高二数学(人教A版)选修1-1能力拓展提升：1-2-2充要条件习题课
最新人教A版选修1-1高中数学1.2.2《充要条件》公开课课件
本 课 件 以 《三国演义》影片中曹操败走华容道 为 导入，引出充分条件、必要条件和充要条件问题，激
发学生的学习热情。由学生自主探究充要条件的概念
，通过合作探究，深刻理解充分不必要条件、必要不 充分条件、充要条件及既不充分也不必要条件的判断 方法。再从命题或集合的角度来理解充分条件、必要 条件等概念及其相互关系。
请用数学知识解释这种现象，并填空．
影片中“诸葛亮多谋”是“虚则实之，实则虚之 ” 充分 的
充分 条件，“虚则实之，实则虚之”是“小路
山边有烟，而大路并无动静（有伏兵却没动静）”的 条件．即曹操因为诸葛亮多谋是事实，所以必然运用
兵法，“虚则实之，实则虚之”，而不以调查事实为
依据，诸葛亮抓住了曹操的心理，所以曹操必然兵败
2 6
的
充分 5．设p充要 、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件， t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的
从集合的角度理解四种关系
设p、q对应的集合分别为P、Q.
(1)若p是q的充分不必要条件， 则P Q (2)若p是q的必要不充分条件 , Q 则P 1 )
Q
P
2 )
P
Q
则P=Q (3)若p是q的充要条件，
1
复 习
充要条件的含义
2
3
判断充分条件、必要条 件的 方法
从集合的角度理解四种条件 关系
充要条件的含义 1.上节课我们学习了充分、必要条件，
若有 p q
则 P是q的充分条件， q是p的必要条件。
q 若有 p
则P不是q的充分条件 ,
q不是p的必要条件 可以总结为箭头所在为必要，箭尾跟着是充分。 。
人教A版高中数学选修1-1教案：1.2充分条件和必要条件(1)(含答案)(1)
§1．2.1 充分条件与必要条件【学情分析】:充分条件、必要条件和充要条件是基本的数学逻辑用语,数学学科中大量的命题用它来叙述。
是上一课时命题的真假的进一步的深化,也是高考的重点内容。
在此引入概念,对于这几个概念的准确需要一定的时间的体会和思考,对于这些概念的运用和掌握有赖于后续的学习,学习中不要急于求成,而应该在后续的教学中经常借助于这些概念去表达、阐述和分析。
【教学目标】:（1）知识目标:正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;会判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件,充要条件。
（2）过程与方法目标:利用多媒体教学,多让学生举例讨论,教学方法较灵活,学生参与意识强,培养他们的良好的思维品质。
（3）情感与能力目标:通过学生的举例,培养他们的辨析能力;利用命题的等价性,培养他们的分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力。
【教学重点】:理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的概念。
【教学难点】:关于充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判断。
教学环节教学活动设计意图一．引入课题问题1:写出下列命题的条件和结论,并说明条件和结论有什么关系？（1）若x > a2 + b2,则x > 2ab（2）若ab = 0,则a = 0（3）两直线平行,同位角相等。
由问题引入概念.二、知识建构定义:命题“若p则q”为真命题,即p => q,就说p是q的充分条件;q是p必要条件。
则有如下情况:①若,但,则是的充分但不必要条件;②若,但,则是的必要但不充分条件;③若,且,则是的充要条件;④若,且,则是的充要条件⑤若,且,则是的既不充分也不必要条件．由师生合作完成定义下的五种不同情况,培养学生分析和概括的能力。
三．体验与运用例1、指出下列各组命题中,是的什么条件（在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种）。
由例1通过师生的共同合作加深对定义的理解。
2018版高中数学人教版A版选修1-1课件：1-2-2 充要条件
件
若A
B且B
A，则p既不
是q的充分条件，也不是q的 必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.
返回
题型探究
重点突破
题型一 充要条件的判断
例1 (1)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|” C 的( A．充要条件 C．必要而不充分条件 件 解析 分别判断x＞y⇒x＞|y|与x＞|y|⇒x＞y是否成立，从而得 到答案． ) B．充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条
解析答案
1 2 3 4 5
1 1 充要条件. 5.命题 p：x>0，y<0，命题 q：x>y，x>y，则 p 是 q 的_____
1 1 解析 当 x>0，y<0 时，x>y 且x>y成立，
x－y>0， x>0， 1 1 当 x>y 且x>y时，得x－y ⇒ y<0. <0 ， xy
所以p是q的充要条件.
所以p是q的充要条件.
②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； 解 若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件. ③p：|x|>3，q：x2>9. 解 由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件.
反思与感
解析答案 返回
当堂检测
1 2 3 4 5
A 的( 1.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b” A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当a＋b＝0时， 得a＝－b，所以a∥b， 但若a∥b，不一定有a＋b＝0.
高中数学人教A版选修2-1配套课件：1.2.2充要条件习题课
常用逻辑用语
第一章 1.2 充分条件与必要条件
第2课时 充要条件习题课
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
自主预习学案
深化对充要条件的理解，熟练进行条件的充分性和必要性
的判断，熟练地将难于判断条件充分性与必要性的命题进行等
价转化．
重点：用集合关系判定条件的充分性与必要性，及充要条 件的应用． 难点：已知条件的充分性(或必要性)求参数的值或取值范 围．
成立时，一定有q不成立．
4 ．证明充要条件时，先分清命题的条件和结论，再区分 充分性与必要性，最后证明． p是q的充要条件，充分性p⇒q，必要性q⇒p；p的充要条件 是q，充分性q⇒p，必要性p⇒q.
已知等比数列{an}、{bn}的公比分别为q1、q2，则q1＝q2是 数列{an＋bn}为等比数列的( A．充分不必要条件 C．充分必要条件 [答案] B ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
D．甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
[答案] B
[解析] a· b＝a· c⇔a· (b－c)＝0⇒ / b＝c，而 b＝c⇒a· (b－c) ＝0，则甲是乙的必要不充分条件，故选 B.
5 ． (2014· 福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐
二中联考)“α＝2kπ＋β，k∈Z”是“sinα＝sinβ”的( A．充分不必要条件 C．充要条件 [答案] A B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 )
[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] ， ③ 正 确 ； “ 整 数 a ， b 属 于 同 一
‘ 类 ’” ⇔ a ＝ 5n ＋ k ， b ＝ 5m ＋ k ， m ， n∈Z⇔a － b ＝ 5(n － m)，n－m∈Z⇔a－b被5除所得余数为0⇔a－b∈[0]，④正确．
高二数学(人教A版)选修1-1导学案：1.2.2充要条件(无答案)
文华高中高二数学选修1-1§1.2.2《充要条件》导学案学习目标：1.理解充要条件的意义.2.会判断充要条件.重点难点：重点：充分不必要；必要不充分；充分必要；既不充分又不必要条件的意义和判断。
知道充要条件的证明步骤。
难点:利用充分条件，必要条件，充要条件求字母参数的取值范围。
学习方法：．在数学中，形如“p是q的充要条件”的命题是相当普遍的.要证明命题的条件是充要条件，就是既要证明原命题，又要证明原命题的逆命题.证明原命题即证明命题条件的充分性，证明原命题的逆命题，即证明命题条件的必要性.在本节的学习中注意体验数学的等价转化思想，增强逻辑思维能力.情感态度与价值观：通过本节学习培养思维的严密性和表达的逻辑性，体会数学的作用。
学习过程一．知识链接用符号“⇒”“≠＞”填空：（课本P10练习第一题）（1）X2=Y2 X=Y；（2）内错角相等两直线平行；（3）整数a能被6整除 a的个位数字为偶数；(4) ac=bc a=b;(5) 1＜X＜3 2＜X＜4.二．自主学习：阅读教材P11-P12有关内容解决下列问题:1.如果既有，又有，就记作p⇔q，称p是q的充分必要条件，简称条件..概括地说，如果，那么p与q互为充要条件.2．如果且那么称p是q的充分不必要条件，也称q是p的必要不充分条件3.如果且那么称p(q)是q(p)的既不充分又不必要条件。
三：合作探究:例1下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.小结判断p是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法.例2已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q 的一个充分不必要条件，求m的取值范围.小结：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值.四：课堂展示1．指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p ：x 2＝2x ＋1， q ：x ＝2x ＋1；(2)p ：a 2＋b 2＝0， q ：a ＋b ＝0；(3)p ：x ＝1或x ＝2， q ：x －1＝x －1；(4)p ：sin α>sin β， q ：α>β.2.若“x <m ”是“(x －1)(x －2)＜ 0”的必要不充分条件，求m 的取值范围.3.求证：△ABC 是等边三角形的充要条件是c b c a b a c ++=++222b a这里c b a ,,是△ABC 的三边（课本P13面习题）五．课堂小结 :1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.2.充要条件的证明与探求本节课我学到的知识是：我存在的疑惑有：文华高中高二数学选修1-1《充要条件》 节节过关达标检测班级：------------ 组名：------------ 学生姓名：----------1.“lg x >lg y ”是“x >y ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.a，b中至少有一个不为零的充要条件是（）A.ab＝0B.ab>0C.a2＋b2＝0D.a2＋b2>03.已知a，b，c∈R，“2b＝a＋c”是“a，b，c成等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5 x>2的一个必要不充分条件是__________；x＋y>0的一个充分不必要条件是_________________________.（答案不唯一）6．“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________.7.对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.将所有正确命题的序号填在横线上________.8.设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C 的充要条件，则D是A的__________条件.9.不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2<x<－1，则求a的取值范围。
高中数学新课标人教A版选修1-1《1.2.1-1.2.2 充分条件与必要条件》课件
课前探究学习
课堂讲练互第十动三页，编辑于星活期一页：点规十范二分训。练
解 (1)△ABC中， ∵b2>a2＋c2，∴cos B＝a2＋2ca2c－b2<0， ∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三 角形，B可能为锐角，这时b2<a2＋c2. ∴p⇒q，q p，故p是q的充分不必要条件． (2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， ∴p q，q⇒p，故p是q的必要不充分条件． (3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝ 0，即q⇒p，所以p是q的充要条件．
2(10 分)
即所求 a 的取值范围是[32，2]．(12 分)
课前探究学习
课堂讲练互第二动十页，编辑于星活期一页：点规十范二分训。练
【题后反思】 在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条 件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑．注意推出的方 向及推出与子集的关系．
课前探究学习
课堂讲练互第二动十一页，编辑于活星期页一：规点范十二训分练。
课前探究学习
课堂讲练互第七动页，编辑于星期活一：页点 规十二范分。训练
(3)传递性法 由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根 据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件 之间的相互关系． (4)等价命题法 当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系(特别是对于 否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与其逆否命 题的等价性来解决，即等价转化为判断其逆否命题．
∴Δx1x>2<0，0. 即41a－ <04a>0⇔a<0，故选A.
先按充要条件求解，求出a的范围后，缩小范围即可 确定充分不必要条件．
课前探究学习
人教A版高中数学选修1-1课件1.2.2充要条件
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1.2.2 充要条件
【学习要求】
1.理解充要条件的意义. 2.会判断、证明充要条件学科网.
本 【学法指导】
讲 栏
在数学中，形如“p 是 q 的充要条件”的命题是相当普遍
目 开
的.要证明命题的条件是充要条件，就是既要证明原命题，
关 又要证明原命题的逆命题.证明原命题即证明命题条件的
充分性，证明原命题的逆命题，即证明命题条件的必要性.
在本节的学习中注意体验数学的等价转化思想，增强逻辑
思维能力.
填一填·知识要点、记下疑难点
本 1.如果既有 p⇒q ，又有 q⇒p ，就记作 p⇔q，p 是 q 的
讲
栏 目
充分必要条件，简称 充要 条件.
开 关
2.概括地说，如果 p⇔q ，那么 p 与 q 互为充要条件.
要条件为 k<－2.
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 3 求关于 x 的方程 ax2＋x＋1＝0 至少有一个负实
根的充要条件. 解 (1)当 a＝0 时，解得 x＝－1，方程 ax2＋x＋1＝0 有一个
负实根； (2)当 a≠0 时，显然方程没有零根，
本 若方程有两异号实根a<0；
讲
栏 若方程有两个负的实根，
关
结论 一般地，如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q. 此时，我们说，p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件.
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 2 结合实例说说你对充要条件的理解.
答案 在必修 5 中，不等式 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时
a2＋b2＝2ab，此时我们也可以说“a＝b”是“a2＋b2＝2ab”
高中数学人教A版选修1-1课件1-2-2充要条件3
1 【解析】选B.(1)当a<0时，由题知x1x2= a <0，故此一元二次方 程有一正根和一负根，符合题意； (2)当a=0时，该方程仅有一根为－ 1 ；
2 (3)当a>0时，Δ≥0⇔4-4a≥0⇔a≤1，所以，当0<a≤1，此一元二次
方程有两个负根，符合题意.
综上所述，当且仅当a≤1时，方程ax2+2x+1=0至少有一个负数
2a=0有两个不同的实根⇔函数y=|2x-1|和函数y=2a的图象有两
个不同的交点，由图象得0<2a<1①,∴0<a< 1 .
答案：0<a< 1
2
2
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解 题启示总结如下：（注：此处的①见解析过程）
【即时训练】函数f（x）=|x2-2ax+1|-2a有四个零点的充要条 件是________. 【解析】因为函数f（x）=|x2-2ax+1|-2a有四个零点⇔|x22ax+1|-2a=0有四个实根⇔函数y=|x2-2ax+1|与y=2a有四个交 点⇔ 04a22a4a02 1a1 2. 答案：a>1+ 2
【总结】题1用什么方法最为方便？从中你又得到怎样的启示? 提示：此题应用特殊值法比较方便.得到的启示是在解答选择题 或者填空题时，若问题具有一般性时，使用特殊值法比较方便.
【变式训练】命题p：x>0，y<0，命题q：x>y，1 1 xy
q的什么条件？
【解析】若p：x>0，y<0，则q：x>y，1 1 成立；
3.指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条 件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条 件”中选出一种作答)． (1)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (2)非空集合A，B中，p：x∈A∪B，q：x∈B.
高二数学(人教A)选修1-1课件：1-2-2 充要条件习题课
人教A版 ·选修1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
常ห้องสมุดไป่ตู้逻辑用语
第一章
1．2 充分条件与必要条件
第一章
第 2 课时 充要条件习题课
学习要点点拨 课前自主预习 课堂典例讲练
课堂巩固练习 课后强化作业
课程目标解读
熟练掌握充分条件、必要条件、充要条件概念及判断．
重点难点展示
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] 图示法：p⇒⇐/ r⇒s⇒q， 故 q⇒/ p，否则 q⇒p⇒r⇒q⇒p，则 r⇒p，故选 A.
2．已知 a、b、c 为同一平面内的非零向量，甲：a·b＝a·c， 乙：b＝c，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
命题方向 求参数的取值范围问题
[例 3] 已知 p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－m2>0，若 p 是 q 的充分条件，求正实数 m 的取值范围．
[分析] 若 p 是 q 的充分条件，则{x|x2－8x－20>0}⊆{x|x2 －2x＋1－m2>0}，然后用集合知识求解．
[解析] 由命题 p，得 x>10 或 x<－2；由命题 q，得 x2－ 2x＋1－m2>0(m>0)⇔[x－(1＋m)][x－(1－m)]>0⇔x<1－m 或 x>1＋m(m>0)．因为 p 是 q 的充分条件，所以 p⇒q，所以{x|x>10 或 x<－2}⊆{x|x<1－m 或 x>1＋m(m>0)}，所以11－＋mm≥≤－102 ， 解得 m≤3.所以正实数 m 的取值范围是(0,3]．
高二数学(人教A版)选修1-1能力拓展提升：1-2-1充分条件与必要条件
能力拓展提升
一、选择题
11．“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my ＋3＝0垂直”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析]直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直的充要条件是3m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0或m＝－1.
∴“m＝－1”是上述两条直线垂直的充分不必要条件．
12．(2012～2013学年度山东沂水县高二期末测试)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的() A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析]由函数f(x)＝x2－4a＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，得2a≤2，即a≤1，故选B.
13．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的() A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件。
高二数学(人教A版)选修2-1能力拓展提升：1-2-2充分条件与必要条件的应用.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作能力拓展提升一、选择题11．设命题甲为：0<x<5，命题乙为：|x－2|<3，那么甲是乙的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]解不等式|x－2|<3得－1<x<5，∵0<x<5⇒－1<x<5但－1<x<5⇒/0<x<5，∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.12．(2013·安徽理)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a＝0，则f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增，若“a<0”，则f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f(x)＝|(ax－1)x |在(0，＋∞)内递增，从图中可知a ≤0，故选C.13．下列命题中的真命题有( )①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件； ③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ， ∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角，∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2， ∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ，∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真．14．设a 、b 是两条直线，α、β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β[答案] C[解析] 对选项A 如图①所示，由图可知a ∥b ，故排除A ；对选项B 如图②所示，由图可知a ∥b ，故排除B ；对选项D 如图③所示，其中a ∥l ，b ∥l ，由图可知a ∥b ，故排除D.二、填空题15．函数f (x )的定义域为I ，p ：“对任意x ∈I ，都有f (x )≤M ”．q ：“M 为函数f (x )的最大值”，则p 是q 的________条件．[答案] 必要不充分[解析] 只有当(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ，(2)存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，同时成立时，M 才是f (x )的最大值，故p ⇒/ q ，q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．16．f (x )＝|x |·(x －b )在[0,2]上是减函数的充要条件是____________．[答案] b ≥4[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b ) x ≥0，－x (x －b ) x <0. 若b ≤0，则f (x )在[0,2]上为增函数，∴b >0，∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴b 2≥2，∴b ≥4. 三、解答题17．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．[解析] ①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1a >0－2a <0Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.[点评] ①a ＝0的情况不要忽视；②若令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1≠0，从而排除了方程有一个负根，另一个根为零的情况．18．已知p ：x ＋210－x≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由x ＋210－x≥0，解得－2≤x <10，令A ＝{x |－2≤x <10}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0可得[x －(1－m )]．[x －(1＋m )]≤0，而m <0，∴1＋m ≤x ≤1－m ，令B ＝{x |1＋m ≤x ≤1－m }．∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p 成立，即B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ≥－21－m <10m <0，解得－3≤m <0.。
人教A版高中数学选修1-1 五 1.2.2 充要条件 精讲优练课型
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课时提升作业五充要条件的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·安徽高考)设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q成立的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.因为p:x<3,q:-1<x<3,所以q⇒p,但由p不能得出q,所以p是q成立的必要不充分条件,故选C.2.(2016·长治高二检测)在下列3个结论中,正确的有( )①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.A.①②B.②③C.①③D.①②③【解析】选C.对于①,由x3<-8⇒x<-2⇒x2>4,但是x2>4⇒x>2或x<-2⇒x3>8或x3<-8,不一定有x3<-8,故①正确;对于②,当B=90°或C=90°时不能推出AB2+AC2=BC2,故②错;对于③,由a2+b2≠0⇒a,b不全为0,反之,由a,b不全为0⇒a2+b2≠0,故③正确.【误区警示】本题易错选②,原因是忽视了斜边、直角边的确定.3.在△ABC中,“·=0”是“△ABC是直角三角形”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.在△ABC中,由“·=0”可知B为直角,则“△ABC是直角三角形”.三角形是直角三角形,不一定B=90°,所以在△ABC中,“·=0”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要条件.4.(2016·四川高考)设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】根据不等式的性质及充分必要条件的定义求解.【解析】选A.由题意, x>1且y>1,则x+y>2,而当x+y>2时不能得出x>1且y>1,例如x=0,y=3,故p是q的充分不必要条件.5.(2016·宁德高二检测)函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( )A.m=-2B.m=2C.m=-1D.m=1【解题指南】利用二次函数的图象特点来判断.【解析】选 A.当m=-2时,f(x)=x2-2x+1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.下列命题中是假命题的是.(填序号)(1)x>2且y>3是x+y>5的充要条件(2)“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件(3)b2-4ac<0是ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R的充要条件(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形【解析】(1)因x>2且y>3⇒x+y>5,x+y>5x>2且y>3,故x>2且y>3是x+y>5的充分不必要条件.(2)若x>1,则|x|>0成立,若|x|>0,则x<0或x>0,不一定大于1,故“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件.(3)因b2-4ac<0ax2+bx+c<0的解集为R,ax2+bx+c<0的解集为R⇒a<0且b2-4ac<0,故b2-4ac<0是ax2+bx+c<0的解集为R的必要不充分条件.(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形.答案:(1)(3)7.(2016·池州高二检测)设函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则a+2b>0是f(x)>0在上恒成立的条件.【解析】由⇒所以a+2b>0.而仅有a+2b>0,无法推出f(0)>0和f(1)>0同时成立.答案:必要不充分【补偿训练】设{a n}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{a n}是递增数列”的条件.【解析】{a n}为等比数列,a n=a1·,由a1<a2<a3,得a1<a1q<a1q2,即a1>0,q>1或a1<0,0<q<1,则数列{a n}为递增数列.反之也成立.答案:充要8.△ABC中,“角A,B,C成等差数列”是“sinC=(cosA+sinA)cosB”成立的条件.【解析】条件:△ABC中,角A,B,C成等差数列⇔B=;结论:sinC=(cosA+sinA)cosB⇔sin(A+B)=cosAcosB+sinAcosB⇔cosAsinB=cosAcosB⇔cosA=0或sinB=cosB⇔A=或B=.所以条件是结论的充分不必要条件. 答案:充分不必要三、解答题(每小题10分,共20分)9.(教材P12习题1.2A组T4改编)求圆(x-a)2+(y-b)2=1的面积被y轴平分的充要条件. 【解析】因为圆是轴对称图形,所以圆面积被y轴平分等价于圆心在y轴上,即点(a,b)在y 轴上,所以a=0是圆(x-a)2+(y-b)2=1的面积被y轴平分的充要条件.10.证明:对于x,y∈R,xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.【解题指南】要证明必要不充分条件,就是要证明两个,一个是必要条件,另一个是不充分条件.【证明】必要性:对于x,y∈R,如果x2+y2=0,则x=0,y=0,即xy=0,故xy=0是x2+y2=0的必要条件;不充分性:对于x,y∈R,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y2≠0,故xy=0是x2+y2=0的不充分条件.综上所述:对于x,y∈R,xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·保定高二检测)设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.|a·b|=|a||b||cosα|=|a||b|,得cosα=±1,α=0或π,故a∥b,反之,a∥b,则a,b的夹角为0或π得,|a·b|=|a||b|,故|a·b|=|a||b|是a∥b的充要条件.2.(2016·浙江高考)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】根据充分必要条件的定义来推断是p⇒q还是q⇒p.【解析】选 A.由题意知f(x)=x2+bx=-,最小值为-,令t=x2+bx,则f(f(x))=f(t)=t2+bt=-,t≥-.当b<0时,f(f(x))的最小值为-,所以“b<0”能推出“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”;当b=0时,f(f(x))=x4的最小值为0,f(x)的最小值也为0,所以“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”不能推出“b<0”.【补偿训练】已知真命题“a≥b⇒c>d”和“a≥b⇔e≤f”,那么“c>d”是“e≤f”的( ) A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为a≥b⇒c>d,a≥b⇔e≤f,所以e≤f⇒c>d.但是c>d不一定推出e≤f, 故“c>d”是“e≤f”的必要条件.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·温州高二检测)已知条件p:k=;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则p是q 的.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)【解题指南】化简条件q中的k值,再确定p与q的关系.【解析】因为直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,所以=1,解得k=±,即条件q:k=±.若p成立,则q成立;反之,若q成立,推不出p成立.所以p是q的充分不必要条件.答案:充分不必要条件4.(2016·焦作高二检测)“a=”是“对任意的正数x,均有x+≥1”的条件. 【解析】当a=时,对任意的正数x,x+=x+≥2=1,而对任意的正数x,要使x+≥1,只需f(x)=x+的最小值大于或等于1即可,而在a为正数的情况下,f(x)=x+的最小值为f()=2≥1,得a≥,故为充分不必要条件.答案:充分不必要三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充要条件.(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件.(3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件.【解题指南】用数轴表示两个集合,把条件的充要性转化为集合间的关系解决.【解析】由M∩P={x|5<x≤8}知,a≤8.(1)M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5.(2)M∩P={x|5<x≤8}的充分但不必要条件,显然,a在中任取一个值都可.(3)若a=-5,显然M∩P=是M∩P={x|5<x≤8}的必要但不充分条件.故a<-3时为必要不充分条件.6.(2016·益阳高二检测)证明“0≤a≤”是“函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数”的充分不必要条件.【证明】充分性:由已知0≤a≤,对于函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2,当a=0时,f(x)=-2x+2,显然在(-∞,4]上是减函数.当a≠0时,由已知0<a≤,得≥6.二次函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2图象是抛物线,其开口向上,对称轴方程为x==-1≥6-1=5.所以二次函数f(x)在(-∞,4]上是减函数.非必要性:当a≠0时,二次函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2的图象是抛物线,其对称轴为x==-1.因为二次函数f(x)在(-∞,4]上是减函数,所以⇒0<a≤.显然,函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在(-∞,4]上是减函数时,也有a=0.由于,所以0≤a≤不是函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数的必要条件.综上所述,命题成立.【补偿训练】已知数列{a n}的前n项和S n=p n+q(p≠0且p≠1),求证:数列{a n}为等比数列的充要条件为q=-1.【证明】充分性:当q=-1时,a1=p-1.当n≥2时,a n=S n-S n-1=p n-1(p-1).当n=1时,上式也成立.于是==p,即数列{a n}为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.当n≥2时,a n=S n-S n-1=p n-1(p-1).因为p≠0且p≠1,所以==p.因为{a n}为等比数列,所以==p=,所以q=-1.所以数列{a n}为等比数列的充要条件为q=-1.关闭Word文档返回原板块小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高二数学(人教A版)选修2-1能力拓展提升：1-2-1充分条件与必要条件
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）能力拓展提升一、选择题11．设x ∈R ，则x >2的一个必要不充分条件是( )A ．x >1B ．x <1C ．x >3D ．x <3[答案] A[解析] ∵x >2⇒x >1，但x >1⇒/ x >2，∴选A.12．“b 2＝ac ”是“a b ＝b c 成立”的( ) A ．充分而不必要条件B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] b 2＝ac ⇒/ a b ＝b c ，如b ＝0，c ＝0时，b 2＝ac ，而a b ，b c 无意义．但a b ＝b c ⇒b 2＝ac ，∴“b 2＝ac ”是“a b ＝b c ”的必要不充分条件．13．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵0<x <π2，∴0<sin x <1， ∴0<sin 2x <sin x <1，∴x sin 2x <x sin x ，则x sin x <1⇒x sin 2x <1成立，而x sin 2x <1⇒/ x sin x <1，故选B.14．已知a 、b 、c 为同一平面内的非零向量，甲：a·b ＝a·c ，乙：b ＝c ，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件[答案] B[解析] a ·b ＝a ·c ⇔a ·(b －c )＝0⇒/ b ＝c ，而b ＝c ⇒a ·(b －c )＝0，故甲是乙的必要不充分条件，∴选B.二、填空题15．直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是________．[答案] m ＝－4或0[解析] 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切⇔圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离等于 2⇔|1＋1＋m|2＝2⇔|m＋2|＝2⇔m＝－4或0.16．已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N＋，点P n(n，a n)，都在直线y＝2x＋1上”是“{a n}为等差数列”的________条件．[答案]充分不必要[解析]点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上，即a n＝2n＋1，∴{a n}为等差数列，但是{a n}是等差数列却不一定就是a n＝2n＋1.三、解答题17．已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？[分析]可将r，p，q，s的关系用图表示，然后利用递推法结合图示作答．[解析]由图示可知，(1)因为q⇒s，s⇒r⇒q，所以s是q的充要条件．(2)因为r⇒q，q⇒s⇒r，所以r是q的充要条件．(3)因为q⇒s⇒r⇒p，p⇒/q，所以p是q的必要不充分条件．。
人教A版高中数学选修一1.2.2充要条件的应用.docx
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知能巩固提升(五)/课后巩固作业(五)（时间：30分钟 满分：50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.在△ABC 中，AB AC BA BC AC BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g “”是的( ) （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件2.已知集合A={x|a-2<x<a+2}，B={x|x ≤-2或x ≥4}，则A ∩B=∅的充要条件是( )（A ）0≤a ≤2 （B ）-2<a<2（C ）0<a ≤2 （D ）0<a<23.（2011·湖南高考)设集合M={1，2}，N={a 2},则“a=1”是“N ⊆M ”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件4.若x,y ∈R,则“xy ≤1”是“x 2+y 2≤1”的 ( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件二、填空题（每小题4分，共8分）5.已知a,b 是实数，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的________条件．6.（2011·陕西高考）设n ∈N *，一元二次方程x 2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________．三、解答题（每小题8分，共16分）7.（易错题）一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n =(n+1)2+c,探究{a n }是等差数列的充要条件.【挑战能力】(10分)记实数x 1，x 2,…,x n 中的最大数为max{x 1,x 2,…,x n }，最小数为min{x 1,x 2，…,x n }.已知△ABC 的三边边长为a,b,c(a ≤b ≤c)，定义它的倾斜度为I=max{a b c ,,b c a }·min{a b c ,,b c a}， 试判断“I=1”是“△ABC 为等边三角形”的什么条件.答案解析1.【解析】选C.因为()AC BC AC AC BC BC AC BC BA BC BA AC AB AC BA BC =⇔=⇔-=+⇔=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g g （），故选C.2.【解析】选A.A ∩B=∅⇔a 220a 2.a 24-≥-⎧⇔≤≤⎨+≤⎩【变式训练】若向量a ＝(x,3)(x ∈R)，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件【解析】选A.由x ＝4知|a | 5.反之，由|a |5，得x ＝4或x ＝－4，故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.3.【解题指南】本题考查条件之间的关系.解题依据是小范围是大范围的充分条件，大范围是小范围的必要条件.【解析】选A.当a=1时，N={1}，可推出“N ⊆M ”.当“N ⊆M ”时，有a 2=1或a 2=2，解得a=±1或a=a=1，所以选A.4.【解析】选B.2212xy x y 1xy xy 1.2≤+≤⇔≤⇒≤ 5.【解析】对于“a>0且b>0”可以推出“a+b>0且ab>0”.反之也是成立的． 答案：充要6.【解析】4x 22±==±因为x 是整数，即2为整数，为整数，且n ≤4.又因为n ∈N *，取n=1,2,3,4，验证可知n=3,4符合题意.反之由n=3,4，可推出一元二次方程x 2-4x+n=0有整数根．答案：3或47.【证明】充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)∵ac<0，∴一元二次方程ax 2+bx+c=0的判别式Δ=b 2－4ac>0，∴方程一定有两不等实根，设为x 1,x 2，则x 1x 2=c a<0，∴方程的两根异号．即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)∵方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，设为x1,x2，则由根与系数的关系得x1x2=ca<0，即ac<0，综上可知：一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【一题多解】本题也可以采用以下方法完成：设f(x)=ax2+bx+c，因为一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根⇔a·f(0)<0⇔ac<0.8.【解析】当{a n}是等差数列时，∵S n=(n+1)2+c,∴当n≥2时，S n-1=n2+c,∴a n=S n-S n-1=2n+1,∴a n+1-a n=2为常数.又a1=S1=4+c,∴a2-a1=5-(4+c)=1-c.∵{a n}是等差数列，∴a2-a1=2,∴1-c=2,∴c=-1.反之，当c=-1时，S n=n2+2n,可得a n=2n+1(n≥1)，可知{a n}是等差数列，∴{a n}是等差数列的充要条件是c=-1.【举一反三】将此数列{a n}的前n项和改为S n=An2+Bn+C(n∈N*)，探究{a n}是等差数列的充要条件．【解析】当{a n}是等差数列时，因为S n=An2+Bn+C，所以当n≥2时，S n－1=A(n－1)2+B(n－1)+C，所以a n=S n－S n－1=2An+B－A，所以a n+1－a n=2A.又a1=A+B+C，所以a2－a1=2A－C=2A，所以C=0.反之，当C=0时，S n=An2+Bn，可得a n=2An+B－A，可知{a n}是等差数列，∴{a n}是等差数列的充要条件是C=0.【挑战能力】【解析】当△ABC是等边三角形时，a=b=c，所以I=max{a b c,,b c a}·min{a b c,,b c a}＝1×1＝1.所以“I=1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．因为a≤b≤c，所以max{a b c,,b c a}=ca.又因为I=1，所以min{a b c,,b c a}=ac，即ab=ac或bc=ac，得b=c或b=a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．所以“I=1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件,所以“I=1”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件.。
人教新课标版数学高二选修1-1练习 充要条件
选修1-1 第一章 1.2 第2课时一、选择题1．设x ∈R ，则x >2的一个必要不充分条件是( ) A ．x >1 B ．x <1 C ．x >3 D ．x <3[答案] A[解析] ∵x >2⇒x >1，但x >1⇒/ x >2，∴选A.2．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0[答案] D[解析] 本题考查了两向量垂直的坐标运算． ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1,2)·(2,1)＝2(x －1)＋2＝2x ＝0，即x ＝0. a 与b 垂直和共线对应的坐标之间的关系不要混淆． [点评] 即a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；a ∥b ＝x 1y 2－x 2y 1＝0.3．下列四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3[答案] A[解析] ∵a >b ＋1⇒a －b >1⇒a －b >0⇒a >b ， ∴a >b ＋1是a >b 的充分条件． 又∵a >b ⇒a －b >0⇒/ a >b ＋1， ∴a >b ＋1不是a >b 的必要条件，∴a >b ＋1是a >b 成立的充分而不必要条件．[点评] 如a ＝2＝b ，满足a >b －1，但a >b 不成立；又a ＝－3，b ＝－2时，a 2>b 2，但a >b 不成立；a >b ⇔a 3>b 3.故B 、C 、D 选项都不对．4．设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( )C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]先分别写出适合条件的“x∈M或x∈P”和“x∈M∩P”的x的范围，再根据充要条件的有关概念进行判断．由已知可得x∈M或x∈P即x∈R，x∈M∩P即2<x<3，∴2<x<3⇒x∈R，但x∈R⇒/ 2<x<3，∴“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件，故应选B.5．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]若l1∥l2，则2a－2＝0，∴a＝1，故选C.6．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是()A．存在一条直线b，a∥b且b⊂αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥αC．存在一个平面β，a⊂β且α∥βD．存在一个平面β，a∥β且α∥β[答案] C[解析]A选项中，有可能a⊂α，B，D选项中也有可能a⊂α，C选项中，∵α∥β，又a⊂β，∴a与α无公共点．∴a∥α，故选C.7．(2013·福建理，2)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]本题考查了充要条件的判断．当a＝3时，A＝{1,3}，故A⊆B，若A⊆B⇒a＝2或a＝3，故为充分不必要条件．8．(2014·浙江文，2)设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A. 二、填空题9．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的________条件． [答案] 充分不必要[解析] 圆心为(a ，b )，半径r ＝ 2.若a ＝b ，有圆心(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离d ＝r ，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，有|a －b ＋2|2＝2，则a ＝b 或a －b ＝－4，所以“a＝b ”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．三、解答题10．求不等式(a 2－3a ＋2)x 2＋(a －1)x ＋2>0的解集是R 的充要条件． [解析] 讨论二次项系数：(1)由a 2－3a ＋2＝0，得a ＝1或a ＝2.当a ＝1时，原不等式为2>0恒成立，∴a ＝1适合．当a ＝2时，原不等式为x ＋2>0，即x >－2，它的解集不是R ，∴a ＝2不符合． (2)当a 2－3a ＋2≠0时，必须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2>0Δ＝(a －1)2－8(a 2－3a ＋2)<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a <1或a >2a <1或a >157，∴a <1或a >157.综上可知，满足题意的充要条件是a 的取值范围是a ≤1或a >157.一、选择题11．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．12．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] B[解析] 由条件知，甲⇒乙⇒丙⇔丁， ∴甲⇒丁且丁⇒/ 甲，故选B.13．(2013·北京理，3)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充要条件及三角函数的性质．当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，此时图象过原点；而当函数图象过原点时，可以取其他值．选A.14．命题甲：“a 、b 、c 成等差数列”，命题乙：“a b ＋cb ＝2”，则甲是乙的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵a ＝b ＝c ＝0，则a 、b 、c 也成等差数列，但推不出a b ＋cb ＝2；反过来由a b ＋cb＝2⇒a ＋c ＝2b ，即a 、b 、c 成等差数列．综上所述，“a 、b 、c 成等差数列”是“a b ＋cb ＝2”的必要不充分条件，故选A.[点评] 要注意区分“A 是B 的充分条件”和“A 是B 的充分非必要条件”，若A ⇒B ，则A 是B 的充分条件，若A ⇒B 且B ⇒/ A ，则A 是B 的充分非必要条件．二、填空题15．“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的________条件．[答案] 必要条件[解析] ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇒b 2－4ac ≥0⇒b 2≥4ac ⇒/ ac <0. 反之，ac <0⇒b 2－4ac >0⇒ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根． 所以“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的必要条件．16．命题p ：|x |<a (a >0)，命题q ：x 2－x －6<0，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________，若p 是q 的必要条件，则a 的取值范围是________．[答案] a ≤2 a ≥3[解析] p ：－a <x <a ，q ：－2<x <3， 若p 是q 的充分条件，则(－a ，a )⊆(－2,3)，∴⎩⎨⎧ －a ≥－2a ≤3，∴a ≤2， 若p 是q 的必要条件，则(－2,3)⊆(－a ，a )，∴⎩⎨⎧－a ≤－2a ≥3，∴a ≥3. 三、解答题17．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ax <0. [解析] 充分性：(由ac <0推证方程有一正根和一负根) ∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴方程一定有两不等实根，设为x 1、x 2，则x 1x 2＝ca <0，∴方程的两根异号．即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根. 必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac <0)， ∵方程有一正根和一负根，设为x 1、x 2， 则由根与系数的关系得x 1x 2＝ca <0，即ac <0，综上可知：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.18．不等式x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，求m的取值范围．[解析]令f(x)＝x2－2mx－1要使x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，∵f(x)的图象开口向上，且f(0)＝－1<0(如图)，∴f(1)>0，即1－2m－1>0，∴m<0.∴m的取值范围是m<0.。
人教A版高中数学选修1-1课时自测 当堂达标：1.2.2 充要条件 精讲优练课型
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课时自测·当堂达标1.设x∈R,则“x>1”是“x2>1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由题易知“x>1”可以推得“x2>1”,“x2>1”不一定得到“x>1”,所以“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件.2.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件【解析】选A.因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙丙,如图.综上,有丙⇒甲,但甲丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.3.(2016·温州高二检测)在△ABC中,“A>60°”是“sinA>”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若“A>60°”成立,则A可能大于120°,此时“sinA>”不一定成立,即“A>60°”⇒“sinA>”为假命题;在△ABC中,若“sinA>”,则60°<A<120°,即“A>60°”一定成立,即“sinA>”⇒“A>60°”为真命题;故“A>60°”是“sinA>”的必要不充分条件.4.已知a,b,c,d为实数,且c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为c>d,所以-c<-d,故由a>b,推不出a-c>b-d,而由a-c>b-d,c>d,两式左右两边分别相加得出a>b.5.下列各题中,p是q的什么条件?说明理由.(1)p:a2+b2=0;q:a+b=0.(2)p:a≤-2或a≥2;q:方程x2+ax+a+3=0有实根.(3)p:圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切;q:c2=(a2+b2)r2.【解析】(1)因为a2+b2=0⇒a+b=0,a+b=0a2+b2=0,所以p是q的充分不必要条件.(2)当a≤-2或a≥2时,如a=3,则方程x2+3x+6=0无实根,而x2+ax+a+3=0有实根时,Δ≥0,得a≤-2或a≥6,可推出a≤-2或a≥2.所以p是q的必要不充分条件.(3)若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r,即r=,从而c2=(a2+b2)·r2,反之,也成立.所以p是q的充要条件.关闭Word文档返回原板块小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学人教A版选修2-1练习课件：1-2-2 充要条件
2. 当且仅当就是充要的吗？ 提示：我们常用当且仅当来表达充要条件，p 是 q 的充要条 件也可说成：p 成立当且仅当 q 成立．如果 p、q 互为充要条件， 那么命题 p 和命题 q 是两个相互等价的命题．另外对于符号 “⇔”，要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“必需且只 需”，“反之亦真”等．
第十四页，编辑于星期日：二十三点 二十六分。
2.用逻辑运算来判断充要条件 当问题中已经给出了若干个条件和结论，判断其充要条件 时，应根据已知条件画出推式图，从图中寻求推式的传递性， 得出结论．
第十五页，编辑于星期日：二十三点 二十六分。
3.充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件，应分两步： ①充分性：把p当成条件，结合命题的前提条件或已学知识 推出q. ②必要性：把q当成已知条件，结合命题的前提条件或已学 知识推出p. 综合以上可知p是q的充要条件．
体验数学的等价转化思想， 要条件问题.
增强逻辑思维能力.
第四页，编辑于星期日：二十三点 二十六分。
01课前自主学习
第五页，编辑于星期日：二十三点 二十六分。
若 p⇒q 且 q⇒p，则 p⇔q，就说 p 是 q 的_充__分__必__要__条__件___， 简称充要条件，那么 q 也是 p 的_充__要__条__件__．_概括地说，如果 ___p_⇔__q__，那么 p 与 q 互为_充__要__条__件__．_
③充要性的证明必须做到充分性、必要性同时证，不要只 证充分性或只证必要性．
第十七页，编辑于星期日：二十三点 二十六分。
No.1 充要条件的判断 例 1 下列各小题中，p 是 q 的充要条件的是( ) ①p：m<－2 或 m>6，q：y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同的零 点；
【同步课堂】人教A版高中数学选修1-1第一章 1.2.2《充要条件》课件(共19张PPT)
思• 考单2击：此“p处是编q的辑充母分版条文件本”样与式“p是q的充分不 必• 要第条二件级”、“p是q的充要条件”有何联系？
• 第三级
• 第四级 • “充第p分五是条级q件的
”
“p是q的充分不必要条件 ” （两层含义）
“p是q的充要条件”
练习单. 击此处编辑母版标题样式
p•:x单<1击q:此x<处m编且辑p是母q版的充文分本必样要式条件，求m的范围。
思想方法：等价转化，数形结合
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式Leabharlann • • • •第二级
第 第 第123...三四五必选预级级级做做习：：：习习1.3题题简11..单22 AB的组组逻第第辑32、连题4接题词
解• ：p第是设二qA的级充分x |必x要条1件,B x | x m
• A第三B级 • m第四1 级
变•解式第：1设五：A 级若 px是|qx的 充1,分B 不 必x |要x条 件m呢？
p是q的充分不必要条件
A B
m 1
变式2：若p是q的充分条件呢？ m 1
例3： 已单知击:⊙此O的处半径编为辑r,圆母心O版到直标线题l的样距离式为d.
爱国爱港是当特首 的什么条件？
• 第四级
• 第五级
复习单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
充• 第分二条级件，必要条件的定义:
•若第三p 级 q，则p是q成立的＿充＿分＿＿条件
• 第四级
• 第五级
q是p成立的＿必＿要＿＿条件
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级 • 第三级
新课讲单解 击此处编辑母版标题样式
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能力拓展提升
一、选择题
11．设{a n}是等比数列，则“a1<a2<a3”是“数列{a n}是递增数列”的()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析]若a1<a2<a3，则a1<a1q<a1q2，若a1>0，则q>1，此时为递增数列，若a1<0，则0<q<1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．
12．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] B
[解析] 由条件知，甲⇒乙⇒丙⇔丁，
∴甲⇒丁且丁⇒/甲，故选B.
13．(2012～2013学年度山东威海市直高中高二期末测试)已知命
题p ：x ≤1，命题q ：1x >1，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
[答案] B
[解析] 由1x >1，得1－x x >0，
∴x (x －1)<0，∴0<x <1.
由x ≤1⇒/ 0<x <1，
由0<x <1⇒x ≤1，故选B.
14．命题甲：“a 、b 、c 成等差数列”，命题乙：“a b ＋c b ＝2”，
则甲是乙的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ∵a ＝b ＝c ＝0，则a 、b 、c 也成等差数列，但推不出a b ＋
c b ＝2；
反过来由a b ＋c b ＝2⇒a ＋c ＝2b ，即a 、b 、c 成等差数列．
综上所述，“a 、b 、c 成等差数列”是“a b ＋c b ＝2”的必要不充
分条件，故选A.
[点评] 要注意区分“A 是B 的充分条件”和“A 是B 的充分非必要条件”，若A ⇒B ，则A 是B 的充分条件，若A ⇒B 且B ⇒/ A ，则A 是B 的充分非必要条件．
二、填空题
15．“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的________条件．
[答案] 必要条件
[解析] ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇒b 2－4ac ≥0⇒b 2≥4ac ⇒/ ac <0.
反之，ac <0⇒b 2－4ac >0⇒ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根．
所以“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的必要条件．
16．命题p ：|x |<a (a >0)，命题q ：x 2－x －6<0，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________，若p 是q 的必要条件，则a 的取值范围是________．
[答案] a ≤2 a ≥3
[解析] p ：－a <x <a ，q ：－2<x <3，
若p 是q 的充分条件，则(－a ，a )⊆(－2,3)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－a ≥－2a ≤3，∴a ≤2， 若p 是q 的必要条件，则(－2,3)⊆(－a ，a )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≤－2a ≥3
，∴a ≥3. 三、解答题
17．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ax<0.
[解析]充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
∵ac<0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两不等实根，设为x1、x2，则x1x2＝c
a<0，∴方程的两根异号．
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac<0)，
∵方程有一正根和一负根，设为x1、x2，
则由根与系数的关系得x1x2＝c
a<0，
即ac<0，
综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
18．不等式x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，求m的取值范围．
[解析]令f(x)＝x2－2mx－1
要使x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，
∵f(x)的图象开口向上，且f(0)＝－1<0(如图)，
∴m的取值范围是m<0.。