圆心角概念_圆的对称性-优质公开课-鲁教9下精品
2.2.2圆的对称性-圆心角(解析版)
2.2.2圆的对称性-圆心角一、圆心角与弧的定义1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB ，所对的弧为弧AB.2．1°的弧的定义1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点：(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.二、圆心角定理及推论1.圆心角定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2.圆心角定理的推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.题型1:圆心角的概念及辨析1．下面图形中的角是圆心角的是（ ）．．．．【点睛】本题考查圆的弧长和圆心角，注意掌握在同一个圆中，扇形的圆心角与360度的比等于弧长与圆的周长的比．4．下列说法正确的是（ ）A ．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角B ．圆心角α的取值范围是0180a °<<°C ．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角D ．圆心角就是在圆心的角【答案】C【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案．【解析】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，∴A 、D 错误，C 正确；∵圆心角α的取值范围是0360a °<<°，∴B 错误．故选：C ．【点睛】此题考查了圆心角的定义，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义．题型2:利用弧、弦、圆心角的关系求解5．如图，在O e 中，160BOD Ð=°，则 BD度数是（ ）A ．200°B ．160°C ．120°D ．80°【答案】B 【分析】根据圆心角BOD Ð的度数得出即可．【解析】解：Q 圆心角160BOD Ð=°，\圆心角BOD Ð对的弧 BD的度数是160°，故选：B ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，注意：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．6．如图，AB 是O e 的直径 BCCD DE ==，若35COD Ð=°，则AOE Ð的度数是（ ）．A ．35°B ．55°C ．75°D ．95°【答案】C 【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到35DOE B O OC C D ==Ð=°∠∠，再根据平角的定义求出AOE Ð的度数即可．【解析】解：∵ BCCD DE ==，35COD Ð=°，∴35DOE B O OC C D ==Ð=°∠∠，∴75180AOE D O CO OE C D B =°---Ð=°∠∠∠，故选C ．【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系，熟知同圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键．7．下列说法中，正确的是（ ）A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B ．弦的中垂线一定经过圆心C ．圆心角相等的两条弧一定相等D ．平分弦的直径一定垂直于该弦【答案】B【分析】根据等弧的定义、垂径定理进行分析，解答即可．【解析】解：A ．如果弦不是直径，那么同一条弦所对的两条弧一条是优弧，另外一条是劣弧，故本选项不符合题意；B ．弦的中垂线一定经过圆心，故本选项符合题意；C ．在同圆或等圆中，圆心角相等的两条弧一定相等，故本选项不符合题意；D ．平分弦（弦不能是直径）的直径一定垂直于该弦，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查圆的相关知识，关键在于熟练掌握等弧的定义，圆心角、弧、弦的关系、垂径定理．8．如图半径OA OB OC ，，将一个圆分成三个大小相同扇形，其中OD 是AOB Ð的角平分线，A．100°【答案】A【分析】先根据已知易得°=，AOD AOEÐÐ60【答案】70°【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答．A．70°【答案】C【分析】连接OB，求出【解析】解：连接OB∵B是 AC的中点，AOCÐ∴1702AOB AOCÐ=Ð=∴1352D AOBÐ=Ð=°．A ．20°【答案】B 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．【解析】解：∵BAC Ð∴22BOC BAC Ð=Ð=A ．AB OC =C ．2BC AC =【答案】B 【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．题型3:利用弧、弦、圆心角的关系比较大小e13．如图，A、B、C是O2BC．（填“>”、“<”或“=”【答案】013a °<<°【分析】连接CD ，根据然后根据三角形的外角性质得到【解析】解：连接CD∵ 4BCDE =，∴4BDC DCE Ð=Ð，∵BDC DCE DFC Ð+Ð+Ð∴4115DCE DCE Ð+Ð+∴13DCE Ð=°，A ．rB ．【答案】C 【分析】作点D 关于AB 的对称点求的点P ，C D ¢的长度为垂直平分C D ¢，根据C D则'120COD Ð=°，OE 垂直平分C \D ¢22CE ==´32r =故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称求线段和最小值问题，垂径定理，得出题的关键．【答案】36°，108°【分析】由AC CD DE EF＝＝＝弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到的直径，所以11805 AOCд＝【解析】解：∵AC CD DE＝＝【答案】43【分析】连接OC ，先求得Ð的关系求得60CON Ð=°，根据圆周角定理求得长．∵OA CD ^于M ，∴ AD AC =，∵ AC BC=，∴ AD AC BC==，(1)若25E Ð=°，求AOC Ð的度数；(2)若 AC 的度数是 BD的度数的【答案】(1)75°由题意得2AB OD =，∵2AB DE =，∴OD DE =，(1)若50AOD Ð=°，求Ð(2)若25AB =，ED =【答案】(1)50°(2)3(1)求证：BFG CDG V V ≌；(2)若1015AD EF ==，，求【答案】(1)见解析(2)5105BE =-（2）连接OF∵»»»CDCB BF ==∴ CFBD =∴BD CF 230EF ===∵1090AD ADB Ð==°，(2)如图②，过点C 作于点【答案】(1)60BOD Ð=(2)23【分析】（1）连接OC AOC COD BOD Ð=Ð=Ð∵点C ，D 是半圆O 的三等分点．∴COD BOD AOC =Ð=ÐÐ∵AB 是O e 的直径，∴AOC COD BOD Ð=Ð=Ð∵CF AB ^，∴2CH CF =，在Rt COF △中，2,OC =∴30OCF Ð=°，证明：如图2，在CB 上截取CG AB =，连接,,MA MB MC 和MG ，∵M 是 ABC 的中点，∴MA (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；∵M 是 ABC 的中点，∴MA =MC ．在△MBA 和△MGC 中BA GC A C ìïÐÐíï＝＝，一、单选题1．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【答案】B【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．【解析】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；B中，等弧所对应的弦相等，故选BC中，圆心角相等所对应的弦可能互补；D中，弦相等，圆心角可能互补；故选B【解析】为半圆AB上三等分点,要求．4．如图，在一个圆内有 AB 、 CD 、 E F ，若 AB + CD = E F ，则AB +CD 与EF 的大小关系是（ ）A ．AB +CD ＝EFB ．AB +CD ＜EFC ．AB +CD ≤EF D ．AB +CD ＞EF【答案】D 【分析】在弧EF 上取一点M ，使 EM CD =，推出 FM AB =，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB ＝FM ，CD ＝EM ，根据三角形的三边关系定理求出FM ＋EM ＞FE 即可．【解析】如图，在弧EF 上取一点M ，使 EMCD =，则 FM AB =，所以AB ＝FM ，CD ＝EM ，在△MEF 中，FM+EM ＞EF ，所以AB+CD ＞EF ，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解题的关键．5．在O e 中，AB ，CD 为两条弦，下列说法：①若AB CD =，则 AB CD =；②若 AB CD =，则2AB CD =；③若2AB CD =，则弧AB=2弧CD ；④若2AOB COD Ð=Ð，则2AB CD =.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A∴CD=AE=BF>EF，故A错误.故选A．8．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：① AD= CD= BC；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【分析】根据“在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等”仔细找出等量关系即可．【解析】∵C、D为半圆上三等分点，∴==，故①正确，AD CD BC∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相，∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确，∵OA=OD=OC=OB，∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形，∴△AOD沿OD翻折与△COD重合．故④正确，∴正确的说法有：①②③④共4个，故选A．【点睛】本题考查了圆心角、弧和弦的关系，利用了在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等和平角的概念求解．9．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD 与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（ ）A．15°B．20°C．25°D．30°∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB；∵∠DAC＝∠CBE，∴∠DAC＝∠CEB；∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∴∠CAE﹣∠DAC＝∠CEA﹣∠CED，即∠DAE＝∠DEA；∴AD＝DE；∵EC+BC＞BE，EC＝AC，BE＝BD+DE＝AD+BD，∴AC+BC＞BD+AD；故选：C．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，涉及三角形三边关系等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．二、填空题三、解答题19．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，求证：BM＝DM．【答案】详见解析【分析】连接BD,根据AB＝CD得到 AB＝ CD，再根据公共弧 AC得到 BC＝ AD，再得到∠D＝∠B，再利用等腰三角形的性质即可求解.【解析】证明：连接BD．∵AB＝CD∴ AB＝ CD∴ AB－ AC＝ CD－ AC，即 BC＝ AD∴∠D＝∠B∴BM＝DM【点睛】此题主要考查圆周角的性质，解题的关键是熟知圆的基本性质.20．如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．求证：（1）AB＝CD；（2）AE＝CE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）欲证明AB=CD，只需证得 AB＝ CD；（2）连接AC，由 AB＝ CD得出∠ACB=∠CAD，再由等角对等边即可证的AE＝CE.【解析】证明：（1）∵AD＝BC∴ AD＝ BC∴ AD－ AC＝ BC－ AC即 AB＝ CD∴AB＝CD（2）连接AC∵ AB＝ CD∴∠ACB＝∠DAC∴AE＝CE【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，注意（2）中辅助线的作法是求解（2）的关键.21．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证：（1）OC＝OD：（2）=．A EB F【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明：连接OA，OB，证明△OAC≌△OBD（SAS）即可得到结论；（2）根据△OAC≌△OBD，得到∠AOC＝∠BOD，即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OA，OB，∵OA ＝OB ，∴∠OAC ＝∠OBD ．在△OAC 与△OBD 中，∵OA OB OAC OBD AC BD=ìïÐ=Ðíï=î，∴△OAC ≌△OBD （SAS ）．∴OC ＝OD ．（2）∵△OAC ≌△OBD ，∴∠AOC ＝∠BOD ，∴ A E B F =．【点睛】此题考查同圆的半径相等的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，相等的圆心角所对的弧相等的性质，正确引出辅助线证明△OAC ≌△OBD 是解题的关键．22．如图，过O e 的直径AB 上两点,M N ，分别作弦,CD EF ，//,CD EF AC BF =．求证：（1） BC AF =；（2）AM BN =．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）连接OC 、OF ，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA=∠BFC=∠B ，等量代换得到∠BFC=∠ACF ．根据平行线的性质得到∠AMC=∠ANE ．根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】解：（1）如图，连接,OC OF ．,AC BF =QCOA BOF \Ð=Ð，COB FOA \Ð=Ð．BC AF \=．（2）,,COA BOF OC OF OA OB Ð=Ð===QCAB OCA BFC ABF \Ð=Ð=Ð=Ð，BFC ACF \Ð=Ð．//,CD EF QAMC ANE \Ð=Ð．又BNF ANE Ð=ÐQ ．AMC BNF \Ð=Ð．在AMC V 和BNF V 中，,,,AMC BNF CAB ABF AC BF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î( ),AMC BNF AAS \V V ≌AM BN \=．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．23．如图，MB ，MD 是⊙O 的两条弦，点A ，C 分别在弧MB ，弧MD 上，且AB ＝CD ，点M 是弧AC 的中点．（1）求证：MB ＝MD ；（2）过O 作OE ⊥MB 于E ，OE ＝1，⊙O 的半径是2，求MD 的长．【答案】（1）见解析；（【分析】（1）根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系得出（2）根据垂径定理，勾股定理求出【解析】证明：（1）在Rt△MOE中，OE∴ME＝22-OM OE∴MD＝MB＝2ME＝2【点睛】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，掌握垂径定理、勾股定理是根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：(1)如图2，在ABC V 中，三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ，连接０DE 、DF ，若BAC Ð=EDF Ð=______________°．(2)如图3，已知AB 是O e 的直径，CD 是O e 的弦，G 为CD 的中点，CE AB ^于E ，DF ^F 不重合）．若60EGF Ð=°，求证：12CD AB =．【答案】(1)52°；(2)见解析．【分析】（1）在ABC V 中，AD 、BE 、CF 是高，可知点E 、H 、D 、B 四点共圆，点E 、H 、D 、C 四点共圆，然后在每一个圆中运用等弦对等角进行角的转换即可求解；（2）连接OC 、OD 、OG ,CD 是O e 的弦，G 为CD 的中点，根据垂径定理可知OG CD ^，结合CE AB ^于E ，DF AB ^于F ，点C 、E 、O 、G 四点共圆，点D 、F 、O 、G 四点共圆，然后在每一个圆中运用等弦对等角进行角的转换即可求解，最后证明COD △是等边三角形即可．【解析】（1）解：在ABC V 中，AD 、BE 、CF 是高，90BFH BDH \Ð=Ð=°,点E 、H 、D 、B 四点共圆，FBH FDH \Ð=Ð,90HEC HDC Ð=Ð=°Q 点E 、H 、D 、C 四点共圆，EDH ECH \Ð=Ð，90FBH BAC Ð+Ð=°Q ，90ECH BAC Ð+Ð=°，90FBH ECH BAC \Ð=Ð=°-Ð，64BAC Ð=°Q ，906426FBH ECH \Ð=Ð=°-°=°，EDF FDH HDE FBH ECH \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，262652=°+°=°，故答案为：52°．（2）证明：连接OC 、OD 、OG ,OC OD =Q ,G 为CD 的中点，OG CD \^，CE AB ^Q 于E ，DF AB ^于F ，90OEC OGC \Ð=Ð=°,点C 、E 、O 、G 四点共圆，90OFD OGD \Ð=Ð=°点D 、F 、O 、G 四点共圆，2【点睛】本题考查了四点共圆的判定、垂径定理、等弦对等角以、等边三角形的判定以及与三角形有关的教的计算；结合题意证明四点共圆并运用圆的相关知识解决问题是解题的关键．。
鲁教版数学(五四制)九年级下册全册课件【完整版】
一个圆绕着它的圆
心旋转任意一个角度，
●O
●O′ 都能与原来的图形重合。
旋转 圆特有的一个性质：圆的旋转不变性。 圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
同圆 能够重合的两个圆。 等圆 半径相等的两个圆。 同圆或等圆的半径相等。
等弧 在同圆或等圆中，能够 互相重合的两条弧叫做等弧。
圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角(如∠AOB)。
是
如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？
圆的对称轴是任意一条经过圆
●O
心的直线，它有无数条对称轴。
2、你是用什么方法解决上面 这个问题的？与同伴进行交流。
圆的对称性
圆是轴对称图形，其对称 轴是任意一条过圆心的直线。
●O
圆的相关概念
1、圆上任意两点间的部分
叫做圆弧，简称弧。
A
以A，B两点为端点的弧。
想一想 如图：⊙O的半径为r，点A、B、C、D、E的位置如图所示。
（1）你能说明这些点分别与⊙O有怎样的位置关系吗？
（2）点A、B、C、D、E到圆心O的距 离分别与⊙O的半径r有怎样的大小关系？
（3）如果点P和⊙O在同一平面内， 那么点P与⊙O可能有哪几种位置关系？
（4）你能根据点P与⊙O的位置关系，确定点P到圆心 O的距离d与⊙O的半径r的大小关系吗？反过来，你能根据 d与r的大小关系，确定点P与⊙O的位置关系吗？
例1
如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，CM是AB 边上的中线。以点C为圆心，以 5 为半径作圆，试确定A， B，M三点分别于⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。
A M
B
C
解：在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，
鲁教版数学九年级下册5.2《圆的对称性》说课稿1
鲁教版数学九年级下册5.2《圆的对称性》说课稿1一. 教材分析鲁教版数学九年级下册5.2《圆的对称性》是本册教材中的一个重要内容。
本节课主要让学生了解圆的对称性，掌握圆是轴对称图形，以及圆有无数条对称轴的特点。
通过学习，让学生体会圆的对称性在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对轴对称图形和中心对称图形有了初步的认识。
但是，对于圆的对称性的理解还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生动形象的例子和实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究圆的对称性。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生了解圆的对称性，掌握圆是轴对称图形，以及圆有无数条对称轴的特点。
2.过程与方法：通过观察、分析和推理，培养学生探究圆的对称性的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，体会数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：圆的对称性，圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。
2.教学难点：理解圆的对称性在实际生活中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生主动探究圆的对称性。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等，直观展示圆的对称性，增强学生的直观感受。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，如圆桌上的蛋糕如何平均分配，引出圆的对称性。
2.探究圆的对称性：引导学生观察和分析圆的性质，推理出圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。
3.案例分析：通过一些生活中的实例，如圆形的桌面、硬币等，让学生体会圆的对称性在实际生活中的应用。
4.小组讨论：让学生分组讨论，分享自己对圆的对称性的理解和应用。
5.总结提升：教师引导学生总结本节课的主要内容和知识点。
6.课堂练习：布置一些有关圆的对称性的练习题，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：1.圆是轴对称图形2.圆有无数条对称轴3.圆的对称性在实际生活中的应用八. 说教学评价通过课堂表现、课堂练习和课后作业等方式，评价学生对圆的对称性的掌握程度。
鲁教版九年级数学下册(五四制)全册课件【完整版】
第五章 圆
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1圆
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2 圆的对称性
鲁教版九年级数学下年级数学下册(五四制)全 册课件【完整版】
4 圆周角和圆心角的关系
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5 确定圆的条件
鲁教版九年级数学下册(五四制)全 册课件【完整版】
6 直线和圆的位置关系
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7 切线长定理
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鲁教版九年级数学下册(五四制) 全册课件【完整版】目录
0002页 0040页 0086页 0112页 0126页 0168页 0198页 0228页
第五章 圆 2 圆的对称性 4 圆周角和圆心角的关系 6 直线和圆的位置关系 8 正多边形和圆 10 圆锥的侧面积 1 用树形图或表格求概率 3 用频率估计概率
鲁教版(五四制)数学九年级下册5.4.2圆周角和圆心角的关系教学设计
1.教师提出讨论话题：“在同一个圆中，圆周角和圆心角的关系有哪些应用？”
2.学生分组讨论，组内成员共同思考、交流，总结出圆周角和圆心角的应用场景。
3.各小组汇报讨论成果，教师点评、总结，强调圆周角和圆心角关系在实际问题解决中的重要性。
（四）课堂练习
1.教师设计具有梯度性的练习题，让学生独立完成。练习题包括：
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对圆周角和圆心角的好奇心，培养学生对数学问题的探究精神。
2.在解决问题的过程中，培养学生面对困难、勇于挑战的精神。
3.培养学生严谨、细致的数学态度，提高学生的数学素养。
4.使学生认识到数学在生活中的广泛应用，增强学生学习数学的自信心和责任感。
二、学情分析
本章节的学习对象为九年级学生，他们在之前的学习中已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积等知识。此外，学生对角度的计算和性质也有一定的了解。但在圆周角和圆心角的关系方面，大部分学生可能尚未形成清晰的认识，需要通过本章节的学习来加深理解。
在学习方法方面，学生已经具备一定的自主学习、合作学习和探究学习的能力，但仍有待提高。教师应引导学生在本章节的学习中，运用观察、猜想、验证等学习方法，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。同时，注重培养学生的团队协作精神，提高他们在小组合作中的交流能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.圆周角和圆心角的概念及其关系。
6.加强课堂小结，通过师生互动、生生课后作业，注重培养学生的自主学习能力，同时关注学生的情感需求，鼓励他们在遇到困难时勇于求助。
8.教学评价方面，采用多元化评价方式，关注学生的过程性表现，如课堂参与度、问题解决能力、合作交流能力等，全面评价学生的学习成果。
鲁教版(五四制)(2012)九年级数学下册-5.2 圆的对称性-教案
圆的对称性【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】一、教学知识点。
（一）圆的轴对称性、旋转不变性。
（二）圆心角、弧、弦之间相等关系定理。
二、能力训练要求。
（一）通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力。
（二）利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理。
三、情感与价值观要求。
培养学生积极探索数学问题的态度及方法。
【教学重点】圆心角、弧、弦之间关系定理。
【教学难点】“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明。
【教学方法】指导探索法。
【教学过程】一、创设问题情境，引入新课。
[师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后。
直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴。
[师]我们是用什么方法研究了轴对称图形？[生]折叠。
[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性。
二、讲授新课。
[师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？[生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴。
[师]是吗？你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下。
[生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题。
把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴。
[师]很好。
教师板书：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线。
下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念。
1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）。
2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）。
3．直径：经过圆心的弦叫直径（diameter）。
如图。
以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径。
注意：弧包括优弧（major arc）和劣弧（minor arc），大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
《圆的对称性》圆心角优秀自己总结
圆具有旋转不变性和中心对称性 。
对称性在圆中的表现
旋转不变性
圆上任一点绕圆心旋转任意角度后， 仍然位于圆上。
中心对称性
对于圆上任意两点，如果它们关于圆 心对称，则它们的连线段通过圆心且 被圆心平分。
圆心角定义及性质
圆心角性质
在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那 么它们所对的圆心角也相等；如果两条 弦相等，那么它们所对的圆心角也相等 。
02
解题思路：根据圆的性质，直径所对的圆周角为直角，即 ∠ACB=90°。由于∠ACB=45°，因此∠AOC=2∠ACB=90°。
03
解题步骤
04
1. 确认直径AB所对的圆周角为直角。
05
2. 根据已知条件∠ACB=45°，计算∠AOC的度数。
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总结：本题主要考查了圆的性质以及圆心角与圆周角的关 系。在解题过程中，需要灵活运用这些性质，结合已知条 件进行计算。
利用对称性判断图形性质
判定等腰三角形
在圆内接三角形中，如果两个角所对的弧相等，则这两个角相等，从而可以判 定该三角形为等腰三角形。
判定直角三角形
如果圆内接三角形的一个角所对的弧是另一个角所对弧的两倍，则该三角形为 直角三角形。这一性质可以通过圆的对称性和相似三角形的性质来证明。
利用对称性解决实际问题
对称轴数量
圆有无数条对称轴，这些 对称轴都是经过圆心的直 径所在直线。
圆的对称中心
圆的对称中心定义
圆的对称中心即圆心。
对称中心性质
圆关于其对称中心是对称的，即对于圆上的任意 一点，其关于对称中心的对称点也在圆上。
对称中心作用
九年级数学上册《圆的对称性中心对称圆心角与其所对弧弦关系定理》教案、教学设计
-教师应引导学生将理论知识与实际情境相结合，培养学生的应用能力和解决实际问题的能力。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课
-通过展示生活中的圆形物体或图案，如车轮、硬币等，让学生感受圆的对称美，自然引入圆的对称性质的学习。
-设计互动环节，让学生在观察和操作中自主发现圆的对称特征，激发学生的学习兴趣。
2.分层次教学，逐步突破重难点
-对于基础层次的学生，通过具体实例和重复练习，帮助他们理解和记忆圆的对称性质。
-对于中等层次的学生，引导他们通过小组合作，探讨定理的证明过程，提升逻辑推理能力。
-对于高层次的学生，设计更具挑战性的问题，鼓励他们进行深度思考和探索，培养创新思维。
3.实践操作，加深理解
-安排剪纸、模型制作等实践活动，让学生亲自动手验证圆的对称性质和定理。
（二）过程与方法
1.通过直观演示和动手操作，让学生经历探索圆的对称性质的过程，培养观察能力和空间想象能力。
-教师通过多媒体演示或实物操作，引导学生观察圆的对称性质，激发学生的直观想象。
-学生通过剪纸、折叠等活动，亲身体验圆的对称性，增强空间想象力和动手能力。
2.通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生团队协作能力和问题解决能力。
-布置有针对性的课后作业，让学生在实践中巩固所学知识，提高解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
今天我们将开启圆的对称性的探索之旅。首先，我想请大家回想一下，在我们的生活中，你见过的哪些物体或图形具有对称性？它们给你什么样的感觉？（等待学生回答）是的，对称性给人一种平衡和美的感觉。在数学中，圆是具有高度对称性的图形之一。今天，我们将深入研究圆的对称性质，并学习一些关于圆心角、弧和弦的重要定理。
部优：《圆的旋转对称性—弧、弦、圆心角》课件
深入探究
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心 角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心 角相等，所对的弧相等.
尝试应用
尝试应用
尝试应用
拓展提升
例1 如图，在⊙O中，弦AB和CD相等，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F. 求证：OE=OF.（圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距.）
小组讨论
问题2 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，你能发现 哪些等量关系？请说明理由？
结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等.
深入探究
问题3 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 那么改变一下已知和结论，命题还成立吗？
“同圆或等圆”的条件不能少. 去掉前提，则结论不成立.
分析：条件中给出了圆的两条弦相等，根据三组量之间 的关系，可以得到弦所对的圆心角相等. 由圆的半径相等， 可得到两个全等的等腰三角形，OE，OF分别是两三角形 底边上的高，利用等腰三角形的性质和全等三角形性质 可证明OE与OF相等.
拓展提升
例2 如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于G，H，与OB 相交于E，F，探究线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论.
达标检测
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A. AB>2AM C. AB<2AM
B. AB=2AM D. AB与2AM的大小不能确定
达标检测
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板书设计
解 ：EF=GH 证明：过点P分别作PM⊥HG，PN⊥EF， 垂足分别为M，N . ∵P是∠AOB的平分线OC上一点. ∴PM=PN .AB与CD相交于点E，且AB=CD，∠BED=a
九年级下册数学精品课件2.2.1 圆心角
所以弦AB=CE=DE,
在△CDE中CE+DE>CD,即CD<2AB.
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圆心角
概念：顶点在圆心的角
弦、弧、圆心 角的关系定理
在同圆或等圆中
圆心角 相等
应用提醒
①要注意前提条件； 弧
②要灵活转化.
相等
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弦 相等
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4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD BC .
求证:AB＝CD.
C B
证明：连接AO,BO,CO,DO.
O.
AD BC，
AOD BOC.
D A
AOD+BOD=BOC+BOD.
即AOB COD，
AB=CD.
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第2章 圆 2.2.1 圆心角
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1
学习目标
1.结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角； 2.能发现圆心角、弦、弧之间的关系，并会初步运 用这些关系解决有关的问题．(重点)
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2
情境引入
飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存 在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？
B D OC A
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要点归纳
弧、弦与圆心角关系 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，
所对的弧也相等．
③AB=CD CB
①∠AOB=∠COD ②A⌒B=C⌒D
D
O
A
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要点归纳
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或 两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其 余各组量都分别相等.
九年级数学下册 第2章 圆 2.2 圆心角、圆周角教学课件下册数学课件
O·
B
C
判别下列各图形中的角是不是圆周角，为什么？
O·
O·
不是
不是
·O
O·
不是
是
D A
找一找
C
指出图中的圆周角。
O·
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E
B
·O 不是
圆周角性质定理：
1、画一个圆心角,然后再画同弧所对的圆周角.
2、一条弧所对的圆周角有多少个?圆心角呢?
AA A
一条弧所对的圆周角有无数个。 圆心角只有一个。
大小有什么关系?为什么? ∠B= 21∠AOC ∠D= 21∠AOC
∠B=∠D=∠E
∠E=
1 2
∠AOC
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
反之，相等的圆周角所对的弧也相等。
D
B
E
O
A
C
问题2、如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，
你能确定∠BAC的度数吗?
A
∠BOC=180º
∠BAC=
1 2
② 角的两边都与圆相交. 2、圆周角定理及其定理应用。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透了 “特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。
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本节内容 2.2.2
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知识回顾 1、圆周角的定义。
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：① 角的顶点在圆上.
A
∠EOB=40º，∠AOC=∠COE=∠DOB=70º
∠AOD=110º
C
E
O·
B
D
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6、如图，已知CD是⊙O直径，圆心角∠AOB=30º，
鲁教版初中数学九年级下册《圆的对称性(2)》导学案
教材13页习题5.3第3题。
反思：
（2）什么是1°的弧? 1°的圆心角所对的弧的度数是多少？1°的弧所对的圆心角的度数是多少？与同伴交流。
（3）n°的圆心角的度数所对的弧的度数有怎样的关系?
2、师生归纳定理：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
3、定理应用：课本13页随堂练习
（二）目标2：圆的对称性及相关性质定理的应用。
1、阅读课本12页例2，独立完成解答过程。(学生板演)
学习内容与流程
一、复习旧知：
1、叙述圆心角的意义，叙述圆的轴对称性与中心对称性。
2、叙述与圆心角定理及推论的内容，结合图形用几何推理的形式加以表述。
(学生思考讨论后，回答)
二、导学过程：
（一）目标1：探索圆心角的度数与所对弧度数的关系。
1、阅读课本第11-12页例2前的内容，思考下列问题：
（1）把顶点在圆心的周角分成360份，每一份的圆心角的度数是多少？
三、当堂检测：
1、如右图，已知 是⊙O的直径， 为弦， ．过圆心 作 交BC于点 ，连接 ，则
2、在⊙O中,已知弦AB= cm,OA=4cm,求弦AB所对的两条弧的度数。
3、已知AB、CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB,弧CE的度数为80°，求∠AOD
的度数。
四、自我评价
1、本节课有困惑的题自己的解法。
3、教师点评：此题可以有不同的解法,解题的关键是会求劣弧AB的度数以及过圆心O作弦AB的垂线利用勾股定理。
4、变式练习：例2中已知⊙O的半径为R，弦AB长为 R,试求弧AB的度数。
5、阅读课本12页例3，独立完成解答过程。(学生板演)
6、点评：求弧CE的度数应先求它所对圆心角的度数。
课题