广东省广州市天河中学2017高考数学一轮复习不等式的综合应用基础知识检测文

合集下载

广州市天河高考一轮《基本不等式》复习检测试题有答案

基本不等式例 1 ：求证、-a2b2：b2c2. c2a2 _ . 2(a b e)。

分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式a2 b2 _2ab ,并能由...2(a b c)这一特征, 思索如何将a2・b2亠2ab进行变形，进行创造”。

证明：••• a2・b2 _2ab，两边同加a2 - b2得2(a2 - b2) _(a - b)2,即a2+b2 (a 2" ;二Ja2+b2色占|a + b 王乎(a +b),同理可得：..b2 c2 2 (b c), ■. c2 a2 2 (c a),2 2三式相加即得 \ a2b^ . b2c^ \ c2a2. 2(a b c)。

例2:若正数a、b满足a^ a b 3，则ab的取值范围是_________________________ 。

丄f,1 n解：••• a,b R，二ab 二 a b 3_2 ：ab 3，令y f ab , 得y -2y-3_0 ,••• y _3，或y 一-1 (舍去)，二y2二ab _9 ,二ab的取值范围是 0 =.。

说明：本题的常见错误有二。

一是没有舍去y乞-1 ;二是忘了还原，得出ab 3「：。

前者和后者的问题根源都是对.ab的理解，前者忽视了. ab _ 0.后者错误地将y2视为■. ab。

因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之。

例3:已知a,b,c • R，求证a2 b2 c^- ab bc ca.证明：••• a2 b2 _ 2ab , b2c2— 2bc , c2a2 _ 2ca ,三式相加，得2(a2 b2c2) 一2(ab bc ca)，即a2 b2c2一ab be ca.说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握。

例4:已知a、b、c是互不相等的正数，求证：a(b2- c2) b(a2c2) - c(a2b2) 6abc证明：T b 2 c 2 2bc , a 0，二 a(b 2 c 2) 2abc 同理可得：b(a 2+c 2) > 2abc , c(a 2+b 2) >2abc三个同向不等式相加，得 a(b 2 c 2) b(a 2 c 2) c(a 2 b 2) . 6abc ①说明：此题中a 、b 、c 互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立。

广州市天河高考一轮《基本不等式》复习检测试题含答案

基本不等式例1：求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++。

分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 222≥+进行变形，进行创造”。

证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+，即2)(222b a b a +≥+；∴)(222122b a b a b a +≥+≥+，同理可得：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+，三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++。

例2：若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是。

解：∵+∈R b a ,，∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y ， ∴3≥y ，或1-≤y （舍去），∴92≥=ab y ，∴ab 的取值范围是[).,9+∞。

说明：本题的常见错误有二。

一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab 。

前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab 。

因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之。

例3：已知R c b a ∈,,，求证.222ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+，三式相加，得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++ 说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握。

例4：已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++。

广东省广州市天河中学高考数学一轮复习集合及其运算

集合及其运算基础热身1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )A．2个 B．4个 C．6个 D．8个2．设全集U＝{x∈N*|x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)＝( )A．{1,4} B．{1,5} C．{2,4} D．{2,5}3．全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图K1－1中阴影部分表示图K1－1集合为( )A．{x|x<－1或x>2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x≤1}D．{x|0≤x≤1}4．设非空集合M、N满足：M＝{x|f(x)＝0}，N＝{x|g(x)＝0}，P＝{x|f(x)g(x)＝0}，则集合P恒满足的关系为( )A．P＝M∪N B．P⊆(M∪N)C．P≠∅ D．P＝∅能力提升5．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝－a，a∈M}，则集合M∩N＝( )A．{0，－1} B．{0}C．{－1，－2} D．{0，－2}6．设A、B是两个集合，定义M*N＝{x|x∈M且x∉N}．若M＝{y|y＝log2(－x2－2x＋3)}，N＝{y|y＝x，x∈[0,9]}，则M*N＝( )A．(－∞，0] B．(－∞，0)C．[0,2] D．(－∞，0)∪(2,3]7．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁U B)的充要条件是( )A．m>－1且n<5 B．m<－1且n<5C．m>－1且n>5 D．m<－1且n>58．若集合P ＝{}0，1，2，Q ＝(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1>0，x －y －2<0，x ，y ∈P ，则Q 中元素的个数是( )A ．4B ．6C ．3D ．5图K1－29．设全集U ＝R ，集合A ＝{y |y ＝tan x ，x ∈B }，B ＝ |x －π4≤x ≤π4，则图中阴影部分表示的集合是________．10．已知x ∈R ，y >0，集合A ＝{x 2＋x ＋1，－x ，－x －1}，集合B ＝－y ，－y2，y ＋1，若A ＝B ，则x 2＋y 2的值为________．11．设集合A ＝⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m2≤x －22＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ， B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }, 若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．12．(13分)已知集合A ＝x ⎪⎪⎪y ＝6x ＋1－1，集合B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋2x ＋m )}．(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．难点突破13．(12分)集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(3)当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．答案解析【基础热身】1．B [解析] 因为M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，所以P ＝M∩N＝{1,3}，所以集合P 的子集共有∅，{1}，{3}，{1,3}4个．2．C [解析] 由题知U ＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，故∁U (A∪B)＝{2,4}，故选C . 3．D [解析] 阴影部分表示的集合是A∩B.依题意知，A ＝{x|0≤x≤2}，B ＝{y|－1≤y≤1}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}，故选D .4．B [解析] 集合M 中的元素为方程f(x)＝0的根，集合N 中的元素为方程g(x)＝0的根．但有可能M 中的元素会使得g(x)＝0没有意义，同理N 中的元素也有可能会使得f(x)＝0没有意义．如：f(x)＝x －2，g(x)＝1－x ，f(x)·g(x)＝x －2·1－x ＝0解集为空集．这里容易错选A 或C .【能力提升】5．B [解析] ∵N＝{0，－1，－2}，∴M∩N＝{0}．故选B .6．B [解析] y ＝log 2(－x 2－2x ＋3)＝log 2[－(x ＋1)2＋4]∈(－∞，2]，N 中，∵x∈[0,9]，∴y＝x ∈[0,3]．结合定义得：M*N ＝(－∞，0)．7．A [解析] ∵P∈A，∴m>－1，又∁U B ＝{(x ，y)|x ＋y －n>0}，P∈∁U B ，∴n<5，故选A . 8．D [解析] Q ＝{(x ，y)|－1<x －y<2，x ，y∈P}，由P ＝{0,1,2}得x －y 的取值只可能是0和1.∴Q＝{(0,0)，(1,1)，(2,2)，(1,0)，(2,1)}，含有5个元素．9.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1 [解析] 图中阴影部分表示的集合为(∁U B)∩A，因为A ＝[－1,1]，∁U B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，＋∞，所以(∁U B)∩A＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1.10．5 [解析] 由x ∈R ，y >0，则x 2＋x ＋1>0，－y <0，－y2<0，y ＋1>0，且－x －1<－x ，－y <－y2.因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1＝y ＋1，－x －1＝－y ，－x ＝－y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以A ＝{3，－1，－2}，B ＝{－2，－1,3}，符合条件，故x 2＋y 2＝12＋22＝5. 11.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2 [解析] 若m <0，则符合题意的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，从而由|2－2m －1|2≤|m |，解之得2－22≤m ≤2＋22，矛盾；若m ＝0，则代入后可知矛盾；若m >0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，且大圆半径不小于12，即直径不小于1，集合B 表示一个带形区域，且两直线间距离为22，从而当直线x ＋y ＝2m 与x ＋y ＝2m ＋1中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即可符合题意，从而有|2－2m |2≤|m |或|2－2m －1|2≤|m |，解之得2－22≤m ≤2＋2，所以综上所述，实数m 的取值范围是12≤m ≤2＋ 2.12．[解答] (1)由6x ＋1－1≥0，解得－1<x ≤5，即A ＝{x |－1<x ≤5}，当m ＝3时，由－x 2＋2x ＋3>0，解得－1<x <3，即B ＝{x |－1<x <3}，∴∁R B ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)由B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋2x ＋m )}，得－x 2＋2x ＋m >0，而由(1)知A ＝{x |－1<x ≤5}，且A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴B ＝{x |t <x <4，t ≤－1}，∴4，t 是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根．∴m ＝8.【难点突破】13．[解答] (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A . 当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m ≤3，综上，m 的取值范围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又A ∩B ＝∅同时成立．则①若B ＝∅，即m ＋1>2m －1，得m <2时满足条件． ②若B ≠∅，则要满足的条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得m >4. 综上，m 的取值范围是m <2或m >4.。

广东省广州市天河中学2017高考数学一轮复习导数和函数的极值、最值01基础知识检测文

导数与函数的极值、最值01基础热身1．下列命题中正确的是( ) A ．导数为0的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是极大值C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是极小值D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是最小值2．函数y ＝x ＋1x的极值情况是( )A ．既无极小值，也无极大值B ．当x ＝1时，极小值为2，但无极大值C ．当x ＝－1时，极大值为－2，但无极小值D ．当x ＝1时，极小值为2，当x ＝－1时，极大值为－23．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图K15－1，则( )图K15－1A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点能力提升5．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e6．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数7．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．98．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <329．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图像不可能．．．为y ＝f (x )的图像是( )图K15－210．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．11．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________.12．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图像在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．13．已知函数f (x )＝13x 3－bx 2＋c (b ，c 为常数)．当x ＝2时，函数f (x )取得极值，若函数f (x )只有三个零点，则实数c 的取值范围为________．14．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图像在点P (1，f (1))处的切线为3x ＋y －3＝0. (1)求函数f (x )的解析式及单调区间；(2)求函数在区间[0，t ](t >0)上的最值．15．(13分)已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.(1)若f (x )在x ＝1时有极值－1，求b 、c 的值；(2)在(1)的条件下，若函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝k 的图像恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：函数f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)当a ＝25时，求函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2上的最值；(3)函数f (x )在[1,2]上恒有f (x )≥3成立，求a 的取值范围．答案解析【基础热身】1．B [解析] 根据可导函数极值的判别方法，如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值，反之是极小值，而导数为0的点不一定是极值点．2．D [解析] 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ′＝1－1x 2＝x 2－1x2，令y ′＝0，3．D [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意得f ′(－3)＝0，解得a ＝5.4．A [解析] x 1、x 4是导函数的不变号零点，因此它们不是极值点，而x 2与x 3是变号零点，因此它们是极值点，且x 2是极大值点，x 3是极小值点．【能力提升】5．A [解析] y ′＝e x ＋a ＝0，e x＝－a ，x ＝ln(－a )，∵x ＞0，∴ln(－a )＞0且a ＜0. ∴－a ＞1，即a ＜－1.6．A [解析] 由题意可得f ′(x )＝2－1x 2(x <0)，令f ′(x )＝0得x ＝－22(舍正)，列表如下：f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－22单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0单调递减，故选A. 7．D [解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6， ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9，故选D. 8．A [解析] 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.9．D [解析] 设F (x )＝f (x )e x，∴F ′(x )＝e x f ′(x )＋e x f (x )＝e x (2ax ＋b ＋ax 2＋bx ＋c )，又∵x ＝－1为f (x )e x的一个极值点，∴F ′(－1)＝e －1(－a ＋c )＝0，即a ＝c ，∴Δ＝b 2－4ac ＝b 2－4a 2，当Δ＝0时，b ＝±2a ，即对称轴所在直线方程为x ＝±1；当Δ>0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a >1，即对称轴在直线x ＝－1的左边或在直线x ＝1的右边．又f (－1)＝a －b ＋c ＝2a －b ＜0，故D 错，选D. 10.12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′ x ＝x －1x >0，x >0，得x >1.由⎩⎪⎨⎪⎧f ′ x ＝x －1x <0，x >0，得0<x <1，∴f (x )在x ＝1时，取得最小值f (1)＝12－ln1＝12.11．11 [解析] f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ＝0，f ′ －1 ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －n －1＝0，－6m ＋n ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，检验知当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3时，函数没有极值．所以m ＋n ＝11.12．4 [解析] ∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. ∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2，∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.13.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 [解析] ∵f (x )＝13x 3－bx 2＋c ，∴f ′(x )＝x 2－2bx .∵x ＝2时，f (x )取得极值，∴22－2b ×2＝0，解得b ＝1.∴当x ∈(0,2)时，f (x )单调递减，当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增．若f (x )＝0有3个实根，则⎩⎪⎨⎪⎧f 0 ＝c >0，f 2 ＝13×23－22＋c <0，解得0＜c ＜43.14．[解答] (1)由P 点在切线上得f (1)＝0，即点P (1,0)，又P (1,0)在y ＝f (x )上，得a ＋b ＝－1，又f ′(1)＝－3⇒2a ＝－6，所以a ＝－3，b ＝2.故f (x )＝x 3－3x 2＋2.f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )>0，解得x >2或x <0，∴f (x )的增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，减区间是(0,2)．(2)当0<t ≤2时，f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2；当2<t ≤3时，f (x )max ＝f (0)＝f (3)＝2，f (x )min ＝f (2)＝－2，当t >3时，f (x )max ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2，f (x )min ＝f (2)＝－2.15．[解答] (1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由已知得f ′(1)＝0，f (1)＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋2b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＋2＝－1，解得b ＝1，c ＝－5.经验证，b ＝1，c ＝－5符合题意．(2)由(1)知f (x )＝x 3＋x 2－5x ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2x －5.由f ′(x )＝0得x 1＝－53，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：根据上表，当x ＝－3时函数取得极大值且极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27，当x ＝1时函数取得极小值且极小值为f (1)＝－1.根据题意结合上图可知k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，22927. 【难点突破】16．[解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )的导数f ′(x )＝1＋ln x .令f ′(x )>0，解得x >1e ；令f ′(x )<0，解得0<x <1e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞单调递增．所以，当x ＝1e 时，f (x )取得最小值－1e.(2)法一：令g (x )＝f (x )－(ax －1)，则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝1－a ＋ln x ， ①若a ≤1，当x >1时，g ′(x )＝1－a ＋ln x >1－a ≥0，故g (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以，x ≥1时，g (x )≥g (1)＝1－a ≥0，即f (x )≥ax －1.②若a >1，方程g ′(x )＝0的根为x 0＝e a －1，此时，若x ∈(1，x 0)，则g ′(x )<0，故g (x )在该区间为减函数．所以x ∈(1，x 0)时，g (x )<g (1)＝1－a <0，即f (x )<ax －1，与题设f (x )≥ax －1相矛盾．综上，满足条件的a 的取值范围是(－∞，1]．法二：依题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a ≤ln x ＋1x对于x ∈[1，＋∞)恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x .当x >1时，因为g ′(x )＝1x ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x >0，故g (x )是(1，＋∞)上的增函数，所以g (x )的最小值是g (1)＝1，所以a 的取值范围是(－∞，1]．。

广东省广州市天河中学高考数学一轮复习不等关系与不等式基础知识检测文

不等关系与不等式基础热身1．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是( ) A ．a ＋d >b ＋c B ．a －d >b －c C ．ac >bd D.a d >b c2．若x ≠2且y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M <N C ．M ＝N D ．M ≥N3．若a ＜0，－1＜b ＜0，则有( )A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞aC ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a4．在平面内，设点A 与直线l 的距离为d ，B 为直线l 上的任意一点，则d ________|AB |.能力提升5．若0<α<π，则sin2α与2sin α的大小关系是( ) A ．sin2α>2sin α B ．sin2α<2sin α C ．sin2α＝2sin α D ．无法确定6．已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0a b B.b 2＋1a 2＋1>b 2a2 C ．a ＋1a >b ＋1bD ．a a >ab8．设[x ]表示不超过x 的最大整数，又设x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5，如果x不是整数，那么x ＋y 的取值范围是( )A ．(35,39)B ．(49,51)C ．(71,75)D ．(93,94)9．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．10．给出下列命题：①a >b 与b <a 是同向不等式； ②a >b 且b >c 等价于a >c ；③a >b >0，d >c >0，则a c >b d； ④a >b ⇒ac 2>bc 2；⑤a c 2>b c2⇒a >b .其中真命题的序号是________．11．若x >5，P ＝x －4－x －5，Q ＝x －2－x －3，则P 与Q 的大小关系是________．12．(13分)下表为广州亚运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备1200元，预订15门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数．难点突破13．(12分)已知函数f (x )＝|log 2(x ＋1)|，实数m 、n 在其定义域内，且m ＜n ，f (m )＝f (n )．求证：(1)m ＋n ＞0；(2)f (m 2)＜f (m ＋n )＜f (n 2)．答案解析【基础热身】1．B [解析] ∵c >d ，∴－d >－c .又∵a >b ，∴a －d >b －c .2．A [解析] M －N ＝(x －2)2＋(y ＋1)2>0.3．D [解析] 利用作差比较法判断a ，ab ，ab 2的大小即可，∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，b －1＜0,1－b ＞0,0＜b 2＜1,1－b 2＞0， ∴ab －a ＝a (b －1)＞0⇒ab ＞a ； ab －ab 2＝ab (1－b )＞0⇒ab ＞ab 2；a －ab 2＝a (1－b 2)＜0⇒a ＜ab 2；故ab ＞ab 2＞a .4．≤ [解析] 根据平面内点到直线的距离关系可知d ≤|AB |. 【能力提升】5．B [解析] sin2α＝2sin αcos α<2sin α.6．C [解析] ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >0，ab >0.7．B [解析] ∵00.8．D [解析] ∵[x －3]＝[x ]－3，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5得[x ]＝20， y ＝73.∵x 不是整数，∴20<x <21，∴93<x ＋y <94.9．(－3,3) [解析] ∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4， ∴－4＜－|β|≤0，∴－3＜α－|β|＜3.10．③⑤ [解析] ①中两个不等式为异向不等式；②中只能确定⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，b >c ⇒a >c ，不是等价不等式；由a >b >0，d >c >0得ad >bc >0，∴a c >b d，故③正确；当c ＝0时④不正确；在已知条件下1c2>0恒成立，∴⑤正确；故填③⑤.11．P >Q [解析] P ＝x －4－x －5＝1x －4＋x －5，Q ＝x －2－x －3＝1x －2＋x －3，而0<x －4＋x －5<x －2＋x －3，所以必有P >Q .12．[解答] 设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n (n ∈N *)张，则足球比赛门票预订(15－2n )张，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧80n ＋60n ＋－2n ，80n－2n ，n ∈N *，解得5≤n ≤5514.由n ∈N *，可得n ＝5，∴15－2n ＝5. ∴可以预订足球比赛门票5张．【难点突破】13．[解答] (1)证明：方法一：由f (m )＝f (n )，得|log 2(m ＋1)|＝|log 2(n ＋1)|，即log 2(m ＋1)＝log 2(n ＋1)，① 或log 2(m ＋1)＝－log 2(n ＋1)，②由①得m ＋1＝n ＋1，与m ＜n 矛盾，舍去，由②得m ＋1＝1n ＋1，即(m ＋1)(n ＋1)＝1.③∴m ＋1＜1＜n ＋1， ∴m ＜0＜n ，∴mn ＜0，由③得mn ＋m ＋n ＝0，m ＋n ＝－mn ＞0. 方法二：同方法一得(m ＋1)(n ＋1)＝1. ∵0＜m ＋1＜n ＋1，∴m ＋＋n ＋2>m ＋n ＋＝1，∴m＋n＋2＞2，∴m＋n＞0.(2)证明：当x＞0时，f(x)＝|log2(x＋1)|＝log2(x＋1)在(0，＋∞)上为增函数．由(1)知m2－(m＋n)＝m2＋mn＝m(m＋n)，且m＜0，m＋n＞0，∴m(m＋n)＜0，∴m2－(m＋n)＜0,0＜m2＜m＋n，∴f(m2)＜f(m＋n)．同理，(m＋n)－n2＝－mn－n2＝－n(m＋n)＜0，∴0＜m＋n＜n2，∴f(m＋n)＜f(n2)，∴f(m2)＜f(m＋n)＜f(n2)．。

广东省广州市天河中学2017高考数学(理科)一轮复习基础知识检测：合情推理和演绎推理.doc

合情推理与演绎推理基础热身1．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是() A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b5＋b82．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是()A．P(2007)＝403B．P(2008)＝404C．P(2009)＝403D．P(2010)＝4043．已知命题：若数列{a n}为等差数列，且a m＝a，a n＝b(m≠n，m、n∈N*)，则a m＋n＝bn－amn－m；现已知等比数列{b n}(b n>0，n∈N*)，b m＝a，b n＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到b m＋n＝()A.m－n b ma n B.n－m b na mC.n－mb n a m D.n－mb m a n4．有下列推理：①A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P的轨迹为椭圆；②由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式；③由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πab；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．以上推理不是归纳推理的序号是________．(把所有你认为正确的序号都填上)能力提升5．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面正三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝08．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( ) A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错 C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错9．把正整数按一定的规则排成了如图K67－1所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2009，则i 与j 的和为( )12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24图K67－1A ．105B ．106C ．107D ．10810．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OAB ·OC →＝0. 将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．11．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看做(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________②，②式可以用语言叙述为：________________.12．在计算“11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1 (n ∈N *)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1k k ＋1 ＝1k －1k ＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1，相加，得11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1.类比上述方法，请你计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n n ＋1 n ＋2(n ∈N *)”，其结果为________．13．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图K67－2为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为____________(n ∈N *)．图K67－214．(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图K67－3为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：1f 1 ＋1f 2 ＋1f 3 ＋…＋1f n <43.图K67－315．(13分)如图K67－4所示，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM ⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．图K67－4难点突破16．(12分)规定C mx ＝x · x －1 ·…· x －m ＋1 m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C m n (m ，n 是正整数，且m ≤n 的一种推广)．(1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －mn.②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1.是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整然)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由．(3)已知组合数C m n 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，C mx ∈Z.答案解析【基础热身】1．A [解析] 在等差数列{a n }中，由于4＋6＝3＋7时有a 4·a 6>a 3·a 7，所以在等比数列{b n }中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b 4＋b 8>b 5＋b 7或b 4＋b 81，b n>0，∴b4＋b8>b5＋b7.故选A.2．D[解析] 显然每5秒前进一个单位，且P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，∴P(2007)＝P(5×401＋2)＝401＋2＝403，P(2008)＝404，P(2009)＝403，P(2010)＝402，故选D.3．B[解析] 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的b na m，等差数列中的bn－amn－m可以类比等比数列中的n－m b na m.故b m＋n＝n－m b na m.4．①③④[解析] ①为演绎推理，②为归纳推理，③④为类比推理．【能力提升】5．C[解析] f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x＝f1(x)，f6(x)＝(cos x)′＝－sin x＝f2(x)，f n＋4(x)＝…＝…＝f n(x)，故可猜测f n(x)以4为周期，有f4n＋1(x)＝f1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sin x，f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cos x，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sin x，所以f2013(x)＝f503×4＋1(x)＝f1(x)＝cos x，故选C.6．A[解析] 两条直线平行，同旁内角互补——大前提，∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提，∠A＋∠B＝180°——结论．故A是演绎推理，而B、D是归纳推理，C是类比推理．故选A.7．A[解析] 类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0即x＋2y－z－2＝0.8．A[解析] y＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．9．C[解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.10．V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 [解析] 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积．11.⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 12.n 2＋3n4 n ＋1 n ＋2[解析]∵1k k ＋1 k ＋2＝12⎣⎡⎦⎤1k k ＋1 －1 k ＋1 k ＋2 ，依次裂项，求和得n 2＋3n 4 n ＋1 n ＋2. 13．f (n )＝2n 2－2n ＋1 [解析] 由f (1)＝1，f (2)＝1＋3＋1，f (3)＝1＋3＋5＋3＋1，f (4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1，可得f (n )＝1＋3＋5＋…＋2n －1＋…＋3＋1，∴f (n )＝2× n －1 [1＋ 2n －3 ]2＋(2n －1)＝2n 2－2n ＋1.14．[解答] (1)f (4)＝37，f (5)＝61.由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，f (4)－f (3)＝37－19＝3×6，f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1) ＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.(2)证明：当k ≥2时，1f k ＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k ＝13⎝⎛⎭⎫1k －1－1k .所以1f 1 ＋1f 2 ＋1f 3 ＋…＋1f n <1＋13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋13⎝⎛⎭⎫1－1n <1＋13＝43. 15．[解答] (1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，PM ∩PN ＝P ， ∴BB 1⊥平面PMN ，∴BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2平面ABB 1A 1＝S 2平面BCC 1B 1＋S 2平面ACC 1A 1－ 2S 平面BCC 1B 1S 平面ACC 1A 1cos α.其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角的大小．证明：∵CC 1⊥平面PMN ， ∴上述的二面角的平面角为∠MNP .在△PMN 中，∵PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ，由于S 平面BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S 平面ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S 平面ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，∴S 2平面ABB 1A 1＝S 2平面BCC 1B 1＋S 2平面ACC 1A 1－2S 平面BCC 1B 1·S 平面ACC 1A 1·cos α.【难点突破】16．[解答] (1)根据新规定直接进行演算即可C5－15＝－15 －16 －17 －18 －195！＝－11628.(2)性质①不能推广．反例：当x ＝2，m ＝1时，C 12有意义，但C2－12无意义．性质②能推广，且推广形式不变：C m x ＋C m －1x ＝C m x ＋1(x ∈R ，m 是正整数)．证明如下：Cm x＋Cm －1x＝x x －1 x －2 … x －m ＋1m ！＋x x －1 x －2 … x －m ＋2m －1 ！＝x x －1 x －2 … x －m ＋2 m ！·(x ＋1)＝1m ！·(x ＋1)[(x ＋1)－1][(x ＋1)－2]…[(x ＋1)－m ＋1]＝C m x ＋1.(3)需要就x 与m 的大小做出逻辑划分并进行严密的论证．当x ≥m 时，x ，m 都是正整数，C m n 就是组合数，结论显然成立；当0≤x <m 时，C m x＝x x －1 x －2 …0… x －m ＋1m ！＝0∈Z ，结论也成立；当x <0时，C m x＝x x －1 x －2 … x －m ＋1m ！＝(－1)m 1m ！(－x ＋m －1)(－x ＋m －2)…(－x ＋1)(－x )＝(－1)m C m－x ＋m －1 ∵－x ＋m －1>0，∴C m －x ＋m －1是正整数，故C m x ＝(－1)m C m －x ＋m －1∈Z.综上所述，当x ∈Z ，m 是正整数时，C m x ∈Z.。

广东省广州市天河中学2017高考数学一轮复习数学证明基础知识检测理

数学证明基础热身1．在用反证法证明命题“已知a 、b 、c ∈(0,2)，求证a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )不可能都大于1”时，反证时假设正确的是( )A ．假设a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )都小于1B ．假设a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )都大于1C ．假设a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )都不大于1D ．以上都不对2．在△ABC 中，已知sin A ＋cos A ＝12，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定3．设a ，b ，c 均为正实数，那么a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于24．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．能力提升5．一个质点从A 出发依次沿图中线段到达B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J 各点，最后又回到A (如图K68－1所示)，其中：AB ⊥BC ，AB ∥CD ∥EF ∥HG ∥IJ ，BC ∥DE ∥FG ∥HI ∥JA .欲知此质点所走路程，至少需要测量n 条线段的长度，则n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．56．已知⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪48 610＋⎪⎪⎪⎪1216 1418＋…＋⎪⎪⎪⎪20042008 20062010＝( )A ．－2008B ．2008C ．2010D ．－20107．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 成等比数列，cos A 、cos B 、cos C 成等差数列，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M ，且3∈M,5∉M ，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪(9,25) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪[9,25) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53∪[9,25]9．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a 1，n ∈N )个点，每个图形总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2010a 2011＝________.12．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为________．13．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n.若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．14．(10分)已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.15. (13分)试比较n n ＋1与(n ＋1)n(n ∈N *)的大小．当n ＝1时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜)当n ＝2时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜)当n ＝3时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜)当n ＝4时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜) 猜想一个一般性结论，并加以证明．难点突破16．(12分)数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＝0，a n ＋1是函数f n (x )＝13x 3－12(3a n ＋n 2)x 2＋3n 2a n x 的极小值点，求通项a n .答案解析【基础热身】1．B [解析] “不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.2．C [解析] 由sin A ＋cos A ＝12，得，(sin A ＋cos A )2＝1＋2sin A cos A ＝14，∴sin A cos A <0.∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，cos A <0，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.故选C. 3．D [解析] 因为a ＋1b＋b ＋1c＋c ＋1a≥6，故选D.4．x <y [解析] x 2－y 2＝a ＋b ＋2ab2－(a ＋b )＝－a ＋b －2ab2＝－a －b22.∵a ，b 是不相等的正数，∴a ≠b ，∴(a －b )2>0，∴－a －b22<0，∴x 2<y 2.又∵x >0，y >0，∴x <y .【能力提升】5．B [解析] 只需测量AB ，BC ，GH 这3条线段的长．6．A [解析] ∵⎪⎪⎪⎪48 610＝－8，⎪⎪⎪⎪1216 1418＝－8，…，⎪⎪⎪⎪20042008 20062010＝－8，区间[4,2010]中共有1004个偶数，若每四个偶数为一组，共有251组，∴⎪⎪⎪⎪48 610＋⎪⎪⎪⎪1216 1418＋…＋⎪⎪⎪⎪20042008 20062010＝(－8)＋(－8)＋…＋(－8251个＝－8×251＝－2008，故选A.7．A [解析] ∵cos A ，cos B ，cos C 成等差数列，∴2cos B ＝cos A ＋cos C ＝2cos A ＋C 2cos A －C2＝2sin B 2cos A －C 2，∴cos(A －C )＝2cos 2A －C 2－1＝2cos 2B sin2B 2－1.①∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，∴sin 2B ＝sin A sinC ，∴2sin 2B ＝cos(A －C )＋cos B ，∴cos(A －C )＝2sin 2B －cos B ，② 将①代入②整理得：(2cos B －1)(cos B －3)(cos B ＋1)＝0.∵09或a <53，1≤a <25⇒a∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25)．(2)当a ＝25时，不等式为25x －5x 2－25<0，解之得M ＝(－∞，－5)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，5，则3∈M 且5∉M ， ∴a ＝25满足条件，综上可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25]． 9．C [解析] ①②正确；③中a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.选C.10．1005 [解析] 由题意归纳出第n 行的各数之和为(2n －1)2,2n －1＝2009，n ＝1005. 11.20092010[解析] a n ＝3(n －1)，a n a n ＋1＝9n (n －1)，裂项求和即可． 12．3＋2 2 [解析] 由题知直线经过圆心(2,1)，则有a ＋b ＝1，所以1a ＋2b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a＋2a b ≥3＋2 2.13.332 [解析] sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.14．[解答] 证明：假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c >164.①又(1－a )a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14.所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确． 15．[解答] < < > >结论：当n ≥3时，n n ＋1>(n ＋1)n (n ∈N *)恒成立．证明：①当n ＝3时，34＝81>64＝43成立；②假设当n ＝k (k ≥3)时成立，即k k ＋1>(k ＋1)k成立，即k k ＋1k ＋k>1，则当n ＝k ＋1时，∵k ＋k ＋2k ＋k ＋1＝(k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋2k ＋1>(k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1k ＋1＝k k ＋1k ＋k>1，∴(k ＋1)k ＋2>(k ＋2)k ＋1，即当n ＝k ＋1时也成立．∴当n ≥3时，n n ＋1>(n ＋1)n (n ∈N *)恒成立．【难点突破】16．[解答] 易知f ′n (x )＝x 2－(3a n ＋n 2)x ＋3n 2a n ＝(x －3a n )(x －n 2)，令f ′n (x )＝0，得x ＝3a n 或x ＝n 2，(1)若3a n <n 2，当x <3a n 时，f ′n (x )>0，f n (x )单调递增；当3a n <x <n 2时，f ′n (x )<0，f n (x )单调递减；当x >n 2时，f ′n (x )>0，f n (x )单调递增，故f n (x )在x ＝n 2时，取得极小值．(2)若3a n >n 2，仿(1)可得，f n (x )在x ＝3a n 时取得极小值．(3)若3a n ＝n 2，f ′n (x )≥0，f n (x )无极值．因a 1＝0，则3a 1<12，由(1)知，a 2＝12＝1.因3a 2＝3<22，由(1)知a 3＝22＝4，因3a 3＝12>32，由(2)知a 4＝3a 3＝3×4，因3a 4＝36>42，由(2)知a 5＝3a 4＝32×4，由此猜想：当n ≥3时，a n ＝4×3n －3.下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，3a n >n 2. 事实上，当n ＝3时，由前面的讨论知结论成立．假设当n ＝k (k ≥3)时，3a k >k 2成立，则由(2)知a k ＋1＝3a k >k 2，从而3a k ＋1－(k ＋1)2>3k 2－(k ＋1)2＝2k (k －2)＋2k －1>0，所以3a k ＋1>(k ＋1)2.故当n ≥3时，a n ＝4×3n －3，于是由(2)知，当n ≥3时，a n ＋1＝3a n ，而a 3＝4，因此a n ＝4×3n －3，综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，n ＝，4×3n －3n。

广东省广州市天河中学高考数学一轮复习函数和方程基

函数与方程基础热身1．函数f (x )＝x (x 2－16)的零点是( ) A ．(0,0)，(4,0)B ．(－4,0)，(0,0)，(4,0)C ．0,4D ．－4,0,42．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋3a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜13B ．a ＞13C ．a ≤13D ．a ≥133．函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是________．能力提升5)K11－16A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个7．设a ，b ，k 是实数，二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足：f (k －1)与f (k )异号，f (k ＋1)与f (k )异号．在以下关于f (x )的零点的命题中，真命题是( )A ．该二次函数的零点都小于kB ．该二次函数的零点都大于kC ．该二次函数的两个零点之差一定大于2D ．该二次函数的零点均在区间(k －1，k ＋1)内8．已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b9．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则g (x 0)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点的个数为________．12．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．13．已知函数f (x )＝|x |＋|2－x |，若函数g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________．14．(10分)已知函数f (x )＝x 3－3x ＋2. (1)求f (x )的零点；(2)求分别满足f (x )＜0，f (x )＝0，f (x )＞0的x 的取值范围；(3)画出f (x )的大致图像．15．(13分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)－k有三个零点，求实数k的取值范围．难点突破16．(12分)(1)已知关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围；(2)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．答案解析【基础热身】1．D [解析] 当f (x )＝x (x 2－16)＝0时，解得x ＝－4,0,4.2．B [解析] 由题意，函数f (x )＝x 2＋2x ＋3a 没有零点，即方程x 2＋2x ＋3a ＝0无解，即方程的判别式小于零，解不等式Δ＝22－4×3a ＜0，得a ＞13.3．B [解析] ∵f (－1)＝2－1＋3×(－1)＝－52<0，f (0)＝20＋0＝1>0，∴f (－1)f (0)<0，∴f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间为(－1,0)． 4.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32<x <1 [解析] ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )＞0，即－(4x 2＋2x －6)＞0⇒2x 2＋x －3＜0，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32<x <1.【能力提升】5．B [解析] 函数图像与横轴的交点的横坐标为零点，A ，C ，D 符合，但二分法要求在区间[a ，b ]上，存在f (a )·f (b )<0，所以只有B 不符合．6．C [解析] 在区间[2,3]、[3,4]、[4,5]上至少各有一个零点．7．D [解析] 由题意f (k －1)·f (k )<0，f (k )·f (k ＋1)<0，由零点的存在性定理可知区间(k －1，k )，(k ，k ＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故D 正确．8．B [解析] 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0，故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0)．因为g (2)＝0，故g (x )的零点b ＝2.因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0，故h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a <c 0，故x 0∈(2,3)，g (x 0)＝[x 0]＝2.10．2 [解析] 因为2＜a ＜3，所以log a 2＜1＝log a a ＜log a 3，因为3＜b ＜4，所以b －2>1>log a 2，b －3＜1＜log a 3，所以f (2)·f (3)＝(log a 2＋2－b )·(log a 3＋3－b )＜0，所以函数的零点在(2,3)上，所以n ＝2.11．3 [解析] f (0)＝－2，即－02＋b ·0＋c ＝－2，c ＝－2；f (－1)＝1，即－(－1)2＋b ·(－1)＋c ＝1，故b ＝－4.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x >0，－x 2－4x －2，x ≤0，g (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x ，x >0，－x 2－3x －2，x ≤0.令g (x )＝0，则－2＋x ＝0，解得x ＝2；－x 2－3x －2＝0，解得x ＝－2或－1，故函数g (x )有3个零点．12．(－∞，2ln2－2] [解析] 由于f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即e x－2x ＋a ＝0有解，所以a ＝－e x＋2x .令g (x )＝－e x ＋2x ，由于g ′(x )＝－e x＋2，令g ′(x )＝－e x＋2＝0，解得x ＝ln2.当x ∈(－∞，ln2)时，g ′(x )＝－e x＋2>0，此时g (x )为增函数；当x ∈(ln2，＋∞)时，g ′(x )＝－e x ＋2<0，此时g (x )为减函数．所以，当x ＝ln2时，函数g (x )＝－e x ＋2x 有最大值2ln2－2，即g (x )＝－e x＋2x 的值域为(－∞，2ln2－2]，所以a ∈(－∞，2ln2－2]．13．2 [解析] 由于f (x )＝|x |＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤0，2，0<x <2，2x －2，x ≥2，所以f (x )的最小值等于2，要使f (x )－a ＝0有解，应a ≥2，即a 的最小值为2.14．[解答] f (x )＝x 3－3x ＋2＝x (x －1)(x ＋1)－2(x －1)＝(x －1)(x 2＋x －2)＝(x －1)2(x ＋2)．(1)令f (x )＝0，得函数f (x )的零点为x ＝1和x ＝－2. (2)令f (x )＜0，得x ＜－2；令f (x )＝0得x ＝1或x ＝－2；令f (x )＞0，得－2＜x ＜1或x ＞1.所以满足f (x )＜0的x 的取值范围是(－∞，－2)；满足f (x )＝0的x 的取值范围是{1，－2}；满足f (x )＞0的x 的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)． (3)函数f (x )的大致图像如图所示．15．[解答] (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b ，于是⎩⎪⎨⎪⎧f ＝12a －b ＝0，f ＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4.故所求的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表所示：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值3；当x ＝2时，f (x )有极小值－43.故要使g (x )＝f (x )－k 有三个零点，实数k 的取值范围是－43＜k ＜283.【难点突破】16．[解答] (1)设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0，即f (2)＝22＋(m －1)×2＋1<0，∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，0≤－m －12≤2，f ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2－4≥0，－3≤m ≤1，4＋m －＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3≤m ≤1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1，由①②可知m ≤－1.(2)∵f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根，设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0时，即m 2－4＝0，m ＝－2时，t ＝1，m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去，∴2x＝1，x ＝0符合题意．当Δ>0，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0有一正一负两根，则t 1t 2<0，这与t 1t 2＝1>0矛盾． ∴这种情况不可能，综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.。

广东省天河地区2017高考数学一轮复习试题精选导数02文

导数028.〔本小题总分值13分〕函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．〔Ⅰ〕假设2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线方程；〔Ⅱ〕求函数()f x 单调区间. 【答案】解：222122()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-=， ……………………………………………1分令2()2h x ax x a =-+．〔Ⅰ〕当2a =时，函数1()2()2ln f x x x x =--，(1)0f =，212()2(1)f x x x'=+-．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线斜率为(1)2f '=． …………………………2分从而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线方程为02(1)y x -=-，即220x y --=． ………………………………………………………………4分〔Ⅱ〕函数()f x 定义域为(0,)+∞．设2()2h x ax x a =-+，〔1〕当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，那么()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减．……………6分〔2〕当0a >时，244a ∆=-，〔ⅰ〕假设01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得或；……………8分由()0f x '<，即()0h x <，得11x a a-+<<．………………………9分所以函数()f x 单调递增区间为和，单调递减区间为11(,a a+． ……………………………………11分〔ⅱ〕假设1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，那么()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x在(0,)+∞上单调递增． ………………………………………………………………13分9.〔本小题共13分〕函数1331(223+-+=x m mx x x f ），m ∈R . 〔Ⅰ〕当1=m 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处切线方程；〔Ⅱ〕假设)(x f 在区间(2,3)-上是减函数，求m 取值范围.【答案】解：〔Ⅰ〕当1=m 时，321()313f x x x x =+-+，又2'()23f x x x =+-，所以'(2)5f =.又，所以所求切线方程为，即153250x y --=.所以曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处切线方程为025315=--y x .………6分〔Ⅱ〕因为2232('m mx x x f -+=），令'(0f x =），得3x m =-或x m =.………………………8分当0m =时，2'(0f x x =≥）恒成立，不符合题意. ……………………………9分当0m >时，()f x 单调递减区间是(3,)m m -，假设()f x 在区间(2,3)-上是减函数，那么解得3m ≥.……………………………………………11分当0m <时，()f x 单调递减区间是(,3)m m -，假设()f x 在区间(2,3)-上是减函数，那么，解得2m ≤-.综上所述，实数m 取值范围是3m ≥或2m ≤-. …………………………13分10.〔本小题总分值13分〕函数.,1ln )(R ∈-=a xx a x f 〔I 〕假设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线与直线02=+y x 垂直，求a 值；〔II 〕求函数)(x f 单调区间；【答案】〔I 〕函数}0|{)(>x x x f 的定义域为，又曲线))1(,1()(f x f y 在点=处切线与直线02=+y x 垂直，所以.21)1(=+='a f 即a =1.〔II 〕由于当0≥a 时，对于0)(),,0(>'+∞∈x f x 有在定义域上恒成立，即),0()(+∞在x f 上是增函数. 当).,0(1,0)(,0+∞∈-=='<a x x f a 得由时当)(,0)(,)1,0(x f x f a x >'-∈时单调递增；当)(,0)(,),1(x f x f ax <'+∞-∈时单调递减. 11.〔本小题共13分〕函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．〔Ⅰ〕求函数=()y f x 图象在点(1,(1))P f 处切线l 方程；〔Ⅱ〕证明函数=()(1)y f x x ≠图象在直线l 下方；〔Ⅲ〕假设函数=()y f x 有零点，求实数a 取值范围．【答案】〔Ⅰ〕 …………………2分(1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………4分〔Ⅱ〕令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，那么11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x''--，解得(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠图像在直线 l 下方． …………………9分〔Ⅲ〕=()y f x 有零点，即()=ln +1=0f x x ax -有解， .令，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x x g x x x x -''-，解()=0g x '得=1x . …….…11分那么()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，当=1x 时，()g x 最大值为(1)=1g ，所以1a ≤. …………………13分12.〔本小题总分值13分〕函数()()322,.f x x ax bx a a b R =+++∈〔Ⅰ〕假设函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 值；〔Ⅱ〕假设对于任意[)4,a ∈-+∞，()f x 在[]0,2x ∈上单调递增，求b 最小值．【答案】〔Ⅰ〕()232f x x ax b '=++， ………………………………1分于是，根据题设有()()213201110f a b f a b a '=++==+++=⎧⎨⎩解得或 ……………………3分当时，()23811f x x x '=+-，641320∆=+> ，所以函数有极值点； ………………………………………………………………4分当时，()()2310f x x '=-≥，所以函数无极值点． …………5分所以 11b =-． …… …………………………………………………… 6分〔Ⅱ〕法一：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，………7分所以()2230F a xa x b =++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立．8分因为 0x ≥,所以 ()F a 在[]4,a ∈-∞上为单调递增函数或为常数函数， ………9分所以 ()()2min 4830F a F x x b =-=-++≥对任意[]0,2x ∈都成立，即 ()2max 38b x x ≥-+. ……………………………………11分又2241616383333x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以当时，， ……………………………12分所以，所以 b 最小值为163． ………………………………13分法二：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，…………… 7分即232b x ax ≥--对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，即()2max 32b x ax≥--． …………………………………………8分令()22232333a a F x x ax x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，…………………………… 9分当0a ≥时，()()max 00F x F ==，于是0b ≥；………………………10分当40a -≤<时，()2max 33a a F x F ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，于是，．……11分又，所以． ………………………………12分综上，b 最小值为163． ………………………………13分 13.〔本小题总分值12分〕函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．〔1〕讨论函数)(x f 在定义域内极值点个数；〔2〕假设函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 取值范围；【答案】解：〔1〕x ax x a x f 11)(-=-='，当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；当0>a 时，()0f x '<得，()0f x '>得，∴)(x f 在上递减，在上递增，即)(x f 在ax 1=处有极小值． ∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． …………6分〔注：分类讨论少一个扣一分。

广东省天河地区高考数学一轮复习试题精选不等式02文

不等式0215.设x, y 满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0 ,0048022y x y x y x , 若目标函数z abx y =+的最大值为8, 则a b+的最小值为 .（a 、b 均大于0）【答案】4【解析】由z abx y =+得，y abx z =-+，所以直线的斜率为0ab -<，做出可行域如图，由图象可知当目标函数经过点B 时，直线的截距最大，此时8z abx y =+=。

由220840x y x y -+=⎧⎨--=⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即(1,4)B ，代入8z abx y =+=得48ab +=，即4ab =，所以4a b +≥=，当且仅当2a b ==时取等号，所以a b +的最小值为4.16.已知实数对),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤012y x y x 则y x +2的最小值是___ ______．【答案】3【解析】做出可行域如图，设2z x y =+，则2y x z =-+，做直线2y x =-，平移直线由图象知当直线2y x z =-+经过点C 时，直线2y x z =-+的截距最小，由1y y x=⎧⎨=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)C ，代入2z x y =+得最小值为23z x y =+=。

17.已知正数a 、b 满足,102=+b a 则b a 21+的最小值为．【答案】54 【解析】由,102=+b a 得2110a b +=，即1510a b +=。

所以12122224()()510510555a b b a a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当2105b a a b =，即224b a =，2b a =时取等号，此时5,52a b ==，所以b a 21+的最小值为54。

18.设函数2()65f x x x =-+，集合{(,)|()()0A a b f a f b =+≤，且()()0}f a f b -≥．在直角坐标系aOb 中，集合A 所表示的区域的面积为______．【答案】4π【解析】因为22()65(3)4f x x x x =-+=--，所以由()()f a f b +≤得22(3)4(3)40a b --+--≤，即22(3)(3)8a b -+-≤，它表示以(3,3)为圆心，半径为的圆面。

广东省广州市天河中学高考数学一轮复习数列的综合应

数列的综合应用01基础热身1．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＝( ) A.32 B.94 C.259 D.25162．将不等式x 2－x <nx (n ∈N *)的解集中的整数的个数构成的数列记为{a n }，则该数列的通项公式是a n ＝( )A ．nB ．2nC ．2n －1D ．n －13．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为( )A ．三个月B ．一个月C ．10天D ．20小时4．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且点A n (a n ，a n ＋1)在函数y ＝xx ＋1的图像上．则该数列{a n }的通项公式是a n ＝________.能力提升5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n 2－17n ，则当S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．4 D ．5 6．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1107．设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ( ) A ．等于－2 B ．等于1C ．等于1或－2D ．不存在8．各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝( )A.5＋12 B.5－12 C.3－52 D.2＋529．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( ) A．①和⑳ B．⑨和⑩C．⑨和⑪ D．⑩和⑪10．数列{a n}中，a1＝2，点(log3a n，a n＋1)在函数y＝2×3x的图像上，则{a n}的通项公式为a n＝________.11．设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，x n＝________，令a n＝lg x n，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．12．已知a，b，c，d成等比数列，且a，d分别是函数f(x)＝x3－x在区间[2,3]上的最大值和最小值，则bc＝________.13．已知a n＝2n－1(n∈N＋)，把数列{a n}的各项排成如图K33－1所示的三角数阵．记S(m，n)表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应数阵中的数是________．13 57 9 1113 15 17 19…图K33－114．(10分)当p1，p2，…，p n均为正数时，称np1＋p2＋…＋p n为p1，p2，…，p n的“均倒数”．已知数列{a n}的各项均为正数，且其前n项的“均倒数”为12n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设c n＝a n2n＋1(n∈N*)，试比较c n＋1与c n的大小．15．(13分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设：2b n ＝1a n＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .难点突破16．(12分)设数列{b n }满足：b 1＝12，b n ＋1＝b 2n ＋b n .(1)求证：1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1；(2)若T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，对任意的正整数n,3T n －log 2m －5>0恒成立．求m 的取值范围．答案解析【基础热身】1．B [解析] a 2＝22a 1＝4，a 3＝32a 1a 2＝94.故选B.2．A [解析] x 2－x <nx (n ∈N *)的解集为{x |0<x <n ＋1(n ∈N *)}，所以数列{a n }前5项为1,2,3,4,5…，所以通项公式为a n ＝n .故选A.3．D [解析] 每小时传递人数构成数列2,4,8，…，所以n 小时共传递人数S n ＝1－2n1－2＝2n －1≈106，所以n ≈20小时．4.1n [解析] 因为a n ＋1＝a n a n ＋1且a 1＝1，所以1a n ＋1＝1＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n＝1. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列.1a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝1n.【能力提升】5．C [解析] 二次函数f (x )＝2x 2－17x 的对称轴为直线x ＝174，因为n ∈N ＋，所以当n＝4时，S n ＝2n 2－17n 有最小值．故选C.6．D [解析] 由a 27＝a 3·a 9，d ＝－2，得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解之得a 1＝20，∴S 10＝10×20＋10×92(－2)＝110.7．B [解析] 依题意有2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，当q ≠1时，有2a 1(1－q n ＋1)＝a 1(1－q n)＋a 1(1－q n ＋2)，解得q ＝1，但q ≠1，所以方程无解；当q ＝1时，满足条件．故选B.8．B [解析] 依题意，有a 3＝a 1＋a 2，设公比为q ，则有q 2－q －1＝0，所以q ＝1＋52(舍去负值).a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝a 2a 4q ＋q 2a 2a 4q 2＋q 3＝1q ＝21＋5＝5－12.故选B. 9．D [解析] 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.10．2n[解析] 由已知得a n ＋1＝2×3log 3a n ＝2a n ，显然{a n }的各项不为零，所以a n ＋1a n＝2，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，a n ＝2×2n －1＝2n.11.nn ＋1－2 [解析] ∵y ＝x n ＋1，∴y ′＝(n ＋1)x n，它在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，它与x 轴交点的横坐标为x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.由a n ＝lg x n ，得a n ＝lg n －lg(n ＋1)，于是a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg1－lg2＋lg2－lg3＋…＋lg99－lg100＝lg1－lg100＝0－2＝－2.12．144 [解析] 因为f ′(x )＝3x 2－1且x ∈[2,3]，所以f ′(x )>0，即f (x )在区间[2,3]上单调递增，所以，a ＝f (x )max ＝f (3)＝24，d ＝f (x )min ＝f (2)＝6，所以bc ＝ad ＝144.13．101 [解析] 观察知每一行的第1个数构成数列：1,3,7,13,21，…，相邻两项构成递推关系：a n ＋1＝a n ＋2n ，所以a 10＝a 9＋18＝a 8＋16＋18＝a 7＋14＋34＝a 6＋12＋48＝a 5＋10＋60＝a 4＋8＋70＝13＋78＝91，即第10行的第1个数为91，所以第10行第6个数为101.14．[解答] (1)由已知有a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝n (2n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)(2n －1)，两式相减，得a n ＝4n －1(n ≥2)．又1a 1＝12×1＋1，解得a 1＝3＝4×1－1， ∴a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)∵c n ＝a n 2n ＋1＝4n －12n ＋1＝2－32n ＋1，c n ＋1＝a n ＋12n ＋3＝2－32n ＋3，∴c n ＋1－c n ＝32n ＋1－32n ＋3＞0，即c n ＋1＞c n .15．[解答] (1)由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1－1a n ＝2且1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得a n ＝12n －1.(2)由2b n ＝1a n ＋1得2b n ＝2n －1＋1＝2n ，∴b n ＝1n，从而b n b n ＋1＝1n n ＋，则T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1＝11×2＋12×3＋…＋1n n ＋＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.【难点突破】16．[解答] (1)因为b 1＝12，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n (b n ＋1)，所以对任意的n ∈N *，b n >0.所以1b n ＋1＝1b n b n ＋＝1b n －1b n ＋1，即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1.(2)T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 1－1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1b 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝2－1b n ＋1.因为b n ＋1－b n ＝b 2n >0，∴b n ＋1>b n ，所以数列{b n }是单调递增数列．所以数列{T n }关于n 递增．所以T n ≥T 1.因为b 1＝12，所以b 2＝b 1(b 1＋1)＝34，所以T 1＝2－1b 2＝23，所以T n ≥23.因为3T n －log 2m －5>0恒成立，所以log 2m <3T n －5恒成立，所以log 2m <－3，所以0<m <18.。

广东省天河地区2017高考数学一轮复习试题精选函数03文

函数0329.若函数2log ,0,()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数，则(8)g -=______．【答案】3-【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以2(8)(8)(8)log 83f g f -=-=-=-=-，即(8)3g -=-。

30.设1233,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， . 【答案】3【解析】233(2)log (21)log 31f =-==，所以((2))(1)3f f f ==。

31.奇函数()f x 的定义域为[]2,2-，若()f x 在[]0,2上单调递减，且()()10f m f m ++<，则实数m 的取值范围是．【答案】1[,1]2-【解析】因为奇函数在[]0,2上单调递减，所以函数()f x 在[]2,2-上单调递减。

由()()10f m f m ++<得(1)()()f m f m f m +<-=-，所以由222121m m m m -≤≤⎧⎪-≤+≤⎨⎪+>-⎩，得223112m m m ⎧⎪-≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪>-⎩，所以112m -<≤，即实数m 的取值范围是1[,1]2-。

32.对任意两个实数12,x x ，定义()11212212,,,,.x x x max x x x x x ≥⎧=⎨<⎩若()22f x x =-，()g x x =-，则()()(),max f x g x 的最小值为．【答案】1-【解析】因为22()()2()2f x g x x x x x -=---=+-，所以222()20x x x x ---=+-≥时，解得1x ≥或2x ≤-。

当21x -<<时，220x x +-<，即()()f x g x <，所以()()()2,21,,2,12x x max f x g x x x x --<<⎧=⎨-≥<-⎩或，做出图象，由图象可知函数的最小值在A 处，所以最小值为(1)1f =-。

广东省广州市天河中学高考数学一轮复习一元二次不等式的解法基础知识检测文

一元二次不等式的解法基础热身1．不等式x 2<1的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x >－1}D ．{x |x <－1或x >1}2．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋12x －12>1的解集是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 C ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪()1，＋∞3．设集合M ＝{x |(x ＋3)(x －2)<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3]4．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)能力提升5．不等式x ＋5x －2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3] 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x －2x ，－x 2－x ＋x ，则不等式f (x )≤2的解集是( )A ．(－∞，－2]∪[1,2)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ B ．(－∞，－2]∪[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ C ．[－2,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D ．(－∞，2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞7．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1<x <12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1或x >12 C ．{x |－2<x <－1}D ．{x |x <－2或x >1}8．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)9．不等式log 2x －1x≥1的解集为________． 10．若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ≤0的解集为∅，则实数a 的取值范围为________．11．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是________．12．(13分)行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝nv 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N )，做了两次刹车试验，有关试验数据如图K35－1所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧ 6<s 1<8，14<s 2<17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？难点突破13．(12分)已知f (x )是R 上的单调函数，且对任意的实数a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立，若f (－3)＝2.(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2)解关于x 的不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x ＋f (m )<0，其中m ∈R 且m >0.答案解析【基础热身】1．A [解析] x 2<1⇔(x ＋1)(x －1)<0，即－1<x <1.选A.2．B [解析] 原不等式等价于x 2＋12x －12<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x ＋1)<0，所以解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 3．A [解析] 由解不等式知识知M ＝{x |－3<x <2}，又N ＝{x |1≤x ≤3}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ＜2}．4．C [解析] 由方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝m 2－4>0，解得m <－2或m >2，故选C.【能力提升】5．D [解析] x ＋5x －2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －2，x －1≠0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤3，x ≠1.所以x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(]1，3，选D. 6．B [解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1x －2≤2，x >2或⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－x ＋4≤2，x ≤2.解得x ∈(－∞，－2]∪[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. 7．A [解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，－b a＝－1＋2＝1，2a ＝－1×2＝－2.解得a ＝－1，b ＝1，∴不等式2x 2＋bx ＋a <0⇔2x 2＋x －1<0，即(2x －1)(x ＋1)<0，∴－1<x <12.选A. 8．C [解析] ∵f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，∴f (－2)·f (－1)＜0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，∴－32＜a ＜－56.又a ∈Z ， ∴a ＝－1.又不等式f (x )＞1，变形为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.9．[－1,0) [解析] 由log 2x －1x ≥1，得log 2x －1x ≥log 22，即x －1x≥2，解得－1≤x <0. 10．a ＞24[解析] 由题可知函数y ＝ax 2－|x |＋2a 的图像在x 轴上方，因为此函数是偶函数，故我们只需要研究x ＞0时的情况即可，要使函数f (x )＝ax 2－x ＋2a (x ＞0)满足题意，需⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝1－8a 2<0，解得a ＞24. 11.⎝ ⎛⎦⎥⎤259，4916 [解析] 因为不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1<0，在(－a ＋4)x 2－4x ＋1＝0中，Δ＝4a >0，且有4－a >0，故0<a <4，不等式的解集为12＋a <x <12－a.又14<12＋a <12，所以1,2,3为所求的整数解，所以3<12－a≤4，解得a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤259，4916. 12．[解答] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 6<40n 100＋1600400<8，14<70n 100＋4900400<17，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 5<n <10，52<n <9514，又n ∈N ，所以n ＝6. (2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.【难点突破】13．[解答] (1)f (x )为R 上的减函数，理由如下：∵对任意的实数a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立，∴f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又因为f (x )是R 上的单调函数，由f (－3)＝2，f (0)<f (－3)，所以f (x )为R 上的减函数．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x ＋f (m )<0，得 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x <－f (m )＝f (－m )，结合(1)得m －x x >－m ，整理得－m x －m x<0. 当m >1时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >0或x <m 1－m ；当m ＝1时，{x |x >0}，当0<m <1时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x <m 1－m .。

广东省广州市天河中学2017高考数学一轮复习双曲线02基础知识检测文

双曲线02基础热身1．下列双曲线中，离心率为62的是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 26＝1 C ．－x 22＋y 24＝1 D ．－x 22＋y 26＝12．双曲线x 2m －y 23m＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是( )A ．1B ．－1C ．－105 D.1053．若k ∈R ，则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k ＋2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线x 25－y 24＝1的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是________．能力提升5．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝16．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋127．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．08．双曲线x 216－y 29＝1上到定点(5,0)的距离是9的点的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．49．双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程是________．10．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，e 1＝(2,1)、e 2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是________．11．已知点P 为双曲线x 2－y 28＝1的右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝SIPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为________．12．(13分)点M (x ，y )到定点F (5,0)距离和它到定直线l ：x ＝95的距离的比是53.(1)求点M 的轨迹方程；(2)设(1)中所求方程为C ，在C 上求点P ，使|OP |＝34(O 为坐标系原点)．难点突破13．(12分)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0)． (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程．答案解析【基础热身】1．C [解析] 计算知，选项C 正确，故选C.2．B [解析] 由焦点坐标知，焦点在y 轴上，m <0，∴双曲线的标准方程为y 2－3m －1－m＝1，∴－m －3m ＝4，∴m ＝－1.3．A [解析] 当k >5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k >5或k <－2.故选A.4.x 29＋y 24＝1 [解析] 由题意可知，双曲线x 25－y 24＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)、(5，0)．设椭圆C 的方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝3，c ＝5，b ＝2，所以椭圆C的方程为x 29＋y 24＝1.【能力提升】5．B [解析] 椭圆的焦点坐标为(±3，0)，四个选项中，只有x 22－y 2＝1的焦点为(±3，0)，且经过点P (2,1)．故选B.6．D [解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，设F (c,0)，B (0，b )，直线FB 的斜率为－bc，与其垂直的渐近线的斜率为b a ，所以有－b 2ac ＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，两边同时除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52. 7．A [解析] 由已知可得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设点P 的坐标为(x ，y )，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－x －2＋y 2，因为x 2－y 23＝1(x ≥1)，所以PA 1→·PF 2→＝4x 2－x －5，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→有最小值－2.故选A.8．C [解析] (5,0)是双曲线的右焦点，它到双曲线左顶点的距离为9，所以以(5,0)为圆心，以9为半径作圆，该圆与双曲线的右支有两个交点，所以共有3个这样的点．9．y ＝±63x [解析] 双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程为2x ±3y ＝0，即y ＝±63x .10．4ab ＝1 [解析] 易知双曲线Γ的方程为x 24－y 2＝1，设P (x 0，y 0)，又e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，由OP →＝a e 1＋b e 2，得(x 0，y 0)＝a (2，1)＋b (2，－1)，即(x 0，y 0)＝(2a ＋2b ，a －b )， ∴x 0＝2a ＋2b ，y 0＝a －b ，代入x 24－y 2＝1整理得4ab ＝1.11.13[解析] I 为△PF 1F 2的内心，所以其到三角形三边的距离d 相等．由S △IPF 1＝SIPF 2＋λS △IF 1F 2，得12|PF 1|·d ＝12|PF 2|·d ＋12λ|F 1F 2|·d ，即|PF 1|－|PF 2|＝λ×2c ，得2＝λ×2×3，λ＝13. 12．[解答] (1)|MF |＝x －2＋y 2，点M 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －95，依题意，有x －2＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －95＝53，去分母，得3x －2＋y 2＝|5x －9|，平方整理得x 29－y 216＝1，即为点M 的轨迹方程．(2)设点P 坐标为P (x ，y )，由|OP |＝34得x 2＋y 2＝34，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29－y 216＝1，x 2＋y 2＝34，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－4或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－4，∴点P 为(32，4)或(－32，－4)或(－32，4)或(32，－4)．【难点突破】13．[解答] (1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则有e ＝ca＝2，c ＝2，所以a ＝1，则b ＝3，所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)因为直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0)，所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)，令x ＝0，得M (0,2k )，因为|MQ →|＝2|QF →|且M 、Q 、F 共线于l ，所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →.当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，所以Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23k ，因为Q 在双曲线x 2－y 23＝1上，所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212，所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)，当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得，16－4k 23＝1，所以k ＝±352，所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2)．综上：所求的直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)．。

广东省广州市天河中学2017高考数学一轮复习两角和与差的正弦、余弦、正切基础知识检测文

两角和与差的正弦、余弦、正切基础热身1．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53B ．－19 C.19 D.532．已知cos α＝35，0<α<π，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.15 B ．－1 C.17 D ．－73．若(sin θ＋cos θ)2＝3x ＋3－x，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan θ＝( )A ．1 B.33C. 3D. 24．已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2, 则tan x tan2x 的值为________．能力提升5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形6．函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2是( ) A ．最小正周期是π的偶函数 B ．最小正周期是π的奇函数 C ．最小正周期是2π的偶函数 D ．最小正周期是2π的奇函数7．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.798．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为( )A.12B.32C.34 D ．19．在△ABD 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，则tan C 的值是( )A ．－1B ．1 C. 3 D ．－210．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________.11．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝35，则tan 2x 等于________．12．函数y ＝sin x 1＋cos x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π上的最小值是________．13．已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，则tan Atan B＝________.14．(10分)已知函数f (x )＝2sin 13x －π6，x ∈R .(1)求f (0)的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．15．(13分)[2011·绵阳一诊] 在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．(1)求B 的值；(2)求2sin 2A ＋cos(A －C )的范围．难点突破16．(12分)已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小．答案解析【基础热身】1．B [解析] ∵sin α＝23，∴cos ()π－2α＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝－19.2．D [解析] 由cos α＝35，0<α<π，得sin α＝45，tan α＝43，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－7.故选D.3．A [解析] (sin θ＋cos θ)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π42＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤2，而3x ＋3－x≥2，又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＋cos θ＝2，所以θ＝π4，所以tan θ＝1.故选A.4.49 [解析] 因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，所以tan x ＝13，tan2x ＝2×131－19＝2389＝34，即tan x tan2x ＝49.【能力提升】5．C [解析] ∵在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .6．A [解析] y ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin 2x ＝1－cos2x 2，最小正周期是T ＝2π|2|＝π，且是偶函数，故选A.7．A 【解析】 sin2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ.由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，代入得sin2θ＝－79，故选A.8．B [解析] 将sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12两式平方后相加得cos(α－β)＝32. 9．A [解析] 由cos B ＝31010，得sin B ＝1010，所以tan B ＝13，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－1.故选A.10．－2π3[解析] 根据已知tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，由于tan α，tan β均为负值，故－π<α＋β<0，所以α＋β＝－2π3.11．4 [解析] 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－cos2x ⇒cos2x ＝－35，tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝1－cos2x 1＋cos2x ＝4.12．1 [解析] y ＝2sin x 2cosx22cos2x 2＝tan x 2，x 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2，∵y ＝tan x 2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π上单调递增，∴x ＝π2时，y min ＝1. 13．2 [解析] ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，sin A cos B －cos A sin B ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25，cos A sin B ＝15，所以tan A tan B ＝sin A cos B cos A sin B＝2.14．[解答] (1)f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－2sin π6＝－1.(2)∵1013＝f 3α＋π2＝2sin 13×3α＋π2－π6＝2sin α，65＝f (3β＋2π)＝2sin 13×(3β＋2π)－π6＝ 2sin β＋π2＝2cos β，∴sin α＝513，cos β＝35，又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×35＋1213×45＝6365.15．[解答] (1)由题意知，2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ， ∴2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，又∵sin B ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.(2)2sin 2A ＋cos(A －C )＝2sin 2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －23π＋A ＝2sin 2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －23π＝1－cos2A －12cos2A ＋32sin2A＝1＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2A －32cos2A ＝1＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3.∵0<A <23π，－π3<2A －π3<π，∴－32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3≤1. ∴2sin 2A ＋cos(A －C )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1＋3.【难点突破】16．[解答] 方法一：由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0.所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin B (sin A －cos A )＝0.因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，从而cos A ＝sin A .由A ∈(0，π)知，A ＝π4，从而B ＋C ＝3π4.由sin B ＋cos2C ＝0得sin B ＋cos2⎝⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝0，即sin B －sin2B ＝0.即sin B －2sin B cos B ＝0，由此得cos B ＝12，B ＝π3.所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12.方法二：由sin B ＋cos2C ＝0得sin B ＝－cos2C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2C .因为0<B ，C <π，所以B ＝3π2－2C 或B ＝2C －π2.即B ＋2C ＝3π2或2C －B ＝π2.由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0. 所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0. 即sin B (sin A －cos A )＝0.因为sin B ≠0，所以cos A ＝sin A .由A ∈(0，π)，知A ＝π4.从而B ＋C ＝34π，知B ＋2C ＝3π2不合要求．再由2C －B ＝12π，得B ＝π3，C ＝5π12.所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12.。

广东广州市天河中学2017高考数学一轮复习函数的奇偶性和周期性02基础知识检测文

函数的奇偶性与周期性02基础热身1．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x )2．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图像( ) A ．关于点(1,0)对称 B ．关于点(0,1)对称C ．关于点(－1,0)对称D ．关于点(0，－1)对称 3．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．能力提升5．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①f (|x |)为偶函数；②f (x )＋f (－x )为非奇非偶函数；③f (x )－f (－x )为奇函数；④[f (x )]2为偶函数．其中正确判断的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)＞0}＝( ) A ．{x |x ＜－2或x ＞4} B ．{x |x ＜0或x ＞4} C ．{x |x ＜0或x ＞6} D ．{x |x ＜－2或x ＞2}7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2009)＋f (2011)的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算8．已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0恒成立，设a ＝f －12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a 0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．12．(13分)设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数(a ，b ，c 都是整数)，且f (1)＝2，f (2)<3，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．(1) 求a ，b ，c 的值；(2)当x <0时，f (x )的单调性如何？证明你的结论．难点突破13．(12分)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①任意x ，y ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )>0，且f (2)＝1.(1)试判断函数f (x )的奇偶性；(2) 判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(3) 求函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集．答案解析【基础热身】1．D [解析] 因为函数f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x .又因为f (x )＋g (x )＝e x，所以g (x )＝e x －e －x 2.2．B [解析] 令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，则g (x )为奇函数，所以g (x )的图像关于原点(0,0)对称，当x ＝0时，有f (0)－1＝0，此时f (0)＝1，所以对称中心为(0,1)．3．B [解析] 由f (－x )＝f (x )可知函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，可以结合选项排除A 、C ，再利用f (x ＋2)＝f (x )，可知函数为周期函数，且T ＝2，必满足f (4)＝f (2)，排除D ，故只能选B.4．－1 [解析] 设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x为奇函数．又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.【能力提升】5．B [解析] 对于①，用－x 代替x ，得f (|－x |)＝f (|x |)，所以①正确；对于②，用－x 代替x ，得f (－x )＋f (x )＝f (x )＋f (－x )，所以②错误；对于③，用－x 代替x ，得f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]，所以③正确；易知④错误．6．B [解析] ∵f (x )＝2x－4(x ≥0)，∴令f (x )＞0，得x ＞2.又f (x )为偶函数且f (x －2)＞0，∴f (|x －2|)＞0，∴|x －2|＞2，解得x ＞4或x ＜0，∴{x |x ＜0或x ＞4}．7．C [解析] 由题意得g (－x )＝f (－x －1)，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )的周期为4，∴f (2009)＝f (1)，f (2011)＝f (3)＝f (－1)，又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0，∴f (2009)＋f (2011)＝0.8．A [解析] ∵f (x ＋1)是偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， ∴x 2－x 1>0时，f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (2)， ∴c >a >b .即b <a <c . 9．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4) [解析] 通过f (x )(x ∈R )图像的草图得知函数f (x )(x ∈R )在(－∞，－4)，(－1,1)，(4，＋∞)上都为正，在(－4，－1)，(1,4)上为负，故不等式xf (x )<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．10．2 8 [解析] 由题意得f (x ＋a )＝(x ＋a )2－4(x ＋a )＋3＝x 2＋(2a －4)x ＋a 2－4a ＋3，因为f (x ＋a )为偶函数，所以2a －4＝0，a ＝2.f [f (a )]＝f [f (2)]＝f (－1)＝8.11．－8 [解析] ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4，∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数，∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－8.12．[解答] (1)由f (1)＝2，得a ＋1b ＋c ＝2，由f (2)<3，得4a ＋12b ＋c<3.∵函数f (x )是奇函数，∴函数f (x )的定义域关于原点对称．又函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠－cb ，则－c b ＝0，∴c ＝0，于是得f (x )＝ax b ＋1bx ，且a ＋1b ＝2，4a ＋12b <3，∴8b －32b <3，即0<b <32.又b ∈Z ，∴b ＝1，则a ＝1.a ＝1，b ＝1，c ＝0符合f (x )在(1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知f (x )＝x ＋1x.已知函数f (x )是奇函数，且在(1，＋∞)上单调递增，根据奇函数的对称性，可知f (x )在(－∞，－1)上单调递增；以下讨论f (x )在区间[－1,0)上的单调性．当－1≤x 1<x 2<0时，f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2，显然x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1,1－1x 1x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴函数f (x )在[－1,0)上为减函数．综上所述，函数f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数．【难点突破】13．[解答] (1)令x ＝y ＝1，则f (1×1)＝f (1)＋f (1)，得f (1)＝0；再令x ＝y ＝－1，则f [(－1)·(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，得f (－1)＝0.对于条件f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )＋f (－1)，所以f (－x )＝f (x )．又函数f (x )的定义域关于原点对称，所以函数f (x )为偶函数．(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则有x 2x 1>1.又∵当x >1时，f (x )>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0.又f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>f (x 1)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)∵f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)，又f (2)＝1，∴f (4)＝2.又由(1)(2)知函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f (4)＝f (－4)＝2.(4)∵f (3x －2)＋f (x )＝f [x (3x －2)]，4＝2＋2＝f (4)＋f (4)＝f (16)，∴原不等式等价于f [x (3x －2)]≥f (16)．又函数f (x )为偶函数，且函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又等价于|x (3x －2)|≥16，即x (3x －2)≥16或x (3x －2)≤－16，解得x ≤－2或x ≥83，∴不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－2或x ≥83.。

广东广州市天河中学2017高考数学一轮复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理基础知识检测理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础热身1．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有( )A．30个 B．42个C．36个 D．35个2．在“庆国庆、展才艺”国庆庆祝活动中，甲、乙、丙三位同学欲报名“朗诵比赛”、“歌唱比赛”，但学校规定每位同学限报其中的一个，且乙知道自已唱歌不如甲，若甲报唱歌，则乙就报朗诵，则他们三人不同的报名方法有( )A．3种 B．6种C．7种 D．8种3．记4名同学报名参加学校三个不同体育队，每人限报一队的不同报法种数为A；记3个班分别从5个风景点中选择一处游览的不同选法种数为B，则A，B分别是( ) A．43,53 B．34,35C．34,53 D．43,354．设A，B是两个非空集合，定义A*B＝{(a，b)|a∈A，b∈B}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3,4}，则P*Q中元素的个数是( )A．4 B．7C．12 D．16能力提升5．如图K57－1，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A．72种 B．48种C．24种 D．12种6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A．6种 B．12种C．24种 D．30种7．从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是( )A．36 B．48 C．52 D．548．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为( )A．80 B．120C．140 D．509．若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“良数”．例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生进位现象．那么小于1000的“良数”的个数为( )A．27 B．36C．39 D．4810．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有________种行车路线．11．将1,2,3，…，9这9个数字填在如图K57－2所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数有________种.12．学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法有________种(用数字作答)．13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图K57－3中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相14．(10分)有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．15．(13分)某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法？难点突破16．(1)(6分)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) A．56 B．65C.5×6×5×4×3×22D．6×5×4×3×2(2)(6分)如图K57－4所示，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( )A．288种 B．264种C．240种 D．168种答案解析【基础热身】1．C [解析] b有6种取法，a也有6种取法，由分步乘法计数原理共可以组成6×6＝36个虚数．2．B [解析] 从甲着手分析，分两类：若甲报唱歌，乙则报朗诵，丙可任选，有2种报名方法；若甲报朗诵，则乙、丙均可任选，有2×2＝4(种)报名方法．所以共有2＋4＝6(种)不同的报名方法．3．C [解析] 4名学生参加3个运动队，每人限报一个，可以报同一运动队，应该是人选运动队，所以不同的报法种数是34，故A＝34；3个班分别从5个风景点中选择一处游览，应该是班选风景点，故不同的选法种数是53，故B＝53.4．C [解析] 由分步乘法计数原理知有3×4＝12个．【能力提升】5．A [解析] 先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72种．6．C [解析] 方法1：两人各选修2门的种数为C24C24＝36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为C24＝6，故恰好有1门相同的选法有24种．方法2：恰有1门相同，先从4门选1门，选法C14，然后甲从剩下的3门选1门，乙再从甲选后剩下的2门中选1门，根据乘法原理共有选法4×3×2＝24种．7．B [解析] 若取出的数字含有0，则是2×A23＝12个，若取出的数字不含0，则是C12C23 A33＝36个．根据加法原理得总数为48个．8．A [解析] 分两类：若甲组2人，则乙、丙两组的方法数是C13A22，此时的方法数是C25C13 A22＝60；若甲组3人，则方法数是C35A22＝20.根据分类加法计数原理得总的方法数是60＋20＝80.9．D [解析] 一位良数有0,1,2，共3个；两位数的良数十位数可以是1,2,3，两位数的良数有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9个；三位数的良数有百位为1,2,3，十位数为0的，个位可以是0,1,2，共3×3＝9个，百位为1,2,3，十位不是零时，十位个位可以是两位良数，共有3×9＝27个．根据分类加法计数原理，共有48个小于1000的良数．10．12 [解析] 由分步乘法计数原理有4×3＝12.11．6 [解析] 左上方只能填1，右下方只能填9，此时4的上方只能填2.右上方填5时，其下方填6,7,8；右上方填6时，其下方填7,8；右上方填7时，其下方只能填8，此时左下方的两个格填法随之确定．故只能有3＋2＋1＝6种填法．12．144 [解析] 有两名教师要值班两天，把六天分为四份，两个两天连排的是(1,2)，(3,4)；(1,2)，(4,5)；(1,2)，(5,6)；(2,3)，(4,5)；(2,3)，(5,6)；(3,4)，(5,6)，共六种情况，把四名教师进行全排列，有A44＝24种情况，根据分步乘法计数原理，共有不同的排法6×24＝144种．13．108 [解析] 分步求解．只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可，若3与1,5,9同色，则2,6的涂法为2×2，若3与1,5,9不同色，则3有两种涂法，2,6只有一种涂法，同理涂4,7,8，即涂法总数是C13(2×2＋C12×1)×(2×2＋C12×1)＝3×6×6＝108.14．[解答] (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步计数原理知共有方法36＝729种．(2)每项限报一人，且每人至多限报一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步计数原理得共有报名方法6×5×4＝120种．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理得共有不同的报名方法63＝216种．15．[解答] 首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1＝3种选法．第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2＝12种选法．再由分类计数原理知共有6＋12＝18种选法．第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3＋18＋16＝37种选法．【难点突破】16．(1)A (2)B [解析] (1)因为每位同学均有5种讲座可选择，所以6位同学共有5×5×5×5×5×5＝56种选择，故本题选A.(2)分三类：①B、D、E、F用四种颜色，则有A44×1×1＝24种方法；②B、D、E、F用三种颜色，则有A34×2×2＋A34×2×1×2＝192种方法；③B、D、E、F用两种颜色，则有A24×2×2＝48，所以共有不同的涂色方法24＋192＋48＝264种．。