第三节 正定二次型
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注2. 对任何x0, x0 xi 0 ,并不是 xi 0
注3. f(x)=a11x12 + a22x22 + …+annxn2 正定 aii>0, i=1,2,…,n.
命题1. 可逆线性变换不改变二次型的正定性. x0, f(x) = xTAx >0, x=Py, P可逆 y=P1x 0, g(y)= yT(PTAP)y = xTAx >0
1a
则P1(AaE)P = aE =
,
n a
于是 1a,…na > 0. 所以 AaE 是正定阵.
(04-05) 四2. 假设A, B都是n阶实对称矩阵, 并且A的特征值均大于a, B的特征值均大于b, 证明: A+B的特征值均大于a+b. 证明(续): AaE 是正定阵. 同理, BbE 是正定阵. 因为同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 所以 A+B(a+b)E 也是正定阵.其特征值均大于0.
因此A的所有可能特征值均大于零. 所以A是正定的.
例10. 设A是正定的n阶实对称矩阵, 证明A+E的
行列式大于1.
证明: 因为A是正定的n阶实对称矩阵,
所以A的n个1, …, n均大于零.
1 设QTAQ = Q1AQ = = ,
n
1+1
则Q 1(A+E)Q = +E =
,
n+1
所以|A+E| = (1+1)…(n+1) > 1.
1. 正定二次型f(x) = xTAx 满足x0, 有f(x) >0. 2. 性质 可逆线性变换不改变二次型的正定性.
同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵.
A正定 p=n A的特征值均大于零 A与E相合 存在可逆阵P, 使得A = PTP.
A正定 A的各阶顺序主子式
均大于零.
解题思想：利用实对称阵的正交相似对角化， 将问题转化为对角阵的关系求解或证明。
第三节 正定二次型
1 定义 2 性质 3 练习
定义: 设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何 非零向量x, 有f(x) > 0, 则称之为正定二 次型, 称A为正定矩阵. 若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) < 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.
注1. 正定(负定)矩阵必为实对称矩阵.
e1 e2T Ae1 e2 ad cd 0bc 0
•已知 A, aE A 是正定矩阵, 且A满足条件 A2 3A 4E O,则实数a满足条件 a > 1.
= 4,1 =1 a+>0 a+1>0
1 •若A b
a
c
是正交矩阵,
1 b2 1
则a,b,c满足条件 a = b = 0, c = 1.
|A+E| = |+E|=(1+1)…(n+1)
(04-05) 四2. 假设A, B都是n阶实对称பைடு நூலகம்阵,
并且A的特征值均大于a, B的特征值均大于b, 证明: A+B的特征值均大于a+b.
证明: A是n阶实对称阵, 则存在n阶可逆阵P使得
1 P1AP = = ,
n
并且特征值1, …, n均大于a.
a
2
c2
1
a
bc
0
定理. n阶实对称矩阵A是正定矩阵
A的各阶顺序主子式 均大于零.
1 = a11,
2 =
a11 a21
a12 a22
, …,
n = |A|
实对称阵A负定各阶顺序主子式负正相间
2 6 4 例如A = 6 3 1 中二阶顺序主子式
41 4
2 =
2 6
6 3
= 30,
故A不是正定的.
例11. 问a为何值时, 二次型是正定的？
设为 A+B 的任一特征值, 则 (a+b)是A+B(a+b)E的特征值.
于是 (a+b) > 0, 即 > a+b.
(03-04)一8. 已知A =
a c
b d
,若对任意的2维列向量
有TA = 0, 则abcd满足条件 a = d = 0, b = c.
e1T Ae1 a 0; e2T Ae2 d 0;
命题2. 相合矩阵的正定性也相同.
命题3. 同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 设A,B正定, 则x0, xTAx>0, xTBx>0, (A+B)T=AT+BT=A+B, A+B为实对称的
x0, xT(A+B)x= xTAx+xTBx>0 A+B正定
定理. 设A为n阶实对称阵, 则下列命题等价:
(1) A是正定矩阵;
(负定)
(2) A的正惯性指数为n; (q = n)
(3) A的特征值均大于零; (i < 0)
(4) A与E相合;
(A与E相合)
(5) 存在可逆阵P, 使得A = PTP. (A = PTP)
例9. 设实对称矩阵A满足A23A+2E = O, 证明 A是正定的.
证明: 设为A的特征值, 则23+2=0, = 1或2,
f x x12 x22 5 x32 2ax1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3
1 a 1
解：
f(x)对应的矩阵为A
a
1
2
1
2
5
A正定 A的各阶顺序主子式 i > 0
1 = 1>0,
2 =
1 a
a 1
= 1a2>0,
3 = |A|= a(5a+4) >0
故A正定 4/5 < a < 0.
注3. f(x)=a11x12 + a22x22 + …+annxn2 正定 aii>0, i=1,2,…,n.
命题1. 可逆线性变换不改变二次型的正定性. x0, f(x) = xTAx >0, x=Py, P可逆 y=P1x 0, g(y)= yT(PTAP)y = xTAx >0
1a
则P1(AaE)P = aE =
,
n a
于是 1a,…na > 0. 所以 AaE 是正定阵.
(04-05) 四2. 假设A, B都是n阶实对称矩阵, 并且A的特征值均大于a, B的特征值均大于b, 证明: A+B的特征值均大于a+b. 证明(续): AaE 是正定阵. 同理, BbE 是正定阵. 因为同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 所以 A+B(a+b)E 也是正定阵.其特征值均大于0.
因此A的所有可能特征值均大于零. 所以A是正定的.
例10. 设A是正定的n阶实对称矩阵, 证明A+E的
行列式大于1.
证明: 因为A是正定的n阶实对称矩阵,
所以A的n个1, …, n均大于零.
1 设QTAQ = Q1AQ = = ,
n
1+1
则Q 1(A+E)Q = +E =
,
n+1
所以|A+E| = (1+1)…(n+1) > 1.
1. 正定二次型f(x) = xTAx 满足x0, 有f(x) >0. 2. 性质 可逆线性变换不改变二次型的正定性.
同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵.
A正定 p=n A的特征值均大于零 A与E相合 存在可逆阵P, 使得A = PTP.
A正定 A的各阶顺序主子式
均大于零.
解题思想：利用实对称阵的正交相似对角化， 将问题转化为对角阵的关系求解或证明。
第三节 正定二次型
1 定义 2 性质 3 练习
定义: 设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何 非零向量x, 有f(x) > 0, 则称之为正定二 次型, 称A为正定矩阵. 若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) < 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.
注1. 正定(负定)矩阵必为实对称矩阵.
e1 e2T Ae1 e2 ad cd 0bc 0
•已知 A, aE A 是正定矩阵, 且A满足条件 A2 3A 4E O,则实数a满足条件 a > 1.
= 4,1 =1 a+>0 a+1>0
1 •若A b
a
c
是正交矩阵,
1 b2 1
则a,b,c满足条件 a = b = 0, c = 1.
|A+E| = |+E|=(1+1)…(n+1)
(04-05) 四2. 假设A, B都是n阶实对称பைடு நூலகம்阵,
并且A的特征值均大于a, B的特征值均大于b, 证明: A+B的特征值均大于a+b.
证明: A是n阶实对称阵, 则存在n阶可逆阵P使得
1 P1AP = = ,
n
并且特征值1, …, n均大于a.
a
2
c2
1
a
bc
0
定理. n阶实对称矩阵A是正定矩阵
A的各阶顺序主子式 均大于零.
1 = a11,
2 =
a11 a21
a12 a22
, …,
n = |A|
实对称阵A负定各阶顺序主子式负正相间
2 6 4 例如A = 6 3 1 中二阶顺序主子式
41 4
2 =
2 6
6 3
= 30,
故A不是正定的.
例11. 问a为何值时, 二次型是正定的？
设为 A+B 的任一特征值, 则 (a+b)是A+B(a+b)E的特征值.
于是 (a+b) > 0, 即 > a+b.
(03-04)一8. 已知A =
a c
b d
,若对任意的2维列向量
有TA = 0, 则abcd满足条件 a = d = 0, b = c.
e1T Ae1 a 0; e2T Ae2 d 0;
命题2. 相合矩阵的正定性也相同.
命题3. 同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 设A,B正定, 则x0, xTAx>0, xTBx>0, (A+B)T=AT+BT=A+B, A+B为实对称的
x0, xT(A+B)x= xTAx+xTBx>0 A+B正定
定理. 设A为n阶实对称阵, 则下列命题等价:
(1) A是正定矩阵;
(负定)
(2) A的正惯性指数为n; (q = n)
(3) A的特征值均大于零; (i < 0)
(4) A与E相合;
(A与E相合)
(5) 存在可逆阵P, 使得A = PTP. (A = PTP)
例9. 设实对称矩阵A满足A23A+2E = O, 证明 A是正定的.
证明: 设为A的特征值, 则23+2=0, = 1或2,
f x x12 x22 5 x32 2ax1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3
1 a 1
解：
f(x)对应的矩阵为A
a
1
2
1
2
5
A正定 A的各阶顺序主子式 i > 0
1 = 1>0,
2 =
1 a
a 1
= 1a2>0,
3 = |A|= a(5a+4) >0
故A正定 4/5 < a < 0.