函数图像的四种变换形式
函数图像变换规律
函数图像变换规律
●自变量改变而导致图像的左右（横坐标）变化
1.自变量加则向左，减则向右平移，简记为“左加右减”；
2.自变量乘ω，则图像的每个点的横坐标变为原来的1/ω倍；
3.自变量加负号（即乘-1），则图像关于y轴对称，即每个点的横坐标变为原来的
1/-1倍；
4.自变量加上绝对值，则擦去左边，再做右边关于y轴对称；
●函数值改变而导致图像的上下（纵坐标）变化
1.函数值加则向上，减则向下平移；
2.函数值乘ω，则图像的每个点的纵坐标变为原来的ω倍；
3.函数值加负号（即乘-1），则图像关于x轴对称，即每个点的纵坐标变为原来的
-1倍；
4.函数值加上绝对值，则把x轴下方向上翻折。
●练习：
1)在函数y=log3(x2-2x)的自变量中减2，可得y=________________；
2)在函数y=log3(x2-2x)的函数值中减2，可得y=________________；
3)在函数y=log3(x2-2x)的自变量中加绝对值，可得y=________________；
4)在函数y=2sin(p/3-x)的自变量中加p/4，可得y=________________；
5)在函数y=1/x中的自变量中加负号，得y =______________；再在自变量中减2，得y=____________________；再在函数值中加1，得y =______________；。
函数图像变换(整理)
函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。
由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。
(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。
2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。
(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。
(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。
(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。
(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。
(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。
（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。
(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。
✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。
(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。
3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。
高考数学《图像变换在三角函数中的应用》基础知识与典型例题分析
高考数学《图像变换在三角函数中的应用》基础知识与典型例题分析在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如()sin y A x ωϕ=+的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。
要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。
一、基础知识：（一）图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数） 1、函数图像的平移变换：（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位 （2）()f x a −：()f x 的图像向右平移a 个单位 （3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位 （4）()f x b −：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换：（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的1k（图像表现为横向的伸缩） （2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）()fx ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴对称的图像（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称）（二）图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤()2y f x =−+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数”⇔ 平移变换（2）添“系数”⇔放缩变换 （3）加“绝对值”⇔翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化 例如：()()21y f x y f x =→=+可有两种方案方案一：先平移（向左平移1个单位），此时()()1f x f x →+。
高中数学-函数图象变换及经典例题练习
高中数学-函数图象变换1、平移变换（左加右减上加下减）：y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h.2、对称变换：y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x)轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点→y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x);3、翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方， 去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4、伸缩变换：y=f(x)ω⨯→x y=f(ωx ); y=f(x)ω⨯→y y=ωf(x). 经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用例1．函数111--=x y 的图象是（ ） 答案B例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ） 答案A例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象：（1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ） 答案B例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ） 答案A例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A例7．y ＝x ＋cos x 的大致图象是( )解析 当x ＝0时，y ＝1；当x ＝π2时，y ＝π2；当x ＝－π2时，y ＝－π2，观察各选项可知B 正确． 例8.函数cos622x xx y -=-的图象大致为（ ）例9．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为（ ）． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题．两个函数都是中心对称图形．如右图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.例10.函数21log 1x y x+=-的图象（ ） A ． 关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称解析 设21()log 1x f x x +=-，则21()log 1x f x x --=+=()f x -，所以函数21log 1x y x+=-是奇函数，其图象关于原点对称，故选A.例11. 若方程2a ＝|a x －1|(a >0，a ≠1)有两个实数解，求实数a 的取值范围．解：当a >1时，函数y ＝|a x －1|的图象如图①所示，显然直线y ＝2a 与该图象只有一个交点，故a >1不合适； 当0<a <1时，函数y ＝|a x －1|的图象如图②所示，要使直线y ＝2a 与该图象有两个交点，则0<2a <1，即0<a <12.综上所述，实数a 的取值范围为(0，12)．函数图像及图像变换练习（带答案）1. 函数)1(||>⋅=a a x x y x 的图象的基本形状是 （ ） 答案A2.方程lg x =sin x 解的个数为（ ）。
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
函数图像的变换(周期,平移,对称)
函数的变换（平移，对称，翻折，周期）【自主梳理】1．() (0)y f x a a =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到．() (0)y f x a a =->的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到． 2．() (0)y f x b b =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到．() (0)y f x b b =->的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到． 3．() (0)y Af x A =>的图象可由()y f x =图象上所有点的纵坐标变为 ，不变而得到．4．() (0)y f ax a =>的图象可由()y f x =图象上所有点的横坐标变为 ，不变而得到． 【自我检测】1．若()f x 的图象过(0,1)点，则(1)f x +的图象过点 ． 2．函数2xy =的图象向右平移2个单位所得函数解析式为 ． 3．将函数lg()y x =-的图象 可得函数lg(1)y x =-+的图象．4．函数xy x a =-+的图象的对称中心为(1,1)--，则a = ． 5．将函数1cos 2y x =图象的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标扩大为原来的2倍，所得函数解析式为 ． 6．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再向 平移个单位长度． 二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）设函数()y f x =图象进行平移变换得到曲线C ，这时()y f x =图象上一点(2,1)A -变为曲线C 上点(3,3)A '-，则曲线C 的函数解析式为．（2）如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是．（3）要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos2y x =的图象． （4）若函数()2sin y x θ=+的图象按向量(,2)6π平移后，它的一条对称轴是4x π=，则θ的一个可能的值是．【例2】作出下列函数的图象．（1）12x y -= （2）211x y x +=-【例3】（1）函数()24log 12y x x =-+的图象经过怎样的变换可得到函数2log y x =的图象？（2）函数21cos cos 12y x x x =+⋅+的图象可由sin y x =的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【自主梳理】1．（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于对称；（3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称． 2．奇函数的图像关于对称，偶函数图像关于对称．3．若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称． 4．对0a >且1a ≠，函数xy a =和函数log a y x =的图象关于直线对称．5．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．6．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像．3．函数y e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称．4．将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称，则C '的解析式为 ．5．设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关 于 对称． 6．若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ． 二、课堂活动：（1（2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为．①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称．（3）将曲线lg y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是．【例2】作出下列函数的图象：（1）12log ()y x =-；（2）12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）2log y x =；（4）21y x =-．【例3】（1）将函数12log y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位，得图象C ，图象C '与C 关于原点对称，图象C ''与C '关于直线y x =对称，求C ''对应的函数解析式； （2）已知函数()y f x =的定义域为R ，并且满足(2)(2)f x f x +=-．①证明函数()y f x =的图象关于直线2x =对称；②若()f x 又是偶函数，且[]0,2x ∈时，()21f x x =-,求[]4,0x ∈-时()f x 的表达式．一.周期函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。
高中数学知识点：初等函数图象变换
高中数学知识点：初等函数图象变换
基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）
由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．
如：2()f x x =的图象变换，22(1),1,y x y x =+=+222,||y x y x ==
（1）平移变换
y =f (x )→y =f (x ＋a ) 图象左（0a >）、右（0a <）平移 y =f (x )→y =f (x )＋b 图象上（b 0>）、下（b 0<）平移
（2）对称变换
y =f (x ) →y =f (－x ), 图象关于y 轴对称
y =f (x ) →y =－f (x ) , 图象关于x 轴对称
y =f (x ) →y =－f (－x ) 图象关于原点对称
y =f (x )→1()y f x -=
图象关于直线y =x 对称
（3）翻折变换： y =f (x ) →y =f (|x |),把y 轴右边的图象保留，然后将y 轴左边部分
关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）
y =f (x ) →y =|f (x )| 把x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象
关于x 轴对称
要点诠释：
（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。
（2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
高中数学函数图象的4种简单变换知识点总结(平移、对称、翻折、伸缩)
高中数学函数图象的简单变换知识点总结 高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。
一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到； 1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。
1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。
二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象 ③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象 如：（i ）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到； ②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii ）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =- 的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由 ()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--= 2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。
函数图像及其变换(完整版)
函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ） A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域； （2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y ；③21x y =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.常规函数图像有：函数代号 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。
函数图像变换的四种情况
函数图像的变换有四种主要情况，它们分别是平移、缩放、翻转和旋转。
1. 平移（Translation）：平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向移动一定的距离。
平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
水平平移表示在x 轴方向上移动函数图像，垂直平移表示在y 轴方向上移动函数图像。
平移可以使函数图像的位置发生变化，但不改变其形状。
2. 缩放（Scaling）：缩放是指根据比例因子将函数图像在x 轴和y 轴方向上进行拉伸或压缩。
缩放可以分为水平缩放和垂直缩放两种情况。
水平缩放会改变函数图像在x 轴上的横向长度，垂直缩放会改变函数图像在y 轴上的纵向长度。
缩放会改变函数图像的形状和大小。
3. 翻转（Reflection）：翻转是指将函数图像关于某个轴进行对称操作。
常见的翻转有关于x 轴的翻转和关于y 轴的翻转。
关于x 轴的翻转会使函数图像在x 轴上下翻转，而关于y 轴的翻转会使函数图像在y 轴左右翻转。
翻转会改变函数图像的对称性和方向。
4. 旋转（Rotation）：旋转是指将函数图像绕一个旋转中心点
进行旋转角度的变换。
旋转可以使函数图像在平面上发生旋转，改变其角度和位置。
旋转可以是顺时针旋转或逆时针旋转。
这些函数图像变换情况可以单独或组合使用，可以通过改变函数的参数或对函数表达式进行修改来实现。
它们在数学和图形学中被广泛应用，用于研究和描述函数的性质和图像的变化。
三角函数图像的变换
三角函数图像的变换三角函数是一类重要的基础函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在数学中，我们经常遇到需要对三角函数进行图像变换的情况，比如平移、伸缩、翻转等。
本文将介绍三角函数图像的常见变换以及它们对函数图像的影响。
一、平移变换平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一段距离。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴向右平移a个单位，新函数为y=sin(x-a)。
当a取正值时，函数图像向右平移；当a取负值时，函数图像向左平移。
平移变换后的图像与原图像形状相同，只是位置不同。
二、伸缩变换伸缩是指将函数图像进行横向或纵向的比例拉伸或压缩。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴方向进行压缩b倍，新函数为y=sin(bx)。
当b大于1时，函数图像横向压缩；当0<b<1时，函数图像横向拉伸。
同样，沿纵轴方向进行伸缩也可得到相应的函数图像变换。
三、翻转变换翻转是指将函数图像沿着横轴或纵轴进行翻转，也称为镜像变换。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴进行翻转，新函数为y=-sin(x)。
同样地，纵向翻转可得到相应的函数图像变换。
四、混合变换除了单一的平移、伸缩和翻转变换，我们还可以通过组合这些变换来得到更复杂的函数图像变换。
比如，可以将平移、伸缩和翻转变换相结合，得到更丰富多样的变换效果。
以上是对三角函数图像常见变换的简要介绍，下面我们将进一步讨论这些变换对函数图像的具体影响。
1.平移变换的影响：平移变换只改变了函数图像的位置，不改变其形状。
假设原函数图像位于坐标系上方，若平移后函数图像向右移动，则新函数图像将出现在原来的右侧；若平移后函数图像向左移动，则新函数图像将出现在原来的左侧。
平移变换对函数图像的垂直位置没有影响。
2.伸缩变换的影响：横向伸缩会拉伸或压缩函数图像。
当b大于1时，函数图像在x轴方向上被压缩，变得更加陡峭；当0<b<1时，函数图像在x轴方向上被拉伸，变得更加平缓。
发展数学问题的函数和方程式的变换技巧
发展数学问题的函数和方程式的变换技巧数学中的函数和方程式是解决问题的重要工具。
通过灵活的变换技巧，我们可以将原有的函数和方程式转化为等价的形式，从而更好地分析和解决问题。
本文将重点介绍一些发展数学问题的函数和方程式变换技巧。
一、函数的变换技巧1. 函数的平移变换：对于一元函数f(x)，平移变换可以通过函数f(x ± a)来实现。
当a为正数时，函数图像向左平移a个单位；当a为负数时，函数图像向右平移|a|个单位。
2. 函数的伸缩变换：对于一元函数f(x)，伸缩变换可以通过函数af(bx)来实现。
当a>1时，函数图像沿y轴方向压缩；当0<a<1时，函数图像沿y轴方向伸长；当b>1时，函数图像沿x轴方向压缩；当0<b<1时，函数图像沿x轴方向伸长。
3. 函数的反转变换：对于一元函数f(x)，反转变换可以通过函数f(-x)来实现。
函数图像将以y轴为对称轴进行翻转。
4. 函数的复合变换：多个函数变换可以通过函数复合来实现。
例如，函数g(x) = f(mx + n)表示先对函数f进行伸缩变换，再进行平移变换。
二、方程式的变换技巧1. 方程式的加减变换：对于方程f(x) = g(x)，可以通过加减变换得到新的等价方程。
例如，将等式两边同时加上某个数值c，或者将等式两边同时减去某个数值d，都可以得到新的等价方程。
2. 方程式的乘除变换：对于方程f(x) = g(x)，可以通过乘除变换得到新的等价方程。
例如，将等式两边同时乘以某个非零常数a，或者将等式两边同时除以某个非零常数b，都可以得到新的等价方程。
3. 方程式的代入变换：当我们需要解决多元方程组时，可以通过代入变换来降低问题的复杂度。
将方程组中的某个方程转化为含有一个未知数的方程，然后代入其他方程进行求解。
4. 方程式的分解变换：对于一些复杂的方程式，我们可以通过分解变换将其转化为简单的等价方程。
例如，将一个高次方程式分解为低次方程的乘积形式，进而通过求解每个低次方程来求解原方程。
函数图像变换知识点总结
函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。
平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。
- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。
2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。
伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。
- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。
3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。
- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。
- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。
二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。
三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。
1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。
例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。
2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。
例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。
函数图像的变换及应用
函数图像的变换及应用函数图像的变换指的是通过对函数图像进行一系列的操作，使得原函数图像在坐标系中发生平移、伸缩、翻折等变化，从而得到新的函数图像。
这些变换可以通过改变函数的参数或者利用一些特定的变换公式来实现。
函数图像的变换有很多种，下面列举几种常见的变换及其应用：1. 平移变换：平移变换是将函数图像在坐标系上沿着横轴或者纵轴方向进行移动。
对于函数y=f(x)，平移变换可以表示为y=f(x-a)+b，其中a表示横向平移的距离，b表示纵向平移的距离。
平移变换的应用场景有很多，例如对于温度变化的曲线图，可以通过平移变换来调整图像在时间轴上的位置，实现对曲线的观察和比较。
2. 伸缩变换：伸缩变换是改变函数图像的尺度，使得函数图像的宽度或者高度发生变化。
对于函数y=f(x)，伸缩变换可以表示为y=a*f(bx)，其中a控制纵向的伸缩比例，b控制横向的伸缩比例。
伸缩变换可以用来调整图像的大小，使得函数曲线更加清晰或者适应特定的分析需求。
3. 翻折变换：翻折变换是将函数图像沿着坐标轴进行翻转。
对于函数y=f(x)，翻折变换可以表示为y=-f(x)（沿着x轴翻折）或者y=f(-x)（沿着y轴翻折）。
翻折变换可以用来分析函数的对称性质，例如判断函数是否关于x轴或者y轴对称。
4. 拉伸变换：拉伸变换是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。
拉伸变换可以是横向拉伸或者纵向拉伸。
对于函数y=f(x)，横向拉伸可以表示为y=f(cx)，纵向拉伸可以表示为y=c*f(x)，其中c是大于1的常数。
拉伸变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。
5. 压缩变换：压缩变换与拉伸变换相反，是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。
压缩变换可以是横向压缩或者纵向压缩。
对于函数y=f(x)，横向压缩可以表示为y=f(x/c)，纵向压缩可以表示为y=(1/c)*f(x)，其中c是大于1的常数。
压缩变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。
高中函数图像变换总结
高中函数图像变换总结高中数学是高中阶段的一门重要学科，其中函数图像变换是数学中非常基础和重要的内容之一。
函数图像变换是指通过一系列变换操作来改变函数的图像的位置、形状、方向等特征。
在高中教学中，函数图像变换是一个重要的考察内容，也是学生需要掌握的重要技能之一。
下面我们来总结一下高中函数图像变换的相关知识。
首先，高中函数图像变换主要涉及到平移、伸缩、翻转和对称等变换操作。
其中，平移是函数图像在平面上沿着 x 轴和 y 轴方向移动的变换操作。
通过平移操作，可以改变函数图像的位置。
平移操作可以用公式 y=f(x-a)+b 来表示，其中 (a, b) 为平移的向量。
当 a>0 时，函数图像向右平移，反之向左平移；当 b>0 时，函数图像向上平移，反之向下平移。
其次，伸缩是函数图像在 x 轴和 y 轴方向上进行拉伸或收缩的变换操作。
通过伸缩操作，可以改变函数图像的形状。
伸缩操作可以用公式 y=a*f(kx) 来表示，其中 a 表示纵向伸缩因子，k 表示横向伸缩因子。
当 a>1 时，函数图像纵向拉伸；当 0<a<1 时，函数图像纵向收缩；当 k>1 时，函数图像横向收缩；当0<k<1 时，函数图像横向拉伸。
再次，翻转是函数图像沿着 x 轴和 y 轴进行翻转的变换操作。
通过翻转操作，可以改变函数图像的方向。
翻转操作可以用公式 y=f(-x) 来表示。
当 x 取正值时，函数图像在 y 轴左侧；当x 取负值时，函数图像在 y 轴右侧；当 x 取正值时，函数图像在 x 轴下方；当 x 取负值时，函数图像在 x 轴上方。
最后，对称是函数图像关于某个轴或某个点对称的变换操作。
通过对称操作，可以改变函数图像的形状和位置。
常见的对称操作有关于 x 轴、y 轴和原点的对称。
关于 x 轴的对称操作可以用公式 y=-f(x) 来表示；关于 y 轴的对称操作可以用公式y=f(-x) 来表示；关于原点的对称操作可以用公式 y=-f(-x) 来表示。
数学中的函数变换与图像绘制
数学中的函数变换与图像绘制在数学中，函数变换是指通过对原始函数应用特定的转换规则，得到新的函数。
函数变换在图像的绘制和分析中起着重要的作用。
本文将介绍常见的函数变换和图像绘制方法，并探讨它们在数学中的应用。
一、平移变换平移变换是指将函数图像沿着x轴或y轴进行水平或垂直方向上的移动。
平移变换通常使用函数的公式进行描述。
以一元函数y=f(x)为例，对于水平平移变换，我们可以将函数的公式改为y=f(x-h)，其中h为平移的水平距离。
对于垂直平移变换，我们可以将函数的公式改为y=f(x)+k，其中k为平移的垂直距离。
二、缩放变换缩放变换是指将函数图像沿着x轴或y轴进行水平或垂直方向上的拉伸或压缩。
缩放变换也通常使用函数的公式进行描述。
以一元函数y=f(x)为例，对于水平缩放变换，我们可以将函数的公式改为y=f(kx)，其中k为水平缩放的比例因子。
对于垂直缩放变换，我们可以将函数的公式改为y=k*f(x)，其中k为垂直缩放的比例因子。
三、翻折变换翻折变换是指将函数图像沿着x轴或y轴进行翻折。
以一元函数y=f(x)为例，对于沿x轴翻折变换，我们可以将函数的公式改为y=-f(x)；对于沿y轴翻折变换，我们可以将函数的公式改为y=f(-x)。
四、旋转变换旋转变换是指将函数图像按照某一角度进行旋转。
旋转变换通常使用函数的公式或参数方程进行描述。
以一元函数y=f(x)为例，对于顺时针旋转角度θ的变换，我们可以将函数的公式改为y=f(x*cosθ-x*sinθ)。
通过这些函数变换，我们可以对函数图像进行各种不同的变换，从而得到新的图像。
在图像的绘制中，我们可以通过手绘或使用计算机软件来实现。
对于手绘图像，可以使用纸笔或绘图工具，根据变换规则和函数公式来绘制图像。
对于使用计算机软件绘制图像，可以利用数学软件或绘图软件，通过输入函数公式和变换规则来生成图像。
总结起来，数学中的函数变换与图像绘制密不可分。
通过函数变换，我们可以对函数图像进行平移、缩放、翻折和旋转等操作，从而得到新的函数图像。
函数图象变换
y = 2|x|
0
x
例5.
先作出函数 y = 2|x| 的图象， 解： 2 x ••• x 0) x ( 2 •• x 0) ( | x| y 2 x 1 x 2 ( x 0) ( ) ( x 0) 2 又 y = 2|x| 是偶函数，
（1，-1）
x
例3.已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
y
y=2x
y=|2x-2|
y=2x-2
1
O
y=|2x-2|
1
23xFra bibliotek-1例3.已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
f(-x)的解析式及其定义域并分别作出它们的图象。
y
y=f(x) y=f(-x)
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
1
x
o
1
x
o
y=-f(-x)
1
x
y=-f(x)
对 称 变 换
图象关于 x轴对称
图象关于
图象关于
原点对称
y轴对称
例7.指数函数 y = 2x 的图象与函数 y = 2-x ，y=-2x ，y = -2-x 的图象的关系：
针 对 自 变 量 针 对 因 变 量
沿y轴向上平移k个单位 y y-k ( k > 0 )
沿y轴向下平移k个单位
(2)翻折变换：分为左折与上折
y=f(x)
去掉y轴左边图象，保留y轴右边 图象，再作其关于y轴对称图象
函数图像的三种变换
函数图像的三种变换函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容，函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础，而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。
在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种：一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种：1、 沿水平方向左右平行移动比如函数)(x f y =与函数)0)((>-=a a x f y ，由于两函数的对应法则相同，x a x 与-取值范围一样，函数的值域一样。
以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数)(x f y =的图象水平移动才能得到函数)0)((>-=a a x f y 的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)(a x f y -=上对应的点为),(11y a x +，因此若将)(x f y =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到)0)((>-=a a x f y 的图象。
同样，将)(x f y =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到)0)((>+=a a x f y 的图象。
2、沿竖直方向上下平行移动比如函数)(x f y =与函数)0()(>+=b b x f y ，由于函数)(x f y =函数)0)((>=-b x f b y 中函数y 与b y -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数)(x f y =的图象上下移动得到函数)(x f b y =-的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)0)((>=-b x f b y 上对应的点为),(11b y x +，因此若将)(x f y =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到)0)((>=-b x f b y 的图象。
函数的初等变换
函数的初等变换
函数的初等变换是指对函数作一些特殊变换，以改变其形式或能够更容易地计算它的值。
函数f(x)的初等变换包括：
1、对称变换
对称变换是指沿函数变换后的形状对称的变换。
例如，将函数f(x)的坐标轴进行翻转变换，把f(x)变换成f(-x)。
还可以称为反比例变换。
2、位移变换
位移变换是指将函数f(x)在x轴上向左或向右挪动，f(x)变换为f(x+a)或f(x-a)。
这种变换也可以用来实现向函数添加常数。
3、缩放变换
缩放变换是指将函数f(x)中的坐标数值放大或者缩小，把f(x)变换成f(kx)或f(x/k)。
这种变换也可以用来实现缩放函数。
4、旋转变换
旋转变换是指将函数f(x)中的坐标沿指定的角度旋转，把f(x)变换成f(xcosθ+ysinθ)。
5、混合变换
混合变换是指将上述的几种变换混合在一起使用，把f(x)变换成f(k(x+a)cosθ+k(x-a)sinθ)。
以上就是函数的初等变换的介绍。
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函数图像的四种变换
1．平移变换
左加右减，上加下减
)
(
)
(a
x
f
y
x
f
y+
=
−→
−
=沿x轴左移a个单位；
)
(
)
(a
x
f
y
x
f
y-
=
−→
−
=沿x轴右移a个单位；
￥
a
x
f
y
x
f
y+
=
−→
−
=)
(
)
(沿y轴上移a个单位；
a
x
f
y
x
f
y-
=
−→
−
=)
(
)
(沿y轴下移a个单位。
2.对称变换
同一个函数求对称轴或对称中心，则求中点或中心。
两个函数求对称轴或对称中心，则求交点。
,
（1）对称变换
①函数)
(x
f
y=与函数)
(x
f
y-
=的图像关于直线x=0(y轴)对称。
②函数)
(x
f
y=与函数)
(x
f
y-
=的图像关于直线y=0(x轴)对称。
③函数)
(a
x
f
y+
=与)
(x
b
f
y-
=的图像关于直线
2a
b x -
=对称
（2）中心对称
\
①函数)
(x
f
y=与函数)
(x
f
y-
-
=的图像关于坐标原点对称
②函数)
(x
f
y=与函数)
2(
2x
a
f
y
b-
=
-的图像关于点（a,b）对称。
3伸缩变换
（1）)
(x
af
y=的图像，可以将)
(x
f
y=的图像纵坐标伸长（a>1）或缩短（a<1）到原来的a倍，横坐标不变。
（2）)
(ax
f
y=（a>0）的图像，可以将)
(x
f
y=的横坐标伸长（0<a<1）
或缩短（a>1）到原来的1/a 倍，纵坐标不变。
^
4．翻折变换
（1）形如)(x f y =，将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方，去掉原来x 轴下方的部分，保留原来在x 轴上方的部分。
（2）形如)(y x f =，将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分，并保留)(x f y 轴左边部分，为)(y x f =的图像。
习题：①做出32y 2++=）（x 的图像 ②做出3+=x y 的图像。