2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：概率与统计

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215年高考模拟试题_2015年福建省福州市高考数学二轮复习专题训练十三：统计与概率(解析版)

福州2015年高考数学二轮复习专题训练：统计与概率本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．随机变量Y ～),(p n B ，且() 3.6E Y =,16.2)(=Y D ，则( )A ． n=4 p=0.9B ． n=9 p=0.4C ．n=18 p=0.2D ． N=36 p=0.1【答案】B2．从装有２个红球和２个黑球的口袋内任取２个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．恰有1个黑球与恰有2个黑球B ．至少有1个黑球与至少有1个红球C ．至少有1个黑球与都是黑球D ．至少有1个黑球与都是红球【答案】A3．从一副扑克牌(抽掉大王、小王，只剩52张)中，任取1张，则事件“抽出方块”与事件“抽出梅花” ( )A ．是互斥事件，也是对立事件B ．不是互斥事件，但是对立事件C ．不是互斥事件，不是对立事件D ．是互斥事件，不是对立事件【答案】D4．甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是21,p p ,那么至少有1人解对的概率是( )A ．21p p +B ．21p p ⋅C ． 211p p ⋅-D ．)1()1(121p p -⋅--【答案】D5．已知随机变量ξ服从二项分布，即ξ~B(n,p)且E ξ=24，D ξ=18，则n 、p 的值为( )A ．92，41B ．94，41 C ．96，21 D ． 96，41 【答案】D6．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P(B| A)= ( ) A ．12B ．14C ．18D ．25【答案】B7．线性回归方程a bx y+=ˆ表示的直线必经过的一个定点是( ) A ．)y ,x ( B ．)0,x (C ．)y ,0(D ．)0,0(【答案】A8．下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，中间的数字表示得分的十位数，下列对乙运动员的判断错误的是( )A ．乙运动员的最低得分为0分B ．乙运动员得分的众数为31C ．乙运动员的场均得分高于甲运动员D ．乙运动员得分的中位数是28 【答案】A9．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>；③从总体中抽取的样本11221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑若记，则回归直线y =bx a+必过点（,x y ）④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=其中正确的个数有( )A ．3个B ． 2 个C ．1 个D ．0个【答案】C10．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算99.02≈K ，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )A ．有%99的人认为该栏目优秀B ．有%99的人认为该栏目是否优秀与改革有关系C ．有%99的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系【答案】D11．人的年龄x 与人体脂肪含量的百分数y 的回归方程为0.5770.448y x ∧=-，如果某人36 岁，那么这个人的脂肪含量( ) A ．一定20.3% B ．在20.3%附近的可能性比较大C ．无任何参考数据D ．以上解释都无道理【答案】B12．如下图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．84, 4.84B ．84, 1.6C ．85，4D ．85， 1.6【答案】D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在区间[0，1]上任取两实数a ，b ，则使a ＋b ≥1的概率为．【答案】1214．抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则得6分的概率为 . 【答案】83 15．已知x 与y 之间的一组数据如下，则x 与y 的线性回归方程ˆybx a =+必过点【答案】3(,4)216．经调查显示某地年收入x （单位：万元）与年饮食支出y(单位：万元)具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程y=0.278x+0.826.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元。

2015年高考理数专题复习---概率统计(解析版)

2015年高考理数专题复习---概率统计预测2013年高考中，本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，排列、组合、概率、统计都将是重点考查内容，至少会考查其中的两种类型。

（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。

（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。

这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。

复习建议在复习中，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际问题中的应用，充分注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本思想方法，掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型应用本章知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力.母题一：5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率；（3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.母题二：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.母题三：某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）.若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）：（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；（2）至少关闭一家煤矿的概率.母题四：袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分.求所得分数的分布列.母题五:.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白2，服鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每一只小白鼠服用A有效的概率为31. （1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察3个试验组，用ξ表示这3用B有效的概率为2个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望.7 8 99 4 4 6 4 7 3高考模拟1．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )（A ）8，8 （B ）10，6 （C ）9，7 （D ）12，4【答案】C2.右图是 2011年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84B. 84,1.6C. 85,1.6D. 85,4【答案】C 【解析】2580855x =+=,244 1.6.5s +== 3.如图，矩形O A B C 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( ) A .712π B.23π C .34π D.56π 【答案】B【答案】A6．右图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约（） A ．523 B ．521 C ．519 D ．516 【答案】A 7．设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于34的概率为（） A ．964 B ．964π C ．916π D ．916【答案】B8．已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅< 的点M 的概率为（）A B C D ．12【答案】B9.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160,则中间一组（即第五组）的频数为（）A.12B.24C.36D.48【答案】C10．盒子中放有编号为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，则取出球的编号互不相同的概率为（）A．115B．112C．12D．23【答案】D【解析】32352180.33243 P C⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种卉的平均花期为__ _天．【答案】16天（15.9天给满分）16．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)4050，，[)5060，，…，[]90100，后得到如下图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)4050，与[]90100，两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。

2015届高考数学(理·湖北)二轮专题复习课件【6】计数原理、概率与统计

热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)
的影响及计数原理、概率与统计自身的特征, 此类试题的背景与日常生活最贴近, 联系也最为紧密, 不管是从内容上, 还是从思想方法上, 都体现着应用的观念与意识, 考查学生处理数据的能力、处理或然问题的方法, 考查学生对概率事件的识别及概率计算, 以及分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用, 考查学生的阅读与理解能力、分析问题解决问题的能力 .
= 50, 设第三组
= 0. 36, 解得 x=12, 故选 C .
热点重点) 设样本数据 x1, x 2, „, x 10 的均值和方差分别为 1 和 4, 若 yi=x i+a( a 为非零常数, i =1, 2, „, 10) , 则 y1, y2, „, y10 的均值和方差分别为( A. 1+a, 4B. 1+a, 4+a C. 1, 4D. 1, 4+a ) .
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第 20 题: 离散型大随机变量的分布第 20 题: 正态分题列、期望及方差,布, 线性规划综合概率加法公式第 20 题: 随机事件的概率、二项分布的概率、均值
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【考向预测】
计数原理、概率与统计是高中数学的一个重要学习内容, 也是高考考查的必考重点内容之一 . 本部分考查的内容主要有: 抽样方法, 统计图表 ( 样本频率分布表与直方图、茎叶图) , 统计特征数字( 平均数、方差、中位数、众数) , 变量间的关系、回归分析; 两个计数原理、排列组合的应用; 二项展开式通项及二项式系数的性质与计算; 随机事件的概率、古典概型、几何概型; 离散型随机变量的分布列、二项分布、正态分布, 离散型随机变量的数学期望与方差. 由于新课标

2015年高考数学二轮专题六第四讲高考中的概率与统计(解答题型)

专题六第四讲
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故X的分布列为 X P 1 17 42 2 43 84 3 1 12
17 43 1 47 从而E(X)＝1×42＋2×84＋3×12＝28.
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Z主干知识整合
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主干整合 1．独立重复试验的概率公式
k n－k Pn(k)＝Ck p (1 － p ) ，k＝0,1,2，„，n. n
专题六第四讲
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3 1 1 1 － P(X＝12)＝P(A B C)＝ × × ＝， 4 2 3 8 －－ P(X＝13)＝P(AB＋ A BC)＝P(AB)＋P( A BC) 3 1 1 1 1 5 ＝4×2＋4×2×3＝12. ∴X的分布列为 X P 6 1 8 7 1 4 8 1 12 12 1 8 13 5 12
2．超几何分布的概率一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰
k n －k Cm CN－M 有X件次品，则事件(X＝k)发生的概率为P(x＝k)＝ (k＝ Cn N
0,1,2，„，m)(m≤M，m≤n，M≤N)．

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题7_第2讲_概率、随机变量及其分布(含答案)

第2讲概率、随机变量及其分布考情解读 1．该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量的分布列、期望(均值)、方差，常与相互独立事件的概率、n 次独立重复试验交汇考查.2．从考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的分布列等，都属于中、低档题．1．随机事件的概率（1）随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0. （2）古典概型的概率P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.（3）几何概型的概率P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).2．条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率：P (B |A )＝P (AB )P (A ).3．相互独立事件同时发生的概率P (AB )＝P (A )P (B )． 4．独立重复试验如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n . 5．超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.此时称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M ，N ，n . 6．离散型随机变量的分布列（1）设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i 的概率为P (X ＝x i )＝p i ，则称下表：为离散型随机变量X （2）离散型随机变量X 的分布列具有两个性质：①p i ≥0，②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1(i ＝1,2,3，…，n )．（3）E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为X 的均值或数学期望(简称期望)．D (X )＝(x 1－E (X ))2·p 1＋(x 2－E (X ))2·p 2＋…＋(x i －E (X ))2·p i ＋…＋(x n －E (X ))2·p n 叫做随机变量ξ的方差．（4）性质①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； ②X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )； ③X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． 7．正态分布若X ～N (μ，σ2)，则正态总体在三个特殊区间内取值的概率 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.热点一古典概型与几何概型例1 （1）在1,2,3,4共4个数字中，任取两个数字(允许重复)，其中一个数字是另一个数字的2倍的概率是________．（2）(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A ．14 B ．12 C ．34 D ．78思维启迪 (1)符合古典概型特点，求4个数字任取两个数字的方法种数和其中一个数字是另一个数字的2倍的方法数；(2)由几何概型的特点，利用数形结合求解．思维升华 (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．（1）(2014·广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为____．（2）在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得函数f (x )＝1－x ＋x ＋3－1有意义的概率为________．热点二相互独立事件和独立重复试验例2 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75.（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．思维启迪本题主要考查相互独立事件的概率求法，(1)的关键是利用转化与化归思想，把欲求概率的事件分解为3个互斥事件进行计算；(2)的关键是合理运用对立事件的概率公式计算求解．思维升华求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点：(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况比较少，则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．(3)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；（2）求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．热点三随机变量的分布列例3 (2013·辽宁)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．思维启迪 (1)利用对立事件求概率；(2)计算每个X 的值所对应的概率．思维升华解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路： (1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值． (3)根据分布列和期望、方差公式求解．（1）(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的数学期望E (X )等于( )A ．126125B ．65C ．168125D ．75（2）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.概率模型的应用，需熟练掌握以下常考的五种模型：（1）基本事件的发生具有等可能性，一般可以抽象转化为古典概型问题，解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数n 与事件A 中包含的基本事件个数m ；（2）与图形的长度、面积或体积有关的概率应用问题，一般可以应用几何概型求解，即随机事件A 的概率可用“事件A 包含的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”与“试验的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”之比表示；（3）两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题，可转化为互斥事件来解决，解决这类问题的关键是分清事件是否互斥；（4）事件是否发生相互不影响的实际应用问题，可转化为独立事件的概率问题，其中在相同条件下独立重复多次的可转化为二项分布问题，应用独立事件同时发生的概率和二项分布公式求解；（5）有关平均值和稳定性的实际应用问题，一般可抽象为随机变量的期望与方差问题，先求出事件在各种情况下发生的概率，再应用公式求随机变量的期望和方差.真题感悟1．(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．452．(2014·浙江)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．（1）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；（2）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2) 押题精练1．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为()A ．521B ．27C ．13D ．8212．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是( ) A ．16625 B ．96625 C ．624625 D ．46253．甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．（1）求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；（2）设总决赛中获得的门票总收入为X ，求X 的均值E (X )．(推荐时间：50分钟)一、选择题1．(2014·课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A ．18 B ．38 C ．58 D ．782．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π83．已知Ω＝{(x ，y )|⎩⎨⎧y ≥0，y ≤4－x2}，直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为P (M )，若P (M )∈[π－22π，1]，则实数m 的取值范围为( )A ．[12，1]B ．[0，33]C ．[33，1] D ．[0,1]4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是( ) A ．310 B ．29 C ．78 D ．795．将三个骰子各掷一次，设事件A 为“三个骰子掷出的点数都不同”，事件B 为“至少有一个骰子掷出3点”，则条件概率P (A |B )，P (B |A )分别是( )A ．6091，12B ．12，6091C ．518，6091D ．91216，126．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c )＝P (ξ<c －2)，则c 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题7．(2014·江西)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________． 8．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________． 9．(2014·浙江)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.10．连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6)，现定义数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，点数不是3的倍数，1，点数是3的倍数，S n是其前n 项和，则S 5＝3的概率是________．三、解答题11．一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球(假设取到任一小球的可能性相等)．（1）求取出的小球中有相同编号的概率；（2）记取出的小球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．12．(2014·山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．13．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.（1）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望．（2）求教师甲在一场比赛中获奖的概率．例1 (1)14 (2)C 变式训练1 (1)16 (2)23例2 解 (1)分别记“甲、乙、丙三个同学笔试合格”为事件A 1、A 2、A 3；E 表示事件“恰有一人通过笔试”，则P (E )＝P (A 1A2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A1A 2A 3)＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4＝0.38. 即恰有一人通过笔试的概率是0.38.(2)分别记“甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格”为事件A 、B 、C ，则P (A )＝0.6×0.6＝0.36，P (B )＝0.5×0.6＝0.3，P (C )＝0.4×0.75＝0.3.事件F 表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”．则F 表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，即F ＝A B C ，于是P (F )＝1－P (F )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－0.64×0.7×0.7＝0.686 4. 即经过两次考试后，至少有一人被预录取的概率是0.686 4.变式训练2 解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15.(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D .“系统A 在3次相互独立的检测中发生k 次故障”为事件D k . 则D ＝D 0＋D 1，且D 0、D 1互斥．依题意，得P (D 0)＝C 03(1－110)3，P (D 1)＝C 13·110(1－110)2，所以P (D )＝P (D 0)＋P (D 1)＝7291 000＋2431 000＝243250.所以系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250.例3 解 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 02·⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·15＝4125；P (X ＝1)＝C 12·⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·15＋C 02⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·45＝28125； P (X ＝2)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·15＋C 12⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·45＝57125；P (X ＝3)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·45＝36125. 所以X 的分布列为所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.变式训练3 (1)B (2)53解析 (1)125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆， ∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的数学期望 E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65.(2)由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的分布列为E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.CA DB3．解 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．设此数列为{a n }，则易知a 1＝40，a n ＝10n ＋30，∴S n ＝n (10n ＋70)2＝300. 解得n ＝－12(舍去)或n ＝5，∴总决赛共比赛了5场．则前4场比赛的比分必为1∶3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为 C 14(12)4＝14. (2)随机变量X 可取的值为S 4，S 5，S 6，S 7，即220,300,390,490. 又P (X ＝220)＝2·(12)4＝18，P (X ＝300)＝C 14(12)4＝14， P (X ＝390)＝C 25(12)5＝516，P (X ＝490)＝C 36(12)6＝516. 所以，X 的分布列为所以X 的均值为E (X )＝220×18＋300×14＋390×516＋490×516＝377.5(万元)．DDDDAC 7．12 8．1132 9．25 10．1024311．解 (1)设取出的小球中有相同编号的事件为A ，编号相同可分成一个相同和两个相同．P (A )＝2(C 12C 13＋C 23)＋1C 47＝1935.(2)随机变量X 的可能取值为3,4,6.P (X ＝3)＝1C 47＝135，P (X ＝4)＝C 12C 34＋C 24C 47＝25，P (X ＝6)＝C 36C 47＝47. 所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望E (X )＝3×135＋4×25＋6×47＝17935.12．解 (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)，则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16.记B j 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为j 分”(j ＝0,1,3)，则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意得D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3，由事件的独立性和互斥性，得P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋16×15＝215，P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130，P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为所以所以数学期望E (ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.13．解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知，X ～B (6，23)P (X ＝k )＝C k 6·(23)k ·(13)6－k(k ＝0,1,2,3,4,5,6) X 的分布列为E (X )＝1729(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝2 916729＝4.或因为X ～B (6，23)，所以E (X )＝6×23＝4.即X 的数学期望为4.(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则 P (A )＝C 24·(13)2·(23)4＋C 14·13·(23)5＋(23)6＝3281. 答教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.。

2015年高考真题概率与统计(理科)

2015年高考真题解答题专项训练：概率与统计（理科）1．（2015•广东理）某工厂36名工人年龄数据如图：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？2．（2015•新课标二卷理）（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．3．（（2015•新课标一卷理）本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望 4．（2015•重庆理）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =，w =1881i i w =∑（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：5．（2015•天津理）（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.7．（2015•陕西理）本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．8．【2015高考山东，理19】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；分；若能被10整除，得1分.若能被5整除，但不能被10整除，得1（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.9．（2015•湖南理）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产,A B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．11．（2015•安徽理）（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．13．（2015•北京理）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅱ）如果25（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）2015年高考真题解答题专项训练：概率与统计（理科）参考答案1．（1）44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）平均值40；方差：（3）23人．63.89%．【解析】试题分析：（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论．解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%．点评：本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．2．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）0.48．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．（Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”； 2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”； 1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”； 2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C = ．1122()()B A B A P C P C C C C = 1122()()B A B A PC C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1620，420，1020，820．故1()A P C 16=20， 2()=A P C 420，1()=B PC 1020，2()B P C 8=20，故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．考点：1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件． 3．（1）14；（2）分布列见解析，期望为35．【解析】试题分析：（1）本题属于古典概型，从10个棕子中任取3个，基本事件的总数为310C ，其中事件“三种棕子各取1个”含基本事件的个数为111235C C C ，根据古典概型概率计算公式可计算得所求概率；（2）由于10个棕子中有2个豆沙棕，因此X 的可能值分别为0,1,2，同样根据古典概型概率公式可得相应的概率，从而列出其分布列，并根据期望公式求得期望为35．试题解析：（1）令A 表示事件“三个粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有1112353101(A)4C C C P C ==；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，且383107(X 0),15C P C ===12283107(X 1),15C C P C ===21283101(X 2),15C C P C ===故7713E(X)0121515155=???．考点：古典概型，随机变量的颁布列与数学期望．考查学生的数据处理能力与运算求解能力． 4．（Ⅰ）y c =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；（Ⅱ）100.6y =+46.24【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w 先求出建立y 关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用y 关于x的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用. 试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.（Ⅱ）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()()ii i ii w wy ydw w ==--=-∑∑=108.8=6816， ∴ cy dw =- =563-68×6.8=100.6. ∴y 关于w 的线性回归方程为 100.668y w =+， ∴y 关于x 的回归方程为100.6y =+（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值100.6y =+， 576.60.24966.32z=⨯-= . （ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值0.2(100.620.12zx x =+-=-+ ，13.6=6.82，即46.24x =时，z取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识5．（Ⅰ）635;()52E X =【解析】（Ⅰ）由已知，有22222333486()35C C C C P A C +== 所以事件A 发生的概率为635. （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4()45348(1,2,3,4)k k C C P X k k C -===所以随机变量X 的数学期望()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 考点：古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望. 6．（1）A 中学至少1名学生入选的概率为99100p =. （2）X 的分布列为：X 的期望为()2E X =.【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为333433661100C C C C =. 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=.（2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.1333461(1)5C C P X C ===，2233463(2)5C C P X C ===， 3133461(3)5C C P X C ===，所以X 的分布列为：因此，X 的期望为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=. 考点：本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力. 7．（Ⅰ）分布列见解析，32；（Ⅱ）0.91．【解析】试题分析：（Ⅰ）先算出T 的频率分布，进而可得T 的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望ET ；（Ⅱ）先设事件A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出A 的概率．从而 0.4400.132⨯+⨯=（分钟）（Ⅱ）设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”．解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=．解法二：121(A )P P T T T=+>=12P(40,40)T T +==0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P =-=．考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率． 8．（Ⅰ）有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）X 的分布列为21EX =【解析】试题分析：（Ⅰ）明确“三位递增数”的含义，写出所有的三位符合条件的“三位递增数”；（Ⅱ）试题解析：明确随机变量的所有可能取值及取每一个值的含义，结合组合的知识，利用古典概型求出X 的分布列和数学期望EX . 解：（Ⅰ）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增烽”的个数为3984C =随机变量X 的取值为：0，-1，1，因此()3839203C P X C === ()24391114C P X C =-== ,()12111114342P X ==--=,因此0(1)13144221EX =⨯+-⨯+⨯= 考点：1、新定义；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望；4、组合的应用.9．（1）107；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知1A与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5X B ，分别求得00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===，3303141(3)()()55125P X C ===，即可知X 的概率分布及其期望.试题解析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，∵142()105P A ==，251()102P A ==，∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=， 2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=，故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，∴1(3,)5X B ，于是00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===，3303141(3)()()P X C ===，故X 的分布列为X 的数学期望为 13()355E X =⨯=.考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望. 【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.10．（Ⅰ）Z 的分布列为：()9708E Z =；（Ⅱ）0．973．【解析】（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为第20题解答第20题解答第20题解答因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=考点：线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布． 11．（Ⅰ）310；（Ⅱ）350. 【解析】试题分析：（Ⅰ）依据题目所给的条件可以先设“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .得出1123253()10A A P A A ==.（Ⅱ）X 的可能取值为200,300,400.依此求出各自的概率136,,101010，列出分布列，求出期望136200300400350101010EX =⨯+⨯+⨯=.试题解析：（Ⅰ）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .1123253()10A A P A A ==.（Ⅱ）X 的可能取值为200,300,400.22251(200)10A P X A ===.31123232353(300)10A C C A P X A +===. 136(400)1(200)(300)1101010P X P X P X ==-=-==--=.136200300400350101010EX =⨯+⨯+⨯=. 考点：1.概率；2.随机变量的分布列与期望.12．（Ⅰ）12；（Ⅱ）分布列见解析，期望为52．【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则5431(A)=6542P =创（Ⅱ）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3 又1511542(X=1),(X=2),(X=3)1=.6656653P P P ==?=创所以X 的分布列为所以1125E(X)1236632=???．考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望． 13．（Ⅰ）37，（Ⅱ）1049，（Ⅲ）11a =或18 【解析】试题分析：针对甲有7种情况，康复时间不少于14天有3种情况，概率为37；如果25a =，甲、乙随机各取一人有49种情况，用列举法列出甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有10种，概率为1049，由于A 组数据为10，11，12，13，14，15，16；B 组数据调整为a ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a ，由于A ，B 两组病人康复时间的方差相等，即波动相同，所以11a =或18.试题解析：(Ⅰ)甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率37P =； (Ⅱ) 如果25a =，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙共有49种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），(15,14),（16，12）（16，13）,（16，15）,(16,14)有10种取法，所以概率1049P =. (Ⅲ)把B 组数据调整为a ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a ，可见当11a =或18a =时，与A 组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)考点：1、古典概型；2、样本的方差。

【志鸿优化设计】2015高考数学+二轮总复习【专项能力训练课件】专题19+概率与统计

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=
10 �� +10a
= �� +a=1+a.
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A
解析
答案
第七部分
能力目标解读热点考题诠释
专题19
概率与统计 -61 2 3 4
4.(2014 天津高考,理 9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取名学生. 命题定位:本题考查分层抽样的定义及其应用,分层抽样题目中最核心的是把握好层数和抽样比.
�� =1
^^
��2 ,
�� =1
∑ xiyi 等,可直接代入��和�� 的求解公式.
��
^ ^
(2)有时充分利用回归直线过样本中心点(��, ��)便可快速求出��或�� 的值.
^ ^
第七部分
16 8
A2
(方法二)周六没有同学参加公益活动即 4 位同学均在周日参加公益活动,此时只有一种情况;同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况,所以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有 16-2=14(种).故所求概率为 D 16 = 8.故选 D.
解析
14 7
关闭
答案
第七部分
能力目标解读热点考题诠释
频率组距
=频率;
(2)各小长方形的面积之和等于 1; (3)小长方形的高=
频率组距
,所有小长方形的高的和为

2015年高考-概率与统计试题(有详细答案)详解

2015年高考-概率与统计试题1.（15北京理科）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果25a=，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【答案】（1）37，（2）1049，（3）11a=或182.（15北京文科）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A．90 B．100 C．180 D．300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300【答案】C【解析】试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x=，解得180x=.考点：分层抽样.3.（15北京文科）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升 B．8升 C．10升D．12升【答案】B【解析】试题分析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V=升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S=-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B.考点：平均耗油量.4.（15北京文科）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．【答案】乙、数学【解析】试题分析：①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学. 考点：散点图.5.（15北京文科）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200√ √ √ × 300√ × √ × 85√ × × × 98×√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同时购买丙的可能性最大.商品顾客人数【解析】试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200，计算出概率；第二问，先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的人数100+200，再计算概率；第三问，由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为200，顾客同时购买甲和丙的人数为100+200+300，顾客同时购买甲和丁的人数为100，分别计算出概率，再通过比较大小得出结论.试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=. （Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点：统计表、概率.6.（15年广东理科）已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．【答案】13．【解析】依题可得()30E X np ==且()()120D X np p =-=，解得13p =，故应填入13．【考点定位】本题考查二项分布的性质，属于容易题． 7.（15年广东理科）某工厂36名工人的年龄数据如下表。

2015届高考数学二轮复习专题检测：计数原理与概率概率(含解析)

2015届高考数学二轮复习专题检测：计数原理与概率概率本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③ [答案] C[解析] 从 1,2，…，9中任取2个数字包括一奇一偶、二奇、二偶共有三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立的． 2．一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板上的概率是( ) A ．13 B ．23 C ．14D ．18[答案] A[解析] 由几何概型的概率公式可得，P ＝412＝13.3．(文)一副扑克牌除去大、小王两张扑克后还剩52张，从中任意摸一张，摸到红心的概率为( ) A ．12 B ．14 C ．112D ．152[答案] B[解析] 所有基本事件总数为52，事件“摸到一张红心”包含的基本事件数为13，则摸到红心的概率为1352＝14.(理)将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有( ) A ．18种 B ．36种 C ．48种 D ．60种 [答案] D[解析] 当甲一人住一个寝室时有：C12×C24＝12种，当甲和另一人住一起时有：C12×C14×C23×A22＝48. 所以有12＋48＝60种．4．(文)现釆用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出 0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ． 0.852 B ． 0.8192 C ．0.8 D ． 0.75 [答案] D[解析] 随机模拟产生的20组随机数，表示至少击中3次的组数为15，所以概率为P ＝1520＝0.75.(理)已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，若P(ξ>8)＝0.4，则P(ξ<0)＝( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 [答案] B[解析] ∵随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，μ＝4，P(ξ>8)＝0.4， ∴P(ξ<0)＝P(ξ>8)＝0.4，故选B ．5．(文)某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第1声时被接的概率是110，响第2声时被接的概率是310，响第3声时被接的概率是25，响第4声时被接的概率是110，那么电话在响前4声内被接的概率为( ) A ．12 B ．910 C ．310D ．45[答案] B[解析] P ＝110＋310＋25＋110＝910.(理)(2014·四川高考)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 [答案] C[解析] 本题考查了二项式定理和二项展开式的系数，x3的系数就是(1＋x)6中的第三项即为C26＝15.6．(文)设函数f(x)＝x2－x ＋2，x ∈[－5,5]．若从区间[－5,5]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f(x0)≤0的概率为( ) A ．0.5 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 [答案] C[解析] 由f(x)＝x2－x －2≤0得：－1≤x≤2，所以从区间[－5,5]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f(x0)≤0的概率为310＝0.3.(理)某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么这位教师一天的课的所有排法有( )A ．474种B ．77种C ．464种D ．79种 [答案] A[解析] 首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A39＝504种排法，其中上午连排3节的有3A33＝18种，下午连排3节的有2A33＝12种，则这位教师一天的课的所有排法有504－18－12＝474种，故选A ．7．(文)先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为m ，n ，则mn 是奇数的概率是( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．16[答案] C[解析] 先后掷两次正方体骰子总共有36种可能，要使mn 是奇数，则m ，n 都是奇数，因此有以下几种可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种可能．因此P ＝936＝14.(理)(2015·武汉期末)若随机变量η的分布列为η －2 －10 1 2 3 P0.10.20.20.30.10.1则当P(η<x)＝0.8时，实数x 的取值范围是( )A ．x≤2B ．1≤x≤2C ．1<x≤2D ．1<x<2 [答案] C[解析] 由随机变量η的分布列知：P(η<－1)＝0.1，P(η<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，则当P(η<x)＝0.8时，实数x 的取值范围是1<x≤2.8．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注的数字外其他特征完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是( ) A ．110 B ．310 C ．25D ．14[答案] C[解析] 取2个小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共十种，其中标注的数字之差的绝对值为2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共四种，故所求的概率为410＝25.9．(2015·广东七校联考)如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A 、B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为( ) A ．3＋316π B ．3＋34π C ．4π3＋3D ．16π3＋3[答案] B[解析] 由正弦定理BC sinA ＝ACsinB ＝2R(R 为圆的半径)⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝20sin60°AC ＝20sin45°⇒⎩⎨⎧BC ＝103AC ＝102. 那么S △ABC ＝12×103×102sin75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)．于是，豆子落在三角形ABC 内的概率为S △ABC 圆的面积＝253＋3102π＝3＋34π.10．(文)连掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，记向量a ＝(m ，n)与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈(0，π2]的概率是( ) A ．512 B ．12 C ．712D ．56[答案] C[解析] 基本事件总数为36，由cosθ＝a·b|a||b|≥0得a·b≥0，即m －n≥0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共21个，故所求概率为P ＝2136＝712.(理)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是( )①P(B)＝25；②P(B|A1)＝511；③事件B 与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件． A ．②④ B ．①③ C ．②③ D ．①④ [答案] A[解析] 由题意知P(B)的值是由A 1，A2，A3中某一个事件发生所决定的，故①③错误； ∵P(B|A1)＝PB ∩A1PA1＝12×51112＝511，故②正确；由互斥事件的定义知④正确，故正确的结论的编号是②④.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P(A)＝12，P(B)＝16，则出现奇数点或2点的概率为________． [答案] 23[解析] P ＝12＋16＝23.12．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6，现在向该正方形区域内随机的投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是________． [答案] 1－32[解析] 斜边为2，且较小的锐角θ＝π6的直角三角形的面积 S ＝12×2×2×cos π6×sin π6＝32，记飞镖落在小正方形内为事件A ，则P(A)＝4－4S 4＝1－32.13．(文)假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为________． [答案] 16[解析] 将3人排序共包含6个基本事件，由古典概型得P ＝16.(理)(2015·湖南师大附中月考)将6位志愿者分成4组，其中两组各2人，另两组各1人，分赴4个不同的学校支教，则不同的分配方案共有________种(用数字作答)． [答案] 1080[解析] 12C26C24A44＝1080.14．(文)集合A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,3,5,7,9}，在A 中任取一元素m 和在B 中任取一元素n ，则所取两数m>n 的概率是________． [答案] 35[解析] 基本事件总数为5×5＝25个．m ＝2时，n ＝1；m ＝4时，n ＝1,3；m ＝6时，n ＝1,3,5；m ＝8时，n ＝1,3,5,7；m ＝10时，n ＝1,3,5,7,9，共15个．故P ＝1525＝35.(理)(2014·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)． [答案] 60[解析] 本题考查排列组合问题．不同的获奖分两种：一是有一人获两张，一人获一张，共C23A24＝36，二是三人各获一张，共有A34＝24，故共有60种．15．(文)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，则直线y ＝k(x ＋2)与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为________． [答案] 33[解析] ∵直线与圆有公共点，∴|2k|k2＋1≤1，∴－33≤k≤33.故所求概率为P ＝33－－331－－1＝33.(理)(2015·浙江名校联考)甲、乙等5名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变量ξ为这5名志愿者中参加A 岗位服务的人数，则ξ的数学期望为________． [答案] 54[解析] 根据题意，5名志愿者被随机分配到A 、B 、C 、D 四个不同岗位，每个岗位至少一人，共有C25A44＝240种，而ξ＝1,2，则P(ξ＝1)＝C15C24A33240＝180240＝34，P(ξ＝2)＝C25A33240＝60240＝14，故E(ξ)＝1×34＋2×14＝54.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(文)公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其判断标准是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X 毫克，当20≤X<80时，认定为酒后驾车；当X≥80时，认定为醉酒驾车，张掖市公安局交通管理部门在对我市路段的一次随机拦查行动中，依法检测了200辆机动车驾驶员的每100毫升血液中的酒精含量，酒精含量X(单位：毫克)的统计结果如下表： X [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) [100，＋∞) 人数t12111依据上述材料回答下列问题： (1)求t 的值：(2)从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人中含有醉酒驾车司机的概率． [解析] (1)200－6＝194(2)令酒后驾车的司机分别为A 、B 、C 、D ，醉酒驾车的司机分别为a ，b ，则所有抽取的可能(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，a)，(A ，b)，(B ，D)，(B ，C)，(B ，a)，(B ，b)，(C ，a)，C(C ，b)，(a ，b)(C ，D)，(D ，a)，(D ，b) 则含有醉酒驾车司机概率为915＝35.(理)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所科研单位A 、B 、C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)科研单位相关人数抽取人数 A 16 x B 12 3 C8y(1)确定x 与y 的值；(2)若从科研单位A 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自科研单位A 的概率． [解析] (1)依题意得，x 16＝312＝y8，解得x ＝4，y ＝2.(2)由(1)知从科研单位A 抽取了4人，从科研单位C 抽取了2人，从中选取2人作专题发言．记“选中的2人都来自科研单位A”为事件M ，则P(M)＝C24C26＝615＝25，所以选中的2人都来自科研单位A 的概率为25.17．(本小题满分12分)(文)盒子内装有10张卡片，分别写有1～10的10个整数，从盒子中任取1张卡片，记下它的读数x ，然后放回盒子内，第二次再从盒子中任取1张卡片，记下它的读数y.试求：(1)x ＋y 是10的倍数的概率； (2)xy 是3的倍数的概率．[解析] 先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，故形成的数对(x ，y)共有100个． (1)x ＋y 是10的倍数的数对包括以下10个：(1,9)，(9,1)，(2,8)，(8,2)，(3,7)，(7,3)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，(10,10)．故“x ＋y 是10的倍数”的概率为P1＝10100＝0.1.(2)xy 是3的倍数，只要x 是3的倍数，或y 是3的倍数，由于x 是3的倍数且y 不是3的倍数的数对的个数为21个，而x 不是3的倍数且y 是3的倍数的数对的个数也为21个，x 是3的倍数且y 也是3的倍数的数对的个数为9个．故xy 是3的倍数的数对的个数为21＋21＋9＝51(个)．故xy 是3的倍数的概率为P2＝51100＝0.51.(理)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料． (1)求三位同学都没有中奖的概率；(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．[解析] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝16. P(A －B －C －)＝P(A －)P(B －)P(C －)＝(56)3＝125216. 故三位同学都没有中奖的概率是125216. (2)1－P(A －BC ＋A B －C ＋AB C －＋ABC) ＝1－3×(16)2×56－(16)3＝2527.或P(A －B －C －＋A B －C －＋A －B C －＋A －B －C)＝2527. 故三位同学中至少有两位没有中奖的概率为2527.18．(本小题满分12分)一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片．(1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；(2)若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率． [解析] (1)设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，所以P(A)＝12.(2)设B 表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求事件的概率为P(B)＝716.19．(本小题满分12分)(文)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A 表示和为6的事件，求P(A)．(2)现连玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？说明理由．[解析] (1)甲、乙各出1到5根手指头，共有5×5＝25种可能结果，和为6有5种可能结果． ∴P(A)＝525＝15.(2)B 与C 不是互斥事件，理由如下：B 与C 都包含“甲赢一次，乙赢二次”，事件B 与事件C 可能同时发生，故不是互斥事件． (3)和为偶数有13种可能结果，其概率为P ＝1325>12，故这种游戏规则不公平．(理)甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试．在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩(单位：分)如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲 58 55 76 92 88 乙6582878595(1)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由(不用计算)；(2)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望EX.[解析] (1)茎叶图如下图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此选派乙参赛更好.甲乙 5 856 5 6 78 8 2 7 5 295(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. P(X ＝0)＝C14C14C15C15＝1625， P(X ＝1)＝2C14C15C15＝825， P(X ＝2)＝1C15C15＝125. 随机变量X 的分布列是：X12P1625 825 125EX ＝0×1625＋1×825＋2×125＝25.20．(本小题满分13分)一中食堂有一个面食窗口，假设学生买饭所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往学生买饭所需的时间统计结果如下：买饭时间(分) 1 2 3 4 5 频率0.10.40.30.10.1从第一个学生开始买饭时计时．(理)(1)估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率；(2)X 表示至第2分钟末已买完饭的人数，求X 的分布列及数学期望． (文)(1)求第2分钟末没有人买到晚饭的概率；(2)估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率．[解析] (理)设Y 表示学生买饭所需的时间，用频率估计概率，得y 的分布列如下：Y 1 2 3 4 5P0.10.40.30.10.1(1)A 表示事件“第三个学生恰好等待4分钟开始买饭”，则事件A 对应三种情形：①第一个学生买饭所需的时间为1分钟，且第二个学生买饭所需的时间为3分钟；②第一个学生买饭所需的时间为3分钟，且第二个学生买饭所需的时间为1分钟；③第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟.所以P(A)＝P(Y ＝1)P(Y ＝3)＋P(Y ＝3)P(Y ＝1)＋P(Y ＝2)P(Y ＝2) ＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22. (2)X 所有可能的取值为0,1,2，X ＝0对应第一个学生买饭所需的时间超过2分钟，所以P(X ＝0)＝P(Y>2)＝0.5X ＝1对应第一个学生买饭所需的时间为1分钟且第二个学生买饭所需的时间超过1分钟或第一个学生买饭所需的时间为2分钟．所以P(X ＝1)＝P(Y ＝1)P(Y>1) ＋P(Y ＝2) ＝0.1×0.9＋0.4＝0.49，X ＝2对应两个学生买饭所需时间均为1分钟．所以P(X ＝2)＝P(Y ＝1)P(Y ＝1)＝0.1×0.1＝0.01 所以X 的分布列为X 0 1 2P0.50.490.01EX ＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.(文)(1)记“第2分钟末没有人买到晚饭”为A 事件，即是第一个学生买饭所需的时间超过2分钟，所以P(A)＝P(Y>2)＝0.5.(2)A 表示事件“第三个学生恰好等待4分钟开始买饭”则事件A 对应三种情形：①第一个学生买饭所需的时间为1分钟，且第二个学生买饭所需的时间为3分钟；②第一个学生买饭所需的时间为3分钟，且第二个学生买饭所需的时间为1分钟；③第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y ＝1)P(Y ＝3)＋P(Y ＝3)P(Y ＝1)＋P(Y ＝2)P(Y ＝2) ＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22. 21．(本小题满分14分)(文)(2014·四川高考)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，C ．(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．[解析] 思路分析：(1)先列出所有的抽取情况，共3×3×3＝27种，只有1＋1＝2,1＋2＝3,2＋1＝3共3种，求得概率． (2)利用对立事件求解．解：(1)由题意，(a ，b ，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)， (2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P(A)＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P(B)＝1－P(B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.(理)(2014·湖北高考)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：年入流量X40<X<80 80≤X≤120 X>120 发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ [解析] (1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝1050＝0.2， p2＝P(80≤X≤120)＝3550＝0.7， p3＝P(X>120)＝550＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C04(1－p3)4＋C34(1－p3)3p3＝(910)4＋4×(910)3×(110)＝0.9477.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．①安装1台发电机的情形，由于水库年入值量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形，依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(Y≥80)＝p2＋p3＝0.8，因此得Y的分布列如下Y 4200 10000P 0.2 0.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安装3台发电机的情形，依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当x>120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X>120)＝p1＝0.1，由此得Y的分布列如下Y 3400 9200 15000P 0.2 0.7 0.1所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.综上，欲使水电年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．- 11 -。

高考数学二轮复习概率与统计综合题2 理

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习概率与统计综合题2 理(理)二、概率与统计综合题《考试大纲》特别要求：理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念；理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用；理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．概率与统计解答题主要考查形式；(1)求等可能事件、相互独立事件以及一些由简单事件构成的复杂事件的概率；(2)求离散型随机变量的分布列、期望与方差；(3)求特殊分布的分布列、期望与方差；(4)求统计与概率的综合问题．阅读案例2 (2014·四川高考)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立． (Ⅰ)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；(Ⅱ)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(Ⅲ)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．审题(1)切入点：由已知求出随机变量，即每盘游戏获得的分数，关注点：概率和是否等于1.(2)切入点：“至少”问题联想对立事件，关注点：正确运用独立重要试验公式．(3)切入点：实际问题联想到数学问题中的期望，关注点：计算出的结果与已知比较，再下结论．【解】 (Ⅰ)X 可能的取值为：10,20,100，－200.(1分)根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×(12)1×(1－12)2＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18.(4分) 所以X 的分布列为(6分)(Ⅱ)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.(7分) 所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(9分) (Ⅲ)X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.(11分) 这表明，获得分数X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．(12分)阅读现场评分细则第(1)问得分点及说明得分点：①给出X ＝10,20,100，－200，得1分；②四个概率每对一个得1分；③列出表格，得1分．说明：①有X ＝10,20,100，－200得1分，若没有而下面的概率分布列正确，得满分； ②若只有分布列的表格，而没有分布列的四个概率，只得3分；③在求每个概率时，没有中间的过程，只给结果得3分．第(2)问得分点及说明得分点：①给出P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18得1分； ②运用对立事件的概率公式求得1－P (A 1A 2A 3)＝511512，并总结得2分．说明：①没有写出P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)直接求出结果本问只得2分；②若用直接法解答并结果正确得3分．第(3)问得分点及说明得分点：转化为数学期望，结果并正确得3分．说明：实际问题转化为数学问题，若只用文字语言说明且合理可得2分，否则本问不得分．满分规则规则1得步骤分：是得分点的步骤，有则给分，无则没分如第(1)问，每个概率计算正确，分别得1分，但是，没有计算的过程，就不得分．写分布列得(1)分，第(2)问中先求 P (A 1)＝P (A 2)＝P (B 3)，再运用对立事件的概率公式；第(3)问中转化为求数学期望．规则2得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分如第(1)问中，求出X ＝10,20,100，－200；第(2)问中，判断该事件是独立重复试验等．规则3通性通法得分：评分细则针对最基本的方法给分如第(1)问中，先列出X ＝10,20,100，－200，再分别求各个概率，最后列出分布列．正是基于此，才有第(2)问中，P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝18和第(3)问中，根据分布列求出数学期望．阅卷心得通过高考阅卷，可以看出学生基础知识的掌握和计算能力非常薄弱．例如，数学概念不清楚，不能准确地理解数学语言．证明推理能力弱，缺乏思维的严谨性，运算能力差，数学过程的表述过于简单．这就告诉我们，在考前的关键阶段，要把常用的基础知识把握准，题目再难．每个题目中的条件总是可以推导出结论的，哪怕只推导出一个结论，也可能是得分点．如根据法则和公式进行正确运算、变形等．总之，考场答题重点要突出，过程以踩点、清晰、完整、工整、简洁为佳．变题2．(2014·山东济南一模)一个袋中装有形状、大小完全相同的9个球，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止．(1)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P 1；(2)从袋中有放回地取球．①求恰好取5次停止的概率P 2；②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【解】 (1)P 1＝C 13C 16A 33A 49＝128.(2)①P 2＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝881.②随机变量ξ的取值为0,1,2,3.由n 次独立重复试验的概率计算公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k，得P (ξ＝0)＝C 05×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－135＝32243；P (ξ＝1)＝C 15×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243；P (ξ＝2)＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝80243；P (ξ＝3)＝1－32＋80×2243＝1781.随机变量ξξ的数学期望是E (ξ)＝243×0＋243×1＋243×2＋81×3＝81.。

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题7_第3讲_统计与统计案例(含答案)

第3讲统计与统计案例考情解读 1．该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2．从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题．1．随机抽样（1）简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．（2）系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．（3）分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2．常用的统计图表（1）频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1组距.（2）茎叶图在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3．用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）众数、中位数、平均数（2）方差：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差：s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. 4．变量的相关性与最小二乘法（1）相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数．（2）最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，通过求Q ＝∑i ＝1n(y i －a －bx i )2最小时，得到线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的方法叫做最小二乘法． 5．独立性检验对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是则K 2(χ2)＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d)(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．热点一抽样方法例1 （1）(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14（2）(2014·石家庄高三调研)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．思维启迪 (1)系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽取号码的间隔相同；(2)分层抽样最重要的是各层的比例．思维升华 (1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．（1）某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3，…，1 470编号，若第1组有简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18（2）(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．200,20B ．100,20C ．200,10D ．100,10 热点二用样本估计总体例2 （1）(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A ．6B ．8C ．12D ．18（2）PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM 2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )A ．甲B ．乙C ．甲乙相等D ．无法确定甲乙 2 0.04 1 2 3 6 9 3 0.05 9 6 2 1 0.06 2 9 3 3 1 0.07 9 6 4 0.08 770.0924 6思维启迪 (1)根据第一组与第二组的人数和对应频率估计样本总数，然后利用第三组的频率和无疗效人数计算；(2)直接根据公式计算方差．思维升华 (1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等．(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．（1）某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．（2）(2014·陕西)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4 D ．1,4＋a 热点三统计案例例3 （1）以下是某年2月某地区搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据.根据上表可得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝0.196 2，则面积为150 m 2的房屋的销售价格约为________万元．（2）(2014·江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1表4A ．成绩B ．视力C ．智商思维启迪 (1)回归直线过样本点中心(x ，y )； (2)根据列联表，计算K 2的值思维升华 (1)线性回归方程求解的关键在于准确求出样本点中心．回归系数的求解可直接把相应数据代入公式中求解，回归常数的确定则需要利用中心点在回归直线上建立方程求解；(2)独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入K 2(χ2)计算公式求其值，根据K2(χ2)取值范围求解即可．（1）已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a 等于( ) A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65 D ．1.80（2）某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了20人，若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”，“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”．得以下2×2列联表：则在犯错误的概率不超过 (附：P (K 2>k ) 0.05 0.01 0.001 k3.8416.63510.828)1．随机抽样的方法有三种，其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况，当总体中的个体数量明显较多时要使用系统抽样，当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样．系统抽样最重要的特征是“等距”，分层抽样，最重要的是各层的“比例”．2．用样本估计总体(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.(2)众数、中位数及平均数的异同：众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(3)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布．①总体期望的估计，计算样本平均值x ＝1n ∑n i ＝1x i .②总体方差(标准差)的估计：方差＝1n ∑n i ＝1 (x i－x )2，标准差＝方差，方差(标准差)较小者较稳定．3．线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^过样本点中心(x ，y )，这为求线性回归方程带来很多方便． 4．独立性检验(1)作出2×2列联表．(2)计算随机变量K 2(χ2)的值．(3)查临界值，检验作答．真题感悟1．(2014·江苏)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.2．(2014·重庆)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A ．y ^＝0.4x ＋2.3 B ．y ^＝2x －2.4 C ．y ^＝－2x ＋9.5 D ．y ^＝－0.3x ＋4.4 1．24 2．A 1．20 2．24 3．3 4．C 押题精练1．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h 以下的汽车有________辆．2．某教育出版社在高三期末考试结束后，从某市参与考试的考生中选取600名学生对在此期间购买教辅资料的情况进行调研，得到如下数据：人数为________．3．下表提供了某厂节能减排技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________． 4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”(推荐时间：40分钟)一、选择题1．(2014·湖南)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A ．p 1＝p 2<p 3 B ．p 2＝p 3<p 1 C ．p 1＝p 3<p 2 D ．p 1＝p 2＝p 32．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为( ) A ．28 B ．32 C ．40 D ．643．(2013·江西)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A.08 B ．07 C 4．为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为120，则抽取的学生人数是( )A ．240B ．280C ．320D ．4805．某产品在某零售摊位上的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如下表所示：由上表可得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ＝－4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为( ) A ．48个 B ．49个 C ．50个 D ．51个6．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持的两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系．”( ) 附：A.0.1% B ．1% C 7．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x 甲，x 乙和中位数y 甲，y 乙进行比较，下面结论正确的是( )A ．x 甲>x 乙，y 甲>y 乙B ．x 甲<x 乙，y 甲<y 乙C ．x 甲<x 乙，y 甲>y 乙D ．x 甲>x 乙，y 甲<y 乙二、填空题8．从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图)．则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为________．9．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是__________．10．(2013·辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．三、解答题11．(2014·课标全国Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：（1）求y （2）利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t .12．某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：（1S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0≤w ≤1004w －400，100<w ≤3002 000， w >300，试估计在本年度内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染．完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).例1 (1)B (2)200 变式训练1 (1)C (2)A例2 (1)C (2)A 变式训练2 (1)10 (2)A 例3 (1)31.244 2 (2)D解析 (1)由表格可知x ＝15(115＋110＋80＋135＋105)＝109，y ＝15(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2.所以a ^＝y －b ^x ＝23.2－0.196 2×109＝1.814 2.所以所求线性回归方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2.故当x ＝150时，销售价格的估计值为y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．(2)A 中，a ＝6，b ＝14，c ＝10，d ＝22，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(6×22－14×10)220×32×16×36＝131 440.B 中，a ＝4，b ＝16，c ＝12，d ＝20，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(4×20－16×12)220×32×16×36＝637360.C 中，a ＝8，b ＝12，c ＝8，d ＝24，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(8×24－12×8)220×32×16×36＝1310.D 中，a ＝14，b ＝6，c ＝2，d ＝30，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，K 2＝52×(14×30－6×2)220×32×16×36＝3 757160. ∵131 440<1310<637360<3 757160， ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．变式训练3 (1)B (2)0.01解析 (1)依题意得，x ＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y ＝16(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25；又直线y ^＝0.95x ＋a ^必过样本点中心(x ，y )，即点(4，5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ^，由此解得a ^＝1.45. (2)由题意得K 2＝20×(5×12－1×2)26×14×7×13≈8.802>6.635.而K 2>6.635的概率约为0.01，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系．DDDDBCB 8．125,124 9．1 10．1011．解 (1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑i ＝17＝(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝1428＝0.5， a ^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3，所求线性回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的线性回归方程，得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．12．解 (1)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A ，由200<S ≤600，得150<w ≤250，频数为39，所以P (A )＝39100.(2)根据以上数据得到如下列联表：K 2的观测值k ＝100×(63×8－22×7)85×15×30×70≈4.575>3.841.所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．。

2015高考数学(理)(江西)二轮专题补偿练：概率与统计

补偿练10 概率与统计(建议用时：40分钟)一、选择题1．将参加夏令营的编号为1,2,3，…，52的52名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号为 ( )．A ．3B ．12C ．16D ．19解析把52人分成4组，每组13人，第一组抽6号，则第二组抽19号，故未知的学生编号是19. 答案 D2．如图是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )．A ．85,84B ．84,85C ．86,84D ．84,86解析由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87.∴平均数为84＋84＋84＋86＋875＝85，众数为84.答案 A3．某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是( )．A ．300B ．400C ．500D ．600解析依题意得，题中的1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是1 000×(0.035＋0.015＋0.010)×10＝600. 答案 D4，PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是 ( )．A ．甲B ．乙C ．甲、乙相等D ．无法确定解析从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小．答案 A5．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a^的值是( )．A. B ．18 C.14 D ．12解析由题意知x ＝34，y ＝38，故样本中心为(34，38)，代入回归直线方程y ^＝13x ＋a^，得a ^＝18. 答案 B6．在(x 2－1x )5的二项展开式中，第二项的系数为 ( )．A ．10B ．－10C ．5D ．－5解析 (x 2－1x )5的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 5(－1)r x 10－3r .令r ＝1，则第二项的系数是C 15(－1)1＝－5.答案 D7．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是 ( )．A.13 B ．512 C.12D ．712解析从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数a ，b 的基本事件有： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)(4,3)，共12个，其中符合a 2≥4b 的事件有6个，故所求概率为P ＝612＝12. 答案 C8．已知变量x 服从正态分布N (4，σ2)，且P (x ≥2)＝0.6，则P (x ＞6)＝ ( )． A ．0.4 B ．0.3 C ．0.2D ．0.1解析依题意得，P (x ＞6)＝P (x ＜2)＝1－P (x ≥2) ＝1－0.6＝0.4. 答案 A9．航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )．A ．12种B ．16种C ．24种D ．36种解析当甲排在边上时，有2A 33＝12种方法；当甲不排在边上时，有12A 22＝24种方法，这样一共有12＋24＝36种不同的着舰方法．答案 D10．向边长分别为5,6，13的三角形区域内随机投一点M ，则该点M 与三角形三个顶点距离都大于1的概率为( )．A ．1－π18B ．1－π12 C ．1－π9D ．1－π4解析在△ABC 中，设AB ＝5，BC ＝6，AC ＝13，则cos B ＝52＋62－(13)22×5×6＝45，则sin B ＝35，S △ABC ＝12×5×6×35＝9，分别以A ，B ，C 为圆心，以1为半径作圆，则三个扇形面积之和为以1为半径的半圆，故所求概率为S △ABC －12×π×12S △ABC＝1－π18.答案 A11．在一次学习方法成果交流会上，需要交流示范学校的5篇论文和非示范学校的3篇论文，交流顺序可以是任意的，则最先和最后交流的论文不能来自同类学校的概率是 ( )．A.1528 B ．1328 C.1556D ．1356解析最先和最后交流为示范学校论文的情况有A 25A 66种，最先和最后交流为非示范学校论文的情况有A 23A 66种，故所求概率P ＝1－A 25A 66＋A 23A 66A 88＝1528.答案 A12．一个五位自然数a1a2a3a4a5，a i∈{0,1,2,3,4,5}，i＝1,2,3,4,5，当且仅当a1＞a2＞a3，a3＜a4＜a5时称为“凹数”(如32 014,53 134等)，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为()．A．110 B．137C．145 D．146解析分四种情况进行讨论：(1)a3是0，a1和a2有C25种排法，a4和a5有C25种排法，则五位自然数中“凹数”有C25C25＝100个；(2)a3是1，有C24C24＝36个；(3)a3是2，有C23C23＝9个；(4)a3是3，有C22C22＝1个，由分类加法计数原理知五位自然数中“凹数”共有100＋36＋9＋1＝146个．答案 D二、填空题13．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.答案50,101514．投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．解析抛掷两颗相同的正方体骰子共有6×6＝36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求事件的概率为436＝19.答案1 915．若(2x＋ax)4(a＞0)的展开式中常数项为96，则实数a等于______．解析(2x＋ax)4的展开式通项为C r4(2x)4－r(ax)r＝24－r a r C r4x4－2r，令4－2r＝0，得r＝2，∴22a2C24＝96，∴a2＝4，∴a＝2.答案 216．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有________种．解析若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级，有C13C12C12＝12(种)；若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则2名同学来自一个年级，另外2名分别来自两个年级，有C13C12C12＝12(种)，共有24种．答案24。

2015高考数学(理)(江西)二轮专题规范练3 概率与统计

规范练(三)概率与统计1．甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2014年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75.(1)求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；(2)求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．解(1)分别记甲，乙，丙通过审核材料为事件A1，A2，A3，记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料为事件B，则P(B)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.(2)分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件C，D，E，记甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格为事件F.则P(C)＝P(D)＝P(E)＝0.3，∴P(F)＝C23×0.32×0.7＋C33×0.33＝0.189＋0.027＝0.216.2．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据)．(1)求样本容量n 和频率分布直方图中x ，y 的值；(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．解 (1)由题意可知，样本容量n ＝80.016×10＝50，y ＝250×10＝0.004， x ＝0.1－0.004－0.010－0.016－0.04＝0.030.(2)由题意可知，分数在[80,90)有5人，分数在[90,100)有2人，共7人，抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数ξ的可能取值为1,2,3，则P (ξ＝1)＝C 15C 22C 37＝535＝17， P (ξ＝2)＝C 25C 12C 37＝2035＝47，P (ξ＝3)＝C 35C 37＝1035＝27. 所以，ξ的分布列为所以，E (ξ)＝1×17＋2×47＋3×27＝157.3.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第一名至第五名的名次，比赛之后甲、乙两位参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”．(1)从上述回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同的情况；(2)比赛组委会规定，第一名获奖金1 000元，第二名获奖金800元，第三名获奖金600元，第四及第五名没有奖金．求丙获奖金数的期望．解(1)由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其余3人中的一个，有A13种可能；乙不是第五名，可见乙是第二、第三或第四名中的一种，有A13种可能；上述位置确定后，甲连同其余2人可任意排列，有A33种可能，故名次排列的可能情况的种数是A13×A13×A33＝54.(2)丙可能获第一名、第二名、第三名、第四名也可能获第五名．P(丙获第一名)＝13；P(丙获第二名)＝C12C12C12C13C13A33＝854＝427；P(丙获第三名)＝427；P(丙获第四名)＝427；P(丙获第五名)＝C12C13C12C13C13A33＝29.故随机变量丙获奖金数X的可能取值为1 000、800、600、0，且P(X＝1 000)＝13，P(X＝800)＝427，P(X＝600)＝427，P(X＝0)＝427＋29＝1027.E(X)＝1 000×P(X＝1 000)＋800×P(X＝800)＋600×P(X＝600)＋0×P(X＝0)＝1 000×13＋800×427＋600×427＝14 60027(元)．4．学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为23，且每题正确完成与否互不影响．(1)求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；(2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？解(1)设考生甲正确完成实验操作的题目个数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15，P(ξ＝2)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝3)＝C34C02C36＝15，所以，考生甲正确完成题目的分布列为所以E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.(2)设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η，因为η～B(3，23)，其分布列为：P(η＝k)＝Ck3(23)k·(13)3－k，k＝0,1,2,3，所以E(η)＝3×23＝2.又因为D(ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25，D(η)＝3×23×13＝23，所以D(ξ)＜D(η)．又因为P(ξ≥2)＝35＋15＝0.8，P(η≥2)＝1227＋827≈0.74，所以P(ξ≥2)＞P(η≥2)．①从做对题数的数学期望来看，两人水平相当；从做对题数的方差来看，甲较稳定；②从至少完成2题的概率来看，甲获得通过的可能性较大．因此，可以判断甲的实验操作能力强．。

2015年高考数学真题分类汇编：专题(12)概率和统计(理科)及答案

专题十二概率和统计1.【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温【o C 】数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是【】A 、19B 、20C 、21.5D 、23 【答案】B .【解析】从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B ..【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.【名师点晴】本题通过考查茎叶图的知识，考查样本数据的数字特征，考查学生的数据处理能力.2.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为【】 A 、1 B. 2111 C. 2110 D. 215【答案】B 、【解析】从袋中任取2个球共有215105C =种，其中恰好1个白球1个红球共有1110550C C =种，所以从袋中任取的2个球恰好1个白球1个红球的概率为5010=10521，故选B 、【考点定位】排列组合，古典概率、【名师点睛】本题主要考查排列组合，古典概率的计算和转化与化归思想应用、运算求解能力，解答此题关键在于理解所取2球恰好1个白球1个红球即是分步在白球和红球各取1个球的组合，属于容易题、3.【2015高考新课标1，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )【A 】0.648 【B 】0.432 【C 】0.36【D 】0.312【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.【考点定位】本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式【名师点睛】解答本题时，先想到所求事件是恰好中3次与恰好中2次两个互斥事件的和，而这两个事件又是实验3次恰好分别发生3次和2次的独立重复试验，本题很好考查了学生对独立重复试验和互斥事件的理解和公式的记忆与灵活运用，是基础题，正确分析概率类型、灵活运用概率公式是解本题的关键.4.【2015高考陕西，理11】设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为【】 A 、3142π+ B 、1142π- C 、112π- D 、112π+ 【答案】B【考点定位】1、复数的模；2、几何概型、【名师点晴】本题主要考查的是复数的模和几何概型，属于中档题、解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度【面积或体积】，再求出事件A 构成的区域长度【面积或体积】，最后代入几何概型的概率公式即可、解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式，即若z a bi =+【a 、R b ∈】，几何概型的概率公式()P A =()()A 构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积、5.【2015高考陕西，理2】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为【】A 、167B 、137C 、123D 、93【答案】B【解析】该校女老师的人数是()11070%150160%137⨯+⨯-=，故选B 、【考点定位】扇形图、【名师点晴】本题主要考查的是扇形图，属于容易题、解题时一定要抓住重要字眼“女教师”，否则很容易出现错误、扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数、通过扇形图可以很清晰地表示各部分数量同总数之间的关系、 6.【2015高考湖北，理2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为【】A 、134石B 、169石C 、338石D 、1365石【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B. 【考点定位】用样本估计总体.【名师点睛】《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种.该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.本题“米谷粒分”是我们统计中的用样本估计总体问题.7.【2015高考安徽，理6】若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为【】【A 】8 【B 】15 【C 】16 【D 】32【答案】C【解析】设样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 8=，即方差64DX =，而数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差22(21)2264D X DX -==⨯，所以其标16=.故选C.【考点定位】1.样本的方差与标准差的应用.【名师点睛】已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y aX b =+的均值、方差和标准差，可直接用X 的均值、方差的性质求解.若随机变量X 的均值EX 、方差DX 、标Y aX b =+的均值aEX b +、方差2a DX 、标准差. 8.【2015高考湖北，理4】设211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示、下列结论中正确的是【】A 、21()()P Y P Y μμ≥≥≥B 、21()()P X P X σσ≤≤≤C 、对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D 、对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C【考点定位】正态分布密度曲线. 【名师点睛】正态曲线的性质①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交、 ②曲线是单峰的，它关于直线μ=x 对称、③曲线在μ=x 处达到峰值πσ21.④曲线与x 轴之间的面积为1.⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示⑥μ一定时，曲线的形状由σ确定、σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小、曲线越“瘦高”、总体分布越集中、如图乙所示、9.【2015高考福建，理4】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入为15万元家庭年支出为( )A 、11.4万元B 、11.8万元C 、12.0万元D 、12.2万元【答案】B【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==【万元】，6.27.58.08.59.885y ++++==【万元】，故80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.760.4yx =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为ˆ0.76150.411.8y =⨯+=【万元】，故选B 、【考点定位】线性回归方程、【名师点睛】本题考查线性回归方程，要正确利用平均数公式计算和理解线性回归方程的意义，属于基础题，要注意计算的准确性、10.【2015高考湖北，理7】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则【】 A 、123p p p << B 、231p p p << C 、312p p p << D 、321p p p <<【答案】B【解析】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图【1】阴影部分1S ，对事件“1||2x y -≤”，如图【2】阴影部分2S ，对为事件“12xy ≤”，如图【3】阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是132S S S <<，正方形的面积为111=⨯，根据几何概型公式可得231p p p <<.【1】【2】【3】【考点定位】几何概型.【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法、11.【2015高考山东，理8】已知某批零件的长度误差【单位：毫米】服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间【3,6】内的概率为【】【附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=.】【A 】4.56% 【B 】13.59% 【C 】27.18% 【D 】31.74% 【答案】B【考点定位】正态分布的概念与正态密度曲线的性质.【名师点睛】本题考查了正态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率，意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力.12.【2015高考新课标2，理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量【单位：万吨】柱形图.以下结论不正确的是( )A 、逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B 、2007年我国治理二氧化硫排放显现C 、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D 、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D 、【考点定位】正、负相关、【名师点睛】本题以实际背景考查回归分析中的正、负相关，利用增长趋势或下降趋势理解正负相关的概念是解题关键，属于基础题、【2015高考湖南，理7】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分【曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线】的点的个数的估计值为【】 A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 附：若2(,)X N μσ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P，2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年9544.0)22(=+≤<-σμσμX P【答案】C. 【解析】试题分析：根据正态分布的性质，34.0)11(21)10(≈<<-=<<x P x P ，故选C. 【考点定位】1.正态分布；2.几何概型.【名师点睛】本题主要考查正态分布与几何概型等知识点，属于容易题，结合参考材料中给出的数据，结合正态分布曲线的对称性，再利用几何概型即可求解，在复习过程中，亦应关注正态分布等相对冷门的知识点的基本概念.【2015高考湖南，理12】在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩【单位：分钟】的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .【答案】4. 【解析】试题分析：由茎叶图可知，在区间]151,139[的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为435720=⨯人.【考点定位】1.系统抽样；2.茎叶图.【名师点睛】本题主要考查了系统抽样与茎叶图的概念，属于容易题，高考对统计相关知识的考查，重点在于其相关的基本概念，如中位数，方差，极差，茎叶图，回归直线等，要求考生在复习时注意对这些方面的理解与记忆.【2015高考上海，理12】赌博有陷阱、某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金【单位：元】；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金【单位：元】、若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = 【元】、【答案】0.2【考点定位】数学期望【名师点睛】一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，均值E (X )是一个实数，由x 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态、13.【2015江苏高考，2】已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6 【解析】46587666x +++++==【考点定位】平均数【名师点晴】样本数据的算术平均数，即12n 1(x +x +...+x )x n=、解答此类问题关键为概念清晰，类似概念有样本方差2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-，标准差s =.其中x n 是样本数据的第n 项，n 是样本容量，x 是平均数、将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数、14.【2015高考广东，理13】已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，()20D X =，则p = .【答案】13、【解析】依题可得()30E X np ==且()()120D X np p =-=，解得13p =，故应填入13、【考点定位】二项分布的均值和方差应用、【名师点睛】本题主要考查二项分布的均值和方差应用及运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于理解熟记二项分布的均值和方差公式()E X np =，()()1D X np p =-并运用其解答实际问题、15.【2015高考福建，理13】如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函数()2f x x = ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于、【答案】512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰、所以此点取自阴影部分的概率等于553412=、【考点定位】几何概型、【名师点睛】本题考查几何概型，当实验结果由等可能的无限多个结果组成时，利用古典概型求概率显然是不可能的，可以将所求概率转化为长度的比值【一个变量】、面积的比值【两个变量】、体积的比值【三个变量或根据实际意义】来求，属于中档题、16.【2015江苏高考，5】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.【答案】5 . 6【解析】从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种，不同的共有5种，所以其概率为5 . 6【考点定位】古典概型概率【名师点晴】求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率、17.【2015高考新课标2，理18】【本题满分12分】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79【Ⅰ】根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度【不要求计算出具体值，得出结论即可】；【Ⅱ】根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记时间C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”、假设两地区用户的评价结果相互独立、根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率、【答案】【Ⅰ】详见解析；【Ⅱ】0.48、【解析】【Ⅰ】两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散、A 地区B 地区45 6 7 8 96 81 3 6 4 32 4 5 5 6 4 23 34 6 9 6 8 8 6 4 3 3 2 1 9 2 8 65 11 37 5 5 2A 地区B 地区4 5 6 7 8 9【考点定位】1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件、【名师点睛】本题考查茎叶图、互斥事件和独立事件，根据茎叶的密集程度比较平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；方差看它们数字偏离程度，偏离越大则方差大、读懂所求概率事件包含的含义，利用分类讨论思想将事件分解为几个互斥的情况来求概率、18.【2015高考福建，理16】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望、【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)分布列见解析，期望为52、【解析】【Ⅰ】设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则5431 (A)=6542 P=创【Ⅱ】依题意得，X所有可能的取值是1，2，3又1511542 (X=1),(X=2),(X=3)1=.6656653 P P P==?=创所以X的分布列为所以1125E(X)1236632=???、【考点定位】1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望、【名师点睛】本题考查古典概型和随机变量的期望，第一问，将事件转化为所选的三个密码都不是该银行卡密码，共有35A 种，而基本事件总数为36A ，代入古典概型概率计算公式；第二问，写出离散型随机变量所有可能取值，并求取相应值的概率，写成分布列求期望即可、确定离散型取值时，要科学兼顾其实际意义，做到不重不漏，计算出概率后要注意检验概率和是否为1，以便及时矫正.19.【2015高考山东，理19】若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”【如137,359,567等】.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分. 【I 】写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；【II 】若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX . 【答案】【I 】有：125，135，145，235，245，345；【II 】X 的分布列为21EX =【解析】试题分析：【I 】明确“三位递增数”的含义，写出所有的三位符合条件的“三位递增数”；【II 】试题解析：明确随机变量的所有可能取值及取每一个值的含义，结合组合的知识，利用古典概型求出X 的分布列和数学期望EX .解：【I 】个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；【II 】由题意知，全部“三位递增烽”的个数为3984C =随机变量X 的取值为：0，-1，1，因此()3839203C P X C === ()24391114C P X C =-== ,()12111114342P X ==--=, 所以X 的分布列为因此0(1)13144221EX =⨯+-⨯+⨯=【考点定位】1、新定义；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望；4、组合的应用.【名师点睛】本题在一个新概念的背景下，考查了学生对组合、概率、离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生对新知识的理解与应用能力，以及利用所学知识解决遇到了的问题的能力，解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出数学模型.20.【2015高考安徽，理17】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.【Ⅰ】求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；【Ⅱ】已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用【单位：元】，求X 的分布列和均值【数学期望】. 【答案】【Ⅰ】310；【Ⅱ】350.故X的分布列为200300400350101010EX=⨯+⨯+⨯=.【考点定位】1.概率；2.随机变量的分布列与期望.【名师点睛】高考中常常通过实际背景考查互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验的概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，同时也考查二项分布、超几何分布等特殊的概率模型.解读此类问题时要注意分清类型，运用相应的知识进行解答.本题易犯的错误是事件之间的关系混乱，没有理解题中给定的实际意义.21.【2015高考天津，理16】【本小题满分13分】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(I) 635;(II) 随机变量X的分布列为()52E X =【解析】(I)由已知，有22222333486()35C C C C P A C +==所以事件A 发生的概率为635. (II)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4()45348(1,2,3,4)k kC C P X k k C -===所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望()1512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=【考点定位】古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.【名师点睛】本题主要考查古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.把实际生活中的乒乓球比赛与数学中的古典概型相结合，体现了数学的实际应用价值与研究价值，也体现了数学中概率、期望对实际生活中的一些指导作用.22.【2015高考重庆，理17】端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个. 【1】求三种粽子各取到1个的概率；【2】设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望【答案】【1】14；【2】分布列见解析，期望为35、故7713E(X)0121515155 =???、【考点定位】古典概型，随机变量的颁布列与数学期望、考查学生的数据处理能力与运算求解能力、【名师点晴】在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数n，其次所求概率事件中含有多少个基本事件m，然后根据公式mPn求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算、注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.23.【2015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队【1】求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.【2】某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.【答案】【1】A 中学至少1名学生入选的概率为99100p =. 【2】X 的分布列为：X 的期望为()2E X =.【解析】【1】由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B 中抽取【等价于A 中没有学生入选代表队】的概率为333433661100C C C C =. 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=. 【2】根据题意，X 的可能取值为1，2，3.1333461(1)5C C P X C ===，2233463(2)5C C P X C ===，3133461(3)5C C P X C ===，所以X 的分布列为：因此，X 的期望为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=. 【考点定位】本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.【名师点睛】应用问题一定要注意弄清题意，找出题中的关键字词.在本题中，就要分清楚集训队与代表队的区别.求概率时，如果直接求比较复杂，就应该先求其对立事件的概率.超几何分布和二项分布是中学中的两个重要概率分布，考生必须牢固掌握.本题的概率分布就是一个超几何分布问题.24.【2015高考湖北，理20】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品、生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元、要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W 【单位：吨】是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z 【单位：元】是一个随机变量、【Ⅰ】求Z 的分布列和均值；【Ⅱ】若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率、【答案】【Ⅰ】Z 的分布列为：()9708E Z =；【Ⅱ】0.973.目标函数为 10001200z x y =+、当12W =时，【1】表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C 、将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，第20题解答第20题解答第20题解答最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=、当15W =时，【1】表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C 、将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=、当18W =时，【1】表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=、故最大获利Z 的分布列为因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=【Ⅱ】由【Ⅰ】知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=【考点定位】线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布. 【名师点睛】二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样、25.【2015高考陕西，理19】【本小题满分12分】设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：【I 】求T 的分布列与数学期望ET ；【II 】刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率、【答案】【I】分布列见解析，32；【II】0.91、【解析】试题分析：【I】先算出T的频率分布，进而可得T的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望ET；【II】先设事件A表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出A的概率、试题解析：【I】由统计结果可得T的频率分步为以频率估计概率得T的分布列为ET=⨯+⨯+⨯+⨯=【分钟】从而250.2300.3350.4400.132P=-=.故(A)1P(A)0.91考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.【名师点晴】本题主要考查的是离散型随机变量的分布列与数学期望和独立事件的概率，属于中档题、解题时一定要抓住重要字眼“不超过”，否则很容易出现错误、解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误、26.【2015高考新课标1，理19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣。

2015届高考理科数学概率与统计新题赏析课后练习

概率与统计新题赏析课后练习主讲教师：王老师北京市重点中学数学特级教师题一：如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．题二：如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( ).A ．1－ π4 B.π2 －1 C ．2－ π2 D.π4题三：已知回归直线方程为y ^＝0.50x - 0.81，则x ＝25时，y 的估计值是_______.题四：设回归方程y ^＝2-1.5x ，当变量x 增加一个单位时( ). A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位 D ．y 平均减少2个单位题五：从2 007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 007人中剔除7人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率( ) A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为502 007 D ．都相等，且为140题六：在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．①采用随机抽样法：抽签取出20个样本．②采用系统抽样法：将零件编号为00，01，…，99，然后平均分组抽取20个样本． ③采用分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中抽取20个样本．下列说法中正确的是( )A ．无论采用哪种方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等B ．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此C ．①③两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此D ．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的题七：已知x ，y 的取值如下表：从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( ). A ．2.1 B ．2.2 C ．2.4D ．2.6题八：某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ). A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元题九：以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．98X 119910乙组甲组如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差.(注：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)题十：某人5次上班途中所花的时间(单位：min)分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y 的值为（）. A.1 B.2 C.3 D.4题十一：某投资公司在2015年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；题十二：某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：(1)从这50(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．概率与统计2014新题赏析课后练习参考答案题一： 83.详解：设阴影区域的面积为S ，则S 2×2 ＝ 23，所以S ＝ 83.题二： A.详解：依题意知，有信号的区域面积为π4×2＝ π2，矩形面积为2，故无信号的概率P ＝ 2－π22＝1－π4.题三： 11.69.详解：y ^＝0.5×25- 0.81＝11.69. 题四： C.详解：1212(2 1.5)(2 1.5) 1.5()x x x x ---=--，若变量x 增加一个单位，即121x x -=，则y 平均减少1.5个单位. 题五： C.详解：从N 个个体中抽取M 个个体则每个个体被抽到的概率都等于M N .题六： A.详解：上述三种方法均是可行的，每个个体被抽到的概率均等于20100 ＝ 15.故选A. 题七： D.详解：由题意得x －＝2，y －＝4.5，将(2，4.5)代入y ^＝0.95x ＋a ，可得a ＝2.6. 题八： B. 详解：因为x ＝4＋2＋3＋54 ＝3.5(万元)，y ＝ 49＋26＋39＋544＝42(万元)，又y ^＝bx ＋a 必过(x ，y )，所以42＝72×9.4＋a ，所以a ＝9.1.所以线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1，所以当x ＝6时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．题九：平均数为354，方差为1116.详解：当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10. 所以平均数为x ＝8＋8＋9＋104 ＝ 354；方差s 2＝ 14⎝⎛⎭⎫8－3542＋⎝⎛⎭⎫8－3542＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝ 1116.题十： D ．详解：由10119105x y ++++=，得20x y +=.①又221[(10)(10)011]25x y -+-+++=，化简得22(10)(10)8x y -+-=.② 由①②得12x =，8y =或8x =，12y =，从而4x y -=.选D.题十一：建议该投资公司选择项目一投资．详解：若按“项目一”投资，设获利ξ1万元，则ξ1的分布列为所以E (ξ1)＝300× 79＋(－150)× 29 ＝200(万元)．若按“项目二”投资，设获利ξ2万元，则ξ2的分布列为：所以E (ξ2)＝500× 35＋(－300)×13＋0×115 ＝200(万元)．D (ξ1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2× 29＝35 000，D (ξ2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000，所以E (ξ1)＝E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．题十二： (1) 27. (2) ξ的分布列为E (ξ)＝87.详解：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C 250＝1 225，选出2人使用版本相同的方法数为 C 220＋C 215＋C 25＋C 210＝350，故2人使用版本相同的概率为P ＝ 3501 225 ＝ 27. (2)ξ的所有可能取值为0，1，2. P (ξ＝0)＝ C 215C 235 ＝ 317，P (ξ＝1)＝ C 120C 115C 235＝ 60119.P(ξ＝2)＝C220C235＝38119.所以ξ的分布列为所以E(ξ)＝0×317＋1×60119＋2×38119＝136119＝87.。

【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习概率与统计综合题1 文

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习概率与统计综合题1 文5．(2014·某某高考)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学 A B C女同学X Y Z现从这6)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．【解】(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)＝615＝25.6．(2014·某某潍坊一模)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？【解】如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR2360＝πR26.∴在甲商场中奖的概率为P1＝πR26πR2＝16.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种．摸到的2球都是红球的情况有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3种．∴在乙商场中奖的概率为P2＝315＝15.∴P1<P2，∴顾客在乙商场中奖的可能性大．7．(2014·东北三校联考)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API的API[0,50](50,100](100,150](150,200][200,250](250,300]>300 空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S (单位：元)与空气质量指数API(记为w )的关系式为：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，0≤w ≤100，4w －400，100<w ≤300，2 000，w >300.试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染．完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计 100附：P (K 2≥k 0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d【解】 (1)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A ，由200<S ≤600，得150<w ≤250.频数为39，P (A )＝39100. (2)根据题中数据得到如下列联表：非重度污染重度污染合计供暖季 22 8 30非供暖季 63 7 70合计 85 15 100K 2的观测值k ＝100×63×8－22×7285×15×30×70≈4.575>3.841，所以有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关．8．(2014·某某某某一模)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？【解】 (1)如图所示：(2)∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x －＝3＋4＋5＋64＝4.5， y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5， ∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52 ＝66.5－6386－81＝0.7， a ^＝y ^－b ^x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.故线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故能耗减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．。

高考数学二轮复习概率与统计综合题2 文

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习概率与统计综合题2 文(文)二、概率与统计综合题概率解答题为每年高考的必考内容，主要考查互斥事件和对立事件的关系、古典概型和几何概型．要求学生能准确理解题意，迅速确定是古典概型还是几何概型，然后用概率公式求解．对于古典概型，要准确列出所有基本事件的个数和所求事件包含的基本事件个数．对于几何概型，一定要明确其与面积(体积、长度等)的关系．对于较复杂的问题，可以借助于图形和表格帮助分析．阅卷案例2 (2014·山东济南一模)一个袋中装有五个形状、大小完全相同的球，其中有两个红球，三个白球．(1)从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．审题(1切入点：转化为古典概型的概率计算．关注点：分别准确列出随机取两个球及两个球颜色不同的可能结果．(2)切入点：转化为古典概型的概率计算．关注点：分别准确列出第一次取出一球，放回后再取出一球及两次取出的球中至少有一个红球的数．解题【解】 (1)两个红球记为a 1，a 2，三个白球记为b 1，b 2，b 3，从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共10个．(2分) 设事件A 为“取出的两个球颜色不同”，A 中的基本事件有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)共6个．(4分)P (A )＝610＝35.(6分) (2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，b 2)，(b 2，b 3)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)，(b 3，b 1)，(b 3，b 2)，(b 3，b 3)共25个．(8分) 设事件B 为“两次取出的球中至少有一个红球”，B 中的基本事件有：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)共16个．(10分)P (B )＝1625.(12分) 阅卷现场评分细则第(1)问得分点及说明得分点：①表示出“随机取两个球”的所有结果，得2分；②表示出“两个球颜色不同”的所有结果，得2分；③运用古典概型公式并计算P (A )＝35，得2分．说明：求“随机取两个球”或“两个球颜色不同”的所有可能结果没有求对，不得分．第(2)问得分点及说明得分点：①表示出“先取出一球，放回后再取出一球”的所有结果，得2分； ②表示出“两次取出的球中至少有一个红球”的所有结果，得2分；③运用古典概型公式并计算P (B )＝1625得2分．说明：求“先取出一对，放回后再取出一对”或“两次取出的球中至少有一个红球”的所有可能结果没有求对，不得分．满分规则规则1得步骤分：是得分点的步骤，有则给分，无则没分如第(1)问中或第(2)问中都是按照“三步曲”来完成．先求分母，再求分子，最后代入古典概型公式．规则2得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分如第(1)问中或第(2)中红球经得a 1，a 2；白球经得b 1，b 2，b 3.及思考问题中一个放回和一个不放回．规则3规范答题得分：概率问题一般都有实际背景，解答时要将复杂事件拆分为简单事件，不可以只给出一些表达式，忽略文字解析所以本题解答中的每一问都需按照如下形式：一改→二列分母→三列分子→四代X 公式→五总结．阅卷心得狠抓基础保成绩，分步解决克难题通过高考阅卷，可以看出学生基础知识的掌握和计算能力非常薄弱．例如，数学概念不清楚，不能准确地理解数学语言，证明推理能力弱，缺乏思维的严谨性，运算能力差，数学过程的表述过于简单．这就告诉我们，在考前的关键阶段，要把常用的基础知识把握准．题目再难，每个题目中的条件总是可以推导出结论的，哪怕只推导出一个结论，也可能是得分点．如根据法则和公式进行正确运算、变形等．总之，考场答题重点要突出，过程以踩点、清晰、完整、工整、简洁为佳．变题2．(2014·安徽江南十校联考)某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2 000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60,70)，第二组[70,80)，……，第八组：[130,140]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；(2)估计该校的2 000名学生这次考试成绩的平均分(可用中值代替各组数据平均值)；(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差大于10分的概率．解：(1)由频率分布直方图知第七组的频率f 7＝1－(0.004＋0.012＋0.016＋0.03＋0.02＋0.006＋0.004)×10＝0.08.直方图如图．(2)估计该校的2 000名学生这次考试的平均成绩为：65×0.04＋75×0.12＋85×0.16＋95×0.3＋105×0.2＋1 15×0.06＋125×0.08＋135×0.04＝97(分)．(3)第六组有学生3人，分别记作A1，A2，A3，第八组有学生2人，分别记作B1，B2，则从中任取2人的所有基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，共10个．分差大于10分表示所选2人来自不同组，其基本事件有6个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，所以从中任意抽取2人，分差大于10分的概率P＝610＝3 5.。