第五章总结

10
正确解法 mgl 杆在任意位置时力矩： M cos 2 O 根据转动定律 mgl 1 2 1 2 d M cos ml ml 变量代换
2 3 3 dt mgl 1 2 d d 1 2 d cos ml ml 2 3 d dt 3 d
●

C
A
P
19
例4一质量为 m 的物体悬于一条 轻绳的一端, 绳另一端绕在一轮 轴的轴上, 如图所示。轴水平且 垂直于轮轴面, 其半径为r, 整个 装置架在光滑的固定轴承之上。 当物体从静止释放后，在时间 t 内匀加速下降了一段距离S。 求:整个轮轴的转动惯量。 (用 m、r、t 和 S 表示)
O
r
m
20
解: 设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T, 则根据牛顿运动定律和转动定律得：
2m
m
m
18
解：受力分析如图。
mg T2 ma2 (1) T1 mg ma 1
(2) (3)

T2
a2
2r
m
r
T1
a1
2m
9m r2 T2 (2r ) T1r 2
2g 解上述5个联立方程，得： 19r
2r a2 r a1
(4) (5)
P2
P1
1
一、刚体定轴转动的运动学 刚体绕定轴转动时, 刚体中所有的点都绕 转轴作圆周运动。 刚体定轴转动运动学角量：
d dt


d d 2 2 dt dt
dv a r dt
2
角量与线量的关系
v r
an r
2
刚体绕定轴的匀速和匀变速转动的公式 匀速转动
0 t
7
R
2. 转动惯量 J
转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量。
J mi ri
i
2
J r dm
2
平行轴定理
J z' J z ML
2
8
3. 转动定律
d M J J dt
转动定律是刚体定轴转动的基本定律, 表 明了力矩的瞬时作用规律。 例2 一根细杆可绕端点 O 的 水平轴自由转动,长为l, 质量 为 m , 现将其放到水平位置, 并处于静止状态。 求: 放手后细杆摆到铅直位置 时角速度多大？
求: (1) 子弹射入棒后细棒 m0 所获得的共同角速度; v0 (2) 细棒停止转动需经过 m 的时间; (3) 细棒在桌面上转动的圈数。
25
解: (1) 碰撞过程中系统动量矩守恒
mv0 L ( J mL )
2
而
1 J m0 L2 3
3mv0 所以 (m0 3m) L
3
二、力矩的瞬时作用规律 —— 转动定律
1. 力矩 M
力矩是表征刚体运动状态改变原因的物理量。 若某刚体可绕 Oz 轴转动, 在与转轴垂直 的转动平面内,有力 F 作用于点P, 则力 F 对 转轴Oz 的力矩定义为

O
ri
P

Fi
M Fr sin
4Байду номын сангаас
力矩更加普遍的意义是对点的, 是一个矢量。
32
●
13
根据转动动能定理, 有
l 1 11 2 2 2 mg J 0 ml 2 2 23
g 得 3 l （2）用机械能守恒定律求
将杆与地球看成一个系统, 机械能守恒。 以杆在铅直位置时质心的位置为重力势能零点 有
l 1 11 2 2 2 mg J ml 2 2 23
mg T ma Tr J
由运动学关系有：
① ②

O
r T
T a mg
a r
③
21
由①、②、③式解得：
m( g a ) r J a
1 2 ∴ S at 2
2
④
又根据已知条件 v0＝0
2S a 2 t
2
⑤
2
gt 将⑤式代入④式得： J mr ( 1) 2S
22
例5 一质量为m，长为L的均匀细棒，可在水 平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动, 已 知细棒与桌面的摩擦因数为 。 求: 棒转动时受到的摩擦力矩的大小。
圆环质量： dm 2πrdr
m 2m 2πrdr 2 rdr 2 πR R
R
r
dr
6
圆环受到的摩擦力矩
2m dM dm g r 2 g r 2 dr R
R
r
dr
整个圆盘受到的摩擦力矩为
2m 2 2 M dM 2 g r dr m gR R 3 0
O
●

C
A
P
P

9
l 解：放手后细杆受重力矩 M mg 2 1 2 转动惯量 J ml O 3
●
根据转动定律，有
l 1 2 mg ml 2 3
2 2 0

C
A
P
3g 得 2 l
P
π 根据 2 , 0 0 , 2 3πg 得 解法对否？ M , 应为变量。 2l
P



0
d
π 2
0
3g cos d 2 l
g 3 l
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三、力矩的空间积累作用 1. 力矩的功
dA Md
A Md
0

1 2 Ek J 2. 转动动能 2 1 2 1 2 3. 转动动能定理 A J2 J1 2 2
对于包含有刚体转动的系统,机械能守恒 定律仍然是成立的,其重力势能以系统质心或 系统内各物体质心的重力势能计算。
物体在外力作用下, 其大小和形状不发 生变化的理想物体，称为刚体。
刚体力学包括刚体运动学和刚体动力学。 本章首先讨论如何描述刚体绕定轴转动 , 即刚体运动学; 接着讨论力矩的瞬时作用 规律, 得到转动定律；又从力矩对空间的积 累作用, 得到刚体绕定轴转动的动能定理； 再讨论力矩对时间的积累作用, 引入动量矩 概念和动量矩守恒定律。
M r F
大小 M Fr sin
M
r

O
方向：右手螺旋法则。
注意： M 应明确参考点； 有心力以力心为参考点的力矩恒为零。
5
F
例1 一均匀圆盘, 质量为m, 密度为 , 圆盘半 径为R, 可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌 面上转动。圆盘与桌面间的滑动因数为 。 求: 圆盘转动后受到的摩擦力矩。 解: 摩擦力矩在圆盘的不同部位不同,取一圆环
o
23
m 解： dx 在细棒上取一质量元 dm l dM r xgdm
M r xgdm
mg
l

L
0
1 xdx mgL 2
o
x
dx x
24
例6 水平桌面上有一质量为 m0，长为 L 的细 棒，可绕其一端的轴在桌面上转动， 桌面的 摩擦因数为 ，开始时细棒静止。 有一质量 为 m 的子弹以速度 v0 垂直细棒射入棒的另一 端并留在其中和棒一起转动,忽略子弹重力造 成的摩擦阻力矩。
若作用于物体的合外力矩 M 0 , 则动量矩守恒：
L 恒矢量
对于质点 L r mv 恒矢量
对于刚体 L J 恒量 注意: 在有心力作用下,质点对力心的动 量矩都是守恒的。
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例3 质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两 个均匀圆盘, 同轴地粘在一起, 可以绕通过盘心 且垂直盘面的水平光滑固定轴转动,对转轴的转 动惯量为9mr2 / 2, 大小圆盘边缘都绕有绳子,下 端都挂一质量为m的重物, 如图所示。 求: 盘的角加速度的大小。 r 2r m (要求画出受力分析)
m
v0
m0
(2) 细棒所受摩擦阻力矩为
M r xgdm
L 0
m0 1 xg dx m0 gL L 2
26
由动量矩定理，有 1 2m0 v0 2 2 M r t 0 ( m0 L mL ) mv0 L 得 t m0 g 3
(3) 由定轴转动的动能定理, 有 1 1 M r 0 ( m0 L2 mL2 ) 2 2 3 2 2 3m v0 得 (m0 3m) m0 gL
L
mg
30
解: 应用转动定律 M J 求α
L M mg cos 2
L
1 2 J mL 3
3g cos 2L
mg
31
应用动能定理,求ω
L
1 2 Md 2 J 0
mg
0

L 1 1 2 2 mg cos d ( mL ) 2 2 3
3g sin L
0 t 1 2 匀变速转动 0 0 t t 2 2 2 0 2 ( 0 ) 注意：角速度 是一个矢量, 其方向由右手法 则确定，但是在研究定轴转动时 , 仅有正负 之分; 同样, 的方向也有其正负来表示。
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L J
2. 动量矩定理 质点动量矩定理和刚体动量矩定理可以写 成同样形式
对质点, 力矩 M 和动量矩 L 必须是对同一个
dL M dt t2 M d t L2 L1
t1
参考点的。对刚体, 力矩和动量矩必须是对同一 个转轴的。
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3. 动量矩守恒定律
R
1
P
R
2
(C) 变大 (D) 无法判断
P
28
解： FT R J1 1 FT R J
PR J2 2 PR J