2018年全国2卷文科数学十年真题分类汇编10 立体几何

专题10 立体几何一．基础题组1. 【2012全国新课标，文7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18 【答案】B2. 【2010全国新课标，文7】设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2【答案】：B【解析】2Ra ，Ra ，S 球＝4πR 2＝4π·＝6πa 2.3. 【2007全国2，文7】已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于( )(A)(B)(C)(D)【答案】：A264a【解析】设正三棱锥P-ABC ，作OP ⊥平面ABC ，垂足O ，连结AO ，交BC 于D ，连结PD ，∵是正三棱锥，∴P 点在平面ABC 射影O 是△ABC 的外心（重、内、垂）心， ∵AD ⊥BC ，∴D 是BC 中点，设BC=1，PB=2BC=2，AD=√3/2， 根据重心的性质，AO=2AD/3=√3/3，∴cos<PAO=AO/AP=√3/6。

4. 【2006全国2，文7】如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。

过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为、若AB=12,则( ) （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9【答案】B5. 【2005全国3，文4】设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1， 则四棱锥B-APQC 的体积为（ ）α⊥β,,A B AB αβ∈∈αβ4π6π'A ',B ''A B=A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】连接，在侧面平行四边形中，∵，∴ 四边形APQC的面积=四边形的面积，记B 到面的距离为h ，∴，，∴，∵，∴，∴. 6. 【2005全国2，文2】正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是（ ）(A) 三角形 (B) 四边形(C) 五边形(D) 六边形【答案】D同理,连结PQ 交CD 于N,连结NG 交DD 1于F,连结QF 、FG.∴截面PQFGRE 为六边形.7.【2017新课标2，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．B ．C ．D ．16V 14V 13V 12V 11,BA BC 11AAC C 1PA QC =1S 11PQAC 2S 11AAC C113B APQC V S h-=11213B PQAC V S h -=11B APQC B PQA C V V --=11113B A BC V V -=11233B APQC B PQA C V V V V V --+=-=3B APQC V V -=1111ABCD A B C D -P Q R AB AD 11B C P QR 90π63π42π36π【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B. 【考点】三视图【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． （2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．8.【2015新课标2文数】 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）【答案】D221π36π3463π2V =⋅⋅⋅+⋅⋅=1A.81B.71C.61D.5【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算.【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.9.【2016新课标2文数】体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（A ） （B ）（C ） （D ）【答案】A 【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，故选A. 【考点】正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和. 10.【2015新课标2文数】已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C12π323π8π4π24π12π⋅=22a 2B A ,O ︒=∠90AOBC ABC O -O 36π64π144π256π【考点定位】本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力.【名师点睛】由于三棱锥底面AOB 面积为定值,故高最大时体积最大,本题就是利用此结论求球的半径,然后再求出球的表面积,由于球与几何体的切接问题能很好的考查空间想象能力,使得这类问题一直是高考中的热点及难点,提醒考生要加强此方面的训练.11. 【2016新课标2文数】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.【考点】 三视图，空间几何体的体积【名师点睛】以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．12.【2017新课标2，文15】长方体的长，宽，高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 . 【答案】【考点】球的表面积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或O ABC -O 12π2416πS =⋅⋅=212π248π2S =⋅⋅⋅=23π24πS =⋅=12328πS S S S =++=3,2,1O O 14π线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.13. 【2007全国2，文15】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上。

如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 【答案】：【解析】这个正四棱柱，体对角线为2cm ，底面为边长1cm 的正方形，则根据勾股定理，解得.二．能力题组1. 【2014全国2，文6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.B. C. D.【答案】C2. 【2013课标全国Ⅱ，文9】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．2+2222211h =++h =11412S =++⨯=+271795271031【答案】：A【解析】：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：则它在平面zOx 的投影即正视图为，故选A.3. 【2012全国新课标，文8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的体积为( )A B ． C ．D ． 【答案】B【解析】设球O 的半径为R ，则． 4. 【2010全国2，文8】已知三棱锥S —ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为()【答案】：DR ==34π3V R ==球34∴BC ⊥面SAD .过A 作AE ⊥SD ，交SD 于E . 又BC ⊥AE ，AE ∩SE ＝E ， ∴AE ⊥面SBC .∴∠ABE 为AB 与平面SBC 所成的角． 在△SAD 中，SA ＝3，ADSDSA ·AD ＝SD ·AE ， 解得AE ＝.∴sin ∠ABE ＝＝＝.5. 【2010全国新课标，文15】一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的____________．(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 【答案】：①②③⑤121232AE AB 32346. 【2006全国2，文14】圆是以为半径的球的小圆，若圆的面积和球的表面积的比为，则圆心到球心的距离与球半径的比＿＿＿＿＿。

【答案】 【解析】三．拔高题组1. 【2014全国2，文7】正三棱柱为中点，则三棱锥的体积为( )（A ） （B ）（C ） （D ）【答案】C1o R O 1o 1S O S 1:2:9S S =1o O 1:OO R =111ABC A B C-D BC 11A B DC -32212. 【2010全国2，文11】与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点( ) A ．有且只有1个 B ．有且只有2个 C ．有且只有3个 D ．有无数个 【答案】：D【解析】经验证线段B 1D 上的点B ，D ，中点，四等分点均满足题意，故由排除法知应有无数个点． 3. 【2005全国3，文11】不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个【答案】D 【解析】αα3. 【2013课标全国Ⅱ，文15】已知正四棱锥O－ABCD的体积为O为球心，OA为半径的球的表面积为__________．【答案】：24π在Rt△OO1A中，OA，即，∴S球＝4πR2＝24π.4. 【2010全国2，文16】已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝________.【答案】：3【解析】：∵|OM|＝|ON|＝3，∴圆M与圆N取AB中点C，连结MC、NC，则MC⊥AB，NC⊥AB，|MC|＝|NC|易知OM、CN共面且OM⊥MC，ON⊥NC，|OC|sin∠OCM|MN|＝2|MC|·sin∠OCM＝ 3.5. 【2005全国2，文16】下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是______________．(写出所有真命题的编号）22211||||OO AO+22326622⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6R【答案】①④6.【2017新课标2，文18】（12分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面,（1）证明：直线平面;（2）若△的面积为的体积.【答案】（1）见解析；（2）.P ABCD -PAD ABCD 1,2AB BC AD BAD ==∠90.ABC =∠=︒BC ∥PAD PCD P ABCD -【解析】方形，则CM ⊥AD .因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD ，因为，所以PM ⊥CM . 设BC =x ，则CM =x ，CD =，PM =，PC =PD =2x .取CD 的中点N ，连结PN ，则PN ⊥CD ，所以.因为△PCD 的面积为，所以，解得x =−2（舍去），x =2，于是AB =BC =2，AD =4，PM =， 所以四棱锥P −ABCD 的体积.【考点】线面平行判定定理，面面垂直性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型： (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.CM ABCD 底面(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 7. 【2014全国2，文18】（本小题满分12分） 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点.（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）设，三棱锥的体积，求到平面的距离.【答案】（Ⅰ）详见解析；．P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD E PD PB AEC 1,AP AD ==P ABD -4V =A PBC 3138. 【2013课标全国Ⅱ，文18】(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝，求三棱锥C －A 1DE 的体积．由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，得∠ACB ＝90°，，A 1E ＝3， 故A1D 2＋DE 2＝A 1E2，即DE ⊥A 1D . 所以VC －A 1DE＝1. 9. 【2012全国新课标，文19】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．由题意得. 又三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1， 所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.AB =CD 1A D =DE =1132⨯121112111322V +=⨯⨯⨯=10. 【2010全国新课标，文18】如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点．（1）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）若AB，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P —ABCD 的体积．所以四棱锥的体积为V ＝. 11.【2015新课标2文数】 （本小题满分12分）如图,长方体中AB =16,BC =10,,点E ,F 分别在 上,过点E ,F 的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.1333+1111ABCD A BC D -18AA =1111,A B D C 11 4.A E D F ==α（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ） 或 【解析】解：（I ）交线围成的正方形如图：（II ）作 垂足为M ,则,,,因为是正方形,所以,于是 因为长方体被平面 分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为（也正确）. 【考点定位】本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.【名师点睛】立体几何解答题在高考中难度低于解析几何,属于得分题,往年第一问多为线面位置关系的证明,今年试题有所创新，改为作截面图,令人耳目一新.第二问求两几何体体积之比,方法容易想到,注意运算不要出现错误.12. 【2016新课标2文数】 (本小题满分12分)α9779EHGF ,EM AB ⊥14AM A E ==112EB =18EM AA==EHGF 10EH EF BC ===6,10, 6.MH AH HB ====α9779如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE =CF ，EF 交BD 于点H ，将沿EF 折到的位置.(Ⅰ)证明：； (Ⅱ)若求五棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）详见解析；. 【解析】（II ）由得由得所以于是故 由（I ）知，又， 所以平面于是又由，所以，平面DEF △D'EF △AC HD'⊥55,6,,4AB AC AE OD'====D'ABCFE -EF AC ∥1.4==OH AE DO AD 5,6==AB AC 4.===DO BO 1, 3.'===OH D H DH 2222219,''+=+==OD OH D H .'⊥OD OH '⊥AC HD ,'⊥= AC BD BD HD H ⊥AC ,'BHD .'⊥AC OD ,'⊥= OD OH AC OH O '⊥OD .ABC又由得 五边形的面积 所以五棱锥D'–ABCFE 体积 【考点】 空间中线面位置关系的判断，几何体的体积【名师点睛】立体几何中的折叠问题，应注意折叠前后线段的长度、角哪些变了，哪些没变. =EF DH AC DO 9.2=EF ABCFE 11969683.2224=⨯⨯-⨯⨯=S 16934=⨯⨯=V。