北京理工大学导波光学基础 (14)

A1 B111C11 B112 C12 B113 C13 B121C 21 B122 C 22 B123 C 23
B131C 31 B132 C 32 B133 C 33
A2 B211C11 B212 C12 B213 C13 B221C 21 B222 C 22 B223 C 23 B231C 31 B232 C 32 B233 C 333 A3 B311C11 B312 C12 B313 C13 B321C 21 B322 C 22 B323 C 23
C 1 （5-D)式简化成：Cm = BmkAk m =1, 2, …6 C 2 A1 B11 B12 B13 B14 B15 B16 C B 3 A2 ＝ 21 B22 B23 B24 B25 B26 C A3 B31 B32 B33 B34 B35 B36 4 C5 对称三阶张量可表示成[3×6]矩阵，有18个独立分量。 C 6
T23=T32
T4
T13=T31
T5
T12=T21
T6
5.0.2 晶体特性的数学描述
表5.0-2 用二阶张量描述的物理性质
5.0.2 晶体特性的数学描述
5.0.2.3 三阶张量简介 定义：若一个矢量Ai与另一个二阶张量Cij之间存在下面线性关系 Ai = BijkCjk i, j, k = 1, 2, 3 （5-C) 或一个二阶张量Cij与一个矢量Ai 存在下面关系 Cjk = Bijk Ai i, j, k = 1, 2, 3 (5-D) Bijk称为三阶张量。 (5-C)式展开:
χ 是与坐标选取无关的常数；
P的一个分量对应一个E的分量。
5.0.2 晶体特性的数学描述
5.2.1 二阶张量简介
在各向异性介质中 E的三个分量感生出一个极化强度矢量P
P 1 P11i P21 j P31k
其中
P11 0 11 E1
P21 0 21 E1 P31 0 31 E1
B331C 31 B332 C 32 B333 C 333
5.0.2 晶体特性的数学描述
5.0.2.3 三阶张量简介 写成矩阵形式
A1 B111 A2 ＝ B211 A3 B311
B111 C11 C12 B121 B C13 131 B211 C 21 C ＝ B 221 22 B231 C 23 C 31 B311 B321 C 32 C 33 B331
5.0.2 晶体特性的数学描述
晶体几何外形的对称（如立方、对角等对称）反映在晶体的宏观物理性质中
的对称性。最典型的例子是介电常数ε，电极化率χ。为了从数学上描述它，
必须引入张量。 5.2.1 二阶张量简介 介质在外电场E作用下产生极化，极化强度矢量P在各向异性介质中为 P = ε0χE ε0真空中介电常数； （5-A）
j 1
3
P2
2 j E j ,
j 1
3
P3
3 j E3
j 1
3
再对i（三行）求和
Pi ij E j ,
j 1
3
i 1, , 2 3
3
总之：
P ij E j
i 1 j 1
3
P ij E j
ij
或简写为：Pi =Xij Ej
其特点： P 的每个分量都与 E 的三个分量成线性关系；
（5－B）
坐标系确定后 11， 12 , ， 33 均为常数；
为一个3×3数组，数学上称为二阶张量。
5.2.0 晶体特性的数学描述
二阶张量关系的习惯书写法
按矩阵乘法，先对（5－A）式中每一分量（行内）求和
P1
1 j E j ,
C11 C12 C13 B133 C 21 C B233 22 C 23 B333 C 31 C 32 C 33
三阶张量可表示成[3×9]矩阵，
有27个独立分量。
（5－D）式也可写成矩阵形式, 三阶张量可写成[9×3]矩阵。
CHAPTER Ⅴ
Propagation of Optical Wave in Crystals
光波在晶体中的传播
晶体的几何 晶体特性的数学描述 电光效应与电光调制
声光效应及应用
磁光效应与旋光性 光学非线性效应简介
5.0.1 晶体的几何
晶体－光学功能材料，光电子学的基础。 晶体材料：激光晶体（YAG-一钇铝石榴石，蓝宝石-Sapphire)；半导 体(Ge)；非线性光学晶体；电光晶体（ KDP-磷酸二氢钾-KH2PO4、铌酸
P3 P31 P32 P33 0 ( 31 E1 32 E2 33 E3 )
5.2.0 晶体特性的数学描述
5.0.2.1 二阶张量简介
写成矩阵形式
11 12 １3 E1 P1 P2 0 21 22 23 2 E E P3 31 32 33 3
P32 0 32 E 2
P33 0 33 E 3
5.2.0 晶体特性的数学描述
5.2.1 二阶张量简介
普遍情况
P P1 i P2 j P3 k
其中
P1 P11 P12 P13 0 ( 11 E1 12 E2 13 E 3 )
P2 P21 P22 P23 0 ( 21 E1 22 E2 23 E3 )
5.2.0 晶体特性的数学描述
5.2.1 二阶张量简介
同理
P 2 P12 i P22 j P32 k
其中
P 3 P13 i P23 j P33 k
P13 0 13 E 3
P12 0 12 E 2
P22 0 22 E 2
P23 0 23 E 3
i, j = 1, 2, 3
5.0.2 晶体特性的数学描述
对称二阶张量 定义：若二阶张量[Tij]中，Tij = Tji , 则该二阶张量[Tij]称为对称二阶张量。 9个分量减少到6个，双下标可以相应简化成1～6。
表5.0-1 对称二阶张量下角标的简化 双下标 单下标
T11
T1
T22
T2
T33
T3
图5.0-1 石英晶体的几种变异外形
a-b面夹角＝141°47′；b-c面夹角＝120°00′；a-c面夹角＝ 113°08′
5.0.1 晶体的几何
2. 晶格及其周期性
晶体外形上的规律性反映了晶体内部构造的规律性。
图5.0-2 石英晶体（a)与石英玻璃(b)结构上的区别 晶体结构具有远程有序性－组成晶体的原子（离子、分子）有规律的重复 排列；非晶体离子排列只有近程有序性。
用基矢表示两个元胞位置的差别：l1a1+l2a2+l3a3， l1，l2，l3为整数。晶格 中x点和x+l1a1+l2a2+l3a3点的情况完全相同。物理量V(x)=V(x+l1a1+l2a2+l3a3) 表示V(x)是以a1，a2，a3为周期的三维周期函数。
周期性的另一种表述：把一个晶格平移l1a1+l2a2+l3a3（l1，l2，l3为整数）将
B112 B212 B312
B112 B122 B132 B212 B222 B232 B312 B322 B332
B113 B213 B313
B121 B221 B321
B122 B222 B322
B123 B223 B323
B131 B231 B331
B132 B232 B332
B113 B123 B133 B213 A1 B223 2 A B233 A3 B313 B323 B333
5.0.1 晶体的几何
晶体中原子的规则排列称为晶体格子，或简称晶格。
图5.0-3 立方晶格 (a)平面内原子球的简单排列；
(b)原子层叠形成简单立方晶格－三维立方格子结构；
(c)体心立方结构。
5.0.1 晶体的几何
图5.0-4 密排面
密排面叠起来形成最紧密堆积的晶格－一层的球心对准另一层的球隙。
5.0.1 晶体的几何
简单立方晶格 体心立方晶格
晶格的周期性－都可以 看作一个平行六面体的
单元沿三个边的方向周
期排列而成。
面心立方晶格 六角密排晶格
晶格的最小表示。
图5－7 元胞和基矢
5.0.1 晶体的几何
元胞和基矢具体概括了一个晶体结 构的周期性。若把整个晶体都划分为 元胞，那么，不同元胞中的情况将是 完全相似的。 图5.0-8 晶格的周期性
（5－D）式也可写成[6×3]矩阵形式,。
(5-C)式简化成：Ai = BimCm
5.0.2 晶体特性的数学描述
5.0.2.3 三阶张量简介 用三阶张量描述的物理性质，常见的有
压电效应
二阶非线性 普克尔斯效应
压电模量dijk
二阶非线性极化系数χijk 线性电光系数γijk
5.0.2 晶体特性的数学描述
5.0.2 晶体特性的数学描述
5.0.2.3 三阶张量简介 对称三阶张量： Bijk= Bikj Bijk的后两个双下标的简化与二阶张量的规则相同，1～6： B11=B111, B12=B122, B13=B133, B14=2B123=2B132, … i=1, 2, 3; m=1, 2, …6
5.0.1 晶体的几何
布拉伐格子的格点还可看成分列在平行等距的平面系上，这样的平面称为晶 面。同一个格子可有无穷多不同的晶面系。
图5.0-10 简单立方的三个不同的晶面及其密勒指数 晶面的标志－密勒指数（h1,h2,h3)：等距的晶面把基矢ai（或－ai）分割成 |hi|个等分；它们也是以|ai|为各轴的长度单位所求得的晶面截距的倒数。
5.0.1 晶体的几何
两种不同的最紧密的晶格排列：六角密排晶格，如图5.0-5－Be、Mg、Zn、 Cd；立方密排（或称面心立方）晶格，与简单立方相似，单在每个立方 面中心有一个原子，如图5.0-6（a)－Cu、Ag、Au、Al；图（b)为面心立 方晶格的原子密排面。
图5.0-5 六角密排
图5.0-6 立方密排
锂-LiNbO3，磁光晶体、声光晶体（LiNbO3)、弹光晶体（石英）等。
应用：

光通信器件－光的相位调制、强度调制，光开关，光交换，光隔离，
光偏振控制…

激光技术－调Q…

光信息显示与存储－光束偏振态的控制，光束偏转控制，光开关…
5.0.1 晶体的几何
1. 晶体外形
尽管外形不同，但其几何多面体上相应两晶面的夹角总是严格相等。
与原来晶格完全重合，称为晶格的平移对称性。l1a1+l2a2+l3a3称为晶体的布 拉伐格子。
5.0.1 晶体的几何
晶向、晶面和它们的标志
布拉伐格子的格点可看成分列在一
系列相互平行的直线系上，这些直线 系称为晶列。同一格子可形成方向不 同的晶列。
每一个晶列定义为一个方向，称为
晶向。若一个原子沿晶向到最近的原 子的位移矢量为l1a1+l2a2+l3a3，则晶向 就用l1，l2，l3来标志，写成[l1 l2 l3]。 图50-9 两个不同的晶列（实现、 虚线）与晶向
5.0.2.4 晶体的宏观对称性 几何外形的对称性，如立方、六角对称；反映在晶体的宏观物理性质上。
以介电常数为例，它一般表示为一个二阶张量[εij]
D, E 分别是电位移矢量和电场矢量。
Di ij E j
j
3
在立方对称晶体中[εij]必然是一个对角张量：
标量： ij 0 ij