华师大版九年级数学上册21.3二次根式的加减法(第2课时)
华师大版初中数学九年级上册 21.3 二次根式的加减课件 (共24张PPT)
1 3a 2 3, a
45 3 5,
12
4 2 12 3 8 3 3 3
（2）将被开方数相同的二次根式相加. 解： 3 48 1 3a 2 12 4 2 a 3
6 3 3 8 3
(6 1 8) 3
3
经典例题
例3. 已知：最简根式2x-y-2 3x-y+2与3y-x-1 2x-5y+13
2 2 54(a 3 +2a 2 +a) 3 6a(a 1) 观察 5 5 6a =3 (a +1) 5 6a 5 =3 (a +1) 55 3 (a +1) = 30a. 5
新识导入
同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方 数相同，这几个二次根式叫同类二次根式.
②要求被开方数中各因式的指数应该小于根指数2.
如 27x，
知识回顾
最简二次根式
化简二次根式的一般步骤： ①将被开方数分解质因数或因式分解，写成幂的积的形式. ②根据被开方数每个因式的指数小于2的要求，把开得尽方的因式用算术根 代替移到根号外面. ③根据根号内不含分母的要求，利用分式的性质，化去根号内的分母.
知识回顾
1. 最简二次根式 (1)什么叫做最简二次根式？ 满足下列两个条件： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. (2)如何理解这两个条件？ ①要求被开方数中不含分母或分母中不含根号.
y 如 , x a 都不符合这个条件. 5
1 2a 3 都不符合这个条件，而 m 2 9是最简二次根式. 3
3
4x 2x 35x
2
3x 2x 2x 2
21.3二次根式的加减法-华东师大版九年级数学上册课件(共22张PPT)
4、二次根式混合运算顺序是怎样的？
5、乘法分配律是怎样的？在二次根式运算中是否 适用？
6、多项式的乘法公式有哪些？在二次根式乘法中 是否适用？
课本P12: 1、计算： （1）( 3+ 2)( 3 2);(2)( 2a 3)( 2a 3)
【解】 （1）原式= ( 3)2 ( 2)2
32
1
（2）原式= ( 2a )2 ( 3)2
2a 3
课堂小结
1、什么是同类二次根式？如何识别？ 2、叙述合并同类二次根式的法则。
谈谈你 的收获
3、你知道二次根式加减的步骤吗？
课堂练习3 计算：
48 3- 1 12+ 24 2
【解】原式= 16- 6 + 24 =4- 6+2 6 =4+ 6
知识点4 运算律在二次根式运算中的应用
பைடு நூலகம்
例6 计算：(1)( 8 5 3) 6;(2)(5 15 3 ) 15.
27
5
【解】
（1）原式= 8 6 5 3 6
27
16 5 18 9
§21.3二次根式的加减法 ——加减法则
1、什么叫同类项？ 所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项。
2、合并同类项法则的内容： 把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和
字母的指数不变。
3、整式加减法的法则内容： 几个整式相加减，，如果有括号就先去括号，然后 再合并同类项。
试一试
仿照同类项的 合并你会做吗？
原式= 3 2-2 2 + 3-3 3
你能正确找出同 类二次根式吗？
=3-2 2+1-3 3
= 2-2 3
例3 计算：(1) 8+ 18 12
21.3二次根式的加减(共5课时)
21.3二次根式的加减(共5课时)第一课时：二次根式的加减教学过程 一、课堂引入（1）现有一块长7.5dm 、宽5 dm 的木板，能否采用如教科书图21．3-1所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm 2和18 dm 2的正方形木板？（2（3）下列计算是否正确？为什么？采用分组讨论，自主探究的方式来解决问题，提高学生自主学习的能力．==；=④=例1 计算 ； 练习13（1（2（例2 计算练习2四、小结本节课你学到了什么知识？你有什么认识？ 五、课后作业：教科书第16页第1、2题． 学22+例计算：223-练习计算：（1（（）第二课时：利用二次根式化简的数学思想解应用题．二、探索新知例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）ACQ P例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．三、巩固练习教材P17 3四、应用拓展例3．若最简根式3a是同类二次根式，求a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．作业设计一、选择题一、1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（•结果用最简二次根式）A．．．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．． D．二、填空题二、1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）三、综合提高题1．若最简二次根式2n是同类二次根式，求m、n 的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（2，5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=2-2·1·+12反之，（-1）2∴=）2求：（1（2（3（4，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．第三课时：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2二、探索新知例1．计算:（1）+（2）（）÷例2．计算（1））（（2）））三、巩固练习课本P练习1、217四、归纳小结：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．21.3 二次根式的加减(第四课时能力提高)一、知识梳理，基础练习1．的值是（ ）．A ．203．323C ．23．2032 ）．A ．2B ．3C ．4D ．1 二、填空题1．（-122）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（1+2-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知a 2b-ab 2=_________．三、能力提高例1．已知x b a -=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，练习12．当的值．（结果用最简二次根式表示）四课外延伸1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．A． B．与．与 D与2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如为有理化因式．________；的有理化因式是_________．的有理化因式是_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（2；（3（4（14．其它材料：如果n==________．。
初中数学华东师大版九年级上册21.3 二次根式的加减法
1
2
50 10
3
4a
结论： 判断一组式子是否为同类二次根式，只需
看化为最简二次根式后的被开方数是否相同，与 最简二次根式前面的因式及符号(系数)无关．
1.在下列各组根式中，是同类二次根式的
是（ B ）
A . 2 , 12
B. 2, 1
2
C. 4ab , ab2 D. a 1, a 1
2. 与 12 是同类二次根式的是( D )
A. 32 B. 24 C. 125 D. 6 1
27
探究
有什么发现？
如何计算8 2 4 2呢？
分析： 类似8a+4a=12a，我们可以根 据乘法分配律的逆用算来进行运算。
解： 8 2 4 2 (8 4) 2 12 2
以下是什么运算？如何计算？
9 5 20 5 9 52 5 5
(9 2 1) 5
(4 3 1) 2
2 9 2
别漏了“1”.
2
课堂小结
• 1.同类二次根式的概念及判断 • 2二次根式的加减法
课后作业
1.教材第12页习题 第1题 第2题，
2.完成练习册.
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果 被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类 二次根式.（与整式的同类项相似）
判断同类二次根式的关键是什么？ (1)化成最简二次根式；
(2)被开方数相同.
例题
【例1】计算下列各式中,哪些是同类二次根式?
3 3 2 3 3 a
2 a
2
75 5 3
1 27
3 9
a b ab ⑵ a b a b
【解析】上述运算均不正确，（1）中不是同类二次根 式，不能合并.（2）中整式和二次根式，不能合并.
数学九年级华东师大版 21.3 二次根式的加减法 (共21张PPT)
表示？你能类比法则完成上面的运算吗？ 2.乘法公式中平方差公式、完全平方公式用字母如何
表示？你能类比公式完成上面的运算吗？
针对性训练3 ： 计算
(1) ( 2 6)( 6 2)
(2) (2 5 2)2
（3）(2 2 3 3)(3 3 2 2)
2.x2 y2
例题 1： (1)( 3 2 1)( 3 2 1) (2)(2 5 3)2 (2 5 3)2 (3)(3 10)2005 (3 10)2005
方法探究： (2 3)2005 (2 3)2005
巩固应用：
(2 5)2005 (2 5)2006
知识点3：拓展应用
（1）选择：下列计算正确的（ C ）
A 102 82 102 82 10 8 2
B 2 3 2 2 3 2 4 32 2
C 3a b 3a b 3a2 b2
2
D 5 6 5 6 11
练习：
(1) 12 0.5 18 1 3
(2)(3 1 147) (9 1算
3 27 12
3
(4)( a3b 3ab ab3 ) ab
小结：1、二次根式的运算顺序与整式运算的运算 顺与类似，都是先高级运算后低级运算；
2、整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然 适应.
学中引 计算下列各题： （1） 5 6 5 2 2 3 （2） 2 3 3 2 2 3 3 2 (2) (2 5 2)2
（4）(2 2)(3 2 2)
拓展提升：
已知a 3 2, b 3 2，
求a2 ab b2的值.
解：原式
3
2
2 3
2 3
2 3
【华东师大版九年级数学上册教案】21.3二次根式的加减
21.3二次根式的加减教课目的1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；2．娴熟进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题；3．正确地运用二次根式加减乘除法例及运算律进行运算，并把结果化简．教课重难点【教课要点】将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算.【教课难点】运用二次根式加减乘除法例及运算律进行运算，并把结果化简.课前准备无教课过程一、情境导入小明家的客堂是长 7.5m，宽 5m的长方形，他要在客堂中截出两个面积分别为22的8m和 18m正方形铺不一样颜色的地砖，问可否截出？二、合作研究研究点一：同类二次根式例 1：已知最简二次根式2a＋b与a＋b3a－ 4能够归并同类项，求a＋ b 的值．分析：利用最简二次根式的观点求出a，b 的值，再代入a＋ b 求解即可．解：∵最简二次根式2a＋b与a＋b3a－ 4能够归并同类项，∴a＋b＝ 2， 2a＋b＝ 3a－ 4，解得 a＝3， b＝－1，∴ a＋ b＝3＋(－1)＝2.方法总结：依据同类二次根式的观点求待定字母的值时，应当依据同类二次根式的观点成立方程或方程组求解．研究点二：二次根式的运算【种类一】二次根式的加减运算例 2：计算：12－1－( 2) 2＋|2 － 3|.3分析：二次根式的加减运算应先化简，再归并同类二次根式．3123解：原式＝ 23－3－2＋2－ 3＝2－3－13＝3.方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数同样的二次根式进行归并，归并时系数相加减，根式不变．【种类二】二次根式的四则运算例 3：计算：(1)1 2 1322 × 9÷；345 5(2)1÷2 3＋1 23 12－ 23＋ 483 ；(3)2－( 3＋ 2) ÷ 3.分析： 先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内归并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．18 15 122解： (1) 原式＝ 2× 9×3× 45× 3＝2× 9× 9＝2；2 31 28 3 11 14 1(2) 原式＝ 6 3－ 3 ＋ 4 3 ÷ 2 3＋ 3＝ 3 × 2 3 ＋3＝ 3 ＋3＝5；(3) 原式＝2－( 3＋2) ÷1＝2－ 3＋ 22 33 ＝ 2－1－.33方法总结： 二次根式的混淆运算： 先把各二次根式化为最简二次根式， 再进行二次根式的乘除运算，而后归并同类二次根式．【种类三】二次根式的化简求值例 4：先化简，再求值： a 2－ b 2 2ab － b 2，此中 a ＝ 2＋ 3， b ＝ 2－ 3.a ÷ a － a分析：先将原式化为最简形式，再将 a 与 b 的值代入计算即可求出．（＋）（ a － ） a 2－ 2 ＋ 2 （ a ＋）（－ ） aa ＋b解：原式＝ a ba b÷ab b＝baa b2a·（ a － b ） ＝a －b . 当a ＝2＋ 3， b ＝ 2－ 3时，原式＝2＋ 3＋2－ 342 32＋＝＝.3－2＋ 3 2 33方法总结： 化简求值时一般是先化简为最简分式或整式， 再代入求值． 化简时不可以跨度太大，缺乏必需的步骤易造成错解．【种类四】 二次根式运算在实质生活中的应用例 5：母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学专门做了两张大小不一样的正方形的壁画送给妈妈， 此中一张面积为 800cm 2，另一张面积为 450cm 2，他想假如再用金色细彩带把 壁画的边镶上会更美丽，他手上现有1.2m 长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细 彩带够用吗？假如不够，还需买多长的金色细彩带 ( 2 ≈1.414 ，结果保存整数 )?分析：先求出每张正方形壁画的边长，再依据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长．解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4× ( 800＋ 450) ＝ 4× (20 2＋ 15 2) ＝ 140 2≈197.96(cm) ．由于 1.2m ＝120cm ＜ 197.96cm ，因此小号的金色细彩带不够用 .197.96 －120＝77.96 ≈ 78(cm) ，即还需买 78cm 的金色细彩带．方法总结： 利用二次根式来解决生活中的问题，的要求． 三、板书设计1．同类二次根式应仔细剖析题意， 注意计算的正确性与结果2．二次根式的加减一般地，二次根式加减时，能够先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数同样的二次根式进行归并．3．二次根式的四则运算先算乘方 ( 开方 ) ，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．四、教课反省在讲课过程中，要以学生为主体，进行研究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，切合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在获得定义、法例的过程中，让学生经历发现、思虑、研究的过程，领会学习知识的成功与快乐．。
华师大版-数学 九年级上册 教案-21.3 二次根式的加减
21.3 二次根式的加减教学过程设计教学过程设计分析法则：（1）进行二次根式混合运算时，运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）.（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则仍然适用，整式、分式的运算法则仍然适用。
（3）有括号的二次根式混合运算，去掉括号是最关键的一步. 练习：○1课本例4，之后补充 （3）27)64148(÷- ○2课本例5，之后补充 2)5225(+ 分析说明：○1中补充（3）是不能除尽（含分数线）的类型。
○2中补充完全平方公式应用.归纳：二次根式混合运算时，乘法公式仍然适用，仔细观察式子的特征，灵活运用完全平方公式、平方差公式来简化运算. (二)二次根式混合运算的应用 1.若x=12-,则x 2+x+1= 2.已知23,23-=+=y x ，求()1yx xy +;()22622y xy x ++的值.3.如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC,AD⊥AB,AB=1,BC=CD=2,求四边形ABCD 的面 积. 三、课堂训练 完成课本练习 .补充：1.海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ,b,c,设p=2cb a ++, 则三角形的面积为S=)())((c p b p a p p ---公式运用：在ABC ∆中，BC=4,AC=5,AB=6,求ABC ∆的面积。
四、小结归纳学生板演，并说明每一步的依据，然后师生订正.引导学生先观察、分析，找学生说明解题思路，解题后养成说明理由的反思习惯.学生独立完成练习,巩固新知,师生订正初步进行计算感受二次根式混合运算的应用熟练计算和解题纳入知识系统。
九年级数学上册 21.3 二次根式的加减教案 (新版)华东师大版
21．3 二次根式的加减第1课时二次根式的加减第2课时二次根式的混合运算【知识与技能】1．知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否是同类二次根式．2．学会通过合并同类二次根式，进行二次根式的加法与减法运算．3．会进行二次根式的加减混合运算．【过程与方法】1．经历探索二次根式的乘除法运算法则过程；培养学生的探究精神和合作交流的习惯．2．体会用类比的思想研究二次根式的加减法运算法则，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂．【情感态度】教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识．【教学重点】掌握二次根式的加减法运算法则，会用它进行简单的二次根式的加减法运算．【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识及二次根式的混合运算．一、创设情境，导入新知一个运动场要修两块长方形草坪，第一块草坪的长是10米，宽是5米，第二块草坪的长是20米，宽也是5米．你能告诉运动场的负责人要准备多大面积的草皮吗？问题：10 5＋20 5是什么运算？(说明：学生回答，教师出示课题并说明研究该问题就是如何进行二次根式的加减运算)二、合作探究，理解新知探究一：二次根式的加减运算1．试一试计算：(1)3 3－2 3；(2)3 a＋2 a.2．通过观察以上两道计算题，你联想到了什么？3．你能试着解决它吗？归纳：上面两个例子表明：遇到两个二次根式相加(或相减)时，我们希望利用分配律．这里利用分配律的实质是要求这两个二次根式的被开方数相同．这种类似的情况我们过去也遇到过：将两个单项式相加，如果想利用分配律的话，那就应当要求两个单项式除了系数以外，其余部分完全相同．这就启发我们，如同在整式的加减中合并“同类项”那样，能不能在二次根式的加减中，也合并一种“同类二次根式”呢？(学生讨论类比同类项，得出同类二次根式的概念)4．同类二次根式：像3 3和－2 3，3 a和2 a等这样的两个二次根式，称为同类二次根式．(1)(学生讨论、教师讲解)同类二次根式的特点(可结合上面的题目)．①被开方数相同；②二次根式是最简二次根式；③与二次根式前面的“系数”无关．(2)练习1：②①2·3与6是不是同类二次根式？②你还能说出几个与3 3同类的二次根式吗？(3)思考：通过上面的练习，你怎样判断两个二次根式是同类二次根式？师生共同归纳：先将所给的二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同的是同类二次根式，否则不是同类二次根式．5．二次根式的加减(1)思考归纳：你能通过类比整式的加减，进行二次根式的加减运算吗？二次根式的加减，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并，合并方法是将同类二次根式前面的“系数”进行加减．(2)例题讲解例1：计算：3 2＋3－2 2－3 3.先让学生独立完成，教师可适当点拨：①这里四个二次根式项中有同类二次根式吗？②能否将它们化简？解：3 2＋3－2 2－3 3＝(3 2－2 2)＋(3－3 3)＝2－2 3.思考：你会计算8＋18＋12吗？引导学生分析出先将各二次根式化成最简二次根式，再进行加减，最后学生完成解答．例2：计算：(1)27－12＋45；(2)25x4＋16x－9x.分析：先化成最简二次根式，再进行加减运算．解：(1)27－12＋45＝3 3－2 3＋3 5＝3＋3 5；(2)25x4＋16x－9x＝52x＋4 x－3 x＝72x.探究二：二次根式的混合运算二次根式的混合运算可以说是对我们前面所学的二次根式的乘法、除法以及加减法运算法则的综合运用，是前面几节内容的概括和总结，在进行二次根式的混合运算时，要注意以下三点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．(2)在运算过程中，每个根式都可以看作一个“单项式”，多个不同的二次根式可以看作“多项式”，因此整式运算中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用．(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个最简形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次根式的和或差，或是有理式．例题讲解例3：计算： (1)ab(a 3b ＋ab 3－ab)；(2)(232－12)×(12 8＋23)； (3)(3 2＋48)×(18－4 3)；(4)a 3－a 2ba －ab －a －b a ＋b .分析：第(1)题可利用多项式与单项式的乘法法则计算；第(2)题可先化简为最简二次根式，再用多项式乘多项式的法则计算；第(3)题可以先把48和18化简，再利用乘法公式得到结果；第(4)题可以先分解因式和约分，再进行计算，简化计算过程．解：(1)ab(a 3b ＋ab 3－ab)＝ab(a ab ＋b ab －ab)＝ab ·a ab ＋ab ·b ab －ab·ab ＝a 2b ＋ab 2－ab ab ； (2)(232－12)×(12 8＋23)＝(6－12 2)×(2＋13 6)＝6×2＋6×13 6－12 2×2－12 2×13 6＝2 3＋2－1－13 3＝1＋53 3； (3)(3 2＋48)×(18－4 3)＝(3 2＋4 3)×(3 2－4 3)＝(3 2)2－(4 3)2＝18－48＝－30； (4)a 3－a 2ba －ab －a －ba ＋b ＝a （a －b ）a （a －b ）－（a ＋b ）（a －b ）a ＋b ＝a －(a －b)＝ b.三、尝试练习，掌握新知1．教材第12页练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．四、课堂小结，梳理新知通过本节课，你有什么收获或困惑？1．同类二次根式(1)它们都是最简二次根式；(2)它们的被开方数必须完全相同．同时，我们还学习了二次根式的加法与减法运算．通过运算我们知道，二次根式相加减的实质就是合并同类二次根式．为了确认哪些二次根式是同类二次根式，我们先要把被确认的二次根式都化成最简二次根式，再按它们的被开方数是否完全相同去判断．2．二次根式的加减的实质就是合并同类二次根式，整式的运算法则在二次根式中仍适用．五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．教材习题21.3第1、2题．。
21.3 二次根式的加减 华师大版数学九年级上册教案
21.3 二次根式的加减※教学目标※【知识与技能】1.知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否是同类二次根式.2.学会通过合并同类二次根式，进行二次根式的加法与减法运算.3.会进行二次根式的加减混合运算.【过程与方法】1.经历探索二次根式的加减法运算法则过程，培养学生的探究精神和合作交流的习惯.2.体会用类比的思想研究二次根式的加减法运算法则，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂.【情感态度】教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识.【教学重点】掌握二次根式的加减法运算法则，会用它进行简单的二次根式的加减法运算.【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识及二次根式的混合运算.※教学过程※一、复习引入计算下列各式：二、探索新知1.试计算：教师点拨：（1）如果我们把当成x,不就能转化为上面的问题了吗？（2）把2.通过观察以上两道计算题，你联想到了什么？3.归纳：通过观察，启发我们，类似在整式的加减中合并“同类项”那样，能不能在二次根式的加减中,也合并一种“同类二次根式”呢？（学生讨论类比同类项，得出同类二次根式的概念）4.同类二次根式的特点：①被开方数相同；②二次根式是最简二次根式；③与二次根式前面的“系数”无关.5.怎样判断两个二次根式是不是同类二次根式呢？①先将所给的二次根式化成最简二次根式;②看被开方数是否相同，相同的是同类二次根式，否则不是同类二次根式.【例1】在下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是( )分析：化简各项可得显然：答案选B.6.二次根式的加减二次根式的加减，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并，合并的方法是：将同类二次根式前面的“系数”进行加减.【例2】计算：.(先让学生独立完成，教师可适当点拨)解：原式=思考：你会计算：吗？引导学生分析出先将各二次根式化成最简二次根式，再进行加减，最后学生完成解答.【例3】计算：分析：先化成最简二次根式，再进行加减运算.解：三、巩固练习计算：答案：四、应用拓展【例4】计算：教师引导学生观察，类比以前的整式乘法的运算，将整式乘法的运算方法迁移到二次根式的运算中来.解：（1）原式=(2)原式=归纳：复杂的二次根式的计算可运用整式乘法的运算法则进行.五、归纳小结1.同类二次根式的特点及判断.2.二次根式的加减的实质就是合并同类二次根式，整式的运算法则在二次根式中仍适用.※课后作业※教材习题21.3第1、2题.选作：教材习题21.3第3题.。
华师大版-数学-九年级上册 22.3 二次根式的加减法 第二课时
22.3 二次根式的加减法(2)第2课时教学内容利用二次根式的概念，性质解决实际问题．教学目标1．知识与技能．会运用二次根式的概念、性质、法则解决实际问题．2．过程与方法．经历探究二次根式的应用过程，掌握其应用方法．3．情感、态度与价值观．感受数学中的数感，体验过程性学习中的知识延伸和变化．重难点、关键1．重点：二次根式概念、性质、法则的运用．2．难点：合理应用二次根式概念、性质、法则解决实际问题． 3．关键：正确地进行二次根式的化简．教学准备1．教师准备：投影仪，补充资料制作成投影片．2．学生准备：复习上一节课内容．教学过程一、回顾知识，复习检测1．课堂小测．（投影显示）计算：（1）（2））+（3）232 答案：（1）（2）14 （3）2．复习引入．教师讲述：上节课，我们对二次根式的加减进行了研究，可以归纳出解题方法：第一步，先把二次根式化成最简二次根式；第二步，再把被开方数相同的二次根式进行合并．本节课要学习实际应用问题．学生活动：进行自我检测，而后回顾上一节课内容，并且踊跃发言． 二、范例学习，拓展新知1．例1：如图所示的Rt △ABC 中，∠C=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以每秒1厘米的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以每秒2厘米的速度向点C 移动，请同学们探究：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（•结果用最简二次根式表示）QPC BA思路点拨：对这类问题，关键是将“动”转动成“定”，可设x 秒钟后，△PBQ•的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，根据三角形面积公式就可以求出x 的值． 教师活动：操作投影仪，显示例1，然后引导学生解决例1． 学生活动：在教师引导下，弄清题意，解答例1． 解：设x 秒钟后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x依题意得：12x·2x=35x2=35所以秒后△PBQ的面积为35平方厘米．===．PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为厘米．2．例2：要焊接如图所示的钢架，大约需要多少钢材？（精确到0.1m）4cm 2cm1cmD CBA思路点拨：要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材这个问题中，•首先应明白此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度．教师活动：操作投影仪，显示例2，然后引导学生分析例2．学生活动：思考例2中的问题，与同伴交流．弄清本题的解题工具是勾股定理，•理解方法是利用二次根式化简．学生板演：解：由勾股定理，得所需要的钢材长度为：+7≈3×2.24+7≈13.7（m）答：要焊接一个如图22．3-2所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材． 评析：本题是勾股定理与二次根式的综合运用题． 三、随堂练习，加深理解1．设三角形三边是a ，b ，c ，周长是C ． （1）如果b c ==C ． （2）如果,c =，，求b ．2．如图，在ABCD 中，DE ⊥AB ，E 在AB 上，DE=AE=EB=a ，求ABCD 的周长C ．E DCBA3．探究时空．若最简根式3aa ，b 的值． 思路点拨：首先要弄清同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；从题意可知，根式不是最简二次根式，首先应将它化简成│b│•再由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b ，解出a=1，b=1．依题意得4326246132321a b a b a b a a b a b b +=-++==⎧⎧⎧⎨⎨⎨-=-==⎩⎩⎩化简得解之 四、课堂总结，提高认识本节课主要掌握二次根式概念、性质、法则的运用；从实际问题出来，来认清应用的本质，学会列式和计算．五、布置作业，专题突破 选用课时作业设计．六、课堂反思（略）第二课时作业设计1．张村有一个长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，•鱼塘的宽是_______m ．（结果用最简二次根式表示）•2．•已知等腰直角三角形的直角边的长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是_______．（结果用最简二次根式）3．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长度应为（ ）（结果用最简二次根式表示）A ．B ．． 4．小刚想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（•结果用最简二次根式表示）A ．B ．．5．若最简二次根式23n 是同类二次根式，求m ，n 的值．6．同学们，我们过去曾经学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!今天我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）•都可以看作是一个数的平方，如3=）2，5=2．你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=）2-2×1+12反之，+1=-1）2∴=-1）2-1请你阅读上面事例，解答下面的算式：（1（4=，则m，n与a，b的关系是什么？说明理由．答案:1．2．3．A 4．C5.依题意，得22222324108,123m m m m m m n n n⎧⎧⎧⎧-=-==±=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨-==⎪⎪==⎪⎪⎩⎩⎩⎩即m m mn n n⎧⎧⎧=-==-⎪⎪⎪⎨⎨⎨===⎪⎪⎪⎩⎩⎩或6.111=======（4）m n amn b+=⎧⎨=⎩理由：两边平方得a±=m+n±m n amn b+=⎧⎨=⎩．。
华师大版九年级数学上册课件：21.3 二次根式的加减法2(共26张PPT)
8
⑴ 按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4
4
的变化结果并进行验证。
15
⑵ 针对上述各式反映的规律，写出n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等 式并进行验证。
25
1.课本第练习。 2.课本习题21.3。 3.课本复习参考题
26
1
教学重难点
➢ 二次根式化简为最简二次根式以及同 类二次根式的判定。 ➢ 二次根式的加减、乘除、乘方等运算 规律。 ➢ 由整式运算知识迁移到含二次根式的 运算。
2
部分运算律
加法交换律：a + b = b + a 乘法交换律：a × b = b × a 加法结合律：a + b + c = (a + b )+c= a + (b +c) 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c) 左 分 配 律：c ·(a + b) = (c ·a) + (c ·b) 右 分 配 律：(a + b) ·c = (a ·c) + (b ·c)
21
3. 有理化因式：
（1）单独一项 a 的有理化因式就是它本身 a 。
（2）出现和、差形式的：如 a b 的有理化因式为 a b。
22
与合并同类项类似,我们可以把相同二次根式的项合并. 以前我们学过的整式运算的其它法则和方法
也适用于二次根式的运算： 运算顺序：（有括号有时也可以先算括号内）
121261830126 17
例4、求当 a 2 时,代数式 (a1)2(a2)(a1)的值.
解：原式=a2-2a+1-（a2-a+ 2 a- 2 ） =-（1+ 2）a+（1+ 2 ） =（1+ 2 ）（1-a）
华东师大版九年级数学上册《21.3 二次根式的加减》课件
(3 5) a
5
8 a
2、计算:
(1)2 12 6 1 3 48 ; 3
(2) 12 20 3 5 .
加减混合运算，应从左向右依次计算.
(1)2 12 6 1 3 48 3
解：原式= 4 3 2 3 12 3
(4 2 12) 3 14 3
4 33 2
(2) 4 2 3 6 2 2
解：原式= 4 2 2 2 3 6 2 2
2 3 3. 2
4、计算:
(1) 2 3 2 5 ;
(2) 5 3 5 3
(1) 2 3 2 5
解：原式=
2
(2) 12 20 3 5
解：原式= 2 3 2 5 3 5 3 3 5
3、计算:
(1) 8 3 6; (2) 4 2 3 6 2 2.
(1) 8 3 6
解：原式= 8 6 3 6
86 36
五、目标检测
练习1 计算
（1） 80 20 5 （2）a2 8a 3a 50a3 （3）(4 7)(4 7) （4）( 3 2 1)( 3 2 1)
二、类比归纳，探索新知
问题2： 2x 3x 计算结果是多少？说说你的思
考过程.
讨论1： 2 x 3 y 能合并吗？为什么？
讨论2：2 2 3 2 能合并吗？如果能合并， 说说你的思考过程.
讨论3： 2 3 能直接合并吗？为什么？
问题3：
计算 8 18 分几步进行？每一 步的依据是什么？
二次根式的加减
一、创设情境，提出问题
问题1：现有一块长7.5dm，宽5dm的木板，能否采 用如课本图所示的方式 ，在这块木板上截出两个 面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？