云南省师范大学五华区实验中学人教版九年数学教案 21

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数学人教版九年级上册《21.2.3 因式分解》教案

《21.2.3分解因式法》教案教学目标：一、知识与技能目标：1、会应用分解因式的方法求一元二次方程的解。

2、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法。

二、法与过程目标：1、理解分解因式法的思想，掌握用因式分解法解一元二次方程;2、能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。

通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”“降次”的数学思想方法。

三、情感与态度目标：通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。

再之，体会“降次”化归的思想。

从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识教学重点与难点：教学重点：运用分解因式法解一些能分解因式的一元二次方程。

教学难点：发现与理解分解因式的方法教学过程：一、温旧知新1.复习学习过的解方程方法：直接开平方法，配方法，公式法2.什么叫分解因式？把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式二、探究新知你能行1.对比法引入新知：当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.2.因式分解主要方法:(1)提取公因式法(2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b)a2±2ab+b2=(a±b)23.用分解因式法解方程:(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2); (3)x2+6x-7=04.强调：分解因式法解一元二次方程的步骤是:（1）将方程左边因式分解，右边等于0;（2）根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.（3）分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.三、练一练你行吧？（一）尝试分解因式法解下列方程1 .x2-4=0; 2.(x+1)2-25=0（二）解下列方程:()()()()()().14x-x1+xx.2x2=134.22,0++=（三）、分解因式，解方程，计算你能分辨吗？尝一尝四、二次项系数是1的二次三项式你能分解吗？（一）、常数项分解成两个因数的积，这两个因数的和恰好是一次项系数。

人教版九年级数学上册教案第21章一元二次方程复习 ----- 实际问题与一元二次方程

教学课题: 21.4 一元二次方程复习（三）----- 实际问题与一元二次方程教学目标:1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；2．通过各类实际问题，学会将应用问题转化为数学问题，运用方程思想解决问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；通过复习培养学生构建知识框架能力和建模思想，3．列一元二次方程解有关文图体会数学的应用价值。

教学重点:能根据不同的实际问题列出一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。

掌握列方程解实际间题的一般步骤教学难点:根据具体问题的数量关系并列出一元二次方程并解决问题教学过程:一、备学检查：1.解一元二次方程的方法有哪些？（开平方法、配方法、公式法、因式分解法）2.列方程解应用题的一般步骤：（审、设、列、解、验、答）二、设学导问：练习1.能否快速解下列方程：（1）(3x ＋2)2＝25 （2） 3(x ＋1)2＝ 13（3）x （x -1）=90 （4） 12x (x －1)=36 (5) (2－x)2－9＝0 (6) x 2+3x -10＝0 （7）4(3x －1)2－9(3x ＋1)2＝0.三、互学展示：类型1 利用一元二次方程解决循环问题例1.在李老师所教的班级中，两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么你知道李老师所教班共有多少名学生吗？【思路点拨】设李老师所教班共有x 名学生，每个人都要和其他(x －1)个人握手一次，共握手x (x －1)次，但每两个人握手一次，则全班学生一共握手12x (x －1)次．【解答】设李老师所教班共有x 名学生，依题意有12x (x －1)＝780，即(x －40)(x ＋39)＝0，解得x ＝40或x ＝－39(舍去)．答：李老师所教班共有40名学生．【跟踪训练】某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【方法归纳】单循环: 12x(x－1)=总场数双循环：x(x－1)=总场数类型2利用一元二次方程解决增长(降低)率问题例 2.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．(1)求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；(2)若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.4亿元？【思路点拨】(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x，则可用含x的代数式表示出2018年的利润，从而根据题意列出方程求解；(2)根据该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率来解答．【解答】(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x.根据题意，得：2(1＋x)2＝2.88.解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%.(2)如果2019年仍保持相同的年平均增长率，那么2019年该企业年利润为：2．88(1＋20%)＝3.456，3.456＞3.4.答：该企业2019年的利润能超过3.4亿元．【跟踪训练】经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是【方法归纳】平均增长(降低)率问题规律：平均增长率（下降率）是指增长（下降）数与基数的比。

人教版九年级数学上册21.2.2公式法教案

蒙阴四中教师教案一、复习引入导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解一般形式的一元二次方程()002≠=++a c bx ax ？二、自主探究活动 1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？ ○1；6x 2-7x+1=0 ○2()002≠=++a c bx ax 活动 2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解：1.移项得到6x 2-7x=-1，c bx ax -=+22.二次项系数化为1得到ac x a b x x x -=+-=-22,6167 3.配方得到 x 2-76x+（712）2=-16+（712）2 x 2+b a x+（2b a）2=-c a +（2b a ）24.写成（x+m ）2=n 形式得到（x-712）2=25144，（x+2b a ）2=2244b ac a -5.直接开平方得到x-712=±512，注意：（x+2b a）2=2244b ac a -是否可以直接开平方？三、尝试应用教师提出问题，学生思考学生观察思考尝试回答学生对比进行配方，通过自主探究，合作交流，展开对求根公式的推导学生尝试归纳，师生总结学生初步使用公式，教师规范板书。

之后总结使用公式步骤学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．活动3.对（x+2b a ）2=2244b ac a -观察，分析，在0≠a 时对2244b aca -的值与0的关系进行讨论活动 4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式，公式法. 活动 5.初步使用公式解方程6x 2-7x+1=0.活动6.总结使用公式法的一般步骤：○1把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号○2求出ac b 42-的值，方程()002≠=++a c bx ax ，当Δ＞0时，有两个不等实根；Δ=0时有两个相等实根；Δ<0时无实根.○3在ac b 42-≥0的前提下把a ，b ，c 的值带入公式x=242b b ac a-±-进行计算，最后写出方程的根. 四、补偿提高1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=02.课本例2 五、小结归纳本节课应掌握：1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根2.用求根公式求一元二次方程的根3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程. 六、作业设计必做：P42：4、5 选做：P43：11、12补充作业：某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过学生归纳，总结阐述，体会，应用拓展例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？部分还要按每千瓦时100A元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）3802544510根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．。

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章一元二次方程(教案)因式分解法教案

21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法一、教学目标【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.解一元二次方程的方法有哪些？（出示课件2）学生答：直接开平方法：x2=a (a≥0)，配方法：(x+m)2=n (n≥0)，公式法：x=2ba-±（b2-4ac≥0）.2. 什么叫因式分解?学生答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式.3.分解因式的方法有那些?（出示课件3）学生答：（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).（2）公式法:a²-b²=(a+b)(a-b), a²±2ab+b²=(a±b) ².（3）十字相乘法.教师问：下面的方程如何使解答简单呢？x2+25x=0.出示课件5：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）教师问：你能根据题意列出方程吗？学生答：设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0m ，即10x -4.9x 2=0.教师问：你能想出解此方程的简捷方法吗？（二）探索新知探究因式分解法的概念学生用配方法和公式法解方程10x -4.9x 2=0.（两生板演）配方法解方程10x -4.9x 2=0. 解：2100049x x -=，22210050500494949x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2250504949x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50504949x -=±50504949x =±+110049，=x 20.=x公式法解方程10x -4.9x 2=0.解：24.9100x x -=，a=4.9，b=－10，c=0.b 2－4ac= (－10)2－0=100，a acb b x 242-±-=()10102 4.9--±=⨯110049，=x20. =x教师引导学生尝试找出其简洁解法为：（出示课件7）x(10-4.9x)=0. ∴x=0或10-4.9x=0, ∴x1=0,x2=10049≈2.04.这种解法是不是很简单？教师问：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?x(10-4.9x)=0，①x=0或10-4.9x=0,②通过学生的讨论、交流可归纳为：（出示课件8）可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法．教师提示：（出示课件9）1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”.师生共同归纳：（出示课件10）分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程右边化为等于0的形式；2.将方程左边因式分解为A×B；3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.例1 解下列方程：（出示课件11）（1）x(x-2)+x-2=0; (2)5x 2-2x-14=x 2-2x+34. 师生共同解答如下：解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x 1=2,x 2=-1;（2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12,x 2=12. 想一想以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考后，教师总结如下：（出示课件12）一.因式分解法简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.二.选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.出示课件13：解下列方程：2222221 +=0; (2) -=0; (3) 3-6=-3;(4) 4-121=0; (5) 3(2+1)=4+2; (6) (-4)=(5-2).（）x x x x x x x x x x x 学生自主思考并解答.（六生板演）解：⑴因式分解，得x(x+1)=0.于是得x=0或x+1=0，x 1=0,x 2=－1.⑵因式分解，得x （x）=0于是得x=0或x-2=0x1=0,x2=2.⑶将方程化为x2－2x+1 = 0. 因式分解，得(x－1)(x－1)=0.于是得x－1=0或x－1=0，x1=x2=1.⑷因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得2x+11=0或2x-11=0，x1=-5.5,x2=5.5.⑸将方程化为6x2－x－2=0. 因式分解，得(3x－2)(2x+1)=0. 于是得3x－2=0或2x+1 = 0，x1=23，x2=12.⑹将方程化为(x－4)2－(5－2x)2=0.因式分解，得(x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.(3x－9)(1－x)=0.于是得3x－9=0或1-x=0，x1=3，x2=1.出示课件16：用适当方法解下列方程：−x)2；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.教师提示：根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．师生共同解答如下.（出示课件17,18,19）解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2＝3，x－1∴x1＝1x2＝1.(2)移项，得x2－6x＝19.配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28.∴x－3＝±.∴x1＝3＋，x2＝3－.(3)移项，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x＝−（−4）±√（−4）2−4×3×（−1）2×3＝2±73.∴x1＝2＋73，x2＝2－73.(4)移项，得y2－2y－15＝0.把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0. ∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0. ∴(x－3)(4x－1)＝0.∴x－3＝0或4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝1 4 .6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0. ∴(11x－8)(x＋12)＝0.∴11x－8＝0或x＋12＝0.∴x1＝811，x2＝－12.出示课件20,21：用适当的方法解下列方程：(1)x2－41＝0；(2) 5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．学生自主思考并解答.解：(1)∵x2－14＝0，∴x2＝14，即x＝±14.∴x1＝12，x2＝－12.⑵原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.∴3x＋2＝0或12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.（三）课堂练习（出示课件22-30）1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．2. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程x2－x＝0 时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝4 B．x＝3C．x＝2 D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案：1.-32.解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3,x2=32．3.解：⑴x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.4.D5.解：答案不唯一．若选择①，①适合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±5 2.∴x1＝3＋52，x2＝3－52.若选择②，②适合直接开平方法，∵(x－1)2＝3，x－1＝±3，∴x1＝1＋3，x2＝1－ 3. 若选择③，③适合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若选择④，④适合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.开方，得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5，x2＝1－ 5.5.提示：把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：设x2＋3＝y，则原方程化为y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①当y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解；②当y＝4 时，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.（四）课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?⑴公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.⑵方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.（五）课前预习预习下节课（21.2.4）的相关内容。

人教版九年级数学上册(教案)21.2.3 因式分解法教案

21．2.3因式分解法教学目标1．会用合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程．2．在探究因式分解法解方程的过程中，进一步体会转化的思想．教学重点用因式分解法解一元二次方程．教学难点通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景明确目标[数学建模]根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x－4.9x2，则物体经过多少秒落回地面？(结果保留两位小数)请根据题意列方程，对于方程10x－4.9x2＝0，用配方法或公式法解出来．思考：若将方程左边分解因式为：x(10－4.9x)＝0，你能用哪些方法解这个方程？学生思考回答：归纳导入：已学过的一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法，对于方程10x－4.9x2＝0，左边10x－4.9x2可因式分解为x(10－4.9x)，方程通过因式分解同样可以达到解一元二次方程的目的．什么是因式分解法？如何使用因式分解法？二、自主学习指向目标1．自学教材第12至14页．2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一用因式分解法解一元二次方程活动一：因式分解法1．对于方程10x－4.9x2＝0，把方程右边因式分解得到什么？2．当x(10－4.9x)＝0时，说明了x或10－4.9x值可能为什么？【展示点评】因式分解法解一元二次方程的步骤．活动二：出示例3：解下列方程(1)第(1)题可直接运用什么方法因式分解？(2)对于第(2)题先要如何整理，使用什么方法因式分解？【展示点评】第(1)题可提取公因式x－2，因式分解为(x＋1)(x－2)；第(2)题先移项、合并同类项，再依据平方差公式因式分解．【小组讨论】运用因式分解法解一元二次方程时方程两边如何变形？【反思小结】运用因式分解法解一元二次方程时，方程的左边化为两个一次因式的乘积的形式，右边一定要化为0，否则求的解是错误的．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一探究点二选择适当的方法解一元二次方程活动三：试用合适的方法解下列方程，相互交流思考下面的问题：例2：(1)5x2－4x＝0；(2)(x＋5)2＝3x＋15；(3)4x2－144＝0；(4)x2－2x－9999＝0；(5)2x2－x－3＝0.(1)哪种方法更简便？(2)因式分解法适合什么样的方程？【展示点评】通过解上述方程，显然各种方法均有优点；因式分解法适合一边可化为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程．【小组讨论】解一元二次方程的基本思路是什么？有哪些方法可以达到这个目的？如何选择解法？【反思小结】一般而言，直接开平方法适合于解形如(x＋m)2＝n(n≥0)形式的一元二次方程；配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；公式法的意义在于，对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解；当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就用分解因式的方法来解．我们在解一元二次方程时，选用它们的一般原则是：对于非(x＋m)2＝n(n≥0)型的一元二次方程，首先看分解因式法是否可行，接着思考配方法和公式法．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二四、总结梳理内化目标1．解一元二次方程的基本思路是将二次方程化为一次方程，即降次．使用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．2．当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就用分解因式的方法来求解．五、达标检测反思目标1．方程x(x＋3)＝x的根是( D )A．－2B．0C．无实根D．0或－22．若(m2＋n2)(1－m2－n2)＋6＝0，则m2＋n2的值为__3__．3．二次三项式x2＋20x＋96分解因式的结果为__(x＋12)(x＋8)__；如果令x2＋20x＋96＝0，那么它的两个根是__－12，－8__．4．选择适当的方法解下列方程：(1)(x－5)2＝4；(2)x2＝8x；(3)3x2－x－1＝0；(4)(2x＋1)2＝－6x－3；(5)(2x－1)2＝(3－x)2.【答案】(1)直接开平方法x1＝7，x2＝3；(2)因式分解法x1＝0，x2＝8；(3)公式法x1＝1,6＋13,6，x2＝1,6－13,6；(4)因式分解法x1＝－2，x2＝－1,2；(5)直接开平方法x1＝－2，x2＝4,3.六、布置作业巩固目标1．上交作业教材第17页第6题．2．课后作业见学生用书的“课后作业”部分．教学反思__。

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章一元二次方程(教案)公式法教案

21.2解一元二次方程21.2.2公式法一、教学目标【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能熟练应用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.【情感态度与价值观】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】用公式法解一元二次方程.【教学难点】推导一元二次方程求根公式的过程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.利用配方法解一元二次方程2704x x --=.（出示课件2）学生板演如下：解：移项，得274xx -=，配方222171242xx ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭由此可得12x -=±，112x =+212x =-2.用配方法解一元二次方程的步骤?（出示课件3）学生口答：化：把原方程化成x 2＋px＋q =0的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如x 2＋px =－q.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.x 2＋px＋(2p )2=－q＋(2p )2开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.(x+2p )2=－q＋(2p )2求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax 2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？（二）探索新知探究一公式法的概念教师问：一元二次方程的一般形式是什么？（出示课件5）学生答：ax 2＋bx＋c=0(a≠0).教师问：如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？师生共同探究：用配方法解一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=)0(≠a （出示课件6）解:移项，得ax 2+bx=-c.二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a .配方，得x 2+b a x+2(2b a =-c a +2()2ba ，即2224(42)b a a a b x c-+=.教师问：（1）两边能直接开平方吗？为什么？（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.师生共同完善认知：（出示课件7）20,40,≠>a a 当240,-b a c≥.22b x a a +=±x 1=-b+b 2-4ac 2a ，x 2=-b-b 2-4ac 2a.出示课件8：由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0(a≠0).当b 2-4ac≥0时，将a，b，c 代入式子x=42b a-±，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解方程：(1)x 2-4x-7=0;（出示课件9）学生思考后，共同解答如下：解：∵a=1，b=-4，c=-7,∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.4.2=x∴12=+x 22=x (2)2x 2x+1=0;（出示课件10）教师问：这里的a、b、c 的值分别是什么？解：2,21.==-=a bc 224(24210.△=-=--⨯⨯=ba c则方程有两个相等的实数根：12.2222-==-=-=⨯b x x a （3）5x 2-3x=x+1;（出示课件11）解：原方程可化为25410x x --=1,4,5-=-==c b a ，224(4)45(1)36＞0△b =-=--⨯⨯-=ac则方程有两个不相等的实数根(4)46.22510-±--±±===⨯b x a 12464611,.10105+-====-x x （4）x 2+17=8x.（出示课件12）解：原方程可化为28170x x -+=，17c 8,1,=-==b a ，,0＜41714)8(422-=⨯⨯--=-=acb△方程无实数根.教师归纳：（出示课件13）⑴当∆=b 2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根;⑵当∆=b 2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根;⑶当∆=b 2-4ac＜0时，一元二次方程没有的实数根.教师问：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？学生思考后，共同总结如下：（出示课件14）用公式法解一元二次方程的一般步骤：1.将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值.2.求出∆的值.3.(1)当∆>0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.(2)当∆=0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.（3）当∆<0时，方程无实数根.出示课件15：用公式法解方程：23620x x --= 学生自主思考并解答.解：a=3,b=-6,c=-2,∆=b 2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.6.23±=⨯x 13,3+=x 2.3=x 探究二一元二次方程的根的情况出示课件16：用公式法解下列方程：（1）x 2＋x－1=0；（2）x 2－＋3=0；（3）2x 2－2x＋1=0.学生板演后，教师问：观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？教师进一步问：（出示课件17）不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x 2＋2x－8=0；⑵x 2=4x－4；⑶x 2－3x=－3.学生思考后回答：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根.教师问：你有什么发现？学生答：b 2－4ac 的符号决定着方程的解.师生共同总结如下：（出示课件18）一元二次方程）（0 02≠=++a c bx ax的根的情况⑴当b 2-4ac＞0时，有两个不等的实数根：12,;22b b x x a a-+--==（2）当b 2-4ac=0时，有两个相等的实数根：12;2bx x a-==（3）当b 2-4ac<0时，没有实数根.一般的，式子b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b 2-4ac.出示课件20，21：例1不解方程，判断下列方程根的情况：（1） 06622=-+-x x ；（2）x 2+4x=2.（3）4x 2+1=-3x;（4）x²-2mx+4（m-1）=0.师生共同讨论解答如下：解：⑴a＝﹣1，b＝，c＝﹣6,∵△=b 2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0.∴该方程有两个相等的实数根.⑵移项，得x2+4x-2=0,a＝1，b＝4，c＝﹣2,∵△=b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0.∴该方程有两个不相等的实数根.⑶移项，得4x2+3x+1=0，a＝4，b＝3，c＝1,∵△=b2-4ac=9-4×4×1=-7＜0.∴该方程没有实数根.⑷a＝1，b＝-2m，c＝4（m-1）,∵△=b2-4ac=（-2m）²-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0.∴该方程有两个实数根.选一选：（出示课件22）（1）下列方程中，没有实数根的方程是（）A.x²=9B.4x²=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y²+6y+7=0（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b²-4ac＞0B.b²-4ac＜0C.b²-4ac≤0D.b²-4ac≥0学生口答：⑴D⑵D出示课件23：例2m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？学生思考后，教师板演解题过程：解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0，∴m＞9 8-；（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0，∴m=9 8-；（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0,∴m＜9 8-.∴当m＞98-时，方程有两个不相等的实数根；当m=98-时，方程有两个相等的实数根；当m＜98-时，方程没有实数根.出示课件24：m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.学生自主思考并解答.解：b2−4ac=[−(m−1)]2−4[−3(m+3)]=m2+10m+37=m2+10m+52−52+37=(m+5)2+12.∵不论m 取任何实数，总有（m+5）2≥0,∴b 2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,∴不论m 取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（）A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜12.解方程x 2﹣2x﹣1=0．3.方程x 2－4x＋4＝0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根4.关于x 的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k 的取值范围是（）A.k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠05.已知x 2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x 2＋mx＝1－2m 必有两个不相等的实数根.参考答案：1.D2.解：a=1，b=﹣2，c=﹣1，△=b 2﹣4ac=4+4=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根，4222x 122b a -±±===±1211x x =+=-3.B4.B5.证明：∵没有实数根，∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x 2＋mx＝1-2m ，即2210x mx m ++-=.，∵，∴△>0.∴x 2＋mx＝1－2m 必有两个不相等的实数根.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（21.2.3）的相关内容。

人教版数学九年级上册教学设计21.2.2《公式法》

人教版数学九年级上册教学设计21.2.2《公式法》一. 教材分析人教版数学九年级上册第21.2.2节《公式法》是二次函数求解部分的重要内容。

本节主要介绍公式法求解二次方程的步骤和应用。

教材通过例题和练习题，使学生掌握公式法的基本原理，能够熟练运用公式法求解二次方程，并解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念和图像，对二次函数有一定的认识。

但学生在求解二次方程时，可能还不太熟悉公式法，需要通过本节课的学习，进一步巩固和提高。

三. 教学目标1.了解公式法求解二次方程的基本原理。

2.掌握公式法求解二次方程的步骤。

3.能够熟练运用公式法求解二次方程，并解决实际问题。

4.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：公式法求解二次方程的基本原理和步骤。

2.难点：如何灵活运用公式法求解实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：讲解公式法的基本原理和步骤。

2.案例分析法：分析例题，引导学生运用公式法解决问题。

3.练习法：通过练习题，巩固所学知识。

4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.教材和人教版数学九年级上册相关资料。

2.投影仪和电脑。

3.练习题和答案。

4.教学课件。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示二次方程的图像，引导学生回顾二次函数的基本概念。

然后提出问题：“如何求解二次方程？”引发学生的思考。

2.呈现（10分钟）介绍公式法求解二次方程的基本原理和步骤。

通过讲解和示例，让学生明白公式法的运用过程。

3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（5分钟）分组讨论：如何运用公式法解决实际问题？让学生通过讨论，提高解决问题的能力。

5.拓展（5分钟）出示一些实际问题，让学生运用公式法解决。

教师点评学生的解题过程，指出不足之处。

6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调公式法在解决二次方程中的应用。

7.家庭作业（5分钟）布置一些有关公式法的练习题，让学生巩固所学知识。

人教版九年级上册数学教案：21.2.3因式分解解一元二次方程

第4讲因式分解解一元二次方程一、【教学要求、目标】1、掌握用因式分解法解一元二次方程．2、通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．二、【教学重点、难点】1．重点：用因式分解法解一元二次方程．2．•难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．三、【课堂精讲】1．公式法：平方差公式： ))((22b a b a b a -+=- 完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±2.小结：分解因式的一般步骤为：（1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式。

（2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式。

（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止。

例1、用公式法解下列方程．（1）（x +1）（x +3）＝6x +4．（2）（3） x 2－（2m +1）x +m ＝0．例2已知x 2－7xy +12y 2＝0（y ≠0）求x ：y 的值．21)0x x ++=例3、三角形两边的长是3，8，第三边是方程x 2—17x +66＝0的根，求此三角形的周长．例4、关于x 的二次三项式：x 2+2rnx +4－m 2是一个完全平方式，求m 的值．例5、利用配方求2x 2－x +2的最小值．例6、x 2+ax +6分解因式的结果是（x －1）（x +2），则方程x 2+ax +b ＝0的二根分别是什么?例7、a 是方程x 2－3x +1=0的根，试求的值．3、用“十字相乘法”解一元二次方程我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式()()25623x x x x ++=++，即，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

人教版九年级数学上册 21.2.3 公因式法解方程教案

人教版九年级数学上册 21.2.3 公因式法解方程教案人教版九年级数学上册第21章主要涉及的是二次方程及其应用，而21.2.3节“公因式法解方程”是该章节中的一个重要知识点。

以下是根据这一主题设计的教案概要：教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握利用公因式法解一元一次方程和部分可化简的一元二次方程的方法。

2.过程与方法：通过实际问题引入，引导学生探索方程中公因式的识别与提取，培养学生的观察、分析和归纳能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，提高学生解决问题的能力，增强学生面对挑战的信心。

教学重难点●教学重点：公因式法解方程的步骤和应用。

●教学难点：识别方程中的公因式，尤其是隐藏的公因式，以及如何有效地提取公因式简化方程。

教学过程引入新课（约5分钟）●生活实例引入：设计一个贴近学生生活的例子，如分配苹果问题，转换成数学方程，展示方程中明显或不明显的公因式。

●提出问题：如何利用方程中的公因式简化问题，快速找到解？新知讲授（约20分钟）1.概念讲解：●什么是公因式？如何在方程中识别公因式？●举例说明简单的一元一次方程和一元二次方程中公因式的提取方法。

2.步骤演示：●展示解方程的具体步骤：识别公因式→ 提取公因式→ 化简方程→ 求解剩余方程。

●通过板书或多媒体逐步演示，确保每个步骤清晰明了。

3.难点突破：●识别隐藏公因式的方法，如通过配对、分组等技巧。

●通过练习题，让学生尝试寻找并提取不同类型的方程中的公因式。

实践操作（约15分钟）●例题解析：选取几个典型例题，师生共同分析，逐步解决，强调解题思路和步骤。

●分组练习：学生分小组，每组分配不同难度的练习题，互相讨论，教师巡回指导。

●展示交流：请几组学生上台展示解题过程，分享解题策略，教师点评，强调正确方法和常见错误。

总结反馈（约5分钟）●回顾本课内容：总结公因式法解方程的关键点，强调识别和提取公因式的重要性。

●学生反馈：鼓励学生提出疑问，教师解答，或同学间相互解答。

人教版九年级数学上册(教案)：21.2.3因式分解法解一元二次方程

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“因式分解法解一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在实践活动环节，我发现学生们的参与度很高，他们积极讨论、操作实验，展示自己的成果。这说明实践活动对于提高学生的学习兴趣和动手能力是非常有帮助的。但同时，我也观察到有些小组在讨论过程中出现了分歧，可能是因为我没有提前给他们明确的指导。为了提高小组讨论的效率，我计划在下次活动中提前给出一些讨论的方向和建议。
关于学生小组讨论环节，我觉得整体效果还是不错的，学生们能够积极发表自己的观点，进行交流。但在引导与启发方面，我觉得自己做得还不够，有时候学生的讨论陷入了僵局，我没有及时给出有效的建议。在今后的教学中，我要加强对学生的引导，提高他们的思考和分析能力。
最后，在总结回顾环节，我觉得学生对这节课的知识点掌握得还不错，但仍有一些疑问。我会在课后及时解答这些问题，确保学生能够真正理解并运用所学知识。
其次，在新课讲授环节，我尝试用生动的语言和具体的案例来解释因式分解法解一元二次方程的概念和应用，从学生的反馈来看，这种方法效果还不错。但我也注意到，有些学生对判别式的理解还不够深入，可能是我讲解得不够细致，导致他们在实际操作时出现问题。针对这个问题，我打算在下一节课中增加一些判别式的练习题，帮助学生更好地掌握这一知识点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调因式分解的步骤和判别式的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的例题和图示来帮助大家理解。

云南省师范大学五华区实验中学九年级数学上册 21.2.3

因式分解法1.熟练掌握因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程,体会“降次”的思想.2.通过因式分解法解一元二次方程的学习,树立转化的思想.【重点难点】1.因式分解法解一元二次方程;2.能灵活选用适当的方法解一元二次方程.【新课导入】1.如果a·b=0,那么a= 0 或b= 0 .2.你学过的因式分解中的平方差公式:a2-b2= (a+b)(a-b) ;完全平方公式:a2±2ab+b2= (a±b)2.3.方程x(x-1)-2(x-1)=0你能很快的用简便的方法求出解吗?【课堂探究】一、因式分解法解一元二次方程1.方程(x+1)2=x+1的正确解法是( B )(A)化为x+1=1(B)化为(x+1)(x+1-1)=0(C)化为x2+3x+2=0(D)化为x+1=02.用因式分解法解一元二次方程.①5x2-4x=0;②3x(2x+1)=4x+2;③(2x-1)2-x2=0.解:①∵x(5x-4)=0,∴x1=0;x2=.②(2x+1)(3x-2)=0,解得x1=;x2=-.③∵(2x-1+x)(2x-1-x) =0,解得x1=,x2=1.二、选用适当的方法解一元二次方程3.方程(x+2)2=3(2+x)最适合的解法是( B )(A)直接开平方法 (B)因式分解法(C)公式法(D)配方法4.在下列各题的空格中填写适当的解法(1)方程(5x-3)2=7用直接开平方法较简便.(2)方程x2-3x+1=0用公式法较简便.(3)方程x2-2x=4用配方法较简便.1.因式分解法解一元二次方程2.一元二次方程解法的选择(1)移项:方程等号右边为0(2)分解:方程等号左边分解为两个因式的乘积(3)转化:每个因式为0,转化为两个一元一次方程(4)求解:解一元一次方程得原方程的解(1)直接开平方法(形如x2=p,(mx+n)2=p,p≥0).(2)配方法(二次项系数为1,一次项系数为偶数).(3)公式法(所有的一元二次方程,但b2-4ac≥0).(4)因式分解法(方程右边为0,左边能分解为两个因式的乘积).1.(2013河南)方程(x-2)(x+3)=0的解是( D )(A)x=2 (B)x=-3(C)x1=-2,x2=3 (D)x1=2,x2=-32.已知方程4x2-3x=0,下列说法正确的是( C )(A)只有一个根x=(B)只有一个根x=0(C)有两个根x1=0,x2=(D)有两个根x1=0,x2=-3.方程2x(x-2)=3(x-2)的根是x1=2;x2= .4.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,则x+y的值为-4或2 .5.用适当的方法解下列方程.(1)3x(x-1)=2(1-x);(2)( x+1)2-25=0;(3)(x-4)2=(5-2x)2;(4)x2+4x-5=0.解:( 1)解得x1=1;x2=-.(2)解得x1=-6;x2=4.(3)解得x1=1;x2=3.(4)解得x1=1;x2=-5.。

云南省师范大学五华区实验中学九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程教案2 (新版)新人教版

面积和数字问题1.掌握面积法、数字问题建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.2.根据面积与面积之间的等量关系及各位数上数字之间的关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.【重点难点】面积法、数字问题建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.【新课导入】1.一个三位数,百位上数字为a,十位上数字为b,个位上数字为c,则这个三位数表示为100a+10b+c .2.如图是一张长9 cm、宽5 cm的矩形纸板,将纸板四个角各剪去一个同样的正方形,可制成底面积是12 cm2的一个无盖长方体纸盒,设剪去的正方形边长为x cm,则可列出关于x的方程为(9-2x)(5-2x)=12 .【课堂探究】一、面积问题1.在一幅长为80 cm,宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x 满足的方程是( B )(A)x2+130x-1400=0(B)x2+65x-350=0(C)x2-130x-1400=0(D)x2-65x-350=02.某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚,其中一面靠墙,这堵墙的长度为12米.计划建造车棚的面积为80平方米,已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米, (1)为了方便学生出行,学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门,那么这个车棚的长和宽分别应为多少米?(2)如图所示,为了方便学生取车,施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路,使得停放自行车的面积为54平方米,那么小路的宽度是多少米?解:(1)设垂直于墙的一面长为x米,平行于墙的一面长为(26+2-2x)米,由题意得x(26+2-2x)=80,解得x1=4(不合题意,舍去),x2=10.答: 垂直于墙的一面长为10米,平行于墙的一面长为8米.(2)设小路的宽度为x米,由题意得(10-x)( 8-2x)=54,解得x1=13 (不合题意,舍去),x2=1. 答:小路的宽度为1米.二、数字问题3.如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,则这9个数的和为( D)(A)32 (B)126 (C)135 (D)1444.有一个两位数,它的十位数字比个位数字小2,十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数,求这个两位数.解:设十位数字为x,则个位数字为x+2,根据题意得3x(x+2)=10x+x+2,解得x1=2,x2=-(舍去),∴这个两位数为10×2+2+2=24.答:这个两位数为24.1.常用几何面积公式(1)矩形面积=长×宽;(2)正方形面积=边长2;(3)三角形面积=×底×高;(4)菱形的面积=×对角线l1×对角线l2. 2.数字问题(1)两个连续整数之间相差1,两个连续偶(或奇)数之间相差2;(2)一个两位数,个位数字是a,十位数字是b,则这个两位数可表示为10b+a.1.如图所示,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551平方米,则修建的路宽应为( A )(A)1米(B)1.5米(C)2米(D)2.5米2.小明同学在演算某数的平方时,将这个数的平方误看成它的2倍,使答案少了35,则这个数为( C )(A)-7 (B)-5或-7(C)-5或7 (D)73.如图所示,在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分种植草坪.要使草坪的面积为540平方米,则道路的宽为( C )(A)5米(B)3米(C)2米(D)2米或5米4.已知菱形面积为20,两条对角线的差是3,则菱形的两对角线的长分别为5和8 .5.一个两位数,十位数字与个位数字之和是5,把这个数的十位数字与个位数字对调后,所得的新的两位数与原两位数的乘积为736,则原来的两位数是23或32 .。

人教版九年级数学上册教案：21.1《因式分解法》参考教案

21.2解一元二次方程21.2.3 因式分解法教学内容本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。

教学目标知识技能1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．数学思考体会“降次”化归的思想。

解决问题能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．情感态度使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．重难点、关键重点：应用分解因式法解一元二次方程．难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2．（2）直接用公式求解．【设计意图】复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。

二、探索新知【问题】仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？【活动方略】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。

上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．【设计意图】引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．【探究】通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？（1）(2)20x x x-+-=；（2）221352244x x x x --=-+；（3）3(21)42x x x +=+；（4）22(4)(52)x x -=-．【活动方略】学生活动：四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．对于方程（1），若把（x －2）看作一个整体，方程可变形为（x －2）（x ＋1）＝0；方程（2）经过整理得到2410x -=，然后利用平方差公式分解因式；方程（3）的右边分解因式后变为3(21)2(21)x x x +=+，然后整体移项得到3(21)2(21)0x x x +-+=，把（2x －1）看作一个整体提公因式分解即可；方程（4）把方程右边移到左边22(4)(52)0x x ---=，利用平方差公式分解即可．教师活动：在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．【设计意图】主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．【应用】例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为2．x x10 4.9你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？【活动方略】学生活动：学生首先独立思考，自主探索，然后交流教师活动：在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．【设计意图】应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．三、反馈练习教材P14练习第1、2题补充练习解下列方程．1．12（2-x）2-9=0 2．x2+x（x-5）=0【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况.四、拓展提高例1：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．分析：要求22a b a bb a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222 a b a b bab a ---=-∵9a2-4b2=0 ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-223bb-=3当a=23b时，原式=-3．例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-3 a∴所求不等式的解集为x<-3 a【活动方略】教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。

人教版九年级数学上册教案：第21章因式分解法(第3课时)

21.2.3因式分解法(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1．掌握用因式分解法解一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法．【过程与方法】通过复习用配方法、公式法解一元二次方程,体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程,并应用因式分解法解决一些具体问题．【情感态度与价值观】了解因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法,它避免了复杂的计算,提高了解题速度和准确程度,培养学生的应用意识和创新能力．二、重难点目标【教学重点】运用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】选择适当的方法解一元二次方程．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P12～P14的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．将下列各题因式分解：am＋bm＋cm＝__m(a＋b＋c)__；a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；a2＋2ab＋b2＝__(a＋b)2__；x2＋5x＋6＝__(x＋2)(x＋3)__；3x2－14x＋8＝__(x－4)(3x－2)__.2．按要求解下列方程：(1)2x2＋x＝0(用配方法)；(2)3x2＋6x－24＝0(用公式法)．解：(1)x 1＝0,x 2＝－12. (2)x 1＝2,x 2＝－4. 3．对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做__因式分解法__.4．如果ab ＝0,那么a ＝0或b ＝0,这是因式分解法的根据．即：如果(x ＋1)(x －1)＝0,那么x ＋1＝0或 __x －1＝0__,即x ＝－1或__x ＝1__.环节2 合作探究,解决问题【活动1】小组讨论(师生对学)【例1】用因式分解法解下列方程：(1)x 2－3x －10＝0；(2)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34； (3)3x (2x ＋1)＝4x ＋2；(4)(x －4)2＝(5－2x )2.【互动探索】(引发学生思考)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？【解答】(1)因式分解,得(x ＋2)(x －5)＝0.∴x ＋2＝0或x －5＝0,∴x 1＝－2,x 2＝5.(2)移项、合并同类项,得4x 2－1＝0.因式分解,得(2x ＋1)(2x －1)＝0.∴2x ＋1＝0或2x －1＝0,∴x 1＝－12,x 2＝12. (3)原方程可变形为3x (2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0.因式分解,得(2x ＋1)(3x －2)＝0.∴2x ＋1＝0或3x －2＝0,∴x 1＝－12,x 2＝23. (4)移项,得(x －4)2－(5－2x )2＝0.因式分解,得(1－x )(3x －9)＝0,∴1－x ＝0或3x －9＝0,∴x 1＝1,x 2＝3.【互动总结】(学生总结,老师点评)用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)将一元二次方程化成一般形式,即方程右边为0；(2)将方程左边进行因式分解,将一元二次方程转化成两个一元一次方程；(3)对两个一元一次方程分别求解．【活动2】巩固练习(学生独学)1．解方程：(1)x 2－3x －10＝0；(2)3x (x ＋2)＝5(x ＋2)；(3)(3x ＋1)2－5＝0；(4)x 2－6x ＋9＝(2－3x )2.解：(1)x 1＝5,x 2＝－2.(2)x 1＝－2,x 2＝53. (3)x 1＝－1＋53,x 2＝5－13. (4)x 1＝－12,x 2＝54. 2．三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根,求该三角形的周长．解：解x 2－12x ＋35＝0,得x 1＝5,x 2＝7.∵3＋4＝7,∴x ＝5,故该三角形的周长＝3＋4＋5＝12.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】已知9a 2－4b 2＝0,求代数式a b －b a －a 2＋b 2ab的值．【互动探索】(引发学生思考)a 、b 的值能求出来吗？a 、b 之间有怎样的关系？怎样将a 、b 的值与已知代数式联系起来．【解答】原式＝a 2－b 2－a 2－b 2ab ＝－2b a. ∵9a 2－4b 2＝0,∴(3a ＋2b )(3a －2b )＝0,即3a ＋2b ＝0或3a －2b ＝0,∴a ＝－23b 或a ＝23b . 当a ＝－23b 时,原式＝－2b －23b ＝3；当a ＝23b 时,原式＝－3. 【互动总结】(学生总结,老师点评)要求a b －b a －a 2＋b 2ab的值,首先要对它进行化简,然后从已知条件入手,求出a 与b 的关系后代入,但也可以直接代入,因计算量比较大,容易发生错误．本题注意不要漏解．环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：先将方程一边化为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.请完成本课时对应练习！。

人教版九年级数学RJ上册精品教案第21章一元二次方程解一元二次方程 21.2.2 公式法

21.2.2 公式法教师备课素材示例●类比导入解下列一元二次方程：(1)x 2＋4x ＋4＝0；(2)6x 2－7x ＋1＝0；(3)5x 2－15x ＋14＝0；(4)2x 2＋6x ＋15＝0.然后让学生仔细观察四个方程的解答过程，由此发现有什么相同之处，有什么不同之处？接着再改变上面每个方程的其中一个系数，得到四个新的方程： (1)2x 2＋4x ＋4＝0；(2)6x 2－5x ＋1＝0；(3)5x 2－15x －40＝0；(4)2x 2＋x ＋15＝0.问题1：新方程与原方程的解答过程相比，有什么变化？【归纳】用配方法解不同的一元二次方程的过程中，相同之处是配方的过程(程序化的操作)，不同之处是方程的根的情况及其方程的根.问题2：既然过程是相同的，为什么根会不同？方程的根与什么有关？有怎样的关系？如何进一步探究？【归纳】因为系数发生了变化，所以根会不同．方程的根与系数有关系．【教学与建议】教学：①复习巩固旧知识，为本节课的学习打下更好的基础；②让学生充分感受用配方法解各种题型；③引导学生感受、猜测方程的根与系数有一定的关系．建议：在学生利用配方法解一元二次方程时，分组解答．●复习导入提问：怎样用配方法解一元二次方程？ (1)①移项；②化二次项系数为1；③方程两边都加上一次项系数的一半的平方； ④原方程变形为(x ＋m)2＝n 的形式； ⑤如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．(2)用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0).移项，得__ax 2＋bx ＝－c__．二次项系数化为1，得__x 2＋b a x ＝－c a __．配方，得__x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2__，即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2.因为a≠0，所以4a 2＞0.当b 2－4ac ＞0时，得__x ＋b 2a ＝±2a ，所以__x ＝－b2a±2a，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a.当b 2－4ac ＝0时，得x 1＝x 2＝－b 2a.当b 2－4ac<0时，方程无实数根．【教学与建议】教学：让学生回顾旧知，加深对配方法的理解．建议：全班同学在练习本上运算，请两名小组代表去黑板上练习．用式子b 2－4ac 判断方程根的情况：若b 2－4ac ＞0，则方程有两个不等的实数根；若b 2－4ac ＝0，则方程有两个相等的实数根；若b 2－4ac ＜0，则方程无实数根．【例1】(1)一元二次方程x 2－2x －1＝0根的情况是(D) A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．有两个不相等的实数根(2)不解方程，直接判定下列一元二次方程根的情况． ①2x 2＋3x －4＝0; ②3x 2＋2＝26x. 解：①Δ＝32－4×2×(－4)＝41＞0， ∴方程有两个不相等的实数根；②方程化为一般式为3x 2－26x ＋2＝0，Δ＝(－26)2－4×3×2＝0，∴方程有两个相等的实数根．用公式法解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，再代入公式，判断b 2－4ac 与0的大小关系，最后代入公式求根．【例2】解方程：16x 2＋8x ＝3.解：方程化为16x 2＋8x －3＝0.a ＝16，b ＝8，c ＝－3. Δ＝b 2－4ac ＝82－4×16×(－3)＝256＞0.方程有两个不相等的实数根x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－8±162×16＝－1±24，即x 1＝14，x 2＝－34.利用方程根的情况与b 2－4ac 的值的对应关系确定字母系数的值或取值范围．【例3】(1)若关于＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为(B)A ．m ≤94B ．m ＜94C ．m ≤49D ．m ＞49(2)若关于x 的一元二次方程x 2＋2x －k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为__－1__．(3)若关于－1)≤178且m≠1__．在解决实际问题时，利用根的判别式判断一元二次方程解的情况. 【例4】小林准备进行如下操作试验：把一根长为20dm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于12dm 2.”他的说法对吗？请说明理由．解：小峰的说法是对的．理由如下：假设这两个正方形的面积之和可以等于12dm 2.设此时其中一个正方形的边长为.由题意可得x 2＋(5－x)2＝12.化简，得2x 2－10x ＋13＝0.∵b 2－4ac ＝(－10)2－4×2×13＝－4<0，∴此方程没有实数根， ∴小峰的说法是对的．考古结果表明，在大约公元前，由于生产的需要，古巴比伦人就能解部分较为特殊的一元二次方程了，公元前300年左右，欧几里得提出了抽象的图解法来解一元二次方程，但缺陷是只能求正根．公元前250年左右，丢番图在《算术》中提出一元二次方程问题，但是当时的人们未找到它的求根公式．公元7世纪，印度的婆罗摩笈多首次使用代数方法解出一元二次方程，且同时容许有正负数的根．公元8世纪，阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式来求方程的正数解，并首次提出了方程一般解法，萨瓦索达在Liberembadorum 中首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲．高效课堂教学设计1．理解一元二次方程求根公式的推导．2．会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．▲重点求根公式的推导和公式法的应用． ▲难点一元二次方程求根公式的推导．◆活动1 新课导入用配方法解方程：(1)x 2＋3x ＋2＝0；(2)2x 2－3x －5＝0.解：(1)x 1＝－1，x 2＝－2；(2)x 1＝－1，x 2＝52.任何一个一元二次方程都可以写成ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？◆活动2 探究新知教材P 9 探究．提出问题：(1)运用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？(2)请结合“步骤”解方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，移项得__ax 2＋bx＝－c__，二次项系数化为1得__x 2＋b a x ＝－c a__，两边同时加一次项系数一半平方得__x 2＋b a x ＋b 24a 2＝b 24a 2－c a__．左边写成完全平方式，右边整理得__(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a __；(3)(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2两边能直接开平方求解吗？为什么？你觉得应该怎么办？学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，当__b 2－4ac≥0__时，x ＝－b ±b 2－4ac2a ，这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的__求根公式__．2．式子__b 2－4ac__叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式．Δ＞0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)__有两个不相等的实数根__；Δ＝0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)__有两个相等的实数根__；Δ＜0⇔方程ax 2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有实数根__．提出问题：(1)一元二次方程根的情况是由什么决定的？(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？需要注意什么问题？◆活动4 例题与练习例1 教材P11例2.例2 不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)x2－2x＋1＝0；(2)3x2＋4x＋5＝0；(3)－x2＋7x＋6＝0.解：(1)b2－4ac＝0，∴方程有两个相等的实数根；(2)b2－4ac＝－44＜0，∴方程无实数根；(3)b2－4ac＝73＞0，∴方程有两个不相等的实数根．例3 关于的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．解：(1)依题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－1)＝4m＋5＞0，解得m＞－5；4(2)答案不唯一，如：m＝1.此时方程为x2＋3x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.练习1．教材P12练习第1，2题．2．关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实根，则( B )A．k＝－4 B．k＝4 C．k≥－4 D．k≥4 3．关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是( D )A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4．若关于＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__m＞－4__．◆活动5 课堂小结1．求根公式的概念及其推导过程．2．公式法的概念．3．运用公式法解一元二次方程的步骤：(1)将所给的方程化成一般形式，注意移项要变号，尽量让a＞0；(2)找出系数a，b，c，注意各项系数及符号；(3)计算b2－4ac的值，若结果为负数，方程无解；若结果为非负数，代入求根公式算出结果．1．作业布置(1)教材P17习题21.2第4，5题；(2)对应课时练习．2．教学反思。

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章一元二次方程(教案)

21.3 实际问题与一元二次方程第1课时一、教学目标【知识与技能】会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.【过程与方法】经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中，进一步锻炼学生的分析问题，解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过建立一元二次方程解决实际问题，体验数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。

四、教学重难点【教学重点】构建一元二次方程解决实际问题.【教学难点】会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结果的合理性.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（出示课件2）你能解决这个问题吗？（出示课件4）（二）探索新知出示课件5：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作小明，其传染示意图如下：（1）第一轮传染后共有人患了流感；（2）第二轮传染后共人患了流感.根据示意图，列表如下：（出示课件6）最后师生共同完成解答过程：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列方程为1+x+(1+x)·x=121提取公因式，得(1+x)(1+x)=121,即(1+x)2=121.∴x1=10,x2=-12(不合题意，应舍去)，故平均一个人传染了10个人.教师强调：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以舍去.想一想：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?（出示课件7）师生共同分析：生1口答：第1种做法：以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331(人).生2口答：第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331（人）.思考：如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？（出示课件8）师生共同分析：达成共识：经过n轮传染后共有(1+x)n人患流感.出示课件9:例1 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?师生共同分析后解答如下：解：设每个支干长出x个小分支，由题意可列方程为1+x+x2=91,即x2+x-90=0.解得x1=9,x2=-10(不合题意，应舍去),答：每个支干长出9个小分支.出示课件10:引导学生思考并解答如下问题：1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？答案：每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.2.解决这类传播问题有什么经验和方法？答案：（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.教师问：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？（出示课件11）学生自主思考后，教师归纳如下：出示课件12:电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？学生思考后自主解决.解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.依题意得6+6x+6x(1+x)=2400.6(1+x)²=2400.解得x1=19或x2=-21(舍去).答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.出示课件13:例2 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？引导学生积极思考，寻求出实际问题中所蕴含的等量关系，最后师生共同完成解答过程.解：设这个小组共x人，根据题意列方程，得x(x-1)=72.化简，得x2-x-72=0.解方程，得x1=9，x2=-8（舍去）.答：这个小组共9人.出示课件14:生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求全组有多少名同学？学生独立思考，自主探究，找出题目中的等量关系后自主解答：解：全组有x名同学，根据题意，得x（x-1）=182.解得x1=14，x2=-13（不合题意，舍去）.答：全组有14名同学.（三）课堂练习（出示课件15-22）1.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人2.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．73.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（）A.x2=1980B.x(x+1)=1980C.x(x-1)=1980D.x(x-1)=19804.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）A.1+x+x(1+x)=73B.1+x+x2=73C.1+x2=73D.(1+x)²=735.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（）？A.10B.9C.8D.76.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.7.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？8.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？参考答案：1.C2.C3.D4.B5.D6.107.解：初三有x个班，根据题意列方程，得1x x-=(1) 6.2化简，得x2-x-12=0.解方程，得x1=4，x2=-3（舍去）.答：初三有4个班.8.分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌.解：设每个有益菌一次分裂出x个有益菌.60+60x+60(1+x)x=24000.x1=19，x2=-21（舍去）.因此每个有益菌一次分裂出19个有益菌.三轮后有益菌总数为24000×(1+19)=480000.（四）课堂小结通过这节课的学习，你对传播类的应用问题的处理有哪些体会和收获？谈谈你的看法.（五）课前预习预习下节课（21.3第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.教师引导学生熟悉列一元二次方程解应用题的步骤，创设问题推导出列一元二次方程解应用题的步骤，有利于学生熟练掌握用一元二次方程解应用题的步骤.2.传播类和增长率问题是一元二次方程中的重点问题，本设计问题中反映出不同的“传播”和增长率，有利于学生更好地掌握这一问题.。

云南省师范大学五华区实验中学人教版九年数学教案 21

数学人教版九年级上册《21.2.3 因式分解》教案

人教版九年级数学上册教案 第21章 一元二次方程复习 ----- 实际问题与一元二次方程

人教版九年级数学上册21.2.2公式法 教案

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程(教案)因式分解法教案