沪科版运用公式法因式分解

合集下载

2023七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解8.4因式分解2公式法教案(新版)沪科版

4. 一个正方形的边长是 $x+2$，求这个正方形的面积。
题型三：综合题
5. 已知一个二次方程 $x^2 + (a+b)x + ab = 0$ 的两个根的和为 $-a-b$，两个根的积为 $ab$，求这个二次方程。
提示：在解题过程中，请同学们注意运用完全平方公式和平方差公式，以及灵活运用所学的因式分解技巧。
1.理论介绍：首先，我们要了解公式法分解因式的基本概念。公式法是利用特定的数学公式将一个多项式分解成两个或多个多项式的乘积。它是解决因式分解问题的重要方法之一。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了公式法在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式和平方差公式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
四、教学资源
软硬件资源：
1. 教室内的多媒体设备，包括投影仪和计算机。
2. 学生用的计算器。
3. 白板和记号笔。
课程平台：
1. 人教版七年级数学下册教材。
2. 与教材配套的练习册和作业本。
信息化资源：
1. 教学PPT，包含本节课的主要内容和例题。
2. 在线数学题库，用于学生练习和巩固知识。
教学手段：
六、教学资源拓展
1.拓展资源：
（1）课后习题：为学生提供与本节课内容相关的课后习题，包括不同难度的题目，以便学生巩固所学知识。
（2）在线课程：推荐一些与因式分解相关的在线课程或视频，如“公式法分解因式技巧讲解”、“因式分解的实际应用”等，以便学生进一步学习和拓展知识。
（3）数学竞赛题目：提供一些与因式分解相关的数学竞赛题目，激发学生的学习兴趣和挑战精神。

沪科版数学七年级下册第8章整式乘法和因式分解 84 因式分解公式法共17张

（二）结构特点： 1、左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反； 2、右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
（三）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.这个公式就是平方差公式.
例2：把下列各式分解因式
（1）x2 ? 14x ? 49
(2)9a 2 ? 30ab ? 25b2
a2 - b2= ( a + b)( a - b ) 4x2- 9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y)
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
关键词：公式反某些
平方差公式
（一）公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
? (3m ? n（) m ? 3n)
解 : (2) （x ? ? 2 ?(x ? y) ?1 ?（1）2 22
?（x ? y ? 1 )2 2
解：（3） 6xy? x2 ? 9 y2 ? ?（x2 ? 6xy? 9 y2 ) ? ?［x2 ? 2 ?x?3y ? (3y)2］ ? ?（x ? 3y）2
a2 - 2 a b + b2 = ( a - b)2
（3）9 x2 ? 6 x ? 1
? (3x)2 ? 2?(3x)?1? 12 ? (3x?1)2
a 2 ? 2ab ? b2 ? ?a ? b?2
完全平方公式
（一）公式： a 2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2
（二）结构特点： 1、公式左边是三项式，其中首末两项都为正，且这两项可化为两个数的平方，中间一项可正可负，还是这两个数的乘积的2倍； 2、右边是两个数的和（或差）的平方.

沪科版初一下数学因式分解的六种方法与四个技巧的结合

沪科版初一下数学因式分解的六种方法与四个技巧的结合因式分解的六种方法与四个技巧的结合六种方法（一）提公因数法题型1：公因式是单项式的因式分解若多项式－12x²y³+16x³y²+4x²y²的一个因式是－4x²y²，则另一个因式是（ B ）A.3y+4x-1B.3y-4x-1C.3y-4x+1D.3y-4x分解因式：-4m4n+16m³n-28m²n原式=-4m²n（m²-4m＋7）题型2：公因式是多项式的因式分解3.把下列各式因式分解：（1）a（b-c）+c-b （2）15b（2a-b）²+25（b-2a）²原式=a（b-c）-（b-c）原式=5（2a-b）²（3b+ 5）=（b-c）（a-1）（二）公式法题型1：直接用公式法4.把下列各式因式分解：（1）（x²+y²）²-4x²y²（2）（x²+6x）²+18（x²+6x）+81原式=[（x²+y²）-2xy][（x²+y²）+2xy] 原式=[（x²+6x）+ 9]²=（x-y）²（x+y）²=[（x+3）²]²=（x+3）4题型2：先提再套法把下列各式因式分解：（x-1）+b²（1-x）（2）-3x7+24x5-48x³原式=（x-1）-b²（x-1）原式=-3x³（x4-8x2+1 6）=（x-1）（1-b²）=-3x³（x²-4）²=（x-1）（1-b）（1+b）=-3x（x-2）²（x+2）²题型3：先局部再整体法6.分解因式：（x+3）（x+4）+（x²-9）原式=（x+3）（x+4）+（x+3）（x-3）=（x+3）（x+4+x-3）=（x+3）（2x+1）题型4：先展开再分解法7.把下列各式因式分解：（1）x（x+4）+4 （2）4x（y-x）-y²原式=x²+4x+4 原式=4xy-4x²-y²=（x+2）²=-（4x²-4xy+y²）=-（2x-y）²（三）分组分解法8.把下列各式分解因式：（1）m²-mn＋mx-nx （2）4-x²+2xy-y ²原式=（m²-mn）+（mx-nx）原式=4-（x²-2x y+y²）=m（m-n）+x（m-n）=4-（x-y）²=（m-n）（m+x）=（2+x-y）（2-x+y）（四）拆、添项法9.分解因式：x4+14原式=x4+14+x ²-x ²=（x ²+12）²-x ²=（x ²+12-x ）（x ²+12+x ）（五）整体法题型1：“提”整体分解因式：a （x+y -z ）-b （z -x -y ）-c （x -z+y ）原式=a （x+y -z ）+b （x+y -z ）-c （x+y -z ） =（x+y -z ）（a+b -c ）题型2：“当”整体分解因式：（x+y ）²-4（x+y -1）原式=（x+y ）²-4（x+y ）+4 =（x -y+2）² 题型3：“拆”整体分解因式：ab （c ²+d ²）+cd （a ²+b ²）原式=abc ²+abd ²+cda ²+cdb ² =（abc ²+cda ²）+（abd ²+cdb ²） =ac （bc+ad ）+bd （ad+bc ） =（bc+ad ）（ac+bd ）题型4：“凑”整体分解因式：x ²-y ²-4x+6y -5 原式=x ²-4x+4-y ²+6y -9 =（x -2）²-（y -3）² （x -2+y -3）（x -2-y+3） =（x+y -5）（x -y+1）换元法 14.分解因式:（1）（a ²+2a -2）（a ²+2a+4）+9 （2）（b ²-b+1）（b ²-b+3）+1设:a²+2a=m 设：b²-b=n原式=（m-2）（m+4）+9 原式=（n+1）（n+3）+1=m²+2m-8+9 =n²+4n+3+1=（m+1）²=（n+2）²=（a²+2a＋1）²=（b²-b＋2）²=（a+1）4二、四个技巧技巧1：巧用乘法公式15.已知实数m，n满足（m+n）²=169，（m-n）²=9，求m²+n²-m n的值。

沪科版七年级下册数学精品教学课件-第8章-整式乘法与因式分解-公式法(2024版)

步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A．a2 ＋ ( - b)2
B．5m2 - 20mn
C．- x2 - y2
D． - x2 ＋ 9
2. 分解因式 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（ D ）
A．3(x2 + 4x + 3)
B．3(x2 + 2x + 3)
C．(3x + 3)(x + 3)
x＋y ＝ 1①，
所以 x - y ＝ -2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x y
3 2
1 2
.
，
方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例3 计算下列各题： (1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 46解.52：×(41.) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.
因式吗？是 a，b 两数的平方差的形式
平方差公式：整式乘法
( a + b )( a - b ) = a2 - b2 a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，
为什么？（1）x2 + y2 （2）x2 - y2
解析：∵ 16 = (±4)2，∴ - m = 2×(±4)，即 m = ±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解.

沪科版七年级数学下册8.4《因式分解-十字相乘法》课件

解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
－1
－9x－x=－10x
例5 分解因式 5x2－17x－12
解：5x 2－17x－12 5x
＋3
=(5x＋3)(x－4) x
－4
－20x＋3x=－17x
练习二
分解下列因式：
(1)2x2-5x-3 =（2x+1)(x-3) (2)3x2+8x-3 =(3x-1)(x+3)
（3）x 2 14x 49
和差积分解因式整式乘法
因式分解的实质是（“和差化积）”与（整式乘法）是“积化和差”的过程正好（相反）。
观察和思考 X2-14x+49
（1）x2+3x+2 是几次几项式？二次项系数、
一次项系数、常数项分别是多少？
（2）它有公因式吗？能用平方差公式，完全平方公式分解因式吗?
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12
(x 3)(x 4) x2 7x 12
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
等式左边是两个一次二项式（相乘）右边是（二次三项式）
计算下列各题：
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x 2 x 12 (x 3)(x 4) x2 7x 12 问：你有什么快速计算类似多项式的方法吗？
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
小结：
对于二次项系数不是1的二次三项式分解的方法是“拆两头，凑中间”

八年级上册数学知识点沪科版

八年级上册数学知识点沪科版【篇一】八年级上册数学知识点沪科版(一)运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

(五)分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)×(a+b).学好数学的关键就在于要适时适量地进行总结归类，接下来小编就为大家整理了这篇人教版八年级数学全等三角形知识点讲解，希望可以对大家有所帮助。

沪科版七年级数学下册同步教案第8章整式乘法与因式分解因式分解2公式法

2.公式法【知识与技能】1.能运用完全平方公式和平方差公式分解因式.2.能运用分组分解法分解因式.【过程与方法】有意识地引导学生参与到数学活动中,培养学生观察、分析、运用知识的能力,掌握公式法和分组分解法.【情感态度】通过参与数学活动,培养学生独立思考及与他人合作交流的学习习惯,体验运用知识解决问题的喜悦,增强学生学好数学的自信心.【教学重点】运用公式法、分组分解法分解因式.【教学难点】熟练地运用公式法、分组分解法分解因式.一、情境导入,初步认识问题计算：（1）(x+5)(x-5)；（2）(x-2)2.【教学说明】教师给出问题,学生根据前面所学的平方差公式、完全平方公式进行计算.二、思考探究,获取新知公式法问题将上面的式子和结果交换位置,你有什么样的发现呢？观察：x2-25=(x+5)(x-5)x2-4x+4=(x-2)2【教学说明】教师提出问题,学生观察、分析、相互交流,发表各自的见解,可以得出从左到右的变形也是因式分解.【归纳结论】运用公式（完全平方公式和平方差公式）进行因式分解的方法叫做公式法.三、典例精析,掌握新知例1把下列各式分解因式：（1）x2+14x+49; （2）9a2-30ab+25b2;(3)x2-81; (4)36a2-25b2.【解】（1）x2+14x+49=x2+2·x·7+72=(x+7)2.（2）9a2-30ab+25b2=(3a)2-2×3a×5b+(5b)2=(3a-5b)2.(3)x2-81=x2-92=(x+9)(x-9).(4)36a2-25b2=(6a)2-(5b)2=(6a+5b)(6a-5b).例2把下列多项式分解因式：(1)ab2-ac2; （2）3ax2+24axy+48ay2.【解】（1）ab2-ac2=a(b2-c2)（提取公因式）=a(b+c)(b-c).（用平方差公式）（2）3ax2+24axy+48ay2=3a(x2+8xy+16y2)（提取公因式）=3a(x+4y)2.（用完全平方公式）【教学说明】教师给出例题,学生独立完成,教师可让几个学生上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验.【归纳结论】在因式分解的过程中,有时提取公因式与利用公式两种方法要同时使用.有公因式要先提取公因式,因式分解一定要分解到各因式不能再分解为止.例3把下列各式分解因式：(1)x2-y2+ax+ay;（2）a2+2ab+b2-c2.【解】（1）x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a).（2）a2+2ab+b2-c2=(a2+2ab+b2)-c2=(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c).【教学说明】教师给出例题,学生相互交流,分组讨论,教师也可适当点拨,让学生掌握分组分解法.【归纳结论】当多项式项数较多（项数大于3）时,因式分解时需先分组,分组后再利用提公因式或运用公式进行分解.四、运用新知,深化理解1.把下列各式写成完全平方的形式.2.把下列各式分解因式.3.把下列多项式分解因式.(1)2x3-32x;(2)9a3b3-ab;(3)mx2-8mx+16m;(4)-x4+256;(5)-a+2a2-a3;(6)27x2y2-18x2y+3x2.4.把下列各式分解因式.(1)4a2-b2+4a-2b;(2)x2-2xy+y2-1;(3)9x2+6x+2y-y2;(4)x2-y2+a2-b2+2ax+2by.5.利用因式分解的方法计算.(1)3.14×562-3.14×442;(2)184.52+184.5×31+15.52.【教学说明】教师给出习题,学生独立自主完成,教师巡视,对有困难的同学进行点拨.5. (1)原式=3.14×(562-442)=3.14×(56+44)(56-44)=3.14×100×12=3768. （2）原式=(184.5+15.5)2=2002=40000.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾公式法、分组分解法,加深对所得新知的理解和应用.完成练习册中本课时练习.从了解公式法,分组分解法到运用这两种方法分解因式,学生表现出极大的学习热情,但训练强度仍显不足,在后面的学习中这部分内容还应该加强训练.。

沪科版七年级下第8章 8.4.2 因式分解公式法课件(15张PPT)

满足上述条件就可以用平方差公式
小试牛刀
判断下列各多项式是否可以用平方差公式进行因式分解，如果可以，指出对应公式中的 a，b分别是什么，如果不能请说明理由。
(1)、a²-2ab+b² (2)、a²+b² (3)、-a²-b² (4)、a²-b (5)、a²-1 (6)、4a²-25b²(7)-16m²+1
）
3、分解因式：
（1）、4x²+4x+1 （2）、(x-2y)²+8xy
（3）、 1 x2 1 y2 （4）、(x+1)(x-1)-35
16 25
布置作业课堂小册子
魅力数学
1、用简便方法计算：
1 1 1 1 1 1 1 1 ...1 1 4 9 16 25 10000
因式分解
引出概念
像这样运用公式进行因式分解的方法叫做公式法
掌握运用
那么，我们如何运用公式法进行因式分解呢？观察刚才的等式
a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)² 等式左边的多项式具有什么特点？
特征：项数三项式特点两项能够写成完全平方数，另外一项是它们底数积的2倍。符号完全平方数的两项符号相同
满足刚才三点要求就可以运用完全平方公式法来因式分解了。
判断下列各多项式可以运用完全平方法进行分解因式吗？
（1）x²-2x+1 （2）m²+2mn+n²（3）4a²+6ab+9b² （4）(a-b)²-2(a-b)+1（5）-a²+2ab-b²（6）2a²-b （7）x²-2xy-y ² （8）a²-ab+b²（9）m²+mn+n²

沪科版七年级下册数学第8章整式乘法与因式分解公式法——平方差公式(3)

解：原式＝(1 999＋2 000)×(1 999－2 000)＋(2 001＋2 002)× (2 001－2 002)＋…＋(2 019＋2 020)×(2 019－2 020) ＝－(1 999＋2 000)－(2 001＋2 002)－…－(2 019＋2 020) ＝－(1 999＋2 000＋2 001＋2 002＋…＋2 019＋2 020) ＝－＝－4 019×11 ＝－44 209.
18 见习题
2x(x＋3y)(x－3y) 14 见习题 9
10 见习题
15 见习题
a2－b2＝____(a_＋__b__)(_a_－_，b)即两个数的平方差，等于这两个数的________与这两个
数的________的积．
和
差
1．【合肥瑶海区期末】下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A．x2－xy
C．11或22
D．1A1的倍数
12．【桐城期末】分解因式：9(a＋b)2－(a－b)2＝________________. 4(a＋2b)(2a＋b)
【点拨】原式＝(3a＋3b)2－(a－b)2＝(3a＋3b－a＋b)(3a＋3b＋a－b)＝ (2a＋4b)·(4a＋2b)＝4(a＋2b)(2a＋b)．
(4)16(x－y)2－25(x＋y)2. 原式＝[4(x－y)＋5(x＋y)]·[4(x－y)－5(x＋y)] ＝－(9x＋y)(x＋9y)．
15．计算：
(1)251202－0020482；解：原式＝（252＋2481）0×0（00252－248）＝150000×040＝5.
(2)19992－20002＋20012－20022＋…＋20192－20202.
13．【创新题】【2021·怀宁期末】RSA129是一个129位利用代数知识产生的数字密码．曾有人认为，RSA129是有史以来最难的密码系统，涉及数论里因数分解的知识，在我们的日常生活中，取款、上网等都需要密码，有一种用“ 因式分解”法产生的密码方便记忆．如，多项式x4－y4，因式分解的结果是(x －y)(x＋y)(x2＋y2)．若取x＝9，y＝9时，则各因式的值分别是：x－y＝0，x ＋y＝18，x2＋y2＝162，

沪科版七年级下册数学8.4因式分解公式法课件

归纳：运用公式（完全平方公式和平方差公式）进行因式分解的方法叫公式法 .
2.小试牛刀
把下列各式分解因式：
（1）x2 – 4= (x+2)(x-2) （2）x2-2xy+y2 = (x-y)2 （3）1-36n2 = (1+6n)(1-6n) （4）y2-6y+9 = (y-3)2
探究(二) 1.视察以上“小试牛刀”的多项式, 回答
从因式分解的角度用语言叙述为:
如果一个三项式能化为“两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍”, 那么它就能分解为“这两个数的和(或差)的平方”.
如果一个二项式能化为“两个数的平方差”, 那么它就能分解为“这两个数的和与这两个数的差的积”.
例如 x2 +8x+16= (x+4)2 x2-16= (x+4)(x-4)
（3）4x2- 100=(2x+10)(2x-10) （4）9y2-6y+1 =(3y-1)2 （5）25m2-80m+64 =(5m-8)2 （6）-16+a2b2 =(ab+4)(ab-4)
素养提升例题2. 把下列各式的分解因式:
（1）(a+b)2-4(a+b)+ 4
（2）x4 – 81 （3）4a2-3b(4a-3b)
2021-280217 =4035
七、作业: P78 习题第4题
广西靖西市第二中学
电教处录制
202X年4月23日
八、课外拓展 1.如果4x2-12xy+ n是一个完全平方式, 那么n为 9y2 。
2.如果x2+ mxy+9y2是一个完全两道题都是三项式,其中二项有平方且同号, 第三项是底数乘积的2倍, 则能用完全平方公式.

沪科版七年级数学下册第八章乘法公式与因式分解专题—考点重难点复习(解析版)

乘法公式与因式分解专题一、乘法公式1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2、完全平方公式(完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.常见的变形：22()()4a b a b ab -=+-%1、计算：（1）；（2）；（3）． 22()()a b a b a b +-=-b a ,()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭(2)(2)x x -+--(32)(23)x y y x ---解：（1）原式．（2）原式．（3）原式2、计算：(1)59.9×60.1； (2)102×98解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99`(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝99963、计算：(1)； (2)；(3)； (4)．解：(1) ．(2) ． (3) ． (4) 4、已知m ﹣n ＝3，mn ＝2，求：；（1）（m +n ）2的值；（2）m 2﹣5mn +n 2的值．解：∵m ﹣n ＝3，mn ＝2，∴（1）（m +n ）2＝m 2+n 2+2mn ＝（m ﹣n ）2+4mn ＝9+8＝17；2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222(2)4x x =--=-22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-22600.1-221002-()23a b +()232a -+()22x y -()223x y --()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++()()()222223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+()()22222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+()()()()2222222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++（2）m2﹣5mn+n2＝（m+n）2﹣7mn＝9﹣14＝﹣5．5、已知有理数m，n满足（m+n）2＝9，（m﹣n）2＝1，求下列各式的值．（1）mn；（2）m2+n2﹣mn．.解：（m+n）2＝m2+n2+2mn＝9①，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝1②，（1）①﹣②得：4mn＝8，则mn＝2；（2）①+②得：2（m2+n2）＝10，则m2+n2＝5．所以m2+n2﹣mn＝5﹣2＝3．6、已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）6ab．解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，∴2（a2+b2）＝8，解得：a2+b2＝4；#（2）∵a2+b2＝4，∴4+2ab＝5，解得：ab＝，∴6ab＝3．二、因式分解1、因式分解：（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.2、公因式：》多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.3、因式分解的方法：（1）提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即．（2）公式法~①公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：②公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，. 形如，的式子叫做完全平方式.（3）十字相乘法~（4）分组分解法 m ()()22a b a b a b -=+-()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+7、下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A ．（3﹣x ）（3+x ）＝9﹣x 2B ．（y +1）（y ﹣3）＝（3﹣y ）（y +1）C ．4yz ﹣2y 2z +z ＝2y （2z ﹣zy ）+zD ．﹣8x 2+8x ﹣2＝﹣2（2x ﹣1）2解：A 、（3﹣x ）（3+x ）＝9﹣x 2，是整式的乘法运算，故此选项错误；！B 、（y +1）（y ﹣3）≠（3﹣y ）（y +1），不符合因式分解的定义，故此选项错误；C 、4yz ﹣2y 2z +z ＝2y （2z ﹣zy ）+z ，不符合因式分解的定义，故此选项错误；D 、﹣8x 2+8x ﹣2＝﹣2（2x ﹣1）2，正确．故选：D ．8、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A ．﹣1＝（+1）（﹣1）B ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2C ．x 2﹣x ﹣2＝（x +1）（x ﹣2）D ．ax ﹣ay ﹣a ＝a （x ﹣y ）﹣1解：A 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A 错误；B 、是整式的乘法，故B 错误；/C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 正确；D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误；故选：C ．9、(1)多项式的公因式是________； 2363x xy -+(2)多项式的公因式是________；(3)多项式的公因式是________； (4)多项式的公因式是________．【答案】(1)3 (2)4 (3) (4)解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．!(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3.(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是．公因式为4.(3)公因式是（），为一个多项式因式．(4)多项式可变形，其公因式是．10、把﹣6x y ﹣3x y ﹣8x y 因式分解时，应提取公因式（） A.﹣3x yB.-2x yC.x yD.﹣x y 【答案】D ．【解析】解：﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3=﹣x 2y 2（6x+3+8y ），{因此﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3的公因式是﹣x 2y 2．11、把下列各式因式分解：（1）__________.（2）_________________.【答案】（1）；（2） 324168mn m m --()()()x b c a y b c a a b c +--+----2(3)(3)x x x -+-m b c a +-3x -m m b c a +-()()233x x x ---3x -322223222222222168a b ab --=()()2232x x y x y x ---=()821ab a -+()()221xx y x --【解析】.12、因式分解：____________.【答案】；,【解析】.13、分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）．（2）．（3）．（4）．14、分解因式：.（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）．（2）．（3）． ()()()()()()22222323221x x y x y x x x y x x y x x y x ---=---=--()()2222y x y x +++=()()22y x x y +++()()()()()()22222222y x yx y x x y y x x y +++=+++=+++229a b -22251x y -22168194a b -+214m -+22229(3)(3)(3)a b a b a b a b -=-=+-2222251(5)1(51)(51)x y xy xy xy -=-=+-2222168194949494232323a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22214(2)1(21)(21)m m m m -+=-=+-21449x x ++29124x x -+214a a ++22111162a b ab -+22221449277(7)x x x x x ++=+⋅⋅+=+22229124(3)2322(32)x x x x x -+=-⋅⋅+=-2222111124222a a a a a ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）． 15、分解因式：（1）（3x ﹣2）2﹣（2x +7）2 （2）8ab ﹣8b 2﹣2a 2解：（1）原式＝[（3x ﹣2）+（2x +7）][（3x ﹣2）﹣（2x +7）]）＝（3x ﹣2+2x +7）（3x ﹣2﹣2x ﹣7）＝（5x +5）（x ﹣9）＝5（x +1）（x ﹣9）；（2）原式＝﹣2（a 2﹣4ab +4b 2）＝﹣2（a ﹣2b ）2．16、因式分解：（1）3x 2y ﹣18xy 2+27y 3 （2）x 2（x ﹣2）+（2﹣x ）解：（1）3x 2y ﹣18xy 2+27y 3＝3y （x 2﹣6xy +9y 2）＝3y （x ﹣3y ）2；（2）x 2（x ﹣2）+（2﹣x ）＝（x ﹣2）（x 2﹣1）＝（x ﹣2）（x +1）（x ﹣1）．17、分解因式：（1）1﹣a 2﹣b 2﹣2ab （2）9a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）《解：（1）原式＝1﹣（a +b ）2＝（1+a +b ）（1﹣a ﹣b ）；（2）原式＝9a 2（x ﹣y ）﹣4b 2（x ﹣y ）＝（x ﹣y ）（9a 2﹣4b 2）＝（x ﹣y ）（3a +2b ）•（3a ﹣2b ）．18、已知4x 2+y 2﹣4x +10y +26＝0，求6x ﹣y 的值．解：∵4x 2+y 2﹣4x +10y +26＝4（x ﹣）2+（y +5）2＝0，∴x ＝，y ＝﹣5，则原式＝3+1＝4．222221111112111162444a b ab ab ab ab ⎛⎫⎛⎫-+=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19、将下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）解：（1）因为；所以：原式＝（2）因为所以：原式＝（3）20、分解因式：（1）；（2）；（3）解：（1）'（2）（3）21、因式分解：m 2n ﹣5mn+6n.解：m 2n ﹣5mn+6n=n （m 2﹣5m+6）=n （m ﹣2）（m ﹣3）.21016x x -+2310x x --78x x x -=-()()78x x +-2810x x x --=-()()28x x --()()()2210331052x x x x x x --=-+-=-+-1072++x x 822--x x 2718x x --+()()271025x x x x ++=++()()22842x x x x --=-+()()22718(718)29x x x x x x --+=-+-=--+22、将下列各式分解因式：$（1）；（2）解：（1）因为所以：原式＝（2）因为所以：原式＝23、分解因式：）解：原式【练习】1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）A.))((n m n m +--B.()()3333x y x y -+C.))((b a b a ---D.()()2222c dd c -+ 【答案】A ；91019y y y +=()()2335y y ++21183x x x -=()()2379x x +-22244a b ab c +--()()()22222(44)222a ab b c a b c a b c a b c =-+-=--=-+--【解析】A 中m 和m -符号相反，n 和n -符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.）2．若x y +＝6，x y -＝5，则22x y -等于( )．A.11B.15C.30D.60 【答案】C ；【解析】()()22x y x y x y -=+-＝6×5＝30.3．下列计算正确的是( )．A.()()55m m -+＝225m -B. ()()1313m m -+＝213m - C.()()24343916n n n ---+=-+D.( 2ab n -)(2ab n +)＝224ab n - 【答案】C ；,【解析】()()55m m -+＝225m -；()()1313m m -+＝219m -；(2ab n -)(2ab n +)＝2224a b n -.4．下列多项式不是完全平方式的是( )．A.244x x --B.m m ++241 C.2296a ab b ++D.24129t t ++ 【答案】A ；【解析】2211()42m m m ++=+；22296(3)a ab b a b ++=+；224129(23)t t t ++=+. 5．已知关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，则常数m 的值为（）[A ．10B ．±10C ．﹣20D ．±20【答案】D ；【解析】解：∵关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，∵﹣m=±20，即m=±20.6．若2216x ax ++是一个完全平方式，则a ＝______．【解析】222216244x ax x x ++=±⨯+，所以4a =±7. 若2294x y +＝()232x y M ++,则M ＝______．【解析】2294x y +＝()23212x y xy +- 。

新沪科版七年级数学下册《8章整式乘法与因式分解 8.4 因式分解公式法》教案_9

运用公式法分解因式1．理解完全平方公式和平方差公式的特点,并能用语言表述这两个公式，培养学生的语言表达能力．2．能较熟练地运用完全平方公式和平方差公式分解因式．3．会用公式法分解因式求一些特殊代数式的值，体验分解因式在数学解题中的应用．4. 经历通过整式乘法和乘法公式逆向得出分解因式的方法的过程，进一步发展学生的逆向思维、整体换元思想和推理能力．三、教学重难点1.教学重点：运用公式法（完全平方公式和平方差公式）分解因式是本节课的教学重点．2.教学难点：灵活应用公式法分解因式是本节课的教学难点．四、学情分析及教学方法1. 学情分析：因式分解是数学学习的重要工具，它是约分和通分及后续学习的预备知识，根据知识内容和课程标准将本节教学内容安排四课时。

即第一课时是提公因式法，第二课时是运用公式法，第三课时是两种方法的综合应用，第四课时是分组分解法和十字相乘法。

本节课是因式分解的第二种方法，重点关注公式的基本特点和一般形式，使学生明确本节课的学习主线。

2.教学方法：探究与讲练相结合的方法．五、设计理念课件、投影片、导学案等．六、教学过程实录及点评活动1：创设情境，设疑激思.复习：1.什么叫因式分解？它和整式乘法有何关系？2.分解因式：6(x-y)3-3y(y-x)2；试问你用的是什么方法？你能用提公因式法分解下列多项式吗？（1）x2-6ax+9a2；（2）0.49x2-144y2.[师]本节课我和大家一道来解决这个提公因式法不能分解的问题.引例：在一个边长为（n+2)cm的正方形中，截去一个边长为ncn的正方形，请问剩下的面积是多少？问题1：解题中用到什么乘法公式？之前你学过了哪些乘法公式？问题2：根据等式性质的置换性，公式又能写成什么样的形式？此时从左往右叫什么运算？即：（1）a2+2ab+b2=（a+b)2；（2）a2-2ab+b2=(a-b）2；（3）a2-b2=(a+b)(a-b).[生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．[师]能不能用语言叙述呢？[生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方；两个数的平方差等于这两个数的和乘以这两个数的差. [师]今天我们就来研究用完全平方公式和平方差公式分解因式．活动2：理性思考，归纳公式.1. 填空：（1）4a 2=（）2；（2）49b 2=（）2；（3）0.16a 4=（）2；（4）1.21a 2b 2=（）2；2.下列各式是不是完全平方式？（1）a 2-4a+4（2）x 2+4x+14y 2 （3）4a 2+2ab+b2 （4）a 2-ab+b2 （5）x 2-6x-9（6）a 2+a+0.25（放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）．3.填空：（1）++mn m 31412 =+m 21( )2 （2）如果二次三项式4x 2+mx+36是一个完全平方式，则m= .4.公式特点(1）分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的.（2）让同学们自行总结平方差公式的特点，说说如何利用平方差公式分解因式.5.例题解析例1. 分解因式：（1）x 2-6ax+9a 2；（2）0.49x 2-144y 2.( 关注学生对公式模式的识别，突出多项式的变形与验算，向学生讲清算理，切不可死记硬背公式，防止盲目乱套公式)活动3：深化探究，拓展公式.例2. 分解因式：（1）(m+n)2-6(m+n)+9 （2）9（a+b ）2-(a-b)2( 学生有前面学习公式法的经验，可以让学生先前面的因式分解加以比较，然后尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．可提示学生运用整体换元思想分散解题难点) 归纳公式模型：活动4：知识应用，巩固新知.1.用因式分解解决引例中的问题.(让学生感受数学解题方法的多样性，体会优化数学解法的必要性)2.已知:2a+b=6，2a-b=5,利用因式分解计算4a 2-b 2.( 讲解时可分组完成，1,2两组用解方程组的方法，3,4两组用因式分解的方法，比一比哪组完成的既快又对.注重渗透与培养学生的整体思想，突出因式分解在数学解题中的重要性.)活动5：归纳理解，回顾现实.学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？（引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）活动6：课后作业.1.填空（1）4a 2=（）2；（2）49b 2=（）2；（3）0.16a 4=（）2；（4）1.21a 2b 2=（）2；（5）2x 2=（）2；（6）949x 4y 2=（）2． 2..下列各式是不是完全平方式？（1）a 2-4a+4 （）（2）x 2+4x+4y 2 （）（3）4a 2+2ab+14b 2 （）（4）a 2-ab+b 2 （）（5）x 2-6x-9 （）（6）a 2+a+0.25 （）3.填空（1）++mn m 31412 =+m 21( )2 （2）如果二次三项式4x 2+mx+36是一个完全平方式，则m= .4.练一练把下列多项式分解因式：（1）6a-a 2-9；（2）-8ab-16a 2-b 2；（3）-16+m 2n 2；（4）4x 2+20（x-x 2）+25（1-x ）2七、教学反思。

专题8.25 因式分解及提取公因式(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)

专题8.25因式分解及提取公因式（知识讲解）【学习目标】1、了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2、能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.特别说明：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、多项式的因式分解➽➼因式分解的判定1．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？（1）2(3)(3)9a a a +-=-；（2）24(2)(2)m m m -=+-；（3）221()()1a b a b a b -+=+-+；（4）2mR 2mr 2m(R r)+=+．【答案】（1）从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）是因式分解．【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可．解：（1）2(3)(3)9a a a +-=-，从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）24(2)(2)m m m -=+-，是因式分解；（3）221()()1a b a b a b -+=+-+，不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）()222mR mr m R r +=+，是因式分解．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，属于基础概念题型，熟知因式分解的定义是关键．举一反三：【变式1】检验下列因式分解是否正确．(1)9b 2－4a 2＝(2a ＋3b )(2a －3b )；（2）x 2－3x －4＝(x ＋4)(x －1)．【答案】（1）不正确．（2）不正确．【分析】计算右侧的整式乘法,看左右两边是否相等,即可判断因式分解是否正确.解：(1)∵(2a ＋3b)(2a －3b)＝(2a)2－(3b)2＝4a 2－9b 2≠9b 2－4a 2，∴因式分解9b 2－4a 2＝(2a ＋3b)(2a －3b)不正确．(2)∵(x ＋4)(x －1)＝x 2＋3x －4≠x 2－3x －4，∴因式分解x 2－3x －4＝(x ＋4)(x －1)不正确．【点拨】本题考查了整式的乘法与因式分解的联系,属于简单题,正确计算整式的乘法是解题关键.【变式2】辨别下面因式分解的正误并指明错误的原因.（1）()324238124423a b ab ab ab a b b -+=-；（2）()4334242x x y x x y -=-；（3）()2321a a a a-=-【答案】(1)错误，原因是另一个因式漏项了；(2)错误，原因是公因式没有提完；(3)错误，原因是与整式乘法相混淆【分析】（1）根据提取公因式的方法，第三项提取公因式的结果为1即可判断；（2）根据公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的确定公因式为2x 3，即可判断；（3）根据因式分解的定义确定原式的变形是整式乘法运算，不是因式分解.解：（1）∵()324238124423+1a b ab ab ab a b b -+=-∴原式错误，原因是另一个因式漏项了；（2）∵()4334222x x y x x y -=-∴原式错误，原因是公因式没有提完；（3）∵因式分解是把一个多项式分解为几个因式乘积的形式∴()2321a a a a -=-是整式乘法运算，不是因式，∴原式错误，原因是与整式乘法相混淆【点拨】本题考查因式分解的定义及因式分解的方法，不要把整式乘法和因式分解两种运算相混淆和正确用提取公因式法因式分解是解答此题的关键.类型二、多项式的因式分解➽➼已知因式分解结果求参数2．在分解因式2x ax b ++时，小明看错了b ，分解结果为()()24x x ++；小张看错了a ，分解结果为()()19x x --，求a ，b 的值．【答案】6a =，9b =【分析】根据题意甲看错了b ，分解结果为()()24x x ++，可得a 系数是正确的，乙看错了a ，分解结果为()()19x x --，b 系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a 、b 的值．解：∵()()22468x x x x ++=++，小明看错了b ，∴6a =，∵()()219109x x x x --=-+，小张看错了a ，∴9b =，∴6a =，9b =．【点拨】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的．举一反三：【变式1】若3a -是25a a m ++的一个因式，求m 的值．【答案】=24m -【分析】设另一个因式为+a n ，则有()()253-++=+a a a m a n ，进行整理使得左右式子对应系数相等求出m 、n 值即可求解．解：设另一个因式为+a n ，则有()()253-++=+a a a m a n ，即()22533++=+--a a m a n a n ，∴35-=n ，3m n =-，∴=8n ，24=-m ．【点拨】本题考查因式分解、整式的混合运算，熟知因式分解是把多项式转化为几个整式积的形式是解答的关键．【变式2】已知3216x x x a --+有因式4x -，求a 的值，并将其因式分解．【答案】16a =，原式()()()441x x x =+--【分析】首先根据题意“3216x x x a --+有因式4x -”，可得出4x =，进而得出当4x =时，32160x x x a --+=，然后把4x =代入32160x x x a --+=，即可算出a 的值，然后把a 的值代入3216x x x a --+，即可得到321616x x x --+，然后再用提公因式法和平方差公式分解因式，即可得出结果．解：∵3216x x x a --+有因式4x -，∴40x -=，即4x =，∴4x =时，32160x x x a --+=，∴把4x =代入32160x x x a --+=，可得：6416640a --+=，解得：16a =，∴把16a =代入3216x x x a --+，可得：321616x x x --+，∴321616x x x --+()()21161x x x =---()()2161x x =--()()()441x x x =+--．【点拨】本题考查了提公因式法分解因式、平方差公式，解本题的关键在熟练掌握因式分解．类型三、多项式的因式分解➽➼公因式➽➼提取公因式3．已知：2312A x =-，233510B x y xy =+，(1)(3)1C x x =+++．问多项式A ，B ，C 是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．【答案】有公因式;公因式为(x+2)【分析】分别将多项式A=3x 2-12，B=5x 2y 3+10xy 3，C=（x+1）（x+3）+1，进行因式分解，再寻找他们的公因式．解：多项式A 、B 、C 有公因式，∵A=()()()2231234322x x x x -=-=+-，B=()233351052x y xy xy x +=+，C=()()()222131431442x x x x x x x +++=+++=++=+∴多项式A 、B 、C 的公因式是：()2x +【点拨】熟练掌握提公因式的方法，先通过化简是解题的关键.举一反三：【变式1】多项式224x y -与2244x xy y ++的公因式是（）A ．x y-B ．4x y +C ．2x y-D ．2x y +【答案】D【分析】先对多项式224x y -与2244x xy y ++进行因式分解，再根据公因式的定义解决此题．解：∵224(2)(2)x y x y x y -=+-，22244(2)x xy y x y ++=+，∴224x y -与2244x xy y ++的公因式为2x y +；故选：D ．【点拨】本题主要考查因式分解以及公因式的定义，熟练掌握运用公式法进行因式分解以及公因式的定义是解决本题的关键．【变式2】下列各组中，没有公因式的一组是（）A ．ax bx -与by ay-B ．ab ac -与ab bc -C ．268xy x y -与43x -+D ．()3a b -与()2b y a -【答案】B【分析】将每一组因式分解，找公因式即可解：A.()ax bx x a b -=-，()by ay y a b -=--，有公因式a b -，故不符合题意；B.()ab ac a b c -=-，()ab bc b a c -=-，没有公因式，符合题意；C.()268234xy x y xy x -=-，4334x x -+=-，有公因式34x -，故不符合题意；D.()3a b -与()2b y a -有公因式a b -，故不符合题意；故选：B【点拨】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键4．因式分解：(1)282abc bc -；(2)()()26x x y x y +-+；【答案】(1)()24bc a c -(2)()()23x y x +-【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．（1）解：原式()24bc a c =-（2）解：原式()()23x y x =+-【点拨】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式1】把下列多项式因式分解：(1)2x xy x -+；(2)22m n mn mn -+；(3)33322292112x y x y x y -+；(4)()()22x x y y x y -+-．【答案】(1)()1x x y -+(2)()1mn m n -+(3)()223374x y xy x -+(4)()()22x y x y -+【分析】（1）直接提取公因式x ，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式mn ，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式223x y ，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式()x y -，进而分解因式得出答案．（1）解：()21x xy x x x y -+=-+（2）解：()221m n mn mn mn m n -+=-+（3）解：()33322222921123374x y x y x y x y xy x +--=+（4）解：()()()()2222x x y y x y x y x y -+-=-+【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．【变式2】因式分解：3215+10a a ．【答案】25(32)a a +【分析】用提公因式法分解因式即可．解：()3222215+105352532a a a a a a a =⋅+⋅=+．【点拨】本题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是准确找出公因式25a．。

2024年沪科版八年级数学上册知识点总结（2篇）

2024年沪科版八年级数学上册知识点总结一、有理数的加减乘除运算1. 有理数的加法运算：同号相加，异号相减。

将分子分母化为最简整数形式，要注意约分。

2. 有理数的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3. 有理数的乘法运算：同号得正，异号得负。

将分子分母化为最简整数形式，要注意约分。

4. 有理数的除法运算：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

5. 有理数的四则运算综合运用。

二、平方根与立方根1. 平方根：给定一个非负实数a，且a≥0，开根号的结果称为a 的平方根。

记作√a。

2. 整数的平方根：如果一个整数的平方等于一个非负整数，那么这个非负整数就是该整数的平方根；否则，这个整数没有平方根。

3. 立方根：给定一个实数a，开立方根的结果称为a的立方根。

记作3√a。

三、带有根号的计算1. 同底数的相加相减：进行根号运算时，同底数的根号可以相加相减，底数不变。

2. 同底数的乘方：进行根号运算时，同底数的根号可以进行乘方运算，即合并同底数的指数。

3. 分数的根号运算：分子分母同时进行根号运算，然后约分，也可以先约分再进行根号运算。

四、代数式1. 代数式的定义：用字母表示数的式子，包含一个或多个字母和常数、运算符号组成。

2. 代数式的值：为了求代数式的值，需要给字母赋予特定的数值，将字母用数代替，然后进行计算。

3. 代数式的运算：常用的代数式运算有加法、减法、乘法和除法。

五、线性方程与方程的解1. 线性方程：只含有一次幂的方程称为线性方程。

2. 化简与解方程：对于方程要进行化简，恢复原来的形式，再解方程。

3. 解方程的方法：常用的解方程的方法有相加相减法、代入法、等式交换法和系数分离法。

六、百分数1. 百分数的概念：以分号“%”表示，百分数等于百分数的百分之一。

2. 百分数与小数的互相转化：将百分数转化为小数，就是将百分号去掉，除以100；将小数转化为百分数，就是乘以100再加上百分号。

3. 百分数的应用：常用的百分数应用有百分数的简化、比较大小和求百分数。

沪科版初中数学初一数学下册《整式乘除与因式分解》教案及教学反思

沪科版初中数学初一数学下册《整式乘除与因式分解》教案及教学反思一、前言《整式乘除与因式分解》是初中数学下册的第五章。

本章主要涉及到整式的基本概念和运算、整式的乘法、整式的除法和因式分解，这是初中数学学科中的重要内容。

对于初中生而言，初步掌握整式的基础概念，掌握基本的运算方法，以及能够灵活运用整式的乘、除、因式分解等基本技能，将对他们后续学习数学有很大的帮助。

在我们的教学过程中，既要求学生的基础知识扎实，也需要提供给他们良好的学习方法和策略。

因此，本文将结合我们的教学实践，介绍一份教案并反思教学效果。

二、教案内容第1课时整式的定义和运算1. 整式的定义•整式是由有理数和变量经过加、减、乘、幂运算构成的代数式，其中变量的次数均为非负整数。

•整式中，有理数和常数项均可看作是次数为0、无变量的整数次幂项。

2. 整式的运算•加法和减法：将同类项合并，然后再进行加、减运算。

•乘法：将每一个乘数依次与另一个整式相乘，然后将所得到的结果相加，最终得到的就是原来的两个整式的积。

•幂运算：将一个整式乘以自己任意多次，这样的运算方式叫做幂运算。

第2课时整式的乘法1. 整式的乘法•乘法运算的基本要点是先用第一个整数的每一个单项式去乘以第二个整式的所有单项式，然后将所有所得的结果相加，最终得到乘积。

•乘法中的交换律和结合律与初中数学中的普通数学的运算法则相似。

2. 整式的乘法法则•乘积法则：将两个单项式相乘，就是将它们的系数相乘，同时将它们的字母部分相乘。

•同底数幂相乘是，底数不变，指数相加。

•单项式与多项式相乘时，就是将单项式中的每一项依次与多项式中的各项相乘，然后将所得结果相加。

•根据乘法分配律，一个整式乘以整式和多项式时，可以先分配后相乘。

第3课时整式除法1. 整式的除法•除法运算中，被除式是可以整除除式的，而整除结果则是叫做商。

•整数除法可以转化为十进制小数除法。

•整式除法的步骤是：先确定商的首项和被除式的首项有关，然后将商的首项乘以除式，将所得积从被除式中减去，然后在下一个步骤中再求商的下一个项。

17.2.4++因式分解法+++课件++2023--2024学年沪科版八年级数学下册+

元二次方程,还可以有别的解法.
x2 = 9
依据：如果 a · b = 0，
移项
那么
a
=
0
或
b
=
0.
x2 -9 = 0
因式分解
（x+3）· (x-3) = 0
两个因式乘积为 0，说明什么？
∴x+3= 0，或 x-3= 0 降次，化为两个一次方程
解两个一次方程
= −， =
归纳
这种通过因式分解,将一个一元二次方程转化为两个一
17.2.4因式分解法
学习目标
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
பைடு நூலகம்
新课引入
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
=
49 -100x=0
一个一元二次方程用公式法总
可以求解.但对于一些特殊的一
元一次方程来求解的方法叫做因式分解法。
1、什么叫因式分解
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式
分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2.因式分解的方法
1.提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
2.公式法：完全平方公式：a2 ±2ab+b2=(a ±b)2
平方差公式：a2 -b2=(a +b)(a -b)
(x-2)(x-3)＝0
∴ x-2=0 或 x-3=0
x2=3
∴ x1=2，
用十字相乘法进行因式分解的练习：
2
(1) x + 8x + 7 = 0