考研数学三知识点总结

高数三角函数变换cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinB cos(A+B)=cosAcosB+sinAsinB sin(A−B)=sinAcosB−cosAsinB sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsinAcosB=12[sin(A+B)+sin(A−B)]sinxcosx=12sin2xsinAsinB=12[cos(A−B)−cos(A+B)]sin2x=12(1−cos2x)cosAcosB=12[cos(A−B)+cos(A+B)]cos2x=12(1+cos2x)cos2x=1−tan2x1+tan2xsin2x=2tanx1+tan2xarcsinx+arccosx=π2arctanx+arccotx=π2arctanx+arctan1x=π2圆柱体积V=πr2h圆锥体积V=13πr2h球体积V=43πr3椭圆面积S=πab抛物线y2=2px交点坐标(p2,0)准线x=−p2点到直线距离ax+by+c √a+b第一类间断点：包括可去间断点和跳跃间断点。

可去间断点：间断点处左右极限存在但不等于该点函数值。

f(x0+0)=f(x0−0)≠f(x0)跳跃间断点：间断点处左右极限存在但不相等。

f(x0+0)≠f(x0−0)第二类间断点：间断点处左右极限至少有一个是∞重要极限lim x→0sinxx=1limx→∞(1+1x)x=e limx→0(1+x)1x=ex趋向于0时的等价无穷小sinx∼x tanx∼x arcsinx∼x arctanx∼x1−cosx∼12x2ln (1+x )∼x log a (x +1)∼xlnae x −1∼x a x −1∼xlna n√1+x −1∼x n(1+bx )a−1∼abx 导数公式(a x )'=a x lna (log a x )'=1xlna(tanx )'=sec 2x (cotx )'=−csc 2x (secx )'=secx tanx (cscx )'=−cscx cotx (arcsinx )'√1−x 2 (arccosx )'√1−x 2(arctanx )'=11+x 2 (arccotx )'=−11+x 2[sin (ax +b )](n )=a n sin (ax +b +n2π)[cos (ax +b )](n )=a n cos (ax +b +n2π)(1ax +b )(n )=(−1)n a n n !(ax +b )n +1[ln (ax +b )](n )=(−1)n −1(n −1)!a n(ax +b )n积分公式√x 2±a2ln ∣x +√x 2±a 2∣+C dx √a 2−x2arcsin xa +C ∫dx x 2−a2=12ln ∣x −a x +a ∣+C ∫dx x 2+a2=1a arctan x a +C ∫dx a 2x 2+b2=1ab arctan axb +c ∫secxdx =ln ∣secx +tanx ∣+c∫cscxdx =ln ∣cscx −cotx ∣+c∫√a 2−x 2dx =a 22arcsin x 2+x 2√a 2−x 2+c ∫√x 2±a 2dx =x 2√x 2±a 2±a 22ln ∣x +√x 2±a 2∣+c∫0π2sin nxdx =∫0π2cos n xdx =(n −1)!!n !!π2(n 为偶数)∫0π2sin nxdx =∫0π2cos n xdx =(n −1)!!n !!(n 为奇数)∫0π2f (sinx )dx =∫0π2f (cosx )dx∫0πxf (sinx )dx =π2∫0πf (sinx )dx =π∫0π2f (sinx )dx ∣∫xf (t )dt ∣≤∫0x∣f (t )∣dt∫0af (x )dx =12∫0a[f (x )+f (−x )]dx ∫−aaf (x )dx =∫0a[f (x )+f (−x )]dxf x '(x ,y ),f y '(x ,y )在(x 0,y 0)连续⇒z =f (x ,y )在(x 0,y 0)可微⇒f (x ,y )在(x 0,y 0)连续二重积分特点积分区域D 关于x 轴对称∬D f (x ,y )d σ=0f 为y 的奇函数，即f (x ,−y )=−f (x ,y )∬Df (x ,y )d σ=2∬D 1f (x ,y )d σf 为y 的偶函数，即f (x ,−y )=f (x ,y )积分区域D 关于y 轴对称∬Df (x ,y )d σ=0f 为x 的奇函数，即f (−x ,y )=−f (x ,y )∬Df (x ,y )d σ=2∬D 1f (x ,y )d σf 为x 的偶函数，即f (−x ,y )=f (x ,y )积分区域关于原点对称∬D f (x ,y )d σ=0f 为x，y 的奇函数，即f (−x ,−y )=−f (x ,y )∬Df (x ,y )d σ=2∬D 1f (x ,y )d σf 为x，y 的偶函数，即f (−x ,−y )=f (x ,y )函数展开式e x=1+x +12!x 2+⋯+1n !x n =∑k =0nx kk !sinx =x −13!x 3+15!x 5−⋯+(−1)n −11(2n −1)!x 2n −1=∑k =0n(−1)k x 2k +1(2k +1)!cosx =1−12!x 2+14!x 4−⋯+(−1)n 1(2n )!x 2n =∑k =0n(−1)k x 2k (2k )!ln (1+x )=x −12x 2+13x 3+⋯+(−1)n −11n x n =∑k =1n (−1)k −1x kk 11+x =∑k =0n(−1)k x k11−x =∑k =0nx k多元函数极值：驻点(x0,y0)满足f x'(x0,y0)=0，f y'(x0,y0)=0且A=f xx''(x0,y0) ,B=f xy''(x0,y0),C=f yy''(x0,y0)B2−AC<0时，(x0,y0)是极值点，A>0时是最小值，A<0时是最大值。

B2−AC>0时，(x0,y0)不是极值点。

B2−AC=0时，不能判断，需要另外方法讨论。

一阶线性微分方程：y'+p(x)y=q(x)公式法通解：y=e−∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dx dx+C]二阶常系数线性微分方程：y''+py'+qy=0，特征方程：r2+pr=q=0Δ=p2−4q>0时，有两个相异实根r1r2，通解y=f(x)=C1e r1x+C2e r2xΔ=p2−4q=0时，有二重根r，通解y=f(x)=(C1+C2x)e rxΔ=p2−4q<0时，有共轭虚根a±iβ，通解y=f(x)=e ax(C1cosβx+C2sinβx)二阶常系数非齐次微分方程：y''+py'+qy=f(x)f(x)形式特解形式f(x)=Pn(x)Pn (x)为n次多项式0不是特征根，y*=R n(x)0是单根，y*=xR n(x)0是而重根，y*=x2R n(x)f(x)=Me axa≠0，M≠0a不是特征根，y*=Ae ax a是单根，y*=Axe axa是二重根，y*=Ax2e axf(x)=Mcosβx+Nsinβx M，N不全为0，β>0±iβ不是特征根，y*=Acosβx+Bsinβx ±iβ是特征根，y*=x(Acosβx+Bsinβx)差分一般形：y t+1+ay t=f(t)，通解y t=C(−a)tf(x)形式特解形式f(t)=Pn(t)Pn (t)为n次多项式a+1≠0，y=Q n(t)a+1=0，y=tQ n(t)f(t)=Mb t a+b≠0，y=Ab ta+b=0，y=Atb t f(t)=Mcosβt+Nsinβt y=Acosβt+Bsinβt渐近线x =a 是垂直渐近线lim x →a f (x )=∞，必须是a 左右都趋于无穷。

x →+∞时，y =b 是水平渐近线⇔lim x →+∞f (x )=b x →+∞时，y =kx +b 是斜渐近线⇔limx →+∞f (x )x=k ，且lim x →+∞[f (x )−kx ]=b 在考察水平渐近线和斜渐近线时，也要同时考察x →−∞时的情况。

级数∑n =1∞U n收敛的必要条件是lim n →∞U n =0若级数∑n =1∞U n收敛，任意添加括号不影响敛散性，去括号会有影响。

∑n =0∞aq n，当∣q ∣<1时收敛，当∣q ∣≥1时发散∑n =0∞1n p，当p >1时收敛，当p ≤1时发散。

正项级数审敛法之一：比较判别法∑n =1∞U n和∑n =1∞V n为正项级数，且lim x →∞V nU n=A 当0<A <+∞时，∑n =1∞U n和∑n =1∞V n有相同的敛散性。

当A =0时，∑n =1∞U n收敛，则∑n =1∞V n收敛；∑n =1∞V n发散，则∑n =1∞U n发散。

当A =+∞时，∑n =1∞V n收敛，则∑n =1∞U n收敛；∑n =1∞U n发散，则∑n =1∞V n发散。

正项级数审敛法之二：比值判别法lim n →∞U n +1U n=p 当p <1时，级数∑n =1∞U n收敛当p >1时，级数∑n =1∞U n发散当p =1时，比值判别法失效交错级数∑n =1∞(−1)n U n级数审敛——莱布尼斯判别法若满足U n ≥U n +1，即U n 单调减少，且lim n →∞U n =0，则收敛。

幂级数收敛半径l =limn →∞∣a n +1a n ∣或l =lim n →∞n√a n R =1l，0<l <+∞R =0，l =+∞R =+∞，l =0判断x =±R 端点处的敛散性后，即可写出收敛域。

只有a n xn才可使用该方法求收敛半径，x 2n 等有缺次项的不能这么求收敛半径。

∑n =2∞1nln q n，当q >1时收敛，当q ≤1时发散线性代数A 为n 阶矩阵，A 可逆⇔∣A ∣≠0⇔r (A )=n⇔Ax =0只有零解⇔A 与单位矩阵E 等价⇔A 的特征值全不为0⇔A 的行/列向量组线性无关A 是m ×n 矩阵，b 为m 维列向量，Ax=b 对于任何b 总有解⇔∀b ∈R m ，∃常数C 1,C 2,⋯C n，使(a 1,a 2,⋯a n)(C 1C 2⋮C n)=b⇔A 的列向量a 1,a 2,⋯,a n 可以表示任一m 维列向量⇔∃n ×m 矩阵B，使AB=E⇔向量组a 1,a 2,⋯,a n与ε1=(10⋮0),ε2=(01⋮0)⋯εn =(0⋮01)等价⇔向量组秩r (a 1,a 2,⋯,a n )=r (A )=m ⇔A 行向量线性无关范德蒙行列式∣111⋯1x 1x 2x 3⋯x n x 12x 22x 32⋯x n 2⋮⋮x 1n −1x 2n −1x3n −1⋯x nn −1∣=∏1≤j ≤i ≤n(x i −x j )∣kA ∣=k n ∣A ∣ ∣AB ∣=∣A ∣∣B ∣ ∣A *∣=∣A ∣n −1 ∣A −1∣=∣A ∣−1(kA )*=kn −1A *A *=∣A ∣A −1 (A *)−1=(A −1)*=A ∣A ∣(A *)*=∣A ∣n −2A (A n )−1=(A −1)n (kA )−1=1kA −1 (AB )−1=B −1A −1 (A −1)T =(A T )−1(A *)T =(A T )* (kA )T =kA T (AB )T =B T A T (A +B )T =A T +B T AA *=A *=∣A ∣EA =(a bc d )的伴随阵A *=(d −b −c a) 即主对角线互换，副对角线变号。