间接效用函数

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8效用函数、间接效用函数和支出函数

M (a ) f ( x (a ), a )，其中x (a )为f ( x , a )的最优解两边对a微分 dM (a ) f ( x (a ), a )) x (a ) f ( x (a ), a )) （ 1） da x (a ) a a 因为x (a )为f ( x, a )的最优解 f ( x (a ), a )) 所以 0 x (a ) 代入（ 1）得到 dM (a ) f ( x (a ), a )) f ( x , a ) da a a
max u x max u x tp x tm t 0 px m
（二） p ' p时 , v p ', m v p, m 证：记 B x px m B x px m
显然 B B
maxu ( x )满足x属于B B， B B B k，因为v(p, m) k和v(p, m) k
（五）罗伊（Roy identity）等式：
v p, m 0 如果 m
则
v p, m p j x j p, m v p, m m
pn xn m
p1 x1 p2 x2
两边同时对pj偏微分
xi x j pi 0 p j i 1
n
n xi v pi p j p j i 1

间接效用函数与支出函数

征所得税后的预算线：满足P1X1+P2X2=M-tX1*
可以判断：两条预算线在B点相交。
A B x2*
C
x1*
x1
第12页，共34页。
思考
• 如果政府对穷人的救济方式有：发放收入和食物折扣券这两种方式在政府开支是一样的情况下，哪种方式对穷人福利的增加更多？
第13页，共34页。
消费者的选择
• 当收入，价格既定时，如何选择效用才能最大？ • 消费者还可能面临：
• 所以马歇尔需求曲线一般来说要比希克斯需求曲线平缓。
第22页，共34页。
支出函数
e p,u p h p,u
第23页，共34页。
支出函数性质
是价格p的一次齐次函数： e(tp, u) t e( p, u)
第24页，共34页。
支出函数性质:支出函数与补偿需求函数的关系 • 谢泼德引理
hij
第34页，共34页。
练习
U
x1.5 1
x2
m p1x1 p2 x2
求间接效用函数，并验证其零次齐次特点。
第6页，共34页。
罗伊恒等式（Roy' sidentity）
• 间接效用函数与马歇尔需求函数的关系：
v( p, m)
xi
(
p,
m)
pi v( p,
m)
m

第二讲间接效用函数与支出函数第一节间接效用函数间接效用函数的定义

第二讲间接效用函数与支出函数

第一节间接效用函数

一、间接效用函数的定义

直接效用函数：()

u x

价格和收入发生变化后，消费者最优选择也会发生变化从而带来消费者效用的变化。

也就是说，消费者最大化效用是收入和价格向量的函数。记这种效用函数为：间接效用函数：()()max ,..v p y u s t y =≤x px x

()()()*,,v y u y ==p x x p

间接效用函数的政策意义：通过价格政策（

p ）和收入政

策（y ）可以控制消费者行为。

二、间接效用函数的特征：

间接效用函数),(y v p

1) 在n

+++⨯　上连续

2) 在(),y p 上零次齐次性

3) 在y 上严格递增

4) 在p 上严格递减

5) 在(),y p 上拟凹

6) 罗伊恒等式：如果(),v y p 在()00,y p 上可导，并且()

00,0v y y δδ≠p ，有：

()()

()000000,,,1,...,,i i v y p x y i n v

y y δδδδ==p p p 间接效用函数()()max ,..v y u s t y =

≤p x px x 的特征 1、间接效用函数在n

+++⨯　上连续

最大值定理：如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续。

含义：当收入和价格有微量变化时，极大化了的效用也会有微量变化。

2、间接效用函数在(),y p 上零次齐次性

()()max

,..v y u s t y ==p x px x

间接效用函数在(),y p 上零次齐次性：

()()()0

,,,,0v t ty t v y v y t ==>p p p ()()()()()ma max ,,..x ..,u v t u v t ty s ty v t t t y y s y

平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)

平新乔《微观经济学十八讲》第2讲间接效用函数与支出函数

1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。求该消费者的间接效用函数。并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。

解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：

2,112m ln ax q q s t q p p y

q q q α..+=+

构造拉格朗日函数：

()121122ln L q q q y p p q αλ--=++

L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：

111

0L p q q α

λ∂=-=∂ ① 22

10L

p q λ∂=-=∂ ② 11220q L

y p p q λ

∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：

211

p q p α*=

④

再把④式代入③式中得：

2y p p q α*-=

⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：

211

p q p α*=

2y p p q α*

由⑤式可知：当20y p α->时，20q *

>，消费者同时消费商品1和商品2。

将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：

()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**

=+-=

②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。从而解得马歇尔需求函数为：

1q y p *=

20q *

= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：

()()12121,,,ln v p p y u q p y q α**

间接效用函数求马歇尔需求函数

马歇尔需求函数是经济学中用于描述消费者的需求行为的一个工具。它表示了消费者的需求与价格、收入等因素之间的关系，从而帮助我们理解消费者对商品的需求程度。

在求解马歇尔需求函数之前，我们首先要了解一下间接效用函数和马歇尔需求函数的定义及特点。

间接效用函数是消费者效用函数的一种表达形式。效用函数用来表示消费者对商品的偏好程度，而间接效用函数则是通过价格和收入等因素，将消费者偏好程度转化为需求数量的函数。间接效用函数的变量包括商品的价格、消费者的收入以及其他可能影响消费者对商品需求的因素，如替代品和补品的价格。

马歇尔需求函数是在给定价格和消费者收入的条件下，描述消费者对其中一种商品需求数量和价格之间关系的函数。马歇尔需求函数由间接效用函数推导得到，它以价格和收入为变量，表示消费者在价格和收入的限制下对其中一种商品的需求数量。

下面我们来以一种具体的商品为例，推导马歇尔需求函数。

假设一些消费者的效用函数为U(X,Y)，其中X表示商品X的数量，Y 表示其他商品的数量。消费者的收入为M，商品X的价格为PX，商品Y的价格为PY。

根据微观经济学的理论，消费者会在给定收入的情况下，选择使得效用最大化的消费组合。这个选择取决于消费者对商品的边际效用以及商品的价格。边际效用表示消费者对商品的额外满足程度，即消费者对商品的需求强度。

消费者的效用最大化问题可以表达为以下数学方程：

Max U(X,Y) = X^a * Y^b

Subject to: PX*X + PY*Y ≤ M

其中，a和b是效用函数中的参数，代表消费者对商品X和Y的偏好程度。假设a和b都是正数。

第二讲间接效用函数与支出函数D

=0
四、效用最大化与支出最小化的关系
max u ( x) min px ( M 1) ( M 2) s ⋅ t ⋅ px ≤ m s ⋅ t ⋅ u ( x) ≥ u
命题1.设
u = u ( x )时
*
x 是( M 1)
*
x*也是(M2)的解。
的解，则
命题2.
设
x 是( M 2) 的解，记
n
(i = 1,L , n)
在最小化的过程中
∑p
j =1
n
∂h j
j
∂pi
=0
min px ( M 2)： s ⋅ t ⋅ u ( x) = u
L = px − λ (u ( x) − u )
最小化的一阶条件：
∂L ∂u(x) = pi − λ =0 ∂xi ∂xi ∂u(x) ∴ pi = λ ∂xi
（二）. 证：
e(tp, u ) = te( p, u )
t>0
e(tp, u ) = (tp )h(tp, u ) = t ( p ⋅ h(tp, u )) ≥ t ( p ⋅ h( p, u )) u 不变，给定p = te( p, u ) 时，支出最小为
ph(p,u)
te( p, u ) = tph( p, u ) = (tp )h( p, u ) ≥ e(tp, u )

间接效用函数-详解

间接效用函数-名词详解

间接效用函数(Indirect Utility Function)

• 1 什么是间接效用函数

• 2 间接效用函数的内容

• 3 间接效用函数的性质

• 4 相关条目

什么是间接效用函数

间接效用函数是指消费者在进行消费活动时，当自变量商品价格向量C和消费者的消费预算S．T．发生冲突时，即C．Z＞S．T．时，在满足C．Z≤S．T．情况下，让效用函数

u(z)取得最大值。

间接效用函数的内容

在实际中，消费者在购买一种商品时会面临许多选择，例如同种商品有许多不同的品牌，或者是消费者要购买的这种商品可以被其他相类似的商品而替代。因此，消费者在购买商品时做出的决定其实是一个决策问题效用实际上是消费者在进行消费的过程中，从销售商提供的商品或者服务中是否能得到满足感。我们给效用附加上一个效用值，通过比较不同商品或者服务的效用值来做出购买的决定。间接效用函数表示收入和价格两个变量下消费者的最优消费时的效用。间接效用函数的存在对于说明政府水平的福利影响有比较便利的条件成立。

间接效用函数的性质

间接效用函数 v(p, m) 是价格和收入的函数，消费者的最大化效用，是消费束x的函

数。可以由预算约束（收入m）和外在的相对价格（p）关系间接地表达。具有如下性质：

1.关于p和m是零次齐次的，即对于所有t>0，是零次齐次的，都有v(p,m)=v(t p,t m)。

2.对于p是非递增的和拟凸的，即是非递增的和拟凸的，v(p,m)≤0。

3.对于m是严格递增的，即是严格递增的，v(p,m)>0。

间接效用函数求马歇尔需求函数

在经济学中，马歇尔需求函数用于描述消费者对商品的需求程度。它计算的是消费者对商品使用程度的变化与商品价格、消费者收入和其他影响因素之间的关系。

间接效用函数是在计算马歇尔需求函数时经常使用的工具。它被用于衡量消费者对商品的满意程度，即间接效用。

假设消费者的效用函数为U(X1, X2, ..., Xn)，其中X1, X2, ..., Xn是消费者消费的商品数量。然后，我们可以得到间接效用函数V(P1, P2, ..., Pn, Y)，其中P1, P2, ..., Pn是商品的价格，Y是消费者的收入。间接效用函数V表示了消费者对商品的满意程度。

然后，我们可以根据间接效用函数来求得马歇尔需求函数。假设商品i的价格为Pi，则消费者的最大化问题可以表述为：

max U(X1, X2, ..., Xn)

s.t. P1*X1 + P2*X2 + ... + Pn*Xn <= Y

L(X1, X2, ..., Xn, λ) = U(X1, X2, ..., Xn) + λ(Y - P1*X1 - P2*X2 - ... - Pn*Xn)

通过对L关于X1, X2, ..., Xn求偏导，并令其为零，可以求得马歇尔需求函数的一般形式。然后，根据具体的效用函数和收入情况，可以进一步计算得到马歇尔需求函数的具体形式。

通过间接效用函数来求得马歇尔需求函数是经济学中一种常见的方法，它能够帮助我们分析和理解消费者对商品的需求程度。

8效用函数、间接效用函数和支出函数

所以
v(0.25,1,1.5) v(0.5,1, 2)
征收所得税比商品税对消费者的影响要小
第二节支出函数
一、支出最小化问题
min p x ( M 2) s t u ( x) u
（一）支出函数
• 考虑既定效用水平下的最小支出，将支出和效用联系起来的函数，即为支出函数，是间接效用函数的逆函数。
则
e( p, u) e( p, u)
证：
e( p, u ) ph( p, u )
e(p,u)是效用为 u时最小支出
ph( p, u)
ph( p, u)
e( p, u)
利用包络定理 , e( p, u )是 min px s.t. u ( x ) u 的最优值构造拉格朗日函数 L px ( u ( x ) u ) e( p, u ) L x p p
v m u ( x ) xi xi m i 1
n n i 1
u pi xi

xi pi m
又
px m
两边对m求微分
xi pi 1 m i 1 v (2) m
n
由（1）、（2）可得
v p, m p j x j p, m v p, m m
牢牢记住e(p,u)是价格为p效用为u的最小支出，e(p',u)是价格为p'，效用为u是的最小支出。

第二讲间接效用函数与支出函数第一节间接效用函数间接效用函数的定义

x*
给定价格p 实现某一效用水平u 所需的最小支出：
e(P,u) min px, s.t., u x u
x
二、希克斯需求函数
支出函数的最优解为希克斯需求函数xh p,u ，最小支出为
pxh p,u
支出函数e : ?
n
?
?
为：
ep,u pxh p,u,
xh
x
x
?
n
,u
x
u,u
?
min px, s.t., u x u
max x1x2 s.t.p1x1 p2x2 y
构造拉格朗日乘数，解得
x1*
y 2p1
, x*2
y 2p2
如果 p1=0.25,p2=1,y=2,代入效用函数有：
v(.) y y 2 2p1 2p2
1、0. 5 元收入所得税
v(.) y y 1.5 1.5 =1.5 2p1 2p2 2*0.25 2*1
0，有：
y
v p0, y0
xi
p0, y0
pi v p0, y0
,
y
i 1,..., n
间接效用函数vp, y max u x s.t. px y的特征
x
1、间接效用函数在 ?
n
?
上连续
最大值定理：如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域

高级微观经济学第一章消费者的最优决策2

间接效用函数的定义和性质间接效用函数的定义和性质

对于

对于收入严格递增，对于价格非递增；

是价格和收入的零次齐次函数；

对于价格是拟凸的

v (p, m)

v (p, m)v (p, m)

间接效用函数与普通需求函数之间的关系

应用：所得税和商品税的影响之比较

支出最小化问题

1.5

支出最小化问题支出最小化问题

补偿需求函数

是

是价格的零次齐次函数，即支出函数的性质 e (p, u)

e (p, u) e (p, u)

e (p, u)

支出函数与补偿需求函数的关系

1.6

两个问题是从不同角度考察理性消费者的行为，

命题

1.6

对偶问题小结1.6

作业

间接效用函数求马歇尔需求函数

马歇尔需求函数是描述消费者在不同价格水平下对其中一商品的需求量的数学函数。它是由经济学家阿尔弗雷德·马歇尔在19世纪末20世纪初创立的，用来解释消费者的购买行为和需求规律。马歇尔需求函数是衡量消费者对商品需求的重要工具，可以用来分析价格变动对需求的影响，对市场经济及政策制定具有重要参考价值。

要求计算马歇尔需求函数需要知道多个变量，包括商品价格、消费者收入、商品价格的替代品和补充品的价格以及消费者的偏好等。由于马歇尔需求函数是一个二阶导数，求解较为复杂，需要进行高级微积分运算，因此我们可以通过间接效用函数来近似计算马歇尔需求函数。

间接效用函数是消费者效用函数在给定一定收入水平下的反函数。消费者效用函数表示消费者对一系列商品的偏好程度，即消费者将商品组合转化为效用，而间接效用函数则表示给定一定收入水平下，消费者在不同商品价格水平下可达到的最大效用。通过间接效用函数，我们可以计算商品价格变动对消费者需求的影响。下面将介绍如何通过间接效用函数计算马歇尔需求函数。

假设有两个商品X和Y，价格分别为PX和PY，消费者收入为M。根据经济学家约翰·希克斯的首选定理，消费者选择的最佳商品组合应满足下列两个条件：

1.消费者在给定收入水平下选择的商品组合必须位于消费者的收入线上。消费者的收入线由以下等式表示：

M=PX*X+PY*Y

2.消费者选择的商品组合必须使得给定收入下的间接效用最大化。消费者的间接效用可以通过消费者效用函数U(X,Y)计算，其中X和Y分别表示消费者购买的商品X和Y的数量。

间接效用函数

I y* 4 p x py
29
间接效用函数
• 经常可以利用一阶条件解出x1,x2,…,xn的最优值 • 这些最优值依赖于所有商品的价格和收入
x*1 = x1(p1,p2,…,pn,I) x*2 = x2(p1,p2,…,pn,I) • • • x*n = xn(p1,p2,…,pn,I)
– 收入税允许消费者自由决定如何配置剩下的收入 – 对于某种商品的税收会减少消费者的购买力，扰乱消费者的选择
32
总量原理
• 对于商品 x 的税收将会把效用最大化的选择从 A 点移到 B 点
y的数量
B
A U1 U2
x的数量
33
总量原理
• 相同数量的收入税将会把预算约束线移到 I’
y的数量
I’

I
0.5 0.5 2 px py
35
间接效用和总量原理
• 假设px=1,py=4,I=8 • 如果对于商品 x 每单位征收1元的税
– 消费者购买 x*=2 – 间接效用从 2降到1.41
• 同样的税收将会使得收入减少到￥6
– 间接效用从 2 下降到1.5
36
间接效用和总量原理
• 如果效用函数是固定比率的，U = Min(x,4y), 我们得到
• 如果对于商品 x 每单位征收1元的税
– 间接效用从 4 降为 8/3

间接效用函数

数学附录
• 12 拟凸函数：A function f defined on a convex set Xn is said to be quasi-convx, if for any x’ and x” in X and any [0, 1]: f((1-)x’+x”) min {f(x’),f(x”)} • f is said to be strictly quasi-convex, if the sign “ ” in the above inequality is replaced with “<”. . Any convex (strictly convex) function is quasi-convex (strictly quasi-convex), but the converse is not true.
数学附录
• ４内点和界点：欧氏空间中一个子集X的点x叫做一个内点，如果它的某一个邻域B(x,)整个被包含在X内；称x为X的一个界点，如果x的每一个邻域既包含X的点也包含余集Xc的点。X的全体内点之集记为Int(X)，X 的全体界点之集记为Bdy(X)。 • 一个开集G的每个点都是内点，一个闭集F包含它所有界点。 • ５紧致性：欧氏空间中一个子集X叫做紧致的（序列紧），如果X中每一个序列都有子序列收敛于X本身某个点。可以证明，欧氏空间中的每个有界闭集都是紧致集，反之亦然。

互补品替代品间接效用函数

这个min(ax1，bx2)的边际效用要分情况讨论的，下面举例来求一下x2的边际效用：

当x2小于ax1或b这个值时，min(ax1，bx2)=bx2，所以在这种情况下，x2的边际效用为b。

当x2大于ax1或b这个值时，min(ax1，bx2)=ax1，在这种情况下，效用函数中并无x2，即此时x2的变化对整体效用无影响（这正是互补商品的特征），故，此时，x2的边际效用为0（这一点也可以直接对ax1求x2的导数得到）。

完全互补品的效用函数形式U=min{ax1，bx2}，无差异曲线是L 形。无差异曲线的垂直部分的边际替代率为无穷大，水平部分为零，直角点为a或b。在直角点有ax1=bx2，即x2=(a或b)x1，也就是说，直角点的边际替代率为正。

第三讲间接效用函数与支出函数

x ( a ), ( a )
性质3证明
由 max s.t u v ( p, y ) px y 得，L ( ) u( + x, = x)
( y-
px)
L ( x , ) u ( x*) pi 0 x x v ( p , y ) L ( x , ) |x x ( p , y ) y y u ( x*) pi * x 由于u (.) 格增 x1 x2 , u1 u 2 x 0, u 0 u ( x*) 0 x n p R
性质2的证明
v(tp, ty ) [max u ( x), 受约束于tpx ty ]，它显然等价于[max u ( x), px y ] 用t>0去除约束条件两边，得到v(tp, ty ) [max u ( x), tpx ty ] v( p, y )
B0 B2 B1
• 即目标函数在最优解处的解也是与参数c有关的函数，我们定义为 V (c) ，称之为最大值函数。 • 更一般的，如果参数不仅出现在约束，而且也出现在目标函数，我们有：
V ( ) max f ( x, ) g ( x, ) 0 f ( x( ), )
x
• 其中x x( )为参数为时的选择变量的最优解，或者称最优反应。因此，根据定义，如果对一任意 x' ，则有 f ( x( ), ) f ( x' , ) ，等号当且仅当 x' x x( ) 时取得。因此，最大值函数 V ( ) f (x( ), ) 与函数 f ( x, ) 是有区别的，一般而言， V ( ) f ( x, ) ，当且仅当 x x( ) V( 时， ) f ( x, ) ，即 x为参数的最优反应时取得等号。我们用一简单的图示来说明这一关系。

间接效用函数

8效用函数、间接效用函数和支出函数

间接效用函数与支出函数

第二讲间接效用函数与支出函数 第一节间接效用函数 间接效用函数的定义

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第二讲间接效用函数与支出函数D

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间接效用函数

间接效用函数

互补品替代品间接效用函数

第三讲 间接效用函数与支出函数

第二讲间接效用函数与支出函数第一节间接效用函数间接效用函数的定义

第二讲间接效用函数与支出函数第一节间接效用函数间接效用函数的定义

第三讲间接效用函数与支出函数