聚焦中考数学(广西地区)课件：第23讲 与圆有关的位置关系
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中考数学专题复习《与圆有关的位置关系》课件
∴∠DOE=∠OED,∴OD=DE. ∵OD=OE,∴△ODE是等边三角形, ∴∠DOE=60°,∴∠CGE=30°. ∵☉O的半径为5,∴GE=10. ∵GE是☉O的直径,∴∠GCE=90°, ∴在Rt△GCE中,GC=GE•cos∠CGE=10×cos 30°=
(2)DE=2EF. 证法一:如图1. 由(1)知∠COE=∠DOE=60°,
( B) A.50° B.55° C.60° D.65°
考点5 三角形与圆
名称 三角形的外接圆 图形
三角形的内切圆
相关 经过三角形各顶点的 与三角形各边都相切的
概念 圆;外心是三角形三边 圆;内心是三角形三条角
中垂线的交点
平分线的交点
名称 三角形的外接圆
圆心 三角形的外心 名称
(续表)
三角形的内切圆 三角形的内心
考点1 点与圆的位置关系
设r为圆的半径,d为点P到圆心的距离,则:P在圆 外⇔d>r在圆上⇔d=r在圆内⇔d<r.
[典例1]如图,在△ACB中,∠ACB=90°, CD⊥AB于点D,若AB=5,BC=3. (1)以A为圆心,作半径为2的圆,则点 C与☉A的位置关系是 C在圆外 ; (2)以C为圆心,作半径为2.4的圆,则点D 与☉C的位置关系是 D在圆上 .
∴CE=DE. ∵OC=OE,∴△OCE为等边三角形, ∴∠OCE=60°.∵∠OCB=90°,∴∠ECF=30°. 在Rt△CEF中,
即DE=2EF.
证法二:如图1.过点O作OH⊥DF,垂足为H.∴∠OHF=90°. ∵∠OCB=∠DFC=90°, ∴四边形OCFH是矩形,∴CF=OH. ∵△ODE是等边三角形,∴DE=OE. ∵OH⊥DF,∴DH=EH. ∵∠COE=∠DOE, ∴CE=DE,∴CE=OE. ∵CF=OH,∴Rt△CFE≌Rt△OHE, ∴EF=EH,∴EH=DH=EF,∴DE=2EF.
中考数学总复习第8章圆第23讲与圆有关的位置关系精讲课件
中考典题精讲精练
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24[1]23圆和圆的位置关系课件_新人教版
![24[1]23圆和圆的位置关系课件_新人教版](https://img.taocdn.com/s3/m/5df48ef1482fb4daa48d4b85.png)
苏东双语
人教版初1级、中学圆教和科书圆几的何第位三册置关系及其对应的数量关系
课堂小结（1）两圆外离
d>R+r
（2）两圆外切
d=R+r
（3）两圆相交
R-r<d<R+r
(R≥r)
（4）两圆内切
d=R-r (R＞r)
（5）两圆内含
2、相切两圆的性质
0≤d<R-r
(R＞r)
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.
解: R2-2Rd+d2-r2=0 (R-d)2-r2=0 (R-d+r)(R-d-r)=0 R-d+r=0或R-d-r=0 d=R+r 或 d=R-r ∴两圆相切
练习:若两圆的半径分别为R和r(R>r)圆心距为d
r2+d2=R2-2rd,则两圆位置关系：内切
苏东双语
相切两圆的性质 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 即:相切两圆的连心线必过切点.
r2
A B
A
1
O1 O2 P
O1
1
P
2
O2
B
苏东双语
例3.若⊙O1与⊙O2外切于P,直线AB过P,⊙O1的半
径为R,⊙O2的半径为r求证:AP:PB=R:r
证明:连结
A
O1A、O2B、 连结O1O2必过P
O2B=O2P ∠1=∠A
R
P
1
O1
2 r O2
O1A=O1P ∠2=∠B
B
∠1=∠2
∠1=∠2 ∠A=∠B
苏东双语
4、已知：两圆的半径是方程
例题分析 x2-4x+2=0的两根，且圆心距为3， 试判断此两圆的位置关系。 相交
精品课件：人教版数学中考复习第23讲《与圆有关的位置关系》
充的条件不正确的是( A )
A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD 11． 如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC的度数是( B ) A．10° B．20° C．30° D．40°
例题：
12. 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边 长为( B ) A． 2 B． 2 3 C. 3 D． 3
（1）求证：AB为⊙O的切线；
(1) 证明： 过点O作OM⊥AB于M ∵AO平分∠BAC, ∠ACB=90, OM⊥AB ∴OC=OM ∴AB是⊙O的切线 M
例题：
16.如图，ΔABC中，∠ACB=90, ∠BAC的平分线交BC于点O，OC=1, 以点O为圆心，OC为半径作半圆。 1 （2）如果tan∠CAO= ，求cosB的值． 3 (2) 解： 设OB=x， 则AB=3x ∵∠ACB=90
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC=4,BC=7,点D在
BC上，CD=3,⊙A的半径为3,⊙D与⊙A相交，且点B在
⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ B ） ． A.1<r<4 B.2<r<4 C.1<r<8 D.2<r<8
例题：
4．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B， C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B ) A．点P B．点Q C．点R D．点M
13.如图，AC⊥BC于点C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，⊙O
c＋b－a 与直线AB、BC、CA都相切，则⊙O的半径等于______ 2 ．
14.2012年7月28日，奥运会五环旗在伦敦高高飘扬，会旗 上的五环(如图)间的位置关系有( C ) A．相交或相切 C．相交或相离 B．相交或内含 D．相切或相离
【广西中考面对面】考点清单：第23课时圆的基本性质
第六单元 圆第23课时 圆的基本性质考点1 圆的有关概念及性质1.圆的基本概念(1)圆的定义：平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，这个定点叫做_____，定长叫做半径，如图(1)，O 为圆心，OA 为半径.图（1）(2)弦及直径连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图(1)，AE 为弦；经过_____的弦叫做直径，如图(1)，EF 为直径.直径是圆内最长的弦，直径等于半径的2倍.(3)弧、劣弧、优弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.其中，小于半圆的部分叫做劣弧，如图(1)，AF 为劣弧；大于半圆的部分叫做优弧，如图(1)，AEF 为优弧. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆.(4)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如图(1)， _______叫做AF 所对的圆心角.(5)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，如图(1)，∠AEF 为圆周角.2. 圆的性质(1)圆是轴对称图形，其对称轴是经过圆心的任意一条直线；圆也是__________图形，圆心是它的对称中心.(2)圆具有旋转不变性，即圆绕着它的圆心任意旋转一个角度都能与原来的圆重合.(3)圆心确定圆的_____，半径确定圆的大小；不在同一条直线上的三点确定一个圆. 考点2 垂径定理及其推论1. 垂径定理：垂直于弦(不是直径)的直径_____这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2. 推论(1)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(2)平分弦(不是直径)的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧；(3)圆的两条平行弦所夹的弧__________.3. 垂径定理的应用类型(1)如图(2)，基于圆的对称性，下列五个结论：①AC=CB；②AD=DB ；③AE=BE ；④AB ⊥CD ；⑤CD 是直径，只要满足其中的两个，另外三个结论一定成立.图(2)(2)设OA 为r ，OE(弦心距)为d ，AB 为2a ，由OE ⊥AB 得，AE=a ，从而在Rt △AOE 中，满足r 2=d 2+a 2，利用勾股定理可以对半径、弦、弦心距“知二求一”.考点3 弦、弧、圆心角的关系1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.2.推论：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. 考点4 圆周角定理及其推论(高频考点)1.定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.2.推论：(1)同弧或等弧所对的圆周角⑨_______；(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.考点5 正多边形与圆(2011版新课标新增内容)1.相关概念：(1)我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，如图(3)，点O 为正多边形的中心.(2)外接圆的半径叫做正多边形的半径，如图(3)，OA 为正多边形的半径R.(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，如图(3)，α为中心角.(4)中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距，如图(3)，OD 为边心距r.(5)内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补，如图(4)，∠A+∠BCD=⑩_____，∠B+ ______=180°.图(3)图（4）3.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.【备考指导】在圆中求弦长或者半径时，常过圆心作弦的垂线或连接半径作辅助线，运用垂径定理及其推论，构造以半径、弦的一半、弦心距为边的直角三角形，而对于题中没有出现直径和半径，有圆心到弦的垂线段时，也可以用此构造直角三角形的方法，结合方程思想， 应用垂径定理的解题策略把半径、弦的一半、弦心距用含x 的代数式表示出来，然后利用勾股定理求解.有如下公式：(弦长为l ，圆心到弦的距离为d ，半径为r).【方法指导】垂径定理与圆周角定理结合是圆中常见的类型，涉及求线段长度或角度.做题时常需要将直径与垂直于直径的弦及同弧所对圆周角与圆心角联系起来并结合垂径定理及其推论构造直角三角形来求解.常作的辅助线有：①连接半径或作弦，利用同弧(等弧)所对圆12l =周角与圆心角相等，同弧(等弧)所对弦相等，建立角度等量关系和线段等量关系；②作垂直于直径的弦，构造相等线段、弧长及直角.在做这类题时，也常涉及特殊角的三角函数，熟练掌握三角函数值即可.。
第23讲 和圆有关的位置关系 九年级中考数学一轮复习课件(共20张PPT)
角 的三个顶点 是三角形三条 外心到三
形 可以作一个 边的⑭
角形三个
外 圆，这个圆叫 __垂__直__平_分__线__的 顶点的距
接 做三角形的 交点，叫做这个 离⑮
圆 外接圆
三角形的外心 __相__等____
图象
图象
自学检测2（12分钟）
考点2 切线的性质及有关计算(6年2考)
考情分析 2017年第24题涉及三角形的全等判定定理与性质、三角形
第六单元 圆
第二十三讲 与圆有关的位置关系
九年级数学组 主备人：凌云
学习目标（1分钟） 1.理解点与圆、直线与圆的位置关系； 2.掌握并会运用切线的性质与判定解决问题； 3.理解并掌握三角形与圆的位置关系。
自学指导1（1分钟） 思考并回答下列问题
一、点与圆、直线与圆的位置关系(考点1)
点与圆的位 置关系
(1)求证：BC是∠ABE的平分线； (2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求 CE的长．
图4
(1)证明：∵BE∥CO，∴∠OCB＝∠CBE. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.∴∠CBE＝∠CBO. ∴BC 平分∠ABE. (2)解：∵DE 是切线，∴OC⊥DE. 在 Rt△CDO 中，∵DC＝8，OC＝OA＝6， ∴OD＝ CD2＋OC2＝10. ∵OC∥BE，∴DCEC＝DOOB.∴C8E＝160.∴CE＝4.8.
（C ）
A.40°
B.100°
C.40°或140° D.40°或100°
切线长定理
【补充】
※ 如图12，PA与PB分别切⊙O于A，B两点，C为 上任意一点，过C 作⊙O的切线，分别交PA，PB于D，E，若△PDE的周长为10，则
PA= 5 .
小结（1分钟）
中考数学总复习 第六单元 圆 第23课时 与圆有关的位置关系(考点突破)课件
2021/12/9
第十四页，共十五页。
内容(nèiróng)总结
第六单元 圆。①性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.。③切线和圆心的距离等于圆的 半径.。（2）过圆心作这条直线的垂线段——证明(zhèngmíng)这条垂线段和半径相等，则该直线
No 为切线.。（3）当题中已有切线时，常连接圆心和切点得到半径或90°角，由此可展开其他问
例3（2018•临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖(fùgài)
的最小圆形纸片的直径是
cm．
2021/12/9
第十三页，共十五页。
归纳 拓展 (guīnà)
解答本考点(kǎo diǎn)的有关题目，关键在于掌握三角形内心和外心的概 念. 注意以下要点：
(1)三角形的内心到三角形三边的距离都相等； (2)三角形的外心到三角形的三个顶点的距离都相等.
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第五页，共十五页。
温馨 提示 (wēn xīn)
与切线有关问题常作的辅助线和解题思路 （1）连接圆心和直线与圆的公共点——证明该半径(bànjìng)与已知直线垂直，则 该直线为切线. （2）过圆心作这条直线的垂线段——证明这条垂线段和半径相等，则该直线为切 线. （3）当题中已有切线时，常连接圆心和切点得到半径或90°角，由此可展开其他问 题的计算或证明.
第十一页，共十五页。
归纳(guīnà)拓展
解答本考点(kǎo diǎn)的有关题目，关键在于掌握切线的性质和 切线的证明方法. 注意以下要点：
(1)切线的性质；
(2)常用证明方法是连接切点和圆心作直径构造直角三角形来证明 切线与直径垂直.
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第十二页，共十五页。
第23讲直线与圆的位置关系考点聚焦-中考数学一轮复习作业课件
(1)求证：BF 是⊙O 的切线；
(2)若⊙O 的直径为 3，sin
∠CBF＝
3 3
，求 BC 和 BF 的长．
【分析】(1)连接 AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角
形，利用直角三角形两锐角之和等于 90°.从而证明∠ABF＝90°，进而得出结论；
(2)解直角三角形即可得到结论．
(1)证明：如解图，连接AE， ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°. ∵AB＝AC，∴∠CAB＝2∠1. ∵∠BAC＝2∠CBF，∴∠1＝∠CBF， ∴∠CBF＋∠2＝90°，即∠ABF＝90°， ∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线；
(1)证明：如解图，连接OC，∵CE与⊙O相切于点C， ∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45° ，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC＋∠OCE＝180°， ∴AD∥EC；
(2)解：如解图，过点 A 作 AF⊥EC 交 EC 于点 F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝
45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin
∠ADB＝AADB
＝
3 2
，
∴AD＝8 3 ，∴OA＝OC＝4 3 ，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°， ∴四边形 OAFC 是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形 OAFC 是正方形，
∴CF＝AF＝4 3 ，∵∠BAD＝90°－∠D＝30°，∴∠EAF＝180°－90°－30°
＝60°，∵tan ∠EAF＝EAFF ＝ 3 ，∴EF＝ 3 AF＝12， ∴CE＝CF＋EF＝12＋4 3 .
7. (2019·十堰)如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 延长线上一点，且∠CDE＝12 ∠BAC.
圆与圆的位置关系课件
。
判定2
如果两个圆心之间的距离小于两圆 的半径之和且大于两圆的半径之差 ，则这两个圆是相交圆。
判定3
如果两个圆在平面上有一条且仅有 一条公共直线，则这两个圆是相交 圆。
03
相切圆的位置关系
相切圆的概念
相切圆
两个圆在某一点有且仅有一个公共点，则称这两个圆相切。
切线
与两个相切圆的公共点相切的直线。
切点
交点
两个圆在平面上有且仅有 一个公共点，这个公共点 称为两圆的交点。
交线
通过两个圆的交点所作的 直线，称为两圆的交线。
相交圆的性质
性质1
相交圆交点位于两圆的 连心线上。
性质2
相交圆的交点到两圆心的 距离相等。
性质3
相交圆的交点到两圆上任 一点的距离之和等于两圆 半径之和。
相交圆的判定
判定1
如果两个圆在平面上有且仅有一 个公共点，则这两个圆是相交圆
几何法
通过观察两圆的圆心距与两圆半 径之和、半径之差的关系，判断 两圆的位置关系。
几何意义
相交
两圆有且仅有一个公共点。
相切
两圆有一个公共点，且除该公共点外，两圆没有 其他公共点。
相离
两圆没有公共点。
02
相交圆的位置关系
相交圆的概念
01
02
03
相交圆
两个圆在平面上有且仅有 一个公共点，这个公共点 称为两圆的交点，这两个 圆称为相交圆。
圆与圆的位置关系课件
目 录
• 圆与圆的位置关系概述 • 相交圆的位置关系 • 相切圆的位置关系 • 相离圆的位置关系
01
圆与圆的位置关系概述
定义与分类
定义
两个圆在平面上的相对位置关系。
判定2
如果两个圆心之间的距离小于两圆 的半径之和且大于两圆的半径之差 ，则这两个圆是相交圆。
判定3
如果两个圆在平面上有一条且仅有 一条公共直线，则这两个圆是相交 圆。
03
相切圆的位置关系
相切圆的概念
相切圆
两个圆在某一点有且仅有一个公共点，则称这两个圆相切。
切线
与两个相切圆的公共点相切的直线。
切点
交点
两个圆在平面上有且仅有 一个公共点，这个公共点 称为两圆的交点。
交线
通过两个圆的交点所作的 直线，称为两圆的交线。
相交圆的性质
性质1
相交圆交点位于两圆的 连心线上。
性质2
相交圆的交点到两圆心的 距离相等。
性质3
相交圆的交点到两圆上任 一点的距离之和等于两圆 半径之和。
相交圆的判定
判定1
如果两个圆在平面上有且仅有一 个公共点，则这两个圆是相交圆
几何法
通过观察两圆的圆心距与两圆半 径之和、半径之差的关系，判断 两圆的位置关系。
几何意义
相交
两圆有且仅有一个公共点。
相切
两圆有一个公共点，且除该公共点外，两圆没有 其他公共点。
相离
两圆没有公共点。
02
相交圆的位置关系
相交圆的概念
01
02
03
相交圆
两个圆在平面上有且仅有 一个公共点，这个公共点 称为两圆的交点，这两个 圆称为相交圆。
圆与圆的位置关系课件
目 录
• 圆与圆的位置关系概述 • 相交圆的位置关系 • 相切圆的位置关系 • 相离圆的位置关系
01
圆与圆的位置关系概述
定义与分类
定义
两个圆在平面上的相对位置关系。
九年级数学与圆有关的位置关系课件
再见 ！
〔2〕cos∠BAC的值．
变式二 5 2 ⊙A的半径为2
，圆心A的坐标为〔2,3〕，
直线l的解析式为y=x-4.
y
求⊙A与直线l的关系为
A
o
x
课时小结
１．知识：
回忆“与圆有关的位置关系〞中相关的概念，性质与判定．
２．思想方法：
数形结合，类比，分类讨论，方程思想． 面积法，代数法．
结束语
谢谢同学们的配合！
证明:DE是圆O的切线. 〔判定定理〕
C
A
D B
E
·O
C
D
E
A
. O
B
〔图1〕
〔图2〕
例题讲解
例1 如下图，B为⊙O上的一点，点D在直径AC的延长线上，
且∠DBC=∠BAC.
(1)求证：BD2=DC.DA.
(2)求证：BD是⊙O的切线.
B
A
O
D
C
变式一
如图，AC是⊙O的直径，P为⊙O外一点，连接PC交⊙O于点B， 连接AB，且PC=10，PA=6，AO=4． 求：〔1〕PA为⊙O的切线；
复习课
漓江 王东平
本节知识结构图：
与
圆 有
点和圆的位置关系
三角形内切圆 〔切线的性质及判定〕
位
置
圆和圆的位置关系
关
系
1.如图１，△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，
以O为 圆心的圆与AB相切于点D，
求证：AC是圆的切线 〔距离法〕
2.如图,AB是圆O的直径,圆O过AC的中点D,DE⊥BC于E．
广西桂林灵川县第三中学九年级数学《24.2与圆有关的位置关系》课件3
若以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径？
解：设⊙P的半径为R
(1)若⊙O与⊙P外切，
则 OP=5+R =8
..
O
P
R=3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱcm
(2)若⊙O与⊙P内切， 则 OP=R-5=8
R=13 cm
所以⊙P的半径为3cm或13cm
判断正误：
1、若两圆只有一个交点,则这两圆外切. （ ×）
2、如果两圆没有交点，则这两圆的位置关系是外离.
(R>r)
点
d>R+r 0
d=R+r 1 R-r<d<R+r 2
d=R-r 1
d<R-r 0
相交
外切
外离
R-r<d<R+r
d = R+r
d > R+r
同圆心0与圆 圆内含的内R五切-r 种相位交 置外R关+切r 系外离 d
d= R-r 内切
0≤d<R-r 内含
d= 0 同心圆（内含的一种）
例题： 如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。
5.已知两圆的半径为R和r(R＞r), 圆心距为d ,
且 d 2 R2 r2 2dR 则两圆的位置关系为( D )
A.外切 B. 内切 C.外离 D.外切或内切
6.两圆相切,圆心距等于3,一个圆的半径为5cm,则另一个圆的 半径为 2cm或8cm. 7.两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点, ⊙O1经过点O2,则 ∠O1AB的度数为 30° .
两圆外切
O1 O2
d=R-r (R>r)
dr
两圆内切
R
2022年中考数学一轮复习课件：第23讲 与圆有关的位置关系
4．切线长定理：如图，从圆外一点引圆的两条切线，它们的 切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
4.如图，CD 是⊙O 的切线，切点为 E，AC，BD 分别与⊙O 相切于点 A，B，如果 CD＝7，AC＝4，那么 DB 等于( C )
A．5 C．3
B．4 D．2
5.三角形的内心与外心： (1)不在同一直线上的三点确定一个圆． (2)内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交 点，内心到三角形三边的距离相等． (3)外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分 线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等．
分层闯关
1．(2021 杭州)如图，已知⊙O 的半径为 1，点 P 是⊙O 外一 点，且 OP＝2.若 PT 是⊙O 的切线，T 为切点，连结 OT，则 PT ＝ 3．
2.点 P 是⊙O 内的一点，若点 P 到⊙O 上的点的最小距离是 4 cm，最大距离是 9 cm，则⊙O 的半径是 6.5 cm.
切线的性质与判定．
3．(2021 长春)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线， 若∠BAC＝35°，则∠ACB 的大小为( C )
A．35° C．55°
B．45° D．65°
4．(2020 广东)如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠DAB＝90°，
AB 是⊙O 的直径，CO 平分∠BCD．
∴∠CDA＋∠ADO＝∠ODC＝90°. 即 OD⊥CD，且 OD 为⊙O 半径． ∴CD 是⊙O 的切线．
在 Rt△DOC 中，∠DOC＝60°，OD＝2. ∴tan∠DOC＝tan 60°＝OCDD＝C2D＝ 3.∴CD＝2 3.
4．(2021 常德)如图，在 Rt△ ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 的中点 O 为圆心，AB 为直径的圆交 AC 于点 D，E 是 BC 的中点，DE 交 BA 的延长线于点 F.
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数学
广西地区
第六章 圆 第23讲 与圆有关的位置关系
直线与圆的位置关系
1．(2016•梧州)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离为3，此
时直线和圆的位置关系为( C ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．(2017•百色)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y ＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( C ) A．0≤b＜2
5
【学法指导】切点的判定方法：1.待证直线与圆有公共点时，连接圆
心与公共点，证明垂直即可；2.待证直线与圆未指明有公共点时，过 圆心作待证直线的垂线，进而证明垂线段之长等于半径． 【对应训练】 1．(2017•日照)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延 长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是 ( A)
9．(2017•四市)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连 接AC，过 上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE， 交CD于点F，且EG＝FG，连接CE. (1)求证：△ECF∽△GCE； (2)求证：EG是⊙O的切线；
(3)延长AB交GE的延长线于点M，若 3 tanG＝ 4 ，AH＝3 3 ，求EM的值．
7．(2016•南宁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O 在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E. (1) 求证：AC是⊙O的切线； (2) 若OB＝10，CD＝8，求BE的长．
8．(2016•防城港)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形 AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与 OC延长线于点E，F，连接BF.
5 2
A．5
3
B．5 2
C．5
D.
2．(2017•攀枝花)如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D， AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F，且CE＝CF. (1)求证：直线CA是⊙O的切线；
3 4
DF CF
(2)若BD＝ DC，求
的值．
5．(2015•百色)如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线 24 交⊙O于点B.若∠ABP＝33°，则∠P＝_____为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC＝∠A. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC＝12，AD＝3，求 直径AB的长．
2
3
B．－2 2 ≤b≤2
2
C．－2 3 ＜b＜2
D．－2 2 ＜b＜2
2
与切线有关的证明及计算 3．(2016•河池)如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y 轴相交于A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是( D ) A．(5，3) B．(5，4) C．(3，5) D．(4，5)
4．(2015•河池)我们将直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆 称为“整圆”，如图，直线l：y＝kx＋4 3 与x轴、y轴分别交于A、 B两点，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段 OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是(A ) A． 6 B．8 C．10 D．12
12．(2015•北海)如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交 CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C. (1)求证：PE是⊙O的切线； (2)求证：ED平分∠BEP； (3)若⊙O的半径为5，CF＝2EF，求PD的长．
与切线有关的证明及计算 例1 (2017•营口)如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是 的中点， 过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若cos∠CAD＝ 4 ，BF＝15，求AC的长．
10．(2016•北海)在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，
交BC于点D，⊙O的切线BP与AC的延长线交于点P，连接DE、BE. (1)求证： ＝ ；
5 5
(2)求证：∠AED＝∠BCP； (3)已知：sin∠BAD＝ ，AB＝10，求BP的长．
11．(2015•南宁)如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且 ，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接 BC，交OD于点F. (1)求证：CD是⊙O的切线； OF (2)若 FD ＝23，求∠E的度数； (3)连接AD，在(2)的条件下，若CD＝ 3 ，求AD的长．
广西地区
第六章 圆 第23讲 与圆有关的位置关系
直线与圆的位置关系
1．(2016•梧州)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离为3，此
时直线和圆的位置关系为( C ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．(2017•百色)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y ＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( C ) A．0≤b＜2
5
【学法指导】切点的判定方法：1.待证直线与圆有公共点时，连接圆
心与公共点，证明垂直即可；2.待证直线与圆未指明有公共点时，过 圆心作待证直线的垂线，进而证明垂线段之长等于半径． 【对应训练】 1．(2017•日照)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延 长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是 ( A)
9．(2017•四市)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连 接AC，过 上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE， 交CD于点F，且EG＝FG，连接CE. (1)求证：△ECF∽△GCE； (2)求证：EG是⊙O的切线；
(3)延长AB交GE的延长线于点M，若 3 tanG＝ 4 ，AH＝3 3 ，求EM的值．
7．(2016•南宁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O 在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E. (1) 求证：AC是⊙O的切线； (2) 若OB＝10，CD＝8，求BE的长．
8．(2016•防城港)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形 AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与 OC延长线于点E，F，连接BF.
5 2
A．5
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B．5 2
C．5
D.
2．(2017•攀枝花)如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D， AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F，且CE＝CF. (1)求证：直线CA是⊙O的切线；
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DF CF
(2)若BD＝ DC，求
的值．
5．(2015•百色)如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线 24 交⊙O于点B.若∠ABP＝33°，则∠P＝_____为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC＝∠A. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC＝12，AD＝3，求 直径AB的长．
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B．－2 2 ≤b≤2
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C．－2 3 ＜b＜2
D．－2 2 ＜b＜2
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与切线有关的证明及计算 3．(2016•河池)如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y 轴相交于A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是( D ) A．(5，3) B．(5，4) C．(3，5) D．(4，5)
4．(2015•河池)我们将直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆 称为“整圆”，如图，直线l：y＝kx＋4 3 与x轴、y轴分别交于A、 B两点，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段 OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是(A ) A． 6 B．8 C．10 D．12
12．(2015•北海)如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交 CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C. (1)求证：PE是⊙O的切线； (2)求证：ED平分∠BEP； (3)若⊙O的半径为5，CF＝2EF，求PD的长．
与切线有关的证明及计算 例1 (2017•营口)如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是 的中点， 过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若cos∠CAD＝ 4 ，BF＝15，求AC的长．
10．(2016•北海)在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，
交BC于点D，⊙O的切线BP与AC的延长线交于点P，连接DE、BE. (1)求证： ＝ ；
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(2)求证：∠AED＝∠BCP； (3)已知：sin∠BAD＝ ，AB＝10，求BP的长．
11．(2015•南宁)如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且 ，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接 BC，交OD于点F. (1)求证：CD是⊙O的切线； OF (2)若 FD ＝23，求∠E的度数； (3)连接AD，在(2)的条件下，若CD＝ 3 ，求AD的长．