间接效用函数

p1 p2
1
1
一、间接效用函数
令
r 1
x1 x2
yp1r 1 p1r p2r
yp2r 1 p1r p2r
一、间接效用函数
• （3）马歇尔需求函数的性质 • A.在价格和收入上，需求函数是零次齐次的。
即对于任意给定的p、y，都有a>0，使得 成立。 x(ap, ay) x( p, y) • B.瓦尔拉斯定理。即最优的消费束都在预算线 的上界。 x R, px y
一、间接效用函数
• 2.间接效用函数
• （1）基本概念
• 若 v( p, y) u x成( p立, y，) 则
就v为( p间, 接y)效用函数。
• 间接效用函数表示收入和价格两个变量下消费者
的最优消费时的效用。
• 间接效用函数的存在对于说明政府水平的福利影 响有比较便利的条件
一、间接效用函数
• （2）间接效用函数的性质
• A.它对于价格和财富是零次齐次的，即价格和财 富的同比例变化并不影响效用水平。
• B.在财富上是严格递增的，而在价格上则是严格 递减的。
• C.拟凸的。 • D.在价格和财富上是连续的。
一、间接效用函数
• (3) 罗伊恒等式
• 如果间接效用函数 v( p在, y)点上 ( p是, 可y)导的
且 ， v( p, w) 0 w
xi x j
二、支出函数
• 求出的最小解称为 • 希克斯需求函数： • 记为：xi xih ( p, u), i 1, 2,...n • 代入支出px得最小支出称为支出函数：
记为e(p,y)
二、支出函数
二、支出函数
• 2.希克斯需求函数 • 希克斯的需求函一般记为：h( p, u) • 前者是为达到既定的效用水平u，选择的最小支
• 一定存在 x j
(
p,
y)
v( p, p j
y)
v( p, y) , j 1, 2, y
,n
由 max u f ( p, w)
s.t px w
得，L(x, )= u(x)+ (w - px)
v( p, w) w
L( x , )
w
|x x( p,w)
v( p, w) p
L( x , )
p
| x x ( p ,w)
x
二、支出函数
• 1.支出函数： • 这是个支出最小化问题，选择合适的x使得满足
约束条件
min
px
s.t
u( x) u
L=p x- u( x) - u
L xi
pi
u ( x ) xi
0
L
u ( x ) - u 0
pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ pj
u ( x ) u ( x )
p1
0
L x2
1
( x1
x2
)
1
1
x12
p2
0
L
w p1 x1 p2 x2 0
一、间接效用函数
1
x1 x2
p1 p2
,x1 x2
y p1 x1 p2 x2
y
x2
1
p1 1
p2 1
p2 1
x2
1
yp2 1
p1 1 p2 1
x1
1
yp1 1
p1 1 p2 1
1
u( x1, x2 ) ( x1 x2 ) , 0 1, 求xi xi ( p1, p2 , y), i 1, 2
•建立L函数
1
L ( x1, x2 , ) ( x1 x2 ) (w p1x1 p2 x2 )
•得到的一阶条件为
L x1
1
( x1
x2
)
1
1
x11
第二章 间接效用函数与支出函数
内蒙古财经大学 张建斌
一、间接效用函数
• 1.马歇尔需求函数 （1）基本概念：即是在满足消费预算约束的条
件下，消费者获得的最大的效用水平时的解。 • 记为：x* x( p, y) • 这时消费者的所有的支出将与其收入达到一致。
满足：px=y
一、间接效用函数
• （2）马歇尔需求函数的推导
出
二、支出函数