数值分析试卷及其答案2
数值分析模拟试卷1,2,3
数值分析模拟试卷1一、填空（共30分，每空3分） 1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________.2 设,2,1,0,,53)(2==+=k kh x xx f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则⎰=10)(dx x xq k ________，=)(2x q ________.5 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001aaa a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的.二、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f ,（1）试求)(x f 在]49,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3241+=+，（1） 证明R x ∈∀0均有∙∞→=x x n x lim （∙x 为方程的根）；（2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？五、（15分） 设有常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分） 已知方程组b Ax ＝，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,13.021b A ， （1） 试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性. （2） 若有迭代公式)()()()1(b Axa xxk k k ++=+，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛. 七、（8分） 方程组，其中，A 是对称的且非奇异.设A 有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明.其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字； 2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond______________________ ；5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；6. 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+04511532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；7. 为使两点数值求积公式：⎰-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________. 8. 求积公式)]2()1([23)(30f f dx x f +≈⎰是否是插值型的__________，其代数精度为___________。
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
数值分析第二版(丁丽娟)答案
1.32
1.68
2.08
2.52
3.00
解答下列问题 （1）试列出相应的差分表； （2）写出牛顿向前插值公式； （3）用二次牛顿前插公式计算 f（0.225）；
例3已知当 x=-1，0，2，3时，对应的函数值为
，
，
，
，
，求 的四次 Newton 插值多项式。
例4 设 对 n=1,2,3时
，证明：
例5 设 （1）
6 2730.5000 5051.0000 5051.5000
7 10922.5000 23483.0000 23483.5000
8 43690.5000 80827.0000 80827.5000
21.000000000000000 17.000000000000000 16.238095238095237 16.058823529411764 16.014662756598241 16.003663003663004 16.000915583226515
第一章答案
第二章答案
第三章答案
0 0.5 0.5 1 1 2.5000
5.0000 5.5000
第四章答案
2 10.5000 19.0000 19.5000
3 42.5000 91.0000 91.5000
4 170.5000 315.0000 315.5000
5 682.5000 1467.0000 1467.5000
3、 用规范化幂法求
按模最大的特征值和对应的特征向量，取初值
。当特征值有3位小数稳定时停止。
4、 用反幂法求矩阵
练习五
，迭代7次。
的最接近于6 的特征值和对应的特征向量，取初值
(完整)数值分析试题库与答案解析,推荐文档
模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设，，则=.，= ______.152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 342⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ∞A1x3．已知y =f (x )的均差（差商），，，01214[,,]3f x x x =12315[,,] 3f x x x =23491[,,]15f x x x =, 那么均差=.0238[,,] 3f x x x =423[,,]f x x x 4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：则,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C ＝ .)4(3C 5．解初始值问题的改进的Euler 方法是阶方法；0(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩6．求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为，123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩若取, 则.(0)(1,1,1)=- x(1)=x 7．求方程根的牛顿迭代格式是 .()x f x =8．是以整数点为节点的Lagrange 插值基函数，则01(), (),, ()n x x x 01, ,, ,n x x x =.()nk jk k x x =∑9．解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是.=Ax b (1)()k k +=+x Bx g 10．设，则的三次牛顿插值多项式为(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====()f x ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式满足：，，()p x (1)15p =(1)20p '=(1)30p ''=，.(2)57p =(2)72p '=2．构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰其代数精度.3．用Newton 法求方程在区间内的根, 要求.2ln =-x x ) ,2(∞8110--<-kk k x x x 4．用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：2y a bx=+i x 19253038iy 19.032.349.073.35．用矩阵的直接三角分解法解方程组.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x 6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩，1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++其中.(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+三、证明题（10分）设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足x ()f x ()f x '0()m f x M '<≤≤的任意，迭代格式均收敛于的根.20Mλ<<λ1()k k k x x f x λ+=-()0f x =*x 参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.； 4. ； 5. 二； 911516456. , (0.02，0.22，0.1543)(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩7. ; 8. ; 9. ;1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-j x ()1B ρ<10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题1．差商表：11122151515575720204272152230781233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+令，，求出a 和b.(2)57p =(2)72p '=2．取，令公式准确成立，得：()1,f x x =,, , .0112A A +=011123A A +=013A =116A =时，公式左右；时，公式左, 公式右2()f x x =14=3()f x x =15=524=∴ 公式的代数精度.2=3．此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析试题(卷)和答案解析
【试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
-2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定2. 什么是不动点迭代法()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：。
i x 1 2 3i y2 4 12 <3i y '并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组： ，12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦（10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
研究生《数值分析》课程作业(二) (含答案)
研究生《数值分析》课程作业（二）姓名： 学号： 专业： 1、据如下函数值表，建立二次的Lagrange 插值多项式及Newton 插值多项式。
20012222()()()()()()()(1)(2)(0)(2)(-0)(1)593143(01)(02)(10)(12(20)(21)22L x f x l x f x l x f x l x x x x x x x x x =++-----=⨯+⨯+⨯=-+------解： 二次 l agr ange插值）Newton 插值多项式：200100120122()()[,](-)[,,](-)(-)555932(0)(0)(1)32()32222N x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x =++=-⨯-+--=-+-=-+ ()y f x =2、已知单调连续函数在如下采样点处的函数值*()0[2,4],f x x =求方程在内根的近似值使误差尽可能小。
解：1()()y f x x f y -==解：对的反函数进行二次插值1110201122012010210122021(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)()()()()()()()()()(0 2.25)(05)(03)(05)(03)(0 2.25)2 3.54(3 2.25)(35)(2.253)(2.255)(53)(5 2.25)y y y y y y L f y f y f y y y y y y y y y y y y y ---------=++--------+-+-=⨯+⨯+⨯----+-+- 2.945≈()(1)01(1)1()[,]()(,),()[,],()()()()()(1)!,n n n n n n n n f x a b f x a b a x x x b L x x a b f R x f x L x x n a b x ξωξ+++≤<<<≤∈=-=+∈ 3、证明：设在上连续，在内存在，节点是满足拉格朗日插值条件的多项式，则对任何插值余项这里（）且依赖于。
数值分析考试卷及详细答案解答
数值分析考试卷及详细答案解答姓名班级学号⼀、选择题1.()2534F,,,-表⽰多少个机器数(C ).A 64B 129C 257D 2562. 以下误差公式不正确的是( D)A ．()()()1212x *x *x *x *εεε-≈+B ．()()()1212x *x *x *x *εεε+≈+C ．()()()122112x *x *x *x *x x *εεε?≈+ D ．()()()1212x */x *x *x *εεε≈-3. 设)61a =, 从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪⼀个在数值计算上将给出a 较好的近似值？(D )A6)12(1+ B 27099- C 3)223(- D3)223(1+4. ⼀个30阶线性⽅程组, 若⽤Crammer 法则来求解, 则有多少次乘法? ( A )A 31×29×30!B 30×30×30!C 31×30×31!D 31×29×29!5. ⽤⼀把有毫⽶的刻度的⽶尺来测量桌⼦的长度, 读出的长度1235mm, 桌⼦的精确长度记为（ D ）A 1235mmB 1235-0.5mmC 1235+0.5mmD 1235±0.5mm⼆、填空1.构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化。
2.⼗进制123.3转换成⼆进制为1111011.01001。
3.⼆进制110010.1001转换成⼗进制为 50.5625 。
4. ⼆进制0101.转换成⼗进制为57。
5.已知近似数x*有两位有效数字，则其相对误差限 5% 。
6. ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是 0.693 。
7.31415926x .π==，则131416*x .=，23141*x .=的有效数位分别为5 和3 。
8.设200108030x*.,y*.==-是由精确值x y 和经四舍五⼊得到的近似值，则x*y*+的误差限 0.55×10-3 。
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
数值分析试题及答案
数值分析试题一、 填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2 位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差r i＝(b i-a i1x1-a i2x2-…-a in x n)/a ii，(i=0,1,…,n)。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
数值分析参考答案第二章
第二章插值法1.当兀= 1—2时,/（%） = 0-3,4^/（%）的二次插值多项式。
解：X。
= I/】=—l,x2 = 2, /Uo) =0,/(^)=-3,/(X2) = 4;一丄(兀+i)(一2)，0（人）=Oo — xJOo — xJ 2加）=（_兀）（—心=丄（一1）（一2）（兀一兀）（州一呂）6(A-.VoX.V-Vj l(Y_1)(x+1)(x2-x Q)(x2-x t) 3则二次拉格朗口插值多项式为2厶⑴=£）恥）k=0=-3/0(X)+4/2(X)1 4= --U- 1)(A—2) + -(x-l)(x + 1)5r 3 7=-X" +—x--6 2 3/（x） = liix2.用线性插值及二次插值计算1110.54的近似值。
解：由表格知，x0 = 0・4，兀=0.59X2 = 0.6, x3 = 0.7,x4 = 0.8; f(x Q) = -0.916291,/(xj = -0.693147 /(A) = —0.510826,/a)= -0.356675 /(x4) =-0.223144若采用线性插值法计算hiO.54即/(0.54),则0.5 <0.54 <0.6/1(x) = ^—^ = -10(.v-0.6) 人一无X —X /.(%) = -__ =-10(x-0.5)厶⑴=/U1XW + /(x 2)/2(x)=6.93147(x — 0.6) - 5・ 10826(.— 0.5)・・・厶(0.54) = -0.6202186 « -0.620219若采用二次插值法计算lnO.54时, (V f _亠)=50(x-0.5)(x- 0.6)(x Q -xj(x 0-x 2)(工7。
)(工_亠)=-100(x- 0.4)(x — 0.6)(兀一 Xo )(X 】一XJ厶(x) = /UoVoW+/U1XW+/(x 2)/2(x )=-50 x 0.916291(%-0.5)(A -0.6)+ 69.3147(x-0.4)(x-0.6)-0.510826 x50(x-0.4)(x-0.5).14(0.54) = -0.61531984 « -0.615320 3.给全cosx,0 <x<90°的函数表,步长/? = r = （l/60）\若函数表具有5位有效数字，研 究用线性插值求cos 兀近似值时的总误差界。
数值分析第二次作业答案answer2
S4 = 0.11157238253891，S8 = 0.11157181325263。 同学们根据自己理解计算 S4 ，S8 都可。 复合梯形公式和复合 Simpson 公式的代码已重复多次，同学们自己整 理。 3. 用 Simpson 公式计算积分 误 差 为 |R(f )| = | − η ∈ (0, 1)。 4. 推导下列三种矩形求积公式： ∫b f (x)dx ∫a b f (x)dx ∫a b a f (x)dx = (b − a)f (a) + = (b − = (b −
14.7 53.63 从而 a = −7.855048，b = 22.25376。 2. 已知实验数据如下： 。 xi 19 25 31 38
44
yi 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 用最小二乘法求形如 y = a + bx2 的经验公式。 答案：两个待定常数，只能两个 φ。 φ0 ，φ1 也必须形如 y = a + bx2 。 可设 φ0 = 1，φ1 = x2 。法方程为： ( 5 5327 )( a b ) = ( 271.4 369321.5 )
第三章 函数逼近 1. 观测物体的直线运动，得出以下数据： 时间 t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离 s(m) 0 求运动方程。 ( 10 φ0 = 1，φ1 = t。法方程为： 6 14.7 )( a b ) = ( 280 1078 )
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1. 用 LU 分解及列主元高斯消去法解线性方程组 8 10 −7 0 1 x1 −3 2.099999 6 2 x 5.900001 2 = 5 5 − 1 5 − 1 x 3 x4 1 2 1 0 2 输出 Ax = b 中系数 A = LU 分解的矩阵 L 及 U ，解向量 x 及 det A；列 主元法的行交换次序，解向量 x 及 det A；比较两种方法所得的结果。 代码： A=[10,-7,0,1;-3,2.099999,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2]; b=[8,5.900001,5,1]'; x=A\b;x(1) 结果：1.7764e-016 LU分解代码： A=[10,-7,0,1;-3,2.099999,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2]; b=[8,5.900001,5,1]'; [m,n] = size(A); if m~=n, error('A matrix needs to be square'); end for i=1:n-1 pivot = A(i,i); if abs(pivot)<50*eps, error('zero pivot encountered'); end for k = i+1:n A(k,i) = A(k,i)/pivot; A(k,i+1:n) = A(k,i+1:n) - A(k,i)*A(i,i+1:n); end end 7
数值分析试题及答案
1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。
5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 18 4. ()()120f f < 5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩得 分 评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案()101x L x -=-()12x L x -=-()10.8L x ⎧-⎪=⎨⎪⎩()1.50.8L =2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即101,,A A A -，将()21,,f x x x =分别代入求积公式，并令其左右相等，得一、 填空（共20分，每题2分）1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。
数值分析参考答案第二章
第二章插值法解:X 0 1,X ! 1,X 2 2,f(X °)0,f (X 1)3,f(X 2) 4 7 l 0(x) (X X 1)(x X 2)1(X 1)(X 2)(X 0 X 1）（X X 2)2h(x) (X X 0）（X X 2)-(x 1)(x 2)(X 1 X0XX1 X 2) 6l 2（X(X x °)(x X 1) 1 “1)(x 1) (x (X 2 X °)(X 2 X i ) 3则二次拉格朗日插值多项式为2L 2（X ） yh （x ）k 02.给出f （x ） In x 的数值表X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Inx -0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算 In0.54的近似值。
解：由表格知，x 0 0.4, x 1 0.5, x 2 0.6, x 3 0.7, x 4 f （x 。
0.916291, f (x 1) 0.693147 f(X 2) 0.510826, f (x 3) 0.356675 f(X 4)0.223144若采用线性插值法计算In0.54即f （0.54）， 则 0.5 0.54 0.61 当 x 1, 1,2 时，f (x)0, 3,4，求f （x ）的二次插值多项式。
(X4 一2)(XX /VX2l 1(x) X X I X 2 X 2 10(x 0.6) l 2（XX X 2 X 1X 110(x 0.5)L i (x) f(xOh(x) f(X 2)〔2(x)6.93147(x 0.6) 5.10826( x 0.5) ^(0.54)0.6202186 0.620219L 2(X ) f(X 0)I °(X ) f(xj 1(x) f(X 2)J(x)L 2(0.54) 0.61531984 0.6153203.给全cosxO x 90'的函数表，步长h 1 究用线性插值求cosx 近似值时的总误差界。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 线性代数中，矩阵A的逆矩阵记作（）。
A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的基函数是（）。
A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案：A3. 在数值积分中，梯形规则的误差是（）阶的。
A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案：A4. 求解线性方程组时，高斯消元法的基本操作不包括（）。
A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案：D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中，收敛的必要条件是（）。
A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案：C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时，需要计算（）。
A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案：B7. 矩阵的特征值和特征向量是（）问题中的重要概念。
A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案：B8. 在数值分析中，条件数是衡量矩阵（）的量。
A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案：A9. 利用龙格现象说明，高阶插值多项式在区间端点附近可能产生（）。
A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案：A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的（）方法。
A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 线性代数中，矩阵A的行列式记作________。
答案：det(A) 或 |A|12. 插值法中，牛顿插值多项式的基函数是________。
答案：差商13. 在数值积分中，辛普森规则的误差是________阶的。
答案：O(h^4)14. 求解线性方程组时，迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发，通过不断________来逼近精确解。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。
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1、（本题5分）试确定722作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。
解 因为722=3.142857…=1103142857.0-⨯π=3.141592…所以31210211021005.0001264.0722--⨯=⨯=<=-π （2分）这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知722作为π的近似值具有3位有效数字。
（1分）而相对误差限310210005.00004138.0001264.0722-⨯=<≈=-=πππεr （2分）2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--654131321112321x x x ； 解 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111111131321112323121321323121l l l d d d l l l LDL A T由矩阵乘法得：57,21,21527,25,2323121321-==-==-==l l l d d d （3分）由y D x L b Ly T 1,-==解得TTx y )923,97,910(,)563,7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321321431x x x x x x x x x x x x x x1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式；2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=----=+-=+--=++++7)2217()8()2323(8)311(10)57()(3)(2)(1)1(4)(4)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x xxx x x x x x x x （2分）Gauss-Seidel 迭代格式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=----=+-=+--=++++++++++7)2217()8()2323(8)311(10)57()1(3)1(2)1(1)1(4)(4)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x xxx x x x x x x x （2分）2）由于所给线性方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=72211823038151010A 是严格对角占优的，所以Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式均是收敛的。
（2分）4、（本题6分）已知方程08.023=--x x在5.10=x 附近有一个根。
将此方程改写成如下2个等价形式：8.0,8.0332-=+=x x x x构造如下两个迭代格式： 1） ,2,1,0,8.0321=+=+k x x k k 2） ,2,1,0,8.031=-=+k x x k k判断这两个迭代格式是否收敛； 解 1）记328.0)(x x +=ϕ，则322)8.0(32)('x x x +=ϕ，14755.005.31)5.18.0(1)5.18.0(35.12)5.1('32322322<==+=+⨯=ϕ （2分）所以该迭代格式是局部收敛的。
（1分） 2）记8.0)(3-=x x ϕ，则8.023)('32-=x xx ϕ，1103.28.05.125.13)5.1('32>=-⨯=ϕ （2分）所以该迭代格式是发散的 （1分） 5、（本题6分）设23)()(a x x f -= （1）写出解0)(=x f 的牛顿迭代格式； （2）证明此迭代格式是线性收敛的。
解 （1）因23)()(a x x f -=，故)(6)('32a x x x f -=，由牛顿迭代公式 )(')(1n n k k x f x f x x -=+， ,1,0=k （1分）得kk k k k k k x a x a x x a x x x 665)(6)(32231+=---=+， ,1,0=k （2分）（2）因迭代函数2665)(x a x x +=ϕ，3365)('xax -=ϕ， （1分）3*a x = 故021)(365)('33*≠=-=a ax ϕ此牛顿迭代格式是线性收敛的。
（2分） 6、（本题9分）给定数据（1） 写出)(x f 的3次Lagrange 插值多项式)(3x L ； （2） 写出)(x f 的3次Newton 插值多项式)(3x N ； 解 （1）由题意知5,3,2,03210====x x x x2)(,4)(,3)(,1)(3210=-=-==x f x f x f x f +------=))()(())()(()()(30201032103x x x x x x x x x x x x x f x L+------))()(())()(()(3121013201x x x x x x x x x x x x x f+------))()(())()(()(3212023102x x x x x x x x x x x x x f))()(())()(()(2313032103x x x x x x x x x x x x x f ------ （3分）+------⨯-+------⨯=)52)(32)(02()5)(3)(0()3()50)(30)(20()5)(3)(2(1x x x x x x)35)(25)(05()3)(2)(0(2)53)(23)(03()5)(2)(0()4(------⨯+------⨯-x x x x x x)5)(3(21)5)(3)(2(301-------=x x x x x x)3)(2(151)5)(2(32--+--+x x x x x x （2分）（2）用牛顿插值公式，构造差商表（3分）则有)3)(2)(0(51)2)(0(31)0(21)(3---+--+--=x x x x x x x N)3)(2(51)2(3121--+-+-=x x x x x x （1分）7、（本题6分）作一个5次多项式)(x H 使得2)4(',1)2(',2)1('3)4(,1)2(,3)1(====-==H H H H H H解 构造有重节点的牛顿插商表（4分） 则有)2()1(11)1(6)1(23)(22--+---+=x x x x x H )4()2()1(3655)2()1(6252222---+---x x x x x （2分）8、（本题6解 设x x y y =-=-3,14，则上表可化为这时，取2210)(,)(,1)(x x x x x ===ϕϕϕ，并设所求二次多项式为)()()()(2*21*10*0*2x a x a x a x ϕϕϕϕ++=，容易得到 71),(33200==∑-=i ϕϕ，0),(3310==∑-=i i x ϕϕ，28),(33220==∑-=i i x ϕϕ28),(33211==∑-=i ixϕϕ，0),(33321==∑-=i ixϕϕ，196),(33422==∑-=i ixϕϕ4),(330==∑-=i i y y ϕ，5),(331==∑-=i i iy xy ϕ，31),(3322==∑-=i i iy xy ϕ （3分）得正规方程组如下：⎪⎩⎪⎨⎧=+==+31196285284287*2*0*1*2*0a a a a a 解得285,285,71*2*1*0==-=a a a 即228528571x x y ++-= （2分）回代得2)3(285)3(2857114-+-+-=-x x y （1分）9、（本题5分）给定求积节点,43,4110==x x 试推出计算积分⎰10)(dx x f 的插值型求积公式解 由于43,4110==x x 所以 )34(21434143)(0--=--=x x x l （1分）)14(21414341)(1-=--=x x x l （1分） 21)34(21)(1100=--==⎰⎰dx x dx x l A （1分）21)14(21)(10111=-==⎰⎰d x x d x x l A （1分）故求积公式为)]43()41([21)(10f f dx x f +≈⎰ （1分） 10、（本题6分）分别用梯形公式和辛普森公式计算积分：⎰91dx x 4=n解 （1）用梯形公式 4=n ，2419=-=h2277402.17)]9()(2)1([2314≈++=∑=f x f f h T i i （3分）（2）用辛普森公式 332087.17)]9()(2)(4)1([6313214≈+++=∑∑==+f x f xf f h S i i i i （3分）11、（本题8分）求高斯型求积公式)()()(11001x f A x f A dx x f x +≈⎰的系数.,,1010x x A A 及节点解 令为权的二次正交多项式构造以x x x x =∈=)(],1,0[,1)(0ρϕ：)()()()()()()(01122011x x x x x x x ϕβϕαϕϕαϕ--=-= （1分）由53),(),(101102100001===⎰⎰dxxxdxxx ϕϕϕϕα 得 53)(1-=x x ϕ再由5111111.04523)53()53(),(),(10221210111112≈=--==⎰⎰dx x x dxx x xx ϕϕϕϕα （2分） 06857.017512)53(),(),(10112100111≈=-==⎰⎰dxxdxx x ϕϕϕϕβ （1分）得23809666.011111.106857.0)53)(4523()(22+-=---=x x x x x ϕ所以0)(2=x ϕ的根为821159.0,289951.010==x x （2分）389112.0)(277555.0)(1101111101100≈--==≈--==⎰⎰⎰⎰dx x x x x xdx x l x A dx x x x x x dx x l x A （2分）12、（本题6分）设)(x f 为k 次多项式，n x x x x ,,,210为1+n 个互异点，)(x L n 为)(x f 的n 次插值多项式。
若n k <，试证)()(x f x L n ≡。