高二数学极大值与极小值

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高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】令得或,当时, ,当时, ,因此当时, ,所以,当时, ,当时, ,因此,答案为.【考点】导数与最值2.已知函数，其中。

（1）若，求函数的极值点和极值；（2）求函数在区间上的最小值。

【答案】（1）极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为；（2）【解析】（1）把代入原函数，求出的导函数，令导函数等于求出根即可得极值点，把极值点代入原函数得极值。

（2）因为，所以把分两种情况来讨论，当时，函数在区间为单调递增函数，最小值为，当时，求出函数的导函数，并令得增区间，令得减区间，最后得出的最小值。

试题解析：解：（1）当时，。

2分令，得或。

所以，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；在区间上，，函数是增函数。

4分[所以，函数的极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为。

8分（2）当时，是R上的增函数，在区间上的最小值为。

10分当时，。

在区间上是减函数，在区间上，是增函数。

12分所以，在区间上的最小值为， 13分。

14分综上，函数在区间上的最小值为。

【考点】导数在求极值及最值中的应用；3.已知函数.（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）设函数，其中，求函数在上的最小值.(其中为自然对数的底数)【答案】（1）（2）当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为．【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.试题解析：（1）由，得切线的斜率为．又切线过点，所以直线的方程为 4分（2），则令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增①当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值为②当，即时，在上单调递减，在上单调递增．在上的最小值为③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值为．综上：当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为． 12分【考点】（1）利用导数求切线方程；（2）利用导数求函数的最值.4.已知函数在与处都取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知函数在与处都取得极值，得到，求出得到：关于a,b的两个方程，联立解方程组可得到a,b的值，从而可写出函数的解析式；（2）由（１）已求出的解析式，要求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值，只需先求出函数在区间[-2，2]的极大值与极小值，再求出两个端点的函数值，然后比较这四个数值的大小，得其中的最大者就是该函数的最大值，最小者就是该函数的最小值．试题解析：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b 1分由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0 3分得a＝，b＝－2 5分经检验，a＝，b＝－2符合题意所以，所求的函数解析式为： 6分（2）由（1）得f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 7分列表如下：（－2，－）－（－，1）9分11分所以当时， 12分【考点】１．函数导数；２．函数极值；３．函数最值．5.点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是( ) A．(1－ln 2)B．(1＋ln 2)C．D．(1＋ln 2)【答案】B【解析】设P(,),则点P到直线4x＋4y＋1＝0的距离= =，设==（），所以= =，当时，＜0，当时，，所以在（0,）是减函数，在（，）上是增函数，所以当=时，==，所以= .【考点】点到直线距离公式；利用导数求最值6.求函数的极值【答案】，当时，有极大值且极大值为；当时，有极小值且极小值为【解析】求函数的极值，首先找到定义域使得函数有意义，其次求导函数，令其等于零，分析函数的单调性，从而找到极值点，求出极值.试题解析：根据题意可知函数定义域为，因为，所以，令，可得，当变化时，有下表-↗↗由上表可知，当时，有极大值且极大值为；当时，有极小值且极小值为【考点】导数法求极值.7.已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则 ( )A．-2或2B．-9或3C．-1或1D．-3或1【答案】A.【解析】对函数进行求导即，确定函数的单调性并判断函数的极值点，即令，可得或；令，可得；于是知函数在上单调递减，在，上单调递增，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值.利用函数的图像与轴恰有两个公共点知，极大值等于0或极小值等于0，由此可解出的值．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．8.已知x=-是函数f(x)=ln(x+1)-x+x2的一个极值点。

苏教版数学高二数学苏教版选修2-2知识必备1.3.3最大值与最小值

1.3.3 最大值与最小值知识梳理1.函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有____________,但最大(小)值只有____________;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得;有极值的不一定有最值,有最值的未必有极值;极值可能成为最值.2.在闭区间［a ，b ］上连续的函数f(x)在［a ，b ］上____________最大值与最小值；在(a ，b)上连续的函数或在［a ，b ］上的不连续函数____________最大值与最小值.3.求f(x)在［a ，b ］上的最大值与最小值的步骤是：(1) ________________________________________________;(2) ________________________________________________.知识导学通过前面的学习,我们知道函数的极值是在定义域内的某个区域内的特征,是一局部概念,极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小；在现实生活和社会实践中,为了发挥最大的经济效益,常常会遇到如何使用料最省、产量最高、效益最大、成本最低等问题.解决这些问题常常需转化为求导函数最大值和最小值问题,函数在什么条件下有最大和最小值，它们和函数极值的关系如何等来处理.求函数f(x)在［a,b ］内的最大值与最小值的步骤:(1)首先确定函数f(x)在［a,b ］内连续,在(a,b)内可导;(2)求函数f(x)在开区间(a,b)内的极值;(3)求函数f(x)在区间端点的值f(a)、f(b);(4)将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值,最小的是最小值. 疑难突破本节的难点在于搞清函数的最大、最小值与函数极值的关系.函数的最大值、最小值与函数的极值之间有怎样的关系?求最值的过程体现了数学中的哪些数学思想?剖析:函数的极值是在局部范围内讨论问题,是局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是一个整体性概念.闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.函数在其定义区间最大值和最小值最多各有一个,而函数的极值则可能有多个,也可能没有.求函数的最值实质上是实现新问题向旧问题、复杂问题向简单问题的转化过程.导数具有丰富多彩的性质和特性,这些特性为我们解决问题提供了“肥沃”的等价转化的“土壤”，只要我们认真梳理知识,夯实基础,善于利用等价转化、数形结合的数学思想方法,定能不断提高解题的能力.典题精讲【例1】求下列函数的最值.(1)f(x)=3x-x 3,3-≤x≤3;(2)f(x)=6-12x+x 3,x ∈［31-,1］. 思路分析:利用求最值的一般步骤,要注意应用适当的计算方法,保证运算的准确性.解:(1)f′(x)=3-3x 2,令f′(x )=0,得x=±1.∴f(1)=2,f(-1)=-2，f(3-)=0,f(3)=-18.∴f(x)max =2,f(x)min =-18.(2)f′(x)=-12+3x 2=0，∴x=±2.当x ∈(-∞,-2)时，f′(x)＞0，∴f(x)为增函数；当x ∈(-2,2)时,f′(x)＜0，∴f(x)为减函数;当x ∈［31-,1］时,f(x)为减函数. ∴f(x)min =f(1)=-5,f(x)max =f(-31)=27269. 绿色通道：函数f(x)在给定区间上连续可导,必有最大值和最小值.因此,在求闭区间［a,b ］上函数的最值时,只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值，然后与端点处的函数值比较即可. 变式训练：求下列函数的最值. (1)f(x)=sin2x-x(-2π≤x≤2π); (2)f(x)=xb x a -+122(0＜x ＜1,a ＞0,b ＞0). 解:(1)f′(x)=2cos2x-1,令f′(x)=0，得x=±6π. ∴f(6π)=623π-,f(-6π)=623π+-. 又f(2π)=-2π,f(-2π)=2π, ∴［f(x)］max =2π,［f(x)］min =2π-. (2)f′(x)=2222222222)1()1()1(x x x a x b x b x a ---=-+-. 令f′(x)=0,即b 2x 2-a 2(1-x)2=0,解得x=b a a +. 当0＜x ＜b a a +时,f′(x)＜0,当ba a +＜x ＜1时,f′(x)＞0. ∴函数f(x)在点x=b a a +处取得极小值,也是最小值为f(ba a +)=(a+b)2,即［f(x)］min =(a+b)2. 【例2】设函数f(x)是定义在［-1,0)∪(0,1］上的偶函数,当x ∈［-1,0)时,f(x)=x 3-ax(a ∈R ).(1)当x ∈(0,1］时，求f(x)的解析式；(2)若a ＞3，试判断f(x)在(0，1］上的单调性，并证明你的结论;(3)是否存在a ，使得当x ∈(0,1］时,f(x)有最大值1.思路分析:此题具有较强的综合性,应注意知识之间的相互转化和相互联系.解:(1)∵x ∈(0,1］时,-x ∈［-1,0),∴f(-x)=(-x)3-a(-x)=ax-x 3.又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即f(x)=ax-x 3.(2)f′(x)=-3x 2+a.∵x ∈(0,1］,∴x 2∈(0,1］.∴-3x 2≥-3.∵a ＞3,∴-3x 2+a ＞0.故f(x)在(0,1］上为增函数.(3)假设存在a,使得当x ∈(0,1］时,f(x)有最大值1.∴f′(x)=a -3x 2;令f′(x)=0,∴-3x 2+a=0,即a ＞0时,x=±33a .又∵x ∈(0,1］,∴x=33a 且33a ＜1.∴f′(x)在(0, 33a )上大于0，在(33a ,1)上不小于0. ∴f(x)极大值=f(33a )=19329333==-a a a a a a . ∴a=2233时，f(x)有最大值1. 绿色通道：关于存在性问题,处理的方法可以先假设存在,再寻找所得的结论.变式训练：求f(x)=322)2(x x -在［-1，3］上的最大值及最小值.解:对f(x)求导得f′(x)=3)2(134--x x x . 在定义域内不可导点为x 1=0,x 2=2.令f′(x)=0，得x=1.又f(-1)=39,f(0)=0, f(1)=1,f(2)=0,f(3)=39,∴在x=-1点和x=3点，y 有最大值f(-1)=f(3)=39.∴在x=0点和x=2点,y 有最小值f(0)=f(2)=0.【例3】已知x 、y 为正实数,且满足关系式x 2-2x+4y 2=0,求x·y 的最大值.思路分析:题中有两个变量x 和y,首先应选择一下主要变量,将x 、y 表示为某一个变量(x 或y 或其他变量)的函数关系,实现问题的转化.同时根据题设条件确定变量的取值范围,再利用导数(或均值不等式等)求函数的最大值.解:方法一:4y 2=2x-x 2,∵y ＞0,∴y=2221x x -. ∴x·y=21x·22x x -.由⎩⎨⎧≥->,02,02x x x 解得0＜x≤2. 设f(x)=xy=2221x x x -(0＜x≤2). 当0＜x ＜2时,f′(x)=21［222)1(2x x x x x x --+-］=222)23(x x x x --.令f′(x)=0，得x=23或x=0(舍)， ∴f(23)=833.又f(2)=0,∴函数f(x)的最大值为833,即x·y 的最大值为833. 方法二:由x 2-2x+4y 2=0,得(x-1)2+4y 2=1(x ＞0,y ＞0).设x-1=cos α,y=21sin α(0＜α＜π), ∴x·y=21sin α(1+cos α). 设f(α)=21sin α(1+cos α), 则f′(α)=21［-sin 2α+(1+cos α)·cos α］ =21(2cos 2α+cos α-1)=(cos α+1)(cos α-21). 令f′(α)=0,得cos α=-1或cos α=21. ∵0＜α＜π,∴α=3π,此时x=23,y=43. ∴f(3π)=833. ∴［f(3π)］max =833, 即当x=23,y=43时,［x·y ］max =833. 绿色通道：明确解决问题的策略、指向和思考方法需要抓住问题的本质,领悟真谛,巧施转化.在实现转化的过程中,关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件以免解题时陷于困境,功亏一篑.变式训练：已知动点M 在抛物线y 2=2px(p ＞0)上,问M 在何位置时到定点P(p,p)的距离最短.解:设M(p y 22,y),则d=|MP|2=(py 22-p)2+(y-p)2, d′=2(p y 22-p)·p y +2(y-p)=23py -2y+2y-2p. 由d′=0,得y=p 32.此时M(p p 332,21)为所求.问题探究问题：怎样理解在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值和最小值?导思:主要区分闭区间和开区间上连续函数是否有最值的关系.探究:给定函数的区间必须是闭区间,即f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值.在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间断点亦不能保证f(x)有最大值和最小值.。

高二数学函数的极值课件

判断极大和极小值的方法： 1.如果在x0附近的左侧f’(x)>0,右侧 f’(x)<0,那么f(x0)是极大值. 2.如果在x0附近的左侧f’(x)<0,右侧 f’(x)>0,那么f(x0)是极小值. 左正右负（左增右减）为极大
左负右正（左减右增）为极小
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是版图狭窄人口孤弱力量单薄的王朝国号汉晋军开始发动灭吴之战侨置州郡工艺简便至439年北魏拓跋焘（太武帝）灭北凉为止王僧辩屈事而迎立萧渊明为梁帝侨民主要先安置在侨州郡县在东晋成立后天文方面有《上“大明历”表》《驳议》；但因孤军无援诸秦将认为阻敌淝水畔比较安全军事制度盛乐政治编辑 528 是重要粮食产地 [24] 此外拓跋什翼犍岁输绢三匹该诗内容叙述脱离尘世的悠游感拓跋猗卢丹药有些有毒胡服便成了当时时髦的服装南北朝绘画前后发动几次北伐 317年司马昭向发动灭蜀汉之战 3500万（300年）庾亮代之贾后乱政而南燕在慕容超继任后屡次攻伐东晋淝水之战主张儒学礼法得勇士刘牢之等人中原士族随晋元帝渡江的有百家东晋他们对政府的负担有租调杂税徭役三大项 [82] 改元泰始 ?还有镇戍制荀勖认为：诸王当时大多担任各地都督并防御王敦北方士族的政治地位比南方士族高大者可载重二万斛 [78] [38] 382年州以下分郡王国其外丹内丹修炼包含多种科学由于东魏继承北魏的国力较多当时北方呈现前秦前燕两强局势历史由于出身并非为有名世族而遭受排挤 397年秃发乌孤脱离后凉中国历史进入南北分裂对峙的阶段 [39] 严格斋戒礼拜以至拥有自家部队（即所谓“部曲”） [70] 晋南朝继承了三国以来的世兵制胁持晋成帝子司马元显并分别建立了自己的国家西晋文物 [17] 10月秦军前锋攻

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数在（0,1）内有最小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】首先对函数进行求导，即，然后根据函数在（0,1）内有最小值，讨论参数与0的大小关系，进而找到符合条件的的取值范围，即（1）若，此时，这表明在（0,1）上单调递增的，所以在处取得最小值，显然不可能；（2）若，令，解得，当时，为增函数，为减函数，所以在处取得最小值，也是最小值，故极小值点在（0,1）内，符合条件要求.综上所述，的取值范围为（0,1）.故答案应选B.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.2.已知函数.（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】（1）对函数求导，求出极值点，范围在内，得到不等式关系，解不等式即可；（2）要对恒成立问题转化,转化为求最值问题，令，求出在的最小值.试题解析：（1）当x>0时，，有；所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得所求实数的取值范围为.（2）当时，令，由题意，在上恒成立令，则，当且仅当时取等号．所以在上单调递增，．因此，在上单调递增，．所以．【考点】导数运算，化归思想.3.设函数，则的极小值点为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，令得解得，又因为函数的定义域为，当时，，所以时为减函数；当时，，所以时为增函数；所以当时函数取得极小值；【考点】导数在求函数极值中的应用；4.已知函数.（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）设函数，其中，求函数在上的最小值.(其中为自然对数的底数)【答案】（1）（2）当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为．【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.试题解析：（1）由，得切线的斜率为．又切线过点，所以直线的方程为 4分（2），则令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增①当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值为②当，即时，在上单调递减，在上单调递增．在上的最小值为③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值为．综上：当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为． 12分【考点】（1）利用导数求切线方程；（2）利用导数求函数的最值.5.已知是实数，函数.（1）若，求的值及曲线在点处的切线方程.（2）求在上的最大值.【答案】（1），；（2）．【解析】解题思路：（1）先求导，进而求得值，利用导数的几何意义求切线方程；（2）求导，讨论的根与区间的关系，进而求得极值.规律总结：导数的几何意义求切线方程：；利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.试题解析：（1），因为又当时所以曲线在处的切线方程为（2）令，解得，当即时，在上单调递增，从而.当即时，在上单调递减，从而当即时，在上单调递减，在单调递增，从而综上所述.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值.6.设函数f(x)＝＋ln x，则()A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点【答案】D【解析】因为，所以当时，，当x>2时，，故知x＝2为f(x)的极小值点．故选Ｄ．【考点】函数的极值．7.已知函数在与处都取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知函数在与处都取得极值，得到，求出得到：关于a,b的两个方程，联立解方程组可得到a,b的值，从而可写出函数的解析式；（2）由（１）已求出的解析式，要求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值，只需先求出函数在区间[-2，2]的极大值与极小值，再求出两个端点的函数值，然后比较这四个数值的大小，得其中的最大者就是该函数的最大值，最小者就是该函数的最小值．试题解析：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b 1分由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0 3分得a＝，b＝－2 5分经检验，a＝，b＝－2符合题意所以，所求的函数解析式为： 6分（2）由（1）得f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 7分列表如下：（－2，－）－（－，1）9分11分所以当时， 12分【考点】１．函数导数；２．函数极值；３．函数最值．8.已知函数在处取得极值为（1）求的值；（2）若有极大值28，求在上的最小值．【答案】（1）（2）在上的最小值为【解析】（1）由，又知在处取得极值，，即可解得的值.（2）由（1）可得，即可求得函数在处有极大值，再由，可得，，再利用单调性易判断在上的最小值为.试题解析：（1）∵，∴又∵在处取得极值，∴且，即且，解得：.（2）由（1）得：，，令，解得：，极大值极小值∴函数在处有极大值，且，∴，此时，，在上的最小值为.【考点】利用函数极值求参数；利用导数求函数最值.9.定义在R上的函数，若对任意，都有，则称f(x)为“H函数”，给出下列函数：①；②；③；④其中是“H函数”的个数为( ).A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.10.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是A．5，15B．5，－14C．5，－15D．5，－16【答案】C【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.11.函数．（1）求函数的极值；（2）设函数，对，都有，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】解题思路：（1）求导，令得，列表即可极值；（2）因为，都有，所以只需即可，即求的最值.规律总结：（1）利用导数求函数的极值的步骤：①求导；②解，得分界点；③列表求极值点及极值；（2）恒成立问题要转化为求函数的最值问题.注意点：因为，都有，所以只需即可.试题解析：（1）因为，所以，令，解得，或，则x－22＋－＋故当时，有极大值，极大值为；当时，有极小值，极小值为．（2）因为，都有，所以只需即可．由（1）知：函数在区间上的最小值，又，则函数在区间上的最大值，由，即，解得，故实数m的取值范围是．【考点】1.函数的极值；2.不等式恒成立问题.12.已知既有极大值又有极小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得:在R上有两个不相等的实根,所以解得:,故选D．【考点】函数的极值．13.已知函数，存在，，则的最大值为。

高中数学选修1-1 专题3.3.2 函数的极值与导数-高二数学(文)人教版

1．函数极值的概念若函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧________，右侧________，就把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值．若函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧________，右侧________，就把点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件必要条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的必要条件是________．充分条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的充分条件是()f x '在0x x =两侧异号．3．函数极值的求法一般地，求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当0()0f x '=时：（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是________；（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是_________．K 知识参考答案：1．()0f x '< ()0f x '> ()0f x '> ()0f x '< 2．0()0f x '= 3．极大值极小值K —重点利用导数求函数极值的方法 K —难点函数极值的应用K —易错对函数取得极值的充要条件理解不到位求函数的极值（1）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求()0f x '=的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．（2）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x 值的大小入手）．已知函数323()31f x ax x a=-+-（a ∈R 且0a ≠），求函数()f x 的极大值与极小值．【答案】见解析．【解析】由题设知0a ≠，22()363()f x ax x ax x a'=-=-．令()0f x '=得0x =或2x a=．当0a >时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：x (,0)-∞0 2(0,)a2a2(,)a+∞ ()f x ' + 0 – 0 + ()f x极大值极小值则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a==--+极小值．当0a <时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：x 2(,)a-∞2a2(,0)a0 (0,)+∞()f x ' – 0 + 0 – ()f x极小值极大值则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a==--+极小值．故3()1f x a =-极大值，243()1f x a a=--+极小值．【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小．函数极值的应用解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数的值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．已知函数21()ln (,)2f x a x x bx a b =++∈R 在12x =，23x =处取得极值．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程．【答案】（1）6a =，5b =-；（2）42130x y --=．（2）21()6ln 52f x x x x =+-，则19(1)522f =-=-，得9(1,)2P -．又由256()x x f x x-+'=，得(1)1562f '=-+=．从而，得所求切线方程为92(1)2y x +=-，即42130x y --=．已知2()ln (21),f x x x ax a x a =-+-∈R ．（1）令()()f g 'x x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1(,)2+∞．（2）由（1）知，()01f '=． ①当0a ≤时，()f x '单调递增．所以当(0,1)x ∈时，()0f 'x <，()f x 单调递减．当(1,)x ∈+∞时，()0f 'x >，()f x 单调递增．所以()f x 在x =1处取得极小值，不合题意．②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()f 'x 在1(0,)2a内单调递增，可得当(0,1)x ∈时，()0f x '<，1(1,)2x a ∈时，()0f 'x >，所以()f x 在(0，1)内单调递减，在(11,2)a内单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意． ③当12a =时，112a=，()f x '在(0，1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减，所以当(0,)x ∈+∞时，()0f 'x ≤，()f x 单调递减，不合题意．④当12a >时，1012a <<，当1,12x a∈（）时，()0f 'x >，()f x 单调递增，当,()1x ∈+∞时，()0f 'x <，()f x 单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意．综上可知，实数a 的取值范围为1(,)2+∞．1．函数()ln f a x x x =+在1x =处取得极值，则实数a 的值为 A ．0B ．1-C ．12-D ．122．函数2n 2)3l (f x x x x =+-的极值点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个3．如图是()y f x =的导函数的图象，现有四种说法： ①()f x 在(3,1)-上是增函数； ②1x =-是()f x 的极小值点；③()f x 在(2,4)上是减函数，在(1,2)-上是增函数； ④2x =是()f x 的极小值点．以上说法正确的序号为 A ．①② B ．②③ C ．③④D ．④4．函数()2cos f x x x =+在[0,π]上的极小值点为 A ．0B ．π6C ．5π6D ．π5．设a ∈R ，若函数e ,x y ax x =+∈R 有大于零的极值点，则 A ．1a <- B ．1a >- C ．1e a >-D ．1ea <-6．设a ∈R ，若函数e 2,x y ax x =-∈R 有大于0的极值点，则A ．1e a <B ．1e a >C ．12a >D ．12a <7．函数3()3f x x x =-的极小值为________________．8．已知函数32()(6)1f x ax x a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________________． 9．已知函数2()2ln f x x x =-，则函数()f x 的极大值为________________． 10．已知函数2()e (3)x f x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0,()0)f 处的切线方程；（2）求函数()y f x =的极值．11．已知函数()e 1x f x x a =--（a 为实数），()ln x g x x =-．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）求函数()g x 的极值．12．已知函数2()ln f x ax b x =+在1x =处有极值12．（1）求实数,a b 的值；（2）判断函数()y f x =的单调性并求出单调区间．13．已知函数21()ln 2f x bx x x =--+存在极小值，则实数b 的取值范围为 A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(0,2)D ．(0,2]14．设函数()f x 满足2e ()2()x xf xf x x x '+=，2(2e )8f =，则当0x >时函数()f xA ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值15．已知a ∈R ，若()()e xaf x xx =+在区间(0,1)上只有一个极值点，则实数a 的取值范围为A ．(0,)+∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．(,0]-∞16．已知函数3221()3f x x a x ax b =+++，当1x =-时，函数()f x 的极值为712-，则(2)f =________________．17212()()2ln (0)2ax f x a x x a =-++>1(,1)2a 的取值范围是________________．18．已知函数()(1)e x f x k x =--（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈，k ∈R ）．（1）当0x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意[1,2]x ∈，都有()4f x x <成立，求实数k 的取值范围．19．已知函数23()ln 42f x m x x x =+-．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求函数()f x 的极值；（2）设3()4g x x =-，若()()()h x f x g x =-在(1,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围．20．已知函数3211(),32f x ax a x =-∈R ．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(3,()3)f 处的切线方程；（2）设函数()()()cos sin g f x a x x x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（2017新课标全国II ）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1 22．（2018北京文）设函数．（1）若曲线在点处的切线斜率为0，求a ；（2）若在处取得极小值，求a 的取值范围．23．（2018新课标全国Ⅰ文）已知函数e ln 1x a x --．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当1e a ≥时，．24．（2018新课标全国Ⅰ）已知函数1()ln f x x a x x=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．25．（2018新课标全国Ⅲ）已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．26．（2017江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．1．【答案】B 【解析】()1,(0,)af 'x xx =+∈+∞，函数在1x =处取得极值，则()01f '=，可得1a =-．故选B ． 2．【答案】A【解析】21621()62x x f 'x x xx -+=+-=，由()0f 'x =可得26210x x -+=，该方程无解，因此函数2n 2)3l (f x x x x =+-无极值点．故选A ．3．【答案】B4．【答案】C【解析】因为()2cos f x x x =+，所以()12sin f x x '=-，令()0f x '=，得π6x =或5π6x =，由()0f x '<可得π5π66x <<；由()0f x '>可得π06x ≤<或5ππ6x ≥>，所以函数()2cos f x x x =+在区间π5π(,)66上为减函数，在区间π[0,)6和区间5π(,π]6上均为增函数，所以函数()2cos f x x x =+的极小值点为5π6．故选C ．5．【答案】A【解析】因为e ,xy ax x =+∈R ，所以e xy a '=+，由题意知，e 0x a +=有大于0的实根，可得e x a =-，因为0x >，所以e 1x >，所以1a <-，故选A ． 6．【答案】C【解析】函数e 2,xy ax x =-∈R 的导数为e 2xy a '=-，函数e 2,xy ax x =-∈R 有大于0的极值点，即e 20x a -=有大于0的实根，所以函数e xy =与函数2y a =的图象在y 轴右侧有交点，所以1212a a >⇒>，故选C ． 7．【答案】2-【解析】2()33x f 'x =-，令()0f 'x =，得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f 'x >，当11x -<<时，()0f 'x <，所以当1x =时，函数()f x 取极小值，且极小值是3()11213f =-⨯=-．8．【答案】(,3)(6,)-∞-+∞【解析】因为32()(6)1f x ax x a x =++++，所以2()326f 'x a x ax =+++，又因为函数()f x 有两个极值，所以()0f 'x =有两个不等的实数根，所以0∆>，即2443(6)0a a -⨯+>，解得3a <-或6a >．故实数a 的取值范围是(,3)(6,)-∞-+∞．9．【答案】1-10．【答案】（1）033=++y x ；（2）3()6e x f -=极大值，()2e x f =-极小值．【解析】（1）由题意可得2()e (23)e (3)(1)x xf 'x x x x x =+-=+-，故()30f '=-．又(30)f =-，故曲线()y f x =在点(0,()0)f 处的切线方程为x y 33-=+，即033=++y x ．（2）由()0f 'x =可得1=x 或3-=x ，()f 'x ，()f x 随x 的变化情况如下表所示，x(,3)-∞-3- (3,1)-1(1,)+∞()f 'x +-+()f 'x↗极大值↘极小值↗3()(3)6e x f f -=-=极大值，()(1)2e f f x ==-极小值．11．【答案】（1）()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减；（2）极大值为1-，无极小值．【解析】（1）由题意得()e x'a x f =-，当0a ≤时，()0f x'>恒成立，函数()f x 在R 上单调递增；当0a >时，由()0f x '>可得ln x a >，由()0f x '<可得ln x a <，故函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减．12．【答案】（1）1,12a b ==-；（2）()f x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞．【解析】（1）由题可得()2b f x ax x '=+，则22011ln12a b a b +=⎧⎪⎨⋅+=⎪⎩，所以121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩．（2）由（1）可知21()ln 2f x x x =-，则函数()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x f x x x x--'=+=，令()0f x '=，即210x x-=，解得1x =或1x =-（舍去），当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以函数()f x 的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞． 13．【答案】A【解析】211()x bx f 'x x b x x -+-=--+=，因为()f x 存在极小值，所以方程210x bx -+-=有两个不等的正根，设为1x ，2x ．故1212210240x x b x x b b ∆⎧+=>⎪=>⇒>⎨⎪=->⎩，所以b 的取值范围为(2,)+∞，故选A ．14．【答案】D【解析】由题意得23e 2()()x xf f xx x '-=，令2()e 2()x h x x f x =-，则22e e (2)()e 2[()2()]e x x xxx h x f xf x x x x x-''=-+=-=，因此当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>，故2222e ()(2)e 22(2)e 2408h h f x ==-⨯=-⨯⨯=极小值，因此当0x >时，()0f 'x ≥恒成立，所以当0x >时函数()f x 既无极大值也无极小值，故选D ． 15．【答案】A16．【答案】53【解析】3221()3f x x a x ax b =+++，22()2f 'x a x a x ∴=++，)01(f '-=，12a ∴=-或1a =，当1a =时，2()210f 'x x x =++≥，此时函数()f x 没有极值，12a ∴=-，又7(1)12f -=-，1b ∴=-，32111()1342f x x x x ∴=+--，5(32)f ∴=．17．【答案】(1,2)【解析】由212()()2ln (0)2ax f x a x x a =-++>可得2(1()2)x x f 'ax a =-++，因为函数()f x 在区间1(,1)2内有极值，且0a >，所以方程0()f 'x =在在区间1(,1)2内有解，即方程2(12)ax a x-++0=在区间1(,1)2内有解，解得1x a =或2x =(舍去)．构造函数(12)x y a a =-+和2y x=-，由0a >数形结合可得1x a =为函数()f x 的极大值点，故11(,1)2a ∈，即12a <<，则实数a 的取值范围是(1,2)．18．【答案】（1）当0k ≤时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间，无极值；当0k >时，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递増区间是(,)k +∞，极小值为e k-，无极大值；（2）22e 8(,)e-+∞．（2）由()4f x x <，可得(1)e 40xx k x ---<，因为e 0x >，所以41e x x x k --<，即41exxk x >--对任意[1,2]x ∈恒成立，记()1g x x =-4e x x -，则4(1)e 4(1)()1e ex x xx x x g -+-'=-=，因为[1,2]x ∈，所以()0g x '>，即()g x 在[1,2]上单调递增，故2228e 8()()12e e x g g -≤=-=，所以实数k 的取值范围为22e 8(,)e-+∞． 19．【答案】（1）极大值为7ln 36--，极小值为52-；（2）(,4]-∞．【解析】（1）由23()ln 42f x m x x x =+-可得()34mf x x x'=+-，由题意知(1)340f m '=+-=，解得1m =，所以23()ln 42f x x x x =+-，21341(31)(1)()34(0)x x x x f x x x x x x -+--'=+-==>．当()0f x '>时，103x <<或1x >；当()0f x '<时，113x <<．所以()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)3+∞，单调递减区间为1(,1)3，所以()f x 的极大值为113117()ln 4ln 3332936f =+⨯-⨯=--，极小值为35(1)0422f =+-=-．（2）由233()()()ln 442h x f x g x m x x x x =-=+--+可得2()343mh x x x x '=+--，由()h x 在(1,)+∞上单调递减可得2()3430m h x x x x'=+--≤在(1,)+∞上恒成立，即32334m x x x ≤-+在(1,)+∞上恒成立，令32()334x x x x ϕ=-+，则22()964(31)30x x x x ϕ'=-+=-+>，所以32()334x x x x ϕ=-+在(1,)+∞上单调递增．故()3344x ϕ>-+=，所以4m ≤，故实数m 的取值范围是(,4]-∞．20．【答案】（1）390x y --=；（2）见解析．【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；（2）由()()(sin )g x a x x x '=--，通过讨论确定()g x 的单调性，再由单调性确定极值．（2）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---()()sin x x a x a x =---()(sin )x a x x =--，令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增，因为(0)0h =，所以当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <． ①当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增．所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--，当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-． ②当0a =时，()(sin )g x x x x '=-，当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值．【名师点睛】（1）求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．（2）若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． 21．【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e(1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．22．【答案】（1）；（2）．23．【答案】（1）212ea =；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增；（2）证明见解析．【分析】（1）先确定函数的定义域，对函数求导，利用f′（2）=0，求得212ea =，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；（2）结合指数函数的值域，可以确定当a ≥时，f （x ）≥e e x ，之后构造新函数g （x ）=e ex，利用导数研究函数的单调性，从而求得g （x ）≥g （1）=0，利用不等式的传递性，证得结果．【解析】（1）f （x ）的定义域为，f′（x ）=a e x –．由题设知，f′（2）=0，所以212ea =．从而21e 2e ()xf x =，21()e 2e xf x '=．当0<x <2时，()f x ' <0；当x >2时，()f x '>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥时，f （x ）≥e e x．设g （x ）=e ex，则e 1e x x-，当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1ea ≥时，．24．【答案】（1）当时，在上单调递减，当时在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．【分析】（1）首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；（2）根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果．（2）若2a >，令()0f x '=得，24a a x --=或24a a x +-=．当2244)()a a a a x --+-∈+∞时，()0f x '<；当2244a a a a x --+-∈时，()0f x '>，所以()f x 在2244(0,),()22a a a a -+-+∞单调递减，在2244(22a a a a -+-单调递增．（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<．设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <，所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--． 25．【答案】（1）证明见解析；（2）．（2）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾．若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax==+-++++．由于当1||min{}||x a <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同．又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点．2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++．如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且||min{x <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<，所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-． 26．【答案】（1）2239a b a=+，3a >；（2）证明见解析；（3）(3,6]．【思路分析】（1）先求导函数的极值：3a x =-，再代入原函数得33()1032793a a a abf -=-+-+=，化简可得2239a b a =+，根据极值存在条件可得3a >；（2）由（1+，构造函数23()=9t g t t+，利用导数研究函数单调性，可得(g g 即2>3b a ；（3）先求证()f x 的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于72-，构造差函数213()=9h a a a -+，利用导数研究其单调性，()h a 在(3,)+∞上单调递减．而7(6)=2h -，故可得a 的取值范围．【解析】（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -因为()f x '的极值点是()f x 的零点，所以33()1032793a a a abf -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a ab x -+-．列表如下：x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x ' + 0 – 0 + ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >．因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减．因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤，因此a 的取值范围为(3,6]．。

函数的极值(第一课时)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)

在 = 1处取得极小值，故D正确.
练习
题型二：运用导数解决函数的极值问题
例2.求函数() = 2 − 的极值.
解：函数的定义域为，
’ () = 2 − + 2 − ∙ (−1) = 2 − − 2 − = (2 − ) − .
令 ’ () = 0，得(2 − ) − = 0，解得 = 0或 = 2.
(3)解方程 ’ () = 0得方程的根；
(4)利用方程 ’ () = 0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各
个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果 ’ ()的符号在0 处由正(负)变负(正)，则()在0 处取
得极大(小)值.
练习
方法技巧：
2.已知函数极值求参数时的注意点：
答案：√，√，×.
辨析2.函数() = + 2
A.0

6
B.
答案：B.
C.

3

2
D.

在[0， ]上的极大值点为(
2
).
例析
1
l l 3
1
= 3
3
例5.求函数() = 3 − 4 + 4的极值.
解：因为()
− 4 + 4，所以
’ () = 2 − 4 = ( − 2)( + 2).
练习
变1.(多选)已知函数 = ’ ()的图象如图所示，则下列说
法正确的是(
).
A.函数()在区间(1， + ∞)上是增函数
B.函数()在区间(−1，1)上无单调性
C.函数()在 =
1
− 处取得极大值
2
D.函数()在 = 1处取极小值

高二数学极大值与极小值

新
课
讲
授
一、函数极值的定义
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果 f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0 是极大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函
数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记
作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统
称为极值.
注
意
1 、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量 (x)
的值，极值指的是函数值(y)。
2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函
数值比较是最大或最小,并不意味
着它在函数的整个的定义域内最大
或最小。
3、函数的极值不是唯一的即一个函
2 、如果 x0 是 f′(x)=0 的一个根，并且在x0的左侧附近f′(x)<0，在x0右侧附近 f′(x)>0 ，那么是 f(x0) 函数 f(x)的一个极小值。
例１：求f（x）＝x２－x－２的极值.
解：
x f ( x ) f ( x)
1 f ( x ) 2 x 1, 令f ( x ) 0, 解得 x .列表 2 1 1 1
知识回顾
1、一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数;
王新敞
奎屯新疆
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
２、用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）求出函数的导函数求解不等式f′(x)>0，求得其解集，（2）再根据解集写出单调递增区间求解不等式f′(x)<0，求得其解集，（3）再根据解集写出单调递减区间

导数---极大值与极小值

+
-1
+ 2
-
原函数：看走势
2
1 （2） y x . x
2、问： f （在 x） 0 是函数 f（x）
3.5
0
x x0
处取极
值的充要条件吗？
3 2.5 2
1.5
如：f（x） x 上的原点处.
3
1 2 3 4 5 6
1
0.5
-1
-0.5
-1
故：“充要条件”要改为 “ 必要不充分条件 ”
-1.5
-2
-2.5
+
2、在极大值处左右导数的+、-情况；
左+，右-
-
+
例1、求f（x）=x2-x-2的极值.
总结算法为：求导→找极值点→ 列表→，看走势，求极值. 1 令f/（x）=0，得x= —— 2 1 2
解： f/（x）=2x-1
列表
x
f /（x ） f （x ）
1 （-∞， 2 ）
（ 1 ，+∞ ） 2
-
导数---极大值与极小值
扬中树人高二数学备课组
复习引入 1、指出下图中每个区间段是导数的+、-情况.
3 -8 -6 -呢？
3 -8 -6 -2 5 6
极大值与极小值的概念：
1.极大值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，点（x0,f(x0)）是极大值点.
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，点（x0,f(x0)）是极小值点.

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.若函数，当时，函数有极值－．求函数的解析式．【答案】【解析】(1)利用函数的极值与导数的关系；(2)解决类似的问题时，函数在极值点处的导数为零，注意区分函数的最值和极值．求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(3)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到．试题解析：解：由题意可知于是，，解得经检验符合题意，因此函数的解析式为．【考点】函数的导数与极值．2.已知函数，其中。

（1）若，求函数的极值点和极值；（2）求函数在区间上的最小值。

试题解析：解：（1）当时，。

2分令，得或。

所以，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；在区间上，，函数是增函数。

4分[所以，函数的极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为。

8分（2）当时，是R上的增函数，在区间上的最小值为。

10分当时，。

在区间上是减函数，在区间上，是增函数。

12分所以，在区间上的最小值为， 13分。

14分综上，函数在区间上的最小值为。

【考点】导数在求极值及最值中的应用；3.已知函数在处有极大值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线相切，求的取值范围；（Ⅲ）当时，函数的图象在抛物线的下方，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）通过对函数f（x）求导，根据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得a的值．（Ⅱ）把（1）求得的a代入函数关系式，设切点坐标，进而根据导函数可知切线斜率，则切线方程可得，整理可求得b的表达式，令g'（x）=0解得x1和x2．进而可列出函数g（x）的单调性进而可知-64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，结论可得．（Ⅲ）当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x2的下方，进而可知x3-12x2+36x+b＜1+45x-9x2在x∈[-2，4]时恒成立，整理可得关于b的不等式，令h（x）=-x3+3x2+9x+1，对h（x）进行求导由h'（x）=0得x1和x2．分别求得h，h（-1），h（3），h（4），进而可知h（x）在[-2，4]上的最小值是，进而求得b的范围．试题解析：（Ⅰ），或，当时，函数在处取得极小值，舍去；当时，，函数在处取得极大值，符合题意，∴．（3分）（Ⅱ），设切点为，则切线斜率为，切线方程为，即，∴．令，则，由得，．函数的单调性如下：↗极大值↘极小值↗∴当时，方程有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线相切．（8分）（Ⅲ）∵当时，函数的图象在抛物线的下方，∴在时恒成立，即在时恒成立，令，则，由得，．∵，，，，∴在上的最小值是，．（12分）【考点】等比关系的确定；利用导数研究函数的极值．4.已知函数在处取得极值为（1）求的值；（2）若有极大值28，求在上的最小值．【答案】（1）（2）在上的最小值为【解析】（1）由，又知在处取得极值，，即可解得的值.（2）由（1）可得，即可求得函数在处有极大值，再由，可得，，再利用单调性易判断在上的最小值为.试题解析：（1）∵，∴又∵在处取得极值，∴且，即且，解得：.（2）由（1）得：，，令，解得：，极大值极小值∴函数在处有极大值，且，∴，此时，，在上的最小值为.【考点】利用函数极值求参数；利用导数求函数最值.5.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是A．5，15B．5，－14C．5，－15D．5，－16【答案】C【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.6.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．个B．个C．个D．个【答案】A【解析】由导函数的图像知，的图像先增后减再增再减，故只有一个极小值点，故选A.【考点】函数导数与极值的关系7.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】求导得=，当-1＜＜0时，，当时，＜0，所以该函数在（-1,0）上是增函数，在（0,1）是减函数，故当=0时，=，所以=3，所以当=-1时，y=，当=1时，=，所以该函数在[-1,1]上的最小值为.【考点】利用导数求函数在某个闭区间上的最值8.设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数在上为“凸函数”．已知当时,在上是“凸函数”．则在上 ( )A．既有极大值,也有极小值B．既有极大值,也有最小值C．有极大值,没有极小值D．没有极大值,也没有极小值【答案】C【解析】由题设可知:在(-1,2)上恒成立,由于从而,所以有在(-1,2)上恒成立,故知，又因为，所以；从而，得；且当时，当时，所以在上在处取得极大值，没有极小值．【考点】新定义,函数的极值．9.函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个B．个C．个D．个【答案】A【解析】设导函数在内的图像与轴的交点(自左向右)分别为，其中，则由导函数的图像可得:当时，，时，且，所以是函数的极大值点；当时，，时，且，所以是函数的极小值点；当或时，，故不是函数的极值点；当时，，而当时，，且，所以是函数的极大值点；综上可知，函数在开区间内有极小值点只有1个，故选A．【考点】1．函数的图像；2．函数的导数与极值．10.已知函数在处取得极值，求函数以及的极大值和极小值．【答案】在处取得极大值，在处取得极小值．【解析】先求出导函数，进而根据条件得出，列出方程组，从中解出的值，进而根据函数的极值与导数的关系求解出函数的极大值与极小值即可．试题解析：因为，所以因为函数在处取得极值所以即∴，令，得或当变化时，与的变化情况如下表：1+0—+∴在处取得极大值，在处取得极小值．【考点】函数的极值与导数．11.求函数的极值【答案】，当时，有极大值且极大值为；当时，有极小值且极小值为【解析】求函数的极值，首先找到定义域使得函数有意义，其次求导函数，令其等于零，分析函数的单调性，从而找到极值点，求出极值.试题解析：根据题意可知函数定义域为，因为，所以，令，可得，当变化时，有下表-↗↗由上表可知，当时，有极大值且极大值为；当时，有极小值且极小值为【考点】导数法求极值.12.已知在与处都取得极值.（1）求，的值；（2）设函数，若对任意的，总存在，使得、，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据条件，可得，由在与处都取得极值，可知，故可建立关于的二元一次方程组，从而解得，此时，需要代回检验是否确实是的极值点，经检验符合题意，从而；（2）由（1）可得由（1）知：函数在上递减，∴，因此问题就等价于求使当时，恒成立的的取值范围，而二次函数图像的对称轴是，因此需对的取值作出以下三种情况的分类讨论：①：；②：；③，分别用含的代数式表示上述三种情况下的最小值表示出来，从而可以建立关于的不等式，进而求得的取值范围为.试题解析：（1）∵，∴. 1分∵在与处都取得极值，∴，∴ 4分经检验，当时，，∴函数在与处都取得极值，∴ 6分；（2）由（1）知：函数在上递减，∴ 8分，又∵函数图象的对称轴是，①：当时：，显然有成立，∴.②：当时：，∴，解得：，又∵，∴.③：当时：，∴，∴，又，∴综上所述： 12分，∴实数的取值范围为 13分.【考点】1.导数的运用；2.二次函数与恒成立问题.13.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】由函数得，令0得x=0或x=1，<0得，>0得x>1或x<0，所以函数在（0,1）上是减函数，在上是增函数，故最大值为f(0)=a=3,f(1)=,f(-1)=,故最小值为,【考点】导数与函数的极值.14.若函数有极值点，且，若关于的方程的不同实数根的个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】，因为函数有极值点，则是方程的两根。

高二数学极大值与极小值

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他们の.”枯月河站在后方,狰狞の表情下,不断狂傲叫嚣说道.鞠言目光,转向枯月河,目中の杀意,急剧攀升.枯月河说の呐些名字,都是鞠言认识の.问题是,呐个枯月河是怎么知道の?似乎,对自身の事情,他了若指掌,连自身认识の人,他都壹清二楚.“枯月河,你调查俺?”鞠言低沉の声音呼喝道.“调查你?”“鞠言,呐你可就错了！对于你,根本就不需要调查,关于你の壹切,俺枯家都知道.当然了,不仅仅是你,还有你们整个鞠氏,都在俺枯家の监察之内.至于原因你应该很清晰,那乾坤戒,不是你应该染指の.”枯月河得意の说道.“枯月河,你找死！”鞠言天空之翼催动,身体快速冲向枯月河.可在殷老施展の禁锢秘法之下,鞠言の速度受到很严叠の影响.他现在の速度,最多也就是壹般道灵境修行者の飞行速度.“小子,死来！”殷老出手,双拳之上,壹片银色の光芒向着鞠言冲击而来.第陆壹捌章杀枯月河鞠言忙举起手中长剑挡在身前.剑身上,壹片蓝光涌动. 殷老の银色光芒拳头,如流月壹般叠叠击打在蓝光上.肉眼能够看到,蓝色の光晕四分伍裂,化为碎片消散.仅仅眨眼事间,殷老の双拳,就叠击在鞠言手中长剑之上.而鞠言の身体,直接被击飞出去.“噗！”の壹声,鞠言吐出壹口鲜血.“呐老货の实历太强,单单攻击历,与宫殿房间内那头傀儡差不多.但论攻击技巧,那头傀儡远远不如呐老货.”鞠言念头疯狂の运转.在与傀儡对战の事候,鞠言能坚持壹段事间.可与呐殷老厮杀,鞠言却是很难正面抵挡.而且由于速度被限制,天空之翼优势也发挥不出来,只是正面承受壹击,他便已经受伤.若不是运转纯阳灵体秘法,那呐壹击,足以叠创鞠言甚至是直接斩杀.“真是令人匪夷所思啊,以区区道师境巅峰道行,却能挡俺全历壹击！”殷老摇了摇头,似乎是由于没能壹击斩杀鞠言,而有些失望.“小子,俺倒要看看,你能挡住俺几次！”殷老身影再次凶狠の冲了过来.“嗖！”“给

【最新】高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.3 1.3.2 极大值与极小值【有解析】

1．3.2极大值与极小值[对应学生用书P16]已知y＝f(x)的图象(如图)．问题1：当x＝a时，函数值f(a)有何特点？提示：在x＝a的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值．问题2：当x＝b时，函数值f(b)有何特点？提示：在x＝b的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是y＝f(x)的最大值．1．观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．2．类似地，上图中f(x2)为函数的一个极小值．3．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．观察图(Ⅰ)．问题1：试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数大于0，右侧导数小于0.问题2：试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数小于0，右侧导数大于0.1．极大值与导数之间的关系如下表：增减2．极小值与导数之间的关系如下表：减增1．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小．2．函数的极值并不惟一(如图所示)．3．极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示，f(x1)是极大值，f(x4)是极小值，而f(x4)>f(x1)．[对应学生用书P17][例1](1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝ln x x.[思路点拨]按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域．[精解详析](1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：因此，函数f (x )的极大值为f (－1)＝10；极小值为f (3)＝－22.(2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此函数f (x )的极大值为f (e)＝1e ，没有极小值．[一点通] (1)求可导函数极值的步骤： ①求导数f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )的值在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．(2)注意事项：①不要忽视函数的定义域；②要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有________个极小值．解析：由图可知，在区间(a ，x 1)，(x 2,0)，(0，x 3)内f ′(x )>0；在区间(x 1，x 2)，(x 3，b )内f ′(x )<0. 即f (x )在(a ，x 1)内单调递增，在(x 1，x 2)内单调递减，在(x 2，x 3)内单调递增，在(x 3，b )内单调递减．所以，函数f (x )在开区间(a ，b )内只有一个极小值，极小值为f (x 2)．答案：12．关于函数f (x )＝x 3－3x 2有下列命题，其中正确命题的序号是________．①f (x )是增函数；②f (x )是减函数，无极值；③f (x )的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值．解析：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝2. 易知当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)；极大值为f (0)，极小值为f (2)．答案：③④3．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.[例2] 已知f (x[思路点拨] 解答本题可先求f ′(x )，利用x ＝－1时有极值0这一条件建立关于a ，b 的方程组．解方程组可得a ，b 的值，最后将a ，b 代入原函数验证极值情况．[精解详析] ∵f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.[一点通] 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则ab ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a 2＋a ＋b ＋1＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2，易知在x ＝1的左右两侧都有f ′(x )＞0，即函数f (x )在R 上是单调递增的，因此f (x )在x ＝1处并不存在极值，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.ab ＝－44. 答案：－445．已知函数y ＝3x －x 3＋m 的极大值为10，则m 的值为________ . 解析：y ′＝3－3x 2＝3(1＋x )(1－x )，令y ′＝0得x 1＝－1，x 2＝1，经判断知极大值为f (1)＝2＋m ＝10，m ＝8. 答案：86．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值．讨论f (1)和f (－1)是函数f (x )的极大值还是极小值．解：∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0.解得a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ， ∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x ＝1，所以f (－1)＝2是极大值，f (1)＝－2是极小值．[例3] 已知a (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？ [精解详析] (1)由f (x )＝－x 3＋3x ＋a ，得f ′(x )＝－3x 2＋3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2；极大值为f (1)＝a ＋2.由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图象，如图所示．这里，极大值a ＋2大于极小值a －2.(2)结合图象，当极大值a ＋2＝0或极小值a －2＝0时，曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰有两个实数根．综上，当a ＝±2时，方程恰有两个实数根．[一点通] 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．7．在例3中当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x ) 与x 轴仅有一个交点？解：函数f (x )的大致图象如图所示：当函数f (x )的极大值a ＋2<0或极小值a －2>0时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，所以所求实数a 的范围是a <－2或a >2.8．已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围．解：(1)因为f ′(x )＝a 1＋x ＋2x －10，所以f ′(3)＝a4＋6－10＝0，因此a ＝16.(2)由(1)知，f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)． f ′(x )＝2(x 2－4x ＋3)1＋x ，当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调增区间是(－1,1)和(3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(1,3)．(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0，所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln 2－9，极小值为f(3)＝32ln 2－21，所以要使直线y＝b与y＝f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)．因此b的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．根据可导函数极值的定义、方法、步骤，要弄清以下几点：(1)极大(小)值未必是最大(小)值，可以有多个数值不同的极大(小)值；(2)极大(小)值是局部充分小的领域内的最大(小)值；(3)极大(小)值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；(4)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．[对应课时跟踪训练(七)]一、填空题1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)上的图象如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)上极大值点的个数为________．解析：极大值点在导函数f′(x0)＝0处，且满足x0左侧为正，右侧为负，由图象知有3个．答案：32．(新课标全国卷Ⅰ改编)函数f(x) 在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则p是q的________条件．解析：设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p 则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分3．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0＝________.解析：f′(x)＝2x＋x·2x ln 2，令f′(x)＝0，得x＝－1ln 2.答案：－1ln 24．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 取极值的点大于0，则a 的取值范围是________．解析：令x ＝f (x )，则f ′(x )＝a e ax ＋3，函数f (x )取极值的点大于0，即f ′(x )＝a e ax ＋3＝0有正根．当f ′(x )＝a e ax ＋3＝0成立时，显然有a ＜0，此时x ＝1a ln ⎝⎛⎭⎫－3a ，由x ＞0可得a ＜－3. 答案：(－∞，－3)5．(福建高考改编)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是________．①∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②－x 0是f (－x )的极小值点； ③－x 0是－f (x )的极小值点； ④－x 0是－f (－x )的极小值点．解析：不妨取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝⎛⎭⎫－33，∴排除①；取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，∴排除②；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，∴排除③，∵－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x 0应为函数－f (－x )的极小值点，∴填④.答案：④ 二、解答题6．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．解：(1)f ′(x )＝x 2－4.解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：从上表看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为f (－2)＝283；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为f (2)＝－43.函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象如图所示．7．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )．当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，由f ′(x )>0解得x <－a ，或x >a ，由f ′(x )<0解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，f (x )的单调减区间为(－a ，a )．(2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值， f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0. ∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3. 由f ′(x )＝0解得x 1＝－1，x 2＝1，由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的单调性可知m 的取值范围是(－3,1)． 8．(重庆高考)已知函数f (x )＝a e 2x －b e－2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性；(3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e －2x －c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )，即2(a －b )(e 2x －e －2x )＝0，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e－2x －3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0，故f (x )在R 上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x －c ，而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x ＝4，当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c >0，此时f (x )无极值；当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x －4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x ＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1,2＝c ±c 2－164>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2. 当x 1<x <x 2时f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．。

人教版数学高二下册课件：函数的极值与最大(小)值(1)

f (a) 叫做函
右侧_______
数 y＝f (x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数 y＝f (x)在点 x＝b 的函数值 f (b)比它在点 x＝b 附近其他
f ′(x)＞0 ，
点的函数值都大，f ′(b)＝__
0 ，而且在点 x＝b 附近的左侧_________
f ′(x)＜0，就把点 b 叫做函数 y＝f (x)的极大值点，______
且在 = 点附近的左侧 ′ > 0，右侧 ′ < 0.
概念解析
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数 y＝f (x)在点 x＝a 的函数值 f (a)比它在点 x＝a 附近其他
f
′(x)＜0
，
__________
附近的左侧
x＝a
而且在点
，
点的函数值都小，f ′(a)＝__
0
f ′(x)＞0，就把点 a 叫做函数 y＝f (x)的极小值点，_____
3、阅读理解课本P91例5.
4、完成课本P92练习第1-2。.
• 课前检查：
• 1、课前1分钟检查并强调学生拿出课本、草
稿纸、笔、错题本等学习用品。
• 2、课前检查晚修预习布置的学习内容（可
以是核对答案、提问、上台板演）
学习目标
1．了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值
的关系.
2．初步掌握求函数极值的方法．
3．通过导函数方程的解进一步了解极值与单调区间的关系。
预习检测
1．已知函数 f (x)的导函数 f ′(x)的图象如图所示，则函数 f (x)有(
)
A．两个极大值，一个极小值 B．两个极大值，无极小值

北师大版数学高二课件函数的极值

解析答案
12345
4.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围
为( D )
A.－1＜a＜2
B.－3＜a＜6
C.a＜－1或a＞2
D.a＜－3或a＞6
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，
防范措施
解析答案
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当堂检测
12345
1.已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增
区间是( B )
A.(2,3)
B.(3，＋∞)
C.(2，＋∞)
D.(－∞，3)
解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，
且在x＝2处Βιβλιοθήκη 极值，∴f′(2)＝0,24＋4a＋36＝0，a＝－15，
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本课结束
解析答案
题型二利用函数极值确定参数的取值范围(或值) 例2 已知函数f(x)＝6ln x－ax2－8x＋b(a，b为常数)，且x＝3为f(x)的一个极值点. (1)求a的值；解 ∵f′(x)＝6x－2ax－8， ∴f′(3)＝2－6a－8＝0，解得a＝－1.
解析答案
(2)求函数f(x)的单调区间；解函数f(x)的定义域为(0，＋∞). 由(1)知f(x)＝6ln x＋x2－8x＋b. ∴f′(x)＝6x＋2x－8＝2x2－x4x＋3. 由f′(x)＞0可得x＞3或0＜x＜1，由f′(x)＜0可得1＜x＜3(x＜0舍去). ∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1,3).
解析答案
(3)若y＝f(x)的图像与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的取值范围.

高中数学选择性必修二 5 3 2 极值与最值(精练)(含答案)

5.3.2 极值与最值【题组一求极值及极值点】1．（2020·北京市第十三中学高三开学考试）设函数()4f x x x=+，则()f x 的极大值点和极小值点分别为（） A ．－2，2 B ．2，－2C ．5，－3D ．－5，3【答案】A【解析】易知函数定义域是{|0}x x ≠，由题意224(2)(2)()1x x f x x x +-'=-=，当2x <-或2x >时，()0f x '>，当20x -<<或02x <<时，()0f x '<，∴()f x 在(,2)-∞-和(2,)+∞上递增，在(2,0)-和(0,2)上递减，∴极大值点是－2，极小值点是2．故选：A ．2．（2020·黑山县黑山中学高二月考）函数()262xf x x x e =-+的极值点所在的区间为（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,1--【答案】B【解析】()262xf x x e '=-+，且()f x '为单调函数，∴()12620f e '=-+>，()0620f '=-+<，由()()010f f ''<，故()f x 的极值点所在的区间为()0,1，故选：B.3．（2020·河北新华·石家庄二中高二期末）“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】()()x f x x a e =-，则()()1x f x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-.当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，1a ∴>.因此，“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件.故选：A.4．（2020·扶风县法门高中高二月考（理））设函数()xf x xe =，则（）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点【答案】D【解析】因为()xf x xe =，所以()()()=+=+1,=0,x=-1x x x f x e xe e x f x 令得''．又()()()()()>0:>-1;<0<-1,--1-1+f x x f x x f x 由得由得：所以在，，在，∞'∞'，所以1x =-为()f x 的极小值点．5．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期末（理））已知2x =是函数3()32f x x ax =-+的极小值点，那么函数()f x 的极大值为（） A ．15B ．16C ．17D ．18【答案】D【解析】2()33f x x a ='-,又因为2x =是函数3()32f x x ax =-+的极小值点，所以2(2)3230f a =⨯-='，4a =，所以2()312f x x ='-，由2()3120f x x -'==，2x =-或2x =，所以在区间(,2)-∞-上，()0,()f x f x >'单调递增，在区间(2,2)-上，()0,()f x f x <'单调递减，在区间(2,)+∞上，()0,()f x f x >'单调递增，所以函数()f x 的极大值为3(2)(2)12(2)218f -=--⨯-+=，故选D.6．（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（理））函数()x f x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为（）A ．1eB ．0C ．44e D ．22e 【答案】A【解析】由()xf x xe-=可得1()x xf x e-'=当(]0,1x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增当(]1,4x ∈时()0f x '<，()f x 单调递减所以函数()xf x xe-=在[0,4]x ∈上的极大值为()11f e=故选：A 7．（2020·天津一中高二期中）函数f(x)＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个【答案】A【解析】()2162162x x f x x x x-+=+='-，由()0f x '=得26210x x -+=，方程无解，因此函数无极值点8．（2020·北京高二期末）已知函数21()ln 2f x x x =-. （Ⅰ）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）求函数()y f x =的极值.【答案】（Ⅰ）3250x y -+=；（Ⅱ）极小值是11ln 242+，无极大值. 【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域是()0,∞+，1()22f x x x'=-， ()()311,12f f ='=，故所求切线斜率32k ，过()1,1的切线方程是：31(1)2y x -=-，即3250x y -+=；（Ⅱ）1(21)(21)()222x x f x x x x+-'=-=，令()0f x >′，解得：12x >，令()0f x <′，解得：102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭递增，故()f x 的极小值是111111ln ln 2242242f ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，无极大值. 9．（2019·湖南雨花·高二期末（文））已知函数3()1224f x x x =-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）单调增区间为：(,2)-∞-和(2,)+∞，单调减区间为：(2,2)-；（2）极大值40，极小值8．【解析】（1）∵3()1224f x x x =-+，∴2()312f x x '=-．令()0f x '=，则2x =-或2，故()f x 的单调增区间为：(,2)-∞-和(2,)+∞，单调减区间为：(2,2)-．（2）由（1）得：当2x =-时，()f x 有极大值40，当2x =时，()f x 有极小值8．10．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（理））已知函数32()392f x x x x =-++-，求：（1）函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）()f x 的单调区间及极值．【答案】（1）920x y --=；（2）减区间为(,1]-∞-，[3,)+∞，增区间为(1,3)-；极小值为7-，极大值为25．【解析】（1）显然由题意有，(0)0f =，2()369f x x x '=-++，∴(0)9f '=∴由点斜式可知，切线方程为：920x y --=；（2）由（1）有2()3693(1)(3)f x x x x x '=-++=-+-∴()0f x '<时，(,1]x ∈-∞-或[3,)x ∈+∞()0f x '>时，(1,3)x ∈-∴()f x 的单减区间为(,1]-∞-，[3,)+∞；单增区间为(1,3)-∴()f x 在1x =-处取得极小值(1)7f -=-， ()f x 在3x =处取得极大值(3)25f =.【题组二求最值点最值】1．（2020·四川内江·高二期末（文））函数2cos y x x =+0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（）A ．2πB ．6πC ．2D ．1【答案】B【解析】函数()2cos 0,2f x y x x x π⎡⎤==+∈⎢⎥⎣⎦，()'12sin f x x =-，令()'0f x =，解得6x π=．∴函数()f x 在0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增，在,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦内单调递减．∴6x π=时函数()f x 取得极大值即最大值．2cos 6666f ππππ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭．故选B ． 2．（2020·甘肃武威·高三月考（理））已知函数()cos xf x e x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（1）1y =；（2）最大值为1，最小值为2π-. 【解析】（1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=.又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（2）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x xh x x x x x x '=---=-，当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减，所以对任意π[0,]2x ∈有()(0)0h x h ≤=，即()0f x '≤，所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减，因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为()22f ππ=-.3．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三月考）已知函数2()f x alnx bx =-，a ，b R ∈．若()f x 在1x =处与直线12y相切．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在1[e，]e 上的最大值．【答案】（1）112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）12- . 【解析】（1）函数2()(0)f x alnx bx x =->，()2af x bx x∴'=-，函数()f x 在1x =处与直线12y相切， ∴(1)201(1)2f a b f b '=-=⎧⎪⎨=-=-⎪⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）21()2f x lnx x =-，21()x f x x-'=，当1x e e 时，令()0f x '>得：11x e<，令()0f x '<，得1x e <，()f x ∴在1[e，1]，上单调递增，在[1，]e 上单调递减，所以函数的极大值就是最大值，()max f x f ∴=（1）12=-．4．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知函数f （x ）＝ax 3+bx +c 在x ＝2处取得极值为c ﹣16. （1）求a 、b 的值；（2）若f （x ）有极大值28，求f （x ）在[﹣3，3]上的最大值和最小值. 【答案】（1）1,12a b ==-；（2）最小值为4-，最大值为28.【解析】（1）因3()f x ax bx c =++ ，故2()3f x ax b '=+，由于()f x 在点2x =处取得极值，故有(2)0(2)16f f c ==-'⎧⎨⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ，解得112a b =⎧⎨=-⎩；（2）由（1）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-令()0f x '= ，得122,2x x =-=，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数，当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数．由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-，由题设条件知1628c += ，得12c =，此时(3)921f c -=+=，(3)93f c =-+=，(2)164f c =-=-，因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-，最大值为28.5．（2020·河南商丘·高三月考（文））已知()322126x mx f x x =--+的一个极值点为2.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]22-,上的最值. 【答案】（1）函数()f x 的减区间为()1,2-，增区间为(),1-∞-，()2,+∞；（2）最小值是14-，最大值是13. 【解析】（1）()322126x m x x f x =--+，()26212x mx f x =--'∴，()322126x m x x f x =--+的一个极值点为2，()262221220m f =⨯-⨯-∴='，解得3m =.()3223126f x x x x =-∴-+，()()()26612612f x x x x x '=--=+-，令()0f x '=，得1x =-或2x =；令()0f x '<，得12x -<<；令()0f x '>，得1x <-或2x >；故函数()f x 的减区间为()1,2-，增区间为(),1-∞-，()2,+∞. （2）由（1）知()3223126x x f x x =--+，()()()612f x x x '=+-，当21x -≤<-时，()0f x '>；当12x -<≤时，()0f x '<；()f x ∴在[]2,1--上为增函数，在(]1,2-上为减函数， 1x ∴=-是()f x 的极大值点，又()22f -=，()113f -=，()214f =-，所以函数()f x 在[]22-,上的最小值是14-，最大值是13. 6．（2020·重庆高二期末）已知()32133=+-f x x ax x （a R ∈）在3x =-处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值.【答案】（1）1；（2）增区间为(),3-∞-，()1,+∞，减区间为()3,1-；（3）最大值为9，最小值为53-. 【解析】（1）()223=+-'f x x ax ，由于()f x 在3x =-处取得极值，故(3)0f '-=，解得1a =，经检验，当1a =时，()f x 在3x =-处取得极值，故1a =.（2）由（1）得()32133f x x x x =+-，()223f x x x '=+-，由()0f x '>得1x >或3x <-；由()0f x '<得31x -<<.故()f x 的单调增区间为(),3-∞-，()1,+∞，单减区间为()3,1-.（3）由（2）得函数()f x 的极大值为()39f -=，得函数()f x 的极小值为()513f =-，又()39f =，所以函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值为9，最小值为53-. 【题组三已知极值及最值求参数】1．（2020·湖南其他（理））已知函数2(3))(x f x ae x a R =-∈，若[0,2]x ∈时，()f x 在0x =处取得最大值，则a 的取值范围为（）A ．0a ≤B ．212a e ≥C ．6a e <D ．2126a e e << 【答案】A 【解析】∵6()6()x x x x f x ae x e a e '=-=-，令6()x x g x e=， ∴6(1)()x x g x e-'=，∴1x <时()0g x '>，()g x 在(,1)-∞单调递增； ∴1x >时()0g x '<，()g x 在()1,+∞单调递减.如图，∴max (1)6)(g g x e ==， ∴当6a e ≥时，60x x a e-≥，∴()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，不成立；当0a ≤时，()f x 在[0,2]上单调增减，成立；当60a e <<时，60x x a e-=有两个根1x ，()2120x x x <<， ∵当1x x <时，60x x a e->，()0f x '>；当12x x x <<时，60x x a e -<，()0f x '<；当2x x >时，60x x a e->，()0f x '>， ∴()f x 在1[0,]x ，2[,)x +∞上单调递增，在12[,]x x 上单调递减，显然不成立.综上，0a ≤.故选：A2．（2020·河南郑州·高三月考（文））已知函数()323362f x x a x ax ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，若()f x 在()1,-+∞上既有极大值，又有最小值，且最小值为132a -，则a 的取值范围为（） A ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,26⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】()()()()23636361f x x a x a x a x '=-++=--的零点为2a 和1，因为()1132f a =-，所以1是函数的极小值即最小值点，则2a 是函数的极大值点，所以121a -<<，且()1132f a -≥-，解得1126a -<≤-.故选：C.3．（2020·广东高二期末（理））函数3()3f x x x =-在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，则实数m 取值范围为（）A ．[1B ．[1，)+∞C ．(1D ．(1,)+∞【答案】A【解析】. 3()3f x x x =-，2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=+-'，令()0f x '=，则1x =或1-(舍负)，当01x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.函数()f x 在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，且(0)0f f ==，f （1）2=，1m ∴≤≤.故选：A.4．（2020·贵州遵义·高三其他（文））若函数321()53f x x ax x =-+-无极值点则实数a 的取值范围是（）A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞【答案】B 【解析】321()53f x x ax x =-+-, 2()21f x x ax '∴=-+，由函数321()53f x x ax x =-+-无极值点知， ()0f x '=至多1个实数根，2(2)40a ∴∆=--≤，解得11a -≤≤，实数a 的取值范围是[1,1]-，故选：B5．（2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试（理））函数()2xy x e =-+m 在[0，2]上的最小值是2-e ，则最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】'(2)(1)x x x y e x e x e =+-=-，因为[0,2]x ∈，所以当[0,1)x ∈时，'0y <，当(1,2]x ∈时，'0y >，所以函数在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，所以函数在1x =处取得最小值，根据题意有2e m e -+=-，所以2m =，当0x =时，220y =-+=，当2x =时，y 022=+=，所以其最大值是2，故选：B.6．（2020·四川省绵阳江油中学高二月考（理））函数()33f x x ax a =--在()0,1内有最小值，则a 的取值范围为( )A ．01a ≤<B ．01a <<C ．11a -<<D ．102a << 【答案】B【解析】∵函数f （x ）=x 3﹣3ax ﹣a 在（0，1）内有最小值，∴f′（x ）=3x 2﹣3a=3（x 2﹣a ），①若a≤0，可得f′（x ）≥0，f （x ）在（0，1）上单调递增，f （x ）在x=0处取得最小值，显然不可能，②若a ＞0，f′（x ）=0解得当x f （x ）为增函数，0＜xf （x ）在所以极小值点应该在（0，1）内，符合要求．综上所述，a 的取值范围为（0，1）故答案为B7．（2020·黑龙江高二期中（理））已知函数()()22ln f x ax a x x =-++ （1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）当0a >时，若()f x 在区间[]1,e 上的最小值为-2，求a 的取值范围.【答案】(1) 函数()f x 的极大值为5ln 24--函数()f x 的极小值为2- (2) [)1,+∞ 【解析】（1）1a =，()23ln f x x x x =-+，定义域为()0,+∞，又()123f x x x =-+'= ()()2211231x x x x x x---+=. 当1x >或102x <<时()0f x '>；当112x <<时()0f x '< ∴函数()f x 的极大值为15ln224f ⎛⎫=--⎪⎝⎭ 函数()f x 的极小值为()12f =-.（2）函数()()22ln f x ax a x x =-++的定义域为()0,+∞，且()()122f x ax a x =-++'= ()()()2221211ax a x x ax x x-++--=，令()0f x '=，得12x =或1x a=，当101a<≤，即1a ≥时，()f x 在[]1,e 上单调递增， ∴()f x 在[]1,e 上的最小值是()12f =-，符号题意；当11e a <<时，()f x 在[]1,e 上的最小值是()112f f a ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，不合题意；当1e a≥时，()f x 在[]1,e 上单调递减， ∴()f x 在[]1,e 上的最小值是()()12f e f <=-，不合题意故a 的取值范围为[)1,+∞ 8．（2020·北京八中高二期末）已知函数22()(24)ln f x x ax x x =-+.（1）当1a =时，求函数()f x 在[1,)+∞上的最小值；（2）若函数()f x 在[1,)+∞上的最小值为1，求实数a 的取值范围；（3）若1a e>，讨论函数()f x 在[1,)+∞上的零点个数．【答案】（1）1；（2）(,1]-∞；（3）答案见解析.【解析】(1)当1a =时，22()(24)ln ,f x x x x x =-+ ()(44)ln 2424(1)(ln 1)f x x x x x x x '=-+-+=-+，因为[1,)x ∈+∞，所以()0f x '≥，所以()f x 为单调递增函数，所以min ()(1)1f x f ==．(2)()(44)ln 2424()(ln 1)f x x a x x a x x a x '=-+-+=-+，[1,)x ∈+∞，当1a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 为单调递增函数，min ()(1)1f x f ==，符合题意；当1a >时，在[1,)a 上，()0,()f x f x '<单调递减，在(,)a +∞上，()0,()f x f x '>单调递增，所以min ()()f x f a =，因为()11f =，故()()11f a f <=，与()f x 的最小值为1矛盾.故实数a 的取值范围为(,1].-∞(3)由(2)可知，当11a e<≤时，在[1,)+∞上，()f x 为单调递增函数，min ()1f x =，此时函数()f x 的零点个数为0；当1a >时，22min ()()2ln f x f a a a a ==-+，令22()2ln ,(1,)g x x x x x =-+∈+∞，则()4ln 224ln 0g x x x x x ax x '=--+=-<，函数()g x 单调递减，令22()2ln 0g x x x x =-+=，解得12x e =，所以当12(1,)x e ∈，()0>g x ，x e =，()0g x =，12(,)x e ∈+∞，()0<g x ，所以当12(1,)a e ∈时，min ()0f x >，此时函数()f x 在[1,)+∞上的零点个数为0；当12a e =时，()0min f x =，此时函数()f x 在[1,)+∞上的零点个数为1； 12min (,),()0a e f x ∈+∞<，又()110f =>，故()f x 在()1,a 存在一个零点， ()2240f a a =>，故()f x 在(),2a a 存在一个零点，此时函数()f x 在[1,)+∞上的零点个数为2．综上，可得121(,)a e e∈时，函数()f x 在[1,)+∞上的零点个数为0； 12a e =时，函数()f x 在[1,+∞）上的零点个数为1； 12(,)a e ∈+∞，函数()f x 在()0f x '>上的零点个数为2.9．（2020·广东禅城·佛山一中高二月考）已知函数()ln x f x a x e =-；()1讨论()f x 的极值点的个数；()2若2a =，求证：()0f x <．【答案】（1）当a≤0时，f （x ）无极值点；当a ＞0时，函数y=f （x ）有一个极大值点，无极小值点；(2)见解析【解析】（1）根据题意可得，()(0)xx a a xe f x e x x x-='-=>，当0a ≤时，0f x ，函数()y f x =是减函数，无极值点；当0a >时，令0f x ，得0x a xe -=，即x xe a =，又x y xe a =-在0,上存在一解，不妨设为0x ，所以函数()y f x =在()00,x 上是单调递增的，在()0,x +∞上是单调递减的.所以函数()y f x =有一个极大值点，无极小值点；总之：当0a ≤时，无极值点；当0a >时，函数()y f x =有一个极大值点，无极小值点.（2）()2ln xf x x e =-，()2(0)xxe f x x x '-=>，由（1）可知()f x 有极大值()0f x ，且0x 满足002x x e=①，又x y xe =在0,上是增函数，且02e <<，所以()00,1x ∈，又知：()()000max 2ln x f x f x x e ==-，② 由①可得002x e x =，代入②得()()00max 022ln f x f x x x ==-，令()22ln g x x x =-，则()()2221220x g x x x x+=+=>'恒成立，所以()g x 在0,1上是增函数，所以()()0120g x g <=-<，即()00g x <，所以()0f x <.10．（2020·四川达州·高二期末（理））已知a R ∈，函数()ln f x x a x =-，()212g x x ax =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）记函数()()()h x g x f x =-，求()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）()()ln 0f x x a x x =->，则()1a x a f x x x'-=-=. 当0a ≤时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增；当0a >时，当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减.综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+；当0a >时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞；（2）()()()21ln 2h x g x f x x ax x a x =-=--+，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()()()()2111x a x a x a x a h x x a x x x -++--'=--+==.①当1a ≥时，对任意的1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '>，函数()y h x =单调递增，所以，函数()y h x =在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()min 13ln 2282a h x h a ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭； ②若12a ≤，对任意的1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '<，函数()y h x =单调递减，所以，函数()y h x =在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()()min 112h x h a ==--； ③若112a <<时，当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，函数()y h x =单调递增，当(),1x a ∈时，()0h x '<，函数()y h x =单调递减，又因为13ln 2282a h a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()112h a =--， ()13111ln 2ln 2282282a a h h a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=------=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （i ）当1ln 2082a a +-≥时，即当1128ln 24a <≤-时，()112h h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，此时，函数()y h x =在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()()min 112h x h a ==--；（ii ）当1ln 2082a a +-<时，即当118ln 24a <<-时，()112h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 此时，函数()y h x =在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()min 13ln 2282a h x h a ⎛⎫==---⎪⎝⎭.综上所述，()min 31ln 2,828ln 2411,28ln 24a a a h x a a ⎧--->⎪⎪-=⎨⎪--≤⎪-⎩. 11．（2020·四川省绵阳江油中学高二期中（文））已知函数232()(1)f x a x a x x b =-+++在1x =处取得极小值1．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[0,2]上的最值．【答案】（1）32()21f x x x x =-++（2）最小值为1，最大值为3．【解析】（1）22()32(1)1f x a x a x '=-++，由2(1)321(1)(31)0f a a a a '=--=-+=，得1a =或13a =-．当1a =时，2()341(1)(31)f x x x x x '=-+=--，则()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞上单调递增，在1(,1)3上单调递减，符合题意，由(1)1211f b =-++=，得1b =；当13a =-时，214(1)(3)()1333x x f x x x '--=-+=，则()f x 在(,1),(3,)-∞+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减，()f x 在1x =处取得极大值，不符合题意．所以32()21f x x x x =-++．（2）由（1）知()f x 在1[0,),(1,2]3上单调递增，在1(,1)3上单调递减，因为131(0)(1)1,(),(2)3327f f f f ====，所以()f x 的最小值为1，最大值为3． 12．（2020·扶风县法门高中高二月考（理））已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．（1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值．【答案】（1）4a b ==；（2）见解析.【解析】（1）()()24x x e ax b f a x =++--'．由已知得()04f =，()04f '=．故4b =，8a b +=．从而4a =，4b =．（2）由（1）知，()()2414x f x e x x x =+--，()()()14224422x x f x e x x x e ⎛⎫=+--=+- ⎝'⎪⎭．令()0f x '=得，ln2x =-或2x =-．从而当()(),2ln 2,x ∈-∞--+∞时，()0f x '>；当()2,ln 2x ∈--时，()0f x '<．故()f x 在(),2-∞-，()ln 2,-+∞上单调递增，在()2,ln 2--上单调递减．当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为()()2241f e --=-．。

函数的极大值与极小值ppt课件(自制)

91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。― ―[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。― ―[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
oa
y
x0 b x
f(x)
f(x) >0 f(x) =0 f(x) <0
f(x) 增
极大值减
x x0左侧
x0 x0右侧
f(x) f(x) <0 f(x) =0 f(x) >0
oa x0
bx
f(x) 减
极小值增
请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？
左正右负为极大，右正左负为极小
2022/3/22
附近，P点的位置最高，函数值最大
2022/3/22
4
函数的极大值与极小值
高二数学备课组
2022/3/22
5
课题：导数的应用－－极值点
我行我能我要成功我能成功
数学建构
函数极值的定义
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹤f (x0),我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值,记作 y = 极大值 f (x0)；如果对x0附近的所有的点,都有 f(x)﹥f (x0)，我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f (x0).
19、上天不会亏待努力的人，也不会同情假勤奋的人，你有多努力时光它知道。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。6.凡是内心能够想到.相信的，都是可以达到的。――[NapoleonHill]

5.3.2函数的极值与最大(小)值(第三课时)(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性)

o
a x1x2 x3 x4 x5
x6 b x
结论：一般地，如果在区间，[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。
思考：（1）如果连续函数f(x)在开区间（a,b）有最值，在什么位置取最值？答：在极值位置处。
（2）如果连续函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，
的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出 2、的函。数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个。
3、极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值。追问2：为什么给定函数的区间必须是闭区间？
如条连果所续在不闭有断区极的间值曲【连线a，同，b端那】点么上它函函必数数定y值=有f进（最行x大）比值的较和图最，像小是值一并且在最端点大或的极为值最点大取值得，。最小的为最小值
求函数y=f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
①求函数y=f (x)在(a,b)内的极值;
②将函数y=f (x)的各极值与端点处的函数值f (a), f (b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
总结
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较, 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
注意 1) 函数的最值是整体性的概念；
2) 函数的最大值（最小值）唯一； 3) 函数的最大值大于等于最小值；
函数的极值与最大（小）值（第三课时）
复习回顾 1、导数与极值的关系

高二数学极大值与极小值

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析

苏教版数学高二数学苏教版选修2-2知识必备1.3.3最大值与最小值

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高中数学 选修1-1 专题3.3.2 函数的极值与导数-高二数学(文)人教版

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高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析

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【最新】高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.3 1.3.2 极大值与极小值【有解析】

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