平面向量的线性运算基础训练(教师版)

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17必修四第二章平面向量第一节平面向量的基本概念及线性运算教师版

1第 1 页共 23 页教学辅导教案1．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (sin 120°，cos 120°)，则α可以是( )A ．60°B ．330°C ．150°D ．120°案：B2．若sin 2θ＋2cos θ＝－2，则cos θ＝( )A ．1 B.12C ．－12D ．－1 答案：D3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32答案：C5．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( ) A.32 B ．2 C ．0 D.34答案：A6．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案：A7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 答案：C8.已知α是第二象限角，且f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan (π－α)tan (－α－π)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝35，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝－cos αsin α(－tan α)－tan αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝35， ∴sin α＝35.又∵α是第二象限角，∴cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴f (α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＝45.[问题1]在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤ D ．①③⑤[答案] D[解析] 由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D ．[问题2] 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出AO →，BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量；(3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？ [解析] (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →. (2)与AO →共线的向量为：BF →，CO →，DE →.(3)|AO →|＝|CO →|＝|DO →|＝|BO →|＝|BF →|＝|CF →|＝|AE →|＝|DE →|. (4)不相等． [问题3]根据右图填空：b ＋c ＝________； a ＋d ＝________； b ＋c ＋d ＝________； f ＋e ＝________； e ＋g ＝________. [答案] af f b δ[解析] 由向量加法的多边形法则可知．[问题4] 如图所示，在△ABC 中，P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 边的中点，求证AP →＋BQ →＋CR →＝0.[解析] 解法一：AP →＝AB →＋BP →，BQ →＝BC →＋CQ →，CR →＝CA →＋AR →.又∵P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 的中点，∴BP →＝12BC →，CQ →＝12CA →，AR →＝12AB →，∴AP →＋BQ →＋CR →＝(AB →＋BC →＋CA →)＋12BC →＋12CA →＋12AB →＝32(AB →＋BC →＋CA →)＝0.解法二：AP →＝12(AB →＋AC →)，BQ →＝12(BA →＋BC →)，CR →＝12(CA →＋CB →)， ∴AP →＋BQ →＋CR →＝12(AB →＋AC →＋BA →＋BC →＋C A →＋CB →)＝0.[问题5]化简下列各式：(1)AB →－AC →＋BD →－CD →； (2)OA →－OD →＋AD →； (3)AB →－AD →－DC →.[解析] (1)AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)＋(CA →＋DC →)＝AD →＋DA →＝0. (2)OA →－OD →＋AD →＝OA →＋(AD →＋DO →) ＝OA →＋AO →＝0.(3)AB →－AD →－DC →＝AB →－(AD →＋DC →) ＝AB →－AC →＝CB →.[问题6] 如图，已知向量a 、b 、c ，求作向量a －c ＋b . 导学号34340514[解析] 如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .连接AC ，则CA →＝a －c .过点B 作BD ∥AC ，且BD ＝AC ，则BD →＝CA →. 所以OD →＝OB →＋BD →＝b ＋a －c ＝a －c ＋b .[问题7]已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，M 为斜边中点，设CM →＝a ，CA →＝b ，试用向量a 、b 表示AM →、MB →、CB →、BA →.[解析] 如图所示，AM →＝CM →－CA →＝a －b ， MB →＝AM →＝a －b ， CB →＝CA →＋AB →＝b ＋2AM → ＝b ＋2a －2b ＝2a －b ， BA →＝－2AM →＝－2(a －b ) ＝2b －2a .[问题8]化简下列各式：(1)3(2a －b )－2(4a －3b )； (2)13(4a ＋3b )－12(3a －b )－32b ； (3)2(3a －4b ＋c )－3(2a ＋b －3c )． [解析] (1)原式＝6a －3b －8a ＋6b ＝－2a ＋3b .(2)原式＝43a ＋b －32a ＋12b －32b＝－16a .(3)原式＝6a －8b ＋2c －6a －3b ＋9c ＝－11b ＋11c .[问题9]设两个非零向量a 与b 不共线，若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线．[解析] ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →、BD →共线，又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.【典例剖析】【例1】若a为任一非零向量，b为其单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤a|a|＝b.其中正确的是()A．①④⑤B．③C ．①②③⑤D ．②③⑤[答案] D[解析] |a |与|b |大小关系不能确定，故①错，a 与其单位向量平行②正确．a ≠0，∴|a |>0，③正确．|b |＝1，故④错．由定义知⑤正确．【例2】如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的点，已知AD →＝DB →，DF →＝BE →，试推断向量DE →与AF →是否为相等向量，说明你的理由．[解析] ∵AD →＝DB →，∴|AD →|＝|DB →|，从而D 是AB 的中点．∵DF →＝BE →，∴DF →与BE →是平行向量，从而DF ∥BE ，即DF ∥BC ．∴F 是AC 的中点．由三角形中位线定理知，DF ＝12BC ，又|DF →|＝|BE →|，即DF ＝BE ，从而E 为BC 的中点．于是DE ∥AC ，且DE ＝12AC ．∴DE ∥AF 且DE =AF ，故DE →＝AF →. ∵F 是AC 的中点，∴AF ＝12AC ，【例3】在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列各式中不成立的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |[答案] C [解析] 如图，a ＋b ＝c ，|a ＋b |＝|c |，a ＋d ＝b ，b ＋d ≠a ，故选C ．【例4】给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中所有正确命题的序号为________． [答案] ①②③④[解析] 若O D →＋O E →＝OM →，则 O D →＝OM →－O E →，故①正确；若O D →＋O E →＝OM →，则OM →－O D →＝OM →＋D O →＝O E →，故②正确；若O D →＋O E →＝OM →，则O D →－E O →＝OM →，故③正确；若O D →＋O E →＝OM →，则－O D →－O E →＝－OM →，即D O →＋E O →＝M O →，故④正确．【例5】下列各式中不能化简为PQ →的是( )A ．AB →＋(P A →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C ．QC →－QP →＋CQ →D ．P A →＋AB →－BQ →[答案] D[解析] A 中AB →＋BQ →＋P A →＝AQ →＋P A →＝PQ →， B 中AB →＋PC →＋BA →－QC →＝PC →－QC →＝PQ →， C 中QC →－QP →＋CQ →＝PQ →，故选D ．【例6】已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，M 为斜边中点，设CM →＝a ，CA →＝b ，试用向量a 、b 表示AM →、MB →、CB →、BA →.[解析] 如图所示，AM →＝CM →－CA →＝a －b ，MB →＝AM →＝a －b ， CB →＝CA →＋AB →＝b ＋2AM → ＝b ＋2a －2b ＝2a －b ， BA →＝－2AM →＝－2(a －b ) ＝2b －2a .【例7】化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[]2(2a ＋8b )－4(4a －2b ). 答案：(1)14a －9b (2)－2a ＋4b【例8】（1）如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案：C【例9】（1）已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a 与b 是共线向量，则实数k 的值为________．答案：－2（2）如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD ，求证：M 、N 、C 三点共线．[解析] 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则： BD →＝BA →＋AD →＝－e 1＋e 2， BN →＝13BD →＝－13e 1＋13e 2，MB →＝12e 1，BC →＝AD →＝e 2，MC →＝MB →＋BC →＝12e 1＋e 2，MN →＝MB →＋BN →＝12e 1－13e 1＋13e 2＝16e 1＋13e 2＝13⎝⎛⎭⎫12e 1＋e 2. 故MN →＝13MC →，故M 、N 、C 三点共线．1．四边形ABCD 中，若AB →与CD →是共线向量，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平行四边形或梯形D ．不是平行四边形也不是梯形[答案] C[解析] 因为AB →与CD →为共线向量，所以AB →∥CD →，但|AB →|与|CD →|可能相等，也可能不相等．2．当向量a 与任一向量都平行时，向量a 一定是________．答案：零向量3．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( )A ．BC →B ．AB →C ．AC →D ．AM → [答案] C[解析] 原式＝AB →＋BC →＋MB →＋BO →＋OM →＝AC →＋0＝AC →. 4．若a 、b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同 [答案] B[解析] ∵a 与b 方向相反，且|a |<|b |时，a ＋b 与a 的方向相反，a ＋b 与b 的方向相同，故B 不正确．5．a 、b 、a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( )A ．a ＝bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．以上都不对[答案] C[解析] 由向量加法的平行四边形法则知，若a ＋b 平分a 与b 的夹角，则四边形是菱形，因此|a |＝|b |.6．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a ＋(－a )＝0.正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] ①、②、④、⑤、⑥正确，③不正确，故选C ． 7．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( )A ．EF →＝OF →＋OE →B ．EF →＝OF →－OE →C ．EF →＝－OF →＋OE →D ．EF →＝－OF →－OE → [答案] B[解析] EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →，故选B ．8．设a 、b 为非零向量，且满足|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 的关系是( )A ．共线B ．垂直C ．同向D ．反向 [答案] D[解析] 设a 、b 的起点为O ，终点分别为A 、B ，则a －b ＝BA →，由|a －b |＝|a |＋|b |，故O 、A 、B 共线，且O 在AB 之间．故OA →与OB →反向，所以选D ． 9．已知|OA →|＝|OB →|＝2，且∠AOB ＝120°，则|OA →＋OB →|＝________.[答案]2[解析] 以OA →，OB →为邻边作▱OACB ， ∵|OA →|＝|OB →|，∴▱OACB 为菱形， ∴|OA →＋OB →|＝|OC →|，∵∠AOB ＝120°，∴△OAC 为正三角形，∴|OC →|＝ 2. 10．如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →[答案] A[解析] ∵D 是AB 的中点，∴BD →＝12BA →，∴CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →，故选A ．11．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.[答案] 13或－2[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ， ∴k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m 1－52k ＝3m ，即3k 2＋5k －2＝0， ∴k ＝13或－2.【知识点一】向量a ＋b 与非零向量a ，b 的模及方向的联系(1)当向量a 与b 不共线时，向量a ＋b 的方向与a ，b 都不相同，且|a ＋b |<|a |＋|b |，几何意义是三角形两边之和大于第三边．(2)当向量a 与b 同向时，向量a ＋b 与a (或b )方向相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当向量a 与b 反向，且|a |≤|b |时，a ＋b 与b 方向相同(与a 方向相反)，且|a ＋b |＝|b |－|a |.【知识点二】用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行．(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB ＝λAC ，则AB ，AC 共线，又AB 与AC 有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．【经典例题剖析】【例1】下列命题正确的是( )A ．向量a 与b 共线，向量b 与c 共线，则向量a 与c 共线B ．向量a 与b 不共线，向量b 与c 不共线，则向量a 与c 不共线C ．向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点一定共线 D ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量[错解] 错解一：因为向量a 与b 共线，所以a ＝λ1b ，又因为向量b 与c 共线，所以b ＝λ2c ，则a ＝λ1λ2c 向量a 与c 共线，故选A ．错解二：因为向量a 与b 不共线，向量b 与c 不共线，根据传递性向量a 与c 不共线，故选B ．错解三：因为向量AB →与CD →是共线向量，所以AB →与CD →在同一条直线上，所以A 、B 、C 、D 四点共线，所以应选C ．[辨析] 错解一中对零向量的认知不到位，忽略了零向量与任何向量共线．错解二中错因是非零向量共线传递的负迁移，是平行线传递性的负迁移．错解三的错因是对向量共线与线段共线在认知上的错位．[正解] 当b ＝0时，A 不对；如图，△ABC 的中位线EF ，a ＝EF →，c ＝BC →，b ＝AB →，显然满足B 的条件，但a ∥c ，故B 不对；当AB →与CD →的基线平行或重合时，AB →与CD →共线，但显然前者A 、B 、C 、D 四点不共线，故C 错；假若a 与b 中存在一个向量为0，则一定有a ∥b ，与a 、b 不共线条件矛盾，∴D 正确．[变式1]已知a 、b 为两个向量，给出以下4个条件：①|a |＝|b |；②a 与b 的方向相反；③|a |＝0或|b |＝0；④a 与b 都是单位向量．由条件________一定可以得到a 与b 平行． [答案] ②③[解析] 长度相等或都是单位向量不能得到a ∥b ，但方向相反或其中一个为零向量可以说明a ∥b .故填②③.【例2】(1)若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是________；(2)当非零向量a，b(a，b不共线)满足________时，能使a＋b平分a，b的夹角．[解析]由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|，当且仅当a与b反向，且|b|≥|a|时，等号成立，故|a＋b|的最小值为4；由向量加法的平行四边形法则，知|a|＝|b|时，平行四边形为菱形，对角线平分一组内角．[答案](1)4(2)|a|＝|b|[变式2]设a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号为()①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.A．①②B．①③C．①③⑤D．③④⑤答案：C【例3】已知▱ABCD中，AD＝a，AB＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．(1)用a ，b 表示向量MC ，NC ； (2)求证：M ，N ，C 三点共线． [解题流程][规范解答](1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ＝a .(1分)∵M 为AB 的中点，∴MB ＝12AB ＝12b ，(2分)∴MC ＝MB ＋BC ＝12b ＋a .(4分)∵N 为BD 上靠近B 的三等分点，∴NB ＝13DB ，(6分)∴NC ＝NB ＋BC ＝13DB ＋BC ＝13(AB －AD )＋BC＝13(b －a )＋a ＝23a ＋13b .(8分) (2)证明：由(1)知NC ＝23MC ，(10分)又NC 与MC 有公共点C ， ∴M ，N ，C 三点共线．(12分)[名师批注]平行四边形的对边平行且相等，且其对边示两相等向量，这在线性运算中经常用到先将MC 用平行四边形中的有关有向表示，然后再用向量表示这是解决此类问通法．要注意向量的始点和终点，此点也出错.将向量NB 转化为13()AB －AD此题的难点，很多同学因不会转化而无法在证出NC ∥MC 后，只有再说明NCMC 有公共点C ，才能说明M ，N ，C 线．此处极易被忽视而造成解题步骤不完失分．[变式3]如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，点D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．答案：(1)OC ＝2a －b ；DC ＝2a －53b (2)451．若D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，则与向量EF →相等的向量为________．[答案] BD →、DA →[解析] 三角形的中位线平行且等于底边的一半，EF →＝12BA →＝BD →＝DA →.2．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是________．[答案] |AB →|＝|DC →|[解析] 由等腰梯形可知，两腰长度相等，故两腰上的向量AB →与DC →满足|AB →|＝|DC →|. 3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )A ．AD →＋BE →＋CF →＝0 B ．BD →＋CF →＋DF →＝0 C ．AD →＋CE →＋CF →＝0 D ．BD →＋BE →＋FC →＝0[答案] A[解析] ∵D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，∴DE ∥AC ，DF ∥BC ． ∴四边形DECF 是平行四边形． ∴ED →＝CF →.又AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋CF →＝DE →＋CF →＝DE →＋ED →＝0，故选A ．∵BD →＝2DC →，∴BD →＝23BC →＝23(AC →－AB →)＝23(b －c )，AD →＝AB →＋BD →＝c ＋23b －23c ＝23b ＋13c .8．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b .[答案] －57[解析] ∵|a |＝5，|b |＝7，∴|a ||b |＝57，又方向相反，∴a ＝－57b .9．已知a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2，则a ＋b ＝________，a －b ＝________，2a －3b ＝_______.[答案] 3e 1－e 2 e 1＋3e 2 e 1＋8e 2 [解析] ∵a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2， ∴a ＋b ＝3e 1－e 2， a －b ＝e 1＋3e 2，2a －3b ＝4e 1＋2e 2－3e 1＋6e 2 ＝e 1＋8e 2.10．设a 、b 是不共线的两个非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值．[解析] ∵8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，∴存在实数λ，使得8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 8＝λk k ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝4λ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4λ＝－2.故k ＝±4.1．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是( )A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个(不含AB →本身) B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个(不含AB →本身) C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍D ．CB →与DA →不共线 [答案] D[解析] 易知△ABC 和△ACD 均为正三角形．对于A ，向量AB →＝DC →；对于B ，|AB →|＝|DC →|＝|DA →|＝|CB →|＝|CA →|；对于C ，△BAD 是顶角为120°的等腰三角形，则|BD →|＝3|DA →|；对于D ，CB →∥DA →成立，故D 是错误的． 2．给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若a ＝b ，则a ∥b ；③若a ∥b ，则a ＝b . 其中正确命题的序号是________． [答案] ②[解析] 在讨论向量共线的问题时，要考虑方向、长度、位置，尤其不能忘记对零向量的讨论．对于①，两个向量的模相等，但方向却不一定相同，故①错误．对于②，a ＝b ，则a 与b 同向，∴a ∥b ，故②正确．对于③，|a |与|b |不一定相等，a 与b 的方向也不一定相同，故a ＝b 不一定成立，故③错误．3．在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列各式中不成立的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |[答案] C[解析] 如图，a ＋b ＝c ，|a ＋b |＝|c |，a ＋d ＝b ，b ＋d ≠a ，故选C ．4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．0B ．3C ． 2D ．22[答案] D[解析] ∵AB →＋BC →＝AC →，∴|a ＋b ＋c |＝|2c |，∵|c |＝2，∴|a ＋b ＋c |＝22，故选D ．5．在静水中划船的速度是20 m/min ，水流速度是10 m/min ，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________．[答案] 3 [解析] 如图，设AB →为水流的速度，AD →为划船的速度，则AC →＝AB →＋AD →，其中AC →为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt △ABC 中，|AB →|＝10，|BC →|＝20，∴tan ∠ABC ＝|AC →||AB →|＝|BC →|2－|AB →|2|AB →|＝202－10210＝3， ∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝ 3.6.如图所示，△ABC 中，AD DB ＝AE EC ＝12，且BC ＝3，则|BC →＋ED →|＝________.[答案] 2[解析] ∵AD DB ＝AE EC ＝12， ∴DE ∥BC ，且DE ＝13BC ＝1，如图所示，作CF →＝ED →，连DF ，则BC →＋ED →＝BC →＋CF →＝BF →，∴|BC →＋ED →|＝|BF →|＝|BC →|－|CF →|＝2.7．已知G 是△ABC 内的一点，若GA →＋GB →＋GC →＝0.求证：G 是△ABC 的重心．[解析] 如图，∵GA →＋GB →＋GC →＝0，∴GA →＝－(GB →＋GC →)()以GB →、GC →为邻边作平行四边形BGCD ，则GD →＝GB →＋GC →，∴GD →＝－GA →，又∵在▱BGCD 中，BC 交GD 于E ，∴BE →＝EC →，GE →＝ED →，∴AE 是△ABC 的边BC 的中线，且|GA →|＝2|GE →|，∴G 为△ABC 的重心．8．已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 交于E 点，O 是任意一点，如图所示．求证：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OE →.[解析] 解法一：因为E 为平行四边形两对角线的交点，所以2OE →＝OA →＋OC →，2OE →＝OB →＋OD →.即4OE →＝OA →＋OB →＋OC →＋OD →.解法二：因为OE →＝OA →＋AE →＝OB →＋BE →＝OC →＋CE →＝OD →＋DE →，而AE →＋CE →＝0，BE →＋DE→＝0，所以4OE →＝OA →＋OB →＋OC →＋OD →.。

平面向量线性练习题

平面向量线性练习题平面向量线性练习题在学习平面向量的线性运算时，练习题是非常重要的一部分。

通过解答这些题目，我们能够巩固和加深对平面向量的理解，提高解题能力。

下面，我将为大家介绍一些常见的平面向量线性练习题。

1. 向量加法与减法题目：已知向量a = (3, 4)和b = (-2, 1)，求向量c = a + b和向量d = a - b。

解析：向量加法和减法是平面向量的基本运算。

对于向量a和向量b，向量c = a + b的计算方法是将a的x分量与b的x分量相加，将a的y分量与b的y分量相加；向量d = a - b的计算方法是将a的x分量与b的x分量相减，将a的y分量与b的y分量相减。

根据题目中给出的向量a和向量b的数值，我们可以得到向量c = (3 + (-2), 4 + 1) = (1, 5)，向量d = (3 - (-2), 4 - 1) = (5, 3)。

2. 向量的数量积题目：已知向量a = (2, -3)和向量b = (4, 5)，求向量a与向量b的数量积。

解析：向量的数量积也称为点积或内积，计算方法是将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加。

根据题目中给出的向量a和向量b的数值，我们可以得到a·b = 2 * 4 + (-3) * 5 = 8 - 15 = -7。

3. 向量的数量积与夹角题目：已知向量a = (3, 4)和向量b = (5, -2)，求向量a与向量b的夹角。

解析：向量的夹角可以通过向量的数量积来计算。

设向量a与向量b的夹角为θ，则有cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模。

根据题目中给出的向量a和向量b的数值，我们可以得到a·b = 3 * 5 + 4 * (-2) =15 - 8 = 7，|a| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5，|b| = √(5^2 + (-2)^2) = √(25 + 4) = √29。

平面向量的基本概念及线性运算练习题(基础、经典、好用)

平面向量的基本概念及线性运算一、选择题1．(2013·湛江质检)若a ＋c 与b 都是非零向量，则“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC→＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB→＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB→＋PC →＝0 3．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a 、b ，均有：|a |－|b |＜|a |＋|b |；②对任意两向量a 、b ，a －b 与b －a 是相反向量；③在△ABC 中，AB→＋BC →－AC →＝0； ④在四边形ABCD 中，(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0. A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．②③4．已知A 、B 、C 三点共线，点O 在该直线外，若OB →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2013·佛山调研)已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件是( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0二、填空题6．如图4－1－2所示，向量a －b ＝________(用e 1，e 2表示)．图4－1－27．(2013·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA→＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________．8．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0；③xa ＋yb ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB→与CD →共线．三、解答题图4－1－39．(2013·清远调研)如图4－1－3所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值． 10．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA→＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线． (2)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －kb ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 11．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB→|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心．解析及答案一、选择题1．【解析】若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－(a ＋c )，∴b ∥(a ＋c )；若b ∥(a ＋c )，则b ＝λ(a ＋c )，当λ≠－1时，a ＋b ＋c ≠0，因此“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的充分不必要条件．【答案】 A2．【解析】由BC→＋BA →＝2BP →知，点P 是线段AC 的中点，则PC →＋P A →＝0.【答案】 B3．【解析】 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |.∴该命题不成立．②真命题，这是因为(a －b )＋(b －a )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．③真命题．∵AB→＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0. ④假命题．∵AB→＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0， ∴该命题不成立．【答案】 D4．【解析】因为A 、B 、C 三点共线，所以AB→＝kAC →， ∴OB→－OA →＝k (OC →－OA →)，所以OB →＝OA →＋kOC →－kOA →， ∴OB→＝(1－k )OA →＋kOC →，又因为OB →＝λOA →＋μOC →，所以λ＝1－k ，μ＝k ，所以λ＋μ＝1. 【答案】 B5．【解析】若e 1与e 2共线，则e 2＝λ′e 1，∴a ＝(1＋λλ′)e 1，此时a ∥b ，若e 1与e 2不共线，设a ＝μb ，则e 1＋λe 2＝μ·2e 1，∴λ＝0，1－2μ＝0.【答案】 D二、填空题6．【解析】由图知，a －b ＝BA →＝e 1＋(－3e 2)＝e 1－3e 2. 【答案】 e 1－3e 27．【解析】由OA→＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.【答案】 60°8．【解析】由①得10a －b ＝0，故①对．②对．对于③当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线，故③不对．若AB ∥CD ，则AB→与CD →共线，若AD ∥BC ，则AB →与CD →不共线，故④不对．【答案】 ①②三、解答题9．【解】如题图所示，AP→＝AB →＋BP →， ∵P 为BN 上一点，则BP→＝kBN →， ∴AP→＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)，又AN →＝13NC →，即AN →＝14AC →，因此AP →＝(1－k )AB →＋k 4AC →，所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811.则m ＝1－k ＝311.10．【解】 (1)证明 AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ，AC→＝OC →－OA →＝－a －2b . 所以AC→＝－AB →，又因为A 为公共点，所以A 、B 、C 三点共线．(2)AC→＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ，因为A 、C 、D 三点共线，所以AC→与CD →共线．从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －kb )，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.11．【解】如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC→|，则AM →，AN →都是单位向量， ∴|AM→|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．。

平面向量的线性运算基础训练题(有详解)

平面向量的线性运算基础训练题（有详解) 一、单选题 1．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b + 2．在梯形ABCD 中，已知AB CD ∥,2AB DC =,点P 在线段BC 上，且2BP PC =,则（）A ．2132AP AB AD =+ B ．1223AP AB AD =+C ．32AD AP AB =- D ．23AD AP AB =- 3．如图，ABC ∆中，,,AD DB AE EC CD ==与BE 交于F ，设AB a →=，AC b →=，AF xa yb →=+，则(),x y 为（） A ．11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．21,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．如图，在平行四边形ABCD 中，点E F 、满足2,2BE EC CF FD ==，EF 与AC 交于点G ，设AG GC λ=，则λ=（） A ．97 B ．74 C ．72 D ．92（） A ．0 B ．-1 C ．-2 D ．±1 6．在ABC ∆中，O 为其内部一点，且满足30OA OC OB ++=，则A O B ∆和AOC ∆的面积比是（） A ．3：4 B ．3:2 C ．1:1 D ．1:3 7．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x =+上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2 B ．52 C ．3 D ．728．设点O 在ABC ∆的内部，且2340OA OB OC ++=，若ABC ∆的面积是27，则AOC ∆的面积为（）A ．9B ．8C ．152 D ．79．O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)||||AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心 10．已知 O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∣∣∣∣，()0,λ∈+∞ .则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11．设D 为所在平面内一点，，若，则( )A ．2B ．3C ．D ．12．设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点（且不与M 重合），则OA OB OC OD +++等于（）A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM13．已知22a =，3b =，a ，b 的夹角为4π，如图所示，若52AB a b =+，A ．152B ．2C ．7D ．8 14．在中，设，，为线段的中点，则（）A ．B ．C ．D ． 15．如图，边长为2的正方形ABCD 中，P ，Q 分别是边BC ，CD 的中点，若=x +y ，则x =（） A ．2 B ． C ． D ． 16．如图，在等腰梯形中，，于点，则（）A ．B ．C ．D ． 17．若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形第II卷（非选择题)未命名二、填空题18．已知()()2,5,10,3A B--，点P在直线AB上，且13PA PB=-，则点P的坐标是_____．19．如图所示，已知在矩形中，，设，，.则______．20．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在直线上.若，则的值为__________．21．在ABC∆所在的平面内有一点P，若2PA PC AB PB+=-，那么PBC∆的面积与ABC∆的面积之比是_____________．22．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，点F是CD的中点，记,BE a AC b==，用,a b表示AB，则AB=_________.23．已知点O为△ABC内一点，+2+3=，则=_________。

平面向量的基本概念及线性运算基础+复习+习题+练习）

平⾯向量的基本概念及线性运算基础+复习+习题+练习）不会学会，会的做对. ⽵笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋⽃、敢于冒尖. 251课题：平⾯向量的概念及其线性运算考纲要求：①了解向量的实际背景②理解平⾯向量的概念及向量相等的含义.③理解向量的⼏何表⽰④掌握向量加法、减法的运算，并理解其⼏何意义. ⑤掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义. ⑥了解向量线性运算的性质及其⼏何意义.教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则．定零向量与任⼀向量 2.向量的线性运算：加法（减法）法则：1三⾓形法则；2平⾏四边形法则；AB BC AC +=（BC AC AB =-） AB AC AD +=3.向量共线的判定定理和性质定理：()1判定定理： 0a ≠，若存在⼀个实数λ使得，则b 与a 共线.即 ()0a b ≠?∥a ()0a ≠()2性质定理：若b 与⾮零向量．．．．a 共线，则存在⼀个实数λ，使得 .b ∥a ()0a ≠? 存在R λ∈，使得 ()0a ≠4.平⾯向量基本定理：如果12,e e 是⼀个平⾯内的两个不共线向量，那么对这⼀平⾯内的任⼀向量a ，⼀对实数12,λλ，使，其中，不共线的向量12,e e叫做表⽰这⼀平⾯内所有向量的⼀组 .⽤平⾯向量基本定理解决问题的⼀般思路是：先选择⼀组基底，再⽤该基底表⽰向量，也就是利⽤已知向量表⽰未知向量，其实质是利⽤平⾏四边形法则或三⾓形法则进⾏向量的加减和数乘运算.aba b -ACB ba b +a b -aABC D不会学会，会的做对. ⽵笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋⽃、敢于冒尖. 252基本知识⽅法1.充分理解向量的概念和向量的表⽰；2.数形结合的⽅法的应⽤；3.⽤基底向量表⽰任⼀向量唯⼀性；4.向量的特例0和单位向量，要考虑周全；5.⽤好“封闭折线的向量和等于零向量”；6.由共线求交点的⽅法:待定系数,λµ.典例分析：考点⼀向量的基本概念问题1．判断下列命题是否正确，不正确的说明理由.()1若向量a 与b 同向，且a b >，则a b >；()2若向量a b =，则a 与b 的长度相等且⽅向相同或相反； ()3对于任意向量若a b =且a 与b 的⽅向相同，则a b =； ()4由于零向量0⽅向不确定，故0不能与任意向量平⾏； ()5向量a b ∥，则向量a 与b ⽅向相同或相反；()6向量AB 与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线； ()7起点不同，但⽅向相同且模相等的⼏个向量是相等向量. ()8若a b ∥，且b c ∥，则a c ∥()9若,R λµ∈，且a b λµ=，则a 与b 共线.()10AB DC =是四边形ABCD 为平⾏四边形的充要条件.考点⼆向量的线性运算问题2．()1（08全国Ⅰ⽂）在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满⾜2BD DC =，则AD = .A 2133b c + .B 5233c b - .C 2133b c - .D 1233b c +()2若点O 为ABC △的外⼼，且OA OB OC +=，则ABC △的内⾓C ∠=不会学会，会的做对. ⽵笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋⽃、敢于冒尖. 253()3(03新课程)O 是平⾯上的⼀定点，,,A B C 是平⾯上不共线的三个点，动点P满⾜(),[0,)||||AB ACOP OA AB AC λλ=++∈+∞，则P 的轨迹⼀定通过ABC △的 .A 外⼼ .B 内⼼ .C 重⼼ .D 垂⼼()4（07江西）如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为()5（07陕西）如图，平⾯内有三个向量OAOBOC ，，，其中OA 与OB 的夹⾓为120?，OA 与OC 的夹⾓为30?，且1OA OB ==，23OC =OC OA OB λµ=+(),R λµ∈，则λµ+的值为AOBC不会学会，会的做对. ⽵笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋⽃、敢于冒尖. 254()6(09安徽⽂)在平⾏四边形ACBD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或AC AE AF λµ=+，其中,R λµ∈，则λµ+=问题3． (07届⾼三⽯家庄模拟)如图，在ABC △中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且2AN NC =， AM 与BN 相交于点P ，求:AP PM 的值考点三向量的共线问题问题4．()1（08海南⽂）平⾯向量a ，b 共线的充要条件是.A a ，b ⽅向相同； .B a ，b 两向量中⾄少有⼀个为零向量；.C x R ?∈，b a λ=； .D 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=.()2（07洛阳模拟）设12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则实数λ=ABNMP不会学会，会的做对. ⽵笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋⽃、敢于冒尖. 255课后作业：1.考查下列四个命题：①对于实数m 和向量,a b ，恒有()m a b ma mb -=-；②对于实数m 和向量,a b ()m R ∈，若ma mb =，则a b =；③ma nb =(),,,0m n R a b ∈≠，则m n =；④a b =，b c =，则a c =，⑤若a b ∥，则存在唯⼀的R λ∈，使得b a λ=；⑥以O 为起点的三个向量,,a b c 的终点,,A B C 在同⼀直线上的充要条件是c a b λµ=+(),,1R λµλµ∈+=.则其中正确的命题的序号分别是2.已知ABC △中，O 是ABC △内的⼀点，若0,OA OB OC ++=则O 是ABC △的.A 重⼼ .B 垂⼼ .C 内⼼ .D 外⼼3.若,,,A B C D 是平⾯内的任意四点，给出下列式⼦：①AB CD BC DA +=+；②AC BD BC AD +=+；③AC BD DC AB -=+.其中正确的有：.A 0.B 1.C 2.D 34.设,a b 为⾮零向量，则下列命题中,真命题的个数是______①||||a b a b a +=-?与b 有相等的模；②||||||a b a b a +=+?与b 的⽅向相同；③||||||a b a b a +<-?与b 的夹⾓为锐⾓；④||||||||||a ba b a b +=-?≥且a 与b ⽅向相反．不会学会，会的做对. ⽵笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋⽃、敢于冒尖. 2565.若⾮零向量,a b 满⾜a b a b +=-，则a 与b 所成的⾓的⼤⼩为6.向量||8,||12a b ==，则||a b +的最⼤值和最⼩值分别是7.设12,e e 是不共线的向量，124e e -与12ke e +共线，则实数k 的值是8.已知,a b 是两个不共线的⾮零向量，它们的起点相同，且1,,()3a tb a b +三个向量的终点在同⼀条直线上，求实数t 的值.9.已知四边形ABCD 的两边,AD BC 的中点分别是,E F ，求证：1()2EF AB DC =+⾛向⾼考：10.(06全国Ⅰ)设平⾯向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++= 如果向量1b 、2b 、3b ，满⾜2i i b a =，且i a 顺时针旋转30?后与i b 同向，其中1,2,3i =，则不会学会，会的做对. ⽵笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋⽃、敢于冒尖. 257.A 1230b b b -++=；.B 1230b b b -+=；.C 1230b b b +-=；.D 1230b b b ++=11.（05⼭东）已知向量,a b ，且2AB a b =+,56BC a b =-+,72CD a b =-则⼀定共线的三点是： .A ,,A B D .B ,,A B C .C ,,B C D .D ,,A C D12.（07全国Ⅱ）在ABC △中，已知D 是AB 边上⼀点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+则λ= .A 23.B 13 .C 13- .D 23-13.（07北京）已知O 是ABC △所在平⾯内⼀点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么 .A AO OD = .B 2AO OD =.C 3AO OD =.D 2AO OD =14.（05全国Ⅰ）ABC △的外接圆的圆⼼为O ，两条边上的⾼的交点为H ，)(m ++=，则实数m =15.（06江西）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC=+，且A B C ，，三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于.A 100 .B 101 .C 200 .D 201不会学会，会的做对. ⽵笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋⽃、敢于冒尖. 258 16.（06福建）已知1OA =，3OB =0OA OB ?=,点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=?，设OC mOA nOB =+ (),m n R ∈，则m n =.A 31 .B 3.C 33.D 317.（06上海⽂）在平⾏四边形ABCD 中，下列结论中错误的是.A AB DC =.B AD AB AC +=.C AB AD BD -=.D 0AD CB +=18.（08⼴东）在平⾏四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =，BD b =，则AF =.A 1142a b + .B 2133a b +.C 1124a b + .D 1233a b +19.（06湖南⽂）如图：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对(),x y 可以是.A )43,41( .B )32,32(- .C )43,41(- .D )57,51(-BACDA。

平面向量平面向量的线性运算基础训练

平面向量的线性运算（基础训练）1. 下列各式正确的是（）A ．若a r ，b r 同向，则|a +b |=|a |+|b |B ．a b +r r 与|a |+|b |表示的意义是相同的C ．若a r ，b r 不共线，则|a +b |＞|a |+|b |D ．a a b <+r r r 永远成立2．AO OB OC CA BO ++++uuu r uu u r uuu r uu r uu u r 等于（）A ．B ． 0rC ．D ．3．下列命题①如果a r ，b r 的方向相同或相反，那么a b +r r 的方向必与a r ，b r 之一的方向相同。

②△ABC 中，必有0r ③若0r ，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点。

④若a r ，b r 均为非零向量，则|a +b |与|a |+|b |一定相等。

其中真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a r ，b r ，c r ，则向量等于（）A ．a b c ++r r rB ．a b c -+r r rC ．a b c +-r r rD ．a b c --r r r5．在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===uu u r r uuu r r uu u r r ，则等于（）A ． a b c -+r r rB ．()b a c -+r r rC ．a b c ++r r rD ．b a c -+r r r6．设b r 是a r 的相反向量，则下列说法错误的是（）A ．a r 与b r 的长度必相等B ．a r ∥b rC ．a r 与b r 一定不相等D ．a r 是b r 的相反向量7．AC uuu r 可以写成：①；②；③；④，其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8.如图所示，在ABCD 中，已知,AB a DB b ==uu u r r uu u r r ，用a r 与b r 表示向量AD uuu r 、。

(完整版)平面向量的线性运算习题课(优质)

证明。
（3）将条件改为 AC = AB + AD ，其形状如何？加以证明.
课堂小结：
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明向量共线 2. 证明三点共线: AB=λBC 3. 证明两直线平行:
A,B,C三点共线
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
2aboboabbb????????????????????a?b?2b?ao232ababbacocoaababb???????????????????????????2acab??????????abc故三点共线且有公共点a证明三点共线的方法
平面向量的线性运算习题课（重要）
本节训练要点： 1.向量加、减、数乘运算灵活运用，解决任一向量用已知向量表示的问题。 2.共线向量定理的理解及应用，用向量共线定理证明向量共线，三点共线，两直线平等等几何问题，初见向量在几何证明中的功用。
间的位置关系吗？为什么？
C
a b 3b
解: AB OB OA
B
a 2b - (a b) b 2b
A
AC OC OA
a 3b - (a b) 2b
AC 2AB ,且有公共点Ａ
故A, B,C三点共线
b a
O
！！！！解后反思与小结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
直线AB∥直线CD
B
3 AB BC
D
3AC
∴ AC与 AE 共线．
解前思：选定两个不共线的向量，把所有向量都有这两个选定向量表示，以达到化繁为简的目标。
例3.
设e1, e2是两个不共线向量而

平面向量的线性运算试题(含答案)

一、选择题1．下列各式正确的是（）A．若a、b同向，则B．与表示的意义是相同的C．若a、b不共线，则D．永远成立2．等于（）A．B．0 C．D．3．若a、b、a＋b均为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则（）A．B．C．D．以上都不对4．下列命题①如果a与b的方向相同或相反，那么的方向必与a、b之一的方向相同。

②△ABC中，必有0。

③若0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点。

④若a、b均为非零向量，则与一定相等。

其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量等于（）A．B．C．D．6．如图，在四边形ABCD中，设，则等于（）A．B．C．D．7．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是（）A．a与b的长度必相等B．C．a与b一定不相等D．a是b的相反向量8．可以写成：①；②；③；④，其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④9．在以下各命题中，不正确的命题个数为（）①是的必要不充分条件；②任一非零向量的方向都是惟一的；③；④若，则0；⑤已知A、B、C是平面上的任意三点，则0。

A．1 B．2 C．3 D．410．某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b：“向北走3km”，则（）A．向东南走 km B．向东北走 kmC．向东南走 km D．向东北走 km11．若，则的取值范围是（）A．B．（3，8）C．D．（3，13）二、填空题12．若三个向量a、b、c恰能首尾相接构成一个三角形，则＝。

13．设ABCDEF为一正六边形，，则14．化简：15．如图所示，用两根绳子把重10kg的物体W吊在水平杆子AB上，，则A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）分别是。

三、解答题16．如图所示，在ABCD中，已知，用a、b表示向量、。

17．如图所示，已知在矩形ABCD中，，设。

试求。

18．如图所示，在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点。

平面向量及其应用全章综合测试卷(基础篇)(教师版)

D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【解题思路】根据零向量的方向是任意的； ⋅ = ⋅ , ≠ 0 ，则 = 或与, 都垂直；长度相等的向
量是相等向量或相反向量；即可解决.
【解答过程】零向量的方向是任意的，故 A 错；
若 ⋅ = ⋅ , ≠ 0 ，则 = 或与, 都垂直，故 B 错；
13．（5 分）（2024·高一课时练习）下列各量中，向量有： ③⑤⑥⑧⑩
．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速
度．
【解题思路】根据向量的概念判断即可.
【解答过程】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速
A．1
B．2
）
C． 2
D． 3
1
【解题思路】由正弦定理及余弦定理得cos = 2，然后利用余弦定理结合三角形的面积公式，即可求解.
【解答过程】∵sin2 + sin2−sinsin = sin2，
∴2 + 2− = 2，cos =
2 2−2
2
1
= 2，可得sin = 1−cos2 =
∵2 + 2− = ( + )2−3 = 2， + = 4， = 2，
∴ = 4，
1
1
所以三角形的面积为 = 2sin = 2 × 4 ×
3
2
= 3.
故选：D.
二．多选题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
9．（5 分）（2024·高一课时练习）下列说法中正确的是（
【解答过程】由题设sin = 1−cos2 =

平面向量的线性运算练习题

平面向量的线性运算练习题1. 已知平面向量a = 3i - 2j，b = 2i + 5j，求向量a + b的结果。

求解：a +b = (3i - 2j) + (2i + 5j)= 3i - 2j + 2i + 5j= 5i + 3j所以，向量a + b的结果为5i + 3j。

2. 已知平面向量u = 4i - 3j，v = 2i + 7j，w = -i + 2j，求向量2u - 3v + 4w的结果。

求解：2u - 3v + 4w = 2(4i - 3j) - 3(2i + 7j) + 4(-i + 2j)= 8i - 6j - 6i - 21j - 4i + 8j= -2i - 19j所以，向量2u - 3v + 4w的结果为-2i - 19j。

3. 已知平面向量p = -3i + 4j，q = 5i + 2j，r = 2i - j，s = -i - 5j，求向量(p + q) - (r - s)的结果。

求解：(p + q) - (r - s) = (-3i + 4j + 5i + 2j) - (2i - j + -i - 5j)= (-3i + 5i + 2i) + (4j + 2j - j - 5j)= 4i + 0j= 4i所以，向量(p + q) - (r - s)的结果为4i。

4. 已知平面向量a = 2i + 3j，b = 4i - 5j，求向量a与向量b的数量积。

求解：a ·b = (2i + 3j) · (4i - 5j)= 2i · 4i + 2i · -5j + 3j · 4i + 3j · -5j= 8i^2 - 10ij + 12ij - 15j^2= 8i^2 + 2ij - 15j^2 （注意i^2 = -1，j^2 = -1）= 8(-1) + 2ij - 15(-1)= -8 + 2ij + 15= 7 + 2ij所以，向量a与向量b的数量积为7 + 2ij。

2021年沪教版数学必修二同步第10讲向量的概念和线性运算(练习)教师版

第10讲向量的概念和线性运算（练习）夯实基础一、单选题1．（2021·天津市第八中学高一月考）有关向量a 和向量b ，下列四个说法中： ①若0a =，则0a =； ②若a b =，则a b =或a b =-；③若//a b ，则a b =； ④若0a =，则0a -=.其中的正确有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由零向量的定义、向量的模、共线向量的定义，即可得出结果.【详解】由零向量的定义，可知①④正确；由向量的模定义，可知②不正确；由向量共线可知③不正确.故选：B2．（2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考）在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB （）A ．3144AB AC B ．1344AB AC C ．3144AB ACD ．1344AB AC 【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得：1122EB ED DB AD CB =+=+= 111()()222AB AC AB AC ⨯++-3144AB AC =-. 故选：A ．3．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）平行四边形ABCD 中，BC BA CD +-等于（）A ．CBB ．BC C ．D ．AC 【答案】B【分析】由平行四边形ABCD 得，BA CD =，由此可得选项.【详解】在平行四边形ABCD 中，BA CD =，所以BC BA CD BC +-=，故选：B.4．（2021·浙江高一期末）已知AM 是ABC 的BC 边上的中线，若,AB a AC b ==，则AM 等于（）A ．()12b a -B ．()12a b +C ．()12a b -D ．()12a b -+ 【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算可求得结果.【详解】因为AM 是ABC 的BC 边上的中线，所以M 为BC 的中点，所以AM AB BM =+12AB BC =+()12AB AC AB =+- 11112222AB AC a b =+=+. 故选：B5．（2021·江苏省昆山中学高一月考）已知点O 为ABC 所在平面内一点，若动点P 满足()()0OP OA AB ACλλ=++，则点一定P 经过ABC 的（） A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心【答案】D【分析】取BC 的中点D ，由()()0OP OA AB AC λλ=++，得2AP AD λ=，从而可得AP 与AD 共线，得直线AP 与直线AD 重合，进而得结论【详解】解：取BC 的中点D ，则2AB AC AD +=，因为()()0OP OA AB ACλλ=++，所以2AP AD λ=，所以AP 与AD 共线，即直线AP 与直线AD 重合，所以直线AP 一定过ABC 的重心，故选：D6．（2021·天津市武清区杨村第一中学高一月考）下列各式中不能化简为AD 的是（）A ．()AB DC CB --B ．()AD CD DC -+ C ．()()CB MC DA BM -+-+D ．BM DA MB --+【答案】D【分析】根据向量加减法的法则，分别判断每个选项，得到正确答案.【详解】()AB DC CB AB BC CD AD --=++=； ()0AD CD DC AD AD -+=-=；()()()CB MC DA BM CB BM DA MC CM DA CM AD -+-+=-+--=--+=； 2BM DA MB MB AD AD --+=+≠.故选：D.【点睛】本题考查向量的加减运算，关键是准确灵活使用向量的加法和减法运算法则，注意使用相反向量进行转化.7．（2021·浙江高一期末）下列各式中，不能化简为PQ 的是（）A ．PA AB BQ +-B ．()()AB PC BA QC ++- C ．QC QP CQ -+D ．()AB PA BQ ++【答案】A 【分析】直接利用向量的加减法一一计算即可.【详解】对于A: PA AB BQ PB BQ +-=-;对于B: ()()AB PC BA QC AB BA PC QC CQ CP PQ ++-=++-=-=;对于C: QC QP CQ QC CQ QP PQ -+=+-=;对于D: ()AB PA BQ AB BQ PA PA AQ PQ ++=++=+=.故选：A二、填空题8．（2021·天津市第八中学高一月考）CD AM BC MB +++=___________.【答案】AD【分析】利用向量加法的三角形法则化简可得结果.【详解】CD AM BC MB AM MB BC CD AD +++=+++=.故答案为：AD .9．（2021·浙江高一期末）已知向量(),3a x =，()4,6b =且//a b ，则x =___________.【答案】2【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于x 的等式，由此可解得实数x 的值.【详解】已知向量(),3a x =，()4,6b =且//a b ，则64312x =⨯=，解得2x =. 故答案为：2.10．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，已知AD =3，B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有___________.【答案】,,,,,AC CA BD DB AD DA【分析】结合图形，分模长为2或3的向量求解.【详解】满足条件的向量有以下几类：模长为2的向量有：,,,AC CA BD DB .模长为3的向量有：,AD DA .故答案为：,,,,,AC CA BD DB AD DA11．（2021·江苏高一课时练习）若点A (－2，0)，B (3，4)，C (2，a )共线，则a ＝________. 【答案】165【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为A (－2，0)，B (3，4)，C (2，a ),所以(5,4),(4,),AB AC a →→==因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB AC →→，故5a －16＝0，所以a ＝165. 故答案为：165. 12．（2021·江苏高一课时练习）与向量()3,4a -＝平行的单位向量是________. 【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】设所求单位向量的坐标为(),x y ，由与向量()3,4-平行可得340y x --=，又由其为单位向量，则221x y +=，联立即可求出答案．【详解】解：设所求单位向量的坐标为(),x y ，由与向量()3,4-平行可得340y x --=，又由其为单位向量，则221x y +=， ∴224301x y x y +=⎧⎨+=⎩得：3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭13．（2021·全国高一课时练习）菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，|AB |＝1，则||BC CD +＝_____．【答案】1 【分析】易知ABD 为等边三角形，再利用平面向量的加法运算求解.【详解】因为在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为等边三角形，所以||||||1BC CD BD AB +===|．故答案为：114．（2021·全国高一课时练习）已知点()3,4A -与()1,2B -，点P 在直线AB 上，且AP PB =，则点P 的坐标为________．【答案】()1,1-【分析】根据模长相等关系可确定P 为线段AB 中点，由中点坐标公式计算得到结果.【详解】P 在直线AB 上，且AP PB =，P ∴为线段AB 中点，又()3,4A -，()1,2B -，()1,1P ∴-.故答案为：()1,1-.三、解答题15．（2021·江苏高一课时练习）已知点A (3,－4)与B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP |＝|PB |，求点P 的坐标.【答案】(1,－1).【分析】由||||AP PB =且P 在直线AB 上，知：P 在A 、B 之间，结合向量的坐标表示及AP PB =，可求P 的坐标.【详解】设P 点坐标为(x ,y )，又||||AP PB =知：P 在线段AB 上， ∴AP PB =，即 (x －3,y ＋4)＝(－1－x ,2－y )，∴3142x x y y -=--⎧⎨+=-⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩. ∴P 点坐标为(1,－1).16．（2021·全国高一课时练习）已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1,－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．【答案】D 可能为(0,1)-或(2,3)-或(6,15)．【分析】根据四点构成平行四边形分别为ABCD 时AB DC =、ABDC 时AB CD =、ADBC 时AD CB =，利用向量的坐标表示即可求D 的坐标.【详解】设点D 的坐标为(x ,y )，（1）当平行四边形为ABCD 时，即有AB DC =，∴(4,6)－(3,7)＝(1,－2)－(x ,y )，∴1121x y -=⎧⎨--=-⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩， ∴(0,1)D -．（2）同理，当平行四边形为ABDC 时，AB CD =，得(2,3)D -．（3）同理，当平行四边形为ADBC 时，AD CB =，得(6,15)D ．综上，D 可能为(0,1)-或(2,3)-或(6,15)．17．（2020·全国高一课时练习）已知(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =．（1）求3a b c +-的坐标；（2）求满足条件a mb nc =+的实数m ，n ．【答案】（1）(4，7)；（2）58,99m n ==. 【分析】（1）利用向量的坐标运算即可求3a b c +-的坐标.（2）由已知线性关系，结合坐标表示得到4322m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解方程组即可. 【详解】（1）根据题意，(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =，则3(9a b c +-=,6)(1+-,2)(4-,1)(4=,7)，（2）根据题意，若a mb nc =+，即(3,2)(1m =-,2)(4n +,1)，则有4322m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解可得5989m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故58,99m n ==. 18．（2020·全国高一单元测试）已知平面向量,a b ，(1,2)a =.(1)若(0,1)b =，求2a b +的值；(2)若(2,)b m =，a 与a b -共线，求实数m 的值.【答案】（1；（2）4.【分析】（1）求出2a b +，即可由坐标计算出模；（2）求出a b -，再由共线列出式子即可计算.【详解】(1)2(1,2)(0,2)(1,4)+=+=a b ，所以2|2|14a b +=+=(2)(1,2)m -=--a b ，因为a 与a b -共线，所以1(2)2(1)0m ⨯--⨯-=，解得m ＝4.19．（2020·威远中学校高一月考（理））设两个非零向量a 与b 不共线.（1）若AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，求证：,,A B D 三点共线.（2）试确定实数k ，使ka b +和a kb +反向共线.【答案】（1）见解析（2）1k =-【分析】（1）运用向量共线定理，证得AB 与BD 共线，即可得证；（2）由题意可得存在实数λ，使()ka b a kb λ+=+，展开后，运用方程思想，即可得到所求值．【详解】（1）证明：∵AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，∴()()283283355BD BC CD a b a b a b a b a b AB =+=++-=++-=+=. ∴AB 、BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线（2）∵ka b +与a kb +反向共线，∴存在实数()0λλ<，使()ka b a kb λ+=+ 即ka b a kb λλ+=+，∴()()1k a k b λλ-=-∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴10k k λλ-=-=，∴210k -=，∴1k =±，∵0λ<，∴1k =-【点睛】本题考查向量共线定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．能力提升一、单选题1．（2021·全国高一课时练习）向量PA →＝(k ，12)，PB →＝(4，5)，PC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为（）A ．－2B ．11C ．－2或11D ．2或11 【答案】C【分析】求出,AB BC →→的坐标即得解.【详解】由题得AB PB PA →→→=-＝(4－k ，－7)，BC PC PB →→→=-＝(6，k －5)，由题知//AB BC →→，故(4－k )(k －5)－(－7)×6＝0，解得k ＝11或k ＝－2.故选：C【点睛】结论点睛：1122(,),(,),//a x y b x y a b →→→→==则12210x y x y -=.2．（2021·全国高一课时练习）已知()1,3A -、18,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且A 、B 、C 三点共线，则点C 的坐标可以是（）A ．()9,1-B ．()9,1-C ．()9,1D ．()9,1-- 【答案】C【分析】本题首先可设点C 的坐标为(),x y ，然后通过题意得出//AB AC ，再然后写出AB 、AC ，最后通过向量平行的相关性质即可列出算式并通过计算得出结果.【详解】设点C 的坐标为(),x y ，因为A 、B 、C 三点共线，所以//AB AC ，因为()1,3A -，18,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以77,2AB ，1,3AC x y ，则773102y x ，整理得27x y -=，将()9,1-、()9,1-、()9,1、()9,1--代入27x y -=中，只有()9,1满足，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查通过三点共线求点坐标，主要考查向量平行的相关性质，若11,a x y ，22,b x y ，//a b ，则12210x y x y -=，考查计算能力，是中档题.3．（2021·湖南长沙一中高一月考）在ABC 中，点D 是线段BC (不包括端点)上的动点，若AB x AC y AD =+，则（）A ．1x >B ．1y >C ．1x y +>D ．1xy 【答案】B【分析】设()01BD BC λλ=<<，由此用,AC AD 表示出AB ，则可得,x y 关于λ的表示，从而通过计算可判断出正确的选项.【详解】设()01BD BC λλ=<<，所以AD AB AC AB λλ-=-，所以()1AB AD AC λλ-=-，所以111AB AD AC λλλ=---，所以1,11x y λλλ=-=--，所以01x λλ=-<-，11=11111y λλλλλλ-+==+>---，又111x y λλ-+==-，()201xy λλ=-<-，故选：B.【点睛】结论点睛：已知平面中、、A B C 三点共线 (O 在该直线外)，若OA xOB yOC =+，则必有1x y +=.4．（2021·浙江高一期末）在ABC 中，M 为边BC 上的点，且2xAM AB y AC =+，满足则5432y x x y+++（）A ．有最小值8+B ．有最小值332C ．有最小值12D ．有最小值16【答案】D【分析】由,,M B C 三点共线得12xy +=，然后用基本不等式求最小值．【详解】因为M 在边BC 上，且2xAM AB y AC =+，所以12x y +=且0,0x y >>， 5432534253422y x y x y x x y x y x y x y x y x y ⎛⎫++⎛⎫+=+++=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭494416x y y x =++≥+=，当且仅当49x y y x =，即64,77x y ==时等号成立．故选：D ．【点睛】思路点睛：本题考查平面向量的三点共线，考查用基本不等式求最值．基本不等式求最值的三个条件：一正二定三相等，本题中原式没有定值，因此利用“1”的代换凑配出积为定值，这样和才有最小值．5．（2019·四川德阳市·什邡中学）已知O 为四边形ABCD 所在的平面内的一点，且向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA OC OB OD +=+，若点E 为AC 的中点，则EABBCDS S ∆∆=（） A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】B【分析】由OA OC OB OD +=+可得BA CD =，再由平行四边形数形结合求解即可. 【详解】∵向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA OC OB OD +=+， ∴OA OB OD OC -=-，即BA CD =，则四边形ABCD 为平行四边形，∵E 为AC 的中点，∴E 为对角线AC 与BD 的交点，则EAB ECD ADE BCE S S S S ∆∆∆∆===，则12EAB BCD S S ∆∆=，故选B ．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算及数形结合的能力，属于中档题.6．（2020·榆树市第一高级中学校高一期末）已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（）A．(1⎤⎦B．(1⎤⎦ C．1⎤⎦D．)1,+∞【答案】C【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系,O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围.法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出OB d ==,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM的延长线上时,OB 1．故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件：ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得11d ≤≤．故选:C【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题. 二、填空题7．（2021·全国高一课时练习）ABC 是正三角形，给出下列等式： ①AB BC BC CA +=+； ②AC CB BA BC +=+； ③AB AC CA CB +=+；④AB BC AC CB BA CA ++=++．其中正确的有__________．(写出所有正确等式的序号) 【答案】①③④【分析】作出图形，结合平面向量加法法则可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，AB BC AC +=，BC CA BA +=，AC BA =，①正确；对于②，AC CB AB +=，如下图所示，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCD ，由平面向量加法的平行四边形法则可得BA BC BD +=，显然AB BD ≠，②错误；对于③，以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABEC ，则AB AC AE +=，以CA 、CB 为邻边作平行四边形ACBF ，则CA CB CF +=. 由图可知，AE CF =，即AB AC CA CB +=+，③正确；对于④，2AB BC AC AC ++=，2CB BA CA CA ++=，因为AC CA =，④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键就是化简平面向量的运算结果，并作出图形，结合图形的几何特征进行判断.8．（2021·全国高一课时练习）已知(),2OA k =，()1,2OB k =，()1,1OC k =--，且相异三点A 、B 、C 共线，则实数k =________. 【答案】14-【分析】本题首先可根据向量的运算法则得出AB 、AC ，然后通过题意得出//AB AC ，最后通过向量平行的相关性质即可得出结果.【详解】()1,22AB OB OA k k =-=--，12,3ACOC OA k ，因为相异三点A 、B 、C 共线，所以//AB AC ，则3122120k k k，解得14k =-或1k =，当1k =时，OA OB =，A 、B 重合，舍去，故答案为：14-.【点睛】关键点点睛：本题考查通过三点共线求参数，主要考查向量平行的相关性质，若11,ax y ，22,bx y ，//a b ，则12210x y x y -=，求出k 的值后要注意检验，考查计算能力，是中档题.9．（2021·内蒙古包头市·高一期末）在矩形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且满足2BE EC =，3CF FD ．若(),AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为______．【答案】1310【分析】本题首先可根据题意得出23BEAD 、14DF AB =，然后将AC AE AF λμ=+转化为2314AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再然后根据AC AB AD=+列出算式，最后通过计算即可得出结果. 【详解】如图，结合题意绘出图像：因为2BE EC =，3CF FD ，所以2233BE BC AD ，1144DF DC AB ，则23AEAB BE AB AD ，14AF AD DF AD AB ，故3142AB AD AC AE AF AD AB λμλμ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+4231AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为AC AB AD =+，所以114213λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得910λ=，25μ=，1310λμ+=，故答案为：1310.【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.10．（2020·全国高一）已知向量()1,3a =，1(2,)2b =-，若()//2c a b -，则单位向量c =______.【答案】34(,)55-或34(,)55-【分析】先求得2(3,4)a b -=-，由//(2)c a b -，设(3,4)c λλ=-，结合向量c 为单位向量，求得λ的值，即可求解.【详解】由题意，向量()1,3a =，1(2,)2b =-，可得2(3,4)a b -=-，因为//(2)c a b -，设(3,4)c λλ=-，又由向量c1=，解得15λ=±，所以34(,)55c =-或34(,)55c =-. 故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】利用两个向量共线的条件求向量的坐标，一般地，在求一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为()a R λλ∈，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入a λ即可求得所求向量.11．（2020·江西高一期末（文））O 为坐标原点，已知向量()1,5OA =，()4,2OB =，()6,8OC =，,x y 为非负实数且01x y ≤+≤，CD xCA yCB =+，则OD 的最小值为_______________【答案】【分析】根据题意得D 表示的区域为ABC 及内部的点，进而得当⊥OD AB 时，OD取得最小值，再计算即可得答案.【详解】()1,5OA =，()4,2OB =，()6,8OC =，又,x y 为非负实数且01x y ≤+≤，CD xCA yCB =+，所以D 表示的区域为ABC 及内部的点，当⊥OD AB 时，OD 取得最小值，因为AB 所在的直线方程为()()5251114y x x --=-=---，即60x y +-=，则OD 取得最小值为=故答案为：【点睛】本题考查向量的模的求解与线性规划，解题的关键是根据题意明确D 表示的区域，是中档题.12．（2019·四川遂宁市·高一期末（理））在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.【答案】494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=，即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形，由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-，解得||2DA =，ABC ∆的边长为4cos30︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，可得B(3,D(2,0)，由||1AP =，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M 为PC 中点，即有3cos (2M θ+，则2223cos ||3=+2BM θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝22(3cos )sin )376cos 444θθθθ--+=+=3712sin 64πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，当sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题13．（2020·全国高一单元测试）设直线:20l mx y ++=与线段AB 有公共点P ，其中(2,3),(3,2)A B -，试用向量的方法求实数m 的取值范围．【答案】45(,][,)32-∞-+∞.【分析】先讨论点P 与,A B 分别重合的情况，即将,A B 的坐标代入直线方程求解m ；再讨论P 与,A B 不重合的情况，利用共线向量的关系列式，AP PB λ=，将点(,)P x y 的坐标用λ进行表示，再代入直线方程求解.【详解】（1）P 与A 重合时，(2)320m ⨯-++=，所以5=2m ；.P 与B 重合时，3220m ++=，所以43m =-．（2）P 与A ，B 不重合时，设AP PB λ=，则0λ>；设(,)P x y ，则(2,3)AP x y =+-，(3,2)PB x y =--.所以2(3)3(2)x x y y λλ+=-⎧⎨-=-⎩所以321231x y λλλλ-⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩；把,x y 代入20mx y ++=可解得2534m m λ-=+，又因为0λ>，所以25034m m ->+．所以43m <-或52m >. 由（1）（2）知，所求实数m 的取值范围是45(,][,)32-∞-+∞．故答案为：45(,][,)32-∞-+∞.【点睛】直线与线段有交点的问题通常有两种求解方法：（1）通过找出直线的定点坐标，将直线与线段有交点转化为定点与线段两个端点的连线的斜率问题求解，需要注意斜率的变化趋势；（2）利用向量的方法求解，需要先求解交点与线段端点重合的情况，再根据共线向量的关系列式求解交点坐标.14．（2021·浙江高一期末）已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x =-．（1）若点A ，B ，C 三点共线，求x 的值；（2）若ABC 为直角三角形，且B 为直角，求x 的值．【答案】（1）19x =-；（2）1x =．【分析】（1）由点A ，B ，C 三点共线可得AB 和BC 共线，解关于x 的方程可得答案；（2）由ABC 为直角三角形可得AB BC ⊥，即0AB BC ⋅=，解关于x 的方程可得答案．【详解】（1）(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x =-，∴(3,1)AB OB OA =-=，(1,6)BC OC OB x =-=--点A ，B ，C 三点共线，∴AB 和BC 共线， 361x ∴⨯=--，解得19x =-；（2）ABC 为直角三角形，且B 为直角，∴AB BC ⊥，∴3(1)60AB BC x ⋅=--+=，解得1x =．【点睛】方法点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.15．（2020·全国高一）已知向量(1,2),(2,1)a b ==-，k ､t 为正实数，211(1),x a t b y b tk a =++=-+.（1）若,x y ⊥求k 的最大值；（2）是否存在k ､t 使得//x y ？若存在，求出k 的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）12；（2）不存在.理由见解析.【分析】（1）由,x y ⊥化简得2111t k t t t==++ ，再利用基本不等式求解.（2）根据//x y ，化简得：2110t k t++=，即20t t k ++=，再根据 k ､t 为正实数判断. 【详解】（1）因为向量(1,2),(2,1)a b ==-，k ､t 为正实数，所以()222111221(1)21,3,,x a t b t t y a b t k tk t k ⎛⎫=++=--+=-+=---+ ⎪⎝⎭. 因为,x y ⊥ 所以()()2212212130t t k t k t ⎛⎫⎛⎫----++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 211112t k t t t ==≤=++ ，当且仅当1t t =，即 1t =取等号，所以k 的最大值12；（2）因为//x y ，所以()()222112213t t k t k t ⎛⎫⎛⎫---+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：2110t k t++=，即20t t k ++=，因为 k ､t 为正实数，所以不存在k ､t ，使得//x y .【点睛】方法点睛：向量,a b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量,a b 不共线．16．（2021·浙江高一单元测试）已知平面非零向量a ，b 的夹角是23π. （1）若1a =，27a b +=，求b ；（2）若()2,0a =，(),3b t =，求t 的值，并求与a b -共线的单位向量e 的坐标.【答案】（1）32；（2）1t =-，31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）对27a b +=进行平方，利用数量积公式可求得b ；（2）根据向量坐标运算的夹角公式可求得t ，设单位向量e 的坐标根据模长和共线可得答案. 【详解】（1）向量a ，b 的夹角是23π，由27a b +=得()()()22222224144cos 73a b a b a b b b π+=++⋅=++=，解得32b =，1b =-舍去，所以32b =. （2）()2,0a =，(),3b t =，由向量a ，b 的夹角是23π得221cos 322ta b π===-⨯⨯，解得1t =-，1t =舍去，因为(2,(3,a b t -=-=，设单位向量(,)e x y =，所以221x y+=，又e 与a b -共线，所以3y =，求得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了向量的数量积、夹角、模长的运算，考查了向量的坐标运算及单位向量.17．（2020·平凉市庄浪县第一中学高一期中）已知向量(),u x y =与向量(),2v y y x =-的对应关系用()v f u =表示.（1）证明：对任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有()()()f ma nm mf a nf b +=+；（2）设()1,1a =，()1,0b =，求向量()f a 及()f b 的坐标；（3）求使()(),f c p q =（p 、q 为常数）的向量c 的坐标.【答案】（1）证明见解析；（2）()()1,1f a =，()()0,1f b =-；（3）()2,c p q p =-.【分析】（1）设出两个向量的坐标，通过坐标运算证明()()()f ma nb mf a nf b +=+；（2）根据题中所给的映射关系写出所求向量的坐标；（3）设出(),c x y =，结合()(),f c p q =通过建立方程组可求解向量c 的坐标.【详解】（1）设11,a x y ，22,b x y ，()1212,ma nb mx nx my ny ∴+=++， ()()()()121212,2f ma nb my ny my ny mx nx +=++-+，又()()()111111,2,2mf a m y y x my my mx =-=-，()()222,2nf b ny ny nx =-，所以，()()()()111222,2,2my my mx m ny n f y n f a n x b +-+-=()()()121212,2my ny my ny mx nx =++-+，因此，对任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+；（2）()1,1a =，则()()()1,2111,1f a =⨯-=， ()1,0b =，()()()0,2010,1f b ∴=⨯-=-；（3）设(),c x y =，则()(),2f c y y x =-， ()(),f c p q =，()(),2,y y x p q ∴-=，则2y p y x q =⎧⎨-=⎩，解得2x p q y p =-⎧⎨=⎩，因此，()2,c p q p =-.【点睛】本题考查平面向量新定义问题的求解，解题时要注意向量通过该映射关系的坐标与原坐标之间的关系，考查计算能力，属于中等题.。

平面向量的概念、线性运算及基本定理(试题部分)

专题七平面向量【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、平面向量的概念、线性运算及根本定理1.理解平面向量的概念,向量相等及几何表示,理解向量的加、减法,数乘向量的运算及其几何意义,理解两向量共线的意义及表示.2.熟练掌握向量的线性运算,能进行准确、快捷的向量计算.1.从近几年高考命题来看,对本章的考查以根底题为主,主要考三局部内容:平面向量的线性运算及几何意义;平面向量的数量积的定义及运用数量积求长度、角度问题;平面向量的数量积的坐标表示.2.一般以选择题、填空题的形式直接进行考查,难度不大.解答题中有时与三角函数、解析几何等内容综合考查,以一个条件的形式出现.1.注意根底知识的识记,理解高考在这一章仍以求模、求夹角、应用平行或垂直关系解题为主,根底与能力并重,求解析几何与平面向量交汇问题的关键在于选择适宜的基底或坐标系,把未知向量用向量表示.2.向量主要考查数形结合思想与转化与化归思想的应用.平面向量的线性运算与数量积相结合的题目仍是考查的重点,对数量积的几何意义的理解不可无视.二、平面向量的数量积及向量的综合应用1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义;了解平面向量的数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.2.掌握求向量长度的方法;能运用数量积表示两个向量的夹角;会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.了解平面向量根本定理及其意义.【真题探秘】§7.1 平面向量的概念、线性运算及根本定理根底篇固本夯基【根底集训】考点一平面向量的概念及线性运算1.设D 为△ABC 中BC 边上的中点,且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点,那么( )A.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 D2.设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,那么EB⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 A3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,那么OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 D考点二平面向量根本定理及坐标运算4.向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k+1,k-3),假设A,B,C 三点不能构成三角形,那么实数k 满足的条件是( ) A.k=-16 B.k=16 C.k=-11 D.k=1 答案 D5.点A(1,3),B(4,-1),那么与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为( ) A.(35,-45) B.(45,-35)C.(-35,45)D.(-45,35) 答案 A6.向量a=(13,tanα),b=(cos α,1),且a ∥b,那么cos 2α=( )A.13B.-13C.79D.-79答案 C7.向量a=(1,1),点A(3,0),点B 在直线y=2x 上,假设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥a,那么点B 的坐标为 . 答案 (-3,-6)8.向量a,b,c 在正方形网格中的位置如下列图.假设c =λa +μb (λ,μ∈R),那么λμ= .答案 4综合篇知能转换【综合集训】考法一与平面向量线性运算有关的解题策略1.(2021辽宁葫芦岛期中,3)在△ABC 中,G 为重心,记AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,那么CG⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13a-23b B.13a+23bC.23a-13bD.23a+13b答案 A2.(2021安徽安庆调研,6)如图,一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB,AD 分别交于E 、F 两点,且交其对角线AC 于K,其中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AK ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ的值为( )A.29B.27C.25D.23答案 A3.(2021福建泉州四校第二次联考,11)如图,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,假设m=38,那么n=( )A.34 B.23 C.45 D.58答案 A考法二与平面向量坐标运算有关的解题策略4.(2021东北三省三校二模,3)平面向量a=(1,1),b=(1,-1),那么向量12a-32b=( )A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2) 答案 D5.(2021甘肃、青海、宁夏联考,3)在平行四边形ABCD 中,A(1,2),B(-2,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3),那么点D 的坐标为( ) A.(6,1) B.(-6,-1) C.(0,-3) D.(0,3) 答案 A6.(2021北京西城月考,5)向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2m,m+1),假设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么实数m 的值为( ) A.-17B.-3C.-35D.35答案 B【五年高考】考点一平面向量的概念及线性运算1.(2021课标Ⅰ,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 A2.(2021陕西,7,5分)对任意向量a,b,以下关系式中不恒成立····的是( )A.|a ·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a 2-b 2答案 B3.(2021北京,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .假设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么x= ,y= . 答案12;-16考点二平面向量根本定理及坐标运算4.(2021课标Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.假设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ+μ的最大值为( )A.3B.2√2C.√5D.2 答案 A5.(2021课标Ⅲ,13,5分)向量a=(1,2),b=(2,-2),c =(1,λ).假设c ∥(2a+b),那么λ= . 答案126.(2021课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,那么实数λ= . 答案127.(2021江苏,6,5分)向量a=(2,1),b=(1,-2),假设ma+nb=(9,-8)(m,n ∈R),那么m-n 的值为 . 答案 -38.(2021上海,9,5分)过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A 、B,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ= . 答案 3教师专用题组1.(2021四川,7)设a,b 都是非零向量,以下四个条件中,使a |a|=b|b|成立的充分条件是( )A.a=-bB.a ∥bC.a=2bD.a ∥b 且|a|=|b| 答案 C2.(2021湖南,8,5分)点A,B,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且AB ⊥BC.假设点P 的坐标为(2,0),那么|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 B3.(2021安徽,8)在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 逆时针方向旋转3π4后得向量OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点Q 的坐标是( )A.(-7√2,-√2)B.(-7√2,√2)C.(-4√6,-2)D.(-4√6,2)答案 A4.(2021浙江,7)设a,b 是两个非零向量,以下说法正确的选项是( ) A.假设|a+b|=|a|-|b|,那么a ⊥b B.假设a ⊥b,那么|a+b|=|a|-|b|C.假设|a+b|=|a|-|b|,那么存在实数λ,使得b =λaD.假设存在实数λ,使得b =λa,那么|a+b|=|a|-|b| 答案 C5.(2021四川理,12,5分)在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ= . 答案 26.(2021浙江,17,6分)正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 . 答案 0;2√57.(2021江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.假设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R),那么m+n= .答案 3【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2021辽宁东北育才学校三模)在△ABC 中,假设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么CP⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.-34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.-14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C2.(2021届福建泉州实验中学第一次月考,6)如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,那么EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 B3.(2021届九师联盟9月质量检测,5)向量a=(1,3),b=(2,-12),假设c ∥(a-2b),那么单位向量c=( )A.(-35,-45)或(35,45)B.(-35,45)或(35,-45)C.(-√22,-√22)或(√22,√22) D.(-√22,√22)或(√22,-√22)答案 B4.(2021河南平顶山一模,5)在平行四边形ABCD 中,E 是对角线AC 上一点,且AE=4EC,那么DE⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C5.(2021河北衡水金卷(六),10)点P 为四边形ABCD 所在平面内一点,且满足AB⃗⃗⃗⃗⃗ +2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +4DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),那么λμ=( ) A.76B.-76C.-13D.13答案 D6.(2021届湖南衡阳八中模拟检测,6)在△OAB 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD,BC 的交点为M,过M 作动直线l 分别交线段AC,BD 于E,F 两点,假设OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ>0),那么λ+μ的最小值为( )A.2+√37 B.3+√37C.3+2√37D.4+2√37答案 D7.(2021河南郑州一模,9)如图,在△ABC 中,N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点,点P 在线段BN 上且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +211)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +211BC ⃗⃗⃗⃗⃗,那么实数m 的值为( )A.1B.13C.911D.511答案 D8.(2021安徽黄山一模,12)如图,在△ABC 中,∠BAC=π3,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 为CD 上一点,且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,假设△ABC 的面积为2√3,那么|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( )A.√2B.√3C.3D.43答案 B9.(2021宁夏银川一中一模,5)如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是BN 上一点,假设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么实数t 的值为( )A.23 B.25 C.16 D.34答案 C二、多项选择题(每题5分,共10分)10.(改编题)以下说法中正确的选项是( ) A.假设a ∥b,b ∥c,那么a ∥cB.假设2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,S △AOC ,S △ABC 分别表示△AOC,△ABC 的面积,那么S △AOC ∶S △ABC =1∶6C.两个非零向量a,b,假设|a-b|=|a|+|b|,那么a 与b 共线且反向D.假设a ∥b,那么存在唯一实数λ使得a =λb 答案 BC11.(2021山东济南高一下学期期末学习质量评估)设点M 是△ABC 所在平面内一点,那么以下说法正确的选项是( ) A.假设AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 是边BC 的中点 B.假设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 在边BC 的延长线上 C.假设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 是△ABC 的重心D.假设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,且x+y=12,那么△MBC 的面积是△ABC 面积的12答案 ACD三、填空题(每题5分,共20分)12.(2021辽宁辽阳一模)设向量a=(-2,3),b=(3,1),c=(-7,m),假设(a+3b)∥c,那么实数m= . 答案 -613.(2021广东七校第二次联考,16)G 为△ABC 的重心,过点G 的直线与边AB,AC 分别相交于点P,Q,假设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么△ABC 与△APQ 面积的比值为 . 答案20914.(2021黑龙江大庆二模,16)W 为△ABC 的外心,AB=4,AC=2,∠BAC=120°,设AW ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么2λ1+λ2= . 答案 315.(2021届福建泉州实验中学第一次月考,15)设O 为△ABC 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么S △AOB ∶S △BOC ∶S △COA = . 答案 2∶3∶1。

(完整版)平面向量专项训练(含答案)

平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。

每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （）A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。

2.2向量的线性运算(习题)

又 ∵ || = ||
∴四边形ABCD为菱形
B 能力提升
1.点是正六边形的中心, = , = ,试用向量、表示向量、、.
E
解：
D
= ; = =
∴ = + = +
C
F
OБайду номын сангаас
A
∴ = = ( + )
解：
= (, ); = (, −)
() + = (, ) + (, −)
= (, −)
() − = (, ) − (, −)
= (−, )
()( + ) = (, −)
7.根据下列条件判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论.

() = ; () = 且|| = || ; () = 且|| = ||.

解：

() =

() =
∴ //, =

∴ //, =

∴四边形ABCD为平行四边形
∴四边形ABCD为梯形
又 ∵ || = ||
∴四边形ABCD为距形
() =
∴ //, =
∴四边形ABCD为平行四边形
4.(1)如图,向量、不共线,试比较| + |与|| + ||的大小.
(2)对于任意向量、,讨论在什么情况下,| + | = || + ||.
解：

()| + | < || + ||

()当、方向相同时, | + | = || + ||
(3) − ( + ).
解：原式= − −

1平面向量的概念与线性运算练习新人教B版试题

5-1平面向量的概念与线性运算基础巩固强化1.(文)(2011·某某十校联考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝0 [答案] B[解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故PA →＋PC →＝0.(理)已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A.23B.43 C ．－3 D ．0 [答案] D[解析]CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →.∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →.∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD →＝23AB →－23AC →.又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0.2．(2012·某某理，7)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b | [答案] C[解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念．因a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，要使a |a |＝b|b |成立，则必须a 与b 同向共线，所以由a ＝2b 可得出a|a |＝b|b |.[点评] a ＝－b 时，a 与b 方向相反；a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反．因此A 、B 、D 都不能推出a |a |＝b|b |.3．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3，n )，若2a －b 与b 共线，则实数n 的值是( ) A ．3＋23B ．9 C ．6 D ．3－2 3 [答案] B[解析]2a －b ＝(－1,6－n )，∵2a －b 与b 共线，∴－1×n －(6－n )×3＝0， ∴n ＝9.4．设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形 [答案] D[解析] 解法一：设AC 的中点为G ，则OB →＋OD →＝b ＋d ＝a ＋c ＝OA →＋OC →＝2OG →，∴G 为BD 的中点，∴四边形ABCD 的两对角线互相平分，∴四边形ABCD 为平行四边形．解法二：AB →＝OB →－OA →＝b －a ， CD →＝OD →－OC →＝d －c ＝－(b －a )＝－AB →，∴AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．5．设OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP ||PB |＝4，如图所示，则OP →＝( )A.15e 1－25e 2B.25e 1＋15e 2C.15e 1＋45e 2D.25e 1－15e 2 [答案]C[解析]AP →＝4PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝5PB →， OP →＝OB →＋BP →＝OB →－15AB →＝OB →－15(OB →－OA →)＝45OB →＋15OA →＝15e 1＋45e 2.6．P 是△ABC 内的一点，AP →＝13(AB →＋AC →)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( )A ．2B ．3 C.32D ．6 [答案] B[解析] 由AP →＝13(AB →＋AC →)，得3AP →＝AB →＋AC →，∴PB →＋PC →＋PA →＝0，∴P 是△ABC 的重心． ∴△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为3.7．(2013·某某省惠安三中模拟)已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________．[答案]12[解析]∵a ∥b ，∴3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，∴x ＝12.8．已知点A (2,3)，C (0,1)，且AB →＝－2BC →，则点B 的坐标为________． [答案] (－2，－1)[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则有AB →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－x,1－y )，因为AB →＝－2BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x ，y －3＝－21－y，解得x ＝－2，y ＝－1.9．(2012·东北三省四市联考)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AB →·AC →＝－1，若AO →＝x 1AB →＋x 2AC →(O 是△ABC 的外心)，则x 1＋x 2的值为________．[答案]136[解析]O 为△ABC 的外心，AO →＝x 1AB →＋x 2AC →，AO →·AB →＝x 1AB →·AB →＋x 2AC →·AB →，由向量数量积的几何意义，AO →·AB →＝12|AB →|2＝2，∴4x 1－x 2＝2，①又AO →·AC →＝x 1AB →·AC →＋x 2AC →·AC →，∴－x 1＋x 2＝12，②联立①②，解得x 1＝56，x 2＝43，∴x 1＋x 2＝136.10．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解析] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． (2)解：∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.能力拓展提升11.(2012·某某调研)已知△ABC 及其平面内点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B[解析] 解法1：由已知条件MB →＋MC →＝－MA →.如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E ，延长CM 交AB 于F ，则E 、F 分别为AC 、AB 的中点，即M 为△ABC 的重心．AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.解法2：∵AB →＋AC →＝MB →－MA →＋MC →－MA →＝MB →＋MC →－2MA →＝mAM →，∴MB →＋MC →＝(m －2)AM →， ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴(m －2)AM →＝AM →，∴m ＝3.12．如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A ．(12，12)B ．(23，23)C ．(13，13)D ．(23，12)[答案] C[解析] 解法1：令BF →＝λBE →，由题可知：AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ(12AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋12λAC →；同理，令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ(12AB →－AC →)＝12μAB→＋(1－μ)·AC →，平面向量基本定理知对应系数相等，可得⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23.所以AF →＝13AB →＋13AC →，故选C.解法2：设CF →＝λCD →，∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点， ∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ(12a －b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1a ＋(1－λ)b ， ∵BE →与BF →共线，a 、b 不共线， ∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝13. 13．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.[答案]23[解析]由图知CD →＝CA →＋AD →，① CD →＝CB →＋BD →，②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.14．(2012·某某省某某市质检)已知：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则mn＝________.[答案] 3[解析] 设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ， |OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ，两式相除得：m3n＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，∴mn ＝3.15．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )． (1)若A 、B 、C 三点共线，某某数m 的值； (2)若∠ABC 为锐角，某某数m 的取值X 围．[解析] (1)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))． ∴AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线， ∴3(1－m )＝2－m ，∴m ＝12.(2)由题设知BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m ) ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0⇒m >－34又由(1)可知，当m ＝12时，∠ABC ＝0°故m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 16．(文)已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)， (1)当x 、y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x 、y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵a 与b 共线， ∴存在非零实数λ使得a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ∈R .(2)由a ⊥b ⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.① 由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝73.∴xy ＝－1或xy ＝359.(理)已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)，向量OP →＝OA →＋tAB →. (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？ (2)t 为何值时，点P 在第二象限？(3)四边形ABPO 能否为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由． (4)求点P 的轨迹方程．[解析]∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，∴P (1＋3t,2＋3t )． (1)∵P 在x 轴上，∴2＋3t ＝0即t ＝－23.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0.∴－23<t <－13.(3)∵AB →＝(3,3)，OP →＝(1＋3t,2＋3t )．若四边形ABPO 为平行四边形，则AB →＝OP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.而上述方程组无解，∴四边形ABPO 不可能为平行四边形．(4)∵OP →＝(1＋3t,2＋3t )，设OP →＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t .∴x －y ＋1＝0为所求点P 的轨迹方程．1．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 [答案] A[解析] 由已知得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ，故AD →＝2BC →，由共线向量知识知AD ∥BC ，且|AD |＝2|BC |，故四边形ABCD 为梯形，所以选A.2．已知|a |＝3，|b |＝1，且a 与b 同向共线，则a ·b 的值是( ) A ．－3 B ．0 C ．3 D ．－3或3 [答案] C[解析]∵a 与b 同向共线，∴a ·b ＝|a |·|b |cos0＝3，选C.3．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心 [答案] D[解析] 设AB →＋AC →＝AD →，则可知四边形BACD 是平行四边形，而AP →＝λAD →表明A 、P 、D 三点共线．又D 在边BC 的中线所在直线上，于是点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心．4．(2012·某某部分重点中学检测)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ·yx ＋y的值为( )A ．3 B.13C ．2 D.12[分析] 由M 、N 、G 三点共线知，存在实数λ、μ使AG →＝λAM →＋μAN →，结合条件AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，可将AG →用AB →，AC →表示，又G 为△ABC 的重心，AG →用AB →，AC →表示的表示式唯一，可求得x ，y 的关系式．[答案] B[解析] 法1：由点G 是△ABC 的重心，知GA →＋GB →＋GC →＝0，得－AG →＋(AB →－AG →)＋(AC →－AG →)＝0，则AG →＝13(AB →＋AC →)．又M 、N 、G 三点共线(A 不在直线MN 上)，于是存在λ，μ∈R ，使得AG →＝λAM →＋μAN →(且λ＋μ＝1)，则AG →＝λx AB →＋μy AC →＝13(AB →＋AC →)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1，λx ＝μy ＝13，于是得1x ＋1y ＝3，所以x ·y x ＋y ＝11x ＋1y＝13.法2：特殊化法，利用等边三角形，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ·y x ＋y ＝13. 5．(2012·豫南四校调研考试)已知△ABD 是等边三角形，且AB →＋12AD →＝AC →，|CD →|＝3，那么四边形ABCD 的面积为( )A.32B.332C ．33D.932[答案] B [解析]如图，由条件知，CD →＝AD →－AC →＝12AD →－AB →，∴CD →2＝(12AD →－AB →)2，∴3＝14AD →2＋AB →2－AD →·AB →，∵|AD →|＝|AB →|，∴54|AD →|2－|AD →|·|AB →|cos60°＝3，解之得|AD →|＝2.又BC →＝AC →－AB →＝12AD →，∴|BC →|＝12|AD →|＝1，∴|BC →|2＋|CD →|2＝|BD →|2，∴BC ⊥CD .∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×22×sin60°＋12×1×3＝332，故选B.6．非零向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，若a 与b 共线，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.[答案]13[解析]∵非零向量a 、b 共线，∴存在实数λ，使a ＝λb ，即(sin θ，2)＝λ(cos θ，1)，∴λ＝2，sin θ＝2cos θ，∴tan θ＝2，∴tan(θ－π4)＝tan θ－11＋tan θ＝13.。

向量的线性运算基础测试题及答案解析

向量的线性运算基础测试题及答案解析一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于（）A ．BDB ．AC C ．DBD ．CA【答案】B【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =，然后由三角形法则，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∵AD b =，∴BC b =，∵AB a =，∴a b +=AB +BC =AC ．故选B ．2．已知向量，若与共线，则( ) A ． B ． C ．D ．或【答案】D【解析】【分析】要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答. 【详解】解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D.【点睛】本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.3．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =，DC b =，则（） A ．()12BO a b =+； B ．()12BO a b =-；C ．()12BO b a =-+；D ．()12BO b a =-．【答案】D【解析】 1,.21(b-a)2BCD BO BD BD DC CB CB BC BO D ∆==+=-=在中，所以故选4．已知a 、b 为非零向量，下列判断错误的是（）A ．如果a ＝3b ，那么a ∥bB ．||a ＝||b ，那么a ＝b 或a ＝-bC ．0的方向不确定，大小为0D ．如果e 为单位向量且a ＝﹣2e ，那么||a ＝2【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质解答即可．【详解】解：A 、如果a ＝3b ，那么两向量是共线向量，则a ∥b ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a ＝||b ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意．D 、根据向量模的定义知，||a ＝2|e |＝2，故D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.5．以下等式正确的是（）．A ．0a a -=B ．00a ⋅=C ．()a b b a -=--D ．km k m =【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的运算法则进行判断．【详解】解：A. 0a a -=，故本选项错误；B. 00a ⋅=，故本选项错误；C. ()a b b a -=--，故本选项正确； D. km k m =⋅，故本选项错误.故选：C.【点睛】考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．6．已知5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-，则（）．A ．A 、B 、D 三点共线B ．A 、B 、C 三点共线 C ．B 、C 、D 三点共线D ．A 、C 、D 三点共线【答案】A【解析】【分析】根据共线向量定理逐一判断即可.【详解】解：∵28BC a b =-+，()3CD a b =-，5AB a b =+∴()2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+，∴AB 、BD 是共线向量∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确； ∵5AB a b =+，28BC a b =-+ ∴不存在实数λ，使AB BC λ=，即AB 、BC 不是共线向量∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误；∵28BC a b =-+，()3CD a b =- ∴不存在实数λ，使BC CD λ=，即BC 、CD 不是共线向量∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误； ∵5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-，∴()52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+ ∴不存在实数λ，使AC CD λ=，即AC 、CD 不是共线向量∴A 、C 、D 三点共线，故D 错误；故选A.【点睛】此题考查的是共线向量的判定，掌握共线向量的定理是解决此题的关键.7．若点O 为平行四边形的中心，14AB m =，26BC m =，则2132m m -等于（）． A ．AOB ．BOC ．COD ．DO 【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可.【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, 14AB m =，26BC m =，∴1246B m C AC AB m =+=+,1246BD BA BC AC m m =+==-+,M 分别为AC 、BD 的中点, ∴122312AO AC m m =+=，故A 不符合题意； 211322BO BD m m ==-，故B 符合题意； 122312CO AC m m ==---，故C 不符合题意； 121232DO BD m m =-=-，故D 不符合题意. 故选B.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.8．如果向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为3，那么用向量e 表示向量a 为（）A ．3a e =B ．3a e =-C ．3e a =D ．3e a =-【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的定义解答即可．【详解】解：∵向量e 为单位向量，向量a 与向量e 方向相反，∴3a e =-．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，=， =，=，则（）A ．+++=B ．-+-=C ．+--=D ．--+= 【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项．【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；；而； ∴B 正确.故选B.【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.10．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（）．A ． //a c ,//b cB ．||3||a b =C ． 5a b =-D ．2a b =【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可．【详解】解：A 、由//a c ,//b c 推知非零向量a 、b 、c 的方向相同，则//a b ，故本选项不符合题意．B 、由||3||a b =只能判定向量a 、b 的模之间的关系，不能判定向量a 、b 的方向是否相同，故本选项符合题意．C 、由5a b =-可以判定向量a 、b 的方向相反，则//a b ，故本选项不符合题意．D 、由2a b =可以判定向量a 、b 的方向相同，则//a b ，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量．11．已知e →为单位向量，a =-3e →，那么下列结论中错误．．的是（） A ．a ∥e →B ．3a =C ．a 与e →方向相同D ．a 与e →方向相反【答案】C【解析】【分析】由向量的方向直接判断即可.【详解】解：e 为单位向量，a =3e -，所以a 与e 方向相反，所以C 错误，故选C.【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．下列说法正确的是（）A ．()0a a +-=B ．如果a 和b 都是单位向量，那么a b =C ．如果||||a b =，那么a b =D ．12a b =-（b 为非零向量），那么//a b【答案】D【解析】【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.【详解】解：A 、()a a +-等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a 和b 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =-（b 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b ，故D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.13．在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =，AD b =，那么OD 等于（）A．1122a b+B．1122a b--C．1122a b-D．1122a b-+【答案】D 【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得12OD BD=，，又由BD BA AD=+，即可求得OD的值．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD=12 BD，∴12OD BD=，∵BD BA AD a b=+=-+，∴12OD BD==111()222a b a b-+=-+故选：D．【点睛】此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．14．在下列关于向量的等式中，正确的是（）A．AB BC CA=+B．AB BC AC=-C．AB CA BC=-D．0AB BC CA++=【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算逐项判断即可.【详解】AB AC CB=+，故A选项错误；AB AC BC=-，故B、C选项错误；AB BC CA++=，故D选正确.故选：D.【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.15．如图，向量OA 与OB 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n =OA +OB ，则||n =（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B【解析】根据向量的运算法则可得: n =()222OA OB +=,故选B.16．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的加法即可解答.【详解】解：根据题意得＝,＋ .故选D.【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.17．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知11(,OA x y =），22(,)OB x y =，如果12120x x y y +=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（）A ．(4,3)OC =-；(3,4)OD =-B ．(2,3)OE =-； (3,2)OF =-C ．(3,1)OG =；(OH =-D ．(24)OM =；(2)ON =-【答案】D【解析】【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可.【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意；B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意；C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意；D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意；故选D.【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.18．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（）A ．m na mn a （）＝（）B ． m n a ma na ++（）＝C ．m a b ma mb +（+）＝D ．若0ma =，那么0a =【答案】D【解析】【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同．【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的；∵D 、如果a =0，则m=0或a =0．∴错误．故选D ．【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.19．已知向量a和b都是单位向量，那么下列等式成立的是（）=A．a b-=D．a ba b+=C．0a b=B．2【答案】D【解析】【分析】根据向量a和b都是单位向量，，可知|a|＝|b|＝1，由此即可判断．【详解】解：A、向量a和b都是单位向量，但方向不一定相同，则a b=不一定成立，故本选项错误．B、向量a和b都是单位向量，但方向不一定相同，则2+=不一定成立，故本选项错a b误．C、向量a和b都是单位向量，但方向不一定相同，则0-=不一定成立，故本选项错a b误．D、向量a和b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键20．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（）A．||＝2|| B．是与方向相同的单位向量C．2-＝D．∥【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答．【详解】A、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误．B、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误．C、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误．D、由＝-得到∥，故本选项说法正确．故选D．【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．。

九年级同步第8讲：平面向量的线性运算-教师版

1 / 20ABCDO【例1】下列命题中的假命题是（）（A ）向量AB u u u r 与BA u u u r的长度相等（B ）两个相等向量若起点相同，则终点必相同（C ）只有零向量的长度等于0 （D ）平行的单位向量都相等【难度】★ 【答案】D【解析】D 选项，平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时是相反向量．【总结】此题主要考查向量的相关概念．【例2】填空：AB BC +=u u u r u u u r； AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r； AB BC BA ++=u u u r u u u r u u u r ； AE FC EF ++=u u u r u u u r u u u r； AB AC BC -+=u u u r u u u r u u u r；OA BC OC +-=u u u r u u u r u u u r．【难度】★【答案】AC uuu r ；0r ；BC u u u r ；AC u u u r ；0r ；BA u u u r．【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如AB AC CB -=u u u r u u u r u u u r是利用减法法则，箭头指向被减数，同时AB AC AB CA CA AB CB -=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，这样运算复杂了，但也是一种思路．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．【例3】如图，已知平行四边形ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ．设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，试用a r 、b r表示下列向量：例题解析2 / 20A BC DEF G H OOC u u u r ，OD u u u r ，AB u u u r ，BC u u u r ，CD u u u r ，DA u u u r ．【难度】★【答案】OC a OD b AB b a BC b a CD a b DA a b =-=-=-=--=-=+u u u r r u u u r u u r u u u r r r u u u r r u u ur r r u u u r r r r ；；；；；．【解析】利用平行四边形对边平行且相等,对角线互相平分的性质来求解以上向量:OC OA a =-=-u u u r u u u r r ；OD OB b =-=-u u u r u u u r r ；AB OB OA b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r ；BC OC OB a b =-=--u u u r u u u r u u u r r r ；CD AB a b =-=-u u u r u u u r r r ；DA BC a b =-=+u u u r u u u r r r ．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．【例4】已知非零向量a r ，求作75a r，3a -r ．【难度】★【答案】略【解析】75a r 与a r 方向相同，长度是a r 的75倍；3a -u u r 方向与a r 相反，长度是a r 的3倍，作图略．【总结】此题主要考查如何根据已知向量求作所需的向量．【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，EG 与FH 相交于点O ．设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，试用向量a r 或b r表示向量OE u u u r 、OF u u u r ，并写出图中与OG u u u r 相等的向量．【难度】★【答案】11;22OE a OF b =-=-u u u r r u u u r r，与OG u u u r 相等的向量有EO AF FB DH HC u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ；；；；．【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 、G 、H 分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以1111;2222OE AB a OF AD b ==-=-=-=-u u u r u u u r r u u u r u u u r r，与OG u u u r 相等的向量有EO AF FB DH HC u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ；；；；五个．【例6】计算：()35a -⨯=r；()()743a b a b a +--+=r r r r r；3 / 20A D E()()1123a b a b +--=r r r r．【难度】★【答案】151561166a ab a b -++r r r r r；；．【解析】（1）()3515a a -⨯=-r r；（2）()()74377443611a b a b a a b a b a a b +--+=+-++=+r r r r r r r r r r r r；（3）()()1111111523223366a b a b a b a b a b +--=+-+=+r r r r r r r r r r ．【总结】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则．【例7】用单位向量e r表示下列向量：（1）a r 与e r方向相同，且长度为9；（2）b r 与e r方向相反，且长度为5；（3）c r 与e r 方向相反，且长度为35．【难度】★【答案】3955a eb ec e ==-=-r r r r r r；；．【解析】此题主要考查用单位向量e r 来表示已知向量,3955a e b e c e ==-=-r r r r r r；；．【例8】已知非零向量a r ，求作（1）22+3a a r r ；（2）4-25a a r r．【难度】★★【答案】略【解析】28233a a a +=r r r 方向与a r 相同，长度是a r 的83倍；46255a a a -=-r r r方向与a r 相反，长度是a r 的65倍，作图略．【例9】如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，DE //BC ，AD = 4，BD = 7，试用向量BC u u u r 表示向量DE u u u r ．4 / 20ABCD E F 【难度】★★【答案】411DE BC =u u u r u u u r．【解析】∵47AD BD ==，，∴411AD AB =，又∵//DE BC ， ∴DE ADBC AB=．∴411DE BC =u u u r u u u r ．【总结】此题主要是将向量与三角形一边平行线的性质结合起来，在用已知向量表示未知向量时一定要注意方向是否相同．【例10】下列说法中，正确的是（）A ．一个向量与零相乘，乘积为零B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【难度】★★ 【答案】D【解析】A 选项向量与零相乘，结果是零向量；B 选项向量可以与任何实数相乘；C 选项非零向量乘以一个负数，方向与原向量相反，长度不确定．【总结】此题主要考查实数与向量相乘的法则．【例11】如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，且AF a =u u u r r ，AE b =u u u r r，用a r 、b r 表示DB u u u r，其结果是．【难度】★★【答案】22DB b a =-u u u r r r．【解析】222222DB DA AB FA AE AE AF b a =+=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r．【总结】此题主要考查向量相乘的加减法运算法则．【例12】如果5OA =u u u r ，3OB =u u u r ，那么AB u u u r的取值范围是．【难度】★★【答案】28AB ≤≤u u u r．【解析】AB OA OB =-u u u r u u u r u u u r ,当O 、A 、B 三点共线时，OA OB -u u u r u u u r分别取最大值与最小值，,OA OB u u u r u u u r 同向时取最小值2，方向相反时取最大值8，所以28AB ≤≤u u u r．【总结】此题主要考查向量的模的概念．【例13】计算：（1）3322a b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭r r r ；（2）()()32523a b a b +--r r r r；（3）()1123322a b c b c ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭r r r r r ．【难度】★★【答案】（1）1322a b --r r；（2）17b r ；（3）32a b c -+r r r ．【解析】（1）333313222222a b a a b a a b ⎛⎫--=--=-- ⎪⎝⎭r r r r r rr r ；（2）()()325236156217a b a b a b a b b +--=+-+=r r r r r r r r r；（3）()1113332333222222a b c b c a b c b c a b c ⎛⎫+---=+--+=-+ ⎪⎝⎭r r r r r r r r rr r r r ．【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”．【例14】设a r 、b r 是已知向量，解关于向量c r 的方程42307c a b +-=r r r r ．【难度】★★【答案】2372c b a =-r r r．【解析】解：∵42307c a b +-=r r r r ，∴4237c b a =-r r r ，∴2372c b a =-r r r．【总结】此题主要是利用“解方程”的思想去用已知向量表示未知向量．【例15】已知向量a r 、b r 满足()3132525a b a b a b +--=+r r r r rr ，求证：向量a r 和b r 平行．【难度】★★6 / 20【答案】略【解析】()3132525a b a b a b +--=+r r r rrr去分母：2(3)5()2(32)a b a b a b +--=+r r r r r r去括号：265564a b a b a b +-+=+r r r r r r移项合并得：79b a =r r系数化1：97b a =r r所以，向量a r 和b r平行．【总结】此题主要是利用平行向量的概念来判定两个向量平行．【例16】已知324a b c +=r r r ，25a b c -=r r r ，其中0c ≠r r ，那么向量a r 与b r是否平行？【难度】★★ 【答案】平行．【解析】联立方程组：32425a b c a b c ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩r r r r r r ，解得2a c b c ⎧=⎪⎨=-⎪⎩r rr r ，所以，向量a r 与b r 平行．【总结】此题主要是利用平行向量的概念来判定两个向量平行．【例17】如图，已知a r ，求作13a -r（提示：利用三角形的重心）．【难度】★★★【答案】略【解析】AD a =u u u r r作，过点D 作线段BC ，使得D 是BC 中点，联结AB 、AC ．取AC 中点，则AD 、BE 分别是三角形ABC 的中线，根据三角形重心的性质可知：13DG a =-u u u r r为所求作向量.【总结】此题主要是利用重心的性质定理来求作一个向量．【例18】已知梯形ABCD 中，AD //BC ，且AD = 2AB = 2CD ，60B ∠=︒．（1）若AD kBC =u u u r u u u r，求实数k 的值；GECBDA7 / 20（2）若0xAB BC yDC ++=u u u r u u u r u u u r r，求实数x 、y 的值．【难度】★★★ 【答案】（1）23k =；（2）3,3x y ==-. 【解析】（1）如图，过点A 、D 分别作梯形的高AE 、DF ，设AB ＝CD ＝a ，则2AD EF a ==，∵∠B ＝60°，∴∠BAE ＝30°，∴2a BE =，同理2aCF =，可得3BC a =，∵AD BC P ，∴22,33AD BC k ==u u u r u u u r 即.（2）延长BA 、CD 相交于点G ，易得BCG V 、ADG V 是等边三角形，所以3GB GC a ==，根据三角形法则，0GB BC CG ++=u u u r u u u r u u u r r，又∵3,3GB AB CG DC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴33033AB BC DC x y +-===-u u u r u u u r u u u r，即，.【例19】a r 、b r 是已知向量，且a r 、b r 不平行，c r是未知向量，且1230a b c -+=r r r r ，表示13a r、4b -r 、c r 的有向线段能构成三角形吗？【难度】★★★【答案】能构成三角形.【解析】因为1230a b c -+=r r r r ,两边同时除以3,得1403a b c -+=r r r r ,因为a r 、b r 不平行，所以13a r、4b -r 、c r 不共线，即13a r、4b -r 、c r 能构成三角形.【总结】在三角形ABC 中，0,AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r 同理若0a b c a b c ++=r r r r r r，，不共线，且，则表示a b c r r r，，的三条有向线段能构成三角形. 【例20】在四边形ABCD 中，2AB a b =+u u u r r r ，4BC a b =--u u u r r r ，53CD a b =--u u u r r r．求证：四边形ABCD 为梯形．8 / 20【难度】★★★【答案】略【解析】∵245382AD AB BC CD a b a b a b a b =++=+----=--u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r r r ，4BC a b =--u u u r r r，∴2(4)2AD a b BC =--=u u u r r r u u u r ，∴//AD BC ．∴四边形ABCD 是梯形．【总结】本题主要考查平行向量与两条直线平行的关系．【例21】如图，已知非零向量a r 、b r ，以点O 为起点，求作向量322a b -+r r．【难度】★ 【答案】略【解析】作法（作图过程略）：以O 为起点，作2OA a =-u u u r r，以A 为起点，作32AB b =u u u r r，联结OB ．则322OB a b =-+u u u r r r，为所求作图形．【总结】本题主要是通过向量的线性运算表示出向量之后，再利用向量的加减运算法则来作图．【例22】计算：（1）111252324a b a b ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r ；（2）12513362a b a b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r ．【难度】★【答案】（1）28134a b --r r ；（2）1726a b --r r．【解析】（1）11125281252103243434a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-+=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r rr r r r ；（2）12511251173362336226a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫--+=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r rr r ．【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”．【例23】已知向量a r 、b r不平行，x 、y 是实数，且()31xa yb ya x b +=-+r r r r ，求x 、y 的值．【难度】★O9 / 20【答案】∵()31xa yb ya x b +=-+r r r r，∴3(1)x y y x =⎧⎨=-+⎩．解得：3414x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【总结】本题主要考查相等向量的概念以及解二元一次方程组的方法．【例24】如图，已知向量OA u u u r 、OB u u u r 和a r 、b r，求作：（1）向量a r 分别在OA u u u r、OB u u u r 方向上的分向量；（2）向量b r 分别在OA u u u r、OB u u u r 方向上的分向量．【难度】★★ 【答案】略【解析】作法（作图略）：（1）以a r 的起点，分别作OB 、OA 的平行线OC 、OD ，以a r的终点分别作OC 、OD 的平行线，交于E 、F 两点，则OE OF a OA OB u u u r u u u r r u u u r u u u r，是在，方向上的分向量．（2）作法同（1）．【总结】本题主要考查求一个向量的分向量的方法．【例25】若()1123032x a b c x b ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭r r r rr r r ，其中a r 、b r 、c r 为已知向量，求未知向量x r ．【难度】★★【答案】4112177x a b c =-+r r r r．【解析】∵()1123032x a b c x b ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭r r r rr r r ，∴321122322x x a b c +=-+r r r r r．∴4112177x a b c =-+r r r r ．【总结】本题考查解向量方程，思想类比普通方程的解法：去分母→去括号→移项→合并化简→系数化1.A BO10 / 20AB CD EOA BC DNMAD【例26】已知O 为ABC ∆内一点，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且12AD DB =，DE //BC ．设OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，试用b r 、c r 表示DE u u u r ．【难度】★★【答案】1133DE b c =-+u u u r r r.【解析】∵BC BO OC b c =+=-+u u u r u u u r u u u r r r，又∵DE //BC ，12AD DB =， ∴13DE BC =，即13DE BC =u u u r u u u r ． ∴1133DE b c =-+u u u r r r ．【总结】本题主要是将向量与几何图形结合，借助三角形一边平行线的性质定理求解向量．【例27】如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM m =u u u u r u r ，AN n =u u u r r ，试用m u r 、n r 表示AB u u u r 和AD u u u r．【难度】★★【答案】42334233AB n m AD m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩u u ur r u r u u u r u r r .【解析】由题意得，AB BN AN AD DM AM⎧+=⎪⎨+=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，即1212AB AD n AD AB m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩u u u r u u u r r u u u r u u u r u r ，解方程组，得42334233AB n m AD m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩u u ur r u r u u u r u r r ．【总结】本题主要是将向量与几何图形结合，借助平行四边形的性质以及向量的加减法则来表示向量．【例28】如图，在ABC ∆中，D 是AB 边的中点，E 是BC 延长线上一点，且BE = 2BC ．ABCD NM （1）用BA u u u r 、BC u u u r 表示向量DE u u u r；（2）用CA u u u r 、CB u u u r 表示向量DB u u u r．【难度】★★【答案】（1）12;2DE BA BC =-+u u u r u uu r u u u r （2）1122DB CB CA =-u u u r u u u r u u u r .【解析】（1）∵DE DB BE =+u u u r u u u r u u u r，D 是AB 边的中点，且BE ＝2BC∴122DE BA BC =-+u u u r u uu r u u u r ；（2）∵12DB AB =u u u r u u u r ， ∴111()222DB AC CB CB CA =+=-u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ．【总结】平面向量的分解，关键点是将已知向量用向量的加减法则改写成分解式，再乘以相关的系数来完成各个方向的分解.【例29】如图，平行四边形ABCD 中，点M 、N 是边DC 、BC 的中点，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，分别求向量MN u u u u r 、BN u u u r 关于a r 、b r的分解式．【难度】★★【答案】111;222MN a b BN b =-=u u u u r r r u u u r r.【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,AD BC AB DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r ．又∵M 、N 是边DC 、BC 的中点， ∴11()22MN MC CN AB AD =+=+-u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u ur ．即1122MN a b =-u u u u r r r ， 11=22BN BC b =u u u r u u u r r ．【总结】本题一方面考查向量在某个方向上的分向量的概念，另一方面与几何图形结合，利用相关性质完成求解过程．【例30】已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，分别求向量OC u u u r 、OD u u u r 、AB u u u r、BC u u u r 关于a r 、b r 的分解式．【难度】★★【答案】OC a OD b AB a b BC b a =-=-=-+=--u u u r r u u u r r u u u r r r u u u r r r；；；. 【解析】本题考查平面向量的分解，结合平行四边形性质应用.FA B CE GHABCDE F ONM【例31】如图，在ABC ∆中，G 、E 为AC 的三等分点，F 、H 为BC 的三等分点，CA a =u u u r r，BC b =u u u r r ，写出AB u u u r 、EF u u u r 、GH u u uu r 关于a r 、b r 的线性组合，并通过向量证明EF 、GH 、AB 之间的位置关系．【难度】★★★【答案】EF GH AB P P .【解析】∵AB AC CB a b =+=--u u u r u u u r u u u r r r，又∵G 、E 为AC 的三等分点，F 、H 为BC 的三等分点，∴2233GH GC CH a b =+=--u u u u r u u u r u u u r r r ，1133EF EC CF a b =+=--u u u r u u u r u u u r r r ，∴21,33GH AB EF AB ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ．即EF GH AB P P ．【总结】本题主要是考查如何在几何图形中借助几何图形的性质来表示未知向量．【例32】已知点A 、B 、C 在射线OM 上，点D 、E 、F 在射线ON 上，1OB OEk OA OD==，2OC OFk OA OD==．设OA a =u u u r r ，OD b =u u u r r ．（1）分别求向量AD u u u r 、BE u u u r、CF u u u r 关于a r 、b r 的分解式；（2）判断直线AD 、BE 、CF 是否平行．【难度】★★★【答案】（1）12()()AD a b BE k b a CF k b a =-+=-=-u u u r r r u u u r r r u u u r r r；；；（2）直线AD 、BE 、CF 两两平行．【解析】（1）AD AO OD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r；∵1OB OE k OA OD ==，2OC OFk OA OD==， ∴1122OB k OA OE k OD OC k OA OF k OD ====，，，． ∴111()BE BO OE k OA k OD k b a =+=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r．同理2()CF k b a =-u u u r r r；（2）∵12;BE k AD CF k AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r，∴直线AD BE CF 、、两两平行．【总结】本题考查利用向量证明直线平行位置关系．【习题1】以非零向量a r 为参照，分别说出向量3a r 、53a -r、()5a --r 的方向和长度．【难度】★【答案】3a r 与a r 方向相同，长度是a r 的3倍；53a -r 与a r 方向相反，长度是a r 的53；5()5a a --=r r 方向与a r 相同，长度是a r的5倍.【解析】本题主要考查共线向量的方向和大小问题．【习题2】已知非零向量k r ，2a k =-r r ，5b k =r r ，用a r 表示b r，其结果是．【难度】★【答案】52b a =-r r.【解析】∵2a k =-r r ，5b k =r r， ∴52b a =r r ．又∵b a r r 与方向相反， ∴52b a =-r r ．【总结】本题一方面考查向量的线性运算，一方面考查了相反向量的概念，注意两个向量互为相反向量时的符号关系．【习题3】已知不平行的两个向量a r 、b r，求作向量2a b -+r r ．【难度】★ 【答案】略【解析】作法:以O 为起点,作OA b =u u u r r ,以O 为起点,作2OB a =u u u r r ,则=2OA OB BA b a -=-u u u r u u u r u u u r r r.所以BA u u u r为所求作图形.【总结】本题主要考查如何根据已知向量求作未知向量．随堂检测【习题4】下列命题中，错误的个数是（）○1若a r 、b r 都是单位向量，则a b =r r ；○2若m = 0或0a =r r，则0ma =r ； ○3设m 、n 为实数，则()m n a ma na +=+r r r； ○4任意非零向量a r ，与a r 同方向的单位向量是0a r，则0a a =r r ．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个【难度】★★ 【答案】C【解析】选项①：单位向量的方向是任意的；选项②：零与向量相乘的结果是零向量，而不是零；选项④：只能判断方向，大小不确定，所以错误的个数有3个. 【总结】本题主要是考查与向量有关的概念，解题时要注意认真辨析．【习题5】已知，在四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r ，且AB AD =u u u r u u u r，那么四边形ABCD 是．【难度】★★ 【答案】菱形．【解析】∵AB DC =u u u r u u u r，∴AB CD AB CD =P 且． ∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵AB AD =u u u r u u u r ，∴AB ＝AD ．∴四边形ABCD 是菱形．【总结】本题主要是根据向量之间的关系判断出向量所对应的线段的位置及数量关系，从而得到几何图形的具体特征．【习题6】设a r 、b r 、c r是向量，m 、n 是实数，化简：（1）()()()()m na b c n ma b c n m b c +--+-+--r r r r r r r r；（2）()()2222mna mb nc m na b nc +--++r r r r r r．【难度】★★【答案】（1）0r ；（2）0r．【解析】（1）去括号：()()mna mb mc mna nb nc n m b m n c =+---++-+-r r r r r r r r化简合并：000a b +=r r r；（2）方法同上．【总结】本题考查向量的化简合并，在去括号时要注意变号问题．【习题7】 M 、N 是ABC ∆的一边BC 上的两个三等分点，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，用a r ，b r表示MN u u u u r ．【难度】★★【答案】当M 点靠近B 点时，1133MN b a =-u u u u r r r ；当M 点靠近C 点时，1133MN a b =-u u u u r r r.【解析】本题考查向量的分解，此题容易漏解,M 、N 是ABC ∆的一边BC 上的两个三等分点，有两种位置关系，当M 点靠近B 点时，1133MN b a =-u u u u r r r ；当M 点靠近C 点时，1133MN a b =-u u u u r r r.【习题8】已知ABC ∆的边BC 的中点为O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，分别求向量AB u u u r 、AC u u ur 、BC u u u r 关于a r 、b r的分解式．【难度】★★【答案】2AB b a AC a b BC b =-=--=-u u u r r r u u u r r r u u u r r；；. 【解析】AB OB OA b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r ；因为O 为边BC 的中点，所以OC OB =-u u u r u u u r，即AC OC OA b a =-=--u u u r u u u r u u u r r r ；2BC b =-u u u r r ．【总结】本题主要考查向量分向量的相关作图及概念．ABC D E F G【习题9】已知向量a r 、b r不平行，点A 、B 、C 共线，且2AB a kb =+u u u r r r ，4AC a b =-u u u r r r ，求实数k 的值．【难度】★★★ 【答案】8k =-．【解析】∵点A 、B 、C 共线，∴()AB AC λλ=u u u r u u u r为实数．∵122()2AB a kb a kb =+=+u u u r r r r r，4AC a b =-u u u r r r ，∴2142k λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴8k =-．【总结】本题主要考查向量的线性运算以及当两个向量共线时所具有的性质．【习题10】如图，已知平行四边形ABCD ，点E 、F 分别是边BC 、DC 的中点，G 为交点，若AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，试以a r 、b r 表示DE u u u r 、BF u u u r 、CG u u u r ．【难度】★★★【答案】11112233DE a b BF b a CG a b =-=-=--u u u r r r u u u r r r u u u r r r；；．【解析】（1）11()22DE DC CE AB AD a b =+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur r r ；（2）11()22BF BC CF AD AB b a =+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur r r ；（3）联结BD ．∵E 、F 分别是边BC 、DC 的中点，∴G 是三角形BCD 的重心，∴12FG GB =． ∵1111111()()()()2323232CG CF FG a FB a BF a b a =+=-+=--=---u u u r u u u r u u u r r u u u r r u u u u ur r r r ，∴1133CG a b =--u u u r r r ．【总结】本题主要考查平行四边形背景中平面向量的线性运算,其中第三问重心的应用非常巧妙．【作业1】已知，向量AB u u u r 的方向是东南方向，且5AB =u u u r，那么向量2AB -u u u r 的方向是；2BA -=u u u r．【难度】★【答案】西北方向；10．【解析】本题考查共线向量的方向和大小．【作业2】如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设CG a =u u u r r，CH b =u u u r r ，试用a r 、b r 表示向量DC u u u r 、FH u u u r 和BD u u u r ．【难度】★【答案】2222DC b FH a BD b a =-=-=-u u u r r u u u r r u u u r r r；；．【解析】∵H 是CD 中点，∴22DC CH b =-=-u u u r u u u r r．∵E 、F 、G 、H 分别为平行四边形各边的中点， ∴利用平行四边形的性质，可得： 22FH CG a =-=-u u u r u u u r r ；22BD CD CB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r ．【总结】本题主要是在平行四边形的背景下，利用平行四边形的相关性质用已知向量来表示未知向量．【作业3】下列说法正确的有（）个（1）零向量是没有方向的向量；（2）零向量的方向是任意的；（3）零向量与任意向量共线；（4）零向量只能与零向量共线．（A ）1（B ）2（C ）3（D ）以上都不对【难度】★ 【答案】B【解析】本题考查零向量的概念，零向量的方向是任意的，与任何向量共线．课后作业A BCDEF G H O【作业4】已知不平行的两个向量a r 、b r，求作向量()51222a b a b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭r r r r ．【难度】★★【答案】化简结果得3522a b -+r r，作图略．【解析】本题考查向量的合成，利用三角形法则或者平行四边形法则完成作图即可．【作业5】下列结论中，正确的是（）（A ）2004厘米长的有向线段不可以表示单位向量（B ）若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r不是单位向量（C ）若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u ur 是单位向量（D ）计算向量的模与单位长度无关【难度】★★ 【答案】C【解析】选项A 是错误的，因为单位向量是相对向量，1个单位长度不代表就是1厘米或者1米，如果把2004厘米长的有向线段作为基准的话，它本身就是单位向量．【作业6】若31122202245p q m q p m ⎛⎫⎛⎫---++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ur r u r r u r u r r ，其中p u r 、q r 为已知向量，求未知向量m u r．【难度】★★【答案】4157m p q =-+u r ur r .【解析】去括号：3311120244210p q m q p m --+-+=ur r u r r u r u r r ；去分母：30155102400p q m q p m --+-+=u r r u r r u r u r r；（可以不去分母）移项合并：35285m p q =-+u r u r r ；系数化1：4157m p q =-+u r ur r ．【总结】本题考查解方程的步骤，需要熟练的计算能力．ABCD PQR【作业7】如图，四边形ABCD 中，点P 、Q 、R 分别是对角线AC 、BD 和边AB 的中点．设AD a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，试用a r 、b r表示向量PQ u u u r ．【难度】★★【答案】1122PQ a b =-u u u r r r．【解析】∵点P 、Q 、R 分别是对角线AC 、BD 和边AB 的中点，∴RQ PR BAD ABC V V 、分别是和的中位线．∴12RQ AD RQ AD =P ，；12RP BC RP BC =P ，． ∴1122RQ AD RP BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r ；．又∵PQ RQ RP =-u u u r u u u r u u u r ， ∴1122PQ a b =-u u u r r r ．【总结】本题主要结合三角形中位线考查向量的分解．【作业8】已知ABC ∆中，点M 在A B 上，点N 在AC 上，13AM AB =u u u u r u u u r ，13AN AC =u u u r u u u r．求证：13MN BC =u u u u r u u u r．【难度】★★【答案】略【解析】∵MN MA AN =+u u u u r u u u r u u u r ，13AM AB =u u u u r u u u r ，13AN AC =u u u r u u u r，∴1133MN AB AC =-+u u u u r u u ur u u u r1()3AC AB =-u u ur u u u r 13BC =u u u r ．【总结】本题主要考查向量的线性运算．ABCDEFM【作业9】如图，点M 是的重心，则MA MB MC +-u u u r u u u r u u u u r为（）（A ）0r（B ）4ME u u u r（C ）4MD u u u u r（D ）4MF u u u u r【难度】★★★ 【答案】D【解析】延长MF 到点G ，使得MF ＝FG ，联结AG ，易证MFB GFA ≅V V ．∴,MB AG MB AG =P ，∴2MA MB MA AG MG MF +=+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r ．又∵点M 是三角形的重心，∴2CM MF =，即2CM FM =u u u u r u u u u r． ∴MA MB MC +-u u u r u u u r u u u u r =4MF u u u u r ．【总结】本题结合三角形重心考查向量的线性运算，另外我们可证+0MA MB MC +=u u u r u u u r u u u u r r ．【作业10】如图，已知a r，求作3a r （提示：利用勾股定理）．【难度】★★★ 【答案】略【解析】作法：（1）作OA a =u u u r r，过点O 作OA 的垂线，截取OB ＝OA ；（2）以点B 为顶角，作∠OBD ＝60°，交OA 的延长线于点D ；（3）设a r的模长为m ，根据含30°角的直角三角形性质及勾股定理，得3OD m =；（4）3OD a a u u u r r r与方向相同，长度是的倍；（5）所以，=3OD a u u u r r，为所求作向量．【总结】本题主要是借助几何图形的性质来求作向量．。

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苏教版2020年高中数学《向量的线性运算》教前练习1、填空：（1）=||a ϖλ ；（2）当0>λ时，a ϖλ与a ϖ方向；当0<λ时，a ϖλ与a ϖ方向；当0ϖ=a 时，a ϖλ= ；当0=λ时，a ϖλ= 。

（3）=)(a ϖμλ ；=+a ϖ)(μλ ；=+)(b a ϖϖλ 。

（4）若向量a 与b 方向相反，且5||,2||==b a ，则a 与b 的关系是。

（5）设b a ,是已知向量，若0)(3)(2=--+b x a x ，则=x 。

2、如图，D ，E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，求证：BC 与DE 共线，并将DE 用BC 线性表示。

3、共线向量定理：如果存在一个实数λ，使=b ϖ ，)0(ϖϖ≠a ，那么。

反之，如果b ϖ与a ϖ)0(ϖϖ≠a 是共线向量，那么。

注意：)0(≠=λλa b ϖϖ可写成b a ϖϖλ1=，但不能写成λ=a b ϖϖ或λ=b a ϖϖ。

4、提问：上述定理中，若无条件0ϖϖ≠a ，会有什么结果？5、向量共线定理如何用来解决点共线或线共点问题。

例题剖析例1、设e ϖ是非零向量，若e b a e b a ϖϖϖϖϖϖ32,2-=-=+，试问：向量a ϖ与b ϖ是否共线？ CE例2、如图，OAB ∆中，C 为直线AB 上一点，)1(-≠=λλCB AC ，求证：λλ++=1OB OA OC 。

思考：上例证明的结论λλ++=1OB OA OC 表明：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的向量OC 可以用OB OA ,表示。

那么两个不共线的向量OB OA ,可以表示平面内任一向量吗？巩固练习1、已知向量)(3,221221--=-=，求证：与是共线向量。

2、已知向量21212,24+=+=，求证：Q P M ,,三点共线。

3、如图，在△ABC 中，,21==EB AE DA CD 记,,==求证：)(31-=。

专题08 平面向量的线性运算(基础练)-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练

一．选择题 1．13(3)(2)24a b c a b c ++-+-= A ．124a b c -+B ．1524a b c -+C ．524a b c ++D ．554a b +【答案】A【解析】131(3)(2)2244a b c a b c a b c ++-+-=-+，故选A ．2．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，设BA a =，BC b =，则BP = A ．1233a b +B ．1233a b -C ．2133a b +D ．2133a b -【答案】C 【解析】PA PB PC AB ++=，∴2PC PA AB PB AP AB BP AP =-+-=++=；即2PC AP =；故点P 是CA 边上的第二个三等分点；112121()333333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC a b =+=+=+-=+=+；故选C ．3．若M 为ABC ∆的边AB 上一点，且3AB AM =，则CB = A ．32CM CA - B ．32CA CM - C ．32CM CA + D ．32CA CM +【答案】A 【解析】3AB AM =，∴3()CB CA CM CA -=-，专题08 平面向量的线性运算第二章平面向量∴32CB CM CA =-．故选A ．4．化简：AB CB CD ED AE -+--= A ．0 B ．AB C ．BA D ．CA【答案】A【解析】AB CB CD ED AE -+-- AB BC CD DE AE =+++- 0AE AE =-=．故选A ．5．已知ABC ∆，点D 为边BC 上一点，且满足2BD DC =，则向量AD = A ．1133AB AC +B ．1233AB AC +C ．2133AB AC +D ．2233AB AC + 【答案】B 【解析】2BD DC =，∴2()AD AB AC AD -=-， ∴1233AD AB AC =+．故选B ．6．在ABC ∆中，点D 为BC 中点，则12BD BA -= A ．AD B ．12ADC ．12ACD ．12CA【答案】C【解析】ABC ∆中，点D 为BC 中点， ∴12BD BC =， 11111()22222BD BA BC BA BC BA AC -=-=-=．故选C ．7．点C 是线段AB 靠近点B 的三等分点，下列正确的是A ．3AB BC = B ．2AC BC = C ．12AC BC =D ．2AC CB =【答案】D【解析】由题，点C 是线段AB 靠近点B 的三等分点， 33AB CB BC ==-，所以选项A 错误；22AC CB BC ==-，所以选项B 和选项C 错误，选项D 正确．故选D ．二．填空题8．计算：OP NQ MN MP ++-= ．【答案】OQ【解析】OP NQ MN MP OP PM MN NQ OQ ++-=+++=．故答案为：OQ ．9．在直角坐标系中，O 为原点，2xOA yOB AB +=，则x y += ．【答案】0 【解析】2xOA yOB AB +=，2()xOA yOB OB OA ∴+=-， (2)(2)0x OA y OB ∴++-=， 2x ∴=-，2y =，0x y +=，故答案为：0．三．解答题 10．化简．（1）AB CD BC DA +++．（2）()()AB MB BO BC OM ++++．【答案】（1）0；（2）AC ．【解析】（1）0AB CD BC DA AB BC CD DA +++=+++=；（2）()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=．11．已知两个非零向量a 与b 不共线，2OA a b =-，3OB a b =+，5OC ka b =+．（1）若20OA OB OC -+=，求k 的值；（2）若A ，B ，C 三点共线，求k 的值．【答案】（1）3k =-;（2）12．【解析】（1）2OA a b =-，3OB a b =+，5OC ka b =+．∴若20OA OB OC -+=，即2(2)350a b a b ka b ---++=，即(3)0k a +=，0a ≠，30k ∴+=，得3k =-．（2）若A ，B ，C 三点共线，则存在λ有BC AB λ=，即()OC OB OB OA λ-=-，即(1)2(4)4k a b a b a b λλλ-+=-+=-+，非零向量a 与b 不共线， ∴124k λλ-=-⎧⎨=⎩，得12λ=，12k =，即k 的值为12．。

专题15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理(教师版)

专题15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理考点47平面向量的概念与线性运算1．（2014新课标I ，文6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. BC B ．12AD C ． D ． 12BC 【答案】C 【解析】=+11()()22CB AB BC AC +++=1()2AB AC +=AD ，故选C ． 2．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e e B ．12(1,2),(5,2)=-=-e e C ．12(3,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e【答案】B【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，所以只有B 成立．考点48平面向量基本定理及其应用1．（2020江苏13）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是．【答案】185【解析】由向量系数33()22m m +-=为常数，结合等和线性质可知321PA PD =，故263PD PA ==，3AD PA PD AC =-==，故C CDA ∠=∠，故2CAD C π∠=-．在ABC ∆中，3cos 5AC C BC ==；在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin CD AD CAD C=∠，即sin(2)sin 23182cos 23sin sin 55C C CD AD AD C AD C C π-=⋅=⋅=⋅=⨯⨯=． 2．（2018•新课标Ⅰ，理6文7）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E为AD 的中点，则(EB = )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 【答案】A【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，∴12EB AB AE AB AD =-=- 11()22AB AB AC =-⨯+3144AB AC =-，故选A ． 3．（2015新课标Ⅰ，理7）设D 为?ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A 【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 4．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数和，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c 和实数，使λμ=+a b c ；④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题．综上，本题选B ．5．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m n += ．λμμλλμa μλb =+λμλμ+≥b c a【答案】3【解析】由可得72sin α=，，由OC =m OA +n OB 得22OC OA mOA nOB OA OC OB mOB OA nOB⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩，即2cos cos(45)2cos 45cos(45)m n m n ααα⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，两式相加得，2(cos cos 45)()(1cos(45))m n αα+=+++，所以22222cos 2cos 4510231cos(45)227221m n αα⨯+⨯++===+++⨯-⨯，所以． 6．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈R )，则= ．【答案】4【解析】如图建立坐标系，则()1,1a =-，()6,2b =，()1,3c =-．由c a b λμ=+，可得12,2λμ=-=-，∴4λμ=7．(2015北京)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =，若MN x AB y AC =+，则x = tan 7α=2cos 10α=3m n +=λμ；y = ．【答案】12 16【解析】由1111()3232MN MC CN AC CB AC AB AC =+=+=+-1126AB AC =- =x AB y AC +．所以12x ，16y ．考点49平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件1．（2019•新课标Ⅱ，文3）已知向量(2,3)a =，(3,2)b =，则||(a b -= )AB ．2 C．D ．50 【答案】A【解析】(2,3)a =，(3,2)b =，∴(2a b -=，3)(3-，2)(1=-，1)，2||(1)a b ∴-=-故选A ．2．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】，所以，这样同方向的单位向量是． 3．（2011广东）已知向量a =（1，2），b =（1，0），c =（3，4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ． 14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=124．（2018•新课标Ⅲ，理13）已知向量(1,2)a =，(2,2)b =-，(1,)c λ=．若//(2)c a b +，则λ= ．【答案】12【解析】向量(1,2)a =，(2,2)b =-，∴2(4,2)a b +=，(1,)c λ=，//(2)c a b +， ∴142λ=，解得12λ=．【答案】6-3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3,4)AB =-||5AB =134(,)555AB =-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．6．（2015•新课标Ⅱ，理13）设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ= ．【答案】12【解析】向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，(2)2a b t a b ta tb λ∴+=+=+， ∴12t t λ=⎧⎨=⎩，解得实数12λ=． 7．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n - 的值为___．【答案】－3【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-8．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__．【解析】∵||1=a ，∴可令(cos ,sin )θθ=a ，∵0λ+=a b ，∴cos 20sin 10λθλθ+=⎧⎨+=⎩，即2cos 1sin θλθλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得25λ=得||λ=9．（2014陕西）设20πθ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则=θtan _______．【答案】12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴22sin cos cos θθθ=，∵(0,)2πθ∈，∴1tan 2θ=．。