间[]5,5-上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上的单调性（课本P 34例1）。

人教A版高中数学必修一学第一章函数的基本性质练习导学案新人教

§1.3 函数的基本性质（练习）1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；2. 能应用函数的基本性质解决一些问题；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.2736复习1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？复习2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？二、新课导学※典型例题例1 作出函数y＝x2－2|x|－3的图象，指出单调区间及单调性.小结：利用偶函数性质，先作y轴右边，再对称作.变式：y＝|x2－2x－3| 的图象如何作？反思：如何由()f x的图象？f x的图象，得到(||)f x、|()|例2已知()f x在(,0)-∞上的单调性，并进行证+∞是增函数，判断()f x是奇函数，在(0,)明.反思：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？（偶函数在关于原点对称的区间上单调性；奇函数在关于原点对称的区间上单调性）例3某产品单价是120元，可销售80万件. 市场调查后发现规律为降价x元后可多销售2x 万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当降价多少元时，销售金额最大？最大是多少？小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题※动手试试练1. 判断函数y=21xx++单调性，并证明.练2. 判别下列函数的奇偶性：（1）y；（2）y＝22(0)(0)x x xx x x⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩.练3. 求函数1()(0)f x x xx=+>的值域.三、总结提升※学习小结1. 函数单调性的判别方法：图象法、定义法.2. 函数奇偶性的判别方法：图象法、定义法.3. 函数最大（小）值的求法：图象法、配方法、单调法.※ 知识拓展形如(||)f x 与|()|f x 的含绝对值的函数，可以化分段函数分段作图，还可由对称变换得到图象. (||)f x 的图象可由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧. |()|f x 的图象，先作()f x 的图象，再将x 轴下方的图象沿x 轴对折到x 轴上方.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 函数2y x bx c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围（）. A ．2b ≥- B ． 2b ≤-C ．2b >-D ． 2b <-2. 下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是（）.A ．1y x =-+B ．y =C ．245y x x =-+D ．2y x =3. 已知函数y =2ax bx c ++为奇函数，则（）.A. 0a =B. 0b =C. 0c =D. 0a ≠4. 函数y ＝x 的值域为 .5. 2()4f x x x =-在[0,3]上的最大值为，最小值为 .1. 已知()f x 是定义在(1,1)-上的减函数，且(2)(3)0f a f a ---<. 求实数a 的取值范围.2. 已知函数()f x =（1）讨论()f x 的奇偶性，并证明；（2）讨论()f x 的单调性，并证明.。

人教A版高中数学必修一函数及其表示学案(2)

函数、导数及其应用【知识特点】1．函数、导数及其应用是高中数学的重要内容，本章主要包括函数的概念及其性质，基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数），导数的概念，导数及其几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数在实际问题中的应用等内容。

2．本章内容集中体现了函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法，函数的类型较多，概念、公式较多，具有较强的综合性。

【重点关注】1．函数的概念及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、值域是高考考查重点，函数性质的综合考查在历年考试中久考不衰，应重点研究。

2．函数的图象及其变换既是高考考查的重点，又是学生学习的一个难点，应注意区分各函数的图象及图象的变换，利用图象来研究性质。

3．导数的几何意义，导数在函数的最值及单调性方面的应用是高中数学的一个重点内容，也是高等数学的必修内容，是近几年高考的一大热点，复习时应引起足够的重视。

4．注意思想方法的应用。

数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论思想在各种题型中均有体现，应引起重视。

【地位与作用】一、函数在高考中的地位与作用从2007、2008、2009年、2010年的全国各地的高考试题中可以看出，近几年高考在函数中的考查有如下特点：1、知识点的考查情况①映射与函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算；②定义域、值域、解析式是考查的重点，而且比较稳定，有时结合其它知识点（一本部分内容为背景），分段函数较多、花样翻新；③函数的单调性在历年考试中久考不衰，且比例有上升趋势，和导函数联系较多；④函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数等综合，与周期性、对称性、抽象函数等问题联系较多；⑤反函数出现在选择题、填空题中，考反函数概念运算可能性较大，若出现在解答题中，则必定与单调性、奇偶性、不等式、导函数等知识综合，难度较大；⑥二次函数问题是每年的必考题，一方面直接考查二次函数，另一方面是利用二次函数的性质解题，三个“二次”问题（即二次函数、二次方程、二次不等式）是函数考试题中永恒的主题⑦指数函数与对数函数以基本概念、性质为主设计试题，考查指数、对数的定义域、值域、单调性和运算，选择、填空题属中等难度，若解答题涉及到指、对数函数，往往难度会上升；⑧函数的图像与最值每年必考，体现“形是数的直观反映，数是形的抽象概括”，是数学思想方法中的数相结合思想的最直接的表现形式，尤其是函数y=x+a/x（a＞0）的图像和性质，从未间断过；⑨函数应用题与综合应用题是最能体现考生函数水平的试题：一次函数、二次函数、y=x+a/x（a＞0）型、指数型、对数型与现实生活相结合，考查学生的建模能力，而函数与数列、不等式、导函数等众多知识的交汇已经成为函数综合应用中的典型问题。

高中数学人教a版必修1学案1.3函数的基本性质

1.3 函数的基本性质读函数的单调性一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质1．这个区间可以是整个定义域．如y ＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递增的，y ＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质．2．这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如y ＝x 2－2x ＋1在整个定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但是在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质．3．有的函数无单调性．如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，它的定义域是(－∞，＋∞)，但无单调性可言，又如y ＝x 2＋1，x ∈{0,1,2}，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上具有单调性．二、单调性的证明与判断函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法．严格按照单调性定义进行证明．主要步骤有如下五步：(1)取值：定义域中x 1，x 2的选取，选取x 1，x 2时必须注意如下三点：①x 1，x 2取值的任意性，即“任意取x 1，x 2”中，“任意”二字不能省略或丢掉，更不可随意取两个特殊值替代x 1，x 2；②x 1与x 2有大小，一般规定x 1<x 2；③x 1与x 2同属一个单调区间．(2)作差：指求f (x 2)－f (x 1)．(3)变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即将②中的差式f (x 2)－f (x 1)进一步化简变形，变到利于判断f (x 2)－f (x 1)的正负为止．常用的变形技巧有：通分、因式分解、有理化、配方等．一般变形结果是将和差变形为积商，这样才便于定号．(4)定号：根据变形结果，确定f (x 2)－f (x 1)的符号．(5)判断：根据x 1与x 2的大小关系及f (x 1)与f (x 2)的大小关系，结合单调性定义得出结论．例1 证明：函数y ＝x 3(x ∈R )是增函数．证明设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 31－x 32＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22]． ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0.易得(x 1＋12x 2)2＋34x 22≥0. ∵上式等于零的条件是⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－12x 2，x 2＝0，即x 1＝x 2＝0，显然不成立，∴(x 1＋12x 2)2＋34x 22>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数y ＝x 3(x ∈R )是增函数．三、单调区间的求解1．本节单调区间的求解主要是观察法得单调区间再进行证明，或者是图象法求出单调区间，对于利用定义探索函数单调区间问题，由于难度大，要求不可过高，适当了解即可．(单调区间的求解问题随着进一步学习，我们会找到更简单快捷的方法——导数法)2．书写单调区间时，注意区间端点的写法．对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点，因此，书写单调区间时，不妨约定“能闭则闭，须开则开”．数奇偶性学法指导一、学习要点1．要注意准确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称，方可讨论函数f (x )的奇偶性．(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简或应用定义的等价形式，即：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)．3．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形，反之亦成立．因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性和简化一些函数图象的画法．4．按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．5．在公共定义域内：(1)奇函数与奇函数的和(差)仍是奇函数；偶函数与偶函数的和(差)仍是偶函数；非零的奇函数与偶函数的和(差)是非奇非偶函数．(2)奇函数与奇函数的积(商)是偶函数；偶函数与偶函数的积(商)是偶函数；奇函数与偶函数的积(商)是奇函数．以上两条同学们可以自行验证．6．设f (x )是定义域关于原点对称的一个函数，则F 1(x )＝f (x )＋f (－x )为偶函数，F 2(x )＝f (x )－f (－x )为奇函数．7．奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相反．二、典型例题选析例2 当a ，b ，c 满足什么条件时，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是：(1)奇函数；(2)偶函数；(3)既奇又偶函数；(4)非奇非偶函数．解 (1)若是奇函数，应有f (－x )＝－f (x )，于是有ax 2－bx ＋c ＝－ax 2－bx －c ，即ax 2＋c ＝0对定义域内所有实数都成立，所以只有a ＝c ＝0.(2)若是偶函数，则有f (－x )＝f (x )，于是有ax 2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c ，即2bx ＝0对定义域内所有实数都成立，所以只有b ＝0.(3)若既是奇函数又是偶函数，则由(1)和(2)知a ＝b ＝c ＝0.(4)若是非奇非偶函数，则f (－x )≠－f (x )，f (－x )≠f (x )，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－bx ＋c ≠－ax 2－bx －c ，ax 2－bx ＋c ≠ax 2＋bx ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋c ≠0，bx ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0或c ≠0，b ≠0. 所以a ≠0且b ≠0或c ≠0且b ≠0时，f (x )为非奇非偶函数．例3 已知f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx －8，且f (－2)＝10，求f (2)的值．解令g (x )＝f (x )＋8＝ax 5＋bx 3＋cx ，显然g (x )是奇函数，即g (－2)＝－g (2)．又g (－2)＝f (－2)＋8＝18，所以f (2)＝g (2)－8＝－26.断函数奇偶性的常见错误一、忽略定义域出错例4 判断f (x )＝x 4－x 31－x的奇偶性．错解因为f (x )＝x 4－x 31－x ＝x 3(1－x )1－x＝x 3，显然f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．剖析判断函数奇偶性，首先要看函数的定义域，若定义域是关于原点的对称区间，则函数可能具有奇偶性；否则，函数一定不具有奇偶性．其次，要看f (x )与f (－x )之间的关系．正解函数的定义域为{x |x ≠1}．显然，它的定义域不关于原点对称，于是该函数为非奇非偶函数．二、忽视对参数的讨论例5 判断函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1(a ∈R )的奇偶性．错解显然函数定义域为R .因为f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，所以f (－a )≠f (a )，且f (－a )≠－f (a )，所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．剖析此解法错在没有对参数进行讨论，未考虑到a ＝0这种特殊情形，以致解题出错．正解当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝x 2＋|x |＋1＝f (x )，此时f (x )为偶函数；当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，f (－a )≠f (a )，f (－a )≠－f (a )，此时f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．三、忽视特殊函数f (x )＝0的存在例6 判断函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1的奇偶性．错解定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f (－x )＝1－(－x )2＋(－x )2－1＝1－x 2＋x 2－1＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．剖析上述解法忽视了定义域关于原点对称的函数f (x )＝0，既是奇函数又是偶函数．正解函数定义域为{－1,1}，此时f (x )＝0，因而f (x )既是奇函数又是偶函数．四、不明分段函数奇偶性概念致错例7 判断f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋3， x <0，3， x ＝0，－x 2＋2x －3 x >0，的奇偶性．错解当x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f (x )．当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )－3＝－(x 2＋2x ＋3)＝－f (x )．所以f (x )是奇函数．剖析尽管对于定义域内的每一个不为零的x ，都有f (－x )＝－f (x )成立，但当x ＝0时，f (0)＝3≠－f (0)，所以函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数.断函数单调性的方法一、用定义证明函数的单调性例1 证明：函数f (x )＝－x 在定义域上是减函数．证明 f (x )＝－x 的定义域为[0，＋∞)，设0≤x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且f (x 2)－f (x 1)＝(－x 2)－(－x 1)＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2， ∵x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )＝－x 在定义域[0，＋∞)上是减函数．点评 (1)有的同学认为由0≤x 1<x 2，得0≤x 1<x 2多么直接呢，其实这种证明方法不正确，因为我们没有这样的性质作依据．其次，这种证明利用了函数y ＝x 的单调性，而y ＝x 的单调性，我们没有证明，因此不能直接使用．(2)在本题的证明中，我们使用了“分子有理化”这种证明技巧，在今后的学习中，我们还会经常遇到，因此要注意观察这类题目的结构特点，在今后的学习中学会使用这种方法．例2 已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )对任意x ，y ∈(0，＋∞)，恒有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当0<x <1时f (x )>0，判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性．分析抽象函数单调性的判断要紧扣定义，并且要注意对原题条件的应用．解设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1x 2·x 2)－f (x 2) ＝f (x 1x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1x 2)． ∵x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，∴0<x 1x 2<1，∴f (x 1x 2)>0. ∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．二、利用已知函数的单调性判断较复杂函数的单调性例3 求函数f (x )＝－x 2＋a x(a >0)的单调区间．分析此函数可化为f (x )＝－x ＋a x ，可根据y ＝1x的单调性判断．解 f (x )＝－x 2＋a x ＝－x ＋a x. ∵a >0，y ＝a x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)， y ＝－x 在R 上单调递减，∴f (x )＝－x 2＋a x(a >0)的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．点评运用已知的结论，直接得到函数的单调性．如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出．了解以下结论，对于直接判断函数的单调性有好处：①函数y ＝－f (x )与函数y ＝f (x )在相对应的区间上的单调性相反．②当f (x )恒为正或恒为负时，函数y ＝1f (x )与y ＝f (x )在相对应的区间上的单调性相反． ③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等．三、图象法例4 求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调区间．分析 “脱去”绝对值符号，画出函数图象，由图象观察得出．解当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.画出图象如图所示：故在(－∞，－1]和[0,1]上，函数是增函数；在[－1,0]和[1，＋∞)上，函数是减函数．函数单调性的应用一、比较大小例5 若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小．解依题意可知f (x )的对称轴为x ＝2，∴f (－1)＝f (5)．∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f (2)<f (4)<f (5)，即f (2)<f (4)<f (－1)．点评 (1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．二、解不等式例6 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数，且f (t －1)<f (1－2t )，求实数t 的取值范围．解依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<t －1<1，－1<1－2t <1，t －1<1－2t ，解得0<t <23. 点评 (1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式；(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围；(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错．三、求参数的值或取值范围例7 已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a 的取值范围．解任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0.Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 32－ax 2)－(x 31－ax 1)＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22－a )．∵1≤x 1<x 2，∴x 21＋x 1x 2＋x 22>3.显然不存在常数a ，使(x 21＋x 1x 2＋x 22－a )恒为负值．又f (x )在[1，＋∞)上是单调函数，∴必有一个常数a ，使x 21＋x 1x 2＋x 22－a 恒为正数，即x 21＋x 1x 2＋x 22>a .当x 1，x 2∈[1，＋∞)时，x 21＋x 1x 2＋x 22>3，∴a ≤3.此时，∵Δx ＝x 2－x 1>0，∴Δy >0，即函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴a 的取值范围是(0,3]．四、利用函数单调性求函数的最值例8 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝4时，求f (x )的最小值；(2)当a ＝12时，求f (x )的最小值； (3)若a 为正常数，求f (x )的最小值．解 (1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x＋2，易知，f (x )在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝6.(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2. 易知，f (x )在[1，＋∞)上为增函数．∴f (x )min ＝f (1)＝72. (3)函数f (x )＝x ＋a x＋2在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．若a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋∞)上先减后增，∴f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2.若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.五、利用函数单调性证明不等式例9 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b >c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c. 证明设f (x )＝x 1＋x(x >0)，设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 1－x 21＋x 2＝x 1－x 2(1＋x 1)(1＋x 2)<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵a ＋b >c ，∴f (a ＋b )>f (c )，即a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c. 又f (a )＋f (b )＝a 1＋a ＋b 1＋b >a 1＋a ＋b ＋b 1＋a ＋b＝a ＋b 1＋a ＋b，∴a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c. 点评本题通过构造函数，利用函数单调性证明不等式．判断函数奇偶性的方法函数奇偶性是函数的一个重要性质，在各种考试中屡次出现，其表现形式多种多样，求解方法也不单一，不同的形式对应不同的解决策略．现介绍三种常见的方法，供同学们学习时参考．一、定义法首先求出函数的定义域，确定其定义域是否关于原点对称，若对称再利用f (－x )＝f (x )(符合为偶函数)或f (－x )＝－f (x )(符合为奇函数)，否则既不是奇函数也不是偶函数．例10 判断函数f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3的奇偶性．解要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，解得－2≤x ≤2且x ≠0，此函数的定义域[－2,0)∪(0,2]关于原点对称，且满足x ＋3>0，则函数f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ， f (－x )＝4－(－x )2－x＝－4－x 2x ＝－f (x )，故函数f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3是奇函数．点评判断函数的奇偶性时，首先一定要观察函数定义域是否关于原点对称，这是判断奇偶性的前提条件．二、等价转化法利用函数奇偶性定义的等价形式进行处理，往往借助f (－x )±f (x )＝0来解决，方法比较简便．三、图象法奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．例11 判断函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|的奇偶性．解 f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x >2，4，－2≤x ≤2，－2x ， x <－2，其图象(如图)关于y 轴对称，该函数为偶函数．点评利用图象法(数形结合法)解题，形象直观、清晰可见．同时数形结合思想一直都是高考考查的重点，同学们要注意领会．一道课本习题的拓展证明：(1)若f (x )＝ax ＋b ，则f (x 1＋x 22)＝f (x 1)＋f (x 2)2； (2)若f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)2. 探究 x 1＋x 22为自变量x 1、x 2中点，x 1＋x 22对应的函数值f (x 1＋x 22)为“中点的纵坐标”．而12[f (x 1)＋f (x 2)]为x 1、x 2对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点”．f (x )＝ax ＋b 的图象为直线，所以“中点的纵坐标”等于“纵坐标的中点”，即有f (x 1＋x 22)＝f (x 1)＋f (x 2)2.而f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象为开口向上的抛物线，图象向下凹进，由图象可得到“中点的纵坐标”不大于“纵坐标的中点”，即有f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)2. 拓展在给定区间内，若函数f (x )的图象向上凸出，则函数f (x )在该区间上为凸函数，结合图象易得到f (x 1＋x 22)≥f (x 1)＋f (x 2)2；在给定区间内，若函数f (x )的图象向下凹进，则函数f (x )在该区间上为凹函数，结合图象易得到f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)2.这一性质，可以称为函数的凹凸性．活用函数的基本性质掌握函数与方程的互化，构造函数求值某些求值问题，若能根据问题的结构特征，注重揭示内在联系，挖掘隐含因素，用运动、变化、相互联系的函数观点来分析、处理变量之间的联系，利用函数的单调性，借助函数的奇偶性把问题解决．例12 已知实数x ，y 满足(x ＋x 2＋1)·(y ＋y 2＋1)＝1，求x ＋y 的值．解由已知条件可得x ＋x 2＋1＝－y ＋(－y )2＋1.构造函数f (t )＝t ＋t 2＋1.显然f (t )＝t ＋t 2＋1是R 上递增函数．因为f (x )＝f (－y )，所以x ＝－y ，即x ＋y ＝0.例13 已知(x ＋2y )5＋x 5＋2x ＋2y ＝0，求x ＋y 的值．解已知方程化为(x ＋2y )5＋(x ＋2y )＝－(x 5＋x )．①由①式的结构，构造函数f (t )＝t 5＋t .显然，f (t )是奇函数，且在R 上单调递增．由于①式可写成f (x ＋2y )＝－f (x )＝f (－x )，所以有x ＋2y ＝－x ，即x ＋y ＝0.三种数学思想在函数奇偶性中的应用一、数形结合思想例14 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为______________．解析注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思想方法画全函数f (x )在[－5,5]上的图象(如图所示)，数形结合，得f (x )<0的解集为{x |－2<x <0或2<x ≤5}．答案 (－2,0)∪(2,5]二、分类讨论思想例15 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R )，试判断f (x )的奇偶性．解当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．三、方程思想例16 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝x ＋m x 2＋nx ＋1，试求f (x )．分析利用奇函数的性质、定义求出参数m 、n 的值是关键．解由f (0)＝0知m ＝0.由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，即－x ＋0x 2－nx ＋1＝－x ＋0x 2＋nx ＋1， ∴x 2－nx ＋1＝x 2＋nx ＋1，∴n ＝0.∴f (x )＝x x 2＋1.二次函数在某区间上的最值——思维规律解读一、定函数在定区间上的最值例17 求函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[－1,4]上的最大值和最小值．解 f (x )＝(x －1)2＋1，其对称轴为x ＝1.因为函数对称轴x ＝1在区间[－1,4]内，又函数开口向上，所以当x ＝1时，f (x )取到最小值为1.又f (－1)＝5，f (4)＝10，所以在x ＝4时，f (x )取到最大值为10.二、定函数在动区间上的最值例18 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[t ，t ＋1]上的最小值为g (t )，求g (t )的表达式．解 f (x )＝(x －1)2＋1，其对称轴为x ＝1.当t ＋1<1时，即t <0时，区间[t ，t ＋1]在对称轴的左侧，f (x )在此区间上是减函数．所以此时g (t )＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2－2(t ＋1)＋2＝t 2＋1.当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，对称轴x ＝1在此区间内，又函数开口向上．所以此时g (t )＝f (1)＝12－2＋2＝1.当t >1时，区间[t ，t ＋1]在对称轴的右侧，f (x )在此区间上是增函数．所以此时g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1， t <0，1， 0≤t ≤1，t 2－2t ＋2， t >1.三、动函数在定区间上的最值例19 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3在区间[－2,2]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式．解 f (x )＝(x ＋a 2)2＋3－a 24，其对称轴为x ＝－a 2. 当对称轴x ＝－a 2在区间[－2,2]的右侧，即－a 2≥2，a ≤－4时，f (x )在此区间上是减函数．所以此时g (a )＝f (－2)＝7－2a .当对称轴x ＝－a 2在区间[－2,2]内时，如果－2<－a 2<0，即0<a <4时，x ＝2距离对称轴较远，所以此时f (x )在x ＝2时取到最大值，为g (a )＝f (2)＝7＋2a ；如果0<－a 2<2，即－4<a <0时，则x ＝－2距离对称轴较远，此时f (x )在x ＝－2时取到最大值，为g (a )＝f (－2)＝7－2a .当对称轴x ＝－a 2在区间[－2,2]的左边，即－a 2≤－2，a ≥4时，f (x )在此区间上是增函数．所以此时g (a )＝f (2)＝7＋2a .综上得：g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧7＋2a ， a >0，7－2a ， a ≤0. 四、动函数在动区间上的最值例20 设a 为实数，函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1(x ∈R )，求f (x )的最小值．解 ①当x ≤a 时，函数f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋a ＋34，若a ≤12，则函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，从而f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1；若a ＞12，则f (x )在(－∞，a ]上的最小值为 f ⎝⎛⎭⎫12＝34＋a .②当x ≥a 时，f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－a ＋34，若a ≤－12，则函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为 f ⎝⎛⎭⎫－12＝34－a ；若a ＞－12，则函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1.综上，当a ≤－12时，函数f (x )的最小值为34－a ；当－12＜a ≤12时，函数f (x )的最小值为a 2＋1；当a ＞12时，函数f (x )的最小值为a ＋34. 点评当二次函数在某个区间上求最值时，其关键在于明确函数的对称轴与自变量取值范围的相对位置关系，分对称轴在区间内、在区间左边、在区间右边三种情况讨论．形如“y ＝x ＋a x(a >0)”的函数图象的探究例21 试探究函数f (x )＝x ＋a x(a >0)，x ∈(0，＋∞)的单调区间．解任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2. 由于x 1－x 2及x 1x 2的符号已定，从而f (x 1)－f (x 2)的符号取决于x 1x 2－a 的符号．由于x 1，x 2只能取f (x )的某个单调区间上的值，因此考虑x 1＝x 2这一极端情形，则x 1x 2－a ＝x 21－a ，若为零，得x 1＝x 2＝a ，从而将定义域(0，＋∞)分为两个区间(0，a )及[a ，＋∞)，由此讨论它的单调性即可．任取0<x 1<x 2<a ，则x 1－x 2<0，0<x 1x 2<a ，所以x 1x 2－a <0.于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(0，a )上单调递减．同理可知，函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增．由f (x )是奇函数，知f (x )在(－∞，－a )上单调递增，在(－a ，0)上单调递减．由函数的单调性及奇偶性，可作出如下图象：知识延伸 (1)函数y ＝x ＋a x(a >0)是一个常用且重要的函数，其图象如图所示，记住这个图象和性质会给解题带来方便．(2)对形如f (x )＝x 2＋2x ＋3x这种“分式型”的函数，求它在区间[a ，b ]上的最值，常用“分离变量”法转化为y ＝x ＋a x(a >0)模型求解．谈复合函数的单调性设y ＝f (t )是t 的函数，t ＝g (x )是x 的函数，若t ＝g (x )的值域是y ＝f (t )定义域的子集，则y 通过中间变量t 构成x 的函数，称为x 的复合函数，记作y ＝f (t )＝f [g (x )]．如函数y ＝1－x ，若设t ＝1－x ，则y ＝t .这里t 是x 的函数，y 是t 的函数，所以y ＝1－x 是x 的复合函数，把t 称为中间变量．问题1 已知函数y ＝f (t )的定义域为区间[m ，n ]，函数t ＝g (x )的定义域为区间[a ，b ]，值域D ⊆[m ，n ]．若y ＝f (t )在定义域内单调递增，t ＝g (x )在定义域内单调递增，那么y ＝f [g (x )]是否为[a ，b ]上的增函数？为什么？探究 y ＝f [g (x )]是区间[a ，b ]上的增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1<x 2，则t 1＝g (x 1)，t 2＝g (x 2)，且t 1，t 2∈[m ，n ]．因为t ＝g (x )在[a ，b ]上递增，所以g (x 1)<g (x 2)，即t 1<t 2，而y ＝f (t )在[m ，n ]递增，故f (t 1)<f (t 2)，即f [g (x 1)]<f [g (x 2)]，所以y ＝f [g (x )]在[a ，b ]上是增函数．问题2 若将g (x )在区间[a ，b ]上“递增”改为“递减”或将f (x )在区间[m ，n ]上“递增”改为“递减”等，这时复合函数y ＝f [g (x )]在区间[a ，b ]上的单调性又如何呢？探究利用解决问题1的方法就可以得出相应的结论(你不妨一试)．由此可得到如下复合函数单调性的结论：y ＝f (t ) 递增递减t ＝g (x ) 递增递减递增递减y ＝f [g (x )] 递增递减递减递增以上规律可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”．不过要注意：单调区间必须注意定义域；要确定t ＝g (x )(常称内层函数)的值域，否则无法确定f (t )(常称外层函数)的单调性．例22 求函数y ＝1(x ＋1)2的单调区间．解函数y ＝1(x ＋1)2的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，设t ＝(x ＋1)2，则y ＝1t(t >0)．当x ∈(－∞，－1)时，t 是x 的减函数，y 是t 的减函数，所以(－∞，－1)是y ＝1(x ＋1)2的递增区间；当x ∈(－1，＋∞)时，t 是x 的增函数，y 是t 的减函数，所以(－1，＋∞)是y ＝1(x ＋1)2的递减区间．综上知，函数y ＝1(x ＋1)2的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)．试一试求y ＝1x 2－2x －3的单调区间．解由x 2－2x －3≠0，得x ≠－1或x ≠3，令t ＝x 2－2x －3(t ≠0)，则y ＝1t，因为y ＝1t在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，而t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)，(－1,1)上为减函数，在(1,3)，(3，＋∞)上是增函数，所以函数y ＝1x 2－2x －3的递增区间为(－∞，－1)，(－1,1)，递减区间为(1,3)，(3，＋∞).函数基本性质如何考？1．(辽宁高考)设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( )A ．－3B ．3C ．－8D ．8解析因为f (x )是连续的偶函数，且x >0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4，只有两种情况： ①x ＝x ＋3x ＋4； ②x ＋x ＋3x ＋4＝0. 由①知x 2＋3x －3＝0，故两根之和为x 1＋x 2＝－3.由②知x 2＋5x ＋3＝0，故两根之和为x 3＋x 4＝－5.因此满足条件的所有x 之和为－8.答案 C2．(全国Ⅱ高考)函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析 f (x )＝1x－x 的定义域为{x |x ≠0}， ∵f (－x )＝－1x＋x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －x ＝－f (x )． ∴f (x )是一个奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称．答案 C3．(重庆高考)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数解析令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝2f (0)＋1，所以f (0)＝－1.令x 2＝－x 1，得f (0)＝f (x 1)＋f (－x 1)＋1，即f (－x 1)＋1＝－f (x 1)－1.所以f (x )＋1为奇函数．答案 C4．(湖南高考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析结合图象，由f (x )在[1,2]上为减函数知a ≤1，由g (x )在[1,2]上是减函数知a >0.∴0<a ≤1.答案 D5．(上海高考)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝____________.解析 ∵f (－x )＝f (x )且f (x )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2，∴b (－x )2＋(2a ＋ab )(－x )＋2a 2＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2，∴－(2a ＋ab )＝2a ＋ab ，即2a ＋ab ＝0，∴a ＝0或b ＝－2.当a ＝0时，f (x )＝bx 2，∵f (x )值域为(－∞，4]，而y ＝bx 2值域不可能为(－∞，4]，∴a ≠0.当b ＝－2时，f (x )＝－2x 2＋2a 2，值域为(－∞，2a 2]．∴2a 2＝4，∴a 2＝2.∴f (x )＝－2x 2＋4.答案－2x 2＋46．(上海高考)若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b ，的取值范围是________．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －ab ＋2 (x ≥b )，－ax ＋ab ＋2 (x <b ). ∵函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴必有a>0，且[0，＋∞)是[b，＋∞)的子集，即a>0，且b≤0.答案a>0且b≤0。