第01讲+不等式-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

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2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第01讲不等式Word版含解析

3、（ 2011 一试 3）设 a, b 为正实数， 1
1
2 2， (a
2
b)
3
4(ab) ，则
log a
b
．
ab
【答案】 -1
【解析】由 1
1
2 2 ，得 a b
2 2ab ．又 (a
2
b)
2
4ab (a b)
3
4ab 4(ab)
3
4 2 ab (ab)
8(ab ) 2 ，
ab
即 a b 2 2ab ①于是 a b 2 2 ab ②
所以 M 2( z x) z x ( 2 1) z x 2 1.
1
当且仅当 y
x
z
y, x
0, z 1, y
时上式等号同时成立
2
. 故 M max
2 1.
3 5、 (2014 一试 2) 设集合 {
b |1
a
b
2} 中的最大值与最小值分别为
M , m ，则 M m =_________.
a
【答案】 5 2 3
⑵1
1 ln 1
n1
n
1 ．令 xn n
nk
k2
k1
1
ln n ，则 x1
1 ，
2
n
1
xn xn 1 n2 1 ln 1 n 1
n1 n2 1 n
1 ( n2 1)n 0
因此 xn xn 1
1
x1
．
2
又因为 ln n (ln n ln( n 1)) (ln( n 1) ln( n 2))
(ln 2 ln1)
33 由于直线 CD的方程为 x+3y=6, 直线 GH的方程为 3x+y=6, 故它们的交点 P 的坐标为 ( , ) ，

全国高中数学历届联赛——不等式试题汇编

全国高中数学历届联赛——不等式试题汇编1．【2016年全国联赛】设实数a满足.则a的取值范围是________.【答案】【解析】由.则由原不等式得:.又，故.2．【2015年全国联赛】在平面直角坐标系中，点集所对应的平面区域的面积为______.【答案】24【解析】设.先考虑点集在第一象限中的部分，此时，.故这些点对应于图中的及其内部.由对称性，知点集对应的区域是图中以原点为中心的菱形及其内部.类似地，设.则点集对应的区域是图中以为中心的菱形及其内部.由点集的定义，知所对应的平面区域是被点集中恰一个所覆盖的部分.因此，本题所要求的即为图中阴影区域的面积. 由，知两直线的交点为.由对称性知.故答案为：243．【2013年全国联赛】若实数满足，则的取值范围是______.【答案】【解析】令，此时，，且题设等式化为.于是，满足方程.如图，在平面内，点的轨迹是以为圆心、为半径的圆在的部分，即点与弧并集. 故.从而，.4．【2009年全国联赛】在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．F E DC BA Oyx【答案】212t t -++【解析】由题意知()f t S =阴影部分面积AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++5．【2009年全国联赛】使不等式1111200712213a n n n +++<-+++L 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为．【答案】2009 【解析】设()1111221f n n n n =++++++L ．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．6．【2018年全国联赛】设n 是正整数，均为正实数，满足，且.求证：.【答案】证明见解析【解析】由条件知，.记，则化为。

全国高中数学历届联赛——不等式试题汇编

全国高中数学历届联赛——不等式试题汇编一、简介不等式是数学中一种重要的概念，涉及到数的大小关系和数的取值范围等问题。

全国高中数学历届联赛一直重视不等式的考核，下面将为大家汇编一些历年来的不等式试题。

二、一元一次不等式1. 第一题已知不等式3x - 2 > 5，求解x的取值范围。

解析：首先将不等式中的常数移到一边，得到3x > 7，然后通过除以正数的操作得到x > 7/3。

所以x的取值范围为[7/3, +∞)。

2. 第二题已知不等式2x + 1 < 7，求解x的取值范围。

解析：同样地，将不等式中的常数移到一边得到2x < 6，然后除以正数得到x < 3。

所以x的取值范围为(-∞, 3)。

三、一元二次不等式1. 第一题已知不等式x^2 - 5x + 6 > 0，求解x的取值范围。

解析：首先将不等式转化为对应的方程x^2 - 5x + 6 = 0，并求得方程的解x1 = 2，x2 = 3。

然后绘制一元二次函数的图像，根据函数的凹凸性和与x轴的交点，可以得出x的取值范围为(-∞, 2) ∪ (3, +∞)。

2. 第二题已知不等式x^2 - 4x + 3 < 0，求解x的取值范围。

解析：同样地，将不等式转化为对应的方程x^2 - 4x + 3 = 0，并求得方程的解x1 = 1，x2 = 3。

绘制函数图像，可以得出x的取值范围为(1, 3)。

四、综合不等式1. 第一题已知不等式2(x - 1) + 3 < 4(x + 2)，求解x的取值范围。

解析：先将不等式中的括号展开，得到2x - 2 + 3 < 4x + 8。

整理得到x > -13/2。

所以x的取值范围为(-13/2, +∞)。

2. 第二题已知不等式(x - 1)(x + 2) > 0，求解x的取值范围。

解析：首先将不等式的等号两边进行因式分解，得到(x - 1)(x + 2) = 0。

全国高中数学联赛-不等式专题排序不等式与琴生不等式.pdf

说明：运用琴生不等式证题关键在于选去适当的辅助函数。情景再现
1. ABC 中，求 sin A sin B sin C 的最大值。
2. f (x) ax 2 bx c ，若 a 0 ，证明 f (x) 是下凸的；若 a 0 ，证明 f (x) 是上凸的。
3. 用函数 f (x) lg x 的凸函数性质证明平均值不等式：对 ai 0 （ i 1,2,..., n ）有
2
x分
别是 (0,
), (0,)
上的下凸函数。
f
(x)

sin
x, lg
x
分别是 [0,
], (0,)
上的上凸函数。
2
定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。
幂平均：
设
a1, a2 ,..., an
是任意
n
个正数，我们称 ( a1r

a2r n
...
an r
1
)r
(r
在命题与逻辑用语的学习过程中，我们常常会列举与不等式性质相关的问题作为范例. 不仅在大纲版人教社教材和课标版各教材的简易逻辑部分，都配有与此相关的例题、练习题作为逻辑学习的载体，在各类教辅用书和重要考试的考题中，以不等式性质或其运用作为素材的逻辑问题也是屡见不鲜的.这不仅是因为不等式的性质具有形式简洁明确、易于体现逻辑关系的特点，还因为它的工具作用使得我们在以许多其他教学内容作为题材提出围绕命题与逻辑用语的问题时，也与不等式的性质相关.
高一对函数单调性的证明，由于学生对不等式相关知识和方法的掌握方面还很欠缺，所以
我们将证明 f (x1 )与f (x2 ) 的大小关系，转化为判断 f (x1 ) f (x2 ) 的符号问题，从而以 f (x1 ) f (x2 ) 的恒等变形作为主要步骤，避免了对运用不等式性质进行变形的依赖.

第02讲初等数论20092017全国高中数学联赛分类汇编 (1)

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第02讲：初等数论1、（2010一试8）方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解(,,)x y z 的个数是. 【答案】336675易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=，即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.2、（2011一试8）已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．【答案】15 【解析】=n a C65400320020023n n n --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ．当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡，同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．3、（2015一试8）对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若,,a b b c c d <><,则称abcd 为Q 类数,用()N P 与()N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则()()N P N Q -的值为【答案】28599b a b c <≤<≤由及知，a 和c 分别有9-b 种取法，从而992200191019|=(9)26|85.b k b k ==⨯⨯-===∑∑A ()()285.N P N Q -=因此，学科@网4、（2016一试8）设4321,,,a a a a 是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为 . 【答案】40【解析】由柯西不等式知，2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++≥++++，等号成立的充分必要条件是433221a a a a a a ==，即4321,,,a a a a 成等比数列.于是问题等价于计算满足{1,2,3,},,,{4321⊆a a a a …,100}的等比数列4321,,,a a a a 的个数.设等比数列的公比1≠q ，且q 为有理数.记mn q =，其中n m ,为互素的正整数，且n m ≠. 先考虑m n >的情况.此时331314)(m n a m n a a ==，注意到33,n m 互素，故31ma l =为正整数. 相应地，4321,,,a a a a 分别等于l n l mn nl m l m 3223,,,，它们均为正整数.这表明，对任意给定的1>=mnq ，满足条件并以q 为公比的等比数列4321,,,a a a a 的个数，即为满足不等式1003≤l n 的正整数l 的个数，即]100[3n.由于10053>，故仅需考虑34,4,23,3,2=q 这些情况，相应的等比数列的个数为20113312]64100[]64100[]27100[]27100[]8100[=++++=++++. 当m n <时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列4321,,,a a a a . 综上可知，共有40个满足条件的有序数组),,,(4321a a a a .5、（2017一试4）若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是. 【答案】756、（2009二试3）设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：p/|C k m ．若p /|k !，则由1!C ()kkmi k m k i ==-+∏1[((!)]ki i tl k =≡+∏1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡．及|!p k α，且pα+1/|k !，知|!C k m p k α且1α+p /|!C k m k ．从而p/|C km ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：p/|C k m ．若p /|k !，则由 1!C ()==-+∏kkmi k m k i 21[((!)]ki i tl k =≡+∏1ki i =≡∏()!mod k p ≡．即p 不整除上式，故p/|C k m ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1/|!p k α+．12|(!)p k α+．故由11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]ki i tl k =≡+∏1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡,及|!p k α，且pα+1/|k !，知|!C k m p k α且1α+p /|!C k m k ．从而p/|C km ．7、（2009二试4）在非负数构成的39⨯数表中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】（ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知，{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ，中至少有两个值取在同一列．不妨设{}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字．下面证明33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明{}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定⑷{}221222322min u x x x x ==，， 3231x x <．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有{}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233min k k u x x x x ==，，，或者{}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表S 具有性质()O ，则{}11112111min k u x x x x ==，，，⑸{}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233min k k u x x x x ==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知，*1111k x x u >=，*3323k x x u >=．于是只能有*222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．学*科网 8、（2010一试11）证明：方程02523=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得+++=32152a a a r r r . 若存在两个不同的正整数数列 <<<<n a a a 21和 <<<<nb b b 21满足52321321=+++=+++ b b b a a a r r r r r r ，去掉上面等式两边相同的项，有 +++=+++321321t t t s s s r r r r r r，这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的. 不妨设11t s <，则 ++=++<21211t t s s s r r r r r，112111111121211=--<--=++≤++<--rr r r r s t s t ，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.9、（2010二试2）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．【解析】记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数．假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++．于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122k k k =+++ 11211212(1)2()222v v v v v v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ① 这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++.显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明．10、（2010二试4）一种密码锁的密码设置是在正n边形12nA A A的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？设标有a的边有2i条，02ni⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b的边有2j条，22n ij-⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i条边标记a的有2inC种方法，在余下的边中取出2j条边标记b的有22jn iC-种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有2inC22jn iC-种标记方法．对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n ii jn n ii jC C-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭∑∑．①这里我们约定01C=．当n为奇数时，20n i->，此时2222122n ij n in ijC-⎡⎤⎢⎥⎣⎦---==∑．②代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n ni j i n i i n in n i n ni j i iC C C C-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦----====⎛⎫⎪==⎪⎪⎝⎭∑∑∑∑0022(1)(21)(21)n nk n k k n k k n nn nk kC C--===+-=++-∑∑31n=+．222222004n n ii jn n ii jC C-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭∑∑()12221412ni n iniC⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--=⎛⎫⎪⨯+⎪⎪⎝⎭∑()222124233ni n i nniC⎡⎤⎢⎥⎣⎦--==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n +种；当n 为偶数时有33n +种．11、（2011二试2）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．【解析】令 2)()2)(1()(++++=n x x x x f ， ①将①的右边展开即知)(x f 是一个首项系数为1的正整数系数的n 次多项式．下面证明)(x f 满足性质（2）．对任意整数t ，由于4≥n ，故连续的n 个整数n t t t +++,,2,1 中必有一个为4的倍数，从而由①知)4(mod 2)(≡t f ．因此，对任意)2(≥k k 个正整数k r r r ,,,21 ，有 )4(mod 02)()()(21≡≡k k r f r f r f ．但对任意正整数m ，有)4(mod 2)(≡m f ，故)4)(mod ()()()(21k r f r f r f m f ≡/，从而)()()()(21k r f r f r f m f ≠．所以)(x f 符合题设要求．学&科网12、（2011二试3）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a j k ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．因此，当n 为偶数时，设m n 2=，则有∑∑∑-=-=-=+==121212)()()()(m mj j m j j n j j n r g r g r g r f2)1(2)1()2()1(1212-+-=-+-≤∑∑-+==m m m m j m j m m j m j 4222n m m m =<-=．当n 为奇数时，设12+=m n ，则有∑∑∑+==-=+==mm j jmj j n j j n r gr g r g r f 21212)()()()(∑∑+==-++-≤mm j mj j m j 212)12()1(422n m <=．13、（2011二试4）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．【解析】首先证明A 中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为9,,2,1,,, =i c b a i i i ．记9,,2,1,0,)(,11=+==∑∑==k c bT a S ki i ikk i ik ，这里000==T S ．即第2行至第3行、第1+m 列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n n m m T S T S +≡+．因此上述断言得证．故)10(mod 59210)(999≡++++≡+≡≡∑∑∑=== k k k k k k k T S T S ，所以 )10(mod 055)(99090≡+≡+≡+∑∑∑===k k k k k k k T S T S ，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．另一方面，构造如下一个93⨯的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．综上所述，“坏格”个数的最大值是25．14、（2012二试2）试证明：集合{}22,2,,2,n A =满足b N *∈，若21b a <-，（１）对每个a A ∈，及则(1)b b +一定不是2a的倍数；（２）对每个a A ∈（其中A 表示A 在Ｎ中的补集），且1a ≠，必存在b N *∈，21b a <-，使(1)b b +是2a 的倍数．【解析】证明:对任意的a A ∈,设2,,ka k N *=∈则122,k a +=如果b 是任意一个小于21a -的正整数,则1 1 12 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1111011112121b a+≤-则122ka m+=⋅下面给出(2)的三种证明方法:证法一:令1,12,kb mx b y+=+=消去b得12 1.k y mx+-=由于1(2,)1,k m+=这方程必有整数解;12kx x ty y mt+⎧=+⎪⎨=+⎪⎩其中00,(,)t z x y∈为方程的特解.把最小的正整数解记为(,),x y**则12kx*+<,故21,b mx a*=<-使(1)b b+是2a的倍数．证法二:由于1(2,)1,k m+=由中国剩余定理知,同余方程组10(mod2)1(mod)kxx m m+⎧=⎨=-⎩在区间1(0,2)k m+上有解,x b=即存在21,b a<-使(1)b b+是2a的倍数．证法三:由于(2,)1,m=总存在(,1),r r N r m*∈≤-使21(mod)r m=取,t N*∈使1,tr k>+则21(mod)tr m=存在1(21)(2)0,,tr kb q m q N+=--⋅>∈使021,b a<<-此时1,21,km b m++因而(1)b b+是2a的倍数．15.（2013二试4）（本题满分50分）设,n k为大于1的整数，2kn<.证明：存在2k个不被n整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组若干个数的和被n整除.【证明】先考虑n为2的幂的情形.设2,1rn r=≥，则r k<.取3个12r-及23k-个1，显然这些数均不被n整除.将这2k个数任意分成两组，则总有一组中含2个12r-，它们的和为2r，被n整除.现在设n不是2的幂，取2k个数为22211,1,2,2,,2,1,2,2,,2k k-------，因为n不是2的幂，故上述2k个数均不被n整除.若可将这些数分成两组，使得每一组中任意若干个数的和均不能被n整除.不妨设1在第一组，由于（-1）+1=0，被n整除，故两个-1必须在第二组；因（-1）+（-1）+2=0，被n整除，故2在第一组，进而推出-2在第二组. 现归纳假设1,2,,2l 均在第一组，而1,1,2,,2l ----均在第二组，这里12l k ≤<-，由于()()()()1112220l l +-+-+-++-+=，被n 整除，故12l +在第一组，从而12l +-在第二组.故由数学归纳法可知，221,2,2,,2k -在第一组，221,1,2,2,,2k ------在第二组.最后，由于()()()()21112220k k ---+-+-++-+=，16、（2014二试4）（本题满分50分）设整数122014,,,2014x x x 模互不同余，122014,,,y y y 整数模2014也互不同余.证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余.【证明】(mod 2),12.,i i y i k i k i ≡≡≤≤记k=1007,不妨设x 对每个整数17、（2015二试4）(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :对任意正整数(1)1,2k n n -+不整除()!!kn n . 18、（2016二试3）（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间的线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.【解析】以这10个点为顶点，所连线段为边，得到一个10界简单图G ，我们证明G 的边数不超过15.边，否则就形成三角形，所以，121,,,n v v v +⋅⋅⋅之间恰有n 条边.对每个j (210)n j +≤≤，j v 至多与21,,n v v +⋅⋅⋅中的一个顶点相邻（否则设j v 与,(21)s t v v s t n ≤<≤+）相邻，则1,,,s j t v v v v 就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾，从而21,,n v v +⋅⋅⋅与210,,n v v +⋅⋅⋅之间的边数至多10(1)9n n -+=-条.在210,,n v v +⋅⋅⋅这9n -个顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，至多2(9)[]4n -条边，因此G 的边数22(9)(9)25(9)[]9[]9[]15444n n k n n --≤+-+=+≤+=百度文库 - 让每个人平等地提升自我11 如图给出的图共有15条边，且满足要求，综上所述，所求边数的最大值为15.学科*网19、（2017二试3）（本题满分50分）将33×33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等，若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.解：记分隔边的条数为L ，首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56个分隔边，即L=56.20、（2017二试4）（本题满分50分）设,m n 均是大于1的整数，12.,,,n m n a a a ≥是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且12,,,n a a a 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个(1)i i n ≤≤，使得2||||||||(1)i a x x m m ≥+，这里||||y 表示实数y 到它最近的整数的距离. 证明：首先证明以下两个结论.结论1:存在整数121122,,,,+++c 1,||,1.n n n i c c c c a c a a c m i n =≤≤≤满足并且由于121211221,,,+++c 1.1n n n n a a a c c c c a c a a ==（，，，），由裴蜀定理，存在整数，满足（）下面证明,通过调整,存在一组12,,,n c c c 满足（1），且绝对值均不超过m,记因为12S 与S 均是非负整数,故通过有限次上述的调整,可得到一组12,,,n c c c ，。

全国高中数学竞赛专题-不等式

全国高中数学竞赛专题-不等式（2）商值比较法（原理：若>1，且B>0，则A>B 。

）例2 若a<x<1，比较大小：|log a (1-x)|与|log a (1+x)|. 解：因为1-x ≠1，所以log a (1-x)≠0,|)1(log ||)1(log |x x aa -+=|log (1-x)(1+x)|=-log (1-x)(1+x)=log (1-x)x +11>log (1-x)(1-x)=1（因为0<1-x 2<1，所以x+11>1-x>0, 0<1-x<1）. 所以|log a (1+x)|>|log a (1-x)|.2．分析法（即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。

）例3 已知a, b, c ∈R +，求证：a+b+c-33abc ≥a+b .2ab - 证明：要证a+b+c 33b a c ⋅⋅-≥a+b .2ab -只需证332abc ab c ≥+，因为33332abc b a c ab ab c ab c =⋅⋅≥++=+，所以原不等式成立。

例 4 已知实数a, b, c 满足0<a ≤b ≤c ≤21，求证：.)1(1)1(1)1(2a b b a c c -+-≤-证明：因为0<a ≤b ≤c ≤21，由二次函数性质可证a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c)，所以)1(1)1(1)1(1c c b b a a -≥-≥-，所以)1(2)1(2)1(1)1(1c c b b b b a a -≥-≥-+-，所以只需证明)1(1)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -+-≤-+-，也就是证)1)(1()1)(1(b a b b a b a a b a ---≤---，只需证b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第2讲初等数论

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第02讲：初等数论1、（2010一试8）方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解(,,)x y z 的个数是. 【答案】336675易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=，即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.2、（2011一试8）已知=n a C ())95,,2,1(2162003200 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．【答案】15 【解析】=n a C65400320020023n n n--⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ．当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡，同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．3、（2015一试8）对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若,,a b b c c d <><,则称a b c d 为Q 类数,用()N P 与()N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则()()N P N Q -的值为【答案】28511..dcba B dcba B A abcd A B ∈∈故反之，每个唯一对应于中的元素这建立了与之间的一一对应，因此有 010()()||||||||||||.N P N Q A B A A B A -=-=+-=00||:0,0,19b,A abc A b ∈⋅⋅⋅下面计算对任一四位数可取，，，对其中每个99b a b c <≤<≤由及知，a 和c 分别有9-b 种取法，从而992200191019|=(9)26|85.b k b k ==⨯⨯-===∑∑A ()()285.N P N Q -=因此，4、（2016一试8）设4321,,,a a a a 是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为 . 【答案】40【解析】由柯西不等式知，2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++≥++++，等号成立的充分必要条件是433221a a a a a a ==，即4321,,,a a a a 成等比数列.于是问题等价于计算满足{1,2,3,},,,{4321⊆a a a a …,100}的等比数列4321,,,a a a a 的个数.设等比数列的公比1≠q ，且q 为有理数.记mnq =，其中n m ,为互素的正整数，且n m ≠. 先考虑m n >的情况.此时331314)(m n a m n a a ==，注意到33,nm 互素，故31m a l =为正整数. 相应地，4321,,,a a a a 分别等于l n l mn nl m l m 3223,,,，它们均为正整数.这表明，对任意给定的1>=mnq ，满足条件并以q 为公比的等比数列4321,,,a a a a 的个数，即为满足不等式1003≤l n 的正整数l 的个数，即]100[3n.由于10053>，故仅需考虑34,4,23,3,2=q 这些情况，相应的等比数列的个数为20113312]64100[]64100[]27100[]27100[]8100[=++++=++++. 当m n <时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列4321,,,a a a a . 综上可知，共有40个满足条件的有序数组),,,(4321a a a a .5、（2017一试4）若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是. 【答案】756、（2009二试3）设k ， l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：p/|C k m ．若p /|k !，则由1!C ()k k mi k m k i ==-+∏1[((!)]k i i tl k =≡+∏1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡．及|!p k α，且pα+1/|k !，知|!C k m p k α且1α+p /|!C k m k ．从而p/|C km ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：p/|C k m ．若p /|k !，则由 1!C ()==-+∏kkmi k m k i 21[((!)]ki i tl k =≡+∏1ki i =≡∏()!mod k p ≡．即p 不整除上式，故p/|C k m ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1/|!p k α+．12|(!)p k α+．故由11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]ki i tl k =≡+∏1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡,及|!p k α，且pα+1/|k !，知|!C k m p k α且1α+p /|!C k m k ．从而p/|C km ．7、（2009二试4）在非负数构成的39⨯数表111213141516171819212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】（ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知，{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ，中至少有两个值取在同一列．不妨设{}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字． 111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭下面证明33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明 {}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表 111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定{}111121311min u x x x x ==，，⑷{}221222322min u x x x x ==，，{}331323333min u x x x x ==，，3231x x <．由于323x x<，2221x x <及（ⅰ），有 {}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233m i n k k u x x x x ==，，，或者 {}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表 S具有性质()O ，则{}11112111min k u x x x x ==，，， ⑸ {}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233min k ku x x x x ==，，．由数表 S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得 *i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知， *1111k x x u >=， *3323k x x u >=．于是只能有 *222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．8、（2010一试11）证明：方程02523=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得+++=32152a a a r r r.若存在两个不同的正整数数列 <<<<n a a a 21和 <<<<n b b b 21满足52321321=+++=+++ b b b a a a r r r r r r ，去掉上面等式两边相同的项，有 +++=+++321321t t t s s s r r r r r r，这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的. 不妨设11t s <，则 ++=++<21211t t s s s r r r r r，112111111121211=--<--=++≤++<--rr r r r s t s t ，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.9、（2010二试2）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．【解析】记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数．假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+ ，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++ ．于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122k k k =+++ 11211212(1)2()222v v v v v v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++ 12k '=+， ① 这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++ . 显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明．10、（2010二试4）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j -⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2inC 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22jn i C -种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2in C 22j n i C -种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为 222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑． ①这里我们约定001C =．当n 为奇数时，20n i ->，此时22221202n i jn i n ij C-⎡⎤⎢⎥⎣⎦---==∑． ②代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦----====⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭∑∑∑∑ 022(1)(21)(21)nnkn kk n kk n n nn k k C C --===+-=++-∑∑31n =+．222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--=⎛⎫ ⎪⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭∑()2221024233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦--==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n +种；当n 为偶数时有33n+种．11、（2011二试2）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．【解析】令 2)()2)(1()(++++=n x x x x f ， ①将①的右边展开即知)(x f 是一个首项系数为1的正整数系数的n 次多项式．下面证明)(x f 满足性质（2）．对任意整数t ，由于4≥n ，故连续的n 个整数n t t t +++,,2,1 中必有一个为4的倍数，从而由①知)4(mo d 2)(≡t f ．因此，对任意)2(≥k k 个正整数k r r r ,,,21 ，有 )4(m od 02)()()(21≡≡k k r f r f r f ．但对任意正整数m ，有)4(m od 2)(≡m f ，故)4)(m od ()()()(21k r f r f r f m f ≡/，从而)()()()(21k r f r f r f m f ≠．所以)(x f 符合题设要求．12、（2011二试3）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a j k ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．因此，当n 为偶数时，设m n 2=，则有∑∑∑-=-=-=+==121212)()()()(m mj j m j j n j j n r g r g r g r f2)1(2)1()2()1(1212-+-=-+-≤∑∑-+==m m m m j m j m m j m j 4222n m m m =<-=．当n 为奇数时，设12+=m n ，则有∑∑∑+==-=+==mm j jmj j n j j n r gr g r g r f 21212)()()()(∑∑+==-++-≤mm j m j j m j 212)12()1(422n m <=．13、（2011二试4）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．【解析】首先证明A 中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为9,,2,1,,, =i c b a i i i ．记9,,2,1,0,)(,11=+==∑∑==k c b T a S ki i i k ki i k ，这里000==T S ．即第2行至第3行、第1+m 列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(m od n n m m T S T S +≡+．因此上述断言得证．故)10(mod 59210)(999≡++++≡+≡≡∑∑∑=== k k k k k k k T S T S ，所以 )10(mod 055)(99090≡+≡+≡+∑∑∑===k k k k k k k T S T S ，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．另一方面，构造如下一个93⨯的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．综上所述，“坏格”个数的最大值是25．14、（2012二试2）试证明：集合{}22,2,,2,n A = 满足（１）对每个a A ∈，及b N *∈，若21b a <-，则(1)b b +一定不是2a 的倍数；（２）对每个a A ∈（其中A 表示A 在Ｎ中的补集），且1a ≠，必存在b N *∈，21b a <-，使(1)b b +是2a 的倍数．【解析】证明:对任意的a A ∈,设2,,ka k N *=∈则122,k a +=如果b 是任意一个小于21a -的正整数,则121b a +≤-则122k a m +=⋅下面给出(2)的三种证明方法: 证法一:令1,12,k b mx b y +=+=消去b 得12 1.k y mx +-=由于1(2,)1,k m +=这方程必有整数解;1002k x x ty y mt +⎧=+⎪⎨=+⎪⎩其中00,(,)t z x y ∈为方程的特解.把最小的正整数解记为(,),x y **则12k x *+<,故21,b mx a *=<-使(1)b b +是2a 的倍数．证法二:由于1(2,)1,k m +=由中国剩余定理知,同余方程组10(mod 2)1(mod )k x x m m +⎧=⎨=-⎩在区间1(0,2)k m +上有解,x b =即存在21,b a <-使(1)b b +是2a 的倍数．证法三:由于(2,)1,m =总存在(,1),r r N r m *∈≤-使21(mod )r m =取,t N *∈使1,tr k >+则21(mod )tr m =存在1(21)(2)0,,tr k b q m q N +=--⋅>∈使021,b a <<- 此时1,21,k m b m ++因而(1)b b +是2a 的倍数．15.（2013二试4）（本题满分50分）设,n k 为大于1的整数，2k n <.证明：存在2k 个不被n 整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组若干个数的和被n 整除. 【证明】先考虑n 为2的幂的情形.设2,1r n r =≥，则r k <.取3个12r -及23k -个1，显然这些数均不被n 整除.将这2k 个数任意分成两组，则总有一组中含2个12r -，它们的和为2r ，被n 整除.现在设n 不是2的幂，取2k 个数为22211,1,2,2,,2,1,2,2,,2k k ------- ，因为n 不是2的幂，故上述2k 个数均不被n 整除.若可将这些数分成两组，使得每一组中任意若干个数的和均不能被n 整除.不妨设1在第一组，由于（-1）+1=0，被n 整除，故两个-1必须在第二组；因（-1）+（-1）+2=0，被n 整除，故2在第一组，进而推出-2在第二组.现归纳假设1,2,,2l 均在第一组，而1,1,2,,2l ---- 均在第二组，这里12l k ≤<-，由于()()()()1112220l l +-+-+-++-+= ，被n 整除，故12l +在第一组，从而12l +-在第二组.故由数学归纳法可知，221,2,2,,2k - 在第一组，221,1,2,2,,2k ------ 在第二组.最后，由于()()()()21112220k k ---+-+-++-+= ，16、（2014二试4）（本题满分50分）设整数122014,,,2014x x x 模互不同余，122014,,,y y y 整数模2014也互不同余.证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++ 模4028互不同余.【证明】(mod2),12.,i i y i k i k i ≡≡≤≤记k=1007,不妨设x 对每个整数 1,+(mod4),,i i i k i k i i i k i k i k y x y k y y ++++≤≤≡+==若x 不则令z z ；否则，,.i i k i k i z y z y ++==令如果是前一种情形，则++=(mod4)i i i i i k i k i k i k z y x y x z k ++++=≡++x x 不如果是后一种情形，则也有+++=(mod4)i i i i k i k i i k i k z y x y x z k +++=≡++x x 不++(mod4),+(mod4),i i i k i k i i k i k i y x y k y x y k +++≡+≡+若不然，我们有x x 22(mod4),(mod2)i i k i i k x x k x x k ++≡≡两式相加可得于是，但122014,,,2014=2)(mod2),i i k x x x k x k +≡ 模（互不同余，特别地，x 不矛盾. 122122,,,y ,,,k k z z z y y 由上述构造方法知是的排列.记 1122,1,2,,2.w ,,,4.i i k x z i k w w k =+= w 下面模互不同余≤≤这只需证明，对任意整数i,j,1i<j k,w ,,,4i j i k j k w w w k ++*模两两不同余.()注意，前面的构造方式已保证(mod4),(mod4).()i i k j j k w k w k ++≡≡**w 不w 不,.i i j j z y z y ==情形一：且则由前面的构造方式可知 2(mod2),2(mod2).i i k j j k w i k w j k ++≡≡≡≡w w 22(mod2),2i j j k i j k w w k +≡由于不故易知与w 及模 j 24i k j k w w w k k ++不同余，与及模不同余，从而模更***不同余，再结合（）可见（）得证.,(,i i j j k i i k j i z y z y z y z y ++====情形三：且且的情形与此相同）.则由前面的构造方式可知2(mod2),2(mod2).i i k j j k w i k w j k k ++≡≡≡≡+w w22(mod2),22(mod2),k i j k i j k k ≡+≡+由于是奇数，故不更有不+22i j j k i k j j k w w k w w k ++因此仍然有w 与及模不同余，w 与及模不同余.*从而（）得证.因此本题得证.17、（2015二试4）(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :对任意正整数(1)1,2k n n -+不整除()!!kn n .22(()!)(!),1kn v kn n v n -≥-进而由（）知，本题等价于 ≥求所有正整数k,使得s(kn)s(n)对任意正整数n 成立.(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅我们证明，所有符号条件的k 为2(2)()a S n S n n =一方面，由于对任意正整数成立，故2.a k =符合条件 22,0,1.a k k q a q =⋅≥另一方面，若不是的方幂，设是大于的奇数)().)=2)(),a n S kn S n S kn S qn S qn <=下面构造一个正整数，使得（因为（（,)().m q m S m S q<因此问题等价于我们选取的一个倍数使得（2)1,,21(mod ).(u q u q =≡由（，熟知存在正整数使得事实上，).)u q ϕ由欧拉定理知，可以取（12122+2++2,0, 2.t t q t αααααα⋅⋅⋅=<<⋅⋅⋅<≥设奇数的二进制表示为1122+2++22,t t tu m S αααα-+=⋅⋅⋅+取则（m)=t,且 (21)0(mod ).t tu q α-≡m=q+2我们有(`1)21211212(122)t t tu u u t um q q q αα---=+⋅=+⋅++⋅⋅⋅+102112.t ut lu l q α-+=-=+⋅∑212102,u u u u q q --<<由于故正整数的二进制表示中的最高次幂小于，由此2121(01),22t tu u lu ju i j i j t q qαα++--≤<≤-⋅⋅易知，对任意整数，数与的二进制表示中没有相同的项.210,20,1,,1)1tu lu t l t q αα+->⋅=⋅⋅⋅-又因为故（的二进制表示中均不包含，故212)1()(),u m S S t t S m q q-=+⋅>=由（）可知（.m 因此上述选取的满足要求(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅综合上述的两个方面可知，所求的k 为218、（2016二试3）（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间的线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值. 【解析】以这10个点为顶点，所连线段为边，得到一个10界简单图G ，我们证明G 的边数不超过15.边，否则就形成三角形，所以，121,,,n v v v +⋅⋅⋅之间恰有n 条边.对每个j (210)n j +≤≤，j v 至多与21,,n v v +⋅⋅⋅中的一个顶点相邻（否则设j v 与,(21)s t v v s t n ≤<≤+）相邻，则1,,,s j t v v v v 就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾，从而21,,n v v +⋅⋅⋅与210,,n v v +⋅⋅⋅之间的边数至多10(1)9n n -+=-条.在210,,n v v +⋅⋅⋅这9n -个顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，至多2(9)[]4n -条边，因此G 的边数22(9)(9)25(9)[]9[]9[]15444n n k n n --≤+-+=+≤+=如图给出的图共有15条边，且满足要求，综上所述，所求边数的最大值为15.19、（2017二试3）（本题满分50分）将33×33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等，若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.解：记分隔边的条数为L ，首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56个分隔边，即L=56.1233123312356.,.,.A (A ),B ().,,.,().1,A .A ,)0,,).((ii i i j j j i j i j i j L A A B B n n B c c c c n c c c c B c n A δδ≥⎧⎪=⎨⎪⎩ 下面证明将方格纸的行从上至下依次记为A ，，列从左至右依次记为B ，，行中方格出现的颜色数记为列中方格出现的颜色个数记为三种颜色分别记为对于一种颜色设是含有色方格的行数与列数之和记若行含有色方格（否则.类似地定义（于是3333311133331112)())(A ,),))(A ,),))().133=3633363,n()38,n()391,i i i j i j i i j i j i j j j i j j j j j j n B c B c c B c n c c c a b c a b ab c a b c j δδδδ======+=+=+=⋅≥=+≥≥>≥=∑∑∑∑∑∑（（（（由于染色的方格有个，设含有色方格的行有个，列有个，则色的方格一定在这行和列的交叉方格中，因此从而故，33333311131112,3.1()()1()1(()1)(()1)(()())66(2)(()66.31.c 33c i i i j j i i i i i i i j j A n A n A B n B L n A n B n A n B n c ====--≥-+-=-=-∑∑∑∑（）由于在行中有种颜色的方格，因此至少有条分隔边，同理在列中，至少有条分隔边。

竞赛中的不等式问题

Y.P .M 数学竞赛讲座 1不等式的基本问题高中联赛中不等式的基本问题包括:不等式的同向可加性、函数的单调性质、大小比较和解不等式.1.同向可加[例1]:(1983年全国高中数学联赛试题)(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=ax 2－c,满足－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5.那么,f(3)的取值范围是_______.[解析]:[类题]:1.(2010年辽宁高考试题)已知-1<x+y<4,且2<x-y<3,则z=2x-3y 的取值范围是_______(答案用区间表示).2.(2004年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知二次函数y=ax 2+c,且当x ＝1时,－4≤y ≤－1,当x ＝2时,－1≤y ≤5,则当x＝3时,y 的取值范围是 .3.(2001全国高中数学联赛试题)己知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是( )(A)2枝玫瑰价格高 (B)3枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定 4.(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x+2y ≥1,5x+y ≥2,则log 8(2x+2y)的最小值是_____.5.(2010年江苏高考试题)设实数x,y 满足3≤xy 2≤8,4≤y x 2≤9,则43yx 的最大值是_________. 6.(2008年四川高考试题)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4≥10,S 5≤15,则a 4的最大值为 . 7.(1986年全国高中数学联赛试题)x,y,z 为非负实数,且满足方程zy x 4954++-68×zy x 4952+++256=0,那么x+y+z 的最大值与最小值的乘积等于 .2.函数单调性[例2]:(1999年全国高中数学联赛试题)若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y--(log 53)y-,则( )(A)x -y ≥0 (B)x+y ≥0 (C)x -y ≤0 (D)x+y ≤0[解析]:[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛试题)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a 2+a+1)<f(3a-24a+1)成立,则a 的取值范围是 .2.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数.若x 1+x 2>O,x 2+x 3>O,x 3+x 1>O,则( ) (A)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0 (B)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<O (C)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0 (D)f(x 1)+f(x 2)>f(x 3)3.(2006年全国高中数学联赛试题)设f(x)=x 3+log 2(x+12+x ),则对任意实数a,b,a+b ≥0是f(a)+f(b)≥0的( )(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件4.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知函数f(x)=x 3-log 2(12+x -x).则对于任意实数a 、b(a+b ≠0),33)()(b a b f a f ++的值( )(A)恒大于零 (B)恒等于零 (C)恒小于零 (D)符号不确定2 Y.P .M 数学竞赛讲座5.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=521+x +lg x x +-11,则不等式f[x(x-21)]<51的解集为 . 6.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若a 、b 是任意实数,且a>b,则下列不等式一定成立的是( ) (A)a 2>b 2(B)a b <1 (C)lg(a-b)>0 (D)(21)a <(21)b7. ⑴(1985年全国高中数学联赛试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设0<a<1,若x 1=a,x 2=1x a ,x 3=2x a ,…, x n =1-n x a ,…,则数列{x n }(A)是递增的 (B)是递减的 (C)奇数项是递增的,偶数项是递减的 (D)偶数项是递增的,奇数项是递减的 ⑵(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知三个实数a,b=a a,c=aa a ,若0.9<a<1,则( )(A)a<c<b (B)a<b<c (C)b<a<c (D)c<a<b3.大小比较[例3]:(1982年全国高中数学联赛试题)当a,b 是两个不相等的正数时,下列三个代数式:甲:(a+a1)(b+b1),乙:(ab +ab1)2,丙:(2b a ++ba +2)2中间,值最大的一个是( ) (A)必定是甲 (B)必定是乙 (C)必定是丙 (D)一般并不确定,而与a 、b 的取值有关[解析]:[类题]:1.(1983年全国高中数学联赛试题)x=31513121log 1log 1+的值是属于区间( )(A)(-2,-1) (B)(1,2) (C)(-3,-2) (D)(2,3) 2.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知m>1,a=1+m -m ,b=m -1-m 那么( )(A)a>b (B)a<b (C)a=b (D)a 、b 的大小与m 的取值有关 3.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)设n 为正整数,x=(1+n 1)n ,y=(1+n1)n+1,则( ) (A)x y>y x(B)x y=y x(C)x y<y x(D)以上都有可能 4.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知b>a>1,t>0,若a x=a+t,则b x与b+t 的大小关系是( )(A)b x >b+t (B)b x <b+t (C)b x=b+t (D)不确定. 5.(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知x 、y ≥1,且n x 1-+n y 1-≤2,则( ) (A)x ≥y (B)x ≤y (C)x+y ≥xy (D)x+y ≤xy6.(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)a,b,c 为互不相等的正数,a 2+c 2=2bc,则下列关系中可能成立的是( )(A)a>b>c (B)b>c>a (C)b>a>c (D)a>c>b 7.(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若0<a<b,且a+b=1,则下列各式中最大的是( )(A)-1 (B)log 2a+log 2b+1 (C)log 2b (D)log 2(a 3+a 2b+ab 2+b 3) 8.(2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)当a 、b 是两个不相等的正数时,下列不等式中,不成立的是( ) (A)(a+a 1)(b+b1)>(ab +ab1)2(B)(a+a 1)(b+b 1)>(2b a ++b a +2)2(C)2233b a b a ++>b a b a ++22 (D)b a b a --22>2233ba b a --4.解不等式Y.P .M 数学竞赛讲座 3 [例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)不等式|x 21log 1+2|>23的解集为 . [解析]:[类题]:1.(1998年全国高中数学联赛试题)设命题P:关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集相同;命题Q:21a a =21b b = 21c c .则命题Q( ) (A)是命题P 的充分必要条件 (B)是命题P 的充分条件但不是必要条件(C)是命题P 的必要条件但不是充分条件 (D)既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件 2.⑴(1989年全国高中数学联赛试题)若log a 2<1,则a 的取值范围是___________. ⑵(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)如果log a 43<1,那么a 的取值范围是 , ⑶(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若log a53<1,则a 的取值范围是___________. ⑷(1994年第五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若log a (2-a 2)<1,则实数a 的取值范围是 . 3.⑴(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)不等式|x 2－2|≤2x+1的解集为_________.⑵(2003年全国高中数学联赛试题)不等式|x|3－2x 2－4|x|+3<0的解集是____________.⑶(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)不等式|1log 131+x |>31的解集是 .⑷(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若a>0,a ≠1,且|log a 2|>log a+12,则a 的取值范围是 .4.⑴(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式x2log 1+>1–log 2x 的解是 .⑵(2006年全国高中数学联赛试题)设log x (2x 2+x-1)>log x 2-1,则x 的取值范围为 .⑶(2004年全国高中数学联赛试题)不等式1log 2-x+21321log x +2>0的解集为 . 4.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)关于x 的不等式x 2−ax −20a 2<0任意两个解的差不超过9,则a 的最大值与最小值的和是 .5.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)定义区间(c,d),[c,d),(c,d],[c,d]的长度均为d-c,其中d>c.已知实数a>b, 则满足bx a x -+-11≥1的x 构成的区间的长度之和为 .6.(1996年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若)lg(2lg x a ax+<1的解为(1,2,则a 的取值范围是 . 7.(2008年全国高中数学联赛试题)解不等式log 2(x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1)>1+log 2(x 4+1).Y.P .M 数学竞赛讲座 1基本不等式高中联赛客观题中的不等式包括:⑴二元均值不等式:①基本不等式a 2+b 2≥2|ab|及其推论a 2+b 2+c 2≥ab+bc+cd; a 2+b 2+c 2+d 2≥ab+bc+cd+da;x 12+x 2+…+x n 2≥x 1x 2+x 2x 3+…+x n-1x n +x n x 1,等号当且仅当x 1=x 2=…=x n 时成立;②当a>0,b>0时,ba 112+≤ab ≤2b a +≤222b a +,等号当且仅当a=b 时成立,其中b a 11+≥ab 2,b a 11+≥b a +4称为调和不等式;⑵三元均值不等式:①当a+b+c ≥0时,a 3+b 3+c 3≥3abc,等号当且仅当a+b+c=0,或a=b=c 时成立;②当a>0,b>0,c>0时,3c b a ++≥3abc ,等号当且仅当a=b=c 时成立;③当a>0,b>0,c>0时,cb a 1113++≤3abc ≤3cb a ++≤3222c b a ++,等号当且仅当a=b=c 时成立;⑶n 元均值不等式:当a i >0(i=1,2,…,n)时,na a a n11121+⋅⋅⋅++(调和平均数)≤n n a a a ⋅⋅⋅21(几何平均数)≤na a a n+⋅⋅⋅++21(算朮平均数)≤na a a n23221+⋅⋅⋅++(方幂平均数),等号当且仅当a 1=a 2=…=a n 时成立;⑷柯西不等式:①基本形式C 0:当a i ,b i ∈R(i=1,2,…,n)时,(a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)≥(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2,等号当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=…=a n :b n 时成立;②变形式C 1:当a i ,b i ∈R +(i=1,2,…,n)时,(a 1+a 2+…+a n )(b 1+b 2+…+b n )≥(11b a +22b a +…+n n b a )n ,等号当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=…=a n :b n 时成立;③变形式C 2:当a i ,b i ∈R +(i=1,2,…,n)时,(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )(11b a +22b a+…+nnb a )≥ (a 1+a 2+…+a n )2,等号当且仅当b 1=b 2=…=b n 时成立;④变形式C 3:当a i ∈R +,b i ∈R(i=1,2,…,n)时,(a 1+a 2+…+a n )(121a b +222a b +…+nna b 2)≥(b 1+b 2+…+b n )2,等号当且仅当a 1:|b 1|=a 2:|b 2|=…=a n :|b n |时成立.不等式的认识应从不等式成立条件、等号成立条件、不等式的变形和不等式等号成立的条件在求最值问题中的巧用等方面进行.1.等号成立的条件[例1]:(2011年全国高中数学联赛试题)设a,b 为正实数,ba11+≤22,(a-b)2=4(ab)3,则log a b= .[解析]:[类题]:1.(2007年北京高考试题)如果正数a,b,c,d 满足a+b=cd=4,那么( )(A)ab ≤c+d,且等号成立时a,b,c,d 的取值惟— (B)ab ≥c+d,且等号成立时a,b,c,d 的取值惟— (C)ab ≤c+d,且等号成立时a,b,c,d 的取值不惟— (D)ab ≥c+d,且等号成立时a,b,c,d 的取值不惟— 2.(2010年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知函数f(x)=424)42(24224+++-++x x x k k x 的最小值是0,则非零实数k 的值是 .3.⑴(2010年全国I 高考试题)(理)已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 .2 Y.P .M 数学竞赛讲座⑵(2009年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设函数f(x)=|x 2-2|,若f(a)=f(b),且0<a<b,则ab 的取值范围是 .⑶(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<)8(841)80(|log |2x x x x .若a,b,c 是互不相等的实数,且f(a)=f(b)=f(c),则abc 的取值范围是 .4.①(1996年全国高中数学联赛试题)如果在区间[1,2]上函数f(x)=x 2+px+q 与g(x)=x+21x 在同一点取相同的最小值,那么f(x)在该区间上的最大值是 .②(2011年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知f(x)=2x 2+3px+2q 和φ(x)=x+x 4是定义在集合M={x|1≤x ≤49}上的函数,对任意的x ∈M,存在常数x 0∈M,使得f(x)≥f(x 0),φ(x)≥φ(x 0),且f(x 0)=φ(x 0),则函数f(x)在M 上的最大值为 .5.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)锐角三角形△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若a b +ba=4cosC,则A tan 1+Btan 1的最小值是 . 6.①(1990年全国高中数学联赛试题)点集{(x,y)|lg(x 3+31y 3+91)=lgx+lgy}中元素的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)多于2 ②(2010年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知a 1,a 2,…,a n 均为正实数,且满足a 1+a 2+…+a n =1,11a +21a +…+n a 1=4,则a 1a 2…a n 值是 .2.二元均值不等式[例2]:(2003年全国高中数学联赛试题)已知x,y 都在区间(－2,2)内,且xy ＝－1,则函数u=244x -+299y -的最小值是 .[解析]:[类题]:1.⑴(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若a 、b ∈R +,且a-b=1,则a 2+b 2( )(A)既有最大值,也有最小值 (B)有最大值,无最小值 (C)有最小值,无最大值 (D)既无最大值,也无最小值⑵(1996年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当a,b<0时,函数y=))((b x a x x--在区间(0,+∞)上的最大值是( ) (A)-(||a -||b )2(B)(||a +||b )2(C)-2)||||(1b a - (D)2)||||(1b a +2.⑴(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)若点P(x,y)在直线x+3y=3上移动,则函数f(x,y)=3x+9y的最小值等于 . ⑵(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知,点(x,y)在直线x+2y=3上移动,当2x+4y取最小值时,点(x,y)与原点的距离是 .⑶(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=9x+9−x−2(3x+3−x)的最小值是 .3.⑴(2008年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=xx x -+-2452在(-∞,2)上的最小值是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 3⑵(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知a>b,ab=1,则ba b a -+22的最小值是 . ⑶(2010年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知二次函数y=ax 2+bx+c ≥0(a<b),则M=ab cb a -++42的最小值是 .4.⑴(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)设a,b 为正实数,且a+b=1,则ba 41+的最小值为 . ⑵(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知正实数x,y 满足x+2y=4,则yx 11+的最小值为_________. ⑶(2010年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数y=log c (x+2)+2(c>0且c ≠)的图象恒过同一个定点,则ba 11+的最小值为 . ⑷(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)设0<x<1,a,b 都为大于零的常数,则xb x a -+122的最小值为 . 5.⑴(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2003年江苏省数学夏令营数学竞赛题)设x,y,z ∈R +,且xyz(x+y+z)=1,则(x+y)(y+z)的最小值是_____.⑵(2009年全国高中数学联赛浙江初赛试题)实数x,y,z 满足x 2+y 2+z 2=1,则2xy+yz 的最大值为 ,6.⑴(2010年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知x 1,x 2,…,x 2010均为正实数,则x 1+12x x +213x x x +…+2009212010x x x x ⋅⋅⋅+ 2010214x x x ⋅⋅⋅的最小值为 .⑵(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设a,b 为正实数,记M=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>++≤22222244,4444,b a ab ba b a ab ab ,则M 的最大值是 . 3.二元均值的变式[例3]:(2006年全国高中数学联赛浙江初赛试题)函数f(x)=x x x x tan sin cos sin +++x x x x tan cos cot tan +++x x x x cot cos cos sin +++xx xx cot sin cot tan ++在x ∈(0,2π)时的最小值为 .[解析]:[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若实数x 、y 满足x 2+y 2=1,则12-+y x xy的最小值是 .2.(2005年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设a>b>0,那么a 2+)(1b a b -的最小值是 .3.①(2011年全国高中数学联赛河北初赛试题)己知a 2+b 2+c 2=1,则ab+bc+ca 的值域为 .②(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知实数x 、y 、z 、t 满足x+y+z+t=0,x 2+y 2+z 2+t 2=10,则xy+yz+zt+tx 的最大值与最小值的和为_____.4.(2002年全国高中数学联赛上海初赛试题)实数a,b,c,d 满足a 2+b 2+c 2+d 2=5,则(a −b)2+(a −c)2+(a −d)2+(b −c)2+(b −d)2+(c −d)2的最大值是_____.5.(2001年第十二届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当0<θ<2π时,函数y=(θsin 1-1)(θcos 1-1)的最大值是 . 4 Y.P .M 数学竞赛讲座6.(2010年全国高中数学联赛广东初赛试题)已知n(n ∈N,n ≥2)n 是常数,且x 1,x 2,…,x n 是区间[0,2π]内任意实数,则函数f(x 1,x 2,…,x n )=sinx 1cosx 2+sinx 2cosx 3+…+sinx n cosx 1的最大值等于_______.4.n 元均值不等式[例4]:(1994年全国高中数学联赛试题)设0<θ<π,则sin 2θ(1+cos θ)的最大值是__________.[解析]:[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x,y,z 是正实数,满足xy+z=(x+z)(y+z),则xyz 的最大值是 .2.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设a>b>0.则a 4+)(32b a b -的最小值是 .3.(2000年第十一届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)从半径为1分米的圆形铁片中剪去圆心角为x 弧度的一个扇形,将余下部分卷成一个圆锥(不考虑连接处用料),当圆锥的容积达到最大时,x 的值是 .4.(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)对于21≤x ≤1,当(1+x)5(1-x)(1-2x)2取得最大值时,x ＝ . 5.(2011年全国高中数学联赛江西初赛试题)设x,y,z>0,且x+y+z=1,则f(x,y,z)=xy 2z 3的最大值是 . 6.(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设x ∈(0,2π),则函数y=x2sin 4225+xcos 2的最小值为__________. 5.柯西不等式[例5]:(1983年全国高中数学联赛试题)设a,b,c,d,m,n 都是正实数,P=cd ab +,Q=ndm b nc ma +⋅+,那么( ) (A)P ≥Q (B)P ≤Q (C)P<Q (D)P 、Q 的大小关系不确定,而与m,n 的大小有关[解析]:[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)如果实数m,n,x,y 满足m 2+n 2=a,x 2+y 2=b,其中a,b 为常数,那么mx+ny 的最大值为 .2.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知a,b 为正整数,a ≤b,实数x,y 满足x+y=4(a x ++b y +),若x+y 的最大值为40,则满足条件的数对(a,b)的数目为( )(A)1 (B)3 (C)5 (D)7 3.①(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)代数式a 22b -+b 22a -的最大值是 .②(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a 、b 、c 为正常数,x 、y 、z 为实数,且满足|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c,则(x+y+z)(22x a -+22y b -+22z c -)的最大值是_____.4.(2000年第十一届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)已知x 、y 、z ∈R +,且x 1+y 2+z 3=1,则x+2y +3z的最小值是 . 5.(2009年第二十届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若12+x +23-y =4,则2x+3y 的取值范围是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 56.(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)若0<a 、b 、c<1满足条件ab+bc+ca ＝1,则a -11+b -11+c-11的最小值是 .6.对称不等式[例6]:(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)若0<a 、b 、c<1满足条件ab+bc+ca ＝1,则a -11+b -11+c-11的最小值是 .[解析]:[类题]:1.(1990年全国高中数学联赛试题)设n 为自然数,a 、b 为正实数,a+b=2,则na+11+nb +11的最小值是________.2.(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知x,y 均为正实数,则y x x +2+yx y2+的最大值是 . 3.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若实数x 、y 满足x 2+y 2=1,则12-+y x xy的最小值是 .4.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)设a 1,a 2,…,a 2007均为正实数,且121a ++221a ++…+200721a +=21,则a 1a 2…a 2007的最小值是 .5.(2010年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知a 1,a 2,…,a n 均为正实数,且满足a 1+a 2+…+a n =1,11a +21a +…+n a 1=4,则a 1a 2…a n 值是 .6.(2003年全国高中数学联赛试题)已知x,y 都在区间(－2,2)内,且xy ＝－1,则函数u=244x-+299y -的最小值是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 1恒成立问题不等式恒成立问题是不等式的特殊问题,就其中所含变量的多少可分为两类:单元问题、多元问题.解决恒成立问题的根本出发点是:认清不等式F(x,a)≥0是关于哪个变量恒成立？关于哪个变量恒成立,就要把F(x,a)视为这个变量的函数,通过研究这个函数来解决问题.1.等价转化法:不等式f(x)≥m 恒成立⇔f(x)min ≥m;不等式f(x)≤M 恒成立⇔f(x)max ≤M;2.分离参数法:不等式F(x,a)≥0恒成立,求参数a 的取值范围.首先对不等式F(x,a)≥0进行等价变形,使得F(X,a)≥0⇔f(x)≥(≤)g(a),然后通过求不含参数a 的函数f(x)的最值,解决问题;3.函数分析法:(1)函数f(x)=ax+b,则当x ∈[m,n]时,不等式f(x)≥0恒成立⇔⎩⎨⎧≥≥0)(0)(n f m f ; 当x ∈[m,n]时,不等式f(x)≤0恒成立⇔⎩⎨⎧≤≤0)(0)(n f m f ;(2)f(x)≥g(x)恒成立⇔函数y=f(x)的图像不在函数y=g(x)的图像的下方; (3)如果函数f(x)在[m,n]内是凸函数,则当x ∈[m,n]时,不等式f(x)≥0恒成立⇔⎩⎨⎧≥≥0)(0)(n f m f ; 如果函数f(x)在[m,n]内是凹函数,则当x ∈[m,n]时,不等式f(x)≤0恒成立⇔⎩⎨⎧≤≤0)(0)(n f m f .1.变量分析法[例1]:(2003年第十四届希望杯全国数学邀请赛(高一))关于x 的不等式lg 2x-(2+m)lgx+m-1>0对于|m|≤1恒成立,则x的取值范围是 .[解析]:[类题]:1.①(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)不等式x 2+px>4x+p-3对于一切0≤x ≤4恒成立,则x 的取值范围是 .②(2008年安徽高考试题)若不等式ax 2-3x+a+1>x 2-x-a+1对任意a ∈(0,+∞)都成立,则实数x 的取值范围是 . 2.(2009年天津高考试题)(文)若对任意的a ∈[-2,2],不等式x 4+ax 3+2x 2+b ≤1在[-1,1]上恒成立,则实数b 的取值范围是 .3.(2009年天津高考试题)(理)若对任意的a ∈[21,2],不等式x+x a +b ≤10在[41,1]上恒成立,则实数b 的取值范围是 .2.函数分析法[例2]:(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)当a>1时,若不等式11+n +21+n +…+n 21>127(log a+1x-log a x+1)对于不小于2的正整数n 恒成立,则x 的取值范围是 .[解析]:[类题]:1.①(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)对于x ∈[0,1]的一切值,a+2b>0是使ax+b>0恒成立的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分条件,也非必要条件 ②(2002年全国高中数学联赛上海初赛试题)若对|x|≤1的一切x,t+1>(t 2−4)x 恒成立,则t 的取值范围是__________.2 Y.P .M 数学竞赛讲座2.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知函数f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,则a 的取值范围是 .3.(2010年全国高中数学联赛湖北初赛试题)对于一切x ∈[-2,21],不等式ax 3-x 2+x+1≥0恒成立,则实数a 的取值范围为 .3.分离参数法[例3]:(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)不等式sin2θ-(22+2a)sin(θ+4π)-)4cos(22πθ->-3-2a 对θ∈[0,2π]恒成立,则实数a 的取值范围是 .[解析]:[类题]:1.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)函数f(x)=x 2-2x+3,若|f(x)-a|<2恒成立的充分条件是1≤x ≤2,则实数a 的取值范围是 .2.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设f(x)=k(x 2-x+1)-x 4(1-x)4.如果对任何x ∈[0,1],都有f(x)≥0,则k 的最小值为 .3.(2006年上海高考试题)三个同学对问题“关于x 的不等式x 2+25+|x 3-5x 2|≥ax 在[1,12]上恒成立,求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路.甲说:“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说:“把不等式变形为左边含变量x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值”.丙说:“把不等式两边看成x 的函数,作出函数图象”.参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a 的取值范围是 .4.基本不等式法[例4]:(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2005年全国高中数学联赛江西初赛试题)若对所有正数x,y,不等式x +y ≤a y x +都成立,则a 的最小值是 .[解析]:[类题]:1.(2005年第十六届希望杯数学邀请赛(高一)试题)己知x,y ∈R 且x+y=5,若lgx+lgy ≤k 恒成立,则k 的最小值是 .2.①(2010年全国高中数学联赛吉林初赛试题)不等式|x+x1|≥|a-2|+1对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是 . ②(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)对于任意的x∈R ,不等式2x 2－a 12+x +3>0恒成立.则实数a 的取值范围是.③(2003年全国高中数学联赛上海初赛试题)若对一切正实数x 、y,恒有)3)((2222y x y x xy++≤k1,则k 的最大值为_____. 3.①(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式x+2xy 2≤a(x+y)对一切正数x,y 恒成立,则实数的最小值为_____.Y.P .M 数学竞赛讲座 3②(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当a>b>0时,使不等式ba -ab >k(a -b )恒成立的常数k 的最大值是 .③(2002年第十三届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若不等式a +b ≤ m 422b a +对所有正实数a 、b 都成立,则m 的最小值是 .5.柯西不等式法[例5]:(1993年全国高中数学联赛试题)设任意实数x 0>x 1>x 2>x 3>0,要使10log x x 1993+21log x x 1993+32log x x 1993≥k 30log x x 1993恒成立,则k 的最大值是_______.[解析]:[类题]:1.(2005年第十六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)设a,b,c ∈R +,若(a+b+c)(a 1+cb +1)≥k 恒成立,则k 的最大值是 .2.(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)若不等式x +y ≤k y x +2对任意正实数x,y 成立,则k 的取值范围是 .6.综合分析法[例6]:(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)若正整数m 使得对任意一组满足a 1a 2a 3a 4=1的正数a 1,a 2,a 3,a 4都有a 1m +a 2m+a 3m+a 4m≥43211111a a a a +++成立,则正整数m 的最小值为 . [解析]:[类题]:1.(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设函数f(x)=ax 2+x,已知f(3)<f(4),且当n ≥8,n ∈N *时,f(n)>f(n+1)恒成立,则实数a 的取值范围是 .2.(1990年全国高中数学联赛试题)设n 是自然数,对任意实数x,y,z 恒有(x 2+y 2+z 2)2≤n(x 4+y 4+z 4)成立,则n 的最小值是_____.3.①(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知a 2+b 2=1,且恒c<a+b 成立,则c 的取值范围是 .②(2003年第十四届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)设x,y,z 都是正数,且x+y+z=1,则使x 2+y 2+z 2+λxyz ≤1恒成立的实数λ的最大值是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 1不等式的基本问题高中联赛中不等式的基本问题包括:不等式的同向可加性、函数的单调性质、大小比较和解不等式.1.同向可加[例1]:(1983年全国高中数学联赛试题)(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=ax 2－c,满足－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5.那么,f(3)应满足( )(A)7≤f(3)≤26 (B)－4≤f(3)≤15 (C)－1≤f(3)≤20 (D)－283≤f(3)≤353[解析]:[类题]:1.(2010年辽宁高考试题)已知-1<x+y<4,且2<x-y<3,则z=2x-3y 的取值范围是_______(答案用区间表示).2.(2004年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知二次函数y=ax 2+c,且当x ＝1时,－4≤y ≤－1,当x ＝2时,－1≤y ≤5,则当x＝3时,y 的取值范围是 .3.(1983全国高中数学联赛试题)己知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是( )(A)2枝玫瑰价格高 (B)3枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定 4.(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x+2y ≥1,5x+y ≥2,则log 8(2x+2y)的最小值是_____.5.(2010年江苏高考试题)设实数x,y 满足3≤xy 2≤8,4≤y x 2≤9,则43yx 的最大值是_________. 6.(2008年四川高考试题)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4≥10,S 5≤15,则a 4的最大值为 . 7.(1986年全国高中数学联赛试题)x,y,z 为非负实数,且满足方程zy x 4954++-68×zy x 4952+++256=0,那么x+y+z 的最大值与最小值的乘积等于 .2.函数单调性[例2]:(1999年全国高中数学联赛试题)若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y--(log 53)y-,则( )(A)x -y ≥0 (B)x+y ≥0 (C)x -y ≤0 (D)x+y ≤0[解析]:[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛试题)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a 2+a+1)<f(3a-24a+1)成立,则a 的取值范围是 .2.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数.若x 1+x 2>O,x 2+x 3>O,x 3+x 1>O,则( ) (A)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0 (B)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<O (C)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0 (D)f(x 1)+f(x 2)>f(x 3)3.(2006年全国高中数学联赛试题)设f(x)=x 3+log 2(x+12+x ),则对任意实数a,b,a+b ≥0是f(a)+f(b)≥0的( )(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件4.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知函数f(x)=x 3-log 2(12+x -x).则对于任意实数a 、b(a+b ≠0),2 Y.P .M 数学竞赛讲座33)()(b a b f a f ++的值( )(A)恒大于零 (B)恒等于零 (C)恒小于零 (D)符号不确定解:f(x)=x 3-log 2(12+x -x)=x 3+log 2(12+x +x)递增的奇函数,5.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=521+x +lg x x +-11,则不等式f[x(x-21)]<51的解集为 . 解:因为f(x)的定义域为(－1,1),且f(x)为减函数.原不等式即为f[x(x-21)]<f(0). 6.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若a 、b 是任意实数,且a>b,则下列不等式一定成立的是( ) (A)a 2>b 2(B)a b <1 (C)lg(a-b)>0 (D)(21)a <(21)b7. ⑴(1985年全国高中数学联赛试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设0<a<1,若x 1=a,x 2=1x a ,x 3=2x a ,…, x n =1-n x a ,…,则数列{x n }(A)是递增的 (B)是递减的 (C)奇数项是递增的,偶数项是递减的 (D)偶数项是递增的,奇数项是递减的 ⑵(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知三个实数a,b=a a,c=aa a ,若0.9<a<1,则( )(A)a<c<b (B)a<b<c (C)b<a<c (D)c<a<b3.大小比较[例3]:(1982年全国高中数学联赛试题)当a,b 是两个不相等的正数时,下列三个代数式:甲:(a+a1)(b+b1),乙:(ab +ab1)2,丙:(2b a ++ba +2)2中间,值最大的一个是( ) (A)必定是甲 (B)必定是乙 (C)必定是丙 (D)一般并不确定,而与a 、b 的取值有关[解析]:甲=ab+ab 1+a b +b a ,乙=ab+ab 1+2,丙=4)(2b a ++2)(4b a ++2,甲-乙=a b +b a-2=(ab-b a )2>0,丙-乙=4)(2b a -- 22)()(b a ab b a +-不能确定,取a=1,b=5⇒甲<丙⇒(D).[类题]:1.(1983年全国高中数学联赛试题)x=31513121log 1log 1+的值是属于区间( )(A)(-2,-1) (B)(1,2) (C)(-3,-2) (D)(2,3) 2.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知m>1,a=1+m -m ,b=m -1-m 那么( )(A)a>b (B)a<b (C)a=b (D)a 、b 的大小与m 的取值有关 3.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)设n 为正整数,x=(1+n 1)n ,y=(1+n1)n+1,则( ) (A)x y>y x(B)x y=y x(C)x y<y x(D)以上都有可能解:取对数易得x y=y x.故选(B).4.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知b>a>1,t>0,若a x=a+t,则b x与b+t 的大小关系是( )(A)b x >b+t (B)b x <b+t (C)b x=b+t (D)不确定.解:由b>a>1,t>0⇒a x >a ⇒x>1⇒b x-1>1,a x-1>1⇒b x-1>a x-1⇒b x-1-1>a x-1-1⇒b(b x-1-1)>a(a x-1-1)⇒b x -b>a x -a ⇒b x -(b+t)=b x-Y.P .M 数学竞赛讲座 3b-(a x-a)>0.5.(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知x 、y ≥1,且n x 1-+n y 1-≤2,则( ) (A)x ≥y (B)x ≤y (C)x+y ≥xy (D)x+y ≤xy 解:由x 、y 的对称性,显然,选项(A)、(B)均不正确.令a=n x 1-,b=n y 1-,则a n+1=x,b n+1=y.由已知ab ≤2ba +=1⇒x+y-xy= a n +1+b n +1-(a n +1)(b n +1)=1-a n b n≥0.6.(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)a,b,c 为互不相等的正数,a 2+c 2=2bc,则下列关系中可能成立的是( )(A)a>b>c (B)b>c>a (C)b>a>c (D)a>c>b解:若a>b,则a 2+c 2>b 2+c 2≥2bc 不合条件,排除(A),(D);又由a 2-c 2=2bc-2c 2=2c(b-c),故a-c 与b-c 同号,排除(B);且当b>a>c 时,a 2+c 2=2bc 有可能成立,例如取(a,b,c)=(3,5,1),故选(C).7.(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若0<a<b,且a+b=1,则下列各式中最大的是( )(A)-1 (B)log 2a+log 2b+1 (C)log 2b (D)log 2(a 3+a 2b+ab 2+b 3) 解:由0<a<b,且a+b=1⇒0<a<21<b<1,ab<41⇒log 2a+log 2b+1=log 2(ab)+1>-2+1=-1,log 2b>-1,log 2a+log 2b+1<-1+log 2b+1 =log 2b;log 2(a 3+a 2b+ab 2+b 3)=log 2[(a+b)(a 2+b 2)]=log 2(a 2+b 2),a 2+b 2-b=a 2-b(1-b)=a 2-ab=a(a-b)<0⇒log 2(a 2+b 2)<log 2b.选(C).8.(2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)当a 、b 是两个不相等的正数时,下列不等式中,不成立的是( ) (A)(a+a 1)(b+b1)>(ab +ab1)2(B)(a+a 1)(b+b 1)>(2b a ++b a +2)2(C)2233b a b a ++>b a b a ++22 (D)b a b a --22>2233ba b a --解:选(B).4.解不等式[例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)不等式|x 21log 1+2|>23的解集为 . [解析]:|x 21log 1+2|>23⇔|x 2log 1-2|>23⇔x 2log 1<21,或x 2log 1>27⇔log 2x<0,或log 2x>2,或0<log 2x<72⇔x ∈(0,1)∪(1,722)∪(4,+∞).[类题]:1.(1998年全国高中数学联赛试题)设命题P:关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集相同;命题Q:21a a =21b b = 21c c .则命题Q( ) (A)是命题P 的充分必要条件 (B)是命题P 的充分条件但不是必要条件(C)是命题P 的必要条件但不是充分条件 (D)既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件 2.⑴(1989年全国高中数学联赛试题)若log a 2<1,则a 的取值范围是___________.⑵(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)如果log a 43<1,那么a 的取值范围是 ,4 Y.P .M 数学竞赛讲座⑶(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若log a53<1,则a 的取值范围是___________. ⑷(1994年第五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若log a (2-a 2)<1,则实数a 的取值范围是 . 3.⑴(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)不等式|x 2－2|≤2x+1的解集为_________.⑵(2003年全国高中数学联赛试题)不等式|x|3－2x 2－4|x|+3<0的解集是____________.⑶(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)不等式|1log 131+x |>31的解集是 .⑷(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若a>0,a ≠1,且|log a 2|>log a+12,则a 的取值范围是 .4.⑴(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式x2log 1+>1–log 2x 的解是 .⑵(2006年全国高中数学联赛试题)设log x (2x 2+x-1)>log x 2-1,则x 的取值范围为 .⑶(2004年全国高中数学联赛试题)不等式1log 2-x+21321log x +2>0的解集为 . 4.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)关于x 的不等式x 2−ax −20a 2<0任意两个解的差不超过9,则a 的最大值与最小值的和是 .5.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)定义区间(c,d),[c,d),(c,d],[c,d]的长度均为d-c,其中d>c.已知实数a>b,则满足bx a x -+-11≥1的x 构成的区间的长度之和为 . 6.(1996年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若)lg(2lg x a ax+<1的解为(1,2,则a 的取值范围是 . 7.(2008年全国高中数学联赛试题)解不等式log 2(x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1)>1+log 2(x 4+1).[解法一]:由1+log 2(x 4+1)=log 2(2x 4+2),且y=log 2x 在(0,+∞)上为增函数,故原不等式等价于x 12+3x 10+5x 8+3x 6-2x 4-1>0,分组分解:(x 12+x 10-x 8)+(2x 10+2x 8-2x 6)+(4x 8+4x 6-4x 4)+(x 6+x 4-x 2)+(x 4+x 2-1)>0⇔(x 8+2x 6+4x 4+x 2+1)(x 4+x 2-1)>0⇔x 4+x 2-1>0. [解法二]:x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1>2x 4+2⇔x 6+3x 4+5x 2+3>22x+61x⇔x 6+3x 4+3x 2+1+2x 2+2>22x+61x⇔(x 2+1)3+2(x 2+1)>(21x)3+2(21x),令g(t)=t 3+2t,g(t)在R 上为增函数,则不等式为g(21x)<g(x 2+1)⇔21x<x 2+1.。

第02讲初等数论20092017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第02讲：初等数论1、（2010一试8）方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解(,,)x y z 的个数是. 【答案】336675易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=，即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.2、（2011一试8）已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．【答案】15 【解析】=n a C65400320020023n n n --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ．当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡，同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．3、（2015一试8）对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若,,a b b c c d <><,则称a b c d 为Q 类数,用()N P 与()N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则()()N P N Q -的值为【答案】28599b a b c <≤<≤由及知，a 和c 分别有9-b 种取法，从而992200191019|=(9)26|85.b k b k ==⨯⨯-===∑∑A ()()285.N P N Q -=因此，学科@网4、（2016一试8）设4321,,,a a a a 是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为 . 【答案】40【解析】由柯西不等式知，2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++≥++++，等号成立的充分必要条件是433221a a a a a a ==，即4321,,,a a a a 成等比数列.于是问题等价于计算满足{1,2,3,},,,{4321⊆a a a a …,100}的等比数列4321,,,a a a a 的个数.设等比数列的公比1≠q ，且q 为有理数.记mn q =，其中n m ,为互素的正整数，且n m ≠. 先考虑m n >的情况.此时331314)(m n a m n a a ==，注意到33,n m 互素，故31ma l =为正整数. 相应地，4321,,,a a a a 分别等于l n l mn nl m l m 3223,,,，它们均为正整数.这表明，对任意给定的1>=mnq ，满足条件并以q 为公比的等比数列4321,,,a a a a 的个数，即为满足不等式1003≤l n 的正整数l 的个数，即]100[3n.由于10053>，故仅需考虑34,4,23,3,2=q 这些情况，相应的等比数列的个数为20113312]64100[]64100[]27100[]27100[]8100[=++++=++++. 当m n <时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列4321,,,a a a a . 综上可知，共有40个满足条件的有序数组),,,(4321a a a a .5、（2017一试4）若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是. 【答案】756、（2009二试3）设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：p/|C k m ．若p /|k !，则由1!C ()kkmi k m k i ==-+∏1[((!)]ki i tl k =≡+∏1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡．及|!p k α，且pα+1/|k !，知|!C k m p k α且1α+p /|!C k m k ．从而p/|C km ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：p/|C k m ．若p /|k !，则由 1!C ()==-+∏kkmi k m k i 21[((!)]ki i tl k =≡+∏1ki i =≡∏()!mod k p ≡．即p 不整除上式，故p/|C k m ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1/|!p k α+．12|(!)p k α+．故由11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]ki i tl k =≡+∏1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡,及|!p k α，且pα+1/|k !，知|!C k m p k α且1α+p /|!C k m k ．从而p/|C km ．7、（2009二试4）在非负数构成的39⨯数表中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】（ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知，{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ，中至少有两个值取在同一列．不妨设{}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字．下面证明33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明{}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定⑷{}221222322min u x x x x ==，， 3231x x <．由于323x x<，2221x x <及（ⅰ），有{}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233m i n k k u x x x x ==，，，或者{}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表S 具有性质()O ，则{}11112111min k u x x x x ==，，，⑸{}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233min k k u x x x x ==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知，*1111k x x u >=，*3323k x x u >=．于是只能有*222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．学*科网 8、（2010一试11）证明：方程02523=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得+++=32152a a a r r r . 若存在两个不同的正整数数列 <<<<n a a a 21和 <<<<nb b b 21满足52321321=+++=+++ b b b a a a r r r r r r ，去掉上面等式两边相同的项，有 +++=+++321321t t t s s s r r r r r r，这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的. 不妨设11t s <，则 ++=++<21211t t s s s r r r r r，112111111121211=--<--=++≤++<--rr r r r s t s t ，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.9、（2010二试2）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．【解析】记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数．假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++．于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122k k k =+++ 11211212(1)2()222v v v v v v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ① 这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++.显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明．10、（2010二试4）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j -⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2inC 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22jn i C -种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2in C 22j n i C -种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑． ①这里我们约定001C =．当n 为奇数时，20n i ->，此时22221202n i j n i n ij C-⎡⎤⎢⎥⎣⎦---==∑． ②代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i nn i n n i j i i C C C C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦----====⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ 022(1)(21)(21)nnkn kk n kk n n nn k k C C --===+-=++-∑∑31n =+．222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--=⎛⎫ ⎪⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭∑()2221024233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦--==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n +种；当n 为偶数时有33n +种．11、（2011二试2）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．【解析】令 2)()2)(1()(++++=n x x x x f ， ①将①的右边展开即知)(x f 是一个首项系数为1的正整数系数的n 次多项式．下面证明)(x f 满足性质（2）．对任意整数t ，由于4≥n ，故连续的n 个整数n t t t +++,,2,1 中必有一个为4的倍数，从而由①知)4(mod 2)(≡t f ．因此，对任意)2(≥k k 个正整数k r r r ,,,21 ，有 )4(mod 02)()()(21≡≡k k r f r f r f ．但对任意正整数m ，有)4(mod 2)(≡m f ，故)4)(mod ()()()(21k r f r f r f m f ≡/，从而)()()()(21k r f r f r f m f ≠．所以)(x f 符合题设要求．学&科网12、（2011二试3）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a j k ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．因此，当n 为偶数时，设m n 2=，则有∑∑∑-=-=-=+==121212)()()()(m mj j m j j n j j n r g r g r g r f2)1(2)1()2()1(1212-+-=-+-≤∑∑-+==m m m m j m j m m j m j 4222n m m m =<-=．当n 为奇数时，设12+=m n ，则有∑∑∑+==-=+==mm j jmj j n j j n r gr g r g r f 21212)()()()(∑∑+==-++-≤mm j mj j m j 212)12()1(422n m <=．13、（2011二试4）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．【解析】首先证明A 中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为9,,2,1,,, =i c b a i i i ．记9,,2,1,0,)(,11=+==∑∑==k c bT a S ki i ikk i ik ，这里000==T S ．即第2行至第3行、第1+m 列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n n m m T S T S +≡+．因此上述断言得证．故)10(mod 59210)(999≡++++≡+≡≡∑∑∑=== k k k k k k k T S T S ，所以 )10(mod 055)(99090≡+≡+≡+∑∑∑===k k k k k k k T S T S ，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．另一方面，构造如下一个93⨯的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．综上所述，“坏格”个数的最大值是25．14、（2012二试2）试证明：集合{}22,2,,2,n A =满足b N *∈，若21b a <-，（１）对每个a A ∈，及则(1)b b +一定不是2a 的倍数；（２）对每个a A ∈（其中A 表示A 在Ｎ中的补集），且1a ≠，必存在b N *∈，21b a <-，使(1)b b +是2a 的倍数．【解析】证明:对任意的a A ∈,设2,,ka k N *=∈则122,k a +=如果b 是任意一个小于21a -的正整数,则121b a +≤-则122k a m +=⋅下面给出(2)的三种证明方法: 证法一:令1,12,k b mx b y +=+=消去b 得12 1.k y mx +-=由于1(2,)1,k m +=这方程必有整数解;1002k x x ty y mt+⎧=+⎪⎨=+⎪⎩其中00,(,)t z x y ∈为方程的特解.把最小的正整数解记为(,),x y **则12k x *+<,故21,b mx a *=<-使(1)b b +是2a 的倍数．证法二:由于1(2,)1,k m +=由中国剩余定理知,同余方程组10(mod 2)1(mod )k x x m m +⎧=⎨=-⎩在区间1(0,2)k m +上有解,x b =即存在21,b a <-使(1)b b +是2a 的倍数．证法三:由于(2,)1,m =总存在(,1),r r N r m *∈≤-使21(mod )r m =取,t N *∈使1,tr k >+则21(mod )tr m =存在1(21)(2)0,,trk b q m q N +=--⋅>∈使021,b a <<-此时1,21,k m b m ++因而(1)b b +是2a 的倍数．15.（2013二试4）（本题满分50分）设,n k 为大于1的整数，2k n <.证明：存在2k 个不被n 整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组若干个数的和被n 整除. 【证明】先考虑n 为2的幂的情形.设2,1r n r =≥，则r k <.取3个12r -及23k -个1，显然这些数均不被n 整除.将这2k 个数任意分成两组，则总有一组中含2个12r -，它们的和为2r ，被n 整除. 现在设n 不是2的幂，取2k 个数为22211,1,2,2,,2,1,2,2,,2k k -------，因为n 不是2的幂，故上述2k 个数均不被n 整除.若可将这些数分成两组，使得每一组中任意若干个数的和均不能被n 整除.不妨设1在第一组，由于（-1）+1=0，被n 整除，故两个-1必须在第二组；因（-1）+（-1）+2=0，被n 整除，故2在第一组，进而推出-2在第二组. 现归纳假设1,2,,2l 均在第一组，而1,1,2,,2l ----均在第二组，这里12l k ≤<-，由于()()()()1112220l l +-+-+-++-+=，被n 整除，故12l +在第一组，从而12l +-在第二组.故由数学归纳法可知，221,2,2,,2k -在第一组，221,1,2,2,,2k ------在第二组.最后，由于()()()()21112220k k ---+-+-++-+=，16、（2014二试4）（本题满分50分）设整数122014,,,2014x x x 模互不同余，122014,,,y y y 整数模2014也互不同余.证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余.【证明】(mod 2),12.,i i y i k i k i ≡≡≤≤记k=1007,不妨设x 对每个整数17、（2015二试4）(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :对任意正整数(1)1,2k n n -+不整除()!!kn n . 18、（2016二试3）（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间的线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.【解析】以这10个点为顶点，所连线段为边，得到一个10界简单图G ，我们证明G 的边数不超过15.边，否则就形成三角形，所以，121,,,n v v v +⋅⋅⋅之间恰有n 条边.对每个j (210)n j +≤≤，j v 至多与21,,n v v +⋅⋅⋅中的一个顶点相邻（否则设j v 与,(21)s t v v s t n ≤<≤+）相邻，则1,,,s j t v v v v 就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾，从而21,,n v v +⋅⋅⋅与210,,n v v +⋅⋅⋅之间的边数至多10(1)9n n -+=-条.在210,,n v v +⋅⋅⋅这9n -个顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，至多2(9)[]4n -条边，因此G 的边数22(9)(9)25(9)[]9[]9[]15444n n k n n --≤+-+=+≤+=如有帮助，欢迎下载支持11页脚内容如图给出的图共有15条边，且满足要求，综上所述，所求边数的最大值为15.学科*网19、（2017二试3）（本题满分50分）将33×33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等，若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.解：记分隔边的条数为L ，首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56个分隔边，即L=56.20、（2017二试4）（本题满分50分）设,m n 均是大于1的整数，12.,,,n m n a a a ≥是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且12,,,n a a a 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个(1)i i n ≤≤，使得2||||||||(1)i a x x m m ≥+，这里||||y 表示实数y 到它最近的整数的距离. 证明：首先证明以下两个结论.结论1:存在整数121122,,,,+++c 1,||,1.n n n i c c c c a c a a c m i n =≤≤≤满足并且由于121211221,,,+++c 1.1n n n n a a a c c c c a c a a ==（，，，），由裴蜀定理，存在整数，满足（）下面证明,通过调整,存在一组12,,,n c c c 满足（1），且绝对值均不超过m,记因为12S 与S 均是非负整数,故通过有限次上述的调整,可得到一组12,,,n c c c ，。

第01讲+不等式-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第01讲：不等式
1、（2009一试3）在坐标平面上有两个区域和，为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数．
【答案】
【解析】
由题意知
2、（2009一试4）使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为．
以下考虑的情况，约定 ,由平均不等式得
,
所以 .
当时，上述不等式等号成立，且有，此时 .
综上所述，所求最大值为 .
16、（2017一试9）（本题满分16分）设为实数，不等式对所有成立，证明： .
证明：令
17、（2017一试10）（本题满分20分）设是非负实数，满足，求
的最小值和最大值.
解：由柯西不等式
【答案】2009
3、（2011一试3）设为正实数，，，则．
【答案】-1
【解析】由，得．又，
即于是
再由不等式中等号成立的条件，得．与联立解得或故．
4、（2012一试3）设，则的最大值是.
【答案】
【解析】不妨设则
因为
所以
当且仅当时上式等号同时成立.故
5、(2014一试2)设集合中的最大值与最小值分别为，则 =_________.
即，所以 .又，故 .
8、（2009一试11）求函数的最大和最小值．
又由柯西不等式得
所以．
由柯西不等式等号成立的条件，得，解得．故当时等号成立．因此的最大值为．
9、（2009二试2）求证不等式：，，2，…
【解析】证明：首先证明一个不等式：
⑴ ，．

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2.(第 36IMO 试题)设 a, b, c 为正实数,且满足abc 1 ,
求
a3
1 (b
c)
1 b3(a
c)
1 c3(a
b)
的最小值.
3 2
3.已知 a, b, c, d, e 是满足 a b c d e 8 ,
16
a2 b2 c2 d 2 e2 16 的实数解,试求 e 最大值.
∵ 2007 669 3 ∴最大值为 3669
7
1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式;
的最小值为( A )
1思路: 构造重要不等式;
(A) ( a 1思路: 构造重要不等式;
1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式; 1思路: 构造重要不等式;
b )2 (B) 1 ( a 2
b )2 (C) a b (D) a b 2
2.(200 0 1思路: 构造重要不等式;
满足条件 ab＋bc＋ca＝1，则 1 1 1 的最小值 1a 1b 1c
是____. 3(3 3 )
2
9
1思路: 构造重要不等式;
23
(A)5
(B)6 (C)8
(D)9
1思路: 构造重要不等式; 构造均值不等式; 换元法.

全国高中数学竞赛专题不等式

全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下：不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质：（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>（4）*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或（3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）.（4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ΛΛ证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

2017高考数学精彩试题分类总汇编-不等式(含文科理科及详细解析汇报)

2017年高考数学试题分类汇编：不等式1〔2017文〕0x ≥，0y ≥，且x +y =1，如此22x y +的取值X 围是__________．【考点】3W ：二次函数的性质．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质与应用．【分析】利用条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．【解答】解：x ≥0，y ≥0，且x+y=1，如此x 2+y 2=x 2+〔1﹣x 〕2=2x 2﹣2x+1，x ∈[0，1]，如此令f 〔x 〕=2x 2﹣2x+1，x ∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上，所以函数的最小值为：f 〔〕==．最大值为：f 〔1〕=2﹣2+1=1．如此x 2+y 2的取值X 围是：[，1]．故答案为：[，1]．【点评】此题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以与计算能力．2〔2017某某〕a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，如此a 的取值X 围是___________．【考点】3H ：函数的最值与其几何意义．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质与应用．【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a ≤5且a ≤5，进而解绝对值不等式可知2a ﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x+﹣a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x+≤5，又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，所以2a﹣5≤4，解得a≤，故答案为：〔﹣∞，]．【点评】此题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．3〔2017新课标Ⅲ文数〕[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕f x=│x+1│–│x–2│.函数()f x≥1的解集；〔1〕求不等式()f x≥x2–x +m的解集非空，某某数m的取值X围.〔2〕假如不等式()【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质与应用；5T ：不等式．【分析】〔1〕由于f〔x〕=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f〔x〕≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f〔x〕≥1的解集；，设g〔x〕=f〔x〕﹣x2+x，分x≤1、﹣1〔2〕依题意可得m≤[f〔x〕﹣x2+x]max=，从而可得m的取值X围．＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g〔x〕max【解答】解：〔1〕∵f〔x〕=|x+1|﹣|x﹣2|=，f〔x〕≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f〔x〕≥1的解集为{x|x≥1}．〔2〕原式等价于存在x∈R使得f〔x〕﹣x2+x≥m成立，，设g〔x〕=f〔x〕﹣x2+x．即m≤[f〔x〕﹣x2+x]max由〔1〕知，g〔x〕=，当x≤﹣1时，g〔x〕=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，∴g〔x〕≤g〔﹣1〕=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g〔x〕=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈〔﹣1，2〕，∴g〔x〕≤g〔〕=﹣+﹣1=；当x≥2时，g〔x〕=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，∴g〔x〕≤g〔2〕=﹣4+2+3=1；综上，g〔x〕=，max∴m 的取值X 围为〔﹣∞，]．【点评】此题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．4〔2017新课标Ⅲ理数〕．[选修45：不等式选讲]〔10分〕函数f 〔x 〕=│x +1│–│x –2│．〔1〕求不等式f 〔x 〕≥1的解集；〔2〕假如不等式f 〔x 〕≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值X 围．解：〔1〕当1x ≤-时()()()1231f x x x =-++-=-≤无解当12x -<<时()1(2)212111f x x x x x x =++-=--≥≥∴12x <<当2x ≥时()1(2)3312f x x x x =+--=>∴≥综上所述()1f x ≥的解集为 [1,)+∞.〔2〕原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即 2max [()]f x x x m -+≥ 设2()()g x f x x x =-+由〔1〕知 2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，2()3g x x x =-+-5〔2017新课标Ⅱ文〕[选修4−5：不等式选讲]〔10分〕330,0,2a b a b >>+=.证明：〔1〕55()()4a b a b ++≥；〔2〕2a b +≤. 【解析】〔1〕()()()()()5565562333344222244++=+++=+-++=+-≥a b ab a ab a b ba b a b ab a b ab a b〔2〕因为()()()()()33223233323+3+3+2++244a +=+++=+≤=+b a a b ab b ab a b a b a b a b所以()3+8≤a b ，因此a+b ≤2.6〔2017新课标Ⅱ理〕[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕330,0,2a b a b >>+=．证明：〔1〕55()()4a b a b ++≥；〔2〕2a b +≤．【解析】〔1〕()()()()()5565562333344222244++=+++=+-++=+-≥a b ab a ab a b ba b a b ab a b ab a b〔2〕因为()()()()()33223233323+3+3+2++244a +=+++=+≤=+b a a b ab b ab a b a b a b a b所以()3+8≤a b ，因此a+b ≤2.7〔2017新课标Ⅰ文数〕[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕函数f 〔x 〕=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. 〔1〕当a =1时，求不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集；〔2〕假如不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集包含[–1，1]，求a 的取值X 围.解：〔1〕当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤. 所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-<≤. 〔2〕当[1,1]x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值X 围为[1,1]-.8〔2017新课标Ⅰ理数〕设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，如此A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【考点】72：不等式比拟大小．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质与应用；59 ：不等式的解法与应用．【分析】x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k ＞1．lgk ＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．如此x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．如此x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比拟出大小关系．应当选：D．【点评】此题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9〔2017新课标Ⅰ理数〕．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕函数f 〔x 〕=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. 〔1〕当a =1时，求不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集；〔2〕假如不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集包含[–1，1]，求a 的取值X 围.【解析】〔1〕当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①10〔2017某某文〕假如a ，b ∈R ，0ab >，如此4441a b ab++的最小值为 .【考点】7F ：根本不等式．【专题】34 ：方程思想；4R ：转化法；5T ：不等式．【分析】【方法一】两次利用根本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=〞；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=〞；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】此题考查了根本不等式的应用问题，是中档题．11〔2017某某理〕假如,a b ∈R ，0ab >，如此4441a b ab++的最小值为___________. 【答案】4【解析】442241414a b a b ab ab+++≥≥，当且仅当21a b ==时取等号 12〔2017某某文〕假如直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点〔1,2〕,如此2a +b 的最小值为 .【答案】8〔7〕〔2017某某理〕假如0a b >>，且1ab =，如此如下不等式成立的是〔A 〕()21log 2a b a a b b +<<+〔B 〕()21log 2a b a b a b<+<+〔C 〕()21log 2a b a a b b +<+<〔D 〕()21log 2a b a b a b +<+< 【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2a b a b a b ><<∴<+>= 12112log ()a b a a b a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B.13〔2017某某〕某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，如此x 的值是 ▲ ．【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.14(2017年某某卷)［选修4-5：不等式选讲］〔本小题总分为10分〕,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤ 【解析】由柯西不等式可得22222()()()a b c d ac bd ++≥+，即2()41664ac bd +≤⨯=，故8ac bd +≤.15〔2017理〕能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．假如a ＞b ＞c ，如此a +b ＞c 〞是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________．【考点】FC ：反证法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O ：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】设a，b，c是任意实数．假如a＞b＞c，如此a+b＞c〞是假命题，如此假如a＞b＞c，如此a+b≤c〞是真命题，举例即可，此题答案不唯一【解答】解：设a，b，c是任意实数．假如a＞b＞c，如此a+b＞c〞是假命题，如此假如a＞b＞c，如此a+b≤c〞是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，〔答案不唯一〕，故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】此题考查了命题的真假，举例说明即可，属于根底题．16.〔2017•新课标Ⅲ文数〕设x，y满足约束条件如此z=x﹣y的取值X围是〔〕A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3]【考点】7C：简单线性规划．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的X围即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，由解得A〔0，3〕，由解得B〔2，0〕，目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，目标函数的取值X围：[﹣3，2]．应当选：B．【点评】此题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以与可行域的作法是解题的关键．。

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