2017-2018版高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积二学案北师大版必修4

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2017-2018版高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积一学案北师大版必修4

5 从力做的功到向量的数量积(一)学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．知识点一两向量的夹角思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？思考2 △ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？梳理 (1)夹角：已知两个____________a 和b ，作OA →＝a ， OB →＝b ，则__________＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角(如图所示)．当θ＝0°时，a 与b ________；当θ＝180°时，a 与b ________.(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .规定零向量可与任一向量垂直．知识点二平面向量数量积的物理背景及其定义一个物体在力F 的作用下产生位移s ，如图．思考1 如何计算这个力所做的功？思考2 力做功的大小与哪些量有关？梳理 (1)数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把______________叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝____________.(2)数量积的特殊情况当两个向量相等时，a·a＝__________.当两个向量e1，e2是单位向量时，e1·e2＝________________________.知识点三平面向量数量积的几何意义思考1 什么叫作向量b在向量a上的射影？什么叫作向量a在向量b上的射影？思考2 向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？梳理(1)射影：若非零向量a，b的夹角为θ，则________叫作向量b在a方向上的射影(简称为投影)．(2)a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影________的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影____________的乘积．知识点四平面向量数量积的性质思考1 向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别？思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？梳理向量的数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝____________＝____________.(2)a⊥b⇔____________.(3)________＝a·a.(4)cos θ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)．(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|____|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．类型一求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．反思与感悟求平面向量数量积的步骤：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b ＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．跟踪训练1 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 2类型二求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.反思与感悟此类求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方．跟踪训练2 已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值．类型三求向量的夹角例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．反思与感悟当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的射影为－3，b 在a 方向上的射影为－32，求a与b 的夹角θ.1．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的射影为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－22．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．53．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝________. 4．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________． 5．已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．在a·b ＝|a||b |cos θ中，|b |cos θ和|a |cos θ分别叫作b 在a 方向上的射影和a 在b 方向上的射影，要结合图形严格区分． 4．求射影有两种方法(1)b 在a 方向上的射影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的射影为|a |cos θ.(2)b 在a 方向上的射影为a ·b |a|，a 在b 方向上的射影为a ·b|b |. 5．两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.答案精析问题导学知识点一思考1 存在夹角，不一样．思考2 如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ， ∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°，则∠CBD ＝120°，故向量a 与b 的夹角为120°.梳理 (1)非零向量 ∠AOB 同向反向知识点二思考1 W ＝|F ||s |cos θ.思考2 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．梳理 (1)|a ||b |cos θ |a ||b |cos θ (2)|a |2|e 1||e 2|cos θ＝cos θ 知识点三思考1 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ. |b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的射影，|a |cos θ叫作向量a 在b 方向上的射影．思考2 由射影的定义知，二者不一定相同．梳理 (1)|b |cos θ (2)|b |cos θ |a |cos θ 知识点四思考1 向量的线性运算的结果是向量，而向量的数量积运算的结果是数量．思考2 由两个非零向量的夹角决定．当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数．当θ＝90°时，非零向量的数量积为零．当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数．梳理 (1)a ·e |a |cos θ (2)a ·b ＝0 (3)|a | (5)≤ 题型探究例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 跟踪训练1 D例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝ a ＋b 2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝ a －b 2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝ 2a ＋b 2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2 ＝4×25＋4×252＋25＝57.|a －2b |＝ a －2b 2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.跟踪训练2 20例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 的夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝ 2m ＋n 2＝4×1＋1＋4m·n ＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝ 2n －3m 2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.跟踪训练3 θ＝120° 当堂训练1．D 2.A 3.11 4.－25 5．(1)12 (2)－12 (3)12。

高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积教案北师大版

2.5 从力做的功到向量的数量积整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.图1我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功W=|F||s|cosθ.功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义,掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W可由下式计算:W=|F||s|cosθ,其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？推进新课新知探究提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a ,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2A.b+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cos θ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cos θ(|b |cos θ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a .方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ＜2π时，cos θ＞0,从而a ·b ＞0;当2π＜θ≤π时,cos θ＜0,从而a ·b ＜0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); ③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab =bca =c .但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .图3(3)对于实数a 、b 、c 有(a ·b)c=a (b·c);但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立. 讨论结果①是数量,叫数量积.②数量积满足a ·b =b ·a .(交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); (a .+b )·c =a ·c+b·c (分配律).③1°(a+b )2=(a +b )·(a +b )=a ·a +a .·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;2°(a .+b )·(a .-b )=a .·a .-a .·b +b ·a .-b ·b =a .2-b 2. 提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考: 1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b|Cos θ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量. 1°e ·a =a ·e =|a |cos θ. 2°a ⊥b ⇔a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |. 特别地a ·a =|a |2或|a |=a a ∙.4°cos θ=||||b a ba ∙. 5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.应用示例思路1例1 已知|a .|=3,|b |=4,且a 与b 的夹角θ=150°,求a ·b . 活动:本例是让学生熟悉向量数量积的基本概念. 解:a ·b =|a ||b |cos θ=3×4×c os150°=12×(-23)=-63. 点评:直接利用向量数量积的定义.例 2 已知平面上三点A 、B 、C 满足||=2,||=1,||=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A.BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知,||2+||2=||2,∴△ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90°, 从而sin∠A.BC=23,sin∠BAC=21 ∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°. 故·+·+·=2×1×c os120°+1×3c os90°+3×2c os150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是60°.变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ). 解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a .·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cos θ-6|b |2=62-6×4×c os60°-6×42 =-72.例3 已知|a |=3,|b |=4,且a .与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直? 解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0.∴k=±43 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a .-k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练(007海南三亚)设a 、b 、c 是非零向量,下列命题正确的是( ) A.(a .·b )·c =a .·(b ·c )B.|a .-b |2=|a .|2-2|a .||b |+|b |2C.若|a .|=|b |=|a .+b |,则a 与b 的夹角为60°D.若|a |=|b |=|a .-b |,则a .与b 的夹角为60°解析:设θ是a .和b 的夹角,∵|a |=|b |,∴|a -b |2=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=2|a |2-2a ·b =|a |2. ∴cos θ=21. 又∵0≤θ≤180°,∴θ=60°. 答案:D例4 在△A.BC 中,设边BC,CA.,A.B 的长度分别为a,b,c.证明a 2=b 2+c 2-2bcCosA., b 2=c 2+a 2-2cacosB, c 2=a 2+b 2-2acosC.图5证明:如右图,设=c ,=a ,=b ,则a 2=|a |2=||2=·=(AC -AB )·(AC -AB )=(b -c )·(b -c ) =b ·b +c ·c -2b ·c=|b |2+|c |2-2|b ||c |cosA. =b 2+c 2-2bccosA.同理可证其他二式,我们把这个结果称为余弦定理,以后我们还要专门讨论它的意义.思路2 例1 已知在四边形ABCD 中,=a ,=b ,CD =c ,=d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a .,试问四边形ABCD 的形状如何？解:∵+BC +CD +=0, 即a +b +c +d =0, ∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即A.B=CD,且BC=DA., ∴四边形A.BCD 是平行四边形. 故=-CD ,即a =-c . 又a ·b =b ·c =-a .·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥BC .综上所述,四边形ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |=|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的 A.BCD,若AB =a ,BC =b ,则CA =a +b ,DB =a -b 由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC=60°,b 与DB 所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a .-b 〉=||||)(b a b b a b --∙作为切入点,进行求解. 解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a .|,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2. ∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=-21|b |2-|b |2=-23|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(-21)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |.②∵cos 〈b ,a .-b 〉=||||)(b a b b a b --∙,代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b .又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会. 变式训练设向量c =m a +n b (m,n∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a .⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c ∴|c |2=n b ·c.由已知|c |2=16,b ·c =-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |c os120°=-4, ∴|b |·4·(-21)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b , ∴8m -4a ·b =0,即a ·b =2m.①再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12.②联立①②，得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4. 例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.图6证明:菱形ABCD 中,=(如图6), 由于AC =AD +AB ,BD =AD -AB , 可得·BD =(AD +AB )·(AD -AB ) =(AD )2-(AB )2=|AD |2-|AB |2=0,所以⊥BD ，即菱形的两条对角线互相垂直.例4 已知单位向量e 1,e 2的夹角为60°,求向量a =e 1+e 2,b =e 2-2e 1的夹角. 解:由单位向量e 1、e 2的夹角为60°,得e 1·e 2=c os60°=21, 所以a ·b =(e 1+e 2)·(e 2-2e 1) =-2e 1·e 1-e 1·e 2+e 2·e 2 =-2-21+1=-23.① 又|a |2=|e 1+e 2|2=|e 1|2+2e 1·e 2+|e 2|2=3,|b |2=|e 2-2e 1|2=4|e 1|2-4e 1·e 2+|e 2|2=3, 所以|a |=|b |=3.②由①②可得cos θ=213323||||-=⨯-=∙b a b a 又0＜θ＜π,所以θ=120°. 知能训练课本本节练习1—5. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解. 作业课本习题2—53、5.设计感想本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角的定义,两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件,应用的时候才能得心应手.备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下: 两个向量a .与b 的向量积是一个新的向量c :(1)c 的模等于以a .及b 两个向量为边所作成的平行四边形的面积; (2)c 垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a .、b 、c 三向量成右手系——设想一个人站在c 处观看a .与b 时,a .按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b ，如图8.图8向量a 与b 的向量积记作a ×b .设a 与b 两个向量的夹角为θ,则|a .×b |=|a ||b |sin θ.在上面的定义中已默认了a 、b 为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则 a ×b =0.向量的向量积服从以下运算律: (1)a ×b =-b ×a ;(2)a ×(b +c )=a ×b +a ×c ; (3)(m a )×b =m(a ×b ). 二、备用习题1.已知a ,b ,c 是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( ) ①|a ·b |=|a ||b ⇔|a ∥b ②a 与b 反向⇔a ·b =-|a ||b | ③a ⊥b ⇔|a +b |=|a -b | ④|a |=|b |⇔|a ·c |=|b ·c |A..1B.2C.3D.4 2.有下列四个命题:①在△ABC 中,若AB ·＞0,则△ABC 是锐角三角形; ②在△ABC 中,若AB ·＞0,则△ABC 为钝角三角形; ③△ABC 为直角三角形的充要条件是·=0; ④△ABC 为斜三角形的充要条件是·BC ≠0.其中为真命题的是( )A..①B.②C.③D.④ 3.设|a |=8,e 为单位向量,a 与e 的夹角为60°,则a 在e 方向上的投影为( ) A..43 B.4 C.42D.8+23 4.设a ,b ,c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a ·b )c -(c ·a .)b =0;②|a |-|b |＜|a .-b |;③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2. 其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④ 5.在△A.BC 中,设=b ,AC =c ,则22)(|)||(|c b c b ∙-等于( ) A..0 B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC 6.设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________. 7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·c +c ·a =________________.8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 的夹角为150°,求: (1)(a -3b )·(2a +b ); (2)|3a -4b |.9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.解：已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值.解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3144337+. 9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos3π=1. ∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21. 又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2-8a .·b =4+16-8=12. ∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |cos θ.①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23cos θ, ∴cos θ=-147,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为-147.。

高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积学案无答案北师大版必修

从力做的功到向量的数量积班级姓名组号【学习目标】1理解平面向量的数量积定义及其几何意义；2.理解并掌握平面向量数量积的性质及运算律；【学习重点】数量积的定义和性质【学习难点】投影概念的理解【学习过程】一、预习自学（阅读书第93页—95页练习以前内容，思考回答下列问题）1.平面向量数量积（内积）的定义：2．作图说明a 在b 方向上的“投影”的概念，并写出它的表达式。

3.向量的数量积的几何意义：4．说一说数量积的性质，为什么？设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1eb =b e = 2 a b a b = 3 当a 与同向时，a = 当a 与反向时，a= 特别的aa = |a |2或a a a ⋅=|| 4 cos = 5 |ab | ≤ |a ||b |，当且仅当时等号成立。

5、向量有哪些数量积的运算律？二、合作探究（深化理解）探究1．已知｜a ｜＝３，｜｜＝６，当①a ∥，②a ⊥，③a 与的夹角是60°时，分别求a ·.探究2：已知︱a ︱=6，︱︱=4, a 与的夹角为60°，求（a +2 ）·（a -3）探究3：证明：（1）(a +)2=a 2+2a ·+2（2）(a +b )·(a -b )= a 2—b 2探究4：.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3，求向量m =a -4b 的模。

三、达标检测1 .已知|a |=5， ||=4， a 与的夹角θ=120o ，求a ·.2. 已知|a |=6， ||=4，a 与的夹角为60o求(a +2)·(a -3).3 .已知|a |=3， |b |=4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a +k b 与a -k b 互相垂直.4.已知|a |=1，||=2，(1)若a ∥，求a ·；(2)若a 、的夹角为６０°，求|a +|；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.。

高中数学第二章2.5从力做的功到向量的数量积学案北师大版必修

2.5 从力做的功到向量的数量积1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 和向量b 的____．(2)范围：_______.(3)规定：零向量与任意向量____．预习交流1若向量预习交流2在等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是__________，AC →与CB →的夹角是__________． 2．向量的数量积(或内积) (1)定义：________叫作向量a 和b 的数量积，记作a·b ，即______＝__________.(2)几何意义：a 与b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的射影______的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上射影______的乘积．(3)物理意义：力对物体做功，就是力F 与其作用下物体的位移s 的数量积______．预习交流3若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝( )．A ．12B ．12 2C ．－12 2D ．－12 3．向量数量积的性质(1)a·a ＝|a |2；(2)若e 1，e 2是单位向量，则e 1·e 2＝__________＝____； (3)若e 是单位向量，则e ·a ＝______＝________； (4)a ⊥b ⇔________；(5)____＝a ·a ；(6)cos θ＝________(|a ||b |≠0)；(7)对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |__|a ||b |，当且仅当a ∥b 时____成立．预习交流4(1)已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 夹角的大小为__________； (2)a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝__________. 4．向量数量积的运算满足以下运算律给定向量a ，b ，c 和实数λ，有 (1)交换律：__________.(2)分配律：________________.(3)数乘以向量的数量积，可以与一个向量交换结合，即对任意实数λ，有(λa )·b ＝________＝________.预习交流5(1)a ·b ＝b·c ⇒a ＝c ，上述推理正确吗？为什么？ (2)向量数量积的运算适合乘法结合律吗？为什么？答案：1．(1)夹角 (2)[0°，180°] (3)垂直预习交流1：同向垂直反向预习交流2：120° 120°2．(1)|a ||b |cos θ a·b |a ||b |cos θ (2)|b |cos θ |a |cos θ (3)F·s预习交流3：C 解析：m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－12 2.3．(2)|e 1||e 2|cos θ cos θ (3)a ·e |a |cos θ (4)a ·b ＝0 (5)|a | (6)a ·b |a ||b |(7)≤ 等号预习交流4：(1)120° (2)74．(1)a ·b ＝b·a (2)a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c (3)λ(a·b ) a ·(λb )预习交流5：(1)提示：若a ，b ，c 为实数，当b ≠0时，ab ＝bc ⇒a ＝c ，但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b ＝b·cD ⇒/a ＝c .由下图很容易看出，虽然a·b ＝b·c ，但a≠c .(2)提示：对实数a ，b ，c 而言，(ab )c ＝a (bc )；但对向量a ，b ，c 而言，(a·b )c ＝a (b·c )未必成立，这是因为(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a·b )c ＝a (b·c )未必成立．1．向量数量积的定义及几何意义已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°. (1)求a·b ；(2)求a 在b 上的射影．思路分析：已知向量a ，b 的模及其夹角，求a·b 及a 在b 上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解便可．(1)在题设不变的情况下，求b 在a 上的射影；(2)把“a 与b 的夹角θ＝120°”换成“a ∥b ”，求a·b .(1)数量积的符号同夹角的关系：①若a·b >0⇔θ为锐角或零角；②若a·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；③若a·b ＜0⇔θ为钝角或平角． (2)求平面向量数量积的方法①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ. ②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b . 2．平面向量数量积的运算若向量a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值．思路分析：先由已知条件分析出a ，b ，c 的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算．也可用整体处理法解决．1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，则a ·a ＋a ·b ＝__________. 2．(2012·吉林实验中学一模，13)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )＝__________.向量数量积的有关运算，要灵活利用运算律转化为求数量积及模的问题，注意下述结论：a 2＝|a |2；(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.3．求向量的模(1)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( )． A ．0B ．2 2C ．4D ．8(2)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a ＋2b |.思路分析：(1)要求|2a －b |，利用|2a －b |＝a －b 2求解； (2)先求出a ·b 的值，由于|a ＋b |＝a ＋b 2，|a ＋2b |＝a ＋2b2，利用数量积中的完全平方公式展开求解．已知平面向量a ，b ，|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －2b )，求|3a ＋b|，|a －2b|.求向量的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．4．求向量的夹角问题已知|a|＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．思路分析：(1)由(a －b )和(a ＋b )的数量积可得出|a|，|b|的关系； (2)计算a －b 和a ＋b 的模．1．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为__________．2．已知非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|. 求：(1)a 与a ＋b 的夹角； (2)a 与a －b 的夹角．求向量夹角问题要利用数量积的变形公式cos θ＝a·b|a||b|，一般要求两个整体a·b ，|a|·|b|，不方便求出的，可寻求两者关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观，另外本题还可以利用坐标形式解决．5．解决有关垂直问题已知a ⊥b ，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．思路分析：由a ⊥b 知，a·b ＝0.由a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直知，[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.解决本题可先通过向量运算将k 表示出来，通过建立k 与t 的函数关系式，进而求出函数k 的最小值．已知a ，b 是两个非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角θ.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．答案：活动与探究1：解：(1)a·b ＝|a||b|·cos θ＝5×4×cos 120°＝－10；(2)a 在b 上的射影为|a |·cos θ＝a·b |b|＝－104＝－52.迁移与应用：解：(1)b 在a 上的射影为|b |cos θ＝a·b |a|＝－105＝－2；(2)∵a ∥b ，∴a 与b 的夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b ＝|a||b|cos 0°＝20.当θ＝180°时，a·b ＝|a||b|cos 180°＝－20.活动与探究2：解：方法一：由已知得|c |＝|a |＋|b |，c ＝－a －b ，可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，所以有a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝3cos 0°＋4cos 180°＋12cos 180° ＝3－4－12＝－13.方法二：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)2＝0－(32＋12＋42)2＝－13.迁移与应用：1.1＋22 解析：a ·a ＋a ·b ＝1＋1×1×cos 45°＝1＋22. 2．0 解析：b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋b 2＝2|a ||b |cos 120°＋|b |2＝2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＝－16＋16＝0.活动与探究3：(1)B 解析：|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4×0＋4＝2 2.(2)解：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b＝25＋25＋25＝5 3.|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝25＋4×252＋4×25＝175＝57.迁移与应用：解：∵a⊥(a －2b )， ∴a·(a －2b )＝0，∴a 2－2a·b ＝0，∴a·b ＝12.|3a ＋b|＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2＝9×1＋6×12＋4＝4.|a －2b|＝(a －2b )2＝a 2－4a·b ＋4b 2＝12－4×12＋4×22＝15.活动与探究4：解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝121×22＝22，∴θ＝45°.∴a与b的夹角为45°.(2)|a－b|＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝22，|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝102.设a－b与a＋b的夹角为φ，则cos φ＝(a－b)·(a＋b)|a－b||a＋b|＝1222×102＝55.∴a －b与a＋b 的夹角的余弦值为55.迁移与应用：1.135°解析：设夹角为θ，∵a·(a＋b)＝1，∴|a|2＋a·b＝1，即2＋2×1×cos θ＝1，∴cos θ＝－22，∴a，b的夹角为135°.2. 解：如下图所示，在平面内取一点O，作OA=a，OB =b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，使|OA|=|OB|，所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时OC=a+b，BA=a-b.(1)由于|a|=|b|=|a+b|，即|OA|=|AC|=|OC|，所以∠AOC=60°，即a与a+b的夹角为60°.(2)∵∠AOC=60°，∴∠AOB=120°.又|OA|=|OB|，∴∠OAB=30°，即a与a-b的夹角为30°.活动与探究5：解：∵a⊥b，∴a·b＝0.又a＋(t－3)b与－k a＋t b垂直，∴[a＋(t－3)b]·(－k a＋t b)＝0.∴－k a2＋t a·b＋(t－3)(－k)a·b＋(t－3)t b2＝0，∴－4k＋(t－3)t＝0.∴k＝14(t2－3t)＝14⎝⎛⎭⎪⎫t－322－916(t≠0)．∴当t＝32时，k取最小值－916.迁移与应用：解：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0，即2a ·b ＝b 2，代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2b 2＝12.∴θ＝60°.1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为150°，则m·n ＝( )．A ．12B ．12 3C ．－12 3D ．－122．已知|a |＝4，|b |＝3，a ·b ＝－6，则a 与b 的夹角为( )．A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°3．(2012·辽宁高考，理3)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )．A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b4．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋3b |＝__________.5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，D 是BC 的中点，则AD →·BC →＝__________.答案：1．C 解析：m·n ＝|m||n|·cos 150°＝4×6×cos 150°＝－12 3. 2．B 解析：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.3．B 解析：|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，即2a ·b ＝－2a ·b ，所以a ·b ＝0，a ⊥b .故选B.4.43 解析：∵|a ＋3b |2＝a 2＋2a ·3b ＋9b 2＝1＋6×1×2×cos 60°＋9×4＝43， ∴|a ＋3b |＝43. 5.52 解析：由已知得AD ＝12(AB ＋AC )，BC ＝AC －AB ， ∴AD ·BC ＝12(AB ＋AC )· (AC －AB )＝12(|AC |2－|AB |2)＝12(9－4)＝52.。

高中数学第2章平面向量及其应用5从力的做功到向量的数量积5.1向量的数量积课件北师大版必修第二册

基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)零向量与任一向量的数量积为0. (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
(√) (×)
(3)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.
(×)
[解析] (1)根据向量数量积的定义，0·a＝0×|a|×cos θ＝0.
(2)向量a与b可能垂直．
(3)向量b与向量a，c可能垂直，所以a与c不一定相等．
【对点练习】❸ (1)已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cos α＝13，若向量 a＝3e1－2e2，则|a|＝___3__.
(2)已知向量 a，b 的夹角为 120°，|a|＝4，|b|＝3，则|a－3b|＝__1_3_3_. 3π
(3)已知|a|＝1，|b|＝ 2，且 a＋b 与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是___4__. (4)已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则 a 与 b 的夹角 θ 的取值范围是__2_3π_，__π__.
题型二
向量的投影数量
例 2 (1)已知向量 a，b，其中|a|＝1，|a－2b|＝4，|a＋2b|＝2，
则 a 在 b 方向上的投影数量为
( A)
A．－1
B．1
C．－2
D．2
(2)已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝5，则 2a－b 在 a 方向
上的投影数量为
(B )
A．－
[分析] (1)根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可．
[解析] (1)①a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×－12＝－3. ②(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.

高中数学第2章平面向量及其应用5从力的做功到向量的数量积向量的数量积素养作业北师大版必修第二册

第二章 5.1A 组·素养自测一、选择题1．已知△ABC 中,AB →＝a ,AC →＝b ,若a ·b <0,则△ABC 是( A ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．任意三角形[解析] 由a ·b <0易知〈a ,b 〉为钝角．2．对于向量a 、b 、c 和实数λ,下列命题中真命题是( B ) A ．若a ·b ＝0,则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0,则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2,则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ,则b ＝c[解析] A 中,若a ·b ＝0,则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ,故A 错；C 中,若a 2＝b 2,则|a |＝|b |,C 错；D 中,若a ·b ＝a ·c ,则可能有a ⊥b ,a ⊥c ,但b ≠c ,故只有选项B 正确,故选B ．3．若向量a 与b 的夹角为60°,|b |＝4,(a ＋2b )·(a －3b )＝－72,则|a |＝( C ) A ．2 B ．4 C ．6D ．12[解析] ∵(a ＋2b )·(a －3b )＝－72, ∴a 2－a ·b －6b 2＝－72.∴|a |2－|a ||b |cos 60°－6|b |2＝－72. ∴|a |2－2|a |－24＝0.又∵|a |≥0,∴|a |＝6.4．已知非零向量a ,b 满足|b |＝4|a |,且a ⊥(2a ＋b ),则a 与b 的夹角为( C ) A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6[解析] 由题意,得a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0,即a ·b ＝－2a 2,所以cos 〈a ,b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－2a 24a 2＝－12,所以〈a ,b 〉＝2π3,故选C ． 5．(多选)下列命题中正确的是( ACD ) A ．对于任意向量a 、b ,有|a ＋b |≤|a |＋|b | B ．(a ·b )2＝a 2·b 2C ．对于任意向量a ·b ,有|a ·b |≤|a ||b |D ．若a 、b 共线,则a ·b ＝±|a ||b |[解析] (a ·b )2＝(|a ||b |cos 〈a ,b 〉)2＝a 2·b 2cos 2〈a ,b 〉≤a 2·b 2,故B 错误,A,C,D 均正确．6．P 是△ABC 所在平面上一点,若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →,则P 是△ABC 的( D ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心[解析] 由PA →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(PA →－PC →)＝0,即PB →·CA →＝0,∴PB ⊥CA ．同理PA ⊥BC ,PC ⊥AB ,∴P 为△ABC 的垂心．二、填空题7．已知e 1,e 2是夹角为2π3的两个单位向量,a ＝e 1－2e 2,b ＝k e 1＋e 2,若a ·b ＝0,则实数k的值为 54.[解析] 由a ·b ＝0得(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0.整理,得k －2＋(1－2k )cos 2π3＝0,解得k ＝54.8．(2020·全国Ⅰ卷理)设a ,b 为单位向量,且|a ＋b |＝1,则|a －b |＝ 3 . [解析] 因为a ,b 为单位向量,所以|a |＝|b |＝1, 所以|a ＋b |＝a ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝2＋2a ·b ＝1,解得2a ·b ＝－1, 所以|a －b |＝a －b2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝ 3.9．已知向量a ,b ,其中|a |＝2,|b |＝2,且(a －b )⊥a ,则|2a －b |＝ 2 . [解析] 设向量b 和a 的夹角是α, 因为|a |＝2,|b |＝2,且(a －b )⊥a , 所以(a －b )·a ＝a 2－a ·b ＝2－a ·b ＝2－22cos α＝0,所以cos α＝22, 所以|2a －b |2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝8＋4－4×2×2×22＝4,故|2a －b |＝2. 三、解答题10．已知|a |＝4,|b |＝3,(2a －3b )·(2a ＋b )＝61． (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.[解析] (1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61,得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61．将|a |＝4,|b |＝3代入上式求得a ·b ＝－6,所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又θ∈[0,π],所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13,所以|a ＋b |＝13.B 组·素养提升一、选择题1．定义：|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ,其中θ为向量a 与b 的夹角,若|a |＝2,|b |＝5,a ·b ＝－6,则|a ×b |等于( B )A ．－8B ．8C ．－8或8D ．6[解析] 由|a |＝2,|b |＝5,a ·b ＝－6,得cos θ＝－35,sin θ＝45,∴|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ＝2×5×45＝8.2．(2020·全国Ⅰ卷)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP →·AB →的取值范围是( A )A ．(－2,6)B ．(－6,2)C ．(－2,4)D ．(－4,6)[解析] 如图,AB →的模为2,根据正六边形的特征,可以得到AP →在AB →方向上的投影的取值范围是(－1,3),结合向量数量积的定义式, 可知AP →·AB →等于AB →的模与AP →在AB →方向上的投影的乘积, 所以AP →·AB →的取值范围是(－2,6), 故选A ．3．已知△ABC 中,若AB → 2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →,则△ABC 是( C ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形[解析] 解法1：由AB → 2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →,得AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →), 即AB →·CB →＝BC →·BC →,∴AB →·BC →＋BC →·BC →＝0, ∴BC →·(AB →＋BC →)＝0,则BC →·AC →＝0,即BC →⊥AC →, 所以△ABC 是直角三角形,故选C ．解法2：由条件得AB →2＝AB →·(AC →＋CB →)＋CA →·CB →＝AB →2＋CA →·CB →, ∴CA →·CB →＝0,∴CA →⊥CB →.4．(多选)设a ,b ,c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则有( BD ) A ．(a ·b )c －(c ·a )b ＝0 B ．|a |－|b |<|a －b |C ．(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2[解析] 由于b ,c 不共线,因此(a ·b )c 不一定等于(c ·a )b ,只有在a ⊥b 且a ⊥c 时,等式才成立,故A 错误；由三角形的三边关系知B 正确；由于[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0,即(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直,故C 错；根据向量数量积的运算可知D 正确．二、填空题5．若非零向量a ,b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |,则a 与b 夹角的余弦值为－13 .[解析] ∵|a |＝3|b |＝|a ＋2b |,∴|a |2＝9|b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b , ∴a ·b ＝－|b |2,∴cos 〈a ,b 〉＝a ·b |a ||b |＝－|b |23|b |·|b |＝－13.6．如图所示,已知圆O 为△ABC 的外接圆,AB ＝6,BC ＝7,CA ＝8,则OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝－1492.[解析] OA →·AB →＝|OA →||AB →|cos(180°－∠BAO ), ∵|OA →|cos(180°－∠BAO )＝－|OA →|cos ∠BAO＝－12|AB →|,∴OA →·AB →＝－12|AB →|2,同理,OB →·BC →＝－12|BC →|2,OC →·CA →＝－12|CA →|2,∴OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝－12×(62＋72＋82)＝－1492.三、解答题7．已知|m |＝3,|n |＝5,(3m ＋2n )·(2m －n )＝－2. (1)求|m ＋n |；(2)求向量m 在向量m ＋n 方向上的投影向量的长度． [解析] (1)∵(3m ＋2n )·(2m －n )＝－2, ∴6m 2＋m ·n －2n 2＝－2, ∵|m |＝3,|n |＝5,∴m ·n ＝－6. ∴|m ＋n |＝|m |2＋|n |2＋2m ·n ＝32＋52＋2×－6 ＝22.(2)∵m ·(m ＋n )＝m 2＋m ·n ＝9－6＝3, ∴向量m 在向量m ＋n 上的投影向量的长度为m ·m ＋n |m ＋n |＝322＝32222.8．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,以点A 为圆心,r 为半径作圆,如图所示,其中PQ 为圆A 的直径,试判断P ,Q 在什么位置时,BP →·CQ →有最大值．[解析] ∵BP →＝AP →－AB →,CQ →＝CA →－QA →＝－AC →－AP →, ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(－AC →－AP →) ＝(－AP →·AC →)＋AB →·AC →－AP →2＋AB →·AP → ＝AB →·AC →－r 2＋AP →(AB →－AC →) ＝AB →·AC →－r 2＋AP →·CB →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC －r 2＋AP →·CB →＝bc cos ∠BAC －r 2＋AP →·CB →.当AP →与CB →同向时,AP →·CB →的最大值为|AP →||CB →|＝ra ,即当QP →与CB →共线且同向时,BP →·CQ →有最大值bc cos ∠BAC ＋ar －r 2.。

高中数学第二章平面向量 5 从力做的功到向量的数量积(一)学案北师大版必修4

5 从力做的功到向量的数量积(一)学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．知识点一两向量的夹角思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？思考2 △ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？梳理 (1)夹角：已知两个____________a 和b ，作OA →＝a ， OB →＝b ，则__________＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角(如图所示)．当θ＝0°时，a 与b ________；当θ＝180°时，a 与b ________.(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .规定零向量可与任一向量垂直．知识点二平面向量数量积的物理背景及其定义一个物体在力F 的作用下产生位移s ，如图．思考1 如何计算这个力所做的功？思考2 力做功的大小与哪些量有关？梳理 (1)数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把______________叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝____________.(2)数量积的特殊情况当两个向量相等时，a·a＝__________.当两个向量e1，e2是单位向量时，e1·e2＝________________________.知识点三平面向量数量积的几何意义思考1 什么叫作向量b在向量a上的射影？什么叫作向量a在向量b上的射影？思考2 向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？梳理(1)射影：若非零向量a，b的夹角为θ，则________叫作向量b在a方向上的射影(简称为投影)．(2)a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影________的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影____________的乘积．知识点四平面向量数量积的性质思考1 向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别？思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？梳理向量的数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝____________＝____________.(2)a⊥b⇔____________.(3)________＝a·a.(4)cos θ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)．(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|____|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．类型一求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．反思与感悟求平面向量数量积的步骤：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b ＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．跟踪训练1 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 2类型二求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.反思与感悟此类求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方．跟踪训练2 已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值．类型三求向量的夹角例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．反思与感悟当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的射影为－3，b 在a 方向上的射影为－32，求a与b 的夹角θ.1．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的射影为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－22．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．53．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝________. 4．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________． 5．已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．在a·b ＝|a||b |cos θ中，|b |cos θ和|a |cos θ分别叫作b 在a 方向上的射影和a 在b 方向上的射影，要结合图形严格区分． 4．求射影有两种方法(1)b 在a 方向上的射影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的射影为|a |cos θ.(2)b 在a 方向上的射影为a ·b |a|，a 在b 方向上的射影为a ·b|b |. 5．两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.答案精析问题导学知识点一思考1 存在夹角，不一样．思考2 如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ， ∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°，则∠CBD ＝120°，故向量a 与b 的夹角为120°.梳理 (1)非零向量 ∠AOB 同向反向知识点二思考1 W ＝|F ||s |cos θ.思考2 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．梳理 (1)|a ||b |cos θ |a ||b |cos θ (2)|a |2|e 1||e 2|cos θ＝cos θ 知识点三思考1 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ. |b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的射影，|a |cos θ叫作向量a 在b 方向上的射影．思考2 由射影的定义知，二者不一定相同．梳理 (1)|b |cos θ (2)|b |cos θ |a |cos θ 知识点四思考1 向量的线性运算的结果是向量，而向量的数量积运算的结果是数量．思考2 由两个非零向量的夹角决定．当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数．当θ＝90°时，非零向量的数量积为零．当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数．梳理 (1)a ·e |a |cos θ (2)a ·b ＝0 (3)|a | (5)≤ 题型探究例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 跟踪训练1 D例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝a ＋b2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝a －b2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝a ＋b2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝4×25＋4×252＋25＝57.|a －2b |＝a －2b2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.跟踪训练2 20例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 的夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝m ＋n2＝4×1＋1＋4m·n ＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝n －3m2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.跟踪训练3 θ＝120° 当堂训练1．D 2.A 3.11 4.－25 5．(1)12 (2)－12 (3)12。

高中数学第二章平面向量 2.5 从力做的功到向量的数量积学案北师大版必修4

§5从力做的功到向量的数量积1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难)点[基础·初探]教材整理向量的夹角及数量积阅读教材P93～P96内容，完成下列问题．1．向量的夹角(1)射影|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(也叫投影)．(2)数量积已知两个非零向量a与b，我们把|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．(3)规定零向量与任一向量的数量积为0.(4)几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积．(5)性质①若e 是单位向量，则e·a ＝a·e ＝|a |cos θ.②若a⊥b ，则a·b ＝0；反之，若a·b ＝0，则a⊥b ，通常记作a⊥b ⇔a·b ＝0. ③|a|＝a·a ＝a 2. ④cos θ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)．⑤对任意两个向量a ，b ，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b 时等号成立． (6)运算律已知向量a ，b ，c 与实数λ，则： ①交换律：a·b ＝b·a ；②结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量的数量积仍是一个向量．( ) (2)若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( )(3)设a 与b 的夹角为θ，则cos θ>0⇔a ·b >0.( ) (4)对于任意向量a ，b ，总有(a ·b )2＝a 2·b 2.( ) (5)a ·b a 2＝ba.( ) 【解析】 (1)×.两向量的数量积是一个数量．(2)×.∵a ·b ＝|a ||b |cos θ＝0，∴a ＝0或b ＝0或cos θ＝0. (3)√.(4)×.由数量积定义知，错； (5)×.a ·b a 2＝|a ||b |cos θ|a 2|＝|b |cos θ|a |. 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小组合作型]已知|a |；(2)(a ＋b )2；(3)(a－b )2；(4)a 2－b 2.【精彩点拨】利用两个向量的数量积公式a·b ＝|a||b|cos θ，|a |2＝a 2及运算律计算．【自主解答】由题知θ＝60°，|a|＝4，|b|＝5. (1)a·b ＝|a||b|cos θ＝4×5×cos 60°＝10. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝42＋2×10＋52＝61. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝42－20＋52＝21. (4)a 2－b 2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9.1．求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求出|a |和|b |；③利用数量积的定义：a·b ＝|a ||b |cos θ求解．要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．2．若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积．[再练一题]1．已知|a |＝10，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°.求： (1)a·b ；(2)a 在b 方向上的射影； (3)(a －2b )·(a ＋b )； (4)(a －b )2.【解】 (1)a·b ＝|a ||b |cos 120°＝10×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－20.(2)a 在b 方向上的射影为|a |cos 120°＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－5. (3)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2＋a·b －2a·b －2b 2＝a 2－a·b －2b 2＝|a |2－|a ||b |cos 120°－2|b |2＝100－10×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2×42＝88.(4)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |cos 120°＋|b |2＝100－2×10×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＝100＋40＋16＝156.(1)|a ＋b |； (2)|3a －4b |.【精彩点拨】利用公式|a |2＝a 2进行计算．【自主解答】 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. (1)因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2·a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－4)＋22＝12，所以|a ＋b |＝2 3.(2)因为|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，所以|3a －4b |＝419.1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活运用a 2＝|a |2，最后勿忘开方．2．一些常见等式应熟记： (a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2； (a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．[再练一题]2．已知|a |＝4，|b|＝3，(2a －3b )(2a ＋b )＝61，求|a ＋b |.【导学号：66470054】【解】因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4a 2＋2a ·b －6a ·b －3b 2＝61，所以4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又因为|a |＝4，|b |＝3，所以4×42－4a ·b －3×32＝61，所以a ·b ＝－6.|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13.[探究共研型]探究1 【提示】 [0，π]．探究2 设a 与b 都是非零向量，若a ⊥b ，则a ·b 等于多少？反之成立吗？【提示】 a ·b ＝0⇔a ⊥b .探究3 |a ·b |与|a |·|b |的大小关系如何？为什么？对于向量a ·b ，如何求它们的夹角θ？【提示】 |a ·b |≤|a |·|b |，|a ·b |＝|a |·|b |·|cos θ|. 由|cos θ|≤1，可得|a ·b |≤|a |·|b |.求夹角θ时先求两个向量a ，b 夹角的余弦值．然后根据向量夹角的取值范围求角．已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝2e 1＋e 2与b ＝2e 2－3e 1的夹角θ.【精彩点拨】先求|a |，|b |及a ·b ，再由公式cos θ＝a ·b|a ||b |求解．【自主解答】 ∵e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝cos 60°＝12，∴a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(2e 2－3e 1) ＝－6e 21＋e 1·e 2＋2e 22＝－72.又∵a 2＝(2e 1＋e 2)2＝4e 21＋4e 1·e 2＋e 22＝7，b 2＝(2e 2－3e 1)2＝4e 22－12e 1·e 2＋9e 21＝7，∴|a |＝|b |＝7，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝23π.1．求向量a ，b 的夹角θ有两步：第一步，利用公式cos θ＝a·b|a||b|求cos θ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cos θ有两种情形，一种是求出a·b ，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b ，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算．2．两向量垂直⇔a·b ＝0，即把垂直关系转化为数量积的运算问题解决．[再练一题]3．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )(a ＋b )＝12.(1)求a 与b 的夹角；(2)求a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．【解】 (1)因为(a －b )·(a ＋b )＝12，所以|a |2－|b |2＝12.又因为|a |＝1，所以|b |＝|a |2－12＝22，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝121×22＝22.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.(2)因为(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12，所以|a －b |＝22.又因为(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52，所以|a ＋b |＝102. 设a ＋b 与a －b 的夹角为α，则cos α＝a －b a ＋b|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55. [构建·体系]1．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中正确的是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c【解析】由向量数量积的运算性质，知A ，C ，D 错误．【答案】 B2．设向量a·b ＝40，|b |＝10，则a 在b 方向上的射影为( ) A ．4 B ．4 3 C ．4 2D ．8＋32【解析】 a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉．由a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝40且|b |＝10，得|a|cos θ＝4.【答案】 A3．已知|a |＝3，|b |＝23，a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角是________.【导学号：66470055】【解析】设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－33×23＝－12.又因为0°＜θ＜180°，所以θ＝120°. 【答案】 120°4．单位向量i ，j 相互垂直，向量a ＝3i －4j ，则|a |＝________.【解析】因为|a |2＝a 2＝(3i －4j )2＝9i 2－24i ·j ＋16j 2＝9＋16＝25，所以|a |＝5. 【答案】 55．已知|a |＝1，|b |＝2，设a 与b 的夹角为θ.(1)若θ＝π3，求|a －b |；(2)若a 与a ＋b 垂直，求θ. 【解】 (1)∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|a|2－2|a||b|cos π3＋|b |2＝1－22×12＋2＝3－2，∴|a －b |＝3－ 2.(2)若a 与a ＋b 垂直，则a·(a ＋b )＝0， ∴a 2＋a·b ＝0. ∵a·b ＝－|a|2＝－1. ∴cos θ＝a·b |a||b|＝－11×2＝－22.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。

高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积(一)学案北师大版必修

5 从力做的功到向量的数量积(一)学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．知识点一两向量的夹角思考1平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？思考2△ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？梳理(1)夹角：已知两个____________a 和b ，作OA →＝a ， OB →＝b ，则__________＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b的夹角(如图所示)．当θ＝0°时，a 与b ________；当θ＝180°时，a 与b ________.(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .规定零向量可与任一向量垂直．知识点二平面向量数量积的物理背景及其定义一个物体在力F 的作用下产生位移s ，如图．思考1如何计算这个力所做的功？思考2力做功的大小与哪些量有关？梳理(1)数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把______________叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝____________.(2)数量积的特殊情况当两个向量相等时，a·a＝__________.当两个向量e1，e2是单位向量时，e1·e2＝________________________.知识点三平面向量数量积的几何意义思考1什么叫作向量b在向量a上的射影？什么叫作向量a在向量b上的射影？思考2向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？梳理(1)射影：若非零向量a，b的夹角为θ，则________叫作向量b在a方向上的射影(简称为投影)．(2)a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影________的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影____________的乘积．知识点四平面向量数量积的性质思考1向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别？思考2非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？梳理向量的数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝____________＝____________.(2)a⊥b⇔____________.(3)________＝a·a.(4)cos θ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)．(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|____|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．类型一求两向量的数量积例1已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．反思与感悟求平面向量数量积的步骤：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b ＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．跟踪训练1已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于() A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 2类型二求向量的模例2已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.反思与感悟此类求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方．跟踪训练2已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值．类型三求向量的夹角例3设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．反思与感悟当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的射影为－3，b 在a 方向上的射影为－32，求a与b 的夹角θ.1．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的射影为() A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－22．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于() A ．1 B ．2 C ．3 D ．53．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝________.4．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________． 5．已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．在a·b ＝|a||b |cos θ中，|b |cos θ和|a |cos θ分别叫作b 在a 方向上的射影和a 在b 方向上的射影，要结合图形严格区分． 4．求射影有两种方法(1)b 在a 方向上的射影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的射影为|a |cos θ. (2)b 在a 方向上的射影为a ·b |a|，a 在b 方向上的射影为a ·b|b |. 5．两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.答案精析问题导学知识点一思考1存在夹角，不一样．思考2如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ， ∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°，则∠CBD ＝120°，故向量a 与b 的夹角为120°. 梳理(1)非零向量∠AOB 同向反向知识点二思考1W ＝|F ||s |cos θ.思考2与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．梳理(1)|a ||b |cos θ|a ||b |cos θ(2)|a |2|e 1||e 2|cos θ＝cos θ 知识点三思考1如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ. |b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的射影，|a |cos θ叫作向量a 在b 方向上的射影．思考2由射影的定义知，二者不一定相同．梳理(1)|b |cos θ(2)|b |cos θ |a |cos θ 知识点四思考1向量的线性运算的结果是向量，而向量的数量积运算的结果是数量．思考2由两个非零向量的夹角决定．当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数．当θ＝90°时，非零向量的数量积为零．当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数．梳理(1)a ·e |a |cos θ(2)a ·b ＝0 (3)|a |(5)≤ 题型探究例1解(1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 跟踪训练1D例2解a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝a ＋b2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝a －b2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究解a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝2a ＋b2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝4×25＋4×252＋25＝57.|a －2b |＝a －2b2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.跟踪训练0例3解∵|n |＝|m |＝1且m 与n 的夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝2m ＋n2＝4×1＋1＋4m·n ＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝2n －3m2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.跟踪训练3θ＝120° 当堂训练1．D2.A3.114.－25 5．(1)12(2)－12(3)12。

2.5从力做的功到向量的数量积----教案

2-5从力做的功到向量的数量积一、教学目标：1.知识与技能⑴通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义. ⑵体会平面向量的数量积与向量投影的关系.⑶掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.⑷能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力. 3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律. 难点:. 运算律的理解三.学法与教学用具自主性学习+探究式学习法教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】通过前面的学习，我们知道两个向量可以进行加减法运算，两个向量之间能进行乘法运算吗？找找物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？【新课引入】在物理学中，力F 对物体做的功为||||cos W F s θ=，θ是F 与s 的夹角功W 可以看成是向量F 、s 的某种运算有关，而这个运算结果的正负与这两个向量的夹角有关。

从而引出两个向量的夹角的概念。

【新课探究】1、两个向量的夹角⑴定义：已知两个非零向量a和b ，在平面上任取一点O ，作,O A aO B b == ，则A O B ∠称做向量a和b 的夹角，记作：,a b ，并规定：0,a b π≤≤ 。

练习1：在ABC ∆中已知A=45°，B=50°，C=85°求下列向量的夹角：⑴AB AC 与,⑵AB C 与B ，⑶AC C与B 的夹角。

高中数学学案必修四《第二章从力做的功到向量的数量积》

当两向量都是单位向量时，其数量积等于，记作。
⑤向量数量积的物理意义是
⑥平面向量数量积的重要性质：
⑦平面向量数量积满足的运算定律：
问题生成记录：
精
讲
互
动
1．向量数量积的几何意义；向量数量积的重要性质；向量数量积满足的运算定律。
2．应用：
例2(余弦定理)
达
标
训
练
练习1-5题。
已知，，且与不共线，当k为何值时，向量与互相垂直？

第课时
课题名称
时间
第周星期
课型
新授课
主备课人
赵红军
目标
1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量的数量积的重要性质及运算律。
2．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握两个向量垂直的条件。
重点
平面向量的数量积的定义
二次备课
难点
作业
反思
板书
设计
②设、是同一平面内的两个任意向量，则与的积可以表示为，
其中是。的结果是一个，称为与的或。
③设、是两个非零向量，则其夹角定义为，两向量夹角的范围是。当时，与；时，与；时，与，
记作。特别规定：零向量可与任意向量。④向量与的数量积 Nhomakorabea几何意义是
或。
当两向量相等时，其数量积等于，记作；
平面向量的数量积的定义及其运算律的理解和平面向量的数量积的应用。
自
主
学
习
1．复习回顾：
①向量和向量的和与差是，其大小和方向可以通过法则和法则来表示。
②向量和实数的数量积是，其大小为，方向为

高中数学第二章平面向量 2.5 从力做的功到向量的数量积导学案北师大版必修4

2.5 从力做的功到向量的数量积问题导学1．向量数量积的定义及几何意义活动与探究1已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°． (1)求a·b ；(2)求a 在b 上的射影．迁移与应用(1)在题设不变的情况下，求b 在a 上的射影；(2)把“a 与b 的夹角θ＝120°”换成“a ∥b ”，求a·b ．(1)数量积的符号同夹角的关系： ①若a·b ＞0⇔θ为锐角或零角；②若a·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；③若a·b ＜0⇔θ为钝角或平角． (2)求平面向量数量积的方法①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ． ②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b ． 2．平面向量数量积的运算活动与探究2已知|a |＝4，|b |＝5，且a 与b 的夹角为60°，求①a ·b ；②(a ＋b )2；③(a －b )2；④a 2－b 2；⑤(2a ＋3b )·(3a －2b )．迁移与应用1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，则a ·a ＋a ·b ＝__________． 2．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )＝__________．向量数量积的运算中要注意的问题：(1)两向量的数量积是数量，不是向量，注意区分其运算性质与数乘向量、实数与实数乘积的差异．(2)向量数量积与代数式运算三个相近公式．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2；(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2．(3)向量数量积的表示中的“·”，既不能省略，也不能写成“×”． 3．求向量的模活动与探究3(1)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( )． A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8(2)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a ＋2b |．迁移与应用已知平面向量a ，b ，|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －2b )，求|3a ＋b|，|a －2b|．求向量的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．4．求向量的夹角问题活动与探究4已知|a|＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．迁移与应用1．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为__________．2．已知非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|．求：(1)a 与a ＋b 的夹角； (2)a 与a －b 的夹角．向量夹角的求法：(1)求向量的夹角要利用公式cos θ＝a ·b|a ||b |，通常分别要求a ·b 和|a |·|b |的值． (2)对于不方便单独求出a ·b 与|a |·|b |的值的问题，可寻求两者的关系，转化条件解方程(组)．(3)要注意向量夹角的取值范围为[0，π]，涉及到具体几何图形问题要注意向量的方向，区分几何图形的内角与向量夹角的关系．5．解决有关垂直问题活动与探究5已知a ⊥b ，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．迁移与应用已知a ，b 是两个非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角θ．向量垂直的应用(1)理论依据：a ⊥b ⇔a ·b ＝0．(2)利用向量垂直求参数的取值，通常是由向量垂直，转化为数量积为0，再利用方程或函数的思想来求解．当堂检测1．若|a |＝5，|b |＝6，〈a ，b 〉＝60°，则a ·b ＝( )． A ．15 B ．15 3 C ．15 2 D ．102．已知|a |＝4，|b |＝3，a ·b ＝－6，则a 与b 的夹角为( )． A ．150° B．120° C．60° D．30°3．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )． A ．a ∥b B ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b4．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋3b |＝__________．5．已知两个非零向量a ，b ，夹角θ＝120°，且(a －3b )⊥(7a ＋5b )，问是否存在实数λ，满足(a －4b )⊥(λa －b )?答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)夹角 (2)[0°，180°] (3)垂直 (4)同向反向垂直 a ⊥b 预习交流1 120° 120°2．(1)|a ||b |cos θ a·b |a ||b |cos θ (2)|b |cos θ |a |cos θ (3)F·s 预习交流2 提示：无关．由向量射影的定义知，a 在b 方向上的射影为|a |cos θ，其中θ为a ，b 的夹角，所以a 在b 方向上的射影只与|a |和a ，b 的夹角有关．预习交流3 C 解析：m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－12 2.3．(2)|e 1||e 2|cos θ cos θ (3)a ·e |a |cos θ (4)a ·b ＝0 (5)|a | (6)a ·b |a ||b |(7)≤ 等号预习交流4 (1)120° (2)74．(1)a ·b ＝b·a (2)a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c (3)λ(a·b ) a ·(λb )预习交流5 (1)提示：若a ，b ，c 为实数，当b ≠0时，ab ＝bc ⇒a ＝c ，但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b ＝b·cD a ＝c .由下图很容易看出，虽然a·b ＝b·c ，但a≠c .(2)提示：对实数a ，b ，c 而言，(ab )c ＝a (bc )；但对向量a ，b ，c 而言，(a·b )c ＝a (b·c )未必成立，这是因为(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a·b )c ＝a (b·c )未必成立．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 解：(1)a·b ＝|a||b|·cos θ＝5×4×cos 120°＝－10；(2)a 在b 上的射影为|a |·cos θ＝a·b |b|＝－104＝－52.迁移与应用解：(1)b 在a 上的射影为|b |cos θ＝a·b |a|＝－105＝－2；(2)∵a ∥b ，∴a 与b 的夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b ＝|a||b|cos 0°＝20.当θ＝180°时，a·b ＝|a||b|cos 180°＝－20.活动与探究2 解：①a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×5×12＝10；②(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝16＋20＋25＝61；③(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝16－20＋25＝21；④a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝16－25＝－9；⑤(2a ＋3b )·(3a －2b )＝6|a |2＋5|a ||b |cos 60°－6|b |2＝6×16＋5×4×5×12－6×25＝－4.迁移与应用 1．1＋22 解析：a ·a ＋a ·b ＝1＋1×1×cos 45°＝1＋22. 2．0 解析：b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋b 2＝2|a ||b |cos 120°＋|b |2＝2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＝－16＋16＝0.活动与探究3 (1)B 解析：|2a －b |＝a －b 2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4×0＋4＝2 2.(2)解：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a·b＝25＋25＋25＝5 3. |a ＋2b |＝a ＋2b 2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝25＋4×252＋4×25＝175＝57.迁移与应用解：∵a ⊥(a －2b )， ∴a·(a －2b )＝0， ∴a 2－2a·b ＝0，∴a·b ＝12.|3a ＋b |＝a ＋b2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×1＋6×12＋4＝4.|a －2b |＝a －2b2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝12－4×12＋4×22＝15.活动与探究4 解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝121×22＝22，∴θ＝45°.∴a 与b 的夹角为45°. (2)|a －b |＝a －b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝22，|a ＋b |＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝102.设a －b 与a ＋b 的夹角为φ，则 cos φ＝a －b a ＋b|a －b ||a ＋b |＝1222×102＝55. ∴a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值为55. 迁移与应用 1．135° 解析：设夹角为θ， ∵a ·(a ＋b )＝1，∴|a |2＋a·b ＝1，即2＋2×1×cos θ＝1，∴cos θ＝－22，∴a ，b 的夹角为135°.2．解：如图所示，在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|，所以四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b . (1)由于|a|＝|b|＝|a ＋b|，即|OA →|＝|AC →|＝|OC →|，所以∠AOC ＝60°，即a 与a ＋b 的夹角为60°. (2)∵∠AOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°. 又|OA →|＝|OB →|， ∴∠OAB ＝30°，即a 与a －b 的夹角为30°. 活动与探究5 解：∵a ⊥b ， ∴a·b ＝0.又a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，∴[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.∴－k a 2＋t a·b ＋(t －3)(－k )a·b ＋(t －3)t b 2＝0， ∴－4k ＋(t －3)t ＝0.∴k ＝14(t 2－3t )＝14⎝⎛⎭⎪⎫t －322－916(t ≠0)．∴当t ＝32时，k 取最小值－916.迁移与应用解：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b a －5b ＝0，a －4ba －2b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0，即2a ·b ＝b 2，代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2b 2＝12.∴θ＝60°. 【当堂检测】1．A 2．B 3．B 4．43 5．解：由(a －3b )⊥(7a ＋5b )，得(a －3b )·(7a ＋5b )＝0.即7|a |2－15|b |2－16a ·b ＝0，①由(a －4b )⊥(λa －b )，得(a －4b )·(λa －b )＝0，即λ|a |2＋4|b |2－(1＋4λ)a ·b ＝0.②又a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－12|a ||b |，③把③代入①得|a |＝|b |，再代入②得⎝⎛⎭⎪⎫λ＋4＋1＋4λ2|a |2＝0. ∵|a |＞0，∴λ＋4＋1＋4λ2＝0，即λ＝－32.故存在实数λ＝－32，使(a －4b )⊥(λa －b )．。

高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积课堂导学案北师大版必修

高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积课堂导学案北师大版必修2、5 从力做的功到向量的数量积课堂导学三点剖析1、平面向量的数量积【例1】已知|a|=4,|b|=3,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积、思路分析：利用向量的数量积定义求解，注意几种情况下，a与b的夹角大小、解：①当a∥b时，若a与b同向，则a与b的夹角θ=0,∴ab=|a||b|cosθ=43cos0=12;若a与b反向，则a与b的夹角为θ=180,∴ab=|a||b|cos180=43(-1)=-12;②当a⊥b时，向量a与b的夹角为90，∴ab=|a||b|cos90=430=0;③当a与b的夹角为60时，∴ab=|a||b|cos60=43=6、友情提示若|a||b|是一个定值k，则当这两个向量的夹角从0变化到180时，两向量的数量积从k减到-k，其图象是从0到π 的半个周期内的余弦函数图象、各个击破类题演练1Rt△ABC中，已知||=3，||=3，||=，求++的值、解析:∵∠A=∠C=45，∴〈，〉=135，〈，〉=135，∴++=+=3cos135+3cos135=-18、变式提升1若向量a、b、c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4、则ab+bc+ca=____________、解法一：由已知得|c|=|a|+|b|,c=-a-b, 故向量a与b同向，而向量c与它们反向、所以有ab+bc+ca=3cos0+4cos180+12cos180=3-4-12=-13、∴应填：-13、解法二：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),∴ab+bc+ca==-13、∴应填：-13、答案：-132、平面向量数量积的综合应用【例2】设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角、思路分析：根据公式ab=|a||b|cosθ，得cosθ=，由此可求两向量的夹角、解：|m|=1,|n|=1,由夹角是60，得mn=、则有|a|=|2m+n|=;|b|=|2n-3m|=、所以ab=(2m+n)(2n-3m)=mn-6m2+2n2=,cosθ=、所以a、b的夹角为120、友情提示应用向量的数量积求夹角时，要注意分析要求的角是否是所构造的向量的夹角、类题演练2若(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),试求a、b的夹角的余弦值、解析：由(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),有∴a2=b2,|a|2=|b|2,|a|=|b|、由2a2+ab-b2=0,得ab=b2-2a2=|b|2-2|a|2=|b|2-2|b|2=-|b|2、∴cosθ=、∴a、b的夹角的余弦值为、变式提升2已知|a|=5,|b|=12,当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直？解析:若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)(a-mb)=0、∴a2-m2b2=0、∵|a|=5,|b|=12,∴a2=25,b2=144、∴25-144m2=0、∴m=、∴当且仅当m=时，向量a+mb与a-mb互相垂直、3、平面向量数量积的运算律【例3】已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120，求：（1）ab；（2）（a+b）2;(3)a2-b2;(4)(2a-b)(a+3b);思路分析：本题主要考查数量积的定义及运算律、由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=(a+b)（a+b）=(a+b)a+(a+b)b=aa+ba+ab+bbb=a2+2ab+b2、解：(1)ab=|a||b|cos120=54(-)=-10;(2)(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2=25-210+16=21;(3)a2-b2=|a|2-|b|2=25-16=9;(4)(2a-b)(a+3b)=2a2+5ab-3b2=2|a|2+5ab-3|b|2=225+5(-10)-316=-48、友情提示（1）在进行向量数量积运算时，要严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（ab）2=a22ab+b2 (a+b)（a-b）=a2-b2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac、类题演练3已知|a|=|b|=5,〈a,b〉=,求|a+b||a-b|、解析：因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,ab=|a||b|cos〈a,b〉=55cos=所以|a+b|=同样可求|a-b|==5、所以|a+b||a-b|=5=、变式提升3 （1）若向量a与b夹角为30，且|a|=,|b|=1,则向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦为_____、解析：∵pq=(a+b)（a-b）=a2-b2=3-1=2,又∵|p|=|a+b|=,|q|=|a-b|==1,∴cosθ=、答案：：（2）若非零向量α,β满足|α+β|=|α-β|,求α与β所成的角、解：∵|α+β|=|α-β|,∴|α2|+2αβ+|β|2=|α|2-2αβ+|β|2,即4αβ=0,∴αβ=0,∴α⊥β、∴α与β所成的角为90、。

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§5 从力做的功到向量的数量积内容要求 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量数量积与向量射影的关系.3.会进行平面向量数量积的运算(重点).4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(难点)．知识点1 向量的夹角与投影 (1)夹角：①定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫作向量a 与b 的夹角； ②范围：0°≤θ≤180°； ③大小与向量共线、垂直的关系； θ＝⎩⎪⎨⎪⎧0°⇔a 与b 同向，180°⇔a 与b 反向，90°⇔a ⊥b .(2)投影：①定义：如图所示：OA →＝a ，OB →＝b ，过点B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ.|b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的投影数量(简称投影)．②大小与夹角的关系：等边△ABC 中，BA →与BC →的夹角是多少？BA →与AC →，AC →与BC →的夹角又分别是多少？提示 BA →与BC →的夹角就是△ABC 的一个内角(∠ABC )，因此BA →与BC →的夹角是π3.BA →与AC →首尾相接，由∠BAC ＝π3知它的补角为23π，因此BA →与AC →的夹角是23π.AC →与BC →有共同的终点C ，若延长AC ，BC ，则可知所得的角的大小与∠ACB 的大小相等，均是π3，因此AC →与BC→的夹角是π3.知识点2 向量的数量积(1)定义：已知两个向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上投影|a |cos θ的乘积．(3)物理意义：力对物体做功，就是力F 与其作用下物体的位移s 的数量积F ·s . (4)性质：①若e 是单位向量，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0(其中a ，b 为非零向量)； ③|a |＝a ·a ；④cos θ＝a ·b|a |·|b |(|a ||b |≠0)；⑤对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |≤|a ||b |. (5)运算律：交换律：a ·b ＝b ·a .结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 【预习评价】1．已知三角形ABC 中，BA →·BC →＜0，则三角形ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＜0， ∴cos B ＜0，又∵B 为△ABC 的内角． ∴π2＜B ＜π. 答案 A2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________．解析 |a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3. 答案 2 3题型一数量积的基本概念【例1】下列判断：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ·c |＝|b ·c |；③a ，b 共线⇔a ·b ＝|a ||b |；④|a ||b |<a ·b ；⑤a ·a ·a ＝|a |3；⑥a 2＋b 2≥2a ·b ；⑦非零向量a ，b 满足：a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；⑧若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影长．其中正确的是________（填序号）．解析由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③错；对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错；对于⑥，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；对于⑦，当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错；对于⑧，|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影的数量，而非射影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．答案①②⑥规律方法对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．【训练1】给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．解析因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．答案④题型二数量积的运算【例2】已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b，a·(a＋b)．解①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9＋18＝27.若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9－18＝－9.②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°.∴a·b＝0，a·(a＋b)＝a2＝9.③当a与b的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3×6×12＝9.a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝18.规律方法 (1)向量的数量积在表示时，a 与b 之间必须用实心圆点“·”来连接而不能用“×”连接，也不能省略．(2)求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]．②分别求|b |和|a |.③求它们的数量积，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.【训练2】已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，试求： (1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )； (3)(a ＋b )·(a ＋b )； (4)(a －2b )·(3a ＋b )．解 (1)a ·b ＝|a |·|b |·cos θ＝3×4×cos 120°＝－6. (2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝－7.(3)(a ＋b )·(a ＋b )＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a |·|b |·cos θ＋|b |2＝13. (4)(a －2b )·(3a ＋b )＝3a 2－5a ·b －2b 2＝25.方向1 求向量的模【例3－1】已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求： (1)|a ＋b |；(2)|3a －4b |；(3)|(a ＋b )·(a －2b )|. 解由已知a ·b ＝|a ||b |cos θ ＝4×2×cos 120°＝－4，a 2＝|a |2＝16，b 2＝|b |2＝4.(1)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a ＋b |＝2 3.(2)∵|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， ∴|3a －4b |＝419.(3)∵(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12， ∴|(a ＋b )·(a －2b )|＝12. 方向2 求向量的夹角【例3－2】设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝2m ＋n2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝n －3m2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故a 与b 的夹角为120°. 方向3 数量积的综合应用【例3－3】设两个向量e 1，e 满足|e 1＝2，|e 2|＝1，向量e 1与e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，求实数t 的取值范围．解由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得cos θ＝t e 1＋7e 2e 1＋t e 2|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|＜0，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0.化简，得2t 2＋15t ＋7＜0，解得－7＜t ＜－12.当夹角θ为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ＜0，∴⎩⎨⎧λ＝－14，t ＝－142，故实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. 规律方法 1.求向量夹角时要注意：(1)当已知a ·b 是非坐标形式时，需求得a ·b 及|a |，|b |或它们之间的关系； (2)当已知a ，b 的坐标时，可直接利用公式求解． (3)注意夹角的范围θ∈[0，π]．2．对于a 2＝|a |2体现了数形结合思想，也给出了解决与模有关问题的思路.课堂达标1．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a·b |＝|a ||b | C ．λ(a·b )＝λa·bD ．|a·b |≤|a ||b |解析因为|a·b |＝||a |·|b |cos θ|(θ为向量a 与b 的夹角)＝|a |·|b |·|cos θ|，当且仅当θ＝0或π 时，使|a ·b |＝|a |·|b |，故B 错．答案 B2．已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是( ) A ．60° B ．30° C ．135°D ．45°解析 ∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2＝－1，设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－11×2＝－22.又∵ θ∈[0°，180°]， ∴ θ＝135°. 答案 C3．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a ·a ＋a ·b ＝________. 解析 a ·a ＋a ·b ＝12＋1×1×cos 120°＝12.答案 124．已知向量a 在向量b 方向上的射影是23，|b |＝3，则a·b 的值为________．解析 a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝|b ||a |cos 〈a ，b 〉＝3×23＝2.答案 25．已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？解要想(k a －b )⊥(a ＋2b )，则需(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k |a |2＋(2k －1)a·b －2|b |2＝0，∴52k ＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，解得k ＝1415，即当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．课堂小结1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)． 2．向量数量积的性质及作用：设a 和b 是非零向量，a 与b 的夹角为θ.(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.即当a 与b 共线时，|a ·b |＝|a ||b |.此性质可用来证明向量共线．(3)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(4)cos θ＝a ·b|a ||b |，此性质可求a 与b 的夹角.基础过关1．下面给出的关系式中正确的个数是( )①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a ·b )2＝(|a |·|b |cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ≠a 2·b 2，选C. 答案 C2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5解析 |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1. 答案 A3．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋b 2＝0，设a 与b 的夹角为θ， ∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴cos θ＝－|b |22|a ||b |＝－|b |22|b |2＝－12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 答案 C4．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.解析由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.答案－8或55．已知a ⊥b ，(3a ＋2b )⊥(k a －b )，若|a |＝2，|b |＝3，则实数k 的值为________．解析由已知a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝9，由(3a ＋2b )·(k a －b )＝0⇒3k a 2＋(2k －3)a ·b －2b 2＝0， ∴12k －18＝0，∴k ＝32.答案 326．已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．解由向量垂直得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b a －5b ＝0，a －4ba －2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b ＝15b 2，7a 2－30a ·b ＝－8b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝12|b |2，|a |＝|b |，设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12|b |2|b |2＝12，又∵θ∈[0，π]， ∴a 与b 的夹角为π3.7．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的射影．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12.|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2设向量2a －b 与向量a ＋b 的夹角为θ， ∴|2a －b |cos θ.＝|2a －b |·a －b a ＋b|2a －b |·|a ＋b |＝a －ba ＋b|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的射影为12.能力提升8．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A ．[0，π6]B ．[π3，π]C ．[π3，23π]D ．[π6，π]解析因为Δ＝a 2－4|a |·|b |cos θ(θ为向量a 与b 的夹角) 若方程有实根，则有Δ≥0即a 2－4|a |·|b |cos θ≥0，又|a |＝2|b |，4|b |2－8|b |2cos θ≥0， ∴cos θ≤12，又0≤θ≤π，∴π3≤θ≤π. 答案 B9．设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1.( ) A ．若θ确定，则|a |唯一确定 B ．若θ确定，则|b |唯一确定 C ．若|a |确定，则θ唯一确定 D ．若|b |确定，则θ唯一确定解析 |b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b ·t ＋t 2a 2＝|a |2t 2＋2|a |·|b |cos θ·t ＋|b |2. 因为|b ＋t a |min ＝1，所以4|a |2·|b |2－4|a |2·|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2(1－cos 2θ)＝1. 所以|b |2sin 2θ＝1，所以|b |sin θ＝1，即|b |＝1sin θ.即θ确定，|b |唯一确定．答案 B10．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________. 解析 b ·c ＝b ·[t a ＋(1－t )b ]＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝12t ＋1－t ＝1－12t ＝0，解得t ＝2.答案 211．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AD →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析因为E 为CD 的中点，所以BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →.因为AC →·BE →＝1，所以AC →·BE→＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →·(AD →＋AB →)＝AD →2－12AB →2＋12AB →·AD →＝1，即1－12AB →2＋12|AB →|cos 60°＝1，所以－12AB →2＋14|AB →|＝0，解得|AB →|＝12.答案 1212．已知单位向量e 1，e 2的夹角为π3，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角．解 ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为π3，∴e 1·e 2＝1×1×cos π3＝12.∵a·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1) ＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32，|a |＝a 2＝e 1＋e 22＝1＋2×12＋1＝3，|b |＝b 2＝e 2－2e 12＝1＋4－4×12＝3，∴cos θ＝a·b |a ||b |＝－32×13×3＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.∴a 与b 的夹角为2π3.13.(选做题)如图所示，在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝2，|AD →|＝1，∠DAB ＝60°.求：(1)AD →·AB →；(2)AC →与DB →夹角θ的余弦值．精品资料值得拥有精品资料值得拥有 11 解 (1)AD →·AB →＝|AD →||AB →|cos ∠DAB ＝2×12＝1.(2)AC →＝AD →＋AB →，DB →＝AB →－AD →， ∴AC →·DB →＝AB →2－AD →2＝4－1＝3， AC →2＝AD →2＋AB →2＋2AB →·AD →＝1＋4＋2＝7， |AC →|＝7，DB →2＝AB →2＋AD →2－2AB →·AD →＝4＋1－2＝3， |DB →|＝3.cos θ＝AC →·DB →|AC →||DB →|＝37×3＝217.。