数学：《11.3 角的平分线的性质》课件一(人教版八年级上)
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11.3角的平分线的性质说课稿
角的平分线的性质（二）一、教材的分析和处理本节课选自人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册，第十一章第三节内容“角的平分线的性质”。
1、教材的地位和作用角的平分线的性质是全等三角形知识的运用和延续，为后面证明线段相等、角相等的几何证明开辟了一种新的，更为简捷的方法。
同时也是轴对称图形的基础，并为解决九年级下册确定内切圆的圆心提供了依据。
本节分两个课时，我选的是第二课时。
本课时主要探究角的平分线的性质和判定，并能在此基础上进行简单的应用.教材不仅为学生动手操作、观察、思考、验证、交流等提供了较好的素材，使学生通过自主探究、合作交流等方式形成新的知识，更让学生学习了怎样从实际问题中建立数学模型，从而解决相关的实际问题。
2、教学目标知识与技能：掌握角的平分线的性质和判定，并会运用它们解决实际问题.过程与方法：通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力.情感态度与价值观：经历对角的平分线的性质和判定的探索过程，发展应用数学知识的意识与能力，培养学生良好的学习态度及严谨的科学态度，体验探索过程中的乐趣与成功后的喜悦.3、教学重、难点重点：掌握角的平分线的性质和判定.难点：理解角的平分线的性质和判定的互逆关系，并能正确运用它们解决问题.4、教材的处理教材是围绕现实生活中的实际问题采用“创设问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的基本教学模式来展开教学活动。
让学生经历探索角的平分线的性质、判定的形成与初步的应用过程，从而能从理性逻辑思维的角度掌握性质和判定的区别与联系，达到真正的“学数学”和“用数学”。
二、教法、学法课堂教学利用引导，鼓励，赏识的教学方法充分调动学生的积极性，激发学生内在的动力，让他们主动的投入到学习中去，成为教学的主体和学习的主人，以获取最大限度的发展。
三、教学手段和教具准备教学手段：多媒体辅助教学，促进学生自主学习，提高学习效率.教具准备：学生各自准备一张三角形纸片.四、教学过程设计（1）创设情境、引入新知有两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，有一头小牛的家就建在小河交汇所成的角平分线上的A处。
人教版八年级上册1角的平分线的性质(第一课时)课件
交OA于M，交OB于N；
A
（2）分别以M，N为圆心，
M
C
大于
1 2
MN的长为半径作弧，
两弧在∠AOB内部交于点C； O
NB
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，
交OA于M，交OB于N；
A
（2）分别以M，N为圆心，
M
C
大于
1 2
MN的长为半径作弧，
两弧在∠AOB内部交于点C； O
NB
（3）作射线OC．
A D
C
P
O
EB
分析：求证何来？ 由△PDO ≌ △PEO
推相等的线段．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO = ∠PEO = 90°．
在△PDO和△PEO中，
A D
C
P
PDO PEO 90，
AOC
BOC，
OP OP，
O
E B ∴△PDO ≌ △PEO（AAS）．
∴PD = PE．
A
O
B
作法：
A
O
B
作法： （1）以O为圆心，适当长为半径作弧，
A
O
B
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，
交OA于M，交OB于N；
A
M
O
NB
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，
交OA于M，交OB于N；
A
（2）分别以M，N为圆心，
M
大于
1 2
MN的长为半径作弧，
O
NB
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，
A E
C
P
O
DB
解：过P作PE⊥OA于点E ． ∵ 点 P 是 ∠ AOB 平 分 线 OC 上 一 点，PD⊥OB于D，PE⊥OA于E， ∴PE = PD． ∵PD = 2， ∴PE = 2． 即点P到OA的距离是2．
角平分线的性质
www,
小
结
作
业
创设情境 讲授新课 巩固练习课本练习1，2小题 选做题： 选做题： ABC外角 ACE的平分线上的一点 DF⊥AC于 外角∠ 的平分线上的一点， D是△ABC外角∠ACE的平分线上的一点，DF⊥AC于F, DE⊥BC,交BC的延长线于E,求证： DE⊥BC,交BC的延长线于E,求证：CE=CF 的延长线于E,求证
1 2 O E
B
课 堂演 示
讲
授
新
课
创设情境 讲授新课
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
已 知
巩固练习 小结作业
点在角平分线上 求证 点到角的两边的距离相等
讲
授
新
课
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
创设情境 讲授新课 巩固练习 小结作业
数学语言: 数学语言: 如图： ∠BOC， OC上 如图：∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为点 垂足分别为点D,E PE⊥OB,垂足分别为点D,E 求证PD=PE. 求证PD=PE. O PDO和 PEO中 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO=90 ∠AOC=∠BOC OP=OP PDO≌△PEO（AAS） ∴ △PDO≌△PEO（AAS） ∴ PD=PE
小
结
作
业
创设情境 讲授新课 巩固练习 小结作业
今天我们学习了什么？ 今天我们学习了什么？ 性质告诉我们什么？ 性质告诉我们什么？ 我们运用到了什么数学方法？ 我们运用到了什么数学方法？
假如我们知道角内的点P到角的两边的距离相等， 假如我们知道角内的点P到角的两边的距离相等，我们能不 内的点 能说这个点在这个角的平分线上呢？ 能说这个点在这个角的平分线上呢？
11.3角平分线的性质(1)课件
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ （2）求证： △DBC ≌△DEB
A
E D
B
C
练一练
2. 在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的 平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求 BE的长。
A
E
C
B
D
在∠AOB的平分线 OC上任取一点P，然后， 作点P到∠AOB两边的 垂线段PD、PE，画一 画，量一量，从中你有 什么新发现？你能说明 其中的道理吗？
作法： １．以Ｏ为圆心，适当长 为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ． ２.分别以Ｍ,Ｎ为圆心.
A
Ｍ
Ｃ
大于 1ＭＮ的长为半径作
弧．两弧在∠AOB的内部
2
交于Ｃ．
３.画射线OC．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
动手折一折
• 发现规律：
角平分线上的点到角两边的 距离相等。 A
D O E
P ·
B
C
角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线上的点到角两边 的距离相等。
从这节课中你 有哪些收获？
课堂小测
• 堂堂清
作 业
• 1.课本22页第2题。（作业本） • 2.练习册 • 3.预习教材21页。自学例题并思考点P在角 A的平分线上吗？ • 能力提升题：
课本23页第5题。（作业本）
几何语言：Biblioteka ∵OC是∠AOB的平分线，
A
D C
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
B
P
·
E
O
一起来证明这个性质：
已知： ∠AOC= ∠BOC,点P 在OC上， PD ⊥OA,PE ⊥OB, 求证: PD=PE
A
E D
B
C
练一练
2. 在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的 平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求 BE的长。
A
E
C
B
D
在∠AOB的平分线 OC上任取一点P，然后， 作点P到∠AOB两边的 垂线段PD、PE，画一 画，量一量，从中你有 什么新发现？你能说明 其中的道理吗？
作法： １．以Ｏ为圆心，适当长 为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ． ２.分别以Ｍ,Ｎ为圆心.
A
Ｍ
Ｃ
大于 1ＭＮ的长为半径作
弧．两弧在∠AOB的内部
2
交于Ｃ．
３.画射线OC．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
动手折一折
• 发现规律：
角平分线上的点到角两边的 距离相等。 A
D O E
P ·
B
C
角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线上的点到角两边 的距离相等。
从这节课中你 有哪些收获？
课堂小测
• 堂堂清
作 业
• 1.课本22页第2题。（作业本） • 2.练习册 • 3.预习教材21页。自学例题并思考点P在角 A的平分线上吗？ • 能力提升题：
课本23页第5题。（作业本）
几何语言：Biblioteka ∵OC是∠AOB的平分线，
A
D C
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
B
P
·
E
O
一起来证明这个性质：
已知： ∠AOC= ∠BOC,点P 在OC上， PD ⊥OA,PE ⊥OB, 求证: PD=PE
11.3角平分线的性质(1)
A D
1 2
P
E
C B
相等
返回
活 动 2 如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
A
1、如图，是一个角平分仪， 其中AB=AD,BC=DC。 D 将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下,沿AC画一 条射线AE,AE就是角平分线， 你能说明它的道理吗?
B C E
A
N E C N A
C
E
O
M
O
B M
活 动 4
C
1〉平分平角∠AOB
B
O D
A
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。
活 动 5
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
2、证明： 在△ACD和△ACB中 D AD=AB（已知） DC=BC（已知） C CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） E ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
B
活 动 3
根据角平分仪的制作原理怎样作 一个角的平分线？（不用角平分仪或 量角器）
(3)验证猜想
∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
活 动 5
角平分线上 的点到角两 边的距离相 等。
利用此性质 怎样书写推理过 A 程? D ∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（全等三 角形的对应边相等）
1 2
P
E
C B
相等
返回
活 动 2 如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
A
1、如图，是一个角平分仪， 其中AB=AD,BC=DC。 D 将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下,沿AC画一 条射线AE,AE就是角平分线， 你能说明它的道理吗?
B C E
A
N E C N A
C
E
O
M
O
B M
活 动 4
C
1〉平分平角∠AOB
B
O D
A
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。
活 动 5
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
2、证明： 在△ACD和△ACB中 D AD=AB（已知） DC=BC（已知） C CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） E ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
B
活 动 3
根据角平分仪的制作原理怎样作 一个角的平分线？（不用角平分仪或 量角器）
(3)验证猜想
∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
活 动 5
角平分线上 的点到角两 边的距离相 等。
利用此性质 怎样书写推理过 A 程? D ∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（全等三 角形的对应边相等）
新人教版11.3角的平分线的性质第二课时
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足， PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． 证明: 证明 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， ⊥ ， ⊥ （已知）， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义） ＝ ＝ ° 垂直的定义） 在Rt△PDO和Rt△PEO中 △ 和 △ 中 PO＝PO（公共边） ＝ （公共边） PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） △ ≌ △ （ ） ∴ ∠ POD＝∠POE ＝ ∴点P在∠AOB的平分线上
Hale Waihona Puke 2、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点 作 ⊥ 于 ， 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ⊥ 于 ， ⊥ 于 ∵BM是 的角平分线, BM上 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, 的角平分线 ∴PD=PE 同理,PE=PF. 同理,PE=PF. ∴PD＝ ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB BC、CA的距离相等 AB、 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等 结论：三角形的三条角平分线交于一点， 结论：三角形的三条角平分线交于一点， 并且交点到三角形三边的距离相等。 并且交点到三角形三边的距离相等。
角的平分线的性质: 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线 是 的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ⊥ ， ⊥ ∴ PD＝PE ＝
O 1 2 E B D P C A
反过来， 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是 否一定在这个角的平分线上呢？ 否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足， PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
10 11.3 角的平分线的性质(1)
已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB, ,P 上一点 垂足分别是D,E D,E， PD=PE。 垂足分别是D,E，且PD=PE。 求证:OC :OC是 AOB的平分线 的平分线. 求证:OC是∠AOB的平分线. A
D O 1 2 E B P C
分析:要证明PD=PE, PD=PE,只要证 分析:要证明PD=PE,只要证 明它们所在的△OPD≌△OPB， 明它们所在的△OPD≌△OPB，而 OPD≌△OPB的条件由已知易知 △OPD≌△OPB的条件由已知易知 它满足AAS. 故结论得证。 它满足AAS. 故结论得证。
D O 1 2 E B P C
A
已知:如图,OC是 已知:如图,OC是∠AOB ,OC 的平分线,P OC上任意一点 ,P是 的平分线,P是OC上任意一点 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D,E. 求证:PD=PE. 求证:PD=PE.
D O 1 2 E B P C
已知:如图,OC是 AOB的平分线,P是OC上 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上 ,OC 的平分线,P 任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. 求证:PD=PE. A
O
B
巩固练习
作一个平角∠AOB， 作一个平角∠AOB，作出它的角平分线 OC，反向延长OC得到直线CD。 OC，反向延长OC得到直线CD。你能说出直线 OC得到直线CD CD与直线AB的关系吗？ CD与直线AB的关系吗？ 与直线AB的关系吗
A
· O
《角的平分线的性质》示范公开课教学PPT课件【部编新人教版八年级数学上册】
三角形的三条角平分线交于一点.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相 等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（ 在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
A
C
D
B
M
S
N
AB：500=1： 20 000 AB=2.5cm
情景导入
（2）下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在 角的定点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是 这个角的平分线.你能说明它的道理吗?
分析
在△ACD和△ACB中
AD=AB，DC=BC AC=AC
△ACD≌△ACB
∠DAC=∠BAC
AC平分∠BAD
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
做一做：你能用三角形全等证明这个结论吗?
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，做 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE.
分析： 要证明PD=PE，只要证明它们所在的△OPD≌△OPE， 而△OPD≌△OPE的条件由已知容易得到它满足公理 （AAS）.故结论可证.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
情景导入 （1）画一画：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法， 如何确定角的平分线?
（1）在准备好的角上标好字母A，O，B；
（2）把∠ AOB对折，使得这个角得两边重合；
A
（3）折痕就是∠AOB的角平分线.
O
B
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相 等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（ 在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
A
C
D
B
M
S
N
AB：500=1： 20 000 AB=2.5cm
情景导入
（2）下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在 角的定点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是 这个角的平分线.你能说明它的道理吗?
分析
在△ACD和△ACB中
AD=AB，DC=BC AC=AC
△ACD≌△ACB
∠DAC=∠BAC
AC平分∠BAD
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
做一做：你能用三角形全等证明这个结论吗?
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，做 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE.
分析： 要证明PD=PE，只要证明它们所在的△OPD≌△OPE， 而△OPD≌△OPE的条件由已知容易得到它满足公理 （AAS）.故结论可证.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
情景导入 （1）画一画：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法， 如何确定角的平分线?
（1）在准备好的角上标好字母A，O，B；
（2）把∠ AOB对折，使得这个角得两边重合；
A
（3）折痕就是∠AOB的角平分线.
O
B
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
八年级数学上册教学课件《角的平分线的性质(第2课时)》
于点D，PC＝3 cm，当PD＝__3__cm时，点P在∠AOB
的平分线上． 3
如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则
点P是∠ABC 的平分线与 ∠BCD 的平分线的交点．
探究新知
12.3 角的平分线的性质
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的
距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
A
(
∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，
3 P
4
∴∠1＝∠3．
12
同理，∠2＝∠4．
B E DFC
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
在何处（比例尺为1︰20000）？
O
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ， D即为所求.
D S
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离 相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分 线上根据要求取点.
巩固练习
12.3 角的平分线的性质
如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB
数学 八年级 上册
12.3 角的平分线的性质
12.3 角的平分线的性质 （第2课时）
导入新知
12.3 角的平分线的性质
我们知道，角的平分线上的点到角的两边 的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等 的点是否在这个角的平分线上呢？
素养目标
12.3 角的平分线的性质
3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
的平分线上． 3
如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则
点P是∠ABC 的平分线与 ∠BCD 的平分线的交点．
探究新知
12.3 角的平分线的性质
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的
距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
A
(
∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，
3 P
4
∴∠1＝∠3．
12
同理，∠2＝∠4．
B E DFC
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
在何处（比例尺为1︰20000）？
O
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ， D即为所求.
D S
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离 相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分 线上根据要求取点.
巩固练习
12.3 角的平分线的性质
如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB
数学 八年级 上册
12.3 角的平分线的性质
12.3 角的平分线的性质 （第2课时）
导入新知
12.3 角的平分线的性质
我们知道，角的平分线上的点到角的两边 的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等 的点是否在这个角的平分线上呢？
素养目标
12.3 角的平分线的性质
3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
角的平分线性质说课课件
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到角 )
的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
不必再证全等
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
在角的平分线上的点到角的） DB = DC ，（
√
两边的距离相等。
B
A D
C
A
如图：在△ABC中， ∠C=90° AD是∠BAC的平分线， F DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢＮ于． ２．分别以Ｍ，Ｎ为 圆心．大于 1/2 ＭＮ的长 为半径作弧．两弧在∠Ａ ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ．
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操 作 测 量 ： 取 点 P 的 三 个 不 同 的 位 置 ， 分 别 过 点 P 作 PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足， 测量PD、PE的 长.将三次数据填入下表：
活动3：
运用角平分线的性质解决实际问题。
活动4：
小 结:
你本节课学到了哪些知识?
布置作业:
(1)P22第2、3题； (2)作三角形ABC的三条角平分线，你会发现什么?
小结
拓展
定理 角的平分线上的点到角 的两边的距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角的平分线上的点 到角的两边的距离相等). 用尺规作角的平分线.
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到角 )
的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
不必再证全等
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
在角的平分线上的点到角的） DB = DC ，（
√
两边的距离相等。
B
A D
C
A
如图：在△ABC中， ∠C=90° AD是∠BAC的平分线， F DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢＮ于． ２．分别以Ｍ，Ｎ为 圆心．大于 1/2 ＭＮ的长 为半径作弧．两弧在∠Ａ ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ．
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操 作 测 量 ： 取 点 P 的 三 个 不 同 的 位 置 ， 分 别 过 点 P 作 PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足， 测量PD、PE的 长.将三次数据填入下表：
活动3：
运用角平分线的性质解决实际问题。
活动4：
小 结:
你本节课学到了哪些知识?
布置作业:
(1)P22第2、3题； (2)作三角形ABC的三条角平分线，你会发现什么?
小结
拓展
定理 角的平分线上的点到角 的两边的距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角的平分线上的点 到角的两边的距离相等). 用尺规作角的平分线.
角平分线性质PPT
A
E O
B
D
C
练习与拓展
1、判断正误，并说明理由。 如图1，P在射线OC上，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则 PE=PF. （ ）
如图2，P是∠AOB的平分线上任一点，E、F分别在OA、OB 上，则PE=PF （ ）
如图3，在∠AOB的平分线上取点P，若点P到OA的距离为
3cm，则点P到OB的距离也为3cm。 （ ）
B F
C
B
F
C
B C
P P
P
O
E AO
图1
图2 E A O
图3
A
练习与拓展
选择题
2. 如图，OC平分∠AOB，CA⊥OA于A，CB⊥OB
于B，下列结论一定成立的是（ ）
A . AC=BC
B. AO=BO
A
C. OC平分∠ACB
D. 以上都成立
C
O
B
练习与拓展
3、已知如图△ABC中，∠C=90°， A
B
N
C O
A
O
M
探究角平分线的性质
已知：如图，OP平分∠MON, C为OP上任一点， (1)若OA=OB,则AC与BC相等吗？
N B
CP O
A M
探究角平分线的性质
已知：如图，OP平分∠MON, C为OP上任一点， ((12))若若OCAA=⊥OOBM,则于AAC，与CBBC⊥相O等N吗于？B，则AC与BC相等吗？ 你能得出什么结论？
B O
B C
C
A
O
A
A
如 图 ： 在 △ ABC 中 ，
∠C=90° AD是∠BAC的平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上，
角的平分线的性质公开课一等奖课件省赛课获奖课件
三角形的三条角平分线交于一点。 4、角的平分线的辅助线作法：
见角平分线就作两边垂线段。
9月15日 1次 P22 -P23 习题11.3 第3、5题
按照折纸的次序画出一种角的三条折痕，并度量所画PD、PE与否等长？
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距 离相等”这句话．请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足． 由已知事项推出的事项：PD=PE．
性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
互逆性！
1、掌握角的平分线的性质. 2、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”． 3、能应用这两个性质解决某些简朴的实际问题．
重点：角平分线的性质及其应用． 难点：灵活应用两个性质解决问题．
【画一画】哪个是点P到∠AOB两边的垂线段？
P 【 20 探究】折出如图所示的折痕PD、PE．
问题：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可
推出的事项，并用符号语言填写下表：
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上． 鉴定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
如图所示，要在S区建一种集贸市场，使它到公路、铁路距离相等， 离公路与 铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一种性质能够解决这个问题？ 2．比例尺为1：20000是什么意思？
成果展示： 1．应当是用第二个性质． 这个集贸市场应当建在公路与铁路 形成的角的平分线上，并且规定离角的顶点500米处． 2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以 米为单位， 这就涉及一种单位换算问题了．1m=100cm，因此比 例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表达实际距离200m的意 思．作图以下：
见角平分线就作两边垂线段。
9月15日 1次 P22 -P23 习题11.3 第3、5题
按照折纸的次序画出一种角的三条折痕，并度量所画PD、PE与否等长？
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距 离相等”这句话．请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足． 由已知事项推出的事项：PD=PE．
性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
互逆性！
1、掌握角的平分线的性质. 2、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”． 3、能应用这两个性质解决某些简朴的实际问题．
重点：角平分线的性质及其应用． 难点：灵活应用两个性质解决问题．
【画一画】哪个是点P到∠AOB两边的垂线段？
P 【 20 探究】折出如图所示的折痕PD、PE．
问题：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可
推出的事项，并用符号语言填写下表：
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上． 鉴定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
如图所示，要在S区建一种集贸市场，使它到公路、铁路距离相等， 离公路与 铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一种性质能够解决这个问题？ 2．比例尺为1：20000是什么意思？
成果展示： 1．应当是用第二个性质． 这个集贸市场应当建在公路与铁路 形成的角的平分线上，并且规定离角的顶点500米处． 2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以 米为单位， 这就涉及一种单位换算问题了．1m=100cm，因此比 例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表达实际距离200m的意 思．作图以下：
人教版八年级数学上册1《角的平分线的性质》教学课件
P
O
E
B
探究归纳
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那 么角的平分线有什么性质呢？
角的平分线上的点到角的两边的距离相
等.
A
D C
P
O
E
B
追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角 的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严 格的逻辑推理证明这个结论吗？
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．
追问1 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这 些方法是否可行呢？
追问2 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，
BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两
边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
线．你能说明它的道理吗？
A
D
B
C E
动手实践
追问3 从利用平分角的仪器画角的平分线中，你 受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
12.3 角的平分线的性质 （第1课时）
目标重点
学习目标： 1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性． 2．探索并证明角的平分线的性质． 3．能用角的平分线的性质解决简单问题．
学习重点： 探索并证明角的平分线的性质．
探究新知
问题1 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的 平分线？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
利用尺规作角的平分线的具体方法: A
M C
O
N
B
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那 么角的平分线有什么性质呢？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线
OC，在OC 上任取一点P，过点 P 画出OA，OB 的垂线，分别记 垂足为D，E，测量 PD，PE 并 作比较，你得到什么结论？
O
E
B
探究归纳
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那 么角的平分线有什么性质呢？
角的平分线上的点到角的两边的距离相
等.
A
D C
P
O
E
B
追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角 的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严 格的逻辑推理证明这个结论吗？
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．
追问1 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这 些方法是否可行呢？
追问2 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，
BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两
边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
线．你能说明它的道理吗？
A
D
B
C E
动手实践
追问3 从利用平分角的仪器画角的平分线中，你 受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
12.3 角的平分线的性质 （第1课时）
目标重点
学习目标： 1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性． 2．探索并证明角的平分线的性质． 3．能用角的平分线的性质解决简单问题．
学习重点： 探索并证明角的平分线的性质．
探究新知
问题1 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的 平分线？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
利用尺规作角的平分线的具体方法: A
M C
O
N
B
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那 么角的平分线有什么性质呢？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线
OC，在OC 上任取一点P，过点 P 画出OA，OB 的垂线，分别记 垂足为D，E，测量 PD，PE 并 作比较，你得到什么结论？
12.3.1角的平分线的性质(第一课时)课件 人教版数学八年级上册
且 AC = 6cm，AB = 8cm，D是AB中点，则△AED的
周长是__1_0_cm___cm. C
E
1
2
A
D
B
4.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线且BD=CD，DE⊥AB，
DF⊥AC，求证: EB = FC
证明：∵ AD平分∠BAC
A
DE⊥AB ， DF⊥AC
∴ DE ＝DF
(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
O
DA
PC
EB
添辅助线
过角平分线上一点向两边作垂 线段
提供证明线段相等的方法（节省一组全等的证明）：
☆全等三角形的对应边相等
☆角平分线的性质
拓展提高
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB交BC于D， DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( A )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
(2)分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径
画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
(3)作射线OC. 则射线OC即为所求.
O
A
M
C
N
B
பைடு நூலகம்议一议:
(1)在上面作法的第二步中,去掉“大于
1 2
MN的长”这个条件行吗?
(2)第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗?
动手操作
利用尺规作角的平分线： 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线
人教版八年级数学上册
12.3.1 角的平分线的性质 第一课时
学习目标
能掌握角的平分线的画法； 通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理； 能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.
角的平分线的性质 教学课件(共27张PPT)初中数学人教版八年级上册
第三步：分析找出由已知推出要证的结论的途 径，写出证明过程.
如图，已知∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为D，E．求证：PD =PE．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
A
由 18此0°”，的你思又路能∴在吗受△？到∠P什DPDO么O和启=△发∠P？EPEO你O中能=，发90现°.证明“三角形内D角和P 等于C
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
P
∴PD = PE
O
E
B
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路 与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
O
S 实际问题
A
B
几何问题
在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、 OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路
与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作∠AOB的角平分线OC， 截取OP=2.5cm ，P即为所求.
O
D
E
A
P
B
【猜想】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.
12.3角的平分线的性质
第十二章——全等三角形
学习目标 01 会用尺规作一个角的平分线；
02 探索并证明角的平分线的性质，掌握角的 平分线的判定；
03 会用角的平分线的性质和判定解决相关问题.
回顾旧知
我们之前学习了三角形的角平分线，什么是三角形的角平分线？
如图，已知∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为D，E．求证：PD =PE．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
A
由 18此0°”，的你思又路能∴在吗受△？到∠P什DPDO么O和启=△发∠P？EPEO你O中能=，发90现°.证明“三角形内D角和P 等于C
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
P
∴PD = PE
O
E
B
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路 与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
O
S 实际问题
A
B
几何问题
在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、 OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路
与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作∠AOB的角平分线OC， 截取OP=2.5cm ，P即为所求.
O
D
E
A
P
B
【猜想】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.
12.3角的平分线的性质
第十二章——全等三角形
学习目标 01 会用尺规作一个角的平分线；
02 探索并证明角的平分线的性质，掌握角的 平分线的判定；
03 会用角的平分线的性质和判定解决相关问题.
回顾旧知
我们之前学习了三角形的角平分线，什么是三角形的角平分线？
人教八年级数学上册《角的平分线的判定》(共18张)
等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．( ) √
A
M
Q
O
ห้องสมุดไป่ตู้
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与 铁路的距离相等．
（1） 这个集贸市场 应建于何处？这样的集贸市场可建 多少个？
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路 与铁路的距离相等．
学习重点： 角平分线性质定理的逆定理．
引言
问题1 如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到 公路，铁路的距离相等，并且距离公路与铁路的交叉处500m
，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建于何（在图上 标 出它的位置，比例尺为1：20 000）？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
问题2 交换角的平分线的性质中的已知和结论， 你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
（1） 这个集贸市场 应建于何处？这样的集贸市场可 建多少个？
（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与铁 路的距离相等．
（3）如图，点P是△ABC的两条角平分线BM， CN 的交点， 点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三 角形的三条角平分线有什么关系？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线 上．
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问1 你能证明这个结论的正确性吗？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有 什么不同？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性 质可用来证明线段相等．
A
M
Q
O
ห้องสมุดไป่ตู้
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与 铁路的距离相等．
（1） 这个集贸市场 应建于何处？这样的集贸市场可建 多少个？
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路 与铁路的距离相等．
学习重点： 角平分线性质定理的逆定理．
引言
问题1 如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到 公路，铁路的距离相等，并且距离公路与铁路的交叉处500m
，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建于何（在图上 标 出它的位置，比例尺为1：20 000）？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
问题2 交换角的平分线的性质中的已知和结论， 你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
（1） 这个集贸市场 应建于何处？这样的集贸市场可 建多少个？
（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与铁 路的距离相等．
（3）如图，点P是△ABC的两条角平分线BM， CN 的交点， 点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三 角形的三条角平分线有什么关系？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线 上．
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问1 你能证明这个结论的正确性吗？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有 什么不同？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性 质可用来证明线段相等．
11.3_角平分线的性质
M D C F A E B N
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1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平 分线上。 3.角平分线的性质定理和角平分线的判 定定理是证明角相等、线段相等的新途径.
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个角的两边的距离相等。
（×）
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
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如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。
A
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E
F D
B
C
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利用结论，解决问题
练一练 1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 在确定度假村的位置时,一定要画 想一想 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP O ∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS） ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
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1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平 分线上。 3.角平分线的性质定理和角平分线的判 定定理是证明角相等、线段相等的新途径.
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个角的两边的距离相等。
（×）
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
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如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。
A
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利用结论，解决问题
练一练 1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 在确定度假村的位置时,一定要画 想一想 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP O ∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS） ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
相关主题
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A D
1 2
E
P
C
B
B
方法
根据角平分仪的制作原理怎样作一 个角的平分线？（不用角平分仪或量角 器）
N E C N A
C
E
O
M
O
B M
练习
1〉平分平角∠AOB
C
B
O D
A
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？ 3〉结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法.
探究
探究角平分线的性质
将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使 第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠 形成的三条折痕，你能得出什么结论？
猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
证明
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） A
角的平分线的性质
探究
如图，是一个角平分仪，其 中 AB=AD,BC=DC. 将点 A 放在 角的顶点 ,AB和AD沿着角的两 边 放 下 , 沿 AC 画 一 条 射 线 AE,AE就是角平分线，你能说 明它的道理吗?
A
D C E
B
证明
证明：
A
在△ACD和△ACB中 D AD=AB（已知） DC=BC（已知） C CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） E ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
F
E D B
C
分析 : 要证 CF=EB, 首先我们想到的是要证它
们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等), 还需要我们 找什么条件 DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.
小结
定理 角平分线上的点到这个角的两 边距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 O D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角 的两边距离相等). 用尺规作角的平分线.
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
D
O
1 2P EFra bibliotekC B
角平分线上 的点到角两 边的距离相 等.
利用此性质 怎样书写推理过 A 程? D ∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（全等三 角形的对应边相等）
O
1 2
P
E
C B
例题
如 图 : 在 △ ABC 中 ,∠C=90° AD 是 ∠ BAC 的 平 分 线 ， DE⊥AB 于 E ， F 在 AC 上 ， BD=DF 求证：CF=EB