Euler公式的新证明
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∞
1 令上式中左右两边有相同幂次的 ｘ 前的系数相等，得等式 π 2 即 ∑
n =1 ∞
∑ n =1
∞
1 1 = ， n2 6
1 π2 = n2 6
.
2 Euler 公式的新证明
下面用二重积分的方法来证明 Euler公式． 令I =
1
(1 − ε ) 2n+1 ∑ 2 ε →0 N →∞ n =0 (2 n + 1)
N
= lim lim ∑
(1 − ε ) 2n+1 ∞ 1 2 =∑ 2 N →∞ ε→0 n = 0 (2 n + 1) n =0 (2n + 1)
N
.
(4)
另一方面 , 对二重积分
∫ ∫ 1− x y
0 0 2
n= 0
所以
I = lim
ε →0
∫ ∑
1 0 n =0
∞
x 2n (1 − ε ) 2n + 1
2 n+1
2 n +1
dx ,
而级数 ∑
n= 0 ∞
(3)
当时成立不等式 0 ≤ x ≤1 ,
x2 n
( 1− ε ) ( 2n + 1 )
2 n +1 1−ε ) ( ≤ ( 2n + 1 )
在 E 内 J ≠ 0 ，故由积分换元法
26
上海第二工业大学学报
2005 年 第 2 期
图 1 uv- 平面上的区域 E Fig.1 The ar源自文库a E on the uv-plane
图 2 xy- 平面上的区 D Fig.2 The area D on the xy-plane
I = 1 1 1 ∫0∫01 − x 2 y 2 ｄ x ｄ y ＝ 1 π π2 = SE = = . 2 2 8 结合（ 4 ） ,（ 5 ）两式 , 得 ∑
∞
x2
x 2 x4 + + L 6 120
2
或者
1 x2 x2 x2 x 4 1 x4 x4 L L + − = − + + + ∑ + L. 2 6 n 4π 4 + L n 2π 2 2 n 4π 4 6 120 n =1
∞
1
1
∑n
n= 0
∞
1
2
4 ∞ 1 ∑ 3 n = 0 (2n + 1) 2 .
从（ 6 ）式得
∑ 2 n= 0 n
3 结束语
∞
1
=
4π2 π2 = . 3 8 6
证毕．
∞ ∞ 1 π2 1 π4 上面用二重积分的方法重证了 Euler公式 ∑ n 2 = 6 ，并由此联想到另一个和式 ∑ n 4 = 90 ，是否也 n =1 n =1
n= 0 ∞
∫∫ 1 − ty u ty v J ｄ x ｄ y
E 2 2
1
2
(5)
(2n + 1)2
∞
1
=
π2 8 .
∞
(6) 1 =
=
∞ 1 ∞ 1 1 +∑ ∑ 2 2 4 n=1 n n =0 (2n + 1) .
又和式 ∑ 所以
1 2 可表为 n =1 n
∞
=∑ +∑ ∑ 2 2 2 n =1 n n =1 (2n ) n = 0 (2n + 1)
1
1
1
2
dxdy 作变换 T : x = sin u , y = sin v . 变换 T 将 uv -平面上的区
cos v cos u
域 E 变换成 xy - 平面上区域 D ．见图 1, 图 2 ． T的雅可比行列式
［２］
J =
∂ (x , y ) = 1 − ty 2 u ty 2v = 1 − x 2 y 2 除了边界外, T是 E 内到 D 内的一对一变换, 且 ∂(u , v )
傅惠玉
（上海第二工业大学理学院， 上海 ２０１２０９）
摘要：数学家 Euler 创立了许多著名的数学公式, 不少后人用不同的工具来证明这些公式. 本文利用二重积分公式, 幂级数在收敛区间内的收敛性质、一致收敛性质及可逐项积分的性质来证明 Euler 公式． 关 键 词： 二重积分；雅可比行列式；几何级数 中图分类号： O17 文献标识码： A
New Prove of Euler’ s Formula FU Hui-yu
(School of Science, Shanghai Second Polytechnic University, Shanghai 201209, P. R. China)
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Mathematician Euler created a lot of famous mathematics formulas, people use different ways to find these formulas. In this paper, find Euler’ s formula using double integral, power series convergence and uniform convergence in the convergence region. Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： double integral; jacobian determinant; geometric series
∫ ∫ 1− x
0 0
1
1
1
2
y2
dxd y , 点 （ 1,1 ） 是 该 二 重 积 分 唯 一 的 一 个 奇 点 . 取矩形区域 [0,1 ； 0,1 − ε ]
1 ( 0 < ε < 1 ) , 则函数 1 − x 2 y 2 在该区域上的二重积分存在 , 并利用几何级数展开式 得
∞ 2n ∞ 1 = ∑ ( xy ) n , 1 − xy n=0
xy < 1 ,
I = lim ∫
ε →0
1
0
∫
1−ε
0
1 1 = lim d y d x ε →0 ∫0 1 − x2 y 2
∫
1− ε
0
∑ ( xy )
n= 0
∞
2n
dy dx.
又级数 ∑ ( xy) 在矩形区域 [0,1 ； 0,1 − ε ] 内可逐项积分
能用二重积分的方法或其它更简捷的方法予以证明 . 本作者将在这方面作进一步探索 , 争取有所收获． 数学知识学之不完 , 数学工具用之不尽 ,在不断地学习、思考、实践中 , 人们对 Euler 公式的理解会更深 刻、应用会更灵活，从而解决各种数学问题的所用的方法会更新型、更简捷． 参考文献：
[1] 菲赫金哥尔茨．微积分学教程［Ｍ］．北京：人民教育出版社，1954. [2] Simmon G F. Calculus and Analytic Geometry[M]. New York: McGraw-Hill(2nd Edition), 1996.
(1 − ε )2 n +1 (2n + 1)
收敛, 所以级数
∑
n= 0
∞
x 2 n (1 − ε ) (2n + 1)
2 n +1
当 0 ≤ x ≤ 1 时, 一致收敛. 故（3）式中可交换极限号与积分号 I = lim ∑
ε→ 0 n =0 ∞
(1 − ε )2n +1
2n + 1
2n ∫0x d x = lim lim
.
(1)
在函数 sin x 的泰勒级数展开式 sin x = ∑ (− 1)n−1
n =1 ∞
x 2n−1 (2n − 1)!
的两边除以 x ,得到函数
sin x x 的另一展开式 sin x = n=1 ( −1) x ∑
∞ n−1
x . 2 n 1 ! ( − )
0 引言
数学家 Euler 一生创造了许多著名的数学公式，为近代数学作出了杰出的贡献．后人不仅受益于 Euler 所创造的大量的数学公式，更受益于他留下的许多经典的解题思路和方法．人们不但应用这些思 路和方法去解决许多其它的数学问题，而且还用一些新的思路、 新的方法证明了 Euler给出的数学公式． 菲赫金哥尔茨《微积分学教程》一书中 , 就利用级数证明了 Euler公式 ∑ 2 = n =1 n 方法来证明这个公式．
第 22 卷 第 2 期 上海第二工业大学学报 2005 年 6 月 JOURNAL OF SHANGHAI SECOND POLYTECHNIC UNIVERSITY 文章编号： 1001-4543(2005)02-0024-03
Vol.22 No.2 Jun. 2005
Ｅｕｌｅｒ 公式的新证明
2 n− 2
(2)
收稿日期: 2004－09－01; 修回日期: 2005－05－10 作者简介： 傅惠玉(1958—)，女，浙江宁波人，讲师，从事数论研究。
第 22 卷
傅惠玉：Ｅｕｌｅｒ 公式的新证明
25
在展开式（ 1 ） ,（ 2 ）两边分别取对数，并令它们相等，得
log sin x = x log ∑ 1 − 1 − n 2π 2 = log n =1
∞
1
π2 6 ．本文中利用二重积分
１ 利用级数证明 Euler 公式
菲赫金哥尔茨《微积分学教程》一书中 , 利用正弦函数 sin x 的无穷乘积展开式及正弦函数 sin x 的 1 π2 泰勒级数展开式来证明 Euler公式 ∑ n 2 = 6 , 其方法为：在函数 sin x 的无穷乘积展开式 ［１］ n =1
∞ ∞ x2 sin x = x 1 − ∏ n 2π 2 n =1 sin x 的两边除以 x , 得到函数 x 的展开式 ∞ x2 sin x = 1 − ∏ n 2π 2 x n =1
1 令上式中左右两边有相同幂次的 ｘ 前的系数相等，得等式 π 2 即 ∑
n =1 ∞
∑ n =1
∞
1 1 = ， n2 6
1 π2 = n2 6
.
2 Euler 公式的新证明
下面用二重积分的方法来证明 Euler公式． 令I =
1
(1 − ε ) 2n+1 ∑ 2 ε →0 N →∞ n =0 (2 n + 1)
N
= lim lim ∑
(1 − ε ) 2n+1 ∞ 1 2 =∑ 2 N →∞ ε→0 n = 0 (2 n + 1) n =0 (2n + 1)
N
.
(4)
另一方面 , 对二重积分
∫ ∫ 1− x y
0 0 2
n= 0
所以
I = lim
ε →0
∫ ∑
1 0 n =0
∞
x 2n (1 − ε ) 2n + 1
2 n+1
2 n +1
dx ,
而级数 ∑
n= 0 ∞
(3)
当时成立不等式 0 ≤ x ≤1 ,
x2 n
( 1− ε ) ( 2n + 1 )
2 n +1 1−ε ) ( ≤ ( 2n + 1 )
在 E 内 J ≠ 0 ，故由积分换元法
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上海第二工业大学学报
2005 年 第 2 期
图 1 uv- 平面上的区域 E Fig.1 The ar源自文库a E on the uv-plane
图 2 xy- 平面上的区 D Fig.2 The area D on the xy-plane
I = 1 1 1 ∫0∫01 − x 2 y 2 ｄ x ｄ y ＝ 1 π π2 = SE = = . 2 2 8 结合（ 4 ） ,（ 5 ）两式 , 得 ∑
∞
x2
x 2 x4 + + L 6 120
2
或者
1 x2 x2 x2 x 4 1 x4 x4 L L + − = − + + + ∑ + L. 2 6 n 4π 4 + L n 2π 2 2 n 4π 4 6 120 n =1
∞
1
1
∑n
n= 0
∞
1
2
4 ∞ 1 ∑ 3 n = 0 (2n + 1) 2 .
从（ 6 ）式得
∑ 2 n= 0 n
3 结束语
∞
1
=
4π2 π2 = . 3 8 6
证毕．
∞ ∞ 1 π2 1 π4 上面用二重积分的方法重证了 Euler公式 ∑ n 2 = 6 ，并由此联想到另一个和式 ∑ n 4 = 90 ，是否也 n =1 n =1
n= 0 ∞
∫∫ 1 − ty u ty v J ｄ x ｄ y
E 2 2
1
2
(5)
(2n + 1)2
∞
1
=
π2 8 .
∞
(6) 1 =
=
∞ 1 ∞ 1 1 +∑ ∑ 2 2 4 n=1 n n =0 (2n + 1) .
又和式 ∑ 所以
1 2 可表为 n =1 n
∞
=∑ +∑ ∑ 2 2 2 n =1 n n =1 (2n ) n = 0 (2n + 1)
1
1
1
2
dxdy 作变换 T : x = sin u , y = sin v . 变换 T 将 uv -平面上的区
cos v cos u
域 E 变换成 xy - 平面上区域 D ．见图 1, 图 2 ． T的雅可比行列式
［２］
J =
∂ (x , y ) = 1 − ty 2 u ty 2v = 1 − x 2 y 2 除了边界外, T是 E 内到 D 内的一对一变换, 且 ∂(u , v )
傅惠玉
（上海第二工业大学理学院， 上海 ２０１２０９）
摘要：数学家 Euler 创立了许多著名的数学公式, 不少后人用不同的工具来证明这些公式. 本文利用二重积分公式, 幂级数在收敛区间内的收敛性质、一致收敛性质及可逐项积分的性质来证明 Euler 公式． 关 键 词： 二重积分；雅可比行列式；几何级数 中图分类号： O17 文献标识码： A
New Prove of Euler’ s Formula FU Hui-yu
(School of Science, Shanghai Second Polytechnic University, Shanghai 201209, P. R. China)
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Mathematician Euler created a lot of famous mathematics formulas, people use different ways to find these formulas. In this paper, find Euler’ s formula using double integral, power series convergence and uniform convergence in the convergence region. Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： double integral; jacobian determinant; geometric series
∫ ∫ 1− x
0 0
1
1
1
2
y2
dxd y , 点 （ 1,1 ） 是 该 二 重 积 分 唯 一 的 一 个 奇 点 . 取矩形区域 [0,1 ； 0,1 − ε ]
1 ( 0 < ε < 1 ) , 则函数 1 − x 2 y 2 在该区域上的二重积分存在 , 并利用几何级数展开式 得
∞ 2n ∞ 1 = ∑ ( xy ) n , 1 − xy n=0
xy < 1 ,
I = lim ∫
ε →0
1
0
∫
1−ε
0
1 1 = lim d y d x ε →0 ∫0 1 − x2 y 2
∫
1− ε
0
∑ ( xy )
n= 0
∞
2n
dy dx.
又级数 ∑ ( xy) 在矩形区域 [0,1 ； 0,1 − ε ] 内可逐项积分
能用二重积分的方法或其它更简捷的方法予以证明 . 本作者将在这方面作进一步探索 , 争取有所收获． 数学知识学之不完 , 数学工具用之不尽 ,在不断地学习、思考、实践中 , 人们对 Euler 公式的理解会更深 刻、应用会更灵活，从而解决各种数学问题的所用的方法会更新型、更简捷． 参考文献：
[1] 菲赫金哥尔茨．微积分学教程［Ｍ］．北京：人民教育出版社，1954. [2] Simmon G F. Calculus and Analytic Geometry[M]. New York: McGraw-Hill(2nd Edition), 1996.
(1 − ε )2 n +1 (2n + 1)
收敛, 所以级数
∑
n= 0
∞
x 2 n (1 − ε ) (2n + 1)
2 n +1
当 0 ≤ x ≤ 1 时, 一致收敛. 故（3）式中可交换极限号与积分号 I = lim ∑
ε→ 0 n =0 ∞
(1 − ε )2n +1
2n + 1
2n ∫0x d x = lim lim
.
(1)
在函数 sin x 的泰勒级数展开式 sin x = ∑ (− 1)n−1
n =1 ∞
x 2n−1 (2n − 1)!
的两边除以 x ,得到函数
sin x x 的另一展开式 sin x = n=1 ( −1) x ∑
∞ n−1
x . 2 n 1 ! ( − )
0 引言
数学家 Euler 一生创造了许多著名的数学公式，为近代数学作出了杰出的贡献．后人不仅受益于 Euler 所创造的大量的数学公式，更受益于他留下的许多经典的解题思路和方法．人们不但应用这些思 路和方法去解决许多其它的数学问题，而且还用一些新的思路、 新的方法证明了 Euler给出的数学公式． 菲赫金哥尔茨《微积分学教程》一书中 , 就利用级数证明了 Euler公式 ∑ 2 = n =1 n 方法来证明这个公式．
第 22 卷 第 2 期 上海第二工业大学学报 2005 年 6 月 JOURNAL OF SHANGHAI SECOND POLYTECHNIC UNIVERSITY 文章编号： 1001-4543(2005)02-0024-03
Vol.22 No.2 Jun. 2005
Ｅｕｌｅｒ 公式的新证明
2 n− 2
(2)
收稿日期: 2004－09－01; 修回日期: 2005－05－10 作者简介： 傅惠玉(1958—)，女，浙江宁波人，讲师，从事数论研究。
第 22 卷
傅惠玉：Ｅｕｌｅｒ 公式的新证明
25
在展开式（ 1 ） ,（ 2 ）两边分别取对数，并令它们相等，得
log sin x = x log ∑ 1 − 1 − n 2π 2 = log n =1
∞
1
π2 6 ．本文中利用二重积分
１ 利用级数证明 Euler 公式
菲赫金哥尔茨《微积分学教程》一书中 , 利用正弦函数 sin x 的无穷乘积展开式及正弦函数 sin x 的 1 π2 泰勒级数展开式来证明 Euler公式 ∑ n 2 = 6 , 其方法为：在函数 sin x 的无穷乘积展开式 ［１］ n =1
∞ ∞ x2 sin x = x 1 − ∏ n 2π 2 n =1 sin x 的两边除以 x , 得到函数 x 的展开式 ∞ x2 sin x = 1 − ∏ n 2π 2 x n =1