避免分类讨论的几点策略
避免分类讨论“八法”
２０２３年４月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀避免分类讨论 八法◉威海市文登区教育教学研究培训中心㊀张秀妮㊀㊀摘要:分类讨论是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用,分类讨论法是解决比较复杂或者带有不确定性问题的一种有效方法;但是这种方法的弊端也很明显．所以,我们要在重视分类讨论思想应用的基础上,防止见参数就讨论的盲目做法,能整体解决的问题尽量避免分类讨论．关键词:消参法;整体换元法;变换主元法;间接法;设而不求法;１避免分类讨论的策略分析分类讨论法既是一种重要的数学思想方法,也是一种重要的解题策略,它具有 化整体为局部,化复杂为单一,归类整理,便于各个击破 等优点;但是,它也有 叙述繁琐,过程冗长,易以偏概全,易偏颇失误 等明显弊端;所以在熟悉和掌握分类思想的同时,要注意克服思维定式,处理好 分 与 合 ㊁ 局部 与 整体 之间的辩证统一关系,充分挖掘问题中潜在的特殊性与简单性,尽可能地避免分类讨论[１]．避免分类讨论的策略有:①直接回避法．例如,运用反证法㊁分离参数法等方法避开繁琐的讨论．②换元法．例如,采用整体换元㊁参数置换㊁变换主元等方法避开讨论．③合理运算法．例如,利用函数的奇偶性㊁变量的对称变换以及在消参过程中合理选用公式等方法避开讨论[２]．④数形结合法．利用函数图象㊁几何图形的直观性和对称性等特点,有时也可简化或避开讨论．在具体的解题过程中,可以尝试以下八种方法．２避免分类讨论的具体方法２．１消参法参数法的关键是选择好适当的参数后,要能够顺利地消去参数．在消参的过程中,经常需要选用一些重要的公式,这就需要结合题目的具体情况来确定消参策略．例１㊀设０＜x＜１,a＞０,且aʂ１,试比较l o g a(１－x)与l o g a(１＋x)的大小．解:因为０＜x＜１,所以０＜１－x＜１．又因为１－x２＜１,所以１＜１＋x＜１１－x．于是,有l o g a(１－x)l o g a(１＋x)＝l o g(１＋x)(１－x)＝－l o g(１＋x)(１－x)＝l o g(１＋x)１１－x＞l o g(１＋x)(１＋x)＝１．所以l o g a(１－x)＞l o g a(１＋x)．策略与方法:本题如果按照常规方法考虑去绝对值符号,就要分０＜a＜１与a＞１两种情况进行分类讨论;为了避免讨论,可以根据两对数同底的特点,采用作商比较法,用换底公式消去参数a．２．２整体换元法整体换元的实质是以 元 换 式 ,就是把一个单项式或多项式看成一个整体,并分别用其他未知数(变量)代替,从而使问题简化．运用整体换元法,可以避免分类讨论,即使要分类讨论,也能使问题变得简单明了,便于处理．例２㊀解关于x的不等式:a(a－x)＞a－２x (a＜０)．解:令a(a－x)＝t(tȡ０),则x＝a２－t２a(a＜０)．原不等式可转化为２t２－a t－a２＞０．解之得t＜a,或t＞－１２a．由a＜０,tȡ０,可知t＞－１２a,则a(a－x)＞１４a２,解得x＞３４a．故原不等式的解集为{x|x＞３４a,a＜０}．策略与方法:如果按照常规解题方法,本题要分a－２xȡ０与a－２x＜０两种情况来分类讨论．为了避开繁琐的讨论,可用整体换元法将a(a－x)替换为另一未知数t,将原不等式变为含有t的一个一元二次不等式,最后通过解该不等式消去参数t．７４Copyright©博看网. All Rights Reserved.解题研究２０２３年４月上半月㊀㊀㊀２．３变换主元法在解方程的过程中,许多学生习惯把未知数x 当作主元,把另一个变量a 看成参数,往往会出现需要对参数a 进行分类讨论等繁琐的运算过程．这时,不妨把变量a 看作主元,把未知数x 看成参数,则可避开讨论,简化运算步骤与过程．例３㊀已知方程a x ２－２(a －３)x ＋a －２＝０中的a 为负整数,试求使方程至少有一个整数解时a 的值．解:把方程中的参数a 看作主元,原方程变形为(x ２－２x ＋１)a ＋６x －２＝０,即(x －１)２a ＝２－６x ．显然x ʂ１,解得㊀㊀㊀㊀㊀㊀a ＝２－６x (x －１)２．①因为a 为负整数,所以a ɤ－１．由２－６x(x －１)２ɤ－１,即x ２－８x ＋３ɤ０,得４－１３ɤx ɤ４＋１３．因此x 的整数值只能为２,３,４,５,６,７．将它们逐个代入①中可知,当x ＝２时,a ＝－１０;当x ＝３时,a ＝－４．故当a 为－４和－１０时,方程至少有一个整数解．策略与方法:本题如果把x 视为主元,运用公式法解这个一元二次方程,在得出x ＝(a －３)ʃ９－４aa 后,要对a 进行分类讨论,会很麻烦;如果换个角度,把方程中的参数a 看作主元,将其转化为含有未知数a 的方程,解得a 值后再转化为含有x 的一元二次不等式,这样不但避开了讨论,而且大大简化了求解过程．２．４间接法当遇到含有 至多 至少 型的排列㊁组合类问题时,为了避免分类讨论,可以采用间接法．这种方法适用于反面情况明朗化且容易计算的题型．例４㊀从５名男医生㊁４名女医生中选３名医生组成一个医疗小组,要求其中男㊁女医生都有,请问不同的组队方案共有多少种?解:根据题意,要从９人中选３人,一共有C ３９＝８４种选法;当选择的３人均为男医生或均为女医生时,共有C ３５＋C ３４＝１４种选法．因此,男㊁女医生都有的选法有C ３９－(C ３５＋C ３４)＝８４－１４＝７０种．策略与方法:本题中要求选出的医生男㊁女都有,为了避免分类讨论,可以用间接法求解,即从９人中选３人的选法种数中,减去３人均为男医生或均为女医生的选法种数．２．５补集分析法补集分析法是一种逆向思维法,就是先从全集中去掉那些不符合题设的解集,然后再求出此集合在确定的全集中的补集,这也是一种 正难则反 的解题策略．例５㊀如果二次函数y ＝m x ２＋(m －３)x ＋１的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数m 的取值范围．解:先考虑二次函数图象与x 轴的两个交点都在原点左侧的情况,即一元二次方程m x ２＋(m －３)x ＋１＝０有两个负根,则Δ＝(m －３)２－４m ȡ０,－m －３m ＜０,１m＞０．ìîíïïïïïï解得m ɤ１,或m ȡ９,m ＜０,或m ＞３,m ＞０,ìîíïïïï即m ȡ９．所以当m ȡ９时,两个交点都在原点的左侧．上述解集的补集为{m |m ＜９},但Δȡ０与m ʂ０是必要条件,故二次函数的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧的条件为m ɤ１且m ʂ０．故实数m 的取值范围为{m |m ɤ１,且m ʂ０}．策略与方法:本题就是属于从正面入手较复杂,需要分情况讨论,而从反面求解较容易的题型．先从图象与x 轴的交点均在左侧入手,将其转化为一元二次方程,然后紧扣 Δȡ０ 与 m ʂ０ 这两个前提条件逆向排除求解．２．６设而不求法在求解某个量的过程中,有时可能要借助其他的量,对于这些辅助量,只需要表示出而不必求出,所以叫 设而不求法 ,通过这种方法也可以避开可能出现的讨论．例６㊀若A ,B ,C 是曲线x y ＝１上的三点,证明:әA B C 的垂心H 必在此双曲线上．图１证明:如图１,设A ,B ,C 三点的坐标顺次为(x １,１x １),(x ２,１x ２),(x ３,１x ３),则k B C ＝１x ３－１x ２x ３－x ２＝８４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年４月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀－１x ２x ３,k A H ＝－１k B C＝x ２x ３．于是,AH 的方程为y －１x １＝x ２x ３(x －x １)．同理,B H 的方程为y －１x ２＝x ３x １(x －x ２)．所以点H 的坐标(x H ,y H )同时满足上面两个方程,即㊀㊀㊀㊀y H －１x １＝x ２x ３(x H －x １),②㊀㊀㊀㊀y H －１x ２＝x ３x １(x H －x ２)．③由②与③两边交叉相乘,得(y H －１x １)x ３x １(x H －x ２)＝(y H －１x ２)x ２x ３(x H －x １)．化简,得x H y H (x １－x ２)＝x １－x ２．因为x １ʂx ２,所以x H y H ＝１．故әA B C 的垂心H 必在双曲线x y ＝１上．策略与方法:本题虽然涉及的量较多,但通过巧用代换和转化,紧扣最终目标,避免了不必要的讨论和冗长的计算．其中,根据点A ,B ,C 在x y ＝１上,只设横坐标x i ,而将纵坐标表示为１x i (i ＝１,２,３),这是一种出奇制胜的策略和方法．２．７数形结合法数形结合法具有 以形助数,以数助形 的优点,特别是在解决与数量有关的问题时,可以根据数量的结构特征构造出相应的几何图形,从而用几何方法简捷地解决代数问题．例７㊀已知关于x 的方程(x －２k )２＝a x 在区间(２k －１,２k ＋１](k ɪN )上有两个不相等实根,求a 的取值范围．解:在同一直角坐标系中,作出抛物线弧y ＝(x －２k )２,x ɪ(２k －１,２k ＋１],以及直线l :y ＝a x ．图２原方程在(２k －１,２k ＋１]上有两个不相等实根的充要条件是直线y ＝a x 与抛物线弧有两个不同的交点,如图２所示．当直线l 介于射线O x 与O B(含O B )之间时,有两个交点,易求斜率k O B ＝１２k ＋１,于是０＜a ɤ１２k ＋１．策略与方法:本题如果用判别式或求根公式,则要讨论参数k ;如果采用数形结合法,利用y ＝a x ,借助图形,将a 赋予直线斜率的几何意义,就可避免分类讨论．２．８列表法在解高次不等式时,经常要将其转化为熟悉的一元二次不等式或不等式组来求解,也需要对解集进行讨论．为了简化繁琐的讨论,可以采用列表法．例８㊀解不等式:(x ＋２)(x ２－x －１２)＞０．解:将原不等式化为(x ＋２)(x ＋３)(x －４)＞０．令(x ＋２)(x ＋３)(x －４)＝０,得x ＝－２或－３或４．各因式的符号如表１所示．表１x x ＜－３－３＜x ＜－２－２＜x ＜４x ＞４x ＋３－＋＋＋x ＋２－－＋＋x －４－－－＋(x ＋２)(x ＋３) (x －４)－＋－＋㊀㊀由表１可知,原不等式的解集为{x |x ＞４,或－３＜x ＜－２}．策略与方法:本题展示了用列表法解不等式的优点．列表法能清晰地表示变量间的数量关系,不必通过计算和分类讨论就知道当自变量取某些值时函数的对应值．３结论综上所述,对分类讨论题型,不要急于直接进行分类讨论．首先要认真审查题目的特点,考虑是否可以拟用合适的公式㊁法则,能否进行某种变形,可否改变常规的思维方式和解题策略,即能否尝试运用上述八种方法避免或避开分类讨论．若能,则尽可能地避免繁杂的分类讨论;若不能,可否先作某些等价变形或简化,然后再遵循分类讨论的原则去攻克它．参考文献:[１]刘永春．避免分类讨论的解题方法[J ]．中学语数外:高中版,２００３(０１):２５Ｇ２６．[２]姜丽辉．浅谈几种避免分类讨论的方法[J ]．中学生数学,２０１６(５):１７．Z ９４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
教你如何避免分类讨论
【 ２ 函数厂 ） 例 】 定义在 ［ ， 上是偶 函数 ， ．２ ２］ 【， 为减函数， （一 ＜ ， ）求 ｍ的取值范围． ０２ ］ 若厂１ ） （ ，
【 解析】 本题因为函数单调区间有两个，对 １ ～ｍ、 可 以分三个 区域讨论． 以利用偶 函数性 ｍ 也可
个正根 、 …个 负根两种情况讨论， 即下面的解法：
一 荔 ≯ 叠
Ｉ Ｊ ｔ ｜
谤 数 讣 学 司 高 考 数 学
要对其 中参数进行分类讨 论． 分类讨论思想是高中
数学重要思想方法， 是高考考查的重要 内容之一． 事 实一 ， ｈ 并不是一遇 到含参数 的问题就要进行 分类 讨 论． 认为， 笔者 当我们遇到含参数 问题时， 可采取以下 Leabharlann 二、 抓住绝对值避免分类讨论
【 １ 函数 ， ＝ （２ ３ 例 】 ）ｍ ＋ ，— ｈ一３ ≠ ） 图 ， （ Ｏ的
象 与 轴的交点至少有一个在原点 的右侧， 求实数
ｍ 的取 值 范 围． 【 析 】 看 到 该题 最 容 易 使 同学 们 想 到 的是 解 对 方 程 ， ＋ 一 ）一３ Ｏ ≠０分 有 两 个 正 根 和 一 珊 ３ｘ ＝ （ ）
措 施 ： 要 看所 含 参 数 是 否妨 碍 了要 解 决 的 问题 ， 首先 如 果不 妨碍 就 没 有 必 要讨 论 ； 次， 看 是 否 能避 免 其 要
避 免分 类 讨 论 的解 法 ： 而 实 际 上方 程 聊 一 江－ ＝ （ ３ ３ Ｏｍ．Ｏ的两 个 ）
根是 确定的： 一 ， ÷ ． １ 可见两根之中已 ＝ ｘ ＝ 有一根
当 ｍ≠Ｏ时 ， 意 得 ： 由题
≥Ｏ
一
质，得／ ）八 ｌ ） ＝ Ｉ，原式等价于＿ Ｉ 一 ） ｘ 厂 ｍ Ｉ＜ （１ 厂 Ｉ ）此时， 一 、 ＞０［２为减函 （ ｍ Ｉ， ｆ ｍＩ ｌ Ｉ ，， １ ｍ ０】 数， 得到 ｌ 一 ＞ Ｉ ． ｍ Ｉ １利用平方法， １ ｍ 及函数的
避免分类讨论的几种策略
避免分类讨论的几种策略一些看似需要分类讨论的数学问题，虽然表现形式可能较为复杂，但其本质常存有简单的一面。
所以，如果能用简单的观点、简化的方法对问题的各种情形实施综合、排除、转化等策略，则往往能找到解决问题的简易途径。
例1 解关于x 的不等式|2x ||3x 2||3x x |22-+--<--。
解：因为x ≥3，所以3x x 2->且2x 2>。
所以原不等式化为2x |3x 2|3x x 22-+--<--。
即|3x 2|3x 2--<-- 所以03x 2<--。
解得x>7。
所以原不等式的解集为}7x |x {>。
例2 已知实数x 满足不等式0)4x 3x (log 2)3x (<---。
求x 的取值范围。
解：因为04x 3x 2>--所以x>4或x<－1。
又因为13x 03x ≠->-且所以x>4，此时13x >-所以原不等式可化为14x 3x 2<-- 解得2293x 2293+<<- 所以2293x 4+<<，所以原不等式的解集为}2293x 4|x {+<< 例3 已知△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，135C sin =，求cosA 的值。
解：因为21135C sin <=， 所以π<<ππ<<C 656C 0或。
又因为角A 、B 、C 成等差数列，所以3B π=。
这样π<<πC 65是不可能的，所以6C 0π<<。
所以1312C cos =。
所以26123513523131221C sin B sin C cos B cos )C B cos(A cos -=⋅+⋅-=+-=+-=二、将各种情形给予综合考虑，对问题实行整体处理例4 设函数|x lg |)x (f =。
若0<a<b ，且)b (f )a (f >。
高考数学：名师讲义第2期 分类有方、回避有技-----分类讨论问题解决策略
3.巧用性质、回避讨论 例 4. 2, 2 上的偶函数 f x 在 0, 2 为减函数， 若 f 1 m f m ， 求 m 的取值范围。 分析： 本题因为函数单调区间有 2 个，对于1 m, m 可分为 3 个区域讨论。也可以 利用偶函数的性质得： f x f x ，即 f 1 m f m
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高考数学
高考数学：名师讲义——助你冲刺数学 130+
第 2 期 回避有方、分类有法-----分类讨论问题解决策略
分类讨论思想是中学数学最重要的思想方法之一， 也是每年高考必考的重点， 如何有效 地解决分类讨论问题呢？可采用“回避有方、分类有法”策略。 对于看似复杂的 “分类讨论” 问题， 若能回避讨论， 则可用一定的方法回避讨论， 即 “回 避有方” 。对于不能回避的讨论问题，要选择一个适当的角度分类讨论，应用分类讨论思想 解决问题必须保证分类科学， 标准统一， 做到不重复， 不遗漏， 并力求最简， 即 “分类有法” 。 一. 回避讨论的技术 1.整体思维、回避讨论 例 1. （理） （2014 上海理）如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正 四棱柱，AB 是一条侧棱， Pi (i 1,2,...,8) 是上底面上其余的八个点，则
1 1 m ，注意函数的定义域得： m 1, 。 2
，因 f x 在 0, 2 为减函数，得
4.变量分离，回避讨论 例 5、 设函数 f x ax 2 2 x 2 对于满足 1 x 4 的一切 x 值， 都有 f x 0, 求实数 a 的取值范围。 分析：看到本题后多数同学自然想到对二次项系数 a 分 a 0, a 0, a 0 三种情况讨论， 工作量太大， 其实再仔细分析一下，发现以上解法把简单问题复杂化了，求参数 a 的取值范围，自然 应该想到分离参数 a ，则可完全避免讨论。
14避免分类讨论的几种策略
上海中学数学・２００８年第６期避免“分类讨论＂的几种策略５４２７００广西富川县民族中学何莲萍分类讨论既是一种重要的数学思想方法，又是一种重要的解题策略，在数学解题中有着广泛的应用．但分类讨论时，一般过程都较为冗长、繁琐，且极易在完备性上造成失误．因此，在分类之前应有意识地调整思维策略，尽量地避免分类讨论，以简化或优化解题过程，达到简捷解题的目的．本文介绍几种避免分类讨论的解题策略．一、运用最值思想，避免分类讨论例１奇函数厂（ｚ）是Ｒ上的减函数，若对任意的ｚ∈（０，１］，不等式，（如）＋厂（一ｚ２＋ｚ一２）＞０恒成立。
求实数ｋ的取值范围．解：。
．‘厂（ｚ）＋厂（一一十ｚ一２）＞０，且厂（ｚ）是Ｒ上的奇函数，减函数，．‘．，（垃）＞ｆ（ｘ２一ｚ＋２）得到垃＜Ｘ２一工＋２（１）‘．．ｚ∈（ｏ，１］，可得ｋ＜ｚ＋三一１，问题转化为只要ｋ小于Ｘ＋三一１的最小值即可．令ｈ（ｚ）一ｚ十兰，因为＾（ｚ）在（０，√２）上是减函数，故当ｚ∈（ｏ，１３时，显然有＾（工）。
ｉ。
一．．．是的取值范围为（一。
ｏ，２）．点评：按照常规思路，由（１）式转化为ｚ２一（忌＋１）ｚ＋２＞０在ｚ∈（ｏ，１３上恒成立问题，可令ｇ（工）一≯一（是＋１）ｚ＋２，然后根据二次函数性质及对称轴位置的变化，进行分类讨论，得剑：｛蒿纠三鬲剥１ｆｇｋ盎＋，ｌ三＞ｉ，解得ｋ＜一１或一１≤ｋ＜１或１≤ｋ＜２，从而求得ｋ的取值范围为（一ｏ。
，２）．这样解就显得比较烦琐，因为有些不等式在区间上的“恒成立”问题，一般通过分离变量，转化为函数的最值问题求解．就可以避免分类讨论，使得解题过程简明快捷，少走弯路．二、妙用换底公式。
避免分类讨论例２设０＜上＜１，口＞０且ａ≠１，比较Ｉｌｏｇ。
（１一ｚ）Ｉ与Ｉｌｏｇ。
（１＋ｚ）ｌ的大小．分析：本例通常应分ａ＞１与０＜ａ＜１两种情况讨论，但运用换底公式消去ａ，就可避免分类讨论，从而达到简化解题过程的目的．解：运用作商比较法，’．。
避免函数含参问题中分类讨论的几种策略
Ｎｏ ． ０ ３． ２ ０１ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ Ｗａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３年第 ３期
避 免 函数 含 参 问题 中分 类 讨 论 的几 种 策 略
周亚莉
（ 襄 阳四 中， 湖北
襄阳 ４ ４ １ ０ ２ １ ）
摘 要： 分类讨论是一种重要的数学思想方法和解题策略， 纵观历年全国各地高考试题 ， 几乎都有函数含参 问题的分类讨论。如 果我们注意克服思维定势， 处理好“ 分” 与“ 合” 、 “ 局部” 与“ 整体” 之 间的辨证统一关系， 充分挖掘求解问题 中潜在 的特殊性与简单性， 加大“ 想” 的力度， 简化“ 算” 的过程 ， 主动适应高考命题的趋向， 就能够简化或避免分类讨论。这也是分类讨论 的思想方法中数学思维 品质 的 最高层 次。 以下举例 谈 谈如 何避 免 分类讨 论 的策略 ， 供 大 家借 鉴 。 关键词 ： 函数 ； 分类讨 论 ； 含 参 问题
二
从 而 函数 ） ， ｅ［ ｍ， ／ ７ ， ］ 是 增 函数 ，
・ ．
二 １ ２ 解 得 ｛ ｍ
－ － －
＿ ＿
￣ ａ０
： ２时取 等号 ） ， 所 以Ｏ ＜ 口 ≤ １
又’ ． ’ ｍ ＜ｎ ． ‘ ． ｍ ＝ 一２ ， ／ ｔ － ＝０
川 ＋ 南≥ ２
解： 一方面 ） ＝一 ÷（ 一 １ ） ＋１ 在（ 一 ， ＋ ） 上的最 ＋ａ ｏ ） 内有解 ，
大 值是 １ ； 另 一方 面 ， 若存 在 ， 则， （ ） 在［ ｍ， ｎ ］ 上的最 大值是 ２
＿
潦
数
毒 卜
．
．
２ ｎ ≤１ 即ｎ ≤÷ ≤１ ， ． 。 ． ［ ｍ， ， １ ］ 霉 （ 一 ， １ ］
避免分类讨论的策略
避免分类讨论的策略分类讨论是一种重要的数学思想方法和解题策略，在求解函数、方程、不等式、排列组合，几何等数学问题中有广泛的应用。
含有分类因素的题目是不是拿到手就分类讨论呢?不然，有时候分类讨论是解决问题的必须，但它并非都是解决问题的上策或良策，要注意克服动辄加以讨论的思维定势，应结合题目认真而细致地分析，充分挖掘题目中所给的条件，避免不必要的分类讨论，使解题过程简捷明快，现举例说明。
1. 分离参数在含参数的方程或不等式中，若能通过适当的变形，使方程或不等式的一端只含有参数的解析式，另一端是无参数的主变元函数，从而分离参数，反客为主，往往可以避免繁琐的讨论。
例1. 设函数y = log2(mx2-2x+2)的定义域为A，集合B =[12，2](1)若A = R，求m的取值范围。
(2)若A∩B≠，求m的取值范围。
(3)若log2(mx2-2x+2) > 2在B上恒成立，求m的取值范围。
分析：(2)由于mx2-2x+2>0中m的符号不确定，用一元二次方程的根的分布去讨论明显比较繁琐，若将m分离出来，转变成求函数最值，问题就会变得简单了。
(3)去掉对数符号后其做法同(2)，转变成求函数最值问题。
解：(1)略。
(2)mx2-2x+2>0在集合 B =[12，2]上有解，等价于-m2 - 4。
(3)mx2-2x-2>0在集合B = [12，2]上恒成立，等价于m2>1x2+1x在集合B =(12，2)上恒成立，于是m2>1x2+1x max，即m>12。
2. 消除参数有些问题表面上看起来含有参数，但是通过适当的变形，可以将参数消除，这样就回避了对参数的讨论。
例2.设正数a、b、c、d满足(a-1)(b-1)1，所以|log da|>|log db|3. 数形结合一些问题中涉及到的函数图象比较熟悉，可以作出它们的图象，研究数形之间的关系，挖掘隐含条件，从而避免讨论，达到化繁为简的作用。
探讨数学解题中避免分类讨论的几种策略
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探讨数学解题中避免分类讨论的几种策略
作者：姜兴黄晓健张桉周洋
来源：《读写算》2011年第23期
一些看似需要分类讨论的数学问题，虽然表现形式可能较为复杂，但其本质常存在简单的一面。
因此，如果能用简单的观点、简化的方法对问题的各种情形实施综合、排除、转化等策略，则往往能找到解决问题的简易途径。
一、充分利用隐含条件，缩小参数的取值范围
二、将各种情形给予综合考虑，对问题进行整体处理
三、一些对称性问题，由于参数的地位均等，可以只考虑一种情形
四、跳出常规思维，转变考虑问题的角度
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
函数问题中避免分类讨论的常见策略
Ｃｏ ｍｍ ｏ ｎ Ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｅ ｇ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ Ａｖ ｏ ｉ ｄ ｉ ｎ ｇ Ｃｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｉ ｆ ｅ ｄ Ｄｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｎ
三 ， 则 可 分 别 令ｌ 厂 （ 一 ３） ： １ ， ｌ 厂 （ ２ ） ： １ ， ， （
一 ＿ 至 一 ～ ． 耋 ｓ ｎ ㈨ ～ 一 － ． ｍ 三 ～ 一 ～ 一 ｍ ｐ 一 ． Ⅲ ㈨ 一 ～ ＿ 墨 一 毒 ＿ ｗ 三 ａ 、 一 ＿ ． 娼 詈 量 － １
摘 要 函数 是 中学 数 学 的 一条 主 线 ，分 类 讨论 的 思 想 方 法 是 中 学数 学最 基本 的方 法 之 一。 分 类 讨 论 思想 具有 明 显 的逻辑特 点，解这 一粪问题需要 学生有 一定 的分 析能力和
分析 ：常规方 法是根据 函数 的定 义域 ， １ ＋ ｍ， ２ ｍ∈（ 一 １ ， １ ］ ， 但是 ｌ ＋ ｍ在 ２ ｍ在［ 一 １ ， ０ 】 ， 【 ０ ， １ 】 的哪个区间 内， 于是就分 类讨论 ， 这样非 常复杂 。如果注意 到偶 函数 图像 的对称性 ， 则 可 知 道 偶 函数 满 足 ） 一 ） Ｉ ｘ １ ） ， 从 而 可 以避 免 分 类
。
得
分析： 对 于此绝对值不 等式 ， 常规方法 是去绝对 值 ， 按 ≥１ 和ｘ ＜ ｌ讨论 ，在每一类中解不 等式 时又要对 ａ进行讨 论， 过程极其复杂。利用数形结合的思想 ， 由函数 图像 的几
何 直观 性 则 呵以 避免 分类 讨论 ， 且过 程 简捷 。
Ｖ≈
因此 ， 实 数 的 取 值 范 闹 为 ≤一 ２ 或 ≥２ 。
大道至简,规避讨论——浅谈规避“分类讨论”的策略
>2020年6月（下旬）投稿邮箱:************.com数学教学通讯大道至简，规避讨论———浅谈规避“分类讨论”的策略王晓安徽省马鞍山二中郑蒲港分校238261［摘要］分类讨论是解析数学问题十分常用的方法,但解析过程中对学生的分类能力、讨论思维有着较高的要求.在实际解题时可以采用一定的策略方法来合理规避分类讨论,提高解题效率.文章结合实例深入探讨数形结合、函数性质、分离参数、变换主元四种规避策略,提出相应建议.［关键词］规避;分类讨论;数形结合;函数;参数;主元作者简介:王晓(1985-),本科学历,中小学一级教师,从事高中数学教学.分类讨论是高中数学重要的解题思想和方法策略,可将复杂的问题拆分为若干个基本问题,解析时需分为“分类”和“讨论”两个过程,但对学生的解析思维有着较高的要求.若分类的标准确定有误,很容易造成讨论的过程不完善,势必会造成解题错误.从解法优化角度来看,在解题时若能转化思维角度或采用解题策略来简化甚至规避分类讨论,则可以提升解题效率,下面对规避策略加以探究.数形结合，规避分类讨论数形结合在求解函数问题中有着广泛的应用,实际上该方法策略也可用于规避分类讨论,即求解某些代数类问题时,可以构造对应的函数,并绘制函数图像,利用函数图像的直观性来解题.该规避策略常用于涉及含参函数、方程、不等式等问题中.例1：ax 3-x 2+x+1=0是关于x 的方程,已知该方程在(0,+∞)上的实数解有且仅有一个,试求实数a 的取值范围.分析:题干所给方程是一个含有参数a 的关于x 的一元三次方程,无法直接获得其解,常规解法是对a 的取值范围加以讨论.此时我们就可以采用数形结合的方法,基于方程构建相应的函数,通过研究函数的图像与x 轴的交点个数来确定实数a 的取值范围.解:可将原方程变形为1x -1x 2-1x 3=a ,可设f (x )=1x -1x 2-1x 3=x 2-x -1x 3(x>0),则f (x )的导函数为f ′(x )=-(x+1)(x -3)x 4.分析可知在(0,3)上,函数f (x )单调递增,在(3,+∞)上单调递减,又可求得f (3)=527>0,f (1)=-1,在(3,+∞)上f (x )>0.从而可以绘制图1所示的图像,由图可知当a=527或a ≤0时函数与x 轴有唯一的交点,即对应的方程在(0,+∞)上的实数解有且仅有一个,因此实数a 的取值范围为a a=527,a ≤0 .总结与指导:数形结合规避分类讨论的最大优势是图像直观,可以直接获得解题突破的关键信息.但在学习时需要掌握解读函数图像的方法,能够从函数图像中提炼出曲线交点、变化趋势,值域、定义域,以及曲线之间的相对位置等内容,并能够用关系式来表示.用函数性质，规避分类讨论函数性质在分析取值类问题中有着广泛的应用,对于一些涉及变量讨论的取值问题,则可以充分利用函数的性质来加以简化,规避讨论.例如常用的函数对称性、单调性等.一般利用函数性质来规避分类讨论时,需要根据题干性质提取原函数的关键性质,并用函数关系或不等式来具体化,逐步将问题转化为相应的方程组或不等式组.例2：对于函数f (x ),其在定义域[-1,1]上是偶函数,并且在区间[0,1]上单调递增,已知f (1+m )<f (2m ),试求m 的取值范围.分析:题干给出了函数f (x )的性质xOy3725图1762020年6月（下旬）<投稿邮箱:************.com数学教学通讯及单调区间,需要根据函数间的不等关系来求m 的取值范围,常规的做法是讨论函数的定义域,确定每个区间上的情形,但该方法相对较为烦琐,此时就可以利用该函数的对称性来规避分类讨论.函数f (x )是偶函数,则必然满足f (x )=f (-x )=f (x ),后续只需要利用该对称性质来加以分析即可.解:f (x )在定义域[-1,1]上是偶函数,则根据偶函数图像的对称性可知该函数满足f (x )=f (-x )=f (x ),从而可将不等式转化为f (1+m )<f (2m ).由于函数f (x )在区间[0,1]上单调递增,则必然有-1≤1+m ≤1,-1≤2m ≤1,1+m <2m , ⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐可解得-12≤m<-13,即m 的取值范围为-12,总结与指导:函数性质是函数内容学习的重点,利用函数性质可以解决多类型问题,例如方程、不等式等问题.而在学习时需要关注函数构建的方法,建立函数与方程、不等式之间的关系,掌握问题转化的技巧与思路.理分离参数，规避分类讨论参数取值的不确定性是造成分类讨论的原因之一,因此在分析某些函数取值问题时,则可以考虑采用分离参数法,通过将参数与函数分离的方式来规避讨论.在求解时首先对函数的参数进行分离,等价转化问题,一般将其转化为相应的不等式问题或函数取值问题,然后利用相关性质来对其取值加以分析.例3：已知函数f (x )=xln x-ax (x>0且x ≠1),如果存在x ∈[e ,e 2]使得f (x )≤14成立,试求实数a 的取值范围.分析:函数f (x )内含有参数a ,讨论特定条件下关于函数的不等式成立,而a的取值不确定,常规思路是设定分类标准,讨论对应条件下不等式成立的情形.但该种思路相对较为烦琐,可以采用分离参数的方式,将参数a 集中到不等式的一边,转化为函数的最值问题.解:存在x ∈[e ,e 2],使得f (x )≤14成立,代入函数解析式,则有xln x-ax ≤14,可将其变形为a ≥1ln x -14x ,则需要分析1ln x -14x 的值域,可以构建函数g (x )=1ln x -14x,其中x ∈[e ,e 2],则有a ≥g (x )min .通过分析g (x )的导函数可以确定函数g (x )在区间[e ,e 2]上单调递减,则g (x )min =g (e 2)=12-14e2,即a ≥12-14e 2,所以实数a 的取值范围-14e 2,+∞.总结与指导:分离参数是重要的数学方法,从表面上来看是将参数转移到符号的一侧,实际上是为了方便构建函数,利用函数的性质回避讨论.需要注意的是在分离参数时要严格按照数学运算法变式,关注参数对应的取值.活变换主元，规避分类讨论对于某些含参不等式问题,如果从常规的角度来设定主元求解,有时需要对参数的取值加以讨论,其过程较为复杂,此时可以考虑采用变换主元的方法,即设定参数为不等式的主元,然后分析参数与未知数之间的变化,并借助相应的函数知识来对参数的取值加以讨论,从而获得最终答案.例4：已知不等式mx 2-2x -m+1<0,对于满足m ≤2的一些m 均成立,试求x 的取值范围.分析:上述为含参不等式,表面上是关于x 的一元二次不等式,需要讨论满足成立条件下的m 的取值.为避免分类讨论则可以采用变换主元的策略,即将不等式视为是关于m 的一元一次不等式,则对应的解集就为[-2,2],求x 的取值范围,可以通过分析参数m 与x 的变化来完成.解:根据不等式来设定函数,设f (m )=(x 2-1)m+(1-2x ),可将其设为是关于m 的一次函数,对应的图像就为一条直线,根据题意可知当m ∈[-2,2]时,直线位于y 轴的下方,因此需要满足的条件为f (-2)<0,f (2)<0,可得不等式组-2x 2-2x+3<0,2x 2-2x -1<0,可解得-1+7√2<x<1+3√2,即x 的取值范围总结与指导:变换主元实际上是变换问题视角,在主元变换的过程中需要严格遵循函数、方程、不等式的设定要求.在学习时需要引导学生关注知识本质,引导学生多角度看待问题,拓展解题视野.后深度反思，思考教学建议分类讨论可以促进问题的条理性,但思维过程较为烦琐,需要确保讨论过程不“重”不“漏”,这也是在解析问题时要合理规避分类讨论的原因所在.上述是对规避分类讨论四种策略的实例探究,下面基于突破过程提出两点建议.建议1:关注问题转化的过程从上述四种策略来看,规避分类讨论实际上就是转化问题视角,将对应问题转化为分析过程较为简洁的问题,例如转化为函数问题、不等式问题等.因此在学习时需要关注问题转化的策略,学习知识之间的关联,如利用函数值域来分析不等式、方程取值.一般问题转化时可以按照如下步骤进行:首先确定问题类型,思考对应的知识关联,结合知识联系点对问题等价转化,然后利用等价问题的性质定理来探究结论.建议2:关注规避策略的思想解题过程中所用的方法策略背后隐含的是数学思想,因此实际上就是在数学思想的指导下完成了思路构建,例如上述对问题转化就是化归转化思想的应用体现,而数形结合分析问题的过程中渗透着数形结合思想.因此学习分类讨论的规避策略就需要立足对应数学思想,掌握数学思想的本质内涵,深刻理解思想方法解析问题的精髓所在.数学思想与知识定理同等重要,在探究运用过程中可以提升自我的思维品质,因此在教学中需要教师重点引导,合理渗透.总之,规避分类讨论的策略有很多,上述只是其中四种较为常用的,而规避过程实际上就是问题转化过程,该过程中需要学生深刻理解问题,破除思维定式,充分利用关联知识来合理转化.而转化解题同样可以锻炼思维,因此对提升思维能力有着极大的帮助.77。
避免分类讨论的优化策略
化简得 一 ｂ ２ ０ ． ａ３＋＜
４ａ ５ｂ ＞Ｏ － ＋２
叭
４
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解 得
【 『１ ６ ９ｖ ２ ｘ １ ０ ｈ ６ 一 ４ ≥ ｘ ＋ １
一
数 ｆ ） 三ａ。ｂ （． ） １ Ｘ Ｘ 处 （ ＝＿ ｘ一 ｘ ２ ｂ ＋ 在 ＝ １ ｘ ｊ一 ＋ ｘ
ｘ－ 一１ ， ｘ的 取值 范 围 ３ｍｘ 求 １
解 ：１ 由题 意得 ｇｘ＝ ｘ一１ｃ ｓ￣ （） （ ３ ８ ｏ ｏ ） ＋
４ ｃｓ ， ｇ１ ｅ ≥０ ｇ３ ｓ ｔ ０ 得 ８ｏ［ 由 （＋ 一 ３ ， （＋ ｉ ） ， ｎ
ｇ１ ｅ ＝ ２ ≥ ０， （＋ｓｎ ） ０ （＋ ｇ（） ｇ３ ｉ ｓ ，
所 以 ｆｘ＝ （— １ — ２ ‘ ）ａｘ Ｘ） Ｘ） （ （ ｘ
鹏
：
当 Ｘ Ｘ 目 ｆ ） 增 函 数 ， （｝Ｏ 由 （ ） ２ 得 ３ — ６ ｏ ｅ≤０ 即 １ Ｃ Ｓｔ ＜ 寸，ｘ为 （ ｆｘ＞ ， １ （） ６ ３ｃｓ ， 一 ＯＯ ． 题难度 ， 并使解题过程显得臃肿 、 繁琐 ， 要 Ｘ Ｘ＜ ，— ２ Ｏ ａ ０ — １Ｏ Ｘ ｘ＜ 得 ＞ ． ０ 又 １ Ｃ Ｓｔ ０ 故 Ｃ Ｓ￣１ 代 入 （ ） ， 一 ＯＯ ， Ｏｏ ， ＝ １得
分类讨论是 数学解题过程 中常用 的 取 值 范 围 。
万法之 一 ， 但不可滥用 要谨慎思 考、 面 全 考虑 、 仔细 推敲 ， 一万面 ， 要有分类 讨论 的 意识， 该讨论 时必须讨论 ， 则导致思考 否 解 ：求 函 数 ｆ （）的 导 数 ｆ（ ｘ ’ｘ ）
＝ ｘ － ｂ ＋２ ａ ２ ，
（） 明 ａ Ｏ （Ｉ若 ｚ ａ ２ ， ｚ Ｉ证 ＞ ；『 ） ： ＋ ｂ求 的
分类讨论的解题策略
分类讨论的解题策略初中数学学习和复习当中分类讨论的题型是同学们最为困难，也是最容易出错的题型。
如果其数学的思想没有掌握牢固，对条件的分析没能够更加的全面，那么在解题时容易出现漏解的情况。
考试中丢分也是常有的事，所以针对分类讨论的提醒唐老师在方法和技巧方面给予大家更多的分享，希望能在数学思想方法的提升当中，为大家解题提供一定的指导性意见。
同时也帮助同学们对于分类讨论思想在数学学习中的重要性做出更全面的解释。
从数学学习的延续性来看这种方法的用途也不止止步于初中数学，对于以后数学的学习也会产生一定的连锁反应。
在数学解题过程当中，很多同学在分析条件时，一贯的使用方法是课堂上老师讲解的。
思路进行分析，而更多的可能性则置之不顾，从而导致其分析题目中条件的思路比较单一，从而出现了考虑全面性的欠妥。
这时就需要同学们对这类题型有全面的了解，况且在中考甚至各年级的期末考试当中，分类讨论的思想也是一种重要的方法，其出现在选择填空的压轴题或大题的压轴题型中实也是能够区分。
同学们数学能力高低的一个重要指标。
当分类讨论在数学题中经常以最后压轴题的方式出现时，同学们怎么样才能判定该提需要进行分类讨论，那么我们应当从以下的知识层面进行梳理，明确需要分类讨论的内容都有哪些才能在解题当中针对性的进行分类讨论，以提高我们学习的效率。
第一、熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决。
在探讨等腰或直角三角形存在时，一定要按照一定的原则，不要遗漏，最后要综合。
等腰三角形和直角三角形可能的情况都可以分为三大类型。
不同的组合的可能性在题目当中需要同学们根据实际的条件进行验证，如果能够排除的一定要一一进行排除，如果不能排除的情况，每一种类型都要计算出其结果。
那么也会导致最后的结果当中不止一个答案。
第二、讨论点的位置一定要看清点所在的范围，是在直线上，还是在射线或者线段上。
这类型的题很多时候都会告诉你这个点李某一点的位置的长度，但是具体的位置没有给出时。
避免分类讨论的几种处理方法
避免分类讨论的几种处理方法江西省九江第一中学 段训明 332000当被研究的对象包含多种可能的情况，导致我们对它们不能一概而论的时候，这就迫使我们按可能出现的所有情况对问题加以细化，得出各种情况下的相应结论，这种解决问题的思想方法称为分类. 分类讨论是一种重要的数学思想，数学命题中很多问题的求解都离不开分类讨论. 在解题实践中，我们在感受分类讨论给我们带来问题“细化”的同时，也深感遵守分类的种种原则和制订分类标准给我们带来的诸多不便. 因此，不得不思考有些未必需要分类讨论的问题怎么能够避免呢？1、整体分析局部的问题，一旦“升格”为全局问题，就可以居高临下，把握问题的实质.例 1 已知函数x x x f +-=221)(，是否有实数)(,n m n m <使得函数)(x f 的定义域、值域分别是[n m ,]和[n m 2,2]？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 分析：定义域、值域都是两个动态的区间，按常规做法需分函数)(x f 在区间[n m ,]上为单调递增、递减和先增后减的三种情况，这样就无法回避一个复杂的程序化的运算过程；但定义域和值域间的这种对应关系似乎在提醒我们：)(x f 在[n m ,]上应该是一个增函数！这种直觉的判断怎么能得以落实呢？唯一的可能就是要从题意中挖掘出“1≤n ”这一隐含条件，从整体上考虑，将定义域扩大为),(+∞-∞. 简解：一方面，1)1(21)(2+--=x x f 在),(+∞-∞上的最大值是1； 另一方面，若存在，则)(x f 在[n m ,]上的最大值是n 2.∴12≤n 即121≤≤n ∴],[n m ]1,(-∞ 从而函数)(x f ，],[n m x ∈是增函数 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=n n n n f m m m m f 221)(221)(22 解得 ⎩⎨⎧-=-=0202或或n m 又∵n m < ∴2-=m ，0=n 评注：本题依据“函数在整体区间上的最大值不小于在局部区间上的最大值”这一基本事实，使问题得于简化处理，避免了分类讨论. 这种放眼全局、避重就轻的做法解决了受局部牵制的被动，抓住了最大值，也就占据了“至高点”.2、等价转换“我们经常需要通过试验对问题作各种修改，我们必须一再地变化它，重新叙述它、变换它，直到成功地找到某些有用的东西为止”——G ·波利亚.2.1 函数思想函数思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想去分析处理命题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，并运用函数的图像和性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决.例2 若关于x 的方程0111)13(2=-+-+a x a ax 在),1(+∞-内有解，求实数a 的取值范围.分析：本题面临(1)方程的类型：是一元一次方程(a=0时)还是一元二次方程(a ≠0时)；(2)解的个数：在区间),1(+∞-内是一解还是两解. 条件和结论的呈现都是开放式的(不明确)，按隶属关系和对应关系需分类求解，下面的等价转换可避免讨论.1º 分离参数：原方程可化为∵ EMBED Equation.3 恒成立 ∴ EMBED Equation.32º 整体化简：令 EMBED Equation.3 解 EMBED Equation.3进一步得 EMBED Equation.3 …(*)3º 等价转换：方程(*)有解 EMBED Equation.3∵ EMBED Equation.3∴ EMBED Equation.3 (当且仅当 EMBED Equation.3 ，即 EMBED Equation.3 时，等号成立)∴ EMBED Equation.3 从而 EMBED Equation.32.2 数形结合数形结合、数形转换能使抽象的概念直观化，也能使图形信息数量化.例3 若函数 EMBED Equation.3 ，在区间[-1，1]上的图像总在 EMBED Equation.3 轴的下方，求实数 EMBED Equation.3 的取值范围.分析：问题等价于函数 EMBED Equation.3 在[-1，1]上的最大值为负数…(*)EMBED Equation.3 的最大值= EMBED Equation.3因此，(*) EMBED Equation.3 解得 EMBED Equation.3注：本题通过不等式组将线段两端点的函数值“捆绑”在一起，保证了最大值一定是负数，也就避免了分类讨论.2.3 正难则反对于某些问题，运用“正向”思维很难得出解题途径，甚至有时还是不可能的，这时，可改从目标的“反面”去思考，考虑其对立面或寻找其补集.例4 用1,2,3,…,9这九个数字组成不重复数字的五位数，其中奇数数字一定在奇数位上的五位数有个.解法1：依题意“奇数数字一定在奇数位”，且根据五位数只有三个奇数位，所以可分三类：(1)三奇二偶；(2)二奇三偶；(3)一奇四偶. 这样一共有： EMBED Equation.3 (个).解法2：注意到奇数数字一定在奇数位的“言外之意”，那不等于说“偶数数位上只能是偶数数字吗”？据此不难得到共有 EMBED Equation.3 (个).例 5 关于 EMBED Equation.3 的方程：① EMBED Equation.3 ，② EMBED Equation.3 ，③ EMBED Equation.3 . 它们中至少有一个存在实根，求实数t的取值范围.分析：若采用分类讨论从正面求解，则包含“恰有一个方程有实根”，“恰有两个方程有实根”，“三个方程都有实根”这三种情况，共需求7个不等式解集的并集，耗时费力. 然而集合论为我们提供了从研究对象的整体上去处理问题的思为 EMBED Equation.3 .简解：一方面， EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 上的最大值是1；另一方面，若存在，则 EMBED Equation.3 在[ EMBED Equation.3 ]上的最大值是 EMBED Equation.3 .∴ EMBED Equation.3 即 EMBED Equation.3 ∴ EMBED Equation.3 心率 EMBED Equation.3 时，椭圆； EMBED Equation.3 时，抛物线； EMBED Equation.3 时，双曲线）；共渐近线的双曲线系方程中的参数 EMBED Equation.3 等. 例6 求与椭圆 EMBED Equation.3 有公共焦点且经过点P EMBED Equation.3 的圆锥曲线的方程.分析：所求的圆锥曲线以椭圆的两个焦点为焦点，它可以是椭圆也可能是双曲线，但未必要分类求解.由椭圆 EMBED Equation.3 知其焦点 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ，而以F1、F2为焦点的椭圆或双曲线方程可设为 EMBED Equation.3 ，将 EMBED Equation.3 代入方程，整理化简得 EMBED Equation.3 得 EMBED Equation.3或 EMBED Equation.3 . 故所求的椭圆方程是 EMBED Equation.3 ，双曲线的方程是 EMBED Equation.3 . 例7 定义 EMBED Equation.3 上的偶函数 EMBED Equation.3 在区间 EMBED Equation.3 上单调递减，若 EMBED Equation.3 ，求实数 EMBED Equation.3 的取值范围.分析：根据函数的定义m ， EMBED Equation.3 ，但 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 的哪个区间内？若就此讨论，将十分复杂；若注意到偶函数的性质： EMBED Equation.3 就能避开讨论.解：∵ EMBED Equation.3 是偶函数 ∴ EMBED Equation.3又∵ EMBED Equation.3从而原不等式可化为 EMBED Equation.3又∵ EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 上是减函数 ∴ EMBED Equation.3 解得 EMBED Equation.3注：类似于以上的主动添加绝对值的处理方式很多，例如：(1)(03年全国联赛)不等式 EMBED Equation.3 的解集是 .据“ EMBED Equation.3 ”，原不等式 EMBED Equation.3 ，先求 EMBED Equation.3 ，再求 EMBED Equation.3 ；(2)(04黄岗)函数 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 上恒有 EMBED Equation.3 ，则实数a 的取值范围是 .据 EMBED Equation.3 得 EMBED Equation.3 ，从而 EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 且 EMBED Equation.3 )在 EMBED Equation.3 上是增函数， EMBED Equation.3 当且仅当 EMBED Equation.3 ，从而 EMBED Equation.3 .∴ EMBED Equation.3 ∴ EMBED Equation.3 又∵ EMBED Equation.3 ∴ EMBED Equation.34、有效增设有效增设也叫“不妨假设”，指的是在不妨碍一般情况下的一种限定或增设，在轮换对称的结构中经常使用. 这种增设的使用就是从多种可能情况中的一个方面(有代表性)去强化，从而简化了不必要的重复.|)(|)(x f x f =⇒⎭⎬⎫因此，这种增设在不违背普遍性原则的前提下，既避免了分类讨论，也有效地增设了条件，主动强化了命题.以上仅就平时解题教学中的部分事例，将其作“变格”处理，其目的只是在教学分类讨论时，要提醒学生不可滥用分类讨论，不是一遇到字母系数就非要讨论，或遇到绝对值一定要将其去掉等. 从简单性原理上来说，一个问题的“简”就是这个问题中本质的有普通意义的东西，因此避免分类讨论，实际上就是简化和优化解题过程. 当然，在分类讨论不可避免或有利的时候，那务必要遵循分类讨论的原则，切实制订出分类讨论的标准，保证分类讨论的顺利实施.[参考文献]1、G·波利亚《怎样解题》科学出版社，1982年.2、张奠宙，过伯祥《数学方法论稿》上海教育出版社，1996年3、沈文选《中学数学思想方法》湖南师范大学出版社，1999年4、张可法《中学数学解题研究》湖南师范大学出版社，1999年5、薛金星《高中数学解题方法与技巧》北京教育出版社，2003年6、周学祁《整体方法》大象出版社，1999年7、段训明“注意克服认识上的…盲点‟”《中学数学》湖北大学，1997年11月（原载《九江教育》2006年第1期）。
避免分类讨论的策略
避免分类讨论的几种策略徐学军一些看似需要分类讨论的数学问题，虽然表现形式可能较为复杂，但其本质常存在简单的一面。
因此，如果能用简单的观点、简化的方法对问题的各种情形实施综合、排除、转化等策略，则往往能找到解决问题的简易途径。
一、充分利用隐含条件，缩小参数的取值范围例1 解关于x 的不等式|2x ||3x 2||3x x |22-+--<--。
解：因为x ≥3，所以3x x 2->且2x 2>。
所以原不等式化为 2x |3x 2|3x x 22-+--<--。
即|3x 2|3x 2--<-- 所以03x 2<--。
解得x>7。
所以原不等式的解集为}7x |x {>。
例2 已知实数x 满足不等式0)4x 3x (log 2)3x (<---。
求x 的取值范围。
解：因为04x 3x 2>--所以x>4或x<－1。
又因为13x 03x ≠->-且所以x>4，此时13x >-所以原不等式可化为14x 3x 2<-- 解得2293x 2293+<<-所以2293x 4+<<， 所以原不等式的解集为}2293x 4|x {+<< 例3 已知△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，135C sin =，求cosA 的值。
解：因为21135C sin <=， 所以π<<ππ<<C 656C 0或。
又因为角A 、B 、C 成等差数列，所以3B π=。
这样π<<πC 65是不可能的，因此6C 0π<<。
所以1312C cos =。
所以26123513523131221C sin B sin C cos B cos )C B cos(A cos -=⋅+⋅-=+-=+-=二、将各种情形给予综合考虑，对问题进行整体处理例4 设函数|x lg |)x (f =。
初一数学上册数轴上的动点问题
初一数学上册数轴上的动点问题动点问题处理策略1、数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。
即数轴上两点间的距离=右边点表示的数－左边点表示的数。
2、如何表示运动过程中的数：点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度。
这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。
即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a－b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。
（简单说成左减右加）3、分类讨论的思想：数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况种的分类讨论4、绝对值策略：对于两个动点P,Q，若点P,Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p,q两数差的绝对值表示P,Q两点距离，从而避免分复杂分类讨论类型一、数轴上两点距离的应用例1、已知数轴上A,B两点表示的数分别为-2和5，点P为数轴上一点（1）若点P到A,B两点的距离相等，求P点表示的数（2）若PA=2PB,求P点表示的数（3）若点P到点A和点B的距离之和为13，求点P所表示的数。
类型二、绝对值的处理策略例2、已知数轴上A,B两点表示的数分别为-8和20，点P,Q分别从A,B两点同时出发，P 点运动速度为每秒3个单位，Q点运动速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒（1）点P向右运动，Q点向左运动，当t为何值时，P,Q两点之间距离为8？（2）若P点和Q点都向右运动，多少秒后，P,Q两点之间距离为8？（3）在（2）的条件下，另一动点M同时从O点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，多少秒后，点M到点P和点Q的距离相等？练、已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为-8，点B表示的数为4．动点P从数轴上点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，设运动时间为t秒。
（1）若点P向右运动，点Q向左运动，问多少秒后点P与Q相距2个单位长度？（2）若动点P、Q都向右运动，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．当t为何值时，2OP-OQ=4？类型三、小狗来回跑的问题例、数轴上，点A表示-3，点B表示12，A,B两点同时向负方向运动，速度分别为1个单位和4个单位每秒，同时另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．练习、已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？类型四、运动中的变与不变例3、数轴上A,B,C三点分别表示-1，1，5，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B 之间的距离表示为AB．（1）请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．（2）是否存在一个常数m使得m•BC-2AB不随运动时间t的改变而改变．若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．练习、如图①，M、N、P是数轴上顺次三点，M、N之间的距离记为MN，M，P之间的距离记为MP．（1）若MP=3MN，求x的值；（2）在（1）的条件下，如图②，点M、N、P开始在数轴上运动，点M以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点N和点P分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t（t＞0）秒，PN-MN的值是否随时间t的变化而改变？若改变，说明理由；若不变，求其值．为定值？若存在求出k值，并求出这个定值。
如何避免分类讨论
如何避免“分类讨论”“分类讨论”是一种重要的数学思想，许多问题都离不开分类讨论。
但有些问题若能认真审题，深刻反思，克服思维定势，变换思维角度，往往可以避免分类讨论，使问题的解决更为简捷。
一、运用最值思想，避免分类讨论例1：奇函数)(x f 是R 上的减函数，若对任意的]10(，∈x ，不等式0)2()(2>-+-+x x f kx f 恒成立，求实数k 的取值范围。
二、变换主元地位，避免分类讨论例3：设不等式0122<+--m x mx 对于满足2||≤m 的一切m 的值都成立，求m 的取值范围。
三、借助函数性质，避免分类讨论例4：设定义在［-2，2］上的偶函数在区间［0，2］上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实数m 的取值范围。
简化讨论甚至避免分类讨论的几种方法数学讨论既是解决问题的重要工具，也是迫不得已的事。
因此，简化讨论甚至避免分类讨论是我们追求的一个目标。
有的讨论题，若能消去问题中的参数，则可避免分类讨论例设x ∈(0, 1)，a ＞0且a ≠1，试比数|log a (1-x)|与|log a (1+x)|的大小。
有的讨论题，运用反面求解法是避免分类讨论的重要途径例三条抛物线f1(x)=x2-(2m-1)x-m+1，f2(x)=x2+(m+8)x+m2+13，f3(x)=x2+mx+m+4。
若其中至少有一条与x轴没有交点，求实数m的取值范围。
有的题，运用几何法求解，就可避开讨论例已知圆的方程x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0, y0)的切线方程有的讨论题，若运用变量代换法求解，则可避开分类讨论例解不等式。
有的讨论题，若用命题等价转换法求解，则可回避分类讨论例若x∈[0, ]，求使关于x的方程cosx+sinx=有解的正数a的取值范围。
有的题，利用二次方程实根的分布法求解，就可以回避分类讨论例关于实数x的不等式|x-|≤与x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0(其中a∈R)的解集依次记为A与B，求使A B，求得A B的a的取值范围。
如何避免“分类讨论”
如何避免“分类讨论”浙江省绍兴县鉴湖中学 周张海“分类讨论”是一种重要的数学思想，许多问题都离不开分类讨论。
但有些问题若能认真审题，深刻反思，克服思维定势，变换思维角度，往往可以避免分类讨论，使问题的解决更为简捷。
现采撷几例，供参考。
一、运用最值思想，避免分类讨论例1：奇函数是R 上的减函数，若对任意的，不等式)(x f ]10(，∈x 恒成立，求实数k 的取值范围。
0)2()(2>-+-+x x f kx f 解：，且是R 上的奇函数，减函数，0)2()(2>-+-+x x f kx f )(x f )2()(2+->∴x x f kx f 得到（1）22+-<x x kx ，可得，问题转化为只要k 小于的最小值即可。
]10(，∈x 12-+<x x k 12-+xx 令，因为在（0，）上是减函数，xx x h 2)(+=)(x h 2故当时，]10(，∈x 显然有，即133)1()(min -<∴==k h x h ，2<k ∴k 的取值范围为（-∞，2）点评：按照常规思路，由（1）式转化为在上恒成立问02)1(2>++-x k x ]10(，∈x 题，可令，然后根据二次函数性质及对称轴位置的变化，进行分2)1()(2++-=x k x x g 类讨论，得到：或或⎪⎩⎪⎨⎧><+0)0(021g k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<+≤0)21(1210k g k ⎪⎩⎪⎨⎧>≥+0)1(121g k 解得或或，从而求得k 的取值范围为（-∞，2）。
这样解1-<k 11<≤-k 21<≤k 就显得比较烦琐，因为有些不等式在区间上的“恒成立”问题，一般通过分离变量，转化为函数的最值问题求解。
就可以避免分类讨论，使得解题过程简明快捷，少走弯路。
二、妙用换底公式，避免分类讨论例2：设，且，比较与的大小。
10<<x 0>a 1≠a |)1(log |x a -|)1(log |x a +分析：本例通常应分与两种情况讨论，但运用换底公式消去a ，就可1>a 10<<a 避免分类讨论，从而达到简化解题过程的目的。
如何避免考试中分类讨论错误
如何避免考试中分类讨论错误分类讨论在数学题中经常出现，也是满分率比较低的一种题，同学们在做题的时候经常会犯错误，小题经常忘记分类讨论，大题经常讨论不全，讨论全了结果还不一定对。
所以，这种题很容易不小心丢分。
那么平时我们该养成怎样的习惯避免分类讨论的错误。
1我们要有分类讨论的意识很多知识点是分类讨论的常客，对于这些知识点，同学们在考试时要保持高度的敏感，时刻紧绷分类讨论的弦，以免掉进出题老师的陷阱。
2分类讨论是要有一定原则不要东一榔头西一棒子的的试，要具备一定的条理。
分类的原则：1分类中的每一部分是相互独立的；2一次分类按一个标准；3分类讨论应逐级有序进行。
以探寻直角坐标系中等腰直角三角形存在的问题来说，如果给定两个点A、B，需要在X轴上找第三个点C使得这个三角形ABC是等腰直角三角形，这个时候同学们可以线段来分类讨论：AB为斜边时，AC为斜边或时BC为斜边时点C的坐标。
这样讨论保证不会丢掉任何一种可能性，并且效率较高。
当然也可以按照角来讨论，但是注意不要两种分类方法穿插进行。
有些时候有可能会进行二次讨论，这个时候对于同学们的条理性要求就更大了，例如探讨含有30°角的直角三角形时，要先讨论那个角是直角，在讨论哪个角是30°或60°。
3在列出所有需要讨论的可能性之后，要仔细审查是否每种可能性都会存在，是否有需要舍去的最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根，那么我们就要看看是不是这两个根都能保留。
同样有些时候也需要注意是否有些讨论结果重复，需要进行合并。
例如直角坐标系中求能够成等腰三角形的点坐标，如果按照一定的原则分类讨论后，有可能会出现同一个点上可以构成两个等腰三角形的情况，这种情况下就要进行合并。
也就是说找到的三角形的个数和点的个数是不一样的。
以下几点是需要大家注意分类讨论的1熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决。
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轴 为 ＝ 与 ａ ， 则 可 分 别 钉（ ＼ 一 丢 厶 ） ／ ＝ ， ， （ ２ ） ＝ １ ， （ ＼ 二 Ⅱ ） ＝
１ ， 分 别 求 出 。 的 值 再 检 验 ， 易 知 ｎ ： 丢 或 。 一 — ３ ＋ ２ Ｖ ＇ ２ － ．
三、 利 用 等 价 转 化 的 思 想 避 免 分 类 讨 论 在解答有些题 目时 ，若对题设条件进行 合理变形和
又当 ≥０ 时， ｇ （ ） 为减 函数 ， 得 到
『 ｆ １ 一 ｍｌ ≤２ ，
解： 由题设ｌ 厂 （ 。 ） （ ｂ ） 得ｌ ｌ ｇ ｎ ｌ ＞ ｌ ｌ ｇ ｂ ｌ ， 两边平方得
｛ ｌ ｒ 凡 ｛ ≤２ ，
㈠ １ 一 ｍ｛ ＞ ｌ ｍ１ ．
Ｉ 一 ÷， ２ １ 上的 最大值为１ ， 求实数。 的 值．
分析 ： 按常规 思维 ， 需要 对ａ 的正负进行讨论 ， 且在每
一
研究函数厂 （ ） 的图像与 轴的交点的个数确定原方程的
解 的个 数 ， 但需对口 进行 比较复 杂 的讨 论 ； 如果将 方程变
形为 一 １
一
方法 ， 在平 时的训 练中一定要注意优选运算方法 ， 当运算
过程 过于烦琐 时 ， 切莫 盲 目蛮算 ， 要善于 转变思 路 ， 多想
力， 正如卡曾斯所说 ： 把时间用在思考 上是最 能节省时间
的事情． 运算 能力 的提高 ， 虽然 不是一朝一夕能立竿 见影
的， 但 只要 能不 断地总结 经验 ， 掌握上 面所述优化运算过 程 的基本 策略 ， 持 之以恒 地练好基本 功 ， 就能使 自己的运 算 功底达 到理想 的境界．■
类 中 又 要 根 据 抛 物 线 的 对 称 轴 与 区 间 ｆ 一 ３ ， ２ ｆ 的 相 对
１： 。 ， 谢
。
（ ） ： 一 １ 一 １ 一 （ ＞ ０ ）则 可 以通
，
Ｘ
ｘ‘
ｘ
‘
位 置 关 系 讨 论 函 （ ） 在 区 间 ｆ 一 ３ ， ２ ｆ 上 的 单 调 性 ， 进
一Байду номын сангаас
解 ， 即 ｎ 的 取 值 范 围 是 （ ～ ｏ 。 ， ｏ ３ ｕ ｛ ｊ ・
点 评 ：本 解 法 从 确 定 的 函数 图像 与 动 直 线 的 交 点 入
握分类讨论思 想的同时 ， 要注意如何避免讨论 ， 本 文从几
个 方面论述 ， 避 免讨 论的对策．
一
手． 避 免 了复 杂 的讨 论 。 比较 ｘ 间 － ｚ － 捷．
二 ，
且 当 — — ’ １ ） 时， ， （ ） 一一 ｏ 。 ， 当 一＋ 。 。 时， ｌ 厂 （ ） — ， 作 出ｌ 厂 （ ） 图 像 的草图（ 见 图１ ） ， 从图像看 出， 当０ ＝ 或。 ≤０ 时方 程有唯
查 ，很多试题需要根据不 同的具 体条件灵活采用不 同的
而知道何时取最 大值 ， 这样共需分六类情 况． 若从结 果考
虑， 逆 向分 析 ， 可避 免分类讨论 ， 使问题解决．
过研究函数厂 （ ） 的图像与直线ｙ ＝ ａ 的交点的个数解决．
解： 当ｘ ＞ Ｏ Ｉ ｔ ￣， 方 程 即 一
一
＝ 。 ， 设厂 （ ） ＝ １ 一 １ 一 １
２ ０ １ ３年 ９月
解 法 探 究
学 谋
避 免分 类讨 论 的几点策 略
⑧ 江 苏 省 沭 阳 如 东 中学 袁 媛
分 类讨论是一种重要 的数学思想 方法 ， 但 是因为分
类讨论 论述较长 ， 而且容易讨论不完 整造成 解题失误 ， 因 此分类讨 论并 非最好 的解题方法 ， 我们提倡在熟悉 和掌
等价转化 ， 有 时可 以避开分类讨论．
在（ ０ ， ３ ） 上厂 （ ） ＞ ０ ， ， （ ） 是增函数 ； 在（ ３ ， ＋ 。 。 ） 上厂 （ ）
＜ ０ ， ＿ 厂 （ ） 是减 函数・ ５ Ｌ ｆ （ ３ ） ＞ ０ ， ｌ 厂 （ ） 一 ＜ ０ ， ＞ ３ ， ，（ ） ＞ ０ ，
分析： 由题设厂 （ ｎ ） （ ６ ） 得Ｉ ｌ ｇ ｏ ｌ ＞ ｌ ｌ ｇ ｂ Ｉ ， 常规方法为
解： 因为函数ｇ （ ） 在［ 一 ２ ， ２ ］ 上是偶函数， 则ｇ （ １ － ｍ） ＜ ｇ （ ｍ） 有， 可得ｇ （ １ １ － ｍＩ ） ＜ ｇ （ １ ｍＩ ） ．
２ ５ …
解 ： 由 于 抛 物 线 ｌ 厂 （ ） 在 区 间 ｆ 一 ３ ， ２ ７ 上 的 最 大 值 只
＝ 丁 Ｘ ２ － Ｘ － １ 贝 （ ） ＝ 一 ＋ ＋
，
Ｄ ｜
’
可 能在 区间端点或对称 轴处取 得 ， 而抛 物线厂 （ ） 的对 称
想上 面所述 的几种策略 ， 寻找新的方法 ， 使运算更具合理
性、 简洁性 和准确性 ， 要 知道 ： 找 到好 的方 法既省 时又省
高 中 版中。 擞’ ？０ ｊ
鍪
窒
一
围， 避免烦琐 的讨论．
２ ０１ ３年 ９月
成ｇ （ Ｉ ｌ — ｍ１ ） ＜ ｇ （ １ ｍ１ ） ， 然后由单调性求解出／ Ｔ ｔ 的取值范
二、 利 用 逆 向思 维 避 免 分 类 讨 论 当问题直接求解需要很复杂 的分类讨论时 ，我们 可 以从 结果考虑 ， 通过逆 向分析 、 研究 ， 使问题得到解决．
、
利 用 数 形 结 合避 免 分 类 讨 论
概＋ １ ＝ ０ 在（ ０ ， ＋ ∞） 上有
例１ 已知 关于 的方程
且仅有一个实数解 ， 求 实数ａ 的取值 范围．
分 析： 当ｎ ≠０ 时， 这是 一个关于 的一元三次 方程 ， 我
例２ 已知函数厂 （ ） ＝ 似 ＋ （ ２ 一 １ 一 ３ （ ａ ≠０ ） 在区问
们无法直接 求解． 如果设 厂 （ ） ＝ 似。 帆＋ ｌ ， 则就 可 以通过