方程求根

2 2 1.75 1.625 1.625 1.625 1.6093750 1.6015625 1.5976562 1.5957031 1.5947266 1.5947266 1.5947266 1.5946045 1.5946046
1.5 -1.625 1.75 2.859375 1.625 0.54101563 1.5625 -0.56030273 1.59375 -0.01431274 1.609375 0.26217270 1.6015625 0.12363672 1.5976562 0.05458885 1.5957031 0.02011979 1.5947266 0.00289896 1.5942383 -0.00570803 1.5944824 -0.00140482 1.5946045 0.00074700 1.5945435 -0.00032893 1.5945741 二分14次，则 x*≈x14=1.5945741
所有有根区间的中点x0 , x1 , … , xk , …形成了一 xk s. 个序列，此序列必以s为极限，即 lim k
1 达到x的精度要求停止迭代： s xk 2 (bk ak ) bk 1 ak 1
1 xk 1 xk bk ak 2
1 2
10 4 xk ; xk 10 . 4 xk
1 2
1 2
用以上四种方法迭代计算，结果如下表：
k
0 1 2 3 4
方法1
1.5
方法2
1.5 1.402540803 1.345458388 1.375170231 1.360094190
对于高次代数方程，由代数学知识知，其根的个数 与代数方程的次数相同，对于超越方程，可能没有零点， 也可能有一个或若干个零点，甚至无穷多个零点。求解 非线性方程零点的问题，没有一般的求根公式，而实际 问题也并不一定需要求得精确解，只要求得满足精度要 求的根的近似值就可以了。
求解非线性方程的根的问题大致可分为下面几个方面： (1) 根的存在性。即方程有没有根，如果有根，有几个根？
改写为以下两种等价方 程 (1) x x 3 1, ( 2) x 3 x 1
建立迭代公式: (1) xk 1 x 1; (2) xk 1 3 xk 1
3 k
各步迭代结果如下 ：
k
0 1 2
3 4 5 6
方法1 1.5 2.375 12.39
方法2 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473
3 2
5
)
对应的迭代格式：
xk 1 xk xk 3 4xk 2 10;
xk 1
xk 1 xk 1
1 1 10 xk 3 2 ; 2
， 2

,
1 2
10 x 4x x
10 x , 4 x
(2)
两个重要误差公式说明
Ln s xn x1 x0 1 L (1)
L s xn xn xn 1 1 L (2)
1. 式（1）的误差估计，称为事前估计法，因为用它可以估计出要 达到给定精度ε s xn 所需次数n
则： g(x) 在[a, b]上的唯一不动点 s；
任取 x0[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列 { xk} 收敛于 s； 并且有误差估计式：
Lk | s xk | | x1 x0 | 1 L (1)
1 | s xk | | xk 1 xk | 1 L
Oh yeah? Who tells So basically we are you that the method done! I can’t believe is convergent? it’s so simple! What’s the problem?
定义：迭代公式 xk+1= g(xk) (k= 0,1, …) 被称为求
数学物理中的许多问题常常归结为解函数方 程(非线性方程) f(x)=0 ，f(x) 可是代数多项式， 也可是超越函数。方程 f(x)=0 的解 s称为它的根， 或称为 f(x) 的零点。 例 f ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n (an 0)为代数方程
f ( x) 2 x 5 x 2 0 为超越方程 若f ( x)可分解为 f ( x) ( x s ) m g ( x) 0 g (s) m为正整数,则称s为f ( x )的m重零点; 当m 1时,称s为f ( x)的单重零点; 零点可以是实数也可以是复数.
2.1.2 简单迭代法及其收敛性(不动点)
( Fixed-Point Iteration ) 迭代法思想
把 f (x) = 0 转化为等价的方程 x = g(x), 从而，
f (s) = 0 <=> s = g(s). s 叫 g(x)的不动点.
求 g(x) 不动点的过程
找s,使得s = g(s).
1.367846966
1.363886952 ┆ 1.365277171 ┆ 1.365230203
1.365230560
1.365229964
收敛性问题的图示
y y=x p1 p0 y=g(x)
y p0
y=x

x0 y x1 s y=g(x)

p1 x x0 s x1
[3pi/4,pi]
y=g(x)
(2) 根的分布。即求出根的区间。
(3) 根的精确化。即已知根的近似值后，设法逐步把根精确 化，直到满足精度为止。
本章介绍几种常用的、有效的数值计算方法。
2.1 非线性方程的迭代解法
对分法
迭代法及其收敛性
迭代法的收敛速度
迭代加速
2.1.1 对分法（二分法）
用C[a, b]表示 [a, b] 上一切连续函数所成集合.
f (a)· f (b) < 0
①简单; ②对 f (x) 要求不高 (只要连续即可) .
①无法求复根及偶重根； ②收敛慢。(后面学习)
注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图，以确定根的
大概位臵。 或用逐步搜索法，判断是否多个根，若是，将 [a, b] 分为若 干小区间，对每一个满足 f (ak)· f (bk) < 0 的区间调用二分 法程序，可找出区间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)· f (b) < 0 。
第2章 非线性方程的迭代解法
随着科学技术的发展，计算机在科学与工程 计算中的广泛应用，科学与工程计算已被推向科 学活动的前沿。在研究科学与工程计算中的许多 实际问题都需要求非线性方程。非线性方程在现 实社会中有很广泛的应用，例如：非线性有限元 问题、非线性断裂问题、及其它非线性力学问题、 电路问题、电力系统计算、医学、生命学、天气 预报、非线性规划、经济问题等。其中相当多的 是由拟线性或非线性偏微分方程离散化得到的。
从一个初值 x0 出发，计算
x1= g(x0), x2= g(x1), … , xk+1= g(xk), …
若 { xk } 收敛，即，存在实数 s 使得 则由
lim x k 1 lim g x k
k k
lim xk s 且 g(x) 连续， k
可知 s=g(s), 即 s是 g 的不动点, 它也是 f 的零点.
令 a0=a, b0=b . 对于 k = 0, 1, 2, …, n 执行 (1)计算
ak bk xk , 用 xk 近似 s. 2
(2)若 f(ak) f(xk) < 0 , 则 令 ak+1= ak , bk+1= xk ; 若 f(ak) f(xk) > 0 , 则 令 ak+1= xk , bk+1= bk . (3)反复做(1)与(2) , 直到精度满足要求.
[ a+jh, a + (j +1) h]内
f (a jh) f (a ( j 1)h) 0
j 0,1,2,
例
试用对分区间法求方程: f ( x) x 3 10x 20 0的唯一实根, 1 4 要求误差不超过 10 . 2
解： 因为 f (x)连续且f (x)=3x2 +10 > 0 (x(,))，故 f (x) 在(,)上单调增加 而 f (1) = 9 < 0, f (2) = 8 > 0， 所以 原方程在（1，2）内有唯一实根。 1 4 要使误差不超过 10 , 对分区间次数为： 2 1 ln(2 1) ln( 10 4 ) 2 n 1 13.29 ln 2 故 n 14
切线倾角[0,pi/4] x
两者斜率绝对值小于1 y y=x y=g(x) p0
y=x
p0 p1 x1 x0 s

x x0 s
p1

x
x1
收敛性定理两个误差估计式
定理2.1 考虑方程 x = g(x), g(x)C[a, b], 若
(I) 当 x[a, b] 时， g(x)[a, b]； (II) 0 L < 1，使得 | g'(x) | L < 1, x[a, b]。
解方程 f(x)=0 的简单迭代法（不动点迭代法）， 其中g(x)称为迭代函数。
注：上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思 想是将隐式方程归结为一组显示的计算公式， 就是说，迭代过程是一个逐步显示化过程。
例: 解:
求方程 f ( x) x3 x 1 0 在x0 1.5 附近的根。
图示如下
When to stop?
a
a x0
s