第三节 正定二次型
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第五章三节二次型和对称矩阵的有定性
第三节 二次型和对称矩阵的有定性
一、正定二次型和正定矩阵
定义5.6 设n元二次型 f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX 定义5.6 ，其中A为n阶实 0 对称矩阵。如果对于任意的 X = (x1, x2 ,Lxn )T ，有
f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX > 0 则称该二次型为正定二次型 正定二次型，矩阵A称为正定矩阵 正定矩阵。 正定二次型 正定矩阵
解法3 解法 只需判定二次型矩阵A 的顺序主子式是否全大于零。
轾 2 2 -2 犏 2 5 -4 因为二次型f 的矩阵 A = 犏 犏 犏 -4 5 -2 臌 中各阶主子式
A = 2 > 0, A = 1 2 2 A = A= 2 3 2 2 2 5 2 5 = 6 > 0,
-2 - 4 = 10 > 0 5
例1 设二次型 2 2 2 2 f (x1, x2 , x3, x4 ) = x1 + x2 + x3 + x4 则f 为正定二次型，因为对于任意的X = (x1, x2 ,Lxn )T 0,
2 2 2 2 都有 f (x1, x2 , x3, x4 ) = x1 + x2 + x3 + x4 > 0
( A- 1)T = ( AT )- 1 = A- 1
即 A- 1也是对称矩阵。
一、正定二次型和正定矩阵
定义5.6 设n元二次型 f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX 定义5.6 ，其中A为n阶实 0 对称矩阵。如果对于任意的 X = (x1, x2 ,Lxn )T ，有
f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX > 0 则称该二次型为正定二次型 正定二次型，矩阵A称为正定矩阵 正定矩阵。 正定二次型 正定矩阵
解法3 解法 只需判定二次型矩阵A 的顺序主子式是否全大于零。
轾 2 2 -2 犏 2 5 -4 因为二次型f 的矩阵 A = 犏 犏 犏 -4 5 -2 臌 中各阶主子式
A = 2 > 0, A = 1 2 2 A = A= 2 3 2 2 2 5 2 5 = 6 > 0,
-2 - 4 = 10 > 0 5
例1 设二次型 2 2 2 2 f (x1, x2 , x3, x4 ) = x1 + x2 + x3 + x4 则f 为正定二次型，因为对于任意的X = (x1, x2 ,Lxn )T 0,
2 2 2 2 都有 f (x1, x2 , x3, x4 ) = x1 + x2 + x3 + x4 > 0
( A- 1)T = ( AT )- 1 = A- 1
即 A- 1也是对称矩阵。
正定二次型
线性代数
正定二次型
定理1 设有二次型 f xT Ax ， 秩为r，且有两个可逆变换 x Cy
及 x Pz ，使
f k1 y12 k2 y22 kr yr2 ki 0
得
f 1z12 2z22 r zr2 i 0
则 k1, , kr中正数的个数与1, ,r中正数的个数相等。
这个定理称为惯性定理。
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，
负系数的个数称为负惯性指数，若二次型f 的正惯性指数为p，秩 为r，则f 的规范形便可确定为
f y12
y
2 p
y2 p1
yr2
定义1
设有二次型 f x xT Ax ，如果对任何x≠0，都有f(x)>0(显然
f(0)=0)，则称f 为正定二次型，并称对称阵A 是正定的;如果对任何 x≠0都有f(x)<0，则称f 为负定二次型，并称对称阵A 是负定的。
定理3 对称阵A 为正定的充分必要条件是A 的各阶主子式都为正，即
a11
>
0,
a11 a21
a12 > 0, a22
a11 ,
an1
a1n >0
ann
对称阵A 为负定的充分必要条件是奇数阶主子式为负，而偶数 阶主子式为正，即
a11
1
ar1
a1r
> 0r 1, 2, n
正定二次型
定理1 设有二次型 f xT Ax ， 秩为r，且有两个可逆变换 x Cy
及 x Pz ，使
f k1 y12 k2 y22 kr yr2 ki 0
得
f 1z12 2z22 r zr2 i 0
则 k1, , kr中正数的个数与1, ,r中正数的个数相等。
这个定理称为惯性定理。
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，
负系数的个数称为负惯性指数，若二次型f 的正惯性指数为p，秩 为r，则f 的规范形便可确定为
f y12
y
2 p
y2 p1
yr2
定义1
设有二次型 f x xT Ax ，如果对任何x≠0，都有f(x)>0(显然
f(0)=0)，则称f 为正定二次型，并称对称阵A 是正定的;如果对任何 x≠0都有f(x)<0，则称f 为负定二次型，并称对称阵A 是负定的。
定理3 对称阵A 为正定的充分必要条件是A 的各阶主子式都为正，即
a11
>
0,
a11 a21
a12 > 0, a22
a11 ,
an1
a1n >0
ann
对称阵A 为负定的充分必要条件是奇数阶主子式为负，而偶数 阶主子式为正，即
a11
1
ar1
a1r
> 0r 1, 2, n
第四章 二次型 第三节 正定二次型
第三节 正定二次型
1
复习：
若n元实二次型 f X X T AX ( AT A，
R( A) r ), 通过可逆线性替换X CY , 化为形如
f y
2 1
+y y
2 p
2 p 1
y 0 p r n ,
2 r
的标准型，称其为二次型 f 的规范形.
解
它的顺序主子式
5 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 4
5 2 2 1
2 1 2
4
4 2 , 5
5
1 0,
2 1 2
5 0,
2 4
2 1 0, 5
故上述二次型是正定的.
判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3 是否正定. 解 用特征值判别法.
1r
a11 a1r 0, arr
r 1,2, , n.
ar 1
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵, 则A T , A 1 , A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵, 则A B也是正定 矩阵.
例 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.
1
复习：
若n元实二次型 f X X T AX ( AT A，
R( A) r ), 通过可逆线性替换X CY , 化为形如
f y
2 1
+y y
2 p
2 p 1
y 0 p r n ,
2 r
的标准型，称其为二次型 f 的规范形.
解
它的顺序主子式
5 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 4
5 2 2 1
2 1 2
4
4 2 , 5
5
1 0,
2 1 2
5 0,
2 4
2 1 0, 5
故上述二次型是正定的.
判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3 是否正定. 解 用特征值判别法.
1r
a11 a1r 0, arr
r 1,2, , n.
ar 1
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵, 则A T , A 1 , A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵, 则A B也是正定 矩阵.
例 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.
正定二次型
实用线性代数
正定二次型
正定二次型的概念 正定二次型的判定
1.1 正定二次型的概念
定定义义55..6 设 有 二 次 型 f (x1, x2 ,, xn ) xT Ax ， 若 对 任 何
0 x Rn , 都有 f xT Ax 0 ，则称 f 为正定二次型。
正定二次型所对应的矩阵称为正定矩阵。
x1 所以当 x x2 0 ，有
x3
f xT Ax 0
即所给二次型 f 是正定二次型。
1 1 0 解法 4 对二次型 f 的矩阵为 A 1 2 1 施行合同变换得，
0 1 3
1 1 0
1 0 0
1 0 0
A 1
2
1
c2 c1
1
1
1
r2 r1
0
1
1
0 1 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1
1 1 0
1 2 0 E A 1 2 1
0 1 3
0 1 3
1 0
1 2
0
1
4 2
0
3
22 4 1
令 E A 0，解得矩阵 A 的特征值为 1 2, 2 2 3, 3 2 3
由推论 5.1，可知矩阵 A 是正定矩阵。于是所给二 次型 f 是正定二次型。
0 1 3
它的各阶顺序主子式
D1 a11 1 0,
正定二次型
正定二次型的概念 正定二次型的判定
1.1 正定二次型的概念
定定义义55..6 设 有 二 次 型 f (x1, x2 ,, xn ) xT Ax ， 若 对 任 何
0 x Rn , 都有 f xT Ax 0 ，则称 f 为正定二次型。
正定二次型所对应的矩阵称为正定矩阵。
x1 所以当 x x2 0 ，有
x3
f xT Ax 0
即所给二次型 f 是正定二次型。
1 1 0 解法 4 对二次型 f 的矩阵为 A 1 2 1 施行合同变换得，
0 1 3
1 1 0
1 0 0
1 0 0
A 1
2
1
c2 c1
1
1
1
r2 r1
0
1
1
0 1 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1
1 1 0
1 2 0 E A 1 2 1
0 1 3
0 1 3
1 0
1 2
0
1
4 2
0
3
22 4 1
令 E A 0，解得矩阵 A 的特征值为 1 2, 2 2 3, 3 2 3
由推论 5.1，可知矩阵 A 是正定矩阵。于是所给二 次型 f 是正定二次型。
0 1 3
它的各阶顺序主子式
D1 a11 1 0,
线性代数 正定二次型
y r1 zr1 LLL
y n z n
则可得到规范形 z 1 2 L z 2 p z 2 p 1 L z 2 p q ( p q r )
于是有如下结论:
定理：任一实二次型总可以经过适当的非退化线性变换
化为规范形，且规范形的形式是唯一的。
换句话说，任一实对称矩阵必合同于如下形式的对角阵
提示：利用定义证明. 首先验证A+B为对称矩阵
X 0 , X T A X 0 , X T B X 0 X T A B X 0
注：若A、B为正定矩阵，能否断定AB为正定矩阵？
推论：若A为实对称矩阵，t为一正实数，则t充分大时，
tI A 为正定矩阵.
提示： t i , i 为A的特征值.
A1 1 0
A A3 2 t1tt 2t 2 2t t1 2 00
1 t 0
A共有n个顺序主子阵，且均为实对称矩阵.
定理（Sylvester定理）：实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X
正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于零.
三、应用举例
1 t
例：t
取何值？
A
t
2
1 0
提示：由Sylvester定理，
1
0
是正定的
第三节正定二次型
第三节正定二次型
第三节正定二次型
内容分布图示
★ 二次型有定性的概念★ 例1-3 ★ 正定矩阵的判定★ 定理6 ★ 矩阵的主子式★ 定理7
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题5-3 ★ 返回
内容要点:
一、二次型有定性的概念
定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T =
(1) 如果对任何非零向量X , 都有
0>AX X T （或0<="">
成立，则称AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）.
(2) 如果对任何非零向量X , 都有
0≥AX X T （或0≤AX X T ）
成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.
注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.
二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.
二、正定矩阵的判别法
定理1 设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵.
定理2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是),,2,1(0n i d i =>. 定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p =
定理4 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩
《线性代数教学PPT》二次型的正定型
正定矩阵.
数
例 : f (x1, x2 ) 3x12 2x22正定
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 3x32非正定,
=
因f (0,1, 0) 1 0
类似地,可以定义负定二次型和负定矩阵
=
命题1 二次型经可逆线性变换, 其正定性不变.
证 : 设f (x) xT Ax xCy,C可逆 yT (CT AC) y
故当 xT x x 2 1时,有yT y 1,
数
故 f n
又由An nn ,1 n nTn , 得
f (n ) nT An
T n
n
n
nnTn
n
n
2
n
由(3), (4)两式就证明了(1)式.同理可证(2)式.
(3)
=
(4) =
=
Am正定.
例 : 确定实数a的取值范围,使二次型
f (x1, x2 , x3 ) a(x12 x22 ) 3x32 4x1x2为正定二次型.
线
解 : f 的矩阵为
a 2 0
性
A 2 a 0. 0 0 3
代
1 a 0
数
f 正定
2
|
Ak
|
性
bkb1ak1 bkb2ak 2
第三节 正定二次型
0 B
思考题解答
解 C是正定的. 因为,设Z (xT , yT )T 为m n维向量,其中x, y分
别是m维和n维列向量,若z 0,则x, y不同时为零向
量, 于是
zT
Cz
(
xT
,
yT
)
A 0
B0
x y
xT Ax yT By 0,
且C是实对称阵,故C为正定矩阵.
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 t 取何值时 , 二次型
f x2 y2 5z2 2txy 2xz 4 yz
解
正定? f的矩阵为
1 A t
t 1 1 2 ,
1 2 5
由 a11 1 0, 1 t 1 t 2 0, 1 t 1 t 1
A t 1 2 5t 2 4t 0, 解得 4 t 0 . 5
证明 设可逆变换X CY使
n
f X f CY ki yi2. i 1
充分性 设 k i 0 i 1, ,n.
任给X 0, 则Y C 1X 0,
n
故 f X ki yi2 0. 即 f 为正定的 . i 1
必要性 假设有 ks 0, 则当Y es (单位坐标向量) 时,
1
4 3
z2
x3 0 0 1 z3
化成标准形f
z12
6z22 +
思考题解答
解 C是正定的. 因为,设Z (xT , yT )T 为m n维向量,其中x, y分
别是m维和n维列向量,若z 0,则x, y不同时为零向
量, 于是
zT
Cz
(
xT
,
yT
)
A 0
B0
x y
xT Ax yT By 0,
且C是实对称阵,故C为正定矩阵.
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 t 取何值时 , 二次型
f x2 y2 5z2 2txy 2xz 4 yz
解
正定? f的矩阵为
1 A t
t 1 1 2 ,
1 2 5
由 a11 1 0, 1 t 1 t 2 0, 1 t 1 t 1
A t 1 2 5t 2 4t 0, 解得 4 t 0 . 5
证明 设可逆变换X CY使
n
f X f CY ki yi2. i 1
充分性 设 k i 0 i 1, ,n.
任给X 0, 则Y C 1X 0,
n
故 f X ki yi2 0. 即 f 为正定的 . i 1
必要性 假设有 ks 0, 则当Y es (单位坐标向量) 时,
1
4 3
z2
x3 0 0 1 z3
化成标准形f
z12
6z22 +
正定二次型
f=xAx >0, 称f为正定二次型, 对称矩阵A称为 正定矩阵.
f= xAx <0, 称f为负定二次型, 对称矩阵A称为 负定矩阵.
f= xAx 0, 称f 为半正定二次型, A为半正定矩阵.
f= xAx 0,称f为半负定二次型, A为半负定矩阵.
若存在非零向量x1, x2, 使得f=x1Ax1>0, f=x2Ax2<0, 称 f 为不定二次型.
问题：如何判定所给定的二次型的类型?
定理3.1 设n元实二次型f = xAx的秩为r, 正惯 性指数为p, 则f 为
正定二次型p=r=n, 即标准形中有n个正项; 负定二次型p=0, 即标准形中有n个负项;
半正定二次型p=r<n, 即标准形中只有r个正项;
半负定二次型p=0, r<n, 即标准形中只有r个负 项;
则
a11
iA i
(0,
,0,1,0,)
a21
an1
a12 a22
an2
0
a1n a2n
ann
1 0
aii 0, (i 1,2,, n)
注 (1) 反之不成立. 例2中 A 1 4 4 2
a11>0, a22>0, 但不是正定矩阵.
(2) 可用来判断二次型不是正定的.
证明 由性质4, A正定, 则存在满秩矩阵B,
f= xAx <0, 称f为负定二次型, 对称矩阵A称为 负定矩阵.
f= xAx 0, 称f 为半正定二次型, A为半正定矩阵.
f= xAx 0,称f为半负定二次型, A为半负定矩阵.
若存在非零向量x1, x2, 使得f=x1Ax1>0, f=x2Ax2<0, 称 f 为不定二次型.
问题：如何判定所给定的二次型的类型?
定理3.1 设n元实二次型f = xAx的秩为r, 正惯 性指数为p, 则f 为
正定二次型p=r=n, 即标准形中有n个正项; 负定二次型p=0, 即标准形中有n个负项;
半正定二次型p=r<n, 即标准形中只有r个正项;
半负定二次型p=0, r<n, 即标准形中只有r个负 项;
则
a11
iA i
(0,
,0,1,0,)
a21
an1
a12 a22
an2
0
a1n a2n
ann
1 0
aii 0, (i 1,2,, n)
注 (1) 反之不成立. 例2中 A 1 4 4 2
a11>0, a22>0, 但不是正定矩阵.
(2) 可用来判断二次型不是正定的.
证明 由性质4, A正定, 则存在满秩矩阵B,
第三节 正定二次型和正定矩阵
10
☎ 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在
可逆矩阵C，使得 A C TC .
实际上，正定二次型的规范形为
z12
z
2 2
zn2
,
即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ，
即存在可逆矩阵C ，使
A C T EC C T C .
11
☎ 设 A 为m n 矩阵，且的秩r( A) n ，则AT A
3
定理 n元实二次型 f X T AX 正定的充分必要条件是 它的正惯性指数等于 n。
推论 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值 全为正。
☎ 若实对称矩阵A为正定矩阵,则 AT , A1, A 均为
正定矩阵。 这是因为：
矩阵 A 与它的转置AT 有相同的特征值； ( A1 ) 1 ( A) ; ( A ) A .
解 （2）f 的矩阵为 顺序主子式
1 A 2
0
2 0 2 2 , 2 3
1 2
1 0,
2 0 ,
2 2
所以 f 是不定的。
17
练习：
P222 习题五
18
END
19
选用例题
1、 设A, B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块
矩
阵C
这是因为 C 是可逆矩阵，只要Y 0 ，就有X 0 ，
☎ 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在
可逆矩阵C，使得 A C TC .
实际上，正定二次型的规范形为
z12
z
2 2
zn2
,
即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ，
即存在可逆矩阵C ，使
A C T EC C T C .
11
☎ 设 A 为m n 矩阵，且的秩r( A) n ，则AT A
3
定理 n元实二次型 f X T AX 正定的充分必要条件是 它的正惯性指数等于 n。
推论 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值 全为正。
☎ 若实对称矩阵A为正定矩阵,则 AT , A1, A 均为
正定矩阵。 这是因为：
矩阵 A 与它的转置AT 有相同的特征值； ( A1 ) 1 ( A) ; ( A ) A .
解 （2）f 的矩阵为 顺序主子式
1 A 2
0
2 0 2 2 , 2 3
1 2
1 0,
2 0 ,
2 2
所以 f 是不定的。
17
练习：
P222 习题五
18
END
19
选用例题
1、 设A, B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块
矩
阵C
这是因为 C 是可逆矩阵，只要Y 0 ，就有X 0 ，
正定二次型和正定矩阵
1.1 二次型的分类
定义
（4）若对任意的非零向量 x ，都有 xΤ Ax 0 ，则称 f 为半负定二次型，对应的矩阵 A 称为半负定矩阵；
（5）其他的二次型称为不定二次型，对应的矩阵 A 称为不定矩阵．
1.1 二次型的分类
定义
定理 1 n 元二次型 f xT Ax 正定的充要条件是 f 的标准形中正惯性指数为 n ． 证明：设 f 在可逆变换 x Py 下的标准形为 f k1 y12 k2 y22 kn yn2 ． 充分性：设 ki 0 (i 1，2 ， ，n) ，对任意的 x 0 ，有 y P1x 0 ，故
(x1 x2 )2 (x2 2x32) 3，2x3
x1 x2 y1 ，
令
x2
2x3
y2 ，不难得出
f
y12
y22
3y32 ，所以它不是正定的．
x3
y3
，
1.2 判别方法
定义
例 2 判别二次型 f 3x12 4x22 5x32 4x1x2 4x2 x3 是否正定？
3 2 0
1.2 判别方法
定义
例 5 设二次型 f 5x2 6y2 4z2 4xy 4xz ，判断 f 的正定性．
5 2 2
解：二次型
f
的矩阵
A
2
6
0
，各阶顺序主子式为
2 0 4
线性代数教案-第六章 二 次 型
第六章二次型
二次型的一个重要议题就是化二次型为标准型,即通过变量的代换,将其化简为一个只含平方项的二次型.一个二次型总可与一对实对称方阵联系着,这实际上就是用一个线性变换将此方阵对角化.本章内容即以此议题为中心展开,兼及正定二次型及正定矩阵的一些基本性质.
一、教学目标与基本要求：
1 二次型与其标准型的矩阵关系
定义6.1.1设A ,B 都是n 阶方阵.若存在满秩(可逆)方阵C ,使B AC C =T ,则称B 是A 的合同矩阵,亦称B 与A 合同.
类似于矩阵的等价关系及相似关系,合同关系亦具有以下性质:
(1)自反性:任意方阵与自身合同；
(2)对称性:若B 与A 合同,则A 与B 合同；
(3)传递性:若B 与A 合同,D 与B 合同,则D 与A 合同.
定理6.1.1设A 为对称阵.若B 与A 合同,则B 亦是对称阵,且)()(A R B R =. 2化二次型为标准型
上一节的讨论表明,对于任意二次型
x x A f T =,
总可求得一个正交阵C ,作变换
y x C =,
就把f 化为标准型
2222211T n
n y y y f λλλ+++== Λy y . 这里n λλλ,,, 21是A 的全部特征值,对角阵)diag(21n λλλ,,
, =Λ. 该节主要举例化二次型为标准型
还须指出,由于实对称阵的特征值是确定的,二次型经正交变换化得的标准型,在不考虑各平方项次序的意义下是唯一的.但是,所用的正交变换却不唯一,这因为在构造正交阵时,选取属于各特征值的特征向量的方式并不唯一,只要它们独立即可.
7-3正定二次型
例 1 判定二次型 f (x1, x2 , x3 ) 5x12 6x22 4x32 4x1x2 4x1x3
的正定性.
解：二次型f 的矩阵
5 2 2
A
2
6
0
2 0 8
A1 5<0
5 A2 2
2 26 0， 6
A3 A 80 0. f 为负定二次型.
Ak >0,k=1,2, ,n
实二次型f (x1,x2, ,xn ) X T AX负定 A的奇数阶顺序主子式小于0, A的偶数阶顺序 主子式大于0.
证 实二次型f (x1,x2, ,xn ) X T AX 负定 实二次型f (x1,x2, ,xn ) X T (-A) X 正定 Ak 0, k 1, 2, , n (1)k Ak 0, k 1, 2, , n
1的个数=正惯性指数=p -1的个数=负惯性指数=n-p 1和-1的总个数=二次型的秩=r
二、正定二次型
1.正定二次型
给定实二次型f (x1,x2 , ,xn ) X T AX , 对任意的 X =(x1,x2 , ,xn ) O, 如果有
f X T AX 0, ( 0) 则称f 为正定(负定)二次型.
证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取 X0 (1,0, ,0)T ,
线代 (20)
再令
C2
E n 1 G , 1 0
则
( C A C ) C E n 1 0 E n 1 G E n 1 G C2 1 1 2 G 1 G a n n 0 1 0 E n1 0 a n n G G
第三节 正定二次型
鲁东大学 数学与信息学院
授课教师：刘华巧
一、正定二次型 二、正定矩阵 三、n元实二次型的分类 四、小结
一 、正定二次型
1、定义：实二次型
f ( x 1 , x 2 , , x n )
若对任意
一组不全为零的实数 c 1 , c 2 , , c n 都有
f ( c 1 , c 2 , , c n ) 0
2
正定. 结论成立.
假设对于n－1元二次型结论成立，下证n元的情形.
设
令 则
A ( a ij ) n n .
a 11 a 1 ,n 1 A1 a a n 1 ,n 1 n 1 ,1
A1 A a nn
任取一组不全为零的数
Y k1 k2 k n , X0 CY
k 1 , k 2 , , k n ,
令 则，
0
第三节正定二次型
) 假设有 ks 0, 则当Y es (单位坐标向量 时,
f Ces k1 0 k2 0 ks1 kn 0 ks 0.
显然 Ces 0,
这与 f 为正定相矛盾 .
故
ki 0i 1,, n.
推论1. 实二次型正定的充要条件是其正惯性系数为n 推论2. 实二次型正定的充要条件是其矩阵与n阶单位矩阵合同 推论3. 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：A的特征值 全为正 推论4. 正定矩阵的行列式大于零 证明：设A为正定矩阵，则CTAC = E, 两端求行列式得：
2 2 f X f CY k1 y12 k2 y2 kn yn
充分性
设 k i 0 i 1,, n.
则Y C -1 X 0,
任给 X 0,
故
2 2 f X k1 y12 k2 y2 kn yn 0.
必要性（反证法）
(1)
f X T AX z12 z22 zq2 zq21 zq2 2 zr2 x1 z1 x2 z2 其中X C2 C2 Z x z n n
2 2 2 设二次型的标准型为： f d1 y1 d2 y2 dn yn
如果di>(<)0(i=1,2,…,n), 那么二次型是正定(负定)的。
f Ces k1 0 k2 0 ks1 kn 0 ks 0.
显然 Ces 0,
这与 f 为正定相矛盾 .
故
ki 0i 1,, n.
推论1. 实二次型正定的充要条件是其正惯性系数为n 推论2. 实二次型正定的充要条件是其矩阵与n阶单位矩阵合同 推论3. 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：A的特征值 全为正 推论4. 正定矩阵的行列式大于零 证明：设A为正定矩阵，则CTAC = E, 两端求行列式得：
2 2 f X f CY k1 y12 k2 y2 kn yn
充分性
设 k i 0 i 1,, n.
则Y C -1 X 0,
任给 X 0,
故
2 2 f X k1 y12 k2 y2 kn yn 0.
必要性（反证法）
(1)
f X T AX z12 z22 zq2 zq21 zq2 2 zr2 x1 z1 x2 z2 其中X C2 C2 Z x z n n
2 2 2 设二次型的标准型为： f d1 y1 d2 y2 dn yn
如果di>(<)0(i=1,2,…,n), 那么二次型是正定(负定)的。
3二次型和对称矩阵的正定性.ppt
X
(x1, x2,, xk ,0,,0)T
Xk 0
Rn
(5.14)
也有X
T
AX
0. 此时将矩阵A相应分块为
Ak
,
则X T
AX
(
X
T k
0T
)
Ak
Xk 0
X
T k
Ak
Xk
0.
由此可得
,
k元二次型
而矩阵A1的特征值为1/ i ,且1/ i 0(i 1,2,, n). 所以A1为正定矩阵 .
定理5.7的推论2给出了实对称矩阵 A为正定矩阵的必
要条件 : det A 0.
为了利用行列式给出 A为正定矩阵的充分必要 条件,先引入 定义5.5 设n阶矩阵A (aij ), A的子式
则称该二次型为正定二次型, 矩阵A为正定矩阵. 例1 二次型f (x1, x2 ,, xn ) x12 x22 xn2是正定二次
型.因为对任意的 X (x1, x2 ,, xn )T 0,有 f (x1, x2 ,, xn ) 0.
而二次型 f (x1, x2 ,, xn ) x12 x22 xr2 (r n)不是 正定二次型.因为对任意的 X (0,,0, xr1,, xn )T 0,有
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注2. 对任何x0, x0 xi 0 ,并不是 xi 0
注3. f(x)=a11x12 + a22x22 + …+annxn2 正定 aii>0, i=1,2,…,n.
命题1. 可逆线性变换不改变二次型的正定性. x0, f(x) = xTAx >0, x=Py, P可逆 y=P1x 0, g(y)= yT(PTAP)y = xTAx >0
1a
则P1(AaE)P = aE =
,
n a
于是 1a,…na > 0. 所以 AaE 是正定阵.
(04-05) 四2. 假设A, B都是n阶实对称矩阵, 并且A的特征值均大于a, B的特征值均大于b, 证明: A+B的特征值均大于a+b. 证明(续): AaE 是正定阵. 同理, BbE 是正定阵. 因为同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 所以 A+B(a+b)E 也是正定阵.其特征值均大于0.
因此A的所有可能特征值均大于零. 所以A是正定的.
例10. 设A是正定的n阶实对称矩阵, 证明A+E的
行列式大于1.
证明: 因为A是正定的n阶实对称矩阵,
所以A的n个1, …, n均大于零.
1 设QTAQ = Q1AQ = = ,
n
1+1
则Q 1(A+E)Q = +E =
,
n+1
所以|A+E| = (1+1)…(n+1) > 1.
1. 正定二次型f(x) = xTAx 满足x0, 有f(x) >0. 2. 性质 可逆线性变换不改变二次型的正定性.
同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵.
A正定 p=n A的特征值均大于零 A与E相合 存在可逆阵P, 使得A = PTP.
A正定 A的各阶顺序主子式
均大于零.
解题思想：利用实对称阵的正交相似对角化， 将问题转化为对角阵的关系求解或证明。
第三节 正定二次型
1 定义 2 性质 3 练习
定义: 设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何 非零向量x, 有f(x) > 0, 则称之为正定二 次型, 称A为正定矩阵. 若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) < 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.
注1. 正定(负定)矩阵必为实对称矩阵.
e1 e2T Ae1 e2 ad cd 0bc 0
•已知 A, aE A 是正定矩阵, 且A满足条件 A2 3A 4E O,则实数a满足条件 a > 1.
= 4,1 =1 a+>0 a+1>0
1 •若A b
a
c
是正交矩阵,
1 b2 1
则a,b,c满足条件 a = b = 0, c = 1.
|A+E| = |+E|=(1+1)…(n+1)
(04-05) 四2. 假设A, B都是n阶实对称பைடு நூலகம்阵,
并且A的特征值均大于a, B的特征值均大于b, 证明: A+B的特征值均大于a+b.
证明: A是n阶实对称阵, 则存在n阶可逆阵P使得
1 P1AP = = ,
n
并且特征值1, …, n均大于a.
a
2
c2
1
a
bc
0
定理. n阶实对称矩阵A是正定矩阵
A的各阶顺序主子式 均大于零.
1 = a11,
2 =
a11 a21
a12 a22
, …,
n = |A|
实对称阵A负定各阶顺序主子式负正相间
2 6 4 例如A = 6 3 1 中二阶顺序主子式
41 4
2 =
2 6
6 3
= 30,
故A不是正定的.
例11. 问a为何值时, 二次型是正定的？
设为 A+B 的任一特征值, 则 (a+b)是A+B(a+b)E的特征值.
于是 (a+b) > 0, 即 > a+b.
(03-04)一8. 已知A =
a c
b d
,若对任意的2维列向量
有TA = 0, 则abcd满足条件 a = d = 0, b = c.
e1T Ae1 a 0; e2T Ae2 d 0;
命题2. 相合矩阵的正定性也相同.
命题3. 同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 设A,B正定, 则x0, xTAx>0, xTBx>0, (A+B)T=AT+BT=A+B, A+B为实对称的
x0, xT(A+B)x= xTAx+xTBx>0 A+B正定
定理. 设A为n阶实对称阵, 则下列命题等价:
(1) A是正定矩阵;
(负定)
(2) A的正惯性指数为n; (q = n)
(3) A的特征值均大于零; (i < 0)
(4) A与E相合;
(A与E相合)
(5) 存在可逆阵P, 使得A = PTP. (A = PTP)
例9. 设实对称矩阵A满足A23A+2E = O, 证明 A是正定的.
证明: 设为A的特征值, 则23+2=0, = 1或2,
f x x12 x22 5 x32 2ax1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3
1 a 1
解：
f(x)对应的矩阵为A
a
1
2
1
2
5
A正定 A的各阶顺序主子式 i > 0
1 = 1>0,
2 =
1 a
a 1
= 1a2>0,
3 = |A|= a(5a+4) >0
故A正定 4/5 < a < 0.
注3. f(x)=a11x12 + a22x22 + …+annxn2 正定 aii>0, i=1,2,…,n.
命题1. 可逆线性变换不改变二次型的正定性. x0, f(x) = xTAx >0, x=Py, P可逆 y=P1x 0, g(y)= yT(PTAP)y = xTAx >0
1a
则P1(AaE)P = aE =
,
n a
于是 1a,…na > 0. 所以 AaE 是正定阵.
(04-05) 四2. 假设A, B都是n阶实对称矩阵, 并且A的特征值均大于a, B的特征值均大于b, 证明: A+B的特征值均大于a+b. 证明(续): AaE 是正定阵. 同理, BbE 是正定阵. 因为同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 所以 A+B(a+b)E 也是正定阵.其特征值均大于0.
因此A的所有可能特征值均大于零. 所以A是正定的.
例10. 设A是正定的n阶实对称矩阵, 证明A+E的
行列式大于1.
证明: 因为A是正定的n阶实对称矩阵,
所以A的n个1, …, n均大于零.
1 设QTAQ = Q1AQ = = ,
n
1+1
则Q 1(A+E)Q = +E =
,
n+1
所以|A+E| = (1+1)…(n+1) > 1.
1. 正定二次型f(x) = xTAx 满足x0, 有f(x) >0. 2. 性质 可逆线性变换不改变二次型的正定性.
同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵.
A正定 p=n A的特征值均大于零 A与E相合 存在可逆阵P, 使得A = PTP.
A正定 A的各阶顺序主子式
均大于零.
解题思想：利用实对称阵的正交相似对角化， 将问题转化为对角阵的关系求解或证明。
第三节 正定二次型
1 定义 2 性质 3 练习
定义: 设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何 非零向量x, 有f(x) > 0, 则称之为正定二 次型, 称A为正定矩阵. 若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) < 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.
注1. 正定(负定)矩阵必为实对称矩阵.
e1 e2T Ae1 e2 ad cd 0bc 0
•已知 A, aE A 是正定矩阵, 且A满足条件 A2 3A 4E O,则实数a满足条件 a > 1.
= 4,1 =1 a+>0 a+1>0
1 •若A b
a
c
是正交矩阵,
1 b2 1
则a,b,c满足条件 a = b = 0, c = 1.
|A+E| = |+E|=(1+1)…(n+1)
(04-05) 四2. 假设A, B都是n阶实对称பைடு நூலகம்阵,
并且A的特征值均大于a, B的特征值均大于b, 证明: A+B的特征值均大于a+b.
证明: A是n阶实对称阵, 则存在n阶可逆阵P使得
1 P1AP = = ,
n
并且特征值1, …, n均大于a.
a
2
c2
1
a
bc
0
定理. n阶实对称矩阵A是正定矩阵
A的各阶顺序主子式 均大于零.
1 = a11,
2 =
a11 a21
a12 a22
, …,
n = |A|
实对称阵A负定各阶顺序主子式负正相间
2 6 4 例如A = 6 3 1 中二阶顺序主子式
41 4
2 =
2 6
6 3
= 30,
故A不是正定的.
例11. 问a为何值时, 二次型是正定的？
设为 A+B 的任一特征值, 则 (a+b)是A+B(a+b)E的特征值.
于是 (a+b) > 0, 即 > a+b.
(03-04)一8. 已知A =
a c
b d
,若对任意的2维列向量
有TA = 0, 则abcd满足条件 a = d = 0, b = c.
e1T Ae1 a 0; e2T Ae2 d 0;
命题2. 相合矩阵的正定性也相同.
命题3. 同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 设A,B正定, 则x0, xTAx>0, xTBx>0, (A+B)T=AT+BT=A+B, A+B为实对称的
x0, xT(A+B)x= xTAx+xTBx>0 A+B正定
定理. 设A为n阶实对称阵, 则下列命题等价:
(1) A是正定矩阵;
(负定)
(2) A的正惯性指数为n; (q = n)
(3) A的特征值均大于零; (i < 0)
(4) A与E相合;
(A与E相合)
(5) 存在可逆阵P, 使得A = PTP. (A = PTP)
例9. 设实对称矩阵A满足A23A+2E = O, 证明 A是正定的.
证明: 设为A的特征值, 则23+2=0, = 1或2,
f x x12 x22 5 x32 2ax1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3
1 a 1
解：
f(x)对应的矩阵为A
a
1
2
1
2
5
A正定 A的各阶顺序主子式 i > 0
1 = 1>0,
2 =
1 a
a 1
= 1a2>0,
3 = |A|= a(5a+4) >0
故A正定 4/5 < a < 0.