2.4.2 抛物线的几何性质 作业1 2017-2018学年选修2-1 苏教版 word版(含参考答案)

自我小测

1．若抛物线的通径长为8，则抛物线的焦点到准线的距离为__________．

2．已知，过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦AB ，抛物线的准线交x 轴于点M ，则∠AMB ＝__________.

3．过抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p ，q ，则11p q

+=__________. 4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则FP 1，FP 2，FP 3之间的等量关系是__________．

5．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB =则焦点到AB 的距离为__________．

6．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反射镜顶点的距离是__________．

7．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)l 相交于

点A ，与C 的一个交点为B ，若AM MB = ，则p ＝________.

8．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若AF ＝3，则△AOB 的面积为__________．

9．过点(0,4)，斜率为－1的直线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于两点A ，B ，如果OA ⊥OB (O 为原点)，求p 的值及抛物线的焦点坐标．

10．如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .

(1)求实数b 的值；

(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．

参考答案

1. 答案：4 解析：∵通径长为8，∴2p ＝8.∴焦点到准线的距离为p ＝4.

2. 答案：90° 解析：不妨设如图情况.

由题意可得

AF =FM ，BF =FM .

∴∠AMF =∠BMF =45°，即∠AMB =90°.

3. 答案：4a 解析：抛物线方程为x 2＝1a y .取直线平行于x 轴，则p ＝q ＝12a . ∴114a p q

+=. 4. 答案：FP 1＋FP 3＝2FP 2 解析：由抛物线的定义得FP 1＝x 1＋

2p ， 同理FP 2＝x 2＋2p ，FP 3＝x 3＋2p ，两式左右两边分别相加，得FP 1＋FP 3＝x 1＋x 3＋2·2p ＝2x 2＋2·2p ＝222p x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

＝2FP 2.

5. 答案：2 解析：不妨设A (x,，则24x =.

∴x ＝3.

∴直线AB 的方程为x ＝3.

∵抛物线的焦点为(1,0)，

∴焦点到AB 的距离为2.

6. 答案：458

解析：如图建立直角坐标系，则点A 坐标为(40,30).设抛物线方程为y 2=2px ，将A (40,30)代入得908p =，所以4528p =.

7. 答案：2 解析：过点B 作BE 垂直准线l 于E .

∵AM ＝MB ，∴M 为AB 的中点，∴BM ＝12

AB . 又∵直线l

BAE ＝30°.

∴BE ＝12

AB ，∴BM ＝BE ， ∴点M 为抛物线的焦点，∴p ＝2.

8.

答案：2

解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF ＝3及抛物线定义可得，x 1＋1＝3，∴x 1＝2.∴A 点坐标为(2

，，则直线AB

的斜率021

k ==-∴直线AB 的方程为y

＝x －1)，

即为0y --=，则点O

到该直线的距离为d =

由24,1),

y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝2，212x ＝.∴BF ＝x 2＋1＝32，∴AB ＝3＋32＝92

.

∴119222AOB S AB d ∆=⋅=⨯=. 9. 答案：解：直线方程为y ＝－x ＋4.

由24,2,

y x y px =-+⎧⎨=⎩消去y 得x 2－2(p ＋4)x ＋16＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则

x 1＋x 2＝2(p ＋4)，x 1x 2＝16，Δ＝4(p ＋4)2－64＞0.

所以y 1y 2＝(－x 1＋4)(－x 2＋4)＝－8p .

由已知OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，从而16－8p ＝0，解得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，焦点坐标为F (1,0).

10. 答案：解：(1)由2,4,

y x b x y =+⎧⎨=⎩得x 2－4x －4b ＝0.(*) 因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0.

解得b＝－1.

(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为

x2－4x＋4＝0.

解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1.

故点A(2,1).

因为圆A与抛物线C的准线相切，

所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2.

所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.